1

1. 평균속력과 순간속력

2. 속력 Vs. 속도

t

ds

여행시간

거리여행한평균속력

)(

t

ds

t

0lim

)(

순간시간

변화순간거리의순간속력

스칼라 벡터

M

1

1

2

3. 가속도, a : 속도가 변하는 비율 (벡터)

t

v

tt

vva

12

12

)(

시간소요된

변화속도의평균가속도

t

va

t

0lim

)(

순간

변화순간속도의순간가속도

등속력으로 원 운동하는 물체의 속도는 바뀐다.

4. 등가속도 운동

나중 속도 = 처음 속도 + 속도의 변화

움직인 거리 = 처음 속도로 움직인 거리 + 평균속도에 시간을 곱한 것

vvv 0 t

va

a tv a tvv 0

200

2

1

2

1a ttvta ttvd

3

서로 다른 질량을 가진 물체의 낙하실험

두 물체는 동시에 바닥에 도달하는가?(종이, 지우개, 공 등)

3장 낙하체와 포물선 운동

4

3.1 중력가속도

어떻게 중력가속도를 측정할 수 있는가?

낙하 운동(속도)을 느리게 진행시키는 방법 이용

갈릴레오가 제안 : 고전적인 방법

경사진 자에서 구슬을 굴리는 실험

5

스트로보스코프를 이용한 사진 촬영

시 간 거리 속도

0 0 0

0.05s 1.2cm 24cm/s

0.1s 4.8cm 72cm/s

0.15s 11.0cm 124cm/s

0.20s 19.7cm 174cm/s

0.25s 30.6cm 218cm/s

0.30s 44.0cm 268cm/s

0.35s 60.0cm 320cm/s

0.40s 78.4cm 368cm/s

0.45s 99.2cm 416cm/s

0.50s 122.4cm 464cm/s

scms

cm

ss

cmcm

t

dv

/46405.0

2.23

45.05.0

2.994.1222

scms

cm

ss

cmcm

t

dv

/7205.0

6.3

05.01.0

2.18.41

두 번째와 세 번째 지점 사이의 속도

열 번째와 열한 번째 지점 사이의 속도

6

낙하체의 가속도(중력가속도)

scmvst

scmvst

/4645.0

/721.0

22

11

2

22

12

12

/8.9

/8.9/980

4.0

/392

1.05.0

/72/464

smga

smscm

s

scm

ss

scmscm

tt

vv

t

va

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

100

200

300

400

500

Velo

city (

cm

/s)

Time (s)

7

낙하체에 대한 갈릴레오와 아리스토텔레스의 생각 차이

(무거운 물체와 가벼운 물체를 동시에 자유낙하 시킬 때)

아리스토텔레스

무거운 물체가 먼저 떨어진다.

갈릴레오

동시에 떨어진다

벽돌과 깃털을 동시에 떨어뜨리면?

https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs

Brian Cox visits the world's biggest vacuum chamber

8

3.2 낙하체의 운동

낙하체의 속도는 시간에 따라 어떻게 변하는가? (낙하하는 공의 속도를 0.5초 간격으로 계산)

atvvv

smsmga

v

0

22

0

?

/10/8.9

0

smssmatvst

smssmatvst

smssmatvst

smssmatvst

/20)0.2)(/10(0.2

/15)5.1)(/10(5.1

/10)0.1)(/10(0.1

/5)5.0)(/10(5.0

2

2

2

2

9

3.2 낙하체의 운동

각 시간 동안 공은 얼마나 낙하될까?

낙하하는 공의 이동거리를 0.5초 간격으로 계산

2

0

2

0

2

1?

/10,0

attvdd

smgav

mssmdst

mssmdst

mssmdst

mssmdst

20)0.2)(/10(2

10.2

3.11)5.1)(/10(2

15.1

5)0.1)(/10(2

10.1

25.1)5.0)(/10(2

15.0

22

22

22

22

10

공을 아래로 던지기에서 공의 속도와 이동거리는?

2

02

1attvd

atvv 0

적분 ↓

낙하하는 공의 이동거리 대 시간 그래프

↑ 미분

11

예제 3.1

작은 공을 초기속도 20m/s로 아래방향으로 던졌다. 중력가속도는 10m/s2라고 한다. 처음 1초와 2초에서 다음 값을 각각 계산하시오. (a) 속도 (b) 이동거리

smssmsmvt

smssmsmvt

atvvv

/40)2)(/10(/202

/30)1)(/10(/201

?

2

2

0

2

0

/10

/20.

smga

smva

mmmssmssmdt

mmmssmssmdt

attvddb

602040)2)(/10(2

1)2)(/20(2

25520)1)(/10(2

1)1)(/20(1

2

1?.

22

22

2

0

12

3.3 위로 던진 물체의 운동

위로 던진 물체는 최고점에 도달한 후 다시 아래로 떨어진다.

가속도와 속도의 벡터 방향?

가속도는 운동하는 방향과 반대방향으로 작용

13

물체의 속도는 어떻게 변하는가? 2

0 /10,/20 smasmv

smssmsmvt

smssmsmvt

smssmsmvt

smssmsmvt

atvvv

/20)4)(/10(/204

/10)3)(/10(/203

/0)2)(/10(/202

/10)1)(/10(/201

?

2

2

2

2

0

위로 던진 공의 속도 대 시간 그래프

14

각 시간 동안 공의 높이는 얼마인가?

2

0 /10,/20 smasmv

mmmssmssmdt

mmmssmssmdt

mmmssmssmdt

mmmssmssmdt

attvdd

08080)4)(/10(2

1)4)(/20(4

154560)3)(/10(2

1)3)(/20(3

202040)2)(/10(2

1)2)(/20(2

15520)1)(/10(2

1)1)(/20(1

2

1?

22

22

22

22

2

0

최고점의 높이는 d=20m(t=2s), 즉 v=0에서 최고점

15

최고점의 높이는 얼마인가?

2

0 /10,/20

0

smasmv

v

mmm

ssmssmattvd

st

ssm

sm

a

vvt

atvv

202040

)2)(/10(2

1)2)(/20(

2

1

2

2/10

/200

222

0

2

0

0

최고점의 속도는

최고점의 높이는 20m

0

16

예제 3.2

야구공을 초기속도로 20m/s의 수직 위로 던졌다. 4s가 될 때까지 1s 간격으로 공의 높이를 계산하라.

mmmssmssmdst

mmmssmssmdst

mmmssmssmdst

mmmssmssmdst

attvdd

08080)4)(/10(2

1)4)(/20(4

154560)3)(/10(2

1)3)(/20(3

202040)2)(/10(2

1)2)(/20(2

15520)1)(/10(2

1)1)(/20(1

2

1?

22

22

22

22

2

0

2

0 /10,/20 smasmv

17

3.4 포물선 운동

만화에 나오는 코요테는 절벽에서 바로 밑으로 떨어지는가?

수직방향 : 중력의 영향으로 아래로 가속된다.

수평방향 : 일정한 속도로 움직인다.

18

초기 수평속도 2m/s 일 때 공의 궤적은 어떻게 되는가?

수평성분과 수직성분 분리

• 수평성분 : 2m/s로 등속운동

(공기저항 무시)

• 수직성분 : 낙하운동과 동일

19

초기 수평속도 v1<v2<v3 일 때 탁자에서 떨어지는 공의 궤적은?

각 지점에서 총 속도는

속도의 수평성분과 수직성분 벡터의 합

초기 수평속도가 클수록

수평으로 더 멀리 나간다.(수직은 동일)

t1

t2

t3

t4

20

비행 시간을 결정하는 것은 무엇인가?

문제) 첫 번째 공을 수평으로 던지는 동시에

두 번째 공을 같은 높이에서 단순히 떨어뜨리면

어느 공이 먼저 바닥에 도달하는가?

정답) 동시에 도달한다.

원인) 1. 중력가속도가 같다.

2. 수직거리가 같다.

3. 수평속도와는 무관하다.

21

예제 3.3

공이 수평방향으로 초기속도 3m/s를 갖고 탁자로부터 떨어진다.(탁자의 높이 1.25m)

(a) 공이 바닥에 도달하는 데 걸리는 시간은 얼마인가.

(b) 공의 수평이동거리는 얼마인가?

m

ssm

attvd xix

5.1

)5.0)(/0.3(0

2

1 2

?

0

5.0

/3)(

x

xi

d

a

st

smvb

st

ssm

m

a

dt

atattvd yiy

5.0

25.0/10

)25.1(22

2

10

2

1

2

2

2

22

?

0

/10

25.1)(

2

t

v

smga

mda

yi

y

22

3.5 목표물 맞추기

총에서 발사된 탄환도 낙하 하는가?

총을 수평방향으로 목표물을 향하여 발사하면 탄환은 중앙에 명중할까?

답) 중앙에서 약간 아래쪽에 맞는다.

이유) 지구의 중력에 의해 아래쪽으로 가속되기 때문

비행 시간이 매우 짧아 아래쪽으로 조금 낙하

조정) 총의 가늠자를 위쪽 방향으로 조정

먼 거리는 높게 겨냥, 가까운 거리는 낮게 겨냥

23

축구공의 비행

22

2

2

1)sin(

2

1

0)cos(2

1

gttvtatvd

tvtatvd

iyyiy

ixxix

sin,cos

sin,cos

iyiixi

i

yi

i

xi

vvvv

v

v

v

v

처음속도 vi, 각도 θ 이라면

처음속도의 수평성분 vxi, 수직성분 vyi

수평가속도 ax=0, 수직가속도 ay=g

움직인 거리는

24

어떻게 하면 최대의 거리를 얻을 수 있을까?

처음속도가 동일하고 공기저항을 무시하면

발사 각도에 의해 결정

• 낮은 각도 : 거리 짧다

- 수평속도는 크지만 비행시간이 짧다.

• 높은 각도 : 거리 짧다

- 수평속도는 작지만 비행시간은 길다.

• 중간각도(45°) : 최대거리

- 낮은 각도보다 비행시간이 길다

- 높은 각도보다 수평속도가 크다

25

농구공 던지기

자유투에서 골인은 어느 경우에 가장 확률이 높을까?

26

공이 깨끗이 골인되는 각도는 농구공의 지름과 골대의 지름에 의해 결정된다.

공의 경로 넓이

바로 떨어지는 경우 > 45°의 경우

따라서 각이 커질수록 골인 확률 상승

가까운 거리와 먼 거리에서의 슛

가까운 거리는 높은 아치형 슛이 유리

먼 거리는 공의 비행시간과 속도의 수평성분에 의해 결정