2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

12 Φεβρουαρίου 2014

12 Φεβρουαρίου 2014 1 / 121


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Αποστόλου Γεώργιος

Μαθηµατικός

[email protected]

ΙΩΑΝΝΙΝΑ

12 Φεβρουαρίου 2014

Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 2 / 121

mailto:[email protected]





Βασικές Γνώσεις




Περιεχόµενα

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

4 ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ


ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ

ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta

6 ∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ

7 ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ

8 ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

9 ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

12 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ




Εξισώσεις


http://www.study4maths.com



Ερώτηση 1η

Τι ονοµάζουµε εξίσωση µε έναν άγνωστο;





Εξίσωση

Είναι µια ισότητα µεταξύ δυο συναρτήσεων, f(x) = g(x) που έχουν το ίδιο

πεδίο ορισµού.

Η οποία όµως, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει, για όλο το πλήθος των τιµών της

µεταβλητής x .

Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε, για να προσδιορίσουµε τις τιµές της

µεταβλητής, που επαληθεύουν την ισότητα, ονοµάζετε επίλυση της εξίσωσης.

Ισοδύναµες λέγονται οι εξισώσεις που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.






Εξισώσεις 1ου ϐαθµού

Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο πρωτοβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια µεταβλητή.

Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx + β = 0, όπου α, βπραγµατικοί αριθµοί.






Ερώτηση 2η

Πως λύνουµε µια εξίσωση πρώτου βαθµού;






Μεθοδολογία

Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού,

κάνουµε τις πράξεις,

χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους

αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι ≠ 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη,

διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη.






Παράδειγµα 1ο

Να λυθεί η εξίσωση 2(x + 1) = −x + 3

Λύση

2(x + 1) = −x + 3 ⇔ 2x + 2 = −x + 3

⇔ 2x + x = 3 − 2

⇔ 3x = 1

⇔ x =1

3

άρα, η εξίσωση έχει µοναδική λύση.







Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = 2(x − 3) − x

Λύση

x + 3 = 2(x − 3) − x ⇔ x + 3 = 2x − 6 − x

⇔ x − 2x + x = −6 − 3

⇔ 0x = −8

το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.







Να λυθεί η εξίσωση 5(x − 3) − x = 4x − 15

Λύση

5(x − 3) − x = 4x − 15 ⇔ 5x − 15 − x = 4x − 15

⇔ 5x − x − 4x = 15 − 15

⇔ 0x = 0

το οποίο, ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει

άπειρες λύσεις.






Ερώτηση 3η

Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;






Παραµετρικές εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν

κι άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.

Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση






∆ιερεύνηση παραµετρικής εξίσωσης

Είναι :

αx + β = 0⇔ αx = −βΤώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :

Αν α ≠ 0 τότε από : αx = −β⇔ x = −β

α, µοναδική λύση.

Αν α = 0 τότε από : αx = −β⇔ 0x = −βτώρα αν :

i. β ≠ 0 έχουµε, 0x = −β ≠ 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση

είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες.

ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση

είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.







Να λυθεί η εξίσωση λ2x − 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ ∈ R.






Λύση

ΛύσηΓια να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη

µορφή: αx = β

λ2x − 1 = x + λ ⇔ λ2

x − x = 1 + λ

⇔ (λ2− 1)x = 1 + λ

τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :






Λύση

Αν λ2 − 1 ≠ 0⇒ λ ≠ ±1⇒ λ ∈ R − −1, 1τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την :

x =1 + λ

λ2 − 1=

1 + λ

(λ − 1)(λ + 1)=

1

λ − 1

Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι

αόριστη, έχει άπειρες λύσεις.

Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι

αδύνατη, δεν έχει καµία λύση.






Ερώτηση 4η

Ποιοι είναι οι ποιο συνηθισµένοι τρόποι για να ανάγουµε την επίλυση µιαςεξίσωσης, σε επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθµού;






Αναγωγή σε εξισώσεις 1ου ϐαθµού

Παραγοντοποίηση A(x)B(x) = 0⇐⇒ A(x) = 0 ή B(x) = 0

΄Αθροισµα µη αρνητικών προσθετέων π.χ.

A2(x) + B

2(x) = 0⇐⇒ A(x) = 0 και B(x) = 0







Να λυθεί η εξίσωση x2 − 7x + 6 = 0

Λύση

x2− 7x + 6 = 0 ⇔ x

2− (6 + 1)x + 6 ⋅ 1 = 0

⇔ (x − 6) ⋅ (x − 1) = 0

⇔ x − 6 = 0 ή x − 1 = 0

⇔ x = 6 ή x = 1







Να λυθεί η εξίσωση (x − 2)2 + (x2 − 4)2 = 0

ΛύσηΠρέπει x − 2 = 0⇐⇒ x = 2 και x

2 − 4 = 0⇐⇒ x = ±2

΄Αρα η κοινή λύση είναι x = 2







Να λυθεί η εξίσωση : (x − 3)3 − 8x3 + (x + 3)3 = 0

ΛύσηΑπό την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι :

αν α + β + γ = 0⇒ α3+ β3

+ γ3= 3αβγ

Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x − 3)3 − (2x)3 + (x + 3)3 = 0

κι έχουµε : x − 3 − 2x + x + 3 = 0






Λύση

(x − 3)3− 8x

3+ (x + 3)

3= 0 ⇔ (x − 3)

3− (2x)

3+ (x + 3)

3= 0

⇔ (x − 3)3− (2x)

3+ (x + 3)

3= 0

⇔ 3(x − 3)(2x)(x + 3) = 0

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − 3 = 0

2x = 0

x + 3 = 0

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = 3

x = 0

x = −3





Ερώτηση 5η

Πως λύνω εξισώσεις µε απόλυτες τιµές;






΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = θ > 0⇐⇒ f(x) = ±θ

Στο παρακάτω παράδειγµα, εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των

απολύτων τιµών, έχουµε :

2∣x + 1∣ − 6 = 0 ⇐⇒ 2∣x + 1∣ = 6

⇐⇒ ∣x + 1∣ = 3

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + 1 = 3

x + 1 = −3

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = 2

x = −4






΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη

΄Αρα η εξίσωση : ∣2x + 7∣ + 9 = 0⇒ ∣2x + 7∣ = −9 είναι αδύνατη.






΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής ∣f(x)∣ = ∣g(x)∣⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

f(x) = g(x)

f(x) = −g(x)






Να λυθεί η εξίσωση ∣x − 1∣ − 3∣x + 5∣ = 0

Λύση

∣x − 1∣ − 3∣x + 5∣ = 0 ⇐⇒ ∣x − 1∣ = 3∣x + 5∣

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x − 1 = 3(x + 5)

x − 1 = −3(x + 5)

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x − 1 = 3x + 15

x − 1 = −3x − 15

⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−2x = 16

4x = −14

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = −8

x = −7

2






Από τη σχέση : ∣f(x)∣ = f(x)⇒ f(x) > 0

Οπότε από την εξίσωση ∣x + 1∣ = x + 1⇒ x + 1 > 0⇒ x > −1






Από τη σχέση : ∣f(x)∣ = −f(x)⇒ f(x) < 0

Οπότε από την εξίσωση ∣2x − 4∣ = −2x + 4⇒ 2x − 4 < 0⇒ 2x < 4⇒ x < 2






΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής ∣f(x)∣ = g(x),

επειδή το ∣f(x)∣ ≥ 0 ϑα πρέπει και το g(x) ≥ 0

΄Αρα από την εξίσωση ∣f(x)∣ = g(x)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

g(x) ≥ 0

f(x) = g(x)

f(x) = −g(x)






Να λυθεί η εξίσωση ∣3x − 6∣ = 2x − 2

Λύση

∣3x − 6∣ = 2x − 2 ⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x − 2 ≥ 0

3x − 6 = 2x − 2

3x − 6 = −2x + 2

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x ≥ 1

x = 4

x =8

5

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = 4

x =8

5






΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής ∣f(x)∣ + ∣g(x)∣ = 0 επειδή ∣f(x)∣ ≥ 0 και

∣g(x)∣ ≥ 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0

΄Αρα από την εξίσωση :

∣x2− 4∣ + ∣3x − 6∣ = 0 ⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x2 − 4 = 0

3x − 6 = 0

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = ±2

x = 2

⇐⇒ x = 2





∆ιωνυµικές εξισώσεις





Ερώτηση 6η

Πως λύνουµε εξισώσεις της µορφής xν = α;





Επίλυση διωνυµικών εξισώσεων

Οι λύσεις της εξίσωσης xν = α είναι :

Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν√α

Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν√α

Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = − ν√

∣α∣

Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη





Παραδείγµατα

Να λυθούν οι εξισώσεις

x2 = 4⇔ x = ±

√4 = ±2

x4 = −34 η εξίσωση είναι αδύνατη.

x3 = 8⇔ x =

3√

8 = 2

x3 = −125⇔ x = − 3

√∣ − 125∣ = −5

x20 = 0⇔ x = 0






Εξισώσεις 2ου ϐαθµού

Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο δευτεροβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια

µεταβλητή.

Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx2 + βx + γ = 0, όπου

α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, µε α ≠ 0.






Ερώτηση 7η

Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου βαθµού;






Επίλυση εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού

Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4 ⋅ α ⋅ γ.

Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x1,2 =−β ±

√∆

2 ⋅ α

Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x =−β

2 ⋅ αΑν ∆ = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη).







Να λυθεί η εξίσωση 2x2 + 6x = 0

Λύση

2x2+ 6x = 0 ⇔ 2x(x + 3) = 0

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = 0

x + 3 = 0

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = 0

x = −3

΄Οταν λείπει το γ ϐγάζω κοινό παράγοντα.







Να λυθεί η εξίσωση x2 − 4 = 0

Λύση

x2− 4 = 0 ⇔ x

2= 4

⇔ x = ±2

΄Οταν λείπει το x χωρίζω γνωστούς από αγνώστους.







Να λυθεί η εξίσωση 3x2 + 16 = 0

Λύση

3x2+ 16 = 0 ⇔ 3x

2= −16

αδύνατη







Να λυθεί η εξίσωση 2x2 − 5x + 3 = 0

ΛύσηΗ 2x

2 − 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx2 + βx + γ = 0

µε α = 2, β = −5, γ = 3, τότε

η ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 > 0

άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x1,2 =−β ±

√∆

2 ⋅ α







Να λυθεί η εξίσωση x2 − 6x + 9 = 0

ΛύσηΗ εξίσωση x

2 − 6x + 9 = 0 έχει ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0

άρα έχει διπλή ϱίζα την x =6

2= 3







Να λυθεί η εξίσωση 3x2 + 4x + 2 = 0

ΛύσηΗ εξίσωση 3x

2 + 4x + 2 = 0 έχει ∆ = β2 − 4αγ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = −8 < 0

άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.






Παράδειγµα 7ο Εξίσωση µε απόλυτα που ανάγεται σε

εξίσωση 2ου ϐαθµού

Να λυθεί η εξίσωση x2 − 7∣x ∣ + 12 = 0

Λύση

x2− 7∣x ∣ + 12 = 0 ⇔ ∣x ∣

2− 7∣x ∣ + 12 = 0 ϑέτω ∣x ∣ = ω

ω2− 7ω + 12 = 0

∆ = 1 άρα έχει δυο λύσεις

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ω1 = 4

ω2 = 3

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

∣x ∣ = 4

∣x ∣ = 3

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = ±4

x + ±3






Ερώτηση 8η

Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές;






Παραµετρικές εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι

άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.

Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση







Να λύσετε την εξίσωση : x2 + α2 = β2 − 2αx, α.β ∈ R






Λύση

Λύσηx

2 + α2 = β2 − 2αx ⇔ x2 + 2αx + α2 − β2 = 0

∆ = (2α)2 − 4(α2 − β2) = 4α2 − 4α2 + 4β2 = 4β2

Αν ∆ = 4β2 = 0⇔ β = 0 τότε x = −2αΑν β ≠ 0 τότε

x1,2 =−2α ±

√4β2

2

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−2α + 2β

2

+2α + 2β

2

=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−α + β

−α − βΑποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected] ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014 52 / 121





Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού

΄Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής

αx2 + βx + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω.

΄Εχει πραγµατικές ϱίζες α ≠ 0,∆ ≥ 0

∆εν έχει πραγµατικές ϱίζες α ≠ 0,∆ < 0

΄Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα α ≠ 0,∆ = 0

΄Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες α ≠ 0,∆ > 0

Οι ϱίζες είναι αντίθετες α ≠ 0,∆ > 0, S = 0

Οι ϱίζες είναι αντίστροφες α ≠ 0,∆ > 0, P = 1






Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού

Οι ϱίζες είναι οµόσηµες α ≠ 0,∆ > 0, P > 0

Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες α ≠ 0,∆ > 0, P < 0

Οι ϱίζες είναι ϑετικές α ≠ 0,∆ > 0, P > 0, S > 0

Οι ϱίζες είναι αρνητικές α ≠ 0,∆ > 0, P > 0, S < 0






Παράδειγµα

Να ϐρείτε τις τιµές του µ ∈ R, για τις οποίες η εξίσωση

µx2 + 2x + µ = 0, µ ≠ 0 έχει διπλή ϱιζά.

ΛΥΣΗΓια να έχει η εξίσωση µx

2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱιζά Θα πρέπει

µ ≠ 0,∆ = 0

΄Αρα έχω : µ ≠ 0 το οποίο δίνεται και

∆ = 0 ⇔ 22− 4µ2

= 0

⇔ µ2= 1

⇔ µ = ±1






Ερώτηση 9η

Ποιοι είναι οι τύποι του Vietta;






Τύποι του Vietta

΄Οταν έχουµε την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, µε α ≠ 0 και ∆ > 0,

η οποία έχει δυο λύσεις x1, x2 τότε ισχύει :

S = x1 + x2 = −β

ακαι P = x1 ⋅ x2 =

γ

α







Αν x1, x2 οι λύσεις της εξίσωσης x2 + x − 12 = 0, να υπολογιστούν οι

παραστάσεις :

x1 + x2

x1x2

x21 + x

22

x31 + x

32

(x1 − x2)2

∣x1 − x2∣

x21

x2

+x

22

x1






Λύση

ΛύσηΣτην εξίσωση x

2 + x − 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = −12 άρα :

S = x1 + x2 =−β

γ= −1

P = x1x2 =γ

α= −12

x21 + x

22 = (x1 + x2)

2 − 2x1x2 = (−1)2 − 2 ⋅ (−12) = 1 + 24 = 25

x31 + x

32 = (x1 + x2)(x

21 − x1x2 + x

22) = −1(25 + 12) = −37

(x1 − x2)2 = x

21 − 2x1x2 + x

22 = 25 − 2 ⋅ (−12) = 49

∣x1 − x2∣ =√

(x1 − x2)2 =

√49 = 7

x21

x2

+x

22

x1

=x

31 + x

32

x1x2

=−37

−12=

37

12





Ερώτηση 9η

Ποιες εξισώσεις λέγονται διτετράγωνες;





∆ιτετράγωνες εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx2ν + βx

ν + γ = 0

και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = xν






Να λυθεί η εξίσωση 4x4 + 11x

2 − 3 = 0

Λύση

4x4+ 11x

2− 3 = 0, ϑέτω x

2= ω ⇔ 4ω2

+ 11ω − 3

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

ω1 = −12

ω2 = 1

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x2 = −12 αδυνατη

x2 = 1

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = −1

x = 1





Ερώτηση 10η

Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται πολυωνυµικές ;





Πολυωνυµικές εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις µεταξύ 2 πολυωνύµων





Ερώτηση 11η

Πως λύνουµε πολυωνυµικές εξισώσεις ;






1ου ϐαθµού χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους

2ου ϐαθµού µε διακρίνουσα

3ου ϐαθµού και πάνω, κάνοντας παραγοντοποίηση, ώστε να έχω, µόνο,

παράγοντες 1ου και 2ου ϐαθµού.

Η εξίσωση A(x)B(x)Γ(x)...K(x) = 0⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

A(x) = 0

...

K(x) = 0

µε A(x), B(x),Γ(x), ..., K(x) πολυώνυµα πρώτου και δεύτερου ϐαθµού.





Ερώτηση 12η

Πόσες ρίζες έχει µια πολυωνυµική εξίσωση;






Αν η ισοδύναµη εξίσωση, που ϑα προκύψει, από τη µεταφορά όλων των όρων,

των πολυωνύµων της εξίσωσης, στο 1ο µέλος και την αναγωγή των όµοιων

όρων έχει πολυώνυµο νου ϐαθµού, τότε η εξίσωση, ϑα έχει το πολύ νπραγµατικές ϱίζες.





Παρατήρηση

Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους

σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι). Αν το

άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1

(Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του

Horner.






Να λυθεί η εξίσωση, 3x3 + 8x

2 − 15x + 4 = 0





Λύση

ΛύσηΤο άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει

σίγουρα ϱίζα το 1.

Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε.

3 8 −15 4 1

3 11 −4

3 11 −4 0





Λύση

Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του

3x3 + 8x

2 − 15x + 4 µε το x − 1 είναι 3x2 + 11x − 4 και το υπόλοιπο 0.

Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε :

3x3 + 8x

2 − 15x + 4 = (x − 1)(3x2 + 11x − 4)

x3+ 8x

2− 15x + 4 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(3x

2+ 11x − 4) = 0

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x − 1 = 0

3x2 + 11x − 4 = 0

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = −4

x = −1

3





Παρατήρηση

Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών

του

ρ1, ρ2 ρ3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx3 + βx

2 + γx + δ = 0

σ1 = ρ1 + ρ2 + ρ3 = −γ

δ

σ2 = ρ1ρ2 + ρ1ρ3 + ρ2ρ3 =β

δσ3 = ρ1ρ2ρ3 = −

α

δΗ εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ1, ρ2 ρ3

είναι η x3 − σ1x

2 + σ2x − σ3 = 0





Θεώρηµα 2

Μια πολυωνυµική εξίσωση λέγεται αντίστροφη, όταν για κάθε ϱίζα ϱ που έχει,

τότε έχει ϱίζα και την1

ρκαι µάλιστα µε την ίδια πολλαπλότητα. (΄Ολες οι ϱίζες

είναι µη µηδενικές.)

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µια εξίσωση αντίστροφη είναι : οι

ισαπέχοντες από τα άκρα, συντελεστές του πολυωνύµου, να είναι όλοι ίσοι ή

όλοι αντίθετοι.





Τέχνασµα 1

Τέχνασµα 1ο

αx3+ βx

2+ βx + α = 0 ⇐⇒ α(x

3+ 1) + βx(x + 1) = 0

⇐⇒ α(x + 1)(x2+ x + 1) + βx(x + 1) = 0

⇐⇒ (x + 1)[α(x2+ x + 1) + βx] = 0

όπου αυτό είναι ένα γινόµενο, ενός παράγοντα 1ου ϐαθµού και ενός

παράγοντα 2ου ϐαθµού.





Τέχνασµα 2

Τέχνασµα 2ο

αx4+ βx

3+ γx

2+ βx + α = 0 ⇐⇒ x

2(αx

2+ βx + γ + β

1

x+ α

1

x2) = 0, x ≠ 0

(x ≠ 0αποδεικνύεται µε άτοπο)

⇐⇒ α(x2+

1

x2) + β(x +

1

x) + γ = 0

Θέτουµε, x +1

x= y , και x

2 +1

x2= (x +

1

x)2 − 2x

1

x= y

2 − 2

κι έχουµε :

α(y2 − 2) + βy + γ = 0

που είναι εξίσωση 2ου ϐαθµού





Ρητές εξισώσεις

Είναι οι εξισώσεις µεταξύ ϱητών συναρτήσεων (Κλάσµατα µεταξύ πολυωνύµων)





Ερώτηση 13η

Πως λύνω τις ρητές εξισώσεις ;





Επίλυση ϱητών εξισώσεων

Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση :

Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές

Βάζω περιορισµούς

Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών

Λύνω την εξίσωση που προκύπτει

Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.






Να λυθεί η εξίσωση :

2

x+

2x − 3

x − 2+

2 − x2

x2 − 2x= 0





Λύση

Λύση

΄Εχω την εξίσωση :2

x+

2x − 3

x − 2+

2 − x2

x2 − 2x= 0 µε x ≠ 0 και x ≠ 2

2

x+

2x − 3

x − 2+

2 − x2

x2 − 2x= 0 ⇔

2

x+

2x − 3

x − 2+

2 − x2

x(x − 2)= 0

⇔ x(x − 2)2

x+ x(x − 2)

2x − 3

x − 2+ x(x − 2)

2 − x2

x(x − 2)= 0

⇔ 2(x − 2) + x(2x − 3) + 2 − x2= 0

⇔ 2x − 4 + 2x2− 3x + 2 − x

2= 0

⇔ x2− x − 2 = 0, ∆ = 9

⇔

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x1 = 2 απορρίπτεται

x2 = −1





΄Αρρητες εξισώσεις

Είναι αυτές που έχουν τον άγνωστο µέσα σε υπόριζο





Ερώτηση 14η

Πως λύνω τις άρρητες εξισώσεις ;





Επίλυση ϱητών εξισώσεων

Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση :

Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα

υπόριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0

Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις

Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή

παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη

Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω

την εξίσωση που προκύπτει

Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.






Να λυθεί η εξίσωσή√

2x − 5 +√

x − 2 = 2





Λύση

Λύση

΄Εχουµε τους περιορισµούς

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x ≥5

2

x ≥ 2

⇐⇒ x ≥5

2






Να λυθεί η εξίσωσή√

2x − 5 +√

x − 2 = 2





Λύση

Λύση√

2x − 5 +√

x − 2 = 2 ⇔ (√

2x − 5 +√

x − 2)2= 2

2

⇔ 2x − 5 + x − 2 + 2√

(2x − 5)(x − 2) = 4

⇔ 2√

(2x − 5)(x − 2) = 11 − 3x, x ≤11

3(1)

⇔ (2√

(2x − 5)(x − 2))2= (11 − 3x)

2

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

4(2x − 5)(x − 2) = (11 − 3x)2

x ≥5

2

x ≤11

3⇔ ...





Λύση

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = 3 ή x = 27

x ≤11

3

⇔ x = 3





Τριγωνοµετρικές εξισώσεις

Είναι εξισώσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών συναρτήσεων





Ερώτηση 14η

Πως λύνω τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις ;





Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων

Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

ηµx = ηµα⇒ x =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2κπ + α

2κπ + π − α,κεZ

συνx = συνα⇒ x = 2κπ ± α,κεZ

εφx = εφα⇒ x = κπ + α,κεZ

σφx = σφα⇒ x = κπ + α,κεZ





Πίνακας τριγωνοµετρικών αριθµών ϐασικών γωνιών

Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς

αριθµούς των ϐασικών γωνιών.

µοίρες rad ηµ συν εφ σφ

0 0 0 1 0

30π6

1

2

√

3

2

√

3

3

√3

45π4

√

2

2

√

2

21 1

60π3

√

3

2

1

2

√3

√

3

3

90π2

1 0 0





Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων, µε αρνητικό 2ο µέλος

΄Οταν έχω αρνητικό 2ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη

διαδικασία απ΄ την αναγωγή στο 1ο τετερτηµόριο, οι τύποι επίλυσης

τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

−ηµ(x) = ηµ(−x)

−συν(x) = συν(π − x)

−εφ(x) = εφ(−x)

−σφ(x) = σφ(−x)






Να λυθεί η εξίσωσή 2συν(2x −π

5) = 1 µε 0 ≤ x < π





Λύση

Λύση

2συν(2x −π

5) = 1 ⇔ συν(2x −

π

5) =

1

2

⇔ συν(2x −π

5) = συν

π

3

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x −π

5= 2κπ +

π

3

ή

2x −π

5= 2κπ −

π

3





Λύση

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = κπ +4π

15

ή

x = κπ −π

15, κ ∈ Z





Λύση

΄Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 ≤ x < π έτσι ϑα έχουµε :

0 ≤ x < π ⇔ 0 ≤ κπ +4π

15< π

⇔ 0 ≤ (κ +4

15)π < π

⇔ 0 ≤ κ +4

15< 1

⇔ −4

15≤ κ ≤ 1 −

4

15

⇔ −4

15≤ κ ≤

11

15

⇔ κ = 0 (αφούκ ∈ Z)

οπότε x =4π

15





Εκθετικές εξισώσεις

Είναι εξισώσεις µεταξύ εκθετικών συναρτήσεων





Ερώτηση 15η

Πως λύνω τις εκθετικές εξισώσεις ;





Επίλυση εκθετικών εξισώσεων

Για την επίλυση της εξίσωσης της µορφής κx = λ µε κ > 0, κ ≠ 1 διακρίνουµε

τις παρακάτω περιπτώσεις :

Αν λ ≤ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν λ > 0, τότε προσπαθούµε να γράψουµε το λ σε µορφή δύναµης µε

ϐάση το κ π.χ. λ = κν οπότε επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι 1 − 1 ∶

κx= λ⇔ κx

= κν ⇔ x = ν

Την περίπτωση που το λ δεν µπορούµε να το γράψουµε ως δύναµη µε ϐάση το

κ ϑα το δούµε στο κεφάλαιο της λογαριθµικής συνάρτησης.





Επίλυση εκθετικών εξισώσεων

Γενικά, χρησιµοποιώ την ιδιότητα που προκύπτει από τη µονοτονία των εκθετικών

συναρτήσεων

αf(x)= αg(x)

⇐⇒ f(x) = g(x), µε α > 0, ≠ 1

Οπότε έχω να λύσω µια εξίσωση όπως αυτές που είδαµε πριν.







3x = 9⇔ 3

x = 32⇔ x = 2

52x−4 = 1⇔ 5

2x−4 = 50⇔ 2x − 4 = 0⇔ 2x = 4⇔ x = 2

2x2−3x =

1

4⇔ 2

x2−3x =

1

22⇔ 2

x2−3x = (

1

2)

2⇔ 2

x2−3x = 2

−2

⇔ x2 − 3x = −2⇔ x

2 − 3x + 2 = 0⇔ x = 1 ή x = 2






Να λυθεί η εξίσωση : 2x+1 + 2

x+2 + 2x−1 + 2

x−2 = 54





Λύση

Λύση

2x+1

+ 2x+2

+ 2x−1

+ 2x−2

= 54⇔2x⋅ 2 + 2

x⋅ 2

2+ 2

x⋅ 2−1+ 2

x⋅ 2−2 = 54

⇔2 ⋅ 2x+ 4 ⋅ 2

x+

1

2⋅ 2

x+

1

4⋅ 2

x= 54

⇔27

4⋅ 2

x= 54

⇔27 ⋅ 2x= 216

⇔2x= 8

⇔2x= 2

3

⇔x = 3.






Να λυθεί η εξίσωση : 8x + 18

x − 2 ⋅ 27x = 0.





Λύση

Λύση

8x+ 18

x− 2 ⋅ 27

x= 0⇔ (2

3)

x+ (2 ⋅ 9)

x− 2 ⋅ (3

3)

x⇔

23x+ 2

x⋅ (3

2)

x− 2 ⋅ 3

3x= 0⇔ 2

3x+ 2

x⋅ 3

2x− 2 ⋅ 3

3x= 0⇔

23x

33x+

2x ⋅ 32x

33x− 2 ⋅

33x

33x= 0⇔

23x

33x+

2x ⋅ 32x

3x ⋅ 32x− 2 ⋅

33x

33x= 0⇔

(2

3)

3x

+ (2

3)

x

− 2 = 0⇔ ((2

3)

x

)

3

+ (2

3)

x

− 2 = 0.





Λύση

Θέτω (2

3)

x

= ω οπότε έχουµε ω3 + ω − 2 = 0 η οποία µε τη ϐοήθεια του

σχήµατος Horner

1 0 1 −2 1

↓ 1 1 2

1 1 2 9

οπότε ω3 + ω − 2 = 0⇔ (ω − 1) ⋅ (ω2 + ω + 2) = 0

δηλαδή ω = 1 αφού η ω2 + ω + 2 = 0 είναι αδύνατη ∆ < 0.

Τελικά (2

3)x = ω

⇔ (2

3)x = 1

⇔ (2

3)x = (

2

3)0

⇔ x = 0





Λογαριθµικές εξισώσεις

Είναι εξισώσεις µεταξύ λογαριθµικών συναρτήσεων





Ερώτηση 16η

Πως λύνω τις λογαριθµικές εξισώσεις, µε βάση το 10 ή το e;





Επίλυση λογαριθµικών εξισώσεων

΄Οταν έχω να λύσω την εξίσωση log(f(x)) = log(g(x)) ουσιαστικά έχω να

λύσω το σύστηµα

log(f(x)) = log(g(x)) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f(x) = g(x)

f(x) > 0

g(x) > 0





Ιδιότητες λογαρίθµων

αx = θ⇐⇒ x = logαθ, θ > 0

ln 1 = 0, ln e = 1

log 1 = 0, log 10 = 1

ln(x1 ⋅ x2) = ln x1 + ln x2

lnx1

x2

= ln x1 − ln x2

ln xκ = κ ln x (ενώ ln

κx = ln x ⋅ ... ⋅ ln x)

αx = elnαx

= ex lnα





Παραδειγµα 1ο


log10 x = 3 ⇐⇒ x = 103

⇐⇒ x = 1000

logx 16 = 4 ⇐⇒ x4= 16

⇐⇒ x = ±4√

16

⇐⇒ x = 2






Να λυθεί η εξίσωση 2x−1 = 3

ΛΥΣΗ

2x−1

= 3 ⇐⇒ x − 1 = log23

⇐⇒ x = 1 + log23

⇐⇒ x = log22 + log23

⇐⇒ x = log2(2 ⋅ 3)

⇐⇒ x = log26






Να λυθεί η εξίσωση logx(x2 + 3x + 2) = logx(8x − 2)

ΛΥΣΗ΄Εχω τους περιορισµούς, x

2 + 3x + 2 > 0, 8x − 2 > 0, x > 0, x ≠ 1

logx(x2+ 3x + 2) = logx(8x − 2) ⇐⇒ x

2+ 3x + 2 = 8x + −2

⇐⇒ x2− 5x + 4 = 0

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = 1 η οποία δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς

x = 4






Να λυθεί η εξίσωση log2x − log4x = 3

΄Οταν έχω εξίσωση µε λογάριθµους διαφορετικών ϐάσεων, τότε χρησιµοποιώ

τον τύπο αλλαγής ϐάσης, ώστε να εµφανίζονται λογάριθµοι µε µία ϐάση µόνο.





Λύση

ΛΥΣΗ΄Εχω τον περιορισµό x > 0

log2x − log4x = 3 ⇐⇒logx

log2−

logx

log4= 3

⇐⇒logx

log2−

logx

log22= 3

⇐⇒logx

log2−

logx

2log2= 3

⇐⇒ 2logx − logx = 3 ⋅ 2log2

⇐⇒ logx = log26

⇐⇒ x = 26= 64






Να λυθεί η εξίσωση 10xlogx = x

2√

x





Λύση

ΛΥΣΗ΄Εχω τον περιορισµό x > 0

Λογαριθµίζω και τα δυο µέλη

10xlogx

= x2√

x ⇐⇒ log(10xlogx

) = log(x2√

x)

⇐⇒ log10 + logxlogx

= logx2+ logx

1

2

⇐⇒ 1 + log2x = 2logx +

1

2logx ϑέτω logx = w

⇐⇒ 1 +w2= 2w +

1

2w

⇐⇒ 2w2− 5w + 2 = 0

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

w = 2

w =1

2





Λύση

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

lox = 2

logx =1

2

⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = 100

x =√

10





Εξισώσεις

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΛΛΑΞΑΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ





Εξίσωση 1η

Πυθαγόρειο θεώρηµα





Πυθαγόρειο ϑεώρηµα

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε

άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Η εξίσωση αποτελεί τη

ϐάση µεγάλου µέρους της γεωµετρίας, συνδέεται µε την άλγεβρα και αποτελεί

το ϑεµέλιο της τριγωνοµετρίας. Χωρίς αυτή η πλοήγηση , η δηµιουργία χαρτών

και η διεξαγωγή ερευνών µε ακρίβεια ϑα ήταν αδύνατο να πραγµατοποιηθούν.

Σήµερα, η τριγωνοµετρία χρησιµοποιείται για να δώσει έµφαση στις σχετικές

τοποθεσίες στο GPS.





Εξίσωση 2η

Λογάριθµοι





Λογάριθµοι

Ο λογάριθµος είναι η δύναµη στην οποία πρέπει να υψωθεί η ϐάση ενός

δεδοµένου αριθµού για να προκύψει ως αποτέλεσµα ο αριθµός αυτός. Οι

λογάριθµοι ήταν µία επαναστατική ανακάλυψη για τους µηχανικούς και τους

αστρονόµους, οι οποίοι µπορούν µέσω αυτών να κάνουν γρηγορότερους και

πιο ακριβείς υπολογισµούς. Με την έλευση των υπολογιστών τα πράγµατα

έγιναν ακόµα πιο εύκολα, αλλά είναι ακόµα ένα απαραίτητο εργαλείο των

επιστηµόνων. Πλέον οι λογάριθµοι, µας ενηµερώνουν για τις ϱαδιενεργές

ϕθορές.





Εξίσωση 3η

Το πρώτο θεµελιώδες θεώρηµα του απειροστικού λογισµού





Το πρώτο ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του απειροστικού λογισµού

Η έννοια της παραγώγου επιτρέπει τον υπολογισµό του στιγµιαίου ϱυθµού µιας

αλλαγής .Χρησιµεύει στη µέτρηση στερεών, καµπύλων και περιοχών. Πρόκειται

για τη ϐάση πολλών ϕυσικών νόµων και αποτελούν πηγή διαφορικών

εξισώσεων. Σήµερα χρησιµοποιείται σε όποιο µαθηµατικό πρόβληµα απαιτείται η

ϐέλτιστη λύση, στην ιατρική, τα οικονοµικά και την πληροφορική.





Εξίσωση 4η

Ο νόµος της βαρύτητας από το Νεύτωνα





Ο νόµος της ϐαρύτητας από το Νεύτωνα

Ο νόµος της ϐαρύτητας, υπολογίζει τη δύναµη της ϐαρύτητας µεταξύ δύο

σωµάτων. ΄Εχει χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή της λειτουργίας του κόσµου.

Αν και αργότερα υποσκελίστηκε από τη ϑεωρία της σχετικότητας του ΄Αλµπερτ

Αϊνστάιν, αποτελεί απαραίτητο «εργαλείο» για την πρακτική περιγραφή του

τρόπου αντίδρασης και αλληλεπίδρασης µεταξύ σωµάτων. Ο νόµος της

ϐαρύτητας χρησιµοποιείται επίσης µέχρι και σήµερα για το σχεδιασµό της

τροχιάς δορυφόρων και ανιχνευτών.





Εξίσωση 5η

Η αρχή των µιγαδικών αριθµών





Η αρχή των µιγαδικών αριθµών

Το τετράγωνο ενός ϕανταστικού αριθµού είναι αρνητικός αριθµός. Η εξίσωση

επιτρέπει στους µηχανικούς αεροπλάνων, να λύσουν πρακτικά προβλήµατα.

Κυρίως χρησιµοποιείται από τους ηλεκτρολόγους µηχανικούς και στις

πολύπλοκες µαθηµατικές ϑεωρίες.





Εξίσωση 6η

Η εξίσωση των κυµάτων





Η εξίσωση των κυµάτων

Πρόκειται για µία αντιθετική εξίσωση που περιγράφει τη συµπεριφορά των

κυµάτων. Είναι απαραίτητη για την έρευνα της συµπεριφοράς των κυµάτων,

αλλά και για την ανάλυση του τρόπου λειτουργίας του ήχου, της ανάλυσης των

αιτιών που προκαλούν τους σεισµούς, αλλά και τη συµπεριφορά των ωκεανών.

Χάρη σε αυτή την εξίσωση, οι εταιρίες πετρελαίων, εκκρίνουν εκρηκτικά και

έπειτα µελετούν τα δεδοµένα από τον επακόλουθο ήχο των κυµάτων για να

προβλέψουν τους γεωλογικούς σχηµατισµούς.





Εξίσωση 7η

Ο µετασχηµατισµός Φουριερ





Ο µετασχηµατισµός Φουριερ

Περιγράφει τα πρότυπα στο χρόνο, ως µία συνάρτηση της συχνότητας. Ο

Φουριερ, ανακάλυψε αυτή την εξίσωση η οποία επεκτάθηκε από τη γνωστή

εξίσωση της ϱοής της ϑερµότητας και της εξίσωση των κυµάτων. Σήµερα

χρησιµεύει στη συµπίεση πληροφοριών στα αρχεία εικόνας τύπου ΘΠΕΓ, αλλά

και στην εξερεύνηση της ϱοής των µορίων.





Εξίσωση 8η

Οι εξισώσεις του Maxwell





Οι εξισώσεις του Maxwell

Περιγράφουν τη σχέση µεταξύ ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων, αλλά επίσης

ϐοηθούν στη δηµιουργία πολλών τεχνολογιών που χρησιµοποιούµε σήµερα και

ιδιαίτερα, τις συναντάµε στα ϱαντάρ, την τηλεόραση και τα σύγχρονα µοντέλα

επικοινωνίας.





Εξίσωση 9η

Ο δεύτερος νόµος της θερµοδυναµικής





Ο δεύτερος νόµος της ϑερµοδυναµικής

Αφορά τη διάχυση της ενέργειας και της ϑερµότητας ανά το χρόνο. Ο

δεύτερος νόµος της ϑερµοδυναµικής είναι ϐασικό εργαλείο για την κατανόηση

της ενέργειας αλλά και του σύµπαντος µέσω της ιδέας της εντροπίας. Μας

ϐοηθά να αντιληφθούµε τα όρια στην παραγωγή έργου από τη ϑερµότητα και

ϐοήθησε στη δηµιουργία καλύτερων ατµοµηχανών. Επιπλέον σηµαντικό είναι το

ότι αποδεικνύει πως η ύλη αποτελείται από άτοµα.





Εξίσωση 10η

Η θεωρία της σχετικότητας.





Η ϑεωρία της σχετικότητας.

Η ενέργεια ισοδυναµεί µε τη µάζα επί την ταχύτητα του ϕωτός στο τετράγωνο.

Η ϑεωρία της σχετικότητας του ΄Αλµπερτ Αϊνστάιν, αποτελεί την πιο γνωστή

εξίσωση στην ιστορία, που άλλαξε εντελώς την αντίληψη της ύλης και της

πραγµατικότητας. Βοήθησε στην δηµιουργία πυρηνικών όπλων και στον ακριβή

προορισµό των διευθύνσεων µέσω GPS.





Εξίσωση 11η

Η θεωρία των πληροφοριών του Shannon





Η ϑεωρία των πληροφοριών του Shannon

Η εξίσωση περιγράφει το σύνολο των δεδοµένων σε ένα µέρος ενός κώδικα,

από τις πιθανότητες που περιλαµβάνει τα σύµβολά του. Μάλιστα, εγκατέστησε

τα όρια που έκαναν τα πάντα πιθανά, από τα ῝∆ µέχρι και την ψηφιακή

επικοινωνία στη σύγχρονη επικοινωνιακή πραγµατικότητα. Η πιο σύγχρονη χρήση

της αφορά τον εντοπισµό λάθους σε τεχνολογικούς κώδικες.





Εξίσωση 12η

Το λογιστικό µοντέλο για την αύξηση του πληθυσµού





Το λογιστικό µοντέλο για την αύξηση του πληθυσµού

Υπολογίζει την αλλαγή ενός πληθυσµού πλασµάτων διαµέσου των γενεών µε

περιορισµένες πηγές. Ιδιαίτερα σηµαντικό είναι το ότι ϐοήθησε στην εξέλιξη της

ϑεωρίας του χάους, πράγµα που άλλαξε καθοριστικά την κατανόηση του τρόπου

που λειτουργούν τα ϕυσικά συστήµατα. Η πιο σύγχρονη χρήση της είναι η

πρόβλεψη του καιρού, αλλά και η πρόβλεψη περίπτωσης σεισµών.





ΤΕΛΟΣ

ΚΑΛΟ ∆ΙΑΒΑΣΜΑ !!!




2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

Education