2. elektrokinetika (stalne struje) · i ! 0 , stvarni smer struje poklapa se sa usvojenim...
TRANSCRIPT
2. ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)
2.1. POLJA STALNIH STRUJA 2.1.1. ELEKTRIČNA STRUJA
PROVODNIK BEZ PRISUSTVA ELEKTRIČNOG POLJA
- Postoji haotično termičko kretanje slobodnih nosioca naelektrisanja
- Za mali element zapremine dV važi:
srednja makroskopska brzina jednaka je nuli
0srv
- Ne postoji usmereno kretanje (strujanje) naelektrisanja duž provodnika.
Q
PROVODNIK U STRANOM ELEKTRIČNOM POLJU E
- Posmatramo pozitivne nosioce naelektrisanja
(+Q) u stranom električnom polju E
- Kretanje naelektrisanja je složeno:
kretanje pod dejstvom polja E , termičko kretanje.
- Rezultat složenog kretanja naelektrisanja: srednja brzina kretanja naelektrisanja u maloj zapremini dV je različita od nule ( 0v )
- Naelektrisanja se u proseku kreću u pravcu i
smeru vektora E srednjom vrzinom v .
- Ovakvo organizovano kretanje naelektrisanja naziva se električna struja.
- Oznake: N - zapreminska gustina nosioca naelektrisanja Q - količina naelektrisanja jednog nosioca
v - srednja brzina kretanja naelektrisanja u zapremini dV
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+
+ + +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
2.1.2. VEKTOR GUSTINE STRUJE (J ) I STRUJNO POLJE
Vektor gustine struje J Vektorska veličina koja opisuje prosečno kretanje nosioca naelektrisanja u zapremini dV :
3 1 1 2 2/J NQv Cm ms Cs m A m
- Pravac i smer J poklapa se sa v .
Strujno polje - prostor u kome se kreću naelektrisanja pod dejstvom električnog polja.
- Strujno polje se prikazuje linijama strujnog polja (strujnice).
- Smer vektora J određuje tzv. tehnički smer struje.
- Homogeno strujno polje : J const .
nehomogeno
strujno polje
homogeno
strujno polje
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+
+ + +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
2.1.3. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST PROVODNIKA. OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
Pretpostavke:
- polje E nije suviše jako - rastojanje između sudara je malo
Posledica: Postoji linearna veza između J i E
J E
- specifična električna provodnost materijala pri proticanju struje /S m
ne zavisi od polja E .
E J , 1/ - specifična električna otpornost materijala m
OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
J E i E J - Omov zakon u lokalnom obliku
+
+
+
+ +
+ + +
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
SAVRŠENI PROVODNIK I IZOLATOR. REALNI PROVODNIK
Savršeni provodnik:
0 , , 0J 0 0E J J
U savršenom provodniku sa strujom jačina električnog polja je nula.
Savršeni izolator:
, 0 , 0E 0 0J E E
U savršenom izolatoru gustina struje je nula.
Realni provodnik:
, 0J , 0E
U realnom provodniku sa strujom postoji električno polje i gustina struje.
2.1.4. JAČINA STRUJE
Jačina struje I kroz površ S predstavlja brzinu proticanja naelektrisanja kroz tu površ:
/SI dq dt A
I se može iskazati i preko gustine struje J kroz površ S
S
I JdS , dS dS n , S
I J n dS
- Jačina struje je skalarna veličina koja se definiše u odnosi na izabranu površ (S ).
S
- Jačina struje je usmerena skalarna veličina koja ima svoju algebarsku vrednost tj. intenzitet i smer.
Algebarska vrednost struje I se računa u odnosu na usvojeni referentni smer.
Referentni smer I je smer usvojene normale n u odnosu na površ S .
Ako se promeni referentni smer struje (smer normale) algebarska vrednost I menja znak.
( )S S
I J n dS J n dS I
2.1.5. STACIONARNA (STALNA) STRUJNA POLJA
U slučaju stacionarnog strujanja nema nagomilavanja naelektrisanja u proizvoljno izabranu zatvorenu površ S , pa važi zakon kontinuiteta
0S
JdS
Iz prethodnog izraza sledi zakon stacionarnih strujanja:
Jačina struje jednog provodnika je ista kroz bilo koji poprečni presek tog provodnika:
1 2
1 2
S S
I JdS JdS I I
Za opisivanje stacionarnih strujnih polja poprečni presek nije od značaja.
LINIJSKE STRUJE; REFERENTNI SMER STRUJE
- U praksi, struje teku kroz provodnike u obliku žica koje aproksimiramo linijama.
- Pošto u provodnicima imamo stacionarno strujanje naelektrisanja, jačina struje je ista duž bilo kog poprečnog preseka provodnika.
- Struju duž te linije nazivamo linijska struja.
- Linijska struja je usmerena skalarna veličina definisana sa:
referentnim smerom i algebarskom vrednošću I u odnosu na referentni smer.
Referentni smer se označava strelicom pored linije provodnika.
Algebarska vrednosti struje pored intenziteta struje sadrži i znak:
ako je I 0, stvarni smer struje poklapa se sa usvojenim referentnim smerom,
ako je I 0, stvarni smer struje je suprotan od usvojenog referentnog smera.
Struje kod kojih se algebarska vrednost tokom vremena ne menja nazivamo stalne (jednosmerne) struje.
2.1.6. DŽULOVI GUBICI U STRUJNOM POLJU
Snaga Džulovih gubitaka u zapremini dV :
JdP JEdV
Zapreminska gustina snage Džulovih gubitaka:
JdPJE
dV
Ukupna snaga Džulovih gubitaka:
J
V
P EJdV +
+
+ +
+
+ + +
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
Slučaj: linearni provodnik
2 2
2 2JdP EJ E JE EE E J
dV
Slučaj: savršen linearni provodnik ( , J konačno)
2 2
0JdP J J
dV
, 0JdP
dV
Slučaj: savršen linearni izolator ( , E konačno)
2 2
0JdP E E
dV
, 0JdP
dV
2.1.7. GENERATORI ELEKTRIČNE STUJE
Posmatramo generator električne struje koga čine dve metalne elektrode sa provodnim slojem između njih.
U provodnom sloju između elektroda gener. vrši se razdvajanje naelektrisanja.
Za razdvajanje naelektrisanja ka polovima generatora koristi se neka od
neelektričnih (pobudnih, stranih) sila iF .
Vrste pobudnih (stranih) sila u generatorima:
- hemijske (baterije, akumulatori) , - mehaničke (elektrogeneratori), - svetlosne (svetlosni detektori i diode)
Pobudna sila razdvaja nosioce naelektrisanja ka polovima generatora.
Razdvojena naelektrisanja stvaraju sopstveno električno polje generatora gE
- gE deluje na naelektrisanja električnom silom
gF ,
- Električna sila gF deluje suprotno od neelektrične sile iF , težeći da
naelektrisanja vrati u prethodno stanje.
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
ELEKTRIČNO POLJE U GENERATORU
Efekat dejstva strane sile na naelektrisanja Q u generatoru može se formalno matematički opisati uvođenjem pobudnog električnog polja stranih sila:
/i iE F Q
U generatoru električne struje postoje dva električna polja:
- pobudno električno polje stranih sila iE ,
- sopstveno električno polje usled razdvajanja naelektrisanja gE .
Ukupna jačina električnog polja u generatoru
u g iE E E
Ukupna sila F koja deluje na jedan nosilac naelektrisanja Q u generatoru iznosi:
u g i g i g iF F F QE QE Q E E
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
GENERATOR U PRAZNOM HODU. ELEKTROMOTORNA SILA
Pretpostavke:
- Generator se nalazi u neprovodnoj sredini, 0 , pa nema kretanja
naelektrisanja van generatora ( 0sJ ).
- Specifična električna provodnost provodnog sloja generatora iznosi g .
Analiza:
- Polje u generatoru: u g iE E E
- Gustina električne struje:
g g g iJ E E
- Polje van generatora: sE
- Pod dejstvom pobudnog polja iE ,
naelektrisanja u generatoru se kreću ka njegovim polovima sve dok se ne uspostavi ravnotežno stanje.
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
Neprovodna sredina
Ravnotežno stanje generatora u praznom hodu (nema kretanja naelektrisanja u generatoru)
0g g g iJ E E g iE E
Napon praznog hoda generatora:
0
b b a
ab g i i
a a b
U E dl E dl E dl
Elektromotorna sila emsE jednaka je naponu
praznog hoda 0abU :
0
a
ems i ab
b
E E E dl U V
emsE (kraće E ) ima dimenziju napona, mada po prirodi ona nije napon.
emsE - opisuje efekat dejstva stranih sila na nosioce naelektrisanja u generatoru.
a
b
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
Ravnotežno stanje generatora
u praznom hodu
+
GENERATOR U NOMINALNOM REŽIMU
- Polovi generatora su povezani provodnom sredinom ( 0) .
- Naelektrisanja sa pola „+“ generatora prelaze u provodnu sredinu krećući se duž linija polja ka polu „-“ generatora.
- Strujno polje u generatoru:
( ) 0 0g g g i g iJ E E E E
i gE E
- Strujno polje u spoljašnjoj sredini
s sJ E
- Uspostavlja se usmereno kretanje naelektrisanja u smeru pobudnog
električnog polja iE kroz generator.
a
b
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
Provodna sredina
2.1.8. KOLA STALNIH (JEDNOSMERNIH) STRUJA
Najprostije električno kolo sastoji se iz: - Generatora - delovi kola u kojima se vrši razdvajanje naelektrisanja. - Otpornika - delovi kola sa dominantnim Džulovim gubicima ( 0). - Veznih provodnika - otpornici sa vrlo malim gubicima ( 0) .
Da bi važio zakon kontinuiteta, strujnice u elek. kolima moraju biti zatvorene.
Električna kola kod kojih se algebarska vrednost svih struja tokom vremena ne menja nazivamo električna kola stalnih (jednosmernih) struja.
a
b
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
strujnice
otpornik
Vezni provodnik
generator
OTPORNICI U KOLIMA STALNE STRUJE
Pretpostavke: - Posmatramo jedan komad provodnog materijala (otpornik) dužine l i
površine S specifične električne provodnosti .
- Neka je otpornik priključen na električno kolo stalne struje.
- Kroz otpornik teče stalna struja čija je gustina ravnomerno raspodeljen po preseku otpornika /abJ I S .
Analiza:
Električno polje: abIJE
S
Napon:
b b
abab ab ab
a a
I lU Edl dl I RI
S S
a
b
+ + + + + +
- - - - - - - -
ab abU RI napon otpornika
l l
RS S
otpornost otpor.
ab abI GU struja otpornika
1 S
G SR l
provodnost otpor.
Električna šema otpornika; označavanje napona i struja na otporniku
- Korišćenje indeksa
ab abU RI
ab abI GU
- Korišćenje referentnih smerova
U RI
I GU
referentni
smer za
referentni
smer za
Omov zakon za stalne struje
Jačina struje kroz provodnik je direktno proporcionalna naponu između njegovih
krajeva.
U
I GUR
Nagib linearne zavisnosti iznosi 1
tan GR
Snaga otpornika (Džulovi gubici) 2 2
2 2 2
2
2 22
2
0JJ
V
J
J
P I I lJ P Sl I RI
V S S S
U UP RI R
R R
UP RI RI UI
R
Usklađeni i neusklađeni referentni smerovi napona, struje i snage na
otporniku
I teče sa „+“ na „-“ U I teče sa „-“ na „+“ U
usklađeni neusklađeni
a
b
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
GENERATORI U KOLIMA STALNE STRUJE
Pretpostavke:
- Generator je homogen, ima dužinu l i površinu S - Specifična električna provodnost generatora iznosi g
Analiza:
Prazan hod generatora
Napon praznog hoda generatora (ems)
0ab emsU E E
Generator priključen na prijemnik
Struja generatora: gI J S
Napon generatora: ab gU U E R I
Unutrašnja otpornost generatora:
g
g
lR
S
a
b
- - - - - - - -
+ + + + + + + +
Električna šema generatora; označavanje napona i struja generatora
Korišćenje indeksa
ab ba g baU E R I
Korišćenje referentnih smerova
gU E R I
emsE E
g
g
lR
S
Relacije između ems, napona i struje
+
+
referentni
smer za referentni
smer za
referentni
smer za
realnog naponskog generatora
Smerovi
U i E se
poklapaju
Smerovi
U i E su
suprotni
I teče sa
„+“ na „-“
kroz gR
I teče sa
„-“ na „+“
kroz gR
Predznak
članova E i
gR I u formuli
gU E IR
E E gR I gR I
+
+
+
+
+
+
+
+
Standardno označavanje referentnih smerova u generatoru
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru (na unutrašnjoj otpornosti gR )
2 0Jg gP R I , gU E R I
2
E gg
Jg g g E g
P PR I
P R I R I I E U I EI UI P P
Snaga generatora
EP EI , 0EP
Korisna snaga generatora
Snaga koju generator predaje prijemniku:
gP UI
Snaga generatora EP jednaka je zbiru korisne snage i snage gubitaka u generatoru.
gE JgPP P
0EP - generator radi kao IZVOR (U E )
0EP - generator radi kao POTROŠAČ (U E )
gP korisna snaga generatora
JgP snaga gubitaka u generatoru
Idealni naponski generator
Uslov:
Idealni generator je generator sa savršeno provodnom sredinom 0g .
Posledice:
0gR
U E
EP EI
g EP UI EI P
2 0Jg gP R I
+
+
Šema idealnog
naponskog generatora
2.2. ANALIZA ELEKTRIČNIH
KOLA STALNIH STRUJA
Primer. Prosto električno kolo
U RI (napon otpornika)
gU E IR (napon generatora)
EP EI (snaga generatora)
22 0
UP UI RI
R (snaga prijemnika)
2 0Jg gP R I (Džulovi gubici u generatoru)
+
+
izdvajanje unutrašnje otpornosti Rg iz
generatora
+
+
realni generator
(E,Rg)
2.2.1. KIRHOFOVI ZAKONI
Kirhofovi zakoni su osnovne jednačine za analizu i rešavanje električnih kola.
PRVI KIRHOFOV ZAKON
Algebarski zbir svih stalnih linijskih struja koje se sustiču u jednom čvoru jednak je nuli. Pri tome, struje koje ističu iz čvora uzimaju se sa suprotnim predznakom od struja koje utiču u čvor.
0jčvorI
Primer. Za čvor 1: 1 2 0I I I
Za čvor 2: 1 2 0I I I
Napomena. Druga jednačina je zavisna od prve jer se dobija množenjem sa -1 . Broj nezavisnih jednačina po I KZ je broj čvorova manje jedan.
+
NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U KOLU
Napon između tačaka a i b, abU , određuje se kao algebarski zbir članova E i RI
duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke b do prve tačke a :
,a
ab bU E RI
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja isti kao i smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“. Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.
Primer.
I putanja: 1abU E R I
II putanja: 3 2abU R I R I
I putanja
II putanja
+
DRUGI KIRHOFOV ZAKON
Algebarski zbir sabiraka E i RI za proizvoljnu zatvorenu konturu u električnom kolu iznosi nula:
, 0a
aa aU E RI
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja isti kao i referentni smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“. Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.
Primer. Primena II KZ
Zatvorena putanja 1C za sumiranje napona:
1: 2 3 1 0R I R I E R I
Zatvorena putanja 2C za sumiranje napona:
2: 1 3 2 0R I E R I R I
+
2.2.2. PROSTO KOLO SA JEDNIM NAPONSKIM GENERATOROM
II Kirhofov zakon:
0gRI E IR
Omov zakon za prosto strujno kolo sa jednim generatorom i jednim otpornikom
g
EI
R R
Napon na krajevima otpornika:
R
g
RU RI E
R R
Napon izvora:
1g
g g g
RR RU E RI E E E E
R R R R R R
+
+
+
OMOV ZAKON ZA PROSTO KOLO
Na osnovu prethodnog primera može se formulisati Omov zakon za prosto kolo koje sadrži jedan generator i više otpornika.
Jačina struje u prostom kolu, koje se sastoji iz jednog realnog naponskog generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka je količniku elektromotorne sile generatora i zbira otpornosti otpornika.
Pri tome se referentni smer struje poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile.
g i
EI
R R
2.2.3. PROSTO KOLO SA VIŠE NAPONSKIH GENERATORA I OTPORNIKA
Posmatrajmo kolo sa slike.
II Kirhofov zakon za konturu C:
1 2 2 3 4 3 5 0E R I R I E R I R I E R I
Jačina struje iznosi:
1 2 3
1 2 3 4 5
EE E EI
R R R R R R
(Uopšteni omov zakon)
+
+
+
UOPŠTENI OMOV ZAKON
Jačina struje u prostom kolu, koje se sastoji iz više idealnih naponskih generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka je količniku algebarske sume elektromotornih sila generatora i zbira otpornosti svih otpornika.
EI
R
Ems ulazi u zbir E sa predznakom plus ako se referentni smer ems poklapa
sa referentnim smerom struje, a sa predznakom minus ako su ti smerovi suprotni.
2.2.4. VEZIVANJE OTPORNIKA
Otpornici se mogu vezivati:
- redno,
- paralelno,
- mešovito,
- u zvezdu i
- u trougao.
REDNA VEZA OTPORNIKA
Kroz sve otpornika u rednoj vezi protiče ista struja I .
II Kirhofov zakon:
1 1 1 1
N N N N
i i i e e i
i i i i
U U R I I R IR R R
Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornosti
otpornika koji učestvuju u vezi.
Naponski razdelnik
Redna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva naponski razdelnik.
Napon redne veze: 1 2U R I R I
Struja redne veze: 1 2
UI
R R
Naponi na pojedinačnim otpornostima:
1 1U R I , 11
1 2
RU U U
R R
2 2U R I , 22
1 2
RU U U
R R
Naponi na pojedinačnim otpornicima su manji od napona redne veze.
+
+
+
PARALELNA VEZA
Svi otpornici su priključeni na isti napon U .
I Kirhofov zakon
1 1 1 1
1 1 1N N N N
i
i i i ii i e e i
U UI I U
R R R R R
Recipročna vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbiru recipročnih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj učestvuju.
Slučaj 2N : 1 2
1 2
e
R RR
R R
Strujni razdelnik
Paralelna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva strujni razdelnik.
Naponi:
1 1U R I , 2 2U R I , 1 2
1 2
R RU I
R R
Struje:
21 1
1 1 2
RUI I I I
R R R
12 2
2 1 2
RUI I I I
R R R
Struja paralelne grane je manja od struje zajedničke grane.
+
TRANSFIGURACIJA ZVEZDA-TROUGAO
12 131
12 23 13
12 232
12 23 13
13 233
12 23 13
R RR
R R R
R RR
R R R
R RR
R R R
1 212 1 2
3
1 313 1 3
2
2 323 2 3
1
R RR R R
R
R RR R R
R
R RR R R
R
2
1 3
2
0 1 3
zvezda-trougao
trougao- zvezda
2.2.5. REDNA I PARALELNA VEZA REALNIH NAPONSKIH GENERATORA
REDNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA
Ekvivalentna ems i unutrašnja otpornost redne veze više generatora iznosi:
i
g gi
E E
R R
U algebarskoj sumi, iE E , znak ems
iE se uzima sa predznakom „+“
ako se smer ems poklapa sa referentnim smerom ekvivalentnog generatora
.E Inače, uzima se sa predznakom „-“.
+
+ +
+
+
+
PARALELNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA
Ekvivalentna elektromotorna sila i unutrašnja otpornost paralelne veze više generatora iznosi:
1
1
1
ni
igi
n
igi
E
RE
R
1
1 1n
ig giR R
U algebarskoj sumi 1
/n
i giiE R
znak ems iE
uzima se sa predznakom „+“ ako se njen smer poklapa sa usvojenim referentnim smerom
ekvivalentnog generatora E . Inače, uzima se sa predznakom „-“..
+
+
2.3. SLOŽENA KOLA STALNIH STRUJA
Grana je redna veza proizvoljnog broja elemenata kola (otpornika i generatora). Broj grana obeležavamo sa gn . Prema slici, 8gn .
Čvor je mesto na kome se spaja tri ili više grana kola. Čvorove označavamo punim kružićima a njihov broj označavamo sa čn . Za kolo sa slike je
5čn . Grana je deo kola koji
neposredno spaja dva čvora duž koje nema grananja strujnog puta.
Kontura je proizvoljan zatvoreni put sačinjen od grana kola (C1-C4).
Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo njoj i nijednoj više (C1-C4).
+
+
+ +
+
2.3.1. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH KOLA
METODA DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA
- Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana.
- Broj nepoznatih struja jednak je broju grana gn .
- Opis metode „direktna primena Kirhofovih zakona“ (KZ):
1. prebrojati čvorove ( )čn i grane ( )gn kola,
2. usvojiti referentne smerove za struje grana kola , 1,2, ,i gI i n ,
3. napisati 1I čn n jednačina po I KZ za In usvojenih čvorova,
4. napisati II g In n n jednačina po II KZ za IIn usvojenih nezavisnih kontura,
5. rešiti sistema linearnih jednačina po nepoznatim strujama , 1,2, ,i gI i n .
Primer. Primenom Kirhofovih zakona odrediti nepoznate struje grana kola sa slike.
Rešenje.
1. 4čn , 6gn
2. Referentni smerovi struja.
3. 4 1 3In jednačine po I KZ:
čvor 1: 1 2 3 0I I I
čvor 2: 1 4 6 0I I I
čvor 3: 3 4 5 0I I I
+
+
+
+
4. 6 3 3II g In n n jednačine po II KZ.
Usvojimo tri nezavisne konture 1C , 2C , i 3C i pišemo tri jednačine po II KZ.
kontura 1C : 1 1 1 3 3 4 4 4 0E R I R I R I E
kontura 2C : 2 2 2 5 5 3 3 0R I E R I R I
kontura 3C : 6 6 6 5 5 4 4 4 0R I E R I R I E
5. Rešavanje sistema od 6 linearnih jednačina (3 po I KZ i 3 po II KZ) po strujama grana 1I , …, 6I .
Nedostatak: Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija se sistem sa velikim brojem linearnih jednačina.
+
+
+
+
METODA KONTURNIH STRUJA
Prednosti u odnosu na KZ:
- postavlja se manji broj jednačina nego kod KZ,
- sistem jednačina se postavlja na veoma jednostavan način.
Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana sa svim poznatim
elementima kola (naponskim generatorima i otpornicima).
Opis metode „konturne struje“
1. Odabrati i orijentisati ( 1)k g čn n n nezavisnih
kontura , 1, ,i kC i n u kolu.
2. Usvojiti da duž svake konture iC teče jedna
nezavisna konturna struja kiI .
Broj konturnih struja iznosi kn : 1, ,kk knI I .
Usvojiti da se referentni smer konturne struje kiI
poklapa sa orijentacijom odgovarajuće iC konture.
+
+
3. Napisati sistem jednačina po konturnim strujama 1, ,kk knI I :
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
k k
k k
k k k k k k
k k n kn k
k k n kn k
n k n k n n kn kn
R I R I R I E
R I R I R I E
R I R I R I E
gde su:
, 1, ,ii kR i n - zbir otpornosti svih grana kola koje pripadaju i -toj konturi
(sopstvena otpornost i -te konture) uzet sa predznakom „+“.
, , 1, , ,ij ji kR R i j n i j - zbir otpornosti svih grana kola koje
istovremeno pripadaju i -toj i j -toj konturi (međusobna otpornost i -te i j -te
konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju smerovi tih kontura, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni. Ako konture nemaju zajedničke grane, onda je 0ijR .
, 1, ,ki kE i n - zbir elektromotornih sila svih idealnih naponskih generatora
grana koje pripadaju i -toj konturi (elektromotorna sila i -te konture).
U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se orjentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni.
4. Rešiti sistema jednačina po konturnim strujama: 1, ,kk knI I .
5. Odrediti struje grana 1, ,gnI I na sledeći način:
- struja jI u grani kroz koju protiče samo jedna konturna struja kiI jednaka
je konturnoj struji te konture j kiI I ;
- struja jI u grani kroz koju protiče veći broj konturnih struja jednaka je
algebarskom zbiru tih konturnih struja. Pri tome, konturna struja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni smer podudara sa referentnim smerom struje u grani, inače se uzima sa predznakom „-“.
Primer. Odrediti jačine struja grana kola sa slike koristeći metod konturnih struja.
2čn , 3gn
( 1) 2k g Čn n n (2 nezavisne konturne struje)
11 k1 12 2 k1
21 1 22 2 k2
k
k k
R I R I E
R I R I E
11 1 22 2 12 21, ,R R R R R R R R R
1 1 2 2k kE E E E
1 1 k2 1
1 2 2 2
( )
( )
k
k k
R R I RI E
RI R R I E
11 1
22 2
k
k
IR R R E
IR R R E
1 1 2 2 1 2k k k kI I I I I I I
+
+
+
+
2.4. PRILAGOĐENJE PRIJEMNIKA PO SNAZI Posmatramo električno kolo sa slike.
Problem:
Odredi otpornost R prijemnika tako da njegova snaga RP bude maksimalna.
Rešenje. Jačina struje kola iznosi:
g
EI
R R
Snaga koja se razvija u prijemniku iznosi:
22 2
2 20
( ) ( )R
g g
E RP RI R E
R R R R
+
Maksimalna snaga na prijemniku dobija se iz uslova:
0RdP
dR ,
2
2
4
( ) 2( )0
( )
g gR
g
R R R R RdPE
dR R R
2( ) 2( ) 0 2 0g g gR R R R R R R R
gR R
U prijemniku se razvija maksimalna snaga ako je njegova otpornost jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora.
Uslov gR R predstavlja uslov prilagođenja po snazi.
Prijemnik otpornosti gR R se naziva prilagođeni prijemnik.
Maksimalna snaga prijemnika (snaga prilagođenog prijemnika) iznosi:
2
2 2
max 2 2( ) ( ) 4
g
R
g g g g
RR EP E E
R R R R R
Snaga generatora u uslovima prilagođenja iznosi:
2 2
2gE R R
g g g g
E E EP EI E
R R R R R
Koeficijent korisnog dejstva generatora:
R
E
P
P
za usklađeni prijemnik:
2
max
2
/ 4 1
/ 2 2g
g
gR
R RE gR R
E RP
P E R
Snaga generatora EP troši se na:
gubitke u samom generatoru: 2
EJ
PP
snagu prijemnika: 2
ER
PP
2.5. KOLA SA KONDENZATORIMA
Električna kola stalne struje mogu da sadrže i kondenzatore.
Referentni smer za količinu naelektrisanja Q na pločama kondenzatora:
Vrh strelice kod oznake za količinu naelektrisanja Q ukazuje na usvojeni
„pozitivni kraj“ kondenzatora.
Usaglašeni referentni smerovi za Q i U
Q CU
Neusaglašeni referentni smerovi za Q i U
Q CU
Procesi punjenja i pražnjenja kondenzatora ne dešavaju se trenutno.
Dokaz: Ukoliko bi se punjenje ili pražnjenje kondenzatora odigralo trenutno, tada bi protekla količina naelektrisanja kroz kondenzator bila beskonačna, što je praktično nemoguće.
Stacionarno stanje kondenzatora
Stanje kondenzatora u kome nema promene količine naelektrisanja na njegovim krajevima.
Prelazno stanje kondenzatora
Proces tokom koga se vrši punjenje, odnosno pražnjenje kondenzatora.
Prelazna stanja kondenzatora ne razmatramo.
2.5.1. ANALIZA PUNJENJA KONDENZATORA
Otvoren prekidač - Generator i kondenzator su fizički razdvojeni.
Pretpostavka:
Kondenzator je neopterećen u početnom trenutku ( 0 0Q )
Napon na krajevima kondenzatora je nula:
0 0 / 0 / 0CU Q C C
Struja kroz kondenzator je nula ( 0 0I ) jer je prekinuto strujno kolo.
Kolo se nalazi u stacionarnom stanju:
0 0I , 0 0Q , 0 0CU
Zatvoren prekidač
1. Prelazno stanje: ( )i t , ( )q t , ( )Cu t
- Kroz kolo protiče naelektrisanje stvarajući promenljivu struju ( )i t .
- ( )q t - ukupno naelektrisanje proteklo
kroz kondenzator od prethodnog stacionarnog stanja do posmatranog vremenskog trenutka t .
( )q t dovodi do postepenog nagomilavanja naelektrisanja na pločama kondenz.
- Prema usvojenim referentnim smerovima količina naelektrisanja na pločama kondenzatora u trenutku t iznosi:
0
0
( ) ( ) ( )Q t Q q t q t
- Kondenzator se puni, a napon na njegovim krajevima raste.
- Veza između napona i struje kondenzatora:
II KZ: ( ) ( )CE Ri t u t
2. Stacionarno stanje u kolu: 0I , Q EC , CU E
Posle dovoljno dugog vremena ( )t prestaje punjenje kondenzatora.
Struja kroz kondenzator tada iznosi nula ( 0I ).
Svi naponi u kolu ( ( )C Cu t U ) i struje grana koje ne sadrže kondenzatore
postaju konstantni.
Napon CU određujemo iz II KZ:
0 C C CE R U U U E
( )q q - ukupno naelektrisanje proteklo kroz kondenzator između dva
stacionarna stanja.
Količina naelektrisanja kondenzatora u stacionarnom stanju iznosi:
0
0
( )Q Q Q q q
C
Q qE U q Q EC
C C
2.5.2. ANALIZA PRAŽNJENJA KONDENZATORA
Otvoren prekidač
Pretpostavka: Kondenzator je opterećen u početnom trenutku sa 0Q .
Napon na krajevima kondenzatora iznosi:
0 0 /CU Q C , 0Q - poznato
Struja kroz kondenzator je nula ( 0 0I ) jer je prekinuto strujno kolo.
Kolo se nalazi u stacionarnom stanju:
0 0I , 0 .Q const , 0 0 /CU Q C
Zatvoren prekidač
Prelazno stanje
Kroz kolo počinje da teče naelektrisanje stvarajući promenljivu struju ( )i t .
Fizički smer struje pražnjenja je suprotan u odnosu na smer pri punjenju kondenzatora.
0( ) ( )Q t Q q t
( )q t rasterećuje elektrode kondenzatora
Veza između napona i struje kondenzatora:
II KZ: ( ) ( ) 0CRi t u t
Drugo stacionarno stanje u kolu nastaje kada t
prestaje pražnjenje kondenzatora,
struja kroz kondenzator je nula ( 0I ),
svi naponi ( ( )C Cu t U ) i struje grana postaju konstantni.
napon CU određujemo iz II KZ:
0 0 0C CR U U
( )q q ukupno proteklo naelektrisanje između dva stacionarna stanja
naelektrisanje na oblogama kondenzatora u stacionarnom stanju iznosi:
0( )Q Q Q q
000 C
Q Q qU q Q
C C