13/11/07 mathÉmatiques financiÈres i vingt et unième cours
TRANSCRIPT
![Page 1: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/1.jpg)
13/11/07
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Vingt et unième cours
![Page 2: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/2.jpg)
13/11/07
Rappel du dernier cours
• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement
![Page 3: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/3.jpg)
13/11/07
Rappel du dernier cours
• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement
![Page 4: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/4.jpg)
13/11/07
Rappel du dernier cours
• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du du ke paiement
![Page 5: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/5.jpg)
13/11/07
Rappel du dernier cours
• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement
• Portion de principal remboursé du ke paiement
• Portion d’intérêt du du ke paiement
• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des paiements égaux
![Page 6: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/6.jpg)
13/11/07
Rappel du dernier cours
• Solde restant d’un prêt: retrospectivement et prospectivement• Portion de principal remboursé du ke paiement• Portion d’intérêt du du ke paiement• Amortissement dans le cas d’un prêt dont le remboursement consiste en des
paiements égaux• Amortissement négatif
![Page 7: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/7.jpg)
13/11/07
Rappel: Solde restant d’un prêt
Rétrospectivement
Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk
![Page 8: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/8.jpg)
13/11/07
Rappel: Solde restant d’un prêt
Rétrospectivement
Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk
Prospectivement
Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn
![Page 9: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/9.jpg)
13/11/07
Rappel: Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk
Cette portion de principal remboursé est
Bk-1 - Bk .
ou encore
![Page 10: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/10.jpg)
13/11/07
Rappel: Portion d’intérêt du ke paiement Pk:
Cette portion d’intérêt est
Pk - (Bk-1 - Bk) .
ou encore
![Page 11: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/11.jpg)
13/11/07
Rappel: Pour un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Le montant emprunté est alors
La table d’amortissement est alors
![Page 12: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/12.jpg)
13/11/07
Rappel: Table d’amortissement
![Page 13: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/13.jpg)
13/11/07
Rappel: La portion de principal des paiements forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i).Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou accumulant selon le cas.
![Page 14: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/14.jpg)
13/11/07
Rappel:
Il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant du prêt diminue avec un paiement, il augmente.
![Page 15: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/15.jpg)
13/11/07
Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux
pour lequel les périodes de capitalisation de l’intérêt et de paiement ne coïncident
pas. Il suffit de revenir au principe de base. Deux options s’offrent à nous, soit de convertir le taux d’intérêt à un dont la
période de capitalisation est la période de paiement, soit de développer la théorie.
![Page 16: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/16.jpg)
13/11/07
Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à
la fin de chaque période de paiement. Supposons qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par
période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Le montant emprunté L est
alors
![Page 17: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/17.jpg)
13/11/07
Table d’amortissement
![Page 18: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/18.jpg)
13/11/07
Exemple 1:
Un prêt de 25 000$ est remboursé par 5 versements égaux à la fin de chaque trimestre au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(12) = 3% par année capitalisé mensuellement. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 2e paiement, la portion d’intérêt et celle de principal du 3e paiement.
![Page 19: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/19.jpg)
13/11/07
Exemple 1: (suite)
Première approche: Déterminons le taux nominal d’intérêt i(4) équivalent au taux i(12) = 3%. Ce taux est i(4) = 3.00750625% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.
![Page 20: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/20.jpg)
13/11/07
Exemple 1 (suite): Table d’amortissement
Période de paiement
Paiement Portion d’intérêtPortion de principal
Solde restant après le paiement
0 25000
1 5113.34 187.97 4925.37 20074.63
2 5113.34 150.94 4962.40 15112.23
3 5113.34 113.63 4999.71 10112.52
4 5113.34 76.03 5037.31 5075.21
5 5113.34 38.16 5075.18 0
![Page 21: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/21.jpg)
13/11/07
Exemple 1: (suite)
Le solde restant immédiatement après le 2e paiement est
La portion d’intérêt du 3e paiement est 15112.20 (0.00751876563) = 113.63$ et la portion de principal remboursé est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$
![Page 22: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/22.jpg)
13/11/07
Exemple 1: (suite)
Deuxième approche: Le taux d’intérêt par mois est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt
![Page 23: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/23.jpg)
13/11/07
Exemple 1: (suite)
Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 3e paiement. Le solde restant après le 2e paiement est
![Page 24: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/24.jpg)
13/11/07
Exemple 1: (suite)
La portion d’intérêt du 3e paiement est B2 [(1.0025)3 - 1] =113.63$ et la portion de principal du 3e paiement est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$.
![Page 25: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/25.jpg)
13/11/07
Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons qu’il y
a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en
période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant
emprunté L est alors
![Page 26: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/26.jpg)
13/11/07
Table d’amortissement
![Page 27: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/27.jpg)
13/11/07
Exemple 2:
Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 3e paiement, la portion d’intérêt et celle de principal du 4e paiement.
![Page 28: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/28.jpg)
13/11/07
Exemple 2: (suite)
Première approche: Déterminons le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent au taux i(4) = 4%. Ce taux est i(12) = 3.986740251% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.
![Page 29: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/29.jpg)
13/11/07
Période de paiement
PaiementPortion d’intérêt
Portion de principal
Solde restant après le paiement
0 5000
1 843.05 16.61 826.44 4173.56
2 843.05 13.87 829.18 3344.38
3 843.05 11.11 831.94 2512.44
4 843.05 8.35 834.70 1677.70
5 843.05 5.57 837.48 840.22
6 843.05 2.79 840.26 0
Table d’amortissement
![Page 30: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/30.jpg)
13/11/07
Exemple 2: (suite)
Le solde restant immédiatement après le 3e paiement est
La portion d’intérêt du 4e paiement est 2512.44 (0.00332228354) = 8.35$ et la portion de principal remboursé est 843.05 - 8.35 = 834.70$
![Page 31: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/31.jpg)
13/11/07
Exemple 2: (suite)
Deuxième approche: Le taux d’intérêt par trois mois est 1% par mois et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt
![Page 32: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/32.jpg)
13/11/07
Exemple 2: (suite)
Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 4e paiement. Le solde restant après le 3e paiement est
![Page 33: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/33.jpg)
13/11/07
Exemple 2: (suite)
La portion d’intérêt du 4e paiement est B3 [(1.01)(1/3) - 1] =8.35$ et la portion de principal du 4e paiement est 843.05 - 8.35 = 834.70$.
![Page 34: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/34.jpg)
13/11/07
Nous allons maintenant étudier une autre situation,
celle des fonds d’amortissement.
![Page 35: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/35.jpg)
13/11/07
Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliers l’intérêt dû et
remboursera complètement le principal L à l’échéance du prêt. Pour accumuler le
montant du prêt à l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des
versements de façon telle qu’il accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds d’accumulation (« sinking fund »)
![Page 36: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/36.jpg)
13/11/07
Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une
partie du prêt. Conséquemment le montant net du prêt est le principal prêté
initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.
![Page 37: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/37.jpg)
13/11/07
Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le
taux d’intérêt est le taux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la fin de chaque période de
capitalisation. Au même moment, un dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Ces dépôts sont
tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n périodes de capitalisation. La période de capitalisation de
l’intérêt du fonds est la même que celle du prêt. Nous obtenons le tableau suivant.
![Page 38: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/38.jpg)
13/11/07
Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période
de capitalisation, alors nous avons l’équation
![Page 39: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/39.jpg)
13/11/07
![Page 40: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/40.jpg)
13/11/07
Exemple 3:
Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds d’amortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt.
![Page 41: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/41.jpg)
13/11/07
Exemple 3: (suite)
Pour déterminer R, il faut noter que nous avons l’équation de valeur suivante à la fin de la cinquième année:
Le montant d’intérêt payé à chaque année
est 5000 (0.05) = 250$.
![Page 42: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/42.jpg)
13/11/07
Période Intérêt payéVersement
dans le fonds
Intérêt gagné par le fonds
pendant la période
Valeur accumulée
dans le fonds
Montant net du prêt
0 5000
1 250 923.14 0 923.14 4076.86
2 250 923.14 36.93 1883.21 3116.79
3 250 923.14 75.33 2881.67 2118.33
4 250 923.14 115.27 3920.08 1079.92
5 250 923.14 156.80 5000.02 0
![Page 43: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/43.jpg)
13/11/07
Exemple 4:
Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5e dépôt.
![Page 44: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/44.jpg)
13/11/07
Exemple 4: (suite)
Nous avons l’équation de valeur suivante:
Conséquemment l’emprunteur versera 3750 + 8434.23 = 12184.23$ à chaque année,
![Page 45: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/45.jpg)
13/11/07
Exemple 4: (suite)
Le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est le montant d’intérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la 5e année. Au début de la 5e année (c’est-à-dire après le 4e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est
Le montant d’intérêt gagné par le fonds pendant le 5e
année est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est3750 - 1058.57 = 2691.43$.
![Page 46: 13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081507/551d9dbe497959293b8e03bc/html5/thumbnails/46.jpg)
13/11/07
Exemple 4: (suite)
Le montant net du prêt à la fin de la 5e année est le montant emprunté 75000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds d’amortissement après le 5e dépôt, à savoir