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§1.4.2次元ウェバー問題

D = R2

Q = f(x1, . . . , xm! "# $, xm+1, . . . , xn! "# $)

minF!R2

T = t0(d0) +m!

i=1

aiti(di)

偏在要素 遍在要素

企業の最適化問題

仮定A1*,A2,A3

2

最も単純な場合：m=2

!"#$%&'(!

)*+,-! ./0123

(/0123!4!

3

!"#$%&!'()!

'()*+,-.

//01*2345!

678*9*!"#:+,;<!

45*="#23;<!

.!

4

!"#$%&'()!

*+,-./0123'456789:;<=<>!

>

>

>

>

*+,-.?06789:23'@ABC!

(i) 6723D!

(ii) 9:23D! E!

5

!"#$%& ! '()*+,!

-.*/0F

'()12345!

6789:";!

6

!"#$%&#'()*+(,M1M2C%-)

./(0123)

456789:;<*!

7

!"#! i.e., $%&'()*+,M1M2C -!

!.#/(0123456“dominant weight”178!

F ’ d1 ’

d2 ’

do ’

d1 do

d2

'9:;<!=>?1;<!

dominant weight @A!

8

!"#dominant weight$%&'()*+,!

-)

F* = C

*+)./01$234!

ネットワークウェバー問題の場合：

優位ウェイト無し⇒ 分岐点(I )

∵ネットワーク上のみ移動化(i.e.,ショートカット不可)

9

F *!" M1M2C #$%&!'()*+!i.e.,

注4)最適立地点と△M1M2Cの重心とは無関係

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例題　(次回講義において解答します。単純な２次元ウェバー問題として考えてみて下さい。）

A市内の近隣３町（T1,T2,T3）の中学校を統合して新校舎を建設する計画がある。

i)T1,T2,T3 の学生数がそれぞれ350,200,200、学生1人当たりのバス運行費をm円/kmとするとき、新校舎の最適立地点を提案せよ。

ii)T2,T3 の学生数が300に増加したとき、(i)の最適立地点が不変であるためには、 T1の学生数はどれだけ増加する必要があるか。

iii)T2,T3 が(i)案を不服として、２町のみの中学校新設を希望しているとする。m =1000であるとき、２町の独自校の新設運営に伴う追加費用がいくら以上ならば、 T2,T3にとっても(i)案が最適となるか。

T1

T2

T3

5km

6km

5km

α

11

i) min 350md1 + 200md2 + 200md3

! min 350d1 + 200d2 + 200d3

内点解を仮定5 5

3 3

α

T1

T2 T3M!

200 sin! + 200 sin" = 350200 cos ! = 200 cos "

! = "

400 sin! = 350

!̂

4

sin ! =350400

=78

> sin !̂ =45

端点解

T1

T2 T3

350

200 200

12

各端点に立地した場合の総輸送費

T1 = 200!m! 5 + 200!m! 5 = 2000mT2 = 350!m! 5 + 200!m! 6 = 2950mT3 = T2 = 2950m

ii) !300 sin !̂ + 300 sin !̂ = x

200 cos !̂ = 200 cos !̂

! 600 sin !̂ = x

! x = 600" 45

= 480

T1：480-350=130人の増加→　　　　　　(i)の最適立地変更無し

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iii)往復交通費＝1000円とする。

200

T2,T3のみ対象の学校立地の場合：

T1

T2 T3Sd

200

T1,2 = 200!m! d + 200!m! (6" d)= 200!m! 6= 1200! 1000= 1, 200, 000 円

(最適立地点＝T2T3間の任意地点)

T1 ! T1,2 " 2000m! 1200m = 800, 000

∴(i)案による学校運営費節約≧80万円⇒(i)案が最適

新案の交通費節約：