2) material de apoyo extra

2. GEOMETRÍA La preocupación y ansiedad existentes en neustros días porque los niños adquieran destrezas

numéricas tiende aoscurecer elhecho real de qeu casi todo el mundo ha de afrontar con

mucha mayor frecuencia problemas espaciales que provlemas numéricos, ya sea trabajando

de albañil, de diseñador de ropa o de dibujante, ya en actividades cotidianas como estacionar

el coche, jugar al tenis o montar una estantería. Si las matemáticas ofrecen una vía para

comprender y apreciar el valor de nuestro entorno, una gran parte de esa apreciación será

fruto de la comprensión y captación de lo espacial, por la sencilla razón de que nuestro

ambiente físico lo es.

2.1 Las geometría y el espacio

2.1.1 Geometría y espacio La primera idea que se tiene de Geometría es: “exploración del espacio”.El espacio es lo que nos rodea, por donde nos movemos. Pero una definición rigurosa deespacio es: “medio continuo, tridimensional, de límites indefinidos que contiene todos losobjetos y donde se desarrollan todas las actividades.”Una idea más rigurosa de Geometría es: “ciencia que tiene por objeto ANALIZAR, ORGANIZAR Y SISTEMATIZAR los conocimientos espaciales.”

2.1.2 Conocimiento geométrico

Sharma (1979) pone de manifiesto en sus investigaciones, que en las personas diestras loshemisferios izquierdo y derecho se ocupan fundamentalmente de los siguientes aspectos del procesamiento de la información:

Esto hace que haya dos perfiles de aprendizaje geométrico:

[email protected] 10

2.2 Relaciones Las relaciones son las distintas conexiones que podemos hacer entre los elementos.Estas relaciones y elementos se agrupan en tres grandes bloques y que a la vez, según Piaget,determinan el orden en que son adquiridos por los niños:

Relaciones topológicas: Son aquellas relaciones que no varían por una deformaciónbicontinua (dos veces continua, que no varía ni por estirar ni por girar).Ejemplos: Número de lados, abierto, cerrado, orden.

Relaciones proyectivas: Son las relaciones que varían al cambiar el punto de proyección(el punto de vista desde donde los miro).Ejemplos: arriba, abajo, derecha, detrás, delante.

Relaciones métricas: Son todas las relaciones que dependen de medidas.Ejemplo: paralelo, ángulo recto.

2.3 Topología

2.3.1 Definiciones previasVamos a ver que hay una serie de elementos y relaciones geométricas que no varían ante determinados cambios (estiramientos y giros), y que precisamente por esa invarianza son másasequibles al conocimiento del niño. Si hacemos un dibujo en una membrana de caucho (o en la superficie de un globo), y la estiramos y giramos libremente, habrá cosas que cambien – la forma del dibujo, la longitud deuna línea – y cosas que no – si un punto está dentro de una figura, si una línea es contínua –. Éstas segundas son las primeras que adquiere el niño y son las que se conocen como relaciones y conceptos topológicos.

2.3.2 Relaciones topológicas básicasVamos a definir y explicar las principales relaciones topológicas básicas. Posteriormenteveremos cómo se trabajan en el aula.


2.3.3 Actividades para trabajar las relaciones topológicasAhora que ya conocemos los principales conceptos y relaciones topológicas, vamos a explicaralgunas actividades que sirvan de ejemplo de cómo se pueden trabajar en el aula.

Tres en raya: juego de dos jugadores que consiste en colocar las tres fichas de un jugadorcontinuas en la misma recta. Hay diferentes tableros para este juego, pero el más conocido es el de la figura 3.

Dominó: juego de mesa que consiste en colocar juntas las partes de unas fichas que seaniguales. Existen diferentes fichas de dominó, pero las más habituales representan los númerosdel 0 al 6 con puntos negros.

Triminó: juego evolucionado del dominó, y que como su propio nombre indica se juega con fichas de tres partes y las mismas reglas del dominó. El aumento de esta variable didáctica (de tener dos partes a tener tres partes) multiplica las posibilidades didácticas de este juego.

Rellenar de color: actividad para un jugador que consiste en rellenar las distintas partes deun dibujo (recintos cerrados) con colores que se corresponden con una clave gráfica o numérica. El 1 con el rojo, el 2 con el azul, y así sucesivamente. Figuras 1 y 2.


Las sillas: conocido juego en que los niños corren alrededor de unas sillas (una menos que jugadores haya) colocadas en círculo mientras suena una música, y en el momento en queesta cesa deben sentarse cada uno en una. El jugador que se queda sin silla se retira.

6.- Laberintos: actividad que consiste en tratar de recorrer desde un punto hasta la salida en un diseño de caminos diferentes, de los que sólo uno lleva a la salida. Hay muchos tiposdiferentes de laberintos, sirvan como ejemplos los de las figuras siguientes.

7.- Enredos y desenredos: consiste en colocarse todos los niños en un grupo desordenado y a una señal del maestro se dan la mano con quien puedan o quieran en la posición en que estén.En ese momento se forma una cadena humana y el objetivo del juego es que logrendesenredarla.8.- El tren: el tradicional juego de simulación de los vagones y la locomotora.9.- Cruces y recruces: juego en el que los alumnos deben recorrer caminos que se cruzan sinsalirse del suyo propio y sin chocar con otros jugadores que van siguiendo el suyo. Se puedehacer tratando de recorrerlos en el menor tiempo posible, o simplemente con el objetivo de noconfundirse de camino y no salirse del mismo. Puede hacerse moviéndose por el espacio –pintando los caminos en el suelo– o gráficamente –con lápiz y papel–.

2.4 Posición y orientación

2.4.1 DefiniciónCuando tratamos de localizar un objeto tenemos que tener en cuenta:a) Dónde lo colocamos en relación a otros objetos...........................POSICIÓN del objeto. Ejemplo. El plátano está arriba a la izquierda.

b) Cómo (hacia dónde) lo colocamos................................................ORIENTACIÓN del objeto. Ejemplo. El primer pez mira para arriba, el tercero para la derecha.


Ambos aspectos varían en función de dónde lo miremos, del punto de nuestra visión, por tanto son proyectivas.

2.4.2 Conceptos y relaciones proyectivos inicialesEl espacio se ordena en tres dimensiones, que se corresponden con los tres ejes de nuestrosistema de referencia habitual (el de Descartes o Cartesiano). Ordenados por esas tresdimensiones estudiaremos los conceptos y relaciones proyectivos.

Ejes de referencia

ContrastesEstos términos no se adquieren por definición, sino por oposición de dos polos opuestos, quees lo que Acuturier llama aprendizaje por contrastes. En este aprendizaje por contrastes estánlo que se denominan polos débiles y polos fuertes, que se aprenden a la vez por contraposiciónde dos términos. El polo fuerte se denomina así porque es más fácil de dominar.Los conceptos proyectivos iniciales se podrían agrupar de la siguiente forma.


a) Oposiciones absolutas: las que acabamos de ver.b) Oposiciones relativas: por encima de, por debajo de, delante de, detrás de, a la izquierdade, a la drha de.c) Términos relativos: en el centro, alrededor de, al lado de.

2.4.3 Puntos de referencia El movimiento en el espacio supone servirse de puntos de referencia por los que localizar la posición y la dirección de los objetos. El desarrollo de apreciación espacial está relacionadadirectamente con la capacidad de usar estos puntos de referencia. Estos puntos de referenciason el punto origen del sistema de referencia.

FasesLa evolución de estos puntos (y por tanto de los sistemas de referencia) se ve marcada por tresfases:

Esquema corporal. El niño en esta etapa localiza y organiza las partes de su cuerpo. Determina que su cabeza está arriba, que tiene una oreja a cada lado, y que los pies estánabajo.

Fase egocéntrica. En esta fase el niño localiza objetos que no son de su cuerpo, pero todos los va a localizar y referir respecto a él (a su cuerpo).Ej. Cuando va a salir por una puerta dirá: “la puerta está delante de mi”

Descentración. Progresivamente el niño va a ir siendo capaz de localizar objetos sin hacerreferencia a su cuerpo, sin ser éste el centro de sus referencias.Ej, Cuando sale por la misma puerta dirá:”la puerta está al lado de la ventana”, incluso “ yo estoy delante de la puerta” (nótese que en este caso es la puerta la referencia para dar su posición).

2.5 Caminos y laberintos Desplazamiento es un cambio de posición y/o orientación de un objeto. Son por tanto una buena forma de reforzar la coordinación entre la posición, la orientación y los aspectosmétricos. Pero hay diferentes actividades de desplazamientos con los que podemos empezar a trabajar, empezando por los caminos y los laberintos.

Camino es la actividad de desplazarse entre dos puntos, saliendo de uno y llegando al otro. Lo importante es conseguir salir de un punto indicado (punto de salida) y llegar a otro(punto de llegada) independientemente del trayecto recorrido. Los posibles trayectos son másde uno.

Laberinto es la actividad de desplazarse de modo continuo entre dos puntos. Loimportante es encontrar un desplazamiento contínuo, sin interrupciones. En esta actividad sólohay un trayecto posible, los demás no llegan al punto final. Los laberintos y los caminos son así las actividades más comunes para trabajar los desplazamientos.

Muchas veces tenemos que indicar el “camino” a alguien para llegar de un sitio a otro. Para hacer estas indicaciones hay que disponer de una serie de recursos que nos permitan salir dellugar indicado y llegar al lugar correcto. Estos recursos tendrán bastante que ver con indicaciones de posiciones y orientaciones por lo que la podremos considerar como una actividad proyectiva, pero además también habrá distancias y giros por lo que podremosconsiderarla también como actividad métrica. Éste último aspecto es la diferencia principal conlos laberintos.

Actividades con cuadrícula Tenemos diferentes maneras el tema de los caminos, pero el modo más habitual es a través decuadrículas. La razón que nos lleva a esta elección es la sencillez de este método y fundamentalmente su afinidad con el sistema Cartesiano de referencia, que es el más universalde los sistemas de referencia (latitud y longitud en el globo terrestre, posición de los barcos,...)


Cuando hablamos de cuadrículas, nos estamos refiriendo a superficies recubiertas de cuadrados de igual tamaño, a modo de baldosas de una pared. Partiendo de este elemento común, hay diferentes formas de indicar un camino con estas cuadrículas.

Caminos sobre cuerda. Se trata de indicar el camino gráficamente sobre la superficie con una línea continua (o cuerdas). Para seguir el camino sólo hay que seguir la línea.

Camino por rastreo. En este caso se hace una señal (o dibujo) diferente en cada cuadro,y el camino se indica con la secuencia ordenada de dibujos por los que se pasa al recorrer el camino. De ahí su nombre de rastreo, porque lo que hacemos es seguir el rastro del recorrido.

Camino por movimientos. Aquí también se da una secuencia ordenada, pero ahora vamosa dar los movimientos que hay que ir haciendo para recorrer el camino. Por cada indicación unmovimiento. Estas indicaciones pueden ser: las estándares absolutas (Norte, Sur, Este, Oeste.), las relativas a uno mismo (delante, detrás, a la derecha, a la izquierda), o particulares de la propia actividad. Éstas últimas son las más adecuadas al periodo Infantil, y se suele hacermarcando las distintas indicaciones con dibujos o colores, como en la figura.

Caminos por etapas. Se trata de indicar las posiciones de los puntos intermedios (etapas)que hemos de hacer para completar el camino. Cada posición se da con dos indicaciones, una de fila y otra de columna. De este modo el camino consiste en seguir las indicaciones etapa aetapa.


2.6 Las formas planas

2.6.1 Relaciones métricas El círculo, el cuadrado, el triángulo, y el rectángulo son las formas planas que el niño debedistinguir, reconocer y reproducir en Infantil. Trataremos las relaciones que hay entre ellas y con otras áreas del currículo. Éstas capacidades de reconocimiento, distinción y reproducciónnecesitan de una buena parte de medida (de lados o ángulos) por lo que se consideranactividades fundamentalmente métricas.

2.6.2 Niveles de Van Hiele Van Hiele esboza una teoría sobre el desarrollo espacial que está adquiriendo cada vez mayorpopularidad y reputación, sobre todo en el ámbito de la geometría escolar (todos los niveles).La teoría comprende cinco niveles de desarrollo:

Nivel I. Las figuras se distinguen por sus formas individuales, como un todo, sin detectarrelaciones entre tales formas o entre sus partes.Por ejemplo, un niño de cinco años puede reproducir un triángulo, un cuadrado o un rectánguloen un geoplano, incluso recordar de memoria sus nombres, pero no es capaz de ver que loslados del rectángulo son paralelos e iguales dos a dos. Para él se tratan de formas distintas y aisladas.

Nivel II. Comienza a desarrollarse la idea de que las figuras constan de partes. Esto se aprenderá en actividades prácticas como dibujar, construir modelos, etc. Por ejemplo un niño ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que los lados opuestosson de la misma longitud. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo especial deparalelogramo.

Nivel III. Las definiciones y relaciones empiezan a quedar claras, pero sólo con ayuda y guía. Se empiezan a establecer conexiones lógicas, mezcla de experimentación práctica y razonamiento lógico. Por ejemplo, se ve el cuadrado como un tipo especial de paralelogramo, o el cuadrado comoun tipo especial de rombo.

Neveles IV y V. Se ocupan del desarrollo del razonamiento deductivo, y de la abstraccióndesprovista de interpretaciones concretas. Estos estadios no los comentamos, pues son pocoslos alumnos en edad escolar que llegan a alcanzarlos.

TEO.2.6.3 Reconocimiento y reproducción de formas planasSer capaz de distinguir o reconocer las formas geométricas es una capacidad que se desarrollaen el nivel I de Van Hiele, y que tiene una gran importancia, pero que debemos de diferenciarlade la capacidad de reproducir una forma geométrica.El reconocimiento de la forma circular (la primera en distinguirse por su falta de lados) se hacea partir de los 2 años. El triángulo y el cuadrado con 3 años, y el rectángulo con 4 años.La reproducción de las formas geométricas es posterior.En un estudio realizado con niños de 2 a 7 años para delimitar la capacidad de construir y dibujar formas geométricas planas (Fuson y Murray, 1978) se les presentaban a los niños uncírculo, un triángulo, un cuadrado y un rombo en una bolsa para que los palpasen, y se lespedía que los dibujasen en una hoja de papel. Los resultados obtenidos, teniendo en cuenta que no podían copiar simplemente las formas porque no las podían ver directamente, fueronlos siguientes:


2.6.4 Formas geométricas elementalesLas figuras geométricas elementales y que se primero se trabajan son: el círculo, el triángulo, el cuadrado y el rectángulo.

CírculoSe presenta como la forma que puede “rodar”. Esa es característica que la diferencia del restode formas, por lo que es la primera en presentarse a los niños. Se hace la distinción entre lo que rueda y lo que no. Es la figura padre de las demás curvas: elipse, ovoide, etc. No tiene vocabulario específico, aunque si recibe diferentes nombres: círculo, redondo,redondel.Se desarrollan actividades para:- reconocer sus propiedades:puede rodar, es decir, no tiene lados (actividades con ruedas, tapaderas)múltiples ejes de simetría (doblando círculos de papel, haciendo juegos con espejos)-expresión;relleno de superficies (ver figura)

Cuadrado“Forma de líneas horizontales y verticales que se cruzan”. En este momento no se explicitanada sobre la igualdad de sus lados, porque es la primera figura con lados que conocen y noes necesario.Es la figura con dos “tumbados” y dos “levantados”. Esta construcción es muy adecuada paratrabajar su reproducción en papel. Su vocabulario específico es: lado, centro, diagonal.Se desarrollan actividades para:- reconocer sus propiedades:ejes de simetría (doblando figurase de papel, espejos…)-expresión;relleno de superficies (ver figuras)


reproducción de cuadrados con el cuerpo, y dibujar la situación (ver figuras)

Triángulo“Forma de tres lados y cerrada”. Para su reproducción en papel es la figura con un “tumbado” y dos “inclinados”.Se trabaja principalmente con:-triángulos equiláteros (tres lados iguales), que son los más fáciles de reconocer y reproducir.-triángulos rectángulos isósceles (un ángulo recto y sus dos lados iguales) que son los queaparecen en distintos materiales y juegos , ya que dos triángulos de estos forman un cuadrado.O lo que es lo mismo, un cuadrado se divide en dos triángulos rectángulos isósceles.Se desarrollan actividades para:-reconocer sus propiedades-expresión(ver figuras)

Rectángulo“Forma de líneas horizontales y verticales que se cruzan…” (en este momento se introduce lasprimeras nociones de medida: largo y corto) “…con dos lados largos y dos cortos.”Es la figura geométrica con el nombre más complicado para los niños, pero la más común enla vida cotidiana.Su vocabulario específico es: lado largo, lado corto, centro, diagonal.Las actividades del rectángulo suelen ir ligadas a las del cuadrado, pero ahora distinguiendoentre largos y cortos.

TEO.2.6.5 Materiales para trabajar las formas planas

Bloques lógicosSon 48 piezas de cuatro formas distintas –círculo, triángulo, cuadrado, rectángulo–, tres colores–rojo,amarillo, azul–, dos tamaños –grande, pequeño– y dos grosores –grueso, fino–. De estemodo no hay dos figuras con todas las características iguales.Sirven para una gran variedad de cosas (por ello son uno de los materiales más habituales enel aula) y dentro del pensamiento espacial se usan para el reconocimiento de formasgeométricas.

Tam-granMaterial compuesto de siete fichas de igual color: 5 triángulos rectángulos (de tres tamañosdiferentes), un cuadrado y un paralelogramo. La idea es juntar estas fichas –sin superponerlas–para formar otras figuras.Hay muchas actividades posibles, desde la más sencilla, que es hacer figuras con dos fichas(con dos triángulos formamos un cuadrado) hasta las más complicadas con las siete fichas.Trabajamos fundamentalmente el reconocimiento de figuras geométricas y la representación.

GeoplanoEs una base con una cuadrícula a base de pequeños salientes en forma de malla. Con estematerial se pretende facilitar la reproducción o representación de figuras geométricas. Conunas gomas de colores que se enganchan en los salientes se pueden formar gran variedad defiguras. Se evitan así gran parte de los problemas de motricidad fina que pueden tener los niños de corta edad. Además se introduce en el mundo de la cuadrícula que es la base de cualquier representaciónposterior (coordenadas cartesianas).


MosaicosSon figuras planas elementales de colores diferentes y repetidas un número suficiente deveces. Dependiendo del modelo de mosaico, estas figuras son: triángulos rectángulosisósceles, paralegramos (rombos), y cuadrados.Con ello se busca componer formaciones de colores que recubran la superficie, teniendo quefijar así la atención en las propiedades de cada figura. Trabaja pues este material el reconocimiento de formas planas y sus propiedades.

2.7 Actividades

2.7.1 Significación Una misma actividad puede plantear tres niveles de significación distintos:

Situaciones reales. Una actividad a tamaño real, con el material real, en tiempo real. Por ejemplo si la maestra durante la visita a la granja escuela pide a un alumno que le guíe desdedonde están las gallinas hasta donde están los patos, y el niño agarra de la mano a la maestra y la lleva al lugar indicado.

Situaciones trasladadas. Una actividad que reproduce en una escala diferente una situacióndistinta.Por ejemplo un niño coge un juego de una granja, y coloca en clase la casa de la granja, los cercados, los corrales; y dentro de ellos los diferentes animales, como lo recuerda de la granja.Los conceptos son los mismos, pero la situación es trasladada (respecto de una granja en realidad)

Situaciones gráficas. Una actividad realizada en papel (generalmente es trasladada, pero no siempre).Por ejemplo la maestra pide a los niños que dibujen en un folio la charca donde estaban lospatos de la granja escuela, y dibujen también lo que había alrededor.

2.7.2 Tamaño La clasificación más popular distingue entre:


Microespacio. Si la actividad se desarrolla en un espacio pequeño, que es hasta dondellegan los brazos del niño (su mesa generalmente).

Mesoespacio. Es un espacio intermedio, que cubre la habitación donde esté el niño o un tamaño similar.

Macroespacio. Es el espacio más grande, que generalmente es abierto (el patio, la calle).

2.7.3 Medio Hay que tener en cuenta el medio a través del cual le planteamos la actividad o el problema alniño, y también el medio a través del cual el niño realiza dicha actividad o resuelve el problema.Primeramente haremos una clasificación que sirve para ambos casos.

Medio físico. La actividad se plantea/realiza con materiales reales, manipulables, físicos.Medio gráfico. La actividad se plantea/realiza con lápiz y papel. Medio verbal. La actividad se plantea/realiza a través de las palabras (voz)

Se pueden dar diferentes cruces a la hora de plantear y resolver una actividad. Se puede plantear una actividad verbalmente – “dime cómo se va hasta el patio desde esta clase” – y resolverla gráficamente – el niño me hace un dibujo. Se puede plantear físicamente – llevo a un niño desde la entrada a la clase y le pido que me lleve de nuevo a la entrada – y resolverloverbalmente – “sales todo recto, bajas las escaleras y ya está”. Se pueden hacer todas lascombinaciones que podamos pensar, pero las que primero serán las que se plantean y resuelven en el mismo medio, es decir, que si planteo una actividad gráficamente, lo mejor esque el niño tenga que resolverlo gráficamente también.


LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Y DEL ESPACIO Presentación:

Indiscutiblemente, la Geometría, es la ciencia más antigua con que el hombre haya llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron transformándose en abstractas.

Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza sugieren un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono.

Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. Del análisis de estos hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos, para someterlos también a estudio y comparación.

A partir de estas consideraciones, intentaremos en este fascículo alcanzarte algunas ideas que faciliten el estudio de la geometría.

En primer lugar, una breve descripción histórica del camino recorrido por la Geometría, nos permitirá tener una visión panorámica de esta ciencia, así como también, fundamentar el por qué empezar con un estudio intuitivo antes que un estudio hipotético – deductivo o racional.

En segundo lugar, se tratará de analizar el carácter abstracto de las figuras geométricas. A través de ejemplos, se mostrará cómo deducir propiedades de figuras y las relaciones se dan entre ellas. Otro aspecto importante de la geometría es la clasificación de figuras a partir de ciertos criterios establecidos, pero también lo es el proceso inverso: dada una clasificación enunciar el criterio de clasificación.

Por último, veremos el estudio de la Geometría como una cadena de deducciones.

CAPACIDADES:

Reconoce la geometría como medio de describir el mundo físico. Identifica, describe, compara y clasifica figuras geométricas.Representa situaciones de problema con modelos geométricos y utiliza las propiedades de las figuras. Clasifica figuras en términos de congruencia y semejanza, y aplica estas relaciones.Deduce propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir de postulados previos. Adquiere las estructuras conceptuales de un sistema axiomático.

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LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Y DEL ESPACIO

Indiscutiblemente, la Geometría, es la ciencia más antigua con que el hombre haya ría, es la ciencia más antigua con que el hombre haya llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intu

Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren Una mirada a nuestro alrededorformas geométricas. Un libro, una caja de fósf

Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias pr

CONTENIDOS:

Interpretar figuras geométricas. Deducir propiedades de figuras, y las relaciones que se dan entre ellas, a partir de postulados previos. Clasificar figuras usando la congruencia y la semejanza, y aplicar estas relaciones.Adquirir las estructuras conceptuales de un sistema axiomático.

Angulos. Polígonos. Sólidos geométricos.

Las primeras consideraciones geométricas del hombre son incuestionablemente muy antiguas, y parecería que tienen su origen en las observaciones simples que provienen de la habilidad humana para reconocer la forma física y para comparar formas y tamaños.

Hubo muchas circunstancias en la vida, aun del hombre más primitivo, que le conduciría a cierta cantidad de descubrimientos geométricos subconscientes. La noción de distancia fue sin duda alguna uno de los primeros conceptos geométricos que se descubrieron. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo originalmente a la observación de que la recta constituye la trayectoria más corta de un punto a otro; en efecto, la mayoría de animales instintivamente se dan cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos condujo a la noción de figuras geométricas simples, tales como rectángulos, cuadrados y triángulos. De hecho parece natural, cuando se pone una barda a un terreno, fijar primero las esquinas y luego unirlas por rectas. Otros conceptos geométricos simples, tales como la noción de una vertical, de una paralela y de una perpendicular, hubieran sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas.

Muchas observaciones de la vida diaria de los primeros hombres debieron haber conducido al concepto de curvas, superficies y sólidos. Los casos de circunferencias fueron numerosos, por ejemplo, la periferia del Sol o de la Luna, el arco iris y las cabezas de semillas de muchas flores. Las sombras arrojadas por el Sol o una lámpara presentarían circunferencias y secciones cónicas. Una piedra que se tira describe una parábola; una cuerda no estirada cuelga formando una catenaria; una

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imitivo, que le imientos geométricos subconscientes. La imientos geométricos subconscientes. La

noción de distancia fue sin duda alguna uno de los primeros conceptos geométricos noción de distancia fue sin duda alguna uno de los primeros conceptos geométricos que se descubrieron. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje que se descubrieron. La estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo originalmente a la observación de que la recta constituye la trayectoria más condujo originalmente a la obscorta de un punto a otro; en efecto, la mayocorta de un punto a otro; en efecto, la mayocuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos condujo a la noción de figuras corta de un punto a otro; en efecto, la mayo

rrenos condujo a la noción de figuras geométricas simples, tales como rectángulos, cuadrados y triángulos. De hecho

cuerda arrollada tiene la forma de una espiral; las telarañas ilustran polígonos regulares. Los anillos de crecimiento de un árbol, las ondas circulares que se forman al lanzar un guijarro a una laguna y las figuras sobre ciertas conchas sugieren la idea de familias de curvas. Muchas frutas y guijarros son esféricos, y las burbujas sobre el agua son hemisféricas; algunos huevos de pájaros son aproximadamente elipsoides de revolución; un anillo es un toro; los troncos de los árboles son cilindros circulares. En la naturaleza se ven frecuentemente las formas cónicas. Los alfareros primitivos hicieron muchas superficies y sólidos de revolución. Los cuerpos de los hombres y animales, la mayoría de las hojas y flores, y algunas conchas y cristales ilustran la noción de simetría. La idea de volumen viene de inmediato al considerar receptáculos para contener líquidos y otros artículos de consumo simples.

Ejemplos como los anteriores pueden multiplicarse casi indefinidamente. Las formas físicas que tienen un carácter ordenado, contrastando como lo hacen con las formas desorganizadas y al azar de la mayoría de los cuerpos, atraen necesariamente la atención de una mente reflectiva, y algunos conceptos geométricos elementales se aclaran, o se iluminan. Dicha geometría puede, para llamarse de una forma mejor, denominarse geometría subconsciente. Esta geometría subconsciente se empleó por el hombre primitivo al hacer ornamentos decorativos y modelos, y es probablemente bastante correcto decir que el arte primitivo ayudó mucho a preparar la forma para el desarrollo posterior geométrico. La evolución de la geometría subconsciente en los niños es bastante conocida y se observa fácilmente.

Ahora, al principio, el hombre consideró sólo los problemas geométricos concretos, que se presentaron en forma individual y sin interconexiones observadas. Cuando la inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación abstracta general que contiene a la primera como un caso particular, la geometría se volvió una ciencia. En esta capacidad, la geometría tiene la ventaja de ordenar problemas prácticos en grupos tales que los problemas de uno puedan resolverse por el mismo procedimiento general. Se llega pues a la noción de una ley o regla geométrica. Por ejemplo, cuando se comparan las longitudes de los recorridos circulares con sus diámetros, se llega después de algún tiempo, a la ley geométrica de que la razón de la circunferencia a su diámetro es una constante.

No hay evidencia que nos permita estimar el número de siglos que pasaron antes de que el hombre fuera capaz de llevar la geometría al estado de una ciencia, pero todos los escritores de la antigüedad que trataron con este tema, coinciden unánimemente en que el valle del Nilo del Egipto antiguo fue el lugar en el que la geometría subconsciente se convirtió por primera vez en geometría científica.

Así pues, la manera de contar tradicional ve los principios de la geometría como una ciencia en las prácticas primitivas de la agrimensura egipcia; en efecto, la palabra “geometría” significa “medición de la tierra”. Aunque no podemos tener seguridad de este origen, parece seguro suponer que la geometría científica surgió de la necesidad práctica, apareciendo varios miles de años antes de nuestra era en ciertas áreas del oriente antiguo, como una ciencia para ayudar a quienes se ocupaban de ingeniería y agricultura. Hay evidencia histórica de que esto tuvo lugar no sólo en el río Nilo de Egipto, sino también en otras cuencas de grandes ríos, tales como el Tigris y el Eufrates de Mesopotamia, el Indus y el Ganges de Asia sur-central, y el Hwang Ho y el Yangtze del este de Asia. En estas cuencas de ríos

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Ahora, al principio, el hombre consideró sólo los problemas geométricos concretos, Ahora, al principio, el hombre consideró sólo los problemas geométricos concretos, que se presentaron en forma individual y sin interconexiones observadas. Cuando la que se presentaron en forma individual y inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación abstracta general que contiene a la primera como un caso particular, la relación abstracta general que contiene a la geometría se volvió una ciencia. En esta capacidad, la geometría tiene la ventaja de

primera como un caso particular, la geometría se volvió una ciencia. En esta capacidad, la geometría tiene la ventaja de ordenar problemas prácticos en grupos tales que los problemas de uno puedan geometría se volvió una ciencia. En esta ordenar problemas prácticos en grupos tales que los problemas de uno puedan resolverse por el mismo procedimiento general. Se llega pues a la noción de una ley

los principios de la geometría como una itivas de la agrimensura egipcia; en efecto, la palabra ciencia en las prácticas primitivas de la agrimensura egipcia; en efecto, la palabra

“geometría” significa “medición de la tierra”. Aunque no podemos tener seguridad de ción de la tierra”. Aunque no podemos tener seguridad de este origen, parece seguro suponer que la geometría científica surgió de la este origen, parece seguro suponer que lanecesidad práctica, apareciendo varios

tuvieron origen las formas avanzadas de la sociedad conocidas por sus hazañas de ingeniería en el drenaje de terrenos fangosos, irrigación, control de inundaciones y la construcción de grandes edificios y estructuras. Tales proyectos exigieron el desarrollo de la geometría práctica o científica.

Los cambios económicos y políticos de los últimos siglos del segundo milenio a. de C. provocaron que el poder de Egipto y de Babilonia decayera, nuevas personas se pusieron al frente y sucedió que el desarrollo posterior de la geometría pasó a los griegos, quienes transformaron la materia en algo bastante diferente del conjunto de conclusiones empíricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron en que los hechos geométricos deben establecerse, no por procedimientos empíricos, sino por razonamiento deductivo; debe llegarse a conclusiones geométricas por demostraciones lógicas más bien que por experimentación de tanteos. En breve, los griegos transformaron la geometría empírica o científica de los antiguos egipcios y babilonios en lo que ahora podría llamarse geometría sistemática o matemática.

La geometría griega parece haber principiado en una forma esencial con el trabajo de Tales de Mileto en la primera mitad del siglo VI a. de C. Este genio de amplios conocimientos, fue un fundador valioso de la geometría sistemática, y el primer individuo conocido a quien se le asocia la utilización de los métodos deductivos en la geometría. Tales fue quien empezó a aplicar a esta materia los procedimientos deductivos de la filosofía griega, esto es, razonamiento lógico en lugar de intuición y experimento. El siguiente matemático sobresaliente es Pitágoras, a quien se le atribuye haber continuado con la sistematización de la geometría que empezó unos cincuenta años antes por Tales. Pitágoras nació en 572 a. de C. aproximadamente, en la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales, y es bastante posible que haya sido su alumno. En el puerto griego de Crotona, fundó la escuela pitagórica, una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos y costumbres, y se dedicó al estudio de la filosofía, matemática y ciencia natural. A pesar de la naturaleza mística de la escuela, sus miembros contribuyeron, durante los doscientos años que siguieron a la creación de su organización, con gran cantidad de matemáticas. En geometría dieron las propiedades de las paralelas y las utilizaron para demostrar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Contribuyeron en forma notoria al álgebra geométrica. Tenían conocimiento de la existencia, al menos, de tres de los sólidos poliédricos regulares1. Aunque mucha de esta información ya era conocida por los babilonios de épocas más antiguas, el aspecto deductivo de la matemática se piensa que ha sido considerablemente aprovechado y avanzado en este trabajo de los pitagóricos. Empezaron a emerger cadenas de proposiciones en las que proposiciones sucesivas se dedujeron de las anteriores de la cadena. A medida que las cadenas aumentaron, y algunas se unieron a otras, se sugirió la idea global del desarrollo de toda la geometría en una sola cadena larga. Se sostiene que un pitagórico, Hipócrates de Chíos, fue el primero en intentar, al menos con éxito parcial, una presentación lógica de la geometría en la forma de una sola cadena de proposiciones basadas en unas cuantas definiciones y suposiciones iniciales. Hicieron mejores intentos Leon, Teudio y otros. Y luego, aproximadamente 300 a. de C. Euclides produjo el esfuerzo de su época, los Elementos, una sola cadena

1Son cinco los poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octoedro, dodecaedro, icosaedro.

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Egipto y de Babilonia decayera, nuevas personas se pusieron al frente y sucedió que el desarrollo posterior de la geometría pasó a los pusieron al frente y sucedió que el desarrollo posterior de la geometría pasó a los griegos, quienes transformaron la materia en algo bastante diferente del conjunto de griegos, quienes transformaron la materia en algo bastante diferente del conjunto de conclusiones empíricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron s predecesores. Los griegos insistieron

en algo bastante diferente del conjunto de s predecesores. Los griegos insistieron s predecesores. Los griegos insistieron

en que los hechos geométricos deben establecerse, no por procedimientos conclusiones empíricas desarrolladas por sus predecesores. Los griegos insistieron en que los hechos geométricos deben establempíricos, sino por razonamiento deductivo; debe llegarse a conclusiones

La geometría griega parece haber principiado en una forma esencial con el trabajo La geometría griega parece haber principide Tales de Mileto en la primera mitad del de Tales de Mileto en la primera mitad del siglo VI a. de C. Este genio de amplios La geometría griega parece haber principiado en una forma esencial con el trabajo La geometría griega parece haber principide Tales de Mileto en la primera mitad del de Tales de Mileto en la primera mitad del siglo VI a. de C. Este genio de amplios conocimientos, fue un fundador valioso de la geometría sistemática, y el primer de Tales de Mileto en la primera mitad del

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razonamiento lógico en lugar de intuición y esaliente es Pitágoras, a quien se le

razonamiento lógico en lugar de intuición y esaliente es Pitágoras, a quien se le experimento. El siguiente matemático sobresaliente es Pitágoras, a quien se le

atribuye haber continuado con la sistematización de la geometría que empezó unos esaliente es Pitágoras, a quien se le

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años que siguieron a la creación de su máticas. En geometría dieron las organización, con gran cantidad de matemáticas. En geometría dieron las

propiedades de las paralelas y las utilizaron para demostrar que la suma de los propiedades de las paralelas y las utilizaron para demostrar que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Contribuyeron en forma ángulos de cualquier triángulo es igual a notoria al álgebra geométrica. Tenían conoc

deductiva de 465 proposiciones claras y elegantes que comprende la geometría plana y del espacio, teoría de los números y álgebra geométrica griega. El efecto de este trabajo sobre el desarrollo posterior de la geometría ha sido inmenso. A continuación comentaremos el contenido de este magnífico trabajo:

En algún tiempo entre Tales en 600 a. de C. y Euclides en 300 a. de C. se desarrolló la noción de un discurso lógico como una sucesión de principios obtenidos por razonamiento deductivo de un conjunto de principios iniciales supuestos al principio del discurso. Efectivamente, si se va a presentar un argumento por procedimientos deductivos, cualquier principio del argumento tendrá que deducirse de principios previos o de principios del argumento, y dicho principio previo debe él mismo deducirse aún de principios o postulados más anteriores. Evidentemente, esto no puede continuarse hacia atrás indefinidamente, ni deberá recurrir a una circularidad ilógica deduciendo un principio B de uno A, y luego deducir el principio A del B. La única forma para salir de esta dificultad es fijar, al principio de un argumento, una colección de principios primarios cuyas verdades sean aceptables al lector, y luego proseguir, puramente por razonamiento deductivo, a deducir todos los otros principios del discurso. Ahora bien, tanto los primarios como los principios deducidos del discurso son principios que se refieren a la materia técnica de dicho discurso, y por tanto contienen términos especiales o técnicos. Estos términos necesitan definirse. Como los términos técnicos deben definirse por medio de otros términos técnicos, y estos otros términos por medio aún de otros, uno se enfrenta con una dificultad semejante a la hallada con los principios del discurso. Para empezar, y para evitar la circularidad de la definición, en que se define el término ypor medio del término x, y posteriormente el x por medio del y, uno está obligado nuevamente a fijar al principio del discurso una colección de términos técnicos básicos cuyos significados deban aclararse al lector. Todos los términos técnicos subsiguientes del discurso deben definirse, finalmente, por medio de estos términos técnicos iniciales.

Un argumento que se lleva a cabo según el plan anterior se dice actualmente que se desarrolla por axiomática material. En efecto, la contribución más sobresaliente de los antiguos griegos a las matemáticas fue la formulación de un patrón de axiomática material y la insistencia de que las matemáticas deberían sistematizarse según este patrón. Los Elementos de Euclides es el ejemplo del desarrollo primitivo extenso del uso del patrón que se nos ha dado. En épocas más recientes, el patrón de la axiomática material ha sido generalizado muy significativamente para proporcionar una forma más abstracta del argumento conocido como axiomática formal. Ahora, resumiremos el patrón de axiomática material como sigue:

Se dan explicaciones iniciales de ciertos términos técnicos básicos del discurso, siendo la intención sugerir al lector lo que quieren decir estos términos básicos. Algunos principios primarios relacionados con los términos básicos, y que se suponen aceptables como verdades en la base de las propiedades sugeridas por las explicaciones iniciales, se enumeran. Estos principios primarios se llaman axiomas o postulados del discurso. Todos los otros términos técnicos del discurso se definen por medio de los básicos.

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Todos los otros principios del discurso se deducen lógicamente de los axiomas o postulados. Estos principios deducidos se llaman teoremas del discurso.

Algebra geométrica: Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los babilonios (métodos puramente algebraicos) para la resolución de ecuaciones, desarrollaron métodos geométricos para resolverlas y comprobar diversas propiedades.

En el libro II de los Elementos, de Euclides, hay 14 proposiciones que permiten resolver problemas algebraicos. Actualmente nuestra álgebra simbólica los resolverá rápidamente, pero el valor didáctico del álgebra geométrica es importante.

Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y resolver ecuaciones.

AD . AC = AD . AB + AD. BC b(a +c) = ba + bc

Como podemos ver, es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. De forma análoga se demuestran las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. ¡Inténtalo!

Con la misma habilidad eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas de los tipos ax – x2 = b2 y ax + x2 = b2.

La representación geométrica de estas situaciones viene dada por la construcción sobre un segmento a, de un rectángulo cuya altura desconocida x debe ser tal que el área del rectángulo considerado exceda del área dada en el cuadrado de lado x,en el primer caso ax – x2 = b2 con los segmentos a y b verificando la relación a 2b.

y en el segundo ax + x2 = b2, que se quede corto respecto del área A.

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Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los Algebra geométrica: Algebra geométrica: babilonios (métodos puramente algebraicos)

De esta forma, los griegos consiguieron resolver las ecuaciones cuadráticas por medio de los procedimientos conocidos como de “aplicación de áreas”.

Veamos, cómo se resuelve la ecuación de segundo grado ax – x2 – b2 = 0. En primer lugar, completemos la figura con otro cuadrado de lado a/2, CBFE.

Se deduce, que el cuadrado CBFE de área (a/2)2 excede del rectángulo ADHK de área ax – x2 = b2, en el cuadrado LHGE de lado a/2 – x; es decir,

2

22

22b

aX

a

que permite solucionar la ecuación dada ax – x2 = b2, con

2

2

22b

aaX

Nota: Los segmentos a y b verifican la relación a 2b. ¿Por qué?

Aritmética geométrica: Los pitagóricos antiguos tienen el crédito del origen de los llamados números figurados. Estos números, considerados como el número de puntos en ciertas configuraciones geométricas, representan un enlace entre la geometría y la aritmética. Las siguientes figuras explican la nomenclatura geométrica de los números triangulares, números cuadrados y números pentagonales.

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Los pitagóricos antiguos tienen el crédito del origen de los Aritmética geométrica: Aritmética geométrica: Los pitagóricos antiguos tienen el crédito del origen de los llamados números figurados. Estos números, considerados como el número de llamados números figurados. Estos númerpuntos en ciertas configuraciones geométricas, representan un enlace entre la puntos en ciertas configuraciones geométgeometría y la aritmética. Las

ACTIVIDAD Muchos teoremas interesantes relacionados con los números figurados pueden establecerse en forma puramente geométrica. Por ejemplo, demuéstrese el siguiente teorema: “El número pentagonal n–ésimo es igual a n más tres veces el número triangular (n–1)”.

Estos comentarios que acabamos de hacer tienen una intención doble: De un lado, dar una visión panorámica del camino recorrido por la Geometría a través de la historia y, de otro, nos sirvan para establecer algunas pautas para su estudio.

Indiscutiblemente, es la Geometría, la ciencia más antigua con que el hombre haya llegado a tratar. En este sentido, estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que el hombre llegó a concebir figuras geométricas y realizó cálculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. Las ideas intuitivas poco a poco fueron transformándose en abstractas.

Empezaremos comentando el porqué de un desarrollo intuitivo de la geometría, antes de iniciar un estudio abstracto, formal de base hipotético–deducitvo (geometría racional).

Pero, ¿por qué insistir en un enfoque intuitivo? ¿por qué no empezar la secundaria, con un estudio racional de la geometría? Toda Ciencia, aún la más abstracta como la Matemática, tiene en el individuo, un origen experimental. Las experiencias primeras son simples observaciones de hechos que la vida misma presenta a nuestra consideración. Del análisis de estos hechos suscita el deseo de crear artificialmente otros nuevos, para someterlos también a estudio y comparación.

Esto inspira la tesis que sostiene que el ente geométrico2 se forma en la mente humana por abstracción, a partir de objetos reales y de experiencias sobre éstos.

2Otros sostienen que el ente geométrico es una construcción de la mente humana, independiente y preexistente a laconsideración de objetos reales.

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sostiene que el ente geométrico2 se forma en la mente Esto inspira la tesis que sostiene que el ente geométrico se forma en la mente Esto inspira la tesis que sostiene que el ente geométricohumana por abstracción, a partir de objetos reales y de experiencias sobre éstos.

Este aspecto puede ser aprovechado por la didáctica, haciendo preceder, a las nociones formales cuestiones intuitivas (experimentales) donde los axiomas encuentren sus raíces naturales.

Desde esta perspectiva, veamos algunas cuestiones sobre: ángulos, polígonos y sólidos.

Imaginemos entrar en una clase, el tema de hoy: ángulos.

Es muy fácil escoger una definición de ángulo y exponerla con cuidado a los alumnos, acompañándola con muchos ejemplos, con variados ejercicios y experiencias prácticas, pero también es muy raro que junto con la explicación verbal, con el dibujo y con la definición, el concepto de ángulo sea comprendido y asimilado perfecta y rápidamente. Sin embargo, habiendo dado como definición de ángulo, por ejemplo, aquella que dice: "ángulo es la parte de un plano comprendida entre dos semirrectas que tiene origen común (Arnaud – 1667)", cuando se le pide a un alumno que dibuje un ángulo más grande que otro, previamente dado, simplemente prolongue los lados que habían sido dados como segmentos.

Quizá sea útil, antes de imponer una definición, aprovechar la idea que los alumnos tienen ya del ángulo; es decir, de la idea que se han formado a través de una experiencia personal o a través del sentido que el lenguaje común da al vocablo "ángulo", o más todavía a través de las pocas explicaciones sobre ángulos que a veces se dan en primaria.

A la pregunta: ¿encuentras ángulos en los objetos que te rodean?,probablemente se tengan respuestas como, los ángulos del plano rectangular de la mesa; los ángulos formados por los lados de un marco en un cuadro; los ángulos de un techo de dos aguas de una casa; el ángulo formado por una escalera de tijera por los lados donde se apoya; el ángulo que la cubierta de un libro forma con la primera página, cuando se levanta

la cubierta; etc. Como puedes ver, los alumnos se inspiran en los objetos que tienen delante de ellos y ponen ejemplos de ángulos planos y ángulos diedros.

Podemos seguir preguntando: ¿Pueden describir un ángulo con un movimiento de sus extremidades?. Las respuestas serán más interesantes, porque aquí el ángulo es descubierto y construido por los mismos alumnos. He aquí algunas respuestas: "el antebrazo describe un ángulo en torno al codo; dos dedos contiguos de una mano forman un ángulo que puede agrandarse o empequeñecerse abriendo más o menos los dedos; también con una pierna, teniendo firme la rodilla, puede describirse un ángulo". Es notorio que a ninguno escapa el ejemplo del codo.

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Ahora, esta otra: ¿Es posible medir un ángulo con el metro?.Probablemente, la mayor parte responda que no se puede medir con el metro pero si "con el grado", confundiendo evidentemente la unidad de medida con el instrumento. Pero, habrá siempre más de uno que dirá que el "metro sirve para medir un ángulo porque basta con medir los lados"; y algunos dirán que basta medir "la distancia entre los dos segmentos que forman el ángulo", y que estas mediciones se pueden hacer con el metro.

Entonces, ¿Qué cosa es un ángulo?. Algunos dirán que "un ángulo es el punto donde se encuentran dos rectas"; otros, que "un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos segmentos que parten del mismo punto" y no faltara alguien que de una definición exacta, como "parte de un plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un mismo origen", o a menudo, como "la inclinación de una recta sobre la otra" (definición dada por Euclides).

La respuesta dada como "ángulo es un punto", corresponde a una sensación táctil y al significado que en lenguaje común se da a la palabra; un objeto anguloso es un objeto que tiene punta, con esquinas, como se dice generalmente. Etimológicamente, el vocablo ángulo proviene del griego, que significa codo y que sugiere la idea de punta, esto es, de la construcción del ángulo con una rotación. De ahí, que ningún alumno escapa responder a la segunda pregunta, con el ejemplo del movimiento del antebrazo en torno al codo.

No se puede hablar del concepto, si primero no se conocen las ideas que el alumno tiene sobre él, y que tales ideas no pueden ser erradicadas de un momento a otro, ni aún por la más clara exposición del maestro.

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Si ahora, mostramos un conjunto de triángulos equiláteros, insertados uno en el otro, de modo que sea bien visible que uno es la forma reducida del otro; entonces la noción de ángulo se tomará "por abstracción": es el elemento común de estos triángulos, es la invariante de este conjunto.

El carácter estático del dibujo constituye una desventaja didáctica. Es cierto que un objeto movible atrae más la atención de un alumno. Un simple dispositivo como el mostrado en la figura nos servirá de material didáctico para ir introduciendo más observaciones y experiencias sobre los ángulos. Se trata de una liga que pasa por dos clavos, fijados en una tablilla de madera, y con el otro extremo en el punto medio de ellos y en dirección perpendicular.

¿Qué cosa es un ángulo?. Algunos dirán que "un ángulo es el punto

comprendida entre dos segmentos que parten del mismo punto" y no faltara alguien que de una definición exacta, como "parte de un plano comprendida entre dos que de una definición exacta, como "parte de un plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un mismo origen", o a menudo, como "la inclinación de una semirrectas que tienen un mismo origen", o a recta sobre la otra" (definición dada por Euclides).

Se construye así, un triángulo isósceles, variable por continuidad, y que al agrandarse o reducirse en sus ángulos, llama la atención de cualquiera. En estas variaciones, el alumno estará particularmente atraído por dos casos “límite”, cuando el ángulo en el vértice tiende a tornarse plano y cuando al contrario tiende a ser más pequeño.Supongo que habrás notado cómo la noción de ángulo, de generalidad concreta, llegará a “refinarse”, siempre más, hasta asumir un carácter matemático. Pero debo aclarar que esta serie de experiencias y observaciones no se desarrollan en una o dos lecciones, sino que deben prolongarse por un buen tiempo; interrumpirse; volver a repetirse uniéndose a otros temas. No se trata de exigir una definición inmediatamente3, aunque parezca que el concepto esté claro. Vayamos de manera gradual, en forma cíclica, dejemos que las nociones se consoliden, ganemos precisión poco a poco, ¡construyamos el conocimiento!.

En Matemáticas, una definición es una convención que aclara el significado preciso que debe atribuirse a una palabra, expresión o símbolo, durante el tiempo en que esta definición permanezca vigente. Lograr establecer una definición correcta de un concepto a partir de unas aproximaciones vagas e intuitivas; lograr aplicar unas definiciones sabiendo distinguir cuando se aplica correctamente o no; trabajar definiciones implícitas o explícitas; llegar a definiciones inductivamente …, son situaciones que merecen una atención especial en clase de matemáticas.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 . Una demostración intuitiva que se da en general a este teorema, está basada en la experiencia hecha valiéndose de un triángulo de cartón que esté convenientemente plegado de modo que podamos reunir en un mismo punto los tres vértices.

Una experiencia inicial, para demostrar este teorema, lo constituye la siguiente actividad: “Con la ayuda de un transportador, mide los ángulos del triángulo de la

figura y comprueba que suman 180 “. Puede ocurrir que por errores de precisión no te salga 180 ; entonces te recomendamos que recortes las puntas del triángulo y las adjuntes en posición de suma de ángulos.

Puedes notar que, en ambas actividades se sugiere al alumno lo que tiene que hacer. Busquemos una forma de llamar la atención sobre los ángulos del triángulo. Usemos nuestro dispositivo de liga, clavos y tablilla de madera. Como recordarás, al jalar la liga con un hilo en el punto medio y en dirección perpendicular a la unión de los clavos, se obtiene un número infinito de triángulos isósceles que tiene por base el segmento que une los dos clavos.

3 En su conocida tesis doctoral, I. Lakatos realizó un maravilloso estudio sobre cómo a partir de una discusión dirigida pero abierta, abundante en ejemplos, contraejemplos, deducciones y refutaciones, era posible ir perfilando conceptos clave hasta culminar con una definición clarificadora. Nótese que la tendencia en muchas clases de matemáticas acostumbra a ser lacontraria: anticipando a priori definiciones, se centra el trabajo en actividades posteriores a la definición.

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Ahora, pide a los alumnos que observen estos triángulos y que escriban sus observaciones. Te encontrarás con respuestas sorprendentes, como esta: “Al jalar la liga lo más posible obtengo el triángulo más grande posible sobre la tabla; después disminuyo la tensión poco a poco y tengo triángulos isósceles siempre más pequeños hasta que este triángulo isósceles se aplasta sobre la base. En este punto ya no tenemos un triángulo, pero un instante antes sí. Durante el movimiento he observado que varía los lados del triángulo, pero la base es siempre la misma; he visto que varía la altura y el área, y cambia también la forma de los triángulos; por un instante aparece el triángulo equilátero y luego también el rectángulo”.

“Lo que más me interesa de todo es que cambian los ángulos; cuando el vértice se desplaza hacia la base, el ángulo en él aumenta y los de la base disminuyen. Y disminuyen siempre más, hasta reducirse a cero, y en aquel momento, el ángulo en el vértice se torna en ángulo plano. Después vuelvo a levantar un poco el vértice; el ángulo en el vértice se torna un poco más pequeño que un ángulo plano y los de la base existen, pero son pequeñísimos. Entonces pienso que lo que ganaron se ha perdido en el ángulo del vértice y me parece que es así porque si el vértice va muy lejos, el ángulo se torna siempre más pequeño y los de la base se tornan casi rectos, y dos ángulos rectos hacen un ángulo plano. La suma de los ángulos de un triángulo deben ser siempre de un ángulo llano”.

He aquí lo que describe otro alumno: “Si imaginamos partir del triángulo más grande que es posible hacer sobre la tabla y aflojamos poco a poco el cordel, el ángulo en el vértice se torna siempre más grande y los ángulos en la base más pequeños. En un instante dado, tenemos un triángulo equilátero y, después, cuando el ángulo en el vértice es recto, tenemos un triángulo rectángulo; para este triángulo es válido el teorema de Pitágoras; para los otros no”.

Conviene hacer algunas precisiones al respecto. No es posible creer que al escribir esta frase el alumno se haya dado cuenta del valor de su descubrimiento; toca a nosotros llamar su atención sobre esta propiedad para que ocupe así su verdadero lugar en su aprendizaje.

Dos aspectos interesantes de la geometría euclidiana plana –la suma de los ángulos

internos de un triángulo y el teorema de Pitágoras–, vienen así a encontrarse unidos por este simple dispositivo.

Bisectriz de un ángulo. La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz.

El trazado de la bisectriz de un ángulo, mediante regla y compás, se muestra en la figura adjunta, donde el punto Cse obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A yen B. Al unir O con C obtenemos la bisectriz del AOB .

Tu mismo puedes comprobar, haciendo uso del transportador, que la recta OC es la bisectriz de dicho ángulo.

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Continuando con un tratamiento informal e intuitivo de la geometría, decimos que la línea ABCDE de la figura se llama línea poligonal.

¿Puedes precisar una definición de ésta?

Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, tal como muestran las figuras.

Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos utilizados en geometría proceden del griego, este hecho no te debe extrañar, recuerda que fue en la Antigua Grecia donde la geometría alcanzó un gran relieve.

ACTIVIDAD En la figura adjunta observarás los elementos básicos de un polígono: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores. Define con tus propias palabras cada uno de ellos.

Otro elemento básico de todo polígono essu perímetro. El perímetro de un polígono esla suma de las longitudes de sus lados.

Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, undecágono, dodecágono, …, icoságono (20 lados), …

El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, y sólo en éstos, aparecen los nuevos elementos: centro y

apotema.

El centro de un polígono regular es el punto interior que se halla a igual distancia de sus vértices, y la apotema es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados. También podemos decir que la apotema es el segmento determinado por el centro y el punto medio de uno

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cualquiera de los lados.

¡Un polígono muy particular: la circunferencia! El número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiera; así, por ejemplo, es posible construir polígonos regulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, de 1000 lados, etc. Al aumentar el número de lados, éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cuál habríamos construido un polígono muy particular, la circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro.

Reconocemos en la circunferencia los mismos elementos que aparecían en los polígonos regulares, si bien, algunos reciben nombres diferentes. El radio de la circunferencia equivale a la apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste.

El círculo es la porción de plano interior a la circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie.

El anillo sugiere la idea de circunferencia y la moneda de círculo.

El Tangram: Si te gustan los puzzles, te gustará el tangram. Es un juego de origen chino formado por siete piezas básicas(cinco triángulos isósceles, un cuadrado y un paralelogramo)con las cuales se pueden hacer infinidad de figuras: letras,barcos, chinos con gorro, casas, ...

El objetivo es, como en todos los puzzles, rehacer la figura que se muestra. ¡Su única regla es que tienen que intervenir todas las piezas!

¿Cómo hacer un tangram? Las figuras elementales nacen de una división del cuadrado (ver la figura). Así que basta coger un cuadrado de cartón o madera y recortarlo.

ACTIVIDAD: Construye:

– un triángulo. – una flecha.

Observa las siguientes figuras:

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¿Pueden ser consideradas línea poligonal y polígono, respectivamente?

En particular, notarás que los segmentos AE y CD del polígono no se cortan en un vértice. De otro lado, las definiciones dadas,

¿son satisfactorias?.

“Hacer una buena” definición requiere pericia y es difícil. Pero, aún siendo muy interesante obtener una definición, es muchísimo más rentable, de cara al aprendizaje, el proceso a seguir para establecerla. En muchas ocasiones, el principio de “autoridad” matemática de una definición tradicionalmente aceptada y transmitida durante años, hace que no sintamos la “necesidad” de analizarla e intentar “redescubrirla” por nosotros mismos, tal y como lo hicieron sus descubridores.

Si una línea poligonal no se cruza con ella misma, se denomina simple; y si lo hace se dice que es no simple. Llamaremos polígono “estrellado” a la línea poligonal cerrada no simple.

Definición de polígono: Figura plana formada por una línea poligonal (S1, S2, … , Sn) tal que el extremo de S1 no común a S2 se confunda con el extremo de Sn no común con Sn-1. Los segmentos S1, S2, … , Sn se denominan lados del polígono y sus extremos se llaman vértices. (Diccionario de Matemáticas, Ed. Akal, Madrid, 1984).

Polígonos convexos y no convexos

(cóncavos o entrantes). Da las definiciones adecuadas para caracterizar ambos tipos de polígonos, utilizando las siguientes figuras geométricas.

Una mirada a nuestro alrededor basta para encontrarnos con cuerpos que sugieren formas geométricas. Un libro, una caja de fósforos, un edificio son vistas imperfectas de un paralelepípedo; una lata de conservas y una tiza a un cilindro; un balón de fútbol a una esfera; un cucurucho de helado a un cono.

Definición 1: Un poliedro es un sólido cuya superficie consta de caras poligonales.

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Esta definición nos permite claramente diferenciar entre una forma geométrica sugerida por una caja de fósforos y una sugerida por un cucurucho de helado: poliedros y no poliedros.

Considérese un par de cubos, uno de los dos está dentro del otro, sin tocarse entre sí (El monstruo de Lhuilier). Considérese el sólido limitado por ambos. ¿Es un poliedro? Esta pregunta pone de manifiesto la duda acerca de si un poliedro debe tener “huecos” o, planteada de modo más general, si el poliedro es el “sólido” o es la “superficie”.

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Definición 2. Un poliedro es una superficie formada por un número finito de polígonos.

Esta definición es perfectamente aceptada por los topólogos. Se usó en la Academia Francesa para refutar al monstruo de Lhuilier.

Tomemos dos tetraedros unidos por un vértice o poruna arista (Siameses de Hessel). Ambos siameses están unidos; ambos constituyen una superficie. ¿Forman un poliedro? Parece claro que no, se trata de dos poliedros unidos. Entonces, ¡hay que modificar la definición!

Definición 3. Un poliedro es una superficie formada por polígonos colocados de forma que en cada arista se encontrasen exactamente 2 polígonos y que fuese posible ir del interior de un polígono al interior de otro, siguiendo un camino que no cruce nunca una arista por un vértice.

¿Quedan excluidos los 2 siameses? ¿Qué sucederá con el monstruo de Lhuilier y con los siameses de Hessel?

Esta situación “incómoda” que se presenta al dar una definición de poliedro nos debe llevar a la siguiente reflexión: el profesor nunca debe definir a priori un concepto; debe evitar la ansiedad de llegar a establecer pronto una definición.

Se debe aprovechar las ideas previas que los alumnos tienen para decidir en cada caso lo que es un poliedro y lo que no lo es, procurando que construyan el conocimiento ya que tan importante como la definición en sí, lo son los procesos mentales de los que aprenden, el esfuerzo que deben hacer para comunicarse, entenderse y hacerse entender.

Consideremos la siguiente figura geométrica: el erizo de Kepler. Tiene 12 caras pentagonales estrelladas, 12 vértices y 30 aristas.

Sus caras son polígonos estrellados, que se "cruzan" en "seudovértices" (puntos comunes que no son los vértices). Por lo tanto, éste no sería un poliedro según la tercera definición.

Si no se aceptasen las intersecciones en los lados de los polígonos, es decir, que los polígonos estrellados no son polígonos, entonces el erizo de Kepler sería un poliedro. En este caso, ¿cuántas caras triangulares, aristas y vértices tendría este poliedro?

¡De nuevo se nos ha quedado corta la definición de poliedro! Como podrás observar, es todo un reto obtener una buena definición.

Definición 4. Un poliedro es el lugar geométrico formada por los puntos del espacio que pertenecen a una superficie poligonal dispuesta de tal forma que:

– En cada arista se encuentren exactamente dos caras. – Es posible ir desde el interior de un polígono al interior de otro siguiendo un

camino que no cruce nunca una arista a través de un vértice. – Las caras sólo se cortan a lo largo de las aristas.

¿Y qué se puede decir de la figura siguiente? ¿Es o no un poliedro?

Tómense 4 pirámides truncadas de base cuadrada colocadas de modo que formen el marco de un cuadro. Se quitan las caras comunes y queda en medio un túnel o espacio para colocar el cuadro (túnel de Lhuilier). La idea intuitiva que se tiene de poliedro hace que pensemos en que no tengan “huecos”. ¡Habría que pensar en otra definición!

¿Puedes dar una definición de poliedro de manera que los túneles no sean poliedros?

Este es sólo una muestra de cómo dar una definición satisfactoria de poliedro.

Interpretar figuras geométricas.

Un aspecto importante de la geometría, es que ésta usa un lenguaje que es más próximo al usual. En ella se habla de puntos, de rectas, de planos, y todos más o menos conocen el significado de esas palabras; se hace referencia a situaciones concretas y se utilizan imágenes que son suficientemente familiares.

En sus inicios, se ve a la geometría como una técnica de agrimensura, un arte para proceder a operaciones de medición de los terrenos; de lo que quedó huella en su mismo nombre, la palabra geometría. Herodoto, el historiador (aproximadamente 485–424 a. de C.) precisará las circunstancias que habían dado lugar a su

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Juan Luis Rico – CEIP Dr. Caravaca

PROPUESTA DE DESARROLLO DE LA GEOMETRIA EN EDUCACION INFANTIL Y PRIMARIA

Fundamentación psicopedagógica Se parte de que el aprendizaje implica la construcción de los conocimientos. El

proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función del profesor la de orientador, guía, animador, pero no la de fuente fundamental de información.

Sólo hay aprendizaje, realmente, cuando el alumno llega a integrar en su estructura lógica y cognoscitiva los datos procedentes de la realidad exterior, en un proceso estrictamente personal, lleno de tanteos, de avances y retrocesos, que el profesor puede orientar, eligiendo las situaciones didácticas más apropiadas, en cada momento, a las posibilidades intelectuales y cognoscitivas de los alumnos, más cercanas a sus intereses espontáneos, a sus motivaciones y deseos. Estas situaciones didácticas pueden incluir el recurso a la información externa, al uso de una bibliografía adecuada. Pero estos recursos deben ser inducidos por el proceso de descubrimiento de los niños y sentidos como una necesidad por ellos.

Sólo los conocimientos que son construidos por los propios niños son conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos diferentes de los de aprendizaje.

Aspectos epistemológicos subyacentes al proceso de aprendizaje El problema de cómo se desarrolla el proceso de aprendizaje está íntimamente

ligado al problema de cómo se accede al conocimiento, y puede ser analizado, en una de sus vertientes, a la luz de la Teoría del Conocimiento.

Han existido a lo largo de la historia de la Filosofía dos concepciones opuestas: el materialismo y el idealismo.

Materialismo: las ideas constituyen una representación mental, un reflejo en nuestro cerebro, de los objetos reales y de las relaciones entre ellos.

Idealismo: El mundo de las ideas tiene entidad propia, es independiente del mundo real, sin subordinación a las leyes que rigen este último.

Ejemplificación de la controversia entre ambas concepciones referidas a la

formación del pensamiento científico (empirismo/racionalismo)

El modelo constructivista de acceso al conocimiento de Piaget La posición de Piaget es en cierto sentido, una síntesis de la tesis empirista y

racionalista. Adopta el punto de vista empirista al considerar el conocimiento como un resultado

de la acción sobre la realidad. Sin embargo, el conocimiento no es para él una mera copia de lo real, sino el resultado de una construcción lógica, que el individuo efectúa de modo propio.

PROPUESTA DE DESARROLLO DE LA GEOMETRIA EN EDUCACION INFANTIL Y PRIMARIA

Fundamentación psicopedagógica

Se parte de que el aprendizaje implica la construcción de los conocimientos. El proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus

Se parte de que el aprendizaje implica proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función del profesor la de orientador, guía, animador, pero no la de fuente fundamental de del profesor la de orientador, guía, animainformación.

como una necesidad por ellos. Sólo los conocimientos que son construidos por los propios niños son Sólo los conocimientos que son construidos por los propios niños son

conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos diferentes conocimientos realmente operativos, permanentede los de aprendizaje.

Aspectos epistemológicos subyacentes al proceso de aprendizaje

y el Materialismo: las ideas constituyen una representación mental, un reflejo en las ideas constituyen una representación mental, un reflejo en

nuestro cerebro, de los objetos reales y de las relaciones entre ellos. Idealismo: El mundo de las ideas tiene entidad propia, es independiente del mundo El mundo de las ideas tiene entidad

nuestro cerebro, de los objetos reales y de las relaciones entre ellos. propia, es independiente del mundo

real, sin subordinación a las leyes que rigen este último.

El modelo constructivista de acceso al conocimiento de Piaget

Adopta el punto de vista empirista al considerar el conocimiento como un resultado Adopta el punto de vista empide la acción sobre la realidad. Sin embargo, el conocimiento no es para él una mera go, el conocimiento no es para él una mera copia de lo real, sino el resultado de una construcción lógica, que el individuo efectúa copia de lo real, sino el rede modo propio.


Para Piaget hay dos tipos básicos de conocimiento: el conocimiento de tipo físico y el conocimiento de tipo lógico-matemático, siendo éste último el que más fundamentalmente resultaría de la propia actividad lógica del sujeto.

El conocimiento físico es el conocimiento de las propiedades de los objetos, y resulta directamente de la acción sobre los mismos objetos. En cambio, el conocimiento lógico-matemático no surge ya de las acciones en sí, sino de la reflexión sobre dichas acciones, de la libre coordinación, interiorizada de tales acciones (es el caso del

conocimiento que hace el niño cuando descubre que el resultado de contar es

independiente del orden que se atribuya al conjunto de objetos que se cuentan).

Es decir, mientras el origen del conocimiento físico está fundamentalmente en los

objetos, el del conocimiento lógico-matemático está en el sujeto, en la actividad lógica del sujeto. Esta es la razón de que, cuando las acciones lógico-matemáticas son interiorizadas, prescindiendo de su aplicación a objetos reales, aparecen como operaciones lógicas, dotadas de sentido propio, sin relación inmediata con el mundo real.

Para Piaget, el desarrollo de la inteligencia puede ser explicado dentro del proceso,

en parte biológico, en parte conductual, de adaptación del individuo a su medio ambiente.

Las acciones sobre la realidad, base de la inteligencia para Piaget, son, en realidad, interacciones con ella, respuestas a los estímulos del medio, apareciendo la inteligencia como elemento orientador de las interacciones con el medio.

El papel de la inteligencia en estas interacciones es doble. Por un lado, la estructura intelectual asimila la información exterior, mediante su integración en la red de conexiones lógicas y cognoscitivas que dicha estructura comporta. Por otro lado, dicha estructura debe ser capaz de acomodarse a los variados tipos de información que recibe, mediante las correspondientes modificaciones estructurales.

APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO La metodología activa basa el proceso de enseñanza en la experimentación por el

alumno sobre los objetos de su entorno, en el uso de materiales didácticos apropiados, en las actividades de laboratorio, etc.

Es una metodología que centra el proceso de enseñanza en la actividad creadora del alumno, en su labor investigadora propia, en sus propios descubrimientos, entendiendo que es el propio alumno quien construye sus conocimientos, en consonancia con el sustrato racionalista sobre el que también se apoya, con su visión del conocimiento como construcción intelectual autónoma.

El término ha sido aplicado, demasiado frecuentemente, a una práctica educativa, muy generalizada en ciertos momentos, bastante espontaneista, basada en la libre realización por el alumno de actividades y experiencias, pero sin una mínima estrategia educativa que las orientara; con una excesiva polarización hacia los aspectos manipulativos, en detrimento de la reflexión intelectual propiamente dicha.

En su lugar a aparecido un nuevo término <aprendizaje por descubrimiento>. En el aprendizaje por descubrimiento dirigido, va implícita la existencia de una estrategia para orientar el proceso de descubrimiento de los alumnos, siendo el profesor el que, en último extremo, dirige el proceso de aprendizaje de sus alumnos.

Para Piaget hay dos tipos básicos de conocimiento: el conocimiento de tipo físico y Para Piaget hay dos tipos básicos de conocimel conocimiento de tipo lógico-matemático, siendo éste último el que más

propia actividad lógica del sujeto. El conocimiento físico es el conocimiento de las propiedades de los objetos, y o de las propiedades de los objetos, y

resulta directamente de la acción sobre los mismos objetos. En cambio, el conocimiento mismos objetos. En cambio, el conocimiento o de las propiedades de los objetos, y

mismos objetos. En cambio, el conocimiento lógico-matemático no surge ya de las acciones en sí, sino de la reflexión sobre dichas

mismos objetos. En cambio, el conocimiento lógico-matemático no surge ya de las acciones en sí, sino de la reacciones, de la libre coordinación, interiorizada de tales acciones

Es decir, mientras el origen del conocimiento físico está fundamentalmente en los Es decir, mientras el origen del conocimiobjetos, el del conocimiento lógico-matemático está en el sujeto, en la actividad lógica objetos, el del conocimiento lógico-matemático esdel sujeto. Esta es la razón de que, cu

APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO

La metodología activa basa el proceso de enseñanza en la experimentación por el La metodología activa basa el proceso de enseñanza en la experimentación por el alumno sobre los objetos de su entorno, en el uso de materiales didácticos apropiados, alumno sobre los objetos de su entorno, en elen las actividades de laboratorio, etc.


Para que ésta metodología resulte eficaz, el profesor debe tener definida, pues, una estrategia didáctica. Para ello, debe conocer con un cierto grado de profundidad, las variables que intervienen en el proceso, a fin de poderlas controlar adecuadamente. Debe tener señalados, así, unos objetivos pedagógicos y didácticos, definida una estrategia de enseñanza acorde con ellos y establecidos algunos mecanismos de control del nivel de consecución de dichos objetivos. Centrándonos estrictamente en el campo cognoscitivo, tendrá que tener también efectuada una selección de los contenidos apropiados y haberles dado una oportuna organización, una estructura interna.

La estrategia didáctica que elabore el profesor debe basarse fundamentalmente en las características psicológicas y cognoscitivas de sus alumnos.

Se trata entonces de establecer la estrategia didáctica en torno a la resolución autónoma de problemas por parte de los alumnos.

Se trata entonces de establecer la estrategia didáctica en torno a la resolución autónoma de problemas por parte de los alumnos.

Las situaciones problemáticas las plantea el medio y el niño las resuelve del modo más gratificante posible para él. En el ámbito escolar, en cambio, los problemas son generalmente suscitados por el profesor, aprovechando situaciones espontáneas, situaciones previamente programadas, o ambas cosas a» la vez. Obviamente, se trata de una mera cuestión de aprovechamiento del tiempo escolar.

La dificultad más importante del método: conseguir que los problemas planteados interesen realmente a los alumnos y que la secuencia de problemas sea verdaderamente la adecuada, de acuerdo con las capacidades lógicas y cognitivas de sus alumnos y con la estructura interna de la materia en cuestión.

APRENDIZAJE POR RECEPCIÓN SIGNIFICATIVA: EL PUNTO DE

VISTA DE AUSUBEL Ausubel es un autor claramente opuesto a los métodos de aprendizaje por

descubrimiento. El aprendizaje por recepción no tiene que confundirse con el aprendizaje por repetición. Pero el aprendizaje por recepción (que acaece cuando el contenido total de lo que se tiene que aprender se presenta al alumno como producto completamente elaborado y terminado) no tiene por qué ser necesariamente repetitivo, si el material a aprender se traslada al alumno de modo que lo pueda comprender y asimilar.

Para Ausubel, un aprendizaje es significativo cuando la materia de aprendizaje puede relacionarse, de manera sustancial, no arbitraria, con lo que el alumno ya sabe, siendo necesario para ello que la materia sea potencialmente significativa, es decir coherente en su estructura con la estructura cognoscitiva y lógica previa de los alumnos, y siendo necesaria también, como cuestión básica, la predisposición hacia ese aprendizaje por parte de los alumnos. Para él, hay dos tipos básicos de aprendizaje de conceptos, la formación y la asimilación de conceptos y a cada uno se aplica un método particular de aprendizaje. La formación de conceptos se da especialmente en la primera infancia, mediante un pensamiento de tipo inductivo, a partir de la experiencia directa, en la forma de un aprendizaje por descubrimiento. La asimilación de conceptos tiene lugar, por el contrario, cuando la evolución intelectual de los alumnos hace posible la comprensión de conceptos y proposiciones sin necesidad de experiencia empírica alguna, mediante la relación con otros ya existentes en la estructura cognoscitiva del alumno, merced a un aprendizaje por recepción, que representa para Ausubel el mecanismo humano por excelencia para

apropiados y haberles dado una oportuna organización, una estructura interna. La estrategia didáctica que elabore el profesor debe basarse fundamentalmente en La estrategia didáctica que elabore el pr

las características psicológicas y cognoscitivas de sus alumnos.

una mera cuestión de aprovechamiento del tiempo escolar. La dificultad más importante del método: conseguir que los problemas planteados La dificultad más importante del método: conseguir que los problemas planteados

interesen realmente a los alumnos y que la secuencia de problemas sea verdaderamente interesen realmente a los alumnos y que la secuencia de problemas sea verdaderamente la adecuada, de acuerdo con las capacidades lógicas y cognitivas de sus alumnos y con la adecuada, de acuerdo con las capacidades la estructura interna de la materia en cuestión.


adquirir la vasta cantidad de ideas e información representadas por cualquier campo de conocimiento. NUESTRO MODELO EDUCATIVO

A modo de resumen, se puede decir que nuestro modelo didáctico, enfocado hacia la enseñanza de la Geometría elemental, es un modelo de aprendizaje dirigido, apoyado en el juego psicomotor. Es un modelo constructivista, basado en las aportaciones epistemológicas de Piaget y Vygotski, con algunas matizaciones procedentes de otras corrientes teóricas, sobre iodo en la delimitación del papel educativo atribuido a la afectividad, la comunicación interpersonal y el juego en el desarrollo del proceso cognitivo.

Se trata de un modelo sustentado en la capacidad creadora de los niños, en sus actividades de descubrimiento, en sus capacidades artísticas, en sus 11 legos. Que afirma la importancia del profesor como agente orientador de los procesos de aprendizaje de los alumnos. Pero que, sobre todo, destaca la necesidad de una construcción intelectual autónoma de los niños, desarrollada por ellos mismos, desde sus propias inquietudes cognoscitivas, sus propios intereses de aprendizaje, sus necesidades afectivas e intelectuales,...

Los siguientes capítulos se dedican al desarrollo, de modo amplio y concreto, de este modelo de enseñanza de la Geometría.

CONCEPTOS Pasemos seguidamente a esbozar un posible programa de Geometría, apuntando

títulos simplemente, sin determinación precisa de contenidos, para ir avanzando hacia esa propuesta curricular que se sugiere. Es una propuesta para toda la Educación Primaria, sin especificación por ciclos, cosa que se hará más adelante. Se trata, simple-mente, de indicar los temas que se deberían tratar, sin concretar aún los objetivos (de tipo cognitivo y de tipo lógico) a cubrir con cada título, ni la metodología con que deberían ser trabajados, cuestión que se considerará más tarde.

1. Nociones geométricas básicas: punto, línea y superficie. Tipos de líneas y superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones y fronteras, sobre superficies y en el espacio. Figuras geométricas. Redes lineales. Aritmética de las redes lineales. Cuerpos geométricos.

2. Intersecciones de líneas rectas. Paralelismo. Ángulos. Tipos de ángulos. Perpendicularidad. Reconocimiento en polígonos. Intersecciones de superficies planas. Paralelismo, ángulos y perpendicularidad en el espacio. Reconocimiento en poliedros.

3. Triángulos. Tipos de triángulos: clasificación. Composición de triángulos en el plano: redes triangulares planas. Aritmética de las redes triangulares. Composición de triángulos en el espacio: poliedros de caras triangulares (fundamentalmente triangulares): tetraedro, octaedro, pirámides, bipirámides,...

4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Composición de cuadriláteros en el plano: redes cuadriláteras planas. Aritmética de las redes cuadriláteras. Composición de cuadriláteros en el espacio: poliedros de caras cuadriláteras (fundamentalmente cuadriláteras): cubo, ortoedro, prismas,...

5. Otros polígonos. Polígonos regulares. Polígonos estrellados. Composición de polígonos regulares en el plano. Mosaicos regulares y semirregulares. Composición de polígonos regulares en el espacio. Poliedros regulares y semirregulares.

NUESTRO MODELO EDUCATIVO

decir que nuestro modelo didáctico, enfocado hacia la decir que nuestro modelo didáctico, enfocado hacia la enseñanza de la Geometría elemental, es un modelo de aprendizaje dirigido, apoyado en

decir que nuestro modelo didáctico, enfocado hacia la enseñanza de la Geometría elemental, es un el juego psicomotor. Es un modelo consenseñanza de la Geometría elemental, es un el juego psicomotor. Es un modelo constructivista, basado en las aportaciones enseñanza de la Geometría elemental, es un modelo de aprendizaje dirigido, apoyado en el juego psicomotor. Es un modelo consepistemológicas de Piaget y Vygotski, con algunas matizaciones procedentes de otras el juego psicomotor. Es un modelo cons

cognitivo. Se trata de un modelo sustentado en la capacidad creadora de los niños, en sus Se trata de un modelo sustentado en la capacidad creadora de los niños, en sus

actividades de descubrimiento, en sus capacidades artísticas, en sus 11 legos. Que

CONCEPTOS

deberían ser trabajados, cuestión que se considerará más tarde. 1. Nociones geométricas básicas: punto, línea y superficie. Tipos de líneas y 1. Nociones geométricas básicas: punto, línea y superficie. Tipos de líneas y

superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones y fronteras, sobre superficies y en el superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones y fronteras, sobre superficies y en el espacio. Figuras geométricas. Redes lineales. Aritmética de las redes lineales. Cuerpos espacio. Figuras geométricas. Redes lineales. Aritmética de las redes lineales. Cuerpos geométricos.

2. Intersecciones de líneas rectas. Paralelismo. Ángulos. Tipos de ángulos. geométricos.

ralelismo. Ángulos. Tipos de ángulos. Perpendicularidad. Reconocimiento en polígonos. Intersecciones de superficies planas. Perpendicularidad. Reconocimiento en polígonos. Intersecciones de superficies planas. Paralelismo, ángulos y perpendicularidad en el espacio. Reconocimiento en poliedros.

3. Triángulos. Tipos de triángulos: clasifiParalelismo, ángulos y perpendicularidad en

3. Triángulos. Tipos de triángulos: clasificación. Composición de triángulos en el Paralelismo, ángulos y perpendicularidad en el espacio. Reconocimiento en poliedros.

3. Triángulos. Tipos de triángulos: clasificación. Composición de triángulos en el plano: redes triangulares planas. Aritmética de las redes triangulares. Composición de

3. Triángulos. Tipos de triángulos: clasifiplano: redes triangulares planas. Aritmética de las redes triangulares. Composición de triángulos en el espacio: poliedros de caras triangulares (fundamentalmente triángulos en el espacio: poliedros de caras triangulares (fundamentalmente triangulares): tetraedro, octaedro, pirámides, bipirámides,... triangulares): tetraedro, octaedtriangulares): tetraedro, octaed

4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Composición de cuadriláteros en el plano: 4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Comtriangulares): tetraedro, octaedro, pirámides, bipirámides,... triangulares): tetraedro, octaed

redes cuadriláteras planas. Aritmética de 4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com

triangulares): tetraedro, octaed4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com

redes cuadriláteras planas. Aritmética de las redes cuadriláteras. Composición de 4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Composición de cuadriláteros en el plano: 4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com4. Cuadriláteros. Tipos. Clasificación. Com

redes cuadriláteras planas. Aritmética de s. Composición de cuadriláteros en el espacio: poliedros de caras cuadriláteras (fundamentalmente redes cuadriláteras planas. Aritmética de cuadriláteros en el espacio: poliedros de caras cuadriláteras (fundamentalmente cuadriláteras): cubo, ortoedro, prismas,...


6. La circunferencia y el círculo: elementos. Posiciones relativas. Circunferencia y polígonos regulares: división regular de la circunferencia. Ángulos, en la circunferencia: generalización de la idea de ángulo. Figuras planas derivadas del círculo. Figuras tridimensionales derivadas del círculo. Relación entre los poliedros y los cuerpos redondos.

7. Giros en el plano y en el espacio. Simetrías axiales y especulares. Figuras dotadas de regularidad: figuras simétricas —simetría rotacional, axial y especular—. Composición de simetrías. Rosetones, frisos y mosaicos. Traslaciones en el plano y en el espacio

8. Iniciación al estudio de las propiedades métricas de figuras y cuerpos: perímetro, amplitud angular, superficie, volumen. Evaluación y comparación de las cantidades, criterios de equivalencia, acotaciones mediante figuras o cuerpos regulares,...

9. Rectificación de líneas y evaluación de áreas: rectificación de líneas y aproximación de longitudes; evaluación de áreas mediante mallas cuadradas; relaciones entre perímetro y área (perímetros de figuras equivalentes, áreas de figuras isoperimétricas).

10. La circunferencia y los ángulos. Rectificación de la circunferencia y aproximación de su longitud. La relación entre la longitud y el radio. Ángulos centrales y arcos correspondientes. La medición de la amplitud angular.

11. El área. Área de paralelogramos: relación entre las áreas de paralelogramos de igual base; relación entre las áreas de paralelogramos de igual altura (anchura). Área de triángulos: relación entre las áreas de triángulos de igual base (igual altura). Expresión del área en función de largo y ancho (base-altura). Áreas de polígonos regulares. El círculo y su área.

12. La semejanza: figuras que tienen la misma forma. Triángulos y polígonos semejantes. Modos sencillos para comprobar la semejanza de dos figuras. Aplicaciones: sombras, alturas, distancias, planos... La relación entre las áreas de figuras semejantes. El teorema de Tales.

13. El teorema de Pitágoras: el triángulo rectángulo egipcio y la familia de triángulos semejantes a él. Triángulos rectángulos de lados enteros. Comprobación del teorema de Pitágoras mediante dibujo y plegado de papel (verificaciones analógicas). Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en el plano y en el espacio.

14. Geometría cartesiana: de los vértices del geoplano a las coordenadas cartesianas. Primeras descripciones analíticas simples del geoplano coordenado. Propiedades analíticas que se pueden asociar, en el plano coordenado (cartesiano), a figuras y regiones. Reconocimiento y representación de regiones y figuras planas descritas en forma analítica.

15. Estudio descriptivo de cuerpos. Plegado y desarrollo de sólidos geométricos. Cuerpos de revolución. Aproximación de un cuerpo mediante un poliedro: el balón de fútbol. Relaciones métricas en los cuerpos: aristas, altura, diagonales interiores, superficie lateral,...

16. El volumen: la capacidad de los recipientes y el volumen desplazado por un cuerpo. Construcción de cuerpos equivalentes a partir de trozos. El principio de Cavalieri. Estudio de la relación entre el volumen de un cuerpo, su sección y su altura.

Como se indicó anteriormente, este es un programa que pretende servir de referencia

para toda la Geometría de la educación básica, sin diferenciación de ciclos o niveles. Naturalmente unas unidades son más específicas de un ciclo o nivel que otras, y ello se traduce en una propuesta particular propia de cada ciclo, que se hará después, pero de momento se pretende hacer una propuesta introductoria.


MATERIALES Y RECURSOS Tendremos que diferenciar de entrada entre el material pensado para ser usado en las

sesiones de psicomotricidad, en una sala espaciosa, amplia, y el material pensado para ser utilizado en el aula normal de clase, sobre los pupitres.

Respecto al primer tipo de material podemos destacar en primer lugar materiales

típicos de psicomotricidad, como cuerdas, aros, pelotas, papel, etc., que además de su valor específico para el juego psicomotriz tienen también interés para el desarrollo de conceptos geométricos. Por ejemplo, las cuerdas pueden ser utilizadas para la construcción de líneas, caminos, redes lineales, etc.; los aros para la formación de circunferencias, cilindros, conos, para juegos de giros, etc.; las pelotas para materializar esferas, para juegos de giros, para juegos trayectorias, etc.; el papel para formar diferentes formas superficiales, para formar las caras de los poliedros construidos con otros materiales, etc. En realidad, muy diferentes materiales de uso habitualmente no matemático puede ser usado en contextos matemáticos, a poco que se fuerce la imaginación.

Un material que nos ha dado mucho resultado en la aproximación psicomotriz al aprendizaje geométrico ha sido el representado por las cintas elásticas. Estas cintas son un material espontáneo de juego para los niños —especialmente para las niñas—, que utilizan habitualmente en contextos no escolares, de manera que está asegurado su atractivo para los alumnos. Un grupo de niños encerrados en el interior de una cinta elástica cerrada pueden, además de disfrutar enormemente jugando con la cinta, construir muy diferentes formas poligonales. Permitiéndoles usar más de una cinta pueden formar también múltiples formas poliédricas, bien jugando con sus propios cuerpos, bien utilizando otros puntos de enganche para las cintas en la sala.

Un material estructurado, especialmente diseñado por nosotros para estos fines (aunque existen otras versiones), es el de los polígonos y poliedros articulados.

Se trata de varillas de madera, de longitudes diferentes (variando de decímetro en decímetro, desde uno hasta diez, hasta completar el metro), que pueden ser unidas por articulaciones flexibles o rígidas.

La articulación flexible se consigue al mantener juntos, con un nudo de alambre, pequeños trozos de tubo de goma, en cuyas bocas se «enchufan» varillas de madera, con lo que se obtiene un vértice de una estructura poliédrica. Las estructuras conseguidas de este modo, carentes en principio de rigidez, se pueden modificar a voluntad, representando un primer nivel de investigación la construcción de estructuras estables, e incluso rígidas. Se descubre pronto que las construcciones resultantes de combinar triángulos son rígidas por sí mismas, y que otras construcciones tan simples como el cubo carecen en cambio de la más mínima estabilidad, a no ser que se le incorporen diagonales a algunas de sus caras (acercándose a la estructura triangular). De todas maneras, esa falta de estabilidad de las figuras es una ventaja para ciertas cuestiones, como por ejemplo para estudiar la variedad de formas que puede conseguirse con un conjunto dado de varillas.

La estabilidad, la rigidez, de las estructuras puede conseguirse introduciendo articulaciones rígidas. Las que nosotros hemos manejado son pequeñas esferas de madera con orificios en posiciones dadas, para poder unir varillas formando ángulos de 60°, 90° y 120°.

Las estructuras que se construyen con estos materiales son, evidentemente, de un tamaño relacionable con el del propio cuerpo, de manera que permiten un tipo de juego


verdaderamente atrayente, lo que hace que el contacto con los polígonos y poliedros resulte muy lúdico.

También hemos utilizado otras varillas de material sintético para formar aristas curvas, tratando de huir de la exclusividad y simplicidad de la línea recta

Como materiales complementarios de mesa, para utilizar en el aula, hemos introducido por un lado materiales de uso corriente (en principio no matemático), y por otro materiales especialmente diseñados para la enseñanza de la geometría.

Dentro del primer tipo podríamos citar palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas de refrescos, plastilina, corcho, etc., con los cuales se pueden construir, también, estructuras poligonales y poliédricas.

Como materiales de uso específicamente geométrico (además de los materiales clásicos de dibujo geométrico), hemos utilizado básicamente el geoplano y los poliedros troquelados.

El geoplano permite formar, con gomillas pequeñas, figuras equivalentes a las que resultan en el juego psicomotor con las cintas elásticas, y dar una continuidad, ya en el plano de la reflexión teórica, a las actividades de carácter lúdico. Habitualmente hemos usado geoplanos correspondientes a una red cuadrada y a ellos nos referiremos mientras no se diga expresamente lo contrario.

Los poliedros troquelados, combinaciones libres de polígonos (materializados en cartulina), mediante uniones muy simples, para formar poliedros, permiten dar una réplica sencilla, en el aula, en el terreno de la reflexión teórica, a la fase lúdica inicial de construcción de poliedros «gigantes».


La enseñanza de la Geometría en el ámbito de la Educación Infantil y primeros años de Primaria

La enseñanza de la Geometría en estos niveles educativos debe centrarse, desde nuestro punto de vista, en el desarrollo de las nociones y formas de pensamiento geométrico más primarias, necesarias para esa organización lógica del espacio.

En concreto, postulamos para este ciclo los siguientes contenidos temáticos:

I. Nociones de situación.

1.1. Nociones de orientación. 1.2. Nociones de proximidad. 1.3. Nociones de interioridad. 1.4. Nociones de direccionalidad. II. Nociones geométricas fundamentales. II. 1. Nociones de punto, línea y superficie. 11.2. Orden lineal. Iniciación a la medida de longitudes. 11.3. Tipos de líneas y de superficies. Líneas y superficies cerradas. Regiones en la superficie y en el espacio. Redes planas y redes tridimensionales. 11.4. Figuras y cuerpos geométricos.

Aunque ambos bloques están contemplados para todo el ciclo, el primero lo consideramos más apropiado para la Educación Infantil, y el segundo para los primeros años de la Educación Primaria.

Los bloques deben ser contemplados tanto desde el punto de vista conceptual, o

preconceptual, de adquisición de las nociones geométricas básicas, como desde el punto de vista lógico, de desarrollo de unas formas primarias de razonamiento geométrico.

Conviene señalar, finalmente, como aspecto metodológico importante, que el dibujo y las construcciones plásticas, tridimensionales, tienen un importante valor formativo en estas edades, para el desarrollo de la capacidad de simbolización, capacidad que es muy necesaria para la propia conformación de las estructuras intelectuales. Tienen también un valor diagnóstico, como elemento indicador del nivel de evolución del pensamiento geométrico de los alumnos. Por ambas razones, consideraremos dichas actividades como elementos fundamentales dentro de nuestra metodología de trabajo.

NOCIONES DE SITUACIÓN

Como ya se ha indicado anteriormente, las nociones de situación comprenden las de proximidad, interioridad, cierre y direccionalidad. Los vocablos básicos que las expresan son: delante-detrás, arriba-abajo y derecha-izquierda para las nociones de orientación; cerca-lejas para las de proximidad; dentro-fuera y abierto-cerrado para las de interioridad; hacia, desde-hasta para las de direccionalidad. De todas maneras hay muchos otros términos que expresan matices diferentes de estas nociones y que deben ser tenidos en cuenta. (SUGERENCIA: consultar el Diccionario Ideológico de la

Lengua Española, de Julio Casares, en busca de los términos de nuestro idioma relacionados con los indicados más arriba.)

Las nociones de situación son, en general, muy primarias y de mucha significación afectiva para los niños. En general existe una referencia corporal muy precisa para ellos.


Delante-detrás está relacionado con la marcha. Arriba-abajo con el peso, con la acción de la gravedad.

Cerca-lejos con la posibilidad de coger, de alcanzar, de acercarse a los objetos. Dentro-fuera con la posibilidad de esconderse, de protegerse. Hacia con el sentido de

la marcha. Derecha-izquierda no tiene una referencia corporal precisa, por la simetría del

cuerpo; eso la hace más difícil. ACLARACIONES METODOLÓGICAS El proceso de construcción de estas etapas sigue un proceso de progresiva

descentración del yo. En primer lugar hay una etapa de organización del yo corporal, de construcción del esquema corporal propio. Después hay otra etapa de referencia de los objetos exteriores respecto del yo. Más tarde se descubre que los otros seres tienen su propio sistema de referencia, respecto del cual se sitúa el yo, estableciendo los diferentes seres y objetos sus propias relaciones espaciales con entera independencia del yo, nivel en el que las nociones de situación espacial empiezan a convertirse en verdaderas relaciones lógicas.

Así, refiriéndonos, por ejemplo, a las nociones de orientación, primero se percibe qué partes del cuerpo se tienen delante, detrás, arriba, abajo,..., proceso durante el cual se va construyendo el esquema corporal propio (muy necesario para la afirmación de la identidad personal). Después se interioriza la orientación de los objetos del espacio respecto al yo, que los objetos están delante de mí, detrás, etc., Más tarde se aprende que también los otros tienen un delante y un detrás, un arriba,..., que no tienen por qué coincidir con el mío y respecto a los cuales puedo situarme. Finalmente se aprende a considerar las orientaciones relativas de los demás y, por extensión, de los objetos entre sí. Las nociones de situación son, inicialmente, muy simples, pero la consideración de asociaciones entre ellas y, sobre todo, de matices, pueden añadirle complejidad y significación para el desarrollo de un incipiente pensamiento geométrico. Así. por ejemplo, los juegos con las nociones de proximidad pueden corresponder a situaciones elementales como las de situarse cerca o lejos de algo, pero pueden complicarse relacionándolas con otras nociones —moverse cerca de un aro, pero fuera de él— y, sobre todo, si se introducen matices —moverse más cerca del aro rojo que del azul—. Los matices en la proximidad conducen de manera natural a la distancia —ponerse a igual distancia del aro rojo que del azul; comprobar que se está a igual distancia. Los matices en la direccionalidad introducen el orden lineal —ir desde la puerta a la estantería, pero pasando por el perchero; seguir un camino, pasando por estos puntos.

La profundización en las nociones de interioridad dará lugar a las nociones de región, figura, cuerpo,...

Los matices en las nociones de orientación pueden dar a éstas una potencia geométrica elevada. Así, por ejemplo, jugando con la igualdad de distancias a dos puntos puede surgir la noción de mediatriz. Jugando con la igualdad de distancias a dos rectas secantes, la de bisectriz. Con la igualdad de distancias a un punto aparece la circunferencia. Con la igualdad de distancias a una línea recta, el paralelismo. Con la igualdad de distancia a un punto y una recta, la parábola...


DESARROLLO PRÁCTICO DE LAS NOCIONES DE SITUACIÓN Expondremos ahora cómo se puede abordar la enseñanza de estas nociones.

Plantearemos, en cada caso, una sesión concreta de juego psicomotor, seguida de una relación de actividades complementarias, que puedan servir para diseñar otras posibles sesiones y, sobre todo, para mostrar que los ejercicios que se pueden considerar son múltiples, de manera que sea cada profesor, dentro de sus circunstancias concretas, quien haga sus propios diseños. , .


A. Nociones de orientación

— Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música. — Nos movemos por el espacio, pero hacia atrás. — Hacia delante dando saltos con los pies juntos. — Hacia atrás con los ojos cerrados. — Libremente, por todo el salón, saludando con la mano derecha a los compañeros

que encontramos a nuestro paso. — ídem con la mano izquierda, inclinando al mismo tiempo la cabeza. — Nos movemos libremente por el salón y vamos formando parejas. — Un miembro de la pareja se detiene y el compañero se mueve en torno a él. A una

señal se coloca delante, detrás, a su izquierda..., le hace cosquillas en distintas partes del cuerpo, por arriba, por detrás,... Se intercambian los papeles y se repite lo de antes.

— El profesor se detiene en algún lugar, elegido convenientemente en el salón en donde se desarrolla la sesión, y coloca en el suelo un par de cuerdas, como si fuesen unos ejes de coordenadas, para delimitar las regiones que quedan delante suya, detrás suya, a su derecha, izquierda.

— A una señal, los niños se colocan delante, detrás, a derecha y a izquierda. • Delante, pero mirando hacia atrás, en relación al profesor. • Delante, pero mirando hacia la izquierda del profesor. • Delante y a la derecha del profesor • Más delante que a la derecha • Muy delante y poco a la derecha. • Igual de lejos hacia delante que hacia la derecha.

Otros ejemplos de actividades posibles serían los siguientes: A.l. Construcción del esquema corporal

— Hacer muecas, gestos, etc., con partes del cuerpo que tengan delante (respecto a

las cuales tenga sentido establecer la relación delante-detrás). — Llevar un globo con una parte del cuerpo que tengamos arriba, o a la derecha, o detrás,... — Llevar un globo entre dos con partes de sus cuerpos que tengan a la derecha, o

abajo...

A.2. Orientación respecto al yo

— Levar un globo por arriba, por abajo. — Botar una pelota por delante, por detrás... — Lanzar una pelota hacia delante, hacia atrás, lanzarla por arriba hacia delante, por

la derecha hacia abajo... — Girar hacia la derecha, hacia la izquierda.

A.2.1. ASOCIACIONES CON OTRAS NOCIONES

— Moverse deprisa hacia delante, despacio hacia atrás. — Moverse hacia delante. Cuando choques con algo retrocede, cuando vuelvas a

chocar avanza de nuevo. — Avanzar hacia delante y la derecha. Atrás a la izquierda...


— Avanzar hacia delante por el suelo. Continúa avanzando, pero con la parte del cuerpo que tengas detrás...

— Avanzar dando saltos grandes. Con saltos pequeños. Lentamente con saltos grandes. Rápido con saltos pequeños.

— Lanzar fuerte hacia delante. Flojo hacia atrás... — Botar la pelota por delante del cuerpo, con botes pequeños y rápidos... — Desplegar un globo por el suelo, hacia delante, manteniéndolo en contacto con

una parte del cuerpo que esté arriba. A.2.2. MATICES

— Avanzar hacia delante, cada vez más deprisa, ídem hacia atrás. — Saltar con saltos cada vez mayores —investigar la relación entre el tamaño de los

saltos y los que se deben dar para llegar a un lugar determinado. — Moverse dando dos pasos a la derecha y uno atrás, ídem con tres pasos a la

derecha y uno atrás. Se repite, aumentando cada vez en uno el número de pasos a la derecha.

— Moverse dando dos pasos a derecha y uno a izquierda. — Analizar los caminos seguidos en cada caso. (¡Atención a los tipos de líneas que

aparecen!)

— Lanzar una pelota hacia arriba, cada vez más alto. Lanzarla hacia delante, cada

vez más lejos: el doble, el triple... (Atención a las trayectorias de la pelota.)

A.3. Orientación respecto a otros sistemas de referencia

— Por parejas, uno delante del otro. El de delante se mueve libremente y el de atrás

imita sus movimientos.

— Desde la posición que ocupáis elegir un compañero, sin desplazaros hasta él.

Cuando suene la música moveros para estar siempre detrás del compañero elegido.

(Atención a las dificultades que se presentarán, por las múltiples interacciones que se

pueden dar, o cuando exista elección mutua entre dos.)

— Enfrentados por parejas mueve tu mano derecha cuando el compañero mueva su

mano derecha; tu izquierda cuando el otro mueva su izquierda; inclínate hacia tu

derecha cuando el otro se incline hacia su derecha. Análogamente pero estando uno

cabeza-abajo (actividad muy divertida para comprender la existencia de sistemas de

referencia distintos del propio).

A.3.1. ASOCIACIONES

— Actividades análogas a las anteriores, pero uno moverá una mano cuando el

compañero mueva el pie; hacia arriba cuando el compañero lo haga a la derecha...

— Enfrentados por parejas, uno se moverá hacia delante y el otro hacia atrás; uno

adelante y a la derecha, y el otro atrás a la izquierda;... (atención a las trayectorias, a la

existencia de una simetría central entre ambas).

A.3.2. MATICES

— El ejercicio anterior, pero uno hace su movimiento doble del compañero; mitad...


B. Noción de proximidad

Relacionamos la noción de proximidad con la distancia, de manera que esta sesión de psicomotricidad sirva de iniciación a la medida de longitudes, a la consideración de la distancia en las figuras geométricas, etc.

— Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música. — Nos seguimos moviendo por el espacio, pero cerca del suelo. Lejos del suelo. — Con la cabeza cerca del suelo y un pie lejos del suelo. — Cerca de un compañero. Mi pie cerca de su pie. Mi codo cerca de él y mi espalda

lejos. — Cerca de varios compañeros. Las espaldas cerca, pero los pies lejos. — Cerca de todos los compañeros. — Más cerca. Muy cerca. — Lejos de todos los compañeros. — Nos movemos otra vez libremente por el espacio, y nos vamos acercando a algún

compañero, para formar pareja con él. — Formamos parejas. Nos movemos por el espacio manteniendo siempre la misma

distancia entre los dos miembros de la pareja. Ampliamos o reducimos esa distancia, y la mantenemos unos instantes antes de cambiarla de nuevo.

— Nos movemos manteniendo los dos la misma distancia de un objeto. Nos acercamos y nos alejamos al objeto, pero manteniéndonos los dos siempre equidistantes de él.

— Nos juntamos con otras parejas, si nos apetece, y nos movemos todos a igual distancia de un mismo objeto. Ampliamos o reducimos esa distancia, pero todos a la vez.

— Nos ponemos todos a la misma distancia de un mismo objeto. Comprobamos que todos estamos igualmente distantes de él (¿Cómo? Habrá que sugerir, si fuese necesario, la utilización de cuerdas, varas..., como instrumentos de comprobación). Representamos nuestras posiciones con una cuerda sobre el suelo, haciéndola pasar por nuestros pies. (¿Qué figura se forma?)

— Se reparten unas pelotas. Jugamos libremente con ellas. — Jugamos a ver quién lanza la pelota más lejos. Nos ordenamos por la capacidad de

lanzarla más lejos (reforzamos la utilización del material apropiado, tal como cuerdas, palos,..., para comparar longitudes. Pedimos que efectúen la comprobación utilizando sólo una vara, o con pasos, para inducir la adopción de una unidad de medida).

Otros posibles tipos de actividades para el desarrollo de las nociones de proximidad

podrían ser las siguientes:

B.1. Construcción del esquema corporal - Botar una pelota en el suelo, cerca de la cabeza, cerca de las rodillas... - Desplegar un globo, llevándolo cerca del vientre, cerca de un pie... - Moverse manteniendo los pies cercanos entre sí, juntos, separados, muy separados... Con una mano cerca de un pie, cerca de la cabeza... B.2. Proximidad respecto al yo

Intercambiar la pelota con los compañeros que están cerca.


— Sin movernos del sitio que ocupamos, desplegamos un globo cerca del cuerpo, lejos de la cabeza...

B.2.1. ASOCIACIONES

— Alejarse de los compañeros. Observar cómo disminuyen de tamaño al estar más lejos (asociación alejamiento-tamaño de los objetos: perspectiva).

B.2.2. MATICES

— Determinar con un cristal, marcándolo con rotuladores, cuánto disminuye un compañero al alejarse, cuando está a doble distancia, triple..., que en el momento inicial. Proximidad respecto a otro sistema de referencia

— Nos movemos manteniéndonos igual de cerca de dos paredes —atención a los casos

posibles de movimiento que hay, y a la manera de combinar los movimientos de todos. — Nos movemos manteniendo la distancia con «A». Más cerca de «A» de lo que está

«B». Más lejos. — Por parejas. Uno se mueve libremente, el compañero debe mantenerse siempre igual de

cerca de una pared que el otro. — Por tríos, nos movemos por todo el espacio, nos acercamos o nos alejamos

mutuamente, pero manteniendo iguales nuestras separaciones mutuas (igualmente separados no es lo mismo que a una separación constante. Atención a la idea de triángulo equilátero).

— Por grupos de cuatro, nos movemos procurando que la distancia a dos compañeros fijos sea siempre igual (atención a las múltiples posibilidades geométricas, relacionadas con la distancia, que aparecen).

B.3.


C. Interioridad

Relacionaremos las nociones de interioridad con las de pertenencia, elemento, conjunto, etc., de manera que la sesión de psicomotricidad que a continuación se expone trabaja conjuntamente la lógica de clases, las relaciones de interioridad, la cantidad...

— Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música. — Nos juntamos con los compañeros que tengan los zapatos del mismo color que

nosotros, y continuamos moviéndonos. — Comparamos los grupos formados. Los del grupo más numeroso forman un corro

y los restantes grupos se introducen en él, sin mezclarse los que tienen zapatos de distinto color, y continuamos bailando al ritmo de la música.

— Los niños que forman el corro lo estiran al máximo, poco a poco lo van estrechando, dejando cada vez menos sitio para los que están encerrados.

— Nos volvemos a mover todos libremente, para agruparnos de nuevo los que tenemos otra cosa en común (se indica otra característica, relativa, por ejemplo, a la ropa, al físico, a la edad, etc.) Formamos corros, igual que antes, y los que queden encerrados deben intentar escapar del corro, mientras que los que forman el corro deben impedirlo.

— Se reparten cuerdas, trozos de tela, cintas elásticas y varas. Nos movemos por el espacio libremente, jugando con el material que cada uno tiene.

— Nos juntamos con los que tengan igual material que nosotros, y jugamos así, agrupados.

— Cada grupo se construye una «casa» con su material, pudiendo utilizar material sobrante del reparto. Jugamos dentro de nuestras casas.

— Visitamos las casas de los compañeros y nos fijamos en la forma que tienen. En la forma exterior, por dentro, en las esquinas...

— Se hacen preguntas a todos los grupos sobre las características de cada habitación, la forma de las paredes, la forma que toma el elástico al ser estirado, etc. (todas estas cuestiones tienen un sentido pregeométrico).

Otros posibles tipos de actividades podrían ser las siguientes: — Con cajas, sacos, bolsas grandes, etc. Nos ponemos dentro de una caja. Dentro de

una bolsa y fuera de una caja. Dentro de una caja, una bolsa y un saco, pero fuera de la habitación...

— Formamos tres equipos. Dos de ellos hacen sendos corros, de tal manera que el tercer equipo quede encerrado dentro de ambos corros. ¿Cómo deberán formarse los corros para que el tercer equipo quede dentro del corro A y fuera del corro B? ¿Y para quedar dentro de B y fuera de A?

— Cuatro equipos forman tres corros, y estudian todas las posibilidades de dejar al cuarto equipo encerrado dentro de los tres corros. ¿Cuántos modos distintos hay de conseguirlo?

— Se repiten ahora las actividades anteriores con la siguiente modificación: los equipos, en vez de formar corro, deberán delimitar con cuerdas una región en suelo del salón de modo que se cumplan las condiciones impuestas.


D. Nociones de direccionalidad

Se puede partir de estas nociones para iniciar el acercamiento a la noción de línea, a la línea como trayectoria, sobre la base de representar en el, suelo con cuerdas, con trazos de tiza, etc., las trayectorias seguidas en los ejercicios de direccionalidad.

— Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música. — Nos ponemos en fila y nos desplazamos hacia la puerta. Todos imitan los

movimientos del primero. Al llegar a la puerta damos media vuelta, y nos dirigimos hacia la pared del fondo, imitando los movimientos del que ahora va en cabeza (si el grupo es muy numeroso se puede dividir en otros menores, y asignarles actividades similares a la propuesta).

— Se repite la actividad anterior con distintos recorridos, y cambiando a los niños de cabeza y cola de la fila. Se buscan recorridos largos y cortos. Se determina el más largo y el más corto de los efectuados.

— Se marcan tres puntos, y se realizan recorridos diferentes entre ellos: de A a C sin pasar por B; de B a C pasando por A; rectilíneo desde A hasta B;... Se repite la actividad con cuatro, cinco,... hitos prefijados. Se propone idear un sistema que permita distinguir unos recorridos de otros, con objeto de no repetirlos.

— Realizar recorridos entre varios puntos, siguiendo un modelo representado en la pizarra (ondulante, con bucles, quebrado, cerrado, con giros sólo a la derecha...).

(Este ejercicio abre un campo muy grande de posibilidades para los juegos,

dependiendo de los tipos de líneas que se adopten como trayectorias. Estas actividades enlazan también con las del apartado siguiente, donde se presenta su desarrollo posterior.).


NOCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (Primer Ciclo)

No debe seguirse un rígido esquema euclídeo, deductivo, para desarrollar este bloque

temático, de modo que no hay que esperar a la consolidación de estas ideas previas para, sobre ellas, construir las nociones de región, figura, cuerpo geométrico, red lineal, etc.

Por el contrario, estimamos que la consideración de este segundo tipo de nociones ayuda, a su vez, a la construcción de las primeras, al plantearlas en otro contexto: el punto como vértice, como elemento de una red plana, de una figura, de un cuerpo; la línea como arista, como intersección de dos superficies, como conjunto de puntos; la superficie como parte del volumen, como elemento geométrico que contiene puntos, líneas,...

Para el desarrollo de esta unidad se puede partir de la noción de línea, que puede ser introducida desde distintas situaciones didácticas: como trayectoria del movimiento en el juego psicomotriz, y como abstracción de materiales adecuados, como cuerdas, cintas, etc.

Se pueden estudiar los tipos más corrientes de líneas: onduladas, quebradas, circunferencias, espirales, con forma de ocho,... Y a partir de la consideración de diferentes tipos de líneas se puede iniciar la diferenciación, más abstracta, entre líneas rectas y curvas, abiertas y cerradas, cóncavas y convexas,..., diferenciación que tendrá un sentido eminentemente perceptivo, no lógico.

A partir de la noción de línea cerrada se puede introducir la noción de región —en la superficie— y, desde ésta, la noción de figura geométrica.

Paralelamente al estudio de las líneas puede hacerse el de las superficies —onduladas, cilíndricas, cónicas...—, las superficies cerradas, las regiones tri-dimensionales encerradas por superficies, los cuerpos geométricos.

Es decir, ligada al cierre de líneas y superficies, a la existencia de fronteras en la superficie o en el volumen, puede hacerse surgir la idea de región, tanto en la superficie como en el espacio. Y desde ellas las nociones de figura y cuerpo, respectivamente.

En estos primeros niveles escolares interesa desarrollar estas ideas de región, figura, cuerpo..., en general, con el mayor número posible de manifestaciones diferentes, con el objetivo de desarrollar al máximo la intuición espacial de los alumnos. De manera que no se trata de reducir las figuras a las más simples, a las más regulares... Interesa, por el contrario, el desarrollo de la imaginación espacial para concebir formas diferentes origi-nales. Naturalmente que también podrá plantearse el reconocimiento de figuras como el cuadrado, la circunferencia, la esfera..., pero mucho más importante será el despliegue de la imaginación hacia otro tipo de formas más complejas, más irregulares, más generales.

Se puede también profundizar el estudio de las líneas, considerando las intersecciones entre líneas, las redes y las relaciones en éstas, entre puntos, líneas y regiones. Se hace así aparecer la noción de punto y se consideran las relaciones existentes entre estos elementos básicos del espacio —puntos, líneas y superficies—, relaciones que pueden tener una importante vertiente aritmética.

También se puede iniciar la consideración de longitudes y distancias, una introducción a la medida de estas magnitudes, relaciones métricas entre ellas, etc., mostrándose así una de las vertientes más interesantes de la geometría, que consideramos en los diferentes capítulos: la geometría como fuente de problemas relativos al estudio de magnitudes, problemas aritméticos, problemas algebraicos, etc.


DESARROLLO PRACTICO DE LAS NOCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Se exponen, a continuación, algunos ejemplos concretos de sesiones de psicomotricidad, referentes al desarrollo de estas nociones, completada con relación de posibles actividades complementarias, para la profundización teórica de las mismas.


Noción de línea. Tipos de líneas. Líneas cerradas. Figuras geométricas planas. Polígonos

— Nos movemos libremente por el espacio. — De otra manera, cambiamos la forma del movimiento. - Formamos grupos y continuamos en movimiento, pero agrupados. — Nos seguimos moviendo, pero de acuerdo con las líneas que aparecen en la

pizarra (rectas, quebradas, onduladas, rizadas, circunferencias, espirales, en forma de ocho...).

— Se reparten cuerdas de colores, una a cada niño. Jugamos con las cuerdas, con el movimiento de las cuerdas. Las movemos por arriba. Por abajo. Por el suelo. Hacia delante. Hacia atrás...

— Cuando pare la música ponemos la cuerda en el suelo, dándole la forma de una línea cerrada. Cuando vuelve a sonar la música bailamos dentro de la cuerda,

— Lo mismo, pero lo hacemos en grupo: formamos la línea cerrada con las cuerdas de varios compañeros, y bailamos todos dentro de ella.

— Nos sentamos en corro sobre el suelo. Por turno, cada uno pone su cuerda dentro del corro, donde quiera y dándole la forma que quiera, lo más bonita que pueda. No vale repetir figuras. Hacemos un mural con todas ellas.

— Lo mismo, pero haciendo con la cuerda una línea cerrada, una figura cerrada. Actividades complementarías

(Se desarrollan en el aula normal de clase.)

— Hacer sobre cartulina negra, con lanas de colores, un mural, combinando líneas onduladas, circunferencias, espirales, líneas rectas...

— ídem, pero sólo con líneas cerradas. — ídem, pero construyendo las líneas cerradas con palillos de dientes. — Por parejas. Dibujar un montón de puntos sobre un folio, dispuestos al azar. Cada

miembro de la pareja, por turno, dibuja una línea entre dos puntos. No vale cruzar líneas. Pierde el juego el primero que se vea obligado a cerrar una línea.

— Si en el ejercicio anterior hubiese sólo cinco puntos, ¿cuál es «1 máximo número de líneas que se pueden trazar sin que aparezca una línea cerrada?. Repetir con seis, siete..., puntos.


B. Líneas. Intersecciones de líneas. Punto de intersección. Redes poligonal» Relaciones entre puntos, líneas y regiones en una red poligonal.

- Nos movemos libremente por el espacio, al ritmo de la música — Nos movemos en grupos.

-Se reparten cuerdas de colores, una por niño. Jugamos con las cuerdas, con el movimiento de las cuerdas.

-Jugamos en grupos. Procuramos que no choquen las cuerdas Procuramos que choquen.

- Formamos, con las cuerdas, una línea cerrada en el suelo, delimitando un territorio. Nos metemos dentro.

-Formamos, con otras cuerdas, o pintando con tiza en el suelo, líneas entre territorios, que serán caminos. Ponemos un camino entre cada dos territorios. Ponemos un aro en cada cruce de caminos. Cuando suene la música nos moveremos dentro de nuestro territorio o si nos apetece, vamos por algún camino hasta otro territorio a bailar en él, con el grupo que allí está, si nos dejan. Cuando pasemos por un cruce daremos una palmada.

Actividades complementarias

— En el ejercicio anterior, buscamos el camino más corto entre dos territorios. El

más largo, pero pasando sólo una vez por un mismo lugar. Un camino que pase por todos los territorios, y pase sólo una vez por cada lugar.

— En la red de caminos anterior contamos el número de cruces que hay, el número de segmentos —camino entre dos puntos—, y el número de regiones —formadas por líneas cerradas.

— Sentados en el territorio propio construimos, con cartulina negra y lana de colores, un mural con líneas, cada una de las cuales se cruce varias veces consigo misma. Señalamos los puntos de cruce.

— Igual que el anterior, pero con parejas de líneas que se crucen entre sí, que tengan puntos de intersección.

— Análogo a los anteriores, pero con parejas de líneas rectas. ¿Cuántos puntos de intersección hay entre cada pareja de líneas rectas?

— Análogo al anterior, pero con tríos de líneas rectas. ¿Cuántos puntos de intersección, como máximo, pueden aparecer con tres rectas? ¿Y si por el mismo punto de intersección tienen que pasar las tres rectas? Repetir con cuatro líneas rectas. ¿Cuántos puntos de intersección, segmentos y regiones aparecen ahora?


Noción de superficie. Tipos de superficie. Intersección de superficies: la línea como arista, como intersección de superficies, y el punto como intersección de aristas. Relaciones entre vértices, aristas y caras en los cuerpos geométricos

— Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música. — Nos desplazamos por el aula, tocando y sintiendo los diferentes objetos que

encontramos. — Cerramos los ojos y seguimos tocando los objetos, pero nos concentramos en

sentir su superficie exterior, la forma que tiene, su rugosidad, sus cambios de dirección, su tamaño... Hacemos lo mismo, pero con las paredes, con el suelo... Seguimos con los ojos cerrados, tocando la superficie de las paredes y del suelo. Recorremos una pared hasta que choquemos con otra. Palpamos entonces la zona de confluencia de las dos paredes y tratamos de adivinar qué forma tiene. Recorremos también la esquina hacia abajo, hasta el suelo, hasta un rincón, y tratamos de adivinar la forma geométrica de ese rincón. Abrimos los ojos y comprobamos si nuestras intuiciones, si las imágenes que nos habíamos formado, eran correctas.

— Volvemos a recorrer todo el espacio de la clase y a tocar los objetos que encontramos en ese espacio, recorriendo su superficie hasta que choquemos con otra o hasta que notemos un cambio brusco de dirección. Buscamos sus entrantes y salientes, sus picos, sus esquinas, sus rincones...


— Reconocemos la superficie de los diferentes objetos de la clase. La forma de la

superficie —plana o curvada, con entrantes o sin ellos... — Se reparten varillas de madera, articulaciones flexibles, telas y pinzas de ropa.

Con el material construimos una casa. Señalamos sus paredes, sus esquinas, sus rincones, sus bordes, sus picos...

— Se reparten cartulinas y gomillas, para construir poliedros troquelados. Se repite el ejercicio anterior con este nuevo material. Se reconocerá la forma de las paredes, las partes que componen la superficie de la casa, sus caras. Se reconocerá, también, la forma de los bordes o aristas y de los picos o vértices. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene la casa?

— Construir, con el material de la actividad anterior, una figura que tenga seis vértices. Contar el número de sus caras y aristas. Repetir con otras figuras de seis vértices. ¿Encontráis alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas?

— Repetir la actividad anterior aumentando el número de vértices. — Se reparten cartulinas con formas apropiadas para construir cilindros, conos,

troncos de cono, etc. Observar la superficie de estas figuras y compararlas con las de las figuras anteriores. Señalar sus aristas y sus vértices, y compararlos también con los de las figuras anteriores.


La enseñanza de la Geometría en el segundo ciclo de la Educación Primaria Este ciclo educativo, en el que los niños se encuentran entre los 8-9 y los 11-12 años,

es el más ajustado a la metodología educativa que proponemos. Por un lado, los niños de estas edades siguen teniendo esas necesidades de juego, de

movimiento, de comunicación corporal, que justifican la introducción psicomotriz al aprendizaje geométrico que venimos considerando. Y por otro, los alumnos poseen ya una capacidad de reflexión que les permite elevarse sobre las situaciones de juego y construir, a partir de ellas, los conceptos geométricos pertinentes. Ello obliga a un estudio más minucioso de la propuesta curricular para el ciclo.

La Geometría que consideraremos para este ciclo será una Geometría inicialmente descriptiva, orientada al conocimiento de las figuras geométricas más características, sus propiedades fundamentales, las relaciones más significativas entre ellas y entre sus propiedades,... Propiedades de tipo fundamentalmente afín, no métrico, porque de acuerdo con los

estudios de Piaget la construcción de la métrica de la superficie y del volumen exige una estructura lógica más profunda, para la que hay que esperar al siguiente ciclo escolar. Las figuras deben ser estudiadas de forma dinámica, presentando cada categoría de figura en todas sus formas posibles, en diferentes posiciones, tamaños, etc., para evitar fijaciones mentales incorrectas (tales, como por ejemplo, interiorizar el triángulo isósceles en posición siempre «vertical»). Con ello se ayuda a la consideración lógica, y no meramente perceptiva, de las figuras.

Desde ese punto de vista resultan muy adecuados materiales didácticos como el geoplano o los polígonos y poliedros articulados que permiten variaciones inmediatas de las figuras, una comparación directa entre la figura original y su transformada, etc.

Bajo ese mismo objetivo de realzar las relaciones entre las figuras proponemos el estudio simultáneo de figuras y cuerpos geométricos, es decir, de las Geometrías del plano y del espacio: triángulos y poliedros de caras triangulares; cuadriláteros y poliedros de caras cuadrangulares; figuras y cuerpos de revolución;...

El conocimiento de las figuras debe incluir el conocimiento de sus regularidades, de sus simetrías —axiales, rotacionales...—, lo que lleva al estudio de las correspondientes transformaciones geométricas.

Como temario básico para este ciclo, proponemos los siete primeros bloques temáticos del temario general para toda la E.G.B., considerado en el capítulo II, bloques que, a continuación, se desarrollan de manera pormenorizada.


4.2. NOCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS El desarrollo de esta unidad se plantea aquí de manera similar al previsto para la

unidad análoga del primer ciclo de Primaria. Se trata, básicamente, de una unidad de repaso de los conocimientos adquiridos en aquel ciclo, que sirva de fundamento a los conceptos propios de este nuevo período escolar. Naturalmente, se conseguirán niveles superiores de profundidad conceptual. Así, en el estudio de los tipos de líneas y superficies se puede ya iniciar una clasificación lógica de las mismas, dando un significado más racional, menos perceptivo, a las categorías conceptuales que en aquel ciclo se usaban (líneas rectas, superficies planas, líneas y superficies curvas, líneas y superficies abiertas y cerradas), e introduciendo otras nuevas: concavidad y convexidad; complejidad y simplicidad (existencia o no de líneas y superficies dobles, triples...; esto es, existencia o no de puntos de cruce en una línea o de líneas de cruce en una superficie); regularidad o falta de regularidad (sin vértices ni aristas, sin cambios bruscos de dirección o con ellos...). Estas clasificaciones, independientemente de la terminología que se use para describir las correspondientes categorías conceptuales, deben ser descubiertas por los propios alumnos. Inducidas por el profesor, planteando a los alumnos la comparación de líneas o superficies oportunas en cada caso, pero descubiertas por los alumnos, careciendo de interés el aprendizaje de unas categorías no suficientemente interiorizadas por ellos mismos.

Análogamente ocurrirá en el estudio de las figuras y cuerpos geométricos, donde se podrá pasar a un análisis más lógico, menos intuitivo, y hacer verdaderas clasificaciones (polígonos y figuras circulares, poliedros y cuerpos redondos, clasificación de los polígonos por el número de lados, clasificación «U: los triángulos, de los cuadriláteros...).

El estudio de la aritmética de las redes lineales podrá hacerse de un modo mucho más completo, haciendo conjeturas más potentes, encontrando relaciones más complejas, generalizando los resultados, etc. Veámoslo con algunos ejemplos concretos, similares a otros planteados en el capítulo anterior

Ejercicio: Con dos líneas rectas, ¿cuántos puntos de intersección, como máximo se pueden obtener?, ¿y con tres?, ¿y con cuatro?... completa la siguiente tabla:

Número de líneas 2 3 4 5 ... Número de intersecciones 1 3 6 10

Los alumnos tienen que empezar por ser capaces de hallar los valores que completan la tabla, lo que no es fácil, ya que el ejercicio deja de ser enseguida intuitivamente evidente.

Para la continuación de la tabla puede ayudar el comprender que cada nuevo término, de la segunda fila, viene dado por la suma de los términos interiores de ambas filas

(3 = 2 + 1; 6 = 3 + 3;...), lo que tiene una aplicación geométrica, que puede ser útil encontrar.

Con este dato es posible continuar la tabla. Más difícil resulta intentar encontrar, directamente, el número de intersecciones correspondientes a un número elevado de líneas, 100 por ejemplo, pues este cálculo obliga a una generalización del problema, a encontrar una ley para la relación.

Para ello es importante comprender que los números de la segunda fila corresponden a la suma de los 1, 2, 3, 4,..., primeros naturales: l = 1 , 3 = 1 + 2 , 6 = 1 + 2 + 3 , 10 =1 + 2 + 3 + 4 , ...


En términos de la correspondencia existente, puede decirse que a un número de líneas 2, 3, 4,..., corresponde un número de intersecciones igual a la suma de los 1, 2, 3,..., primeros naturales. De manera más condensada, podría escribirse: I(n) = 1 + 2 + 3 + ••• + (n- 1) donde n es el número de líneas e I(n) el número de intersecciones.

Por consiguiente, el número de intersecciones correspondientes a 100, o a 1000, líneas vendrá dado por la suma de los 99, ó 999, primeros naturales.

En definitiva, el problema queda transformado en el cálculo de la suma do los n-1 primeros naturales.

El problema puede ser interpretado como un problema de sucesiones, relativo a la suma de los términos de una sucesión aritmética, y dejarlo por excesivamente complejo para los alumnos de este ciclo, retomándolo en otros ciclos educativos posteriores.

Pero también puede intentarse que los alumnos lo resuelvan por procedimientos intuitivos. Por ejemplo, plantear el cálculo de la suma de los diez primeros naturales y dar la siguiente pista:

1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 * 11

Para los veinte primeros naturales: 1 + 2 + 3 + ••• + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) + (2 + 19) + ••• + (10 + 11) = 10 * 21…

Para los cien primeros naturales: 1 + 2 + ••• + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ••• + (50 + 51) = 50* 101

Y con estos datos puede quedar resuelto el problema. Un paso más, que no es de

todas maneras necesario, es el de encontrar la relación: S(n) = 1 + 2 + 3 + ••• + n = n * (n + l)/2 S(10) = 10 * 11/2 = 5 * 11 = 55; S(20) = 20 * 21/2 = 10 * 21 = 210 ...)

Como es fácil de comprender, el problema admite diferentes niveles de resolución, en función de las diferentes capacidades operativas de los alumnos, no teniendo sentido profundizarlo más allá de lo que éstos sean capaces. De todas maneras, la capacidad operativa de los alumnos, bien orientada, sorprende a veces por su potencia.

En cualquier caso, sirva el problema para advertir la densidad operatoria que pueden alcanzar unas cuestiones tan simples como las relaciones de intersección de puntos y rectas. No será este el único ejemplo que muestre las posibilidades de la Geometría para el planteamiento de problemas aritméticos, algebraicos, etc., de relativa envergadura. Otro ejercicio análogo sería el siguiente:

¿Cuál es el número máximo de regiones en que queda dividida una tarta con n cortes rectilíneos?

Se trata también de un conjunto creciente de líneas (los cortes), pero ahora son segmentos que dividen a una región (la tarta) en partes, también crecientes en número. La resolución del problema es similar a la del caso anterior.

Algunos de los problemas, relativos a esta unidad, contemplados en el capítulo anterior, admiten también niveles superiores de profundización aritmética, de modo que puede ser interesante considerarlos de nuevo en este ciclo.


4.3. PARALELISMO. ÁNGULOS. PERPENDICULARIDAD

En esta unidad se plantea el estudio de las relaciones de incidencia entre líneas rectas, entre superficies planas y entre ambas. Es la continuación natural del estudio de las relaciones de incidencia de líneas o superficies (no necesariamente rectas o planas; líneas y superficies genéricas), efectuado en el capítulo anterior.

Del análisis de posibilidades en la incidencia de líneas rectas deriva, en primer lugar, la diferenciación entre paralelismo y convergencia de líneas rectas. El paralelismo aparece, entonces, ligado a una intersección vacía de rectas (aunque caben, naturalmente, otras consideraciones posibles del paralelismo, que aparecerán más tarde: ligado a la igualdad de distancia entre dos rectas, al resultado de aplicar una traslación a una recta dada, etc.).

De la consideración del supuesto contrario al del paralelismo, la convergencia (no vacía) entre líneas rectas, se deriva fácilmente la noción de ángulo, como la mayor o menor separación que puedan presentar las rectas incidentes. El ángulo recto aparece así como un tipo particular de ángulo y ligado a él aparece la noción de perpendicularidad.

Considerando relaciones de incidencia entre superficies planas o entre líneas rectas y superficies planas, cabe generalizar las nociones anteriores a un caso más general de incidencia en el espacio.

No debe creerse, sin embargo, que el pensamiento del alumno recorre éste hilo argumental, claramente deductivo, de forma sencilla y que adquirido, en cada caso, el conjunto de nociones previas necesarias, el salto mental está asegurado y, además, de esa forma lineal que se describe. En realidad, estas nociones aparentemente tan simples encierran dificultades conceptuales del estilo de las que se señalan al considerar, en el capítulo anterior, las nociones de punto, línea y superficie, nociones aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejas, por su elevado nivel de abstracción.

La noción de paralelismo, por ejemplo, es una noción difícil, por la infinitud de la línea recta. Dos segmentos rectos pueden no ser paralelos, aunque no se corten; se cortarían si se prolongaran. Es sólo en el caso de las líneas rectas, infinitamente prolongadas sobre sí mismas, cuando se puede hacer equivaler la no intersección con el paralelismo. Pero los alumnos de estas edades no captan con facilidad el carácter infinito de la recta. En primer lugar por un problema de fijación mental derivada de sus propias percepciones, toda vez que las representaciones materiales de la línea recta que se encuentran en la vida cotidiana son segmentos rectos, segmentos de longitud finita. Y en segundo lugar por un problema de capacidad lógica, por estar en el periodo llamado por Piaget de «lógica concreta», en el que no cabe la consideración de entidades tan abstractas como la infinitud.

Esta misma dificultad es la que aparece al considerar los ángulos. No les resulta fácil comprender la independencia del ángulo respecto a la longitud de sus lados, en primer lugar por cuestiones de tipo perceptivo, porque el ángulo es para ellos la figura concreta dibujada, con dos longitudes concretas para los lados que aparecen en la figura; y en segundo lugar por ese problema conceptual de la infinitud de la recta que se está señalando.

Estas dificultades conceptuales se aprecian, con facilidad, al plantear a los alumnos problemas relativos a estas nociones, a efectuar sobre el geoplano. Por ejemplo, construir todos los ángulos con vértice común en un determinado punto del geoplano. Se advierte con facilidad cómo para los alumnos ángulos iguales, de lados superpuestos,


pero con longitudes diferentes, resultan diferentes y cómo tienen dificultades para aceptar un punto de vista distinto.

En realidad, insistimos, no es sólo la presencia de conceptos tan complejos como la infinitud de la recta lo que dificulta el aprendizaje de estas nociones. Es la misma capacidad lógica de los alumnos, tan pegada a la relación con la realidad material, tan poco preparada para la abstracción, la que dificulta la comprensión de todos estos conceptos.

Es fácil entender que para los niños la infinitud de la recta sea una cuestión compleja, pero ¿y que lo sea la misma rectitud, la unidireccionalidad de la recta?

Una experiencia concreta puede ayudar a ver que tampoco la rectitud es un concepto sin dificultades. Al pedir a los alumnos que señalen con gomillas, sobre el geoplano, todas las rectas que pasen por dos puntos dados, es fácil que los alumnos respondan situando muchas gomillas entre las dos posiciones elegidas, dado que las dimensiones reales de las puntillas que hacen de vértices del geoplano lo permiten. Al trasladar el ejercicio a un geoplano dibujado sobre la pizarra, con los puntos representados como se hace habitualmente por la huella de la tiza, tratando de eliminar al máximo su dimensionalidad, algunos alumnos, influidos por el problema anterior, responden dibujando varias líneas rectas entre los dos puntos, aprovechando el pequeño grosor de éstos, haciendo las líneas convenientemente finas.

Hasta aquí es un problema derivado de las diferencias entre las dimensiones teóricas y reales del punto y la recta, que hacen posible estas pequeñas «trampas».

Pero la situación se complica cuando se ajusta el dibujo, presentando los puntos con tan escaso grosor que no cabe dibujar dos rectas, por finas que lean, entre ambos. Algunos alumnos responden entonces introduciendo una cierta curvatura en la rectitud de las líneas, muy leve, pero suficiente para que quepan más de una.

No tenemos medida la persistencia de este tipo de respuestas en los niños, pero sí sabemos que son frecuentes, lo que nos hace pensar en la debilidad de la construcción conceptual de los alumnos, a estas edades, en este campo. Y ello nos reafirma en la inconsistencia de unos métodos deductivos de enseñanza, que establecen un encadenamiento demasiado lineal, demasiado formal, de los conceptos a aprender y no permiten una asimilación real de los conceptos aprendidos. La construcción mental es, a nuestro juicio, mucho más compleja y exige retomar constantemente las nociones ya trabajadas, plantearlas en contextos nuevos, relacionarlas con todo tipo de nociones, de situaciones, de problemas, etc., a fin de posibilitar la edificación del edificio lógico-conceptual que permita una integración más definitiva de esas nociones. Entrando ya en la didáctica concreta de la unidad, se exponen, a continuación, dos

ejemplos de sesiones de psicomotricidad, relativas a dos partes bien diferenciadas de dicha unidad, seguidas ambas de una serie de ejercicios actividades complementarias de clase.


Intersección de líneas. Intersección de líneas rectas. Paralelismo Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música. Formamos dos grupos. Nos movemos en grupo por todo el espacio. Seguimos moviéndonos en grupo, pero de acuerdo con las trayectorias que se dibujan

en la pizarra (líneas con puntos de intersección). (Como se puede apreciar, se trata de que vivencien corporalmente las intersecciones de líneas). (Se reparten cuerdas de colores, una a cada niño.) Jugamos con las cuerdas, con el

movimiento de las cuerdas. Jugamos con otros. Jugamos a mover las cuerdas juntos, sin chocar. Chocando.

(Nuevamente se vuelve a plantear, mediante el juego, la convergencia de líneas)

Hacemos entre todos un mural, con las cuerdas sobre el suelo. Lo hacemos por parejas. Cada pareja las pone como quiera, chocando o sin chocar, cruzándose o sin cruzarse, con algún punto de contacto o sin él. (Se reparten varillas de madera, una a cada niño.) Nos movemos, otra vez, al ritmo

de la música. Jugamos con los palos, chocándolos y sin chocar. Hacemos otro mural sobre el suelo, por parejas, con los palos. Cada pareja tiene que

hacer una figura original. Actividades complementarias

— Sobre la pizarra, cada niño dibuja un par de líneas, como quiera. El profesor señala entonces parejas distintas y las hace comparar, con el objetivo de que se distingan las líneas secantes de las que no lo son, las que se cortan de las que no se cortan. Progresivamente se va introduciendo la terminología correspondiente. Finalmente plantea clasificaciones dicotómicas, en dos clases, de las parejas de líneas y una de esas clasificaciones debe referirse a la incidencia o no de las líneas de cada pareja. La respuesta espontáneamente correcta de los alumnos es la que debe marcar la finalización del ejercicio o su repetición en formas análogas.

— Una vez diferenciadas las líneas secantes de las no secantes, debe plantearse la comparación de la convergencia entre líneas curvas y entre líneas rectas. Se trata de que los niños adviertan y expliciten que la intersección de dos líneas curvas puede comprender varios puntos, mientras que la intersección de dos rectas se limita a uno solo.

— Sobre el geoplano, construir el mayor número de líneas rectas que se corten en un punto. ¿Cuántas hay? Resolverlo en geoplanos de números diferentes de puntos.

(Es este un ejercicio interesante, no sólo desde el punto de vista de la realización de conjeturas aritméticas, sino también porque permite iniciar reflexiones geométricas de cierta profundidad, al tratar de diferenciar las posibles líneas rectas que pasan por dicho punto. Induce a iniciar, intuitivamente, la representación cartesiana del punto, el razo-namiento proporcional, etc., modelos conceptuales que se considerarán, con todo propiedad, en el siguiente ciclo escolar, pero que aquí pueden comenzar a conjeturar.)

— Preguntar, en el ejerció anterior, qué pasaría si se aumentara más y más el número de puntos del geoplano, ¿cuál sería el número máximo de rectas posibles?


(Se trata de ir induciendo conjeturas sobre el carácter infinito del conjunto de puntos y del conjunto de rectas del plano.)

— En el geoplano, construir el mayor número de rectas que pasen por dos puntos, ídem por tres, cuatro... (discusión sobre el alineamiento o no de estos puntos).

— Sobre el geoplano, marcada una recta, construir todas las paralelas a ella. Repetir variando la dirección de la recta inicial y las dimensiones del geoplano. (También da lugar a muchas conjeturas aritméticas y geométricas.)

— Construir, con varillas de madera y articulaciones rígidas, cubos de lados 2, 3, 4..., divididos en cubos de lado 1. Generalizar la noción de paralelismo al caso tridimensional y pedir, en cada caso, el máximo número de rectas paralelas. Considerar luego las intersecciones entre superficies planas, introducir el paralelismo de superficies planas también por ser vacía la intersección y pedir el número máximo de superficies planas paralelas, en cada caso. Generalizar luego el paralelismo al caso de relación entre una línea recta y una superficie plana, en el espacio, y pedir el número máximo de líneas rectas paralelas a una superficie plana o, al revés, de superficies planas paralelas a una recta, también en cada caso. (Da lugar a muchas conjeturas aritméticas de tipo multiplicativo.)

-Con palillos de dientes, hacer figuras, cada una con dos palillos, dándoles formas distintas, ídem, pero que todas las figuras tengan un punto de contacto, ídem, pero que el punto de contacto sea un extremo.


II. Ángulos. Tipos de ángulos. Ángulo recto. Perpendicularidad

— Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música. — Buscamos puntos de flexión en el cuerpo y seguimos moviéndonos al ritmo de la

música, pero flexionando el cuerpo por esos puntos, formando ángulos con el cuerpo. —— Somos muñecos de alambre. Seguimos flexionando el cuerpo, formando

ángulos. — Nos ponemos por parejas, uno hace de muñeco y el otro lo mueve, formando

ángulos entre partes de su cuerpo. Cambiamos después las posiciones. Sentamos al muñeco en el suelo y lo empujamos hacia delante y detrás, haciendo que

forme con el tronco y las piernas ángulos más pequeños y ángulos más grandes. Ángulo recto, ángulos menores que el recto y ángulos mayores que el recto.

Hacemos ángulos, con los cuerpos, entre los dos miembros de la pareja. - Cada alumno construye, con dos varillas y una articulación flexible, un ángulo y

juega con él, convirtiéndolo en tijeras, tenazas, una boca, etc. - Hacemos, con varillas de madera, sobre el suelo, un muñeco y reconocemos y

contamos sus ángulos.

Actividades

Hacemos, con alambre, distintos tipos de ángulos y reconocemos sus elementos comunes (vértice, lados) y sus elementos diferenciadores (abertura). Hacemos ángulos cada vez más grandes y cada vez más pequeños.

— Unimos, con gomillas, dos varillas de madera por su centro. ¿Cuántos ángulos se forman?, ¿cómo son entre sí?, ¿son todos desiguales?, ¿hay algunos que sean iguales entre sí?, ¿hay alguna posición de las varillas en la que los cuatro ángulos sean iguales entre sí? (se introduce la noción de ángulo recto).

— Se unen dos varillas por uno de sus extremos, y se vuelven a formar diferentes ángulos con ellas. Formar un ángulo recto. Formar ángulos mayores que el recto. Menores que el recto (se introducen las nociones de ángulo agudo y obtuso).

— Construir, sobre el geoplano, un triángulo. ¿Cuántos ángulos tiene?, ¿cómo son? Señala el vértice y los lados de cada ángulo. Construye otro triángulo distinto, ¿cuántos ángulos tiene?, ¿cómo son?

— Construir figuras de tres, cuatro, cinco... lados, que tengan ángulos rectos. ¿Cuál es el número máximo de ángulos rectos en cada caso?, ¿existe alguna relación entre el número de lados y el número de ángulos rectos?

— ídem, con ángulos agudos, ídem con ángulos obtusos. — Construir ángulos sobre el geoplano. ¿Cuántos ángulos agudos diferentes se

pueden construir?, ¿y en geoplanos mayores? ¿Hay alguna relación entre el número de puntos del geoplano y el número de ángulos diferentes que se pueden construir en él?

— ídem con ángulos obtusos. — (Introducir la noción de perpendicularidad ligada a la de ángulo recto.) Formar,

con varillas de madera, figuras de dos lados perpendiculares. — Formar figuras de tres, cuatro, cinco... lados que tengan al menos un par de lados

perpendiculares. ¿Cuál es el número máximo de lados perpendiculares en cada caso?, ¿tiene alguna relación con el número de lados?

— El ejercicio anterior no obligaba a construir figuras planas, ni convexas,... Extenderlo al caso tridimensional, con la máxima generalidad posible.

— Construir un cubo. Extender la noción de perpendicularidad a las relaciones entre superficies planas o entre superficies planas y líneas rectas. Reconocer esas relaciones


de perpendicularidad en el cubo y cuantificarlas (¿cuántas superficies hay perpendiculares a un lado?...).


4.4. TRIÁNGULOS. POLIEDROS DE CARAS TRIANGULARES

Se puede iniciar esta unidad repasando la noción de triángulo, los elementos básicos de un triángulo (vértices, lados y ángulos), y algunas de sus propiedades más sencillas. Propiedades relativas a los ángulos (todo triángulo tiene tres ángulos, no puede tener más de un ángulo recto...). Propiedades relativas a los lados (un lado es siempre menor que la suma de los otros dos...). Y propiedades relativas a las relaciones entre lados y ángulos (a mayor ángulo se opone mayor lado...).

Algunas de estas propiedades pueden resultar muy sorprendentes a los alumnos. Por ejemplo, el hecho de que no se pueda construir, con palillos de dientes un triángulo de lados constituidos, respectivamente, por uno, dos y tres palillos. Es decir, al hecho de que no valgan cualesquiera longitudes para formar un triángulo, sino que existan restricciones para esas longitudes. (La discusión sobre este caso de longitudes 1, 2 y 3 ayuda a entender que la distancia en línea recta representa el camino más corto entre dos puntos.)

El estudio de los triángulos puede ayudar a repasar la noción de ángulo, considerada en la unidad didáctica anterior. Así, al pedir la construcción de triángulos que tengan un ángulo recto, o un ángulo obtuso, o dos ángulos iguales, etc., se está utilizando otra vez la noción de ángulo, aplicándola en contextos nuevos.

Este repaso es importante, porque la noción de ángulo es, como ya se ha indicado anteriormente, difícil de adquirir, sobre todo si el ángulo no está aislado, sino que forma parte de una figura. En este caso el alumno «ve» la figura —triángulo en nuestro caso—, «ve» los elementos materiales que lo componen, los lados, pero no «ve» los elementos conceptuales abstractos, como los ángulos, que se consideran para caracterizarlo.

Como consecuencia de las actividades de construcción de triángulos con características diferentes, respecto a sus lados, respecto a sus ángulos, etc., aparece una amplia gama de tipos de triángulos, que procede clasificar y que conviene dejar, efectivamente, que los alumnos clasifiquen, con sus propios criterios, de acuerdo con sus propias intuiciones, porque estos intentos clasificatorios espontáneos dan mucha información sobre el nivel conceptual adquirido por los alumnos sobre las diferentes nociones implicadas.

La consideración de los triángulos equiláteros contribuye bastante a la profundización de la noción de ángulo, a independizarla de sus lados, de las longitudes de sus lados. La comparación de los ángulos de un triángulo equilátero da una primera idea de la igualdad de ángulos, y la comparación de ángulos respectivamente pertenecientes a dos triángulos equiláteros de distinto tamaño (o sea, semejantes) hace ver que en esa igualdad de ángulos lo importante es el ángulo en sí, su abertura, y no las longitudes de los lados que lo componen.

Naturalmente una cierta dificultad respecto a la noción de ángulo subsistirá porque la innecesaria consideración de las longitudes de sus lados no será definitivamente superada hasta que no se comprenda el carácter ilimitado de los lados de los ángulos, su condición de semirrectas y no de segmentos. Comprensión que se ve obstaculizada por el hecho de que en la realidad material no aparecen semirrectas, sino segmentos y, lo que es peor, porque en los triángulos los lados del ángulo (semirrectas) se confunden con los lados del triángulo (segmentos). Como se viene señalando, la noción de ángulo es una noción difícil y será su paulatina aplicación en contextos variados y de dificultad progresiva la que hará posible, en verdad, su construcción definitiva.

Con el estudio de los triángulos pueden, así mismo, repasarse otras nociones consideradas también en la unidad anterior, como las de paralelismo o perpendicularidad. Por ejemplo, construyendo en el geoplano triángulos con alguna


condición de paralelismo o perpendicularidad (triángulos rectángulos; paralela media de un triángulo, etc.). Después de analizar los triángulos en sí mismos, sus propiedades, sus tipos, etc., puede

pasarse a las relaciones entre los triángulos desde el punto de vista de sus posibles combinaciones para formar otras figuras, primero en el plano (el hexágono regular como combinación de triángulos equiláteros; el cuadrado como combinación de triángulos rectángulos, etc.), y después en el espacio (poliedros de caras triangulares: tetraedro, octaedro, bipirámides), o de caras fundamentalmente triangulares (pirámides). Estas relaciones entre figuras son importantes, no sólo por el desarrollo de la visión espacial, la intuición geométrica, que provocan, sino por la variedad de propiedades y proposiciones geométricas que inducen y que luego pueden ser retomadas, en el momento apropiado. Piénsese, por ejemplo, en la importancia de las relaciones de composición y descomposición de figuras para el cálculo de áreas y volúmenes, como un ejemplo paradigmático de estas afirmaciones. A continuación se expone una sesión de psicomotricidad tipo. En esta sesión se busca fundamentalmente una vivencia lúdica de los triángulos y de los poliedros de caras triangulares, antes de entrar en la construcción estrictamente intelectual de los mismos. Así, por ejemplo, el acercamiento lúdico a las pirámides, viviéndolas como tiendas de campaña, tiendas de «indios», casas, etc., no impide el acercamiento meramente conceptual posterior a la noción de pirámide, sino que, por el contrario, lo facilita al hacer más asequible, más cercana, esa noción.

Sesión de psicomotricidad: Noción de triángulo. Figuras compuestas con triángulos. Poliedros de caras triangulares

— Nos movemos por todo el espacio al ritmo de la música. — Nos seguimos moviendo, pero formando figuras con nuestro cuerpo, lo más

originales que podamos. Cuando pare la música nos convertimos en estatuas, nos quedamos quietos en la postura en que nos ha pillado.

— Formamos grupos de tres y seguimos jugando a las estatuas. — Se reparten cintas elásticas cerradas, una a cada grupo de tres. Cada grupo juega

con su elástico, como quiera. — Nos metemos dentro del elástico y jugamos de nuevo a las estatuas. — Mantenemos tenso el elástico y jugamos con la tensión del mismo, alejándonos,

dejándonos llevar por su fuerza... — Jugando con la tensión del elástico hacemos figuras de tres lados. — Se reparten varillas de madera de distinta longitudes. Hacemos ahora, con los

palos, las mismas figuras que hemos hecho antes con el elástico. - — Construimos figuras de tres lados de distintas formas. \ — Formamos figuras en el suelo a base de combinar triángulos.

— Se reparten articulaciones flexibles. Formamos figuras en el espacio a base de combinar triángulos.


En el geoplano, construir triángulos de diferentes tipos. ¿Cuántos lados tienen todos?, ¿cuántos vértices?, ¿cuántos ángulos? Construir con tres palillos de dientes todos los tipos posibles de triángulos, ídem con cuatro palillos; con cinco, seis,... (un lado puede estar formado por varios palillos alineados).


(Este es un problema que da sorpresas a los alumnos. Por ejemplo, con cuatro palillos no se puede construir un triángulo, es decir, no hay un triángulo cuyos lados midan 1, 1 y 2. Una extensión de este problema es determinar ternas de números que correspondan a las longitudes de los lados y tratar de encontrar una relación entre ellas. Por ejemplo, con 5 palillos se puede formar un triángulo con la terna (1, 2, 2) que origina un triángulo isósceles, pero no con la terna (1, 1,3). Con 6 palillos sirve la terna (2, 2, 2), pero no sirven las ternas (1, 1, 4) y (1, 2, 3),...

Hasta la terna (2, 3, 4) no aparece el primer caso de un triángulo escaleno. Hasta la

terna (3, 4, 5) no aparece el primer caso de triángulo rectángulo.)

Construir, sobre un geoplano, todos los tipos posibles de triángulos. Clasificar los triángulos construidos en los ejercicios anteriores.

- Construir en el geoplano un triángulo con sus tres lados iguales (comprobar, si hace falta, con una regla la igualdad o desigualdad de sus lados). ¿Por qué no se puede? (introducir aquí geoplanos de malla triangular equilátera o representaciones gráficas de los mismos).

Construir en el geoplano todos los triángulos posibles con dos lados iguales (isósceles). ¿Cuántos hay?, ¿cómo son sus ángulos?, ¿son iguales?, ¿hay alguno agudo?, ¿recto?, ¿obtuso?, ¿qué relación hay entre los lados iguales y los ángulos iguales?

-Construir con varillas de madera triángulos isósceles, con sus lados iguales siempre del mismo tamaño y el lado desigual cada vez mayor. ¿Cómo varia el ángulo opuesto a la base? (introducir la noción de altura) ¿hay alguna relación entre la base y la altura?

— Construir en el geoplano todos los triángulos posibles con lados desiguales. ¿Cuántos hay?, ¿cómo son sus ángulos?, ¿son todos desiguales?, ¿puede haber alguno recto?, ¿obtuso?, ¿hay alguna relación entre el lado mayor y el ángulo mayor?, ¿y entre el lado menor y el ángulo menor?

— Construir en el geoplano un triángulo que tenga sus tres ángulos iguales (comprobar, si procede, con un medidor de ángulos). ¿Por qué no se puede? Repetir sobre un geoplano de malla triangular. ¿Cómo son los lados?

— Construir en el geoplano triángulos que tengan dos ángulos iguales. ¿Cómo son sus lados?

— Construir en el geoplano triángulos que no tengan ningún ángulo igual. ¿Cómo son sus lados?

— Construir un triángulo que tenga un ángulo recto. Que tenga dos ángulos rectos, ¿por qué no se puede?

— (Introducir la noción de triángulo rectángulo.) Construir sobre el geoplano todos los triángulos rectángulos posibles. ¿Cuántos hay?, ¿cómo son sus ángulos?, ¿hay alguno obtuso?, ¿cuál es el ángulo mayor?, ¿y el lado mayor?, ¿hay alguna relación entre ellos? (introducir las nociones de hipotenusa y cateto).

— Construir en el geoplano un triángulo que tenga un ángulo obtuso. Dos ángulos obtusos, ¿por qué no se puede?

— Construir en el geoplano todos los triángulos que tengan un ángulo obtuso. ¿Cómo son sus otros ángulos? (introducir la noción de triángulo obtusángulo).

— Construir en un geoplano un triángulo que tenga un solo ángulo agudo. ¿Cuántos ángulos agudos tiene como mínimo un triángulo? Y el tercer ángulo, ¿cómo será?; ¿puede haber un triángulo con sus tres ángulos agudos? (introducir la noción de triángulo acutángulo).


— Construir en un geoplano un triángulo equilátero y rectángulo. ¿Por qué no se puede? Intentarlo sobre una malla triangular. ¿Por qué no se puede tampoco? ¿Cómo son los ángulos de un triángulo equilátero?, ¿y los de un triángulo rectángulo?

— Construir en el geoplano un triángulo isósceles y rectángulo. Todos los que se puedan. ¿Cuántos hay?, ¿cómo son los catetos?, ¿y sus ángulos agudos?, ¿pueden ser iguales?, ¿hay alguna relación entre ellos?, ¿cuando uno de ellos crece, qué le pasa al otro?

— Construir un triángulo rectángulo y obtusángulo. Rectángulo y acutángulo,... Equilátero e isósceles... ¿Por qué no se puede?

— Descomponer un triángulo obtusángulo en dos triángulos acutángulos. ¿Por qué no se puede? (Primer acercamiento a la idea de ángulos complementarios, a la idea de ángulo llano, a la suma de ángulos...) — Con varillas de madera y articulaciones flexibles construir triángulos equiláteros de distinto tamaño. ¿Cómo son los ángulos de estos triángulos entre sí?, ¿cómo son sus lados?, ¿qué importancia tienen las longitudes de los lados del ángulo para determinar a éste? -Construir con palillos de dientes un triángulo equilátero de lado 1, otro de lado 2,... ¿Cuántos palillos hacen falta en cada caso? Continuar la tabla y estudiar sus propiedades Longitud del lado 123 4 -... Número de 3 6 9 12 •••

- Construir con varillas de madera y articulaciones flexibles un triángulo equilátero de lado 1, otro de lado 2. ¿Cuántos triángulos de lado 1 contiene? Otro de lado 3, ¿cuántos de lado 1 contiene? ¿Y los de lado 4, 5, 6,...?. Continuar la tabla y estudiar sus propiedades

Longitud del lado Núm. de triángulo de lado 1 Construir con varillas de madera y articulaciones flexibles todas las figuras que resulten de componer, en el suelo, dos triángulos equiláteros, ídem con 3, 4, 5..., triángulos equiláteros.

1 2 3 4 …

1 4 9 16…


(El problema tiene una formulación muy general. Se pueden componer arista con arista, vértice con vértice, superpuestos...)

- La sucesión de figuras siguientes, resultantes de componer en fila un conjunto de triángulos equiláteros: permite formular la siguiente tabla:

Número de triángulos Número de palillos

Continuar la tabla. Calcular el número de palillos correspondiente a 10, 100, 1000...

triángulos. ¿Qué relación existe entre los números de una y otra fila? - Con las figuras del ejercicio anterior, continuar la tabla y encontrar la relación existente entre los números que aparecen:

Número de triángulos

Número de vértices

- En las figuras de los ejercicios anteriores encontrar ahora una relación entre el número de palillos y el número de vértices. (Generalizar a otros tipos de redes.)

- Dada la malla triangular equilátera

Determinar el número de caminos posibles para llegar desde el vértice superior a cualquier vértice, siempre desplazándose en sentido descendente (aparece, lógicamente, el triángulo de Pascal, del cual salen diferentes sucesiones: 1, 3, 6, 10, 15,21,...

1 2 3 43 5 7 9

1 2 3 4

3 4 5 6


1, 4, 10, 20, 35,56,... 1, 5, 15, 30, 70,126,...)

— Repetir los problemas anteriores, relativos a triángulos equiláteros, con triángulos rectángulos isósceles, ídem con otro tipo de triángulos.

— Componer, con varillas de madera y articulaciones flexibles figuras compuestas de triángulos equiláteros, pero en el espacio, no en el plano (poliedros de caras triangulares). Buscar la figura con el menor número de triángulos equiláteros y después números paulatinamente crecientes (tetraedro, octaedro, bipirámide pentagonal...). - ídem con poliedros troquelados. Para construir 1, 2, 3... tetraedros regulares, ¿cuántas varillas hacen falta?, ¿cuántas articulaciones se necesitan? Continuar y estudiar la tabla: Número de tetraedros 1 2 3 4 ...

Número de varillas 6 12 18 24 ... Número de vértices 4

- Repetir el ejercicio anterior aplicado a octaedros, bipirámides,…

8 12 16 …


CUADRILÁTEROS. POLIEDROS DE CARAS CUADRILÁTERAS Tiene esta unidad un desarrollo formalmente similar al de la anterior: lio de las propiedades elementales de los cuadriláteros, clasificación de Ion mismos, composición de cuadriláteros en el plano y en el espacio...

Sin embargo, el estudio adquiere ahora mayor profundidad, porque este nuevo tipo de figuras, los cuadriláteros, incorpora elementos nuevos (diagonal), otras relaciones entre sus elementos (paralelismo o perpendicularidad Mire lados...), nuevas posibilidades (cuadriláteros en el espacio, no sólo en el (Muño; concavidad o convexidad...). Con estas nuevas posibilidades los sistemas de clasificación resultan más ihlortos, más ricos. La introducción de elementos nuevos, como las diagonal«», incorpora nuevas posibilidades clasificatorias (según que las diagonales se corten o no en su punto medio, perpendicularmente,...) Análogamente sucede con las nuevas relaciones entre elementos, que abren la posibilidad de atender no sólo a las relaciones de igualdad o desigualdad entre lados o ángulos, sino también al paralelismo, la perpendicularidad, etc.

Es importante no reducir estos sistemas clasificatorios al caso de los cuadriláteros convexos, sino abrirlos a las diferentes posibilidades que comporta esta nueva categoría de figuras. En niveles educativos en los que, básicamente, se persigue el desarrollo de la intuición espacial, es importante estimular la capacidad para imaginar o reconocer formas cuadriláteras diversas, de manera que no queden fuera de la cultura geométrica formas cuadriláteras tan usuales en la vida cotidiana como la forma de «diábolo» o la «punta de flecha».

De esta manera se hace menos rígido, menos ligado a la percepción, más

racionalizado, el estudio de los mismos cuadriláteros convexos. Por ejemplo, el concepto de diagonal se hace más flexible (¿una diagonal ha de ser, necesariamente, interior al correspondiente polígono?), se abren nuevas consideraciones respecto a los ángulos (¿los ángulos interiores han de ser siempre menores que un llano?), incluso se relativiza la misma noción de cuadrilátero (¿la forma de diábolo, que se puede construir con cuatro varillas de madera, corresponde a un cuadrilátero o a un hexágono?).

Una manera atractiva de hacer surgir los diferentes tipos de cuadriláteros es pidiendo la construcción de todos los cuadriláteros posibles con varillas de madera, palillos de dientes, etc.… Con varillas de madera y articulaciones flexibles aparecen cuadriláteros

tridimensionales. Con palillos de dientes sólo cuadriláteros planos.

Por ejemplo, con cuatro palillos de dientes no hay posibilidad de polígonos

cóncavos, sólo cuadrados y rombos. Con 5 palillos aparecen ya los primeros polígonos

cóncavos, pero con ciertas restricciones; aparecen también el trapecio isósceles, el

trapezoide..., etc., etc. En seguida se abren muy variadas posibilidades, de manera que

conviene proceder de un modo sistemático, como, por ejemplo, explorando las

diferentes cuaternas de números expresivas del entorno del cuadrilátero. Por ejemplo, la

cuaterna (1, 1, 1, 3) correspondería un cuadrilátero tal que las longitudes de sus lados

fuesen 1, 1, 1 y 3 (tal cuadrilátero no puede existir, por razón análoga a la imposibilidad

de existencia del triángulo de lados (1, 1, 2); también en los cuadriláteros, un lado ha de

ser menor que la suma de los restantes).


La clasificación de los cuadriláteros es un tema importante, tanto por el valor pedagógico que ofrece a los alumnos, como por la utilidad diagnóstica tic la evolución conceptual de los alumnos que ofrece al profesor. En el tratamiento tradicional de este problema, se reduce la cuestión a ofrecer a los alumnos un sistema de clasificación ya construido por el profe-<>r, basado en primer lugar en la relación de paralelismo (según la cual los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides, según tengan dos, uno o ningún par de lados paralelos), complementada por otros elementos (los paralelogramos se clasifican, a su vez, atendiendo a las relaciones de igualdad o desigualdad entre sus lados y entre sus ángulos; entre los trapecios se distingue algún tipo particular, como el isósceles o el rectángulo, atendiendo a ciertas relaciones entre sus lados y sus ángulos). Esa clasificación es buena, porque integra en ella y diferencia las principales categorías de cuadriláteros, las más regulares (aunque deja indiferenciada, confundida dentro de una categoría muy poco selectiva, a un tipo interesante de cuadriláteros, los «cometas», cuadriláteros cuyos lados son iguales dos a dos, no alternadamente como en los paralelogramos, sino lados consecutivos; son cuadriláteros que presentan simetría y que resultan muy familiares a los alumnos). Pero, aunque buena, es una clasificación que se da, sin más, a los alumnos, como si fuera una clasificación natural, la única posible. Y, sin embargo, cabe hacerse estas preguntas: ¿por qué se ha de atender primero al paralelismo y no a las relaciones de igualdad y desigualdad entre los lados?, ¿o las relaciones entre sus ángulos?, ¿o entre sus diagonales?,... ¿Cuál es la utilidad de ese sistema de clasificación?

Dado su valor formativo, parece conveniente considerar diferentes sistemas clasificatorios y analizar las posibles ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos, antes de elegir uno concreto. Por ejemplo, se puede considerar las relaciones de igualdad y desigualdad entre los lados, según tengan los cuatro lados iguales, tres iguales y uno desigual, iguales dos a dos, dos iguales y los otros dos desiguales, y todos desiguales. Si se atiende al criterio de que un sistema clasificatorio es bueno cuando sus diferentes categorías se corresponden con figuras que presentan algún tipo de regularidad, el sistema anterior se puede simplificar considerando sólo los posibles casos de que los cuatro lados sean iguales o que sean iguales dos a dos, e incluyendo todos los restantes casos en una misma categoría. Si se procediese análogamente con los ángulos y se construye una tabla de doble entrada, para atender simultáneamente a ambos criterios, resultaría:

Cuatro lados iguales

Lados dos a dos iguales

Otros casos

Cuatro ángulos iguales

Cuadrado

Rectángulo

No es posible

Ángulos dos a dos iguales

Rombo

Romboide

Trapecio isósceles

Otros casos

No es posible

Cometa

Diferentes posibilidades


manifestándose como un buen sistema clasificatorio, que atiende primero a los lados para señalar las grandes categorías y después a los ángulos para las subcategorías. Es un buen sistema clasificatorio porque diferencia como grandes categorías las correspondientes a las figuras más regulares (tampoco es completo, pues no destaca explícitamente a los trapecios rectángulos; no tiene mayor importancia, en cambio, que no diferencie a los trapecios no isósceles ni rectángulos, que no es una categoría muy interesante, aunque sea utilizada por el sistema habitual).

Este sistema clasificatorio pone de relieve, además, algunos teoremas geométricos importantes (como que si un cuadrilátero tiene sus cuatro ángulos iguales tiene que tener sus cuatro lados iguales dos a dos, cuando menos; si tiene sus cuatro lados iguales ha de tener sus ángulos iguales dos a dos, cuando menos, etc.) teoremas que expresan propiedades geométricas que los alumnos deben conocer y, más tarde, intentar explicar.

De esta manera se habrá construido un sistema clasificatorio alternativo al habitual, igualmente válido.

De forma parecida se podrían estudiar otros sistemas clasificatorios también interesantes, atendiendo, por ejemplo, a la simetría de las figuras, a las relaciones entre sus diagonales, etc., así como buscar relaciones entre los distintos sistemas, lo que da mucha profundidad al conocimiento sobre los cuadriláteros.

Otro campo importante de estudio es el de composiciones y descomposiciones posibles de cuadriláteros, bien en el plano, bien en el espacio, en principio con criterios plásticos, y después con criterios geométricos.

En el caso plano resultan las combinaciones a base de cuadrados, que pueden dar lugar a figuras de gran belleza plástica, a ciertas combinaciones de bastante carácter lúdico (los poliminós, por ejemplo), y a las redes cuadradas, con toda su aritmética subyacente.

Pueden considerarse también las figuras resultantes de la descomposición del cuadrado, que dan lugar a relaciones geométricas muy formativas. Una descomposición particularmente importante es la que da lugar al juego del tangram, que supone, por sí misma, toda una línea de trabajo, dado el elevado grado de exploración de sus posibilidades de que se dispone.

En el caso tridimensional, las combinaciones de los cuadriláteros hacen destacar a poliedros como los prismas, el cubo, etc. El cubo presenta, como el cuadrado, variadas posibilidades didácticas. Por ejemplo, las redes cúbicas; la aritmética de las redes cúbicas; las combinaciones de cubos (policubos); los desarrollos modulares del cubo; juegos análogos al tangram, ahora en el espacio, como el soma, etc.


Sesión de psicomotricidad — Nos movemos por el espacio, al ritmo de la música.

— Formamos grupos de cuatro. Nos seguimos moviendo al ritmo de la música, pero ahora en grupo. Se reparten cintas elásticas cerradas, una por grupo. Jugamos con la cinta elástica. - Nos metemos dentro de la cinta elástica y formamos figuras, al ritmo de la música. - Hacemos figuras de cuatro lados.

- Se reparten varillas de madera. Hacemos con los palos, sobre el suelo, las figuras que hemos formado antes. Formamos, con los palos, figuras que resulten de componer cuadrados.

- Se reparten articulaciones rígidas. Hacemos figuras, en el espacio, resultantes de componer cuadrados.

- Se reparten telas. Cubrimos las construcciones con telas, haciendo casas.

Actividades complementarías

En el geoplano construir figuras de cuatro lados (cuadriláteros) de diferentes tipos. ¿Cuántos vértices tienen?, ¿cuántos ángulos?, ¿cuántos lados? Trazar líneas rectas que unan vértices no consecutivos (diagonales), ¿cuántas diagonales tienen todos? Construir con cuatro palillos de dientes todos los tipos de cuadriláteros posibles, ídem con cinco, seis... palillos. Clasificar, con distintos criterios, los diferentes cuadriláteros construidos en el ejercicio anterior. Construir en el geoplano cuadriláteros que tengan todos sus lados iguales. Además de los cuadrados, ¿encuentras algún otro tipo de cuadrilátero? (rombo). ¿Qué diferencias encuentras entre el cuadrado y el rombo?, ¿cómo son los ángulos del cuadrado?, ¿y los del rombo?, ¿qué relaciones encuentras entre los lados del cuadrado?, ¿y entre los del rombo? ¿Cómo son las diagonales del cuadrado?, ¿y las del rombo?

— Construir en el geoplano todos los cuadrados de lado 1 (explicar el significado) Hacerlo para geoplanos de dimensiones distintas y continuar la tabla: Núm. de puntos por fila en el geoplano Núm. de cuadrados ¿Qué relación hay entre los número de ambas filas?

- Repetir el ejercicio anterior para cuadrados de lado 2. Ídem para cuadrados de lados 3, 4, 5,...

- Repetir calculando el número total de cuadrados. - Repetir el ejercicio anterior pero con rombos, en lugar de con cuadrados. - Construir en el geoplano 5x5 todos los cuadriláteros posibles que tengan tres lados

iguales entre sí y el cuarto desigual. ¿Cuántos hay? Repetir en geoplanos 6x6, 7x7,... - Construir cuadriláteros que tengan los lados iguales dos a dos. ¿Cuántos tipos diferentes

encuentras? - Construir un cuadrilátero que tenga sus lados iguales dos a dos y todos sus ángulos

iguales (rectángulo). Construir un cuadrilátero con sus lados iguales dos a dos y tres de sus ángulos iguales. Con lados iguales dos a dos y ángulos iguales dos a dos. Etc.

(En esta misma línea se pueden plantear una variedad muy grande de problemas que vayan siguiendo implícitamente la clasificación de los cuadriláteros de acuerdo con las relaciones de igualdad y desigualdad entre sus lados y sus ángulos comentadas anteriormente. Análogamente para otros criterios clasificatorios.

2 3 4

1 4 9 16


El objetivo básico de estos problemas es ir facilitando, implícitamente, el descubrimiento por los alumnos de los diferentes tipos de cuadriláteros, los sistemas de clasificación, las propiedades más significativas de cada tipo de cuadrilátero, etc.

Paralelamente se pueden plantear ejercicios de tipo aritmético, al intentar calcular el número total de cuadriláteros de cada clase que se pueden construir en el geoplano, en geoplanos de dimensiones variables. Ligados a las redes cuadradas que aparecen en estos ejercicios, surgen de manera natural los números cuadrados, que obtienen así un doble significado, aritmético y geométrico.) Construir con palillos de dientes un cuadrado de lado 1. ¿Cuántos palillos se necesitan? ¿Y para un cuadrado de lado 2, 3,...? Completa la siguiente tabla y estudia sus propiedades: Longitud del lado 1 2 3 4 ...Número de palillos 4 8 12 16 ...

(Evidentemente es la tabla de multiplicar por cuatro. En el geoplano se podría haber

obtenido de forma análoga substituyendo el número de palillos por el número de gomillas necesarias.)

Construir con palillos de dientes un cuadrado de lado 1, otro de lado 2 y dentro de éste cuatro de lado 1. Construir otro cuadrado de lado 3 y en su interior nueve de lado 1. Continuar con los cuadrados de lados 4, 5,...

Completar la tabla siguiente:

Longitud del lado 1 2 3 4 Número de cuadrados | 1 4 9 16 (Da lugar a la aparición de los números cuadrados.)

En la sucesión de figuras

resultante de componer cuadrados a lo largo de una fila, completar la tabla y encontrar relaciones entre los números de las diferentes filas: Número de cuadrados 1 2 3 4 ...Número de aristas 4 7 10 13 ...Número de vértices 4 6 8 12 ...

— Generalizar los ejercicios anteriores a otros tipos de redes cuadradas. — En los geoplanos 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4,..., formar todos los triángulos posibles. Comparar

la cantidad de superficie de cada uno de ellos con la del cuadrado de lado 1 (mitad, tercio, doble, triple...). Representar numéricamente esas cantidades (1/2, 1/3,...). Compararlas, asimismo, con la cantidad de superficie del cuadrado de lados, 2, 3... (es un ejercicio interesante, que inicia el problema de la medida de superficies, que será desarrollado de modo más completo en el ciclo superior).


— Construir sobre el geoplano un rectángulo. Señalar su diagonal. ¿A cuántos cuadrados de lado 1 corta? Dar valores numéricos a la cantidad de superficie de cada triángulo que se forme.

Generalizar la situación a diferentes rectángulos. (Este ejercicio es muy interesante

por la cantidad de relaciones aritméticas que implica):

— Llamaremos dominó, triminó, tetraminó,..., y en general poliminó a una figura resultante de unir varios cuadrados iguales por sus lados.

— Encontrar todos los tipos posibles de poliminós de los diferentes órdenes. ¿Existe alguna relación entre el número de poliminós de un cierto orden y el número que expresa ese orden?

— Encontrar diferentes descomposiciones de un cuadrado en poliminós de un mismo orden, ídem para un rectángulo.

— Dada la descomposición del cuadrado, sugerida por la figura

Construir otras figuras mediante composición de las partes del cuadrado. (Es el juego

del tangram. A sus muy variadas posibilidades nos remitimos.) — Encontrar diferentes tipos de figuras que correspondan a la cuarta parte de un cuadrado.

(Problema muy abierto, puesto que no precisa el sentido concreto de la expresión

«cuarta parte de un cuadrado». Una primera aproximación es la determinación de figuras «iguales» cuya superficie sea la cuarta parte de la del cuadrado. Posteriormente puede suprimirse esa condición de igualdad de las figuras y mantener sólo la equivalencia. Ya la primera forma de abordar el problema es suficientemente abierta, dado que existe una infinidad de posibilidades de cortar mediante rectas las cuatro partes iguales, o mediante cuatro curvas... La segunda forma abre una línea interesante, como es la de equivalencia de figuras desde el punto de vista de su equisuperficialidad, línea que puede ser aprovechada en la unidad temática siguiente, en el estudio de mosai-cos, en el estudio de las transformaciones equisuperficiales de los mosaicos.) Combinar cubos de lado 1 para formar cubos de lados 2, 3, 4,... ¿Cuántos se necesitan en cada caso? Continuar y estudiar la correspondiente tabla (tabla de números cúbicos). Componer cubos iguales, en número creciente, buscando las diferentes formas posibles (la composición se hará inicialmente pegando caras, con lo que resultarán los policubos. Explorar después otras posibilidades).


Componer figuras con policubos del mismo orden, buscando diferentes posibilidades, ídem con policubos de órdenes distintos. Intentar formar un cubo. Descomponer un cubo en dos policubos iguales, de todas las maneras posibles, ídem en cuatro policubos iguales.


4.6. OTROS POLÍGONOS Y POLIEDROS. POLÍGONOS Y POLIEDROS REGULARES En esta unidad se generaliza el estudio de los polígonos y poliedros iniciado en las unidades anteriores, al caso de polígonos y poliedros de un número cualquiera de lados y caras. Se considera, entonces, la posible extensión al caso general de propiedades observadas

en los polígonos y poliedros, propiedades relativas a lados, ángulos, diagonales,... Así, por ejemplo, se puede reconocer la igualdad numérica entre vértices y lados en los polígonos, las relaciones numéricas existentes entre vértices, aristas y caras en los poliedros; la existencia de relaciones entre las longitudes de los lados de los polígonos y, así mismo, entre las cantidades de superficie de las caras de los poliedros; la posibilidad de dividir un polígono en tantos triángulos como lados tiene y un poliedro en tantas pirámides como caras; la posibilidad de relacionar el número de diagonales de un polígono con el número de sus lados...

El problema de la clasificación general de los polígonos puede abordarse desde diferentes puntos de vista, además de la habitual por el número de lados. Puede, por ejemplo, hacerse la clasificación atendiendo al número de ángulos rectos (lo que da lugar a interesantes conjeturas geométricas), a las relaciones de igualdad entre sus ángulos, a las relaciones de paralelismo entre sus lados... Una interesante categoría de polígonos es, por ejemplo, la de los polígonos equiángulos, que resultan ser polígonos de lados paralelos dos a dos (inversamente: ¿es equiángulo un polígono de lados paralelos dos a dos?, ¿cuándo lo es?)

De todas maneras, dada la extrema generalidad de tipos de polígonos y poliedros, es aconsejable acotar el estudio al caso de polígonos y poliedros regulares.

La regularidad de los polígonos y poliedros es causa de la belleza plástica de las figuras y cuerpos que pueden crearse con ellos, de manera que el estudio de las combinaciones de polígonos y poliedros, de claro valor geométrico, puede ser inducido a partir de construcciones de valor plástico.

Se estudiarán, así, entre otras posibles creaciones plásticas, los mosaicos, comenzando por los mosaicos regulares y semirregulares, que conducirán de modo natural a los poliedros regulares y semirregulares, al extender la combinación de polígonos al caso tridimensional.

Además de los polígonos y poliedros regulares convexos, se considerarán también los polígonos y poliedros regulares estrellados. Los primeros surgirán de considerar relaciones entre las diagonales de los polígonos regulares convexos, los segundos de una generalización de estas relaciones.

La combinación de polígonos regulares iguales para formar mosaicos regulares está limitada al caso de cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares (lo que en estos niveles no puede justificarse inicialmente más que de forma experimental). Sin embargo, las redes triangulares y cuadrangulares correspondientes puede enriquecerse extraordinariamente, considerando motivos plásticos en las celdas unidad de la red, jugando con la forma, y con el color, haciendo transformaciones equisuperficiales de la celda unidad, etc., de manera que sobre las dos redes básicas, triangular y cuadrada, pueden crearse infinidad de mosaicos diferentes. Del mismo modo se puede enriquecer la creación de mosaicos semirregulares.

En el espacio, la única red regular posible es la cúbica, pues no es posible una red tetraédrica. Pero pueden generarse diferentes estructuras modulares jugando con las transformaciones del módulo unidad, en la misma forma que en el caso plano.


Esta es una unidad de un altísimo valor lúdico, que puede ser iniciado desde el juego psicomotriz, con poliedros «gigantes», de tamaño apropiado para el juego corporal (incluso en el interior del poliedro). El juego con el icosaedro, por ejemplo, resulta de una riqueza lúdica extraordinaria, dada su facilidad para cambiar de posición, para rodar, para girar, etc., sin desmontarse, como consecuencia de la estabilidad de su estructura.

La sesión de psicomotricidad puede ser planteada en términos de juego libre con estos poliedros regulares, bien a partir de las construcciones espontáneas de los propios alumnos (caso del cubo y del tetraedro), bien con modelos ofrecidos por el profesor (caso del icosaedro). Lo verdaderamente interesante es ese primer contacto lúdico con estos poliedros, el descubrimiento espontáneo de sus primeras propiedades a partir del juego, propiedades que luego podrán ser profundizadas desde otras situaciones de aprendizaje, más apropiadas para la reflexión individual.


— Construir con cinco varillas de madera iguales y articulaciones flexibles, tipos

diferentes de polígonos de cinco lados (pentágonos). Reconocer sus analogías (todos tienen cinco lados, cinco vértices, cinco ángulos, cinco diagonales...). Reconocer sus diferencias (unos son cóncavos y otros convexos; unos son regulares y otros no...). - Construir en el geoplano tipos diferentes de pentágonos. Clasificarlos. Construir en el geoplano tipos diferentes de pentágonos que tengan un ángulo recto. Ídem con dos ángulos rectos. Con el mayor número posible de ángulos rectos.

-Construir en el geoplano un pentágono. Construir todos los tipos diferentes de pentágonos que tengan los ángulos iguales que aquél. - Con palillos de dientes construir la siguiente combinación de figuras:


Continuar las tablas siguientes y estudiar sus propiedades:

Longitud del lado 1 2 3 ...

Núm. total de palillos 5 10 15 ...

Construir sobre el geoplano pentágonos que resulten de componer tres triángulos isósceles. Tres triángulos rectángulos. Un cuadrado y un triángulo isósceles,... Construir, en cada caso, el mayor número posible de pentágonos

Generalizar los ejercicios anteriores al caso de polígonos de 6, 7, 8... lados.

- Construir, con varillas de madera y articulaciones flexibles, polígonos que tengan todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales (polígonos regulares). Dar estabilidad a la construcción, cuando sea necesario, colocando diagonales (elegir las longitudes apropiadas). ¿Cómo son estas diagonales entre sí?

- Descomponer los diferentes tipos de polígonos regulares como combinaciones de triángulos isósceles, paralelogramos o trapecios. - En la sucesión de figuras:

completar y estudiar la tabla Núm. de hexágonos 1 2 3

Núm. de vértices 6 10 14 Núm. de aristas 6 11 16

Componer figuras mediante la combinación de polígonos regulares iguales, polígonos regulares de dos tipos diferentes, de varios, jugando con la repetición de un motivo, introduciendo variaciones a partir del color... (mosaicos). Combinar polígonos regulares de la misma clase para formar poliedros, buscando la regularidad de la figura resultante (los polígonos regulares como caras de los poliedros regulares). Combinar polígonos regulares de distinta clase para formar poliedros. Buscar la regularidad de la figura resultante (poliedros semirregulares).

Núm. de pentágonos en la 1 2 3 ... Num. total de palillos en la 5 13 24

Núm. total de vértices en la 5 9 13


4.7. LA CIRCUNFERENCIA. FIGURAS Y CUERPOS REDONDOS Estudiados los polígonos regulares, procede considerar ahora la circunferencia, que

presenta una relación muy estrecha con ellos. La circunferencia se estudia como lugar geométrico de los puntos que equidistan de

uno dado, y como trayectoria del movimiento seguido al recorrer esos puntos. Pero ese movimiento no se reconoce aún como giro, al menos de forma explícita. No se estudia aún el giro (para después reconocer la circunferencia como un efecto de ese giro), lo que se hará en la unidad siguiente. Se parte simplemente del reconocimiento de la circunferencia y del círculo, como figuras ya dadas, habituales en la vida cotidiana, que empiezan a ser analizadas, desde sus elementos, sus propiedades.

Algo análogo se hace con los cuerpos redondos, que en la unidad siguiente se estudian como cuerpos de revolución, pero que aquí simplemente se consideran como figuras dadas en sí mismas.

El estudio de la circunferencia puede ser precedido de una amplia fase de juego psicomotriz y de actividades complementarias en el salón de psicomotricidad, toda vez que la circunferencia puede resultar de juegos relativos a la proximidad, mediante la consigna «situarse todos igual de cerca de A, a la misma distancia de A».

De la división regular de la circunferencia (que puede plantearse ya en las sesiones de psicomotricidad), pueden hacerse derivar directamente los polígonos regulares, la inscripción y circunscripción entre polígonos regulares y circunferencia, el estudio de los ángulos en la circunferencia, la generalización de la idea de ángulo,...

La consideración de las relaciones entre circunferencia (tangencia, intersecciones, concentricidad, etc.) dan lugar a construcciones geométricas con un fuerte carácter plástico.

De la división regular de la circunferencia (que puede plantearse desde las mismas sesiones de psicomotricidad), pueden hacerse derivar los polígonos regulares, la inscripción y circunscripción entre polígonos regulares y circunferencia, el estudio de los ángulos en la circunferencia...

De la circunferencia se puede pasar al estudio de los cuerpos redondos, a nivel de mero reconocimiento de las relaciones existentes entre aquélla y éstos, en continuidad con la línea de trabajo emprendida de relacionar permanentemente las geometrías del plano y del espacio.

Posteriormente, se pueden considerar, también, las relaciones existentes entre los poliedros y los cuerpos redondos.

Se describe, a continuación, una sesión de psicomotricidad y se detallan las correspondientes actividades complementarias.


Iniciación a la circunferencia — Nos movemos libremente por el espacio. — Nos movemos cerca del suelo. Lejos del suelo. — Cerca de la puerta. Lejos de la puerta. — Cerca de un compañero. Lejos de ese compañero. — Cerca de todos. Lejos de todos.

— Cerca de «X» (un alumno señalado). Lejos de «X». Ni cerca ni lejos de «X», pero todos a la misma distancia.

— Jugamos con la distancia a «X». Nos acercamos y nos alejamos, pero manteniendo todos la misma distancia respecto a él. — Nos volvemos a mover libremente por el espacio.

— (Se pone una tablilla en el suelo.) Nos movemos por donde queramos, pero siempre a la misma distancia de la tablilla.

— Nos movemos a la misma distancia de la tablilla. Tratamos de acompasar nuestros movimientos, buscando un movimiento único del grupo alrededor de la tablilla. Se trata de iniciar el conocimiento de la circunferencia, presentándola en forma estática, como conjunto de puntos a igual distancia de uno dado, y en forma dinámica, como trayectoria del movimiento que conserva la distancia a un punto dado. Actividades complementarias — Colocarse todos a igual distancia de un punto marcado en el suelo. Comprobar la igualdad de distancias a ese punto. Discutir procedimientos para comprobar la igualdad.

- Moverse todos alrededor del punto central, conservando la distancia respecto a él. Dibujar la trayectoria seguida en el movimiento. Discutir procedimientos para dibujar correctamente esa trayectoria.

-Moverse libremente por el espacio, pero con la condición de estar siempre a menos de cinco metros de un punto, ídem a más de cinco metros, ídem a cinco metros. Delimitar sobre el suelo los recorridos posibles.

- Moverse por el espacio, a menos de tres metros de un punto A, y a menos de cuatro metros de otro punto B. Delimitar la zona de movimiento. Repetir el ejercicio situando los puntos A y B separados menos de siete metros, exactamente a siete metros, a más de siete metros. Discutir las diferentes posibilidades del ejercicio.

- Con los puntos del ejercicio anterior, situarse a menos de tres metros de A, y a más de cuatro metros de B. A menos de 4 m de B y a más de de 3 m de A. A más de 3 m de A y más de 4 m de B.

- Situarse a más de 2 m de un punto P, y a menos de 5 m del mismo. Delimitar en el suelo la zona de movimiento.

- Analizar, con ayuda de aros de distintos tamaños, las posiciones relativas posibles entre dos circunferencias.

- Con ayuda del compás, dibujar en papel distintos tipos de circunferencias. - Dibujar en papel circunferencias secantes y no secantes, tangentes, interiores, concéntricas... (introducir previamente los conceptos, en relación con los ejercicios anteriores).

- Dibujar circunferencias iguales que pasen todas por un mismo punto. ¿Qué figura determinan los centros de esas circunferencias?

- Situarse en el espacio, a igual distancia de dos puntos dados. Ocupar todas las posiciones posibles y moverse por todas ellas. Representar sobre el suelo la trayectoria seguida en el movimiento. ¿Qué relación hay entre la línea que expresa esa trayectoria y el segmento recto que une aquellos dos puntos? (introducción a la noción de mediatriz).


-Tratar de encontrar un procedimiento para hallar, con ayuda del compás, un punto que esté a igual distancia de otros dos puntos dados, ídem para hallar varios, ídem para hallar la mediatriz.

(Si no encontraran el procedimiento, plantear como ejercicio previo el dibujar dos circunferencias iguales secantes y preguntar por la relación de los puntos de intersección de ambas circunferencias con sus centros.) - Dibujar un triángulo isósceles. Dibujar un triángulo equilátero.

-Dibujar diferentes circunferencias que pasen por dos puntos dados. ¿Qué figura forman los centros de todas las circunferencias que pasan por dichos puntos? Rehacer el problema, construyendo primero la línea de centros. Dibujar dos circunferencias tangentes. Unir sus centros mediante un segmento. ¿Qué relación tienen los centros de ambas circunferencias con el punto de tangencia?, ¿cómo son sus distancias a ese punto? Rehacer otra vez el problema, tratando de encontrar un procedimiento sistemático para resolverlo.

- Dibujar diferentes circunferencias iguales tangentes a una dada, ¿Qué línea determinan los centros de todas las circunferencias tangentes a una dada?

-Con ayuda de una moneda, dibujar tres circunferencias iguales tangentes entre sí (tangentes dos a dos). ¿Qué figura se formará al unir los centros de estas circunferencias?

- De acuerdo con la conjetura del problema anterior, dibujar, con ayuda del compás, tres circunferencias iguales tangentes entre sí.

-Dibujar todas las circunferencias posibles iguales y tangentes a una dada. ¿Cuántas hay?, ¿qué figura resulta de unir sus centros con segmentos rectos?

- Con ayuda de una moneda, dibujar el mayor número de circunferencias iguales y tangentes a una circunferencia dada. Después, todas las circunferencias tangentes a cada dos circunferencias de las anteriores. Después todas las circunferencias tangentes a cada dos nuevas circunferencias tangentes, y así sucesivamente. ¿Cuántas circunferencias hay en cada nuevo conjunto de circunferencias? Estudiar y completar la siguiente tabla:

Orden» del piso 1 2 3 …

Núm. de circunferencias tangentes 6 12 18 …

— Dibujar una circunferencia sobre papel. Recortar una parte del círculo correspondiente,

mediante un corte rectilíneo. Dar otros cortes rectilíneos de igual longitud. Comparar las partes resultantes en esos cortes. (Introducir la noción de cuerda y segmento circular. El ejercicio sugiere que cuerdas iguales determinan segmentos circulares iguales.)

— Dividir un círculo en dos partes iguales (introducir la noción de diámetro, como cuerda máxima, o como cuerda que pasa por el centro).

— Dividir una circunferencia en cuatro partes iguales. Dividir un círculo en cuatro partes iguales. Discutir distintos procedimientos posibles, con ayuda de regla y compás, mediante plegado...

— Dividir una circunferencia en partes mediante cortes rectos que pasen por el centro. Continuar la tabla y estudiar sus propiedades:

Núm. de cortes 1 2 3

Núm. de trozos

2 4 6


Dividir una circunferencia sobre el suelo. Dividirla en parte iguales. Al recorrer media circunferencia se da media vuelta. Al recorrerla entera se dan dos medias vueltas. Al recorrerla dos veces se dan cuatro medias vueltas... Continuar la tabla y estudiar sus propiedades: Núm. de vueltas

Núm. de medias vueltas - Dividir la circunferencia en cuatro partes iguales. ¿Cuántos cuartos de vuelta se dan al dar 1, 2, 3,..., vueltas sobre la circunferencia? Continuar y estudiar la tabla: Núm. de vueltas más un cuarto

Núm. de cuartos de vuelta - Al dar dos vueltas y un cuarto, ¿cuántos cuartos de vuelta se dan?; ¿y en tres vueltas y un cuarto?... Continuar y estudiar la tabla: Núm. de vueltas más un cuarto

Núm. de cuartos de vuelta - Dibujar una circunferencia en el suelo. Con dos varillas de madera y una articulación flexible, construir un ángulo variable con vértice en el centro de la circunferencia. Mantener uno de los lados del ángulo fijo, y girar el otro un cuarto de vuelta, ¿qué ángulo forman?, ¿y girando dos cuartos de vuelta?, ¿y girando tres, cuatro, cinco..., cuartos de vuelta? (sirve para generalizar la noción de ángulo).

-Dividir una circunferencia en ocho partes iguales. Generalizar los problemas anteriores a este caso.

(La división en ocho partes iguales puede hacerse continuando con la idea de mediatriz. La tabla de multiplicar que resulta es la del ocho. El ángulo recto que antes aparecía como un cuarto de vuelta, ahora aparece como dos octavos, el llano, que aparecía como media vuelta y como dos rectos, aparece ahora como cuatro octavos de vuelta. Están así poniéndose las bases naturales para la introducción de la equivalencia de fracciones.) - Dividir una circunferencia en cuatro partes iguales. Unir los puntos de corte con segmentos rectos. ¿Qué figura resulta? Señalar las diagonales. ¿En qué punto se cortan?, ¿cuántos triángulos resultan?, ¿cómo son esos triángulos?, ¿cuánto valen sus ángulos? (Proceder análogamente con otros números de partes iguales, haciendo en su caso una división aproximada.)

Formar grupos de seis alumnos. Cada grupo de alumnos se reparte regularmente sobre una

circunferencia dibujada en el suelo, dividiéndola en partes iguales. Cada alumno pasa la pelota al de al lado (elegir el sentido de giro), éste al siguiente, y así sucesivamente. ¿Qué figura forma la trayectoria de la pelota?, ¿y si cada alumno la envía al siguiente del siguiente?, ¿y si la envía al tercero después de él?, ¿y al cuarto?, ¿y al quinto? Representar gráficamente las situaciones de juego. Generalizar el enunciado a las diferentes situaciones de división regular de la circunferencia en siete, ocho,... partes (polígonos regulares y estrellados).

— Dado un cuadrado, dibujar una circunferencia que pase por sus cuatro vértices, ídem para un hexágono y un octógono. Generalizar a otros polígonos.

— Dado un triángulo equilátero, dibujar una circunferencia interior que sea tangente a sus tres lados, ídem para un cuadrado y otros polígonos regulares.

— Calcular, en fracciones de vuelta, los ángulos centrales de un polígono regular (introducir previamente la noción de ángulo central). — Obtener figuras derivadas del círculo.

1 2 32 4 6

1 25 9 13

1 25 9 13


(Se trata de un enunciado muy abierto que se puede orientar más todavía. Por ejemplo, puede precederse componiendo círculos. O partiendo círculos. O buscando intersecciones del círculo con otras figuras... Es un problema con una clara dimensión plástica.)

— Generar con varillas rectas y varillas curvas (flexibles) figuras que representen cilindros, conos, troncos de cono, etc. Generar, con varilla flexibles, figuras que representen esferas.

— Construir, con varillas de madera y articulaciones flexibles, pirámides cuyas bases sean polígonos regulares con número creciente de lados. — Análogo enunciado para la relación entre el cilindro y los prismas.

— Construir diferentes poliedros regulares y semirregulares y relacionarlos con la esfera. (Se trata de inducir una relación semejante a la que existe entre los polígonos regulares y la

circunferencia, a la progresiva aproximación a la circunferencia desde los polígonos regulares.) — Formar con esferas (pelotas de tenis, de ping-pong, de corcho sintético...), un apliamiento

constituido en cada piso por filas de 1, 2, 3,4,..., esferas. Continuar y estudiar la correspondiente tabla: Número de fila 1 2 3 4 Número de 1 4 10 20 ...

Estudiar otros apilamientos posibles. Estudiar en cada apilamiento diferentes cuestiones: número de intersecciones, número de esferas en diferentes direcciones, número de esferas por piso...

— Estudiar, con vasijas de formas apropiadas, llenas parcialmente de líquido, las secciones planas del cilindro, el cono y la esfera (mediante los movimientos apropiados aplicados a las vasijas, las secciones vienen dadas por la forma de la superficie del líquido en cada caso).

— Obtener, con esferas de corcho sintético, figuras derivadas de la esfera (análogamente al caso del círculo.)


4.8. REGULARIDADES EN LAS FIGURAS. INICIACIÓN AL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS

Se plantea este bloque con el objetivo de iniciar el estudio de los movimientos y de aplicarlo al estudio de las regularidades de las figuras.

Se comienza la unidad planteando el estudio de los giros, a partir de los objetos del entorno; el estudio de los giros en el plano; reconocimiento de figuras con simetría rotacional; construcción plástica de rosetones, etc...Posteriormente se generaliza al caso de los giros en el espacio.

El estudio de las simetrías rotacionales se aplica, en particular, a un conocimiento más profundo de los polígonos y poliedros regulares y semirregulares.

Se estudian después las simetrías axiales y especulares, mediante la utilización de espejos, recortando sobre papel plegado, etc. Se reconocen las simetrías en las figuras y cuerpos geométricos, apareciendo figuras simétricas de diferentes órdenes de simetría, en función del mayor o menor número de ejes o planos de simetría presentes. En particular se estudian las simetrías de los polígonos y poliedros regulares y semirregulares.

Con ayuda del libro de espejos (un par de espejos formando un ángulo diedro variable), se pueden relacionar las simetrías axiales y rotacionales, ya que dando a los espejos ángulos fracción de un llano, pueden originarse figuras dotadas de simetría rotacional, de distintos órdenes. Análogamente, recortando sobre papel plegado, dando las dobleces oportunas en forma y número.

Las figuras y cuerpos de revolución pueden aparecer entonces como figuras dotadas de infinitos ejes o planos de simetría, que es lo que les proporciona una regularidad completa, lo que se traduce en unas condiciones óptimas para la rodadura.

Si los espejos se disponen paralelamente entre sí, y entre ellos se coloca una figura simétrica, aparecen tipos sencillos de frisos, iniciándose así una consideración intuitiva de las traslaciones. También pueden hacerse aparecer los frisos recortando sobre papel plegado.

Si combinamos tres espejos, formando ángulos iguales entre sí, resulta un tipo simple de mosaicos, que extiende la infinitud de los frisos a las dos dimensiones del plano. Dando otros ángulos a los espejos (siempre divisores de un llano) o aumentando el número de espejos, pueden hacerse aparecer otros tipos de mosaicos.

Se explicitan, a continuación, dos ejemplos tipo de sesiones de psicomotricidad, una dedicada a los giros y otra a las simetrías, cada una de las cuales va seguida de una relación de actividades complementarias. Giros — Nos movemos libremente por el espacio.

— Nos movemos dando vueltas sobre nosotros mismos, girando (hay que cambiar el sentido de giro para evitar mareos). Seguir girando pero en el suelo.

— Nos ponemos por parejas y buscamos diferentes formas de girar juntos. Buscamos giros que impliquen un desplazamiento y giros sin desplazamiento.

— Nos movemos por grupos y buscamos distintas formas de girar juntos. Buscamos giros con desplazamientos y giros sin desplazamientos.

— Nos juntamos todos y buscamos distintas formas de girar juntos, con desplazamiento o sin desplazamiento.

— Buscamos objetos de la clase que puedan girar y jugamos con ellos, con su giro. — Buscamos objetos de la clase que puedan girar y donde quepamos dentro nosotros, para

girar con ellos (se procurará que haya neumáticos viejos, cestas de mimbre, cajas cilíndricas, etc.).


Actividades complementarias — Analizar los diferentes tipos de giros encontrados en los objetos del entorno, y las

condiciones que favorecen los giros. (Se trata de inducir la idea de que hay giros con y sin desplaza-í miento del eje de

giro, y que la regularidad y rigidez de la figura. favorece su rodadura, su giro con desplazamiento).

— Dibujar un punto en la base de un cilindro y tratar de determinar su posición al girar el cilindro un cuarto de vuelta... — Repetir para distintas posiciones del punto.

(El cilindro puede ser materializado, por ejemplo, con un tambor de detergente de lavadora. Se trata de encontrar, intuitivamente, las propiedades básicas de los giros. El cilindro se hará primero rodar y, luego, girar sobre sí mismo, sobre su eje.) — Dibujar un segmento en la base del cilindro y determinar su posición al aplicar giros de diferente amplitud.

(Se trata de aprovechar los resultados del ejercicio anterior, determinando la posición final del segmento en función de sus puntos extremos. Conviene distinguir los diferentes casos posibles según la direccionalidad del segmento.) — Análogo enunciado tomando un triángulo como figura original.

— Análogo enunciado para otras figuras poligonales y, más general aún, figuras compuestas de segmentos rectos. — Análogo enunciado para figuras curvas.

— Análogo enunciado para figuras curvas, simples, con un extremo sobre el eje de giro. — Reconocer, en flores variadas, su simetría rotacional, indicando el centro y el ángulo de

giro de dicha simetría rotacional, así como el número de veces que hay que aplicar dicho giro para generar la figura completa, desde una parte de la misma (orden de simetría). — Diseñar figuras dotadas de simetría rotacional.

— Construir figuras poligonales con simetría rotacional de órdenes crecientes. Probar sus posibilidades de rodadura.

— Construir prismas rectos, de base poligonal dotada de simetría rotacional, y generalizar la simetría rotacional al caso tridimensional. Aplicar análogamente a pirámides, figuras compuestas de prismas y pirámides... Aumentar progresivamente el orden de simetría y acercar la idea de la simetría rotacional a las figuras y cuerpos de revolución.

— Construir poliedros regulares y semirregulares y encontrar en ello sus ejes de giro, sus simetrías de rotación, el orden de la simetría... Simetrías axiales y especulares — Nos movemos libremente por el espacio al ritmo de la música.

— Nos colocamos delante de un espejo grande (que habrá en clase), nos seguimos moviendo por el espacio y nos vemos en el espejo. Nos alejamos y acercamos al espejo, movemos una mano u otra, etc.

— Nos ponemos por parejas y jugamos a los juegos de imitación. Uno se pone delante y se mueve como quiere. El otro se pone detrás e imita su movimiento. Después se intercambian las posiciones. — Seguimos por parejas jugando a los juegos de imitación, pero ahora al «juego de los espejos». Al igual que antes, uno imita el movimiento de otro, pero ambos se ponen frente a frente, de manera que el que imita ; hace las veces de imagen reflejada por un espejo.

— Se reparten varillas de madera. Seguimos jugando al espejo, pero ahora intervienen también los palos.


— Nos ponemos por grupos. Unos hacen de figura y los otros de figura imagen. Hacemos las figuras con nuestro cuerpo y con los palos. — Continuando con el ejercicio anterior, la figura original se hace con los palos en el suelo. Se coloca una cuerda en el suelo (haciendo las veces de espejo), separando la figura original de su «imagen reflejada». — Análogo al anterior, pero por parejas y con palos pequeños. Actividades complementarias

— Colocar un espejo sobre un geoplano, perpendicularmente a él, en una determinada posición. Seleccionar un punto del geoplano y hacerlo notar convenientemente (con plastilina, por ejemplo). Buscar el punto real del geoplano que aparece como imagen del punto original en el espejo. (Mejor, sustituyendo el espejo por un vidrio transparente ahumado, que refleja y refracta la luz; este espejo permite ver a su través y comprobar directamente la exactitud de la respuesta ofrecida.)

— Cambiar el punto de posición y tratar de hallar su nueva imagen, sin ayuda del espejo (quitar, incluso, el espejo, provisionalmente, mientras se realiza el ejercicio). Comprobar, luego, la corrección de la respuesta, con ayuda del espejo. Modificar a voluntad las posiciones del espejo y del punto.

— Repetir los ejercicios anteriores, sustituyendo el punto por un segmento recto, ídem por un triángulo, ídem por un polígono.

— Repetir los ejercicios anteriores, pero dibujando sobre un folio de papel cuadriculado las figuras y el eje de simetría (la recta que, sobre el folio, indica la posición del espejo).

— Repetir el ejercicio anterior, pero sobre un folio liso (no de papel cuadriculado). Cuidar la exactitud de las figuras y sus posiciones con ayuda de los instrumentos geométricos apropiados (regla, compás...). — Hallar, sobre un geoplano, con ayuda de un espejo, la imagen de una Línea poligonal cuyos extremos estén situados sobre el eje de simetría (introducir la denominación de figura simétrica para referirse a figuras, »' como la que aparece ahora en el geoplano, limitada por la línea poligonal original y por su imagen, que admiten un eje de simetría).

— Construir, sobre papel, doblándolo y recortándolo convenientemente, figuras simétricas. — Mediante el procedimiento del ejercicio anterior, obtener un cuadrado, dando el menor número posible de cortes. Obtener, análogamente, un triángulo isósceles, un triángulo equilátero, un rombo, un cuadrado...

— Colocar dos espejos sobre un geoplano, perpendiculares entre sí y con el geoplano. Observar las imágenes de una figura cualquiera situada entre los espejos. — Tratar de determinar, a priori, las imágenes que resultarían de figuras dadas (punto, segmento, triángulo...), al situarlas entre los dos espejos, variando a voluntad sus posiciones. Comprobar experimentalmente la corrección de las respuestas. Repetir el ejercicio anterior, sustituyendo el geoplano por un folio de papel cuadriculado.

- Analizar la imagen que aparece al situar entre los espejos una línea poligonal que tenga sus extremos situados sobre los correspondientes ejes de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene? Construir en papel, doblándolo y recortándolo convenientemente, figuras simétricas dotadas de dos ejes de simetría. Construir, mediante el procedimiento del ejercicio anterior, polígonos dotados de dos ejes de simetría.


Colocar los espejos de manera que aparezcan tres ejes de simetría y seis figuras (entre la figura original y sus imágenes). ¿Qué ángulo forman los espejos? Obtener figuras simétricas dotadas de tres ejes de simetría.

- Colocar los espejos de manera que aparezcan cuatro, cinco, seis... ejes de simetría. ¿Qué ángulo forman los espejos? Obtener figuras simétricas dotadas de números crecientes de ejes de simetría.

- Analizar la simetría de las figuras construidas, tratando de comprobar si, además de simetría axial, tienen simetría rotacional y tratando de encontrar relaciones entre uno y otro tipo de simetrías.

- Dada una figura dotada de simetría axial de orden cuatro (dos ejes de simetría), determinar la línea más simple que, por efecto de las simetrías, genera la figura completa. Comprobarlo experimentalmente con ayuda de los espejos. Repetir el ejercicio con otras figuras y otros órdenes de simetría.

- Dada una figura dotada de simetría axial, situarla entre dos espejos paralelos al eje de simetría de la figura y observar el resultado. (Introducción a los frisos)

-Con ayuda de espejos, diseñar tipos diferentes de frisos. Obtenerlos materialmente sobre papel, plegando y recortando convenientemente.

-Combinar tres espejos iguales, uniéndolos por una arista, formando un prisma triangular equilátero. Situar distintas figuras (puntos, segmentos, polígonos,...) en el espacio interior y observar las figuras resultantes. Intentar explicar la repetición de figuras que se produce en función de las reflexiones que se producen en los espejos. Determinar las simetrías de las figuras que aparecen.

- Con los espejos del ejercicio anterior, obtener distintos tipos de mosaicos periódicos (composición de figuras, llenando el espacio, con una repetición regular de las figuras). Analizar las figuras que los conforman.

-A partir de una plantilla, en la que se muestre un mosaico que se pueda formar con la disposición de espejos anterior, determinar una figura que colocada entre los espejos reproduzca el mosaico dado (figura mínima).

- Generalizar los ejercicios anteriores a otras disposiciones de espejos que generen mosaicos. Aumentar progresivamente el número de espejos.

2) material de apoyo extra

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