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Transferencia de Masa

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2013-11-05 17ª

2013-11-05

Continua la introducción a Procesos de Separación

Teoría de la doble resistencia;

Sistemas gobernados por el equilibrio;

Sistema líquido/gas: coeficiente global de transferencia de masa.

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Considere un sistema con las siguientes características:

1) Compuesto por dos fases: gas G y líquida L;

2) G y L están separadas por una interfase i;

3) Ambas fases tienen un componente A;

4) La fracción mol de A en G es yAG, mientras que en L es xAL;

5) La fracción mol de A en la interfase del lado de G es yAi y en la

interfase pero del lado de L es xAi.

Para describir el transporte de A en el seno de las fases G y L

(atravesando la interfase i), no es posible utilizar una función tipo ley de

enfriamiento de Newton, es decir, una función que estuviese construida

con un coeficiente de transporte y la diferencia de yAG y xAL.

A A AG ALN K y x

Este impedimento se debe a A

debe atravesar la interfase i; y

en esa zona yAi y xAi están

interrelacionadas mediante una

relación de equilibrio, que debe

tomarse en consideración para

establecer una diferencia motriz

global entre yAG y xAL

Teoría de la doble resistencia1

[1] Lewis and Whitman, 1924…

Para resolver este problema Lewis y Whitman[1] propusieron la

teoría de la doble resistencia, según la cual cada una de las fases que

constituyen el sistema oponen cierta resistencia al transporte de masa

(en este caso).

La interfase no opone resistencia alguna, pero se requiere que ahí se

cumplan las condiciones de equilibrio, consecuentemente, yAi y xAi

representan a los valores de dicho equilibrio, que las relaciona de

manera biunívoca.

fuerza motriz del transporte de en j j

*y y j G

fuerza motriz del transporte de en j j

*x x j L

concentración de que está en equilibrio con j

*

jy j x

frac. mol. de en en la interfase jiy j G i

frac. mol. de en en la interfase jix j L i

frac. mol. de en el gas jy j G

frac. mol. de en el líquido jx j L

concentración de que está en equilibrio con j

*

jx j y

Un poco de nomenclatura

Coeficiente global de transferencia de masa

Hasta ahora se han considerado los coeficientes de transferencia de masa

de largo alcance para una sola fase kg

En sistemas L/G y L/L es conveniente usar coeficientes globales de

transferencia de masa, que se llaman así porque toman en consideración

la resistencia que ofrecen las dos fases y la interfase que las separa.

El uso de coeficiente global permite conocer el flux de masa que ocurre

entre las dos fases, utilizando la composición de cada fase yj (G) y xj (L)

y la relación de equilibrio que determina la composición en la interfase,

sin que se tengan que conocer las características de la interfase (área…).

Sistema G/L

La expresión del coeficiente global de este sistema se obtiene a partir de

la definición de flux del componente de interés j expresándolo en

términos yj y xj.

... *

j Cy t j jN K C y y G ... *

j Cx t j jN K C x x L

y x : fraccion molar de del que estl áad n o en equiliy , brio * *

j jy j G L

Cuando en la interfase (plano

que separa las fases G y L)

prevalecen las condiciones de

equilibrio, la composición del lado

G y la del lado L (xji y yji,

respectivamente) son las de

equilibrio, es decir que son

constantes biunívocas y están

determinadas por la relación de

equilibrio (función de partición)

del caso particular que se trate.

Una manera sencilla de definir

la condición de equilibrio es a

través de un coeficiente de

partición mk:

ji k jiy m x

Asumiendo: ji k jiy m x

como: j Cx t ji jN k C x x

Por otro lado: j Cy t j jiN k C y y

k j

ji k j

Cx t

m Ny m x

k C

k j

j Cy t j k j

Cx t

m NN k C y m x

k C

ji

j Cx t j

k

yN k C x

m

j k j

j k j

Cy t Cx t

N m Ny m x

k C k C

tj j k j

Cy k Cx

CN y m x

1 k m k

El producto mkxj representa el equilibrio que existe entre un líquido que

tiene una composición xj y un gas cuya composición es yj*; entonces,

mkxj representa a la composición de gas en equilibrio:

Como: tj j k j

Cy k Cx

CN y m x

1 k m k

Del equilibrio: *

k j jm x y

*tj j j

Cy k Cx

CN y y

1 k m k

Comparando esta expresión de flux con aquella que fue definida en

términos del coeficiente de global del gas KCy, se concluye que el

coeficiente global de transferencia de masa para este sistema gas-líquido

es como sigue:

Para se definió: *

j Cy t j jG N K C y y

tCy t

Cy k Cx

CK C

1 k m k

k

Cy Cy Cx

1 1 m

K k k

Aplicando el mismo procedimiento, se puede obtener el coeficiente

global con base en el líquido KCx:

k

Cy Cy Cx

1 1 m

K k k

resistencia globalCy

1

K resistencia del gas

Cy

1

k

reistencia del líquido y efecto de la interfasek

Cx

m

k

Cx Cx k Cy

1 1 1

K k m k

Es conveniente enfatizar que estas relaciones son válidas para

soluciones diluidas, en las cuales la relación de equilibrio mk no depende

fuertemente de la composición (la línea de equilibrio es una recta).

El hecho de que kCx y kCx fuesen constantes no implica que KCy y KCx lo

sean, porque mk es una función que depende de las variables de estado

(composición, temperatura y presión).

Casos extremos:

a) Controla la transferencia en el gas:

Como: k

Cy Cy Cx

m1 1

K k k

Como: Cx Cx k Cy

1 1 1

K k m k

k Cy Cx

1 1

m k k

Cy CyK k

b) Controla la transferencia en el líquido:

k Cy Cx

1 1

m k k

Cx CxK k

El soluto a sale de la parte baja del

sistema (v.g. difusor); a se transporta a

través del líquido y llega a la interfase

líquido/gas, y ahí alcanza la condición de

equilibrio (partición de a en la interfase),

esto no significa que el proceso global

esté controlado por dicho equilibrio;

Después “atravesar” la interfase, a se

transporta a través del gas;

Finalmente, a es arrastrado por la

corriente de aire que circula el la parte

superior del recipiente, lo que permite

suponer que la concentración de a en

esa posición es constante.

[1] Plawsky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc., 2001

Coeficiente de transferencia de masa global

Ejemplo Transporte de un soluto en un sistema un L/G[1], ver esquema:

Preguntas

Obtener los modelos matemáticos de:

a) El perfil de a en cada fase, en términos de

la fracción molar de a en el líquido xa(z) y el

gas ya(z);

b) Del flux, en el líquido Nax y en el gas Nay;

c) De los coeficientes individuales de

transferencia de masa para líquido kx y gas ky

d) De los coeficiente globales de transferencia

de masa en términos del líquido KCx y del gas

KCy.

Solución

Modelo para la fase líquida L (restricciones):

1. Sistema isotérmico y en estado estacionario;

2. Transporte unidireccional (z);

3. Soluciones ideales y diluidas:

3.1 La concentración molar total Ct es constante;

3.2 El coeficiente de partición (equilibrio) mk es constante;

3.3 La fracción molar del soluto a (xa ) es “pequeña”;

4. Transporte convectivo es despreciable;

Para obtener el perfil de a en cada fase, se debe resolver el balance de

molar correspondiente, que debe satisfaces las restricciones establecidas.

Del balance de masa en ´terminos del flux: a

dN 0

dz

como: aa am a

dCN D vC

dz además: ... constantea a t tC x C C

aa am t t a

dxN D C vC x

dz

Como: aa am t t a

dxN D C vC x

dz además: t a mvC N N

aa am t a a m

dxN D C x N N

dz

pero: es "peq ueña"ax

aam t a a m

dxD C x N N

dz a

a am t

dxN D C

dz

Por otro lado: a

dN 0

dz

aam t

dxdD C 0

dz dz

aam t

dxdD C 0

dz dz

2

a a

2

dx d xd0

dz dz dz

Por lo tanto, el perfil de xa(z) en el liquido es de la forma:

... ( )a 1 2x z L

El valor de κ1 y κ2 se obtiene aplicando las condiciones límite del líquido

... ( )a 3 4y z G

Asumiendo que en el gas también se satisfacen las restricciones del

líquido, el modelo del gas sería:

κ3 y κ4 se obtienen con los límite de G

De acuerdo con la figura, las condiciones límite en

la parte inferior de L, en la interfase L/G y en la

parte superior de G son las siguientes:

@ ... (1)a a0x x z L

@ ... (4)a a0y y z L

@ ... (2)a k ay m x z 0

@ ... (3)a at ax t ay

dx dyC D C D z 0

dz dz

Deben ser cuatro condiciones límite independientes unas de otras

porque, a partir de ellas, se van a evaluar cuatro constantes κ1, κ2, κ3 y κ4.

Transferencia de Masa

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Fin de 2013-11-05 17ª