เอกสารประกอบการเรยนวชาฟสกส หนวยการเรยนรท 4 เรอง การเคลอนทแบบตางๆ : การเคลอนทแบบวงกลม

2. การเคลอนทแบบวงกลม

2.1 ลกษณะการเคลอนทเปนวงกลม การเคลอนทของวตถเปนวงกลมคอ การเคลอนทของวตถทมแรงกระท าตงฉากกบความเรวอยตลอดเวลา ดงรป 14.8

รปท 14.8 แสดงการเคลอนทของวตถเปนเสนตรงและวงกลม สรปลกษณะการเคลอนทของวตถแบบตางๆ ไดดงน

รปท 14.9 แสดงการเคลอนทของวตถแบบตางๆ 1. ถาแรง F ขนานกบความเรวจะไดการเคลอนทเปนเสนตรง 2. ถาแรง F กบความเรวท ามม อยระหวาง 0 ถง 1800 จะไดการเคลอนทเปนวถโคง 3. ถาแรง F กบความเรงตงฉากกนจะไดการเคลอนทเปนวงกลม จากรป ทศของแรงกคอทศของความเรง

2.2 ความเรงของการเคลอนทเปนวงกลม เนองจากการเคลอนทของวตถเปนวงกลม มแรงลพธ

ในแนวตงฉากกบความเรวอยตลอดเวลา ดงนนความเรงทเกดขนจะตองตงฉากกบความเรวตลอดเวลาดวยเราเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง

ถาวตถเคลอนทเปนวงกลมมแรงมากระท ากวาหนงแนวจะท าใหเกดความเรงขนสองแนวดวยกน คอ แนวสศนยกลางและแนวเสนสมผสซงแยกการพจารณาไดดงน

2.2.1 วตถทเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรงคงท ไดแกการเคลอนทของวตถเปนวงกลมทมแรงลพธตงฉากกบความเรว สวนใหญไไดแกการเคลอนทเปนวงกลมในแนวราบจะเกดความเรงสศนยกลางเพยงแนวเดยวเทานน และในกรณอตราเรวของวตถจะมคาคงท

การหาความเรงสศนยกลาง (ac) ก าหนดใหวตถอนหนงวงเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท v จาก A ไป B ในชวงเวลาสน ๆ t ตองการหาความเรงทเกดขน

รปท 14.10 ความเรงของวตถวงเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท

จากนยามความเรง a =dt

dv หรอ t

VV AB

otlim

จากโจทยจะได a = t

V

เขยนรป vector ของความเรวจะไดดงรป (B )

YZ ;AoB จะได XZ

AO

YZ

AB แทนคา

r

v

t

v

v

r

V

tV

2

แต t

v

= ความเรงของการเคลอนทเปนวงกลม

ดงนนจะได a = r

v2

และมทศสศนยกลาง

ถาให ac = ความเรงสศนยกลาง ดงนนจะได

ac = r

v2

นนคอ วตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงทจะเกดความเรงเพยงแนวเดยวเทานนคอ แนวสศนยกลางคอ ca

2.2.2 วตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวไมคงท ไดแกการเคลอนทของวตถเปนวงกลมทมแรงกระท าหลายแนว เชน การเคลอนทเปนวงกลมในแนวดงภายใตแรงดงดด ของโลกจะเกดความเรงขน 2 แนวคอ แนวสมผส Ta และแนวสศนยกลาง ( ac ) อตราเรวของการเคลอนทในกรณนจะมคาไมคงท การหาความเรงของการเคลอนท ก าหนดให วตถอนหนงเคลอนทเปนวงกลม โดยม อตราเรวท A เทากบ vA และมอตราเรวท B เทากบ vb โดยใชเวลาเคลอนทจาก A ไป B นานเทากบ t ซงเปนเวลาสนๆ ตองการหาความเรงของการเคลอนท

รปท 14.11 ความเรงของวตถวงเปนวงกลมดวยความเรวไมคงท

หาความเรงจาก a = t

vv Ab

otlim

ถา vb > vA เขยนรป Vector จะได Vector ของเราเปน XYZ โดยม XZ เปนทศของ v คอทศของความเรงทเกดขน ถาให Vb > VA จะได vc คอดาน PZ มทศสศนยกลาง คอความเรงสศนยกลาง ( ac ) จาก ของ Vector PXZ จะได PX เปนทศความเรงแนวเสนสมผส ( at )

จาก PXZ จะได tacaa

วตถเคลอนทเปนวงกลมจะไดเสนสมผสตงฉากกบรศม

ขนาดความเรง a = 2t

2c aa

ac ความเรงสศนยกลาง = r

v2

at = ความเรงแนวสมผสขนอยกบต าแหนงทวตถอย

2.3 การหาแรงทท าใหวตถวงเปนวงกลม ก าหนดใหวตถมวล m ถกกระท าดวยแรง Fc (ผลรวมของแรงสศนยกลาง) ท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงทและมรศมเทากบ r จากกฎของนวตน F = ma

แต ac = r

v2

Fc = r

mv2

2.4 อตราเรวของการเคลอนทเปนวงกลม การเคลอนทของวตถเปนวงกลม เราสามารถก าหนดอตราไดหลายลกษณะดวยกนดงตอไปน

1. อตราเรวเชงเสน (V) คอความยาวตามสวนโคงของวงกลมทวตถเคลอนทไดในเวลา 1 วนาทมหนวยเปน เมตร/วนาท

2. อตราเรวเชงมม ( ) คอมมทจดศนยกลางมหนวยเปนเรเดยนทรองรบความยาว สวนโคงของวงกลมทเคลอนทในเวลา 1วนาท มหนวยเปน เรเดยน /วนาท

3 . อตราเรวเปนรอบ (f )คอจ านวนรอบของวตถทเคลอนทเปนวงกลมในเวลา 1วนาทมหนวยเปน รอบ /วนาท

4. อตราเรวเปนคาบ (T) คอเวลาทวตถเคลอนทเปนวงกลมครบ 1 รอบ มหนวยเปน วนาท 2.5 ความสมพนธระหวางอตราเรวเชงมมและเชงเสน ก าหนดใหวตถมวล m เคลอนทจาก A B ในเวลา 1 วนาทจะไดความยาวสวนโคงเทากบ v และทจดศนยกลางรองรบสวนโคงเทากบ รศมของวงกลมเทากบ r จากความรตรโกณจะไดมมทจดศนยกลางเปนเรเดยน = สวนโคง รศม

จากรปแทนคา = r

v

จะได v = r

ขอสงเกต ความสมพนธระหวาง v,,f และ T เขยนไดดงน

v = 2 rf หรอ v = T

r2

f หรอ T

2

สรปสตวงกลม จะได ac = r

v 2

= 2r

FC = r

mv 2

=m2r

2.6 อตราเรวของวตถผกตามระยะตาง ๆของเชอกแกวงเปนวงกลม ก าหนดใหมวล A และ B ผกทระยะ 1R และ R2 จากจดหมนตามล าดบแลวแกวงเปนวงกลมบนพนระดบดานอตราเรวเชงมม ดงรป 14.12

รปท 4.12 วตถทผกในเชอกเสนเดยวกนแลวแกวงเปนวงกลม จะมอตราเรวเชงมมเทากน

จากรปวตถเคลอนทจาก X Y .ในเวลา 1วนาท จะได A= B = และ VA = R1 , VB = R2 ดงนนจะได VB VA

แสดงวาอตราเรวเชงมมของวตถ ทผกตามระยะตางๆของเชอกจะไดคาเทากน แตอตราเรวเชงเสนขนกบรศม 2.7 การค านวณการเคลอนทเปนวงกลม วตถเคลอนทเปนวงกลมทเราพบเหนมอยหลายลกษณะดวยกน เชน การแกวงวตถเปนวงกลมแนวราบในอากาศ. การเลยวโคงของรถยนต.การเคลอนวตถเปนวงกลมในแนวดง เปนตน

a) การแกวงวตถเปนวงกลมแนวราบ b) วตถวงเปนวงกลมทขางกรวย

c) วตถวงเปนวงกลมแนวดง รปท 14.13 แสดงการเคลอนทของวตถเปนวงกลมลกษณะตางๆ

เพอความสะดวกในการค านวณโจทยเกยวกบวงกลม เราไดแยกการค านวณโจทยเปน 2 พวกคอ 1. การเคลอนทของวตถเปนวงกลมแนวราบไดแก วงกลมดงรป 14.13a และ b เปนตน 2. การเคลอนทของวตถเปนวงกลมแนวดงไดแกวงกลมดงรป 14.13c 2.8 การค านวณการเคลอนทวตถเปนวงกลมแนวราบ มขนตอนการค านวณดงน 1. ใหเขยนระนาบวงกลมขณะทวตถมการหมน 2. ณ ต าแหนงทวตถอยใหตงแกน x ในระนาบวงกลมผานจดศนยกลาง และแกน y ตงฉากกบระนาบวงกลม 3. เขยนแรงทเกดขนกบวตถใหครบแลวแตกแรงใหอยในแนวแกน x และ y

4. ค านวณหาคาทตองการจากสมการ r

mvF;0F

2

Xy

ตวอยางขนตอนการค านวณ 1. จากรปวตถมวล m วางอยบนแปนวง กลมทมสมประสทธความเสยดทาน u หมนเทากบ r จงหาอตราเรวเชงมมสง

สดในการหมนของแปนเพอทจะไมท าใหมวล m ไถลออกไป

วธท า ท าตามขนตอนตอไปน 1. สเกตรประนาบวงกลมของวตถดงรป

2. ตงแกน X และ Y 3. เขยนแรงทเกดกบวตถมวล M 4. ค านวณหาอตราเรวเชงมมจาก FY= 0 จะได N= mg ….(1) FX =m2 r จะได f = m2 r หรอ rmN 2

………. (2)

(2) / (1) = g

r2

= r

g ตอบ

2. จากรปมวล M และ m ผกดวยเขอก ทปลายทงสองขางแลววางอยบนโตะ เกลยงในลกษณะดงรป โดยใหมวล M หมนบนโตะดวยรศม r เมตร จงหาอตราเชงมมของมวล M เพอ ท าใหมวล m อยนงกบท วธท า คดทมวล m หยดนง จาก FY = 0 เขยนแรงทเกดกบมวล m จะได T = mg ……… (1 ) คดทมวล M เคลอนทเปนวงกลม ตงแกน Xและ Y แลวเขยนแรงทเกดกบมวล M จาก FX = M 2 r จะได T = M 2 r

แทนคา mg = M 2 r ;Mr

mg ตอบ

3. จากรปมวล m = 1กโลกรมผกเชอกยาว 20 เมตร ปลายหนงผกกบเพดาน ใหมวลm แกวงเปนวงกลม แบบ

กรวย ดวยอตราเรว 2

1 รอบตอวนาท จงหาวาเสนเชอกท ามมกบแนวดงเทาไร

วธท า ตงแกน X และ Y แลวเขยนแรงทเกดกบวตถมวล m ดงรป จากรป r =L sin = 20sin

V = 2 sin20r)2

1(r2rf

จาก FY= 0 จะได Tcos = mg ……(1)

FX = r

mv 2

จะได Tsin =r

mv 2

แทนคา V = r จะได Tsin = mrr

mr 2

แทนคา r = 20sin จะได Tsin = m20sin T = 20m ………….(2)

(1) / (2) cos = 2

1

20

10

m

m

= 60 ตอบ 4 . จากรปมวล m กโลกรม ผกเชอกยาว L เมตร แลวยดปลายขางหนงกบหลกดงรป แปนวงกลม หมนดวยอตราเรวเชงมมเทาใดจงจะท าใหเชอก ทผกมวล m เอยงท ามมกบหลกเทากบ`

วธท า สเกตระนาบวงกลมของมวล m แลวตงแกน X และ Y จง เขยนแรงกระท าตอมวล m ดงรป จากรป FY = 0 จะได Tcos = mg ………(1 ) FX = m2 r จะได Tsin = m2 ( R+Lsin) ……(2 )

(2 ) / (1 ) g

)sinLR(

cos

sin 2

gtan = )sinLR(2

=

sinLR

tang ตอบ

5 .วตถมวล m เคลอนทบนผวในของกลม เกลยวดวยอตราเรวเชงมมเรเดยนตอวนาท โดยขางกรวยท ามมกบแนวดงเปนมม จงหา รศมการหมนของมวล m วธท า เขยนระนาบวงกลมทมวล m แลวตงแกน X และ Y จงเขยนแรงกระท าตอมวล m ดงรป จากรป 0Fy จะได Nsin = mg ………(1 ) XF m2r จะได Ncos = m2r ………(2)

(2 ) / (1 ) จะได g

r

sin

cos 2

cot = g

r2

r =2

cotg

ตอบ

6. รถยนตคนหนงก าลงวงเลยวโคงบนถนนเอยงมรศมความโคง r เมตรดวยอตราเรว v เมตรตอวนาท จงหามม ของถนนทกระท ากบแนวระดบเพอทจะไมท าใหรถกระเดนออกจากถนน ก าหนดใหความเสยดทานของถนนมคานอยมาก

วธท า เขยนระนาบวงกลมทรถ แลวตงแกน x และ y จงเขยนแรงกระท าตอรถดงรป

จากรป 0Fy จะได Ncos = mg ………(1 )

XF r

mv 2

จะได Nsin = r

mv 2

………(2)

(2 ) / (1 ) จะได rg

v

cos

sin 2

นนคอ tan = rg

v 2

จะได =rg

vtan

21 ตอบ

2.9 ตวอยางการค านวณการเคลอนทเปนวงกลมแนวราบ ตวอยางท 33 เชอกเบาเสนหนงยาว 1 เมตร รบน าหนกไดเตมท 100 นวตนถาน าหนกเกนกวานแมเพยงเลกนอยเชอกจะขาดทนทน ามวล 4 กก. มาผกปลายเชอกขางหนงของเชอกเสนนสวนปลายอกขางหนงของเชอกตรงไวกบจดพนราบทปราศจากความเสยดทาน ถาใหมวลนเคลอนทเปนวงกลมบนพนราบจดตรงเรวขนทกทจงหาวามวลนเคลอนทดวยอตราเรวสงสดเทาไรโดยเชอกไมขาดและหลงจากเชอกขาดได

2

1 วนาท มวลจะอยหางจากจดทตรงปลายเชอกเทาไร วธท า เชอกรบน าหนกได 100 นวตน มความหมายได 2 กรณดวยกนคอ 1. เปนอตราเรวนอยทสด ทท าใหเชอกขาด 2. เปนอตราเรวทมากทสด ทท าใหเชอกไมขาด หาอตราเรวสงสดทท าใหเชอกขาด ตามขนตอนในหวขอ 2.8

จากซายมอ FC = r

mv 2

จะได T = r

mv 2

แทนคา 100 = 1

4 2v

v2 = 25 ; v = 25 m /s อตราเรวสงสดทท าใหเชอกไมขาด = 5 m /s ตอบ

ใหเชอกขาดได s2

1 วตถทอย B

AB = v t = 5 m5.22

1

OB = 2222 5.21ABAO = m7.225.725.61

เชออกขาดได S2

1 วตถอยหางจากจดตรง = 2.7 เมตร ตอบ

ตวอยางท 34 ถาตองการใหวตถทวางไวทอเควเตอรเหมอนไมมน าหนก โลกจะหมนดวยอตราเรวเชงมมเทาใดและโดยการหมนชนดนวนหนงๆจะปรากฏวามกชวโมง ก าหนดใหรศมโลก 6400 กโลเมตร วธท า น าหนกของวตถทอานไดบนพนโลกกคอวา Tension หรอ Reaction ระหวางวตถกบตาชง ดงนนวตถไมมน าหนก แสดดงวา T = 0 สงเกตรปกการหมน เมอโลกหมนวตถจะหมนไปกบโลกดวย FC = m2r

rmTmg 2 วตถไมมน าหนก แสดงวา T = 0 mg m2r

= 3106400

10

xr

g

= 324 1025.1108

110

64

1 xxx rad /s

โลกตองหมนดวยอตราเรวเชงมม = 1.25 x10-3 rad /s วนหนงโลกหมนรอบตวเองได 1 รอบเปน = 2 rad โลกหมนได 1.25 x 10-3 rad ในเวลา = 1 วนาท

2 = 31025.1

2x

= 39.1360025.1

1014.32 3

x

xx ชม.

วนหนงจะม = 1.39 ชวโมง ตอบ ตวอยางท 35 จากรปมวล 10 และ 5 กโลกรมผกทปลายทงสองของเชอกคลองบนรอกเกลยงเบาและรศม มนอยมาก มวล 5กโลกรม หมนรออบแนวดงเพอใหมวล10 กโลกรม อยไดนงโดยไมหลนจงหาขนาดของมม และอตราเรวของมวล 5 กโลกรมก าหนดใหความยาวเชอกจากรอกถง มวล 5 กโลกรมเทากบ 3 เมตร วธท า พจารณาทมวล 10 kg

0F T = 100 พจารณาจากรป 5 Kg 0FY Tcos = 5g 100cos = 50

cos = 2

1

100

50

= 60

จากr

mvF

2

X แทนคา Tsin =sin3

mv2

100sin60 = 222

v560sin300;60sin3

v5

v2 = 60( )2

3 = 60x 454

3

อตราเรวเชงมม 5 กโลกรม = 6.75 เมตร / วนาท ตอบ

ตวอยางท 36 อนภาค2ชนมมวลเทากนผกตดอยกบเชอก ดงรปโดยอยหางเปนระยะ 8 เมตรถกแกวงเปนวงกลมพนระดบดวยอตราเรงเชงมม คงท จงหาอตราสวนของความตงในเสนเชอกระหวางเสนเชอกนอกและใน

วธท า เนองจากมวล A และ B ผกเชอกเสนเดยวกน ดงนนจงม เทากน พจารณาแรงทมวล B FX = m2r ; T1 =m2r T1 = m2( 16 ) …………….(1 ) พจารณาแรงทมวล A FX = m2r T2- T1 = m2(8 ) ………….(2 ) (1) + (2 ) จะได T2 = 24m2 …………(3 )

(1 ) / (3 ) จะได 3

2

m24

m16

T

T2

2

2

1

อตราสวนของความตงเชอกเสนนอกตอเสนใน = 2 3 ตอบ ตวอยางท 37 ลกตมมมวล 1 กก. ผกตดเชอกเบายาว 20 เมตร โดยทปลายบนของเชอกผกตดกบเพดาลถาลกตม

ถกท าใหแกวงแบบกรวยในอตรา

30 รอบ /นาท จงหาวาเชอกจะเอยงท ามมเทาใด

วธท า จากโจทย f =

30 รอบ / นาท

=

2

1

60x

30 รอบ /นาท

v = 2Rf

= 2(20sin ) x

sin202

1

FY =0 จะได Tcos = 1g …….(1 )

FX =r

mv2

จะได Tsin

sin20

)sin20(1 2

Tsin = 20sin T = 20 ……..(2 )

(1 ) / (2 ) จะได cos =2

1

20

10

20

g

= 60 ตอบ ตวอยางท 38 วตถมวล m1 และm2 ซงไมเทากนตางเชอมตอกบปลายขางหนงของลวดแขงแตไรน าหนกยาว L โดยทอกปลายหนงของลวดคลองไวกบทยดบนเพลา J. เพลา J อยในแนวดงเมอหมนเพลา J ดวยความถ f มวล m1 และ m2 เหวยงกางออกอยางอสระกนเปนมม 1 และ 2 ตามล าดบ จงหาความสมพนธระหวาง 1 และ 2 วธท า มวล m1 และ m2 ผกกบหลกเดยวกน แสดงวาอตราเรวเชงมมเทากบ พจารณาแรงทมวล m1 ใหสเกตระนาบวงกลมและตงแกน X และ Y ดงรปแลวแตกแรงใหอยในแนวแกน X และแนวแกน Y F2 = 0 จะได Tcos1 = m1g ……..(1 ) FX = m2R จะได Tsin1 = m1(2f)2R Tsin 1 = 42f2m1(Lsin1) T = 42f2m1L ……………….(2 )

( 1 ) / (2 ) จะได cosLf4

g221

………….. (3 )

ในท านองดยวกน พจารณาทมวล m2 จะได Lf4

gcos

222

…….(4 )

(3 ) = (4 ) จะได 21 coscos 21 ตอบ

ตวอยางท 39 จากมวล m = 100 กโลกรมแตะอยกบผวกรวยกลมเกลยง โดยมมวลเบายดไวกบยอดกรวย ลวดอยในแนวขนานกบผวกรวย ถาผวกรวยเกลยงและกรวยหมนรอบแกน pQ ดวยอตราเรวเชงมม 1 เรเดยน /วนาท ปรากฏวามวล m หมนตดไปกบผวกรวยได จงค านวณหา ก. แรงตงในลวด ข. แรงตรงผนงกรวย ค. ถาตองการใหแรงของผนงกรวยตอมวล m มคาเปนศนย อยากทราบวา คราวนจะตองหมนแกนกรวยใหมอตราเรวเชงมมเทาไร และมวล m ยง คงไปตดกบผวกรวยได วธท า ใหสเกตระนาบวงกลมของมวล m เสนตงแกน X และ Y ทมวล m แตกแรงใหอยในแนวแกน X และ Y ดงรป 0FY จะได mg75sinN37cosT 00

10x1005

N3

5

T4

4T + 3N = 500 …………..(1 ) RmF 2

X จะได 037sinT - Ncos370 = Rm 2

5

T3 - )3()1(1005

N4 2

3T - 4N = 1500

T = 3

N41500 ………..(2 )

แทนคา T ใน (1 ) จะได 5000N33

N41500(4

6000+16N+9N = 15,000 ; 25N = 9000

N = 36025

9000 นวตน ตอบ

แทนคา Nใน (2 ) จะได T = 3

3601500

= 9803

2940 นวตน ตอบ

ถา N = 0 ใหกรวยหมนดวยอตราเรวเชงมม = FY = 0 จะได Tcos 370 = mg

5

T4 = 100 10

T = 4

5000 = 1250 นวตน

FY = m 2 R จะได Tsin370 = m 2 R

12505

3 = 100 2 x 3

2 = 300

750 = 2.5

= 1.58 rad / s ตอบ ตวอยางท 40 ทอนไมยาว 6 เมตรตรงตรงกลางใหตดกบปลายเสาสง 20 เมตร ซงหมน ไดรอบแกนดง (ดงรป) ท

ปลายของงทอนไมมทองเลกๆ ตดอย ถาหมนเสาจนกระทงมอตราเรวเชงมม 2

3 เรเดยน / ววนาท

ทอนเหลกจะหลดออกจากปลายไมทนท จงหา ก. เวลาททอนเหลกหลดจากปลายไมจนกระทบพน ข. ความเรวของเหลก ขณะหลดจากปลายไม ค. ทอนเหลกหางจากโคนเสาเปนระยะทางเทาใด วธท า หาอตราเรวของวตถ จาก V = r

จะได V = 33

2 = 2 m / s ตอบ

เมอวตถหลดมนจะเคลอนทแบบโปรเจคไตล สเกตรปตามลกษณะการ มองในภาพ

BA แนวดง u =0, g =10, h =20, t =?

จาก h = ut + 2gt2

1 จะได 20 = 2xt10x2

10

t2 = 45

20

t = 2 S เวลาททอนเลกหลดออกจากปลายไมจนกระทบพน = 2 S ตอบ

BA ราบ จาก X =ux . t แทนคา X = 2 x 2 = 4 m หาระยะทอนเหลกตกหางจากโคนเสา

จากรป BC = 2591634 22 = 5 m วตถหางจากโคนเสา 5 เมตร ตอบ ตวอยางท 41 มวล m วางอยบนโตะหมน ซงหมนดวยอตราเรวเชงมม เรเดยน /วนาท ทมวลm มเชอกผกอย เสนหนงและปลายเชอกนผกกบมวล m ดงรป ถาสมประสทธความเสยดทาน ระหวางมวล m กบโตะเปน จง หาคา R ทมากทสด และนอยทสดทท าใหมวล m อยนงไมเคลอนทขนลง

วธท า วตถมวล m อยนง จาก 0FX จะได T = mg หา RMAX แสดงวาวตถเตรยมทจะไถลออกแรงเสยดทานจงมทศเขาสศนยกลาง จาก RmF 2

X ; แทนคา T + f = M 2 R

2

2

M

)Mm(gmaxR;RMMgmg

ตอบ

หา minR แสดงวาวตถเตรยมทจะไถลเขาแรงเสยดทาน จงมทศออกจากจดศนยกลาง จาก rmF 2

x แทนคา T- f = M r2 mg - f = m r2 mg - rMMg 2

2min

M

)Mm(gr

ตอบ

ตวอยาท 42 โตะกลมดงรป หมนรอบแนวดงดวยอตราเรว 21 รอบ /นาท วตถมวล m วางหางจากแกนกลาง 1เมตรจงหาสมประสทธความเสยดทานระหวางวตถกบพน วธท า

หา V จาก V 60

21x1x

7

22x2Rf2

= 2.2 m /s

หา จาก R

mvF

2

C จะได mg r

mv2

)10(1

)2.2(

rg

v 22

484.0 ตอบ ตวอยางท 43 มวล 10 กโลกรม แกรงเปนวงกลม 1 เมตรอยบนโตะเกลยงๆ ตวหนงดงรปปลายเชอกอกดานหนงโยงทะลเขาไมชองกลางโตะและผกวตถมวล 20 กโลกรมไว จงหาอตราเรวของมวล 10 กโลกรม ซงสามารถฉดมวล 20 กโลกรม

วธท า พจารณามวล 20 Kg จาก 0Fy แทนคา T = 200 N พจารณามวล 10 Kg

จาก r

mvT;

r

mvF

22

C

200 = 52v;1

v10 2

m /s

อตราเรวของมวล 10 กโลกรม = 52 เมตร / วนาท

ตวอยางท 44 วตถอนหนงมมวล 0.8 กโลกรม ผกลวดเบาสองเสนยาวเสนละ 5เมตร ปลายทงสองของลวดผกกบเสาตงยาวมาก จดทผกอยหางกน 8 เมตร ถาจบใหเสาหมนรอบตวเองดวยอตราเรว 3 เรเดยน / วนาท ปรากฏวาเสนลวดทงสองตง จงหาแรงตงในเสนลวดทงสองนน วธท า จาก 0FY จะได sinTmgsinT 21

)5

4xT()10x8.0(T

5

421

T1 - T2 10 ………… (1 ) จาก = 3 rad /s จะได v = 93x3R m /s

จาก r

mvF

2

X

จะได r

mvcosTcosT

2

21

3

9x8.0

5

3T

5

3 2

1

T1 + T2 = 36 …….. (2 ) (1 ) + (2 ) T1 = 23 นวตน ตอบ ( 2 ) - (1 ) T2 = 13 นวตน ตอบ ตวอยางท 45 จากรปขางลางแสดงเครองทดลองอนหนง m เปนกอนวตถมมวล 0.2 Kg L เปนเชอกเลกๆ ยาว 20 ซม. A ยาว 10 ซม. เครองทดลองนอาจจะหมนในอตรากรอบตอนาท เสนเชอกจงเอยงท ามม 45 กบแนวดงและขณะนนเชอกมความตงเทาใด วธท า เขยนระนาบวงกลมและแรงทมวล m ดงรป จาก 0FY จะได 2mg45cosT T = 22 เชอกมมวลตง = 22 นวตน ตอบ

จาก r

mvF

2

x จะได Tsin45 = 45sin2.01.0

v2.0 2

24.0

v2.0

2

1x22

2

V2 = 2.4 หรอ V =1.55

f = 028.124.0x14.3x2

55.1

r2

v

รอบ /วนาท ตอบ

ตวอยางท 46 ลกบอลมวล m ผกอยกบเชอกหอยอยบนแกนซงตงอยขอบของโตะกลม ดงแสดงในรป จงหาวาโตะจะตองหมนดวยอตราเรวเชงมมเทาไร จงจะให = 45 ก าหนดให = 6 ซม. 10r ซม. วธท า พจารณาแรงทมวล m ; YF 0 จะได 2T;mg45cosT mg

จากr

mvF

2

x จะได Tsin 45 = r

mv2

แทนคา T ; จะได r

mv

2

1mgx2

2

V2 = rg หรอ V = rg

จาก = r

v จะได 45sin06.01.0

10

r

g

r

rg

= 2.70

1424.0

10

โตะจะตองหมนดวยอตราเรวเชงมม = 8.38 เรเดยน /วนาท ตอบ ตวอยางท 47 จากรป Aและ B เปนวตถซงมมวลอนละ 10 กโลกรมผกอยปลายทงของลวดเบา ซงคลองอยดงรป โดยวตถ A อยดานบนเอยงของกรวย โดยมระยะหางจาก B 1 เมตร จงหาอตราเรวของวตถ A ทแกวงเปนวงกลมตามแนวดานเอยงของกรวย ซงท าใหมวล B อยนงๆ โดยไมหลน วธท า

คดทมวล B ซงอยนง จาก 0Fy แทนทจะได T =100 คดทมวล A เคลอนทเปนวงกลม จาก FY = 0 จะได 10035sim10035cosN 0.6N + (100 x 0.8 ) = 100

3

100

6.0

20N

จาก r

mvF

2

x จะได 100cos53 R

mv2

1

v10)8.0x

3

100()6.0x100(

2

60 - 26.7 = 10v2 ; V2 = 3.33 อตราเรวของวตถ ( V ) = 1.82 m /s ตอบ

ตวอยางท 48 เหรยญบาทอยในกรวยแกวผวเกลยง ซงหมนรอบแนวแกนดงดวยอตราเรวเชงมม คงทดงรป จงหาคา X ทท าใหเหรยญบาทหยดนงเทยบกบกรวยแกว วธท า จากรป FY = 0 จะได N sin = mg ……… (1 ) RmF 2

x จะได Ncos = m2R แต R = Xsin แทนคา Ncos = sinxm 2 …………(2 )

(2 ) / (1 ) g

sinx

sin

cos 2

X = 22 sin

cosg ตอบ

ตวอยางท 49 ถาครงทรงกลมหมนไปรอบแกนแนวดงดวยอตราเรว เรเดยน /วนาท วตถ A สมผสกบผวของถงและอยนงสมพทธกบถง ถาผวรนทกผว จงหาระยะ h

วธท า จากรป mgsinN;0Fy …………….. (1 )

rmcosN;rmF 22

x แต cosRmcosN;cosRr 2 N = m2 R …………..(2 )

(1 ) / (2 ) R

gsin

2

แต R

g

R

hRsin

2

h = 2

gR

ตอบ

ตวอยางท 50 จากรปแรงเสยดทานระหวางบลอกกบพนเอยงเทากบ 20 Nจงหา อตราเรวเชงมมของจานเมอบลอกเรมเคลอนทขน วธท า เมอกลองเรมเคลอนทขนแรงเสยดทาน 20 N มทศทางลง จาก FY = 0 จะได Ncos 37 = 20sin37 + 50

5.774

5x62N;50

5

320)

5

4(N

จาก RmF 2

x จะได 20cos37+ Nsin37= 52(0.40 )

25.31;25

3x5.77

5

4x20 22

= 5.6 rad /s ตอบ

2.10 การเลยวโคงของรถยนตและรถมอเตอรไซค 2.10.1 การเลยวโคงของรถยนต เมอรถวงเลยวโคงบนถนนราบ จะท าใหลอของรถยกขนและลอนอก

จะกดพน อตราเรวของรถขนอยกบสมประสทธความเสยดทานของถนนและลกษณะของรถ จากรป รถมวล m ระยะหางของลอ L และจด CG. สงจากพนเทากบ hวงเลยวโคงบนถนนทมรศมความโคง R สมประสทธความเสยดทาน

เขยนแรงตางๆ ทเกดขนกบรถโดยรวมแรง N และ f ใหเทากบ R ตงแกน Xในแนวราบและแกน Y ในแนวดง

0FY จะได Rcos = mg ………………(1 )

r

mvF

2

x จะได r

mvsinR

2

……………(2 )

(2 ) / (1 ) จะได tanRg

v2

จากรปคา tan ขนอยกบแรงลกษณะรถซงแยกพจารณาไดดงน จาก ของแรง

tan Rg

vtan

N

f 2

แสดงวาอตราเรวของรถขนอยกบคา จาก ของรถ

tanRg

V

h2

L 2

V = h2

LRg

แสดงวาอตราเรวของรถขนอยกบ L และ h

สรป 1. รถคนเดยวกนวงบนทางโคงดวยอตราเรวของรถขนอยกบสมประสทธความเสยดทานของถนน ตามสมการ rgV 2. บนถนนสายเดยวกนอตราเรวของรถขนอยกบลกษณะของรถคอ L มาก, h นอย, V จะมคาตาม

สมการ h2

LrgV

เนองจากลอรถกบถนนนนมคา จ ากด ดงนนเราจงไมสามารถเพมอตราเรวของรถใหมากขนอก

ได ดวยสาเหตนถาเราตองการใหรถเลยวโคงดวยอตราเรวสง เราจะตองยกขอบนอกของถนนขน จะท าใหแรงสศนยกลางมากขนดงรป

ใหรถเลยวโคงบนถนนทมความเสยดทานนอยมากเอยง ท ามม กบแนวระดบดวยอตราเรว V ถนนมรศมความโคง r ตองการหาขนาดของมม เขยนแรงทเกดขนกบรถแลวแตกใหอยในแนวราบและดง FY = 0 จะได Ncos = mg ……..(1 )

r

mvF

2

x จะได N sinr

mv2

……..(2 )

(2 ) / (1 ) tanrg

V2

มมเอยงของถนน tan rg

V2

ถาถนนมสมประสทธความเสยดทาน จะไดความสมพนธดงน เขยนแรงทเกดกบรถแลวแตกแรงใหอยในแกน X และ Y จากรป FY = 0 จะได ncos = mg + Nsin N ( cos - sin) = mg - - - - - - - -- (1)

FX = r

mv2

จะได Nsin + Ncos = r

mv2

N (sin + cos ) = r

mv2

- - - - - - - --(2)

(2) / (1 )

sincos

cossin = rg

v2

cos หารทงเศษและสวน

tan1

tan = rg

v2

V =

tan1

)(tanrg

2. 10. 2 การเลยวโคงของมอเตอรไซด เมอรถมอเตอรไซดวงเลยวโคงจะท าใหรถเอยงเขาหาวงกลมดงรป เขยนแรงทเกดขนกบตวคน แลวแตกแรงใหอยในแนวราบและดง

จาก FY = 0 จะได R cos mg - - - - - - - -- - -(1)

จาก FX = r

mv2

จะได R sin = r

mv2

- - - - - - - - -(2)

( 2) / (1) จะได tan = rg

v2

แต rg

vtan

2

นนคอ มมเอยงของรถทท ากบแนวดงขนอยกบอตราเรวของรถและสมประสทธความเสยดทานของถนนตาม

เงอนไขดงน tan = rg

v2

ถา rg

v2

ขณะนนรถเอยงท ามม rg

vtan

2

ถา rg

v2

ขณะนนรถเอยงท ามม rg

vtan

2

ถา rg

v2

รถจะลม

ตวอยางท 51 รถยนตคนหนงก าลงวงเลยวโคงบนถนนระดบ ซงมรศมความโคงทากบ 5 เมตร ถาจด ศนยถวงของรถยนตอยสงจากถนน 0.5 เมตร ปรากฏวารถยนตวงดวยอตราเรวสงสดทจะไมพลกคว าเทากบ 10 เมตร / วนาท อยากทราบวารถคนนจะมระยะหางระหวางลอทงสองเปนเทาใด

วธท า จาก h2

LRgv จากโจทย R = 5 m , V = 10 m / s, g = 10 m / s

แทนคา 10 = 5.02

15

L ; 10 = L50

100 = 50L; L =2 m ระยะหางระหวางลอทงสอง 2 เมตร ตอบ

ตวอยางท 52 รถมอเตอรไซดคนหนงวงไปบนทางโคง ซงยกพนไวเปนมม ถาเขาขบ เอยงท ามม กบแนวทตงฉากกบพนเอยงจงหาวาเขาจะขบรถเรวมากทสดเทาใดจงจะไมหลดจากทางโคง ถารศมความโคงเปน r

วธท า เมอรถวงเลยวโคง ตวรถจะเอยงเขาหาวงกลม โดยท ามม กบแนวตงฉากกบพนเอยงให สเกตระนาบวงวงกลมตงแกน X และ Y แลวแตกแรงใหอยในแกน X และ Y ดงรป 0 YF จะได

Rcos ( + ) = mg -----------( 1 )

r

mvF

2

X จะได

Rsin ( + ) = r

mv 2

-------(2 )

(2 ) / (1 ) จะได tan ( + ) =rg

v2

)tan(rgv);tan(rgv2 เขาจะตองขบรถดวยอตราเรวมากทสด )tan(rg ตอบ ตวอยางท 53 รถยนตคนหนงเคลอนทไปบนถนนระดบราบวงกลมรศม 100 m วงไดเรวทสด 20 m /s จงหา ส.ป.ส. ของความเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถยนต วธท า อตราเรวสงสดตอนเลยวโคง rgv จากโจทย ,20,100 Vr แทนคา 20 1000400;10x100x = 0.4 ตอบ ตวอยางท 54 ถนนโคงวงกลมรศม 40 m พอดท าใหรถยนตวงไดเรวทสด 20 m /sปลอดภยบนพนถนนท าดวยปนซเมนตทม ส.ป.ส. ของความเสยดทานเปน 0.8 ถนนนตองเอยงเปนมมเทาไรกบแนวระดบ วธท า เขยนรปแสดงการเคลอนทของรถ

จากรป FY = 0 Ncos = mg + Nsin N ( ccos - sin ) = mg …..(1 )

r

mvcossinN;

r

mvF

22

X

N (sim + cos ) r

mv 2

…..(2 )

(2 ) / (1 ) rg

v

sin.cos

cossin 2

แทนคา 11040

20

sin8.0cos

cos8.0sin 2

x

sin8.0coscos8.0sin 1.8sin cos2.0

tan 9

1

9

1tan 1 ตอบ

ตวอยางท 55 นกขจกยานยนตไตถงมวลและคน m เคลอนทเปนวงกลม ภายในถงรศม r จงหาอตราเรวทนอยทสดของรถจกยานยนตทสามารถเคลอนทเปนวงกลมและคามม เมอสมประสทธความเสยดทาน = วธท า พจารณาหาคา V ของรถ จาก FY = 0 จะได f = mg แทนคา N = mg

N =

mg

จาก R

mvF

2

X จะได R

mvN

2

แทนคา

mg

N และ )cr(R

mg

)Cr(gv;

)Cr(

mv 22

)Cr(gV ตอบ

พจารณาคา tan จาก ของแรง

จากรป tan =

1tanN

N

N

f ตอบ

ตวอยางท 56 รถคนหนงลอรถหางกน 2 เมตร จดศนยรถสง 0.5 เมตร ก าลงแลนบนถนนราบซงมรศมความโคง 20 เมตร และถนนมสมประสทธความเสยดทาน 0.5 จงหาวารถจะตองวงดวยอตราเรวเทาใดจงปลอดภย

วธท า หาอตราเรวรถจากลกษณะรถตามสมการ h2

LrgV

จากโจทย V,10g,5.0h,20r,2L

แทนคา V= 205.02

10202

x

xx m /s

หาอตราเรวรถจาก สภาพถนนตามสมการ rgV จากโจทย =0.5 ; r =20; g =10; V= แทนคา 1010x20x5.0V m / s แสดงวารถวงเลยวโคงดวยอตราเรวสงสด 10 m / s จงปลอดภย ตอบ 2.11 การค านวลการเคลอนทวตถเปนวงกลมแนวดงมขนตอน ดงน 1. ทต าแหนงวตถอยใหตงแกนในแนวสมผสและรศม

2. เขยนแรงทเกดขนกบวตถใหครบแลวแตกแรงใหอยในแนวแกนทงสอง

3. ค านวลคาทตองการจากสมการ F รศม R

mv2

เงอนไขการเคลอนทของวตถเปนวงกลมในแนวดง ณ ต าแหนงตางๆเปนดงน พจารณาการเคลอนทของวตถทผกเชอกเปนวงกลมแนวดง ก าหนดใหวตถมวล m ผกเชอกยาว R แลวแกวงเปนวงกลมแนวดงดงรป

พจารณาแรงทจด A

จาก F รศม r

Amv2

จะได T + mg =R

Amv2

จากสมการความเรวทจด A มคานอยทสดเมอ T = 0

R

Amvmg

2

หรอ VA = Rg

นนคอวตถเคลอนทเปนวงกลมไดเมอทจดสงสดมอตราเรวมากกวาหรอเทากบ RgVa(Rg ) จากรป ปลอยวตถลงมาตามรางแนวดง ถา VA = 0 วตถจะวงออกมาเปนแนวดงดงเสน (1 ) ถา VA< Rg วตถจะวงตอเปนวถโคงดงเสน (2 ) ถา VA Rg วตถจะวงตอเปนวงกลมดงเสน (3 )

พจารณาแรงทจด B

จาก F รศม r

Bmv2

จะได R

BmvT

2

พจารณาแรงท C

จาก F รศม r

Cmv2

จะได T - mg =R

Cmv2

จากสมการคา T จะตองมากกวา mg เสมอ ดงนนเชอกจะขาดทจดนกอนจดอนๆ และจะเคลอนทตอแบบโปรเจคไทล

พจารณาแรงทจด D

จาก F รศม = r

Dmv2

จะได T – mgcos R

Dmg2

--- *

พจารณาจากวตถ m เคลอนทสวนโคงของแนวดง วตถมวล m เคลอนทบนสวน โคงทมรศม R มความเรวท A เทากบ VA

พจารณาท A

จาก F รศม = r

mv2

A

แทนคาจะได

mg - N = R

Amv2

วตถกระเดนหลดท A แสดงวาวตถมความเรวสงนนคอ N = 0 แทนคา N =0 จะได mg = mv2

A / R ; VA = Rg วตถจะเคลอนตอเปนวถโคงดงรป

2.12 ความเรงของวตถทเคลอนทเปนวงกลม ณ ต าแหนงตางๆ การหาความเรงของวตถ ณ ต าแหนงใดๆท าใหการเขยนแรงทเกดกบวตถแลวแตกแรงใหอยในแนวสมผสกบรศม พจารณาท A ทจด A มแรงกระท าเพยงแนวเดยวคอแนวรศม ดงนนจงมเฉพาะความเรงสศนยกลาง

AC แนวเดยวเทานน aA = ac = R

Av2

ความเรงท B ทจด B มแรงกระท า 2 แนวคอ สมผสและรศมจงมความเรง 2 แนวคอ aT และ aC

aC = TT

2

mamg(ga;R

BV )

222

BT

22

CB g)R

v(aaa

ความเรงท C ทจด C มแรงแนวเดยวคอ แนวรศมดงนนจงมความเรงแนวเดยวคอ R

Va

2

C

C

ความเรงท D ทจด D มแรง 2 แนวคอแนวรศมแลพะแนวสมผสดงนนความเรงจงม 2 แนวคอ aC และ aT

aC = )masinmg(singa;R

vTT

2

D

222

DD )sing()

R

v(a

ตวอยางท 57 จากรป คาทจดต าสดของการแกวงความตงเชอก T ของเสนเชอกเปน X เทาของ mg แลวละกจงหาความเรวของวตถในเทอม ของ X เปนเมตร / วนาท วธท า ณ ต าแหนงต าสดตงแกน X ในแนวสมผสและแกน Y ในแนวรศม

จาก r

mvF

2

c แทนคาจะได X mg – mg =r

mv2

mg(X-1) )1X(gv;mv 2

2

V = )1x(g ตอบ ตวอยางท 58 จากรปวตถขนาดเลกมวล m =0.1 kg. แกวงเปนวงกลมตามแนวดงเชอกยาว R =1 เมตร ขณะทเชอกท ามม = 300 กบแนวดง มวลมอตราเรว V =2 m/s

ก. จงหาความเรงสศนยกลางและแนวเสนสมผส ข. หาความเรงลพธ ค. หาแรงตงในเชอก

วธท า หาความเรงสศนยกลาง (aC)

จาก 41

2

r

Va

22

C m/s2

จากรปความเรงแนวเสนสมผส aT จะได

aT = g sin 300 =10 x 52

1 m/s2 ตอบ

หาความเรงลพธ

2

Taa 2Ca

= 22 54 = 2516 = 41 = 6.4 m/s2 หาความตงเชอก

จาก R

mVF

2

C

แทนคา T - mgcos300 = R

mV 2

T - 0.1 x 10 x 2

3 = 1

2x1.0 2

T - 0.866 = 0.4 T = 1.266 นวตน ตอบ ตวอยางท 59 วตถอนหนงเคลอนทเปนวงกลมในแนวดงดวยรศม r อตราเรว v คงท จดศนยกลางของวงกลมสงจากพนโลก 2r ความเรงเนองจากแรงดงดดของโลกมคา g ก. ถาวตถถกปลอยใหหลดออกทต าแหนง P วตถจะตกไกลจากจด X เทาไร ข. แตถาวตถถกปลอยใหหลดทจด Q วตถจะตกไกลจากจด X เทาไร

วธท า ถาวตถหลดท P จะเคลอนทในแนวดงท าใหตกหางจากจด X = r ดงรป ถาวตถหลดท Q จะเคลอนทแบบโปรเจคไทลถงพนท S Q S แนวดง ; u = 0, g = g, h = 3r , t = ?

จาก h = ut + 2

1 gt2

3r = 0 + 2

1 gt2

t = g

r6

Q S แนวดง ; จาก X = vt

X = v g

r6

ดงนนวตถถงพนหางจาก X = v g

r6 ตอบ

ตวอยาท 60 ทสวนลางของโคงในแนวดงชายคนหนงมมวล 60 Kg ก าลงขบรถอยโดยทนงบนตาชง กมดน าหนกจากตาชงปรากฏวาอานได 800 N ก. ถาความเรวเทากบ 30 m / s จงหารศมความโคงน

ข. ถาความเรวรถเทากบ 60 m / s จงหาวาเขาจะอานคาน าหนกไดเทาไร วธท า สเกตรปจากโจทย

จาก FC = r

MV2

แทนคา N – 60g = R

mv2

800 - 600 = R

900x60200;

R

30x60 2

R = 270 m รศมมความโคง = 270 m ตอบ ถา V = 60 m/ s , N =

จาก r

mvF

2

C

แทนคา N – 600g = 270

60x60 2

N – 600 = 800 N = 600+800 = 1400 N

เขาจะอานน าหนกได 1400 นวตน หรอ 140 Kg ตอบ ตวอยางท 61 ลกกลมเลกๆ มวล m แขวนนงทปลายลวดเบา 2 เสน ถาตดลวดเสนใดเสนหนงใหขาดจงหาอตราสวนของแรงตรงในเสนลวดเสนทเหลอ ขณะทเสนลวดเสนหนงขาดตอแรงตงในเสนลวดนนกอนทลวดอกเสนหนงจะขาด วธท า หาแรงตงเชอกกอนขาด จากรปขวามอ จากรป FY = 0 จะได 2T sin 600 = mg

2T mg)2

3(

T =3

mg ----------------(1 )

หาแรงตงเชอกเมอเชอกขาด มวล m จะแกวงเปนสวนโคงวงกลมแนวดง

r

mvF

2

C จะได T’ - mgcos300 =r

mv2

แต V = 0 จะได T’ – mgcos 300 = 0

2

mg3'T -----------(2 )

(1 ) / (2 ) 3/2mg3

2x

3

mg

T

T '

หรอ 2

3

T

T

ตอบ

ตวอยาท 62 จากมวล m ไดกระเดนจากจดยอดสดของรปครงวงกลม โดยปราศจากแรงเสยดทานจงหามวล m จะตกถงพนหางจากผวทรงกลมเทาได วธท า มวล m หลดท A แสดงวา N = 0

จาก r

2mvyF จะได

R

2mvNmg

เนองจาก N= 0 แทนคา R

2mvmg

V = Rg หา t จาก A B แนวดง UY =0 ; g =10; h =R

จาก 2gt2

1Uth จะได

5

Rt);2t10x

2

1(0R

หาระยะแนวราบจาก X =UXt = R414.15

RRx10

5

RxRg

มวล m ตกหาจากผวทรงกลม = 1.414 R – R = 0.414 R ตอบ

ตวอยาท 63 รถไฟมวล 100 Kg ตลงกาเปนวงกลมแนวดงรศม 5 เมตร ก าลงวงดวยอตราเรว 10 m/s ทจดสงสดดงรป จงหาแรงปฏกรยาทรางกระท าตอรถไฟ วธท า ตงแกน X และ Y ทรถแลวเขยนแรง กระท าทรถ

จาก F รศม r

2mv จะได N+ mg =

r

2mv

แทนคา N + 100 x 10 =5

210x100 N = 2000x1000 = 1000 นวตน ตอบ

ตวอยาท 64 รถคนหนงมวล 500 Kg ก าลงวงอยบนถนนทมความโคงในแนวดง 10 เมตรอยากทราบวาตองวงดวอตราเรวเทาใดจงจะกระเดนหลดจากรางทต าแหนง A วธท า ตงแกน X และ Y แลวเขยนแรงกระท าทรถ

จาก F รศม r

2mv จะได

mgcos 370 – N = r

2mv

แตรถกระเดนหลด แสดงวา N = 0

แทนคา mgcos370 – 0 =r

2mv

10

2v

5

4x10

V2 = 80 หรอ V = 8.9 m / s ตอบ ตวอยาการค านวณวงกลมและพลงงาน ตวอยาท 65 ลกตมมวล m แขวนดวยเชอกยาว ปลอยลกตมลงมาจากต าแหนง A ซงเชอกแขวนลกตมอยในแนวระดงรปขณะเมอลกตมเคลอนทลงมาทต าแหนง B ซงลกตมท ามม 600กบแนวดง ความตงในเสนเชอกขณะนนจะเปนเทาใด (g คอความเรงเนองจากความโนมถวง )

วธท า วตถเคลอนทเปนวงกลมแนวดง ใหเขยนแรงตางๆ ทวตถ ดงรปบน (ขวามอ) หาความเรวไดจาก EA = EB

แทนคา mg 2B

mv2

160cos

V2B = g

พจารณาแรงท B จะได R

2mvcF

T - mgcos 600 = l

mgl

mg2

mgT

T = 2

mg3

ตวอยาท 66 เมอกดสปรง S ซงมคานจสปรงเทากบ 250 นวตน / เมตร เขาไปจากต าแหนงสมดล แลวปลอย สปรงจะผลกใหวตถทรงกลมเลกๆมวล 100กรมใหเคลอนทไปตามเสนทาง ACB โดยเสนทาง A และ C อยในแนวราบ สวนเสนทาง B เปนสวนโคงของวงกลม รศม 50 เซนตเมตร และมระนาบของวงกลมอยในแนวดง ดงรป อยากทราบวาจะตอง ออกแรงกดสปรงอยางนอยทสดกนวตนจงจะท าใหวตถเคลอนทไปตามเสนทางได

วธท า มวล m เคลอนจาก (1 ) ไป (2 ) ไมมแรงภายนอกกระท าจะได E1 = E2

แทนคา mgh22

mv2

12kx2

1

1x10x1.022

V1.0x2

12x250x2

1

125x2 = 0.05V22+ 1

X= 125

122

V05.0 ------------(1 )

สมการ (1 ) X จะมคานอยทสด เมอ V2 มคานอยสด หา V2 นอยสดจากการเคลอนท

วงกลม จาก FC = r

2mv

แทนคา N + mg = r

22

mv

V2 นอยทสดเมอ N = 0 จะได mg = r

22

mv

V2 = 510x5.0rg

แทน V2 ใน (1 ) จะได X = 01.0125

25.1

125

12)5(05.0

F = Kx =250 x 0.1 = 25 N ตอบขอ ก.

ตวอยางท 67 มวล m ถกดดในแนวระดบจากยอดของผวครงทรงกลม รศม R ดวยความเรวตน V0 = gR4.0 ซงจะท าให m ไถลไปบนผว (ซงในทนเกลยและลน ) จนกระทงถงต าแหนง Aในรป m ถาเรมหลดออกจากผวและไมเคยแตะผวอกเลยอยากทราบวา cos เทาไร

วธท า เนองจากมวล m ขยบจาก B ไป A ไมมแรงเสยดทานและแรง P ใดๆมากระท า ดงนน จะได EB = EA ใหตงเสนอางองทจดต าสดคอจด A แลวท าการหาระยะตางๆ

จากรป V0 = gR4.0 และ H = R - Rcos แทนคาในสมการ EB = EA จะได

2

1 mv20+ mgh =

2

1 mv2A

v20+ 2gh = vA

2 ( gR4.0 )2+ 2g (R-Rcos ) = v2

A

v2A = 0.4gR + 2gR(1-cos )

v2A = gR(0.4 + 2-2cos )

= gR(2.4 - 2cos ) ------------(1) พจารณาเงอนไขวงกลมทจด A ใหแตกแรงเขาสแนวสมผสและรศม จะได

FC = R

mv A2

แทนคาจะได mgcos = R

)cos24.2(mgR

cos = 2.4 - 2cos

3cos = 2.4 cos = 0.8 cos มคา = 0.8 ตอบ ตวอยางท 68 จากรปมวล m ถกปลอยใหไถลลงมาตามทางลาด ซงไมมแรงเสยดทาน ถาหวงดงรปมเสนผาศนยกลาง d

จงหาวา h จะตองมคานอยสดเทาใด จงท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมไดและความเรวท B เปนเทาไร

วตถเคลอนทจาก A B ไมมแรงเสยดทานและแรงภายนอกมากระท า

จะได EA = EB

แทนคา mgh = 2

1 mv2B

h = g2

v B2

----(1)

วตถเคลอนทจาก B C ไมมแรงเสยดทานและแรงภายนอกมากระท า จะได EB = EC

แทนคา 2

1 mv2B =

2

1 mv2C+ mgd

v2B = vC

2 + 2gd ---(2) จากสมการ (2 ) VB มคานอยทสดเมอ VC มคานอยทสด พจารณาเงอนไขวงกลมทจด C

จาก FC = R

cmv2

แทนคา N + mg =

2

d

cmv2

VC นอยทสด แสดงวาแรงปฏกรยา N เปนศนย

mg d

cmv2 2

V2C =

2

gd -----------(3 )

แทน (3 ) ใน (2 ) ; V2B = V2

C + 2gd =2

gd5gd2

2

gd

VB = 2

gd5

แทนใน (1 ) ; hmin = 4

d5

g4

gd5

g2

Bv2

ตอบ

ตวอยางท 69 ผกวตถมวล 0.5 กโลกรม ทปลายขางหนงของสปรงหนกเบาซงยาว 0.5 เมตร ใหวตถเคลอนทเปนวงกลม รศม 0.7 เมตรในแนวราบ พบวาวตถเคลอนทได 20 รอบในเวลา 10 วนาท จงหาคาคงทของสปรงวาเทากบ กนวตนตอเมตร วธท า จากรป แรงในสปรง F = kx = (0.7 - 0.5 ) x F = 0.2x พจารณาการเคลอนทเปนวงกลม

จาก FC = r

mv2

จะได

F = r

)rf2(m

r

mv 22

F = 42 f2 mr แทนคา 0.2x = 4 x (3.14)2 (2 )2 (0.5) (0.7 ) 0.2x = 55.21 x = 276.05 N / m ตอบ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------