2 laboratorinis darbas. tikimybiniai modeliaikriluko/tikimybi%f8_teorija/2%20paskaita/2_lab... ·...

Nuotolinio mokymo kursas Tikimybių teorija ir matematinė statistika 2 laboratorinis darbas

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, Taikomosios matematikos katedra, 2003 1

2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - išstudijuoti atsitiktinių dydžių ir vektorių skirstinius, skirstinio (pasiskirstymo) funkciją, tankio funkciją, skaitines charakteristikas ir jų savybes. Susipažinti su pagrindiniais diskrečiaisiais ir tolydžiaisiais tikimybiniais modeliais ir išmokti juos taikyti praktikoje.

Teorijos klausimai

Atsitiktinio dydžio apidrėžimas.1.Atsitiktinių dydžių klasifikacija.2.Skirstinio (pasiskirstymo) funkcijos apibrėžimas, grafikas ir savybės.3.Tikimybės masės funkcija ir jos savybės.4.Tankio funkcija ir jos savybės.5.Kaip rasti atsitiktinio dydžio patekimo į duotąjį intervalą tikimybę?6.Atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos ir jų savybės.7.Dvimačio diskretaus atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija ir jos 8.savybės.Absoliučiai tolydžiojo dvimačio atsitiktinio dydžio tankis.9.Kaip apskaičiuojama absoliučiai tolydžiojo dydžio patekimo į 10.plokštumos sritį D tikimybė?Atsitiktinio vektoriaus skaitinės charakteristikos.11.Sąlyginiai skirstiniai. Regresija.12.Diskretieji tikimybiniai modeliai (binominis, Puasono, geometrinis, 13.hipergeometrinis) ir jų savybės.Tolydieji tikimybiniai modeliai (normalusis, Stjudento, chi-kvadrato, 14.Fišerio, eksponentinis) ir jų savybės.Atsitiktinių dydžių sekų generavimas.15.

Tikimybių teorijos funkcijų rinkinys sistemoje Mathcad

Sistemoje MathCad yra funkcijų rinkinys skirtas tikimybių teorijos uždavinių sprendimui. Pirmoji šių funkcijų vardo raidė nusako jų paskirtį : d - diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių masės funkcijos arba tolydydžiojo atsitiktinio dydžio tankio funkcijos reikšmių skaičiavimas; p - skirstinio funkcijos reikšmių skaičiavimas; q - kvantilių skaičiavimas; r - atsitiktinių dydžių sekų generavimas.



F x( ) 0 x 1−<if

0.1 1− x≤ 2<if

0.3 2 x≤ 4<if

0.6 4 x≤ 5<if

1 x 5≥if

:=

Užrašysime skirstinio funkciją ir nubraižysime jos grafiką.

p

0.1

0.2

0.3

0.4

:=x

1−

2

4

5

:=

Tarkime, kad diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį

. F x( ) P X x≤( )

Skirstinio funkcija (distribution function) - tai funkcija, kuri kiekvienai x reikšmei priskiria tikimybę, kad atsitiktinis dydis X bus ne didesnis už x ,

Tipinių uždavinių sprendimas

Skirstinio funkcija

dweibull x s,( )X ~W(s)Veibulo (Weibull)

punif x a, b,( )X ~TT(a,b)Tolygusis (Uniform)

pt x ν,( )X ~t(ν)Stjudento (Student's)

ppois x λ,( )X ~P(λ)Puasono (Poisson)



x 2− 6..:=

2 1 0 1 2 3 4 5 6

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

F x( )

x

1 pav. Atsitiktinio dydžio X skirstinio funkcija

Apskaičiuosime skirstinio funkcijos reikšmę taške x=4 ,

F 4( ) 0.6= .

Išvada. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis X bus ne didesnis už 4 lygi 0,6.

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X bus : ne didesnis už 2;•didesnis už 4;•

P X 2≤( )[ ] F 2( ):= P X 2≤( )[ ] 0.3=

P X 4>( )[ ] 1 F 4( )−:= P X 4>( )[ ] 0.4=

Duota tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija

F y( ) 0 y 1−<if

19

y3 1+( )⋅ 1− y≤ 2<if

1 y 2≥if

:=



Nubraižysime skirstinio funkcijos grafiką

y 2− 1.99−, 3..:=

2 1 0 1 2 3

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

F y( )

y

2 pav. Atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis Y: bus ne didesnis už 1.5;•bus didesnis už 1;•pateks į intervalą tarp 0 ir 1.•pateks į intervalą tarp -2 ir 3.•

P X 1.5≤( )[ ] F 1.5( ):= P X 1.5≤( )[ ] 0.486=

P X 1>( )[ ] 1 F 1( )−:= P X 1>( )[ ] 0.778=

P 0 X≤ 1≤( )[ ] F 1( ) F 0( )−:= P 0 X≤ 1≤( )[ ] 0.111=

P 2− X≤ 3≤( )[ ] F 3( ) F 2−( )−:= P 2− X≤ 3≤( )[ ] 1=



Tikimybės masės ir tankio funkcijos

Tikimybės masės funkcija (probability mass function arba trumpai probability function ) - tai funkcija, kuri kiekvienai diskretaus atsitiktinio dydžio X reikšmei xi priskiria tikimybę

p xi( ) P X xi( ) .

Tarkime, kad diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį

x

1−

2

4

5

:= p

0.1

0.2

0.3

0.4

:=

.

Nubraižysime atsitiktinio dydžio X tikimybės masės funkcijos grafiką.

2 1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

p

x

3 pav. Atsitiktinio dydžio X tikimybės masės funkcija

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X bus : ne didesnis už 4;•didesnis už 4;•

ORIGIN 1:=



P X 4≤( )[ ]

1

3

i

pi∑=

:= P X 4≤( )[ ] 0.6=

P X 4>( )[ ] p4:= P X 4>( )[ ] 0.4=

Duota tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkcija

F y( ) 0 y 1−<if

19

y3 1+( )⋅ 1− y≤ 2<if

1 y 2≥if

:=

Rasime tankio funkciją p(y) ir nubraižysime jos grafiką.

p y( ) F' y( )

Kai y < -1 ir y 2≥ , tai y

p y( )dd

0.

Kai 1− y≤ 2< , tai

y19

y3 1+( )⋅

dd

13

y2⋅→ .

Taigi

p y( ) 0 y 1−<if

13

y2⋅ 1− y≤ 2<if

0 y 2≥if

:=

Nubraižysime tankio funkcijos grafiką ir apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis Y :

bus ne didesnis už 1.5;•bus didesnis už 1;•pateks į intervalą tarp 0 ir 1;•pateks į intervalą tarp -2 ir 3;•bus lygus 2.•



y 2− 1.999−, 3..:=

2 1 0 1 2 30.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

p y( )

y

4 pav. Atsitiktinio dydžio Y tankio funkcija

P Y 1.5≤( )[ ]∞−

1.5

yp y( )⌠⌡

d:= P Y 1.5≤( )[ ] 0.486=

P Y 1>( )[ ]1

∞yp y( )

⌠⌡

d:= P X 1>( )[ ] 0.778=

P 0 Y≤ 1≤( )[ ]0

1

yp y( )⌠⌡

d:= P 0 Y≤ 1≤( )[ ] 0.111=

P 2− Y≤ 3≤( )[ ]2−

3

yp y( )⌠⌡

d:= P 2− Y≤ 3≤([ ] 1=

P Y=2( )[ ]2

2

yp y( )⌠⌡

d:=P Y=2( )[ ] 0=



p y( ) 0 y 1−<if

13

y2⋅ 1− y≤ 2<if

0 y 2≥if

:=

Rasime atsitiktinio dydžio Y, kurio tankis p y( ) vidurkį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

DY∞−

∞yy MY−( )2 p y( )⋅

⌠⌡

dMY∞−

∞yy p y( )⋅

⌠⌡

d

Tolydžiojo atsitiktinio dydžio Y skaitinės charakteristikos išreiškiamos integralais:

SX 1.86=SX DX:=

DX 3.45=DX1

4

i

xi MX−( )2 pi⋅∑=

:=

MX 3.5=MX1

4

i

xi pi⋅∑=

:=

ORIGIN 1:=

Rasime atsitiktinio dydžio X vidurkį, dispersiją ir vidutinį kvadratinį nuokrypį.

p

0.1

0.2

0.3

0.4

:=x

1−

2

4

5

:=

Tarkime diskretusis atsitiktinis dydis X turi skirstinį

Atsitiktinio dydžio pagrindinės skaitinės charakteristikos yra vidurkis, dispersija ir standartinis nuokrypis.

Skaitinių charakteristikų skaičiavimas



MY∞−

∞yy p y( )⋅

⌠⌡

d:=MY 1.25=

DY∞−

∞yy MY−( )2 p y( )⋅

⌠⌡

d:=DY 0.64=

SY DY:=SY 0.8=

Dvimačiai atsitiktiniai vektoriai.

Diskretieji dvimačiai vektoriai

Duotas dvimačio atsitiktinio dydžio (X,Y) skirstinys

X\Y 1 4 62 0.4 0.2 0.14 0.1 0 0.2

ORIGIN 1:=

XY"X\Y"

2

4

1

0.4

0.1

4

0.2

0

6

0.1

0.2

:=

Rasime koordinačių X ir Y skirstinius (besąlyginius) .

Pažymėkime

pi j, P X=xi Y=yj,( )[ ] .

Iš matricos XY išskiriame X ir Y galimų reikšmių vektorius x ir y bei tik matricą p.



Atsitiktinio dydžio Y skirstinys yra:

y j

146

= pyj

0.50.20.3

=pyj

1

2

i

pi j,∑=

:=j 1 3..:=

Skaičiuojame atsitiktinio dydžio Y reikšmių tikimybes pyi (besąlygines)

SX 0.92=SX DX:=

DX 0.84=DX1

2

i

xi MX−( )2 pxi

⋅∑=

:=

MX 2.6=MX

1

2

i

xi pxi

⋅∑=

:=

Skaičiuojame atsitiktinio dydžio X vidurkį MX , dispersiją DX ir standartinį nuokrypį SX (besąlyginius):

Išvada. Tikimybė, kad X įgis reikšmę 2 lygi 0,7 , o reikšmę 4 lygi 0,3.

Atsitiktinio dydžio X skirstinys yra: xi

24

= pxi

0.70.3

=

pxi

1

3

j

pi j,∑=

:=i 1 2..:=

Skaičiuojame atsitiktinio dydžio X reikšmių xi tikimybes pxi (besąlygines)

p submatrix XY 2, 3, 2, 4,( ):=

y submatrix XY 1, 1, 2, 4,( )T:=



cov X Y,( )[ ]

1

2

i 1

3

j

xi MX−( ) y j MY−( ) pi j,⋅∑=

∑=

:=

Skaičiuojame X ir Y kovariaciją

M XY=y1( )[ ] 2.4=M XY=y1( )[ ]

1

2

i

pi 1,

py1

xi⋅∑=

:=

Išvada. Kai Y 1 tikimybė, kad X įgis reikšmę 2 yra lygi 0,8 , o reikšmės 4 įgijimo tikimybė yra 0,2.

p1 1,

py1

p2 1,

py1

0.8

0.2

=x2

4

=

vadinamos diskrečiojo atsitiktinio dydžio X sąlyginiu skirstiniu, kai Y y1 1

P X=xi Y=y1( )[ ]P X=xi Y=y1,( )[ ]

P Y=y1( )[ ]

pi 1,

py1

Sąlyginės tikimybes

Rasime X sąlyginį skirstinį XY=y1 , sąlyginį vidurkį M( XY=y1 ) , X ir Y kovariaciją bei koreliacijos koeficientą.

SY 2.21=SY DY:=

DY 4.89=DY1

3

j

y j MY−( )2 pyj

⋅∑=

:=

MY 3.1=MY1

3

j

y j pyj

⋅∑=

:=

Skaičiuojame atsitiktinio dydžio Y vidurkį MY , dispersiją DY ir standartinį nuokrypį SY (besąlyginius):



Atsitiktinio dydžio X tankio funkciją yra

nes a tliekant simbolinius (symbolic) skaičiavimus su Mathcad, reikia atšaukti visus ankstesnius reikšmių priskyrimus kintamiesiems. Jeigu, prieš tai kintamiesiems nebuvo priskirtos reikšmės, tai šių operatorių nereikia rašyti.

, y y:=x x:=

Rasime vienmačių atsitiktinių dydžių X ir Y tankius (marginaliuosius).

Prieš integralų skaičiavimą rašome priskyrimo operatorius

P (X,Y)∈ D ( )[ ] 0.609=

P (X,Y)∈ D ( )[ ]

0.5−

0.5

x1 x

2−−

1 x2−

yp x y,( )⌠⌡

d

⌠⌡

d:=

Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis (X,Y) pateks į skritulį

x2 y2+ 0.25≤ (sritį D).

.

p x y,( )x 1+

πx2 y2+ 1≤if

0 x2 y2+ 1>if

:=

Duotas dvimačio atsitiktinio dydžio (X,Y) tankis

Tolydieji dvimačiai vektoriai

. ρ 0.365=ρ cov X Y,( )[ ]

DX DY⋅:=

ir koreliacijos koeficientą

cov X Y,( )[ ] 0.74=



pX x( )

1 x2−−

1 x2−

yx 1+

π

⌠⌡

d x 1≤if

0 x 1>if

:=

.

Apskaičiavę integralą

1 x2−−

1 x2−

yx 1+

π

⌠⌡

d 2 1 x2−( )12

⋅ x 1+( )π

⋅→

gauname ekvivalentišką X tankio išraišką

pX x( ) 2 1 x2−⋅ x 1+( )π

⋅ x 1≤if

0 x 1>if

:=

.

Apskaičiuojame X vidurkį (besąlyginį)

MX1−

1

xxpX x( )⌠⌡

d:= MX 0.25=

Atsitiktinio dydžio Y tankio funkcija yra

pY y( )

1 y2−−

1 y2−

xx 1+

π

⌠⌡

d y 1≤if

0 y 1>if

:=



Funkcija φ y( ) vadinama atsitiktinio dydžio X regresija Y atžvilgiu.

φ y( ) M X Y=y ( )[ ]∞−

∞xx pX x y( )[ ]⋅

⌠⌡

d

∞−

∞

xxp x y,( )pY y( )

⋅⌠⌡

d

Rasime atsitiktinio dydžio X sąlyginį vidurkį.

g x( ) 0→

g x( )1−

1

yy pY y x( )[ ]⋅( )⌠⌡

d:=

Funkcija g(x) vadinama atsitiktinio dydžio Y regresija X atžvilgiu.

g x( ) M Y X=x ( )[ ]∞−

∞yy pY y x( )[ ]⋅

⌠⌡

d

∞−

∞

yyp x y,( )pX x( )

⋅⌠⌡

d

Randame atsitiktinio dydžio Y sąlyginį vidurkį.

, 1− x≤ 1≤ . pY y x( )[ ] 1

2 1 x2−( )12

⋅

→

, 1− x≤ 1≤ . pY y x( )[ ]

x 1+π

2 1 x2−⋅ x 1+( )π

⋅:=

pY y x( )[ ] p x y,( )pX x( )

Atsitiktinio dydžio Y sąlyginis tankis

MY 0=MY1−

1

yy pY y( )⌠⌡

d:=

Apskaičiuojame Y vidurkį (besąlyginį)



σy 1:=µy 0:=σx 1:=µx 0:=

. 1− ρ< 1<, čia ρ koreliacijos koeficientas,ρ 0.1:=

Dvimačio normaliojo skirstinio tankis priklauso nuo 5 parametrų. Nubraižysime tankio paviršių , kai

N µ1 µ2, σ1, σ2, ρ,( ) ~X Y,( )Dvimatį normalųjį skirstinį sutrumpintai žymėsime

Dvimačio normaliojo skirstinio tankio funkcij

5 pav. Regresijos funkcija x=φ(y)

1 0.5 0 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

φ y( )

y

y 0.99− 0.98−, 0.99..:=

φ y( )1

3 1 y2−⋅:=φ y( )

1

3 1 y2−( )12

⋅

→

, 1− y≤ 1≤ . φ y( )

1−

1

xx

x 1+π

1 y2−−

1 y2−

xx 1+

π

⌠⌡

d

⋅

⌠⌡

d:=



k11

2 π⋅ σx⋅ σy⋅ 1 ρ 2−( )⋅:=

p x y,( ) k1 e

12

−1

1 ρ2−

⋅x µx−

σx

2

2 ρ⋅x µx−

σx

⋅y µy−

σy

⋅−y µy−

σy

2

+

⋅

⋅:=

Sudarysime funkcijos reikšmių matricą ir nubraižysime dvimačio normaliojoskirstinio tankio funkcijos grafiką

ORIGIN 0:=

N 30:= i 0 N..:= j 0 N..:=

xnormi

µx 3 σx⋅−( ) 2 3 σx⋅( )⋅iN

⋅+:=

ynormi

µy 3 σy⋅−( ) 2 3 σy⋅( )⋅iN

⋅+:=

Dvimatis_Normalusisi j, p xnormi

ynormj

,( ):=

k 11

2 π⋅ σ x⋅ σ y⋅ 1 ρ2

−( )⋅:=

p x y,( ) k 1 e

12

−1

1 ρ2

−

⋅x µ x−

σ x

2

2 ρ⋅x µ x−

σ x

⋅y µ y−

σ y

⋅−y µ y−

σ y

2

+

⋅

⋅:=

Sudarysime funkcijos reikšmių matricą ir nubraižysime dvimačio normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiką

ORIGIN 0:=

N 30:= i 0 N..:= j 0 N..:=

x normi

µ x 3 σ x⋅−( ) 2 3 σ x⋅( )⋅i

N⋅+:=

y normi

µ y 3 σ y⋅−( ) 2 3 σ y⋅( )⋅i

N⋅+:=

Dvimatis_Normalusis i j, p x normi

y normj

,( ):=

6 pav. Dvimačio normaliojo skirstinio tankis



Diskretieji tikimybiniai modeliai

Atsitiktinį dydį, kuris įgyja reikšmes iš baigtinės arba skaičios reikšmių aibes vadiname diskrečiuoju. Skaiti reikšmių aibė - tai begalinė aibė, kurios elementus galima sunumeruoti (pvz., visų natūraliųjų skaičių aibė). Dažniausiai praktikoje pasitaiko šie diskretieji skirstiniai: binominis, geometrinis, hipergeometrinis ir Puasono.

Binominis skirstinys . Nubraižysime binominio skirstinio funkcijos grafiką, kai parametrai n=4 ir p=0.5.

x 2− 6..:=

2 1 0 1 2 3 4 5 60.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

pbinom x 4, 0.5,( )

x

7 pav. Binominio skirstinio funkcija

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~B(4 , 0.5) bus: ne didesnis už 2;•ne didesnis už 3;•lygus 3.•

P X 2≤( )[ ] pbinom 2 4, 0.5,( ):= P X 2≤( )[ ] 0.687=

P X 3≤( )[ ] pbinom 3 4, 0.5,( ):= P X 3≤( )[ ] 0.938=

P X=3( )[ ] P X 3≤( )[ ] P X 2≤( )[ ]−:= P X=3( )[ ] 0.25=



Nubraižysime binominio skirstinio su parametrais n =4 ir p=0.5 tikimybės masės funkcijos grafiką.

x 0 4..:=

1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

dbinom x 4, 0.5,( )

x

8 pav. Binominio skirstinio tikimybės masės funkcija

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~B(4 , 0.5): bus lygus 3;•pateks į intervalą [1 ; 3];•bus ne didesnis už 2;•

P X=3( )[ ] dbinom 3 4, 0.5,( ):=P X=3( )[ ] 0.25=

P 1 X≤ 3≤( )[ ]

1

3

x

dbinom x 4, 0.5,( )∑=

:= P 1 X≤ 3≤( )[ ] 0.875=

P X 2≤( )[ ]

0

2

x

dbinom x 4, 0.5,( )∑=

:= P X 2≤( )[ ] 0.688=

6. Tolydieji tikimybiniai modeliai

Atsitiktinį dydį, kuris gali įgyti kiekvieną reikšmę iš baigtinio arba begalinio intervalo vadiname tolydžiuoju. Dažniausiai praktikoje pasitaiko šie tolydieji skirstiniai: normalusis, Stjudento,eksponentinis, tolygusis tolydusis, chi-kvadrato, Fišerio, beta, gama ir Veibulo.



Normalusis skirstinys. Nubraižysime normalaus skirstinio funkcijos grafiką, kai parametrai

µ 0:= , σ 3:= .

x 10− 9.5−, 10..:=

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pnorm x µ, σ,( )

x

9 pav. Normaliojo skirstinio funkcija

Apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~N(µ , σ): bus ne didesnis už 2;•bus ne didesnis už 4;•pateks į intervalą tarp 2 ir 4.•

P X 2≤( )[ ] pnorm 2 µ, σ,( ):= P X 2≤( )[ ] 0.748=

P X 4≤( )[ ] pnorm 4 µ, σ,( ):= P X 4≤( )[ ] 0.909=

P 2 X≤ 4≤([ ] P X 4≤( )[ ] P X 2≤( )[ ]−:= P 2 X≤ 4≤([ ] 0.161=

Nubraižysime normalaus skirstinio tankio funkcijos grafiką, kai parametrai µ=0 ir σ=3 bei apskaičiuosime tikimybes, kad atsitiktinis dydis X~N(0 , 3):

bus ne didesnis už 2;•bus ne didesnis už 6;•pateks į intervalą [2 ; 6 ];•bus lygus 2.•



x 10− 9.5−, 10..:=

10 6 2 2 6 10

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

dnorm x 0, 3,( )

x

10 pav. Normaliojo skirstinio tankis

P X 2≤( )[ ]∞−

2

xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡

d:=P X 2≤( )[ ] 0.748=

P X 6≤( )[ ]∞−

6

xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡

d:= P X 6≤( )[ ] 0.977=

P 2 X≤ 6≤( )[ ]2

6

xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡

d:= P 2 X≤ 6≤( )[ ] 0.23=

P X=2( )[ ]2

2

xdnorm x 0, 3,( )⌠⌡

d:= P X=2( )[ ] 0=

Tolydžiojo atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos išreiškiamos integralais:

MX∞−

∞xx p x( )⋅

⌠⌡

d DX∞−

∞xx MX−( )2 p x( )⋅

⌠⌡

d



P Z 1.645≤( ) =0.95 z0.95[ ] 1.645=z0.95[ ] qnorm 0.95 0, 1,( ):=

P Z 1.645−≤( ) =0.05z0.05[ ] 1.645−=z0.05[ ] qnorm 0.05 0, 1,( ):=

Kvantilių skaičiavimas

Apskaičiuosime s tandartinio normaliojo skirstinio 0,05 ir 0,95 kvantilius. Tarkime, kad Z~N(0,1), tuomet

Pastaba. Prieš integralų skaičiavimą rašome priskyrimo operatorius µ µ:=

σ σ:= x x:= , nes a tliekant simbolinius (symbolic) skaičiavimus su Mathcad, reikia atšaukia visus ankstesnius reikšmių priskyrimus kintamiesiems. Jeigu, prieš tai kintamiesiems nebuvo priskirtos reikšmės, tai šių operatorių nereikia rašyti.

∞−

∞

xx µ−( )2 1

σ 2 π⋅⋅e

x µ−( )2

2 σ( )2⋅

−

⋅

⋅

⌠⌡

d simplify σ→

ir standartinį nuokrypį

∞−

∞

xx1

σ 2 π⋅⋅e

x µ−( )2

2 σ( )2⋅

−

⋅

⋅

⌠⌡

d simplify µ→

Skaičiuojame vidurkį

x x:=σ σ:=µ µ:=

. , σ > 0p x( )1

σ 2 π⋅⋅e

x µ−( )2

2 σ2⋅

−

⋅

Pavyzdžiui, normaliojo skirstinio tankio funkcija



Apskaičiuosime Stjudento skirstinio 0,05 ir 0,95 kvantilius. Tarkime, kad T~t(10), tuomet

t0.05; 10[ ] qt 0.05 10,( ):= t0.05; 10[ ] 1.812−=

t0.95; 10[ ] qt 0.95 10,( ):= t0.95; 10[ ] 1.812=

Atsitiktinių skaičių sekų generavimas

Sugeneruosime 6 atsitiktinius skaičius, kurių skirstinys yra normalusis su vidurkiu 2 ir standartiniu nuokrypiu 1.

rnorm 6 2, 1,( )

1.561

1.3206

1.5267

1.0485

0.3143

2.0435

=

2 laboratorinis darbas. tikimybiniai modeliaikriluko/tikimybi%f8_teorija/2%20paskaita/2_lab... ·...

Documents