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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

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Exercícios -

Franco Brunetti – Capítulo I

1. A viscosidade cinemática de um óleo éde 0.028 m2/s e o seu peso específico relativo é de

0.85. Encontrar a viscosidade dinâmica em unidadesdo sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s2).

2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso específico relativo é0.82. Encontre a viscosidade cinemática nossistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e γa =1000kgf/m3.

3. O peso de 3 dm3 de certa substância é23.5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g =10 m/s2, qual será a viscosidade dinâmica nossistemas CGS, MKS e SI?

4. São dadas duas placas planas paralelas àdistância de 2mm. A placa superior move-se comvelocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se oespaço entre as placas for preenchido com óleo (ν =0.1 St; ρ = 830 kg/m3), qual será a tensão decisalhamento que agirá no óleo?

v = 4m/s

2 mm

Resposta: τ = 16,6 N/m2.

5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de30°, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2m/s constante. Qual a velocidadedinâmica do óleo se a espessura da película é de2mm?

2 mm

2m/s 20 N

30°

Resposta: η = 10-2 N.s/m2.

6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do

cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os doisexiste óleo com ν = 10-4 m2/s e γ = 8000 N/m3. Comque velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e g =10 m/s2).

L = 5 cm fluido

D1

D2 Resposta: v = 22,1 m/s

7. Num tear, o fio é esticado passando poruma fieira e é enrolado num tambor com velocidadeconstante. Na fieira, o fio é lubrificado e tingido poruma substância. A máxima força que pode seraplicada no fio é 1N, pois, ultrapassando-a, ela serompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5mm e o diâmetroda fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 30 rpm,qual é a máxima viscosidade do lubrificante e qual é omomento necessário no eixo do tambor? R.: M =0,1N.m2; η = 0,1 N.s/m2

Resposta: M=0,1 N.m; η = 0,1 N.s/m2.

8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do

tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de10N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. Ofluido existente entre o eixo e o tambor tem η = 0,1 N.s/m2 e apresenta um diagrama linear develocidades. Pede-se:

(a) a rotação do eixo;(b) o momento provocado pelo fluido contra

a rotação do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1cm; R3 = 20 cm.

lubrificante 0,6mm

0,5mm fieirafio

n = cte

L = 10cmTambor D=0.2m

Peso

Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47 N.m.

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9. O turbocompressor de um motor decombustão interna tem uma rotação de 120000rpm.Os mancais do eixo são flutuantes e giram com umacerta rotação. São dados:

η = 8.10-3 N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm;L=20mm.

Nas condições de equilíbrio dinâmico darotação dada, pede-se:(a) a rotação do mancal flutuante.(b) o momento resistente à rotação que age

no eixo do turbocompressor relativo aos mancais.

Mancais flutuantes A

CP TB

A

LCP: CompressorTB: Turbina

óleomancal flutuante

eixo

D1

D2

D3

D4

Corte A-A sem escala Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m

10. Dois discos são dispostos coaxialmenteface a face, separados por um filme de óleo

lubrificante de espessura ε pequena. Aplicando ummomento no disco (1), ele inicia um movimento emtorno de seu eixo, através de um fluido viscoso,estabelece-se o regime, de tal forma que asvelocidades angulares ω1 e ω2 ficam constantes.Admitindo o regime estabelecido, determinar emfunção a ω1 e ω2.

ε

D ω2

η η

ω1

ε

Resposta: 1 2 432 t

D

εω − ω =

π η

( )max20 1 5v yv y= −

11. A placa da figura tem 4 m2 de área eespessura desprezível. Entre a placa e o solo existeum fluido que escoa, formando um diagrama de

velocidades dado por:

A viscosidade dinâmica do fluido é 10-2 N.s/m2 e a velocidade máxima do escoamento é4m/s. Pede-se:

(a) o gradiente de velocidades junto ao solo.(b) a força necessária para manter a placa em

equilíbrio. Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N

Placa F

vmax20 cm

Solo

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Sears –Zemansky – Young – VII

SEÇÃO 14.2 DENSIDADE

14.1 Fazendo um biscate, você foi

solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8cm de comprimento e 2,85 cm de diâmetro de umdepósito até um mecânico. Você precisará usar umcarrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da barra.)

14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 1022 kg eraio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média?

14.3 Você compra uma peça retangular demetal com massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz que o metal éouro. Para verificar se é verdade você deve calcular

a densidade média da peça. Qual o valor obtido?Você foi enganado?

14.4 Um seqüestrador exige como resgateum cubo de platina com 40.0 kg. Qual é ocomprimento da aresta?

SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO

14.5 Um barril contém uma camada de óleode 0.120 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,250 m. A densidade do óleo éigual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão manométrica

na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a pressão manométrica no fundo do barril?

14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5kN. Cada pneu possui uma pressão manométricaigual a 205 kPa.

(a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredesdos pneus sejam flexíveis de modo que a pressãoexercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.)

(b) Qual é a área total, considerando amesma pressão manométrica do pneu, quando o

peso total dos passageiros e da carga for igual a 9,1kN?

14.7 Você está projetando um sino demergulho para agüentar a pressão da água do maraté uma profundidade de 250 m.

(a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade? (Despreze as variações de densidadeda água com a profundidade.)

(b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão dentro do sino é igual à pressão fora do sino,qual é a força resultante exercida pela água fora dosino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de

vidro circular com diâmetro de 30,0 cm? (Despreze

a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela.)

14.8 Qual deve ser a pressão manométricadesenvolvida por uma bomba para bombear água dofundo do Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o

Indian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta em pascais e em atmosferas.

14.9 O líquido no manômetro de tubo abertoindicado na Figura é o mercúrio, y1 = 3,00 cm e y2 =7,00 cm. A pressão atmosférica é igual a 980milibares.

(a) Qual é a pressão absoluta no fundo dotubo em forma de U?

(b) Qual é a pressão absoluta no tubo abertoa uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfícielivre?

(c) Qual é a pressão absoluta do gás no

tanque? (d ) Qual é a pressão manométrica do gás em pascais?

14.10 Existe uma profundidade máxima naqual uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respiraratravés de um tubo snorkel (respirador), porque àmedida que a profundidade aumenta, a diferença de pressão também aumenta, tendendo n produzir umcolapso dos pulmões da mergulhadora.

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Como o snorkel liga o ar dos pulmões coma atmosfera sobre a superfície livre, a pressão nointerior dos pulmões é igual a uma atm. Qual é adiferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da mergulhadora a uma profundidade iguala 6.1 m? Suponha que a mergulhadora esteja

mergulhada em água doce. (Um mergulhadorusando uma snorkel (tanque com ar comprimido)respirando o ar comprimido deste dispositivo podeatingir profundidades muito maiores do que ummergulhador usando o snorkel. uma vez que a pressão do ar comprimido no interior da snorkel compensa o aumento da pressão da água no exteriordos pulmões.) 4

14.11 Um curto-circuito elétrico impede ofornecimento da potência necessária para umsubmarino que está a uma profundidade de 30 mabaixo da superfície do oceano. A tripulação deve

empurrar uma escotilha com área de 0.75 m2

e pesoigual a 300 N para poder escapar do fundo dosubmarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm,qual é a força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha?

14.12 Você foi convidado a projetar umtanque de água cilíndrico pressurizado para umafutura colônia em Marte, onde a aceleração dagravidade é igual a 3,71 m/s. A pressão na superfícieda água deve ser igual a 130 kPa e a profundidadedeve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no edifíciofora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a

força resultante para baixo sobre a base do tanque deárea igual a 2,00 m2 exercida pelo ar e pela água nointerior do tanque e pelo ar no exterior do tanque.

14.13 Em um foguete um tanque comtampa pressurizada contém 0,250 m3 de querosenede massa igual a 205 kg. A pressão na superfíciesuperior do querosene é igual a 2,01.105 Pa. Oquerosene exerce uma força igual a 16,4 kN sobre ofundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m .Calcule a profundidade do querosene.

14.14 O pistão de um elevador hidráulico

de carros possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão manométrica em pascais, necessária paraelevar um carro com massa igual a 1200 kg?Expresse esta pressão também em atmosferas.

SEÇÃO 14.4 EMPUXO

14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lagode água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela molhe seus pés?

14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 Nno ar. Quando a amostra é suspensa por uma cordaleve e totalmente imersa na água, a tensão na corda éigual a 11,20 N. Calcule o volume total e a densidadeda amostra.

14.17 Um objeto com densidade média ρ flutua na superfície livre de um fluido com densidade

ρ f luido.(a) Qual é a relação entre estas duas

densidades?(b) Levando em conta a resposta do item (a),

como um navio de aço flutua na água?(c) Em termos de ρ e de ρ f luido qual é a fração

do objeto que fica submersa e qual é a fração doobjeto que fica acima da superfície do fluido?Verifique se suas respostas fornecem os limitescorreios quando ρ → ρ f luido e ρ → 0.

(d ) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peçaretangular (dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a jogano mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando elaflutua no oceano, que fração fica acima da superfície?

14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida

submersa em um lago de água doce amarrada emuma corda presa no fundo do lago. O volume daesfera é igual a 0,650 m e a tensão na corda é igual a900 N.

(a) Calcule a força de empuxo exercida pelaágua sobre a esfera,

(b) Qual é a massa da esfera?(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração dovolume da esfera que fica submersa?

14.19 Um bloco de madeira cúbico comaresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entreuma camada de água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre doóleo (Figura 14.34). A densidade do óleo é igual a790 kg/m3.

(a) Qual é a pressão manométrica na facesuperior do bloco?

(b) Qual é a,pressão manométrica na faceinferior do bloco?

(c) Qual é a massa e a densidade do bloco?

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14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa

89 N no ar.(a) Qual é g o seu volume?(b) O lingote é suspenso por uma corda

leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão nacorda (o peso aparente do lingote na água)?

SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL

14.21 Ache a pressão manométrica em pascais em uma bolha de s sabão com diâmetro iguala 3,00 cm. A tensão superficial é igual a 25,0.10-3 N/m.

14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C(a) no interior de uma gota de chuva grandecom raio igual a l ,00 mm;

(b) no interior de uma gota de água comraio igual a 0,0100 mm (típica de uma gotícula nonevoeiro).

14.23 Como ficar em pé sobre a água. Estime a força da tensão superficial para cima quedeveria ser exercida sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água. (Você precisa jmedir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o pesomáximo de um corpo que poderia ser sustentado

pela água desta maneira?

14.24 Por que as árvores não fazemsucção do ar? Verificou-se que as pressõesnegativas que ocorrem nos tubos que transportam aseiva de uma árvore alta podem atingir cerca de - 20atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo emcontato com o ar e a água pode evaporar das folhas.Porém se as pressões são negativas, por que o ar nãoé sugado para as folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das paredesdas células no interior das folhas (diâmetros da

ordem de 10~8 m) e explique por que o ar exteriornão pode penetrar nas folhas. (Considere a tensão J

superficial da seiva igual à da água a 20°C. Estasituação é diferente daquela indicada na Figura 14.15:neste caso é o arque desloca a seiva nos interstícios.)

14.25 Uma película de água de sabão possui22cm de largura e está a 200C. O fio que desliza

possui massa igual a 0,700g. Qual é o módulonecessário T da força que puxa para baixo paramanter o fio em equilíbrio?

SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO

14.26 A água escoa em um tubo cuja seçãoreta possui área variável e em todos os pontos a águaenche completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui área igual a 0,07m2 e o módulo da velocidadedo fluido é igual a3,50 m/s.

(a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos para os quais a seção reta possui área igual a

(i) 0,105m2

?(ii) 0,047m2?(b) Calcule o volume de água descarregada

pela extremidade aberta do tubo em 1 hora.

14.27 A água escoa em um tubo cilíndricocuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo.

(a) Em um ponto onde o raio do tubo é iguala 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto sea vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m3/s?

(b) Em um segundo ponto a velocidade daágua é igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse

ponto?

14.28 Deduza a equação da continuidade.Quando a densidade cresce 1.50% de um

ponto 1 até um ponto 2, o que ocorre com a vazãovolumétrica?

SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI

14.29 Um tanque selado que contém água domar até uma altura igual a 11,0m também contém aracima da água a uma pressão manométrica igual a3,00 atm. A água flui para fora através de um

pequeno orifício na base do tanque. Calcule avelocidade de efluxo da água.

14.30 Um pequeno orifício circular comdiâmetro igual a 6,00 mm é cortado na superfícielateral de um grande tanque de água, a profundidadede 14m abaixo da superfície livre da água. O topo dotanque está aberto para a atmosfera. Ache:

(a) a velocidade de efluxo;(b) o volume de água descarregada por

unidade de tempo.

14.31 Qual é a pressão manométrica

necessária no tubo principal da rua para que umamangueira de apagar incêndio ligada a ele seja capaz

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6

560 10 Pa⋅

4

1.80 10 Pa⋅

de lançar água até uma altura de 15m? (Suponha queo diâmetro do tubo principal seja muito maior doque o diâmetro da mangueira de apagar incêndio.

14.32 Em um ponto de um encanamento avelocidade da água é 3,00 /s e a pressão

manométrica é igual a 5,00.104

Pa. Calcule a pressãomanométrica em um segundo ponto doencanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sabendo odiâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobrodo diâmetro do primeiro.

14.33 Sustentação sobre um avião. Aslinhas de corrente horizontais em torno das pequenasasas de um avião são tais que a velocidade sobre asuperfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre asuperfície inferior é igual a 60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área da asa é iguala 162 m2, qual é a força resultante vertical

(incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? Adensidade do até 1.20 kg/m3.

14.34 Uma bebida leve (essencialmenteágua) flui em um tubo de uma fábrica de cervejacom uma vazão volumétrica tal que deva encher 220latas de 0.355L por minuto. Em um ponto 2 do tubo,situado a 1.35m acima do ponto 2, a área da seçãoreta é igual a 2.00 cm2. Obtenha:

(a) a vazão mássica;(b) a vazão volumétrica;(c) as velocidades do escoamento nos

pontos 1 e 2;

(d ) a pressão manométrica no ponto 1.

14.35 A água é descarregada de um tubocilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s.Em um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão absoluta é igual a 1. . Qual é o raiodo tubo em uma constrição onde a pressão se reduz para ?51.20 10 Pa⋅

14.36 Em dado ponto de um escoamentocilíndrico horizontal a velocidade da água é igual a2.50 m/s e a pressão manométrica é igual a

. Calcule a pressão manométrica em umsegundo ponto do encanamento sabendo que odiâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobrodo diâmetro do primeiro.

SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE

*14.37 Água a 20°C se escoa em tubo deraio igual a 10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C éigual a l ,005 centipoise. (Se a velocidade da águano centro do tubo é igual a 2,50 m/s, qual é avelocidade da água

(a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (nametade do caminho entre o centro e a parede)?

(b) sobre as paredes do tubo?

* 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo deraio igual a 8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C éigual a l,005 centipoise. Se a velocidade da água nocentro do tubo é igual a 0,200 m/s e o escoamento élaminar, calcule a queda de pressão devida à

viscosidade ao longo de 3,00 m de comprimento dotubo.

* 14.39 Água a 20°C se escoa em tubohorizontal com 15,0 m de comprimento; oescoamento é laminar e a água enche completamenteo tubo. Uma bomba mantém uma pressãomanométrica igual a 1200 Pa em um tanque grandeconectado a uma extremidade do tubo. A outraextremidade do tubo está aberta para o ar. Aviscosidade da água a 200C é igual a l,005 centipoise.

(a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00

cm, qual é a vazão volumétrica?(b) Que pressão manométrica deve a bomba

fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica deum tubo com diâmetro igual a 3,00 cm?

(c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se amesma pressão manométrica da bomba, qual é a novavazão volumétrica quando a água está a umatemperatura de 600C? (A viscosidade da água a 600Cé igual a 0,469 centipoise.)

* 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sulsuga o sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhantea uma agulha hipodérmica muito fina (que permitesugar o sangue de sua vítima sem causar dor, portanto, sem que seja notado). A parte mais estreitada "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a pressão manométrica na cavidade da boca do insetose ele sugar 0,25 cm de sangue em 15 minutos?Expresse sua resposta em Pa e em atm. (Aviscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0centipoise. Para obter uma resposta aproximadaaplique a equação de Poiseuille ao sangue, embora eleseja um fluido não-newtoniano.) b) Por que não éuma boa aproximação desprezar as dimensões dasoutras partes do ferrão do inseto?

* 14.41 Qual deve ser a velocidade de umaesfera de alumínio com raio igual a 2,00 mm sedeslocando em óleo de rícino a 20°C para que a forçade arraste devido à viscosidade seja igual a um quartodo peso da esfera? (A viscosidade do óleo de rícino para esta temperatura é igual a 9,86 poise.)

* 14.42 Medida da viscosidade. Uma esferade latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidadeterminal igual a 5,0 cm/s em um líquidodesconhecido. Sabendo que a densidade do líquido éigual a 2900 kg/m\ qual é a sua viscosidade?

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*14.43 Mantendo todas as demaisgrandezas constantes, o que ocorre com a vazãovolumétrica de um escoamento laminar quandodobramos:

(a) o diâmetro do tubo?

(b) a viscosidade?(c) a diferença de pressão?(d ) o gradiente de pressão?(e) o comprimento do tubo?

14.44 Para os arremessos normais de uma bola de basquete (exceto para os arremessosdesesperados) a força de resistência do ar édesprezível. Para demonstrar isso, considere a razãoda força da Lei de Stokes e o peso de uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possuium raio igual a 0,124m e se move com velocidade

de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m3

.

7

14.45 Um feixe de laser muito estreito comelevada intensidade perfura um orifício cilíndrico nocasco de uma espaçonave de ficção científica; oorifício possui comprimento de 0.180m e um raio deapenas 50.0 µm. O interior da espaçonave possui pressão de 1 atm e ar a 200C com viscosidade igual a181 µPo começa a escapar com escoamento laminar para o vácuo no exterior da espaçonave.

(a) Qual é a velocidade do ar ao longo doeixo do cilindro na extremidade externa e na metadeda distância entre este ponto e o ponto externo?

(b) Quantos dias serão necessários para queocorra uma perda de 1m3 de ar através desseorifício? (Suponha que a pressão interna permaneçaigual a 1 atm.

(c) Qual seria o fator de multiplicação dasrespostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifíciodobrasse de valor e o escoamento permanecesselaminar?

Problemas

14.46 Em uma aula experimental, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocosde aço (diâmetro D) usando as duas mãos. A seguirela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora daesfera até atingir a pressão absoluta p e coloca asfaces opostas do hemisfério em um bodybuilder (umaparelho de ginástica usado para fazer exercícios detração) para tentar separá-los.

(a) Designando por p0 a pressãoatmosférica, qual é a força que o bodybuilder deveexercer sobre cada hemisfério?

(b) Avalie a resposta para o caso p =0.025atm e D = 10.0cm.

14.47 O ponto com maior profundidade detodos os oceanos na Terra é a fossa das Marianascom uma profundidade de 10.92 km.

(a) Supondo que a água seja incompressível,qual é a pressão para essa profundidade?

(b) A pressão real nesse ponto é igual a81.160 10 Pa⋅ ; o valor que você calculou deve ser

menor que este porque na realidade a densidade daágua aumenta com a profundidade.

Usando o valor da compressibilidade da águae o valor real da pressão, ache a densidade no fundoda fossa Marianas. Qual é a variação percentual dadensidade da água?

14.48 Uma piscina mede 5.0 m decomprimento, 4.0 m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a força exercida pela águasobre:

(a) o fundo da piscina;(b) sobre cada parte lateral da piscina

(Sugestão: Calcule a força infinitesimal que atuasobre uma faixa horizontal situada a uma

profundidade h e integre sobre a parede lateral.)Despreze a força produzida pela pressão do ar.

14.49 A aresta superior de uma comporta deuma represa está em contato com a superfície daágua. A comporta possui altura de 2.00 m, largura de4.00 m e possui uma articulação passando pelo seucentro. Calcule o torque produzido pela força da águaem relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao adotado no problema 19.48;calcule o torque infinitesimal produzido por umafaixa horizontal situada a uma profundidade h eintegre sobre a comporta).

14.50 Força e Torque sobre uma represa.Uma represa possui a forma de um sólido retangular.A face de frente para o lago possui área A e altura H .A superfície de água doce do lago atrás da represaestá no mesmo nível do topo da represa.

(a) Mostre que a força resultante horizontalexercida pela água sobre a represa é dada por12 gHA ρ , ou seja, o produto da pressão manométrica

através da face da represa pela área da represa.(b) Mostre que o torque produzido pela força

da água em relação ao eixo passando no fundo da

represa é dado por 216 gH A ρ .(c) Como a força e o torque dependem do

tamanho da represa?

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8

14.51 Um astronauta está em pé no pólonorte de um novo planeta descoberto com simetriaesférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos umrecipiente que contém um líquido de massa m volume V . Na superfície do líquido a pressão é p0; a

uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão possui um valor maior que p. A partir dessasinformações, determine a massa do planeta.

14.52 Para calcular a densidade em umdado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dV em torno desseponto. Se amassa no interior do volume for igual a dm, adensidade no referido ponto será dada por

dm

dV ρ = . Considere uma barra cilíndrica com

massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade

varia com o quadrado da distância a uma de suasextremidades, .2C x ρ = ⋅

(a) Mostre que 2 33

C R Lπ

= .

(b) Mostre que a densidade média, dada

pela Equaçãom

V ρ = é igual a um terço da

densidade na extremidade x = L.

14.53 A Terra não possui uma densidadeconstante; ela é mais densa em seu centro e menos

densa na sua superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é dada por ,

onde A =12.700 kg/m

( )r A Br ρ = −

( )dm r dr ρ =

3 e B = 1,50. 103 kg/m4.Considere a Terra como uma esfera com raio R = 6,37. 106 m.

(a) Evidências geológicas indicam que asdensidades são de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400kg/m3 na superfície. Quais os valores previstos pelaaproximação linear da densidade para estes pontos?

(b) Imagine a Terra dividida em camadasesféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r,

espessura dr, volume e massa

. Integrando desde r = 0 até r = R, mostre que a massa da Terra com este modelo édada por:

24dV r dr π =

34 3

3 4 R A BRπ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(c) Mostre que os valores dados de A e Bfornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%.

(d ) Vimos na que uma camada esférica não fornece nenhuma contribuição de g no interior dacamada. Mostre que esse modelo fornece:

( )

4 3

3 4 g r Gr A Br π ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(e) Mostre que a expressão obtida no item(d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2 na superfície da Terra,

( f ) Mostre que com este modelo g não diminui uniformemente com a profundidade e, aocontrário, atinge um valor máximo igual a

249GA B

π = 10,01 m/s no ponto

r = 2A/3 B = 5640 km.

14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimosque no interior de um planeta com densidadeconstante (uma hipótese irreal para a Terra) aaceleração da gravidade cresce uniformemente com adistância ao centro do planeta. Ou seja,

( )r̂

g r g R

= , onde g é a aceleração da gravidade na

superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é oraio do planeta. O interior do planeta pode serconsiderado aproximadamente como um fluidoincompressível com densidade ρ .

(a) Substitua a altura h na Equação (14.4) pela coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior de um planeta com densidadeconstante em função de r. Considere a pressão nasuperfície igual a zero- (Isso significa desprezar a pressão da atmosfera do planeta.)

(b) Usando este modelo, calcule a pressão nocentro do Terra. (Use o valor da densidade média daTerra, calculando-a mediante os valores da massa e

do raio indicados no Apêndice F.)(c) Os geólogos estimam um valoraproximadamente igual a 4.1011 Pa para a pressão nocentro da Terra- Este valor concorda com o que vocêcalculou para r = 0? O que poderia contribuir parauma eventual diferença?

14.55 Um tubo em forma de ü está aberto emambas as extremidades e contém uma porção demercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamentederramada na extremidade esquerda do tubo emforma de U até que a altura da coluna de água sejaigual a 15.0 cm (Figura 14.36).

(a) Qual é a pressão manométrica nainterface água-mercürio?(b) Calcule a distância vertical h entre o topo

da superfície do mercúrio do lado direito e o topo dasuperfície da água do lado esquerdo.

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14.56 A Grande inundação de melaço. Natarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia nãousualmente quente em Boston, correu a ruptura deum tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 27,4m e altura de 27,4 m que continha melaço. Omelaço inundou uma rua formando uma corrente

com profundidade igual 9 m, matando pedestres ecavalos e destruindo edifícios. A densidade domelaço era igual a 1600 kg/m3. Supondo que otanque estava completamente cheio antes doacidente, qual era a força total exercida para fora pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque?

(Sugestão: Considere a força para foraexercida sobre um anel circular da parede do tanquecom largura dy situado a uma profundidade y abaixoda superfície superior. Integre para achar a forçatotal para fora. Suponha que antes do tanque seromper, a pressão sobre a superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora do tanque.)

14.57 Uma barca aberta possui asdimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-seque todas as partes da barca são feitas com placas deaço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa decarvão que a barca pode suportar em água doce semafundar? Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (Adensidade do carvão é aproximadamente iguala1500 kg/m3.)

14.58 Um balão com ar quente possuivolume igual a 2200 m3. O tecido (envoltório) do balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e otanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balão pode suportar no limite um peso máximo igual a3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas,sabendo-se que a densidade do ar externo é de l ,23

kg/m', qual é a densidade média dos gases quentesno interior do balão?

14.59 A propaganda de um certo carroafirma que ele flutua na água.

(a) Sabendo-se que a massa do carro é igual900 kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é afração do carro que fica submersa quando ele flutua?Despreze o volume do aço e de outros materiais,

(b) Através de uma passagem, a água penetra gradualmente deslocando o ar do interior docarro. Qual será a fração do carro que fica cheiaquando ele afunda?

14.60 Um cubo de gelo de massa igual a9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamentecheio de água. A tensão superficial da água e avariação da densidade com a temperatura sãodesprezíveis (quando ela permanece líquida),

(a) Qual é o volume de água deslocado pelo

cubo de gelo?(b) Depois que o gelo se fundiucomplelamente, a água transborda? Em casoafirmativo, calcule o volume da água quetransbordou. Em caso negativo, explique por que istoocorre,

(c) Suponha que a água do copo seja águasalgada com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seriao volume da água salgada deslocado pelo cubo degelo de 9,70 g?

(d ) Refaça o item (b) para o caso de um cubode gelo de água doce flutuando em água salgada.

14.61 Um bloco de madeira possuicomprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m,espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m3. Qualdeve ser o volume de chumbo que pode ser amarradoembaixo do bloco de madeira para que ele possaflutuar em água calma de modo que o seu topo estejaalinhado com a superfície da água? Qual é a massadeste volume de chumbo?

14.62 Um densímetro é constituído por um bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual a 0,400 cm(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é

igual a 13,2 cm'. Quando imerso em água, odensímetro flutua mantendo a haste a uma altura de8,00 cm acima da superfície da água. Quando imersoem um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de3,20 cm acima da superfície. Ache a densidade dofluido orgânico. (Observação: Este problema ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença dedensidade relativamente pequena produz umadiferença grande na leitura da escala dodensímetro).

14.63 As densidades do ar, do hélio e dohidrogênio

(para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m3,0,166kg/m3 e 0,0899 kg/m , respectivamente,

(a) Qual é o volume em metros cúbicosdeslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobreo qual atua uma força de "sustentação" total igual a120 kN? (A "sustentação" é a diferença entre a forçade empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.)

(b) Qual seria a "sustentação" se o héliofosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vistasua resposta, explique por que o hélio é usado nosmodernos dirigíveis usados em propagandas.

14.64 MHS de um objeto flutuando. Um

objeto com altura h, massa M e área da seção reta Aflutua verticalmente em um líquido com densidade ρ .

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(a) Calcule a distância vertical entre asuperfície do líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio,

(b) Uma força de módulo F é aplicada decima para baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de

equilíbrio, qual é a diferença entre a nova distânciavertical entre a superfície do líquido e a parteinferior do objeto e a distância calculada no item(a)? (Suponha que uma pequena parte do objeto permaneça sobre a superfície do líquido.)

(c) Sua resposta da parte (b) mostra que sea força for repentinamente removida- o objetodeverá oscilar para cima e para baixo executandoum MHS. Obtenha o período deste movimento emfunção da densidade p do líquido, da massa M e daárea da seção reta A do objeto. Despreze oamortecimento provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8).

14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kgflutua verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a 0,900 m.

(a) Calcule a distância vertical adicionalque a baliza deverá afundar quando um homem de70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressãodeduzida na parte (b) do Problema 14.64.)

(b) Calcule o período do MHS resultantequando o homem pular para fora da baliza.(Use aexpressão deduzida na parTe (c) do Problema 14.64e, como nesse problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito

do líquido.)

14.66 Na água do mar um salva-vidas comvolume igual a 0,0400 m3 pode suportar o peso deuma pessoa com massa igual a 75,0 kg (comdensidade média igual a 980 kg/m3) mantendo 20%do volume da pessoa acima da água quando o salva-vidas está completamente submerso. Qual é adensidade média do material que compõe o salva-vidas?

14.67 Um bloco de madeira leve está sobreum dos pratos de uma balança de braços iguais

sendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950kg de um bloco de latão no outro prato da balança.Calcule a massa do bloco de madeira leve se a suadensidade for igual a 150 kg/m3. Explique por que podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão,mas não o empuxo do ar sobre o bloco de madeiraleve.

14.68 O bloco A da Figura 14.38 estásuspenso por uma corda a uma balança de mola D eestá submerso em um líquido C contido em umrecipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é iguala l ,00 kg; a massa do líquido é l ,80 kg. A leitura da

balança D indica 3,50 kg e a balança E indica 7,50kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10-3 m3.

(a) Qual é a densidade do líquido?(b) Qual será a leitura de cada balança

quando o bloco A for retirado do líquido?

14.69 Uma barra de alumínio écompletamente recoberta por uma camada de ouroformando um lingote com peso igual a 45,0 N.Quando você suspende o lingote em uma balança demola e a seguir o mergulha na água, a leitura da balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro nacamada?

14.70 Uma bola solta cheia de hélioflutuando no interior de um carro com janelas eventoinhas fechadas se move no sentido da aceleraçãodo carro, porem uma bola frouxa com pouco ar em

seu interior se move em sentido contrário ao daaceleração do carro.Para explicar a razão deste efeito, considere

somente as forças horizontais que atuam sobre a bola.Seja a o módulo da aceleração do carro. Considereum tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área Acom origem no pára-brisa, onde x = 0 e p = p0 e seorienta para trás. Agora considere um elemento devolume de espessura dx ao longo deste tubo. A pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte traseira é p + dp. Suponha que o ar possua umadensidade constante p.

(a) Aplique a segunda lei de Newton ao

elemento de volume e mostre que dp = pa dx.(b) Integre o resultado da parte (a) para achar

a pressão na superfície frontal em termos de a e de x. (c) Para mostrar que considerar p constante é

razoável, calcule a diferença de pressão em atm parauma grande distância de 2,5 m e para uma elevadaaceleração de 5,0 m/s2,

(d ) Mostre que a força horizontal resultantesobre um balão de volume Vê igual ρ Va.

(e) Para forças de atrito desprezíveis, mostreque a aceleração da bola (densidade média ) é dada por ( )a, de modo que a aceleração relativa é dada

por:

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( f ) Use a expressão da a obtida na parte (e) para explicar o sentido do movimento das bolas.

14.71 O peso da coroa de um rei é w. Quando suspensa por uma corda leve e totalmenteimersa na água, a tensão na corda (o peso aparente

da coroa) é igual fw. (a) Mostre que a densidade relativa dacoroa é dada por . Discuta o significadodos limites quando f = 0 e f = l.

(b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar12,9 N no ar, qual será o seu peso aparente quandoestiver totalmente imersa na água?

(c) Repita a parte (b) se a coroa for umsólido de chumbo com uma camada muito fina deouro, porém com peso ainda igual a 12,9 N no ar.

14.72 Uma peça de aço possui peso w, um peso aparente (ver o Problema 14.71) w quando está

totalmente imersa na água e um peso aparente wfluido quando está totalmente imersa em um fluidodesconhecido,

(a) Mostre que a densidade relativa dofluido é dada por

(b) Este resultado é razoável para os trêscasos wfluido maior, menor ou igual a wágua?

(c) O peso aparente da peça de aço em águacom densidade 1000 kg/m3 é 87,2% do seu peso.Qual é a porcentagem do seu peso para o pesoaparente do corpo mergulhado em ácido fórmico(densidade 1220 kg/m3)?

14.73 Você funde e molda uma certaquantidade de metal com densidade em umaforma, porém deve tomar cuidado para que não seformem cavidades no interior do material fundido.Você mede um peso w para o material fundido euma força de empuxo igual a B.

(a) Mostre que

é o volume total das eventuais cavidadesformadas no interior do material fundido.

(b) Se o metal for o cobre, o peso w domaterial fundido for igual a 156 N e a força deempuxo for igual a 20 N, qual é o volume total dascavidades formadas no interior do material fundido?A que fração do volume do material este volumecorresponde?

14.74 Um bloco cúbico de madeira comaresta de 0,100 m de densidade igual a 550 kg/m3 flutua em um recipiente com água. Óleo comdensidade igual a 750 kg/m3 é derramado sobre águaaté que a camada de óleo fique 0,035 m abaixo dotopo do bloco.

(a) Qual é a profundidade da camada deóleo?

(b) Qual é a pressão manométrica na faceinferior do bloco?

14.75 Lançando uma âncora. Uma âncorade ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade iguala 7860 kg/m3 está sobre o convés de uma barca

pequena que possui lados verticais e está flutuandosobre um rio de água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00 m3. A âncora é lançada pela partelateral da barca e afunda sem tocar o fundo do riosendo sustentada por uma corda de massa desprezível.Quando a âncora fica suspensa lateralmente e depoisde a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiuna água? Qual o valor da distância vertical que elaafundou ou subiu?

14.76 Suponha que o petróleo de umsuperpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m3.O navio fica encalhado em um banco de areia. Para

fazer o navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e armazenada em barris, cada umdeles com massa igual a 15,0 kg quando vazio e comcapacidade para armazenar 0,120 m de petróleo.Despreze o volume ocupado pelo aço do barril,

(a) Se um trabalhador que está transportandoos barris acidentalmente deixa um barril cheio eselado cair pelo lado do navio, o barril flutuará ouafundará na água do mar?

(b) Se o barril flutua, qual é a fração de seuvolume que fica acima da superfície da água? Se eleafunda, qual deveria ser a tensão mínima na cordanecessária para rebocar o barril para cima a partir do

fundo do mar?(c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o petróleo possua densidade igual a 910 kg/m3 e que amassa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg.

14.77 Um bloco cúbico com densidade e uma aresta com comprimento L flutua sobre umlíquido de densidade maior .

(a) Que fração do volume do bloco ficaacima da superfície do líquido?

(b) O líquido é mais denso do que a água(densidade igual a ) e não se mistura com ela.Derramando-se água sobre a superfície do líquido,

qual deve ser a camada da água para que a superfícielivre da água coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a resposta em termos de L, , e

.(c) Calcule a profundidade da camada de

água da parte (b) se o liquido for mercúrio e o blocofor de aço com aresta de 10,0 cm.

14-78 Uma barca está em uma eclusaretangular de um rio de água doce. A eclusa possuicomprimento igual a 60,0 m e largura igual a 20,0 me as comportas de aço das duas extremidades estãofechadas. Quando a barca está flutuando na eclusa,

uma carga de 2.5.106 N de sucata de metal é colocada

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na barca. O metal possui densidade igual a 9000kg/m3,

(a) Depois que a carga de sucata de metal,que estava inicialmente nas margens da eclusa, écolocada na barca, de quanto se eleva verticalmenteo nível da água da eclusa?

(b) A sucata de metal é agora despejada naágua da eclusa pela parte lateral da barca. O nível daágua da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado?Caso ele suba ou desça, de quanto variaverticalmente o nível da água da eclusa?

14.79 Um tubo em forma de U quecontém um líquido possui uma seção horizontalde comprimento igual a l (Figura 14.39). Calculea diferença de altura entre as duas colunas delíquido nos ramos verticais quando

(a) o tubo se desloca com umaaceleração a para a direita:

(b) o tubo gira em torno de um dos ramosverticais com uma velocidade angular . (c) Explique por que a diferença de altura

não depende da densidade do líquido nem da área daseção reta do tubo. A resposta seria a mesma se ostubos verticais tivessem áreas das seções retasdiferentes? A resposta seria a mesma se a partehorizontal do tubo fosse afunilada diminuindo suaseção reta de uma extremidade até a outra?Explique.

14.80 Um recipiente cilíndrico que contémum liquidoincompressível gira com velocidade angularconstante em tomo de seu eixo de simetria, o qual

vamos considerar como o eixo Ou (Figura 14.40).(a) Mostre que a pressão a uma dada altura

no interior do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de rotação) de acordo com

(b) Integre esta equação diferencial parcial para achar a pressão em função da distância ao eixode rotação ao longo de uma linha horizontal para y =0.

(c) Combine a resposta da parte (b) com aEquação (14.5) para mostrar que a superfície dolíquido que gira possui uma forma parabólica, ou

seja, a altura do liquido é dada por

(Esta técnica é usada para fabricar espelhos parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira edepois é solidificado enquanto está girando.)

14.81 Um fluido incompressível comdensidade p está em um tubo de teste horizontal comárea da seção reta interna A. O tubo de teste gira comvelocidade angular em uma ultracentrífugadora. Asforças gravÍtacionais são desprezíveis. Considere umelemento de volume do fluido de área A e espessuradr' situado a uma distância r ' do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a pressão nasuperfície externa é p + dp.

(a) Aplique a segunda lei de Newton aoelemento de volume para mostrar que

(b) Se a superfície do fluido está em um raio

r 0 onde a pressão é p0, mostre que a pressão p a umadistância é dada por:

(c) Um objeto de volume V e densidade possui o centro de massa a uma distância doeixo. Mostre que a força resultante horizontal sobre oobjeto é dada por

, onde Rcm é a distância entre o eixo e ocentro de massa do fluido deslocado,

(d ) Explique por que o objeto se move para o

centro quando para fora do centro quando .(e) Para pequenos objetos com densidade

uniforme, . O que ocorre para umamistura de pequenos objetos deste tipo comdensidades diferentes em uma ultracentrifugadora?

14.82 Qual é o raio de uma gota d'água paraque a diferença entre a pressão interna e a pressãoexterna da gota seja igual a 0.0250 atm? ConsidereT= 293 K,

14.83 Um bloco cúbico de madeira com

aresta de 0.30 m é fabricado de modo que seu centrode gravidade fique na posição indicada na Figura14.41a. flutuando na água com a metade de seu

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volume submerso. Se o bloco for "tombado" de umângulo de 450 como indicado na Figura 14.41.Calcule o torque resultante em torno de um eixohorizontal perpendicular ao bloco e passando pelocentro geométrico do bloco.

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14.84 A água de um grande tanque abertocom paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 14.42). Um orifício é feito na parede verticala uma profundidade h abaixo da superfície da água.

(a) Qual é a distância R entre a base dotanque e o ponto onde a corrente atinge o solo?(b) A que distância acima da base do

tanque devemos fazer um segundo furo para que acorrente que emerge dele tenha um alcance igual aodo primeiro furo?

14.85 Um balde cilíndrico, aberto na partesuperior, possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a25.0 cm. Um orifício circular com área da seção retaigual a l.50 cm2 é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, aágua flui para dentro do balde com uma taxa igual a2.40.10-4m3/s. Até que altura a água subirá no tubo?

14.86 A água flui continuamente de umtanque aberto, como indicado na Figura 14.43. Aaltura do ponto l é igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3estão a uma altura igual a 2.00 m. A área da seçãoreta no ponto 2 é igual a 0.0480 m2 ; no ponto 3 ela éigual a 0.0160 m2 . A área do tanque é muito maiordo que a área da seção reta do tubo. Supondo que aequação de Bemoulii seja válida, calcule:

(a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo:

(b) a pressão manométrica no ponto 2.

14.87 O projeto de um avião moderno exigeuma sustentação oriunda do ar que se move sobre as

asas aproximadamente igual a 200N por metroquadrado.

14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993 possuía um raio aproximadamente igual a 350 km. Avelocidade do vento nas vizinhanças do centro (o"olho") do furacão, com raio de 30 km atingiu 200km/h. À medida que o ar forma redemoinhos emdireção ao olho. o momento angular permanece praticamente constante,

(a) Estime a velocidade do vento na periferiado furacão.

(b) Estime a diferença de pressão nasuperfície terrestre entre o olho e a periferia dofuracão. (Sugestão: Ver a Tabela 14.1). Onde a pressão é maior?

(c) Se a energia cinética do ar que formaredemoinhos no olho pudesse ser convertidacompletamente em energia potencial gravitacional,até que altura o ar se elevaria?

(d ) Na realidade o ar se eleva até altitudes dediversos quilômetros. Como você concilia este fatocom sua resposta do item (c)?

14.89 Dois tanques abertos muito grandes A

e F (Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubohorizontal BCD, possuindo uma constrição C e abertoao ar no ponto D leva o líquido para fora na base dotanque A, e um tubo vertical E se liga com aconstrição C e goteja o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com linhas de corrente edespreze a viscosidade. Sabendo que a área da seçãoreta da constrição C é a metade da área em D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do líquido notanque A. até que altura h2 o líquido subirá no tubo E ?

Expresse sua resposta em termos de h1.

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14.90 O tubo horizontal indicado na Figura14.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm2 em sua parte mais larga e 10.0 cm2 em suaconstrição. A água flui no tubo e a vazãovolumétrica é igual a 6.00.10-3 m3/s (6.00 L/s).Calcule (a) a velocidade do escoamento na partemais larga e na constrição;

(b) a diferença de pressão entre estas duas partes:

(c) a diferença de altura entre os dois níveisdo mercúrio existente no tubo em U.

14.91 A Figura 14.27a mostra um líquidose escoando de um tubo vertical. Note que a correntede líquido vertical possui uma forma definida depois

que ela sai do tubo. Para obter a equação para estaforma, suponha que o líquido esteja em queda livrequando ele sai do tubo. No exato momento em queele sai do tubo, o líquido possui velocidade v0 e oraio da corrente é r 0.

(a) Obtenha uma expressão para avelocidade do líquido em função da distância y queele caiu. Combinando esta relação com a equação dacontinuidade, ache uma expressão para o raio dacorrente em função de y.

(b) Se a água escoa de um tubo verticalcom velocidade de l.20 m/s, a que distância da saídado tubo o raio será igual à metade do seu valor na

corrente original?

14.92 (a) Com que velocidade uma esfera delatão com raio de 2.50 mm cai em um tanque deglicerina no instante em que sua aceleração é ametade da aceleração de um corpo em queda livre? Aviscosidade da glicerina é igual a 8.30 poises,

(b) Qual é a velocidade terminal da esfera?

14.93 Velocidade de uma bolha em umlíquido,(a) Com que velocidade terminal uma bolha

de ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquidocuja viscosidade é igual a l.50 poise e densidade iguala 900 kg/m3? (Suponha que a densidade do ar sejaigual a l.20 kg/m3 e que o diâmetro da bolha permanece constante.)

(b) Qual é a velocidade terminal da mesma

bolha, na água a 20

0

C que possui uma viscosidadeigual a l.005 centipoise?

14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00 poises e densidade igual a 860 kg/m3 deve ser bombeado de um grande tanque aberto para outroatravés de um tubo liso de aço horizontal decomprimento igual a l,50 km e diâmetro de 0.110 m.A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual é a pressãomanométrica exercida pela bomba, em pascais eatmosferas, para manter uma vazão volumétrica iguala 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de potência da bomba é igual ao produto da vazão

volumétrica pela pressão manométrica exercida pela bomba. Qual é o valor numérico da potência?

14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui área muito elevada. A profundidade é y =0.600 m. As áreas das seções retas dos tuboshorizontais que saem do tanque são l.00 cm2, 0.40cm2 e 0.20 cm2, respectivamente. O líquido é ideal,logo sua viscosidade é igual a zero.

(a) Qual é a vazão volumétrica para fora dotanque?

(b) Qual é a velocidade em cada seção do

tubo horizontal?(c) Qual é a altura atingida pelo líquido emcada um dos cinco tubos verticais do lado direito?

(d ) Suponha que o líquido da Figura 14.46b possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidadeigual a 800 kg/m3 e que a profundidade do líquido notanque grande seja tal que a vazão volumétrica doescoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). Adistância entre os tubos laterais entre c e d e adistância entre e e f são iguais a 0.200 m. As áreas dasrespectivas seções retas dos dois diagramas sãoiguais. Qual é a diferença de altura entre os níveis dostopos das colunas de líquido nos tubos verticais em c

e d ? (e) E para os tubos em e e f ?

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( f ) Qual é a velocidade do escoamento aolongo das diversas partes do tubo horizontal?

15

PROBLEMAS DESAFIADORES

14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg ésuspensa do teto de um elevador por meio de umacorda leve. A pedra está totalmente imersa na águade um balde apoiado no piso do elevador, porém a pedra não toca nem o fundo nem as paredes do balde,

(a) Quando o elevador está em repouso, atensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volumeda pedra,

(b) Deduza uma expressão para a tensão na

corda quando o elevador está subindo com umaaceleração constante a. Calcule a tensão na cordaquando a = 2.50 m/s2 de baixo para cima.

(c) Deduza uma expressão para a tensão nacorda quando o elevador está descendo com umaaceleração constante a. Calcule a tensão na cordaquando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo,

(d ) Qual é a tensão na corda quando oelevador está em queda livre com uma aceleração decima para baixo igual a g ?

14.97 Suponha que um bloco de isopor,com ρ = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imerso

na água (Figura 14.47).(a) Qual é a tensão na corda? Faça ocálculo usando o princípio de Arquimedes.

(b) Use a fórmula p = p0 + ρ gh paracalcular diretamente a força exercida pela águasobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguirmostre que a soma vetorial destas forças é a força deempuxo.

14.98 Um tanque grande de diâmetro D estáaberto para a atmosfera e contém água até uma altura H . Um pequeno orifício com diâmetro d (d

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16/26


mesma altura nos dois tubos servindo de referência para o nivelamento. Agora surge a dúvida para oque ocorre quando existe uma bolha no interior damangueira. Nossos velhos profissionais afirmamque o ar não afeta a leitura da altura de umaextremidade para outra. Outros alegam que a bolha

pode causar importantes imprecisões. Você é capazde dar uma resposta relativamente simples para esta pergunta, juntamente com uma explicação?

A figura 14.49 mostra um esquema parailustrar a situação que causou a controvérsia.

16

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17

Gabarito

14-1: 41,8N, não.

14-2:

./1033.3)1074.1(

3

4 )1035.7(

3

433

36

22

3mkg x

m xkg x

r m

V m ====

π π

ρ

14-3:7,03.103 kg/m3; sim.

14-4: O comprimento L de uma aresta docubo é

.3.12/104.21

40 31

33

3

1

3

1

cmmkg x

kg mV L =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

ρ

14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa.

14-6: (a) Peso em cada pneu:16.5

4 porpneu P k = N

Pressão absoluta em cada pneu:205 101, 3 306, 3abs m atm p p p kP = + = + = a

Área em cada pneu:

porpneu porpneu

P p =

2

16.5 40,01348306,3

porpneu

abs

P m p= = =

2 24 4 0,01348 0,05386 538,6t

Área total:2 A A m m c= = ⋅ = = m

(b) Com o peso extra, a repetição docálculo anterior fornece 836 cm2.

14-7: (a) 2,52.106Pa (b) 1,78.105Pa

14-8: ρ = ρ gh =(1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(640 m) =

6.27 x 106 Pa = 61.9 atm.

14-9:(a) 1,07.105Pa (b) 1,03.105Pa(c) 1,03.105Pa (d ) 5,33.103Pa

14-10: ρ gh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(6.1 m)

== 6.0 x 104 Pa.

14-11: 2,3.105Pa

14-12: 130 x 103 Pa + (1.00 x 103 kg/m3)(3.71 m/s2)(14.2 m) – 93 x 103 Pa

(2.00 m2) = 1.79 x 105 N.

14-13: 4,14m

14-14:

2

2 2(1200 )(9.80 / )( / 2) (0.15 ) F mg kg m s A d m

ρ π π

= = =

51.66 10 1.64 . x Pa atm ρ = =

14-15: 0,562m2

14-16: A força de empuxo é:

B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo

.1043.6)/80.9)(/1000.1(

)30.6( 34233

m x smmkg x

N

g

BV

água

−=== ρ

A densidade é dada por

// águaáguam g V B g B

ω ω ρ ρ ρ = = =

3 3 3 317.50(1.00 10 / ) 2.78 10 / .6.30

x kg m x kg m ρ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

14-17: (a) ρ < ρfluido (c) submerso ρ / ρfluido:acima

(ρfluido- ρ)/ρfluido (d ) 32%

14-18: (a) B = ρáguagV = (1.00 x 10

3

kg/m

3

)(9.80 m/s

2

)(0.650 m

3

) = 6370 N.(b)

.558/80.9

90063702 kg sm

N N

g

T B

g m =

−=

−==

(c) (Ver o Exercício 14-17.)Se o volume submerso é V ′,

14-19: (a) 116 Pa (b) 921 Pa(c) 0,822 kg , 822 kg/m3

14-20: (a) Desprezando a densidade do ar,

/m g V

g

ω ω

ρ ρ ρ = = =

3 3

2 3 3

(89 )3.3610

(9.80 / )(2.7 10 / )

N V m

m s x kg m−= =

ou seja 3.4.10-3 m3 com dois algarismos

significativos.

(b) T = ω - B = ω - gρáguaV = ω

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18

.0.567.2

00.11)89(1 N N

alumínio

água =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

ρ

ρ

14-21: 6,67Pa

14-22: Usando a Eq. (14-13),

obtemosm N xe R g

/108.72,2 3−== γ

γ ρ

(a) 146 Pa,(b) 1.46 x 104 Pa (note que este resultado

é 100 vezes maior do que a resposta do item (a)).

14-23: 0.1 N; 0.01 kg

14-24: A análise que conduziu àEq. (14-13) é válida para os poros;

.109.242 7 Pa x D R == γ γ

14-25:

14-26:

12 1

2

Av v

A=

2 3

22 2

(3.50 / )(0.0700 ) 0.245 /m s m m sv

A A= =

(a)(i) A2 = 0.1050 m

2 , v2 = 2.33 m/s.(ii) A2 = 0.047 m

2 , v2 = 5.21 m/s.

(b)v1 A1t = v2 A2t = (0.245 m

3/s)(3600 s)= 882.

14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m.

14-28: (a) Pela equação que precede a Eq.

(14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt obtemos a Eq. (14-16).

(b) A vazão volumétrica diminui de1.50%.

14-29: 28.4 m/s

14-30: (a) Pela Eq. (14-22),

./6.16)0.14(2 smm ghv ===

(b) vA = (16.57 m/s)(π(0.30 x 10-2 m)2) =4.69 x 10-4 m3/s. Note que mais um algarismo

significativo foi mantido nos cálculos intermediários.

14-31:

14-32:

Usando v2 = 14

1

v na Eq. (14-21),

( )2 22 1 1 2 1 21

( )2

p p v v g y y ρ ρ = + − + −

2

2 1 1 1 2

15( )

32 p p v g y y ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4 3 2155.00 10 (1.00 10 ) (3.00) (9.80)(11.0)32

p x Pa x ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠1.62

p Pa=

14-33: 500 N de cima para baixo

14-34:

(a) ./30.10.60

)355.0)(220( skg s

kg =

(b)A densidade do líquido é

33 3

0.3551000 /

0.355 10

kg kg m

x m− =

e portanto a vazão volumétrica é

./30.1/1030.1/1000

/30.1 333

s L sm xmkg

skg == −

Este resultado também pode ser obtido doseguinte modo

./30.10.60

)355.0)(220( s L

s

L=

(b)3 3

1 4 2

1.30 10 /

2.00 10

x m sv

x m

−

−=

1 2 16.50 / , / 4 1.63 / .v m s v v m s= = = (d )

( )2 2

1 2 2 1 2 1

1( )2 p p v v g y ρ ρ y= + − + −

152 (1 / 2)(1000 )(9.80)( 1.35 )

119 .

kPa

kPa

= + −

=

14-35: 0.41cm

14-36:Pela Eq. (14-21), para y1 = y2,

( )2 2

2 1 1 2

1

2 p p v v ρ = + −

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19

22 21

2 1 1 1

1

2 4 8

v1

3 p p v p v ρ ρ

⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 1.80 x 104 Pa +8

3(1.00 x 103 kg/m3)(2.50 m/s)2 =

= 2.03 x 104

Pa,

onde usamos a equação da continuidade21

2

vv = .

14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0

14-38: No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e

explicitando p1 – p2 = ∆ p, obtemos

∆ p = max24 Lv

R

η

3 2

2 24(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )(0.85 10 ) N s m m m s

x m

−

−⋅=

33.4 p Pa= 14-39: (a) 0.128 m3/s (b) 9.72.104 Pa

(c) 0.275 m3/s

14-40: (a) Explicitando na Eq. (14-26) a

pressão manométrica ∆ p = p1 - p2,

4

8 ( / ) L dV dt p

R

η

π ∆ =

3 3 6

6 48(1.0 10 )(0.20 10 )(0.25 10 ) / (15 60)

(5 10 ) x x x x

xπ − − −

−

52.3 10 2.2 .

p x Pa atm∆ = = Esta é a diferença de pressão abaixo da

atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a pressão manométrica é negativa. A diferença de pressão é proporcional ao inverso da quarta potênciado diâmetro, portanto a maior contribuição para estadiferença de pressão é devida à menor seção reta da boca do inseto.

14-41: 5.96 mm/s

14-42: Da equação da velocidadeterminal, Eq. (14-27), obtemos

1

2

6 1t rv mg B mg ρ

πη ρ

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

onde ρ1é a densidade do líquido e ρ2é a densidadedo latão. Explicitando a viscosidade obtemos

rv

mg

π

ρ

ρ

η 6

.12

1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

O raio é obtido de

V = ,3

4 3r m

c

π ρ

=

donde obtemos r = 2.134 x 10-3 m. Substituindo osvalores numéricos na relação precedente η = 1.13 N⋅s/m2, aproximadamente igual a 11 com doisalgarismos significativos.

14-43:(a) 16x maior(b) ½ do valor inicial.(c) dobra seu valor.(d ) dobra seu valor.(e) se reduz a ½ de seu valor inicial.

14-44: Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos:

6π(181 x 10-7 N⋅s/m2)(0.124 m/s)= 2.12.10-4 N

logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a:3.60.10-5.

14-45: (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s.(b)152d(c) in (a), 4; in (b), 1/16.

14-46: (a)

A área da seção reta da esfera é ,4

2 Dπ

portanto .4

)(2

0

D p p F π −=

(b) A força em cada hemisfério produzida pela pressão da atmosfera é

π(5.00 x 10-2 m)2 (1.013) x 105 Pa)(0.975) = 776 N.

14-47: (a) 1.1.108Pa (b) 1080 kg/m3, 5%.

14-48: (a) O peso da água é

ρgV = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)((5.00m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x105 N,

ou seja, 5.9 x 10

5

N com dois algarismossignificativos.

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20

(b) A integração fornece o resultadoesperado: se a pressão fosse uniforme, a força seriaigual ao produto da pressão no ponto médio pelaárea, ou seja,

2

d

F gA ρ = 3(1.00 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50) F x=

51.76 10 F N = ⋅ ou 1.8 x 105 N com dois algarismos

significativos.

14-49: 2.61.104 N.m

14-50:(a) Ver o Problema 14-49; a força total é

dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H,

obtemos F = ρ g ω H 2 /2 = ρ gAH/2, onde A = ω H .(b) O torque sobre um faixa vertical de

largura dh em relação à base édr = dF(H – h) = ρ g ω h(H – h)dh,

e integrando desde h = 0 até h = H, obtemosτ = ρ gAH 2 /6 .

(c) A força depende da largura e doquadrado da profundidade e o torque em relação à base depende da largura e do cubo da profundidade;a área da superfície do lago não influi em nenhumdos dois resultados (considerando a mesma largura).

14-51:

14-52: A barra cilíndrica possui massa M , raio R, e comprimento L com uma densidade proporcional à distância até uma das extremidades,ou seja, ρ = Cx2.

(a) M = ∫ ρ dV = Cx∫ 2dV .O elemento de volume é dado por dV = π R2dx.

Logo a integral é dada por

M = ∫ Cx L

02π R2dx.

A Integração fornece

M = C π R2 ∫ L

0 x2dx = C π R2 .3

3 L

Explicitando C, obtemos C = 3M/ π R2 L3.(b) A densidade para a extremidade x = L

é dada por:

ρ = Cx2 = .3

)(3

22

32 ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ L R

M L

L R

M

π π

O denominador é precisamente igual ao

volume total V , logo ρ = 3M/V, ou três vezes adensidade média, M/V . Logo a densidade média éigual a um terço da densidade na extremidade x= L.

14-53: (a) 12.7 kg/m3 (b) 3140 kg/m3

14-54: (a) A Equação (14-4), com o raio r em vez

da altura y, pode ser escrita na forma

dp = - ρ g dr = - ρ g s(r/R) dr .

Esta forma mostra que a pressão diminuicom o aumento do raio. Integrando, com:

p = 0 em r = R, obtemos

).(2

224 r R R

g dr r

R

g p s

R

s −=−= ∫ ρ ρ

(b) Usando a relação anterior com r = 0 e

3

3

4

M

V R ρ

π = =

Obtemos:24 2

6 23(5.97 10 )(9.80 / )(0) 8 (6.38 10 )kg m s P x mπ =

a11(0) 1.71 10 . P P = ⋅

(c) Embora a ordem de grandeza seja amesma, o resultado não concorda bem com o valorestimado. Em modelos com densidades mais realistas(ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-85), aconcentração da massa para raios menores conduz auma pressão mais elevada.

14-55: (a) 1470 kg/m3 (b) 13.9 cm

14-56: Seguindo a sugestão:

,)2)(( 20

Rh g dy R gy F h

π ρ π ρ == ∫onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R= h é mais ou menos acidental).Substituindo osvalores numéricos obtemos

F = 5.07 x 108 N.

14-57: 9.8.106 kg, sim.

14-58: A diferença entre asdensidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (vero Problema 14-63). A densidade média dos gases no balão é dada por

(5800)1.23

(9.80)(2200)ave ρ = −

30.96 /ave kg m ρ =

14-59: (a) 30% (b) 70%

14-60:

(a) O volume deslocado deve ser aqueleque possui o mesmo peso e massa do

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21

gelo, 33

70.9/00.1

70.9cm

cm g

g = .

(b) Não; quando fundido, a águaresultante terá o mesmo volume que o volume

deslocado por 9.70 g do gelo fundido, e o nível daágua permanecerá o mesmo.

(c)

33

9.709.24

1.05 /

gmcm

gm cm =

(d ) A água resultante do cubo de geloderretido ocupará um volume maior do que o daágua salgada deslocada e portanto um volume de0.46 cm3 deve transbordar.

14-61: 4.66.10-4m3, 5.27 kg.

14-62: A fração f do volume que flutuaacima do líquido é dada por

f = 1 - , fluid ρ

ρ

onde ρ é a densidade média do densímetro (ver oProblema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser

escrita na forma .1

1

f fluid −= ρ ρ

Logo, para dois fluidos que possuem frações de

flutuação f 1 e f 2, temos

.1

1

2

11 f

f

−−

ρ 2 = ρ

Nesta forma é claro que um valor de f 2 maiorcorresponde a uma densidade maior; uma partemaior do flutuador fica acima do fluido. Usando

f 1 =2

3

(8.00 )(0.400 )0.242

(13.2 )

cm cm

cm =

2

2 3

(3.20 )(0.400 )0.097

(13.2 )

cm cm f

cm= =

3(0.839) 839 /alcool águaobtemos kg m ρ ρ = =

14-63: (a) 1.1.104m3 (b)112kN

14-64: (a) O princípio de Arquimedes afirma

que ρ gLA = Mg , logo . A

M L

ρ =

(b) A força de empuxo é dada por:

ρ gA(L + x) = Mg + F ; usando o resultado da parte (a)

e explicitando x obtemos . gA

F x

ρ =

(c) A “constante da mola,” ou seja, a

proporcionalidade entre o deslocamento x e a forçaaplicada F, é k = ρ gA, e o período da of oscilação é

.22 gA

M

k

M T

ρ π π ==

14-65: (a) 0.107m (b) 2.42s

14-66: Para economizar cálculosintermediários, considere a densidade, a massa e ovolume do salva-vidas como ρ 0, m e v, e as mesmasgrandezas referentes à pessoa como ρ 1 , M e V . Aseguir, igualando a força de empuxo com o peso, e

cancelando o fator comum g , obtemos:ρágua ((0.80)V + v) = ρ0v + ρ1V,Eliminando V e m, achamos,

.)80.0(1

0 ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+ v

M M v água

ρ ρ ρ

Explicitando ρ 0, obtemos

0 água1

11 (0.80)

M v M

v ρ ρ

ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

água

água 1

1 (0.80) M

v

ρ ρ

ρ

⎛ ⎞= − −

⎜ ⎟⎝ ⎠3

3 75.0 1.03 101.03 10 1 (8.80)0.0400 980

x x

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

3732 / .kg m= 14-67: 0.0958N

14-68: A força de empuxo sobre a massaA, dividida por g , deve ser igual a

7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg(ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é4.70 g + 3.50 kg = 8.20 kg.

(a) A massa do líquido deslocado pelo bloco é 4.70 kg, logo a densidade do líquido é

./1024.11080.3

70.4 3333

mkg xm x

kg =

−

(b) A balança D fará a leitura da massa do bloco, 8.20 kg, como calculamos acima. A balança Efará a leitura da massa do recipiente mais a massa dolíquido, 2.80 kg.

14-69: 35.5N

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22

14-70: (Note que aumentar x correspondea um deslocamento para a traseira do carro.)

(a) A massa de um elemento de volumeé:

ρ dV = ρ A dxe a força resultante sobre este elemento é dirigida

para a frente e seu módulo é dado por:(p + dp)A – pA = A dp.Pela segunda lei de Newton, A dp = ( ρ A dx)a, ou seja, dp = ρ a dx.(a) Como ρ é constante, e para p = p0

em x = 0, obtemos: p = p0 + ρ ax.(b) Usando ρ = 1.2 kg/m3 no resultado

da parte (a) obtemos(1.2 kg/m3)(5.0 m/s2)(2.5 m) = 15.0 Pa

~15 x 10-5 patm, portanto a variação percentual da pressão

é desprezível.

(c) Seguindo o método da Seção 14-4, aforça sobre a bola deve ser igual à mesma forçaexercida sobre o mesmo volume de ar; esta força éigual ao produto da massa ρ V multiplicada pelaaceleração, ou ρ Va.

(d ) A aceleração da bola é a forçaencontrada na parte (d) dividida pela massa ρ bolaV ,ou ( ρ / ρ bola )a. A aceleração em relação ao carro édada pela diferença entre esta aceleração e aaceleração do carro, logo

arel = [( ρ / ρ bola ) – a]a.(e) Para uma bola cheia de ar,

( ρ / ρ bola ) < 1 (uma bola cheia de ar tende a afundarno ar calmo), e portanto a grandeza entre colchetesna resposta do item (e) é negativa; a bola se desloca para a traseira do carro. No caso de uma bola cheiade hélio, a grandeza entre colchetes é positiva e a bola se desloca para a frente do carro.

14-71: (b) 12.1N (c) 11.8N

14-72: (a) Ver o Problema 14-71.

Substituindo f por, respectivamente, wágua /w ew fluid /w, obtemos ρ aço

ρ fluid =

ω −ω fluid ,

ρ aço

ρ água=

ω −ω água,

e dividindo a segunda equação pela

primeira, obtemos ρ fluid

ρ água=

ω −ω fluid ω − ω água

.

(b) Quando ωfluid é maior do que ωágua, otermo do lado direito da expressão anterior é menor

do que um, indicando que o fluido é menos denso doque a água. Quando a densidade do fluido é igual à

densidade da água, obtemos ωfluid = ωágua, como era

esperado. Analogamente, quando ωfluid é menor doque ωágua, o termo do lado direito da expressãoanterior é maior do que um, indicando que o fluido é

mais denso do que a água.

(c) Escrevendo o resultado do item (a) na

forma: ρ fluid

ρ água=

1 − f fluid 1− f água

E explicitando f fluid , obtemos:

1 (1 ) fluid

fluid água

água

f f ρ

ρ = − −

1 (1.220)(0.128) 0.844 84.4%. fluid f = − = =

14-73: (b) 2.52.10-4

m3, 0.124

14-74: (a) Seja d a profundidade dacamada de óleo, h a profundidade na qual o cubo estásubmerso na água e L a aresta do cubo. Então,

igualando a força de empuxo com o peso, cancelandoos fatores comuns g e a área da seção reta e omitindoas unidades, obtemos

(1000)h + (750)d = (550) L,onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L = L, logo h = (0.65)L – d.

Substituindo a relação anterior na primeiraequação, obtemos

.040.000.5

2

)750()1000(

)550()1000)(65.0(m

L Ld ==

−−

=

(b) A pressão manométrica na face inferiordeve ser suficiente para suportar o bloco, logo

p = ρ madeira gL(550 kg/m

3)(9.80 m/s

2)(0.100 m) = 539 Pa.

Para conferir, a pressão manométrica,calculada pela densidade e profundidade dos fluidos é

((0.040m)(750kg/m3)+(0.025m)(1000kg/m3))(9.80m/s2)

= 39 Pa.

14-75: subiu 5.57.10-4

m

14-76:

(a) A densidade média de um barrilcheio é:

ρ óleo +m

v= 750kg / m3 +

15.0kg

0.120 m3 = 875kg / m

3,

que é menor do que a densidade da água do mar.(b) A fração que flutua (ver o Problema

14-17) é

1 − ρ méd

ρ água= 1 −

875 kg / m3

1030 kg / m3 = 0.150 = 15.0%.

A densidade média é igual a 910

3331172

120.032

mkg

mkg

mkg =+ donde se conclui que

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−

o barril afunda. A fim de elevá-lo é necessário umatensão:

T = (1177)(0.120)(9.80) (1030)(0.120)(9.80) 173T N =

14-77:

(a)(b)

14-78:(a) A variação da altura ∆ y é relacionada

com o volume deslocado ∆V por ∆ y = , A

V ∆ onde A

é a área da superfície da água na eclusa, ∆V é ovolume da água que possui o mesmo peso do metal, portanto

/ água

água

g V y

A A gA

ω ρ ω

ρ

∆∆ = = =

6

3 3 2

(2.50 10 )

(1.00 10 / )(9.80 / )((60.0 )(20.0 ))

x N y

x kg m m s m m∆ =

0.213 . y m∆ = (b) Neste caso, ∆V é o volume do metal;

na relação anterior, ρágua deve ser substituído porρmetal = 9.00ρágua, que fornece

∆ y′ =∆ y9

, e ∆ y − ∆ ′ y =8

9 ∆ y = 0.189 m;

este resultado indica quanto abaixa o nível da água

na eclusa.

14-79: (a) (b)

14-80: (a) A variação da pressão em relação à

distância vertical fornece a força necessária paramanter um elemento de fluido flutuando emequilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para umfluido girando, a variação da pressão em relação aoraio fornece a força necessária para manter umelemento de fluido se acelerando radialmente.

Especificamente, obtemos, padr dr

r

pdp =

∂∂

=

e usando a relação

a = ω 2r obtemos ∂ p∂r

= ρω 2r .

(b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de pa

(pressão atmosférica); integrando a expressão para

r

p

∂∂

indicada na parte (a) obtemos

.)0,( 22

2

r p yr p a ρω +===

(c) Na Eq. (14-5), p2 = pa ,, p1 = p(r, y = 0)como achamos na parte (b), y1 = 0 e y2 = h(r), a altura

do líquido acima do plano y = 0. Usando o resultadoda parte (b) obtemos

h(r) = ω 2r

2 /2g .

14-81:

14-82: Explicitando R na Eq. (14-13)obtemos

3 2

5

2(72.8 10 / )

(0.250 )(1.013 10 )

x N s m R

atm x Pa

− ⋅=

55.75 10

2 R

p

γ =

∆

R x m−=

14-83: 7 N.m

14-84: (a) Como no Exemplo 14-9, a

velocidade de saída da água é igual a .2 gh Depois

de sair do tanque a água está em queda livre e otempo que qualquer porção da água leva para atingir

o solo é dado por

,)(2

g

h H t

−=

e neste intervalo de tempo a água se deslocou umadistância horizontal dada por

.)(2 h H hvt R −==

(b) Note que se

h′ = H – h, h′ (H – h′ ) = (H – h)h,

e portanto h′ = H – h fornece o mesmo alcance.

14-85: 13.1 cm

14-86:

(a) 3 3 1 3 32 ( )v A g y y A= −

2 2

3 3 2)9.80 / )(8.00 ) (0.0160 )v A m s m m=3

3 3 0.200 /v A m s= (b) Como p3 é a pressão atmosférica, a

pressão manométrica no ponto 2 é

( )2

2 2 2 32 3 2 3

2

1 11

2 2

A p v v v

A ρ ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 1

8( )

93 , p g y y ρ = −

Usando a relação anterior encontrada para

v3 e substituindo os valores numéricos obtemos p2 = 6.97 x 10

4 Pa.

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24

14-87: 133 m/s

14-88: (a) Usando a constância do momento

angular, notamos que o produto do radio vezes a

velocidade é constante, logo a velocidade éaproximadamente igual a

(200 km/h) ./17350

30hkm=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

(b) A pressão é menor no "olho", de umvalor dado por

( )2

2 21 1(1.2) (200 ) (17)2 3

p ⎛ ⎞

∆ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠.6

31.8 10 . p Pa∆ = ⋅

(c) g

v

2

2

= 160 m com dois algarismos

significativos.

(d ) A pressão em altitudes mais elevadas

é menor ainda.

14-89: 3h1.

14-90:

(a) ,/

A

dt dV v = logo as

velocidades são 3 3

4 2

6.00 10 /6.00 /

10.0 10

x m sm s

x m

−

− =

3 3

4 2

6.00 10 /1.50 / .

40.0 10

x m sm s

x m

−

− =

(b)

,10688.1)(2

1 422

2

1 Pa xvv p =−=∆ ρ

ou 1.69 x 104 Pa com três algarismos significativos.

(c)

g

ph H g ρ ∆∆ =

4

3 3 2

(1.688 10 )12.7

(13.6 10 / )(9.80 / )

x Pah cm

x kg m m s∆ = =

14-91:

14-92: (a) A força resultante sobre a esfera é a

soma vetorial da força gravitacional, da força de

empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma, obtemos

mg – B – F d = .2

logo,2

Bmg

F mg

d −=

Substituindo F d da Eq. (14-27) eexplicitando vt em termos das densidades obtemos aexpressão para vt conforme visto no Exemplo 14-13,

porém com ρ no lugar de ;2

ρ especificamente,

obtemos22

9 2t

r g v

ρ ρ

η

⎛ ⎞′= −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 23 32 (2.50 10 ) (9.80) (4.3 10 1.26 10 )

9 (0.830 )

x x x

−

= −

s24.99 10 / .t v x m−=

(b) Repetindo o cálculo sem o fator

2

1 e

multiplicando por ρ obtemos:vt = 0.120 m/s.

14-93: (a) 0.0130m/s (b) 2.16 m/s

14-94:

(a) Explicitando p1 – p2 = ∆ p na Eq. (14-29) e fazendo a variação da altura igual a 0, obtemos

4

8dV L p gh

dt R

η ρ

π ∆ = +

2 33

4

8(0.300 / (1.50 10 )(0.0600 / )

(0.055 )

N s m x m p m s

mπ

⎛ ⎞⋅∆ =

⎜ ⎟⎝ ⎠6

.51 10 74.2 p x Pa at ∆ = = m

(b) =∆=dt

dV p P

(7.51 x 106 Pa)(0.0600 m

3/s) = 4.51 x 10

5 W.

O trabalho realizado é ∆ pdV .

14-95:

(a) 6.86.10-5m3/s(b) cd : 0.686m/s; ef : 1.71 m/s; gh: 3.43m/s

(c) c e d : 0.576 m; e e f :0.450m; g e h: 0

(d ) 0.0264m(e) 0.165m

14-96:

(a) O volume V da pedra é

água água

B T V

g g

ω

ρ ρ

−= =

2

4 3

3 3 2

((3.00 )(9.80 / ) 21.0 )8.57 10 .

(1.00 10 / (9.80 / )

kg m s N V x

x kg m m s

−−= = m

Nos referenciais acelerados, todas as

grandezas que dependem de g (pesos, forças deempuxo, pressões manométricas e tensões) podem ser

substituídas pelo valor eficaz g ′ = g + a, com sentido

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positivo orientado de baixo para cima. Logo, atensão éT = mg ′ - B′ = (m - ρ V)g ′ =

T 0 , g

g ′ onde T 0 = 21.0 N.

(b) g ′ = g + a; para a = 2.50 m/s2

,T = (21.0 N) .4.26

80.9

50.280.9 N =

+

(c) Para a = -2.50 m/s2,

T = (21.0 N) .6.1580.9

50.280.9 N =

−

(d ) Quando a = - g, g ′ = 0 e obtemosT = 0.

14-97: (a) 80.4N

14-98: Quando o nível da água é a altura y da abertura, a velocidade de saída da água é dada por

,2 gy e .2)2/( 2 gyd dt

dV π =

À medida que o tanque é drenado, a altura diminui,

logo .2)2/(

2)2/( 2

2

2

gy D

d

D

gyd z

dt

dy⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−=π

π

Esta equação diferencial permite aseparação das variáveis e o tempo T necessário paradrenar o tanque é obtido pela integração da relação

,22

dt g Dd

ydy ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=

cuja integração conduz ao resultado

,2]2[2

0 T g D

d y H ⎟

�

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