1587 actividades funciones 1ºeso
DESCRIPTION
1587 Actividades Funciones 1ºesoTRANSCRIPT
FUNCIONESINTRODUCCIOacuteN
Las graacuteficas son medios potentes para tratar gran nuacutemero de problemas Se utilizan en todas las disciplinas fiacutesica biologiacutea economiacutea sociologiacutea psicologiacutea etc
Las graacuteficas dan una raacutepida informacioacuten visual de la relacioacuten entre dos magnitudes
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIOacuteN
1 Abajo tienes varias graacuteficas que relacionan distintas magnitudes
Escribe para cada graacutefica una frase comparando A y B Por ejemplo en la 1ordf B tiene maacutes temperatura y mayor longitud que A
Actividad resuelta
quien a buen aacuterbol se arrima
Desde las 9 de la mantildeana hemos ido anotando la longitud de sombra de un poste vertical Eacutestos son los resultados
La hora del diacutea y la longitud de la sombra son magnitudes que estaacuten relacionadas Ademaacutes a cada hora del diacutea le corresponde una uacutenica longitud de sombra Podemos resumir escribiendo que la longitud de la sombra depende o es funcioacuten de la hora del diacutea
Si representas los pares de valores (hora del diacutea longitud de sombra) (921) (10155) etc recogidos en la tabla en unos ejes de coordenadas obtienes la graacutefica
Como observas en ella la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora Diremos que la funcioacuten es decreciente desde t = 9 hasta t = 13 y creciente a partir de t = 13
Ademaacutes la miacutenima longitud de sombra (6 m) se alcanza a las 13 horas En ese punto (136) la funcioacuten presenta un miacutenimo
2 iexclCuidado con los medicamentos
En las instrucciones de un medicamento que hay que administrar a un diabeacutetico se establece que la dosis del mismo expresada en mg estaacute en funcioacuten del peso del paciente seguacuten la graacutefica
Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg rarr 20 mg
a iquestCuaacutel es la imagen de 75 es decir iquestqueacute dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg
b iquestSe puede administrar a bebeacutesiquestY a personas obesas
c iquestQueacute peso teniacutea una persona a la que suministraron 40 mg
d iquestPara queacute peso la dosis es maacutexima
Diremos que la variable dosis depende (o es funcioacuten) de la variable peso Peso rarr Dosis
INTERPRETACIOacuteN DE FUNCIONES
La relacioacuten entre dos magnitudes o variables puede expresarse mediante una graacutefica una tabla o una foacutermula
Mediante graacuteficas
A continuacioacuten proponemos unas actividades para que se realicen en grupo y sean discutidas en el aula
3 Despueacutes de bantildearse en su casa Ana dibuja un esbozo de graacutefica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su bantildeo en funcioacuten del tiempo transcurrido
a Si ambos grifos (caliente y friacuteo) se abrieron al principio iquestqueacute puede haber ocurrido en A (Hay maacutes de una respuesta)
b Cuando el bantildeo se estaacute vaciando Ana pone el pie en el agujero del desaguumle iquestQueacute parte de la graacutefica muestra esto
c iquestCuaacutendo aumenta el volumen del agua iquestCuaacutendo disminuye
d iquestCuaacutendo se alcanza el volumen maacuteximo de agua iquestY el miacutenimo
Como observaraacutes es la forma de la graacutefica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta maacutes o menos raacutepidamente (la mayor o menor inclinacioacuten de la graacutefica)
4 Vamos de Benalmaacutedena a unas clases en Alhauriacuten de la Torre La distancia aproximada es de unos 10 Km La clase comienza a las 815 y salimos de casa a las 730
Las siguientes graacuteficas muestran coacutemo las cosas son bastante distintas para Antonio Bernabeacute Carlos y Delicia
Antonio Salgo con calma En el camino comienzo a pedalear maacutes fuerte
Bernabeacute Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvideacute las zapatillas y tuve que volver
Carlos Fui en moto pero por el camino me quedeacute sin gasolina Asiacute que pie al suelo y andando
a iquestA quieacuten corresponde cada graacutefica
b iquestQueacute diriacutea Delicia
Si precisamos la graacutefica de Antonio podremos responder a varias cuestiones de manera maacutes precisa
c iquestCuaacutentos Km lleva recorrido Antonio a las 745iquestqueacute ocurre a las 755iquestCuaacutento tiempo empleoacute en la primera mitad del trayecto
d Cuaacutentos Km pedaleoacute entre las 8 menos cuarto y las ocho
e iquestCoacutemo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos
f Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad iquesthabriacutea llegado a tiempo al colegioiquest con cuaacutento adelantoatraso
g iquestEntre queacute horas fue menor la velocidad de Antonio iquestcoacutemo se puede saber
h Sandra sale al mismo tiempo que Antonio Despueacutes de 20 minutos va exactamente 1 Km detraacutes de Antonio y llega 5 minutos despueacutes que eacutel al colegio iquestCoacutemo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad Dibuja la graacutefica de Sandra
i Roberto sale de Benalmaacutedena 5 minutos despueacutes que Antonio y llega 5 minutos antes Dibuja la graacutefica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante iquestPor queacute tu graacutefica y las de tus compantildeeros ha de ser exactamente igual
5 Alicia va al colegio en autobuacutes El meacutedico le ha prohibido ir en bici Siempre coge el autobuacutes de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8 Aquiacute ves la graacutefica de Antonio y la de Alicia en el autobuacutes
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Desde las 9 de la mantildeana hemos ido anotando la longitud de sombra de un poste vertical Eacutestos son los resultados
La hora del diacutea y la longitud de la sombra son magnitudes que estaacuten relacionadas Ademaacutes a cada hora del diacutea le corresponde una uacutenica longitud de sombra Podemos resumir escribiendo que la longitud de la sombra depende o es funcioacuten de la hora del diacutea
Si representas los pares de valores (hora del diacutea longitud de sombra) (921) (10155) etc recogidos en la tabla en unos ejes de coordenadas obtienes la graacutefica
Como observas en ella la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora Diremos que la funcioacuten es decreciente desde t = 9 hasta t = 13 y creciente a partir de t = 13
Ademaacutes la miacutenima longitud de sombra (6 m) se alcanza a las 13 horas En ese punto (136) la funcioacuten presenta un miacutenimo
2 iexclCuidado con los medicamentos
En las instrucciones de un medicamento que hay que administrar a un diabeacutetico se establece que la dosis del mismo expresada en mg estaacute en funcioacuten del peso del paciente seguacuten la graacutefica
Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg rarr 20 mg
a iquestCuaacutel es la imagen de 75 es decir iquestqueacute dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg
b iquestSe puede administrar a bebeacutesiquestY a personas obesas
c iquestQueacute peso teniacutea una persona a la que suministraron 40 mg
d iquestPara queacute peso la dosis es maacutexima
Diremos que la variable dosis depende (o es funcioacuten) de la variable peso Peso rarr Dosis
INTERPRETACIOacuteN DE FUNCIONES
La relacioacuten entre dos magnitudes o variables puede expresarse mediante una graacutefica una tabla o una foacutermula
Mediante graacuteficas
A continuacioacuten proponemos unas actividades para que se realicen en grupo y sean discutidas en el aula
3 Despueacutes de bantildearse en su casa Ana dibuja un esbozo de graacutefica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su bantildeo en funcioacuten del tiempo transcurrido
a Si ambos grifos (caliente y friacuteo) se abrieron al principio iquestqueacute puede haber ocurrido en A (Hay maacutes de una respuesta)
b Cuando el bantildeo se estaacute vaciando Ana pone el pie en el agujero del desaguumle iquestQueacute parte de la graacutefica muestra esto
c iquestCuaacutendo aumenta el volumen del agua iquestCuaacutendo disminuye
d iquestCuaacutendo se alcanza el volumen maacuteximo de agua iquestY el miacutenimo
Como observaraacutes es la forma de la graacutefica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta maacutes o menos raacutepidamente (la mayor o menor inclinacioacuten de la graacutefica)
4 Vamos de Benalmaacutedena a unas clases en Alhauriacuten de la Torre La distancia aproximada es de unos 10 Km La clase comienza a las 815 y salimos de casa a las 730
Las siguientes graacuteficas muestran coacutemo las cosas son bastante distintas para Antonio Bernabeacute Carlos y Delicia
Antonio Salgo con calma En el camino comienzo a pedalear maacutes fuerte
Bernabeacute Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvideacute las zapatillas y tuve que volver
Carlos Fui en moto pero por el camino me quedeacute sin gasolina Asiacute que pie al suelo y andando
a iquestA quieacuten corresponde cada graacutefica
b iquestQueacute diriacutea Delicia
Si precisamos la graacutefica de Antonio podremos responder a varias cuestiones de manera maacutes precisa
c iquestCuaacutentos Km lleva recorrido Antonio a las 745iquestqueacute ocurre a las 755iquestCuaacutento tiempo empleoacute en la primera mitad del trayecto
d Cuaacutentos Km pedaleoacute entre las 8 menos cuarto y las ocho
e iquestCoacutemo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos
f Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad iquesthabriacutea llegado a tiempo al colegioiquest con cuaacutento adelantoatraso
g iquestEntre queacute horas fue menor la velocidad de Antonio iquestcoacutemo se puede saber
h Sandra sale al mismo tiempo que Antonio Despueacutes de 20 minutos va exactamente 1 Km detraacutes de Antonio y llega 5 minutos despueacutes que eacutel al colegio iquestCoacutemo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad Dibuja la graacutefica de Sandra
i Roberto sale de Benalmaacutedena 5 minutos despueacutes que Antonio y llega 5 minutos antes Dibuja la graacutefica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante iquestPor queacute tu graacutefica y las de tus compantildeeros ha de ser exactamente igual
5 Alicia va al colegio en autobuacutes El meacutedico le ha prohibido ir en bici Siempre coge el autobuacutes de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8 Aquiacute ves la graacutefica de Antonio y la de Alicia en el autobuacutes
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Como observas en ella la longitud de la sombra disminuye o decrece hasta las 13 horas y comienza a aumentar o crecer a partir de dicha hora Diremos que la funcioacuten es decreciente desde t = 9 hasta t = 13 y creciente a partir de t = 13
Ademaacutes la miacutenima longitud de sombra (6 m) se alcanza a las 13 horas En ese punto (136) la funcioacuten presenta un miacutenimo
2 iexclCuidado con los medicamentos
En las instrucciones de un medicamento que hay que administrar a un diabeacutetico se establece que la dosis del mismo expresada en mg estaacute en funcioacuten del peso del paciente seguacuten la graacutefica
Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg Diremos que 20 es la imagen de 50 o que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg rarr 20 mg
a iquestCuaacutel es la imagen de 75 es decir iquestqueacute dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg
b iquestSe puede administrar a bebeacutesiquestY a personas obesas
c iquestQueacute peso teniacutea una persona a la que suministraron 40 mg
d iquestPara queacute peso la dosis es maacutexima
Diremos que la variable dosis depende (o es funcioacuten) de la variable peso Peso rarr Dosis
INTERPRETACIOacuteN DE FUNCIONES
La relacioacuten entre dos magnitudes o variables puede expresarse mediante una graacutefica una tabla o una foacutermula
Mediante graacuteficas
A continuacioacuten proponemos unas actividades para que se realicen en grupo y sean discutidas en el aula
3 Despueacutes de bantildearse en su casa Ana dibuja un esbozo de graacutefica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su bantildeo en funcioacuten del tiempo transcurrido
a Si ambos grifos (caliente y friacuteo) se abrieron al principio iquestqueacute puede haber ocurrido en A (Hay maacutes de una respuesta)
b Cuando el bantildeo se estaacute vaciando Ana pone el pie en el agujero del desaguumle iquestQueacute parte de la graacutefica muestra esto
c iquestCuaacutendo aumenta el volumen del agua iquestCuaacutendo disminuye
d iquestCuaacutendo se alcanza el volumen maacuteximo de agua iquestY el miacutenimo
Como observaraacutes es la forma de la graacutefica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta maacutes o menos raacutepidamente (la mayor o menor inclinacioacuten de la graacutefica)
4 Vamos de Benalmaacutedena a unas clases en Alhauriacuten de la Torre La distancia aproximada es de unos 10 Km La clase comienza a las 815 y salimos de casa a las 730
Las siguientes graacuteficas muestran coacutemo las cosas son bastante distintas para Antonio Bernabeacute Carlos y Delicia
Antonio Salgo con calma En el camino comienzo a pedalear maacutes fuerte
Bernabeacute Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvideacute las zapatillas y tuve que volver
Carlos Fui en moto pero por el camino me quedeacute sin gasolina Asiacute que pie al suelo y andando
a iquestA quieacuten corresponde cada graacutefica
b iquestQueacute diriacutea Delicia
Si precisamos la graacutefica de Antonio podremos responder a varias cuestiones de manera maacutes precisa
c iquestCuaacutentos Km lleva recorrido Antonio a las 745iquestqueacute ocurre a las 755iquestCuaacutento tiempo empleoacute en la primera mitad del trayecto
d Cuaacutentos Km pedaleoacute entre las 8 menos cuarto y las ocho
e iquestCoacutemo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos
f Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad iquesthabriacutea llegado a tiempo al colegioiquest con cuaacutento adelantoatraso
g iquestEntre queacute horas fue menor la velocidad de Antonio iquestcoacutemo se puede saber
h Sandra sale al mismo tiempo que Antonio Despueacutes de 20 minutos va exactamente 1 Km detraacutes de Antonio y llega 5 minutos despueacutes que eacutel al colegio iquestCoacutemo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad Dibuja la graacutefica de Sandra
i Roberto sale de Benalmaacutedena 5 minutos despueacutes que Antonio y llega 5 minutos antes Dibuja la graacutefica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante iquestPor queacute tu graacutefica y las de tus compantildeeros ha de ser exactamente igual
5 Alicia va al colegio en autobuacutes El meacutedico le ha prohibido ir en bici Siempre coge el autobuacutes de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8 Aquiacute ves la graacutefica de Antonio y la de Alicia en el autobuacutes
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
3 Despueacutes de bantildearse en su casa Ana dibuja un esbozo de graacutefica que muestra lo que ocurre con el volumen de agua de su bantildeo en funcioacuten del tiempo transcurrido
a Si ambos grifos (caliente y friacuteo) se abrieron al principio iquestqueacute puede haber ocurrido en A (Hay maacutes de una respuesta)
b Cuando el bantildeo se estaacute vaciando Ana pone el pie en el agujero del desaguumle iquestQueacute parte de la graacutefica muestra esto
c iquestCuaacutendo aumenta el volumen del agua iquestCuaacutendo disminuye
d iquestCuaacutendo se alcanza el volumen maacuteximo de agua iquestY el miacutenimo
Como observaraacutes es la forma de la graacutefica la que nos muestra si el volumen de agua aumenta maacutes o menos raacutepidamente (la mayor o menor inclinacioacuten de la graacutefica)
4 Vamos de Benalmaacutedena a unas clases en Alhauriacuten de la Torre La distancia aproximada es de unos 10 Km La clase comienza a las 815 y salimos de casa a las 730
Las siguientes graacuteficas muestran coacutemo las cosas son bastante distintas para Antonio Bernabeacute Carlos y Delicia
Antonio Salgo con calma En el camino comienzo a pedalear maacutes fuerte
Bernabeacute Acababa de salir cuando me di cuenta de que olvideacute las zapatillas y tuve que volver
Carlos Fui en moto pero por el camino me quedeacute sin gasolina Asiacute que pie al suelo y andando
a iquestA quieacuten corresponde cada graacutefica
b iquestQueacute diriacutea Delicia
Si precisamos la graacutefica de Antonio podremos responder a varias cuestiones de manera maacutes precisa
c iquestCuaacutentos Km lleva recorrido Antonio a las 745iquestqueacute ocurre a las 755iquestCuaacutento tiempo empleoacute en la primera mitad del trayecto
d Cuaacutentos Km pedaleoacute entre las 8 menos cuarto y las ocho
e iquestCoacutemo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos
f Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad iquesthabriacutea llegado a tiempo al colegioiquest con cuaacutento adelantoatraso
g iquestEntre queacute horas fue menor la velocidad de Antonio iquestcoacutemo se puede saber
h Sandra sale al mismo tiempo que Antonio Despueacutes de 20 minutos va exactamente 1 Km detraacutes de Antonio y llega 5 minutos despueacutes que eacutel al colegio iquestCoacutemo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad Dibuja la graacutefica de Sandra
i Roberto sale de Benalmaacutedena 5 minutos despueacutes que Antonio y llega 5 minutos antes Dibuja la graacutefica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante iquestPor queacute tu graacutefica y las de tus compantildeeros ha de ser exactamente igual
5 Alicia va al colegio en autobuacutes El meacutedico le ha prohibido ir en bici Siempre coge el autobuacutes de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8 Aquiacute ves la graacutefica de Antonio y la de Alicia en el autobuacutes
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
b iquestQueacute diriacutea Delicia
Si precisamos la graacutefica de Antonio podremos responder a varias cuestiones de manera maacutes precisa
c iquestCuaacutentos Km lleva recorrido Antonio a las 745iquestqueacute ocurre a las 755iquestCuaacutento tiempo empleoacute en la primera mitad del trayecto
d Cuaacutentos Km pedaleoacute entre las 8 menos cuarto y las ocho
e iquestCoacutemo se puede saber que Antonio ha ido a la misma velocidad en los primeros 20 minutos
f Si Antonio hubiera seguido con la misma velocidad iquesthabriacutea llegado a tiempo al colegioiquest con cuaacutento adelantoatraso
g iquestEntre queacute horas fue menor la velocidad de Antonio iquestcoacutemo se puede saber
h Sandra sale al mismo tiempo que Antonio Despueacutes de 20 minutos va exactamente 1 Km detraacutes de Antonio y llega 5 minutos despueacutes que eacutel al colegio iquestCoacutemo se puede estar seguro de que Sandra no ha pedaleado siempre a la misma velocidad Dibuja la graacutefica de Sandra
i Roberto sale de Benalmaacutedena 5 minutos despueacutes que Antonio y llega 5 minutos antes Dibuja la graacutefica de Roberto en los mismos ejes que la de Antonio sabiendo que ha pedaleado a velocidad constante iquestPor queacute tu graacutefica y las de tus compantildeeros ha de ser exactamente igual
5 Alicia va al colegio en autobuacutes El meacutedico le ha prohibido ir en bici Siempre coge el autobuacutes de las 8 menos 25 y para en el colegio a las 8 Aquiacute ves la graacutefica de Antonio y la de Alicia en el autobuacutes
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a iquestIba hoy el autobuacutes puntual
b El autobuacutes ha parado varias veces por el camino iquestCoacutemo lo puedes ver en la graacutefica
c iquestA queacute hora y a queacute distancia de Benalmaacutedena adelantoacute el autobuacutes a AntonioiquestCoacutemo seriacutea si el autobuacutes fuese puntual
d iquestCoacutemo puedes ver en las graacuteficas que Alicia estaba antes en la mitad del caminoiquestCuaacutentos minutos antes
e iquestCuaacutentos Km le quedaban a Antonio cuando Alicia llegoacute al cole
f iquestA queacute hora aproximadamente llevaba maacutes ventaja Alicia
g Explica por queacute ha tenido que haber un momento en el cual la ventaja de Alicia era exactamente de un kiloacutemetro
6 Dos monos subieron por un poste El 1ordm subioacute lentamente al principio y despueacutes aumentoacute la velocidad gradualmente iquestCuaacutel es la graacutefica de este mono
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a Describe con palabras el ascenso del otro mono
b iquestQueacute separacioacuten habiacutea entre los monos despueacutes de 1 minuto 2 minutos
c iquestQueacute tiempo emplearon en llegar a la mitad del poste
d Completa la graacutefica sabiendo que el mono B se quedoacute arriba y el mono A bajoacute a velocidad constante
7 iquestCuaacutel de los tres perfiles de la derecha se corresponde con el de la carretera recorrida por un ciclista si su graacutefica es la de la izquierda
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Como hemos comprobado la observacioacuten de una graacutefica permite analizar caracteriacutesticas como el crecimiento o decrecimiento y la existencia de valores maacuteximos y miacutenimos Tambieacuten se pueden observar faacutecilmente otras propiedades
Periodicidad
Cuando un fenoacutemeno se reproduce a intervalos regulares en una serie de ciclos ideacutenticos encadenados los unos a los otros se le califica de perioacutedico teniendo en cuenta que el periacuteodo equivale a la duracioacuten de un ciclo
En la graacutefica de abajo tienes una curva que estima con bastante exactitud la temperatura media del aire en Fairbanks Alaska (expresada en grados Fahrenheit)
Observa coacutemo partes de la graacutefica se repiten cada cierto intervalo Este intervalo miacutenimo de repeticioacuten (el maacutes pequentildeo posible) se llama periodo en nuestro caso es de un antildeo y a este tipo de funciones les llamaremos perioacutedicas
Hay numerosas situaciones reales que se traducen en funciones perioacutedicas ciclos lunares mareas estaciones oacuterbitas ciclo menstrual biorritmos etc
Actividad (Biorritmos)
8 Seguacuten ciertas personas existen tres ciclos que ejercen influencia sobre las personas el ciclo corporal (fuerza vitalidad resistencia a las enfermedades) de periodo 24 diacuteas el ciclo de los sentimientos con un periodo de 28 diacuteas (creatividad tristeza alegriacutea) y por uacuteltimo el ciclo intelectual con un periodo de 33 diacuteas El diacutea del nacimiento comienzan los tres ciclos en el punto cero y desde alliacute comienzan a subir
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a iquestDespueacutes de cuaacutentos antildeos llega el ciclo a un punto como el del nacimiento
b iquestCuaacutentas veces en la vida alcanzamos el diacutea total es decir los tres ciclos en su maacuteximo
c Los diacuteas criacuteticos son aqueacutellos en que una de las tres curvas alcanza su punto cero Determina tus diacuteas criacuteticos
Mediante tablas
Se juegan 8 partidos durante el invierno Eacutesta fue la asistencia de puacuteblico a cada partido
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8
Asistentes 2800 2000 2600 2300 1500 600 1400 900
Su graacutefica es
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
La cantidad de asistentes no cambia gradualmente entre partidos no pasoacute de 2800 a 2000 entre el partido 1 y el partido 2 No hubo ninguacuten partido entre los ocho mostrados en la graacutefica Por tanto desde un punto de vista estricto los puntos no deberiacutean ser unidos
La variable nordm de asistentes no toma valores entre dos consecutivos por ello decimos que es una variable discreta
El graacutefico anterior es maacutes faacutecil de interpretar si los puntos se enlazan mediante liacuteneas rectas
Ha de quedar claro que estas liacuteneas no tienen un significado real
No tendriacutea sentido usar el graacutefico para estimar cuaacutenta gente va al partido nuacutemero 35
Ruptura de un eje
En ciertas ocasiones hay que elegir con cuidado las escalas de los ejes para que la graacutefica asociada a una tabla se lea adecuadamente Lee los siguientes ejemplos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Joseacute estaacute enfermo La tabla nos muestra su temperatura corporal tomada por su madre cada hora
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura 371 371 372 374 376 387 381 384 386 383
Y eacuteste es el graacutefico de temperaturas
Cuando una persona estaacute enferma cada pequentildeo cambio en su temperatura puede ser importante y deberiacutea ser convenientemente reflejado por la graacutefica
En el graacutefico superior hay demasiado espacio malgastado y no acentuacutea convenientemente la variacioacuten de la temperatura Seriacutea mucho mejor numerar el eje de temperaturas de los 37ordm C hasta los 39ordfC usando una liacutenea quebrada para indicar que la escala no comienza en 0ordfC
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
La variable Tiempo es una variable continua tiene sentido preguntarse por la temperatura entre dos horas dadas
9 La tabla no muestra la temperatura de Joseacute a las 930 iquestPodriacuteas estimarla a partir de la graacutefica iquestQueacute temperatura teniacutea a las 2 menos cuarto
Graacuteficas engantildeosas
Esta tabla muestra los resultados en ventas de una empresa en los uacuteltimos 4 antildeos
Antildeo 1999 2000 2001 2002Ventas (en miles de euro) 2000 3000 7000 12000
Observa estas dos graacuteficas
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Representan exactamente la misma situacioacuten Sin embargo la segunda nos hace parecer que el volumen de ventas aumenta espectacularmente Si variamos las escalas de los ejes podemos variar la perspectiva para una misma realidad
Mediante foacutermulas
Funciones lineales
El grifo
Un grifo vierte 15 litros por minuto Es evidente que Tiempo y Volumen son en este caso dos magnitudes directamente proporcionales Si construimos una tabla y dibujamos la graacutefica obtendremos
Observa que la magnitud volumen V es igual a la magnitud tiempo t multiplicada por 15 que es la razoacuten de proporcionalidad
Dos magnitudes X e Y directamente proporcionales de razoacuten a dan lugar a graacuteficas del tipo anterior que son rectas que pasan por el origen de coordenadas cuya ecuacioacuten es y = a middot x Al nuacutemero a se le llama pendiente
10 Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones lineales
y = 2x y = 3x y = 04x y = -x e y = -3x
a Estudia coacutemo variacutea la inclinacioacuten de la graacutefica seguacuten la pendiente
b iquestQueacute cuadrantes del plano ocupa la graacutefica si la pendiente es positivaiquestY si es negativa
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
11 Completa para cada graacutefica la siguiente tabla
Halla en cada caso la foacutermula que las define
12 De una funcioacuten lineal se conoce que la imagen de 3 vale 12iquestCuaacutel es su foacutermulaiquestCuaacutel es la imagen del 5
13 La siguiente graacutefica indica coacutemo variacutea la altura del liacutequido en el vaso X a medida que se va llenando de forma continua
Los grados Fahrenheit se utilizan en Estados Unidos y otros paiacuteses que no adoptaron el Sistema Internacional de Medidas Para pasar de grados Fahrenheit a Centiacutegrados se utiliza la foacutermula
siendo F el nuacutemero de grados fahrenheit y C el resultado en grados centiacutegrados
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Actividades finales
Interpretacioacuten de graacuteficas
1 En la siguiente graacutefica tienes dibujada una vasija y a su derecha la graacutefica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado
Completa las otras graacuteficas
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
NOTA En muchos problemas similares es conveniente dividir la situacioacuten real en tramos homogeacuteneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados
2 Un circuito automoviliacutestico tiene la siguiente forma
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad con el tiempo
3 Dada la graacutefica siguiente busca su circuito correspondiente
4 La montantildea rusa
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Dibuja la graacutefica que relacione la velocidad del coche con la distancia recorrida por la pista
5 Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores La versioacuten del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es
Corredor 1 Salioacute muy raacutepido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando y llegoacute en terceras posicioacuten
Corredor 2 Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los uacuteltimos 50 metros A partir de ahiacute fue mucho maacutes raacutepido
Corredor 3 Salioacute raacutepido pero a los 100 metros tropezoacute y cayoacute al suelo Al cabo de unos segundos se levantoacute y continuoacute pero ya mucho maacutes lento y llegoacute el uacuteltimo
Corredor 4 Salioacute lento pero conforme transcurriacutea la prueba aumentoacute la velocidad llegando el primero
Haz las graacuteficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores
6 Antonio sale de casa en direccioacuten al polideportivo
Sale de casa estaacute un rato en el polideportivo y regresa
Sale de casa A mitad de camino recuerda que no lleva zapatillas de deportes vuelve a casa regresa al polideportivo y vuelve a casa
Cuando vuelve a casa encuentra a una amiga a la que acompantildea a su casa Inmediatamente vuelve a la suya
Dibuja la graacutefica distancia a su casa -tiempo empleado para cada una de las situaciones anteriores
7 Un coche de un fugitivo huye a una velocidad constante de 160 Kmh por una autopista Tras una curva observa con pavor sin tener tiempo de parar que el puente estaacute derrumbado Dibuja un esbozo de las graacuteficas velocidad -tiempo espacio - tiempo y altura -tiempo
8 Tiramos de la cadena del WC iquestqueacute graacutefica corresponde a esta situacioacuten
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
9 iquestQueacute graacutefica corresponderaacute a la caiacuteda del paracaiacutedas
10 Esta pecera estaacute siendo llenada por una manguera con caudal constante Completa la graacutefica
11 El agua sale de este estanque con velocidad constante Completa la graacutefica
12 Aquiacute hay 5 bocetos de graacuteficas y 5 descripciones de un estanque vaciaacutendose iquestQueacute graacutefica corresponde a cada descripcioacuten Todas estas graacuteficas son decrecientes pero con distinto aspecto
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
A El nivel del agua desciende con la misma velocidad todo el tiempo
B El nivel del agua desciende lentamente al principio y cada vez maacutes y maacutes raacutepido mientras el estanque se vaciacutea
C El nivel del agua desciende raacutepidamente al principio y cada vez maacutes y maacutes lentamente mientras el estanque se vaciacutea
D El nivel del agua comenzoacute descendiendo raacutepidamente y por un atasco del desaguumle el nivel dejoacute de bajar Cuando se desatascoacute volvioacute a descender con rapidez
E El nivel del agua cayoacute lentamente al principio Despueacutes cada vez maacutes raacutepido y despueacutes cada vez maacutes despacio hasta que el estanque dejoacute de tener agua
13 Aquiacute tienes 6 frascos y 9 graacuteficas Elige la graacutefica correcta para cada frasco Dibuja coacutemo deberiacutean de ser los frascos que corresponden a las dos graacuteficas restantes
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
14 Una mosca recorre a velocidad constante la trayectoria indicada desde la pared hasta la tarta Dibuja la graacutefica que relacione la altura con el tiempo empleado
15 Una canica se deja caer desde el aire en un medio viscoso por ejemplo aceite
iquestCuaacutel seraacute graacutefica de la velocidad en funcioacuten del tiempo
Dibuja la graacutefica espacio recorrido-tiempo
iquestCuaacutel seriacutea la graacutefica velocidad-tiempo si el medio viscoso fuera por ejemplo aguaiquestQueacute diferencias destacariacuteas respecto de la del aceite
16 Un monje budista se va a retirar a hacer profundas meditaciones a la cima de un monte Para ello sale del pie del monte a las 12 del mediodiacutea y llega a la cima a las doce de la noche Tras estar dos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
diacuteas y medio de meditaciones decide bajar del monte a las 12 del mediodiacutea y llega al pie a las 12 de la noche (tardoacute el mismo tiempo en bajar porque se sintioacute varias veces indispuesto del vientre) Despueacutes de tanto tiempo de meditacioacuten no tuvo problemas para hacerse la siguiente pregunta iquestexistiraacute alguacuten punto por el que yo pasara a la misma hora al subir y al bajar Medita tuacute tambieacuten y ayuacutedale a contestar a esta pregunta
17 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared Dibuja la graacutefica altura del punto medio M en funcioacuten de la distancia del pie de la escalera a la pared
18 iquestConoces el cuento de la liebre y de la tortuga
Eacuterase una vez una liebre a la que le gustaba fanfarronear ante todos los animales sobre su gran velocidad Harta de su alardes la lenta tortuga la retoacute a una carrera y
Utiliza la siguiente graacutefica y continua el cuento
19 Entre la graacuteficas siguientes indica la que corresponde la situacioacuten Un paseante sale de su domicilio camina durante 3 horas se para durante una hora y retorna a su casa en autobuacutes
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
En todas las graacuteficas en el eje vertical se representa la distancia al punto de partida (en Km) y en el eje horizontal la duracioacuten (en horas)
Dar cuando sea posible una interpretacioacuten de las otras graacuteficas
Sabiendo que el paseante camina a 3 Kmh de media indicar sobra la graacutefica elegida en la cuestioacuten a)
La graduacioacuten del eje vertical
Las coordenadas de los puntos destacables
20 La distancia que separa a Maacutelaga de Granada es de 120 Km Antonio deja Maacutelaga a las 1100 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Kmh 30 minutos despueacutes Joseacute Mordf sale de Granada a Maacutelaga con una velocidad de 90 Kmh
Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas
Usa la graacutefica para indicar a queacute distancia de Granada se cruzan los dos motoristas
Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos
21 Dos ciclistas salen a la misma hora al encuentro Desde A hasta B con V = 30 Kmh y el de B hasta A a 20 Kmh (d(AB) =100 Km)Estima graacuteficamente cuaacutendo se encontraraacuten iquestA queacute distancia de A iquestY de B
22 Un coche inicia un viaje a una velocidad constante de 90 Kmh En el kiloacutemetro 45 encuentra un camioacuten y reduce su velocidad a 60 Kmh Permanece detraacutes 15 minutos y cuando lo adelanta lo hace a 80 Kmh velocidad que mantiene durante 1 hora hasta llegar a una cuesta abajo en la que su velocidad aumenta a 100 Kmh Si los Km de subida coinciden con los de bajada
iquestCuaacutendo encontroacute al camioacuten
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
iquestA queacute distancia y en queacute momento adelanta al camioacuten
iquestEn queacute kiloacutemetro se inicia la cuesta
Calcula la duracioacuten del viaje y el tiempo empleado
Periodicidad
23 La noria
La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos En unos mismos ejes dibuja dos graacuteficas que muestren coacutemo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto
24 Carrusel
La graacutefica muestra la velocidad que alcanza el carrusel de una feria a lo largo de diferentes viajes que realiza
iquestCuaacutento dura cada parada
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
iquestA queacute velocidad va el carrusel
iquestCuaacutento dura cada viaje
iquestEn queacute espacios de tiempo acelera iquestEn cuaacuteles frena
iquestCada cuaacutento tiempo se repite el movimiento del carrusel
iquestqueacute haraacute el carrusel a las dos horas de ponerlo en marcha
25 Eacutestas son las oacuterbitas de dos cometas alrededor del Sol
Esta es la graacutefica que relaciona distancia al Sol con el tiempo en antildeos
El cometa Encke tarda 33 antildeos en dar una vuelta completa y el cometa Tempel2 tarda 53 antildeos
Si el 1 de enero de 1996 coinciden en sus distancias miacutenimas al Sol iquestcuaacutendo volveraacute a repetirse
26 Un elefante en un zoo estaacute indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora Eacutestas son
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
iquestCuaacutendo tiene la temperatura maacutes baja
iquestY maacutes alta
Dibuja una graacutefica que muestre coacutemo cambia su temperatura Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas
27 La capacidad de un depoacutesito es de 300 litros Dispone de dos grifos de vaciado de caudales respectivos 10 lmin y 15 lmin Escribir todas las informaciones que sugiere esta graacutefica
28 Los seis recipientes tienen la misma altura 80 cm y la misma capacidad de 100 litros
Los llenamos sucesivamente utilizando un grifo que vierte 13 de litro por segundo
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Las graacuteficas representan para cada uno de los recipientes la altura de la columna de agua en el recipiente en funcioacuten del tiempo empleado en su llenado Encontrar la curva correspondiente a cada recipiente
29 Dado el perfil de esta carretera dibuja una graacutefica que relaciones velocidad - tiempo para un ciclista normal
30 Un ciclista efectuacutea un circuito La graacutefica de su posicioacuten respecto del punto de partida en funcioacuten del tiempo es
El ciclista corre a 25 Kmh en plano a menor velocidad en subida y maacutes raacutepido en descenso
iquestCuaacutel es la longitud del recorrido
iquestA que distancia se inicia la subida y en queacute minuto
iquestCuaacutendo y a queacute distancia se inicia el descenso
31 El self - service
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Abre a las 14h y cierra a las 15h La cadena sirve a 10 personas por minuto
iquestCuaacutentas personas llegan entre las 14h 10 y las 14h 20
iquestQueacute ocurre a las 14h 5
iquestA queacute hora estaraacute servida una persona que llegue a las 14h 20
iquestA queacute hora llegoacute una persona servida a las 14h 45
iquestCuaacutentas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50
iquestCuaacutentas personas han llegado entre las 14h 45 y las 14h 50
iquestQueacute se puede decir del nuacutemero de personas llegadas entre las 14h 50 y las 15h
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
32 A partir de estas dos graacuteficas obtener el gasto medio por turista y antildeo
33 Unos montantildeeros han hecho el recorrido entre los puntos A B C D y E del plano y quieren saber la distancia real que han andado
Tambieacuten se pide el perfil del terreno del recorrido de los montantildeeros
34 Un tornero de tenis dura 10 diacuteas
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Aquiacute tienes el nuacutemero de asistentes cada diacutea
Dibuja una graacutefica que ilustre los resultados
35 Un paracaidista se lanza de un avioacuten desde una altura de 3000 metros Controlamos su altura cada 20 segundos
Dibuja la graacutefica que relacione la altitud con el tiempo
Obtener aproximadamente su altitud a los 50 seg
iquestAl cabo de cuaacutentos segundos la altitud seraacute de 1800 metros
iquestA partir de queacute altitud y a partir de cuaacutentos segundos la velocidad del paracaiacutedas es constante
36 Sabemos que el alcohol es el responsable del 33 de los accidentes de carretera
La curva siguiente representa el coeficiente c de riesgo de accidente en funcioacuten de la tasa t de alcoholemia (en gl de sangre)
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Por cuaacutento estaacute multiplicado el riesgo de accidente para un conductor si tiene 1 g por litro de alcohol en sangre
Cuaacutel es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40
Comenta el aspecto de la graacutefica El riesgo de accidente iquestes proporcional a t
37 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
Funciones lineales
38 Con una cuerda anudada de 30 cm formamos rectaacutengulos
Completa la tabla
iquestQueacute relacioacuten hay entre base y altura
Dibuja la graacutefica
39 Elabora una tabla y dibuja la graacutefica
y = 1x
y = 2x
y = x2 + 1
40 Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte
El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten Zapatos un 6
Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida
Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
41 Brontosaurio baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
42 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordm C y 7655 cm a 100ordm Ciquestcuaacutel es su longitud a -15ordm C
43 Si toda la produccioacuten se vende completa la graacutefica de abajo
44 Aquiacute tienes una jeringuilla sin marcas
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Calcula el volumen a partir de la altura h
Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su graacutefica
Pon las marcas en la jeringa de 5 cm3 y de 1000 cm3
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Definicioacuten de funciones afines
Actividad de introduccioacuten
Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto
Consideremos los siguientes casos
a Si el volumen inicial del estanque fuera 0 litros
Tiempo (min) 0 1 4 6 t
Volumen (lit) 0 5 20 30 5middott
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el Volumen y el tiempo es V = 5middott
b Si el volumen inicial fuera de 20 litros
Tiempo min 0 1 4 6 t
Volumen lit 20 25 40 50 5middott+20
La foacutermula que expresa la relacioacuten entre el volumen y el tiempo seraacute V = 5middott + 20
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Si el volumen inicial fuera de 5 litros obtendriacuteamos una recta paralela a las anteriores que pasariacutea por (05) y cuya ecuacioacuten seriacutea V = 5middott + 5
iquestQueacute foacutermula corresponderiacutea a esta situacioacuten graacutefica
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Las graacuteficas de las funciones lineales eran rectas que pasaban por el origen de coordenadas su ecuacioacuten era y = amiddotx Como acabamos de ver las graacuteficas de ecuacioacuten y = amiddotx+b son rectas paralelas a la de y = amiddotx que atraviesan al eje de ordenadas a altura b Estas funciones se denominan funciones afines En consecuencia soacutelo se precisan un par de valores para obtener su graacutefica
Una funcioacuten afiacuten es la que tiene por ecuacioacuten y = a middot x + b Al coeficiente a se le llama pendiente y al b ordenada en el origen Su graacutefica es una liacutenea recta
Determinacioacuten de una funcioacuten afiacuten a partir de una tabla
De una funcioacuten afiacuten cuya foacutermula desconocemos soacutelo sabemos las imaacutegenes de los valores 1 5 7 y 10
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Si consideramos aisladamente la tabla de los incrementos de x y de y
)x 4 6 3)y 6 3 45
observamos que se corresponde con una relacioacuten de proporcionalidad directa de razoacuten
Demostraremos que la foacutermula que expresa la funcioacuten tiene por pendiente 15 es decir y = 15middotx + b
Como f(1) = 35 seraacute 35 = 15middot1 + b de donde b = 2 y la foacutermula buscada seriacutea y = 15 x + 2
Veamos que en efecto el coeficiente a es la pendiente
Consideramos dos valores cualesquiera x0 y x1 y sus respectivas imaacutegenes mediante la funcioacuten y = a x + b
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Se tiene que
La pendiente es el cociente entre el incremento de y y de x para dos valores cualesquiera Si la pendiente es positiva la recta sube y si es negativa baja
Actividades
1 Determina la foacutermula de la funcioacuten afiacuten que corresponde a cada caso
a
x 2 5
y -1 8
b
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
c
Servicios de gruacutea
2 Algunas veces se estropea el coche donde menos lo esperas Si dispones de alguacuten seguro de asistencia las cosas resultan maacutes faacuteciles No es nuestro caso por lo que recurrimos a este servicio de gruacuteas que se anuncia en un perioacutedico
Elabora una tabla dibuja la graacutefica y obteacuten la ecuacioacuten que relaciona el precio seguacuten el nordm de km para cada caso
a Turismo fuera de Maacutelaga capital en diacutea laboral
b Turismo fuera de Maacutelaga capital de noche o en diacutea festivo
c Efectuacutea de nuevo los apartados a y b pero para una furgoneta
Electricidad
3 A partir de una experiencia realizado con un aparato eleacutectrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensioacuten e I la intensidad de la corriente eleacutectrica
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
I 1 2 3 5 11 15 16V 193 186 179 165 123 95 88
4 Comprueba si V es funcioacuten afiacuten de I y en tal caso expresar la foacutermula que los relaciona5 La caiacuteda6 En una experiencia de mecaacutenica se obtiene la tabla de valores siguiente donde t indica el tiempo
(en segundos) de la caiacuteda de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t
t 01 02 05 07 1 12 13
d 005 02 125 245 5 72 845
7 iquestLa funcioacuten t v d es afiacuten8 9 Dada la siguiente graacutefica
a iquestSon (50101) y (3365) puntos de la graacutefica
b iquestCuaacuteles son las coordenadas de A y B es decir iquestqueacute punto de la graacutefica tiene de abscisa 3 y queacute punto tiene de ordenada 3
c iquestQueacute punto de la graacutefica tiene abscisa 25 iquestqueacute punto tiene de ordenada 33
d iquestCuaacuteles son las coordenadas de C y D
e El punto (49) estaacute en la graacutefica puesto que 9 = 2middot 4 + 1 Indica cuaacuteles de los siguientes puntos estaacuten por debajo o por encima de la graacutefica (20) (227) y (21391)
f Indica queacute puntos estaacuten a la izquierda o a la derecha de la graacutefica (05) (-335) (125)
g Indica la situacioacuten abajo-arriba izquierda-derecha de los puntos (323259) y (-82141)
h Dado el punto (42) sentildeala el punto de la graacutefica que estaacute en su misma vertical iquestCuaacutel estaacute en la misma horizontal
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
i iquestQueacute punto estaacute en la vertical del 0 iquesty en la horizontal Tiene relacioacuten con el lugar en el que la graacutefica corta a los ejes iquestPor queacute
10 A partir de los datos de la figura obtener la foacutermula que define esta graacutefica
11 Averiguar las coordenadas de A B C y D observando la figura
iquestQueacute se puede decir de las funciones del tipo y = 05x + b con b un nuacutemero cualquiera
12 Halla la funcioacuten representada por la recta roja
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
13 Ordena de mayor a menor los coeficientes a y b de la graacutefica de la figura
Interseccioacuten de graacuteficas
Curvas de oferta y demanda
Un mercado de un producto estaacute formado por vendedores y compradores Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es loacutegico que se tienda a producir maacutes cantidad de producto (hay maacutes oferta) si el precio es menor y se gana menos la produccioacuten del artiacuteculo tambieacuten seraacute menor (hay menos oferta)
De otro lado a maacutes precio menos cantidades compraraacute el consumidor (hay menos demanda) y a menor precio maacutes cantidades se venderaacuten (hay mayor demanda)
Los economistas saben que la relacioacuten entre precio y oferta y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulacioacuten matemaacutetica
Supongamos que tras un anaacutelisis de mercado se llega a la conclusioacuten de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
OFERTA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas de disquetes ofertadas
DEMANDA donde y es el precio en euro y x el nuacutemero de cajas que se demandan
El punto de equilibrio que se corresponde con el corte de ambas graacuteficas es el teacutermino en el que coinciden compradores y vendedores Veamos coacutemo hallarlo
P es un punto de la liacutenea de oferta en consecuencia sus coordenadas verifican su ecuacioacuten
anaacutelogamente por ser P de la graacutefica de demanda tambieacuten se cumple que
Es decir las coordenadas de P son la solucioacuten del sistema determinado por las
ecuaciones de ambas graacuteficas Procediendo por el meacutetodo de igualacioacuten se obtiene P = (2009) El mercado estaraacute estable a un precio de 9 euro
14 Halla el punto donde se cortan las graacuteficas
a
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
b
Actividades de construccioacuten y determinacioacuten de funciones afines
15
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Un motorista parte de Maacutelaga a Granada (120 Km) en el instante t = 0 con una velocidad constante Sea d(t) la distancia (en Km) que separa al motorista de Granada en el instante t (t estaacute medido en horas)
Se sabe que la funcioacuten d t d(t) es una funcioacuten afiacuten con d(0) = 120 y que d(2) = 60
a Representar graacuteficamente d(t) en funcioacuten de t
b Determinar los nuacutemeros a y b tales que d(t) = at + b
c Calcular graacutefica y analiacuteticamente el tiempo empleado por el motorista en llegar a Granada
16 Rally automoviliacutestico
Tres coches A B y C participan en un rally
El coche A empieza en el instante t = 0 h con una velocidad media de 120 Kmh
El coche B parte en el instante t = 1 h con velocidad media de 100 Kmh
El coche C parte en el instante t = 2 h con velocidad media de 120 Kmh
Designamos por dA dB y dC las distancias recorridas por los coches A B y C desde el comienzo de la etapa
a Representar graacuteficamente sobre un mismo dibujo las funciones t dA(t) t dB(t) y tdC(t) (2 cm por 1 hora y 1 cm para 40 Km)
b Obtener dA dB y dC en funcioacuten del tiempo t
c Determinar graacuteficamente y por procedimientos de caacutelculo
d El instante en que C coge a A
e El instante en que C coge a B
f El instante en que B coge a A
h El instante en que C se situacutea a la misma distancia de A y B
17 Peso ideal
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Si x es la altura de una persona en cm el peso teoacuterico en Kg estaacute dado por la foacutermula
a Calcular el peso teoacuterico de un alumno que mide 150 m
b Calcular el peso teoacuterico de un jugador de baloncesto de 210
c Cuaacutel seraacute la talla de una persona cuyo peso teoacuterico es de 65 Kg
d Obtener una tabla y representar graacuteficamente 1 cm por cada 10 cm de talla y 1 cm por cada 10 Kg de peso
e iquestQueacute tipo de funcioacuten es
f Si fuera afiacuten p(x) = ax + b iquestCuaacutento valen a y b Tienes dos opciones
Usa la graacutefica y determina a y b o simplifica el segundo miembro de la foacutermula inicial
g El peso ideal es inferior un 15 al peso teoacuterico Calcula el peso ideal de una persona de peso teoacuterico 70 Kg
h Calcula el peso ideal de una persona de talla 160
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Actividades finales
Problemas sobre la funcioacuten afiacuten
1 Representar graacuteficamente las funciones
a b f(x) = 2x + 3 c
d e f
2 Indicar pendiente y ordenada en el origen de las funciones afines siguientes
a f(x) = 2 - 3x b g(x) = 2(3x-4) c h(x) = 35(x - 1)
3 iquestPertenece el punto A(34) a la graacutefica de la funcioacuten f(x) = x + 1 iquestY B(-5-4) iquestY C(-11)4 Sean los puntos A(-1-1) B(22) y C(-12) Determinar la funcioacuten afiacuten cuya representacioacuten graacutefica
pasa por A y B iquestPertenece C a esta representacioacuten 5 f es una funcioacuten afiacuten definida por f(x) = ax + b Calcular a b y obtener la expresioacuten de f(x) si
a f(2) = 3 y f(1) = 2 b f(3) = 4 y f(-1) = 2 c f(1) = 116 y f(2) = 103
6 Indicar en cada uno de los casos siguientes si son funciones afines o no Si la respuesta es afirmativa precisar los valores de a y b tales que f(x) = ax + b
a b
c d
e f
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
7 Para estos ejercicios decir si representan funciones afines Si la respuesta es afirmativa obtener la foacutermula que las define de entre las indicadas
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
8 Halla la foacutermula que define a estas funciones afines
9 Obtener una funcioacuten afiacuten tal que sea paralela a g(x) = 3x y pase por el punto A(231) 10 He aquiacute dos tablas incompletas de valores de dos funciones afines Compleacutetalas
11 Explica por queacute no existen funciones afines que respondan a estas tablas
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
12 Representar en un mismo dibujo las funciones f y g definidas por f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 5
Resolver mediante las graacuteficas y mediante caacutelculo la ecuacioacuten f(x) = g(x)
13 Repetir el mismo ejercicio con las dos funciones f(x) = -2x + 1 y g(x) = 2x + 5
14 La graacutefica siguiente representa una funcioacuten afiacuten
De estas 4 foacutermulas iquestcuaacutel es la que la define
f(x) = 5x f(x) = -3x + 4 f(x) = 34x + 3 f(x) = - 34x + 3
Dibujar tambieacuten en los ejes anteriores la graacutefica de f(x) = 2x-3
Determinar graacuteficamente el punto M de interseccioacuten de las dos rectas anteriores Calcular las coordenadas exactas de M
15 Sea f(x) = 2x - 1 y g(x) = -x + 3
a Dibuja ambas funciones en unos mismos ejes
b Observa la graacutefica y obteacuten el nuacutemero m que tiene la misma imagen por f y por g
c Encuentra el valor exacto de m (por caacutelculo)
16 Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas 50 cts por bajada de bandera y 40 cts por Km recorrido Obtener el precio p del viaje en funcioacuten del nuacutemero x de kiloacutemetros recorridos
17 Los precios se disparan
El supermercado MASTODONTE aumenta los precios de los artiacuteculos de la seccioacuten ZAPATOS un 6Designamos por x el precio de un artiacuteculo antes del aumento y por y el precio del mismo artiacuteculo despueacutes de la subida Completar la tabla
En unos ejes dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y estaacuten indicadas en la tabla anterior Obtener y en funcioacuten de x
18 BRONTOSAURIO baja precios
Despueacutes de este aumento su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 sobre el precio de los zapatos Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de despueacutes Obtener la funcioacuten que los relaciona
19 El concierto
Para invitar a un concierto a sus amigos Juan tiene dos posibilidades
A Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de 18 euros y pagar las entradas a 7 euros cada una
B Pagar cada entrada a 10 euros
Sea n el nuacutemero de invitados de Juan
Obtener en funcioacuten de n el precio a pagar en los dos casos
Finalmente Juan se presenta al concierto con 7 amigos iquestQueacute solucioacuten habriacutea debido adoptar
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
20 El director de un espectaacuteculo de variedades sabe que si fija el precio de la entrada en 9 euros podraacute contar con 1000 espectadores Por otro lado cada descuento de 06 euros sobre el precio de la entrada repercutiriacutea en 100 espectadores maacutes Sea x el nuacutemero de descuentos de 06 euros
a Obtener en funcioacuten de x el precio P de una entrada el nuacutemero E de espectadores esperados y la recaudacioacuten esperada
b iquestCuaacutel debe ser el precio de una entrada para que la recaudacioacuten sea maacutexima
21 Un artesano debe entregar sus productos en un radio de 350 Km alrededor de su casa Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones
Transportista A 60 cts de euro por Km
Transportista B 45 euros de entrada y 50 cts por Km
Dibujar en unos mismos ejes las graacuteficas de coste para x Km en los dos casos
iquestQueacute transportista es maacutes barato para 20 Km iquestY para 460 Km iquestEn queacute caso cobran lo mismo
22 Preacutestamos de libros
La biblioteca municipal propone tres foacutermulas de preacutestamo a sus lectores
A 40 cts por libro prestado
B Abono anual de 2 euros y de 30 cts por libro
C Abono de 5 euros y 15 cts por libro prestado
a Determinar seguacuten la opcioacuten de preacutestamo el precio por x libros prestados Escribe A(x) B(x) y C(x)
b Representa las funciones A B y C
c Determinar graacuteficamente la foacutermula maacutes ventajosa seguacuten el nuacutemero de libros prestados
23 El pie es una medida de longitud que mide 03048 metros Obtener la medida en metros de una longitud en funcioacuten de su medida en pies
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
24 iexcl Queacute calor
Una temperatura puede ser medida en grados CELSIUS o centiacutegrados (como en Espantildea) en grados FAHRENHEIT (en paiacuteses anglosajones) o en grados KELVIN (unidad utilizada por los cientiacuteficos)
Los cambios de unidades se hacen por mediacioacuten de funciones afines Por ejemplo K = C + 273 donde K y C indican respectivamente una misma temperatura en grados Celsius o en grados Kelvin Asiacute 20o C representa la misma temperatura que 293o K
La siguiente tabla indica la temperatura de fusioacuten de ciertos cuerpos
Obtener F en funcioacuten de C y despueacutes en funcioacuten de K completar la tabla
25 La longitud L de una barra de hierro variacutea con la temperatura t A cada temperatura t corresponde una longitud determinada Esta barra de hierro tiene una longitud de 20 metros cuando la temperatura es de 0ordmC Los fiacutesicos saben que esa longitud L (en metros) a temperatura t (en ordmC) estaacute dada por
L = at + 20 con a = 20middot12middot10-5
a iquestPor queacute la longitud L es funcioacuten afiacuten de la temperatura t
b Calcular la longitud de esta barra de hierro cuando la temperatura sea de -50ordmC 100ordmC y 500ordmC
c Calcular la longitud de la barra cuando la temperatura sea de 2000ordmC Has de saber que el hierro funde a los 1500ordmC por lo que la longitud hallada anteriormente no es real
d Representar graacuteficamente esta funcioacuten afiacuten cuando t variacutea entre -500ordmC y 1500ordmC
26 Consumo de gasolina
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
D Ramoacuten vive en Maacutelaga y D Salvador en S Roque (Caacutediz) La distancia que separa ambas ciudades es de 120 Km Se van a encontrar en un punto M de la carretera que une las ciudades El coche de D Ramoacuten consume 6 litros por Km y el D Salvador 9 litros por Km El problema consiste en calcular la distancia x en kiloacutemetros entre Maacutelaga y el punto M para que los coches consuman la misma cantidad de gasolina
a Explica por queacute la cantidad de gasolina consumida por el coche de D Ramoacuten para ir de Maacutelaga al punto M es una funcioacuten afiacuten
b Iacutedem con D Salvador
c Representar ambas funciones en unos mismos ejes (1 cm por cada 20 Km y 1cm por cada 2 litros)
d Obtener graacuteficamente el valor de x para el que los dos coches consumen la misma cantidad de gasolina iquestCuanto es esa cantidad
e Obtener los resultados mediante caacutelculo
27 Un ciclomotor una moto y un coche efectuacutean el mismo trayecto desde A hasta B distantes 100 Km
Llamamos c(t) m(t) y a(t) a las distancias (en Km) recorridas por el ciclomotor la moto y el coche en el tiempo t (en horas)
a Obtener c(t) m(t) y a(t) en funcioacuten de t
b Dibujar en unos mismos ejes las funciones anteriores
c iquestA queacute hora la moto doblaraacute al ciclo (Comprobar con caacutelculo)
d En queacute intervalo de tiempo el coche estaraacute entre el ciclo y la moto
28 De aacutereas
Obtener el aacuterea sombreada A en funcioacuten de x
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
29 Llenado de una piscina
Una piscina de fondo plano tiene forma de un rectaacutengulo Sus dimensiones son 160 de alto por 5 m de largo por 10 metros de ancho Durante el invierno el agua es conservada con productos especiales a una altura de 110 metros En el mes de junio la llenamos con la ayuda de una manguera cuyo caudal es de 1200 litros por hora Llamamos f(x) a la altura total del agua al cabo de x horas de llenado
a Obtener f(x) en funcioacuten x y comprobar que es afiacuten
b iquestEn cuaacutento tiempo llenaraacutes la piscina
c Dibujar la funcioacuten f Explicar coacutemo se puede encontrar graacuteficamente un valor aproximado al resultado anterior
30 Una sala de fiestas tiene la forma indicada en este plano
Una pared moacutevil representada por el segmento MN permite reducir la superficie de la sala Las rectas MN y AB son paralelas
1) Decoracioacuten mural A fin de decorar las paredes de la sala el organizador desea conocer el periacutemetro del poliacutegono MNCEFGHD La unidad de longitud es un metro
Notamos por x la longitud AM (con ) y por f(x) este periacutemetro
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a Calcula f(0) y f(50)
b Obtener f(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
c Leer aproximadamente un valor del periacutemetro f(x) cuando M esteacute en la mitad del segmento AD
2) Calefaccioacuten de la sala El organizador desea conocer el volumen de la sala para calentarla mejor El techo estaacute a una altura de 3 metros Notamos g(x) al volumen de la sal en m3
d Obtener g(x) en funcioacuten de x y comprobar que es una funcioacuten afiacuten
e Dibujar en unos ejes la funcioacuten g (1cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m3 en ordenadas)
f El organizador decide alquilar material de calefaccioacuten suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m3 Utilizando la graacutefica anterior encontrar aproximadamente los valores de x para los que el material de calefaccioacuten suplementario seraacute necesario
31 ABCD es un trapecio rectaacutengulo (A= 90deg y D = 90deg) Ademaacutes AB = 4 CD = 6 y AD = 5 M es un punto del segmento AD Llamamos x = AM en cm
a iquestCuaacuteles son los valores posibles de x
b iquestPor queacute el aacuterea ABM es una funcioacuten afiacuten de x
c Iacutedem con MCD
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
d Iacutedem con BMC
e En unos mismos ejes representar las tres funciones
f Obtener graacuteficamente para cada caso el valor de x tal que
1 Los triaacutengulos ABM y MCD tienen el mismo aacuterea
2 Los triaacutengulos BMC y MCD tienen el mismo aacuterea
3 iquestEs posible que ABM y BMC tengan el mismo aacuterea
g Obtener los resultados por caacutelculo
32 El radio del ciacuterculo exterior es de 1 cm
a Obtener el aacuterea A(x) de la parte coloreada en funcioacuten de x
b Representa graacuteficamente A(x)
c Determina graacuteficamente para queacute valor de x el aacuterea A(x) es igual a la cuarta parte del aacuterea del circulo exterior
33 El espacio muerto de un coche o camioacuten es la distancia entre la base del coche o camioacuten y el suelo
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Hay una foacutermula para el espacio muerto Esta es
e = 40 - (w 10)
donde e es el espacio muerto en cm y w es el peso del vehiacuteculo en Kg
a Completa la tabla
b Dibuja en unos ejes los valores de w y e de la tabla Dibuja una recta que una estos puntos
c Usa la graacutefica para buscar e cuando w = 180
d iquestCuaacutento vale e si w = 360
e iquestCuaacutel es le valor de w cuando e = 0 iquestQueacute le ocurre al coche entonces
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
f Cuando el espacio muerto es de 12cm iquestqueacute peso soporta el coche
34 Para esta furgoneta la foacutermula del espacio muerto es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca e cuando w = 200
b Iacutedem con w = 360
c iquestCuaacutel es el espacio cuando la carga soportada es de 600 Kg
d Si la furgoneta lleva un peso de 500 Kg iquestpodraacute descargar sobre una acera de 15 cm de altura
e iquestQueacute sucede si la furgoneta se carga con 1000 Kg
35 El dibujo de la derecha muestra un gato para levantar coches
La altura h del gato (en cm) depende del nuacutemero n de vueltas con el mango
La foacutermula es
Dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas
a Busca h cuando n = 20
b Iacutedem para n = 30 n = 25 n = 15 n = 0 y n = 1
36 A nivel del suelo el agua hierve a 100ordmC
La temperatura a la que el agua hierve se llama punto de ebullicioacuten
Si tuacute subes a una montantildea el punto de ebullicioacuten cambia
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
La foacutermula para el punto de ebullicioacuten es donde p es el punto de ebullicioacuten (en ordmC) y h es la altura (en pies)
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica (una recta)
b Cuaacutel es el punto de ebullicioacuten cuando h = 2000
c iquestY si fueran 10000 pies
d El monte Everest tiene cerca de 30000 pies de altura iquestA queacute temperatura herviraacute alliacute el agua
37 Si tuacute profundizas en el interior de la tierra la temperatura aumenta La temperatura en las
profundidades estaacute dada por la foacutermula donde t es la temperatura en ordmC y p es la profundidad en metros desde la superficie
a Obteacuten una tabla y dibuja la graacutefica
b iquestCuaacutento es t si p = 600
c iquestCuaacutel es la temperatura a 1000 m de profundidad
d iquestCuaacutel es la temperatura a 2000 m de la superficie
e La profundidad de una mina es de 3500 m iquestQueacute temperatura tendraacute
38 El valor de uno de los aacutengulos de un poliacutegono regular depende del nuacutemero de caras que tenga el poliacutegono
La foacutermula para el aacutengulo es
a es el aacutengulo en grados y n el nuacutemero de lados
a Usa la foacutermula para buscar a cuando n = 6
b iquestCuaacutento vale a si n = 10
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
c Obteacuten una tabla dibuja la graacutefica y responde con ella a las preguntas anteriores
d iquestCuaacutel es la amplitud de cada aacutengulo en un poliacutegono regular de 20 lados
39 La dilatacioacuten de una barra metaacutelica es proporcional al aumento de temperatura que ella soporta Su longitud es 764 cm a 20ordmC y 7655 cm a 100ordmCiquestcuaacutel es su longitud a -15ordmC
40 Cuando un quiacutemico antildeade hidroacutexido de sodio (o sosa caacuteustica) al agua eacutesta se calienta
La foacutermula para obtener la temperatura del agua es t = 24 + 8m
t es la temperatura en grados ordmC m es la cantidad de sosa antildeadida en Kg
a Completa esta tabla
m 0 1 2 3 4 5 6 7t 24
b Dibuja unos ejes m en el eje vertical desde 0 hasta 10 y t en el horizontal desde 0 hasta 100 Dibuja los puntos de tu tabla y uacutenelos
c Usa la graacutefica para hallar el valor de t cuando m = 25
d iquestCuaacutento hidroacutexido de sodio es necesario para llevar la temperatura del agua a 76ordmC
e iquestCuaacutel seraacute la temperatura resultante de antildeadir 15 Kg de sosa caacuteustica
f Usa una regla para prolongar la recta iquestCuaacutento vale t si m = 85
g iquestCuaacutel es el valor utilizando la graacutefica iquestY la foacutermula
h iquest Por queacute no es necesario extender el graacutefico cuando t = 100ordmC
41 Buscar entre las figuras siguientes aquellas cuya aacuterea sea una funcioacuten afiacuten de a o una funcioacuten lineal de a
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
42 Un paseante vuelve a su casa a 1 Km de distancia a una velocidad de 6 Kmh Su perro corre delante de eacutel a 18 Kmh llega a la casa y vuelve hacia sus amo y comienza de nuevo su va y viene hasta que el amo llega a la casa Representar graacuteficamente la distancia entre paseante y su casa en funcioacuten del tiempo y la distancia entre el perro y la casa iquestcuaacutel es la distancia recorrida por el perro
43 En pruebas de una dieta experimental para gallinas se determinoacute que el peso medio P (en gramos) de una gallina fue seguacuten las estadiacutesticas una funcioacuten lineal del nuacutemero de diacuteas d despueacutes de que
se inicioacute la dieta donde Supongamos que el peso medio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 diacuteas despueacutes fue de 675 gramos
a Determinar P como una funcioacuten lineal de d
b Determinar el peso medio de una gallina cuando d = 10
44 Dos ciudades A y B distan 90 Km A las 10h Vicente sale de A en su bicicleta para B a una velocidad media de 24 Kmh Luis efectuacutea el mismo trayecto pero sale a las 1130h en moto a una velocidad media de 45 Kmh Finalmente Marta deja B a las 10h 20 y al volante de su coche se dirige hacia A a una velocidad de 90 Kmh
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a Representa graacuteficamente las funciones que para cada uno de ellos relaciona distancia de B a A con el nuacutemero de horas
b iquestSe cruzan Marta y Luis
c iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Luis a Vicente
d iquestA queacute distancia y a queacute hora alcanzaraacute Marta a Vicente
45 Un paciente con caacutencer recibiraacute terapias mediante faacutermacos y radiacioacuten Cada centiacutemetro cuacutebico de medicamento que se usaraacute contiene 200 unidades curativas y cada minuto de exposicioacuten a la radiacioacuten proporciona 300 unidades curativas El paciente requiere 2400 unidades curativas Si se administran d centiacutemetros cuacutebicos de la droga y r minutos de radiacioacuten determinar una ecuacioacuten que relacione d y r
46 Para regular su temperatura en relacioacuten con el calor ambiental las ovejas aumentan su ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en cm) disminuye Una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo respiratorio de 160 y otra con una longitud de lana de 4 cm tiene un ritmo de 125 Si la relacioacuten de r y l es lineal
a Determina una ecuacioacuten que relacione r con l
b Determina el ritmo respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm
47 Unos bioacutelogos americanos han encontrado que el nuacutemero de chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie estaacute relacionados con la temperatura La relacioacuten es casi lineal A 68ordmF los chirridos de los grillos son casi 124 por minuto mientras que a 80ordmF son alrededor de 172 por minuto
a Determina una ecuacioacuten que de la temperatura Fahrenheit t en funcioacuten del nuacutemero c de chirridos por minuto
b Si se cuenta los chirridos en soacutelo 15 segundos iquestcoacutemo puede estimarse raacutepidamente la temperatura
48 Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es reducida la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por minuto) disminuye Bajo condiciones de laboratorio un gato a una temperatura de 37ordmC tuvo una frecuencia cardiaca de 220 y a una temperatura de 32ordmC una frecuencia cardiaca de 150 Si r estaacute relacionada linealmente con T en donde T estaacute entre 26 y 238
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
a Determina una ecuacioacuten para r en funcioacuten de T
b Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28ordmC
REVISTA
Aquiles y la tortuga
El griego Zenoacuten de Elea pensaba que el formidable guerrero Aquiles no podriacutea jamaacutes atrapar a una tortuga que estuviera a una cierta distancia de eacutel Zenoacuten lo justificaba asiacute
Supongamos que la tortuga se encuentra a 900 metros de Aquiles y recorre 20 metros por minuto mientras que Aquiles recorre 300 metros por minuto
euro Cuando Aquiles avance 900 metros la tortuga habraacute avanzado 60 metros
euro Cuando eacutel avance 60 metros ella habraacute recorrido 4 metros
euro Cuando eacutel avance 4 metros ella habraacute recorrido 27 cm
euro Cuando eacutel avance 27 cm ella habraacute recorrido 18 cm
euro Y asiacute sucesivamente
Puesto que cuando Aquiles avanza la tortuga tambieacuten Zenoacuten concluiacutea que iexclAquiles jamaacutes atrapariacutea a la tortuga
Con la ayuda de funciones afines vamos a terminar con este misterio
La relacioacuten existente entre la distancia d (en metros) recorrida por Aquiles y el tiempo t (en minutos) pasado desde su partida seraacute d = 300t
La relacioacuten entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido seraacute d = 900 + 20t
Si representamos estas dos funciones en los mismos ejes
Queremos saber a queacute distancia y al cabo de cuaacutento tiempo Aquiles atraparaacute a la tortuga
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos
Cuando la atrape la distancia a la que estaraacuten la tortuga y Aquiles del punto de partida seraacute la misma Por tanto se verificaraacute
300t = 900 + 20t
que nos da un valor para t de 321 min
En consecuencia Aquiles y la tortuga se encontraraacuten a 96428 m del punto de partida de Aquiles
Un hijo maacutes viejo que su padre
El fiacutesico Albert Einstein proboacute en 1920 que le tiempo no pasaba siempre de forma ideacutentica
Unos astronautas que viajaran en una nave espacial con una velocidad proacutexima a la de la luz digamos 250000 Km envejeceriacutean menos raacutepido con respecto a sus amigos que quedaron en la Tierra Si A es su edad al partir si t es el tiempo que pasa en la Tierra y si Av es la edad de los viajeros se tiene la relacioacuten Av = 03t + A
Uno de ellos parte en el antildeo 2000 con una edad de 20 antildeos
iquestQueacute edad tendraacute en el 2010 en 2020
iquestEn queacute fecha tendraacute 25 antildeos
Ha dejado un hijo recieacuten nacido iquestQueacute edad tendraacute el hijo cuando el padre alcance los 30 antildeos