2. osnovi elektroenergetike - telekomunikacije · pdf file2. osnovi elektroenergetike 23 2....

2. OSNOVI ELEKTROENERGETIKE

Nikola Tesla, predavanje iz 1915. godine: "Kogod želi da dobije pravu sliku veličine našeg doba mora proučiti istoriju razvoja elektrike. Tu će on naći priču daleko čudesniju od bilo koje iz 1001 noći."

Zadatak u ovoj glavi je da se hronološki i logički sagleda koncepcija, struktura i osnovne karakteristike savremenih elektroenergetskih sistema. Ti sistemi su odreñeni sledećim definicijama:

Definicija: "Elektroenergetika" je disciplina u okviru nauke o elektricitetu (elektrike), u kojoj se izučavaju transformacije energije u električnu energiju, njene unutrašnje transformacije, prenos i distribucija, kao i njene transformacije u upotrebne oblike, odnosno njene transformacije o koje se čovek okorišćuje.

Definicija: "Elektroenergetski sistem" je sistem u okviru kojeg se izvode sve elektroenergetske transformacije, te električna energija prenosi i distribuira. (Alternativa: "Elektroenergetski sistem" je sistem za realizaciju elektroenergetike.)

Postavljeni zadatak je obrañen u sledećim paragrafima: 2.1 Istorijski razvoj elektroenergetike

2.2 Osnovi elektroenergetskih sistema

2.2.1 Struktura elektroenergetskih sistema 2.2.2 Osnovna opredeljenja i koncepcija elektroenergetskih sistema 2.2.3 Naizmenične veličine u elektroenergetici 2.3 Trofazni elektroenergetski sistemi u stacionarnim režimima

2.3.1 Trofazne veličine 2.3.2 Simetrija trofaznih režima i uravnoteženost elektroenergetskih

sistema 2.3.3 Pofazni tretman trofaznih elektroenergetskih sistema u

simetričnim režimima 2.4 Rezime druge glave

2.1 Istorijski razvoj elektroenergetike

1. Elektricitet je ime koje smo dali nevidljivoj sili koju nismo u stanju sasvim da shvatimo, ali smo naučili njene principe i slobodno je koristimo, na bezbroj različitih načina.

2. OSNOVI ELEKTROENERGETIKE 23

2. Iako golim okom ne vidi elektron, naučnik ga prihvata kao naučnu činjenicu jer predstavlja logičnu posledicu, logičan zaključak eksperimentalno utvrñenih činjenica.

3. Jedna žena je upitala Tomasa Edisona: "Gospodine Edisone, šta je to elektricitet?" Njegov odgovor je glasio: "Gospoño, elektricitet jeste. Koristite ga!"22

U ovom paragrafu se daje pregled istorijskog razvoja nauke o elektricitetu, posebno onih momenata koji se odnose na električnu energiju, tj. elektroenergetiku. Iz istorije elektriciteta izvučena je nit koja vodi ka elektroenergetici.

Suštinu jednog pojma i svega onoga što on obuhvata i znači, nije moguće u potpunosti razumeti ako se ne zna njegovo poreklo i razvoj. Uz to, poznavanje istorije je od presudnog značaja za budući razvoj.

Umesto formalnog ustanovljavanja "početka elektrike", ovde se navodi nekoliko činjenica i citata:

• Činjenica je da su Kinezi još 2700. godine p.n.e. koristili kompas ("magnetsko delovanje").

• Činjenica je da je Austrijanac Wilhelm Koenig u Iranu iskopao ureñaj sastavljen od bakarnog suda (cilindra) i gvozdene šipke u njemu; posuda je zaptivena asfaltom (bitumenom); cela je smeštena u spoljašnu posudu od nepromočive gline; danas se na njoj, kada je napunjena vinom, sirćetom ili limunskom kiselinom, izmeñu bakra i gvožña generiše napon od 0.5 V.23 Procenjeno je da je ureñaj star više od 2000 godina; dakle razvijen je još ranije.

• Činjenica je da su eksperimenti, načinjeni 1978. godine, s "galvanskim elementima" naroda Parti (ili nekih drugih naroda koji su pre svih živeli na istom području), pokazali da se tim elementima može vršiti galvanizacija.24

• Činjenica je da u staroindijskom tekstu "Kumbhadbawa Agdsyonumi" piše: "Pošto komad čistog bakra položimo u nepromočiv glineni sud s otvorom s gornje strane, u posudu se stavljaju komadi sulfata bakra i "vitral" koji je plav poput potiljka pauna. Posle se u posudu stavlja strugotina testere i preko toga naribani kalaj sa živom." Ovako složeni materijali daju silu čije je ime "Mitra", te svetlost koja nastaje iz spoja kalaja i bakra, ona se takoñe zove "Mitra". Baterija satavljena od stotinu takvih posuda daje veliku silu.25

• Činjenica je da u egipatskim piramidama nije pronañena čañ i garež od baklji s kojima bi trebalo da su egipćani osvetljavali unutrašnjost piramida. A nečim su je morali osvetljavati. Nije li to bila električna energija?26

22Joseph Murphy: Moć podsvesti, str. 261, Akvarijus, Beograd, 1990. 23P.Krasse, R.Habeck: Licht für den Pharao. Elektrische Strom im alten Ägypten. John Fish Verlag. Universitätsbibliothek Wien inventar - Nr. I/1048483. S nemačkog preveo Ðura Borić: Da li su stari narodi poznavali elektrotehniku? ELEKTRODISTRIBUCIJA, br.3, 1989., str. 152-153. 24Ibid. 25Ibid. 26Ibid.

24 OSNOVI ELEKTROENERGETIKE

• Činjenica je da je bečki inžinjer Walter Garn konstruisao neku vrstu Van de Grafovog generatora na osnovu "modela" prikazanih na reljefima iz Dendre (Stari Egipat).27

• Činjenica je da je u Starom zavetu (2. knjiga Mojsijeva, 25.10) opisan sveti kovčeg od bagrema, obložen spolja i iznutra zlatom, što, uz zlatne heruvime na poklopcu, prilično upućuje na kondenzator. S druge strane, u Bibliji se opisuju situacije kada Mojsije "električnim pražnjenjem iz kondenzatora" kažnjava neposlušne Izraelce (vidi niže). Sveti kovčeg, u kojem je prenošen nevidljivi Bog Jahve, nestao je 600--700 godina p.n.e.28

• Tesla: "Biblija opisuje tačno i u detalje mašinu kojom se elektricitet stvarao pomoću trenja vazduha o svilene zavese i skupljao u kutiju napravljenu kao kondenzator".29:

• Tesla30: "Lako je moguće da je sinove Aronove ubilo pražnjenje visokog napona i da su vestalske vatre u Rimljana bile izazvane elektricitetom. Inženjeri tog vremena mora da su znali za transmisioni kaiš i teško je verovati da su mogle da ostanu neprimećene mnogobrojne pojave statičkog elektriciteta". [Biblija: Aron -- brat Mojsijev; knjiga treća -- Levitska, vreme -- oko 13. veka p.n.e.: "Tada doñe oganj od gospoda i udri ih, i oni (Aronovi sinovi, p.a.) pogiboše pred gospodom". Vestalke:31 Vesta je rimska boginja domaćeg ognjišta i hrane; Prvo njeno svetilište je izgradio kralj Numa u Rimu, oko 8./7. vek p.n.e.; u tom svetilištu je gorela "večna vatra" koju su održavale sveštenice -- Vestalke.]

U tekstu koji sledi navode se standardne istorijske činjenice vezane za istoriju elektrike. 1. Prema Aristotelu (384. -- 322. p.n.e.), Thales, Theofrastus i Pliny, još u 6. veku

p.n.e., opisali su magična svojstva elektrona, tj. ćilibara, koji privlači vunene dlačice dok se preslicama od ćilibara prede vuna.

2. Pored toga, Aristotel je ostavio priču o magnetima -- rudi magnetita koja privlači gvožñe.

3. O vremenu koje je potom proteklo (oko 22 veka) nema gotovo nikakvih podataka o elektricitetu.

4. Godine 1600., engleski lekar William Gilbert objavio je delo "O magnetu" -- sistematsku raspravu o osobinama ćilibara da privlači vunu i rude magnetita da privlači gvožñe. On je Zemlju proglasio "velikim magnetom", a 1630. godine je silu koja nastaje trenjem tela nazvao vis electrica.

Tada počinju da se nižu prilično nesistematska otkrića i teorije.

5. Godine 1729., Englez Stefan Gray konstatovao je da se tela mogu naelektrisati i dodirom s drugim naelektrisanim telom, a ne samo trenjem, pa čak i preko posrednika (trećeg tela). (Npr., plutani čep se naelektriše kada se stavi na naelektrisanu flašu.)

27Ibid. 28P.Krasse, R.Habeck: Licht für den Pharao. Elektrische Strom im alten Ägypten. John Fish Verlag. Universitätsbibliothek Wien inventar - Nr. I/1048483. S nemačkog preveo Ðura Borić: Da li su stari narodi poznavali elektrotehniku? ELEKTRODISTRIBUCIJA, br.3, 1989., str. 152-153. 29R.Horvat: Nikola Tesla -- Radovi iz oblasti elektroenergetike, Svet čuda koji će stvoriti elektricitet, str. 291 -- 300, Muzej N. Tesle i Naučna knjiga, Beograd, 1988. 30Ibid. 31D. Srejović, A. Cermanović-Kuzmanović: Rečnik grčke i rimske mitologije, Srpska književna zadruga, Beograd, 1979.


6. Godine 1745., Jürgen Kleist, sveštenik u Pomeraniju (Poljska), istovremeno s Cuneus-om u Lajdenu (Holandija), utro je put kondenzatoru (staklena čaša s naelektrisanim ekserom u njoj). Taj eksperiment je ponovio Abbé Nollet i dao ime ureñaju -- Lajdenska boca. [Tesla: "Kleist i Cuneus su uspeli da u bočicu (kondenzator) zatvore tajanstvenu silu, koja iz bočice beži uz ljuti prasak, razvijajući rušilačku snagu. To je bilo roñenje kondenzatora, možda najčudesnije električne naprave koja je ikada pronañena".32]

7. Godine 1750., severnoamerički fizičar Benjamin Franklin postavio je prvu teoriju o prirodi elektriciteta: da je elektricitet fluid kojeg sva tela imaju u odreñenoj količini. Ako se na njih dovede višak elektriciteta, ona postaju pozitivno naelektrisana, a ako se s njih odvede elektricitet, ona postaju negativno naelektrisana.

8. Godine 1752., Benjamin Franklin je opisao grom kao električno pražnjenje. 9. Godine 1753., Benjamin Franklin je pronašao gromobran. [Tesla: "Franklin je

dokazao povezanost nežne duše ćilibara i zastrašujućeg Jupiterovog groma".33] 10. Godine 1759., Symmer je postavio teoriju o dualnoj prirodi elektriciteta uočivši

njegove dve vrste: pozitivni i negativni. Prvu vrstu je asocirao staklu, a drugu smoli.

Ako se s prethodnom nesistematičnošću lutalo u traganju za lokacijom za zgradu elektrike, tada je 1785. godine, na polju ostalih nauka, ta lokacija nañena i kopanje njenih temelja započeto:

11. Godine 1785., francuski fizičar Charles de Coulomb otkrio je zakon po kome se može računati sila izmeñu dva naelektrisana tela:

P k

e e

r= 1 2

2 ,

(2.1)

pri čemu su e1 i e2 količine "tačkastih" naelektrisanja, r je njihovo meñusobno rastojanje, a k konstanta kojom se opisuje sredina u kojoj se naelektrisanja nalaze. Uz to, Coulomb je uveo pojmove: količina naelektrisanja; (vektor) električnog polja naelektrisanog tela -- s njegovom jačinom, pravcem i smerom; i električni potencijal tačke -- kao energiju potrebnu da se naelektrisano telo premesti iz beskonačnosti u datu tačku; odavde sledi pojam potencijalne razlike -- napona.

12. Godine 1793., italijanski fizičar Alessandro Volta ustanovio je kontaktni efekat. On iznosi (1 -- 1,5 V) izmeñu negativno naelektrisanog bakra i pozitivno naelektrisanog cinka, kao i izmeñu pozitivno naelektrisanog aluminijuma i negativno naelektrisanog cinka. Tako je hemijskim putem dobijena struja. Ona je nazvana "galvanskom" pošto ju je Volta ustanovio rešavajući problem "žabljih bataka" doktora Galvani-ja.

13. Godine 1806., engleski hemičar Hymphry Davy iskoristio je hemijsko dejstvo struje, pa je elektrolizom dobio čiste metale natrijum i kalijum.

14. Godine 1821., Seebeck je otkrio termoelektrični efekat: pojavu struje u konturi koju čine različiti metali spojeni na dva mesta, sa spojevima na različitim temperaturama. Francuski naučnik Jean Charles Peltier je realizovao inverzni efekat -- utvrdio je da se propuštanjem struje kroz napred opisane metale, njihovi spojevi greju.

32R.Horvat: Nikola Tesla -- Radovi iz oblasti elektroenergetike, Svet čuda koji će stvoriti elektricitet, str. 291 -- 300, Muzej N. Tesle i Naučna knjiga, Beograd, 1988. 33Ibid.


Ako su s navedenim otkrićima iskopani temelji zgrade elektriciteta, tada se 1820. godine započelo s njihovim izlivanjem:

15. Godine 1820., danski fizičar Hans Christian Oersted (osnivač elektromagnetizma), uočio je da magnetna igla skreće u blizini provodnika sa strujom -- magnetsko dejstvo struje; tj. da je magnetizam u suštini elektricitet u kretanju.

• Nakon Oersted-ovog otkrića, usledilo je Amperovo (André-Marie Ampère, 1775. -- 1836., francuski matamatičar i fizičar) otkriće smera sile kojom struja deluje na magnetnu iglu. Francuski naučnik Bio (Jean Baptist Biot, 1774. -- 1862.), francuski lekar i fizičar Savar (Félix Savart, 1791. -- 1841.) i francuski matematičar i astronom Laplas (Pierre Simon Laplace, 1749. -- 1827.), odredili su pojam magnetne indukcije -- B i formulisali tzv. Biot-Savart-ov zakon. Taj zakon povezuje vrednosti struje i magnetne indukcije u okolini provodnika sa strujom.

• Amper i nemački fizičar Veber (Wilhelm Eduard Weber, 1804. -- 1891.) postavili su teoriju o magnetizmu zasnovanu na "magnetićima" koji su generisani strujama elektrona koji se kreću oko jezgra atoma.

16. Godine 1827., nemački fizičar Georg Simon Ohm povezao je tri električne veličine: napon, struju i otpor (Ohm-ov zakon).

S tim su izliveni temelji zgrade elektrike. Postavljanje njene noseće konstrukcije je započelo: 17. Godine 1831., engleski fizičar i hemičar Michael Faraday stavio je krunu

dotadašnjim otkrićima pronalaskom mogućnosti za dobijanje elektriciteta indukcijom. On je otkrio princip dinama (efekat elektromagnetne indukcije), a njegovu empiriju je matematički, u obliku zakona elektromagnetske indukcije, formulisao nemački fizičar i matematičar Franz Ernst Neumann (1798. -- 1895.):

e d dt= − φ . (2.2)

(e je elektromotorna sila, φ je fluks, a t vreme.) 18. Godine 1833., Faraday je otkrio dva osnovna zakona elektrolize (o izdvajanju

materije strujom), koji su predstavljali osnovu za ustanovljavanje teorije o korpuskularnoj prirodi elektriciteta.

19. Engleski fizičar James Prescott Joule (1818. -- 1889.) i ruski fizičar Hejnrich Friedrich Lenc (1804. -- 1865.), istovremeno i nezavisno, otkrili su (empirijsku) relaciju koja povezuje otpor i jačinu struje kroz njega s toplotom koja se pri tome razvija ("Joule-ov zakon").

20. Godine 1843., nemački fizičar Gustav Robert Kirchhoff ustanovio je zakon o kontinuitetu struja u čvorovima složenih kola ("Prvi Kirchhoff-ov zakon") i generalizovao Ohm-ov zakon za složena kola ("Drugi Kirchhoff-ov zakon").

21. Godine 1856., Veber i R. Kohlraush su potvrdili Faraday-eva naslućivanja o vezi izmeñu elektromagnetizma i svetlosti. Iz veze elektriciteta (struje) i magnetizma (magnetno polje) izvukli su konstantu c -- brzinu svetlosti, ostavljajući Maxwell-u da definitivno zatvori problem.

Ako je s prethodnim otkrićima završena noseća konstrukcija, tada je 1876. godine stavljen krov zgrade elektrike:


22. Godine 1876., Englez James Clerk Maxwell, najveći fizičar i matematičar 19. veka, izvršio je sintezu elektromagnetizma u vidu četiri jednačine -- Maxwell-ove jednačine -- Maksvelova teorija elektromagnetizma. On je izveo dokaz o elektromagnetskoj prirodi svetlosti: svetlosni talasi su elektromagnetski talasi. Time

je elektrika zasnovana kao nauka. Nemački fizičar Heinrich Rudolph Hertz (1857. -- 1894.), godine 1888. je

eksperimentalno potvrdio Maxwell-ovu teoriju elektromagnetizma, "opažajući" prostiranje elektromagnetnih talasa u prostoru.

Iz konstatacije da je električna energija talasne prirode, izvodi se zaključak o prirodi (npr. bakarnih) provodnika kao "talasovoda", što ima za posledicu da s porastom učestanosti električne energije opada smisao i potreba za klasičnim provodnicima (žicama) prilikom prenosa. (Prenos električne energije bežičnim putem bio je san Nikole Tesle, p.a.)

Tesla: "Otkrića zabeležena u analima elektriciteta devetnaestog veka, daju tom veku pečat veka elektriciteta".34 Maxwell-ova teorija je održana (potvrñena) i u 20. veku, kada se zna mnogo više o strukturi materije -- atoma. U vezi s elektroenergetikom, u napred ustanovljenu hronologiju vezanu za elektriku uopšte, potrebno je insertovati i sledeća otkrića i tehnička rešenja:

1. Godine 1821., Davi je napravio "plamenu svetiljku" s ugljenim šipkama izmeñu kojih se održavao električni luk.

2. Godine 1831., Pixii je, iskoristivši polje od stalnog magneta, konstruisao magnetoelektričnu mašinu za naizmeničnu struju: potkovičasti magnet se obrtao ispred dva kalema. Kasnije je Störer invertovao situaciju tako što je fiksirao magnet, a obrtao kaleme.

3. Godine 1856., Siemens je konstruisao mašinu naizmenične struje s namotanom kotvom od mekog gvožña u obliku duplog slova T, tj., napravio je rotor koji se okretao unutar potkovičastog magneta.

4. Godine 1859., Planté je konstruisao olovni akumulator. 5. Godine 1866., Siemens je napravio dinamo -- generator jednosmerne, pulsirajuće

struje. Pri tom je polje prirodnog magneta magnetoelektrične mašine zamenio elektromagnetom, tj., i fiksirani i pokretni deo su bili namotani elektromagneti.

6. Godine 1869., Gramm, belgijski elektrotehničar, usavršio je kolektor -- Gramov prsten, koji je služio za "peglanje" pulsirajuće struje Siemens-ove mašine iz 1866. godine.

7. Godine 1873., Hefner i Alteneck su usavršili kolektor i time omogućili proizvodnju dinamo-motora snage do 200 kW. Ovo tehničko rešenje je imalo za posledicu dva značajna početka:

• Značajan napredak električne industrije. • Praktično potpuna zamena parnih mašina električnim. 8. Godine 1879., Edison je napravio električnu sijalicu s ugljenim vlaknom u vakumu

koje je kasnije zamenjeno volframovom niti. 9. Godine 1882., u Londonu i Beogradu, realizovane su prve mreže za osvetljenje

korišćenjem jednosmerne električne energije.

34N. Tesla: Svet čuda koji će stvoriti elektricitet, Radovi iz oblasti elektroenergetike, Muzej N. Tesle i Naučna knjiga, Beograd, 1988.


10. Godine 1883., Gaulard i Gibbs, Englezi, konstruisali su energetski transformator za naizmeničnu struju.

11. Godine 1883., Tesla je patentirao sistem poli(više)faznih struja. 12. Godine 1884., pušteni su u rad prvi vodovi monofazne naizmenične električne

energije u Torinu: 40 km, 200 kW i 2000 V. 13. Godine 1886., William Stanley je realizovao prvu naizmeničnu monofaznu mrežu --

elektroenergetski sistem u minijaturi u Great Barrington-u (Massachusetts) sa Siemens-ovim generatorom od 500 V i 12 A i sopstvenim transformatorima od 500/100 V/V. Taj se sistem koristio za osvetljenje okolnih domaćinstava.

14. Godine 1887., u Lucernu (Švajcarska), realizovani su prvi prenos i distribucija naizmenične električne energije.

15. Godine 1887., naizmeničnom električnom energijom je osvetljen Pariz. 16. Godine 1887., Tesla je svojim pronalascima: 1 -- prenos trofaznom strujom i 2 --

obrtno elektromagnetno polje (dva naizmenična generatora s elektromotornim silama koje su fazno pomerene za ugao π/2), ustanovio nov fundament u prenosu i potrošnji električne energije.

17. Godine 1888., Ferranti je u Londonu realizovao mrežu za naizmeničnu električnu energiju.

18. Godine 1888., Tesla je realizovao trofaznu asinhronu mašinu (motor). 19. Godine 1891., Tesla je realizovao industrijsku proizvodnju na Nijagarinim

vodopadima i prenos naizmenične električne energije na relaciji Nijagara -- Bafalo, u dužini od 43 km, s naponom 11 kV, snagom 7,5 MW i učestanosti 25 Hz.

Nakon toga, zahvaljujući Tesli (u najvećoj meri), počinje razvoj elektroenergetike 20. veka. Ako je Maxwell stavio krunu elektrici kao nauci, tada je Tesla stavio krunu elektroenergetici današnjice. Ona se, u suštini, zasniva na trofaznim veličinama i Teslinom obrtnom elektromagnetnom polju. Osim što je za sobom ostavio velika tehnička rešenja (pored elektroenergetike, zasnovao je i telekomunikacije), Tesla je zaveštao još više ideja. Najpoznatija meñu njima se odnosi na bežični prenos energije. O njoj govori sam Tesla: "Zapravo, napredak na ovom polju (osnovno saznanje o mogućnostima za bežični prenos energije) dao mi je novu nadu da ću doživeti ostvarenje mojih najdražih snova, naime, prenosa energije od stanice do stanice bez upotrebe ikakve veze pomoću žice".35 Hronološki pregled dogañaja relevantnih za razvoj elektrike uopšte, pa i elektroenergetike posebno, ovde se završava stavljanjem električne energije u relaciju s kvantitativnim pokazateljima savremenog življenja. Ako je već ustanovljeno centralno mesto elektroenergetike u energiji uopšte (prvo poglavlje, paragraf 1.2, slika 1.4)., tada se odgovor na pitanje mesta elektroenergetike u savremenom življenju može dobiti posredno, preko odgovarajućeg mesta energije (uopšte). U tu svrhu se ovde daje empirijska relacija izmeñu nacionalnog dohotka (jedne države, celog Sveta ...) i odgovarajuće količine energije realizovane (potrošene, proizvedene) u jednoj godini36:

35R.Horvat: Nikola Tesla -- Radovi iz oblasti elektroenergetike, O elektricitetu, str. 281 -- 290, Naučna knjiga, Beograd, 1988. 36R. Pelissier: Les réseaux d'energie electrique, Dunod, Paris, 1975.


∆ ∆E

EA B

D

Do o= + , (2.3a)

odnosno u procentima, množeći relaciju (2.3) sa 100:

∆ ∆e a b d[%] [%] ,= + (2.3b)

pri čemu su s Do i Eo, označeni realizovani nacionalni dohodak i energija u usvojenoj baznoj godini, respektivno; sa A i B su označene konstante; sa ∆D i ∆E su označeni priraãtaji realizovanog nacionalnog dohotka i količine električne energije u toku jedne godine, respektivno. Iste te veličine označene malim slovima odnose se na odgovarajuće procentualne iznose. Konstante a i b približno imaju vrednosti od 2% i 1%, respektivno. Relacije (2.3a) i (2.3b) mogu se tumačiti tako da s porastom nacionalnog dohotka raste i količina realizovane energije. Odnosno, ako se ista relacija izrazi u inverznom obliku, tada sledi da s porastom realizovane energije raste i nacionalni dohodak:

∆ ∆d

ab b

e= − +1

.

(2.4)

Pošto je realizovana električna energija svake zemlje praktično srazmerna s realizovanom energijom uopšte, to se za (2.4) može smatrati da predstavlja i relaciju izmeñu električne energije i dohotka. Definitivno, sagledavajući sveukupni razvoj društva, odnosno njegova tehnička dostignuća, nameće se pitanje da li je elektricitet dao čovečanstvu sve što je mogao? Da li Maxwell-ova teorija i Teslina otkrića predstavljaju definitivan krov zgrade elektrike? Da li će elektrika biti ta sinteza svih do sada poznatih delovanja (elektromagnetnog, jakog, slabog, pa i gravitacije), dakle, da li će ona integrisati i gravitaciju, ili će ta četiri delovanja biti objedinjena nekom višom sintezom? Umesto odgovora na ta pitanja, ovde se navode sledeće misli: • Nikola Tesla37: "Pogrešan je utisak da se s većim napretkom smanjuju mogućnosti za

nova otkrića". • Herbert Spenser (1820. -- 1903., engleski filozof, živeo u veku elektriciteta): "Što je

sijalica jača, to je granična površ svetlo -- mrak veća".

2.2 Osnovi elektroenergetskih sistema

Elektroenergetski sistem je u paragrafu 2.1 definisan kao sistem u okviru kojeg se izvode sve elektroenergetske transformacije iz ili u električnu energiju, njene unutrašnje transformacije, te prenos i njena distribucija. U ovom paragrafu, na bazi generalnih zahteva koji se postavljaju pred svaki energetski ili tehnički sistem, izvedena je osnovna struktura elektroenergetskih sistema (proizvodnja, prenos, distribucija i neposredna potrošnja). S posebnom pažnjom je obrañeno opredeljenje za trofazne (naizmenične) elektroenergetske sisteme. Obrañena je i primena kompleksnog računa za opis ustaljenih -- prostoperiodičnih -- naizmeničnih režima elektroenergetskog sistema. Na kraju je izveden monofazni reprezent kojim se može prikazati svaki trofazni elektroenergetski sistem u "normalnom" prostoperiodičnom -- ustaljenom režimu. 37R.Horvat: Nikola Tesla -- Radovi iz oblasti elektroenergetike, Svet čuda koji će stvoriti elektricitet, str. 291 -- 300, Muzej N. Tesle i Naučna knjiga, Beograd, 1988.


2.2.1 Struktura elektroenergetskih sistema

Struktura elektroenergetskog sistema se može izvesti, imajući u vidu načela koja važe praktično za svaki tehnički sistem. Ta načela se ovde ustanovljavaju u vidu sledeće tri ideje: 1 -- Pouzdanost, 2 -- Sigurnost i 3 -- Ekonomičnost. Pojam pouzdanosti se ovde vezuje za napajanje potrošača. Pouzdanost predstavlja verovatnoću da potrošač bude napajan; da bude pod naponom; da bude u pogonu; da se potrošač -- korisnik može okoristiti o električnu energiju. Pouzdanost se kvantitativno iskazuje verovatnoćom p, odnosno suprotnom verovatnoćom q: p q= −1 , (2.5) Te verovatnoće se izvode na bazi dugotrajne eksploatacije (pogona) potrošača. Dakle, sa q je označena verovatnoća da potrošač ostane bez napona; da bude van pogona bez "svoje volje". Relacija (2.5) se može iskazati na sledeći način:

p=1 -- q=1-- [broj časova u kojima je potroãač bez napona (u toku godine)] / 8760h (2.6)

Ova relacija predstavlja definiciju kvantitativnog pokazatelja pouzdanosti. Za potrošače elektroenergetskih sistema taj kompromis je nañen na nivou: p≥0.99. Pri tom se svakako pravi razlika kod različitih vrsta potrošača. Npr., pouzdanost napajanja potrošača tipa bolnica mora da bude veća od one kod industrijskih područja, koja opet treba da bude veća od pouzdanosti napajanja domaćinstava, itd. Pojam sigurnosti se vezuje za odreñen pogon elektroenergetskog sistema. Sigurnost predstavlja sposobnost elektroenergetskog sistema da "preživi svaki" "verovatan" ("normalan", očekivan) potencijalni poremećaj koji se može dogoditi u tom režimu. Pod pojmom "preživi" podrazumeva se da sistem i dalje ostane u funkciji (da se svi potrošači napajaju električnom energijom). Pojam "svaki" mora se relativizirati. Naime, intuitivno je jasno da bi elektroenergetski sistem, koji bi bio sposoban da preživi svaki poremećaj (pa i spoljašnju ili unutrašnju katastrofu), bio besmisleno skup. Otud potreba za ustanovljavanjem kompromisa. Taj kompromis je pronañen u sigurnosti tipa (n-1). Sa n je označen broj komponenti sistema (npr., ukupan broj generatora, vodova, transformatora itd. u elektroenergetskom sistemu). Saglasno s tim, sistem je siguran tipa (n-1) ako nakon ispada iz pogona (npr. zbog kvara) ma koje od njegovih n komponenti, on i dalje ostane u normalnom pogonu. Tako, sigurnost tipa (n-2) bi se vezala za simultani ispad dve komponente. Sistem koji bi bio tako siguran, svakako bi bio skuplji. Sigurnost tekućeg režima se uobičajeno odreñuje matematičkim -- numeričkim simulacijama -- proračunima potencijalnih režima nakon svih mogućih jednostrukih poremećaja -- kvarova. Na osnovu rezultata tih proračuna, svakako se stiče uvid u (ne)mogućnost uspostavljanja potencijalnih režima, odnosno normalnog funkcionisanja sistema. Pojam ekonomičnosti, se sastoji od dva potpojma. Njih je nužno razmatrati odvojeno: Ekonomično izgrañen sistem je onaj sistem koji je izgrañen s minimalnim investicionim ulaganjima, ali koji zadovoljava kriterijume pouzdanosti napajanja potrošača i sigurnosti njegovih pogona. Ekonomičan pogon je pogon (već izgrañenog) sistema u kojem se potrošači zadovoljavaju na najekonomičniji način, ali sa zadovoljenim kriterijumom sigurnosti.


Smisao tri opisane ideje (pouzdanost, sigurnost, ekonomičnost) može se interpretirati praktično na svakom tehničkom sistemu. Ovde je dat primer automobila, kao tehničkog sistema. Pouzdanost automobila se vezuje za njegovu dugotrajnu eksploataciju. Što se automobil češće kvari, odnosno što je duže van mogućeg pogona, time je on manje pouzdan. Svakako, kao i kod elektroenergetskog sistema, veća pouzdanost automobila je uslovljena i njegovom većom cenom. Sigurnost (pogona) automobila se vezuje za njegovu aktuelnu eksploataciju (vožnju). Režimi automobila svakako nisu sigurni saglasno s kriterijumom sigurnosti tipa (n-1). Jednostruki kvar na najvećem delu njegovih komponenti (npr. prekid cevi za dovod goriva, prekid provodnika za dovod napona na indukcioni kalem, pucanje pneumatika, itd.), predstavlja "ispad iz pogona celog sistema (automobila)". Kod ekonomično izgrañenih automobila svakako je nañen "dobar kompromis izmeñu njegove cene i kvaliteta". Ali kada je u pitanju drugi potpojam ekonomičnosti -- ekonomičan pogon automobila, tada je reč o konkretnom automobilu u vožnji. Ta vožnja svakako može biti ekomomična (relativno jeftina) i neekonomična (relativno skupa). Naime, poznato je da se isti broj kilometara može preći s manjim utroškom goriva ako se broj obrtaja motora automobila održava na maksimalnom momentu (ekonomičan pogon), za razliku od svakako manje ekonomičnog pogona s momentom koji nije maksimalan. S tim je završeno razmatranje bazičnih pojmova (ideja) na osnovu kojih će biti izvedena struktura elektroenergetskih sistema. S tim izvoñenjem se započinje na osnovu četiri podsistema elektroenergetskog sistema. Oni su ustanovljeni prilikom isticanja suštinskih prednosti električne energije nad ostalim energetskim oblicima (široke mogućnosti za njenu relativno jeftinu proizvodnju, prenos i distribuciju, kao i široke mogućnosti za njenu trasformaciju u upotrebne oblike, kada se čovek oklorišćuje -- glava 1, paragraf 1.5, slika 1.8). S obzirom na tok električne energije, ta četiri podsistema se mogu prikazati kao na slici 2.1.

Slika 2.1 -- Osnovni podsistemi elektroenergetskih sistema.

Podsistem neposredne potrošnje je "mesto" gde se vrši transformacija električne energije, o koju se čovek okorišćuje (transformacija električne energije u toplotu, mehaničku energiju, osvetljenje,...). Čine ga individualni potrošači: domaćinstva, zanatske radnje, kancelarije, trgovinske radnje, fabrike,... . Dakle, individualni potrošač


predstavlja skup ureñaja -- električnih aparata (elementarnih potroãača) za transformaciju električne energije s jedinstvenim mestom za kontrolu njene potrošnje (brojilom). Individualni potrošači su (relativno) male tehničko -- tehnološke potrošačke celine. Oni se teritorijalno koncentrišu u veće tehničko -- tehnološke i teritorijalne celine, tzv. potrošačka područja: stambena naselja (sela, kvartovi gradova...), industrijske zone, mešovite stambeno-industrijske zone,... . Potrošači mogu biti van pogona ili u pogonu -- u stanju potrošnje. Stanje potrošnje nastupa u trenutku njihovog stavljanja pod napon, kada se uspostavlja struja i energija transformiše. U svakom slučaju, za svakog od potrošača se od elektroenergetskog sistema zahteva pouzdano i sigurno napajanje (da je što duže pod naponom, bez čestih, makar i kratkotrajnih ispada), ali i "jeftina" električna energija (ekonomičan elektroenergetski sistem). U podsistemu proizvodnje se vrši transformacija različitih oblika energije (ugalj, voda,...) u električnu energiju. U okviru ovog podsistema nema direktnog okorišćavanja čoveka. Meñutim, električna energija, koja se u njemu proizvodi, predstavlja oblik energije koji postaje itekako atraktivan za prenos i distribuciju, kao i za transformaciju u upotrebne oblike. Podsistem proizvodnje čine individualni proizvoñači -- električni generatori -- mašine za transformaciju mehaničke u električnu energiju. Ovi proizvoñači -- generatori, apsolutno su minimalne tehničko -- tehnološke proizvodne celine. Oni su koncentrisani (jedan, dva ili više njih) u veće tehničko -- tehnološke celine -- elektrane. Više elektrana, ako su na "istoj" lokaciji čine lanac -- sliv (hidro)elektrana, ili basen (nuklearnih, termo) elektrana. S obzirom na činjenicu da danas još uvek nije tehnološki rešen problem ekonomične akumulacije električne energije u količinama merljivim sa zahtevima potrošača, osnovni zahtev koji se postavlja pred podsistem proizvodnje je da se električna energija mora proizvoditi onda i onoliko kada i koliko se troši. Onog trenutka kada se odreñeni potrošač elektroenergetskog sistema stavi pod napon (stavi u stanje potrošnje), tog trenutka se podsistemom proizvodnje mora obezbediti odgovarajuća (proizvedena) električna energija. (Nota: Mehanizam efikasnog odziva proizvodnje na promene potrošnje biće razmotren kao problem regulacije u elektroenergetskim sistemima.) Za podsistem proizvodnje ovde se ističu sledeće dve karakteristike, koje su već ustanovljene u vezi s prirodnim oblicima energije:

• Energetski oblici pogodni za transformaciju u električnu energiju (ugalj, vodeni tokovi,...) uglavnom su dislocirani od potrošača.

• Proizvodnja električne energije u nuklearnim elektranama i elektranama na naftu i gas mora se dislocirati u odnosu na potrošače iz bezbednosnih, odnosno razloga zaštite od direktnog zagañenja stambene i radne sredine čoveka.

Osim toga, nužno je ustanoviti još jednu karakteristiku električne energije, koja je zajednička za realizaciju ma kog proizvoda. Ona glasi: električna energija je jeftina samo ako se proizvodi u velikim blokovima (količinama). Saglasno s prethodnim izlaganjem mogu se istaći sledeće dve nužne karakteristike podsistema proizvodnje:

1. Dislokacija -- tj. udaljenost proizvodnje od potrošnje. 2. Proizvodnja u velikim blokovima (količinama) -- samo je tada ona jeftina.


Ustanovljavanjem podsistema neposredne potrošnje, te tako nametnutom potrebom za podsistemom proizvodnje, uvažavajući obrañene tri ideje (pouzdanost, sigurnost i ekonomičnost), uz napred ustanovljene dve karakteristike podsistema proizvodnje, u tekstu koji sledi logički se razvija struktura savremenih elektroenergetskih sistema.

Logički razvoj strukture savremenih elektroenergetskih sistema

Logički razvoj strukture elektroenergetskih sistema započinje ustanovljavanjem trivijalnog sistema. Takav sistem se može ustanoviti samo na bazi jednog individualnog potrošača i njegovog zahteva za električnom energijom, što implicira ustanovljavanje odgovarajuće proizvodnje ("elektrane"). Takva situacija je prikazana na slici 2.2. Sa S je označeno mesto gde potrošač preuzima električnu energiju od proizvodnje. S obzirom na ekonomičnost elektroenergetskog sistema (druga od napred pomenutih nužnih karakteristika), besmisleno je svakom (malom) individualnom potrošaču asocirati sopstvenu (malu) "elektranu" (slika 2.2). Otud ideja da se skupu individualnih potrošača, dakle potrošačkom području, asocira jedna elektrana (E) kapaciteta koji je odreñen veličinom potrošačkog područja -- slika 2.3a.

Slika 2.2 -- Trivijalan elektroenergetski sistem.

Da bi se svaki individualni potrošač mogao staviti u stanje potrošnje do njega je potrebno "elektroenergetskim vezama" (skupovi provodnika) dovesti napon. Elektroenergetske veze svih individualnih potrošača razmatranog potrošačkog područja se koncentrišu -- "sabiraju" u "jednu tačku", tzv. "sabirnice" -- S (takoñe skup provodnika). Na njih je priključena elektrana E (zaokružena punom linijom). S obzirom na zahteve za pouzdanim napajanjem potrošača i sigurnim pogonom, to se radi sprečavanja ostajanja (svih) potrošača bez napona, odnosno "sloma celog elektroenergetskog sistema" usled kvara na elektrani, mora raspolagati još s jednom (rezervnom) elektranom iste snage kao osnovna. Samo bi tada razmatrani sistem bio siguran po tipu sigurnosti (n-1), bar što se tiče proizvodnje. Dakle, u razmatranoj varijanti elektroenergetskog sistema raspolaže se s dvostruko većim, pa toliko i skupljim proizvodnim kapacitetima u odnosu na potrošnju. Ustanovljavajući situaciju prikazanu na slici 2.3a kao osnovni element, struktura "ma kako složenog -- velikog" elektroenergetskog sistema (EES) može se prikazati skupom potpuno nezavisnih osnovnih elemenata (četvorki), po jedan za svako od p potrošačkih područja:

EESa = x i| x i = (elektrana, rezervna elektrana, sabirnice, potrošačko područje); i=1,2,...,p.


U daljem logičkom razvoju elektroenergetskog sistema, koji neposredno sledi, neće se posebno obraćati pažnja na podsistem potrošnje, (deo elektroenergetskog sistema desno od sabirnica S na slici 2.3a). Taj podsistem će biti razmatran posebno, kada se izvede struktura: proizvodnja -- prenos -- potrošnja (slika 2.1). Struktura elektroenergetskog sistema prikazana na slici 2.3a ima bar dva suštinska nedostatka: 1 -- proizvodnja uopšte, ali i ekonomična proizvodnja u velikim blokovima, nije moguća uz same individualne potrošače (prva i druga od napred navedene dve karakteristike); 2 -- dvostruki, pa toliko i skuplji proizvodni kapaciteti. Radi eliminisanja prvog od ta dva nedostatka, iz razmotrene strukture sa slike 2.3a razvija se struktura prikazana na slici 2.3b. Ovaj razvoj je karakterističan po tome što se uvodi institucija "prenosa električne energije". Formalno se to čini "cepanjem" sabirnica S (slika 2.3a) na generatorske (A) i sabirnice potrošnje (B), te njihovim "razvlačenjem" uvoñenjem elektroenergetskih veza za prenos napona i električne energije -- puna linija na slici 2.3b. Na taj način prenos električne energije (i napona) dobija prostornu dimenziju -- dužinu od nekoliko desetina (da bi se elektrane odmakle od neposredne čovekove okoline) do nekoliko stotina kilometara (da bi se stiglo do jeftinih energetskih oblika -- lignit, voda,...). (Napomena: Kasnije će biti pokazano da je ovo razvlačenje zasnovao Tesla.) Slično kao u slučaju uvoñenja rezervne elektrane u prethodnoj situaciji, tako je i u ovom logičkom koraku razvoja elektroenergetskih sistema nužno uvesti i rezervni prenos (isprekidano označen na slici 2.3b). Kada njega ne bi bilo, sistem ne bi bio siguran saglasno s kriterijumom sigurnosti tipa (n-1). Naime, ispadom osnovnog prenosnog puta, celo potrošačko područje bi ostalo van pogona. Struktura ovako opisanog elektroenergetskog sistema može se prikazati skupom potpuno nezavisnih elemenata (sedmorki), po jedan za svako od p potrošačkih područja, s odgovarajućim prenosom i proizvodnjom:

EESb = x i| x i = (elektrana, rezervna elektrana, generatorske sabirnice -- A, prenos, rezervni prenos, potrošačke sabirnice -- B, potrošačko područje); i=1,2,...,p.

Ovakav elektroenergetski sistem ima bar jedan suštinski nedostatak. On je prenet iz polazne strukture -- drugi od već navedena dva nedostatka. Taj nedostatak se sastoji od dvostrukih proizvodnih, ali sada i prenosnih kapaciteta. Eliminacija i tog nedostatka vodi ka trećem logičkom koraku razvoja elektroenergetskog sistema -- ka uvoñenju institucije "petljastog prenosa" ("petljaste prenosne mreže"), odnosno, jednostavno -- "prenosne mreže". Takav elektroenergetski sistem je prikazan na slici 2.3c. On ima strukturu koja, definitivno, zadovoljava postavljene zahteve u pogledu: pouzdanosti, sigurnosti tipa (n-1) i ekonomičnosti. Za elektroenergetske sisteme s petljastom strukturom (prenosa) važe sledeća tri načela:

Prvo načelo: Broj generatorskih jedinica (m) može biti različit od broja potrošačkih područja (l):

m l≠ . (2.7)

Drugo načelo: Kapacitet svih elektrana (E), bez najveće (neka je to m-ta), veći je ili jednak ukupnim zahtevima za energijom (snagom) svih potrošačkih područja (B), što se može iskazati relacijom:


"( )",E Bi j

j

l

i

m

≥ ∑∑==

−

11

1

(2.8)

pri čemu su navodnici stavljeni radi toga što za sada nisu kvantifikovani niti "kapacitet elektrana -- E", niti "zahtev potrošača -- B", pa relaciju treba prihvatiti načelno.

Treće načelo: Prenosna mreža je "složena mreža" elektroenergetskih veza -- elemenata prenosa. To je upetljana mreža, odnosno mreža s petljastom topološkom strukturom. Ona omogućava posrednu ili neposrednu vezu svake elektrane sa svakim potrošačem, čak i u slučaju ispada bilo kog (jednog) elementa prenosne mreže.

Ta tri načela impliciraju:

• Prvim načelom se započinje sa slabljenjem pritiska koji nameće korespondencija jedno potrošačko područje -- jedna elektrana, koja (korespondencija) smanjuje ekonomičnost sistema. Ono omogućuje da se proizvodni kapaciteti grade saglasno s jeftinim raspoloživim resursima, bez "pritiska" nametnutog veličinom potrošačkog područja.

• Drugim načelom se definitivno razbija pritisak korespondencije 1:1 iz prva dva koraka logičkog razvoja elektroenergetskog sistema -- slike 2.3a i 2.3b, respektivno. Njime se obezbeñuje kako pouzdanost napajanja, tako i sigurnost pogona s obzirom na proizvodnju.

• Trećim načelom se obezbeñuje pouzdanost napajanja i sugurnost pogona s obzirom na prenos. Njime se prevenira slom elektroenergetskog sistema nakon jednostrukog ispada bilo kog prenosnog elementa.

Globalni prikaz ovakvog elektroenergetskog sistema dat je na slici 2.3d. Načelna, ali nikako i najracionalnija upetljana prenosna mreža, koja zadovoljava navedene zahteve [povezanost svake elektrane sa svakim potrošačem, kao i sigurnost tipa (n-1)], prikazana je na slici 2.3e. S te slike je očigledno da se mogu redukovati "mnogi" prenosni elementi, te tako redukovati njena cena, a da se sigurnost tipa (n-1) s obzirom na prenos zadrži. Ekonomičnost elektroenergetskog sistema prikazanog na slici 2.3e može se sagledati iz činjenice da se celokupna rezerva, umesto dvostrukih proizvodnih kapaciteta, svodi samo na jednu elektranu (ili nekoliko njih, odgovarajućeg sumarnog kapaciteta). Ta drastična redukcija cene elektroenergetskog sistema u odnosu na varijante prikazane slikama 2.3a i b, omogućena je praktično prepolovljenim podsistemom proizvodnje, čija je cena prilično velika.


(a) (b)

(c)

(d)

(e)

Slika 2.3 -- Logički razvoj strukture savremenih elektroenergetskih sistema.

Što se tiče cene podsistema prenosa, ona se, po definiciji, može smanjivati ako su od svih puteva prikazanih na slici 2.3e, izabrani samo oni čija je ukupna cena minimalna, a da pri tom sigurnost tipa (n-1) bude obezbeñena, tj da sistem ostane u funkciji i u situaciji ispada ma kog (jednog) prenosnog elementa. Struktura takvog -- savremenog elektroenergetskog sistema može se iskazati skupom elemenata sva tri podsistema (proizvodnje, prenosa i potrošnje):

EESc= skup elektrana Ei s njihovim sabirnicama Ai, skup elektroenergetskih veza (i -- j), potrošačko područje sa sabirnicama neposredne potrošnje Bj; i=1,2,...m; j=1,2,...l


O nužnosti da se podsistem potrošnje podeli na dva nova podsistema -- podsistem distribucije i podsistem neposredne potrošnje (slika 2.1), biće reči kasnije. Uvoñenjem podsistema prenosa, tj. neposrednim povezivanjem svake elektrane sa svakim potrošačkim područjem sistema, realizovan je ekonomičan elektroenergetski sistem. Kod njega je rezerva proizvodnje električne energije svedena na minimum. Ovaj minimum je u direktnoj relaciji s aktuelnom praksom da se teži gradnji elektrana čiji kapaciteti ne prelaze 5--10% ukupnih kapaciteta sistema. A da jedinstvena rezerva bude na raspolaganju celom elektroenergetskom sistemu (npr. jedne države), nužno je da taj sistem predstavlja jedinstvenu tehničko-tehnološku celinu. A to nije teško učiniti zajedničkom -- jedinstvenom prenosnom mrežom. Kada ne bi bilo tako, tada bi za svaki njegov deo bilo nužno graditi odgovarajuću rezervu, koja bi pak, sa svoje strane, bila nedostupna onom drugom delu sistema. S napred opisanim elektroenergetskim sistemom se na najefikasniji način realizuje trojka zahteva: pouzdanost, sigurnost i ekonomičnost. Interna povezanost svakog elektroenergetskog sistema na nivou jedne države, danas se generalizuje -- proširuje na nivo tzv. interkonektivnih elektroenergetskih sistema. To su elektroenergetski sistemi više država, koji su meñusobno povezani elektroenergetskim vezama. Na području Evrope postoji više takvih interkonekcija: UCPTE -- zapadnoevropska (Jugoslavija je njena članica), Balkanska, Istočnoevropska,.... Ta povezanost se realizuje uspostavljanjem direktnih elektroenergetskih veza izmeñu prenosnih mreža elektroenergetskih sistema koji učestvuju u interkonekciji (slika 2.4).

Slika 2.4 -- Interkonekcija koju čine tri elektroenergetska sistema.

Osnovni smisao povezivanja elektroenergetskih sistema u složene interkonekcije pronalazi se u efikasnijoj (jeftinijoj) realizaciji pouzdanosti, sigurnosti i ekonomičnosti.


Tehnički, interkonektivni elektroenergetski sistem je strukturno identičan sa svakim njegovim članom. Tri osnovna podsistema takvih (interkonektivnih) sistema su: proizvodnja koja predstavlja uniju skupova podsistema proizvodnje individualnih elektroenergetskih sistema; podsistem potrošnje je unija individualnih podsistema potrošnje; a podsistem prenosa, pored unije skupova prenosnih mreža individualnih elektroenergetskih sistema, sadrži i interkonektivnu mrežu -- mrežu interkonektivnih elektroenergetskih veza. S ovim je završen logički razvoj strukture elektroenergetskog sistema, na nivou: proizvodnja -- prenos -- potrošnja.

Logički razvoj strukture savremenih distributivnih mreža

Sada se ulazi dublje u podsistem potrošnje. Već je konstatovano da se on sastoji od dva podsistema: podsistem distribucije i podsistem neposredne potrošnje -- potrošnja u užem smislu te reči (slika 2.1). Podsistem distribucije se izvodi na osnovu razmatranja elektroenergetskog "spoja" podsistema prenosa i podsistema potrošnje -- sabirnice B na slici 2.3c. Jedan takav spoj, izdvojen sa slike 2.3c, načelno je prikazan je na slici 2.5a. Kritičan momenat na slici 2.5a je tačka B -- potrošačke sabirnice. To je "centralno mesto" u koje su integrisani svi individualni potrošači jednog potrošačkog područja (grad, kvart, selo,...). Svaki od njih uspostavlja elektroenergetske veze s jedinstvenim sabirnicama B. Te veze su potpuno analogne s drugim sistemima (vodovod, gas,...). Za bilo koji od tih sistema, besmisleno bi bilo da se za napajanje svakog individualnog potrošača zahteva njegovo neposredno povezivanje s jedinstvenim "centralnim mestom B", predviñenim za, npr., jedan mali gradić. I kad bi uopšte bilo tehnički izvodljivo, bilo bi besmisleno realizovati nekoliko (desetina) hiljada individualnih (dakle, zasebnih) veza svih individualnih potrošača, rasprostrtih po potošačkom području, s centralnim mestom (sabirnice B). Taj problem se rešava uvoñenjem institucije distribucije električne energije (vode, gasa...). Distribucija se zasniva na koncepciji tzv. "fidera -- napajača". Oni predstavljaju dovoljno jake elektroenergetske veze da se njima mogu asocirati veći delovi razmatranog potrošačkog područja. Praktično, fider "prolazi" pored individualnih potrošača koji se na njega priključuju (tačka C, slika 2.5b), umesto da se za svaki od njih uspostavlja sopstvena elektroenergetska veza sa sabirnicama B. Očigledna je mogućnost grananja fidera na fidere nižih nivoa, odnosno uspostavljanje elektroenergetskih veza "tipa stabla". Na ovaj način je omogućeno da se na najekonomičniji način, iz sabirnica B, elektroenergetskim vezama priñe dovoljno blizu svakom od individualnih potrošača, proizvoljno lociranih na razmatranom potrošačkom području. (Nije naodmet uočiti analogiju distribucije s grananjem drveta; priroda sve probleme rešava na najekonomičniji način!)

(a)


(b)

Slika 2.5 -- Podsistem distribucije.

Dakle, fideri sa svojim grananjem, granama, sve do mesta priključka individualnih potrošača, čine distribuciju, odnosno distributivnu mrežu. Tačka B (slika 2.5), u kojoj je distributivna mreža priključena na prenosnu mrežu naziva se izvorom distributivne mreže. Skup svih distribucija jednog elektroenergetskog sistema predstavlja podsistem distribucije. Ako se iz podsistema potrošnje izuzme napred opisani podsistem distribucije, ono što ostane to su neposredni potrošači. Njihov skup, uvažavajući sve podsisteme potrošnje u celom elektroenergetskom sistemu, čini podsistem neposredne potrošnje. Potrebno je uočiti suštinsku karakteristiku podsistema distribucije, koja je prećutno već istaknuta na slici 2.5b: distributivna mreža je, po pravilu, takva da se do svakog individualnog potrošača "stiže" samo s jedne strane. Za razliku od prenosne mreže, gde se do potrošačkih sabirnica B stiže s više strana (prenosna mreža je upetljana), u slučaju individualnih potrošača te višestrukosti nema. Suštinski razlog za takvo -- ekonomično, ali ne i najpouzdanije i najsigurnije rešenje, leži u činjenici da kvar u distributivnoj mreži ostavlja van pogona samo "mali" broj individualnih potrošača, dok su za prenosnu mrežu vezana čitava potrošačka područja. Ovakva karakteristika -- (topološka) struktura podsistema distribucije, za razliku od petljaste strukture prenosne mreže, naziva se radijalnom. Ova mreža je jeftinija od upetljane, ali zato nepouzdanija i nesigurnija. Ali, s druge strane, reperkusije kvarova u njoj su manje (mali broj individualnih potrošača ostaje bez napajanja), te se radijalna mreža pokazuje kao dobar kompromis u okviru ovog podsistema. Za podršku ovim razmatranjima daje se načelna karakteristika prikazana na slici 2.6a. Sa D je označen neki od kvantitativnih pokazatelja veličine potrošačkog područja (npr., snaga kojom se električna energija isporučuje tom području), a sa T "tolerantno vreme ostanka područja bez napajanja". Za prihvatanje paraboličnog oblika prikazanog na slici 2.6, nije uopšte nužno kvantifikovati veličine T i D. S te slike se može očitati sledeće načelo: "što je potrošačko područje veće, to je tolerantno vreme ostanka područja bez napajanja manje. “


(a) (b)

Slika 2.6 -- Načelna karakteristika relacije: veličina potrošačkog područja (D) -- tolerantno vreme ostanka područja bez napajanja (T).

Neka je potrošačko područje veličine Dkr ostalo bez napajanja usled kvara u distributivnoj mreži ("kr" -- kritično). Neka je sa Tkr označeno vreme potrebno za ponovno uspostavljanje napajanja potrošača, tj. vreme za koje je potrebno otkloniti kvar. To vreme diktira načelna kriva prikazana na slici 2.6a. Značenje vrednosti Dkr glasi: to je veličina najvećeg potrošačkog područja -- "kritična veličina područja", za koje je Tkr još uvek tolerantno vreme ostanka bez napajanja. Ako se prihvati napred navedeno kvalitativno značenje karakteristike na slici 2.6a, tada se, bez obzira na njen kvantitativni značaj, imajući u vidu vrednost Dkr , kvalitativno mogu razmotriti sledeće dve situacije (slika 2.6a):

; 1.1 krDD < (2.9) 2. D Dkr2 ≥ , (2.10)

pri čemu su sa D1 i D2 označene veličine područja koja su ostala bez napajanja. U obe situacije se kvar može otkloniti, odnosno napajanje ponovo uspostaviti, za isto vreme Tkr . U prvoj situaciji, vreme potrebno da se kvar sanira (Tkr), tj. da se ponovo uspostavi napajanje razmatranog područja, tolerantno je -- razmatrana tačka se nalazi ispod krive. U drugoj situaciji ono nije tolerantno, tj. saglasno s kriterijumom (načelom) iskazanim karakteristikom na slici 2.6a, razmatrano područje je suviše veliko da bi se tolerisalo da ono tako dugo (Tkr) bude bez napajanja -- razmatrana tačka je iznad krive. Zbog toga, distributivne mreže treba graditi tako da se vremena potrebna za popravku kvarova (uspostavljanje napajanja posle kvara) u njima smanjuju s približavanjem tih kvarova tački B -- njenom izvoru. (To je posledica radijalnosti distributivne mreže, tj., posledica činjenice da je broj neposrednih potrošača koji ostaju bez napajanja za kvar bliži izvoru -- veći.) Načelo demonstrirano krivom na slici 2.6a, nije teško generalizovati i na prenosne mreže. Naime, za kvarove već u tački B -- izvoru distributivne mreže (i svakako u tačkama dublje u prenosnoj mreži), broj potrošača koji bi ostajali bez napajanja tako je "veliki" da se ti kvarovi moraju sanirati praktično "odmah". A to "odmah" je ekvivalentno s obezbeñenjem sigurnosti tipa (n-1), tj. jednostruki kvar u prenosu koji je siguran saglasno s tim kriterijumom, ne remeti normalno napajanje potrošača sistema. Teorijski, za potrošačka područja priključena u tačkama B, Tkr=0. U vezi s napred obrañenom relacijom izmeñu veličine potrošačkog područja i tolerantnog vremena za njegovo ostajanje bez napajanja, potrebno je elaborirati još jedan


važan momenat. On se odnosi na činjenicu da realizacija svakog (energetskog, tehničkog,...) sistema, pa i elektroenergetskog, mora biti ekonomski zasnovana. Odnosno, karakteristika prikazana na slici 2.6a, za razmatrano potrošačko područje, mora da se ustanovi na osnovu ekonomskih kategorija. U vezi s tim, na slici 2.6b prikazane su dve takve karakteristike -- 1 i 2. Neka se uoči prva od njih (1). Saglasno s njom, tolerantno vreme da potrošačko područje Dkr ostane bez napajanja iznosi Tkr1. Za to vreme (vreme otklanjanja kvara), potrošači trpe štetu -- materijalnu, zbog zaustavljanja procesa proizvodnje, "štetu" zbog smanjenog komfora ili remećenja uobičajenih životnih aktivnosti ljudi, itd. Otud potreba da se vreme ostajanja bez napajanja (Tkr1) smanji. To se formalno može učiniti spuštanjem karakteristike na slici 2.6b, iz pozicije 1 u poziciju 2. Suštinski se to može učiniti boljom, dakle i skupljom opremom za identifikaciju i otklanjanje kvarova, povećanjem (dakle i poskupljenjem) ekipa montera koji otklanjaju kvarove, itd. Time se kritično vreme ostanka područja Dkr bez napajanja smanjuje na Tkr2. Pri tom, smanjenje štete koja se trpi usled ostanka bez napajanja, praćeno je povećanjem cene distributivne mreže (njenih investicionih i eksploatacionih troškova). Ovo razmatranje očigledno ukazuje na to da postoji jedinstvena -- "optimalna" karakteristika veličina područja -- tolerantno vreme, koja se može izvesti na osnovu ekonomskih kategorija. Dakle, podsistem distribucije, zajedno s podsistemom neposredne potrošnje u elektroenergetskom sistemu čine podsistem potrošnje. Tako, sabirnice B (slika 2.5b) sada predstavljaju sabirnice potrošnje -- potrošačke sabirnice. Na njih se priključuje distributivna mreža, na čijim su krajevima individualni potrošači. Oni se za distributivnu mrežu priključuju u tačkama C -- brojila električne energije (slika 2.3c). Na osnovu dosadašnih izlaganja, struktura savremenih elektroenergetskih sistema u vidu četiri podsistema, s osnovnim elementima po podsistemima, prikazana je na slici 2.7. Za nju važi:

• Podsistem proizvodnje čine elektrane, koje se na podsistem prenosa priključuju preko generatorskih sabirnica, tj. sabirnica elektrana A.

• Podsistem prenosa čini (upetljana) prenosna mreža, koja se priključuje na generatorske sabirnice A, do potrošačkih sabirnica B.

• Podsistem distribucije čini distributivna mreža, koja se priključuje na potrošačke sabirnice B, do tačaka C na koje se priključuju individualni potrošači.

• Podsistem neposredne potrošnje čine individualni potrošači svih distributivnih mreža razmatranog elektroenergetskog sistema, koji se priključuju u tačkama C.


Slika 2.7 -- Struktura savremenih elektroenergetskih sistema.

Podela elektroenergetskih sistema prikazana na slici 2.7 tehničke je prirode. Administrativna podela je često drugačija. Ona se nalazi negde izmeñu sledeće dve situacije: 1 -- ceo elektroenergetski sistem je obuhvaćen istim preduzećem (aktuelna situacija Jugoslovenskog elektroenergetskog sistema) i 2 -- svaki podsistem je podeljen u više preduzeća [npr., jedno ili više preduzeća za proizvodnju (rudnici i elektrane), jedno ili više preduzeća za prenos i više distributivnih preduzeća].

2.2.2 Osnovna opredeljenja i koncepcija elektroenergetskih sistema

Raspolažući s globalnom strukturom elektroenergetskih sistema, koja je logički razvijena u prethodnoj tački, ovde se utvrñuju osnovni koncepti i osnovni konstitutivni elementi savremenih elektroenergetskih sistema. Osnovni koncepti će biti utvrñeni na osnovu sledećih opredeljenja: 1 -- elektroenergetski sistem jednosmernog (jednosmeran elektroenergetski sistem) ili naizmeničnog napona i struje (naizmeničan elektroenergetski sistem); 2 -- Ako je naizmenični, tada -- monofazni ili više(tro)fazni elektroenergetski sistem, 3 -- veličina učestanosti i 4 -- veličina napona (i struja).

Prvo opredeljenje: jednosmeran ili naizmeničan elektroenergetski sistem

Na ovom mestu će biti samo iniciran odgovor na pitanje jednosmeran ili naizmeničan elektroenergetski sistem. Tek će kod drugog opredeljenja (monofazni ili trofazni elektroenergetski sistem) biti dat definitivan odgovor na to pitanje.


Zahtevi za ekonomičnim elektroenergetskim sistemom (korišćenje jeftinih energetskih oblika koji su udaljeni desetine, pa i stotine kilometara od potrošača), implicirali su ideju o podsistemu prenosa električne energije. Električna energija se od proizvoñača do potrošača prenosi "elektroenergetskim vodovima" (skup od najmanje dva provodnika, od bakra ili aluminijuma). Nezavisno od toga šta se prenosi (električna energija, ili ma koji drugi energetski oblik, odnosno ma koji materijal, generalno), nužno je da se pri prenosu ne gubi, odnosno da se na minimum svede gubitak onoga što se prenosi. Kada je električna energija u pitanju, tada je reč o prenosu napona i energije. (Potrošač se jedino može staviti u stanje potrošnje ako se na njega dovede napon; tada se na njemu realizuje električna energija proizvedena u udaljenoj elektrani.) Prema odgovoru na postavljeno pitanje opredeljenja (jednosmeran ili naizmeničan elektroenergetski sistem) ide se posredno, preko zahteva (za naponom) individualnih potrošača -- korisnika električne energije. Individualni potrošači (npr. domaćinstva) sastoje se od električnih aparata za realizaciju (korišćenje) električne energije (npr. na nekom grejaču -- šporetu, TA peći, motoru itd.). Načelno, elektroenergetski sadržaj E se može realizovati saglasno sa sledećom relacijom:

E U I t P U I= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ . (2.11)

pri čemu su sa U i I označeni konstantni (zasada jednosmerni) napon i struja, a sa t vreme realizacije električne energije. Imajući u vidu relaciju (2.11), može se otvoriti pitanje veličine napona i struje s kojima treba realizovati zahtevanu električnu energiju. Odnosno, za koji napon i struju treba izgraditi ureñaj za realizaciju razmatrane električne energije E u vremenu t? na izabranom električnom aparatu. Očigledno je da pritom postoji sledeća sloboda izbora: 1 -- "veliki" napon i "mala" struja i obrnuto 2 -- "mali" napon i "velika" struja. Ako se poñe s velikim naponom (i malom strujom), tada se u električne aparate moraju ulagati (novčana) sredstva za konstrukciju takve njihove električne izolacije (napona), koja će ih načiniti bezbednim za korišćenje. Mala struja svakako smanjuje ulaganje u provodnike s kojima se dovodi električna energija do aparata i provodnike (medijum) kroz koje se uspostavlja struja prilikom realizacije električne energije. Na osnovu toga se mogu ustanoviti dve apsurdne krajnosti: 1 -- podizanjem napona se svakako smanjuju ova druga ulaganja (u provodnike), ali zato, prevazilaženjem vrednosti od npr. 1000 V za napon, normalna upotreba električnih aparata (npr. šporeta, mlina za kafu itd.) postaje besmislena, sve i da se ulaganjem "ogromnih" sredstava u izolaciju električnih aparata, oni načine "bezbednim" za korisnike. Takvi se ureñaji, ako ništa drugo, ne bi prihvatili iz psiholoških razloga. S druge strane, smanjujući napon električnih ureñaja (dakle pojeftinjujući ih s aspekta izolacije), ispod nekih vrednosti napona, potrebna struja bi tako porasla da bi postalo besmisleno dovoditi je do ureñaja i s njom realizovati zahtevani energetski sadržaj. Npr., ako se s naponom od desetak volti (koji je "apsolutno" bezbedan za korisnike električnih aparata), želi realizovati električna energija snagom od dvadesetak kilovata (npr. u protočnim bojlerima u domaćinstvima), tada bi do električnih aparata bilo potrebno dovesti i u njima uspostaviti struju od oko dve hiljade ampera. Ako se standardnim bakarnim provodnicima (onima u kućnim instalacijama), zbog njihovog grejanja usled Jaule-ovog efekta, može prenositi električna energija strujom od oko desetak ampera po kvadratnom milimetru preseka provodnika, tada je za realizaciju


energije od dvadeset kilovata potreban par bakarnih provodnika preseka od po dvesta kvadratnih milimetara, što čini situaciju apsurdnom (svaki provodnik bi trebao da bude po šesnaestak milimetara u prečniku). Dakle, na osnovu tih razmatranja očigledno je da, unutar napred pomenute dve apsurdne situacije, postoji situacija koja je "optimalna" s aspekta cene električnih aparata koji su u "dovoljnoj meri" bezbedni po korisnika. Ta situacija je danas nañena na nivou napona izmeñu 110 do 240 V38, za domaćinstva, zanatske radnje, sitnu industriju itd., a kada su u pitanju veći industrijski pogoni, tada se ide i na napone do nekoliko kilovolti (tamo je reč o ureñajima s kojima su u kontaktu profesionalci, odnosno koji su (ureñaji) "električki udaljeni" od korisnika. ) Dakle, za potrebe potrošača nužno je isporučivati električnu energiju s naponom od 110 do 240 V (odnosno nekoliko kilovolti, kada su u pitanju industrijski pogoni, u kojima kontakt s električnim ureñajima imaju samo profesionalni električari). Otud ideja da se s tim naponom električna energija proizvodi i prenosi do potrošača. S obzirom da je napred bilo prilično misaonih spekulacija u vezi s kvantifikacijom električnih ureñaja, to će se o smislu ove ideje (prenos i proizvodnja električne energije s naponom potrošača) ovde suditi na osnovu kvantitativnih pokazatelja iskazanih u zadatku koji sledi. U vezi s zadatkom je potrebno imati u vidu napred pomenutu težnju da prenos napona i električne energije mora biti takav da se tim činom ne sme izgubiti ono što se prenosi (napon i energija), odnosno da gubici prilikom prenosa mogu da se tolerišu.

* * * * * * * * * * * *

ZADATAK

Neka se razmatra par bakarnih provodnika okruglog preseka ("dvožični vod"), prikazan na slici Z.1. Neka se tim provodnicima prenosi električna energija jednosmerne struje i napona, snagom od 10 kW, na rastojanju od 5 km, pod naponom 220 V. (Zadatak se može raditi i za naizmenične veličine, ali bi tada bilo nužno uvrstiti i induktivnost konture i kapacitivnost koju čine razmatrana dva provodnika. Kvalitativni zaključci koji bi se izveli ostali bi isti, ali bi se proračuni povećali, što bi odvuklo pažnju od problema koji se razmatra.) Potrebno je: a. Naći prečnik bakarnih provodnika tako da se prilikom prenosa električne energije ne

gubi niti na naponu niti na energiji više od 10%. Kolika je struja provodnika? b. S kojim bi naponom trebalo prenositi istim provodnicima istu snagu, a da se pri tom

ne gubi više od 1% napona i električne energije? Kolika je struja u provodnicima? c. Jedna od alternativa za rešenje prethodnog dela zadatka, da se gubici zadrže na

zadatom nivou od 1%, sastoji se od zadržavanja napona prenosa na 220 V, ali s povećanjem preseka provodnika. Koliki bi presek provodnika bio potreban u ovom slučaju? Kolika je struja provodnika?

38U Jugoslaviji je taj napon 220 V. To je fazni napon unutar trofaznog napona 3x380 V. Ideja za perspektivu je da se preñe na napon od 230 V, odnosno na 3x400 V.


Slika Z.1 -- Dvožični vod.

Dakle, ako je u prvom delu (a) zadatka ustanovljena osnovna situacija problema, tada se u preostala dva dela (b i c) razmatraju dve varijante redukcije gubitaka u prenosu napona i električne energije. Upravo veličina tih gubitaka i njihova zavisnost od napona prenosa i preseka provodnika osnovni su momenti razmatranja koja slede. Promena (gubici) -- "pad" napona i "gubici snage" na vodu definišu se na sledeći način:

∆

∆

∆

∆

U U U R I RPU

P P P R I RP

U

= − = ⋅ = ⋅

= − = ⋅ = ⋅

1 21

1

1 22 1

1

2

,

,

(Z.1)

Otpornost voda (oba provodnika) iznosi:

[ ] [ ][ ][ ]Rl

s

l

dΩ Ω= =ρ

πρcm

m

m

2 4 22 2 , (Z.2)

odnosno:

[ ]Rd d

Ω = ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅− −41724 10

10 102196 10

183

24

2π. . ,

(Z.3)

pri čemu je sa s označena površina, a sa d prečnik kružnog preseka provodnika. Ako se pad napona i gubici snage na vodu iskažu u procentima:

∆∆

∆∆

uU

UR

P

U

lS

P

U

l

d

P

U

pP

PR

P

U

lS

P

U

l

d

P

U

% ,

% ,

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1

1

12

1

12 2

1

12

1

1

12

1

12 2

1

12

100 1002

1004 2

100

100 1002

1004 2

100

ρπρ

ρπρ

(Z.4)

onda se može ustanoviti njihova jednakost.

Na osnovu relacije (Z.4) mogu se ustanoviti sledeće fundamentalne konstatacije:


FUNDAMENTALNE KONSTATACIJE

1. Gubici napona i snage (energije) direktno opadaju s povećanjem površine preseka

provodnika, ili s kvadratom njegovog (polu)prečnika, odnosno s količinom

materijala provodnika. 2. Gubici napona i snage (energije) direktno se povećavaju s povećanjem snage

prenosa električne energije. 3. Gubici napona i snage (energije) direktno se povećavaju s povećanjem dužine

prenosa električne energije. 4. Gubici napona i snage (energije) direktno opadaju s kvadratom povećanja napona

prenosa električne energije.

Nakon ovih konstatacija može se prići rešavanju sva tri dela zadatka.

Rešenje dela a

Saglasno sa (Z.4) i sa zahtevom zadatka u delu a, ima se:

∆ ∆u p% % %.= = 10 (Z.5)

Na osnovu (Z.4), prečnik provodnika i struja u njima respektivno iznose:

d

l

u

P

U= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 21001

12π

ρ∆ [%]

, (Z.6)

odnosno:

d m= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ = ⋅ =− −41724 10

10 1010

10 10220

100 213 10 21383 3

22

π. . . .mm (Z.7)

IP

U= =

⋅=1

1

310 10220

4545. .A (Z.8)

U ovoj situaciji, na drugoj strani voda (strani 2) imaju se sledeći napon i snaga:

U U VP P kW

2 1

2 1

0 9 1980 9 9

= == =

. ,. , (Z.9)

što je ustanovljeno na osnovu zadatih gubitaka od 10%. Rezultati se mogu proveriti na sledeći način:

( )

R = ⋅⋅

= ⋅ =−

−2196 10

1

213 10

219645369

10 04844

3 22.

.

..

. ,Ω (Z.10)

∆U R I U= ⋅ = ⋅ = ≈ ⇒ = − =0484 4545 2199 22 220 22 1982. . . ,V V (Z.11a) ∆P R I P= ⋅ = ⋅ = ≈ ⇒ = − =2 2

20484 4545 9998 1 10 1 9. . . .W kW kW (Z.11b)

S ovim je završeno rešenje dela a zadatka.

Rešenje dela b

U ovom delu zadatka obrañuje se jedna alternativa za redukciju gubitaka prilikom prenosa napona i energije. Ona je zasnovana na povećanju napona prenosa.


Na osnovu (Z.4), za napon na početku voda, s kojim bi gubici, odnosno pad napona iznosio ∆u[%], može se pisati:

Ul

uP

d112

4 2100= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

πρ

∆ [%]. (Z.12)

Ako pad napona, saglasno sa zahtevom zadatka u delu b, treba da iznosi 1%, tada:

( )

U14

3

3 22196 1010 10

213 10100 6957 06957= ⋅

⋅

⋅⋅ = =−

−.

.. . ,V kV (Z.13)

a struja u provodnicima voda iznosi:

IP

U= =

⋅=1

1

310 106957

14 37.

. .A (Z.14)

Pod napred izračunatim naponom (Z.13) i s izračunatom strujom (Z.14), pad napona i gubici snage (energije) pri prenosu 10 kW, iznosili bi samo 1%:

∆U R I= ⋅ = ⋅ =0484 14 37 6955. . . ,V (Z.15a)

∆P R I= ⋅ = ⋅ = ≈2 20 484 14 37 99 94 100. . . .W (Z.15b)

Iz delova a i b zadatka očigledno je da se s povećanjem napona prenosa, značajno redukuju gubici napona i snage (energije) prenosa (četvrta konstatacija). Odatle se nameće ideja za prenosom veće energije na veća rastojanja, s većim naponom. Alternativa toj ideji je da se gubici redukuju povećanjem količine materijala ugrañenog u prenosne puteve (prva konstatacija). Ona je obrañena u sledećem delu zadatka.

Rešenje dela c

Prečnik i površina preseka provodnika s kojim bi se gubici redukovali na 1% (∆u=∆p=1%), saglasno sa (Z.6), iznose:

d = ⋅ ⋅⋅

⋅ = =−2196 1010 10

220100 00673 67 34

3

2. . . ,m mm (Z.16a)

s d= = ⋅ = =2 2 2 24 00673 4 00035573 3557 3π π/ . / . . .m mm (Z.16b)

Dobijeni presek (količina materijala) služi za prenos svega 10 kW (snaga jednog uobičajenog šporeta za domaćinstvo) na rastojanju od svega 5 km. Kako je u pitanju mala snaga i mala udaljenost, tako velika količina materijala je svakako neprihvatljiva. (Praksa govori o potrebi za prenosom stotina MW na udaljenosti i od više stotina kilometara). Struja provodnika iznosi:

IPU

= =⋅

=1

1

310 10220

4545. ,A (Z.17)

a otpor provodnika:

R = 00484. ,Ω (Z.18)

što je deset puta manje nego u delu zadatka pod a (deset puta povećan presek). S napred izračunatim presekom provodnika (Z.16b), pod naponom od 220 V, pad napona i gubici snage (energije), iznosili bi 1%:


∆U R I= ⋅ = ⋅ = ≈00484 4545 2199 2 2. . . . ,V (Z.19a)

∆P R I= ⋅ = ⋅ = ≈2 200484 4545 99 98 100. . . .W (Z.19b)

Time je rešenje postavljenog zadatka završeno.

* * * * * * * * * * * *

Na osnovu prethodnog zadatka se, dakle, može utvrditi da ideja o proizvodnji i prenosu električne energije pod naponom potrošača, naročito na veća rastojanja, nije praktično svrsishodna s obzirom da bi se pri tom zahtevale apsurdno velike količine materijala za provodnike (bakra, aluminijuma). Čak i kada bi materijal provodnika bio jeftin, teško je zamisliti konstrukciju prenosa električne energije s provodnicima prečnika veličine, npr. jednog metra, na dužini od nekoliko stotina kilometara. Na osnovu toga, veći napon predstavlja definitivno opredeljenje današnjice za prenos električne energije. Takvo opredeljenje implicira odgovarajuću koncepciju elektroenergetskog sistema:

1. Električnu energiju proizvoditi s naponom koji je ekonomičan u smislu da odgovarajući generatori, u kontekstu celog sistema budu prihvatljivo jeftini.

2. Transformisati električnu energiju s generatorskog napona na dovoljno visoku vrednost, tako da se prilikom prenosa gubici napona i električne energije svedu na minimum (tj., na prihvatljivu vrednost, opet u kontekstu celog sistema).

3. "Ispred" potrošača napon električne energije transformisati na vrednost koju oni zahtevaju.

Uobičajeni naponi neposrednih potrošača odreñeni su kompromisima izmeñu "malih" napona (odnosno "velikih" struja) i "velikih" napona (odnosno "malih" struja), pri čemu je ova druga alternativa omeñena, osim besmisleno velikim ulaganjima u izolaciju električnih aparata, i ipak postojećom verovatnoćom dolaska korisnika aparata pod "veliki" napon. Taj napon je nañen na nivou od 110 do 240 V39, za najveći broj neposrednih potrošača, odnosno na nivou od nekoliko kV (npr. 6 kV za napajanje velikih motora u industriiji). Kada su u pitanju generatori, s njima je neposredni kontakt ljudi vrlo redak, naročito kada su pod naponom, a ako tog kontakta ima, tada se radi o profesionalnim električarima. To je razlog da su naponi s kojima se proizvodi električna energija danas na nivou 10 do 20 kV. Dakle, (unutrašnja) transformacija električne energije s jednog napona na drugi, ako je već ustanovljena potreba za visokim naponom njenog prenosa, nužna je bar na nivou prenos/potrošnja. Ekonomski pokazatelji i dugogodišnja praksa pokazuju da je nužna i transformacija na nivou proizvodnja/prenos, s obzirom da naponi generatora, ekonomski gledano s aspekta sistema, nisu pogodni za prenos danas uobičajenih količina energije, na danas uobičajena rastojanja (oni su prilično mali -- 10 do 20 kV, kako je napred napomenuto). Ideja za takvu varijantu elektroenergetskog sistema je, u najednostavnijem obliku, prikazana na slici 2.8.

39Efektivna vrednost naizmeniånog napona.


Ureñaji za unutrašnju transformaciju električne energije (s jednog na drugi napon) jesu transformatori. U vreme kada je ustanovljavan naizmenični elektroenergetski sistem raspolagalo se s jeftinim transformatorima samo za električnu energiju naizmeničnog, ali ne i jednosmernog napona (Tesli je bio na raspolaganu jeftin Gaulard i Gibbs-ov transformator). I danas, iako se raspolaže s tehničkim rešenjima za transformaciju električne energije jednosmernog napona, oni, s aspekta cene, nisu nikako prihvatljivi za masovno korišćenje, odnosno, ta rešenja ni izbliza ne nagoveštavaju pomisao da se elektroenergetika vraća prema jednosmernim naponima i strujama (a da se pri tom i ne pominju ostali aspekti električne energije naizmeničnog napona, npr. asinhroni motor u poreñenju s jednosmernim motorom u masovnoj upotrebi, o čemu će biti reči kasnije). Dakle, raspolažući s transformatorom električne energije naizmeničnog napona, kao prihvatljivim tehničkim rešenjem (u ekonomskom smislu), logički se može inicirati ideja o elektroenergetskom sistemu naizmeničnog, a ne jednosmernog napona i struje. Taj ureñaj -- (elektro)energetski transformator za naizmenični napon i struju (električnu energiju) -- jedan je od dva ključna razloga za ustanovljavanje naizmeničnog, a ne jednosmernog elektroenergetskog sistema, kao globalno opredeljenje u savremenoj elektroenergetici. Drugi krucijalan razlog (drugi u logičkom, a ne u kvalitativnom smislu), sadržan je u Teslinoj ideji o obrtnom magnetnom polju (o jeftinom i pouzdanom motoru naizmenične struje -- asinhronom motoru) i trofaznom prenosu (jeftiniji od monofaznog). Odgovarajuća razmatranja slede. Opisano opredeljenje (naizmenična umesto jednosmerne elektroenergetike) nameće dva pitanja: 1 -- pitanje učestanosti i 2 -- pitanje napona za prenos i distribuciju električne energije. Odgovori na ova dva pitanja se odlažu posle razmatranja drugog od dva najavljena opredeljenja -- monofazna ili poli(tro)fazna naizmenična elektroenergetika.

Slika 2.8 -- Ideja savremenih naizmeničnih elektroenergetskih sistema.

Drugo opredeljenje: monofazna ili poli(tro)fazna elektroenergetika

Drugo opredeljenje je vezano za pitanje: monofazni ili poli(tro)fazni elektroenergetski sistem. Osnovni argument za izbor poli(tro)faznog elektroenergetskog sistema je Teslino obrtno elektromagnetno polje. To polje je temelj jeftinim i pouzdanim potrošačima električne energije (asinhronim motorima), kao i prepolovljena cena prenosa električne energije (u materijalu za prenosne puteve). Teslino elektromagnetno polje i Teslin naizmenični motor, biće opisani koristeći se analogijom izmeñu jednog sistema prirodnih magneta i odgovarajućeg sistema s elektromagnetima. U tom smislu razmatra se sistem prirodnih magneta prikazan na slici 2.9a. Potkovičasti magnet naznačenog polariteta (NS -- "sever" i SS -- "jug") pogonjen je "vodnom turbinom". On se okreće sa 3000 o/min. Za njega je magnetski spregnut štapni


magnet odgovarajućeg polariteta Nr, Sr . Štapnim magnetom se pogoni "lift" ustanovljene težine (npr. 1 kg). Brzina obrtanja sistema n može se izraziti i preko učestanosti f (broja promena u sekundi), odnosno perioda T (trajanje jedne promene). Primer od 3000 o/min glasi:

n f T= = ⇒ = ⇒ = =3000 50 50 1 50 002o min o s Hz s s/ . . (2.12)

Sve dok težina lifta ne preñe onu "kritičnu veličinu" pri kojoj bi se raskinula magnetska sprega potkovičastog i štapnog magneta, dotle se energija vode transformiše u koristan oblik -- rad (mehaničku energiju) za podizanje lifta (strelica uz lift je na gore):

W WH O L2= (gubici nisu uzeti u obzir). (2.13)

Magnetno polje potkovičastog magneta postaje "obrtno magnetno polje", izazvano "mehaničkim uzrokom" (obrtanjem potkovičastog magneta). Položaji potkovičastog magneta (parovi različito šrafiranih pravougaonika i odgovarajućih bez šrafure), odnosno njegovog magnetnog polja (različito izvučene strelice -- puno, isprekidano i tačkasto), u tri trenutka svake periode, prikazani su na desnoj slici 2.9a (k je ma koji ceo broj).

(a)


(b)

(c)

Slika 2.9 -- Ideja Teslinog obrtnog elektromagnetnog polja.

Veliki nedostatak ovakvog sistema za transformaciju energije (vode u energiju lifta) je taj da se osnovni oblik i transformisani (upotrebni) oblik energije nalaze na istoj lokaciji. Dakle nema slobode proizvodnje energije tamo gde je ima i gde je jeftina i njeno korišćenje tamo gde je potrebna. Ta mana opstojava sve dok se ne nañe "dovoljno dugačka osovina" (prenosni put) kojom bi se sila sa štapnog magneta prenosila na dovoljno velika rastojanja. Ili pak, sve dok se ne nañe tehničko rešenje da se polje potkovičastog magneta "može preneti" na dovoljno velike udaljenosti, gde bi se iskoristilo za pokretanje izmaknutog štapnog magneta.


Upravo taj nedostatak razmatranog sistema (slika 2.9a) otklonio je Tesla, ustanovljavajući Teslino obrtno elektromagnetno polje. Ideja za generisanje tog polja prikazana je na slici 2.9b. Efekat obrtnog magnetnog polja potkovičastog magneta može se u potpunosti postići s tri potpuno jednaka namotaja a, b i c, prostorno simetrično smeštena -- po obimu kruga i zakrenuta jedan u odnosu na druga dva za po 120º. Ta konstelacija tri namotaja predstavlja "stator" razmatrane mašine. Kroz tri namotaja uspostavljene su naizmenične struje, jednakih modula i fazno pomerene kao na slici 2.9c. Dakle, te struje treba inicirati generatorima čija je učestanost jednaka željenoj učestanosti struja, s naponima meñusobno jednakih modula, i faznim stavovima čije razlike korespondiraju razlikama faznih stavova struja u namotajima (i generatorima). Takve tri naizmenične (prostoperiodične) veličine jednakih modula i jednakih sukcesivnih razlika faznih stavova) čine trojku simetričnih veličina (napona, struja,...). Radi realizacije situacije koja je potpuno analogna onoj na slici 2.9a, neka je učestanost razmatranih prostoperiodičnih veličina 50 Hz (T=0.02 s = 20 ms). Pošto je za početni trenutak za razmatranje situacije usvojen momenat kada je struja u namotaju a maksimalna, tada je elektromagnetno polje koje je rezultat struja u sva tri namotaja, prikazano kao zbir dve pune strelice usmerene "nadole" na desnoj slici 2.9b (t=0+kT). Prva strelica predstavlja polje koje je posledica struje u namotaju a, a druga strelica (istog pravca i smera) je rezultat (vektorskog) zbira polja koja su posledica struja u namotajima b i c (male pune strelice okrenute desno-dole i levo-dole na istoj slici. Ova situacija u potpunosti korespondira situaciji (t=0+kT) kod magnetnog sistema (slika 2.9a). Analogno se izvode situacije za trenutke T/3+kT (isprekidane strelice) i 2T/3+kT (tačkasto izvučene strelice). Osim toga, nije teško utvrditi rezultat delovanja struja u sva tri namotaja, u ma kom trenutku: rezultantno polje situacije sa slike 2.9b u potpunosti će korespondirati (po položaju) situaciji sa slike 2.9a; njegova veličina (modul) biće uvek ista. Time je obrtno polje koje je generisano mehaničkim putem saglasno sa slikom 2.9a, u varijanti slike 2.9b generisano je elektromagnetski. To je Teslino obrtno elektromagnetno polje. Ako se sada tri kalema postave na lokaciju na kojoj je potrebno "podizati lift", a sva tri generatora na lokaciju gde ima oblika energije pogodnih za transformaciju u električnu energiju, pa povezivanjem svakog generatora s odgovarajućim kalemom parom provodnika, tada je napred opisani nedostatak "dovoljno dugačke osovine" sistema prikazanog na slici 2.9a u potpunosti otklonjen. Dakle, taj nedostatak je radikalno otklonjen insertovanjem jednog meñuoblika energije -- električne energije -- u razmatrani sistem. Time je zamenjen potkovičasti magnet i osovina štapnog magneta. Ako se sada, štapni magnet zameni odgovarajućim elektromagnetom, pa ako ta zamena bude u varijanti Tesline ideje za realizaciju motora, tada taj sistem (tri kalema sa zamenjenim štapnim magnetom namotanim "rotorom") predstavlja Teslin asinhroni motor. Taj motor predstavlja fundament potrošnje električne energije. S njim su definitivno sa scene masovne upotrebe skinuti skupi i prilično nepouzdani (s aspekta kolektora i četkica) motori za jednosmernu struju. Time je definitivno naizmenični elektroenergetski sistem ustanovljen kao osnovna varijanta savremene elektroenergetike. Relativno retke primene jednosmernih motora, i još reñe primene prenosa električne energije jednosmernog napona i struje, samo su izuzeci koji potvrñuju pravilo -- bazičnost naizmenične elektroenergetike. Upravo ova razmatranja predstavljaju napred najavljeni


drugi logički razlog za ustanovljavanje naizmenične umesto jednosmerne elektroenergetike. Napred opisana situacija (slika 2.9b) prikazana je u drugoj varijanti na slici 2.10a (EE -- električna energija). U toj situaciji, neki od osnovnih oblika energije (voda, ugalj...) pretvara se pomoću tri generatora naizmeničnog napona i struje u električnu energiju (WG), ta energija se prenosi parovima provodnika do "udaljenih" namotaja nekog asinhronog motora i tamo transformiše u upotrebni oblik, npr., u mehaničku energiju za podizanje lifta -- WL . Treba napomenuti nužnost da parovi provodnika kojima se prenose naponi i električna energija budu takvi da struje namotaja (pa i samih provodnika) budu kao na slici 2.9c -- simetrični. Dakle, parovi provodnika za prenos napona i električne energije ne smeju da naruše jednakost modula struja i fazni pomeraj izmeñu struja sva tri namotaja. A ovi su pak inicirani odgovarajućim naponima generatora istog oblika (sinusnog s jednakim modulima). Na osnovu načelno prikazane situacije na slici 2.10a, logički se mogu razviti tri ideje: 1 -- ideja trofaznog prenosa, 2 -- ideja trofaznog potrošača i 3 -- ideja trofaznog generatora.

Prva ideja -- Trofazni prenos električne energije

Sistemom od šest (tri para) provodnika, prenosi se napon i električna energija do tri namotaja motora (slika 2.9b ili 2.9a). Dakle, u pitanju je šest istih provodnika, tj. materijal (bakar, aluminijum) u iznosu šestostruke količine materijala zahtevanog za jedan provodnik. Ako se tačke a', b' i c' sažmu u istu tačku n' i ako se to isto uradi s tačkama a", b" i c" u tačku n", tada se tri "povratna provodnika" (a' -- a"), (b' -- b") i (c' -- c") mogu zameniti jedinstvenim, čiji presek svakako nije veći od trostrukog preseka jednog od ta tri provodnika. (slika 2.10b). Ukupna struja kroz taj provodnik (n' - n") -- in -- u svakom trenutku jednaka je nuli. Tako, taj provodnik može biti i "loših" električnih karakteristika (veliko ρ). Dakle, on može biti znatno manjeg preseka od osnovnog provodnika. Često se taj provodnik zamenjuje zemljom. To se realizuje povezivanjem tačaka n' i n" sa zemljom, koristeći se uzemljivačima, tj. elektrodama pobijenim u zemlji. Tako, nezavisno od otpora na koji bi nailazila struja kroz zemlju (pošto povratne struje u razmatranom sistemu nema), sistem na slici 2.10b ima identičnu funkciju kao onaj na slici 2.9b, odnosno 2.10a. Njime se prenosi napon i električna energija u potpunoj saglasnosti s Teslinim idejama o obrtnom elektromagnetnom polju. Tako, ideju trofaznog prenosa -- trofaznog voda čine tri osnovna i četvrti -- povratni provodnik manjih dimenzija, odnosno zemlja. Osnovni provodnici a, b i c nazivaju se faznim provodnicima, a zajednički -- neutralnim. Često se zajedno koriste i četvrti provodnik i zemlja, kao povratni provodnik za tri fazna provodnika. Potreba za kvalitetnim četvrtim provodnikom trofaznog prenosa bila bi posledica zbira faznih struja koji bi eventualno bio različit od nule. Takve će situacije biti elaborirane u narednim izlaganjima. Dakle, trofazni prenos s tri, umesto sa šest provodnika, za prenos iste energije predstavlja prepolovljenje količine materijala (bakra ili aluminijuma) koji bi trebalo uložiti u monofazne prenosne puteve -- vodove.


Tako realizovana ušteda u materijalu potrebnom za prenos električne energije, predstavlja drugi argument (pored realizacije Teslinog elektromagnetnog obrtnog polja) u prilog poli(tro)faznoj elektroenergetici. Svakako, slični argumenti bi išli u prilog i dvofaznoj, četvorofaznoj, petofaznoj itd. elektroenergetici, ali trofazna predstavlja najekonomičnije rešenje. Iscrpna verifikacija te ekonomičnosti nije od presudnog značaja za ova razmatranja pošto je ovde od osnovnog interesa bila polifaznost, a ne konkretan broj faza. Ipak, nužno je istaći sledeće: u slučaju dvofazne elektroenergetike, nužan je treći (povratni) provodnik s 2 puta većim presekom od faznih (dokazati!); u slučaju četvoro, pet ili više fazne elektroenergetike, povratni provodnik ne bi bio nužan, ali bi se ureñaji komplikovali s obzirom na povećan broj faza. Polifazne sisteme i obrtno elektromagnetno polje ustanovio je Nikola Tesla 1883. i 1887. godine, respektivno. Teslino prvo polje je bilo dvofazno, generisano s dva generatora, čiji su naponi bili fazno pomereni za četvrtinu periode.

Druga ideja -- Trofazni potrošač električne energije

Meñu elementarnim potrošačima, po broju i snazi, dominiraju električni motori. Ako se štapni prirodni magnet sa slike 2.9b zameni odgovarajućim namotajem, i ako se još sva tri namotaja integrišu u isto kućište, onda se dobija ideja trofaznog motora (trofaznog potrošača), koji dominira u današnjem generisanju mehaničke snage, odnosno potrošnji električne energije. Njime je Tesla zamenio skuplje, ali i nepouzdanije motore jednosmerne struje (osetljiv kolektor i četkice). Na ovom mestu je nužno napomenuti da se gore pomenuti namotaji (stator) izvode na elektromagnetnom materijalu (magnetnom kolu) s ciljem da se generiše što veće elektromagnetno polje, tj. što jača magnetna sprega izmeñu elektromagnetnih polja statora i rotora, odnosno da se može realizovati što veća snaga mašine. Ostali potrošači nisu od interesa za tekuća razmatranja. Većina njih ne zahteva trofaznu električnu energiju, ali im ona kao takva nije nikakva smetnja. Potrošači (električni aparati ili njihove skupine) biće detaljnije razmotreni u delovima koji slede.

Treća ideja -- Trofazni generator električne energije

Konstruktivno, slično trofaznom motoru, sva tri generatora -- Ga, Gb i Gc (slika 2.9b), mogu se integrisati u jedinstvenu celinu -- trofazni generator (slika 2.10b). Ideja trofaznog generatora može se izraziti na sledeći način: Neka se razmatra situacija tri namotaja prikazana na slici 2.9b; neka se štapni prirodni magnet zameni s kotvom od gvožña, s namotajem kroz koji se propušta jednosmerna struja -- rotor; neka se uklone namotaji b i c, i neka se kotva okreće pogonjena nekom pogonskom mašinom, s 3000 o/min. Tada, ako se umesto generatora Ga, na kraj para provodnika priključi otpornost, tada će se na krajevima te otpornosti pojaviti naizmenični napon, a kroz otpornik naizmenična struja, odnosno na njemu će se realizovati električna energija u vidu toplote. Ta energija je rezultat uložene energije u pogonsku mašinu (npr., u parnu ili vodnu turbinu). Ako se sada u sistem vrate uklonjeni namotaji b i c, pa se, umesto odgovarajućih generatora, na krajeve parova provodnika priključe otpornosti kao u


slučaju zamene prvog generatora, tada se na ta tri otpornika pojavljuje trofazni napon, kojim bi se moglo generisati Teslino ektromagnetno obrtno polje umesto da se tim naponom napajaju razmatrani otpornici. Opisani sistem tri namotaja namotana simetrično na istom kućištu ("stator"), s kotvom kroz čiji je namotaj uspostavljena jednosmerna struja ("strujno -- magnetski pobuñen rotor"), čini ideju trofaznog generatora. Dakle, mašina koja je predstavljala ideju motora, kada je štapni magnet (ili elektromagnet) pokretao lift, sada predstavlja ideju generatora. Znači reč je o istoj mašini koja je jednom pokretana mehaničkom snagom (motor), a drugi put električnom snagom (generator). Tako, ideja generatora je praktično izvedena iz ideje trofaznog motora čiji se rotor pogoni. Otud i suštinska karakteristika električnih mašina: jedna te ista mašina može da radi i kao generator i kao motor. Ta njihova osobina je poznata kao reverzibilnost. Na osnovu mogućnosti da se jednostavno generiše Teslino obrtno elektromagnetno polje (ideja trofaznog generatora), iz čega sledi jednostavna transformacija električne energije u mehaničku (trofazni asinhroni motor -- druga ideja), kao i smanjenja za 50% količine materijala (bakra ili aluminijuma) trofaznog prenosa u odnosu na onaj koji bi bilo potrebno ugraditi u sistem za monofazni prenos, trofazni generator, trofazni vod i trofazni potrošač (asinhroni motor) tri su osnovna elementa savremenih elektroenergetskih sistema. Iz nužnosti da se napon i električna energija prenose visokim naponima, i transformator se pridružuje pomenutim osnovnim elementima.

Četvrta ideja -- Trofazni transformator

Opredeljenje za prenos visokim naponom i proizvodnju s naponima koje diktira ekonomija konstrukcije generatora, impliciraju proizvodnju, prenos i potrošnju električne energije trima, različitim vrstama napona. Veza ta tri naponska nivoa se, kako je već ustanovljeno, realizuje transfrormatorima za naizmenični napon (i struju). S obzirom da je već ustanovljen trofazni elektroenergetski sistem, to se i osnovna ideja transformatora generalizuje u ideju trofaznog transformatora. Ta se ideja, u osnovi može realizovati s tri monofazna transformatora, povezana prema slici 2.10c. Na njoj su u sistem priozvodnje, prenosa i potrošnje, insertovana dva trofazna transformatora (TR1 i TR2). Prvi služi za podizanje napona proizvodnje na napon prenosa, a drugi za spuštanje napona prenosa na napon potrošnje. Za razliku od trofaznog generatora, koji se u praksi uvek realizuje kao jedinstvena mašina (nikad kao tri nezavisne jedinice), trofazni transformatori se izvode ili kao tri monofazne jedinice, ili izgrañeni u istom kućištu, na zajedničkom elektromagnetnom (magnetnom) kolu. Opredeljenje za primenu jedne ili druge varijante problem je ekonomije generalno, ali ta razmatranja izlaze iz okvira ove knjige. Električni generatori i motori pripadaju kategoriji električnih mašina. To su ureñaji koji služe za transformaciju jednog oblika energije u drugi, npr. mehanička u električnu -- električni generatori, odnosno električne u mehaničku -- električni motori. Električni transformator nije mašina u napred opisanom smislu. Naime, njime se ne menja oblik energije, već samo kvalitet (napon i struja) jedne te iste -- električne energije. Dakle, njime se električna energija prenosi (na mala rastojanja, s jednog na drugi njegov kraj), s istovremenom promenom kvaliteta. Otud se transformatori u ovoj knjizi tretiraju kao elementi za prenos električne energije.


Saglasno s četiri obrañene ideje, praktično su odreñena četiri osnovna elementa trofaznih elektroenergetskih sistema: trofazni generator, trofazni transformator, trofazni vod i trofazni potrošač (slika 2.10d). Tako povezana ta četiri elementa predstavljaju najjednostavniji elektroenergetski sistem. Iz njega se sada može jednostavno razviti složen (realan) elektroenergetski sistem. To se čini razvijanjem sistema sa slike 2.10d dodavanjem novih osnovnih elemenata. U vezi s kreiranjem strukture složenih elektroenergetskih sistema, uvode se dve definicije koje slede.

(a)

(b)


(c)

(d)


(e)

Slika 2.10 -- Ideja trofazne proizvodnje, transformacije, prenosa i potrošnje električne energije: najjednostavniji -- a, b, c, d i "složen" elektroenergetski sistem -- e.

Definicija: "Trofazni čvorovi" su tačke gde se spajaju -- stiču dva ili više osnovnih elemenata elektroenergetskog sistema. Njih čine tri fazna čvora (a, b, c) i neutralni čvor n (≡ zemlja).

Definicija: Svaki osnovni element predstavlja "trofaznu granu" elektroenergetskog sistema. Njih ima dve vrste: "redne grane" -- vod, transformator (spajaju dva trofazna čvora) i "otočne grane" -- generator i potrošač [priključuju se otočno na elektroenergetski sistem, u smislu da kreću iz neutralne tačke (zemlje) i završavaju se u nekom od trofaznih čvorova elektroenergetskog sistema].

Učestanost u elektroenergetskom sistemu

Opredeljujući se za naizmeničnu elektroenergetiku, ostaje otvoreno pitanje učestanosti (treće od najavljenih opredeljenja). Da bi se ta veličina u potpunosti sagledala, nužno je tom problemu prići s dve strane: sa strane proizvodnje i potrošnje, kao i sa strane transformacije električne energije. S obzirom da je transformator logički prvi element naizmenične elektroenergetike, to se razmatranje učestanosti započinje upravo s tim elementom. Pritom, prvo se izlaže ideja transformatora. Neka se radi toga razmatra monofazni transformator prikazan na slici 2.11. Njime se naizmenična električna energija jednog napona (u1) transformiše u energiju drugog napona (u2). On se sastoji od dva namotaja s N1 i N2 navojaka, respektivno. Integritet transformatora, odnosno ta dva namotaja, fizički je obezbeñen magnetnim kolom.


Slika 2.11 -- Monofazni transformator.

S obzirom da se razmatra ideja transformatora, dakle kvalitet, to se otpornosti oba namotaja zanemaruju. Električni režimi oba namotaja okarakterisani su naizmeničnim naponima u1 i u2 i strujama i1 i i2, respektivno. Magnetni režim transformatora sastoji se od sledećih naizmeničnih flukseva: 1 -- zajednički fluks φ i 2 - fluksevi rasipanja prvog i drugog namotaja respektivno -- φ φγ γ1 2i . Na osnovu tih flukseva izvode se(definišu)

fluksevi namotaja (prvog i drugog): zajednički fluks i odgovarajući fluks rasipanja čine fluks namotaja. Fluks svakog namotaja (njegov izvod) merodavan je za ravnotežu napona tog namotaja (Drugi Kirchhoff-ov zakon), a zajedničkim fluksom se realizuje magnetna sprega oba namotaja. Ako se transformator želi staviti u funkciju (unutrašnje) transformacije električne energije, to se može učiniti i na način prikazan na slici 2.11, s dopunama u vidu isprekidanih linija. Električna energija proizvedena na generatoru (G), na jednom kraju, troši se na otpornosti (R), na drugom kraju transformatora. Ideja transformatora se sastoji od toga da se naponi u1 i u2 stave u relaciju preko brojeva navojaka N1 i N2. Naime, kada bi fluksevi rasipanja oba namotaja (φ φγ γ1 2i )

bili jednaki nuli, tj. kada bi oba namotaja prožimao isti fluks, tada bi za napone na oba kraja transformatora važila relacija:

U U N N1 2 1 2= . (2.14)

S tim bi se realizovala ideja transformatora da se električna energija transformiše po naponu (konzekventno i po struji). Naravno, ovo razmatranje je onoliko validno, koliko su rasipni fluksevi namotaja bliski nuli. Ti fluksevi se mogu učiniti biliskim nuli -- "malim", ako se magnetno kolo transformatora, osim kao fizički integrator, iskoristi i za obezbeñenje "jake" magnetske sprege namotaja; a to se može učiniti ako se ono načini od feromagnetnog materijala kvalitetnog u smislu velike magnetne provodnosti; a najjeftiniji feromagnetik je gvožñe. U slučaju magnetnog kola transformatora od gvožña, praktično celokupni fluks transformatora obuhvata oba namotaja, a fluksevi rasipanja su onoliko puta manji od zajedničkog fluksa, koliko je puta gvožñe bolji magnetni materijal od okoline transformatora (vazduh, ulje). Upravo su današnji elektroenergetski transformatori takvi -- s kvalitetnim gvožñem, i to s onoliko gvožña koliko je nužno da se zajednički fluks uspostavi, a da su pri tom rasipni fluksevi prihvatljivo mali. Takvo i toliko gvožñe transformatora, uz bakar nužan za namotaje, predodreñuju gabarite -- dimenzije i cenu današnjih elektroenergetskih transformatora. Da one nisu male, nije teško zaključiti na osnovu transformatorskih stanica koje se sreću svuda u i oko naselja.


Napred je dat minimalan opis transformatora dovoljan da se na njegovoj ideji započne s razmatranjem. Na ideji transformatora se ovde razmatra problem veličine učestanosti savremenih elektroenergetskih sistema. Matematički model kojim se opisuje transformator (slika 2.11), sa zanemarenim otpornostima i fluksevima rasipanja, sastoji se od dve relacije saglasne s drugim Kirchhoff-ovim zakonom za dve električne konture, kao i od jedne relacije za jednu magnetnu konturu:

u N d dtu N d dtN i N i m

1 1

2 2

1 1 2 2

00

− =− =+ = ℜ

φφ

φ

,,, (2.15)

pri čemu su naponi u, struje i, kao i fluks φ prostoperiodične (naizmenične) veličine. One se mogu prikazati funkcijama vremena sledećeg oblika:

( )x X ft x= +cos .2π θ (2.16)

pri čemu je sa f označena učestanost, s t vreme, s θx fazni stav, a s X amplituda naizmenične veličine. Sa ℜm označen je magnetni otpor (reluktansa) magnetnog kola transformatora. Relacije (2.15) predstavljaju matematički model razmatranog transformatora. Kada se takav transformator dovede s jedne strane pod napon u1, tada se na drugom njegovom kraju uspostavi napon u2 , odnosno transformator se optereti strujama i1 i i2. Ravnotežu tim naponima drže izvodi zajedničkog fluksa transformatora (jednom pomnožen sa N1, a drugi put sa N2). Taj fluks je posledica struja i1 i i2, ili preciznije --magnetopobudnih sila N1i1 i N2i2. Magnetni otpor magnetnog kola transformatora je mali (provodnost velika) s obzirom na pretpostavku o malim fluksevima rasipanja. Matematički model transformatora (2.15) može se protumačiti i na sledeći način: za doveden napon u1, zajednički naizmenični fluks mora biti toliki da njegov izvod pomnožen s brojem navojaka prvog namotaja bude jednak upravo tom naponu. Isto važi i za drugi namotaj. A struje u oba namotaja moraju biti tolike da se generiše upravo taj fluks [treća od relacija (2.15)]. Saglasno s relacijom (2.16), napon i fluks se mogu izraziti na sledeći način:

( )( )

u U ft

ft

u1 1 2

21

= +

= +

cos ,

cos .

π θ

φ π θφΦ (2.17)

Sada se prvoj relaciji matematičkog modela (2.15) može dati oblik:

( ) ( )U ft N f ftu1 12 2 21

cos sin ,π θ π π θφ+ = − +Φ (2.18)

odnosno:

( ) ( )U ft N f ftu1 12 2 2 21

cos cos / .π θ π π θ πφ+ = + +Φ (2.19)

Ova relacija predstavlja identitet u smislu da važi nezavisno od vremena t. U tom smislu sledi:

θ θ πφu12= + , (2.20)

U N f1 12= π Φ . (2.21)

U transformatoru koji je priključen na napon u1 (U1), s izabranom učestanošću f, potrebno je da se uspostavi fluks φ (amplitude Φ) saglasno s relacijom (2.21). Iz nje je


očigledno da ako se učestanost povećava, onda se ta relacija može realizovati s manjim fluksom. Na osnovu tog razmatranja je očigledno da s porastom učestanosti, veličina gvozdenog magnetnog kola (količina gvožña), potrebnog da se uspostavi zajednički fluks s fluksevima rasipanja koji se mogu tolerisati, dakle i cena transformatora, opada. Dakle, povećanjem učestanosti, jezgro transformatora se može smanjivati (teorijski) proizvoljno. (Pri tom, bakar tranformatora ostaje isti; on je odreñen strujama na oba kraja transformatora.). Obrnuto, za male učestanosti, za uspostavljanje velikih flukseva treba obezbediti veće (skuplje) jezgro. I definitivno, sa svoñenjem učestanosti na nulu (električna energija jednosmernog napona i struje), prestaje da bude moguća razmatrana transformacija električne energije. Dakle, kada se problemu učestanosti električne energije priñe s aspekta transformatora (prvog bazičnog elementa elektroenergetskog sistema), tada ona treba da je što veća. Sada je problem učestanosti elektroenergetskog sistema potrebno sagledati s aspekta proizvodnje i potrošnje. Prilikom razmatranja ideja električnih mašina (trofazni motori i generatori) pokazano je da učestanosti od 50 Hz odgovara brzina obrtanja od 3000 o/min (50 o/s). Povezanost učestanosti i brzine obrtanja mašina data je u tabeli 2.1.

Tabela 2.1 -- Korespondentni parovi učestanosti i brzine obrtanja.

f [Hz] 10 50 60 100

Ω [o/min] 600 3000 3600 6000

Ako je 1 o/s vezan za 1 Hz, tada je za proizvodnju električne energije s učestanošću od 50 do 60 Hz potrebno mehanički pogoniti generator s 3000 do 3600 o/min. Za veće učestanosti potrebno je praktično realizovati veće brzine, čime se jako zaoštrava problem primene današnjih materijala i konstrukcija. Veće brzine, reda veličine 10000 o/min, realizuju se u automobilskim i avionskim -- vrlo skupim motorima. Brzine preko 10000 o/min realizuju se u ureñajima vrlo male snage, npr. zubarski instrumenti. Može se definitivno konstatovati da opredeljenje za veličinu učestanosti mora biti zasnovano na kompromisu izmeñu težnje ka visokim učestanostima -- jeftinom transformatoru, s jedne strane, i mogućnosti da se električna energija ekonomično proizvodi i troši imajući u vidu savremene materijale za konstrukciju generatora i motora. Taj kompromis je nañen na nivou od 50 do 60 Hz. Učestanost u Jugoslaviji iznosi 50 Hz. Četvrto od najavljenih opredeljenja vezanih za savremenu elektroenergetiku odnosi se na napone za prenos i distribuciju električne energije.

Naponi u elektroenergetskom sistemu

U dosadašnjim izlaganjima konstatovane su sledeće činjenice:

• Radni naponi potrošača su: 110 do 240 V (uz retke izuzetke napona u industrijskim pogonima od nekoliko kilovolti);

• Radni naponi generatora su: 10 do 20 kV;


• Prenos (distribuciju) električne energije treba realizovati sa što višim naponom.

Kako su naponi potrošača i proizvoñača već odreñeni, ostaje još izbor veličine napona za prenos, odnosno distribuciju električne energije. Na osnovu zadatka, obrañenog na početku ove tačke, nužno se nameće zahtev za prenosom (i distribucijom) veće snage električne energije s većim naponom. Ako se izabrana snaga prenosi niskim naponom, uspostavljaju se velike struje. Tada, radi očuvanja napona i energije koji se prenose (odnosno radi smanjenja pada napona i Joule-ovih gubitaka na tolerantnu meru), potrebno je dosta skupog bakra, odnosno aluminijuma. S druge strane, prenos visokim naponom uzrokuje povećanje troškova za izolaciju elemenata za prenos (vodova, transformatora). Tako, i ovde je reč o traženju kompromisa, izmeñu troškova u sledeće dve krajnosti: 1 -- troškovi za bakar ili aluminijum, odnosno za konstrukciju vodova i transformatora s tako velikim količinama materijala, koji bi bili posledica prenosa sa suviše niskim naponima; 2 -- troškovi za izolaciju, odnosno za konstrukciju odgovarajućih vodova i transformatora, koji bi bili posledica suviše visokih napona. Danas nañeni kompromisi su prikazani u tabeli 2.2. U koloni MW naznačene su snage u [MW], a u koloni kV -- korespondentni (kompromisni -- "optimalni") naponi za prenos električne energije s tim snagama.

Tabela 2.140 -- Optimalni naponi trofaznog prenosa.41

MW 0.01 3 50 250 600 kV 0.22 20 90 225 400

Od kontinuma napona koji su na raspolaganju, izabran je dovoljan broj standardizovanih napona, od kojih se za prenos električne energije bira onaj koji je u razmatranim uslovima, odnosno za razmatranu snagu najbliži optimalnom. Jugoslovenski standardizovani naponi (do isprekidane vertikale) i najviši naponi za prenos u naizmeničnoj elektroenergetici dati su na slici 2.12.

Slika 2.12 -- Standardizovani naponi.

Niski napon 0.38 (0.22) kV je potrošački napon. Napon od 6 kV se ponegde koristi za napajanje nekih industrijskih potrošača. Naponi 10, 20, 35 i 110 kV spadaju u distributivne, dok su 220 i 400 kV prenosni naponi. (S naponom od 110 kV se teži da s prenosa preñe u distribuciju, pošto se već i u distributivnim mrežama radi o snagama reda

40R. Pelissier: Les réseaux d'energie electrique, Dunod, Paris, 1975. 41Naznačeni naponi su linijski -- meñufazni naponi.


50 MW -- tabela 2.1.) U Rusiji je realizovan prenos 750 kV, a u Italiji se eksperimentiše s naponom od 1000 kV. Na slici 2.13 globalno je prikazan koncept jugoslovenskih podsistema za proizvodnju i prenos električne energije (bivša SFRJ). U šemu su uključeni i interkonektivni vodovi prema susednim elektroenergetskim sistemima.

Slika 2.13 -- Globalni prikaz jugoslovenske prenosne mreže (bivša SFRJ).

Prenosna mreža je izvedena s dva napona: 220 i 400 kV. To je posledica tehničkog razvoja jugoslovenskog sistema. Neposredno posle drugog svetskog rata (kada su i potrebe za električnom energijom bile manje), prenosna mreža je bila 110 kV. Kako je


potrošnja (i proizvodnja) rasla, tako se nametnula potreba za uvoñenjem višeg napona prenosa -- 220 kV. Pri tome se mreža 110 kV nije gasila, već se nova 220 kV mreža na nju superponirala, tj. povezivala s njom transformatorima 220/110 kV/kV. Time je omogućen slobodan protok električne energije izmeñu obe mreže. Tako su mreža 110 i mreža 220 kV postale jedinstvena prenosna mreža. Kada se elektroenergetski sistem Jugoslavije tako razvio da se nametnula potreba za još višim naponima prenosa, tada je na mrežu 220 kV, preko transformatora 400/220 kV/kV, superponirana mreža 400 kV. Iz razloga sve većih potreba za energijom, mreža 110 kV se potiskuje u distribuciju. To je razlog što ona nije prikazana na slici 2.13. Na slici 2.13 su naznačene i elektroenergetske veze -- interkonektivni vodovi za naizmeničnu električnu energiju sistema (bivše) Jugoslavije sa susedima: Italija, Austrija, Albanija i Grčka. S ostalim susedima (Mañarska, Rumunija i Bugarska), direktne elektroenergetske veze se tek uspostavljaju. Kada je napred razmatran smisao transformatora, istaknute su dve njegove osnovne funkcije: podizanje napona proizvodnje na napon prenosa i spuštanje napona prenosa na napon potrošnje. Sa slike 2.13 je očigledna još jedna osnovna uloga transformatora: to je povezivanje -- interkonekcija dve mreže različitih naponskih nivoa istog sistema (iste države) ili različitih sistema. To su interkonektivni transformatori. Njih na toj slici ima samo u varijanti povezivanja dve mreže različitih naponskih nivoa. Podsistem potrošnje, kao skup više distributivnih mreža (D) -- podsistem distribucije, s odgovarajućim podsistemom neposredne potrošnje (L), na slici 2.13 je samo globalno naznačen. Podsistemi distribucije i neposredne potrošnje zajedno čine podsistem potrošnje. Jedna distributivna radijalna mreža s neposrednim potrošačima na krajevima radijalnih grana, prikazan je na slici 2.14. To je mreža kakvoj se u Jugoslaviji teži. Ona je bazirana na tri naponska nivoa: visoki (110 kV), srednji (10 ili 20 kV) i niski napon od 0.38 (0.22) kV. Njen opis glasi:

• Vodovima -- fiderima 110 kV, obilazi se potrošačko područje (retko ulazi u njega). • S vodova 110 kV električna energija se preuzima pomoću transformatora 110/20(10)

kV/kV, za odgovarajuće delove potrošačkog područja. Često se s ovih vodova, transformatorima 110/6 kV/kV, električna energija preuzima za potrebe većih industrijskih potrošača.

• Vodovima -- podfiderima 20 (10) kV električna energija se raspodeljuje (distribuira) po odgovarajućim delovima potrošačkih područja.

• S vodova 20(10) kV električna energija se preuzima pomoću transformatora 20(10)/0,4 kV/kV, za još manje delove potrošačkog područja.

• Konačno, vodovima 0.38 kV, električna energija se raspodeljuje po odgovarajućim još manjim delovima potrošačkog područja (npr. jedan vod za jednu ulicu u gradu).

• Ovim vodovima se "ide" od jednog individualnog potrošača do drugog, čime se električna energija definitivno isporučuje neposrednim potrošačima (npr. domaćinstvima).

Distributivne mreže se izvode vazdušnim (nadzemnim) i kablovskim vodovima. Prvi su jeftiniji od drugih. Pošto je njih teško, a ponekad i nemoguće graditi (naročito kada su u pitanju naponi 10, 20, 35 i 110 kV) u gušće naseljenim mestima (npr. gradovi), to se distribucija izvodi kablovski, u vidu čisto kablovskih mreža. Ako u distributivnoj mreži ima mogućnosti da se neke deonice izgrade jeftinijim nadzemnim vodovima, tada se ta mreža izvodi mešovitim vodovima (i kablovskim i nadzemnim). Čisto nadzemne


distributivne mreže se mogu graditi u manje naseljenim mestima, npr., u seoskim područjima.

Slika 2.1442 -- Jugoslovenska distributivna (radijalna) mreža; perspektiva s tri nivoa (110 kV, 20(10) kV i 0.38 kV).

Na slici 2.14 je prikazana najjednostavnija radijalna struktura. U njoj nema grananja fidera, što naravno nije uobičajena praksa u današnjim distributivnim mrežama. Odstupanja od ovakve tronaponske, čisto radijalne koncepcije distributivnih mreža su kod nas još uvek česta. U distributivnoj mreži ima čak i proizvodnje (generatori kojima su pridružene isprekidane strelice). Na naponskom nivou 110 kV to su često termoelektrane (TE) -- toplane (TO), npr. TE -- TO Novi Sad, Zrenjanin, itd.; na nižim naponskim nivoima to su industrijske elektrane. Pored toga, vodovi 110 kV često nisu radijalni, već su još uvek prenosnog karaktera -- upetljani [npr. jedan od 110 kV vodova sa slike 2.14 je i na njegovom drugom kraju priključen na neki od transformatora 400(220)/110 kV/kV]. Još jedno odstupanje se odnosi na četvrti naponski nivo -- 35 kV koji se često pojavljuje izmeñu nivoa 110 i 10 kV. U pitanju je starija četvoronaponska koncepcija distributivnih mreža: 110, 35, 10, 0.38 kV, koja se napušta.

2.2.3 Naizmenične veličine u elektroenergetici

Od svih režima elektroenergetskog sistema, najčešći i najduže zastupljeni su prostoperiodični režimi sinusnog (kosinusnog) tipa -- naizmenični režimi, ili režimi koji se mogu aproksimirati takvim režimima. Upravo takvi, trofazni režimi leže u osnovi Teslinih

42Naznačeni odnosi transformacije transformatora nisu dati potpuno precizno pošto to nije od interesa za razmatranja koja se sprovode. Npr., transformator koji povezuje mreže 110 i 20 kV je regulacioni, sa sledećim odnosom transformacije: (110±12x1.25)/21 kV/kV).


ideja na kojima je zasnovana današnja naizmenična elektroenergetika. Drugačiji režimi se imaju samo u kratkim vremenskim intervalima, npr. u uslovima kvara, tipa kratkih spojeva ili prekida faza, itd. Zato se u ovoj knjizi pod naizmeničnim veličinama podrazumevaju u vremenu prostoperiodične veličine sinusnog (cosinusnog) tipa. Cilj u ovom delu je da se, na osnovu izomorfizma (analogije) izmeñu matematičkih modela naizmeničnih režima elektroenergetskih sistema (diferencijalno-integralni opis) i algebre kompleksnih brojeva, za tretman naizmenične elektroenergetike uvede domen kompleksnih brojeva. Tim putem se stiže do ideje "reaktivne snage" naizmenične elekrične energije. Ta je snaga posebna dimenzija naizmenične elektroenergetike, koja kod drugih energetskih oblika nije ustanovljena. Sva razmatranja u ovom delu zasnovana su na sledećoj bazičnoj pretpostavci: elektroenergetski sistemi su linearna RLC kola. To znači da parametri tih kola (otpornosti -- R, induktivnosti -- L i kapacitivnosti -- C) ne zavise od struja i napona na njima.

Naizmenične veličine u vremenskom domenu

Pod naizmeničnim režimima se podrazumevaju režimi u kojima su sve veličine (struje, naponi, fluksevi,...) naizmenične. Jedna takva veličina prikazana je na slici 2.15. Ona se matematički može predstaviti na sledeći način:

( ) ( )[ ]x X t X f tm m= + = +cos cos ,ω θ π θ2 (2.22)

pri čemu su korišćene sledeće oznake: t -- vreme [s], Xm -- maksimalna vrednost (amplituda) naizmenične veličine [V, A,...], ω -- kružna učestanost [rad/s], (ω=2π/T=2πf, gde je T perioda, a f učestanost

naizmenične veličine), θ -- početna faza (fazni stav, ugao) naizmenične veličine [rad], t* -- vreme (t*<0) kada je funkcija (veličina) x bila u svom maksimumu koji je najbliži

koordinatnom početku (mada zbog periodičnosti funkcije to može biti trenutak u kome se uspostavio bilo koji maksimum).

Slika 2.15 -- Naizmenična veličina u vremenskom domenu.

Za t=t* ima se x=Xm, odnosno ωt*+θ=0. Odavde sledi da je θ ω= − t *, tj. θ>0. Pozitivna vrednost faznog stava θ se tumači tako da veličina x "prednjači" za ugao θ, ili


vreme |t*|, ispred svih prostoperiodičnih veličina koje svoj maksimum dostižu u trenutku t=0 (npr.: y=Ymcosωt). Pri tom važi i obrnuto, za θ<0 (t*>0), veličina x kasni iza svih veličina tipa y=Ymcosωt, za ugao θ ili vreme t*. Na osnovu toga, uz odreñenu -- specificiranu kružnu učestanost ω, odnosno učestanost f i vreme t kao argument, svaka se naizmenična veličina može prikazati kao ureñen par:

( )X Xm m, .θ ili ∠θ (2.23)

Na osnovu ovog para nije teško, za zadatu učestanost, rekonstruisati razmatranu naizmeničnu veličinu u vremenskom domenu. U ovoj knjizi razmatraju se isključivo naizmenični režimi elektroenergetskih sistema u kojima sve veličine (npr. napon i struja na kućnim aparatima, vodovima, transformatorima itd.) imaju istu i konstantnu učestanost, a njihove amplitude se ne menjaju u vremenu. To su tzv. stacionarni -- statički -- ustaljeni režimi elektroenergetskih sistema. Stacionarnim režimom se smatra režim koji "teče" -- odvija se "bez promena". Ti režimi se mogu predstaviti sledećim skupom:

( ) ℜ= = + =x x X t k nk k mk k| cos , , ,... ,ω θ 1 2 (2.24)

odnosno, u notaciji (2.23):

( ) ℜ= =X k nmk k, , , ,... .θ 1 2 (2.25)

Pri tom k predstavlja indekse svake od ukupno n naizmeničnih veličina (napona, struja, flukseva,...) razmatranog stacionarnog režima. U vezi s definicijom stacionarnog režima u naizmeničnoj elektroenergetici, nužno je ponovo podvući činjenicu da se atribut "stacionaran" asocira režimu koji se sastoji od veličina koje se u vremenu menjaju, ali su te promene prostoperiodične -- naizmenične.

Snaga i energija u kolima s naizmeničnim režimima

Neka se razmatra električno kolo prikazano na slici 2.16. Ono se sastoji iz dva dela: A i B, koji su meñusobno povezani u tačkama -- čvorovima 1 i 2. Te tačke se nalaze u jedinstvenom strujnom krugu i(t), što znači da osim tačaka1 i 2, izmeñu delova kola A i B nema drugih veza. Dakle, delovi kola A i B disjunktni su. Izmeñu tih tačaka vlada napon u(t). Izrazi za prostoperiodične napon u(t) i struju i(t) poznati su i saglasni s naznačenim, po želji izabranim referentnim smerovima.

Slika 2.16 -- Kolo za definiciju električne energije i snage.

Neka se uoči kontura koja se sastoji od napona izmeñu tačaka 1 i 2 i dela kola B; tada, usvojeni referentni smerovi napona u(t) i struje i(t) mogu biti "saglasni" u smislu da


su smerovi obe veličine u smeru kretanja, ili obe u suprotnom smeru kretanja duž uočene konture, ili da "nisu saglasni", ako se jedan poklapa a drugi se ne poklapa s izabranim smerom kretanja duž konture. [Za uočenu konturu oni su saglasni, a za konturu koju čine napon u(t) i deo kola A oni nisu saglasni.] Sada se trenutna vrednost snage kojom se električna energija iz tačaka 1 i 2, dakle iz dela kola A, predaje u deo kola B (referentni smer iskazan punom strelicom prema delu kola koje čini razmatranu konturu), zbog usaglašenih smerova napona i struje kroz konturu koju čine napon i deo kola B, definiše na sledeći način:

p t u t i tAB ( ) ( ) ( ).=+ ⋅∆ (2.26)

Konzekventno, ako se usvoji suprotan referentni smer za snagu, od dela kola B ka delu kola A -- isprekidana strelica, tada se snaga definiše na sledeći način:

p t u t i tBA ( ) ( ) ( ).=− ⋅∆ (2.27)

Znak minus u definiciji je posledica neusaglašenosti smerova napona i struje kroz konturu koju čine napon u(t) i deo kola A. To je potpuno konzistentno s činjenicom da je:

p t p tAB BA( ) ( )= − (2.28)

Ako se u tačkama 1 i 2 kola na slici 2.16 poznaju napon u(t) i struja i(t) saglasno s usvojenim referentnim smerovima (dakle poznate su "sinusoide" napona i struje), onda za trenutnu vrednost snage p(t), saglasno s usvojenim smerom prema punoj strelici, važi:

• Za p(t)>0, energija u trenutku t se predaje iz dela kola A u B; • Za p(t)<0, energija u trenutku t se predaje iz dela kola B u A; • Za p(t)=0, nema predaje energije u trenutku t izmeñu delova kola A i B.

Električna energija e(t), realizovana u periodu od izabranog početnog trenutka t=0, do trenutka t >0, za poznatu snagu p(t), može se iskazati relacijom:

e t p t dt u t i t dttt

( ) ( ) ( ) ( ) .= = ⋅∫∫00

(2.29)

pri čemu su:

( )

( )u t U t

i t I tm u

m i

( ) cos ,

( ) cos .

= += +

ω θω θ

(2.30)

Tako, za snagu se može pisati:

( ) ( )p t U I t tm m u i( ) cos cos ,= + ⋅ +ω θ ω θ (2.31)

odnosno:

( ) ( )[ ]p t U I U I tm m u i m m u i( ) cos cos ,= − + + +12

12

2θ θ ω θ θ (2.32)

odakle se vidi da se snaga naizmenične električne energije sastoji od dva člana (dela): konstantnog i prostoperiodičnog dvostruke učestanosti:

p t p p t( ) ( ),= +1 2 (2.33)


pri čemu su:

( )p U Im m u i112

= −cos ,θ θ (2.34)

( )[ ]p t U I tm m u i212

2( ) cos .= + +ω θ θ (2.35)

Ako su fazni stavovi napona i struje takvi da važi:

θ θu i− = 0, (2.36)

onda se tok snage u funkciji vremena može predstaviti slikom 2.17.

Slika 2.17 -- Snaga naizmenične električne energije u funkciji vremena.

Sada se ukupna energija realizovana u delu kola B, u toku odreñenog vremena (perioda) t, može iskazati relacijom:

e t p t dt p dt p t dtt t t

( ) ( ) ( ) ,= = +∫ ∫ ∫0

10

20

(2.37)

odnosno:

( )[ ] ( )[ ] ( )e t U I tU I

tU I

m m u im m

u im m

u i( ) cos sin sin ,= − ⋅ + + + − +

12

12 2

22

θ θω

ω θ θω

θ θ (2.38)

tj.

e t e t e t( ) ( ) ( ),= +1 2 (2.39) pri čemu su:

( )[ ]

( )[ ] ( )

e t U I t

e tU I

tU I

m m u i

m mu i

m mu i

1

2

1212 2

22

( ) cos ,

( ) sin sin .

= − ⋅

= + + − +

θ θ

ωω θ θ

ωθ θ

(2.40)

Na osnovu prethodnih izraza može se izvesti sledeći zaključak:


Za cos (θu--θi) ≠ 0 [odnosno (θu--θi) ≠ ±π/2] nosilac energije je član e1(t):

lim ( ) lim( )( )

.t t

e te te t→∞ →∞

= ∞ ∧ =12

10 (2.41)

Kada je cos (θu--θi) = 0 [odnosno (θu--θi) = ±π/2], tada je e1(t)=0, za svako t. Član e2(t) je i u ovom slučaju od marginalnog značaja, pošto posle svakog celog broja poluperioda [k(T/2), k=1,2,3,...], taj član prolazi kroz nulu. Dalje razmatranje smisla tog člana nije ovde od interesa Dakle, ako je cos (θu--θi) = 0, onda iako napon i struja postoje, nema permanentne realizacije energije kao u slučaju kada je cos (θu--θi) ≠ 0. Ova konstatacija je prilično paradoksalana u odnosu na slučaj jednosmerne elektroenergetike (pa i ostalih energetskih oblika, npr. vodenih tokova itd.). Naime, u jednosmernoj elektroenergetici, kada napon (sila) i struja (kretanje) postoje (različiti su od nule), oni svakako impliciraju realizaciju (nenulte) energije. Taj paradoks se može iskazati i tako da u više slučajeva naizmenične elektroenergetike, s istom strujom, ali različitim naponima (odnosno istim naponom, a različitim strujama) može da se realizuje ista energija. Naravno rešenje paradoksa se nalazi u razlici faznih stavova napona i struje, tj. u vremenskom pomaku izmeñu njih: što su sinusoide napona i struje više pomerene jedna u odnosu na drugu, to se, za iste njihove amplitude, realizuje manje električne energije u istom vremenu. Dakle, rešenje paradoksa se nalazi u prirodi naizmenične električne energije. S obzirom da je samo član e1(t) nosilac energetskog sadržaja, to se uvodi sledeća definicija: Definicija: Snaga kojom se realizuje električna energija njenim osnovnim nosiocem e1(t),

naziva se "srednjom snagom":

P pde t

dtU Im m u i= = = −1

1 12

( )cos( ),θ θ (2.42)

odnosno:

P U Im m u i= = −12

cos , ( ).ϕ ϕ θ θ (2.43)

Alternativna definicija srednje snage može se iskazati na sledeći način: konstantna snaga kojom bi se realizovao energetski sadržaj jednak sa sadržajem koji se realizuje snagom p(t) (2.33), u jednoj periodi (ili u celom broju perioda), naziva se srednjom snagom:

[ ]PT

p p t dt kkT

k T

= +

=+

∫10121 2

1

( ) , , , ,... .( )

(2.44)

Ovaj izraz se može iskazati sledećim nizom sukcesivnih relacija:


[ ]

[ ]

[ ],)(sin)(sin42

1)(cos

2

1

)(sin2

2cos

)(cos2

2sin)(sin)1(2

2cos

)(cos)1(2

2sin42

11)1)((cos

2

11

)(2sin2

1

2

1)(cos

2

11

(2cos2

1)(cos

2

11

)1()1(

)1( )1(

iuiumm

iumm

iu

iuiu

iummiumm

Tk

kTiumm

Tk

kTiumm

Tk

kT

Tk

kT

iummiumm

IUIU

kTT

kTT

TkT

TkT

TIU

TTkkIU

T

tIUtIUT

dttIUdtIUT

P

θθθθπ

θθ

θθπ

θθπ

θθπ

θθπ

πθθ

θθωω

θθ

θθωθθ

+−++−=

=

+⋅−

−+⋅−+⋅++

+

+⋅++−+−=

=

+++−=

=

+++−=

++

+ +

∫ ∫

(2.45)

odnosno:

P U Im m u i= −12

cos( ),θ θ (2.46)

odnosno:

P U Im m u i= = −12

cos , ( ),ϕ ϕ θ θ (2.47)

čime je potvrñena napred iskazana alternativna definicija srednje snage. Iz relacije (2.47) vidi se da srednja snaga zavisi kako od modula napona i struje, tako i od razlike njihovih faznih stavova -- ϕ. Upravo je to rešenje napred ustanovljenog paradoksa. Svim naizmeničnim veličinama (strujama, naponima i fluksevima) mogu se, pored amplituda, asocirati i efektivne vrednosti:

XX

UU

IIm m m m= ⇒ = = =

2 2 2 2; ; ... .Φ Φ

(2.48)

Tako, svaka naizmenična veličina, poznavajući njenu amplitudu, odnosno efektivnu vrednost, može da se predstavi u sledeća dva oblika:

( ) ( )x X t X tm= + = +cos cos ,ω θ ω θ2 (2.49)

čemu odgovara skraćeni zapis:

( ) ( )X X X Xm m, , , , .θ θ∠θ ⇔ ∠θ (2.50)

Motivacija za uvoñenje efektivnih vrednosti nalazi se u eliminaciji faktora "1/2" u izrazu za srednju snagu (2.47). Dakle:

P U I u i= ⋅ −cos( ),θ θ (2.51)

odnosno:

P U I= ⋅ cos .ϕ (2.52)

Fazorska predstava prostoperiodičnih veličina

Svaka naizmenična veličina x(t) (slika 2.18) može se jednoznačno predstaviti obrtnim vektorom -- fazorom X(t) odreñenog intenziteta (amplitude -- Xm ili efektivne


vrednosti -- X), koji se u ravni obrće konstantnom brzinom (50 Hz, ω =100π rad/s), oko tačke "0", u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljki na satu (pozitivan matematički smer obrtanja).

Slika 2.18 -- Fazorska predstava naizmenične veličine.

U trenutku t=0 (po želji izabran početak "posmatranja" fazora), taj fazor se nalazio u položaju koji je s faznom osom zaklapao ugao θ. Za svaki drugi trenutak t >0, taj položaj je odreñen uglom većim za iznos ω t, tj. trenutna vrednost ugla iznosi (ω t+θ). Trenutna vrednost naizmenične veličine odreñena (jednaka) je projekciji njenog fazora na faznu osu: x(t)=Xmcos (ωt+θ)= 2 X cos (ωt+θ). Tako se i sve naizmenične veličine u jednom stacionarnom režimu elektroenergetskog sistema mogu prikazati -- interpretirati preko njihovih fazora. Očigledno je da su fazori svih veličina jednog stacionarnog režima meñusobno "kruto povezani". Dakle jedna slika kruto povezanih fazora obrće se u ravni oko ustanovljene tačke 0. Na slici 2.19 prikazane su dve situacije razmatranog stacionarnog režima, koje se razlikuju za vreme ∆t.


Slika 2.19 -- Fazorska interpretacija stacionarnog režima elektroenergetskog sistema.

U okviru fazorske predstave stacionarnih režima vrlo je važno ustanoviti sledeća dva stava:

Stav 1: Ako se raspolaže s (poznatim) fazorom X(t) izabrane naizmenične veličine x(t), u izabranom (poznatom) trenutku t (vreme proteklo od početka razmatranja stacionarnog režima), u potpunosti se može rekonstruisati sama naizmenična veličina.

Dokaz: Ako se za vreme t=t1 raspolaže s intenzitetom Xk i uglom δk (izmeren ugao u ravni, slika 2.19), tada:

δ ω θ θ δ ωk k k kt t= + ⇒ = −1 1. (2.53)

odakle se, za poznati početni stav naizmenične veličine θk, uz ustanovljenu učestanost f, može jednostavno rekonstruisati razmatrana naizmenična veličina:

x t X tk k k( ) cos( ),= +2 ω θ (2.54)

pri čemu se pretpostavlja da su fazori na slici 2.19 iskazani efektivnim vrednostima.

Stav 2: Ako je za potpunu rekonstrukciju naizmenične veličine dovoljno poznavati odgovarajući fazor u bilo kom trenutku, tada se za reprezentaciju te veličine može odabrati i fazor u trenutku t=0.

Na osnovu stava 1, razmatrani stacionarni režim (2.24), odnosno (2.25), može se prikazati sledećim skupom:

ℜ= =X t k nk ( ); , ,... ,1 2 (2.55a)


odnosno, na osnovu stava 2, za t=0:

ℜ= =X k nk ( ); , , ... .0 12 (2.55b)

Pošto je ova druga situacija uobičajena, tj. stacionarni režimi se uobičajeno prikazuju fazorima u trenutku početka razmatranja tih režima, tada se indikacija "t = 0" izostavlja:

ℜ= =X k nk ; , ,... .1 2 (2.55c)

Na osnovu tako opisane mogućnosti za predstavu stacionarnih režima elektroenergetskih sistema, fazorski dijagram sa slike 2.19 se može zameniti dijagramom fazora uočenih u izabranom trenutku (npr. t=0), što je prikazano na slici 2.20. S te slike je moguće u potpunosti rekonstruisati sve naizmenične veličine koje čine razmatrani stacionarni režim (stavovi 1 i 2).

Slika 2.20 -- Interpretacija stacionarnog režima (s fazorima uočenim u trenutku t=0).

Izbor početnog trenutka za razmatranje stacionarnog režima elektroenergetskog sistema

S obzirom da stacionarni režim "teče" (odvija se) bez promena, to je potpuno irelevantno u kom trenutku će se započeti s njegovim razmatranjem -- "on je uvek isti". Tako se "nulom" (t = 0) -- početnim trenutkom, može proglasiti bilo koji trenutak, odnosno bilo koja situacija, odnosno položaj fazora stacionarnog režima ℜ (slika 2.19). Neka se za t = 0 proglasi trenutak kada je izabrani fazor X i (fazorski predstavnik i-te naizmenične veličine) u faznoj osi, tj., kada je naizmenična veličina u svom maksimumu. Ostali fazori se nalaze u istim relativnim položajima prema njemu kao i u prikazanim slučajevima nakon vremena t ili t+∆t (slika 2.19). S obzirom na to, umesto da se stacionarni režim elektroenergetskog sistema razmatra u vremenu, on se može razmatrati samo u jednom trenutku. Iz tog trenutka se može sagledati "trajanje" stacionarnog režima. Tako, potpuno je svejedno koji je trenutak u tu svrhu izabran. To može biti trenutak prolaska izabranog fazora, npr. Xi, kroz faznu osu: θi=0, ali i trenutak


kada fazor Xi zahvata ugao od, npr., 60° s faznom osom: θi=60° (za t = 0). Tako opisan fazor X i , gde je i proizvoljno izabrano iz skupa 1,2,...n, odnosno odgovarajuća (naizmenična) veličina, naziva se referentnim fazorom, odnosno referentnom (naizmeničnom) veličinom; njen fazni stav u početnom trenutku (t = 0), naziva se referentnim uglom s obzirom na uglove (fazne stavove) ostalih veličina razmatranog stacionarnog režima. Izborom referentnog fazora, tj. proglašavanjem trenutka kada taj fazor zauzima unapred specificiran položaj, npr. kada se on nalazi u faznoj osi, ili zaklapa ugao od 60° s faznom osom, definisan je položaj -- situacija svih n fazora razmatranog stacionarnog režima ℜ. S tim je u potpunosti odreñen razmatrani stacionarni režim i u vremenskom domenu, tj. odreñene su sve prostoperiodične veličine u njemu (stavovi 1 i 2). Napred opisani fiksirani fazori mogu se jednoznačno prestaviti kompleksnim brojevima.

Primena kompleksnog računa za obradu (proračun) režima naizmeničnih elektroenergetskog sistema

Matila Gika, Filozofija i mistika broja:

"Algebra je mirno uvela broj koji pomnožen sa samim sobom daje --1 i dodelila mu simbol − 1. I sve to dopuštajući da broj i= − 1 bude nemoguć i pridružujući mu epitet imaginaran. Ovo nije sprečilo matematičare da poletno izgrade algebru tih prostih imaginarnih (a − 1), odnosno kompleksnih (a+b − 1) brojeva, tih brojeva koji ne postoje ni logički ni prividno, a zatim da sačine i odgovarajuću geometriju. Potom se zbiva nešto čudno, što izgleda sasvim dobro pokazuje da najneobičnije koncepcije koje izviru iz ljudskog mozga uvek čini se odgovaraju stvarnosti, nekoj skrivenoj oblasti spoljašnjeg sveta. Uočeno je da se algebra i geometrija (Argandovi dijagrami) imaginarnih brojeva izvanredno, neposredno primenjuju na elemente teorije i prakse naizmenične struje, pa se upravo zahvaljujući imaginarnim dijagramima mogu lako proračunavati, kalibrisati i kontrolisati tako konkretne mašine, kao što su statori u alternatorima ili transformatori."

Citirani epigraf ovog dela knjige ne predstavlja ništa drugo do već pomenuti izomorfizam izmeñu stacionarne elektroenergetike i kompleksnih brojeva. Fazorska interpretacija stacionarnog režima elektroenergetskog sistema se može jednoznačno zameniti ekvivalentnom kompleksnom interpretacijom (slika 2.21).


Slika 2.21 -- Kompleksna interpretacija stacionarnog režima elektroenergetskog sistema (kompleksni dijagram režima elektroenergetskog sistema).

Relacije koje povezuju fazore (predstavljene amplitudama, odnosno efektivnim vrednostima) s njihovim kompleksnim predstavnicima (označeni kapama) glase:

X X X X e

X X X X ek n

k mk k k mkj

k k k k kj

k

k

= → =

= → = =( , ) $ ,

( , ) $ ,, , ... ,

θ

θ

θ

θ 12 (2.56)

pri čemu su sa Xmk i θk označeni modul i argument kompleksnog broja, respektivno. Dakle, i u domenu kompleksnih brojeva raspolaže se s dve varijante prikazivanja prostoperiodičnih (naizmeničnih) veličina: amplitudama i efektivnim vrednostima. U daljim izlaganjima će se sva razmatranja sprovoditi koristeći se isključivo varijantom s efektivnim vrednostima veličina. Tako, razmatrani stacionarni režim elektroenergetskog sistema je odreñen sledećim skupom kompleksnih veličina:

ℜ= = =$ , , ,... ; .X k nk i12 0θ (2.57)

Dakle, svakoj prostoperiodičnoj veličini razmatranog stacionarnog režima je asociran jedan kompleksan predstavnik. Njegov referentni smer je isti s onim koji je usvojen za odgovarajuću veličinu u vremenskom domenu, odnosno, referentni smerovi se nepromenjeni prenose iz vremenskog u fazorski, i definitivno u kompleksni domen. Rekonstrukcija ma koje naizmenične veličine, za zadatu učestanost f, na osnovu njenog poznatog kompleksnog predstavnika, glasi:

$ cos( ),X X e x X ftk kj

k k kk= → = +θ π θ2 2 (2.58)

pri čemu se kompleksni predstavnik može prikazati i u sledećem vidu:

,ˆ )( kekfarctgj2k

2kkkk efejfeX ⋅+=+= (2.59)

gde su sa ek i fk označeni realni i imaginarni deo kompleksnog predstavnika razmatrane naizmenične veličine. Neka se razmatra RLC kolo (otpornik otpornosti R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapacitivnosti C, vezani na red), kao što je prikazano na slici 2.22. Ono se nalazi u stacionarnom režimu. Taj je režim izazvan prostoperiodičnim naponom u koji


uzrokuje prostoperiodičnu struju i. To kolo se u vremenskom domenu, može opisati sledećim relacijama:

u t Ri t Ldi t

dt Ci t dt

t

( ) ( )( )

( ) .= + + ∫1

0 (2.60)

Slika 2.22 - RLC kolo.

To isto kolo se u kompleksnom domenu opisuje mnogo jednostavnijim relacijama, do kojih se dolazi na osnovu sledećih asocijacija (→) kompleksnih predstavnika odgovarajućim naizmeničnim veličinama:

x Xdxdt

j X xdtj

X→ ⇒ → →∫$ ; $ ; $ .ωω1

(2.61)

Sada se relaciji (2.60) u kompleksnom domenu može dati oblik:

.ˆ IC

1LjRU

−+=ω

ω (2.62)

Ako se kompleksni izraz u srednjim zagradama definiše kao kompleksna impedansa $Z :

( )[ ],ˆ C1LjRZ ωω −+= (2.63)

tada se integralno -- diferencijalna relacija (2.60) u vremenskom domenu, može prikazati sledećom algebarskom relacijom u kompleksnom domenu:

$ $ $.U Z I= ⋅ (2.64)

U kompleksnom domenu, dakle ostaju u važnosti svi zakoni (metodi, teoreme) koji važe u vremenskom domenu: Ohm-ov zakon, Kirchhoff-ovi zakoni, metod konturnih struja, metod potencijala čvorova, teorema superpozicije, teorema reciprociteta, Thevenin-ova (Norton-ova) teorema, teorema kompenzacije itd.. Svi naponi i struje se nalaze u linearnim vezama preko parametara tipa -- impedansa $Z , odnosno admitansa $( $)Y Z= 1 . To je suština već više pominjanog izomorfizma (analogije) izmeñu stacionarne elektroenergetike i kompleksnih brojeva. Validnost svih zakona koji važe u vremenskom domenu, kao i mnogo jednostavnija obrada stacionarnih režima (umesto s diferencijalno -- integralnim relacijama operiše se s algebarskim), predstavlja više nego dovoljnu motivaciju da se opis i proračuni naizmeničnih stacionarnih režima izvode u kompleksnom umesto u vremenskom domenu.

Snaga i energija u kompleksnom domenu


U vremenskom domenu se trenutna snaga definiše kao proizvod trenutnih vrednosti napona i struje, a na osnovu nje se potom, dosta jednostavno [raspolažući amplitudama (efektivnim vrednostima) struje i napona, kao i razlikom njihovih faznih stavova (faznom razlikom)] odreñuje srednja snaga, tj. snaga kojom se električna energija realizuje -- relacije (2.46) i (2.47), odnosno (2.51) i (2.52). Situacija za definisanje te snage je prikazana na slici 2.16, a sada na slici 2.23a. Definiciju snage u kompleksnom domenu nije moguće ustanoviti potpuno analogno s njenom definicijom u vremenskom domenu. Naime, proizvodom odgovarajućih kompleksnih predstavnika napona i struje ne dobija se nikakav analogon snage u vremenskom domenu:

)(sin)(cosˆˆ )(iuiu

jjj jUIUIUIeIeUeIU iuiu θθθθθθθθ +++=== + (2.65)

Dakle, formalni analogon snage p(t) u vremenskom domenu (2.51) ili (2.52), ustanovljen u domenu kompleksnih brojeva, nije svrsishodan. Odnosno, analogija oba domena (vremenski i kompleksni) ne može se izvesti s obzirom na snagu, ili ona nije izvedena na pravi način. Ako se pogleda realni deo izraza (2.65), nije teško uočiti da on "prilično liči" na izraz za srednju snagu (2.51). Ta dva izraza se razlikuju samo po znaku izmeñu faznih stavova napona i struje. Izjednačenje tih znakova nije teško izvesti -- npr. konjugacijom jedne, ma koje od kompleksnih veličina: napona ili struje. Dakle, ima dva načina da se to izjednačenje izvede. Oba načina su ravnopravna s obzirom na parnost trigonometrijske funkcije cosinus. Ovde će se razmotriti samoprvi način. On glas:

).(,sincos

)(sin)(cos

ˆˆ )(*

iu

iuiu

jjj

jUIUI

jUIUI

IeUIeUeIU iuiu

θθϕϕϕ

θθθθ

θθθθ

−=+=

=−+−=

=⋅=⋅= −−

(2.66)

U ovom analogonu može se uočiti realni deo koji je jednak srednjoj snazi definisanoj u vremenskom domenu (2.52). Taj deo -- realni deo izraza (2.66) -- naziva se "aktivnom snagom" i obeležava se sa P:

.cosϕUIP = (2.67)

Razlika naziva (aktivna snaga u kompleksnom domenu, a srednja snaga u vremenskom domenu) posledica je razlike u definisanju te veličine. Vrednost aktivne snage direktno sledi iz kompleksnih predstavnika napona u(t) i struje i(t): ona je jednaka proizvodu njihovih modula i cosinusu razlike njihovih faznih stavova, ako su u pitanju kompleksni predstavnici s efektivnim vrednostima, odnosno polovini tog proizvoda, ako su u pitanju predstavnici s amplitudama. Situacija za definisanje aktivne snage prikazana je na slici 2.23b. I za kompleksne predstavnike i za definiciju aktivne snage važi razmatranje o usaglašenosti smerova napona i struje isto s onim koje je sprovedeno u vezi s definicijom snage p(t) u vremenskom domenu -- slika 2.23c. Ovaj momenat je krucijalan za sistem naizmenične elektroenergetike. Taj momenat je rezultat neminovnosti postavke sledećeg pitanja: Šta predstavlja izraz "UIsinϕϕϕϕ", vrednost iza imaginarne jedinice u (2.66)? Ima li on nekakav smisao u sistemu naizmenične elektroenergetike, ili je on "nekakva cena" (koja se mora platiti) za lagodnost tretmana sistema stacionarne elektroenergetike, stečenu prelaskom iz vremenskog u kompleksni domen?


Napred navedena pitanja retko se postavljaju u literaturi, a još reñe se na njih daju odgovori. Formalno, analogon snage iz vremenskog domena (2.66) formalizuje se definicijom reaktivne snage za izraz UIsinϕϕϕϕ, tj. za imaginarni deo analogona (2.66. Uobičajena oznaka tog izraza je Q. Saglasno s tim, relacija (2.66) može se prikazati u sledeća dva oblika respektivno:

D1 ;sincosˆˆˆ * ϕϕ jUIUIjQPIUS +=+== ∆∆ (2.68)

dakle:

.cosˆRe ϕUISP ==∆ i .sinˆIm ϕUISQ +==∆ (2.69)

D2 ;sincosˆˆˆ * ϕϕ jUIUIjQPIUS −=−== ∆∆ (2.70)

dakle, ponovo:

.sinˆImicosˆRe ϕϕ UISQUISP +=−=== ∆∆ (2.71)

Veličina $S naziva se kompleksnom snagom. Kako je pokazano, za njenu definiciju postoje dve ravnopravne mogućnosti (alternative) -- (2.66a) i (2.66b), napred označene s 1 i 2. U oba slučaja je reč o istoj aktivnoj snazi: UIcosϕϕϕϕ, kao i istoj reaktivnoj snazi: UIsinϕϕϕϕ Za razliku od prve, reaktivna snaga (jedna te ista vrednost) jednom se odreñuje kao broj koji se nalazi iza (+j) u kompleksnom izrazu za kompleksnu snagu $S , definisanu na prvi način (2.68) i (2.69); u drugom slučaju, ta ista vrednost reaktivne snage se dobija kao broj iza (--j) u izrazu za kompleksnu snagu $S , definisanu na drugi način (2.70) i (2.71) – slika 2.23c. Za usaglašenost smerova kompleksnih predstavnika napona i struje, pa tako i znaka u definiciji kompleksne snage, važe ista razmatranja sprovedena u vezi sa snagom u vremenskom domenu.

(a) (b)

(c)

Slika 2.23 -- Situacija za definiciju snage električne energije: a -- vremenski domen, b -- kompleksni domen i c -- aktivna, reaktivna i kompleksna snaga


(S obzirom da je na slici 2.23 c korišćena definicija IUS ˆˆˆ *∆= , izrazi za reaktivnu snagu imaju pogrešne znake. Treba da stoji: ABAB SQ ˆIm−= i BABA SQ ˆIm−= .

Modul kompleksne snage S definiše se kao prividna snaga. Očigledno je da je prividna snaga jednaka prema obe definicije:

$ .S S P Q= = +2 2 (2.72)

Jedinice za sve tri uvedene snage (aktivna, reaktivna i kompleksna, odnosno prividna) dimenziono su iste, ali se formalno drugačije zapisuju da bi se napravila distinkcija snaga na koje se odnose. Tako, za aktivnu snagu se koristi jedinica W (Watt ), za reaktivnu -- VAr (Volt-Amper "reaktivni") i VA (Volt-Amper) za kompleksnu i prividnu snagu. Na bazi definicija tri vrste snage -- aktivna, reaktivna i prividna (kompleksna), uvode se i definicije za sledeće dve "vrste" energije -- "aktivna" i "reaktivna".

[ ] [ ]., VArsQtWWsPtW ra == (2.77)

Reaktivna snaga (energija) Q

Reaktivna snaga (energija) Q ( rW ) predstavlja posebnu dimenziju električne energije naizmeničnog karaktera u odnosu na ostale oblike energije. Mada se celokupna teorija stacionarne elektroenergetike može izvesti bez uvoñenja reaktivne snage (energije), s njom se ona, formalno, prilično pojednostavljuje. Odgovor na pitanje šta je u stvari reaktivna snaga (energija) i da li ona egzistira, može se dati na sledeći način. “Osobine reaktivne snage” itekako se manifestuju. Ona se može "meriti" VAr-metrima. Ona se može "upotrebiti", mada ne u materijalnom smislu snage -- rada. Kaže se: "reaktivna energija se troši za magnećenje transformatora, asinhronih motora ... ". Svrha izlaganja koja slede je da se pokaže da se stacionarna elektroenergetika može tretirati potpuno ekvivalentno pomoću usvojenog pojma reaktivne snage (energije), kao što bi se to moglo činiti i bez nje. U tom smislu će biti istaknuto nekoliko stavova u okviru stacionarnih, naizmeničnih režima, koji se potpuno ekvivalentno mogu interpretirati bez i sa upotrebom pojma reaktivne snage (energije). Potrebno je napomenuti da će u svim izlaganjima koja u ovoj knjizi slede, referentni smerovi za kompleksne i aktivne snage biti označavani s punim, a za reaktivne snage isprekidanim strelicama. Efekat pojednostavljenja tretmana stacionarne elektroenergetike u terminima reaktivne snage, biće obrañivan kasnije.

Razmatra se kolo kojeg čine generator G i impedansa Z -- slika 2.24. Ako se

pretpostavi da je impedansa $Z ("prijemnik") čisto reaktivna (tj. ,ˆ jX0Z +=

X L X C= = −ω ωili 1 ), odnosno X L C= −ω ω( / )1 , onda struja u kolu iznosi:

X

Uj0

jX0

U

Z

UI

ˆˆ

ˆ

ˆˆ −=

+== . (2.78)


Ako je za referentnu veličinu izabran napon, $U U= , odnosno ( )θ= 0 , onda se izraz za struju može pisati i u obliku:

$ .I jUX

= −0 (2.79)

Slika 2.24 -- Jednostavno električno kolo u stacionarnom režimu s naizmeničnim naponom i strujom.

Kompleksna snaga koja se iz generatora G predaje impedansi, saglasno s definicijom D2, iznosi:

,000ˆˆˆ2

* jQX

Uj

X

UjUIUS −=−=

−=⋅= (2.80)

Reaktivna snaga Q (definicija D2) odreñena je veličinom koja stoji iza --j u izrazu za kompleksnu snagu (njen negativni imaginarni deo):

QUX

= +2

. (2.81)

Na osnovu prethodnih razmatranja, daju se tri para meñusobno ekvivalentnih stavova (1a ⇔ 1b; 2a ⇔ 2b; 3a ⇔ 3b): Stav 1a: S obzirom da je prijemnik čisto reaktivan, struja je fazno pomerena u odnosu na

napon za +π/2 ili -π/2, odnosno cosϕ=0, a sinϕ=+1 ili sinϕ= --1; Stav 1b: P=0 ∧ Q≠0. Stav 2a: Neka je prijemnik induktivan (X=ωL>0). Tada struja kasni za naponom za π/2 (

ϕ=π/2). Stav 2b: P=0 ∧ Q>0 (reaktivna snaga ima smer od generatora ka induktivnom

prijemniku). Stav 3a: Neka je prijemnik kapacitivan ( X C= − 1/ ω <0). Tada struja prednjači naponu

za π/2 (ϕ π= − / 2). Stav 3b: P=0 ∧ Q<0 (reaktivna snaga ima smer od kapacitivnog prijemnika ka generatoru).

Iz ekvivalencije stavova 1a i 1b, 2a i 2b, odnosno 3a i 3b, očigledna je napred najavljena ekvivalencija tretmana stacionarne elektroenergetike bez i s uvoñenjem pojma reaktivne snage.

Problem se može i generalizovati za slučaj kada impedansa $Z ima i rezistansu. Takva impedansa se može predstaviti u obliku:

( )$ .Z R jX R j L C= + = + −ω ω1 (2.82) U tom slučaju kompleksna snaga iznosi:


$ $ $$

( ),*S U I UUZ

UR jX

UR X

R jX= ⋅ = ⋅ =+

=+

−2 2

2 2 (2.83)

odnosno:

$ .S P jQU

R XR j

UR X

X= − =+

−+

2

2 2

2

2 2 (2.84)

Sve moguće situacije (ima ih sedam) vezane za tok aktivne i reaktivne snage (energije) na relaciji generator -- impedansa prikazane su na slici 2.25, a potom i koncentrisane (sistematizovane) u tabeli 2.2.

(a) (b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

Slika 2.25 -- Sve moguće situacije na relaciji generator -- impedansa [uz veliku zagradu simbolično je označena priroda impedanse: L predstavlja dominaciju induktivnosti nad kapacitivnošću (ωL>1/ωC), a C obrnuto (1/ωC>ωL)].


Svih sedam varijanti se mogu ukratko, u terminima prirode kola, aktivne i reaktivne snage, odnosno u terminima prednjačenja ili kašnjenja napona i struje u kolu, prokomentarisati na sledeći način:

a. Pretežno induktivno kolo ⇔ Prijemnik je potrošač i aktivne i reaktivne snage (energije). ⇔ Struja prema prijemniku kasni za naponom.

b. Pretežno kapacitivno kolo. ⇔ Prijemnik je potrošač aktivne, ali generator reaktivne snage (energije). ⇔ Struja prema prijemniku prednjači naponu.

c. Čisto aktivno kolo. ⇔ Prijemnik je potrošač samo aktivne snage (energije). ⇔ Struja je u fazi s naponom.

d. Čisto (reaktivno) induktivno kolo. ⇔ Prijemnik je potrošač samo reaktivne snage (energije). ⇔ Struja prema prijemniku kasni za naponom za π/2.

e. Čisto (reaktivno) kapacitivo kolo. ⇔ Prijemnik je generator reaktivne snage (energije). ⇔ Struja prema prijemniku prednjači naponu za π/2.

f. i g. Na ove dve slike su predstavljeni kratak spoj i prazan hod, respektivno. I aktivna i reaktivna snaga u tim slučajevima su jednake nuli. To je posledica nultog napona u prvom slučaju, odnosno nulte struje u drugom slučaju.

Tabela 2.2 -- Sve moguće relacije generator -- impedansa.

Priroda impedanse $Z R jX= + Indeks

Rezistansa R Reaktansa X=ωL--1/ωC $Z P Q ϕ varijante Vrednost Znak† X=+ωL R+jωL P>0 Q>0 0<ϕ<--π/2 a

R ≠ 0 X ≠ 0 X= --1/ωC R--j/ωC P>0 Q<0 --π/2<ϕ<0 b

X = 0 / R+j0 P>0 0 0 c X=+ωL 0+jωL 0 Q>0 +-π/2 d

R = 0 X ≠ 0 X= --1/ωC 0--j/ωC 0 Q<0 -π/2 e

X = 0 Kratak spoj 0 0 0 / f

Prazan hod $Z →∞ 0 0 / g

(†S ωL i -1/ωC simbolično je označena dominacija induktivnosti i kapacitivnosti u grani na slici 2.25,

respektivno.)

Na osnovu prethodnih izlaganja očigledno je da je institucija reaktivne snage (energije), uz aktivnu snagu (energiju), kvalitativna i kvantitativna zamena za fazni stav (cosϕ i sinϕ) izmeñu napona i struje kojima se naizmenična električna energija realizuje. Osim toga, očigledne su sledeće dve uobičajene terminologije: 1 -- induktivnost je potrošač reaktivne snage i 2 -- kapacitivnost je generator reaktivne snage.

2.3 Trofazni elektroenergetski sistemi u stacionarnim režimima

U ovom delu knjige se s naizmeničnih -- prostoperiodičnih veličina generalno, prelazi na razmatranje trofaznih veličina. Tretiraće se samo stacionarni režimi (moduli i učestanosti svih naizmeničnih veličina režima se ne menjaju).


2.3.1 Trofazne veličine

Stacionaran režim trofaznog elektroenergetskog sistema može se opisati kao skup trojki (četvorki) veličina:

ℜ= = =[ $ , $ , $ ( $ )]; , ,..., , ,X X X X k nka kb kc kn ra12 0θ (2.85)

pri čemu su sa $ , $ , $ $X X X Xka kb kc kni označeni moduli kompleksnih veličina tri faze i

neutralne tačke, odnosno k-te trofazne veličine. Pošto kompleksna veličina $Xkn postoji samo u odreñenim situacijama (npr. struja neutralnog provodnika: $ $ $ $X X X Xkn ka kb kc= + + ), ona je prikazana alternativno, u zagradi. Za referentnu veličinu, s

faznim stavom jednakim nuli, izabrana je veličina $Xra , pa je s θra označen njen fazni stav:

$ .X Xra ra= (2.86)

Na slici 2.26 prikazana je jedna otočna i jedna redna trofazna grana s dva trofazna čvora (1 i 2). Redna grana je s otočnom spojena u trofaznom čvoru 1. Pošto se u čvoru 1 stiču samo dve grane, to su i struje s leve i desne strane čvora iste (saglasno s usvojenim referentnim smerovima).

Slika 2.26 -- Trofazna otočna i redna grana.

Za trofazni čvor 1 (tri fazna čvora a, b i c i neutralni n -- zemlja) definišu se sledeće veličine: 1. Fazni naponi (fazori -- kompleksni predstavnici) : $ , $ $U U i Ua b c;

2. Linijski -- meñufazni naponi (fazori -- kompleksni predstavnici): $ $ $ ,V U Uab a b= − $ $ $ ,V U Ubc b c= − $ $ $ .V U Uca c a= −

Analogno važi za čvor 2 (fazori $E ), odnosno svaki trofazni čvor elektroenergetskog sistema.


Za trofaznu otočnu granu (npr. onu na levoj strani redne grane) definišu se fazne

struje (fazori -- kompleksni predstavnici): 1c1b1a IiII ˆˆ,ˆ , kao i struja u neutralnom

provodniku cba1n IIII ˆˆˆˆ ++= . Isto važi i za drugu otočnu granu.

Za trofaznu rednu granu se definišu struje na oba njena kraja. One načelno nisu iste:

1. Fazne struje na jednom kraju grane (fazori -- kompleksni predstavnici): $ , $ $I I Ia b c1 1 1i ,

kao i struja u neutralnom provodniku $ $ $ $I I I In a b c1 1 1 1= + + ;

2. Fazne struje na drugom kraju (fazori -- kompleksni predstavnici): $ , $ $I I Ia b c2 2 2i , kao i

struja u neutralnom provodniku $ $ $ $I I I In a b c2 2 2 2= + + .

Ako je u pitanju vod, neutralni provodnik je često zamenjen zemljom, pa su $ $I In n1 2i struje kroz zemlju, a ako uz zemlju egzistira i neutralni provodnik, tada se te struje dele na dva dela, koji zajedno čine povratni put tim strujama. Osim toga, zemlja se u elektromagnetici obično proglašava "tačkom referentnog (nultog)" potencijala u odnosu na koji se mere naponi ostalih tačaka sistema. Zato, za gore opisane trofazne čvorove, s neutralnim tačkama povezanim za zemlju, nisu eksplicirani naponi tih tačaka. Oni su nultih vrednosti. Kompleksna trofazna snaga $S1 (odnosno aktivna P1 i reaktivna snaga Q1) na prvom kraju grane definiše se na sledeći način:

( )$ $ $ $ $ $ $ ,* * *S P jQ U I U I U Ia a b b c c1 1 1 1 1 1= − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ (2.87)

pri čemu je znak "+" rezultat usaglašenih smerova napona i struja. Ta definicija predstavlja generalizaciju definicije monofazne snage (tačka 2.2.3). Kompleksna snaga na drugom kraju redne grane iznosi:

( )$ $ $ $ $ $ $ ,* * *S P jQ E I E I E Ia a b b c c2 2 2 2 2 2= − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ (2.88)

gde je sa znakom "--" izražena neusaglašenost referentnih smerova napona $E i odgovarajućih struja $I2 . Kada bi se za struje u oba čvora usvojili suprotni smerovi, tada bi u izrazu (2.87) bio znak "--", a u izrazu (2.88) bio bi znak "+". To bi se isto desilo i da su za kompleksne snage $S1 (P1 i Q1) i $S2 (P2 i Q2) usvojeni smerovi suprotni od smerova na slici 2.26.

2.3.2 Simetrija trofaznih režima i uravnoteženost elektroenergetskih sistema

Za savremene elektroenergetske sisteme i njihove režime vezana su dva suštinska pojma: 1 -- simetrija i 2 -- uravnoteženost.

Simetrija


Osnovni argument za ustanovljavanje trofaznog umesto monofaznog elektroenergetskog sistema je Teslino obrtno elektromagnetno polje, i to ono koje je generisano s tri vremenski pomerene naizmenične struje u tri fazna, prostorno pomerena namotaja (slika 2.9b). Za takve tri fazne struje, odnosno za odgovarajuće fazore -- kompleksne predstavnike kaže se da su simetrične naizmenične veličine, odnosno fazori (slika 2.27):

Definicija: Tri kompleksne veličine - fazora (prostoperiodične veličine) "simetrične" su ako su im moduli (amplitude) meñusobno jednaki i ako su one sukcesivno (fazno) pomerene za isti ugao.

Za simetrične fazore $ , $ $X X Xa b ci , prikazane na slici 2.27 važi:

$ $ $ $ $ $ ,X a X X a Xb a c a⋅ = ⋅ =i 2 (2.89)

gde operator $a iznosi:

$ ;/a e j= 2 3π (2.90)

ili:

X X X X

X X Xa b c b a c a

a b c

= = = = − = − ⋅+ + =

; / ; / ;$ $ $ .

θ θ π θ θ π2 3 2 2 3

0 (2.91)

Na osnovu relacija (2.91), tri kompleksne veličine asocirane svakoj od tri faze respektivno mogu da se iskažu preko odgovarajućeg modula i faznog stava faze a:

( )$ , $ , $ .( / ) ( / )X Xe X Xe X Xebj

cj

aja a a= = =− − ⋅θ π θ π θ2 3 2 2 3 (2.92)

što se tumači tako da fazor $Xa prednjači fazoru $Xb za trećinu periode, a fazoru $Xc za dve trećine periode (slika 2.27).

Slika 2.27 -- Simetričan sistem tri fazora $ , $ $X X Xa b ci .

Definicija: Za elektroenergetski sistem se kaže da je u simetričnom režimu ako su sve trofazne veličine u njemu (naponi, struje, fluksevi...) simetrični.

Takav režim može se opisati sledećim skupom:


ℜ = = =ska kb kc raX X X k n( $ , $ , $ ) , ,... , ,12 0θ (2.93)

pri čemu za svaku trojku veličina ( $ , $ $X X Xka kb kci ) važe relacije (2.91). Očigledno je da u opisu (2.93), koji se odnosi na simetrične režime, za razliku od opisa (2.85), koji se odnosi na trofazne režime koji ne moraju biti simetrični, nema četvrte veličine $Xkn . To je posledica relacije (2.91):

.ˆˆˆˆ 0XXXX kckbkakn =++= (2.94)

Ima još dva načina da se prema navedenoj definiciji generišu simetrične trojke fazora (s istim modulima i istim sukcesivnim faznim stavovima). Oni su prikazani na slici 2.28, ali one za ovaj kurs nisu od interesa.

(a) (b)

Slika 2.28 -- Dve alternative simetričnih trojki fazora.

Uravnoteženost

Za razliku od pojma simetrije, koji se odnosi na trofazne veličine -- režime elektroenergetskih sistema (naponi, struje, fliuksevi), pojam uravnoteženost se odnosi na trofazne elemente elektroenergetskih sistema: generatore, vodove, transformatore, potrošače,... tj. na njihovu konstrukciju.

Definicija: Trofazni element elektroenergetskog sistema (generator, vod, transformator, potrošač, ... ) koji svojim priključenjem u elektroenergetski sistem ne remeti simetriju režima sistema predstavlja "uravnotežen element" elektroenergetskog sistema.

U slučaju elementa koji ne bi bio uravnotežen, njegovim priključenjem na sistem poremetila bi se simetrija režima (po definiciji), čime bi se odstupilo od osnovne ideje simetrije nužne za generisanje Teslinog obrtnog elektromagnetnog polja. Zato se u izgradnji elektroenergetskih sistema teži da svi njegovi elementi budu uravnoteženi. Generatori, kao osnovni izvori Teslinog elektromagnetnog polja, po definiciji se moraju konstruisati kao uravnoteženi. To načelo (uravnoteženost) ispoštovano je i u konstrukciji najzastupljenijih potrošača -- asinhronih motora. Ako se izmeñu uravnoteženog generatora i potrošača insertuje vod i/ili transformator, tada samo uravnoteženo konstruisan vod i/ili transformator neće poremetiti simetričan režim razmatranog sistema (po definiciji).


Definicija: Trofazni elektroenergetski sistem čiji je svaki element uravnotežen naziva se uravnotežen elektroenergetski sistem.

Stav 1: Samo uravnotežen elektroenergetski sistem može se dovesti u simetričan režim.

Stav 2: Simetrija napona svih trofaznih generatora nužan je uslov za simetriju režima elektroenergetskog sistema.

Dokaz stava 1 je vrlo jednostavan. Ako je dakle samo jedan od elemenata elektroenergetskog sistema neuravnotežen tada on (po definiciji uravnoteženosti) remeti simetriju režima sistema -- simetričan režim se ne može uspostaviti. Dokaz stava 2 se takoñe izvodi na osnovu definicije o uravnoteženosti. Kada su svi generatori uravnoteženi i kada su njihovi naponi simetrični, tada, priključenjem ma kog uravnoteženog elementa, režim ostaje simetričan. Priključenjem drugog, pa i svih ostalih uravnoteženih elemenata, režim i dalje ostaje simetričan. Time je dokaz završen. Uravnoteženi elektroenergetski sistemi u simetričnim režimima, odnosno režimima koji su praktično simetrični, osnovne su situacije u elektroenergetici, i oni se obrañuju u ovoj knjizi. Dakle, bazične pretpostavke u daljim izlaganjima su: uravnoteženost (elemenata) i simetrija režima elektroenergetskog sistema. Jedan važan stav vezan za simetriju glasi:

Stav 3: Ako su fazni naponi trofaznog čvora simetrični, tada su i odgovarajući linijski (meñufazni) naponi simetrični.

Dokaz:

(a) (b)

Slika 2.29 -- Fazori napona trofaznog čvora -- a i odgovarajući fazorski dijagram -- b.

Neka se razmatra trofazan simetričan napon (trojka simetričnih fazora faznih napona): $ , $ $U U Ua b ci (slika 2.29 -- veza sa slikom 2.26).


Trojka simetričnih fazora faznih napona može se opisati relacijama (2.92):

$ , $ , $ ,( / ) ( / )U Ue U Ue U Ueaj

bj

cj= = =− − ⋅θ θ π θ π2 3 2 2 3 (2.95)

odakle se (po definiciji) imaju sledeći linijski naponi:

$ $ $ ,

$ $ $ ,

$ $ $ .

( / ) ( / )

( / ) ( / ) [( / ) / ]

( / ) [( / ) / ]

V U U U e U e U e

V U U U e U e U e

V U U U e U e U e

ab a bj j j

bc b cj j j

ca c aj j j

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅

− +

− − ⋅ + −

− ⋅ + − ⋅

∆

∆

∆

θ θ π θ π

θ π θ π θ π π

θ π θ θ π π

2 3 6

2 3 2 2 3 6 2 3

2 2 3 6 2 2 3

3

3

3

(2.96)

Iz relacije (2.96) nije teško zaključiti da su moduli linijskih napona meñusobno jednaki i iznose:

V V V V Uab bc ca= = = =$ $ $ ,3 43 (2.97)

a i odgovarajući fazni stavovi su saglasni s definicijom simetrije:

θ θ π θ θ π θ θ πab bc ab ca ab= + = − = − ⋅( / ); / ; / .6 2 3 2 2 3 (2.98)

Jednakost modula fazora linijskih napona meñusobno (2.97), kao i njihova pomerenost za sukcesivno isti ugao (2.98), predstavljaju dokaz stava 3. Uz to, treba primetiti da je njihov modul 3 puta veći od modula faznih napona. (Napomena: Inverzan stav stavu 3 ne važi, tj., simetrični linijski naponi ne impliciraju nužno simetrične fazne. Dokazati.)

Snage u trofaznim simetričnim režimima

Stav 4: Snage (kompleksna, aktivna, reaktivna i prividna) u simetričnim režimima elektroenergetskog sistema ravnomerno (jednako) su rasporeñene na sve tri faze.

Implikaciju prethodnog stava predstavlja činjenica da je trofazna snaga jednaka trostrukoj vrednosti fazne snage. Dokaz: Kao ilustracija za ovaj dokaz daje se slika 2.30. Iz uslova simetrije režima (pretpostavka stava) sledi:

.ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

;ˆ,ˆ,ˆ

)/()/(

)/()/(

0IeIIeIIeII

eUUeUUeUU

n322j

c32j

bj

a

322jc

32jb

ja

=⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=⋅=⋅−−

⋅−−

πψπψψ

πθπθθ (2.99)

Sada trofazna kompleksna snaga iznosi:

$ $ $ $ ( ) ( )$ $ $ $ $ $

( cos sin ),

* * * ( )

S P jQ S S S P P P j Q Q Q

U I U I U I U I e

UIe UI jUI

a b c a b c a b c

a a b b c cj

j

= − = + + = + + − + + == + + = ⋅ ⋅ ⋅ == = −

− +

−

3

3 3

θ ψ

ϕ ϕ ϕ (2.100)

43Fazni naponi u jugoslovenskim niskonaponskim mrežama su 220 V, s težnjom da se preñe na 230 V; odgovarajući

linijski naponi su 380 V, s težnjom da se preñe na 400 V. Ovi drugi se obično označavaju kao 3x380 V, odnosno 3x400 V.


gde je fazni stav kompleksne snage ϕ jednak razlici faznih stavova napona i korespondentne struje ma koje faze (ϕ =θ -- ψ).

Slika 2.30 -- Podloga za proračun trofazne snage.

Iz relacije (2.100) slede trofazna aktivna i reaktivna snaga:

P UI Q UI= =3 3cos ; sin .ϕ ϕ (2.101)

Trofazna snaga se može iskazati i linijskim (umesto faznim) naponom:

$ cos sin .S P jQ VI j VI= − = −3 3ϕ ϕ (2.102)

2.3.3 Pofazni tretman trofaznih elektroenergetskih sistema u simetričnim režimima

Ako se uravnotežen elektroenergetski sistem (znači da su svi njegovi elementi uravnoteženi) pobudi simetričnim naponima generatora, tada će se uspostaviti simetrične struje u svim elementima, tj. u sistemu će se uspostaviti simetričan režim. To znači da su režimi u fazama b i c isti s odgovarajućim režimima u fazi a, osim što kasne za jednu trećinu, odnosno dve trećine periode, respektivno. Otud ideja da se uravnoteženi elektroenergetski sistem u simetričnom režimu razmatra samo po jednoj fazi, tj. da se prikaže pofaznom ekvivalentnom šemom za izabranu fazu -- monofazno, bez uticaja ekspliciranja druge dve faze. Kada bi to bilo moguće, svi proračuni trofaznih režima bi se sprovodili za izabranu fazu, a režimi u preostale dve faze bi se dobijali jednostavnim "pomeranjem" u vremenu. Na takav način bi se značajno pojednostavio proračun trofaznih režima elektroenergetskih sistema. Neka se u tom cilju razmatra trofazan uravnotežen elektroenergetski sistem u simetričnom režimu:

ℜ= ℜs . (2.103)

Neka se uoče jedna otočna grana (generator -- G ili potrošač -- D) -- slika 2.31a i jedna redna grana (transformator -- TR ili vod -- VOD) -- slika 2.31b razmatranog elektroenergetskog sistema. Njihovi režimi su simetrični [pretpostavka (2.103)].


(a) (b)

Slika 2.31 -- Trofazna otočna grana -- a i trofazna redna grana -- b.

Dakle, za ma koju veličinu (struju ili napon) na slici 2.31 važi:

.ˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ 3/2221 πjaacaab eaXaXaXXaXaX +−− ===== (2.104)

Dokaz da se trofazne uravnotežene grane, u simetričnim režimima, mogu tretirati po jednoj fazi, daje se na primeru otočne grane. Pri tom se koristi pretpostavka o linearnosti elektroenergetskog sistema, tj. pretpostavka o linearnosti njegovih elemenata (naponi i struje na elementima elektroenergetskog sistema povezani su linearnim relacijama). Ako je tako, sledeća opšta linearna matrična relacija mora da važi za trofazni napon i struju razmatrane otočne grane:

$ $ $ $ ,U A I Uo= ⋅ + (2.105)

odnosno:

$

$

$

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$

$

$

$

$

$

,UUU

A A AA A AA A A

III

UUU

a

b

c

a

b

c

ao

bo

co

=

⋅

+

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(2.106)

pri čemu matrice-kolone $ $U Ii , dimenzija (3x1), predstavljaju matrice struja i napona

sve tri faze; matricom $A , čiji elementi nisu zavisni od napona i struja, iskazana je linearna zavisnost struja i napona, a matricom-kolonom $Uo , opštosti radi, iskazano je eventualno prisustvo idealnih naponskih izvora u otočnoj grani (npr. ako je u pitanju generator). I one, prema pretpostavci o simetriji, moraju činiti trojku simetričnih fazora (zašto?). Za slučaj monofazne grane relacija (2.105) može se ilustrovati primenom Thevenin-ove teoreme na deo kola označen sa G,D na slici 2.32a (isprekidano je nacrtan deo kola koji se zadržava u originalu):

$ $ $ $ ,U Z I U o= ⋅ + (2.107)

Thevenin-ov ekvivalent je prikazan na slici 2.32b, pri čemu je sa $Z označena Thevenin-ova impedansa, a sa $U o Thevenin-ova elektromotorna sila dela kola označenog sa G,D.

Matricom kompleksnih elemenata $A , ili preciznije -- njenim vandijagonalnim elementima, načelno su obuhvaćene i eventualne (elektromagnetske) sprege izmeñu faza razmatrane grane. One mogu biti jednake nuli (ako takvih veza nema), ili različite od nule (ako ih ima). U ovom drugom slučaju, one mogu biti recipročne ( $ $A Aij ji= , i,j=1,2,3, i≠j),


ali ne moraju -- ( $ $A Aij ji≠ , i,j=1,2,3, i≠j). [Kapacitivne sprege bi morale da se

interpretiraju u inverznoj formi prikazanoj relacijom (2.105), ali bi logika razmatranja ostala ista.]

(a) (b)

Slika 2.32 -- Primer za ilustraciju primene Thevenin-ove teoreme: a -- načelno aktivno

kolo s istaknute dve tačke (čvora), s naponom U i strujom $I ; b -- Thevenin-

ov ekvivalent.

Primer jedne otočne grane za koju važi relacija (2.105), odnosno (2.106), prikazan je na slici 2.33. Pošto je reč o uravnoteženoj grani, iz definicije uravnoteženosti nužno je da matrica $A bude takva da pri eksitaciji razmatrane grane simetričnim veličinama (npr., naponima $ , $ $U U Ua

obo

coi ), sve ostale veličine (odziv) budu simetrične. I to važi za

eksitaciju s ma koje tri veličine iz razmatrane relacije. Matematički uslovi (osobine) koje treba da zadovoljava takva matrica nisu ovde od interesa. (Nota: to je osobina cirkularne simetrije.)

Ako se izabere matrica transformacije (samim tim i njena inverzija) oblika:

$

$ $

$ $ , $ $ $

$ $

,T T 1= ⋅

=

−13

111 1 1

1 1 111

2

2 2

2

a aa a a a

a a (2.108)

i s njom pomnoži (s leve strane) matrična relacija (2.105) tada se dobija:

$ $ $ $ $ $ $ $ $ .T U T A T T I T U1 o⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅− (2.109)

Motivaciju za ustanovljavanje matrice $T nije teško naći ako se razmatraju sve tri napred pomenute vrste simetrije (simetrija koja se ovde obrañuje i ostale dve vrste prikazane na slikama 2.28a i b). Pošto se ovde radi o "specijalnim", napred opisanim simetričnim režimima, to je dovoljno motivisati vrednosti prve vrste matrice $T: množenjem prve vrste matrice $T respektivno s trojkom simetričnih veličina (napona, struja), eliminišu se veličine asocirane fazama b i c, odnosno, zadržava se veličina asocirana fazi a, a ostale dve se svode na tu istu veličinu (fazu a). To je posledica simetrije veličina (napona i struja) koje se razmatraju. (Dakle, nije u pitanju nikakav "matematički trik", već prilično zasnovana transformacija, koja vodi ka zameni uticaja režima u fazama b i c, na režim u fazi a, s ekvivalentnim "sopstvenim uticajem". A to je upravo ono ka čemu se u ovim razmatranjima teži -- prikaz trofaznog režima monofaznim režimom).


Slika 2.33 -- Jedna varijanta otočne grane.

Iz uslova simetrije režima, za napone otočne grane očigledne su sledeće relacije:

$ $ $ ;

$ $ $ ; $ $ $ ; $ $ $ ;

$ $ $ ; $ $ $ ; $ $ $ .

U U U

a U U a U U a U U

a U U a U U a U U

a b c

a c b a c b

a b b c c a

+ + =⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅ = ⋅ = ⋅ =

0

2 2 2

(2.110)

Iste relacije važe za fazore struja i napona sažetih u matricama-kolonama $ $I U oi , respektivno. Uvažavajući relacije (2.110), razvijena forma matrične relacije (2.109) glasi:

$ $ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $

$ $ $

,U Z Z Z

Z Z ZZ Z Z

I U a U a UU a U a UU U U

a a ao

bo

co

ao

bo

co

ao

bo

co

00

00

13

111 1 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2

2

=

⋅

+ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

(2.111)

(Preformulisati – izvoñenje ne preko matrice T I ubaciti napomenu da z11 na slici nije isto što I Z11 u matrici 2.111)

odakle, s obzirom na simetriju napona $ , $ $U U Uao

bo

coi , sledi:

$

$

$ $

,U I Ua a a

o

00

00

00

= ⋅

+

Z (2.112)

pri čemu je matrični proizvod $ $ $T A T 1⋅ ⋅ − (2.109) zamenjen matricom impedansi $Z . U suštinu matrice impedansi nije nužno ulaziti. Dovoljno je ustanoviti da je ona generisana korektnim i jednostavnim matematičkim operacijama nad matricom $A -- matricom kojom je opisana razmatrana trofazna otočna grana. Prva od tri skalarne relacije, sadržane u matričnoj relaciji (2.112), glasi:

$ $ $ $ .U Z I Ua a ao= ⋅ +11 (2.113)


Relacija (2.113) je suštinska za razmatranja koja se ovde sprovode. Ona govori o tome da se režim u fazi a, pod uslovima uravnoteženosti trofazne grane i simetrije njenog trofaznog režima, može "dekuplovati -- raspregnuti" od režima u ostale dve faze; tj. da se taj režim može prikazati nezavisno od režima ostale dve faze; odnosno, definitivno, da se on može prikazati kao da na njega ne utiču režimi u ostale dve faze. Naravno, ti režimi i te kako utiču, ali je njihov uticaj uvršten u "ekvivalentnu impedansu" $Z11. To je moguće izvesti, naravno, samo pod uslovima pod kojima su sprovedena

razmatranja: uravnotežen element u simetričnom režimu. Impedansa $Z11 naziva se pogonskom impedansom razmatrane trofazne grane (za simetričan režim). Na osnovu nje, odnosno na osnovu relacije (2.113), iz uslova simetrije režima, nije teško prikazati režime i u ostale dve faze:

$ $ $ $ ,$ $ $ $ ,$ $ $ $ ,

U Z I U

U Z I U

U Z I U

a a ao

b b bo

c c co

= ⋅ += ⋅ += ⋅ +

11

11

11

(2.114)

pri čemu su druge dve relacije dobijene množenjem prve sa $ $a a− −1 2i , respektivno. Pošto su ove tri relacije meñusobno raspregnute, one se mogu prikazati s tri raspregnute pofazne -- pogonske šeme, kao na slici 2.34.

Slika 2.34 -- Pofazne -- pogonske šeme razmatrane otočne grane.

Smisao pogonskog (monofaznog -- pofaznog) prikaza ekvivalentne šeme trofazne grane u simetričnom režimu se sastoji u sledećem: ako je trofazna otočna grana (generator ili potrošač) uravnotežena, onda se njen simetričan režim može prikazati pomoću režima u tri nezavisne -- raspregnute monofazne grane. Sve tri grane su iste, ali se nalaze u monofaznim režimima koji su fazno pomereni za 2π/3, sukcesivno. To znači da se na jednoj istoj monofaznoj grani ( $Z11) mogu razmatrati režimi u sve tri faze. Odnosno, dovoljno je razmatrati samo režim u fazi a. Režimi u preostale dve faze (b i c) mogu se dobiti jednostavnim pomeranjem (unazad) za 2π/3 i 2⋅2π/3, respektivno. Rasprezanje redne trofazne uravnotežene grane (transformator, vod), u simetričnom režimu, po fazama, samo je formalno složenije. I ona (redna grana) može se prikazati s tri iste, odnosno jedinstvenom pofaznom šemom po svakoj fazi, s odgovarajućim pogonskim parametrom(ima). Tada, na osnovu režima u jednoj fazi nije teško rekonstruisati režime u preostale dve. Sada se može zaključiti da se trofazni uravnotežen element, primenom originalnih parametara sažetih u matrici $A ( $ $ $ $U A I Uo= ⋅ + ), ne može prikazati raspregnuto. Ali, uvoñenjem ekvivalentnih -- pogonskih parametara trofaznog uravnoteženog elementa, koji su meñusobno raspregnuti, to se može učiniti. Ako se sada na elektroenergetski sistem u simetričnom režimu, umesto originalnog trofaznog elementa, priključe tri monofazna elementa, svaki s ekvivalentnim --


pogonskim parametrima dotičnog trofaznog elementa, režim će ostati nepromenjen. Ovo ima za rezultat da se sve trofazne grane -- trofazni elementi elektroenergetskog sistema (generator, vod, transformator, potrošač) mogu zameniti s po tri raspregnute monofazne grane, povezane na isti način kao originalni trofazni elementi. Tako se generiše ekvivalentan trofazni elektroenergetski sistem prikazan s tri monofazna reprezenta, po jedan za svaku fazu (a, b, c), koji meñusobno nemaju nikakve direktne (galvanske) induktivne i kapacitivne sprege. Njihovi režimi su isti, osim što su pomereni u vremenu. Time se elektroenergetski sistem umesto trofazno, s meñusobno spregnutim fazama, može prikazati odgovarajućim jedinstvenim monofaznim reprezentom (za jednu fazu -- npr. fazu a), tj. sistem se može prikazati odgovarajućim pogonskim parametrima -- pogonskom šemom. Neutralna tačka (provodnik) je u trofaznom čvoru (grani) jedinstvena, dok je u svrhu rasprezanja po fazama "podeljena" na tri iste tačke, pri čemu svaka od njih predstavlja referentnu -- neutralnu tačku za po jednu od faza. Kako je već istaknuto, trofazna snaga elektroenergetskog sistema u simetričnom režimu ravnomerno se raspodeljuje po fazama. To znači da se u njegovom monofaznom reprezentu ima trećina snage (kompleksne, aktivne, reaktivne). Da je to tako, očigledno je iz činjenice da se u monofaznim granama s pogonskim parametrima uspostavljaju iste struje kao u fazama trofazne grane.

************************

2.3.3 Pofazni tretman trofaznih elektroenergetskih sistema u simetričnim režimima

Razmatra se uravnotežen trofazni element u simetričnom režimu – Slika 2.31.

Dakle, fazne veličine svake trofazne veličine (struje cba III ˆ,ˆ,ˆ , naponi cba UUU ˆ,ˆ,ˆ sa

eksitacijom kola oc

ob

oa UUU ˆ,ˆ,ˆ ) simetrične su:

acab XXXX ˆaˆ,ˆaˆ 2 == , IUX ˆ,ˆˆ ∈ , /3j2ea π= , (2.103)

0ˆˆˆ =++ cba XXX , IUX ˆ,ˆˆ ∈ . (2.104)


Slika 2.31 – Uravnotežena trofazna grana sa simetričnim naponima idealnih naponskih

generatora, u simetričnom režimu Zameniti na slici subskripte impedansi 1, 2 i 3 sa a, b i c !!!

S obzirom da je 0ˆˆˆˆ =++= cban IIII , struja neutralnog provodnika jednaka je nuli.

Ako su faze trofaznog elementa elektromagnetski spregnute ( 0ˆ ≠abZ , 0ˆ ≠bcZ ,

0ˆ ≠caZ , 0ˆ ≠acZ , 0ˆ ≠cbZ , 0ˆ ≠baZ ), onda matematički model elementa glasi:

ccabbaaaaaoa IZIZIZUU ˆˆˆˆˆˆˆ ++=− ,

ccbbbbaabbob IZIZIZUU ˆˆˆˆˆˆˆˆ ++=− ,

cccbbcaaccoc IZIZIZUU ˆˆˆˆˆˆˆˆ ++=− .

(2.105)

Dakle, očigledno je da režim u ma kojoj fazi (npr. a) zavisi i od režima ostale dve faze (npr. b i c).

Saglasno s relacijama (2.103), kao i s tim da je 3aa += kk (k je ceo broj) i 0aa1 2 =++ , modelu (2.105) može da se da sledeći oblik:

acabaaaaoa IZZZUU ˆ)ââˆ(ˆˆ 2 ++=− ,

bcbbbabbob IZZZUU ˆ)âˆâ(ˆˆ 2++=− ,

cccbcaccoc IZZZUU ˆ)ˆââ(ˆˆ 2 ++=− .

(2.106)

Ako se definišu sledeći parametri:


cabaaaa ZZZZ ââˆˆ 2 ++=∆

,

cbbbabb ZZZZ âˆâˆ 2++=∆

,

ccbcacc ZZZZ ˆââˆ 2 ++=∆

,

(2.107)

Onda model (2.106) dobija oblik:

aaaoa IZUU ˆˆˆˆ =− .

bbbob IZUU ˆˆˆˆ =− ,

cccoc IZUU ˆˆˆˆ =− ,

(2.108)

odnosno:

a

a

aoa ZI

UU ˆˆ

ˆˆ=

−.

b

b

bob Z

I

UU ˆˆ

ˆˆ=

−,

c

c

coc Z

I

UU ˆˆ

ˆˆ=

−.

(2.109)

Pošto iz (2.103) sledi:

c

coc

b

bob

a

aoa

I

UU

I

UU

I

UUˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ −=

−=

−, (2.110)

onda iz (2.110) slede konstrukcijski uslovi uravnoteženosti razmatranog elementa:

cba ZZZ == . (2.111) Naime, da bi element bio uravnotežen, odnosno da bi se u njemu mogao uspostaviti simetričan režim, za parametre tog elementa mora da važe relacije (2.111). Iz (2.107) sledi da će one važiti u sledećoj varijanti:

ccbbaa ZZZ ˆˆˆ == ,

cabcab ZZZ ˆˆˆ == ,

bacbac ZZZ ˆˆˆ == .

(2.112)

Relacije (2.112) mogu da se protumače na sledeći način: razmatrani element biće

uravnotežen ako su sopstveni parametri faza meñusobno isti ( ccbbaa ZZZ ˆˆˆ == ) i ako svaka

faza elektromagnetski utiče na narednu fazu ka što naredna faza utiče na svoju narednu


fazu ( cabcab ZZZ ˆˆˆ == ) i obrnuto ( bacbac ZZZ ˆˆaˆ == ). Ovaj se uticaj naziva cirkularnim.

Drugim rečima: razmatrani element biće uravnotežen kada je njegov matrični reprezent cirkularna matrica:

cccbca

bcbbba

acabaa

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ =Z , (2.113)

Matrica (2.113) jeste cirkularna pošto, s obzirom na relacije (2.112), ona može da se napiše u sledećem obliku:

aaacab

abaaac

acabaa

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆ =Z . (2.114)

[Napomena: Pitanje da li osim relacija (10) postoje i opštiji uslovi uravnoteženosti trofaznog elementa, ovde se ne razmatra.]

Dakle, na osnovu relacija (2.109), ako je razmatrani element uravnotežen i ako se

nalazi u simetričnom režimu, onda on može da se prikaže po jednoj fazi, npr. fazi a, kao što je to dato na Slici 2.32a.

Meñusobno jednaki parametri acabaa ZZZ ˆˆˆ == predstavljaju jedinstven parametar

razmatranog trofaznog elementa – pogonski parametar Z . Dakle, ako se razmatrani element prikaže sa svojim pogonskim parametrom, a ne sa originalnim sopstvenim i meñusobnim parametrima njegovih faza, onda taj element u simetričnom režimu može da se tretira samo po jednoj fazi. Na osnovu relacija (2.109) i (2.111), to može da bude bilo koja faza. Tj, naponi i struja na Slici 2.32a mogu da se odnose i na fazu b i na fazu c, sa istom pogonskom impedansom )ˆˆ(ˆ

cba ZZZ == . U tom slučaju, pofazni element sa Slike

2.32a može da se prikaže kao na Slici 2.32b, bez da se eksplicira faza o kojoj je reč. Ova šema se naziva pogonskom šemom trofaznog elementa.

(a) (b)

Slika 2.32 – Pofazni prikaz trofaznog elementa i njegovog simetričnog režima (a) i šema

bez eksplicirane faze (b) Na obe slike simboli za idealne naponske izvore nisu dobri !!!


Ako se razmatra trofazan uravnotežen elektroenergetski sistem u simetričnom režimu i ako se svi njegovi (trofazni) elementi prikažu njihovim pogonskim (pofaznim) šemama za izabranu fazu i ako se te pogonske šeme povežu isto kao što su povezani odgovarajući trofazni elementi, onda se dobija pogonska (pofazna, monofazna) šema elektroenergetskog sistema.

Merenje pogonskih parametara

Napred sprovedena razmatranja o mogućnosti da se trofazni uravnotežen element može prikazati jedinstvenom monofaznom -- pogonskom šemom, omogućuju jednostavno merenje pogonskih parametara. Ti parametri su za svaku fazu uravnoteženog elementa jednaki -- $Z11 (2.114). Evo jednostavnog eksperimenta za merenje pogonske impedanse $Z11 razmatrane otočne grane prikazane na slici 2.33.

• Merenjem napona praznog hoda grane (pomoću osciloskopa), mogu se ustanoviti

fazori napona ( oc

ob

oa UiUU ˆˆ,ˆ ).

• Dovoñenjem simetrične trojke poznatih (fazora) napona ( oc

ob

oa UiUU ˆˆ,ˆ ) na otočnu

granu, u nju se (po definiciji uravnoteženosti elementa) uspostavljaju simetrične struje

( oc

ob

oa IiII ˆˆ,ˆ ). I one (njihovi fazori) mogu se izmeriti osciloskopom.

• Raspolažući s napred izmerenim i poznatim trojkama napona i struja, pogonska impedansa otočne grane $Z11 iznosi (2.114):

$$ $

$

$ $

$

$ $

$.Z

U UI

U UI

U UI

a ao

a

b bo

b

c co

c11=

−=

−=

− (2.115)

Slično se može uraditi i s rednom granom, ali se ona mora dovoditi pod simetrične napone s obe njene strane.

2.4 Rezime druge glave

Iz okvira razmatranja istorije elektriciteta (prvi paragraf -- "Istorijski razvoj elektroenergetike") može se izvući nit koja vodi ka elektroenergetici. Suštinski momenti tog razvoja su:

• 1785. godina -- Coulomb: kvantifikovanje električne sile i pojam električnog polja; • 1820. godina -- Oersted: magnetna igla skreće u blizini provodnika s

(jednosmernom) strujom; • 1831. godina -- Faraday: elektromagnetna indukcija; • 1876. godina -- Maxwell: sinteza teorije elektromagnetizma u vidu četiri relacije i

dokaz o elektromagnetnoj prirodi svetlosti; • 1879. godina -- Edison: prva električna sijalica; • 1883. godina -- Gaulard i Gibbs: elektroenergetski transformator; • 1883. godina -- Tesla: sistem poli(tro)faznih struja;


• 1887. godina -- Tesla: trofazni prenos; • 1887. godina -- Tesla: elektromagnetno obrtno polje; • 1888. godina -- Tesla: trofazna asinhrona mašina (motor).

Iz zahteva za pouzdanošću napajanja, sigurnosti pogona i ekonomičnosti elektroenergetskog sistema, u drugom paragrafu ("Osnovi elektroenergetskih sistema"), izvedena je struktura savremenih elektroenergetskih sistema (prenosna mreža petljaste strukture i distributivna mreža radijalne strukture), te zahtev za povezivanjem (interkonekcijom) elektroenergetskih sistema. Obrañena su dva bazična opredeljenja u koncepciji savremenih elektroenergetskih sistema: prvo je elaborirano opredeljenje za naizmenične (a ne jednosmerne) elektroenergetske sisteme, a potom i za trofazne (a ne monofazne) elektroenergetske sisteme. Argument za prvo opredeljenje je "jeftin" transformator naizmenične (a ne jednosmerne) elektične energije, a u drugom slučaju -- Teslino elektromagnetno obrtno polje i pedesetprocentna ušteda u materijalu potrebnom za prenos trofazne u odnosu na prenos monofazne električne energije. Osim ta dva bazična opredeljenja, razmotrena su i opredeljenja za veličinu učestanosti (50 do 60 Hz), kao i napona u prenosnim (220, 400,... kV) i distributivnim mrežama (0.38, 6, 10, 20, 35, 110 kV). Definitivno, odreñena je struktura savremenih elektroenergetskih sistema u vidu četiri podsistema: proizvodnja, prenos, distribucija i neposredna potrošnja. Pored toga su utvrñena četiri (trofazna) konstitutivna elementa elektroenergetskog sistema: generator i potrošač (otočne grane), vod i transformator (redne grane). Posebno je obrañena primena kompleksnog računa u svrhu obrade naizmeničnih elektroenergetskih sistema u stacionarnim režimima (konstantne amplitude i učestanost). Naglasak je stavljen na ideju i definiciju reaktivne snage, kao posebne dimenzije naizmenične električne energije u odnosu na ostale vidove energije (pa i jednosmerne električne energije). Definisana je induktivnost kao potrošač, a kapacitivnost kao generator reaktivne snage, mada je naglašena mogućnost ustanovljavanja i obrnute konvencije. U trećem paragrafu ("Trofazni elektroenergetski sistemi u stacionarnim režimima"), odreñeni su suštinski pojmovi uravnoteženosti trofaznih elektroenergetskih sistema (uravnoteženost svakog od njegovih elemenata ponaosob) i simetrije njegovih režima (simetrija svake od njegovih trofaznih veličina ponaosob), kao nužnim uslovima za raspolaganje s Teslinim elektromagnetnim poljem u svakoj tački sistema, kao i pedesetprocentnoj uštedi u materijalu potrebnom za prenos električne energije. U simetričnim režimima, trofazna kompleksna snaga (pa i aktivna i reaktivna), ravnomerno se dele po fazama. Definitivno, pokazano je da se trofazni uravnotežen elektroenergetski sistem sa simetričnim režimom može raspregnuti -- prikazati samo po jednoj fazi, ali ne originalnim već s pogonskim parametrima. Time se uveliko pojednostavljuje tretman trofaznih elektroenergetskih sistema. On je sveden na tretman monofaznih kola. Jednostavnost opisa Tesline trofazne elektroenergetike (u vidu monofaznih sistema) svakako nije bio motiv Tesli da uspostavi takvu energetiku, ali ta jednostavnost je svakako rezultat genijalnosti njegovih tehničkih rešenja. Svako veliko rešenje, veliko je na svaki način, pa i u njegovoj formi. A forma prikaza trofaznih simetričnih režima (uravnoteženih) elektroenergetskih sistema, nije ništa složenija od forme monofaznih elektroenergetskih sistema.

2. osnovi elektroenergetike - telekomunikacije · pdf file2. osnovi elektroenergetike 23 2....

Documents