1º exame de mecânica aplicada ii - autenticação · a barra ab roda com uma velocidade angular...
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MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2015/2016
Instituto Superior Técnico 04 de Junho de 2016
1º Exame de Mecânica Aplicada II
Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas.
Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios.
Responda a cada pergunta em folhas separadas.
Pergunta 1 (5 Val.)
A barra AB roda com uma velocidade angular constante de 10 rad/s no sentido horário. Por sua vez, a
extremidade da barra esbelta BC, com uma massa de 8 kg, desliza livremente sobre a superfície horizontal ao
longo do eixo x. Para o instante representado na figura:
a) Determine a velocidade angular da barra
BC. [1,5 Val.]
b) Determine a aceleração angular da barra
BC. [2 Val.]
c) Determine a resultante das forças e dos
momentos (em torno do respetivo centro
de massa) que produzem o movimento
da barra BC. [1,5 Val.]
Pergunta 2 (5 Val.)
Uma barra esbelta, com um comprimento 𝐿 = 0,91 m e peso de 45,5 N,
roda desde a posição vertical até atingir a horizontal, onde ocorre o
impacto com a protuberância B, a qual se encontra à distância 𝑏 = 0,31 m
do ponto de articulação A, tal como ilustrado na figura. Sabendo que a
barra parte do repouso, que o coeficiente de restituição é 𝑒 = 0,6 e que o
impacto tem a duração 𝑡2 − 𝑡1 = 0,1 s:
a) Determine a expressão que permite calcular a velocidade angular 𝜔
da barra imediatamente antes do impacto. [2 Val.]
b) Determine, na forma mais simplificada, a expressão que relaciona a
velocidade angular 𝜔′ da barra imediatamente após o impacto com a
velocidade 𝜔 referida na alínea anterior. [1,5 Val.]
c) Calcule o valor (médio) da força exercida na barra, em consequência do impacto em B. [1,5 Val.]
Pergunta 3 (5 Val.)
Considere a aeronave de asa fixa com rotores de inclinação variável
ilustrada na figura. A descolagem vertical inicia-se com 𝜽 = 0º,
variando este ângulo, com uma taxa ��, até cerca de 90º para voo
horizontal. Os raios de giração de cada rotor em relação aos seus
eixos principais de inércia são dados por 𝒌𝒙′, 𝒌𝒚′ e 𝒌𝒛′. Sabendo que
os rotores permanecem a rodar com uma velocidade angular
constante N, para um dado valor de 𝜽:
a) Represente o referencial (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) em rotação nos eixos do rotor
A e indique a velocidade angular deste referencial. [0,5 Val.]
b) Determine a velocidade e a aceleração angulares, respetivamente
�� e 𝛼 , do rotor A. [1 Val.]
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c) Determine o momento angular 𝐻𝐴 , em relação ao centro de massa do rotor A. [1,5 Val.]
d) Determine a taxa de variação de momento angular, em relação ao centro de massa do rotor A. [1 Val.]
e) Discuta, justificando analiticamente, a magnitude e o sentido da reação dinâmica da aeronave em termos
de guinada (rotação em torno do eixo z da aeronave) e rolamento (rotação em torno do eixo x da
aeronave), em virtude da variação do momento angular dos rotores. [1 Val.]
Pergunta 4 (5 Val.)
As coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜑) podem ser definidas em ℝ3 por: {𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
.
a) Determine a matriz da transformação inversa. [0,5 Val.]
b) Determine a base natural de (𝑟, 𝜃, 𝜑). [0,5 Val.]
c) Determine as matrizes da métrica covariante e contravariante. [1 Val.]
d) Mostre que Γ𝜃𝜃𝑟 = −𝑟, Γ𝜃𝜃
𝜃 = 0 e Γ𝜃𝜃𝜑
= 0. [1 Val.]
e) Sendo que uma partícula tem velocidade �� = 2 𝑒𝜃 , determine as componentes físicas da aceleração
em coordenadas esféricas. [2 Val.] ________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
Formulário
Barra esbelta: 𝐼 =𝑚𝐿2
3 𝐼 =
𝑚𝐿2
12
_______________________________________________________________________________________
Relações fundamentais da dinâmica:
∑𝐹 = 𝑚𝑎𝐺
∑𝑀𝐺 = 𝐻𝐺
_______________________________________________________________________________________
Lei de transformação tensorial:
𝑇𝑗1′⋯
𝑗𝑞′
𝑖1′⋯
𝑖𝑝′
= |𝑋|𝑘 𝑋𝑖1
𝑖1′
⋯𝑋𝑖𝑝
𝑖𝑝′
𝑋𝑗1′
𝑗1 ⋯𝑋𝑗𝑞′
𝑗𝑞 𝑇𝑗1⋯𝑗𝑞
𝑖1⋯𝑖𝑝 , 𝑋 ≡ det (𝑋𝑖𝑖′)
Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:
Γ𝑗𝑘𝑖 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑖 ≠ 𝑘
Γ𝑖𝑗𝑖 =
1
2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑖
𝜕𝑥𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗
Γ𝑗𝑗𝑖 = −
1
2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑗𝑗
𝜕𝑥𝑖 , 𝑖 ≠ 𝑗
Γ𝑖𝑖𝑖 =
1
2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑖
𝜕𝑥𝑖 , para todos os índices iguais.
Aceleração em coordenadas curvilíneas:
𝑎𝑖 = ��𝑖 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑣𝑗𝑣𝑘
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Resolução
Pergunta 1
a)
Velocidade do ponto B, notando que o ponto A se encontra no eixo de rotação:
Velocidade da extremidade C, usando o ponto B como referência:
Como a extremidade C desliza ao longo do eixo x, a componente da respetiva velocidade segundo o eixo y
(versor j) tem de ser nula, logo:
b)
Aceleração do ponto B, notando adicionalmente que a barra AB roda com velocidade angular constante:
Aceleração do ponto C, usando o ponto B como referência:
Como a extremidade C desliza ao longo do eixo x, também a componente da respetiva aceleração segundo o
eixo y (versor j) tem de ser nula, logo:
c)
De modo a aplicar as equações do movimento à barra esbelta BC, é necessário determinar ainda a aceleração
do respetivo centro de massa:
As resultantes da força, F, e do momento em torno do centro de massa, M, que produzem as acelerações,
respetivamente lineares e angulares, anteriormente determinadas são dadas pelas seguintes relações:
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Pergunta 2
a)
Usando o princípio do trabalho e energia, calcula-se a variação de energia cinética, notando que a barra parte
do repouso:
O trabalho das forças exteriores (conservativas) é simplesmente dado pela variação do potencial gravítico:
Sendo 𝜔 a velocidade angular da barra imediatamente antes do impacto, a energia cinética correspondente é:
Substituindo e resolvendo para obter a expressão que dá a velocidade angular pretendida:
onde o sinal negativo indica o sentido horário de rotação.
b)
Da definição do coeficiente de restituição, tem-se:
Como a protuberância B permanece estacionária, resulta:
As velocidades no ponto de barra que sofre o impacto (à distância b da articulação), respetivamente antes e
após o impacto, obtêm-se da cinemática:
Substituindo, resulta a expressão que relaciona as velocidades angulares da barra antes e após o impacto:
c)
Aplicando o princípio do impulso e da quantidade de movimento (angular) ao impacto da barra, obtém-se:
onde se substituem as expressões anteriormente obtidas para as velocidades angulares, resultando:
Da expressão anterior calcula-se o valor da força (média) exercida na barra pela protuberância B, ou seja:
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Pergunta 3
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Pergunta 4
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