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Asignatura: Filosofía
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INFLUENCIA FILOSÓFICA DE PITÁGORAS
1. FILOSOFIA
1.1 El paso del mito al lógos
Con la expresión “el paso del mito al lógos” se hace referencia al nacimiento
de la filosofía como superación de las formas míticas y religiosas de
pensamiento y al advenimiento de un pensamiento racional. Se podría decir
que el “paso del mito al lógos” se produjo cuando empezó a cobrar forma en
las mentes de los hombres la convicción de que el caos aparente de los
acontecimientos tiene que ocultar un orden subyacente, y que este orden es el
producto de fuerzas impersonales. Según Platón y Aristóteles, esta mutación
sería fruto de la admiración.
La filosofía comenzó a
principios del siglo VI, en
las prósperas ciudades
comerciales de Jonia
(franja costera de Asía
Menor, de la actual
Turquía), y más
concretamente en Mileto.
Estas ciudades tuvieron
un contacto directo con
las culturas babilónica y
egipcia y en ellas se
desarrolló una brillante literatura épica y lírica. Los principales protagonistas
del nacimiento de la filosofía, o mejor dicho, quienes han pasado a la historia,
son: Tales, Anaximandro y Anaxímenes (escuela de Mileto). Todos ellos
pertenecieron a las oligarquías dominantes, siendo sus posibilidades de acceso
a la cultura (ocio, frecuentes viajes, vinculación directa a las corrientes
orientales del saber...) y su situación histórica (auge económico del que eran
principales beneficiarios) magníficas. Como dice Aristóteles, poseían las cosas
necesarias para dedicarse a filosofar: el bienestar físico y el ocio (tiempo libre,
ya que no tenían que trabajar).
El “paso del mito al lógos”, el nacimiento de la filosofía, no se produjo, pues,
por "generación espontánea". Fue una paulatina superación de la mitología
antropomórfica y del saber práctico-técnico anterior, que fue derivando en una
reflexión abstracta y de carácter teórico y general, debido a un triple
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fenómeno convergente e interdependiente:
1. El mundo (la realidad) deja de verse como una teofanía o, en general, como
una hierofanía. Aparece la creencia en que los fenómenos que integran
el mundo de la experiencia no den de unas voluntades personales, los
dioses o espíritus, sino de la consistencia y estructura que poseen las cosas
mismas (hay un lógos u orden del mundo). Esta creencia llevó a algunos
humanos a buscar en ese fondo de las cosas, o "naturaleza", la razón de los
hechos.
2. La aparición de una "actitud teórica" ante la naturaleza. "Teoría" significó
en sus orígenes "contemplación". La actitud teórica deja que se manifieste
la realidad tal y como es, respetando íntegramente las condiciones de la
objetividad. (Nótese lo lejos que estamos de la ciencia experimental
moderna, cuya actitud básica es manipular la naturaleza).
Así kósmos y lógos coinciden, es decir, Naturaleza, Teoría y Razón
coinciden. Podemos afirmar que la aportación de los sofistas es haber
mostrado que el lenguaje y la realidad son inconmensurables. Esa magia con
la que nace la filosofía es la magia de poder recrear el mundo.
1.2 Actitud filosófica y esquemas explicativos míticos
Durante los siglos -VII y -VI (y, en menor medida, en los siglos posteriores) lo
específico de la actitud filosófica (la reflexión racional y científica) convive con
expresiones y esquemas explicativos de carácter mítico.
1. 2.1 Elementos míticos vigentes
a) La estructura de pensamiento que sirve de modelo a la cosmología
jonia está basada en la explicación mítica (por ej. la ofrecida en la
Teogonía de Hesíodo):
Segregación de parejas de contrarios (frío/caliente, húmedo/seco...) a
partir de la unidad primordial indiferenciada;
o Desunión y unión de estas parejas de contrarios;
o Cambio cíclico eterno (eterno retorno).
b) El afán de totalización: no hay diferenciación
de las distintas parcelas del saber: en la visión
filosófica jonia cualquier fenómeno, observable o
no, sobre el que quepa teorizar, se entiende en
función de un conjunto en el que no existen
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fisuras, ni caben excepciones, ni se aprecian
campos de investigación independientes.
c) La intención soteriológica (orientadora de la conducta humana): En el
concepto milesio de (phýsis, naturaleza) yace una dimensión ético-religiosa.
La phýsis encierra una verdad cuyo descubrimiento es tan valioso y
significativo que vincula de algún modo la conducta de quienes accedan a ella.
1.2.2 Lo propiamente filosófico. Si la filosofía supo imprimir una dirección
decisiva en el orden del conocimiento fue debido a la creación de un modelo
explicativo fundado en una especulación racional y reductora, y en un criterio
positivo firme, excluyente de fuerzas sobrenaturales que pudiesen perturbar el
nuevo orden en parte establecido y en parte descubierto.
El racionalismo. Interpretación analógica inductiva de la realidad: los
fenómenos que la integran el mundo de la experiencia no dependen de las
voluntades divinas, sino de la consistencia y estructura que poseen las cosas
mismas (cambio de paradigmas).
El inmanentismo. Inscrito en el mismo proceso racionalizador aparece el
espíritu positivista e inmanente de la filosofía jonia: apelar a causas o procesos
de tipo material, y no exteriores.
Observación crítica y sistematizadora de la realidad. En la filosofía
milesia la observación tiene una importancia significativa en conexión con la
interpretación analógica de la realidad llevada a cabo mediante procesos
inductivos.
En general se considera que analogía, inmanentismo y observación
sistematizada constituyen el núcleo de la manera propia de afrontar el mundo
desde la racionalidad.
Estos principios (racionales) no provienen ni de la analogía, ni son
inmanentes ni la observación sistematizada los puede fundamentar. De ahí
que no parezca suficiente apelar a tales características para describir el
carácter racional del pensamiento jonio.
1.3 Escuelas presocráticas
Tradición jonia: El arjé hay que buscarlo en la sustancia material de que
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está hecho el mundo. Tales, Anaximandro, Anaxímenes y Heráclito.
Tradición pluralista: Aceptada la tesis eleática de la inmutabilidad del ser;
trata de "salvar las apariencias". Empédocles, Anaxágoras, atomismo
(Leucipo y Demócrito).
Tradición itálica: Los componentes materiales del mundo están en un flujo
constante de decadencia y renovación. Pitágoras y el pitagorismo,
Parménides y la escuela eleática.
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Escuelas Presocráticas
1.3.1 La tradición jonia
Características y modelo de explicación racional
Las características fundamentales de la tradición jonia han sido descritas por Aristóteles:
"La mayor parte de los primeros que filosofaron, no consideraron los principios
de todas las cosas, sino desde el punto de vista de la materia. Aquello de
donde salen todos los seres, de donde proviene todo lo que se produce, y a
donde va a parar toda destrucción, persistiendo la sustancia misma bajo sus
diversas modificaciones, he aquí el principio de los seres. Y así creen, que
nada nace ni perece verdaderamente, puesto que esta naturaleza primera
subsiste siempre;... Porque es indispensable que haya una naturaleza primera,
sea única, sea múltiple, la cual subsistiendo siempre produzca todas las
demás cosas. Por lo que hace al número y al carácter propio de los elementos,
estos filósofos no están de acuerdo."
1.3.2 La tradición pluralista
Los sistemas filosóficos de la tradición pluralista del siglo -V se mueven dentro
del clima intelectual dominado por las especulaciones eleáticas, aunque sin
reducirse a nuevas variantes de eleatismo. Asumida la vía de la verdad (la
persistencia del ser es el supuesto sobre el que se desarrollaran estas teorías),
los sistemas de Empédocles, de Anaxágoras y del atomismo pretenden “salvar
las apariencias”, es decir, dar una explicación racional del hecho empírico del
cambio.
1.3.3 La tradición itálica
La tradición itálica, que abarca un período de unos 150 años (siglo -V y
primera mitad del siglo -IV), es más especulativa que la jonia. Se ocupa de la
phýsis desde una perspectiva más formal (pitagorismo) u ontológica
(eleatismo). Atribuyeron un orden racional más riguroso al universo. Desde
entonces, la filosofía debe realizar una doble tarea. Por una lado, establecer
los principios formales captados por el puro pensamiento; por otra, interpretar
“lo que aparece” de acuerdo con las exigencias impuestas por los principios
establecidos.
Con la tradición itálica y con Anaximandro y Heráclito se consolida una
filosofía que afirma la existencia de un orden estable oculto por las vicisitudes
azarosas y trágicas que dominan la vida cotidiana. La filosofía se constituye
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así en el testimonio de una sociedad que, mientras se precipita en un caos de
guerras y revoluciones, confía en una armonía oculta que se impondrá como
guerras de un orden quebrantado.
2. PITÁGORAS DE SAMOS
Encontrar datos exactos sobre la vida
de Pitágoras no es posible, lo que
sabemos de él nos llega por vía de
terceros. Pitágoras no dejó ningún
registro escrito, ya que pre- fería la
transmisión oral de sus enseñanzas
(Kingsley, 1995; Luz, 1999; Huffman,
2006), preferencia generalizada en
Grecia antigua hasta los tiempos de
Platón (Kingsley, 1995). El hecho que
durante siglos los discípulos de
Pitágoras le atribuyeran todo nuevo
descubrimiento que hicieran
afirmando “él mismo lo dijo” dificulta
entender los alcances de su obra (Luz,
1999).
La figura de Pitágoras llegó a ser tan
importante que alrededor suyo se tejieron leyendas. En siglos posteriores
algunos filósofos le atribuyeron ideas y descubrimientos que eran de otros,
esto ha llevado a algunos a cuestionar los alcances de la obra de Pitágoras
(Huffman, 2006; Burnyeat, 2007; Aleff, 2008).
Afortunadamente, existen varios fragmentos escritos por contemporáneos de
Pitágoras
que han llegado hasta nuestro tiempo. Tenemos referencias de su erudición,
su sabiduría, su trabajo y sus creencias, que nos han llegado por medio de
Heráclito y Xenófanes, también referencias de su trabajo y enseñanzas
escritas poco después de su muerte (Luz, 1999); de hecho “los testimonios
prearistotélicos sobre Pitágoras son más extensos que aquellos que hay para
la mayoría de los filósofos griegos, lo que es testimonio de su fama” (Huffman,
2006; traducción del autor).
La evidencia indica que Pitágoras realmente propuso que la esencia de todas
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las cosas era el número, estudió las relaciones numéricas de la armonía
musical y las relacionó con la armonía del Cosmos (Huffman, 2006). El estudio
de los fragmentos escritos por contemporáneos de Pitágoras y los relatos
escritos en los siglos posteriores a su muerte nos permiten reconstruir
parcialmente su biografía.
2.1 Biografía
Pitágoras nació hacia el año 569 a.C. en
la isla de Samos, su madre era una
mujer local y su padre un mercader
fenicio (O’ Connor y Robertson, 2005).
Samos era conocida por su arquitectura
la cual estaba basada en principios
matemáticos, por lo que es lícito pensar
que el interés de Pitágoras por los
números comenzó ahí (Luz, 1999).
Estudió con los sabios más ilustres de
su época, como Tales y Anaximandro de Mileto (Luz, 1999; Smith, 2008) y
Ferekides de Siros (O’ Connor y Robertson, 2005; de Guzmán,2000).
Thales lo animó a viajar a Egipto, donde estudió geometría. Es probable que
fuera ahí donde conoció los principios del teorema que luego llevaría su
nombre. Los relatos contemporáneos a Pitágoras confirman su viaje a Egipto,
también a Fenicia y Babilonia, donde éstos principios también eran conocidos
(Luz, 1999; de Guzmán, 2000; O’ Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006).
Cuando Pitágoras regresó a Samos fundó la primera escuela pitagórica, pero
abandonó definitivamente la isla hacia el 535 a.C, debido al rechazo a sus
enseñanzas por parte de los ciudadanos de la isla. Inicialmente se estableció
en la colonia griega de Taranto en Apulia, luego se trasladó a Metaponto, en la
costa de Basilicata y finalmente a Crotona, en Calabria. En cada una de estas
ciudades Pitágoras fundó escuelas donde se difundieron sus enseñanzas y su
religión; la más importante de ellas sería la escuela de Crotona (Luz, 1999; O’
Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006).
La escuela pitagórica de Crotona llegó a controlar la ciudad y al poco tiempo
los pitagóricos dominaron el sur de Italia (Burnyeat, 2007). Tras varios
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ataques por parte de sus opositores políticos la escuela de Crotona fue
destruida. Pitágoras se vio forzado a huir y se refugió, inicialmente en Taranto
y luego en Metaponto, hacia el año 510 a.C. Vivió y trabajó sus ultimos años
en Metaponto, donde murió hacia el año 480 a.C. a una edad cercana a los 100
años (O’Connor y Robertson, 2005; Huffman, 2006). Durante los siglos que
siguieron a la muerte de Pitágoras las escuelas pitagóricas continuaron su
trabajo y tuvieron una gran influencia en la filosofía y las matemáticas griegas.
zTestimonio de esto es que Platón (423 a.C.- 347 d.C.) convierte a Pitágoras en
un personaje de sus diálogos y reconoce la influencia de algunos elementos de
la filosofía pitagórica en su propia obra (Kingsley,1995; Luz, 1999; Huffman,
2006).
3. LA AUTENTICIDAD DE SU OBRA
A partir de la revisión de la obra de Pitágoras comenzada por Burkett en 1972
con la publicación de su libro Lore and Science in Ancient Pythagoreanism
algunos historiadores modernos aseguran que debido a las coincidencias entre
el pensamiento de Platón y el de los pitagóricos, algunos miembros de la
Academia decidieron atribuirle a Pitágoras un pensamiento platónico
plenamente desarrollado en un intento deliberado por darle más prestigio a las
ideas de Platón al asociarlas con quien era ya un sabio legendario.
Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) explica las
diferencias que él identifica entre el
pensamiento de su maestro y el de los
pitagóricos de su época, explicando en que era
novedoso el pensamiento de Platón, alejándose
de los filósofos de la Academia. Teofrasto (371
a.C. – 287 a.C.), el sucesor de Aristóteles, se
acercaría a los miembros de la Academia
explicando qué considera influencia de
Pitágoras sobre Platón.
Los escritos de Teofrasto han sido la fuente
principal para entender a los filósofos presocráticos, especialmente a
Pitágoras, lo que llevaría a que algunos historiadores modernos llegaran a la
conclusión que los discípulos de Platón le atribuyeron a Pitágoras ideas que no
eran suyas (Huffman, 2006; Burnyeat, 2007).
Ancient, Philosophy, Mystery and Magic; Empedocles and the Pythagorean
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Tradition, publicado en 1995, en el cual analiza varios de los diálogos de Platón
a la luz de libros escritos por pitagóricos italianos anteriores a Platón y
demuestra que el pensamiento pi- tagórico tuvo gran influencia en el
desarrollo de las ideas de Platón, tanto por la difusión de esos textos en la
época de Platón, como por las indicaciones que el mismo Platón dejó en varios
de sus textos respecto a su deuda personal con varios pitagóricos italianos que
fueron instrumentales en sus estudios.
En su análisis de los textos de Platón, su relación con otras obras de la época,
y el estudio de comentarios antiguos sobre esos textos, Kingsley (1995) llega a
la conclusión, con argumentos convincentes y sustentados, que el fenómeno
fue exactamente el contrario: no es que los filósofos de la Academia le
atribuyeran a Pitágoras un pensamiento platónico plenamente desarrollado, es
que en Platón podemos encontrar una versión degradada del pensamiento
pitagórico al cual regresarían los discípulos de Platón.
4. ESCUELA PITAGÓRICA
La influencia de este gran maestro fue tan notable, que los más interesados de
sus discípulos se constituyeron gradualmente en una sociedad o hermandad.
Se los conoció como la Escuela Pitagórica. La comunidad pitagórica fue una
hermandad religiosa dedicada a la práctica del ascetismo y al estudio de las
matemáticas. Los miembros de esta fraternidad se comprometían, con un
solemne juramento, a mantener en secreto las enseñanzas de la Escuela.
Éstos debían hacer examen de conciencia diariamente. Creían en la
inmortalidad del alma y en su transmigración, con el resultado de que no
debería ser sacrificado ningún animal ante el temor de que pudiera ser la
nueva morada del alma de un amigo muerto. Así, a sus miembros se les
imponía un severo régimen vegetariano.
La particularidad del sistema pitagórico fue encontrar en las matemáticas una
clave para resolver el enigma del Universo y un instrumento para la
purificación del alma. Aristóteles sintetizó la labor de los pitagóricos con las
siguientes palabras: "los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas,
ciencia que perfeccionaron y, compenetrados con ésta, imaginaron que los
principios de las matemáticas eran los principios de todas las cosas." Todos los
descubrimientos que la Escuela realizaba eran atribuidos al mismo Pitágoras,
por lo que resulta casi imposible diferenciar lo producido por él y lo elaborado
por sus alumnos.
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Los pitagóricos fueron los primeros en establecer la demostración en la
matemática, mediante el razonamiento deductivo. A ellos se les debe, incluso,
la misma palabra Matemática que, según la acepción más difundida, significa
"ciencia por excelencia"; matemáticos eran los miembros científicos de la
secta. Se clasificó a la Matemática, además, en cuatro ramas: aritmética,
geometría, música y astronomía, clasificación que se mantuvo durante más de
dos milenios en lo que constituyó el famoso Quadrivium de las ciencias. A
causa del poder político que adquirió, contraria a las ideas democráticas de la
época, la Escuela Pitagórica fue objeto de sospechas por todos los que no
formaban parte de ella.
En el año 501 a.C. se produce una revuelta popular e incendian la casa de
Milo, que por aquel entonces ocupaba la hermandad. Perece allí, un gran
número de sus miembros más notables. Pitágoras hubo de refugiarse en
Tarento y después en Metaponto, donde un año después fue asesinado en otra
conmoción popular. A pesar de la muerte de Pitágoras y de la destrucción de
su Escuela en Crotona, sus discípulos se reorganizaron en Tarento, formando
una nueva escuela que continuó durante 100 años.
4.1 El "Número" Según Pitágoras
Los pitagóricos le adjudicaron especial importancia al número. Esto se refleja
en las siguientes palabras de Filolao: "y en verdad, todas las cosas que se
conocen poseen número, pues ninguna cosa podría ser percibida ni conocida
sin éste." El mismo Pitágoras declaraba: "Dios es, en efecto, número.", y por
número se refería al número natural común.
Pero para los pitagóricos, no sólo todas las cosas poseen número, sino que los
números son concebidos como cosas; las expresiones: "números cuadrados" o
"números triangulares", no son metáforas; esos números son, efectivamente,
ante los ojos y ante el espíritu, cuadrados y triángulos.
El número es definido, desde el punto de vista geométrico, como una suma de
puntos representados en el espacio, y las figuras (líneas, superficies o
volúmenes), que están constituidas por esos puntos materiales llamados
mónadas, también representan números. De esta manera, identificaron al
número uno con el punto, al dos con la línea, al tres con la superficie, y al
cuatro con el volumen, de acuerdo con el número mínimo de puntos
necesarios para definir cada una de esas dimensiones.
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La palabra número se usaba sólo para los enteros positivos. A las fracciones se
las consideraba como una razón o relación entre dos números enteros. Tal
como lo expresaba Euclides (Elementos Libro III): "Una razón es una cierta
relación con respecto al tamaño de dos magnitudes del mismo tipo."
No cabe duda que la más famosa realización de los pitagóricos la constituye el
llamado Teorema de Pitágoras, sin el cual no es posible concebir la
Matemática en el sentido más amplio de la palabra. El enunciado del Teorema
es conocido por todos: "en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."
Los egipcios ya conocían esta relación en los triángulos de 3, 4 y 5 unidades de
longitud. Pitágoras el primero que enunció y demostró el Teorema para todos
los triángulos rectángulos. De acuerdo con un relato, cuando Pitágoras
descubrió este admirable resultado, en su alborozo, sacrificó un buey, aunque
esto es bastante improbable dadas sus estrictas reglas vegetarianas. Los
pitagóricos encontraron la formación de ciertas ternas de números que
cumplen el teorema: con m entero impar.Pitágoras aprendió en Babilonia tres
medias: la aritmética, la geométrica y la armónica.
4.2 La "música" pitagórica
La contribución de los pitagóricos a la música es sumamente interesante.
Demostraron que los intervalos entre notas musicales pueden ser
representados mediante razones de números enteros, utilizando una especie
de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio. Éste poseía un puente
móvil que al desplazarse producía, en ciertas posiciones, notas que,
comparadas con la emitida por la cuerda entera, resultaban más armoniosas
que otras.
4.3 La cosmología
La cosmología de los pitagóricos es muy curiosa e importante. Describía el
Universo en términos numéricos. Así, "las matemáticas −según explica
Farrington− contribuían a mantener el alma de los adeptos libre de contactos
con lo terreno y material, y se adaptaban al temperamento cambiante de un
pueblo en el que el desprecio por el trabajo manual se hermanaba con el
incremento de la esclavitud." Los pitagóricos definieron, aunque no probaron,
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que los cuerpos celestes eran esferas perfectas, que describían órbitas
perfectamente circulares, teniendo aquí la palabra perfecto, significación
moral y matemática. Según Aristóteles, los pitagóricos creían que todo el cielo
era una escala musical y un número, y que los movimientos de los cuerpos
celestes originaban sonidos acordes, aunque inaudibles; la razón por la cual no
los oímos, de acuerdo con una versión, reside en que estamos habituados a
ellos desde nuestro nacimiento.
Según Filolao, el centro del Universo es una masa invisible de fuego y la Tierra
gira en torno a él, así como los demás cuerpos celestes, el Sol y la Luna. Pero
introduce un segundo cuerpo invisible, la Anti−Tierra, que gira alrededor del
fuego central, interior y opuesto a la Tierra. Observando desde el centro hacia
el exterior se tendría: el fuego central, luego la Anti−Tierra, a continuación la
Tierra y exteriormente a ésta, la Luna, el Sol y los planetas. De acuerdo con
Aristóteles la Anti−Tierra es un artilugio que los pitagóricos utilizaron para
hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos matemáticos y
opiniones.
Como sostenían que el número diez era sagrado y los cuerpos que se mueven
en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas fijas, considerada como uno;
dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres planetas superiores: Marte,
Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para satisfacer esa condición,
inventaron un décimo, la Anti−Tierra.
La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos
es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se
consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más
importante del Universo.
De acuerdo con Aristóteles la Anti−Tierra es un artilugio que los pitagóricos
utilizaron para hacer coincidir sus teorías con sus propios argumentos
matemáticos y opiniones. Como sostenían que el número diez era sagrado y
los cuerpos que se mueven en los cielos son nueve (la esfera de las estrellas
fijas, considerada como uno; dos planetas inferiores: Mercurio y Venus; tres
planetas superiores: Marte, Júpiter, Saturno; el Sol, la Luna y la Tierra), para
satisfacer esa condición, inventaron un décimo, la Anti−Tierra.
La característica más interesante de esta visión cosmológica de los pitagóricos
es que retira a la Tierra del centro del Universo. Según Aristóteles, no se
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consideró a la Tierra lo suficientemente noble para ocupar la posición más
importante del Universo.
4.4 Misticismo numérico
Los pitagóricos dieron a ciertos números significados que podrían parecer,
quizás, caprichosos. Al número uno se lo identificó con la razón y se lo
consideraba como el origen de todos los números. El dos con la opinión, y es el
primer número par o hembra.
El tres es el primer número macho o el número de la armonía. El cuatro con la
justicia, inmutable y equitativo. El cinco sugería el matrimonio, la unión del
primer número par con el primer número impar auténtico. El seis es el número
de la creación. A la diosa virgen Atenea se le atribuyó el número siete, porque
el siete es el único de la década que no tiene ni factores ni productos.
El número diez, tetractys sagrado, fue un símbolo muy venerado por la
hermandad. La virtud de este número reside en que, estando constituido por la
suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4, encierra la naturaleza de las
diversas especies de números: la de los pares, de los cuales el primero es el
dos; la de los impares, de los cuales el primero es el tres; la del par−impar,
que es aquí la unidad; la de los cuadrados perfectos, de los cuales el primero
es el cuatro. En boca de Filolao, el número diez "es la norma del Universo, la
potencia ordenadora de los hombres y de los dioses."
4.5 Descubrimiento de los irracionales
Los pitagóricos se esforzaron por alcanzar la armonía en el reino de los
números y de este modo lograr abarcar con la mirada todo el Universo,
captándolo mediante números enteros. Así podían sentir que se hallaban en
los umbrales del misterio de la existencia. Pero una potencia infernal destrozó
este sueño implacablemente, a la vez que engendró los más altos hallazgos y
de más vasto alcance: el descubrimiento de los números irracionales.
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El concepto que tenían los helenos de este descubrimiento es ilustrado en el
libro décimo de los Elementos de Euclides: "Se dice que el hombre que por
primera vez llevó a la luz, desde la oscuridad, el estudio de los números
irracionales, pereció en un naufragio. Y esto ocurrió porque lo inexpresable y
lo inimaginable debió haber quedado en el misterio. Por esta razón, también
aquellos que divulgaron y tocaron esta imagen de lo viviente fueron
instantáneamente destruidos y relegados al mismo lugar del surgimiento,
donde permanecen apresados para siempre por las olas eternas."
El problema radicó en el hallazgo de magnitudes que no podían ser
expresadas en términos de otras, a las que llamaron inconmensurables, es
decir, imposibles de medir. Este descubrimiento de las magnitudes
inconmensurables, que hoy en día representan los irracionales, tuvo trágico
lugar en el triángulo rectángulo isósceles. Por ejemplo, en el de catetos
iguales a 1, el cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 2, ya que y el valor,
entonces de dicha hipotenusa es igual, en el modo actual de escritura a.
Pero, por más que se busque todo lo que se quiera, no existe número entero
ni fraccionario que multiplicado por sí mismo, reproduzca exactamente el
número 2. El número es inexpresable. Sin embargo, la hipotenusa de un
triángulo rectángulo isósceles, es decir, la diagonal de un cuadrado, se
presenta de un modo tan neto, tan determinado y tan evidente, que no es
posible distinguirla de ningún otro segmento de recta. Sin embargo,
actualmente se sugiere que los pitagóricos llegaron a la noción de
inconmensurabilidad a través de la figura del pentágono regular, ante la
imposibilidad de medir su diagonal con el lado. También se encontraron
magnitudes inconmensurables en las secciones áureas. Esto es, cuando una
línea x es dividida en dos partes p y q, tal que la razón de x a la parte p, es
igual a la razón de p a la otra parte q. Si lo expresamos en la notación
simbólica: La presencia de indica la irracionalidad.
4.6 Cuerpos cósmicos
Del estudio de los polígonos se llegó al estudio de los cuerpos o poliedros. En
la Geometría del espacio sólo existen cinco poliedros regulares. Los tres más
simples: el cubo, el tetraedro y el octaedro, ya eran conocidos en el antiguo
Egipto. Los pitagóricos descubrieron los otros dos: el dodecaedro, compuesto
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por doce pentágonos regulares; y el icosaedro, limitado por veinte triángulos
equiláteros.
Parece ser que Hipaso fue el primero que logró inscribir un dodecaedro
regular en la esfera. Se cuenta que, en contra de la acostumbrada reserva de
los pitagóricos, hizo público este descubrimiento y pereció en el mar a causa
de este sacrilegio.
Se designaron a estos poliedros como cuerpos cósmicos. Esta denominación
se halla probablemente relacionada con la representación post−pitagórica y
atomística de la estructura del Universo. Según esta escuela, los elementos
estarían formados por pequeñas partículas, las cuales, en el caso del fuego,
tienen la forma de tetraedro; en el aire, octaedro; en el agua, icosaedro; y en
la Tierra, cubo.
Como la forma del dodecaedro no figura entre las partículas constitutivas de
los elementos, se afirmaba que dicha forma servía de plan de construcción del
Universo, y hacía las veces de contorno del mismo.La doctrina pitagórica no
sólo sucumbió frente a sus propias contradicciones internas, sino también
ante las críticas que le dirigieran las doctrinas de la Escuela de Elea, cuyo
fundador fuera Parménides.
Entre sus discípulos se encontraba Zenón de Elea, uno de los mayores críticos
de las concepciones pitagóricas. Sus paradojas (Aquiles y la tortuga, la flecha
en el aire, etc.) demuestran los absurdos implicados en la concepción de los
cuerpos como suma de puntos, o del tiempo como suma de instantes, o del
movimiento como suma de tránsitos de un punto a otro.
Sin embargo, a pesar de que sus descubrimientos matemáticos les sirvieron
como confirmación de sus creencias sobrenaturales, dichos descubrimientos
constituyen justamente el aporte más valioso de sus pensamientos.
"Un conocimiento profundo de las cosas no lo obtendremos ni ahora ni nunca,
en tanto que no las contemplemos en su crecer desde el principio."
5. TEOREMA DE PITAGORAS
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Sobre el triángulo rectángulo, el cual, era ya conocido de los babilonios y de
los hindúes. Los pitagóricos consideraban que las formas matemáticas más
perfectas son: entre las superficies, el círculo, y entre los cuerpos, la esfera.
Así, llegaron a la idea de que los cuerpos celestes son esféricos, tanto la Tierra,
como los astros, y a la idea de que los planetas se mueven en órbitas
circulares; de este modo, crearon los fundamentos de la astrología, aunque
sería desarrollada por las generaciones pitagóricas siguientes. Todo ello les
movió a ver en el mundo un cosmos, un orden normativo fundado en números
y la medida.
huyó de esta en ropa interior, de noche, pero el destino le jugó una muy mala
pasada, puesto que guió a sus pasos hacia un campo de habas, que con el
odio que él les tenía, se negó a agacharse en él para esconderse, con lo que
fué alcanzado y muerto.Ya contaba con hermosos ochenta años cuando la
muerte le llegó, pero lo que nadie sabía era que sus conocimientos y creencias
ya estaban puestas a salvo en las manos de su hija Damona, quien era la más
fiel de sus seguidores, para que ella misma las divulgase por todo el mundo.
6. LA COMUNIDAD PITAGÓRICA.
6.1Generaciones de matemáticos.
Los ciudadanos de Crotona propusieron, al parecer, a Pitágoras que continuase
su labor de formación moral e intelectual de jóvenes y adultos. Los esfuerzos
de Pitágoras se debieron de centrar, en lo que concierne a la formación
personal completa, en los jóvenes a quienes encontró más flexibles y con más
capacidad de absorber el espíritu pitagórico plenamente.
Puesto que su sistema de pensamiento estaba basado en el descubrimiento y
contemplación de la armonía del cosmos y a ello se habría de llegar muy
fundamentalmente a través de la introducción en consideraciones científicas,
muy difíciles para los más adultos, ocupados en los asuntos de la ciudad,
estableció de modo natural dos formas distintas de enseñanza. Así es como
explica Iámblico (Vita Pyth. 88) la existencia en la primitiva comunidad
pitagórica de dos clases de miembros, los matemáticos (mathematikoi,
conocedores) es decir los iniciados a quienes Pitágoras comunicaba los
conocimientos científicos a su disposición y los acusmáticos (akousmatikoi,
oidores) que participaban de los conocimientos y creencias, de los principios
morales, ritos y prescripciones específicas de la hermandad, si bien sin
conocer en profundidad las razones de su credo y su proceder.
Esta distinción resultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la
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Asignatura: Filosofía
comunidad pitagórica. Los acusmáticos se constituyeron en custodios de las
enseñanzas de Pitágoras y su preocupación fue que éstas se conservaran tal
como Pitágoras las había transmitido. Los matemáticos se consideraban
continuadores más bien del espíritu de Pitágoras, basado en el conocimiento
científico, y puesto que es connatural a éste su propia evolución era claro para
ellos que el conjunto de conocimientos de Pitágoras era susceptible de
perfeccionamiento. Era natural que esta diversidad de pareceres había de
conducir a la división de la comunidad con la desaparición de Pitágoras y así
sucedió en efecto.
La distinción entre matemáticos y acusmáticos es transmitida por múltiples
canales. Iámblico es quien narra más por extenso la división entre ellos y su
narración parece haber sido tomada de la obra perdida de Aristóteles sobre los
pitagóricos. Al parecer fue Hipaso el principal representante de los
matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los
conocimientos matemáticos.
A principios del siglo V (500−480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya
que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la
esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual
murió en un naufragio.
El "secreto de la esfera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción
relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban
mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar
Iámblico mismo (Vita Pyth. 246−247) cuenta que aquél que reveló "la
naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos
de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad.
Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto.
Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera
vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de
un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa
a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así
que todos proceden de El", es decir de Pitágoras.
Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que
efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes
inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la
otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos
primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las
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Asignatura: Filosofía
proporciones entre ellos.
La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según
la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos
anónimos entre 480−430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos
pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a
Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.
¿Cómo pudo tener lugar el descubrimiento de Hipaso de los
inconmensurables?. En 1954 Kurt von Fritz publicó un artículo importante, The
Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of
Mathematics 46 (1954), 242−264. De acuerdo con sus investigaciones se
puede pensar que fue más o menos como sigue. Los pitagóricos primitivos
estaban profundamente familiarizados con el pentágono regular. Según parece
el emblema que les servía para reconocimiento mutuo era el pentagrama, es
decir la estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono
regular.
En sus cinco vértices solían colocar las letras de la palabra ugieia, salud. Las
razones de la especial veneración de los pitagóricos por esta figura no nos es
bien conocida, pero uno se inclina a pensar que en ella, al igual que en la
tetraktis, que luego examinaremos más a fondo, encontraban armonías
geométricas y numéricas extraordinariamente llamativas.
Es fácil ver que todos los ángulos que aparecen en la figura son múltiplos
enteros del más pequeño de entre ellos (72º=2x36º, 108º=3x36º,
144º=4x36º, 180º=5x36º). Parece natural que los pitagóricos se preguntaran
sobre la proporción en que se encuentran también los segmentos que
aparecen en esta figura.
No es difícil ver, siempre con los elementos que los pitagóricos del tiempo de
Hipaso tenían a su disposición, que cada segmento de los dibujados está con
el que es inmediatamente mayor exactamente en la misma proporción, que es
precisamente la proporción los pitagóricos tenían ya, como veremos más tarde
en detalle, el proceso denominado antanairesis, o cancelación de uno y otro
lado, que se corresponde geométricamente con el llamado algoritmo de
Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números.
Suppongamos que los segmento señalados en la figura por AD y EG son
conmensurables es decir que existe un segmento u tal que AD mide mu y EG
mide nu. Tratamos de determinar la fracción m/n. Podemos suponer que m/n
está en forma irreducible, es decir, suponemos que no existen números
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Asignatura: Filosofía
naturales, m* menor que m, y n* menor que n, tales que m/n=m*/n*. De la
figura misma es sencillo deducir que GI mide (m−n)u y que GF mide (2n−m)u.
Por otra parte es claro que AD y GI son diagonales de pentágonos regulares de
lados EA= EG y GF respectivamente.
Por tanto AD/EG=GI/GF, es decir m/n=(m−n)/(2n−m). LLamando m*= m−n,
n*=2n−m, hemos obtenido una contradicción con nuestra hipótesis de que
m/n era fracción irreducible.
Así nuestro punto de partida de que AD y EG son conmensurables es falso. Así
como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden
distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se
dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con
cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el
pitagorismo entre los años 530−360.
1ª Generación (530−500): Pitágoras.
2ª Generación (520−480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.
3ª Generación (480−430): Matemáticos anónimos.
4ª Generación (440−400): Filolao, Teodoro.
5ª Generación (400−360): Arquitas de Tarento.
Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un
grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De
ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en
su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada.
7. ALGUNOS FRAGMENTOS DE LA ENSEÑANZA PITAGÓRICA.
7.1 Armonía del cosmos
Pocos filósofos y muchos menos han sido los científicos que hayan sabido
encarnar sus enseñanzas con elementos sensibles con tanto acierto como
Pitágoras. La famosa armonía de las esferas de la enseñanza pitagórica
primitiva era mucho más profunda que la mera conjetura de la consonancia de
las notas que los astros producen en su movimiento.
Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un
cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del
hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos,
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Asignatura: Filosofía
descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su
entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con
el orden natural de las cosas. La armonía cósmica entendida en este sentido
fue probablemente una audaz conclusión de madurez a la que Pitágoras llegó
a través de la observación de la congruencia de sus consideraciones científicas
sobre números, figuras, notas musicales, con las ideas orientales sobre el
alma, los astros y la divinidad.
7.2 El juramento pitagórico
Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil
interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la
quinta esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así: "No,
por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Tetraktis, una fuente que
contiene las raíces de la naturaleza eterna".
Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la
enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente.
"Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos
no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste probablemente en los
números 1,2,3,4, que conjuntamente solían representar los pitagóricos en esta
forma figurativa
x
x x
x x x
x x x x
7.3 Vida religiosa
Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras
abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas
de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el
espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo
místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales
nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina
exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea
de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser
de gran eficacia...
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Asignatura: Filosofía
Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más
adelante. El "No" rotundo del juramento aparece convertido en sí en los Versos
Áureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita probablemente en
el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la vista fuentes mucho
más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica a todos los
hombres. He aquí algunas de sus consideraciones con más probabilidad de
pertenecer al pitagorismo primitivo.
1. " Honra ante todo a los dioses inmortales, como manda la ley,
2. y observa el juramento. Honra también a los nobles héroes
7.4 Inmortalidad del alma
Porfirio, en su biografía de Pitágoras (Vita Pyth. 19) transmite un testimonio de
Dicaiarcos un alumno de Aristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras en
estos cuatro puntos:
(1) Que el alma es inmortal.
(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada
realmente nuevo.
Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la
mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de
oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C.
La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las
escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento de un alma inmortal es
totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió
radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud
de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India ñyñ de Egipto, se
asentaron en el mundo griego.
De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo
IV a. de C. El orfismo tenía a Diónisos como dios y a Orfeo como su sacerdote,
reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. El espíritu
humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este,
encadenado al cuerpo por la sensualidad.
Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de
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Asignatura: Filosofía
lo terreno. Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros,
posiblemente de origen persa, como el del eterno retorno que aparece
mencionado en el punto 3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la
constitución del cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la
contemplación, dando primacía al elemento racional y matemático sobre el
poético de aquellas cosmmogonías primitivas, para producir una síntesis que
resultó profundamente atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los
muchos movimientos de inspiración pitagórica durante más de diez siglos.
Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como tal
era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura,
concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la
liberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo que importaba era la
elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte.
8. PENSAMIENTO ETERNO DE LOS PITAGÓRICOS
8.1 Del helenismo hasta la actualidad
Según aparece en diversas fuentes, aunque los pitagóricos de Crotona del tiempo
de Pitágoras no constituyeron propiamente un grupo político, sin embargo llegaron
a adquirir una gran influencia y poder en las decisiones de la ciudad. Poco después
de que los crotoniatas destruyeran la ciudad de Síbaris, su rival, en el año 510, se
despertó en Crotona un movimiento antipitagórico de oscuro origen. En el año 509
Pitágoras tuvo que exiliarse en Metaponto, donde murió el año 500.
La comunidad pitagórica se rehízo de nuevo más tarde en Crotona, perdurando allí
hasta 450.
Al parecer la concepción política derivada del
pitagorismo era más bien de tipo aristocrático,
lo que no casaba con los aires democráticos
que en el siglo V se respiraban en toda Grecia
con el comienzo de la era de Pericles. En 450
la casa de los pitagóricos de Crotona fue
incendiada y casi todos los pitagóricos fueron
muertos. Asímismo hubo persecuciones de
pitagóricos en otras ciudades de Italia. Muchos
emigraron a Grecia, como Filolao, que se
trasladó a Tebas. De toda Italia, tan sólo en Tarento sobrevivió una floreciente
comunidad pitagórica presidida por Arquitas.
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En el siglo IV hubo diversos grupos de pitagóricos: los discípulos de Filolao en Flius;
el grupo de Arquitas en Tarento; los llamados "pitagoristas", que entre 380 y 320
vivieron en Atenas y de los que hacen mofa varias de las comedias del tiempo.