2. การเคลื่อนที่แบบวงกลม · 2012-05-27 · 2.3...
TRANSCRIPT
เอกสารประกอบการเรยนวชาฟสกส หนวยการเรยนรท 4 เรอง การเคลอนทแบบตางๆ : การเคลอนทแบบวงกลม
2. การเคลอนทแบบวงกลม
2.1 ลกษณะการเคลอนทเปนวงกลม การเคลอนทของวตถเปนวงกลมคอ การเคลอนทของวตถทมแรงกระท าตงฉากกบความเรวอยตลอดเวลา ดงรป 14.8
รปท 14.8 แสดงการเคลอนทของวตถเปนเสนตรงและวงกลม สรปลกษณะการเคลอนทของวตถแบบตางๆ ไดดงน
รปท 14.9 แสดงการเคลอนทของวตถแบบตางๆ 1. ถาแรง F ขนานกบความเรวจะไดการเคลอนทเปนเสนตรง 2. ถาแรง F กบความเรวท ามม อยระหวาง 0 ถง 1800 จะไดการเคลอนทเปนวถโคง 3. ถาแรง F กบความเรงตงฉากกนจะไดการเคลอนทเปนวงกลม จากรป ทศของแรงกคอทศของความเรง
2.2 ความเรงของการเคลอนทเปนวงกลม เนองจากการเคลอนทของวตถเปนวงกลม มแรงลพธ
ในแนวตงฉากกบความเรวอยตลอดเวลา ดงนนความเรงทเกดขนจะตองตงฉากกบความเรวตลอดเวลาดวยเราเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง
ถาวตถเคลอนทเปนวงกลมมแรงมากระท ากวาหนงแนวจะท าใหเกดความเรงขนสองแนวดวยกน คอ แนวสศนยกลางและแนวเสนสมผสซงแยกการพจารณาไดดงน
2.2.1 วตถทเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรงคงท ไดแกการเคลอนทของวตถเปนวงกลมทมแรงลพธตงฉากกบความเรว สวนใหญไไดแกการเคลอนทเปนวงกลมในแนวราบจะเกดความเรงสศนยกลางเพยงแนวเดยวเทานน และในกรณอตราเรวของวตถจะมคาคงท
การหาความเรงสศนยกลาง (ac) ก าหนดใหวตถอนหนงวงเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท v จาก A ไป B ในชวงเวลาสน ๆ t ตองการหาความเรงทเกดขน
รปท 14.10 ความเรงของวตถวงเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท
จากนยามความเรง a =dt
dv หรอ t
VV AB
otlim
จากโจทยจะได a = t
V
เขยนรป vector ของความเรวจะไดดงรป (B )
YZ ;AoB จะได XZ
AO
YZ
AB แทนคา
r
v
t
v
v
r
V
tV
2
แต t
v
= ความเรงของการเคลอนทเปนวงกลม
ดงนนจะได a = r
v2
และมทศสศนยกลาง
ถาให ac = ความเรงสศนยกลาง ดงนนจะได
ac = r
v2
นนคอ วตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงทจะเกดความเรงเพยงแนวเดยวเทานนคอ แนวสศนยกลางคอ ca
2.2.2 วตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวไมคงท ไดแกการเคลอนทของวตถเปนวงกลมทมแรงกระท าหลายแนว เชน การเคลอนทเปนวงกลมในแนวดงภายใตแรงดงดด ของโลกจะเกดความเรงขน 2 แนวคอ แนวสมผส Ta และแนวสศนยกลาง ( ac ) อตราเรวของการเคลอนทในกรณนจะมคาไมคงท การหาความเรงของการเคลอนท ก าหนดให วตถอนหนงเคลอนทเปนวงกลม โดยม อตราเรวท A เทากบ vA และมอตราเรวท B เทากบ vb โดยใชเวลาเคลอนทจาก A ไป B นานเทากบ t ซงเปนเวลาสนๆ ตองการหาความเรงของการเคลอนท
รปท 14.11 ความเรงของวตถวงเปนวงกลมดวยความเรวไมคงท
หาความเรงจาก a = t
vv Ab
otlim
ถา vb > vA เขยนรป Vector จะได Vector ของเราเปน XYZ โดยม XZ เปนทศของ v คอทศของความเรงทเกดขน ถาให Vb > VA จะได vc คอดาน PZ มทศสศนยกลาง คอความเรงสศนยกลาง ( ac ) จาก ของ Vector PXZ จะได PX เปนทศความเรงแนวเสนสมผส ( at )
จาก PXZ จะได tacaa
วตถเคลอนทเปนวงกลมจะไดเสนสมผสตงฉากกบรศม
ขนาดความเรง a = 2t
2c aa
ac ความเรงสศนยกลาง = r
v2
at = ความเรงแนวสมผสขนอยกบต าแหนงทวตถอย
2.3 การหาแรงทท าใหวตถวงเปนวงกลม ก าหนดใหวตถมวล m ถกกระท าดวยแรง Fc (ผลรวมของแรงสศนยกลาง) ท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงทและมรศมเทากบ r จากกฎของนวตน F = ma
แต ac = r
v2
Fc = r
mv2
2.4 อตราเรวของการเคลอนทเปนวงกลม การเคลอนทของวตถเปนวงกลม เราสามารถก าหนดอตราไดหลายลกษณะดวยกนดงตอไปน
1. อตราเรวเชงเสน (V) คอความยาวตามสวนโคงของวงกลมทวตถเคลอนทไดในเวลา 1 วนาทมหนวยเปน เมตร/วนาท
2. อตราเรวเชงมม ( ) คอมมทจดศนยกลางมหนวยเปนเรเดยนทรองรบความยาว สวนโคงของวงกลมทเคลอนทในเวลา 1วนาท มหนวยเปน เรเดยน /วนาท
3 . อตราเรวเปนรอบ (f )คอจ านวนรอบของวตถทเคลอนทเปนวงกลมในเวลา 1วนาทมหนวยเปน รอบ /วนาท
4. อตราเรวเปนคาบ (T) คอเวลาทวตถเคลอนทเปนวงกลมครบ 1 รอบ มหนวยเปน วนาท 2.5 ความสมพนธระหวางอตราเรวเชงมมและเชงเสน ก าหนดใหวตถมวล m เคลอนทจาก A B ในเวลา 1 วนาทจะไดความยาวสวนโคงเทากบ v และทจดศนยกลางรองรบสวนโคงเทากบ รศมของวงกลมเทากบ r จากความรตรโกณจะไดมมทจดศนยกลางเปนเรเดยน = สวนโคง รศม
จากรปแทนคา = r
v
จะได v = r
ขอสงเกต ความสมพนธระหวาง v,,f และ T เขยนไดดงน
v = 2 rf หรอ v = T
r2
f หรอ T
2
สรปสตวงกลม จะได ac = r
v 2
= 2r
FC = r
mv 2
=m2r
2.6 อตราเรวของวตถผกตามระยะตาง ๆของเชอกแกวงเปนวงกลม ก าหนดใหมวล A และ B ผกทระยะ 1R และ R2 จากจดหมนตามล าดบแลวแกวงเปนวงกลมบนพนระดบดานอตราเรวเชงมม ดงรป 14.12
รปท 4.12 วตถทผกในเชอกเสนเดยวกนแลวแกวงเปนวงกลม จะมอตราเรวเชงมมเทากน
จากรปวตถเคลอนทจาก X Y .ในเวลา 1วนาท จะได A= B = และ VA = R1 , VB = R2 ดงนนจะได VB VA
แสดงวาอตราเรวเชงมมของวตถ ทผกตามระยะตางๆของเชอกจะไดคาเทากน แตอตราเรวเชงเสนขนกบรศม 2.7 การค านวณการเคลอนทเปนวงกลม วตถเคลอนทเปนวงกลมทเราพบเหนมอยหลายลกษณะดวยกน เชน การแกวงวตถเปนวงกลมแนวราบในอากาศ. การเลยวโคงของรถยนต.การเคลอนวตถเปนวงกลมในแนวดง เปนตน
a) การแกวงวตถเปนวงกลมแนวราบ b) วตถวงเปนวงกลมทขางกรวย
c) วตถวงเปนวงกลมแนวดง รปท 14.13 แสดงการเคลอนทของวตถเปนวงกลมลกษณะตางๆ
เพอความสะดวกในการค านวณโจทยเกยวกบวงกลม เราไดแยกการค านวณโจทยเปน 2 พวกคอ 1. การเคลอนทของวตถเปนวงกลมแนวราบไดแก วงกลมดงรป 14.13a และ b เปนตน 2. การเคลอนทของวตถเปนวงกลมแนวดงไดแกวงกลมดงรป 14.13c 2.8 การค านวณการเคลอนทวตถเปนวงกลมแนวราบ มขนตอนการค านวณดงน 1. ใหเขยนระนาบวงกลมขณะทวตถมการหมน 2. ณ ต าแหนงทวตถอยใหตงแกน x ในระนาบวงกลมผานจดศนยกลาง และแกน y ตงฉากกบระนาบวงกลม 3. เขยนแรงทเกดขนกบวตถใหครบแลวแตกแรงใหอยในแนวแกน x และ y
4. ค านวณหาคาทตองการจากสมการ r
mvF;0F
2
Xy
ตวอยางขนตอนการค านวณ 1. จากรปวตถมวล m วางอยบนแปนวง กลมทมสมประสทธความเสยดทาน u หมนเทากบ r จงหาอตราเรวเชงมมสง
สดในการหมนของแปนเพอทจะไมท าใหมวล m ไถลออกไป
วธท า ท าตามขนตอนตอไปน 1. สเกตรประนาบวงกลมของวตถดงรป
2. ตงแกน X และ Y 3. เขยนแรงทเกดกบวตถมวล M 4. ค านวณหาอตราเรวเชงมมจาก FY= 0 จะได N= mg ….(1) FX =m2 r จะได f = m2 r หรอ rmN 2
………. (2)
(2) / (1) = g
r2
= r
g ตอบ
2. จากรปมวล M และ m ผกดวยเขอก ทปลายทงสองขางแลววางอยบนโตะ เกลยงในลกษณะดงรป โดยใหมวล M หมนบนโตะดวยรศม r เมตร จงหาอตราเชงมมของมวล M เพอ ท าใหมวล m อยนงกบท วธท า คดทมวล m หยดนง จาก FY = 0 เขยนแรงทเกดกบมวล m จะได T = mg ……… (1 ) คดทมวล M เคลอนทเปนวงกลม ตงแกน Xและ Y แลวเขยนแรงทเกดกบมวล M จาก FX = M 2 r จะได T = M 2 r
แทนคา mg = M 2 r ;Mr
mg ตอบ
3. จากรปมวล m = 1กโลกรมผกเชอกยาว 20 เมตร ปลายหนงผกกบเพดาน ใหมวลm แกวงเปนวงกลม แบบ
กรวย ดวยอตราเรว 2
1 รอบตอวนาท จงหาวาเสนเชอกท ามมกบแนวดงเทาไร
วธท า ตงแกน X และ Y แลวเขยนแรงทเกดกบวตถมวล m ดงรป จากรป r =L sin = 20sin
V = 2 sin20r)2
1(r2rf
จาก FY= 0 จะได Tcos = mg ……(1)
FX = r
mv 2
จะได Tsin =r
mv 2
แทนคา V = r จะได Tsin = mrr
mr 2
แทนคา r = 20sin จะได Tsin = m20sin T = 20m ………….(2)
(1) / (2) cos = 2
1
20
10
m
m
= 60 ตอบ 4 . จากรปมวล m กโลกรม ผกเชอกยาว L เมตร แลวยดปลายขางหนงกบหลกดงรป แปนวงกลม หมนดวยอตราเรวเชงมมเทาใดจงจะท าใหเชอก ทผกมวล m เอยงท ามมกบหลกเทากบ`
วธท า สเกตระนาบวงกลมของมวล m แลวตงแกน X และ Y จง เขยนแรงกระท าตอมวล m ดงรป จากรป FY = 0 จะได Tcos = mg ………(1 ) FX = m2 r จะได Tsin = m2 ( R+Lsin) ……(2 )
(2 ) / (1 ) g
)sinLR(
cos
sin 2
gtan = )sinLR(2
=
sinLR
tang ตอบ
5 .วตถมวล m เคลอนทบนผวในของกลม เกลยวดวยอตราเรวเชงมมเรเดยนตอวนาท โดยขางกรวยท ามมกบแนวดงเปนมม จงหา รศมการหมนของมวล m วธท า เขยนระนาบวงกลมทมวล m แลวตงแกน X และ Y จงเขยนแรงกระท าตอมวล m ดงรป จากรป 0Fy จะได Nsin = mg ………(1 ) XF m2r จะได Ncos = m2r ………(2)
(2 ) / (1 ) จะได g
r
sin
cos 2
cot = g
r2
r =2
cotg
ตอบ
6. รถยนตคนหนงก าลงวงเลยวโคงบนถนนเอยงมรศมความโคง r เมตรดวยอตราเรว v เมตรตอวนาท จงหามม ของถนนทกระท ากบแนวระดบเพอทจะไมท าใหรถกระเดนออกจากถนน ก าหนดใหความเสยดทานของถนนมคานอยมาก
วธท า เขยนระนาบวงกลมทรถ แลวตงแกน x และ y จงเขยนแรงกระท าตอรถดงรป
จากรป 0Fy จะได Ncos = mg ………(1 )
XF r
mv 2
จะได Nsin = r
mv 2
………(2)
(2 ) / (1 ) จะได rg
v
cos
sin 2
นนคอ tan = rg
v 2
จะได =rg
vtan
21 ตอบ
2.9 ตวอยางการค านวณการเคลอนทเปนวงกลมแนวราบ ตวอยางท 33 เชอกเบาเสนหนงยาว 1 เมตร รบน าหนกไดเตมท 100 นวตนถาน าหนกเกนกวานแมเพยงเลกนอยเชอกจะขาดทนทน ามวล 4 กก. มาผกปลายเชอกขางหนงของเชอกเสนนสวนปลายอกขางหนงของเชอกตรงไวกบจดพนราบทปราศจากความเสยดทาน ถาใหมวลนเคลอนทเปนวงกลมบนพนราบจดตรงเรวขนทกทจงหาวามวลนเคลอนทดวยอตราเรวสงสดเทาไรโดยเชอกไมขาดและหลงจากเชอกขาดได
2
1 วนาท มวลจะอยหางจากจดทตรงปลายเชอกเทาไร วธท า เชอกรบน าหนกได 100 นวตน มความหมายได 2 กรณดวยกนคอ 1. เปนอตราเรวนอยทสด ทท าใหเชอกขาด 2. เปนอตราเรวทมากทสด ทท าใหเชอกไมขาด หาอตราเรวสงสดทท าใหเชอกขาด ตามขนตอนในหวขอ 2.8
จากซายมอ FC = r
mv 2
จะได T = r
mv 2
แทนคา 100 = 1
4 2v
v2 = 25 ; v = 25 m /s อตราเรวสงสดทท าใหเชอกไมขาด = 5 m /s ตอบ
ใหเชอกขาดได s2
1 วตถทอย B
AB = v t = 5 m5.22
1
OB = 2222 5.21ABAO = m7.225.725.61
เชออกขาดได S2
1 วตถอยหางจากจดตรง = 2.7 เมตร ตอบ
ตวอยางท 34 ถาตองการใหวตถทวางไวทอเควเตอรเหมอนไมมน าหนก โลกจะหมนดวยอตราเรวเชงมมเทาใดและโดยการหมนชนดนวนหนงๆจะปรากฏวามกชวโมง ก าหนดใหรศมโลก 6400 กโลเมตร วธท า น าหนกของวตถทอานไดบนพนโลกกคอวา Tension หรอ Reaction ระหวางวตถกบตาชง ดงนนวตถไมมน าหนก แสดดงวา T = 0 สงเกตรปกการหมน เมอโลกหมนวตถจะหมนไปกบโลกดวย FC = m2r
rmTmg 2 วตถไมมน าหนก แสดงวา T = 0 mg m2r
= 3106400
10
xr
g
= 324 1025.1108
110
64
1 xxx rad /s
โลกตองหมนดวยอตราเรวเชงมม = 1.25 x10-3 rad /s วนหนงโลกหมนรอบตวเองได 1 รอบเปน = 2 rad โลกหมนได 1.25 x 10-3 rad ในเวลา = 1 วนาท
2 = 31025.1
2x
= 39.1360025.1
1014.32 3
x
xx ชม.
วนหนงจะม = 1.39 ชวโมง ตอบ ตวอยางท 35 จากรปมวล 10 และ 5 กโลกรมผกทปลายทงสองของเชอกคลองบนรอกเกลยงเบาและรศม มนอยมาก มวล 5กโลกรม หมนรออบแนวดงเพอใหมวล10 กโลกรม อยไดนงโดยไมหลนจงหาขนาดของมม และอตราเรวของมวล 5 กโลกรมก าหนดใหความยาวเชอกจากรอกถง มวล 5 กโลกรมเทากบ 3 เมตร วธท า พจารณาทมวล 10 kg
0F T = 100 พจารณาจากรป 5 Kg 0FY Tcos = 5g 100cos = 50
cos = 2
1
100
50
= 60
จากr
mvF
2
X แทนคา Tsin =sin3
mv2
100sin60 = 222
v560sin300;60sin3
v5
v2 = 60( )2
3 = 60x 454
3
อตราเรวเชงมม 5 กโลกรม = 6.75 เมตร / วนาท ตอบ
ตวอยางท 36 อนภาค2ชนมมวลเทากนผกตดอยกบเชอก ดงรปโดยอยหางเปนระยะ 8 เมตรถกแกวงเปนวงกลมพนระดบดวยอตราเรงเชงมม คงท จงหาอตราสวนของความตงในเสนเชอกระหวางเสนเชอกนอกและใน
วธท า เนองจากมวล A และ B ผกเชอกเสนเดยวกน ดงนนจงม เทากน พจารณาแรงทมวล B FX = m2r ; T1 =m2r T1 = m2( 16 ) …………….(1 ) พจารณาแรงทมวล A FX = m2r T2- T1 = m2(8 ) ………….(2 ) (1) + (2 ) จะได T2 = 24m2 …………(3 )
(1 ) / (3 ) จะได 3
2
m24
m16
T
T2
2
2
1
อตราสวนของความตงเชอกเสนนอกตอเสนใน = 2 3 ตอบ ตวอยางท 37 ลกตมมมวล 1 กก. ผกตดเชอกเบายาว 20 เมตร โดยทปลายบนของเชอกผกตดกบเพดาลถาลกตม
ถกท าใหแกวงแบบกรวยในอตรา
30 รอบ /นาท จงหาวาเชอกจะเอยงท ามมเทาใด
วธท า จากโจทย f =
30 รอบ / นาท
=
2
1
60x
30 รอบ /นาท
v = 2Rf
= 2(20sin ) x
sin202
1
FY =0 จะได Tcos = 1g …….(1 )
FX =r
mv2
จะได Tsin
sin20
)sin20(1 2
Tsin = 20sin T = 20 ……..(2 )
(1 ) / (2 ) จะได cos =2
1
20
10
20
g
= 60 ตอบ ตวอยางท 38 วตถมวล m1 และm2 ซงไมเทากนตางเชอมตอกบปลายขางหนงของลวดแขงแตไรน าหนกยาว L โดยทอกปลายหนงของลวดคลองไวกบทยดบนเพลา J. เพลา J อยในแนวดงเมอหมนเพลา J ดวยความถ f มวล m1 และ m2 เหวยงกางออกอยางอสระกนเปนมม 1 และ 2 ตามล าดบ จงหาความสมพนธระหวาง 1 และ 2 วธท า มวล m1 และ m2 ผกกบหลกเดยวกน แสดงวาอตราเรวเชงมมเทากบ พจารณาแรงทมวล m1 ใหสเกตระนาบวงกลมและตงแกน X และ Y ดงรปแลวแตกแรงใหอยในแนวแกน X และแนวแกน Y F2 = 0 จะได Tcos1 = m1g ……..(1 ) FX = m2R จะได Tsin1 = m1(2f)2R Tsin 1 = 42f2m1(Lsin1) T = 42f2m1L ……………….(2 )
( 1 ) / (2 ) จะได cosLf4
g221
………….. (3 )
ในท านองดยวกน พจารณาทมวล m2 จะได Lf4
gcos
222
…….(4 )
(3 ) = (4 ) จะได 21 coscos 21 ตอบ
ตวอยางท 39 จากมวล m = 100 กโลกรมแตะอยกบผวกรวยกลมเกลยง โดยมมวลเบายดไวกบยอดกรวย ลวดอยในแนวขนานกบผวกรวย ถาผวกรวยเกลยงและกรวยหมนรอบแกน pQ ดวยอตราเรวเชงมม 1 เรเดยน /วนาท ปรากฏวามวล m หมนตดไปกบผวกรวยได จงค านวณหา ก. แรงตงในลวด ข. แรงตรงผนงกรวย ค. ถาตองการใหแรงของผนงกรวยตอมวล m มคาเปนศนย อยากทราบวา คราวนจะตองหมนแกนกรวยใหมอตราเรวเชงมมเทาไร และมวล m ยง คงไปตดกบผวกรวยได วธท า ใหสเกตระนาบวงกลมของมวล m เสนตงแกน X และ Y ทมวล m แตกแรงใหอยในแนวแกน X และ Y ดงรป 0FY จะได mg75sinN37cosT 00
10x1005
N3
5
T4
4T + 3N = 500 …………..(1 ) RmF 2
X จะได 037sinT - Ncos370 = Rm 2
5
T3 - )3()1(1005
N4 2
3T - 4N = 1500
T = 3
N41500 ………..(2 )
แทนคา T ใน (1 ) จะได 5000N33
N41500(4
6000+16N+9N = 15,000 ; 25N = 9000
N = 36025
9000 นวตน ตอบ
แทนคา Nใน (2 ) จะได T = 3
3601500
= 9803
2940 นวตน ตอบ
ถา N = 0 ใหกรวยหมนดวยอตราเรวเชงมม = FY = 0 จะได Tcos 370 = mg
5
T4 = 100 10
T = 4
5000 = 1250 นวตน
FY = m 2 R จะได Tsin370 = m 2 R
12505
3 = 100 2 x 3
2 = 300
750 = 2.5
= 1.58 rad / s ตอบ ตวอยางท 40 ทอนไมยาว 6 เมตรตรงตรงกลางใหตดกบปลายเสาสง 20 เมตร ซงหมน ไดรอบแกนดง (ดงรป) ท
ปลายของงทอนไมมทองเลกๆ ตดอย ถาหมนเสาจนกระทงมอตราเรวเชงมม 2
3 เรเดยน / ววนาท
ทอนเหลกจะหลดออกจากปลายไมทนท จงหา ก. เวลาททอนเหลกหลดจากปลายไมจนกระทบพน ข. ความเรวของเหลก ขณะหลดจากปลายไม ค. ทอนเหลกหางจากโคนเสาเปนระยะทางเทาใด วธท า หาอตราเรวของวตถ จาก V = r
จะได V = 33
2 = 2 m / s ตอบ
เมอวตถหลดมนจะเคลอนทแบบโปรเจคไตล สเกตรปตามลกษณะการ มองในภาพ
BA แนวดง u =0, g =10, h =20, t =?
จาก h = ut + 2gt2
1 จะได 20 = 2xt10x2
10
t2 = 45
20
t = 2 S เวลาททอนเลกหลดออกจากปลายไมจนกระทบพน = 2 S ตอบ
BA ราบ จาก X =ux . t แทนคา X = 2 x 2 = 4 m หาระยะทอนเหลกตกหางจากโคนเสา
จากรป BC = 2591634 22 = 5 m วตถหางจากโคนเสา 5 เมตร ตอบ ตวอยางท 41 มวล m วางอยบนโตะหมน ซงหมนดวยอตราเรวเชงมม เรเดยน /วนาท ทมวลm มเชอกผกอย เสนหนงและปลายเชอกนผกกบมวล m ดงรป ถาสมประสทธความเสยดทาน ระหวางมวล m กบโตะเปน จง หาคา R ทมากทสด และนอยทสดทท าใหมวล m อยนงไมเคลอนทขนลง
วธท า วตถมวล m อยนง จาก 0FX จะได T = mg หา RMAX แสดงวาวตถเตรยมทจะไถลออกแรงเสยดทานจงมทศเขาสศนยกลาง จาก RmF 2
X ; แทนคา T + f = M 2 R
2
2
M
)Mm(gmaxR;RMMgmg
ตอบ
หา minR แสดงวาวตถเตรยมทจะไถลเขาแรงเสยดทาน จงมทศออกจากจดศนยกลาง จาก rmF 2
x แทนคา T- f = M r2 mg - f = m r2 mg - rMMg 2
2min
M
)Mm(gr
ตอบ
ตวอยาท 42 โตะกลมดงรป หมนรอบแนวดงดวยอตราเรว 21 รอบ /นาท วตถมวล m วางหางจากแกนกลาง 1เมตรจงหาสมประสทธความเสยดทานระหวางวตถกบพน วธท า
หา V จาก V 60
21x1x
7
22x2Rf2
= 2.2 m /s
หา จาก R
mvF
2
C จะได mg r
mv2
)10(1
)2.2(
rg
v 22
484.0 ตอบ ตวอยางท 43 มวล 10 กโลกรม แกรงเปนวงกลม 1 เมตรอยบนโตะเกลยงๆ ตวหนงดงรปปลายเชอกอกดานหนงโยงทะลเขาไมชองกลางโตะและผกวตถมวล 20 กโลกรมไว จงหาอตราเรวของมวล 10 กโลกรม ซงสามารถฉดมวล 20 กโลกรม
วธท า พจารณามวล 20 Kg จาก 0Fy แทนคา T = 200 N พจารณามวล 10 Kg
จาก r
mvT;
r
mvF
22
C
200 = 52v;1
v10 2
m /s
อตราเรวของมวล 10 กโลกรม = 52 เมตร / วนาท
ตวอยางท 44 วตถอนหนงมมวล 0.8 กโลกรม ผกลวดเบาสองเสนยาวเสนละ 5เมตร ปลายทงสองของลวดผกกบเสาตงยาวมาก จดทผกอยหางกน 8 เมตร ถาจบใหเสาหมนรอบตวเองดวยอตราเรว 3 เรเดยน / วนาท ปรากฏวาเสนลวดทงสองตง จงหาแรงตงในเสนลวดทงสองนน วธท า จาก 0FY จะได sinTmgsinT 21
)5
4xT()10x8.0(T
5
421
T1 - T2 10 ………… (1 ) จาก = 3 rad /s จะได v = 93x3R m /s
จาก r
mvF
2
X
จะได r
mvcosTcosT
2
21
3
9x8.0
5
3T
5
3 2
1
T1 + T2 = 36 …….. (2 ) (1 ) + (2 ) T1 = 23 นวตน ตอบ ( 2 ) - (1 ) T2 = 13 นวตน ตอบ ตวอยางท 45 จากรปขางลางแสดงเครองทดลองอนหนง m เปนกอนวตถมมวล 0.2 Kg L เปนเชอกเลกๆ ยาว 20 ซม. A ยาว 10 ซม. เครองทดลองนอาจจะหมนในอตรากรอบตอนาท เสนเชอกจงเอยงท ามม 45 กบแนวดงและขณะนนเชอกมความตงเทาใด วธท า เขยนระนาบวงกลมและแรงทมวล m ดงรป จาก 0FY จะได 2mg45cosT T = 22 เชอกมมวลตง = 22 นวตน ตอบ
จาก r
mvF
2
x จะได Tsin45 = 45sin2.01.0
v2.0 2
24.0
v2.0
2
1x22
2
V2 = 2.4 หรอ V =1.55
f = 028.124.0x14.3x2
55.1
r2
v
รอบ /วนาท ตอบ
ตวอยางท 46 ลกบอลมวล m ผกอยกบเชอกหอยอยบนแกนซงตงอยขอบของโตะกลม ดงแสดงในรป จงหาวาโตะจะตองหมนดวยอตราเรวเชงมมเทาไร จงจะให = 45 ก าหนดให = 6 ซม. 10r ซม. วธท า พจารณาแรงทมวล m ; YF 0 จะได 2T;mg45cosT mg
จากr
mvF
2
x จะได Tsin 45 = r
mv2
แทนคา T ; จะได r
mv
2
1mgx2
2
V2 = rg หรอ V = rg
จาก = r
v จะได 45sin06.01.0
10
r
g
r
rg
= 2.70
1424.0
10
โตะจะตองหมนดวยอตราเรวเชงมม = 8.38 เรเดยน /วนาท ตอบ ตวอยางท 47 จากรป Aและ B เปนวตถซงมมวลอนละ 10 กโลกรมผกอยปลายทงของลวดเบา ซงคลองอยดงรป โดยวตถ A อยดานบนเอยงของกรวย โดยมระยะหางจาก B 1 เมตร จงหาอตราเรวของวตถ A ทแกวงเปนวงกลมตามแนวดานเอยงของกรวย ซงท าใหมวล B อยนงๆ โดยไมหลน วธท า
คดทมวล B ซงอยนง จาก 0Fy แทนทจะได T =100 คดทมวล A เคลอนทเปนวงกลม จาก FY = 0 จะได 10035sim10035cosN 0.6N + (100 x 0.8 ) = 100
3
100
6.0
20N
จาก r
mvF
2
x จะได 100cos53 R
mv2
1
v10)8.0x
3
100()6.0x100(
2
60 - 26.7 = 10v2 ; V2 = 3.33 อตราเรวของวตถ ( V ) = 1.82 m /s ตอบ
ตวอยางท 48 เหรยญบาทอยในกรวยแกวผวเกลยง ซงหมนรอบแนวแกนดงดวยอตราเรวเชงมม คงทดงรป จงหาคา X ทท าใหเหรยญบาทหยดนงเทยบกบกรวยแกว วธท า จากรป FY = 0 จะได N sin = mg ……… (1 ) RmF 2
x จะได Ncos = m2R แต R = Xsin แทนคา Ncos = sinxm 2 …………(2 )
(2 ) / (1 ) g
sinx
sin
cos 2
X = 22 sin
cosg ตอบ
ตวอยางท 49 ถาครงทรงกลมหมนไปรอบแกนแนวดงดวยอตราเรว เรเดยน /วนาท วตถ A สมผสกบผวของถงและอยนงสมพทธกบถง ถาผวรนทกผว จงหาระยะ h
วธท า จากรป mgsinN;0Fy …………….. (1 )
rmcosN;rmF 22
x แต cosRmcosN;cosRr 2 N = m2 R …………..(2 )
(1 ) / (2 ) R
gsin
2
แต R
g
R
hRsin
2
h = 2
gR
ตอบ
ตวอยางท 50 จากรปแรงเสยดทานระหวางบลอกกบพนเอยงเทากบ 20 Nจงหา อตราเรวเชงมมของจานเมอบลอกเรมเคลอนทขน วธท า เมอกลองเรมเคลอนทขนแรงเสยดทาน 20 N มทศทางลง จาก FY = 0 จะได Ncos 37 = 20sin37 + 50
5.774
5x62N;50
5
320)
5
4(N
จาก RmF 2
x จะได 20cos37+ Nsin37= 52(0.40 )
25.31;25
3x5.77
5
4x20 22
= 5.6 rad /s ตอบ
2.10 การเลยวโคงของรถยนตและรถมอเตอรไซค 2.10.1 การเลยวโคงของรถยนต เมอรถวงเลยวโคงบนถนนราบ จะท าใหลอของรถยกขนและลอนอก
จะกดพน อตราเรวของรถขนอยกบสมประสทธความเสยดทานของถนนและลกษณะของรถ จากรป รถมวล m ระยะหางของลอ L และจด CG. สงจากพนเทากบ hวงเลยวโคงบนถนนทมรศมความโคง R สมประสทธความเสยดทาน
เขยนแรงตางๆ ทเกดขนกบรถโดยรวมแรง N และ f ใหเทากบ R ตงแกน Xในแนวราบและแกน Y ในแนวดง
0FY จะได Rcos = mg ………………(1 )
r
mvF
2
x จะได r
mvsinR
2
……………(2 )
(2 ) / (1 ) จะได tanRg
v2
จากรปคา tan ขนอยกบแรงลกษณะรถซงแยกพจารณาไดดงน จาก ของแรง
tan Rg
vtan
N
f 2
แสดงวาอตราเรวของรถขนอยกบคา จาก ของรถ
tanRg
V
h2
L 2
V = h2
LRg
แสดงวาอตราเรวของรถขนอยกบ L และ h
สรป 1. รถคนเดยวกนวงบนทางโคงดวยอตราเรวของรถขนอยกบสมประสทธความเสยดทานของถนน ตามสมการ rgV 2. บนถนนสายเดยวกนอตราเรวของรถขนอยกบลกษณะของรถคอ L มาก, h นอย, V จะมคาตาม
สมการ h2
LrgV
เนองจากลอรถกบถนนนนมคา จ ากด ดงนนเราจงไมสามารถเพมอตราเรวของรถใหมากขนอก
ได ดวยสาเหตนถาเราตองการใหรถเลยวโคงดวยอตราเรวสง เราจะตองยกขอบนอกของถนนขน จะท าใหแรงสศนยกลางมากขนดงรป
ใหรถเลยวโคงบนถนนทมความเสยดทานนอยมากเอยง ท ามม กบแนวระดบดวยอตราเรว V ถนนมรศมความโคง r ตองการหาขนาดของมม เขยนแรงทเกดขนกบรถแลวแตกใหอยในแนวราบและดง FY = 0 จะได Ncos = mg ……..(1 )
r
mvF
2
x จะได N sinr
mv2
……..(2 )
(2 ) / (1 ) tanrg
V2
มมเอยงของถนน tan rg
V2
ถาถนนมสมประสทธความเสยดทาน จะไดความสมพนธดงน เขยนแรงทเกดกบรถแลวแตกแรงใหอยในแกน X และ Y จากรป FY = 0 จะได ncos = mg + Nsin N ( cos - sin) = mg - - - - - - - -- (1)
FX = r
mv2
จะได Nsin + Ncos = r
mv2
N (sin + cos ) = r
mv2
- - - - - - - --(2)
(2) / (1 )
sincos
cossin = rg
v2
cos หารทงเศษและสวน
tan1
tan = rg
v2
V =
tan1
)(tanrg
2. 10. 2 การเลยวโคงของมอเตอรไซด เมอรถมอเตอรไซดวงเลยวโคงจะท าใหรถเอยงเขาหาวงกลมดงรป เขยนแรงทเกดขนกบตวคน แลวแตกแรงใหอยในแนวราบและดง
จาก FY = 0 จะได R cos mg - - - - - - - -- - -(1)
จาก FX = r
mv2
จะได R sin = r
mv2
- - - - - - - - -(2)
( 2) / (1) จะได tan = rg
v2
แต rg
vtan
2
นนคอ มมเอยงของรถทท ากบแนวดงขนอยกบอตราเรวของรถและสมประสทธความเสยดทานของถนนตาม
เงอนไขดงน tan = rg
v2
ถา rg
v2
ขณะนนรถเอยงท ามม rg
vtan
2
ถา rg
v2
ขณะนนรถเอยงท ามม rg
vtan
2
ถา rg
v2
รถจะลม
ตวอยางท 51 รถยนตคนหนงก าลงวงเลยวโคงบนถนนระดบ ซงมรศมความโคงทากบ 5 เมตร ถาจด ศนยถวงของรถยนตอยสงจากถนน 0.5 เมตร ปรากฏวารถยนตวงดวยอตราเรวสงสดทจะไมพลกคว าเทากบ 10 เมตร / วนาท อยากทราบวารถคนนจะมระยะหางระหวางลอทงสองเปนเทาใด
วธท า จาก h2
LRgv จากโจทย R = 5 m , V = 10 m / s, g = 10 m / s
แทนคา 10 = 5.02
15
L ; 10 = L50
100 = 50L; L =2 m ระยะหางระหวางลอทงสอง 2 เมตร ตอบ
ตวอยางท 52 รถมอเตอรไซดคนหนงวงไปบนทางโคง ซงยกพนไวเปนมม ถาเขาขบ เอยงท ามม กบแนวทตงฉากกบพนเอยงจงหาวาเขาจะขบรถเรวมากทสดเทาใดจงจะไมหลดจากทางโคง ถารศมความโคงเปน r
วธท า เมอรถวงเลยวโคง ตวรถจะเอยงเขาหาวงกลม โดยท ามม กบแนวตงฉากกบพนเอยงให สเกตระนาบวงวงกลมตงแกน X และ Y แลวแตกแรงใหอยในแกน X และ Y ดงรป 0 YF จะได
Rcos ( + ) = mg -----------( 1 )
r
mvF
2
X จะได
Rsin ( + ) = r
mv 2
-------(2 )
(2 ) / (1 ) จะได tan ( + ) =rg
v2
)tan(rgv);tan(rgv2 เขาจะตองขบรถดวยอตราเรวมากทสด )tan(rg ตอบ ตวอยางท 53 รถยนตคนหนงเคลอนทไปบนถนนระดบราบวงกลมรศม 100 m วงไดเรวทสด 20 m /s จงหา ส.ป.ส. ของความเสยดทานระหวางพนถนนกบลอรถยนต วธท า อตราเรวสงสดตอนเลยวโคง rgv จากโจทย ,20,100 Vr แทนคา 20 1000400;10x100x = 0.4 ตอบ ตวอยางท 54 ถนนโคงวงกลมรศม 40 m พอดท าใหรถยนตวงไดเรวทสด 20 m /sปลอดภยบนพนถนนท าดวยปนซเมนตทม ส.ป.ส. ของความเสยดทานเปน 0.8 ถนนนตองเอยงเปนมมเทาไรกบแนวระดบ วธท า เขยนรปแสดงการเคลอนทของรถ
จากรป FY = 0 Ncos = mg + Nsin N ( ccos - sin ) = mg …..(1 )
r
mvcossinN;
r
mvF
22
X
N (sim + cos ) r
mv 2
…..(2 )
(2 ) / (1 ) rg
v
sin.cos
cossin 2
แทนคา 11040
20
sin8.0cos
cos8.0sin 2
x
sin8.0coscos8.0sin 1.8sin cos2.0
tan 9
1
9
1tan 1 ตอบ
ตวอยางท 55 นกขจกยานยนตไตถงมวลและคน m เคลอนทเปนวงกลม ภายในถงรศม r จงหาอตราเรวทนอยทสดของรถจกยานยนตทสามารถเคลอนทเปนวงกลมและคามม เมอสมประสทธความเสยดทาน = วธท า พจารณาหาคา V ของรถ จาก FY = 0 จะได f = mg แทนคา N = mg
N =
mg
จาก R
mvF
2
X จะได R
mvN
2
แทนคา
mg
N และ )cr(R
mg
)Cr(gv;
)Cr(
mv 22
)Cr(gV ตอบ
พจารณาคา tan จาก ของแรง
จากรป tan =
1tanN
N
N
f ตอบ
ตวอยางท 56 รถคนหนงลอรถหางกน 2 เมตร จดศนยรถสง 0.5 เมตร ก าลงแลนบนถนนราบซงมรศมความโคง 20 เมตร และถนนมสมประสทธความเสยดทาน 0.5 จงหาวารถจะตองวงดวยอตราเรวเทาใดจงปลอดภย
วธท า หาอตราเรวรถจากลกษณะรถตามสมการ h2
LrgV
จากโจทย V,10g,5.0h,20r,2L
แทนคา V= 205.02
10202
x
xx m /s
หาอตราเรวรถจาก สภาพถนนตามสมการ rgV จากโจทย =0.5 ; r =20; g =10; V= แทนคา 1010x20x5.0V m / s แสดงวารถวงเลยวโคงดวยอตราเรวสงสด 10 m / s จงปลอดภย ตอบ 2.11 การค านวลการเคลอนทวตถเปนวงกลมแนวดงมขนตอน ดงน 1. ทต าแหนงวตถอยใหตงแกนในแนวสมผสและรศม
2. เขยนแรงทเกดขนกบวตถใหครบแลวแตกแรงใหอยในแนวแกนทงสอง
3. ค านวลคาทตองการจากสมการ F รศม R
mv2
เงอนไขการเคลอนทของวตถเปนวงกลมในแนวดง ณ ต าแหนงตางๆเปนดงน พจารณาการเคลอนทของวตถทผกเชอกเปนวงกลมแนวดง ก าหนดใหวตถมวล m ผกเชอกยาว R แลวแกวงเปนวงกลมแนวดงดงรป
พจารณาแรงทจด A
จาก F รศม r
Amv2
จะได T + mg =R
Amv2
จากสมการความเรวทจด A มคานอยทสดเมอ T = 0
R
Amvmg
2
หรอ VA = Rg
นนคอวตถเคลอนทเปนวงกลมไดเมอทจดสงสดมอตราเรวมากกวาหรอเทากบ RgVa(Rg ) จากรป ปลอยวตถลงมาตามรางแนวดง ถา VA = 0 วตถจะวงออกมาเปนแนวดงดงเสน (1 ) ถา VA< Rg วตถจะวงตอเปนวถโคงดงเสน (2 ) ถา VA Rg วตถจะวงตอเปนวงกลมดงเสน (3 )
พจารณาแรงทจด B
จาก F รศม r
Bmv2
จะได R
BmvT
2
พจารณาแรงท C
จาก F รศม r
Cmv2
จะได T - mg =R
Cmv2
จากสมการคา T จะตองมากกวา mg เสมอ ดงนนเชอกจะขาดทจดนกอนจดอนๆ และจะเคลอนทตอแบบโปรเจคไทล
พจารณาแรงทจด D
จาก F รศม = r
Dmv2
จะได T – mgcos R
Dmg2
--- *
พจารณาจากวตถ m เคลอนทสวนโคงของแนวดง วตถมวล m เคลอนทบนสวน โคงทมรศม R มความเรวท A เทากบ VA
พจารณาท A
จาก F รศม = r
mv2
A
แทนคาจะได
mg - N = R
Amv2
วตถกระเดนหลดท A แสดงวาวตถมความเรวสงนนคอ N = 0 แทนคา N =0 จะได mg = mv2
A / R ; VA = Rg วตถจะเคลอนตอเปนวถโคงดงรป
2.12 ความเรงของวตถทเคลอนทเปนวงกลม ณ ต าแหนงตางๆ การหาความเรงของวตถ ณ ต าแหนงใดๆท าใหการเขยนแรงทเกดกบวตถแลวแตกแรงใหอยในแนวสมผสกบรศม พจารณาท A ทจด A มแรงกระท าเพยงแนวเดยวคอแนวรศม ดงนนจงมเฉพาะความเรงสศนยกลาง
AC แนวเดยวเทานน aA = ac = R
Av2
ความเรงท B ทจด B มแรงกระท า 2 แนวคอ สมผสและรศมจงมความเรง 2 แนวคอ aT และ aC
aC = TT
2
mamg(ga;R
BV )
222
BT
22
CB g)R
v(aaa
ความเรงท C ทจด C มแรงแนวเดยวคอ แนวรศมดงนนจงมความเรงแนวเดยวคอ R
Va
2
C
C
ความเรงท D ทจด D มแรง 2 แนวคอแนวรศมแลพะแนวสมผสดงนนความเรงจงม 2 แนวคอ aC และ aT
aC = )masinmg(singa;R
vTT
2
D
222
DD )sing()
R
v(a
ตวอยางท 57 จากรป คาทจดต าสดของการแกวงความตงเชอก T ของเสนเชอกเปน X เทาของ mg แลวละกจงหาความเรวของวตถในเทอม ของ X เปนเมตร / วนาท วธท า ณ ต าแหนงต าสดตงแกน X ในแนวสมผสและแกน Y ในแนวรศม
จาก r
mvF
2
c แทนคาจะได X mg – mg =r
mv2
mg(X-1) )1X(gv;mv 2
2
V = )1x(g ตอบ ตวอยางท 58 จากรปวตถขนาดเลกมวล m =0.1 kg. แกวงเปนวงกลมตามแนวดงเชอกยาว R =1 เมตร ขณะทเชอกท ามม = 300 กบแนวดง มวลมอตราเรว V =2 m/s
ก. จงหาความเรงสศนยกลางและแนวเสนสมผส ข. หาความเรงลพธ ค. หาแรงตงในเชอก
วธท า หาความเรงสศนยกลาง (aC)
จาก 41
2
r
Va
22
C m/s2
จากรปความเรงแนวเสนสมผส aT จะได
aT = g sin 300 =10 x 52
1 m/s2 ตอบ
หาความเรงลพธ
2
Taa 2Ca
= 22 54 = 2516 = 41 = 6.4 m/s2 หาความตงเชอก
จาก R
mVF
2
C
แทนคา T - mgcos300 = R
mV 2
T - 0.1 x 10 x 2
3 = 1
2x1.0 2
T - 0.866 = 0.4 T = 1.266 นวตน ตอบ ตวอยางท 59 วตถอนหนงเคลอนทเปนวงกลมในแนวดงดวยรศม r อตราเรว v คงท จดศนยกลางของวงกลมสงจากพนโลก 2r ความเรงเนองจากแรงดงดดของโลกมคา g ก. ถาวตถถกปลอยใหหลดออกทต าแหนง P วตถจะตกไกลจากจด X เทาไร ข. แตถาวตถถกปลอยใหหลดทจด Q วตถจะตกไกลจากจด X เทาไร
วธท า ถาวตถหลดท P จะเคลอนทในแนวดงท าใหตกหางจากจด X = r ดงรป ถาวตถหลดท Q จะเคลอนทแบบโปรเจคไทลถงพนท S Q S แนวดง ; u = 0, g = g, h = 3r , t = ?
จาก h = ut + 2
1 gt2
3r = 0 + 2
1 gt2
t = g
r6
Q S แนวดง ; จาก X = vt
X = v g
r6
ดงนนวตถถงพนหางจาก X = v g
r6 ตอบ
ตวอยาท 60 ทสวนลางของโคงในแนวดงชายคนหนงมมวล 60 Kg ก าลงขบรถอยโดยทนงบนตาชง กมดน าหนกจากตาชงปรากฏวาอานได 800 N ก. ถาความเรวเทากบ 30 m / s จงหารศมความโคงน
ข. ถาความเรวรถเทากบ 60 m / s จงหาวาเขาจะอานคาน าหนกไดเทาไร วธท า สเกตรปจากโจทย
จาก FC = r
MV2
แทนคา N – 60g = R
mv2
800 - 600 = R
900x60200;
R
30x60 2
R = 270 m รศมมความโคง = 270 m ตอบ ถา V = 60 m/ s , N =
จาก r
mvF
2
C
แทนคา N – 600g = 270
60x60 2
N – 600 = 800 N = 600+800 = 1400 N
เขาจะอานน าหนกได 1400 นวตน หรอ 140 Kg ตอบ ตวอยางท 61 ลกกลมเลกๆ มวล m แขวนนงทปลายลวดเบา 2 เสน ถาตดลวดเสนใดเสนหนงใหขาดจงหาอตราสวนของแรงตรงในเสนลวดเสนทเหลอ ขณะทเสนลวดเสนหนงขาดตอแรงตงในเสนลวดนนกอนทลวดอกเสนหนงจะขาด วธท า หาแรงตงเชอกกอนขาด จากรปขวามอ จากรป FY = 0 จะได 2T sin 600 = mg
2T mg)2
3(
T =3
mg ----------------(1 )
หาแรงตงเชอกเมอเชอกขาด มวล m จะแกวงเปนสวนโคงวงกลมแนวดง
r
mvF
2
C จะได T’ - mgcos300 =r
mv2
แต V = 0 จะได T’ – mgcos 300 = 0
2
mg3'T -----------(2 )
(1 ) / (2 ) 3/2mg3
2x
3
mg
T
T '
หรอ 2
3
T
T
ตอบ
ตวอยาท 62 จากมวล m ไดกระเดนจากจดยอดสดของรปครงวงกลม โดยปราศจากแรงเสยดทานจงหามวล m จะตกถงพนหางจากผวทรงกลมเทาได วธท า มวล m หลดท A แสดงวา N = 0
จาก r
2mvyF จะได
R
2mvNmg
เนองจาก N= 0 แทนคา R
2mvmg
V = Rg หา t จาก A B แนวดง UY =0 ; g =10; h =R
จาก 2gt2
1Uth จะได
5
Rt);2t10x
2
1(0R
หาระยะแนวราบจาก X =UXt = R414.15
RRx10
5
RxRg
มวล m ตกหาจากผวทรงกลม = 1.414 R – R = 0.414 R ตอบ
ตวอยาท 63 รถไฟมวล 100 Kg ตลงกาเปนวงกลมแนวดงรศม 5 เมตร ก าลงวงดวยอตราเรว 10 m/s ทจดสงสดดงรป จงหาแรงปฏกรยาทรางกระท าตอรถไฟ วธท า ตงแกน X และ Y ทรถแลวเขยนแรง กระท าทรถ
จาก F รศม r
2mv จะได N+ mg =
r
2mv
แทนคา N + 100 x 10 =5
210x100 N = 2000x1000 = 1000 นวตน ตอบ
ตวอยาท 64 รถคนหนงมวล 500 Kg ก าลงวงอยบนถนนทมความโคงในแนวดง 10 เมตรอยากทราบวาตองวงดวอตราเรวเทาใดจงจะกระเดนหลดจากรางทต าแหนง A วธท า ตงแกน X และ Y แลวเขยนแรงกระท าทรถ
จาก F รศม r
2mv จะได
mgcos 370 – N = r
2mv
แตรถกระเดนหลด แสดงวา N = 0
แทนคา mgcos370 – 0 =r
2mv
10
2v
5
4x10
V2 = 80 หรอ V = 8.9 m / s ตอบ ตวอยาการค านวณวงกลมและพลงงาน ตวอยาท 65 ลกตมมวล m แขวนดวยเชอกยาว ปลอยลกตมลงมาจากต าแหนง A ซงเชอกแขวนลกตมอยในแนวระดงรปขณะเมอลกตมเคลอนทลงมาทต าแหนง B ซงลกตมท ามม 600กบแนวดง ความตงในเสนเชอกขณะนนจะเปนเทาใด (g คอความเรงเนองจากความโนมถวง )
วธท า วตถเคลอนทเปนวงกลมแนวดง ใหเขยนแรงตางๆ ทวตถ ดงรปบน (ขวามอ) หาความเรวไดจาก EA = EB
แทนคา mg 2B
mv2
160cos
V2B = g
พจารณาแรงท B จะได R
2mvcF
T - mgcos 600 = l
mgl
mg2
mgT
T = 2
mg3
ตวอยาท 66 เมอกดสปรง S ซงมคานจสปรงเทากบ 250 นวตน / เมตร เขาไปจากต าแหนงสมดล แลวปลอย สปรงจะผลกใหวตถทรงกลมเลกๆมวล 100กรมใหเคลอนทไปตามเสนทาง ACB โดยเสนทาง A และ C อยในแนวราบ สวนเสนทาง B เปนสวนโคงของวงกลม รศม 50 เซนตเมตร และมระนาบของวงกลมอยในแนวดง ดงรป อยากทราบวาจะตอง ออกแรงกดสปรงอยางนอยทสดกนวตนจงจะท าใหวตถเคลอนทไปตามเสนทางได
วธท า มวล m เคลอนจาก (1 ) ไป (2 ) ไมมแรงภายนอกกระท าจะได E1 = E2
แทนคา mgh22
mv2
12kx2
1
1x10x1.022
V1.0x2
12x250x2
1
125x2 = 0.05V22+ 1
X= 125
122
V05.0 ------------(1 )
สมการ (1 ) X จะมคานอยทสด เมอ V2 มคานอยสด หา V2 นอยสดจากการเคลอนท
วงกลม จาก FC = r
2mv
แทนคา N + mg = r
22
mv
V2 นอยทสดเมอ N = 0 จะได mg = r
22
mv
V2 = 510x5.0rg
แทน V2 ใน (1 ) จะได X = 01.0125
25.1
125
12)5(05.0
F = Kx =250 x 0.1 = 25 N ตอบขอ ก.
ตวอยางท 67 มวล m ถกดดในแนวระดบจากยอดของผวครงทรงกลม รศม R ดวยความเรวตน V0 = gR4.0 ซงจะท าให m ไถลไปบนผว (ซงในทนเกลยและลน ) จนกระทงถงต าแหนง Aในรป m ถาเรมหลดออกจากผวและไมเคยแตะผวอกเลยอยากทราบวา cos เทาไร
วธท า เนองจากมวล m ขยบจาก B ไป A ไมมแรงเสยดทานและแรง P ใดๆมากระท า ดงนน จะได EB = EA ใหตงเสนอางองทจดต าสดคอจด A แลวท าการหาระยะตางๆ
จากรป V0 = gR4.0 และ H = R - Rcos แทนคาในสมการ EB = EA จะได
2
1 mv20+ mgh =
2
1 mv2A
v20+ 2gh = vA
2 ( gR4.0 )2+ 2g (R-Rcos ) = v2
A
v2A = 0.4gR + 2gR(1-cos )
v2A = gR(0.4 + 2-2cos )
= gR(2.4 - 2cos ) ------------(1) พจารณาเงอนไขวงกลมทจด A ใหแตกแรงเขาสแนวสมผสและรศม จะได
FC = R
mv A2
แทนคาจะได mgcos = R
)cos24.2(mgR
cos = 2.4 - 2cos
3cos = 2.4 cos = 0.8 cos มคา = 0.8 ตอบ ตวอยางท 68 จากรปมวล m ถกปลอยใหไถลลงมาตามทางลาด ซงไมมแรงเสยดทาน ถาหวงดงรปมเสนผาศนยกลาง d
จงหาวา h จะตองมคานอยสดเทาใด จงท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมไดและความเรวท B เปนเทาไร
วตถเคลอนทจาก A B ไมมแรงเสยดทานและแรงภายนอกมากระท า
จะได EA = EB
แทนคา mgh = 2
1 mv2B
h = g2
v B2
----(1)
วตถเคลอนทจาก B C ไมมแรงเสยดทานและแรงภายนอกมากระท า จะได EB = EC
แทนคา 2
1 mv2B =
2
1 mv2C+ mgd
v2B = vC
2 + 2gd ---(2) จากสมการ (2 ) VB มคานอยทสดเมอ VC มคานอยทสด พจารณาเงอนไขวงกลมทจด C
จาก FC = R
cmv2
แทนคา N + mg =
2
d
cmv2
VC นอยทสด แสดงวาแรงปฏกรยา N เปนศนย
mg d
cmv2 2
V2C =
2
gd -----------(3 )
แทน (3 ) ใน (2 ) ; V2B = V2
C + 2gd =2
gd5gd2
2
gd
VB = 2
gd5
แทนใน (1 ) ; hmin = 4
d5
g4
gd5
g2
Bv2
ตอบ
ตวอยางท 69 ผกวตถมวล 0.5 กโลกรม ทปลายขางหนงของสปรงหนกเบาซงยาว 0.5 เมตร ใหวตถเคลอนทเปนวงกลม รศม 0.7 เมตรในแนวราบ พบวาวตถเคลอนทได 20 รอบในเวลา 10 วนาท จงหาคาคงทของสปรงวาเทากบ กนวตนตอเมตร วธท า จากรป แรงในสปรง F = kx = (0.7 - 0.5 ) x F = 0.2x พจารณาการเคลอนทเปนวงกลม
จาก FC = r
mv2
จะได
F = r
)rf2(m
r
mv 22
F = 42 f2 mr แทนคา 0.2x = 4 x (3.14)2 (2 )2 (0.5) (0.7 ) 0.2x = 55.21 x = 276.05 N / m ตอบ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------