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ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ191

9回目

パケットスケジューリング（その１）


目的

FIFO (First in First Out)のモデルを学ぶ

ns3 の標準的なリンクはこれ。 DropTail FIFOによる待ち行列の性質を学ぶ

M/M/1 M/D/1


到着とサービス

（待ち室容量：S）到着

（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）

窓口でサービス（分布：H）

サービス完了で退去…


ポアソン到着 (Poisson Arrival)

スーパーのレジに到着する客に性質客どうしは、互いに相談なしにレジに到着

する。到着の独立性

どの時刻でも到着の様子は同じ。到着の定常性

時刻 t の関数にならない。

十分短い時間に、２人以上の客が同時に到着することはない。到着の希少性

状態の変化のバリエーションが少ない。

ポアソン到着


到着客数の確率的な性質

任意の時間区間 t0< t < t1における到着客数をNt0,t1として、 Nt0,t1の値がk人となる確率

を具体的に決定する。

定常性より、時間間隔t1-t0が同じなら、開始時刻t0には依存しない。

t=t1-t0と置いて、

,2,1,0,, 10, 10 kttkNP tt

,2,1,0,, ktkNP t


平均到着客数

一分間あたりにレジに到着する客数の平均値をλ(人/分)とする。

任意の短い時間区間でもこの平均値で客は到着すると考える。

短い時間Δtの間に到着する平均到着客数は

λΔt


微小区間Δｔにおける到着確率その１

十分に長い時間区間Lをm等分して、一区間をΔtとする。

いつでも平均してλL人が到着している。

Lが十分大きければ、λLは整数と考えられる。

希少性より同時に２人以上到着しないので、客が１人ずつ相異なるλL個の小区間に到着する。

m個の場所にλL人が到着する場合の数は

1 2 3

1 2 3 4 λL-1 λL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

L

m


微小区間Δｔにおける到着確率その２

ある小区間に着目。その小区間に客が１人到着して、残りのm-1個の区間にλL-1人が到着する場合の数は

注目した小区間に客が１人到着する確率は

1 2 3

1 2 3 4 λL-1 λL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

11

Lm

tmL

Lm

Lm

1

1

注意：λΔt<1程度にΔtが小さくないと無意味

～平均到着客数と等しい


長さｔの時間区間での到着客数の確率

微小時間Δtの区間に１人の客が到着する確率：λΔt 長さtの区間をn等分(十分に大きなｎを考える)して、小

区間の長さをΔtとする。

n個の小区間のうち、相異なるk個の区間に客が１人ずつ到着し、残りn-k個の区間には客が到着しない確率

,2,1,0,, ktkNP t

nkttkn knk ,,1,01

～二項分布

A B C

tt/ｎ＝△ｔ

D E


長さｔの時間区間での到着客数の確率

aay

y

x

x

x

x

ey

xa

xe

11lim

1lim

11lim

～平均λのポアソン到着で、時間tの間にk人到着する確率

tk

k

n

n

k

k

n

kn

k

knk

n

knk

nt

knk

nt

ekt

ntn

tnnn

knnnkt

ntn

tnkn

nkt

nt

nt

kknn

nt

nt

kn

kNP

nttnktt

kn

kNP

!

1

1111!

1

111!

!!

1!!

!1

,,,2,1,01

lim

lim

limlim

lim


マルコフ過程(Markov Processes)を用いた導出方法

状態kから状態k+1へ微小時間Δtで遷移する確率がpk,k+1Δt Δtは省略して記述される

状態kからkへの遷移は省略される

【参考】

k-1 k k+1

pk-1, k pk, k+1

pk-1, k+1

pk+1, k-1


ポアソン過程の状態遷移図

時刻0から時刻tまでの全到着客数をNtとする。

平均到着客数λのポアソン到着

微小時間Δtに客が１人到着する確率はλΔt

Δt時間内に客が１人も到着しない確率

= 1-λΔt - o(Δt)

0 21 k-1 k k+1

λ λ λ λ λ λ λ

客が２人以上同時到着する場合も考慮した項

【参考】


微分方程式の導出

時刻0からt+Δtの間に客が１人も到着しない確率P(Nt+Δt=0) Nt=0であり、かつΔt時間内の到着客数が0

0000lim

000100

0

ttttt

t

tttt

ttt

NPdtNdP

tNPNP

NPtto

tNPNP

totNPNP

【参考】


微分方程式を解く

初期条件、時刻t=0で客数0、P(N0=0)=1

t

tt

t

t

t

tt

e

CNPtCeNP

CtNP

dtNPNdP

NPdtNdP

1100,0

0log00

00

0 よりで

tk

t ektkNP !

のk=0に相当

【参考】


ｋ＝０からｋ＝１への遷移

Nt=0で、Δtの時間内に１人到着

Nt=1で、Δtの時間内に１人も到着しない

0 1

λ

totNP t 0

totNP t 11

tt

t

ttttt

tttt

eNPdtNdP

NPttoNP

tto

tNPNP

totNPtotNPNP

11

01111101

【参考】


微分方程式を解く

初期条件、時刻t=0で客数0、P(N0=0)=1従って、P(N0=1)=0

t

t

tt

ttttt

tt

t

t

tt

t

teNP

NPteCtNP

CtCdtdC

eCeCeedtdC

dtNdP

CeNPdtNPNdP

eNPdtNdP

1

010,1

1

111

11

01

1

で

tk

t ektkNP !

のk=1に相当

定数変化法で解ける。

=0と置いて、変数分離形にする

【参考】


一般解

tektkNPe

ktkNP

kNPteCktkNP

CktC

kt

dtdC

ektCeCee

dtdC

dtdy

Ceyydtdy

ektkNPkNPkNP

dtkNdP

tk

tt

k

t

tk

t

kk

tk

ttt

t

tk

tttt

0,!!1

1

010,!1

1

!1!

!

!,11

1

01

1

1

1

で

【参考】


ポアソン到着の到着間隔

到着客数の確率

続いて到着する２人の客の到着間隔を I とする。

到着間隔 I がｔを超える確率P(I > t)を考える。

客Aの到着後、時間tの間到着客数が0

Iの確率密度関数をpI(t)とする。

te

ktkNP t

k

t 0,!

t

客A

tt eNPtIP 0

tI etIP

dtd

dttIdPtp

1 指数分布


確率分布

確率変数Xが整数値のような、離散的な値をとる

離散的確率変数

Xが値nをとる確率、P(X=n) をXの確率関数という

確率をXの分布関数という (xは実数)

Xが実数値をとるとき

連続的確率変数

Xがx以下になる確率をXの分布関数という

F(x)の導関数をXの確率密度関数という

xn

nXPxF

xXPxF

dx

xdFxf

全区間で積分すると1

【参考】


確率変数の例その４

指数分布(Exponential distribution) μを正の実数とする。連続的確率変数Xの分布関数が、

であるとき、確率変数Xは指数分布に従うという。 Xの確率密度関数は

確率変数Xは、指数分布に従うという。指数分布は、客に対するサービス時間を表わす。

平均値は1/μになる

00

01

xxe

xFx

00

0

xxe

xfx

【参考】


指数分布の確率密度関数の例

λ=0.5, 1.0, 2.0 平均到着数が大きいほど、到着間隔は小さい方に集中する。

0 1 2 3 40.0

0.5

1.0

1.5

2.0

ｔ

p Ⅰ（ｔ

）

λ=2.0

λ=1.0

λ=0.5

【参考】

確率密度関数の値は1より大きくても良い



（待ち室容量：S）

到着（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）



ポアソン到着k人到着する確率到着間隔は指数分布

tk

t ektkNP !

tI etp

ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

代表的な待ち室での待ち方（その1）

FIFO (First In First Out) ~ Queue 入った順に、待ち室を出てサービスを受ける。

前の客が出ていかないと、後の客はサービスされない。

213

…

ゲートが開くと出ていける

一列で待つ

一杯で入れない時は捨てられる

Drop Tail



LIFO (Last In First Out) ~ Stack 最後尾から、待ち室を出てサービスを受ける。

後ろの客が出ていかないと、前の客はサービスされない。

214

…

ロープが下げられると出ていける

一列で待つ


First In Last Out (FILO)とも呼ぶ

入れる動作をPUSH出す動作をPOP



FIRO (First In Random Out) 前の客を飛び越してサービスを受けることができる。

どの客を選ぶのかは、ポリシー次第

215

…迎えが来ると出ていける

一列で待つ




（待ち室容量：S）

到着（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）



FIFO (Queue) ：入った順に出て行く


サービス（指数サービスと一定サービス）

指数サービス

無記憶性サービスが終了する確率は、これまでのサービス時間とは無関係。

いつサービスが開始されていても次の時刻に終了する確率は等しい。

単位時間あたりにサービスされる平均客数をμ [人/単位時間]とする。

Δt 時間後にサービスが終了する確率

1 2 3

1 2 3 4 μL-1 μL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

tmL

Lm

Lm

1

1 時間Lで、μL人サービス終了


指数サービスのサービス時間確率

サービス時間 Y が時間ｔよりも長くなる確率 P(Y>t) を求める。

時刻0から時刻 t までと、時刻 t から t+Δt で、サービスが終了していない確率は、 tot 1

10,

0

1

YPtYPdt

tYdPt

tYPtto

ttYPttYP

tottYPttYP

ty

t

edt

tYdPtp

etYP

2個以上終了


一定サービス(deterministic service)

どんな客に対してもサービス時間が同じ

サービス時間の分散は0

例

固定長パケットの処理時間


待ち行列解析 (M/M/1, M/D/1)

客のシステム内での平均滞在時間

処理遅延時間

平均システム内客数

平均利用バッファ量

システム内客数がn人である確率

最大必要バッファ量

W

Q

,2,1,0npn


解析の約束事

単位時間あたりの平均到着客数～到着率：λ 単位時間あたりにサービスされる平均客数～

サービス率：μ 待ち室数Sが無限の時に、待ち行列長が無限大

にならない条件

λ < μ ρ=λ/μ < 1 ～トラヒック密度

待ち室数Sが有限の場合、ρ>1を許容


Littleの公式 (1961年)

一つの入り口から入り、一つの出口から出るサービスシステムを考える

出入り口が複数あっても、仮想的に一つと考える

出口以外からの流出は無い

定常状態では、平均到着率＝平均退去率＝λ

サービスシステム（システム内平均個数＝）

入口出口

平均到着率：λQ

WQ

システム待ち時間(平均経過時間)W

処理時間＋処理待ち時間W


M/M/1 (M/M/1/∞)

ポアソン到着、指数サービス、窓口数1、待ち席数無限大・・・ λ<μ

マルコフ過程を用いて解析する。

サービス窓口

待ち席数＝∞

ポアソン到着(到着率λ）

指数サービス(サービス率μ）

0 21 n-1 n n+1


μ μ μ μ μ μ μ

微小時間Δtでは確率λで

1個到着

微小時間Δt では確率μで1個終了


状態nとn-1とn+1の考察

定常状態において

状態ｎからの流出量=状態ｎへの流入量

全ての確率の和は1

n-1 n n+1

λ λ

μ μ

,2,111 nppp nnn

10

nnp


pnの計算

境界p0 (p0のままか、p1から遷移)

より

001

100 1

ppp

ppp

0

2002

201

1 pppp

ppp

11 nnn ppp

0pp nn


p0を計算

より

仮定より0≦ρ<1であるから

10

nnp

0

00

1n

n

nn pp

nn

n

n

p

p

pp

1

1111

0

00

0


システム内の平均客数の計算

1

11

32

32

1,1

32

432

32

0

00

Q

s

s

ns

nnpQp

n

n

n

n

nn

nn

リトルの公式 WQ

11

11 QWシステム内平均滞在時間

期待値（平均値）


M/M/1

228

1,1

1/

WQ

p nn


M/M/1 の適用場所

ネットワークシミュレータのモデル

トラヒック送信元 n0, n1, n2 UDP: 送信元毎に異なるパケットサイズ、平均ON時間、平均OFF

時間を与える

ON/OFF時間が指数分布となる

トラヒック受信先 n4

229

n0

n2

n3 n4

Sink01Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

EXP n11Mbps, 10ms

UDP

Packet size: 1000BBurst: 2secIdle: 1secRate: 200K, 200K, 200K

Sink1

Sink2

M/M/1 を適用可能 (入力本数が多ければ理論値と合う)

指数分布トラヒックジェネレータ


M/D/1

ポアソン到着、一定サービス時間

固定長パケット（セル）の処理で多用

サービス時間が一定であることに着目して、離散的な時間でのシステム内の変化を調べる

離散時間のマルコフ連鎖

M/M/1は、連続時間のマルコフ過程


M/D/1の状態確率

1

111

z

z

ezezzp

,3,2,

!1!11

.....230.....20

110

10

1

1

3

2

1

0

n

jnj

jnjep

pppp

epp

pp

n

j

jnjnjjn

n

Pollaczek-Khintchinの公式(Pollaczekが1930年に発表、Khintchinが1932年に整理)


M/D/1の平均キュー長と平均待ち時間

1

111

z

z

ezezzp

Pollaczek-Khintchinの公式

1211

1221

1211221

22

QW

pQ

11

1

W

Q

M/M/1 (μ=1)

※上記は処理時間=1を仮定している。λは処理時間を単位として与える。


M/D/1 の適用場所

ネットワークシミュレータのモデル

トラヒック送信元 n0, n1, n2 UDP: パケットサイズ固定、平均ON時間、平均OFF時間を与える

ON/OFF時間が指数分布となる

トラヒック受信先 n4

233

n0

n2

n3 n4

Sink01Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

EXP n11Mbps, 10ms

UDP

Packet size: 64BBurst: 2secIdle: 1secRate: 200K, 200K, 200K

Sink1

Sink2

M/D/1 を適用可能 (入力本数が多ければ理論値と合う)

指数分布トラヒックジェネレータ


M/M/1/K 待ち行列

p0とp1の関係

pKとpK-1の関係

0 21 K-1 K

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

10 pp

KK pp 1

1,,2,111 Knppp nnn

10

K

nnp

【参考】


pnの計算

Knpp

ppp

KKnpp

ppKnpp

ppppp

pp

K

n

nK

K

n

KK

n

nn

nn

KKn

n

,,1,01

1,11

111

,1,,2,1,0

,1,,2,1

1

110

0

1

00

0

0

10

02

2201

01

とは限らない

【参考】


システム内の平均客数

1

1

10

1

1

2

112

132

12

0

01

0

1111

11

111

111

12

12

11

K

K

K

KK

n

nK

KK

KK

KK

KK

KKK

n

n

K

n

nK

K

nn

KnQ

Ks

KKs

KKs

KKns

nnpQ

K大で、ρ<1なら

1

Q

【参考】


平均システム内滞在時間

1

1

1

1

1

10

1

11

11111

1111

11

K

K

K

K

K

K

K

KK

n

nK

KQW

WQ

KnQ

【参考】


システムの棄却率

n=Kのときに到着した客は、待ち席に空きがないので退去させられる。

pKを棄却率という

ρ>1の場合は、p0<p1<p2<p3<・・・<pKとなりがち

0 21 K-1 K

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

λ

捨てられる

【参考】


M/M/S 待ち行列

待ち席数∞ 到着率λのポアソン到着

サービス窓口数S 他の窓口と独立にサービス率μの指数

サービス

窓口全部塞がっていたら最後尾で待つ

サービスが終了したらただちに退去

サービス窓口1

待ち席数＝∞

ポアソン到着(到着率λ）

指数サービス(サービス率μ）

サービス窓口2

サービス窓口S

：：

：：

【参考】


待ち行列の特性

窓口数Sで、各窓口のサービス率μ システム全体でのサービス率 Sμ

トラヒック密度ρ=λ/Sμ 待ち席数∞なので、ρ<1を仮定する

システム内の客数n≦Sの場合、全員がサービスを受けていて、待ち席には誰もいない。

0 21 S-1 S S+1


μ 2μ 3μ (S-1)μ Sμ Sμ Sμ

【参考】


1≦n≦Sの場合のnからn-1への遷移

サービスを受けているのはn人

Δtの時間に1人がサービスを終了する確率はμΔt n人のうち誰かが終了する確率はnμΔt

厳密には。。。。

totnt

ntn

tt

n

n

11

1

1

スを終了する確率は人のうち誰かがサービ

はビスが終了しない確率個の窓口で、全員サー

しない確率は、時間にサービスが終了

【参考】


システム内客数の定常確率その１

0 21 S-1 S S+1


μ 2μ 3μ (S-1)μ Sμ Sμ Sμ

0

2

00012

01

11

11

10

21

2222

,1,1,,2,11

pppppp

pp

SSnpSppSSnpnppn

pp

nnn

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その２

1,,1,0!1

231

321

32

332

21,

1,,2,11

0

0

3

00

2

123

0

2

201

11

Snpn

p

p

ppppp

pppp

Snpnppn

n

n

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その３

00

0

2

0

121

0

11

!1

!111

!21

!111

1

1,,1,0!1

1,,2,11

pS

pS

SS

pSS

pSS

Sp

pSppS

Snpn

p

Snpnppn

SS

SS

S

SSS

n

n

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その４

,1,!

1

!1

!1

!11

!1

,1,

,,1,0!1

0

0

1

0

1

0

1

01

11

11

0

SSnpSS

p

pSS

pSS

SS

pSS

pSS

Sp

pSppSSSnpSppS

Snpn

p

Sn

n

n

SS

SS

S

SSS

nnn

n

n

【参考】


システム内客数の定常確率その５

11

00

2

1

00

0

00

11

!!

11

!1

!11

,1,!

1,,,1,0!1

SS

nSp

SSSS

SSnpp

SSnpSS

pSnpn

p

SS

n

n

SS

Sn

n

SnSn

nS

n

n

nn

Sn

n

n

n

n

【参考】


システム内客数の定常確率その６アーランC式

,1,!

1,,1,0!

11

!!

0

0

11

00

SSSpSS

SSpn

S

p

SS

nSp

Sn

n

n

SS

n

n

すぐにサービスを受けられない確率＝待たないといけない確率

11

!!! 000 SSp

SSpp

SSpC

S

Sn

nS

Sn

Sn

Snn

Erlang C式

【参考】


システム内平均客数その１

2

1

0

1

10

2

1

21

21

21

0

1

00

0

11!!1

11

1121

!!

SSSS

n

n

SS

SSS

SS

SSSSn

n

Sn

nSS

n

n

nn

SSSp

nSpQ

SS

SSSSS

n

nSSp

nSnpnpQ

を計算する。とおいて、

【参考】


システム内平均客数その２

02

1

2

1

0

1

00

11

0

11

0

2

0

1

1

2

1

0

1

10

1!

11!11

!!1

11

!!1

11

!!111

!!

!!1

11!!1

pSSS

SSSp

SSp

SSpSQ

SS

SSpS

SS

SS

SS

mSS

mSS

nS

SSSp

nSpQ

SS

SSSSS

SS

SSSS

m

m

S

m

mS

n

n

SSSS

n

n

1

1

00 1

1!!

S

Sn

SpSS

n

n

【参考】


システム内平均滞在

02

1

02

1!1

1!

1

pSS

pS

SS

QW

WQ

SS

SS

より

S

【参考】


演習８

ルータへパケットが毎秒個の到着率でランダムに到着する。パケット１個の処理時間が平均0.1 ms の分布に従う時、

を求めよ。パケットバッファは無限大とする。


演習９

パケットの処理時間が一定で、0.1 msの時の1)~4)を求めよ。

※ヒント：処理時間を単位時間として全てを計測する必要があります。

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