Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ102

４回目

通信トラヒック理論(その２)

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ103

目的

確率変数を学ぶ

確率分布を学ぶ

確率変数の平均値、分散を学ぶ

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ104

確率変数その１

さいころを振ったときに出る目、1, 2, 3, 4, 5, 6 のそれぞれの確率は1/6、それらの確率の和は１である。

一般に、ある集合Ωの要素xに対して、確率P(x)は

1,1

,0

dxxPxP

xxP

x

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ105

確率変数その２

さいころを１回振ったときに出た目nに100円をかけた金額、100・n円をもらえるとする。

集合Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}に、実数{100, 200, 300, 400, 500, 600}が対応している。

もらえる金額をYとする。

Yは一定値ではない → 変数

Yの値は、確率的に変動して決まる。 → 確率変数

確率変数の例

５分間に銀行の窓口に到着する人数

株価

入学試験の平均点

世の中のすべての量は測定されるときに確率的な変動を受ける。

すべての量は確率変数であると言っても良い。

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ106

確率分布

確率変数Yが整数値のような、離散的な値をとる

離散的確率変数

Yが値nをとる確率、P(Y=n) をYの確率関数という

確率 をYの分布関数という (xは実数)

Yが実数値をとるとき

連続的確率変数

Yがx以下になる確率 をYの分布関数という

F(x)の導関数 をYの確率密度関数という

xn

nYPxF

xYPxF

dx

xdFxf

全区間で積分すると1

全nに対して和をとると1

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ107

確率変数の例その１

幾何分布 (Geometric distribution) 成功する確率が1-p、失敗する確率がp である試行を独立に行う。 (0<p<1) 独立試行、ベルヌーイ(Bernoulli)試行

Y回目で初めて成功する。Yは1以上の整数値 離散的確率変数

Yの確率関数は

Yは幾何分布に従うという。

ppnYP n 11

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ108

確率変数の例その２

二項分布 (Binomial distribution) 成功する確率が1-p、失敗する確率がp である試行を

N回独立に行って、成功する回数をYとする。(0<p<1) Yは、0≦Y≦Nの範囲の整数値をとる。

離散的確率変数

Yの確率関数は、

確率変数Yは、二項分布に従うという。

NnppnN

nYP nNn ,,1,01 ・・・

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ109

確率変数の例その３

ポアソン分布 (Poisson distribution) λを正の実数とする。

0以上の整数値をとる確率変数Yの確率関数が、

確率変数Yは、ポアソン分布に従うという。

ポアソン分布は、ランダムな客の到着を表わす。

平均値は λ になる

en

nYPn

!

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

身近な？ポアソン分布の例

半減期 z秒の放射性物質が、原子核数N個あるとき、単位時間あたりn個の原子核が崩壊する確率はポアソン分布に従う。

平均するとz秒でN/2個崩壊するから、1秒当たり平均λ=N/2z個崩壊する (直線近似した場合)。

110

zNnn

en

zNen

nYP 2

!2

!

※n 個崩壊すると、次の単位時間ではN⇒N-nと減少

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ111

確率変数の例その４

指数分布(Exponential distribution) μを正の実数とする。 連続的確率変数Yの分布関数が、

であるとき、確率変数Yは指数分布に従うという。 Yの確率密度関数は

確率変数Yは、指数分布に従うという。 指数分布は、客に対するサービス時間を表わす。

平均値は1/μになる

00

01

xxe

xFx

00

0

xxe

xfx

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ112

確率変数の例その５

一様分布(Deterministic distribution) 実数の区間[a, b]={xは実数a≦x≦bを満たす}に値をとる

連続的確率変数Yの確率密度関数が、

となるとき、確率変数Yは区間[a, b]上の一様分布に従うという。

a=0, b=1 のときが重要。f(x)=1 [0,1]

xbax

bxaabxf

,0

1

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ113

確率変数の例その６

正規分布 (Normal distribution, Gaussian distribution) mを実数とし、σを正の実数とする。 連続的確率変数Yの確率密度関数が

となるとき、Yを正規分布に従う確率変数であるという。

正規分布の例 大きい集団の身長や体重 不規則雑音

2

2

222

1

mx

exf

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ114

一様分布に従う確率変数から任意の分布関数F(x)を持つ確率変数Yを作る

uを区間[0, 1)上の一様分布に従う確率変数とし、分布関数F(x)の逆関数をF-1(x)とすると、

が、求める確率変数である。

例：指数分布 の逆関数

uFY 1

xexF 1

xxF 1log11

uY 1log1

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ115

【重要】 逆関数法

uを区間[0, 1)上の一様分布に従う確率変数とし、分布関数F(x)の逆関数をF-1(x)とすると、

が、求める確率変数である。

[0, 1) の一様乱数から、例えば指数分布乱数を作成できる

指数分布

Cauchy分布

Parete分布

uFY 1

uY 1log1 )2/1(tan uY

aubY 1)1(

Random関数等を利用して [0. 1) の一様乱数を生成することで、指数分布に従う乱数等を簡単に生成できる。

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ116

演習３ （５分間）

xexF 1

xxF 1log11

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ117

平均値(期待値:Expectation)

（平均）＝（値）×（確率）の和と定義する。

離散的確率変数Yの平均値E [ Y ] Yを0以上の整数値をとる離散的確率変数

Yの確率関数 P(Y=n)

連続的確率変数Yの確率密度関数p(x)

0n

nYnPYE

dxxxpYE

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ118

平均値の性質

nn

n

nn

YEYEYEYYYEYYY

YEYEYEYYYE

bYaEbaYEba

2121

21

2121

,,,)3(

)2(

,)1(

が独立ならば

を定数とするとき、

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ119

幾何分布の平均値

確率関数 ),2,1(11 nppnYP n

ppss

ppnnpnpnppssYE

nps

pnpYE

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

111

11)1(

1

1

111

1

11

1

1

1

1

1

　とおく、 s-1s

111

p

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ120

ポアソン分布の平均値

確率関数

eem

e

nmen

YE

en

nenYE

m

m

n

nn

nn

n

0

1

10

0

!

1,)!1(

!

!

とすると

を利用、公式

),2,1,0(!

nnenYP

n

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ121

指数分布の平均値

確率密度関数 )0( xexp x

11

''

00

00

0

xx

xx

xx

b

a

ba

b

a

x

edxeex

dxexeYE

dxxgxfxgxfdxxgxf

dxexYE

部分積分法

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ122

分散(Variance)

分散は、分布の違いを示す。

（分散）＝(（値）-（平均値）)2の平均値と定義する。

離散的確率変数Yの分散Var [Y ] Yを0以上の整数値をとる離散的確率変数

Yの確率関数P(Y=n)

連続的確率変数Yの確率密度関数p(x)

0

2

nnYPxEnYVar

dxxpxExYVar

2

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ123

分散の性質

22

2121

21

2

)3(

,,,)2(

,)1(

YEYEYVar

YVarYVarYVarYYYVar

YYY

YVarabaYVarba

n

n

n

が独立ならば

を定数とするとき、

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ124

幾何分布の分散

確率関数 p

YEnppnYP n

11),,2,1(11

2

2

2

2

1

1

1

211

1

2 1 1

111

1

1

12

21

1 1

212

111

11

12

111

11111

2)1(11

11

1111

11

pp

pppppnppss

ppnpppnnYVar

mppmmsmpmspnnspss

pnnsnnnn

pppnpp

pnYVar

n

n

n

nn

n

m m m

mmm

n

n

n

n

n

n n

n

　　　　

　とおく、、s 21

1p

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ125

ポアソン分布の分散

確率関数

YEnnenYP

n

),,2,1,0(!

22

2

1

11

1

2

1

1

2

00

2

2

0

2

0

2

2!1

2!1

1

!11

!!)1(

1!!

n

nn

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

ne

nen

nen

nen

nennYVar

nnnnnen

nenYVar

より、

ポアソン分布は、平均と分散の値が等しい！

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ126

指数分布の分散

確率密度関数

1),0( YExexp x

20

222

00

2

02

00

22

0 22

0

2

11221

12121

121

2212

121

x

xx

x

xx

xx

e

dxeex

dxex

dxexexx

dxexxdxexYVar

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ127

演習４

一様分布

xbax

bxaabxf

,0

1

の平均値E[Y]と分散Var[Y]を求めよ。

Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ128

演習５

2,0,2 2222

222

dtetdttedte

ttt

2

2

222

1

mx

exf