2 (ii) 偏微分方程式 1 偏微分方程式 独立変数 x 1,x 2,!,x nの未知関数関数 u(x...
TRANSCRIPT
1
偏微分方程式
§1 偏微分方程式 独立変数
x1, x
2,!, x
nの未知関数関数
u(x
1, x
2,!, x
n)が次の関係式
F(x1, x
2,!, xn ,u,
!u
!x1
,!,!u
!x1
,!,!mu
!xi!x j!!xk,!)= 0 -----------(1,1,)
を満すという.この関係式を満たす関数 u(x
1, x
2,!, x
n)を求めたい.(1,1)をm階
の偏微分方程式という.領域D上で定義された関数 u(x
1, x
2,!, x
n)が(1,1,)を満た
しているとき, u(x
1, x
2,!, x
n)は偏微分方程式(1,1)の(領域Dでの)解であると
いう.それを求めることを偏微分方程式を解くという.n個の任意関数を含む解
を一般解という.そして,任意関数を特定の関数にしたものを特解という. 一般的に一般解を求めることは非常に困難なことで,ある条件下(初期条件,
境界条件)で解を求めることになる.
例
!u
!x=!u
!yの一般解は
u = f (x+ y)である.( f は任意関数)
また, u = e
x+y,u = sin(x+ y)などは特殊解である.
例
!u
!x+!u
!y= 0一般解は
u = f (x! y)である.( f は任意関数)
例
y!u
!x" x!u
!y= 0一般解は
u = f (x
2+ y
2)である.( f は任意関数)
例
!2u
!x!y= 0の一般解は
u = F(x)+G(y)(F,Gは意関数)
!2u
!x!y=!
!y
!u
!x
"
#$$$%
&'''= 0より,
!u
!x= f (x)とかける.∴
u = f (x)dx+G(y)!
例 次の関数は2階線形偏微分方程式
!2u
!x2
+!2u
!y2
= 0の解である.
(i) u(x, y)= x
4!6x
2y2
+ y4 ( D = R
2 )
(ii) u = log x
2+ y
2 D = {(x, y) : (x, y)! R
2, x> 0, y> 0}
.[解](i)
!2u
!x2
+!2u
!y2
= (12x2"12y
2)+ (12y
2"12x
2)= 0
2
(ii)
!2u
!x2
+!2u
!y2
=1
x2
+ y2"
2x2
(x2
+ y2)2
#$%%
&%%
'(%%
)%%
+1
x2
+ y2"
2y2
(x2
+ y2)2
#$%%
&%%
'(%%
)%%
= 0
例
u =1
x2
+ y2
+ z2
( D = {(x, y, z) : (x, y, z)! R
2, x> 0, y> 0, z> 0} )
は
!2u
!x2
+!2u
!y2
+!2u
!z2
= 0の解である.
.[解]
!2u
!x2
="1
x2 + y
2 + z2( )3/2
+3x
2
x2 + y
2 + z2( )5 /2
であることから明らかである. 注意
!="2
"x1
2+"2
"x2
2+!+
"2
"xn
2
とする.そして,
!u =
"2u
"x1
2+"2u
"x2
2+!+
"2u
"xn
2u = u(x
1, x
2,!, x
n)( )
を意味するものとする. !を Laplaceの演算子という. 例 (i),(ii) (iii)の各uは, !u = 0を満たすとかける.
u,!u
!x1
,!,!u
!x1
,!,!mu
!xi!x j!!xk,!について線形(1次式)のとき,線形偏微分方程
式という.線形でないとき非線形という.
aii=1
n
!"u
"xi+ bi, j
1#i, j#n
!"2u
"xi"x j+!+ ci, j ,!,k
"mu
"xi"x j!"xkm
" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n
! = d -----------(#)
は線形偏微分方程式である. ai (i =1,!,n),bi, j (1! i, j! n),ci, j ,!,k (1! i, j!,k! n)
が定数のとき定数係数の線形偏微分方程式よいう.
L = aii=1
n
!"
"xi+ bi, j
1#i, j#n
!"2
"xi"x j+!+ ci, j ,!,k
"m
"xi"x j!"xkm
" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n
!
とし,
L(u)= aii=1
n
!"u
"xi+ bi, j
1#i, j#n
!"2u
"xi"x j+!+ ci, j ,!,k
"mu
"xi"x j!"xkm
" #$$$$$ %$$$$$1#i, j!,k#n
!
3
とする.そのとき,
L(!u+ "v)= !L(u)+ "L(v) !," ! R,u = u(x),v= v(x)( ) が成立する.そこで, Lを線形微分作用素という.線形偏微分方程式(#)を
L(u)= d
とも表される.この方程式の一般解は L(u)= dの特解と
L(u)= 0の一般解の和と
して表される. 例 独立変数 x, yの関数u(x, y)について,
F x, y,u,!u
!x,!u
!x
"
#$$$
%
&'''= 0
は 1階の偏微分方程式である.
F x, y,u,!u
!x,!u
!x,!2u
!x2,!2u
!x!y,!2u
!y2"
#$$$$
%
&''''
= 0
を 2階の偏微分方程式である. § 1階偏微分方程式
1階偏微分方程式:
F x, y,u,!u
!x,!u
!x
"
#$$$
%
&'''= 0 ---------------------------(i)
の解の中で,独立な任意定数a,bを含む解
G(x, y,u,a,b)= 0 --------------------------(ii)
を完全解という. 例
!,",#は
!2 + "2 + # 2 =1 - -----------------------------(1)
を満たす任意の定数とする.
x2
+ y2
+ u2
= 2(!x+ "y+ #u) ----------------------------(2) を完全解とする偏微分方程式を求めよ. [解答] (2)は
(x!!)2 + (y!")2 + (u!#)2 =1 -----------------------------(3)
とかける.両辺を x, yに関して偏微分すると,
(x!!)+ (u!")"u
"x= 0,(y!#)+ (u!")
"u
"y= 0 -------------------------------(4)
これを(3)に代入すると,
4
(u!!)2"u
"x
#
$%%%&
'(((
2
+"u
"y
#
$%%%
&
'((((
2
+1
)*+++
,+++
-.+++
/+++
=1 ---------------------------------(5)
他方(4)から,
!= x+ (u!")"u
"x,# = y+ (u!")
"u
"y
これを(2)に代入すると,
x2
+ y2
+ u2
= 2 x+ (u!!)"u
"x
#
$%%%
&
'(((x+ y+ (u!!)
"u
"y
#
$%%%
&
'((((y+ !u
)*++
,++
-.++
/++
= 2 (x2
+ y2
+ u2)+ x(u!!)
"u
"x+ y(u!!)
"u
"y!u(u!!)
#$%%
&%%
'(%%
)%%
! x2 + y2
+ u2
="2(u"!) x#u
#x+ y#u
#y"u
$
%&&&
'
())))-------------------------------(6)
(5),(6)から (u!!)を消去すると,
(x2
+ y2
+ u2)2 !u
!x
"
#$$$%
&'''
2
+!u
!y
"
#$$$
%
&''''
2
+1
"
#
$$$$$
%
&
''''''= 4 x
!u
!x+ y!u
!y(u
"
#$$$
%
&''''
をうる.これは求める偏微分方程式である. § 比較的簡単に完全解が求まるタイプ
(I)
F!u
!x,!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= 0 (独立変数 x, yと関数uが陽に現れない)
F(a,b)= 0を満たす2つの定数a,bとして,
!u
!x= a,!u
!x= bとおくと,
u = ax+ by+ c ( cは任意定数)
が完全解である.
例
!u
!x+!u
!x=!u
!x"!u
!xの完全解を求めよ.
a+ b= abであるように定数a,bをとる.すなわち,
b=a
a!1ととる.
u = ax+a
a!1y+ c (a,cは任意定数)
が完全解であれる.
5
例
!u
!x
"
#$$$%
&'''
2
+!u
!x
"
#$$$%
&'''
2
=1の完全解を求めよ.
b= ± 1!a2 として,
u = ax± 1!a
2y+ c (a,cは任意定数)
が完全解である.
(II)
F x,!u
!x,!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= 0,
F y,!u
!x,!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= 0 (独立変数 xまたは yが陽に現れない)
!u
!y= bとおくと,
u = by+ g(x)で,
!u
!x= "g (x) を方程式に代入.
F x, !g (x),b( ) = 0
し,これから g(x)を求める.すなわち, !g (x)=!(x,b)とかけると,
u = !(x,b)dx! + by+ c b,c (b,cは任意の定数)
をうる.
例
x!u
!x"!u
!y
#
$%%%
&
'((((
2
= 0の完全解を求めよ.
!u
!y= bとすると,
u = by+ g(x) . ∴
x !g (x)"b
2= 0.
!g (x)=b2
x
従って, u = by+ b
2 log x+ c が完全解である.
(III)
F u,!u
!x,!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= 0 (独立変数 x, yが陽に現れない)
aを任意定数として, ! = x+ ayと変換する.
u = f (!)の形の解を捜せないか
を考える.そこで,
!u
!x=du
d!
!!
!x=du
d!,!u
!y=du
d!
!!
!y= a
du
d!
であるから,
常微分方程式:
F u,du
d!,adu
d!
!
"###
$
%&&&&
= 0
を解ければよい.これを
du
d!について解いて,
du
d!= "(u,a)より,
du
!(u,a)! = "+ b
これから,完全解
x+ ay+ b=du
!(u,a)! をうる.
6
例
u =!u
!x
"
#$$$%
&'''
2
+!u
!y
"
#$$$
%
&''''
2
の完全解を求めよ.
u = f (x+ ay)= f (!)とおく.
!u
!x= "f (!),
!u
!y= a "f (!)で,これを方程式に代入する.
u =du
d!
!
"###
$
%&&&&
2
(1+ a2) '
du
u= ±
d!
1+ a2
,
積分すると,
2 u = ±!+ b
1+ a2
故に, 4u(1+ a
2)= (x+ ay+ b)
2が求める完全解.
(IV) 変数分離形
F x,!u
!x
"
#$$$
%
&'''=G y,
!u
!y
"
#$$$
%
&''''
F x,!u
!x
"
#$$$
%
&'''=G y,
!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= aとおく.
!u
!x,!u
!yについて解いて,
!u
!x= f (x,a),
!u
!y= g(,a)
と表せたとする.
u = f (x,a)dx! + g(y,a)dy! + b
が完全解である.
例
!u
!x=!u
!yの完全解を求めよ.
!u
!x=!u
!y= a とおく.
u = adx! + ady! + b= a(x+ y)+ b
例
!u
!x"!u
!y= x
2+ y
2の完全解を求めよ.
!u
!x" x
2=!u
!y+ y
2= aとする.
!u
!x= x
2+ a,!u
!y= a" y
2
u = (! x2
+ a)dx+ (a" y2 )dy! + b=1
3(x
3" y3)+ a(x+ y)+ b
が求める完全解である.
(VI)
u = x!u
!x+ y!u
!y+ F
!u
!x,!u
!y
"
#$$$
%
&'''' (Clairautの方程式)
!u
!x= a,!u
!y= b (a,bは任意の定数)とする.
7
u = ax+ by+ F(a,b)
が完全解である.
例
u = x!u
!x+ y!u
!y+!u
!x"!u
!yの完全解を求めよ.
u = ax+ by+ abが完全解である.
例
F x!u
!x, y!u
!y
"
#$$$
%
&''''
= 0を変数変換により,(I)のタイプに直せ.
x = e! , y= e
" ! = log x,"= log y( )と変数変換すると,
x!u
!x= x!u
!!
d!
dx= x!u
!!
1
x=!u
!!, y!u
!y= y!u
!"
d"
dy= y!u
!"
1
y=!u
!"
であるから,与式は
F!u
!!,!u
!"
"
#$$$
%
&''''
= 0となる.
変数分離法 未知関数
u = f (x)g(y)の形になったとして,このことから解を見いだす.
これを変数分離法という..
例
!u
!x=!u
!y
u = f (x)g(y)とかけていたとする.問題の意味から
fx (x)g(y)= f (x)gy (y)
!f (x)
f (x)=!g (y)
g(y)= a (定数)
とかける. f (x)= c
1eax,g(y)= c
2eay . u = Ae
axeay
= Aea(x+y)
例
x!2u
!x!y"2y
2u = 0
u = f (x)g(y)とかけていたとする. 問題の意味から
x !f (x) !g (y)= 2y
2f (x)g(y) .
.
x !f (x)
f (x)=2y
2!g (y)
g(y)= aとする.
x !f (x)= af (x)より,
f (x)= c
1xa
2y
2!g (y)= ag(y)より,
g(y)= c
2e
2y2
3a
u = f (x)g(y)= c
1xac2e
2y2
3a= Cx
ae
2y2
3a
例
!u
!x+!u
!y"2(x+ y)u = 0
8
u = f (x)g(y)とかけていたとする.
!u
!x+!u
!y"2(x+ y)u = #f (x)g(y)+ f (x) #g (y)"2(x+ y) f (x)g(y)
= !f (x)"2xf (x)( )g(y)+ f (x) !g (y)"2yg(y)( ) = 0
!f (x)"2xf (x)
f (x)="
!g (y)"2yg(y)
g(y)= a (定数とおく)
∴
!f (x)"2xf (x)= af (x)# !f (x)" (2x+ a) f (x)= 0
!g (y)"2yg(y)="ag(y)# !g (y)" (2y"a)g(y)= 0
故に, f (x)= c
1e2x+a
,g(y)= c2e2y!aで,
u = f (x)g(y)= Ce
2(x+y)をうる.
例
!u
!y= c
2 !2u
!x2
u = f (x)g(y)とかけていたとする.
!u
!y= c
2 !2u
!x2" f (x) #g (y)= c
2 ##f (x)g(y)"1
c2
#g (y)
g(y)=##f (x)
f (x)= a (定数とおく)
!!f (x)"af (x)= 0, !g (y)"ac
2g(y)= 0
(i) a> 0 のとき, f (x)= c
1e
a x+ c
2e! a x
, g(y)= c2eac2yであるから
u = C
1e
a x+ac2y
+C2e! a x+ac
2y
(ii) a< 0のとき, f (x)= c
1cos a x( )+ c
2sin a x( ), g(y)= c
2eac2y
故に, u = C
1e
a x+ac2y +C
2e! a x+ac
2y( )eac
2y
例
!2u
!x2
= c2 !
2u
!y2
!2u
!x2
= c2 !
2u
!y2" ##f (x)g(y)= c
2f (x) ##g (y)
1
c2
!!f (x)
f (x)=!!g (y)
g(y)= a (定数とおく),
!!f (x)"af (x)= 0, !!g (y)"ag(y)= 0
(i) a> 0 のとき, f (x)= c
1e
a cx+ c
2e! a cx
,g(y)= d1e
a y+ d
2e! a yで
u = f (x)g(y)= c
1e
a cx + c2e! a cx( ) d1e a y + d
2e! a y( )
(ii) a< 0のとき,
9
u = f (x)g(y)= c
1cos a cx( )+ c
2sin a cx( )( ) d1 cos a y( )+ d
2sin a y( )( )
(iii) a= 0のとき, f (x)= c
1x+ c
2,g(y)= d
1y+ d
2で
u = f (x)g(y)= c1x+ c
2( ) d1y+ d2( )
例 次の偏微分方程式を満たす u = u(x, y, z)を変数分離法により求めよ.
!2u
!z2= c
2 !2u
!x2+!2u
!y2"
#$$$$
%
&''''
u = f (x, y)g(z)とかけているとする.
!2u
!z2
= f (x, y) ""g (z),!2u
!x2
+!2u
!y2
= #f (x, y)( )g(z)であるから,
1
c2
!!g (z)
g(z)="f (x, y)
f (x, y)= a (定数,とおく)
!!g (z)"ac
2g(z)= 0,#f (x, y)= af (x, y)
とかける. (i) a> 0 のとき,
g(z)= c
1e
a z+ c
2c1e! a z
(ii) a< 0のとき, g(z)= c
1cos a z( )+ c
2sin a z( )
(iii) a= 0のとき, g(z)= c
1z+ c
2
である.
!f (x, y)= af (x, y)において,
f (x, y)=!(x)"(y)とかけていたとする.
!f (x, y)= af (x, y)" ##! (x)"(y)+!(x) ##" (y)= a!(x)"(y)
!!! (x)"a!(x)
!(x)="
!!" (y)
"(y)= b(定数,とおく)
!!! (y)+ b!(y)= 0を解く.
(iv) b> 0のとき, !(y)= c
3cos by( )+ c
4sin by( )
(v) b< 0のとき, !(y)= c
3e!by
+ c4c3e! !by
(vi) b= 0のとき, !(y)= c
3y+ c
4
!!! (x)" (a+ b)!(x)= 0を解くと,
(vii) a+ b> 0のとき, !(x)= c5e
a+b x+ c6e
! a+b x
(viii) a+ b< 0のとき, !(x)= c5 cos a+ bx( )+ c6 sin a+ bx( )
10
(ix) a+ b= 0のとき, !(x)= c5x+ c6
§ 微分方程式の境界条件 まず次の微分方程式(単振動の方程式)を考えよう.
d2x
dt2
+!2x = 0 ( !は正の定数)--------------------------(1)
解が
x = a
0+ a
1t + a
2t2
+!+ antn
+! --------------------------(2) とかけたとする.こう別微分して,
dx
dt= a1 + 2a2t + 3a3t
2+ 4a4t
3+ 5a5t
4+!+ na
ntn!1
+!
d2x
dt2
= 2a2 + 3"2a3t + 4 "3a4t2
+ 5 "4a5t3
+!+ n "(n!1)antn!2
+!
これを(1)に代入する.
2a
2+!2a
0( )+ 3!2a3
+!2a1( )t + 4 !3a
4+!2a
2( )t 2 + 5 !4a5
+!2a3( )t 3 +
!+ n(n!1)a
n+!2a
n!2( )t n!2 +!" 0
2a
2+!
2a0
= 0,3!2a3
+!2a1
= 0,4 !3a4
+!2a2,5 !4a
5+!
2a3,!
a0
= a,a1
= bとおいて,この関係を漸次解いて,
a2
=!!2
2a, a
4=!
!2
4 "3a2
=!2
4!a, a
6=!
!2
6 "5a4
=!!2
6!a, a
8=!2
8!a,!
a3
=!!2
3"2b, a
5=!
!2
5 "4a3
=!4
5!b, a
7=!
!2
7 "6a5
=!6
7!b, a
9=!
!2
9 "8a7
=!8
9!b,!
このことから,
x = a 1!!2
2!t2
+!2
4!t4 !!2
6!t6
+!"
#$$$$
%
&''''+ b t!
!2
3!t3
+!4
5!t5 !!6
7!t7
+!8
9!t9
+!"
#$$$$
%
&''''
= a 1!!2
2!t2
+!2
4!t4 !!2
6!t6
+!"
#$$$$
%
&''''+b
!!t!
!3
3!t3
+!5
5!t5 !!7
7!t7
+!9
9!t9
+!"
#$$$$
%
&''''
故に x = Acos!t + Bsin!t ( A,Bは任意定数) が一般解である.このような解法を級数による解法という. さて,
11
x(0)= l,dx
dt(0)= 0 ----------(*)
を満たすような解は求めてみよう.
dx
dt=!A! sin!t + B! cos!tより,
x(0)= A+ 0= l,dx
dt(0)= 0+ B!= 0であるから,
A= l,B= 0
従って, x = l cos!tが求めるものである.(*)を初期条件という. 一般に,
D = [a,b]で定義された未知関数 y(x)に関する
n階微分方程式: F(x, y, !y , !!y ,!, y
(n))= 0
において, x0! Dと予め指定した値
!0,!
1,!,!
n!1について,
y( j )(x
0)= !
j( j = 0,1,2,!,n!1) (初期条件)
を満たすような微分方程式の解 y(x)を求めることを初期値問題という.また,Dの境界(端a,b)での関数値,微分係数を指定(境界条件)して解を求めるこ
とを境界値問題という. 初期値問題では変数を時間 tで,境界値問題のときの変数は空間座標での領域 の境界を考えるのが普通である. § 1次元波動方程式 数直線上の 2 点(原点 O,座標 lの点 L)とする. O,L 間に右図のように張られた弦の振動考える.点 x ,時刻 t
( t ! 0 )におけ
る変位をu(x,t)とする.弦の質量 !,その
張力T とし, c= T / !とすると,次の方
程式が成立することがわかる.
!2u
!t2" c
2 !2u
!x2
= 0 ( cは正の定数)
は1次元の波動方程式と呼ばれている.これはダランベールによってはじめて扱われた有名な問題である.まずこの偏微分方程式の一般解を求めてみよう.
! = x! ct, "= x+ ct
と変数変換する.
!u
!t=!u
!!
!!
!t+!u
!"
!"
!t="c
!u
!!+ c!u
!"
12
!2u
!t 2= c!
!t"!u
!!+!u
!"
#
$%%%
&
'((((
="c!2u
!! 2!!
!t+!2u
!!!µ
!"
!t
#
$%%%%
&
'((((+ c
!2u
!"!!
!!
!t+!2u
!µ2
!"
!t
#
$%%%%
&
'((((
= c2 !
2u
!! 2" c2
!2u
!!!µ" c2
!2u
!"!!+ c
2 !2u
!µ2
= c2 !
2u
!! 2+!2u
!µ2"2!2u
!!!µ
#
$%%%%
&
'((((
!u
!x=!u
!!
!!
!x+!u
!"
!"
!x=!u
!!+!u
!"
!2u
!x2=!2u
!! 2!!
!x+!2u
!!!µ
!"
!x
"
#$$$$
%
&''''+!2u
!"!!
!!
!x+!2u
!µ2
!"
!x
"
#$$$$
%
&''''
=!2u
!! 2+!2u
!µ2
+ 2!2u
!!!µ
∴
!2u
!t 2" c2!2u
!x2= c
2 !2u
!! 2+!2u
!µ2"2!2u
!!!µ
#
$%%%%
&
'((((" c2
!2u
!! 2+!2u
!µ2
+ 2!2u
!!!µ
#
$%%%%
&
'((((
="4c2!2u
!!!µ
であるから,与式は
!2u
!!!µ= 0
とかける.∴ u = f (!)+ g(")( f ,gは任意関数)とかける.もとの変数に戻す
と,我々の微分方程式の一般解は
u(x,t)= f (x! ct)+ g(x+ ct)
と表される. いま,
u(x,t)= f (x! ct)
としてみると,
u(0,0)= u(x, x / c)= f (0)
である.これは原点おける変位 f (0)が,時間が x / c経過したときにも同じ変位
f (0)が現れることを意味する.また,曲線 u(x,0)= f (x)と曲線
u(x,t)= f (x! ct)
は合同(前者の曲線を ctだけ x軸の正の方向に平行移動したもの)である.す
なわち x軸の正の方向に速度 cで進む波動を表していると考えられる. g(x+ ct)
は x軸の負の方向に速度 cで進む波動を表していると考えられる.
境界条件: u(0,t)= u(l,t)= 0,初期条件:
!u
!t(x,0)= 0
の下で考えると,
u(x,t)=
1
2F(x+ ct)+ F(x! ct){ }
13
と表される.ここで,F(x)は奇関数で,2lを周期とする周期関数である. 一般解:
u(x,t)= f (x! ct)+ g(x+ ct)
と初期条件から,
!u
!t(x,0)= c(" #f (x)+ #g (x))= 0,すなわち,
! "f (x)+ "g (x)= 0
両辺を不定積分して,
! f (x)+ g(x)= 2A (定数)
∴
f (x)=1
2F(x)!A, g(x)=
1
2F(x)+ A
の形にかける.∴
u(x,t)=
1
2F(x+ ct)+ F(x! ct){ }
の形にかける.境界条件から,
F(!ct)= F(ct)すなわち,Fは奇関数
がわかる.さらに, F(l+ ct)+ F(l! ct)= 0で,Fは奇関数であるから,
F(l! ct)=!F(!l+ ct) .∴
F(l+ ct)= F(!l+ ct)
すなわち, F(2l+ ct)= F(ct)
これはFは2lを周期とする周期関数であることを意味している.実際は
0! x! lで考えたわけであるが2lの周期性から数直線全体に拡張されると考え
られる.2lを周期とする周期関数の奇関数として,
sin!
lx,sin
2!
lx,!,sin
m!
lx,!
が考えられるが,これらの任意のどれかをF(x)としてもよい.特解として
1
2sin
m!
l(x! ct)+ sin
m!
l(x+ ct)
"
#$$$
%
&'''= sin
m!
lx cos
m!
lct (m =1,2,!)
が考えられる. このような問題をダランベールにより提起され,Fourierにより完成された.