2. forcas hidrostatica
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forcas hidrostaticasTRANSCRIPT
7/18/2019 2. FORCAS HIDROSTATICA
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Universidade Estadual do Maranhão – UEMACentro de Ciências Tecnológicas – CCTDepartamento de Hidráulica e aneamentoDisciplina! Mec"nica dos #luidosData! $%&'(&)'$$
São Luís, 2011
Estática dos #luidosEstática dos #luidosDetermina*ão de #or*as em
uper+,cies u-mersas
Profº Fernando [email protected]
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!ão de fluidos sobre su"erfícies submersas. #$.% barra&ens.
#'uilíbrio de cor"os flutuantes. #$.% embarca!(es.
!ão do vento sobre constru!(es civis.
#studos de lubrifica!ão.
)rans"orte de s*lidos "or via "neum+tica ou idr+ulica. #$.% elevadores
idr+ulicos.
-+lculo de instala!(es idr+ulicas. #$.% instala!ão de recal'ue.
-+lculo de m+'uinas idr+ulicas. #$.% bombas e turbinas.
nstala!(es de va"or. #$.% caldeiras.
!ão de fluidos sobre veículos /erodinmica.
Aplica*.es da Mec"nica dos #luidos
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Estática dos #luidos
o estudo em 'ue os fluidos estão na aus3ncia de movimentosrelativos, o 'ue im"lica na aus3ncia de tens(es de cisalamentos.
Portanto, os fluidos tanto em movimento 'uanto em re"ouso sãoca"a4es de su"ortar a"enas tens(es normais.
Aplica*ão da estática!
-alcular for!as sobre ob5etos submersos6
7esenvolver instrumentos "ara medi!ão de "ressão6
7edu4ir "ro"riedades da atmosfera e dos oceanos6 7esenvolver as for!as desenvolvidas "elos sistemas idr+ulicosem a"lica!(es como "rensas industriais ou freios de autom*veis.
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
)i"os de for!as a serem consideradas%
For!as de cam"o% &ravidade dF8
For!as de su"erfícies% "ressão 9 dFS
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Estática dos #luidos
$& 1ressão num 1onto Estático
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
#or*as de campo% &ravidade
"licando a 2: Lei de ;e<ton a um elementofluido diferencial de massa
de lados d$d=d4.
dxdydz d =∀ Onde > o vetor &ravidade, s > a massa es"ecífica e dv > o volume doelemento. #m coordenadas cartesianas, de modo 'ue%
dxdydz d =∀
Para um elemento diferencial, a for!a de cam"o >%
g
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
#or*a de super+,cie% Pressão
Se5a a "ressão " a "ressão no "onto O, do elemento da Fi&ura 1. trav>sda s>rie de )a=lor da "ressão em torno do "onto 0, as "ress(es resultanteserão%
;um fluido est+tico, nenuma tensão cisalante "ode estar"resente.
for!a lí'uida de "ressão num fluido est+tico fa49se somando asfor!as em todas as faces do elemento fluido.
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
As força resultante de pressão que atuam na
superfície na face X do elemento diferencial,
é dado:
dydz dx x p P dydz dx
x p P s F d
∂∂+−
∂∂−=
22
dxdz dy y p P dxdz dy
y p P s F d
∂∂+−
∂∂−=
22
Dire*ão 2!
7e modo an+lo&o nas faces ? e %
dxdydz
z
p P dxdy
dz
z
p P s F d
∂∂
+−
∂∂
−=22
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
&ru"ando e sim"lificando os termos em um cam"o vetorial, temos 'ue%
dxdydz k z
p j
y
pi
x
p s F d
∂∂
+∂∂
+∂∂
−= ˆˆˆ
Onde os termos entre "ar3nteses > um o"erador &radiente, "odendo serre"resentado da se&uinte forma%
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂k
z
p j
y
pi
x
p ˆˆˆ p∇ A
pdxdydz s F d −∇=
#ntão%
∀−∇= pd s F d , "odendo ser escrita%
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∀== d adma F d ρ
Estática dos #luidos
Para uma "artícula fluida, a se&unda lei de ;e<ton fornece 'ue%
0=aPara um fluido est+tico, 0==∀
ad
F d ρ #ntão%
Fa4endo as devidas substitui!(es, "odemos finalmente obter%
0)( =+−∇ g p ρ
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
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Estática dos #luidos
0)( =+−∇ g p ρ
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
e'ua!ão "ode ser ainda ser escrita em fun!ão de seus com"onentesescalares, lo&o%
#sta e'ua!ão si&nifica 'ue as for!as resultantes "or unidade de volume em um "onto 33 as for!as de cam"o /&ravidade"or unidade de volume em um "onto > i&ual a 4ero.
0=+∂
∂− x g
x
p ρ
0=+∂∂− y g y p ρ
0=+∂
∂− z g
z
p ρ
7ire!ão $
7ire!ão =
7ire!ão =
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
Para sim"lificar iremos escoler um sistema de coordenada em 'ue ovetor &ravidade este5a alinado com um de seus ei$os. ;este caso%
0=∂
∂−
x p
0=
∂
∂−
y
p
g z
p ρ −=
∂
∂
0= x g
0= y g
)(↑−= g g z
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Estática dos #luidos
$& E/ua*ão 0ásica da Estática dos #luidos
-om as sim"lifica!(es a e'ua!ão finalmente se redu4 a%
g z
p ρ −=
∂
∂
Podendo ser escrita na se&uinte forma%
γ ρ =−= g dz
dp
Cuando%
$& #luidos est+tico6
)& A &ravidade for a Dnica for!a de cam"o6
%& 4 ei$o 4 > vertical e "ara cima.
Esta é a equação que relaciona pressão e altura da estática dos fluidos.
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Estática dos #luidos
$& 5aria*ão de 1ressão com #luido 6ncompress,vel
varia!ão da massa es"ecífica normalmente "ode ser des"re4ível,neste caso "odemos inte&rar a e'ua!ão da est+tica dos fluidos entre duaseleva!(es diferentes. Lo&o, %
∫ ∫ −=2
1
2
1
Z
Z P
dz
p
dp γ
Podendo ser reescrita da forma%
h P P γ −=− 12
)( 1212 Z Z P P −−=− γ
ou h P P γ += 21
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Estática dos #luidos
$& 5aria*ão de 1ressão com #luido 6ncompress,vel
Onde > i&ual a dista 2 E 1 /"rofundidade medida a "artir de P2
h P P γ += 21
Se considerarmos a "ressão de su"erfície livre como a "ressão derefer3ncia P0 /esta "ressão usualmente > a "ressão atmosf>rica. Seconsiderarmos P2 A P0 a e'ua!ão anterior ficar+.
h P P γ +=
01
Onde a "ressão em 'ual'uer "rofundidade abai$o da su"erfície livre "odeser escrita como%
h P P γ += 0
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$& 5aria*ão de 1ressão com #luido 6ncompress,vel
h P P γ += 0
Estática dos #luidos
e'ua!ão informa 'ue a distribui!ão de "ressão num fluido omo&3neo,incom"ressível e em re"ouso > fun!ão a"enas da "rofundidade do fluido /emrela!ão a um "lano de refer3ncia e > inde"endente da forma do reci"iente.
#igura % #'uilíbrio de um fluido em reci"iente arbitr+rio
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)& Determina*ão de #or*as em uper+,cies
u-mersas 1lanas
"ossível detectar a "resen!a de for!as na su"erfícies dos cor"os 'ueestão submersos nos fluidos.. determina!ão destas for!as são im"ortantes no"ro5eto de tan'ues de arma4enamento de fluidos, navios, barra&ens e outrasestruturas idr+ulicas.
Sabe9se 'ue a for!a com 'ue os fluidos atua nas su"erfícies "recisa ser"er"endicular a ela 'uando o fluido est+ em re"ouso/ "ois t são nulas.
for!a de "ressão 'ue atua sobre um elemento d de uma su"erfície"lana > dada "or%
h p γ =
pA Fr =
Onde pp > a "ressão na su"erfície inferior e AA > a +rea destasu"erfície.
Para uma su"erfície "lana não inclinada a "ressão relativa 'ueatua na su"erfície ser+%
hA Fr γ =⇒
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Para uma superfície inclinada, "recisaremos somar as for!as diferenciais'ue atuam sobre a su"erfície 'ual'uer de +rea d.
)&$ Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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Somando todas as for!as 'ue a&em sobre a +rea e considerando 'ue
θ ysenh =
∫ = hdA Fr γ
s for!as diferenciais 'ue atuam sobre a su"erfície 'ual'uer de +rea d
"odem ser re"resentadas "or%
⇒
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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θ ysenh =
∫ = hdA Fr γ
Somando todas as for!as 'ue a&em sobre a +rea e considerando 'ue
∫ ∫ == dA ysenhdA Fr )( θ γ γ →
-onsiderando 'ue e são constantes.θ ρ
∫ = ydA sen Fr θ γ
inte&ral da e'ua!ão anterior > o momento de "rimeira ordem em rela!ãoa x . 7este modo "odemos escrever%
A y ydA c=∫ Onde =c > a coordenada do centr*ide medido a"artir do ei$o x x 'ue "assa atrav>s de
∫ ∫ == dA ysenhdA Fr )( θ γ γ
∫ = ydA sen Fr θ γ
θ
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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Lo&o a determina!ão da for!a resultante "ode ser escrita%
θ sen Ayγ Fr c!
-onsiderando a altura como teremos 'ue%
Ah Fr cg γ =#sta e'ua!ão indica 'ue o m*dulo da for!a resultante > i&ual a "ressão no
centr*ide multi"licada "ela +rea total da su"erfície submersa.
Neste caso a força somente do peso específico, da área total e da profundidadeNeste caso a força somente do peso específico, da área total e da profundidade
do centróide da área da superfíciedo centróide da área da superfície.
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
θ sen yh ccg =
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)&$&$ Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9
Para locali4ar esta for!a F, "rocedemos como na mecnica est+tica considerandoos momentos.
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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Para su"erfícies "lanas a "artir da e'ua!ão Fr A " "ode9se dedu4ir 'ue Fr
atravessa o centr*ide.
;o entanto, no caso mais &eral, "ara superfícies inclinadassuperfícies inclinadas, a su"erfície
submersa forma um n&ulo Θ com a su"erfície do fluido, onde a "ressão >
linearmente vari+vel, e a resultante dessa "ressão "assa obri&atoriedade, "eloseu centro de &ravidade e > "er"endicular su"erfície submersa, uma ve4 'ue
não + nenuma for!a de cisalamento "resente.
;a fi&ura, o centr*ide de "lano inclinado est+ deslocado da "osi!ão do
centr*ide /-G do "lano ori4ontal devido a varia!ão da "ressão com a
"rofundidade. ssim, o "onto de a"lica!ão da for!a resultante ser+ o seu centro
de "ressão /-P.
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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Momento da for!a resultante em rela!ão a um ei$o : Momento das for!asdistribuídas em rela!ão a um mesmo ei$o.
for!a resultante F não atua no centr*ide, mas abai$o dele, na "arte de maiores"ress(es.
Sua lina de a!ão "assa atrav>s do centro de "ressão -P da "laca.
7etermina!ão do centro de "ressão /lina de a!ão, Hc" e ?c".
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9
Considera*.es!
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
∫ = ydF F y R
r
Agora precisa;se determinar a #or*a em rela*ão aos dois ei<os= ou se>a=
29 e ?9
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∫ = ydF F y R
r θ γ sen Ay Fr c=onde hdAdF γ =∫
∫ = ydF sen sen Ayc θ γ θ γ
e'ua!ão ficar+%
∫ = dA y A yY cr "
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a Y relação a Y
Lo&o%
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e'ua!ão ficar+% A y
dA yY
c
r ∫ ="
x I dA y =∫ " inte&ral
> o se&undo momentose&undo momento ou momento de inérciamomento de inércia da +rea em rela!ão ao ei$o $. Lo&o,"ode9se escrever a rela!ão%
A y
I Y
c
xr =
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a Y relação a Y
yc xc x A I I +=
determina!ão do valor de $ "ode ser determinado atrav>s dos Eixos Paralelos.
Para isso, fa!amos uma transla!ão em torno do ei$o $ de modo 'ue ele "asse pelocentróide da su"erfície submersa.
;este caso o valor do momento de in>rcia ser+%
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#ntão "odemos e$"ressar 'ue%
A y
Ay I
Y c
c xcr
"+
= → c
c
xcr
y A y
I
Y +=
40.%#sta e'ua!ão mostra 'ue Fr não "assa "elo centr*ide, mas sem"re atua
abai$o dele /$c I =c J 0. Ou ainda% ?B E ?- J 0, "ois =c > sem"re "ositivo.
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a Y relação a Y
4 valor de 66<c<c > o momento de se&unda ordem em rela!ão ao ei$o 'ue passa passa
no centróideno centróide e > "aralelo ao ei$o $.
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Para determinar a coordenada Hc o "rocedimento > an+lo&o, de modo 'ue%
∫ = xdF X F cr
A y
xydA Xc xdA y X
c
cc
∫ ∫ =→=onde
Ktili4ando o )eorema do #i$os Paralelos%
Iy xydA∫ =
cc xy y y Ax I I +=
Prosse&uindo%
#ntão "odemos escrever da se&uinte forma%
c
c
xy
c
cc xy xy x
A y
I
A y
y Ax I X +=
+=
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a X relação a X
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40. 7e acordo com estas e'ua!(es um aumento de =c "rovoca uma
a"ro$ima!ão do centro de "ressão "ara o centr*ide da +rea. )amb>m temos
'ue =c A cIsen0 aumentar+, ou se "ara uma dada "rofundidade, a +rea for
rotacionada de modo 'ue o n&ulo diminua.
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
Determina*ão da 7ocali8a*ão da #or*a 9esultante #9 em relação a X relação a X
4 valor de 66<@<@ > o "roduto de in>rcia em rela!ão ao sistema de coordenadasorto&onal 'ue "assa no centr*ide e > "aralelo ao ei$o $.
c
c
xy xy x
A y
I X +=
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rea e Momento de 6nBrcia de #iguras Diversas
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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rea e Momento de 6nBrcia de #iguras Diversas
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas Planas InclinadasPlanas Inclinadas
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A +or*a hidrostática e o centro de press.es so-re uma super+,cie curva B
e<pressado do seguinte modo!
Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas
CurvasCurvas
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Determina*ão de #or*as em uper+,cies u-mersas
CurvasCurvas
#or*a hori8ontal
F F H 2= W F F V +=
1
#or*a vertical
F F F V H R
22
+=
Então a +or*a resultante será!
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;esta se!ão ser+ desenvolvida a for!a 'ue os fluidos e$ercem
sobre cor"os /"odem ser de dimens(es e formas variados
-onceitos e determina!ão de for!as de em"u$o6
-onceitos e considera!(es sobre flutua!ão6
#stabilidade de cor"o submersos ou "arcialmente submerso.
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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Determina*ão das #or*as de Empu<o
for!a vertical sobre um cor"o, devida "ressão idrost+tica, "ode serencontrada mais facilmente considerando elemento de volume cilíndricossimilares, mostrado na fi&ura abai$o.
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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varia!ão da massa es"ecífica normalmente "ode ser des"re4ível, nestecaso "odemos inte&rar a e'ua!ão da est+tica dos fluidos entre duaseleva!(es diferentes.
Lo&o, inte&rando a e'ua!ão anterior, ficar+%
Se considerarmos a "ressão de su"erfície livre como a "ressão derefer3ncia P0 /esta "ressão usualmente > a "ressão atmosf>rica. Seconsiderarmos P2 A P0 e 2 E 1A , a e'ua!ão anterior ficar+.
h P P γ += 01
Onde a "ressão relativa em 'ual'uer "rofundidade abai$o dasu"erfície livre "ode ser escrita como%
h P γ =
Determina*ão das #or*as de Empu<o
∫ ∫ −=2
1
2
1
Z
Z P
dz
p
dp γ )( 1212 Z Z P P −−=− γ
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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O em"u$o vertical sobre o elemento ser+%
Determina*ão das #or*as de Empu<o
γ
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
% #or*as de #lutua*ão Empu<o
7/18/2019 2. FORCAS HIDROSTATICA
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)omando como a altura relativa entre a su"erfície
su"erior e inferior do cor"o imerso.
#ntão "ode finalmente e$"ressar 'ue%
Onde > o volume do ob5eto e "eso es"ecífico do fluido
Determina*ão das #or*as de Empu<o
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
% #or*as de #lutua*ão Empu<o
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7efini!ão da #'ua!ão%
e'ua!ão define 'ue a for!a lí'uida vertical devida "ressão, ou em"u$o,
sobre o ob5eto, i&ual a for!a da &ravidade atuante sobre o lí'uido deslocado"elo ob5eto.
Determina*ão das #or*as de Empu<o
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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% #or*as de #lutua*ão Empu<o
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1rinc,pio de Ar/uimedes!
Se um cor"o estiver flutuando ou estiver total ou "arcialmente imersonum fluido, sobre este a&e uma for!a vertical de bai$o "ara cima, cu5a
intensidade > i&ual ao "eso do volume de fluido deslocado.
for!a resultante &erada "elo fluido e 'ue atua nos cor"os >
denominada força de flutuação ou empuxo.
#sta for!a li'uida vertical, com sentido "ara cima, > o resultado do
&radiente de "ressão /a "ressão aumenta com a "rofundidade e estafor!a > determinada de modo similar s e'ua!(es da est+tica dos fluidos.
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
% #or*as de #lutua*ão Empu<o
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O em"u$o, "ara cima, > e$ercida "elo fluído e deve9se ao fato das"ressão nas re&i(es inferiores do cor"o /F in+ ser su"erior "ressão nas
re&i(es su"eriores /F sup6 O em"u$o não tem com"onente ori4ontal "or'ue as for!as e$ercidas
"elo fluído em cada lado do cor"o são i&uais /e'uilibram9se6
Considera*.es de empu<o so-re corpos imersos num +lu,do em repouso
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
% #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%&$#lutua*ão de corpos su-mersos
nalisaremos a'ui o com"ortamento de um cor"o associado a suaestabilidade 'uando est+ submerso e "arcialmente submerso /flutuando.
;ormalmente 'uando um cor"o > abandonado em um meio lí'uido,ocorre tr3s diferentes situa!(es de com"ortamento do cor"o.
$& e o peso do corpo B maior /ue o empu<o
)& e o peso e o empu<o são iguais
%& e o peso do corpo +or menor /ue o empu<o&
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
% #or*as de #lutua*ão Empu<o
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$& e o empu<o #0 +or menor /ue o peso do corpo F&
O cor"o afunda at> encontrar um obst+culo.
<#ntão o cor"o afundar+ se
<
W F B ≤<
%&$#lutua*ão de corpos su-mersos
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%& e o peso do corpo +or menor /ue o empu<o,
o cor"o > im"elido at> a su"erfície, da 'ual emer&e, ficando mer&uladanuma "or!ão M do seu volume deslocado (volume de carena)(volume de carena), tal 'uemulti"licado "elo "eso es"ecifico do li'uido > i&ual ao "eso do cor"o.
W F B ≥G
G
G
%&$#lutua*ão de corpos su-mersos
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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Força resultanteForça resultante= #r de corpos su-mersos
for!a resultante > i&ual ao "eso do cor"o menos o "eso do lí'uido
deslocado /em"u$o.
F P F Bc R −=
∀∀ −= c c! R F γ γ
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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Km cor"o est+ numa "osi!ão de e'uilíbrio est+vel se, 'uando "erturbado,retorna a "osi!ão de e'uilíbrio ori&inal.
$& E/uil,-rio Estável
%&) Esta-ilidade de corpos su-mersos
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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7e modo inverso, o cor"o est+ numa "osi!ão de e'uilíbrio inst+vel se elese move "ara uma nova "osi!ão de e'uilíbrio a"*s ser "erturbado /mesmo'ue a "erturba!ão se5a bastante "e'uena.
$& E/uil,-rio 6nstável
%&) Esta-ilidade de corpos su-mersos
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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$& E/uil,-rio eutro
#'uilíbrio neutro ou indiferente E 'uando su5eito a um deslocamento ede"ois abandonado, "ermanece na nova "osi!ão /não re&ressa "osi!ãoori&inal e nem se afasta.
%&) Esta-ilidade de corpos su-mersos
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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Para cor"os flutuantes se torna sensível, "ois, a locali4a!ão do centrode em"u$o /'ue coincide com o centr*ide do volume de carena "odemudar 'uando o cor"o rotaciona.
%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
* * p
%& #or*as de #lutua*ão Empu<o
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
* * p
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
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%&% Esta-ilidade de corpos #lutuantes
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#or*as de #lutua*ão Empu<o
Cálculo da Altura Metacêntrica! MI
#or*as de #lutua*ão Empu<o
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Conclus.es
O estudo sobre as for!as de flutua!ão e estados de e'uilíbrio são
im"ortantes em v+rias +reas da en&enaria. #m es"ecial na #n&enaria
;aval.
Esse estudo pode ser aplicados para pro>etos de!
;avios,
embarca!(es,
submarinos, etc.
#or*as de #lutua*ão Empu<o