1.5 Operaciones entre Conjuntos

1.5.1 Unión de Conjuntos. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A B = {x | x A o x B}

1.5.2 Intersección de Conjuntos. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:

A B = {x | x A y x B}

1.5.3 Diferencia de conjuntos. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B y se lee: A diferencia B o A menos B.

A - B = {x | x A, x B}

1.5.4 Complemento. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo no pertenecen al conjunto A, denotado por A’

A’ = {x | x U, x A}

Veamos ahora a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Venn.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte sombreada

Diagrama de la unión de dos conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es la parte rayada.

Diagrama del complemento de un conjunto.

El conjunto U es el Universal (parte gris y blanca) y el complemento de A es solo la parte gris del dibujo.

AA’

U

A B

A B

U

Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia A - B es la parte sombreada.

Diagrama de la inclusión de conjuntos.

En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A.

Diagrama de conjuntos disjuntos.

En el diagrama se muestra dos conjuntos disjuntos

 

 1. 7 Aplicaciones de los Diagramas de Venn en la Resolución de Problemas

Los diagramas de Venn se utilizan para resolver problemas como los siguientes:1. Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) Motocicleta solamente: 5II) Motocicleta: 38III) No gustan del automóvil: 9IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20VI) No gustan de la bicicleta: 72VII) Ninguna de las tres cosas: 1VIII) No gustan de la motocicleta: 61

De acuerdo a los datos siguientes responda las siguientes preguntas:

A B

U

A

B

U

AB

U

1. ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 2. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 3. ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente? 4. ¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 5. ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

Solución:Tratemos de colocar los datos en un diagrama de Venn para los tres conjuntos.Nos encontraremos con que sólo cuatro de ellos los números I), IV), V) y VII) se pueden colocar directamente:

Ahora con el dato II) se puede completar la única zona que falta en el conjunto MOTO, haciendo la diferencia 38 - (20+5+3) = 10:

Luego utilizaremos el dato VI), si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes a BICICLETA, deberían sumar 72, luego 72 – (20 + 5 + 1) = 46.

Ahora, podremos usar el dato III), pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto AUTO, deberán sumar 9, luego 9 - (5+3+1) = 0:

AM

B

5

3

20

1

AM

B

5

3

20

1

10

AM

B

5

3

20

1

1046

AM

B

5

3

20

1

10

46

0

Por último utilizaremos el dato VIII) pues si consideramos todas las zonas, excepto las cuatro correspondientes al conjunto MOTO, deberán sumar 61, luego 61 - (46+0+1) = 14:

Con lo que estamos en condiciones de responder a todas las preguntas: a. A 99 personas. b. A ninguna. c. A 46 personas. d. A 10 personas. e. A 14 personas.

TALLER 2

1. Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar a) (A B) C b) A (B C ) c) (A B) C d) A (B C) e) (A – B)f) ( C – A) g) (B – C) h) (B – A) i) (B – B)

2. Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar: a) A’ b) (A C)’ c) B’ d) (A B)’ e) (A’)’ f) (B – C)’

3. En el diagrama de Venn siguiente, rayar:a) B’ b) (A B)’ c) (B – A)’ d) A’ B’

4. Resolver los siguientes problemas:

AM

B

5

3

20

1

10

46

0

14

A B

a) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B: 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B.

a. ¿Cuántas personas consumían A? b. ¿Cuántas personas consumían B? c. ¿Cuántas personas consumían B pero no A?d. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

b) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A, B y C: 30 personas consumían A. 85 personas consumían B. 103 personas consumían C. 10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C

a. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? b. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? c. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? d. ¿Cuántas personas no consumían A? e. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos?