SUDOKUS

1

La tontería es infinitamente más fascinante que la inteligencia. La inteligencia tiene sus límites, la

tontería no.

¿CUÁL ES TU LÍMITE?

Diciembre 2005 By DAVILOVIC

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Consejos para resolver Sudokus

Rellena la matriz de modo que: cada fila, cada columna y cada caja de 3x3 contenga los números del 1 al 9.Aquí van algunos de los primeros y más triviales consejos para principiantes:

(1a) Utiliza lápiz y goma de borrar – Algunas veces te equivocarás y cuando eso suceda tendrás que «retroceder movimientos» o, normalmente, borrar el puzzle entero y empezar de nuevo. El bolígrafo no es buen amigo, aunque hay quien prefiere usar bolígrafo para marcar los números de los que está absolutamente seguro que están bien y lápiz para los «no tan seguros».

(1b) Un Sudoku tiene una única solución - Teniendo esto en cuenta parece claro que cada número que descubras para cada casilla deberá ser uno y solamente uno entre todos los posibles. Cada paso puede deducirse por pura lógica, y todos esos pasos llevan a una única solución. Sólo debes marcar como buenos los números que sean los únicos posibles en cada casilla: si en alguna casilla pueden ir dos o tres números, examina las demás y vuelve a esa más adelante.

(1c) Empieza por los números más frecuentes – Suele ser más fácil adivinar los números que faltan cuantos más números iguales de un mismo valor haya. Si lo piensas, cuando haya ocho números iguales repartidos por el tablero, la posición del noveno será casi trivial: la casilla intersección de la fila y columna en las que no está ese número.

(1d) Empieza utilizando un método de eliminación - Puedes eliminar números de las casillas o casillas para un número. Por ejemplo, examina las casillas eliminando para ella los números del 1 al 9 que ya están en esa fila

28

y columna y por tanto «no pueden ir ahí», hasta quedarte sólo con uno. Ese será el correcto. El otro sistema que usa mucha gente es eliminar las casillas de cada región, fijándose en las cifras que hay por toda la matriz y haciendo un «barrido» que «oscurece» o pone «cruces» a las casillas en donde no puede cierta cifra. Entonces, cuando hay un hueco libre en una sola casilla de una región, ahí es donde debe ir esa cifra.

(1e) Al eliminar números, recuerda usar también las regiones cuadradas - No te fijes sólo en las filas y columnas que cruzan cada casilla. Tampoco puede haber en una casilla ningún número que ya esté repetido en el mismo cuadrado (región). De hecho, fijarse primero en las regiones suele ayudar a eliminar números más rápidamente incluso: un número «elimina» hasta tres posibles huecos en la misma región (de una fila o una columna).

(1f) Escribe números «pequeñitos» para ayudarte – Hay gente que resuelve los Sodokus escribiendo los «números posibles» de cada casilla en pequeñito, en una esquina (y en grande en el centro los correctos). A medida que se pueden descartar esos «números pequeñitos», los van borrando. Cuando sólo queda uno, ese es el correcto. Esto a veces ayuda a descubrir números que habías pasado por alto o a ver otras pautas que ayudan a encontrar la solución.

(1g) Empieza por los Sodokus de nivel muy fácil o fácil – Si empiezas por los difíciles o diabólicos puede resultar muy frustrante, y hacer los Sudokus tiene que ser divertido. Practica con los fáciles que ya aprenderás para los más complicados.

(1h) Una vez que hayas terminado, haz un repaso rápido para comprobar que todo está bien – Haz una revisión contando números por orden en filas, columnas y regiones. A veces se cuela un pequeño error y el Sudoku parece resuelto pero en realidad está mal.

Próximamente, la segunda parte con más trucos y consejos prácticos. Intentaré que además haya diagramas, porque resulta mucho más fácil.

Eliminación por filas y columnas

La forma más sencilla de comenzar a resolver un Sudoku es el de eliminación. Se van eliminando casillas, o números, hasta quedarse con una única opción (número) para una casilla. Esa será la solución correcta para esa casilla, dado que el Sudoku sólo tiene una posible solución.

(2a) Este diagrama muestra en la primera región un montón de huecos para muchos números posibles, excepto el 3 y el 4 que ya están colocados. Los dos números 1 que hay en las otras dos regiones permiten deducir dónde debe ir el 1 que corresponde a la primera región (en cada región deben ir todos los números posibles).

El truco es eliminar mentalmente el número 1 de las dos filas en las que ya están los otros números 1. Hay gente que lo imagina «oscureciendo» las casillas o poniendo pequeñas cruces.

Ahora se puede ver fácilmente que sólo hay una posición para el número 1 en la primera región.

Esta técnica se puede utilizar por filas o por columnas, y es una de las primeras que hay que probar en cuanto hay suficientes números iguales en regiones que están juntas.

29

(2b) También se pueden combinar filas y columnas para eliminar más casillas y localizar huecos para números posibles, como en este otro diagrama:

Los diversos 2 que hay en varias regiones (marcados con el círculo) «eliminan» otros posibles 2 de sus mismas filas y columnas. Tras esa eliminación en la primera región solo queda una casilla, que indica donde va por lógica el número 2 de esa región.

Una forma habitual de comenzar a resolver el Sudoku es utilizar esta técnica de eliminación. Se suele empezar por los números más frecuentes o que más aparecen, aunque también se puede hacer por orden: primero los 1, luego los 2, etc. Se comienza a revisar uno por uno desde la posición de cada uno de los números ya resueltos (llamados «pistas»). Se van trazando en vertical y horizontal los sombreados de eliminación («aquí no puede ir») mientras se hace lo mismo con los otros números iguales al que se está examinando. Las casillas únicas que queden libres en cada región son los sitios donde va ese número. Hay que tener únicamente cuidado para no poner un número en una región en la que ya exista ese mismo número. Importante: una vez añadido un número, eso abre nuevas posibilidades para deducir ese mismo número en otras regiones, porque «elimina» nuevas casillas. Si se está utilizando este sistema de eliminación mediante repaso de los números uno por uno, conviene empezar de nuevo por el número recién descubierto.

Notación: tanto en estos diagramas como en los siguientes de esta mini-serie sobre resolver Sudokus voy a intentar utilizar siempre la misma «notación» para indicar los pasos lógicos a seguir: con un círculo se marcan los números en los que hay que fijarse en un razonamiento dado. Las zonas grises indican zonas sobre las que se razona, por ejemplo «ahí no pueden ir esos números» (los de los círculos). Los números en negativo (cuadrados negros) indican la solución para una casilla dada. Esta notación es la misma del libro Los mejores Sudokus de Agustín Fonseca, que resulta bastante práctica porque permite incluir mucha información en un solo diagrama.

Eliminación por regiones

Además de eliminar números posibles por filas y columnas la eliminación de números por regiones es una técnica que resulta muy poderosa cuando por la situación de los números se puede utilizar.

(3a) Por ejemplo, este diagrama parcial tiene una primera fila en la que faltan cuatro números por situar todavía, además de muchos otros en esas regiones:

En concreto faltan por situar los números 3, 5, 6, 8 en la primera fila. Pero no está claro en qué orden. No parece haber muchas más pistas sobre cuál debe ir en cada lugar.

30

(3b) Pero resulta que el número 3 solitario que está en la primera región permite deducir que el 3 no puede ir en ninguna de las primeras tres casillas de esa fila, de modo que sólo queda una casilla posible para el 3 en la primera fila: la última de todas. No se sabe todavía dónde irán el 5, 6 y 8, pero al menos se ha podido colocar el 3 en su lugar.

Esta técnica muestra cómo a veces se pueden deducir números en posiciones «a mucha distancia» de los números que facilitan las pistas para deducirlos. También enseña cómo a veces un solo número elimina muchas posibles posiciones (en este caso tres) para otro, en una fila o columna que cruza su región.

Números que faltan

Otra forma de resolver poco a poco el Sudoku es ver qué números «faltan» en las diferentes casillas, teniendo en cuenta que no puede ser ningún número de los que ya estén en la misma fila, columna o región. Este sistema funciona bien porque es fácil visualizar qué números «faltan» en una fila o columna de un vistazo rápido, especialmente cuando sólo faltan uno, dos o incluso tres números.

(4a) En este diagrama parcial hay un hueco en la primera región y otro en la segunda fila.

(4b) En la primera región faltaba el número 5. El hueco de la segunda fila estaba reservado para el número que faltaba, el 6.

Los huecos únicos que hay en filas o columnas saltan a la vista muy rápidamente y sólo hay que revisar los números para adivinar cuál falta. También los huecos únicos en las regiones cuadradas son fáciles de descubrir.

(4c) En este diagrama más complicado se puede ver una fila casi completa, la segunda, en la que faltan tres números. Revisando los que ya hay en esa fila se descubre que son 7 4 9, pero a primera vista no está claro en dónde debería ir cada uno.

(4d) Utilizando la eliminación por filas o columnas de uno de los números que falta, el 9, del que hay varios en otras regiones, se pueden eliminar dos de las tres casillas vacías de esa fila. De modo que sólo queda un lugar posible para situar ese 9.

31

(4e) Ahora sólo quedan los números 7 y 4 en esa fila. Del mismo modo que antes, resulta que hay un 7 en otra región que elimina un posible 7 de la casilla de la misma columna de esa fila. Así que por lógica el 7 sólo puede ir en la otra casilla, que queda libre.

(4f) Finalmente el 4 restante completa toda la fila con los números del 1 al 9.

Este sistema de buscar los «números que faltan» en cada casilla, sobre todo en filas o columnas en las que quedan pocos números posibles (dos, tres o cuatro), ayudándose de otros números de otras regiones, suele dar muy buenos resultados.

Nota: Como suele suceder, habría otra forma de resolver el ejemplo (4c), razonando que en la primera casilla sólo podría ir el 4 porque el 7 y el 9 ya están en esa misma columna (uno arriba y otro abajo) y no podrían ir ahí de ninguna manera. Luego se podrían situar el 9 y el 7 en las otras casillas por eliminación. Esta otra forma de buscar «valores en los cruces» de filas y columnas es también muy poderosa y se explicará con más detalle más adelante.

Casillas en cruces de filas y columnas

Hay un método bastante básico pero efectivo para localizar algunos números rebeldes que no se descubren empleando los métodos de eliminación. A falta de una denominación estándar podría llamarse «casillas que hay en cruces de filas, columnas», o simplemente «cruces». Consiste en fijarse en una casilla que esté situada en un cruce de filas y columnas en las que haya muchos números y comprobarlos todos por orden, del 1 al 9, observando cuáles no pueden ser porque ya están en esas filas o columnas, para ver si con un poco de suerte sólo queda uno.

(5a) En este diagrama diseñado al efecto se puede ver que hay una casilla en el cruce (intersección) de dos filas y columnas donde hay bastantes números. En realidad todas las filas y columnas tienen cruces, pero sólo hay que fijarse en las abundan los números. Partiendo de esa casilla basta revisar todos los números de esa fila y esa columna y adivinar cuál es el número que falta, que por tanto es el único que puede ir ahí: en este caso el 9.

32

(Como curiosidad de este ejemplo: una vez puesto el 9 puede deducirse también donde van el 5 y el 6 de esa misma fila).

(5b) Este otro ejemplo es más complicado, porque proviene de un Sudoku real, aunque para simplificar sólo se ven los números que interesan para esta técnica. Es difícil de un solo vistazo darse cuenta de que se puede deducir un número a partir de los que hay en el tablero, parecen muy pocos y muy dispersos.

(5c) Sin embargo, basta fijarse en la casilla objetivo, la que está en el cruce de la fila central y la columna de la derecha. Esa es la casilla a comprobar. Numerando por orden rápidamente los ya existentes se ven 1 2 4 9 en la fila y el 7 8 en la columna. Por tanto podría ser cualquiera del grupo 3 5 6. Pero observando la región en que está la casilla «cruce» se observa que el 5 y 6 ya están allí, de modo que sólo queda uno posible, que es la solución: el 3.

Es muy importante al llevar la cuenta de todos los números ya existentes que afectan a los candidatos de una casilla «cruce» fijarse en los de las filas como las columnas como en los de la misma región, como en este ejemplo.

Utilizando esta técnica cuando hay suficientes números es fácil que en muchas casillas sólo quede un número posible, con lo que se pueden avanzar pasos hacia la solución final.

33

Parejas de números

Nota: la versión original de este consejo #6 empleaba un tablero algo confuso, de modo que se ha cambiado completamente por otro con un ejemplo más adecuado.

Este truco se puede utilizar con bastante frecuencia y permite llevar los razonamientos lógicos un poquito más allá para descubrir la posición de nuevos números en el tablero de una forma realmente peculiar. Se basa en encontrar números posibles «emparejados», normalmente en la misma fila o columna.

(6a) En este diagrama faltan bastantes números. A primera vista en la primera región habría que situar los números 4 7 8, pero cada uno pueden tener al menos dos posiciones posibles. Nada que hacer de momento. En la región intermedia izquierda faltan seis números: 1 2 3 4 7 8 y los cruces de números con las otras regiones tampoco parecen ayudar mucho aunque hay algunas eliminaciones. En la región inferior faltan también cinco números. Demasiados. Y no hay métodos de eliminación directa que sirvan en este caso. ¿Se puede deducir la posición de algún número más en esas regiones teniendo en cuenta únicamente los que se ven en el tablero?

(6b) Para seguir la pista a todos esos números «posibles» en cada casilla se suelen escribir con lápiz, en pequeñito, los dígitos correspondientes. Aunque cada persona lo hace de forma diferente, una forma es la que muestra la imagen. A partir de la eliminación de algunas casillas de las misma fila o columna, con los números 2 y 3 se escribe 23 en la primera casilla y 23 en la segunda. Eso quiere decir que en esas casillas pueden ir el 2 o el 3, pero no está claro en qué orden. (Hay quien escribe 23/32, o bien emplea pequeños puntitos en las posiciones, o utiliza un lápiz de otro color.)

34

El truco para las parejas de números, explicado como una regla, es el siguiente: Dos números posibles en pareja que estén en dos únicas casillas en la misma fila, columna o región, se comportan de modo que se pueden eliminar esos números de todas las demás casillas de esa fila, columna o región, aunque no se sepa exactamente todavía dónde va cada uno de ellos. La razón para esto es la siguiente: si son dos números y sólo hay dos sitios posibles (aunque no se sepa en qué orden) no puede ir ningún otro número distinto en esas casillas. Si en la primera casilla resultara ir otro número distinto a los de la pareja, entonces el primero de los números de la pareja se podría colocar en la segunda casilla, pero faltaría una casilla más para el segundo número – y como esos dos números sólo eran posibles esas dos casillas, se llegaría a una cotradicción.

De cara a los razonamientos, esas dos casillas se comportan casi como una (la «casilla de la pareja») y por eso si además las casillas están en la misma fila o columna se pueden eliminar esos mismos números individuales de todas las demás casillas de esa fila/columna (si forman fila, los de la fila, si forman columna, los de la columna). La única condición es que sean una pareja de dos números y estén en sólo dos casillas.

Nota: Esta técnica también funciona con tríos de números, empleándose el mismo razonamiento, incluso si alguno de los tríos está incompleto, como también ha apuntado un lector en los comentarios.

En esa misma región del diagrama 6b se podrían haber escrito más números posibles. Por ejemplo las casillas de la columna de la izquierda podrían llevar todas el 148 porque esos números también faltan en esa región. Y donde se ha escrito 23/23 se podría haber escrito 23478/23478, pero según la regla 4, 7 y 8 son innecesarios porque 23 es la pareja correcta para esas dos casillas (cualquier pareja formada por 4, 7 y 8 no lo sería porque también son posibles en otras muchas casillas, no sólo en esas dos, de modo que no cumplen la regla).

(6c) Utilizando la regla de las parejas se puede considerar que en las dos casillas marcadas van el 2 y el 3 aunque no se sepa en qué orden. Esto permite por ejemplo trazar con ellos una línea vertical hacia abajo para eliminar unas cuantas casillas de la región inferior. Como además hay un 3 a la derecha que facilita la eliminación de otra casilla, resulta que se puede poner un 3 en la casilla central

35

Como puede verse, el efecto de esta técnica es realmente curioso: se ha colocado un 3 en la última región sin que se sepa realmente hasta más adelante dónde va situado el 3 de la región intermedia, que es el que ha ayudado a eliminar las otras opciones.

(6d) Aprovechando de nuevo la formación de la pareja 23/23 de la región central se puede observar que el 7 de abajo elimina varias de las casillas de la región central, y se puede situar allí también un 7 como definitivo.

Esto demuestra por qué esta técnica es tan poderosa: ha permitido incluso situar un número en una región donde apenas había ninguno, con solo otro número de ayuda y sin siquiera conocer con exactitud dónde van los componentes de la pareja que sirve de guía.

Importante: A veces la fila, columna o región donde está la pareja sólo tiene otra casilla libre (hay tres en total). En ese caso se deduce directamente cuál es el número que falta, el «tercero en discordia» porque de los tres posibles los dos primeros (aunque no se conozca el orden) tendrás sus casillas emparejadas, de las que no pueden escapar.

Las parejas de números no sirven para hacer barridos de eliminación por filas o columnas cuando las casillas de la pareja no están situadas en la misma fila/columna (en diagonal). En ese caso sólo sirven para eliminar otros números posibles de la misma región, lo cual no obstante también puede ser útil. Cuando están en la posición adecuada, eliminan muchas más casillas posibles y ayudan a encontrar más números.

36