TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MANUAL DE PRÁCTICAS

ÁLGEBRA LINEAL

Número de Prácticas propuestas por la asignatura: 6Número de prácticas propuestas: 5

ELABORÓ: Mtro. Isaias Vázquez Juárez

VIGENCIA: Ene. 2020 a Ene. 2021

Revisado y Avalado por la Academia de Ing. En Sistemas Computacionales

Nombre y firma del Presidente de Academia Dr. Leopoldo Gil Antonio

Nombre y firma del Secretario de Academia Mtra. TBD

VoBo

Nombre y firma del Jefe de División

Ing. Héctor Hernández García

Jocotitlán, Edo. De Méx. A 1 de febrero del 2020.

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Números complejos

Práctica No. 1

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020Asignatura: Álgebra linealCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad1: Números complejosNúmero de práctica: 1Objetivo:

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipo calculadora

MaterialesLápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos 7

Observaciones:

1. Introducción:

Un número complejo es un par ordenado (a, b) de números reales. Como tal, puede

identificarse con el punto de coordenadas (a, b) en el plano cartesiano. Sin embargo es más

común representar el complejo (a, b) en la forma a + bi, donde i es un símbolo llamado unidad

imaginaria. A este tipo de representación se le llama forma binómica. El conjunto de todos los

números complejos se denota C. El plano en el cual representamos los números complejos se

conoce con el nombre de plano de Argand-Gauss, por el matemático francés J. R. Argand

(1768-1822). b r t O P En el plano de Argand-Gauss, los números representados en el eje de

las x tienen la forma a + 0i = r, pues corresponden a los puntos de coordenadas (r, 0), es decir,

son números reales y por este motivo al eje de las x se le llama eje real. El eje de las y recibe

el nombre de eje imaginario, en él se representan los números complejos de la forma 0 + bi =

ti, que se conocen como números imaginarios puros. Las coordenadas a y b del número

complejo z = a + bi son llamadas, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de z y a

veces se escribe z = Re(z) + Im(z)i, donde Re(z) = a e Im(z) = b.

2. Marco Teórico:

Números complejos

1.- Forma cartesianaz = x + yi

Operaciones entre números complejos Sean

z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i dos números complejos Suma de números complejos

z1+ z2 = x1+y1i + x2+y2i = (x1+ x2) + (y1+ y2)i

Resta de números complejosz1- z2 = x1+y1i - (x2+y2i) = (x1- x2) + (y1- y2)i

Producto de números complejos z1 z2 = (x1+y1i) (x2+y2i) Cociente entre dos números complejos Z = z1/z2 = ( x1+y1i) / (x2+y2i)

2. Forma polar

Z = r(cosθ + isenθ)

Producto de dos números complejos Z1Z2= r1r2[cos(θ1+ θ2)+ i sen(θ1+θ2)]

Cociente de dos números complejos Z1/Z2= r1/r2[cos(θ1-θ2)+ i sen(θ1-θ2)]

3. Forma exponencial de un número complejo

Z = reiθ

Z1Z2 = r1eiθ1r2iθ2 = r1 r2ei(θ1+ θ2)

Z1/Z2 = r1eiθ1/r2iθ2 = r1 /r2ei(θ1- θ2)

1/z =1/reiθ = 1/r e-iθ

Zn = (reiθ)n = rnei(nθ)

4. Potencia n-ésima de un número complejo

Zn = rn[cos (nθ)+ isen(nθ)]

5. Raíces n-ésimas de un número complejo

Wk = r1/n e[(θ+2kπ)/n]

6. Indicaciones: Resolver los siguientes ejercicios.

6.1 Si z= 1-3i y w = -4+5i realizar las siguientes operaciones:a) Z+w,b) Z-w.c) zwd) z/we) Expresar en forma polar z = -1+5if) Expresar z = [cos (2π/3) + i sen (2π/3)]en forma binomial.

Dados los números complejos Z= 5[cos (3π/4) + i sen (3π/4)] y w = 2[cos (π/3) + i sen (π/3)]

Calcular:g) Zwh) z/wi) 1/zj) Expresar z= 1+3i en forma exponencialk) Transformar el siguiente número complejo a su forma cartesiana

Z = 2eπ/6i

l) Si z= 1+3i, obtener z6

Considerar z= 4e2π/3i y w=2e (3π/5i), calcular:m) zwn) z/wo) 1/zp) Z8

q) Calcular las raíces novenas de la unidad.

7. Procedimiento: Resolver los ejercicios anteriores utilizando las fórmulas de la parte dos de la práctica.

8. Disposición de residuos: No aplica.

9. Resultados:

a)b)c)d)e)f)

10. Análisis de Resultados:

11. Cuestionario:

a) Explicar el concepto de número complejob) Explicar el concepto de conjugado de un número complejoc) Escribir la fórmula para dividir dos números complejosd) Cuando se considera que dos números complejos son iguales

12. Conclusiones:

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Matrices y determinantes

Práctica No. 2

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020Asignatura: Álgebra linealCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad 2: Matrices y determinantesNúmero de práctica: 2Objetivo: Desarrollar la habilidad para realizar operaciones entre matrices, calcular el determinante de una matriz, y obtener la matriz inversa de una matriz aplicando los métodos de Gauss-Jordan y de la matriz adjunta.

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipo Calculadora

MaterialesLápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos 7

Observaciones:

1.- Introducción.

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de

datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados

básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el

irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja

con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales,

Económicas y Biológicas.

2.- Marco teórico.

Para las operaciones entre matrices, les recomiendo ver el video denominado “Matrices: suma, resta, multiplicación, y multiplicación por un escalar (número real) con URL: https://www.youtube.com/watch?v=aE2Tn52RYMs

Para la inversa de una matriz aplicando el método de Gauss Jordan, les recomiendo ver el video denominado “ Cálculo de la inversa de una matriz 3 x 3 por Gauss Jordan”, con URL: https://www.youtube.com/watch?v=MRWPhA5RQyA

Para el determinante de una matriz, ver el video denominado “Determinante matriz 3 x 3 (método de cofactores)”, con URL: https://www.youtube.com/watch?v=q5N6XDctBNs

Para la matriz adjunta, les recomiendo ver el mensaje del 18 de marzo titulado Inversa de una matriz método de la matriz adjunta, en el blog denominado “Álgebra lineal2, con URL: https://algebralineal2010.wordpress.com/

3.- Obtener lo indicado en cada caso.

a) Dadas las matrices A y B, obtener A + B, A – B, 5(A+B), AB

2 -3 4 10 -11 7

A = 5 6 7 B = 8 4 9

9 0 8 5 3 6

b) Obtener la matriz inversa de A (A-1), por el método de Gauss- Jordán, yc) Obtener la matriz inversa de A (A-1), por el método de la matriz adjunta.

4.- Procedimiento. Revisar la infografía indicada en el marco teórico y resolver lo solicitado en la parte 3.5.- Disposición de residuos. No aplica.6.- Resultados.

a)

b)

c)

7.- Análisis de resultados.

8.- Cuestionario.

a) Que es una matrizb) Explicar orden de una matrizc) Escribir tres operaciones entre matrices.d) Escribir tres operaciones Gaussianas que se aplican al obtener la inversa de una matrize) Qué se obtiene como producto de calcular el determinante de una matrizf) Escribir la fórmula para obtener la inversa de una matriz por el método de la matriz adjunta.

9.- Conclusiones.

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Sistemas de ecuaciones lineales.

Práctica No. 3

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020Asignatura: Álgebra lineal

Carrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales.Número de práctica: 3Objetivo: Desarrollar la habilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando los métodos de sustitución, regla de Cramer, y de Gauss-Jordan.

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipo Calculadora

MaterialesLápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos 3

Observaciones:

1. Introducción

En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto

de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema

matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen

dichas operaciones.

La forma genérica de un sistema de m ecuaciones algebraicas y n incógnitas es la

siguiente:

F1(x1, x2, …..xn) =0

.

.

.

Fm(x1, x2, …xn) = 0

donde F1, F2, …, Fm son funciones de las incógnitas.

2. Marco Teórico.

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se

trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los

resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e

inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de

ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema

dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá

una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso

lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo

diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se

eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la

ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta

manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz

triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para

conseguir la solución.

3.- Obtener lo indicado en cada caso.

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de

sustitución. Graficar.

X + y = 2

2x + y = 5

b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando la regla de Cramer.

2x +3y +z = 1

3x - 2y – 4z = - 3

5x – y –z = 4

c) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss-

Jordan

2x +3y +z = 1

3x - 2y – 4z = - 3

5x – y –z = 4

4.- Procedimiento. Revisar la infografía indicada en el marco teórico y resolver lo solicitado en la parte 3.

5.- Disposición de residuos. No aplica.6.- Resultados.

a) x= 3,

y = -1

b) X = 1,

Y = -1,

Z = 2

c) X = 1,

Y = -1,

Z = 27.- Análisis de resultados.

8.- Cuestionario.

a) Escribir el modelo matemático de un sistema de m ecuaciones con n

variables.

b) Escribir el modelo matemático de un sistema de dos ecuaciones con dos

variables.

c) Escribir el modelo matemático de un sistema de ecuaciones con tres

variables

d) Escribir los casos de solución que se nos pueden presentar al resolver un

sistema de tres ecuaciones con tres variables.

e) Explicar las tres operaciones Gaussianas que se aplican al resolver un

sistema de ecuaciones lineales.9.- Conclusiones.

NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Espacios vectoriales

Práctica No. 4

Fecha de realización: 1 de febrero del 2020Asignatura: Álgebra linealCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad 4: Espacios vectoriales.Número de práctica: 4Objetivo: Determinar cuándo un conjunto de vectores es un espacio vectorial. Además, Explicar combinación lineal, e independencia lineal.

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipo Calculadora

MaterialesLápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos 3

Observaciones:

1.- Introducción

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a

partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con

8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les

llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

2.- Marco teórico.

¿Qué es una combinación lineal? Una combinación lineal de dos o

más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por

escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que

tengan distinta dirección.

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno

de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por

ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente

independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el

tercero es la suma de los dos primeros.

3.- Obtener lo indicado en cada caso.

3.1.- Determinar si el conjunto de los números complejos C forman un espacio

vectorial.

3.2 Determinar si el vector w se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S

S= (2, -1, 3), (5, 0, 4) w= (-1, -2, 2)

3.3.- Determinar si los vectores (1, 2, 3), (0, 1, 2), (-2, 0, 1) en R3 son linealmente dependientes o si son linealmente independientes.

4.- Procedimiento. Revisar el marco teórico y resolver lo solicitado en la parte 3.

5.- Disposición de residuos. No aplica.

6.- Resultados.

Respuesta de 3.1 C, es un espacio vectorial.Respuesta de 3.2 w = 2(2, -1, 3) – (5, 0, 4)Respueta de 3.3 S es linealmente independiente.

7.- Análisis de resultados.

8.- Cuestionario.

a) Escribir la definición de un espacio vectorial,

b) Escribir la definición de un subespacio de un espacio vectorial,

c) Mencionar la definición de combinación lineal de vectores,

d) Mencionar la definición de dependencia lineal e independencia lineal.

9.- Conclusiones.