2012

The Mad Mathematician’s

Mathematic Consultancy Bureau

Sebastian Genas

Optimering av utklippt vinkel för maximal volym på glasstrut Vilken vinkel ska klippas ut ur en cirkulär skiva papper för att få en så stor volym på konerna som bildas av de utklippta sektorerna som möjligt? Vilken vinkel ska klippas ut för att bilda en glasstrut med rätt proportioner?

Sebastian Genas

Mb10b

2

Frågeställning

Denna undersökning har gått ut på att analysera och komma fram till vilken vinkel som

är optimal att från en cirkulär skiva papper klippa ut för att få en så stor volym som

möjligt på den strut som bildas av den kvarvarande delen. Ett delmoment i uppgiften

består av att forma en kon av även den utklippta cirkelsektorn och bestämma den vinkel

som ger den största volymen för båda konerna tillsammans. För att lösa problemen

används med fördel flera olika metoder, för noggrannhet och för att få en klarare

överblick, och den optimala vinkeln bestämdes med hjälp av praktiska mätningar i

utklippta pappersstrutar, genom en grafisk undersökning av maximipunkter i GeoGebra,

samt algebraiskt genom derivering och granskning av derivatans rötter.

Sammanfattning av resultat Efter fysiska mätningar av papperskoner, grafisk och algebraisk lösning blev resultatet

att vinkeln som ger störst volym på den kvarvarande struten är 66°. Då det gäller att

konstruera koner av både den utklippta delen och den kvarvarande är vinklarna 117°

och 243° optimala. Här är det två olika värden då det ena är och det andra ,

vilket ger två likadana strutpar.

Lösning genom fysiska mätningar

Detta angrepp på problemet gjordes för att få en ungefärlig bild av hur resultaten skulle

se ut, och för att få ett tankegrepp om uppgiften på ett praktiskt sätt. Utgångspunkten

var ett antal cirklar med radien på lite tjockare papper som det sedan klipptes

ut vinklar med jämna 30- och 45-graders mellanrum upp till 180°, då mönstret efter ett

halvt varv upprepas med den skillnaden att det blir den utklippta sektorn som blir

större än den kvarvarande. För att mäta volymen fylldes de utklippta strutarna med

vatten som vägdes med hela grams precision.

Fig. 1 Till den första uppsättningen mätningar användes vatten som de 16 strutarna fylldes med. Vattnet vägdes sedan för att få värdet på volymen (eftersom ett gram vatten motsvarar en cm3).

180° 30°

Sebastian Genas

Mb10b

3

De fyra första värdena på konerna som bildades av den kvarvarande delen blev ytterst

opålitliga, då det var svårt att avgöra var gränsen för högsta vattennivån gick, på grund

av ytspänningen som uppstod. Dessutom var de strutarna svåra att fylla då de var så

flacka och gjorda av papper, att de tenderade att böja sig av vattnets vikt, vilket gjorde

mätningarna än mindre precisa. Dessa faktorer gjorde det nödvändigt att göra om

mätningarna på ett noggrannare sätt.

När mätningarna gjordes om på nytt användes istället för vatten ris för att fylla

strutarna, och för att mäta volymen fylldes först struten till brädden med ris som sedan

hälldes över i en skål. Riset i skålen mättes med hjälp av ett 50ml mätglas, med hela

milliliters precision. Denna metod gav mycket pålitligare resultat då det i detta fall var

mycket enklare att uppskatta när konen var full, det blev ingen böjning av konen och

inget spill av vatten.

Resultat

Utklippt vinkel (°) Kon1 (cm3) Kon2 (cm3) Båda konerna (cm3)

0 0 0 0

30 118 1 119

45 125 5 130

60 132 8 140

90 130 19 149

120 114 35 149

135 111 43 154

150 100 56 156

180 70 70 140

Fig. 2 Utrustningen som användes till att bilda konerna. Passaren användes för att rita upp papperscirklarna, och de små papperstrianglarna gjordes som mall för att rita upp vinklar med 30- och 45-graders mellanrum.

Sebastian Genas

Mb10b

4

Som graferna visar verkar det som om det någonstans runt 60° finns ett maximum i

volym för Kon1, och runt 150° och för summan av båda konerna.

Det är förstås grova uppskattningar av maxpunkternas värden, men syftet med de

fysiska mätningarna var precis att få ett approximativt värde och en överblick.

Fig. 3 Punktdiagram för Kon1. De röda kryssen är mätningar som gjordes för Kon2 men som kan användas till Kon1 för att de utklippta sektorerna motsvarar kvarvarande sektorer för v >180°.

Fig. 4 Punktdiagram för båda konernas sammanlagda volym. De röda kryssen har samma volymvärden som de grå, men omvänt då kurvan för den sammanlagda volymen följer samma mönster efter 180°, men tvärtom.

Sebastian Genas

Mb10b

5

Grafisk lösning genom optimering av graf

En grafisk lösning av problemet ger ett precist och överblickbart resultat av uppgiften,

men för att kunna lösa uppgiften grafiskt med hjälp av GeoGebra, måste ett uttryck för

konernas volym ställas upp. När sedan de essentiella uttrycken hittats skrivs de in som

funktioner av vinkeln, och med radien som förändringsbar parameter. För att hitta de

punkter där grafen når sitt maximum (inom intervallet 0 < v < 2π) används GeoGebras

inbyggda funktion för maxpunkter, där funktion och sökintervall anges.

Kon1

Omkrets för Kon1:

Radie för Kon1:

Höjd för Kon1: √ (

)

√

√ (

) √

Basytans area för Kon1: (

)

Volym för Kon1:

√

√

Kon2

Omkrets för Kon2:

Radie för Kon2:

Höjd för Kon2: √ (

)

√

√ (

) √

Basytan

Höjden

Konens sida Radien

Konens sida Radien

Sebastian Genas

Mb10b

6

Basyta för Kon2: (

)

Volym för Kon2:

√

√

Volym för båda konerna tillsammans:

√

√

Resultat Som grafen visar har funktionen för Kon1 två maxpunkter, varav den ena är

ogenomförbar praktiskt då det syns att den vinkeln är långt över 2π; det är svårt att

klippa ut mer än 360° ur en papperscirkel. En avläsning av -värdet för den andra

maxpunkten ger dock en optimal vinkel 1.5130 radianer .

Fig. 5 Grafen för Kon1.

Basytan

Höjden

Sebastian Genas

Mb10b

7

Fig. 7 Graferna för Kon1 (höger) och Kon2 (vänster).

Fig. 6 Vinkeln som bildar den största struten (för Kon1).

Sebastian Genas

Mb10b

8

Funktionen där volymerna för Kon1 och Kon2 är summerade visar att det finns två olika

optimala utklippta vinklar inom det rimliga intervallet. Den första punkten har vinkeln

2.0358 radianer , och den andra 4.2473

. Vi ser här att det andra värdet är , vilket stämmer då de utklippta

strutarna blir identiska med de två olika vinklarna.

Fig. 9 Vinkeln som ger den största totala volymen för de två konerna.

Fig. 8 Grafen för de båda konernas sammanlagda volym (graferna i Fig. 7 summerade).

Sebastian Genas

Mb10b

9

Algebraisk lösning

Problemet löstes även på algebraisk väg genom att derivera uttrycken för konernas

volym och sätta derivatan lika med 0, för att få fram rötterna och alltså eventuella

maxpunkter i uttrycket för volymen. Denna lösningsmetod användes för att säkerställa

resultatet från de tidigare metoderna, och för att få ett noggrant resultat. För att få fram

uttrycken för volymernas derivator användes sökmotorn Wolfram|Alpha som verktyg.

Maxvolym för Kon1

(

√

)

√

Grafisk kontroll i GeoGebra visar att uttrycket för derivatan verkligen stämmer.

Derivatan för volymen av Kon1 sätts lika med 0 för att hitta extrempunkter:

√

Fig. 10 Grafen för Kon1 och dess derivata.

Sebastian Genas

Mb10b

10

Lösning med hjälp av Wolphram|Alpha ger

(Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet)

(√ )

( √ ) (Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet)

För att kontrollera att det vid 66° verkligen finns en maximipunkt, kan en närliggande

punkt på grafen för undersökas, om det är en maximipunkt borde volymens värde

vara lägre för den närliggande punkten.

cm3

cm3

Detta tyder på att det vid 66° är störst volym för en utklippt strut.

Maxvolym för båda konerna

(

√

)

√

(

√

√

)

√

√

Fig. 11 Graf för båda konernas volym och dess derivata.

Sebastian Genas

Mb10b

11

Derivatan för summan av de båda konernas volym sätts lika med 0 för att hitta

extrempunkter, och förenklas för att underlätta sökandet i W|A:

( )

√

( )

√

Nämnarna multipliceras med motsatt term för att få samma nämnare och kunna stryka

dessa

√ √

Faktorerna med kan strykas då det bara är en konstant

√ √

faktoriseras ut och divideras bort och ger

√ √

När detta uttryck matas in i W|A blir resultatet

Alla dessa värden ligger i det tillåtna intervallet, och för att kontrollera ifall dessa är

maximi- eller minimipunkter används samma metod som för Kon1.

cm3

cm3

cm3

cm3

cm3

cm3

Detta visar att det vid 180° är en minimipunkt och att det vid 117° och 243° är

maximipunkter, vilka alltså är lösningar för problemet.

Sebastian Genas

Mb10b

12

Reflektioner kring lösningsmetoderna

Att med hjälp av mätningar i riktiga pappersstrutar försöka få ett exakt resultat är så

gott som förgäves, men det var som nämnt tidigare inte heller riktigt meningen i denna

undersökning, utan mer som ett komplement till mer precisa lösningsmetoder. Att med

hjälp av GeoGebra rita upp en graf och beräkna dess maxpunkter och att lösa uppgiften

algebraiskt är då bättre angreppssätt. Att lösa problemet grafiskt var det mest effektiva

sättet, samtidigt som ett precist svar fås, då det bara var att ställa upp de nödvändiga

uttrycken och sedan utföra ett kommando i GeoGebra. Att med algebra lösa uppgiften är

förstås snyggare och renare, men ett mycket krångligare alternativ då man måste hålla

på med att derivera uttrycken och sedan lösa den ekvationen. Att göra det för hand är

oerhört tidskrävande, men att göra det med Wolfram|Alpha kan ge krångliga och

onödigt invecklade uttryck då sökmotorn inte alltid kan hitta den enklaste formen på

lösningen. I undersökningens gång var det något problematiskt att få de algebraiska

uttrycken att överensstämma med varandra, men till slut lyckades jag förenkla

situationen genom att istället för att mata in hela det långa uttrycket skriva in en

förenklad variant utan konstanter, som bara kan läggas på i efterhand. Detta gjorde det

möjligt att slutföra processen och få ett svar med precision.

Slutsatsen när det gäller lösningsmetoderna är alltså att när det handlar om sådana här

långa uttryck är det lättare att lösa det hela genom att rita grafen och endast utföra ett

kommando för att få fram svaret. Att med algebra lösa den kan resultera i ett svar i exakt

form, men det tar tid och är egentligen oväsentligt i den här typen av problem.

Förslag till utökning av problemet: Vilken vinkel ska

klippas ut för att få en lagom glasstrut?

Frågeställningen som ställdes inför problemlösningen tar upp hur volymen för strutar som klipps ut av papper optimeras, men ingenting specifikt om glasstrutar. Därför följer här en undersökning om vilken vinkel som ska skäras ut ur en cirkulär skiva strutdeg för att bilda en lagom glasstrut av den utskurna delen. Först måste kriterierna för en ”lagom” glasstrut redas ut. En lagom strut är:

En strut som har radien ≈ glasskulans radie ≈ 3cm. Då syns halva kulan och det

får plats med en kula till om så önskas. Att strutdegen när struten formas

överlappar lite grann och gör konens radie lite mindre är egentligen bra, då syns

kulan mer och glassen ser större ut. Dessutom vill man helst äta av glassen ett tag

innan man börjar knapra på struten.

En strut som är tillräckligt hög för att sitta bra i handen. Om man ser på strutar i

glasskiosker är höjden på dem ungefärligen 15cm.

En strut med de proportioner att det går att tillverka så många strutar som

möjligt på så lite cirkulär strutdeg som möjligt. Det är därför önskvärt att kunna

skapa fyra eller fem strutar av en skiva deg.

Sebastian Genas

Mb10b

13

Radien och den utklippta vinkeln måste alltså bestämmas för att bilda en strut enligt

dessa krav. Vi har konens radie given, samt konens höjd (på ett ungefär), vilket medför

att vi kan räkna ut cirkelns radie med hjälp av Pythagoras sats (cirkelns radie är konens

sidolängd).

Så

√ cm För att få fram vilken vinkel som ger en bra strut sätts det vi vet, och konens önskade radie, in i uttrycket för omkretsen för Kon2

Det betyder att det går att skapa cirka fem stycken strutar ur en cirkulär skiva strutdeg

med radien 15.3 cm. För att degen ska gå jämnt ut måste varje strut skäras med

vinkel, vilket endast påverkar strutens proportioner marginellt.

Sebastian Genas

Mb10b

14

Referenser

Wolphram|Alpha, sökning på ”derivative of (x² sqrt(1 - x² / (4π²)))”. Hämtad 2012-06-

03 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%28x²+sqrt%281+-

+x²+%2F+%284π²%29%29%

Wolphram|Alpha, sökning på ”derivative of ( π - x)² sqrt(1 - ( π - x)² / (4π²))”. Hämtad

2012-06-03 från

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%282%CF%80+-

+x%29%C2%B2+sqrt%281+-+%282%CF%80+-

+x%29%C2%B2+%2F+%284%CF%80%C2%B2%29%29

Wolphram|Alpha, sökning på ” 0=(r³ ( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²)) / ( 4π² sqrt((4π - x)

x))”. Hämtad 2012-06-03 från

http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D%28r%C2%B3+%282%CF%80+-

+x%29+%283x%C2%B2+-

+12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29%29+%2F+%2824%CF%80%C2%B2+s

qrt%28%284%CF%80+-+x%29+x%29%29

Wolphram|Alpha, sökning på ” 0=( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²) sqrt(4π² - x²) + (8π² x - 3x³)

sqrt((4π - x) x)”. Hämtad 2012-06-03 från

http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D%282%CF%80+-

+x%29+%283x%C2%B2+-

+12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29+sqrt%284%CF%80%C2%B2+-

+x%C2%B2%29+%2B+%288%CF%80%C2%B2+x+-

+3x%C2%B3%29+sqrt%28%284%CF%80+-+x%29+x%29

John Dahlberg, muntlig kommentar. 2012-05-24