1.část barbara zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/pgr013/materialy
DESCRIPTION
Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu. 1.část Barbara Zitová zitova @ utia.cas.cz http://zoi.utia.cas.cz/PGR013/materialy Fourierova transformace wavelety: něco málo teorie wavelety: aplikace v DZO. =. =. Fourierova transformace. oscilační X úhlová frekvence. k. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/1.jpg)
1.částBarbara Zitová
http://zoi.utia.cas.cz/PGR013/materialy
- Fourierova transformace
- wavelety: něco málo teorie
- wavelety: aplikace v DZO
Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu
![Page 2: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/2.jpg)
Fourierova transformace
=
=
oscilační X úhlová frekvence
k
![Page 3: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/3.jpg)
Vlastnosti• linearita
• posun shift theorem
• konvoluce convolution theorem
=
• rotace
• změna měřítka similarity theorem
F(R(f)) = R(F(f))
![Page 4: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/4.jpg)
Fourierova transformace - 2D
F( x ,y ) =
f( kx ,ky ) =
real, u=v imag, u=v
![Page 5: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/5.jpg)
Peridoické prodloužení
![Page 6: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/6.jpg)
6.5 / N
4 / N
19 / N
17 / N
![Page 7: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/7.jpg)
• filtrace
• registrace
• interpolace
• reprezentace objektů
• reprezentace textur
Použití
![Page 8: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/8.jpg)
Filtrace ve frekvenční oblasti=
high pass
low pass
Gaussian high pass
Gaussian low pass
band pass
directional
![Page 9: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/9.jpg)
Low pass step filtr
![Page 10: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/10.jpg)
Butterworth filtr low pass high pass
n= 1, 4, 16
![Page 11: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/11.jpg)
Butterworth filtr
![Page 12: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/12.jpg)
•Filtrace periodického poškození
•Inverzní filtrace
•Známý typ PSF
![Page 13: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/13.jpg)
• kros korelace +
F ( Image(x,y)) . F * ( Window(x,y))| F ( Image(x,y)) . F * ( Window(x,y)) |
= e 2π i (x TX + y TY )
SPOMF symmetric phase - only matched filter
Registrace - fázová korelace
![Page 14: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/14.jpg)
Log-polar transformace
• polar
• log
![Page 15: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/15.jpg)
RTS registrace
F(R(f)) = R(F(f))
• - periodicita amplitudy - > 2 úhly • log(abs(FT)+1)• problémy s diskrétním prostředím
FT | | log-polar FT fázová korelace
![Page 16: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/17.jpg)
Fourierovy deskriptory
Posun - změna F(0)Rotace - změna fázeMěřítko - vynásobení konstantouZměna start bodu - posun v 1D reprezentaci
f(t) = x(t) + iy(t)
![Page 18: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/18.jpg)
f(t) = ([x(t) – xc]2+ [y(t) - yc]
2)1/2
Fourierovy deskriptory
periodická funkce
• souřadnice
• vzdálenost od těžiště
f(t) = x(t) + iy(t)
• plocha
![Page 19: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/19.jpg)
Fourierovy deskriptory - interpolace
separace - tvar - pozice- měřítko- orientace
medicínské řezy
![Page 20: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/20.jpg)
Textury - popis
![Page 21: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/21.jpg)
Textury - popis
![Page 22: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/22.jpg)
• - základní stavební prvky FT
• pro každou frekvenci – sinusoida dané frekvence porovnána se signálem
• obsahuje-li signál danou frekvenci – korelace je velká velké FT koeficienty
• nemá-li signál žádnou část dané frekvence, korelace na dané frekvenci je malá/nulová malý / nulový FT koeficient
Fourierova transformace
![Page 23: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/23.jpg)
Okénková Fourierova transformace
![Page 24: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/24.jpg)
Okénková Fourierova transformace
![Page 25: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/25.jpg)
• výpočet různých FT pro po sobě jdoucí časové intervaly
• time-frequency reprezentace„1-D time domain“ „2-D time-frequency“
• volba okna tvar, šířka
• šířka okna – signál v něm stacionární
• širší okno – menší „time“ rozlišení
Okénková Fourierova transformace
![Page 26: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/26.jpg)
Dva extrémy
• W(t) nekonečně široké klasická FT
výborné „frequency“ rozlišení, žádná „time“ informace
• W(t) nekonečně úzké konstanta
výborné „time“ rozlišení, žádná „frequency“ informace
Okno zvoleno – rozlišení nastaveno v obou oblastech
Gaussovské okno – nejmenší
1)( tW
)()( ttW
Volba okna
![Page 27: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/27.jpg)
t Time rozlišení: separace 2 „špicí“ v časové oblasti
f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních komponent
Obě rozlišení nemohou být libovolně velké!
Pouhé intervaly!!
Heisenbergův princip
t * f > 1/(4 ) Gaborův princip neurčitosti
![Page 28: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/28.jpg)
FT versus wavelets - plocha
![Page 29: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/29.jpg)
Waveletová transformace
• Základy teorie
• Aplikace
![Page 30: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/30.jpg)
Historie Wavelet
1909 Alfred Haar - Haar báze.
1946 Gabor - ne-orthogonální neomezené wavelety
1976 Croisier, Esteban a Galand - filter banks pro dekompozici a rekonstru kci signálu
1982 Jean Morlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů
![Page 31: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/31.jpg)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
1987-1993 Stephane Mallat a Yves Meyer - multiresolution , Diskrétní Waveletová Transformace
1988 Ingrid Daubechies - ortonormální, kompaktní skupina wavelet
![Page 32: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/32.jpg)
Aplikace wavelet
Komprese
Odstraňování šumu a poškození
Detekce struktur
Problematika rozmazání
Registrace
Reprezentace
Fúze dat s různým rozlišením
![Page 33: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/33.jpg)
„Laplacian“ pyramida
O co tady jde ?
![Page 34: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/34.jpg)
K čemu směřujeme ?
![Page 35: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/35.jpg)
Haarova waveleta
![Page 36: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/36.jpg)
•kompaktní•dyadická•ortonormální
![Page 37: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/38.jpg)
![Page 39: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/39.jpg)
g = [ , - ]
h = [ , ]
![Page 40: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/40.jpg)
g* = [ ,- ]
h* = [ , ]
![Page 41: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/42.jpg)
Haar waveleta
Mexican hat waveleta
![Page 43: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/44.jpg)
• Okno proměnné šířky– analýza vysokých frekvencí úzké okno pro
lepší „time“ rozlišení– analýza nízkých frekvencí širší okno pro lepší
„frequency“ rozlišení
Wavelet transformace
![Page 45: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/45.jpg)
Okénková Fourierova transformace
waveletová transformace
translace, dilatace
a > 0, R R
![Page 46: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/46.jpg)
h a, => a,b
- matečná waveleta (mother wavelet)
- wave... osciluje- ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle
- = 0
- | |2 <
- FT() a,b v 0 - 0, v - 0
- něco jako band-pass filtr ve FT
Waveletová transformace
a,b
x - b
a > 0, Rb R, normalizace přes škály
dC
)(< ∞
2
![Page 47: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/47.jpg)
Haar waveleta
Mexican hat waveleta
![Page 48: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/48.jpg)
Shannon waveleta
Morlet waveleta
![Page 49: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/49.jpg)
Daubechies 4 waveleta
![Page 50: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/50.jpg)
c - záleží na
Spojitá waveletová transformace
a,b*a, b
a,ba, b
a > 0, Rb R
REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b
WF(a,b) = f (t), a,b
![Page 51: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/51.jpg)
• „time“ vzorkování u nízkých frekvencí – řídké stačí
log a
b
a vzorkované na log stupnicib vzorkované hustěji u malého a
00
0
bakb
aaj
j
Dyadická síť – diskretizace a, b
obvykle a0 = 2 a b0 = 1, což vede na dyadickou síť
![Page 52: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/52.jpg)
Dyadická waveletová transformace - waveletové řady
- < m, n < m, n Z
Přeurčenost
binární škálování - zmenšování o faktor 2dyadický posun - posun o k/2j
m,n - ortonormální báze L2(R)
m,n ,k,l = m,k n,l
f(x) = c m,n ,m,n
c m,n = f (x), m,n
- -
![Page 53: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/53.jpg)
Diskrétní waveletová transformace - cesta
Kompaktní dyadická waveletová transformace
- f(x), m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval
j
j = 2m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2j - 1
pro libovolné j je m je největší takové, že 2m j, n = j - 2m
Diskretizace f … f (i x) N vzorků … mocnina 2
f(x) = c j ,j
c j = f (x), j
-
spojité
![Page 54: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/55.jpg)
Diskrétní waveletová transformace
Kompaktní dyadická waveleta
j
Diskretizace f …. f (i x) N vzorků … mocnina 2
f(x) = c j ,j
c j = f (x), j = f(x) j
1
N
1
N
diskrétní
![Page 56: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/56.jpg)
FT - spojitá funkce x spojitá funkce
FŘ - periodická funkce x řada koeficientů DFT - navzorkovaná funkce x navzorkované spektrum
SWT - spojitá funkce x spojité a,b
WŘ - spojitá funkce x řada koeficientů
DWT - navzorkovaná funkce x konečná řada koeficientů
![Page 57: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/57.jpg)
Waveletová transformace - dekompozice
![Page 58: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/58.jpg)
V10
V5
W5
W6
W7
W8
W9
Haar waveleta
![Page 59: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/59.jpg)
Waveletová dekompozice funkce f
základ + detaily různéhoměřítkaVjVj0
WJ-1
![Page 60: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/60.jpg)
![Page 61: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/61.jpg)
Mutliresolution analysis (MRA)
- postup pro konstrukci ortonormálních bází
- L2 prostor
- vnořená sekvence uzavřených
podprostorů Vi
- každé Vi odpovídá
jednomu měřítku
- plně určeno volbou
škálovací funkce
![Page 62: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/62.jpg)
Platí:
nárůst i - jemnější rozlišení
scale invariance
![Page 63: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/63.jpg)
funkce ij (x), kde
tvoří ortonormální bázi Vi … škálovací funkce„father wavelet“
Pi(f) - ortonormální projekce f do Vi , pak
škálovací koeficienty
reprezentace chyby ( detailu ) Vi+1 - Vi
ortonormální doplněk Wi
shift invariance
![Page 64: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/64.jpg)
každý Wi je generován posuny i, j
waveleta
Platí:škálová invariance
translační invariance
ortonormalita Wi a Wk
waveletové koeficienty
![Page 65: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/65.jpg)
Waveletová transformace - dekompozice
Vj0
Vj
Wj0
Wj-1
![Page 66: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/66.jpg)
waveletové koeficienty
… vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový (=1)
- = 0
- a FT() dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech)
- kompaktní , - nulové krom určitého konečného intervalu
škálovací koeficienty
![Page 67: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/67.jpg)
dilatační rovnice
V0 V1
V0 V1
W0 V1
V0 V1W0
![Page 68: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/68.jpg)
Haar waveleta
g = [ , - ]
h = [ , ]
![Page 69: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/69.jpg)
h - low pass filtrg - high pass filtr
h = 2
g = 0
Poznámky k h a g
h,g quadrature mirror filtry (|H|2 + |G|2 = 1)
g – h zpětně se změněnými znaménky posun o pul periody
hj určuje škálovací funkci
hN-1-j = (-1) j g j
g = [h3 -h2 h1 -h0] g = [ , - ]
h = [ , ]
![Page 70: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/70.jpg)
Ortogonalita
waveleta (wavelet) báze Wi
škálovací funkce (scaling function) báze Vi
![Page 71: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/71.jpg)
Waveletová dekompozice funkce f
VjVj0
základ + detaily různéhoměřítka
![Page 72: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/72.jpg)
V10
V5
W5
W6
W7
W8
W9
Haar waveleta
![Page 73: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/73.jpg)
V10
V5
W5
W6
W7
W8
W9
Daubechies 4 waveleta
Daubechies 4 škálovací funkce a waveleta
![Page 74: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/74.jpg)
V10
V5
W5
W6
W7
W8
W9
Haar waveleta
![Page 75: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/75.jpg)
Waveletová dekompozice funkce f
PVjf - ortonormální projekce f do Vi
základ + detaily různého měřítka
kompaktní suport
![Page 76: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/76.jpg)
Vj
j k k(PV f )(x) = cj-1,k j-1,k(x) + dj-1,k j-1,k (x)Vj-1 + Wj-1
DR
signál délky 2J - vzorky na jednotkovém intervalu Vn
< f, J,k >, aproximace spojité funkce f .. cJ,k
cj-1,k = h(n-2k) cj,nn
dj-1,k = g(n-2k) cj,nn
cj+1,k = h(k-2l) cj,l +
+ g(k-2l) dj,l
l
l
![Page 77: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/77.jpg)
Rychlá waveletová transformace
![Page 78: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/80.jpg)
• Kompaktní - konečný počet nenulových koeficientů - lokalizace v čase, frekvenci
• Waveletová transformace - proces určení cj0,k, dj,k
• Požadavek na nulovost momentů
• FFT - O(Nlog2N) FWT - O(N)
![Page 81: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/81.jpg)
• Vlastnosti očekávané od wavelet
- dobrá lokalizace
- jednoduchost konstrukce a reprezentace
- invariance vzhledem k některým operacím
- hladkost, spojitost, diferencovatelnost, symetrie
- dobré vlastnosti vzhledem k počtu nulových momentů
![Page 82: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/82.jpg)
Kompaktnost- v obrazové oblasti (ve frekvenční rychle k nule)- nižší výpočetní nároky- lepší obrazové rozlišení x horší frekvenční
Symetrie- ortogonální kompaktní wavelety nemohou být sym. - biortogonální wavelety
Momenty a jejich nulovost 1. M momentů 0 : signály typu nulové detailní koeficientydobré pro kompresiDaubechies 2p koeficientů – p nulových momentů
Hladkostlepší rekonstrukce
Mm
mmtctx
0
)(
![Page 83: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/83.jpg)
• Reálné x komplexní wavelety
• Ortogonální x biortogonální x neortogonální
• Biortogonální wavelety
-Haar jediná kompaktní, ortogonální a symetrická
-oslabení ortogonality
• Jiné typy diskretizace, nedyadické, m-bands
![Page 84: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/84.jpg)
analytické funkce (W0 škálovací f., W1 waveleta )
volba stromu (snižování entropie)
• Wavelet packets - nadmnožina WT
![Page 85: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/86.jpg)
Filter banks
ψa(x) = (1/√a) ψ(x/a)ψa(x) = ψ*a(-x) = (1/√a) ψ*(-x/a)
pak CWT = f * ψa(x)
násobení ve FTH
G
![Page 87: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/87.jpg)
Subband coding
f(iΔt) F(s)
h(iΔt) H(s)
f(iΔt)*h(iΔt) F(s).H(s)
h H
![Page 88: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/88.jpg)
f(iΔt)*h(iΔt) F(s).H(s)
b(iΔt) B(s)
b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)]
![Page 89: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/89.jpg)
f(iΔt) F(s)
g(iΔt)G(s)
f(iΔt)*g(iΔt) F(s).G(s)
g G
![Page 90: 1.část Barbara Zitová zitova @ utias.cz zoi.utias.cz/PGR013/materialy](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062309/56815820550346895dc586a9/html5/thumbnails/90.jpg)
f(iΔt)*g(iΔt) F(s).G(s)
b(iΔt) B(s)
b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)]
Aliasing