2. les sorprenents magnituds quotidianes · els nombres poden ser molt grans ( i tambémolt...
TRANSCRIPT
2. Les sorprenents magnituds quotidianes:
Les potències de 10 que ens marquen des de les grans distàncies interestel∙lars fins les petites distàncies microorgàniques.
Viatge del zero a l’infinit.
Magnituds quotidianes
1. A quina velocitat creix el cabell humà?
2. Quant pesa una de les teves pestanyes?
3. Quina distància separa la Terra del Sol?
4. Quant pesa la Lluna?
5. Quina distància separa els confins de l’univers?
6. Quants grans de sorra hi ha en el desert?
7. Quina és la massa d’un protó?
< 1,3 cm/mes
0,0001348 gr1,348∙10‐7 gr
150.000.000 Km1,5∙108 Km
74.000.000.000.000.000.000.000 Kg7,4∙1022 Kgr
4.600.000.000.000.000.000.000.000Km4,6∙1024 Km
Moltíssims…, infinits?1063 (Arquímedes, segle III aC)
1,67∙10‐24 gr
Nombres, magnituds i mesuresSi les matemàtiques és el llenguatge de la Natura, els nombres formen part del seu abecedari.
Uns serveixen per contar i els altres per a mesurar.
La mesura no és un concepte absolut. Mesurar equival a comparar i, generalment, respecte d’un patró (quilo, litre, metre,...). Per això, les mesures sempre són aproximades, degut a que el valor del patró també és aproximat:
Metro: deumilionèsima part del quadrant del meridià terrestre: llargada de la trajectòria, recorreguda en el buit, per la llum, durant un temps = 1/299.792.458 segons.
Els grecs ja es van trobar amb quantitats incommensurables quan van voler mesurar la diagonal d’un quadrat d’un metre de costat: segons el teorema de Pitàgores, la diagonal val √2=1,4142135623730950488016688724... (fins a infinits decimals).
A l’hora de la veritat, sempre fem arrodoniments: √2=1,414, e=2,72p = 3,1416 (si volem mesurar el radi de l’univers conegut, amb un error menor que el diàmetre d’un àtom d'hidrogen, necessitaríem 39 xifres decimals)
Nombres, magnituds i mesuresEls nombres poden ser molt grans ( i també molt petits). Des de petits hom ha tingut una certa fascinació pels nombres grans i ens hem dedicat a contar; sense arribar mai a acabar l’escomesa; ni acabaríem mai:
Nombre Valor Temps necessari per contar‐lo
1 1 1 segon
mil 1000 = 103 17 minuts
milió 1.000.000 = 106 12 dies
mil milions 1.000.000.000 = 109 32 anys
bilió 1012 32.000 anys
mil bilions 1015 32 milions d’anys
trilió 1018 32.000 milions d’anys
Googol: 10100
El número d’àtoms de l’univers es calcula en 1085
Escriptura per a grans quantitats
Escriptura per a grans quantitats
• 100 = 1
• 101 = 10 deca
• 102 = 100 hecto
• 103 = 1 000 kilo
• 104 = 10 000
• 105 = 100 000
• 106 = 1 000 000 Mega = Milió
• 109 = 1 000 000 000 Giga
• 1012 = 1 000 000 000 000 Tera = Bilió
• 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 Trilió
• 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Quadrilió
Escriptura per a petites quantitats
Escriptura per a petites quantitats
• 10–1 = 1/10 = 0,1 deci
• 10–3 = 1/1000 = 0,001 mili
• 10–6 = 1/1 000 000 = 0,000 001 micro
• 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001 nano
• 10‐12 pico; 10‐15 femto; 10‐18 atto
Observació: 10 elevat a una potència sencera negativa –n és igual a 1/10n o, equivalentment 0,(n‐1 zeros)1.
Per tant, un nombre com: 156234000000000000000000000000 pot ser escrit com 1,56234∙1029, i un nombre petit com: 0,0000000000234 pot ser escrit com 2,34∙10–11
La majoria de les calculadores i molts programes de computadora presenten resultats molt grans i molt petits en notació científica; els nombres 10 generalment s'ometen i s'utilitza la lletra E per a l'exponent; per exemple: 1,56234 E29.
Vídeo de potències de 10 i números enormes
Magnituds quotidianes de la Terra
• Diàmetre a l’equador: 12.756 km
• Circumferència a l’equador: 40.040 Km
• Superfície : 510.101.000 km2
• Volum: 1.083.320.000.000 km3
1,083∙1012 km3
• Pes: 5977000000000000000000 tones5,977∙1021 t
Recordatori:Circumferència: 2·π·RSuperfície: 4·π·R2
Volum: 4/3·π·R3
Càlculs
www.genmagic.net/mates2/nc1c.swfwww.genmagic.net/mates2/nc1c.swf
Calculadora científica
Web 2.0 calculadora científica
Distàncies planetàries
Distància llum Distància mètrica
1 dia llum 25.902.067.000 km.
1 hora llum 1.079.252.800 km.
1 minut llum 17.987.520 km.
1 segon llum 299.792 km.
1 milisegon llum 299,792 km.
1 microsegon llum 299,792 m.
1 nanosegon llum 29.9792 cm.
La medició de les grans distàncies solars es basa en el temps que necessita un raig de llum per anar d’un lloc a l’altre.
La velocitat de la llum en el buit és de 300.000 km/seg (més exacte: 299.792, 5 km/seg, quasi mil milions de kilòmetres per hora; 109 Km/h.).
26·109 Km
109 Km
18·106 Km
3·102 Km
3·10-1 Km = 3·102 m
3·10-4 Km = 3·10-1 m
Distàncies planetàries
Mercuri Venus Terra Mart
3.21 minut llum 6.02 minut llum 8.33 minut llum 12.66 minut llum
Equivalències:1 minut llum = 18∙106 Km.1 hora llum = 109 Km
Júpiter Saturn Orà Neptú Plutó
43.25 minut llum 1.32 hores/llum 2.68 hores/llum 4.16 hores/llum 5.46 hores/llum
Un any llum equival a 9.460.730.472.580,8 Km (9,5∙1012 Km).Centauri és a 4,1∙1013Km del Sol
Llista d'ordres de magnitud de distància en anys llum
La llum del Sol reflectida per la superfície de la Lluna necessita 1,25 segons per a viatjar fins a la superfície de la Terra.
La Lluna és uns 376.300 quilòmetres de la Terra. 376300 km ÷ 300000 km/s = 1,25 segons de viatge de la llum
A la llum li costa 499 segons (8,32 minuts) arribar del Sol a la Terra (UA).
La sonda espacial més distant, la Voyager 1, era a 14 hores llum de distància de la Terra el 9 de març del 2007. La sonda va necessitar 30 anys per arribar‐hi
L'estrella més propera coneguda, Pròxima Centauri, és 4,3 anys llum
El Centre Galàctic de la Via Làctia, és a 26.000 anys llum (2.5∙1017 Km)La Via Làctia mesura uns 100.000 anys llum de punta a punta (9.5∙1018 Km).
La Gran Galàxia d'Andròmeda és a uns 2,5 megaanys llum (2,35∙1019 Km).La Galàxia del Triangle (M33), a 3,14 megaanys llum (3∙1019 Km), és la galàxia més distant que es pot veure a ull nu.
El cúmul de galàxies més proper a la Vià Làctia és a 59 megaanys llum
La distància des de la Terra fins al llindar de l'univers visible és a uns 46.5 gigaanys llum en qualsevol direcció (4.43∙1023 Km, radi de l'univers observable).