17.6 – mhs e movimento circular uniforme mhs pode ser visto como a projeção do mcu em um dos...
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17.6 – MHS e movimento circular uniformeMHS pode ser visto como a projeção do MCU em um dos eixos cartesianos
Galileu e as luas de Júpiter
MCU MHS
ωt + φ Ângulo no instante t Fase
φ Ângulo inicial Constante de fase
xm Raio do círculo Amplitude
ω Velocidade angular Freqüência angular
txtx m cos)(
, Se mxrr
Velocidade:
Aceleração:
txtv msen)(
,mxrv
txta mcos)( 2
,22mxra
17.7 – Movimento harmônico amortecido
Em sistemas reais, há sempre dissipação de energia (amortecimento)
Resultado esperado qualitativamente (em condições de baixo amortecimento):
x(t)
t
/te (envelope)
:Constante de tempo de amortecimento (tempo necessário para a amplitude cair a 1/e do seu valor inicial)
Solução matemática:Para baixas velocidades a força de amortecimento pode ser aproximada por:
bvFa (proporcional e contrária à velocidade)
2a. Lei: 2
2
dt
xdmF 2
2
dt
xdm
dt
dxbkx
Vamos propor a solução: )cos()( textx at
m
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
Verificamos (quadro-negro) que esta é uma solução possível da equação diferencial nas seguintes condições:
mkb 4(amortecimento pequeno ou subcrítico)
b
m2 (tempo de amortecimento)
m
b
m
ka 4
2
(pequena redução da freqüência de oscilação em relação à freqüência natural)
x(t)
t
Desta forma, temos: )cos()( 2 textx ambt
m
Amplitude decai exponencialmente com o tempo
Energia mecânica também decai exponencialmente:
Sem amortecimento: )(constante 2
1 2mkxE
Com amortecimento: 2
1)(
22/ mbtmexktE mbt
mekx /2
2
1 Energia é dissipada!
17.8 – Oscilações forçadas e ressonânciaOscilador com freqüência natural m
k0
Força externa periódica com freqüência ω: tFFext cos0
2a. Lei: 2
2
dt
xdmF
2
2
0 cosdt
xdmtFkx
tm
Fx
dt
xd cos0202
2
(desprezando por enquanto os termos dissipativos)
tm
Fx
dt
xd cos0202
2
Precisamos resolver a equação diferencial:
- Trata-se agora de uma equação inomogênea
- Espera-se que a solução geral seja uma combinação de funções oscilatórias com freqüência ω0 e ω
- Na presença de atrito, apenas a solução com freqüência ω vai sobreviver para tempos longos (regime estacionário)
- A solução com freqüência ω0 vai desaparecer depois de um curto intervalo a partir do início do movimento (regime transiente)
tAtx cos)(Assim, vamos tentar a seguinte solução particular:
Substituindo na equação diferencial:
tm
FtAtA coscoscos 02
02
tm
FtA
coscos
220
0
tm
FtA
coscos
220
0
220
0 )(amplitude 0
m
FAAConvenção:
0 Se 0 (oscilador em fase com a força externa)
-coscos que lembrando(
Se 0
(oscilador em oposição de
fase com a força externa)
Quando ω=ω0, a amplitude diverge:
ressonância
Kits LADIF: ressonância no trilho de ar e sistema massa-mola
sem amortecimento
com amortecimento
com mais amortecimento
20
0
m
F
A
A ponte de Tacoma
http://www.youtube.com/watch?v=P0Fi1VcbpAI
Quebrando um copo de vinho com som ressonante
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
17.9 – Oscilações de dois corpos e modos normais
Discussão qualitativa: Kit LADIF de pêndulos acoplados