Modul 4

Modul 4. Karnaugh Map

Selain menggunakan aljabar Boolean, penyederhanaan fungsi logika (logic function) dapat juga menggunakan Karnaugh Map maupun Tabulasi. Modul ini hanya menjelaskan penyederhanaan dengan Karnaugh Map atau K-Map.

Aturan umum dalam penyederhanaan yang menggunakan K-Map adalah :

1. Semua 1 harus masuk dalam kelompok.

2. Khusus d atau dont care, boleh dibiarkan tidak masuk dalam kelompok, tetapi boleh juga dimasukkan dalam kelompok.

3. Jumlah anggota kelompok harus bilangan pangkat 2, yaitu 1 atau 20, 2, 4, 8, dst

4. Anggota kelompok boleh tidak bersebelahan, tetapi tidak boleh miring walaupun bersebelahan, lihat contoh.

5. Makin banyak anggota kelompok, makin sederhana gerbang yang mewakilinya.

6. Untuk menghindari glitch, pulsa sempit yang tidak diinginkan dan biasanya terkait error, sebaiknya seluruh kelompok saling terhubung.

4.1. K-Map untuk 2 variabel.

Untuk fungsi Boolean 2 variabel, yaitu x dan y, bentuk K-Map adalah seperti berikut ini,

Gambar 4.1. K-map untuk 2 variable, yaitu x dan y.

Pada K-Map tsb terdapat 4 kotak yang dapat diisi angka 0, 1, atau dont care. Jumlah kotak tsb sesuai dengan kemungkinan kombinasi biner dari 2 variabel tadi. Berikut ini adalah contoh mengisi K-Map yang terkait dengan persamaan Boolean

F = xy + xy + xy atau F(x,y) = (0,1,3).

Tabel 4.1. F(x,y) = (0,1,3)

NoINPUTOUTPUT

xyF

0001

1011

2100

3111

Gambar 4.2. Tabel dan K-Map untuk F = xy + xy + xy atau F(x,y) = (0,1,3).Seperti tampak pada gambar 4.2, dari 4 kotak dalam K-Map, hanya kotak 2 yang tidak terisi angka 1. Setelah dikelompokkan, 3 angka 1 tersebut menghasilkan 2 kelompok, kelompok pertama sesuai dengan fungsi Boolean x karena memenuhi baris x = 0, sedangkan kelompok kedua sesuai dengan fungsi Boolean y karena memenuhi kolom y = 1. Sehingga hasil penyederhanaannya adalah

F = xy + xy + xy = x + y4.2. K-Map untuk 3 variabel.

Untuk fungsi Boolean 3 variabel, yaitu x, y dan z, bentuk K-Map adalah seperti berikut ini,

Gambar 4.3. K-map untuk 3 variable, yaitu x, y dan z.

Pada K-Map tsb terdapat 8 kotak yang dapat diisi angka 0, 1, atau dont care. Jumlah kotak tsb sesuai dengan kemungkinan kombinasi biner dari 3 variabel tadi. Tabel 4.2 dan gambar 4.4 memperlihatkan contoh penyederhanaan dengan K-Map.

Contoh (a) untuk persamaan Boolean F(x,y,z) = (0,1,2,3). Hasilnya F = x.Contoh (b) untuk persamaan Boolean F(x,y,z) = (1,3,5,7). Hasilnya F = z.Contoh (c) untuk persamaan Boolean F(x,y,z) = (0,2,4,6). Hasilnya F = z.Contoh (d) untuk persamaan Boolean F(x,y,z) = (0,1,3,5). Hasilnya F = xy + xz + yz.Tabel 4.2. Beberapa tabel kebenaran untuk K-Map 3 variabel.

(a)(b)(c)(d)

NoxyzFNoxyzFNoxyzFNoxyzF

00001000000000100001

10011100111001010011

20101201002010120100

30111301113011030111

41000410004100141000

51010510115101051011

61100611006110161100

71110711117111071110

(a)(b)

(c)(d)

Gambar 4.4. Beberapa K-Map untuk 3 variabel.4.3. K-Map untuk 4 variabel.

Gambar 4.5. K-Map untuk 4 variable, yaitu w, x, y dan z.

Tabel 4.3. (a) F(w,x,y,z) = (1,5,9,13) dan (b) F(w,x,y,z) = (0,2,8,10)NowxyzFNowxyzFNowxyzFNowxyzF

000000810000000001810001

100011910011100010910010

20010010101002001011010101

30011011101103001101110110

40100012110004010001211000

50101113110115010101311010

60110014111006011001411100

70111015111107011101511110

Gambar 4.6. K-map untuk 4 variable, yaitu w, x, y dan z.

Sebelum disederhanakan, fungsi Boolean

F(w,x,y,z) = (1,5,9,13) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz

harus direalisasikan dengan 4 gerbang AND 4-input, 1 gerbang OR 4-input dan 8 gerbang NOT.

Begitu pula fungsi Boolean F(w,x,y,z) = (0,2,8,10), perlu banyak gerbang untuk merealisasikannya. Tetapi setelah penyederhanaan dengan K-Map, seperti tampak pada gambar 4.6, maka

F(w,x,y,z) = (1,5,9,13)menjadi F = yz

F(w,x,y,z) = (0,2,8,10)menjadi F = xz4.4. K-Map untuk 5 variabel.

Gambar 4.7 adalah format K-Map untuk 5 variabel, yaitu v, w, x, y dan z, sehingga jumlah kotaknya 32, mulai kotak ke-0 sampai kotak ke-31. Sedangkan gambar 4.8. adalah K-Map untuk persamaan Boolean F(v,w,x,y,z) = (4,6,9,11,13,15,20,25,27,29,31)Setelah penyederhanaan menjadi F = wz + vwxz + wxyz

Gambar 4.7. K-map untuk 5 variable, yaitu v, w, x, y dan z.

Gambar 4.8. Penyederhanaan untuk F(v,w,x,y,z) = (4,6,9,11,13,15,20,25,27,29,31).4.5. K-Map untuk menghindari Glitch.

Glitch adalah pulsa sempit atau paku pada Output, yang tidak diinginkan dalam rangkaian digital, biasanya terkait dengan error yang susah dilacak. Untuk menghindarinya, cara yang cukup mudah adalah dengan mengaitkan semua kelompok dalam satu K-Map, meskipun harus menambah jumlah kelompok yang berarti juga menambah jumlah gerbang logika. Gambar 4.9 memperlihatkan contoh upaya ini. Seharusnya, agar sederhana, tidak perlu wxy + wyz + xyz, cukup wyz saja, karena seluruh 1 sudah masuk kelompok. Tetapi jika ini dilakukan, maka kelompok xz, wyz dan wxz saling terpisah satu sama lain, dan biasanya hal ini akan memicu munculnya glitch.

Gambar 4.9. Contoh upaya menghindari Glitch.

Dengan resiko terjadinya glitch, hasil penyederhanaan F(w,x,y,z) = (0,2,5,7,10,13,14,15) adalah F = xz + wxz + wyz.Tetapi jika glitch ingin dihindari maka hasil penyederhanaan K-Map harus :

F = xz + wxz + wyz + wxy + xyz.

Berikut ini adalah gambar rangkaian terkait 2 persamaan Boolean hasil penyederhanaan tersebut.

Gambar 4.10. Rangkaian berisiko glitch (atas) dan bebas glitch (bawah).4.6. Dont Care.

Biasanya, pembuatan tabel kebenaran didahului dengan penentuan kotak hitam, yaitu menentukan jumlah bit input, jumlah bit output, dan kaitan yang diinginkan antara input dan output. Kadang-kadang, karena dianggap tidak mempengaruhi fungsi rangkaian, bebarapa output dibiarkan dont care, bukan 1 dan tidak harus 0. Berikut ini adalah contoh K-Map yang tidak hanya diisi 1 dan 0, tapi juga dont care atau x.

Gambar 4.11. K-Map berisi dont care.

Dari gambar 4.11, diperoleh hasil penyederhanaan :

, karena , maka

atau

Gambar 4.11. Rangkaian Hasil Penyederhanaan.

Teknik DigitalIr. Eko Ihsanto, M.EngPusat Pengembangan Bahan AjarUniversitas Mercu Buana

116

_1362945646.vsdx

z

x

z

w

y

w

z

F

y

w

x

z

x

y

_1362946215.vsdx

y

z

F

_1362946237.vsdx

y

z

F

_1362945473.vsdx

z

x

z

w

y

w

z

F