1999 contaminent transport in municipal water system

8/11/2019 1999 Contaminent Transport in Municipal Water System

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C h a p t e r 1

C o n t a m i n a n t T r a n s p o r t i n M u n i c i p a l

W a t e r S y s t e m s

P r e s e n t e d a t t h e 3 r d P I M S I n d u s t r i a l P r o b l e m S o l v i n g W o r k s h o p

h e l d a t t h e U n i v e r s i t y o f V i c t o r i a , C a n a d a , M a y 3 1 { J u n e 4 , 1 9 9 9 .

S e e m a A l i

1

, J e r e m y B e l l

2

, C h r i s B u d d

3

, A d r i a n a D a v i d o v a

2

, N a t h a n K r i s l o c k

4

, M a r g a r e t L i a n g

5

,

Y v e s L u c e t

6

, S c o t t M a c L a c h l a n

5

, M a r n i M i s h n a

6

, S h e l l y P i n d e r

5

, P e i l i n S h i

2

, C r i s t i n a S t o i c a

2

,

J F W i l l i a m s

6

, Z i l i W u

2

R e p o r t w r i t t e n b y J o h n S t o c k i e

6

1 . 1 I n t r o d u c t i o n .

T h e q u a l i t y o f m u n i c i p a l w a t e r s u p p l i e s h a s b e c o m e a n i s s u e o f g r e a t i m p o r t a n c e f o r l a r g e , u r b a n c e n t r e s .

W i d e s p r e a d i n d u s t r i a l i s a t i o n , p o l l u t i o n , a n d d e v e l o p m e n t o f a r e a s c l o s e t o t r a d i t i o n a l w a t e r s o u r c e s h a v e

a l l c o n t r i b u t e d t o t h e d e g r a d a t i o n o f o u r d r i n k i n g w a t e r , a n d m a d e t h e t o p i c a s u b j e c t o f h e a t e d d e b a t e .

O c i a l s a n d p l a n n e r s a t a l l l e v e l s o f g o v e r n m e n t h a v e r e c o g n i s e d t h e n e e d t o m a n a g e w a t e r d i s t r i b u t i o n

n e t w o r k s s o a s t o m a i n t a i n a c c e p t a b l e l e v e l s o f w a t e r q u a l i t y . B e c a u s e o f t h e c o m p l e x i t y o f e v e n t h e s i m p l e s t

o f o w n e t w o r k s , n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s h a v e b e c o m e a n e s s e n t i a l t o o l i n t h e w a t e r q u a l i t y m a n a g e m e n t

p r o c e s s , a n d s i m u l a t i o n s o f n e t w o r k s w i t h h u n d r e d s o f j u n c t i o n s , p u m p i n g s t a t i o n s , t a n k s a n d r e s e r v o i r s a r e

c o m m o n p l a c e 4 ] .

T h e f o r w a r d o r d y n a m i c s i m u l a t i o n o f w a t e r n e t w o r k s w i t h k n o w n c h a r a c t e r i s t i c s a n d c o n t a m i n a n t i n p u t s

i s f a i r l y w e l l - u n d e r s t o o d , a n d s o f t w a r e p a c k a g e s s u c h a s E p a n e t 5 ] , w h i c h i s f r e e l y - a v a i l a b l e o v e r t h e I n t e r n e t ,

a r e w i d e l y u s e d i n t h e i n d u s t r y . H o w e v e r , a m o r e d i c u l t a s p e c t o f w a t e r n e t w o r k s i s t h e \ i n v e r s e " o r

\ f o r e n s i c " p r o b l e m w h e r e , f o r e x a m p l e , o n e w a n t s t o k n o w h o w m u c h o f a c o n t a m i n a n t h a s b e e n r e l e a s e d

g i v e n m e a s u r e m e n t s o f c o n t a m i n a n t l e v e l s a t c e r t a i n l o c a t i o n s

7

. T h i s i s t h e p r o b l e m t h a t C h a r l e s H o w a r d &

A s s o c i a t e s L t d . ( C H A L ) , a l o c a l V i c t o r i a e n g i n e e r i n g c o n s u l t i n g r m , b r o u g h t t o t h e P I M S p r o b l e m - s o l v i n g

w o r k s h o p .

1

U n i v e r s i t y o f C a l g a r y

2

U n i v e r s i t y o f V i c t o r i a

3

U n i v e r s i t y o f B a t h

4

U n i v e r s i t y o f R e g i n a

5

U n i v e r s i t y o f B r i t i s h C o l u m b i a

6

S i m o n F r a s e r U n i v e r s i t y

7

T h e i m p o r t a n c e o f f o r e n s i c w a t e r q u a l i t y a n a l y s i s h a s r e c e i v e d w i d e s p r e a d a t t e n t i o n w i t h t h e r e c e n t r e l e a s e o f t h e H o l l y w o o d

m o v i e \ C i v i l A c t i o n " s t a r r i n g J o h n T r a v o l t a .

1


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O u r r s t t a s k f r o m C H A L w a s t o e x a m i n e t h e d y n a m i c ( f o r w a r d ) a l g o r i t h m u s e d i n E p a n e t , a n d e n s u r e

t h a t i t i s c o m p u t i n g p h y s i c a l l y r e a s o n a b l e s o l u t i o n s f o r n e t w o r k s t h a t e x p e r i e n c e r a p i d \ o w r e v e r s a l s , " i n

w h i c h t h e o w i n a p i p e s e c t i o n c h a n g e s d i r e c t i o n o v e r a s h o r t t i m e i n t e r v a l s . T h i s i s a p a r t i c u l a r c o n c e r n f o r

E p a n e t , b e c a u s e t h e c a l c u l a t i o n o f w a t e r o w i n t h e p i p e n e t w o r k i s t o t a l l y d e c o u p l e d f r o m t h e c o n t a m i n a n t

t r a n s p o r t s t e p . T h e d i s c r e t e t i m e s t e p u s e d f o r t h e o w i s t y p i c a l l y m u c h l a r g e r t h a n f o r t h e c o n t a m i n a n t ,

a n d s o E p a n e t m a y h a v e d i c u l t i e s h a n d l i n g o w r e v e r s a l s . C H A L i s a l s o c o n c e r n e d a b o u t w h e t h e r o r

n o t t h e i n v e r s e p r o b l e m i s w e l l - p o s e d , a n d i f i t i s p o s s i b l e t o u s e e x i s t i n g f o r w a r d s o l v e r s t o c o n s t r u c t a n

a l g o r i t h m f o r s o l v i n g t h e i n v e r s e p r o b l e m .

W e b e g i n i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s w i t h a n o v e r v i e w o f t h e p h y s i c s o f o w i n w a t e r d i s t r i b u t i o n n e t w o r k s ,

a n d t h e i m p l e m e n t a t i o n u s e d i n t h e E p a n e t o w s o l v e r . T h e b u l k o f o u r r e s u l t s f r o m t h e w o r k s h o p a r e

c o n c e r n e d w i t h a n a l y s i n g s i m p l e o w n e t w o r k s a n d u s i n g t h e r e s u l t s t o d r a w c o n c l u s i o n s a b o u t t h e w e l l -

p o s e d n e s s o f b o t h t h e f o r w a r d a n d i n v e r s e p r o b l e m s .

1 . 2 F l o w i n W a t e r D i s t r i b u t i o n N e t w o r k s .

A t y p i c a l w a t e r d i s t r i b u t i o n n e t w o r k , p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 1 , c a n b e c o n s i d e r e d a s a c o l l e c t i o n o f l i n k s a n d

n o d e s . T h e l i n k s c o m e i n t w o v a r i e t i e s

8

: p i p e s a n d p u m p s . T h e p i p e s c o n v e y w a t e r p a s s i v e l y f r o m o n e

junction

pump

tank

pipe

B

A

reservoir

F i g u r e 1 . 1 : A t y p i c a l w a t e r d i s t r i b u t i o n n e t w o r k .

n e t w o r k j u n c t i o n t o a n o t h e r i n t h e d i r e c t i o n o f d e c r e a s i n g p r e s s u r e , e x c e p t w h e r e f o r c e d b y p u m p s w h i c h

a p p l y s o m e e x t e r n a l f o r c i n g t o r a i s e t h e h y d r a u l i c h e a d o f t h e w a t e r i n t h e n e t w o r k . T h e n o d e s a r e e i t h e r

j u n c t i o n s , t a n k s o r r e s e r v o i r s . J u n c t i o n s c o n n e c t t w o p i p e s e c t i o n s t o g e t h e r a n d m a y a l s o s e r v e a s p o i n t s

o f w a t e r c o n s u m p t i o n ( e . g . , a r e s i d e n t i a l o r i n d u s t r i a l c u s t o m e r ) o r e x t e r n a l w a t e r s o u r c e s ( e . g . , a w a t e r

t r e a t m e n t p l a n t ) . T a n k s a n d r e s e r v o i r s a r e e x t e r n a l n o d e s t h a t s e r v e a s w a t e r s t o r a g e a r e a s .

1 . 2 . 1 N e t w o r k c o m p o n e n t s .

B e f o r e m o v i n g o n t o a m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s i c a l p r o c e s s e s i n e a c h o f t h e n e t w o r k c o m p o n e n t s ,

w e n e e d t o d e n e t h e b a s i c v a r i a b l e s t h a t w i l l b e u s e d t o d e s c r i b e w a t e r t r a n s p o r t i n t h e n e t w o r k . R a t h e r

t h a n t h e v a r i a b l e s v e l o c i t y a n d p r e s s u r e t h a t a r e t y p i c a l l y u s e d i n u i d m e c h a n i c s t o d e s c r i b e o w , w e w i l l

i n s t e a d f o r m u l a t e t h e p r o b l e m i n t e r m s o f

8

T h e r e a r e a l s o s e v e r a l t y p e s o f v a l v e s 5 ] w h i c h w e w i l l n o t c o n s i d e r h e r e f o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y .

2


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4/14

J u n c t i o n s : P i p e j u n c t i o n s m a y a l s o b e c o n s u m e r s o r s u p p l i e r s o f w a t e r , w i t h a g i v e n s u p p l y S ( t ) o r d e m a n d

B ( t ) o w r a t e , a s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 2 .

T a n k s : A s t o r a g e t a n k i s a s p e c i a l t y p e o f n o d e t h a t h a s a f r e e w a t e r s u r f a c e w h e r e t h e h e a d i s s i m p l y g i v e n

b y t h e h e i g h t a b o v e s e a l e v e l . T h e t i m e v a r i a t i o n o f t h e h e a d H

s

a t a s t o r a g e n o d e c o n n e c t e d b y a

s i n g l e p i p e t o n o d e s i s d e s c r i b e d b y t h e e q u a t i o n

@ H

s

@ t

=

Q

i s

A

s

; ( 1 . 3 )

w h e r e A

s

i s t h e c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f t h e s t o r a g e v e s s e l .

R e s e r v o i r s : T h e s e a r e a n o t h e r t y p e o f s t o r a g e n o d e i n w h i c h t h e w a t e r s u r f a c e r e m a i n s a t t h e s a m e l e v e l

n o m a t t e r w h a t t h e o w r a t e i s , a n d s o t h e h e a d i s a c o n s t a n t . R e s e r v o i r n o d e s t y p i c a l l y r e p r e s e n t

e x t e r n a l s o u r c e s o f w a t e r s u c h a s l a k e s o r r i v e r s .

1 . 2 . 2 H y d r a u l i c s i m u l a t i o n s .

T h e d y n a m i c e q u a t i o n s d e s c r i b i n g a o w n e t w o r k c a n b e d e r i v e d b a s e d o n c o n s e r v a t i o n p r i n c i p l e s . S u p p o s e

t h a t a n e t w o r k c o n t a i n s N

j

j u n c t i o n s , N

t

t a n k s a n d N

r

r e s e r v o i r s . W i t h i n e a c h n o d e j ( s e e F i g u r e 1 . 2 ) , t h e

t o t a l o f a l l o w s i n t o t h e n o d e m u s t e q u a l t h a t d i r e c t e d o u t o f t h e n o d e . M a t h e m a t i c a l l y , t h i s c a n b e w r i t t e n

a s

S

j

+

N

X

i = 1

Q

i j

= B

j

; ( 1 . 4 )

w h e r e N = N

j

+ N

t

a r e t h e n u m b e r o f n o d e s w i t h h e a d s t h a t v a r y ( r e s e r v o i r s a r e e x c l u d e d h e r e b e c a u s e

t h e y h a v e a c o n s t a n t h e a d ) . S i n c e t h e o w r a t e s s a t i s f y Q

i j

= ? Q

j i

, t h e r e i s o n e a d d i t i o n a l c o n s e r v a t i o n

c o n s t r a i n t t h a t m u s t b e s a t i s e d b y t h e s u p p l y / d e m a n d i n p u t v a l u e s ; n a m e l y , t h a t

N

X

j = 1

( S

j

? B

j

) = 0 : ( 1 . 5 )

B a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t c o n s u m p t i o n s B

j

, s u p p l i e s S

j

, a n d p u m p o p e r a t i o n s c h a n g e s l o w l y i n t i m e ,

w e t r e a t t h e s y s t e m a s o n e t h a t c a n b e m o d e l e d o v e r t i m e a s a s e r i e s o f q u a s i { s t e a d y s t a t e s i m u l a t i o n s . B y

s u b s t i t u t i n g i n t o ( 1 . 4 ) t h e e x p r e s s i o n s f o r Q

i j

f r o m ( 1 . 1 ) a n d ( 1 . 2 ) , a n d t h e d i s c r e t e f o r m Q

i j

= ( H

n e w

j

?

H

o l d

j

) ( A

j

= t ) o f t h e t a n k e q u a t i o n ( 1 . 3 ) , w e o b t a i n a s y s t e m o f N n o n l i n e a r e q u a t i o n s f o r t h e N u n k n o w n

h e a d s H

j

a t a n y g i v e n t i m e .

1 . 2 . 3 C o n t a m i n a n t t r a n s p o r t .

I m a g i n e t h a t a d i s s o l v e d s u b s t a n c e i s i n t r o d u c e d a t a c e r t a i n n o d e ( e . g . , t h e r e s e r v o i r n o d e A i n F i g u r e 1 . 1 ) ,

w h i c h i s t h e n t r a n s p o r t e d t h r o u g h t h e n e t w o r k . T h e s u b s t a n c e h a s n o e e c t o n t h e w a t e r o w r a t e s w e

o b t a i n e d i n t h e h y d r a u l i c m o d e l a n d s o i t s c o n c e n t r a t i o n c a n b e d e t e r m i n e d i n d e p e n d e n t l y .

L e t C

i j

( x ; t ) r e p r e s e n t t h e c o n c e n t r a t i o n o f t h e s u b s t a n c e i n l i n k i ? j . W h i l e o u r a s s u m p t i o n t h a t t h e

o w r a t e i s c o n s t a n t a l o n g a g i v e n p i p e l i n k i s r e a s o n a b l e , w e c a n n o t s a y t h e s a m e f o r t h e c o n t a m i n a n t ,

w h i c h m u s t b e t a k e n a s a f u n c t i o n o f t i m e , t , a n d d i s t a n c e a l o n g t h e p i p e , x . T h e e q u a t i o n o f c o n s e r v a t i o n

f o r c o n t a m i n a n t m a s s w i t h i n e a c h l i n k t h e n r e a d s

@ C

i j

@ t

+

Q

i j

A

i j

@ C

i j

@ x

= ? k

i j

C

i j

: ( 1 . 6 )

4


5/14

A

i j

i s t h e p i p e ' s c r o s s - s e c t i o n a l r a d i u s a n d k

i j

i s a r a t e c o n s t a n t t h a t d e s c r i b e s t h e d e c a y o f c o n t a m i n a n t

d u e t o r e a c t i o n w i t h t h e p i p e w a l l s , a n d b u l k r e a c t i o n s w i t h t h e w a t e r

9

.

T h e q u a n t i t y ( Q

i j

= A

i j

) r e p r e s e n t s a k n o w n v e l o c i t y w i t h w h i c h t h e s u b s t a n c e i s c o n v e c t e d i n t h e p i p e a n d

t h e r e f o r e , ( 1 . 6 ) i s s i m p l y a l i n e a r a d v e c t i o n e q u a t i o n . I n o r d e r t o s o l v e t h i s e q u a t i o n w e n e e d o n l y d e t e r m i n e

t h e v a l u e C

o

i

( t ) o f t h e c o n c e n t r a t i o n a t x

i j

= 0 , w h e r e w e h a v e u s e d t h e c o n v e n t i o n t h a t t h e c o o r d i n a t e x

a l o n g e a c h p i p e i s c h o s e n s o t h a t t h e o r i g i n i s a t t h e u p s t r e a m e n d ( i . e . , a t n o d e i i f Q

i j

> 0 a n d n o d e j i f

Q

i j

< 0 ) . T h i s s i t u a t i o n i s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 3 .

ijQ

ij ij LC ( ,t)ijoiC =C (0,t)

M i

i j

F i g u r e 1 . 3 : T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e c o n c e n t r a t i o n i n a l i n k , C

o

i

( t ) , i s o b t a i n e d b y c o m b i n i n g t h e m a s s

i n o w o f c o n t a m i n a n t , M

i

, a n d t h e m i x i n g o f i n o w s i n t o n o d e i .

T h e b o u n d a r y v a l u e s C

o

i

( t ) c a n b e f o u n d f o r e a c h n o d e i b y a s s u m i n g t h a t t h e t u r b u l e n t o w i n t o t h e

n o d e i s w e l l - m i x e d a n d t h e n a p p l y i n g t h e f o l l o w i n g c o n s e r v a t i o n a r g u m e n t . W e r e q u i r e t h a t t h e t o t a l m a s s

o f c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t e d i n t o j u n c t i o n i

M

i

+

X

k ; Q

k i

> 0

C

k i

( L

k i

; t ) Q

k i

( w h e r e M

i

i s t h e m a s s i n o w r a t e o f c o n t a m i n a n t a n d L

k i

i s t h e l e n g t h o f t h e p i p e k { i ) m u s t b e b a l a n c e d

b y t h e t o t a l m a s s o u t

C

o

i

2

4

B

i

+

X

k ; Q

k i

< 0

( ? Q

k i

)

3

5

:

E q u a t i n g t h e s e t w o e x p r e s s i o n s a n d u s i n g ( 1 . 4 ) , w e c a n s o l v e f o r t h e b o u n d a r y v a l u e

C

o

i

( t ) =

M

i

+

X

k ; Q

k i

> 0

C

k i

( L

k i

; t ) Q

k i

S

i

+

X

k ; Q

k i

> 0

Q

k i

( 1 . 7 )

E q u a t i o n ( 1 . 6 ) c a n n o w b e s o l v e d i n e a c h l i n k u s i n g ( 1 . 7 ) a s a b o u n d a r y c o n d i t i o n , a n d w i t h t h e o w

r a t e Q h e l d c o n s t a n t o v e r t h e t i m e i n t e r v a l .

1 . 3 T h e E p a n e t s o l u t i o n a l g o r i t h m .

T h e s o l u t i o n p r o c e d u r e w i t h i n t h e E p a n e t w a t e r q u a l i t y s i m u l a t i o n p a c k a g e p r o c e e d s a s f o l l o w s i n e a c h

h y d r a u l i c t i m e s t e p :

9

T h e o v e r a l l r a t e c o n s t a n t t a k e s t h e f o r m k = k

b

+ 2 k

w

k

f

= R ( k

w

+ k

f

) ] w h e r e k

b

i s t h e r s t - o r d e r b u l k r e a c t i o n r a t e c o n s t a n t ,

k

f

i s t h e m a s s t r a n s f e r c o e c i e n t b e t w e e n w a l l a n d p i p e , k

w

i s t h e r e a c t i o n r a t e a t t h e w a l l , a n d R i s t h e p i p e r a d i u s .

5


6/14

1 . C a l c u l a t e t h e s u p p l y a n d d e m a n d a t e a c h n o d e , a n d t h e s t a t u s o f t h e p u m p l i n k s u s i n g u s e r - s p e c i e d

t i m e \ p a t t e r n s . "

2 . S o l v e t h e n o n - l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 1 . 1 ) { ( 1 . 4 ) f o r t h e h e a d v a l u e s H

i

u s i n g a f u l l N e w t o n s o l v e r .

T h e J a c o b i a n m a t r i x i s c o n s t r u c t e d e x p l i c i t l y a n d t h e r e s u l t i n g l i n e a r s y s t e m i s s o l v e d u s i n g a C h o l e s k y

f a c t o r i s a t i o n w h i c h t a k e s a d v a n t a g e o f t h e s p a r s e s t r u c t u r e o f t h e m a t r i x .

3 . P e r f o r m t h e w a t e r q u a l i t y c a l c u l a t i o n s u s i n g t h e D i s c r e t e V o l u m e E l e m e n t M e t h o d ( o r D V E M ) , w h i c h

p r o c e e d s a s f o l l o w s :

( a ) S e l e c t t h e w a t e r q u a l i t y t i m e s t e p = m i n

i j

( L

i j

= V

i j

) , w h e r e V

i j

= Q

i j

= A

i j

i s t h e o w v e l o c i t y i n

p i p e i ? j . C o n s e q u e n t l y , i s e q u a l t o t h e s h o r t e s t t r a v e l t i m e t h r o u g h a l l p i p e s i n t h e s y s t e m ,

w h i c h e n s u r e s t h a t w a t e r i s n o t t r a n s p o r t e d b e y o n d t h e d o w n s t r e a m n o d e i n a n y l i n k w i t h i n a

s i n g l e t i m e s t e p .

( b ) I n t e r p o l a t e t h e c o n c e n t r a t i o n s f r o m t h e d i s c r e t e v o l u m e e l e m e n t s a t t h e b e g i n n i n g o f t h e h y d r a u l i c

t i m e s t e p o n t o t h e i r c u r r e n t l o c a t i o n s ( s i n c e t h e p o s i t i o n o f t h e e l e m e n t s c h a n g e s i n e a c h h y d r a u l i c

t i m e s t e p ) .

( c ) E a c h p i p e i ? j i s t h e n r e - p a r t i t i o n e d i n t o

i j

d i s c r e t e e l e m e n t s o f e q u a l v o l u m e , w i t h t h e n u m b e r

o f e l e m e n t s c h o s e n s o t h a t

i j

=

L

i j

V

i j

:

T h i s e n s u r e s t h a t t h e t r a n s p o r t i n a l l l i n k s i s r e s o l v e d a d e q u a t e l y o v e r t h e t i m e s t e p .

( d ) P r o p a g a t e t h e c o n c e n t r a t i o n s t h r o u g h t h e n e t w o r k u s i n g e q u a t i o n ( 1 . 6 ) a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n

( 1 . 7 ) . T h e w a t e r q u a l i t y t i m e s t e p i s t y p i c a l l y m u c h s m a l l e r t h a n t h e h y d r a u l i c t i m e s t e p , a n d

s o t h i s w i l l r e q u i r e s e v e r a l i n t e g r a t i o n s t e p s .

D e t a i l s o f t h e N e w t o n s o l v e r f o r t h e n e t w o r k o w a r e g i v e n i n 8 ] a n d t h e D V E M c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t

a l g o r i t h m i s d e t a i l e d i n 6 ] .

1 . 3 . 1 E p a n e t ' s l i m i t a t i o n s : r e v e r s e o w .

O n e o f t h e m a j o r l i m i t a t i o n s o f E p a n e t i s t h e t o t a l d e c o u p l i n g o f t h e h y d r a u l i c a n d w a t e r q u a l i t y c o m p u t a -

t i o n s , s o t h a t t h e t i m e s t e p s u s e d i n e a c h c o m p o n e n t n e e d n o t c o i n c i d e . T h e d e f a u l t h y d r a u l i c t i m e s t e p i n

E p a n e t i s t

h

= 1 h o u r , w h e r e a s t h e w a t e r q u a l i t y c o m p u t a t i o n s a r e t y p i c a l l y d o n e o n a m u c h n e r t i m e

s c a l e o f t

q

/ 0 : 1 h . S o l v i n g t h e n e t w o r k o w p r o b l e m c a n b e e x p e n s i v e b e c a u s e E p a n e t u s e s a f u l l N e w t o n

s o l v e r , a n d s o t h e c h o i c e o f a l a r g e r t

h

i s j u s t i e d i n t e r m s o f e c i e n c y . H o w e v e r , h o l d i n g t h e o w r a t e s

c o n s t a n t o v e r a l a r g e h y d r a u l i c t i m e s t e p c a n l e a d t o i n a c c u r a t e o r e v e n n o n - p h y s i c a l r e s u l t s . F o r e x a m p l e ,

i f t h e a c t u a l o w i n a p i p e l i n k r e v e r s e s i n t h e m i d d l e o f a h y d r a u l i c t i m e s t e p , t h e n t h e c o n t a m i n a n t i n t h a t

p i p e m a y b e t r a n s p o r t e d i n t h e w r o n g d i r e c t i o n !

T o i l l u s t r a t e t h e n o n - p h y s i c a l r e s u l t s t h a t c a n o c c u r w h e n c h o o s i n g a t

h

t h a t i s t o o l a r g e , c o n s i d e r a

p i p e s e c t i o n o f l e n g t h 1 u n i t w h e r e i n t h e o w v e l o c i t y v a r i e s p e r i o d i c a l l y a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 ( a ) . S u p p o s e

t h a t a p u l s e o f c o n t a m i n a n t i s r e l e a s e d a t t i m e t =

1

4

h i n t h e u p s t r e a m n o d e ( i ) o f t h e p i p e s e c t i o n i ? j .

T h e p u l s e w i l l t r a v e l o n l y x =

9

1 6

o f t h e d i s t a n c e d o w n t h e p i p e ( w h i c h i s s i m p l y t h e a r e a u n d e r t h e v e l o c i t y

c u r v e b e t w e e n t =

1

4

a n d 1 ) , a t w h i c h t i m e t h e p u l s e w i l l r e v e r s e d i r e c t i o n . T h e r e f o r e , t h e p u l s e r e t u r n s

e v e n t u a l l y t o n o d e i a n d n e v e r g e t s t r a n s p o r t e d i n t o t h e r e s t o f t h e n e t w o r k t h r o u g h n o d e j .

I f t h i s s a m e p r o b l e m w e r e t o b e c o m p u t e d u s i n g E p a n e t w i t h a h y d r a u l i c t i m e s t e p o f 1 h , t h e n

t h e v e l o c i t y v a r i a t i o n w o u l d b e r e p r e s e n t e d a s a s t e p f u n c t i o n , a s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 4 ( d ) . A p u l s e o f

c o n t a m i n a n t r e l e a s e d a t t i m e t =

1

4

w o u l d r e a c h t h e d o w n s t r e a m n o d e a t t i m e t =

3

4

a n d b e t r a n s p o r t e d i n t o

t h e r e s t o f t h e n e t w o r k b e f o r e t h e p i p e o w e x p e r i e n c e s a r e v e r s a l . C o n s e q u e n t l y , t a k i n g a h y d r a u l i c t i m e

s t e p t h a t i s t o o l a r g e t o r e s o l v e v a r i a t i o n s i n t h e w a t e r o w o r c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t c a n l e a d t o i n c o r r e c t

w a t e r q u a l i t y s o l u t i o n s .

6


7/14

( a ) T r u e o w v e l o c i t y i n p i p e i ? j . ( b ) C h l o r i n e a t n o d e i . ( c ) C h l o r i n e a t n o d e j .

0 1 2 3 4 5 6 72.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (h)

V e

l o c

i t y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

2.53

3.5

4

4.5

5

Time (h)

C o n c e n

t r a

t i o n

( m g

/ L )

0 1 2 3 4 5 6 71

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

8

Time (h)

C o n c e n

t r a

t i o n ( m g

/ L )

( d ) E p a n e t v e l o c i t y ( t

h

= 1 h ) . ( e ) C h l o r i n e a t n o d e i . ( f ) C h l o r i n e a t n o d e j .

0 1 2 3 4 5 6 72.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (h)

V e l o c i

t y

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (h)

C o n c e n t r a

t i o n

( m g

/ L )

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.5

1

1.5

2

Time (h)

C o n c e n t r a

t i o n

( m g

/ L )

F i g u r e 1 . 4 : C o m p u t e d c h l o r i n e c o n c e n t r a t i o n s a t t h e u p s t r e a m n o d e f o r p e r i o d i c a l l y - r e v e r s e d o w : ( a , b , c ) :

\ t r u e " t r i a n g u l a r v e l o c i t y p r o l e , c o m p u t e d w i t h t

h

= 0 : 0 2 5 h ; ( d , e , f ) : t y p i c a l E p a n e t c a l c u l a t i o n , w i t h

t

h

= 1 h .

7


8/14

T o s e e t h a t t h i s i s i n f a c t w h a t h a p p e n s i n E p a n e t , F i g u r e s 1 . 4 ( a , b , c ) d e p i c t a s i m u l a t i o n o f t h e \ t r u e

o w " c o n d i t i o n s w i t h a t r i a n g u l a r v e l o c i t y p r o l e a n d a s m a l l h y d r a u l i c t i m e s t e p . T h e u p s t r e a m n o d e (i ) i s

g i v e n p e r i o d i c p u l s e s o f c o n t a m i n a n t , a n d t h e r e t u r n p u l s e i s c l e a r l y s u p e r i m p o s e d o n t h e i n p u t p u l s e . T h e

d o w n s t r e a m n o d e ( j ) r e m a i n s a t a c o n t a m i n a n t l e v e l o f z e r o t h r o u g h o u t t h e s i m u l a t i o n . F i g u r e s 1 . 4 ( d , e , f )

o n t h e o t h e r h a n d , s h o w t h e r e s u l t s f o r a h y d r a u l i c t i m e s t e p o f 1 h o u r c o r r e s p o n d i n g t o t h e s t e p f u n c t i o n

v e l o c i t y p r o l e . C o n t a m i n a n t i s r e l e a s e d a t t h e s a m e f r e q u e n c y , a n d t h e p u l s e s a r e c l e a r l y s e e n t o e x i t t h e

l o o p v i a t h e d o w n s t r e a m n o d e b e f o r e t h e o w r e v e r s e s .

T h e r e i s n o r e a s o n i n p r i n c i p l e t h a t t

h

c a n n o t b e c h o s e n m u c h s m a l l e r s o t h a t i t i s e q u a l t o t

q

i n o r d e r

t o m i n i m i s e t h i s p h a s e e r r o r d u e t o o w r e v e r s a l . H o w e v e r , t h e c a l c u l a t i o n s b e c o m e m u c h m o r e e x p e n s i v e .

N o t o n l y t h i s , t h e f o r m a t o f t h e i n p u t l e s r e q u i r e s t h a t t h e u s e r p r o v i d e a \ p a t t e r n " f o r t h e t i m e v a r i a t i o n

o f n o d a l s u p p l y a n d d e m a n d a n d p u m p o p e r a t i o n s , w h i c h m u s t b e g i v e n a t e a c h h y d r a u l i c t i m e s t e p ( i . e . ,

E p a n e t d o e s n o i n t e r p o l a t i o n ) . I n r e a l i t y , d e m a n d p a t t e r n s a r e k n o w n o n l y a t 1 { o r 2 { h o u r i n t e r v a l s , a n d

s o m a n u a l i n t e r p o l a t i o n i s r e q u i r e d i f a s m a l l e r h y d r a u l i c t i m e s t e p i s t o b e t a k e n .

N o n e t h e l e s s t h e r e i s a p r a c t i c a l l i m i t t o h o w s m a l l t h e t i m e s t e p c a n b e t a k e n . W i t h i n t h e E p a n e t

a l g o r i t h m i s e m b e d d e d a N e w t o n s o l v e r t h a t i n v e r t s a f u l l J a c o b i a n m a t r i x i n e a c h i t e r a t i o n . T h i s i s n o t

m u c h o f a c o n c e r n w h e n t h e h y d r a u l i c t i m e s t e p i s o n t h e o r d e r o f h o u r s , b u t c o u l d b e p r o h i b i t i v e l y e x p e n s i v e

i f t h e t i m e s t e p i s t a k e n s m a l l e n o u g h t o a c c u r a t e l y r e s o l v e f r e q u e n t o w r e v e r s a l s . A n o b v i o u s a l t e r n a t i v e

i s t h e c l a s s o f q u a s i { N e w t o n m e t h o d s , w h i c h n e v e r e x p l i c i t l y c o n s t r u c t t h e J a c o b i a n m a t r i x , a n d s o l v e t h e

s y s t e m u s i n g i t e r a t i v e t e c h n i q u e s r a t h e r t h a n d i r e c t m e t h o d s . M a n y p u b l i c { d o m a i n c o d e s a r e a v a i l a b l e t h a t

c o u l d b e i n c o r p o r a t e d i n t h e E p a n e t s o f t w a r e , o n e o f w h i c h i s D N S Q E

1 0

. W e d i d n o t h a v e t h e t i m e d u r i n g

t h e W o r k s h o p t o i m p l e m e n t a n o n - l i n e a r s o l v e r i n E p a n e t , b u t w e d o b e l i e v e t h a t t h e m o d i c a t i o n s r e q u i r e d

t o t h e c o d e f o r s u c h a n a d d i t i o n a r e s t r a i g h t f o r w a r d .

1 . 4 A n a l y s i s o f S i m p l e N e t w o r k s .

W e n o w p r o c e e d t o a n a l y s e s o m e v e r y s i m p l e d i s t r i b u t i o n n e t w o r k s , i n o r d e r t o m a k e c o n c l u s i o n s a b o u t t h e

s o l v a b i l i t y o f t h e f o r w a r d a n d i n v e r s e p r o b l e m s f o r c o n t a m i n a n t t r a n s p o r t . W e a s s u m e f o r t h e r e m a i n d e r

t h a t w e h a v e a g i v e n s e t o f o w r a t e s Q

i j

f o r t h e l i n k s i n t h e n e t w o r k .

1 . 4 . 1 E x a c t s o l u t i o n f o r c o n t a m i n a n t o w

W e c o n s i d e r t h e s i m p l e s t p o s s i b l e n e t w o r k c o n s i s t i n g o f t w o j u n c t i o n s c o n n e c t e d b y a s i n g l e p i p e . L e t t i n g

V ( t ) = Q ( t ) = A d e n o t e t h e o w v e l o c i t y , w e a r e r e d u c e d t o s o l v i n g t h e e q u a t i o n

C

t

+ V ( t ) C

x

= ? k C ;

C ( 0 ; t ) = C

o

( t ) ( g i v e n ) ;

w h e r e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s g i v e n a t t h e u p s t r e a m n o d e . I f w e d e n e

( t ) =

Z

t

0

V ( ) d

t o b e t h e d i s t a n c e t r a v e l e d b y u i d p a r t i c l e s f r o m t i m e 0 t o t , t h e n t h e s o l u t i o n t o t h i s p r o b l e m c a n b e

w r i t t e n e x p l i c i t l y a s

C ( x ; t ) = C

o

(

? 1

( ? x ) ) e

? k ( t ?

? 1

( ? x ) )

: ( 1 . 8 )

A v e r y i m p o r t a n t s p e c i a l c a s e i s t h e s i t u a t i o n o f c o n s t a n t v e l o c i t y , V ( t ) V

o

, f o r w h i c h

C ( x ; t ) = C

o

( t ? x = V

o

| { z }

d e l a y

) e

? k x = V

o

| { z }

a t t e n u a t i o n

: ( 1 . 9 )

1 0

D N S Q E i s p a r t o f t h e S L A T E C l i b r a r y , w h i c h i s f r e e l y a v a i l a b l e o n t h e I n t e r n e t t h r o u g h N e t l i b (h t t p : / / w w w . n e t l i b . o r g /

b i b / g a m s . h t m l ) .

8


9/14

F r o m t h i s f o r m o f t h e s o l u t i o n , i t i s c l e a r t h a t o w i n t h e p i p e i s a c o m b i n a t i o n o f d e l a y ( d u e t o t h e n i t e

p r o p a g a t i o n v e l o c i t y o f c o n t a m i n a n t i n t h e s y s t e m ) a n d a t t e n u a t i o n ( f r o m t h e d e c a y o f c o n t a m i n a n t d u e t o

r e a c t i o n s a t t h e p i p e w a l l a n d i n t h e b u l k o w ) .

A n i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e o f t h e f o r m o f ( 1 . 9 ) i s t h a t e v e n t h o u g h t h e t r a n s p o r t o f c o n t a m i n a n t i s a

l i n e a r p r o c e s s ( i . e . , C ( x ; t ) / C

o

) , i t i s n o t a c o n v o l u t i o n ( b e c a u s e o f t h e e x p o n e n t i a l d e c a y t e r m ) . T h e r e f o r e ,

w e e x p e c t t h a t t h e r e m a y b e s o m e d i c u l t i e s w i t h t h e s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e p r o b l e m .

N e v e r t h e l e s s , l e t u s c o n t i n u e o n a n d i n v e s t i g a t e t h e s o l u t i o n o f t h e i n v e r s e p r o b l e m f o r a s i m p l e \ l o o p "

n e t w o r k , p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 5 . T w o n o d e s , A a n d B , a r e c o n n e c t e d b y a p a i r o f p i p e s w i t h d i e r e n t l e n g t h s

V , L , C

AC (t)o

C (t) Bo

1 1 1

2 2 2

V , L , C

A B

F i g u r e 1 . 5 : A s i m p l e r e d u c e d n e t w o r k c o n s i s t i n g o f t w o n o d e s c o n n e c t e d i n a l o o p , w i t h b o t h o w s i n t h e

s a m e d i r e c t i o n . T h e d o t t e d l i n e s i n p i p e 1 r e p r e s e n t t h e f a c t t h a t t h e r e c a n n o t b e t w o p i p e s j o i n i n g a s i n g l e

p a i r o f j u n c t i o n s i n E p a n e t ; r a t h e r t h e r e m u s t b e s o m e c o l l e c t i o n o f o t h e r n o d e s a n d l i n k s i n b e t w e e n f o r

w h i c h w e t a k e \ e e c t i v e " v a r i a b l e s V

1

, L

1

a n d C

1

.

( L

1

a n d L

2

) a n d o w v e l o c i t i e s ( V

1

a n d V

2

) . S u p p o s i n g t h a t c o n t a m i n a n t e n t e r s n o d e A w i t h a v a r i a t i o n

g i v e n b y C

i n

= C

o

A

( t ) , w e b e g i n b y d e t e r m i n i n g h o w t h e o u t o w c o n c e n t r a t i o n C

o

B

m e a s u r e d a t n o d e B

d e p e n d s o n C

o

A

. A s s u m i n g t h e v e l o c i t i e s a r e p o s i t i v e a n d c o n s t a n t , e q u a t i o n ( 1 . 9 ) g i v e s u s c o n c e n t r a t i o n s o f

t h e c o n t a m i n a n t a t t h e e n d o f t h e p i p e s e c t i o n :

C

1

( L

1

; t ) = C

o

A

( t ? L

1

= V

1

) e

? k L

1

= V

1

;

C

2

( L

2

; t ) = C

o

A

( t ? L

2

= V

2

) e

? k L

2

= V

2

:

O n c e t h e i n o w s f r o m t h e t w o p i p e s m e e t i n n o d e B a n d m i x , t h e o u t o w f r o m t h e n o d e i s g i v e n b y

C

o

B

=

V

1

C

1

+ V

2

C

2

V

1

+ V

2

=

V

1

C

o

A

( t ? L

1

= V

1

) e

? k L

1

= V

1

+ V

2

C

o

A

( t ? L

2

= V

2

) e

? k L

2

= V

2

V

1

+ V

2

: ( 1 . 1 0 )

1 . 4 . 2 I l l - p o s e d n e s s o f i n v e r s e p r o b l e m f o r s i m p l e l o o p s .

W e w i l l n o w u s e t h e e x a c t s o l u t i o n ( 1 . 1 0 ) t o a n s w e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n s :

I s t h e i n v e r s e p r o b l e m w e l l - p o s e d ? O r , i n o t h e r w o r d s , i s t h e r e a u n i q u e i n o w o f c o n t a m i n a n t

C

o

A

( t ) c o r r e s p o n d i n g t o e a c h m e a s u r e d o u t o w C

o

B

( t ) ?

I n f a c t , w e w i l l s h o w t h a t a c o n s t a n t o u t o w C

o

B

= 0 c a n b e g e n e r a t e d b y m o r e t h a n o n e i n p u t f o r a g i v e n

s e t o f n e t w o r k p a r a m e t e r a n d o w r a t e s .

C o n s i d e r t h e s i n g l e - l o o p n e t w o r k i n F i g u r e 1 . 5 , a n d a s s u m e t h a t V

2

> V

1

> 0 . T o s i m p l i f y t h e s i t u a t i o n ,

w e l o o k f o r i n p u t c o n c e n t r a t i o n s o f t h e f o r m C

o

A

( t ) = C e

t

, w h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r . S u b s t i t u t i n g t h i s

e x p r e s s i o n i n t o ( 1 . 1 0 ) a n d s e t t i n g C

o

B

= 0 , w e o b t a i n

e = ?

V

2

V

1

e

? k

;

9


10/14

w h e r e = (

L

2

V

2

?

L

1

V

1

) i s t h e d i e r e n c e i n t i m e i t t a k e s f o r t h e c o n c e n t r a t i o n p u l s e t o t r a v e l t h r o u g h p i p e 2

v e r s u s p i p e 1 . T a k i n g t h e l o g a r i t h m o f t h i s e x p r e s s i o n , w e c a n s o l v e f o r :

= ? k +

1

l o g

V

2

V

1

+

( 2 n + 1 )

p

? 1 ; ( 1 . 1 1 )

w h e r e n i s a n y i n t e g e r . T h e r e f o r e , t h e i n o w s w e a r e i n t e r e s t e d i n t a k e t h e f o r m

C

o

A

( t ) = P ( t ) e

? k + l o g ( V

2

= V

1

) = ] t

; ( 1 . 1 2 )

w h e r e P ( t ) i s a n y p e r i o d i c f u n c t i o n w i t h p e r i o d 2 = .

C o n s e q u e n t l y , t h e r e a r e a n i n n i t e n u m b e r o f p o s s i b l e i n o w s f o r w h i c h t h e m e a s u r e d c o n c e n t r a t i o n a t

n o d e B w i l l b e z e r o ( o r c o n s t a n t ) . A s e c o n d s u c h i n o w i s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 6 , w h e r e i t i s c l e a r t h a t

a f t e r a n i n i t i a l t r a n s i e n t , t h e m e a s u r e d c o n c e n t r a t i o n i s i d e n t i c a l l y c o n s t a n t , e v e n t h o u g h t h e c o n t a m i n a n t

c o n t i n u e s t o v a r y a t n o d e A .

( a ) C o n t a m i n a n t i n p u t i n n o d e A . ( b ) C o n t a m i n a n t m e a s u r e d a t n o d e B .

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Time

C o n c e n

t r a

t i o n

0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time

C o n c e n

t r a

t i o n

F i g u r e 1 . 6 : A n e x a c t s o l u t i o n o f ( 1 . 1 0 ) w i t h a d e c a y i n g s i n u s o i d a l i n p u t c o n c e n t r a t i o n , a n d L

1

= 1 0 , V

1

= 1 0 ,

L

2

= 5 , V

2

= 1 5 , k = 0 : 0 0 2 ( s o t h a t = ? 2 = 3 a n d ? 0 : 6 1 0 1 9 8 ) .

I n r e a l w a t e r d i s t r i b u t i o n n e t w o r k s , t h e s o u r c e s d o n o t d e c a y i n t i m e i n a n e x p o n e n t i a l f a s h i o n . I n s t e a d ,

i t i s m u c h m o r e t y p i c a l f o r s o u r c e s t o v a r y p e r i o d i c a l l y w i t h o u t d e c a y , c o r r e s p o n d i n g , f o r e x a m p l e , t o 2 4 { h o u r

c y c l e s o f d e m a n d a n d s u p p l y . I n o r d e r f o r t h e s o l u t i o n i n ( 1 . 1 2 ) t o b e u n d a m p e d , t h e t e r m i n t h e e x p o n e n t

m u s t b e z e r o , s o t h a t

=

1

k

l o g

V

2

V

1

;

w h i c h c a n a l s o b e w r i t t e n a s a r e s t r i c t i o n o n n e t w o r k p a r a m e t e r s

L

2

= V

2

L

1

V

1

+

1

k

l o g

V

2

V

1

:

F i g u r e 1 . 7 p r e s e n t s a n u n d a m p e d s o l u t i o n f o r a n o t h e r n e t w o r k w h i c h a g a i n c l e a r l y e x h i b i t s a c o n s t a n t

c o n c e n t r a t i o n a t n o d e B a f t e r t h e i n i t i a l t r a n s i e n t s h a v e d i e d o u t .

A l l o f o u r e o r t s i n t h i s s e c t i o n h a v e s o f a r b e e n t h e o r e t i c a l a n d s o i t i s w o r t h w h i l e f o r u s t o v e r i f y t h a t

t h e s a m e t y p e o f b e h a v i o u r i s o b s e r v e d i n a c t u a l E p a n e t c o m p u t a t i o n s . W e c o n s t r u c t e d a s i m p l e 3 - n o d e

n e t w o r k c o n s i s t i n g o f a l o o p , a s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 8 ( a ) ( t h e e x t r a j u n c t i o n i s n e e d e d f o r t h e l o w e r p i p e

s i n c e E p a n e t h a s a r e s t r i c t i o n t h a t o n l y o n e p i p e c a n c o n n e c t a n y t w o j u n c t i o n s ) . W e a p p l i e d a p e r i o d i c ,

s q u a r e - w a v e i n p u t o f c o n t a m i n a n t t o n o d e A , a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 8 ( b ) , a n d t h e n m e a s u r e d t h e c o n c e n t r a t i o n

a t n o d e B . T h e m e a s u r e d c h l o r i n e l e v e l s a t n o d e B i n F i g u r e 1 . 8 ( c ) a g a i n s h o w t h a t t h e c o n t a m i n a n t r e a c h e s

a c o n s t a n t l e v e l a f t e r t h e i n i t i a l t r a n s i e n t s h a v e d i e d o u t .

1 0


11/14

( a ) C o n t a m i n a n t i n p u t a t n o d e A . ( b ) C o n t a m i n a n t m e a s u r e d a t n o d e B .

0 5 10 15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Time

C o n c e n

t r a

t i o n

0 5 10 15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Time

C o n c e n

t r a

t i o n

F i g u r e 1 . 7 : A n e x a c t s o l u t i o n o f ( 1 . 1 0 ) f o r a n u n d a m p e d p e r i o d i c i n p u t , w i t h L

1

= 1 0 , V

1

= 1 0 , L

2

3 3 : 8 7 8 6 ,

V

2

= 1 2 , k = 0 : 1 ( 1 : 8 2 3 2 1 6 , = 0 : 0 ) .

( a ) L o o p n e t w o r k i n E p a n e t .

A B

C

( b ) C h l o r i n e s o u r c e a t n o d e A . ( c ) C h l o r i n e m e a s u r e d a t n o d e B .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0

1

2

3

4

5

6

Time (h)

C o n c e n

t r a

t i o n

( m g

/ L )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0

1

2

3

4

5

6

Time (h)

C o n c e n

t r a

t i o n

( m g

/ L )

F i g u r e 1 . 8 : A n E p a n e t c o m p u t a t i o n w i t h a d e c a y i n g , p e r i o d i c , s q u a r e w a v e i n p u t t h a t p r o d u c e s a c o n s t a n t

o u t p u t a t n o d e B .

1 1


12/14

1 . 4 . 3 I l l - p o s e d n e s s o f f o r w a r d p r o b l e m .

W e w i l l n o w s h o w t h a t e v e n t h e f o r w a r d c o n t a m i n a n t p r o b l e m c a n b e i l l - p o s e d . F o r t h i s p u r p o s e , w e w i l l

c o n s i d e r a s i m i l a r l o o p n e t w o r k t o t h a t j u s t c o n s i d e r e d , e x c e p t t h a t t h e v e l o c i t y V

1

< 0 s o t h a t t h e r e i s

a r e t u r n l o o p . T h e s i t u a t i o n i s p i c t u r e d i n F i g u r e 1 . 9 . T h e i m p o r t a n t d i s t i n c t i o n h e r e i s t h a t w e a r e n o t

V , L , C

BC (t)

o AC (t)

1oC (L ,t)1

C (t)in11 1

2 2 2

V , L , C

A B

F i g u r e 1 . 9 : A s e c o n d n e t w o r k w i t h a \ f e e d b a c k " l o o p .

a t t e m p t i n g t o n d C

i n

, t h e c o n c e n t r a t i o n o w i n g i n t o n o d e A . I n s t e a d , C

i n

i s a g i v e n f u n c t i o n .

U s i n g t h e s a m e m i x i n g a r g u m e n t s f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e c o n c e n t r a t i o n o f t h e b o u n d a r y v a l u e a t

t h e h e a d o f p i p e 2 , C

o

A

, i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f C

i n

a n d t h e i n o w f r o m p i p e 1 :

C

o

A

( t ) = a C

i n

( t ) + b C

1

( L

1

; t ) ;

( w h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t s d e p e n d i n g o n t h e o w v e l o c i t i e s ) . H o w e v e r , i f w e a p p l y m i x i n g t o t h e i n o w s

a t n o d e B , t h e n C

1

( L

1

; t ) i s a n a t t e n u a t e d a n d t i m e - s h i f t e d v e r s i o n o f C

o

A

( t ) :

C

1

( L

1

; t ) = C

o

A

( t ? ) e

? k

;

w i t h =

L

2

V

2

+

L

1

V

1

( n o t i c e t h e c h a n g e i n s i g n f r o m t h e e x p r e s s i o n f o r i n S e c t i o n 1 . 4 . 3 ! ) . I f w e t h e n a s s u m e

C

o

A

= C e

t

( a n d t a k e C

i n

= 0 f o r s i m p l i c i t y ) , t h e n w e c a n s o l v e t h e s e e q u a t i o n s a s b e f o r e t o o b t a i n

C

o

A

( t ) = P ( t ) e

( ? k + l o g b = ) t

;

w h e r e P ( t ) i s a n y p e r i o d i c f u n c t i o n w i t h p e r i o d

2

. P h y s i c a l l y , t h i s b e h a v i o u r c a n b e i n t e r p r e t e d i n t e r m s

o f a g i v e n c o n t a m i n a n t p u l s e g e n e r a t i n g e c h o e s o r r i n g i n g i n n e t w o r k s c o n t a i n i n g a r e t u r n l o o p .

C o n s e q u e n t l y , f o r a g i v e n c o n t a m i n a n t i n o w C

i n

( t ) , t h e r e c a n b e m o r e t h a n o n e o u t o w C

o

A

i n t o p i p e 2 .

T h i s s u g g e s t s t h a t t h e f o r w a r d p r o b l e m i s a l s o i l l - p o s e d . W h e t h e r o r n o t s u c h a s i t u a t i o n i s a c t u a l l y e n c o u n -

t e r e d i n p r a c t i c e i s n o t c l e a r . H o w e v e r , a t t h e v e r y l e a s t i t d o e s s u g g e s t t h a t w e p r o c e e d w i t h c a u t i o n w h e n

a t t e m p t i n g t o c o m p u t e s o l u t i o n s t o t h e n e t w o r k o w p r o b l e m .

1 . 4 . 4 S o l v i n g t h e I n v e r s e P r o b l e m .

T h e r e a r e m a n y p o s s i b l e a p p r o a c h e s t o s o l v i n g t h e i n v e r s e w a t e r q u a l i t y p r o b l e m , o n e o f w h i c h i s d e s c r i b e d

i n 1 ] . D u r i n g t h e w o r k s h o p , w e w e r e n o t a b l e t o i m p l e m e n t a n y i n v e r s e s o l u t i o n a l g o r i t h m s o r t o i n v e s t i g a t e

i n d e t a i l t h e m e r i t s o f t h e p o s s i b l e a p p r o a c h e s . H o w e v e r , w i t h a n e c i e n t f o r w a r d s o l v e r i n h a n d , t h e r e a r e

m a n y p u b l i c d o m a i n s o f t w a r e p a c k a g e s a v a i l a b l e f o r n o n - l i n e a r o p t i m i s a t i o n t h a t u s e t h e f o r w a r d s o l u t i o n a s

a \ b l a c k b o x " i n s o l v i n g t h e i n v e r s e p r o b l e m . O n e p a c k a g e w h i c h w o u l d b e w o r t h c o n s i d e r i n g i s D A S O P T 3 ] ,

o r i t s s u c c e s s o r C O O P T 7 ] , w h i c h a r e b a s e d o n t h e w e l l - k n o w n n o n l i n e a r d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c s y s t e m s o l v e r

D A S S L . P r o v i d e d t h a t a f o r w a r d t i m e s t e p o f t h e w a t e r q u a l i t y c a l c u l a t i o n c o u l d b e i n c o r p o r a t e d i n t o t h i s

p a c k a g e , t h e n t h e c o n t a m i n a n t c o n c e n t r a t i o n s o r p o s i t i o n s c o u l d b e t r e a t e d a s f r e e p a r a m e t e r s a n d o p t i m i s e d

u s i n g t h e s e a l g o r i t h m s .

1 2


13/14


14/14

B i b l i o g r a p h y

1 ] T i m o t h y R . G i n n a n d E l l y n M . M u r p h y . A t r a n s i e n t u x m o d e l f o r c o n v e c t i v e i n l t r a t i o n : F o r w a r d a n d

i n v e r s e s o l u t i o n s f o r c h l o r i d e m a s s b a l a n c e s t u d i e s . W a t e r R e s o u r c e s R e s e a r c h , 3 3 ( 9 ) : 2 0 6 5 { 2 0 7 9 , 1 9 9 7 .

2 ] H o r a c e W . K i n g , C h e s t e r O . W i s l e r , a n d J a m e s G . W o o d b u r n . H y d r a u l i c s . J o h n W i l e y & S o n s , N e w

Y o r k , 5 t h e d i t i o n , 1 9 4 8 .

3 ] L i n d a P e t z o l d , J . B e n R o s e n , P h i l i p E . G i l l , L a u r e n t O . J a y a n d K i h o n g P a r k . N u m e r i c a l o p t i m a l c o n t r o l

o f p a r a b o l i c P D E s u s i n g D A S O P T , i n P r o c e e d i n g s o f t h e I M A W o r k s h o p o n L a r g e - S c a l e O p t i m i z a t i o n ,

1 9 9 6 . A v a i l a b l e a t h t t p : / / w w w . e n g i n e e r i n g . u c s b . e d u / ~ c s e / d a s o p t . p s .

4 ] L . S . R e d d y , L i n d e l l E . O r m s b e e , a n d D o n J . W o o d . T i m e - a v e r a g i n g w a t e r q u a l i t y a s s e s s m e n t . J o u r n a l

o f t h e A m e r i c a n W a t e r W o r k s A s s o c i a t i o n , p a g e s 6 4 { 7 3 , J u l y 1 9 9 5 .

5 ] L e w i s A . R o s s m a n . E P A N E T U s e r s M a n u a l ( V e r s i o n 1 . 1 ) . R i s k R e d u c t i o n E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y ,

U . S . E n v i r o n m e n t a l P r o t e c t i o n A g e n c y , C i n c i n n a t i , O h i o , J a n u a r y 1 9 9 4 . C o d e a n d d o c u m e n t a t i o n a r e

a v a i l a b l e f r o m h t t p : / / w w w . e p a . g o v / d o c s / R R E L / .

6 ] L e w i s A . R o s s m a n , P a u l F . B o u l o s , a n d T o m A l t m a n . D i s c r e t e v o l u m e - e l e m e n t m e t h o d f o r n e t w o r k

w a t e r - q u a l i t y m o d e l s . J o u r n a l o f W a t e r R e s o u r c e s P l a n n i n g a n d M a n a g e m e n t , 1 1 9 ( 5 ) : 5 0 5 { 5 1 7 , 1 9 9 3 .

7 ] R a d u S e r b a n . C O O P T { C o n t r o l a n d o p t i m i z a t i o n o f d y n a m i c s y s t e m s : U s e r ' s g u i d e . T e c h n i c a l

R e p o r t U C S B - M E - 9 9 - 1 , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t S a n t a B a r b a r a , 1 9 9 9 . A v a i l a b l e a t h t t p : / / w w w .

e n g i n e e r i n g . u c s b . e d u / ~ c s e / c o o p t . p s .

8 ] U r i S h a m i r a n d C h a r l e s D . D . H o w a r d . W a t e r d i s t r i b u t i o n s y s t e m s a n a l y s i s . J o u r n a l o f t h e H y d r a u l i c s

D i v i s i o n , P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n S o c i e t y o f C i v i l E n g i n e e r s , 9 4 ( H Y 1 ) : 2 1 9 { 2 3 4 , J a n u a r y 1 9 6 8 .

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1999 contaminent transport in municipal water system

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