13 mechanika wykłady i semestr

Projekt „Rozwój i promocja kierunków technicznych w Akademii Morskiej w Szczecinie”

Akademia Morska w Szczecinie, ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin

Materiały dydaktyczne

Mechanika

Semestr I

Wykłady



8. Przedmiot: MECHANIKA Kierunek: Mechatronika

Specjalność: elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów – Studia pierwszego stopnia

Semestr Liczba tygodni w semestrze

Liczba godzin w tygodniu

Liczba godzin w semestrze Punkty

kredytowe A Ć L S Σ A Ć L S

I 15 30 – – – 30 30 – – – Razem w czasie studiów 30 30 – – –

Związki z innymi przedmiotami

– matematyka (wymagana znajomość: rachunku wektorowego, rachunku różniczkowo-całkowego),

– fizyka, – grafika inżynierska, – wytrzymałość materiałów, – podstawy konstrukcji maszyn, – automatyka i robotyka, – siłownie okrętowe, – budowa okrętu i wyposażenie pokładowe.

Zakres wiedzy do opanowania

Po wysłuchaniu wykładów przewidzianych programem oraz odbyciu ćwiczeń student powinien:

Znać →→→→

1. Podstawy teoretyczne mechaniki klasycznej tzn. statyki, kinematyki i dynamiki układów me-chanicznych traktowanych jako ciała doskonale sztywne.

2. Podstawy teoretyczne dotyczące drgań i dynamiki maszyn, tzn. podstawowe zagadnienia mo-delowania i analizy drgań układów mechanicznych liniowych o skończonej liczbie stopni swobody.

Umieć →→→→

1. Analizować układy sił działających na rzeczywiste układy mechaniczne znajdujące się w rów-nowadze statycznej.

2. Analizować ruch rzeczywistych obiektów mechanicznych traktowanych jako ciała doskonale sztywne.

3. Tworzyć i rozwiązywać równania dynamiczne ruchu prostych układów mechanicznych. 4. Zestawić układ pomiarowy, zarejestrować i dokonać analizy drgań mechanicznych występują-

cych w urządzeniach mechanicznych. 5. Dokonać podstawowych pomiarów akustycznych, w szczególności hałasu emitowanego przez

urządzenia mechaniczne. 6. Wyważać statycznie i dynamicznie wirniki urządzeń mechanicznych. 7. Przeprowadzić badania własności dynamicznych układów mechanicznych o jednym i o wielu

stopniach swobody. 8. Zarejestrować i przeprowadzić analizę drgań skrętnych linii wałów układu napędowego.



Treść zajęć wykładowych i ćwiczeniowych w semestrze I

Nr tematu

Tematy i ich rozwinięcie Razem W Ć

1 Podział, zadania i podstawowe pojęcia mechaniki ogólnej. Zasady statyki. Repetytorium z rachunku wektorowego.

4 2 2

2 Redukcja zbieżnego i równoległego układu sił. Para sił i jej własności, moment pary sił (moment obrotowy).

4 2 2

3 Redukcja płaskiego układu sił: wektor główny i moment główny układu sił; redukcja tylko do wypadkowej lub tylko do pary sił.

4 2

2

4 Warunki równowagi statycznej płaskiego układu sił. 2 1 1 5 Moment siły względem osi, warunki równowagi statycznej

przestrzennego układu sił. Środek sił równoległych. 4 2 2

6 Środek ciężkości ciał jednorodnych liniowych, płaskich i przestrzennych.

4 2 2

7 Momenty statyczne, bezwładności i dewiacji punktów mate-rialnych i ciał o skończonych wymiarach (momenty geome-tryczne i masowe).

4 2 2

8 Rodzaje tarcia. Tarcie ślizgowe suche spoczynkowe i kine-tyczne. Tarcie toczne. Tarcie w łożyskach tocznych.

6 3 3

9 Kinematyka punktu materialnego: równania ruchu i tor ru-chu, prędkość i przyspieszenie punktu. Kinematyka punktu w ruchu po okręgu. Ruch harmoniczny punktu materialnego.

6 3 3

10 Kinematyka ciała doskonale sztywnego; ruch postępowy i obrotowy.

4 2 2

11 Kinematyka ciała sztywnego w ruchu płaskim: prędkości i przyspieszenia ciała i jego punktów, chwilowy środek obrotu i środek przyspieszeń.

7 3 4

12 Podstawowe pojęcia teorii mechanizmów i maszyn (człon, para i łańcuch kinematyczny, ruchliwość, więzy)

4 2 -

13 Analiza kinematyczna mechanizmów (położenia i trajektorie, środek obrotu, prędkości i przyspieszenia członu i jego punk-tów). Mechanizmy dźwigniowe, krzywkowe, zębate.

5 2 3

14 Dynamika punktu materialnego: podstawowe pojęcia (w tym siła bezwładności), zadania i prawa dynamiki.

4 2 2

Razem 60 30 30



Temat 1. Podział, zadania i podstawowe pojęcia mechaniki ogólnej.

Podział mechaniki technicznej i miejsce w niej mechaniki ogólnej

Mechanika ogólna jest działem fizyki badającym prawa rządzące ruchem ciał, przy czym kinematyka ,zwana czystą geometrią ruchu, nie uwzględnia przyczyn ruchu, natomiast dynamika poszukuje związków między przyczynami ruchu tj. siłami a ich skutkami tj. parametrami ruchu np. przyspiesze-niem.

Podstawowe pojęcia mechaniki ogólnej

– Modele ciała: punkt materialny i sztywny zbiór punktów materialnych zwany ciałem dosko-nale sztywnym.

– Ruch ciała jako zmiana położenia jednego ciała względem innego; zasada względności ruchu. – Przestrzeń ruchu jest przestrzenią płaską (euklidesową). – Czas ruchu, parametr numerujący kolejność zdarzeń, niezależny od układu odniesienia, od

obserwatora. – Przyczyna ruchu czyli najogólniej mówiąc siła jako wielkość wektorowa, będąca miarą in-

tensywności oddziaływania ciał.

Pojęcie wielkości skalarowej (np. masy, temperatury, długości itp.) i wektorowej (np. prędkości, siły, itp). Układ współrzędnych (kartezjański, prawoskrętny), reguła śruby prawoskrętnej.

W dalszych rozważaniach stosowany będzie tylko układ prawoskrętny.

Y

X

Z Y

X

Z

prawoskrętny

lewoskrętny

O

O



Więzy; typy, charakterystyczne przypadki.

Więzy to ograniczenia nałożone na ruch ciała. Typy więzów: idealne (bez tarcia) i nieidealne (z tarciem). Charakterystyczne przypadki więzów spotykane najczęściej w urządzeniach mechanicznych: przegub walcowy, przegub kulisty, podpora przesuwna, utwierdzenie.

Położenie ciała w przestrzeni. Liczba stopni swobody ciała.

Punkt materialny Ciało doskonale sztywne

Punkt swobodny ma 3 stopnie swobody.

(trzy translacje względem trzech osi) Ciało swobodne ma 6 stopni swobody.

(trzy translacje i trzy obroty względem osi X,Y,Z) Zasady statyki (aksjomaty, pewniki , których się nie dowodzi)

1. Zasada równoległoboku „Dwie siły zaczepione w jednym punkcie można zastąpić jedną tylko siłą zwaną wypadkową, będącą przekątną równoległoboku zbudowanego na tych siłach”.

2. Zasada równoważenia się dwóch sił (zwanych „dwójką zerową”) „Dwie siły pozostają w równowadze, jeżeli mają ten sam kierunek, przeciwne zwroty i tę sa-mą wartość liczbową”.

3. Zasada układu zerowego sił „Działanie układu sił nie ulegnie zmianie, jeżeli do układu zostanie dodany (lub od niego od-jęty) układ sił równoważących się (w szczególności „dwójka zerowa)”.

4. Zasada akcji i reakcji (trzecie prawo Newtona) „Dwa ciała oddziałują na siebie siłami o tych samych kierunkach, przeciwnych zwrotach i tej samej wartości liczbowej”.

5. Zasada oswobodzenia od więzów „Ciało nieswobodne można uwolnić od więzów, zastępując je ich siłami reakcji, i dalej rozpa-trywać je jako ciało swobodne znajdujące się pod działaniem sił zewnętrznych, czynnych i sił reakcji więzów”.

6. Zasada zesztywnienia „Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie ulegnie zachwianiu, jeżeli potraktuje się to ciało jako doskonale sztywne”.

Twierdzenie o posuwności siły działającej na ciało doskonale sztywne (wynika z trzeciej zasady statyki)

„Siła działająca na ciało doskonale sztywne jest wektorem posuwnym, tzn. można ją przesuwać do dowolnego miejsca na jej linii działania”. Literatura: [2], rozdz. 1. str. 11÷26.

P(x,y,z)

Y

X

Z

O

x y

z Y

X

Z



Temat 2: Redukcja układów sił do najprostszej postaci

Układy sił mogą być:

1. Przestrzenne, tj. o liniach działania sił rozmieszczonych dowolnie w przestrzeni.

2. Płaskie, tj. o liniach działania sił leżących w jednej płaszczyźnie; wśród nich wyróżnia się:

1) Układ zbieżny, tj. o liniach działania przecinających się w jednym punkcie, np. układ

elementarnych sił ciężkości działających na duże obiekty w otoczeniu Ziemi.

2) Układ równoległy dwóch sił

a) o zwrotach zgodnych;

b) o zwrotach przeciwnych i o różnych wartościach liczbowych;

c) o zwrotach przeciwnych i tej samej wartości liczbowej czyli para sił.

3) Dowolny (inaczej ogólny) płaski układ sił.

W dalszej części rozważa się prawie wyłącznie układy płaskie (ze względu na ograniczoną objętość wykładu).

2.1. Układ zbieżny

Redukcje przeprowadza się sposobem wykreślnym i analitycznym.

Sposób wykreślny (graficzny)

Plan sił Wielobok sił

O

��

��

Skala sił np. 100 N

��

��

��

��

��

��

��

�� = ��

�� = ��



Konstrukcja wypadkowej na planie sił:

– Rozważa się układ sił zbieżnych w punkcie O. – Na planie sił w pewnej skali narysowano układ trzech sił ��, �� i ��. – Siły układu zbieżnego, jako wektory posuwne, przesuwa się kolejno do punktu zbieżności O. – Wykorzystując zasadę równoległoboku, składa się kolejno każde dwie siły przesunięte do

punktu zbieżności. – Wypadkową sił ��i �� jest siła ��; wypadkową sił �� i �� jest �� itd. – W rozważanym układzie są trzy siły a ich wypadkową �� jest siła ��. Położenie jak i war-

tość siły wypadkowej określone są wektorem �� na planie sił.

Zauważmy, że konstrukcja wypadkowej na planie sił staje się mało czytelna przy większej liczbie sił. Bardziej czytelna jest konstrukcja wpadkowej za pomocą wieloboku sił:

– W pewnym punkcie na płaszczyźnie działania sił rysuje się w pewnej skali pierwszą z sił np. ��. – Do końca siły �� zaczepia się kolejną siłę np. ��, itd. – Początek pierwszej (tutaj ��) i koniec ostatniej siły (tutaj ��) wyznaczają wektor wypadkowej ��. – Można dowieść, na podstawie podobieństwa odpowiednich trójkątów, że wektory wypadko-

wej �� na planie sił i na wieloboku sił są wektorami równoległymi, o tym samym zwrocie i tej samej wartości liczbowej.

Sposób analityczny

Na podstawie powyższych analiz można sformułować następujące twierdzenie:

�� = �� + �� = �� + �� = � ��

��

; �� = � ��

��

� = �� + ��

cos � = �� ; sin � = ��

� ��

O

α

X

Y

��

��

��

��

��

��

�� = ��



„Zbie żny układ sił można zawsze zredukować do jednej siły wypadkowej, będącej sumą geome-tryczną sił układu i przechodzącą zawsze przez punkt zbieżności układu”.

2.2. Układ równoległy dwóch sił o zwrotach zgodnych lub przeciwnych

Rozważa się najpierw układ dwóch sił równoległych ��i �� o zwrotach zgodnych, konstruując wypad-kową na planie sił i za pomocą wieloboku sił.



Konstrukcja wypadkowej na planie sił:

– Przyjmuje się pewną skalę sił i pewną skalę odległości. – Siły ��i �� zaczepia się w dowolnych punktach A1 i A2 na ich liniach działania.

– Dodaje się siły �′�� i �′��′ leżące na tej samej linii, mające przeciwne zwroty i tę sama wartość; ,

zgodnie z zasadą układu zerowego sił, nie zmieniają one działania układu sił �′�� i �′��′. – Zgodnie z zasadą równoległoboku wyznacza się wypadkowe �� dla sił ��i �′�� oraz �� dla

sił �� i �′��′. – Przesuwa się wypadkowe �� i ��, zgodnie z twierdzeniem o posuwności sił, wzdłuż ich linii

działania do punktu D zbieżności tych sił. – Wyznacza się, zgodnie z zasadą równoległoboku, wypadkową �� sił �� i ��; jest to jedno-

cześnie wypadkowa pierwotnego układu sił ��i ��.


��

��

��

��

C

��

A1

A2

D

��

�′�� ′′��

��

��

��

Skala odległości np. 1 m



Konstrukcja wypadkowej za pomocą wieloboku sił:

– Zaczepia się w dowolnym punkcie na płaszczyźnie działania sił pierwszą siłę tj. ��. – Do jej końca zaczepia się siłę drugą tj. ��. – Początek pierwszej siły i koniec siły drugiej wyznaczają wektor wypadkowej �� sił ��i ��. Si-

ła ta jest oczywiście równoległa, równa co do wartości i o tym samym zwrocie co siła wypad-kowa �� wyznaczona na planie sił.

Sposób analityczny

Wartość wypadkowej �� jest na podstawie konstrukcji wieloboku sił sumą wartości sił ��i ��, tzn.

� = �� + �� [N]

Położenie wypadkowej (która jest oczywiście równoległa do sił układu) na planie sił określa punkt C. Punkt ten dzieli odcinek ��na dwa odcinki �� i �� . Na podstawie podobieństwa trójkątów

A1CD i trójkąta sił �� ′�� ,oraz A2CD i trójkąta sił �� ′��′�� można udowodnić, że stosunek długo-ści odcinków �� i �� jest następujący

�� = ��

tzn. jest odwrotnie proporcjonalny do wartości sił leżących przy tych odcinkach. Na podstawie przeprowadzonych analiz można sformułować twierdzenie:

„Wypadkowa dwóch sił równoległych o zwrotach zgodnych leży zawsze między liniami działania sił, w odległościach od nich odwrotnie proporcjonalnych do wartości tych sił, a jej wartość jest

sumą wartości tych sił”.



Rozważmy teraz układ dwóch sił równoległych o zwrotach przeciwnych i różnych wartościach licz-bowych.



Wypadkową �� konstruuje się podobnie jak dla sił o zwrotach zgodnych, w sposób opisany powyżej. W tym przypadku jednak wektor �� otrzymany za pomocą wieloboku sił, przesunięto na plan sił i położono na linii działania CD, wyznaczonej punktem D, będącym punktem przecięcia linii działania wypadkowych �� i ��. Analityczny opis redukcji sił jest w tym przypadku następujący:

� = �� − �� !"#!$# = %$%"

Na podstawie przeprowadzonych konstrukcji można sformułować twierdzenie:

„Wypadkowa dwóch sił równoległych o zwrotach przeciwnych i różnych wartościach liczbowych leży na zewnątrz obszaru ograniczonego liniami działania tych sił, w odległościach od tych sił

odwrotnie proporcjonalnych do wartości tych sił, a jej wartość liczbowa jest równa różnicy war-tości siły większej i mniejszej”.

Zauważmy, że jeżeli różnica wartości sił �� i �� będzie maleć do zera, wówczas kierunek A2D będzie zbliżać się do kierunku A1D, czyli punkt przecięcia D linii działania wypadkowych �� i �� będzie oddalał się do nieskończoności a wartość wypadkowej �� będzie dążyć do zera. W granicznym przy-padku równych wartości liczbowych sił �� i �� wypadkowa �� jest wektorem zerowym. Taki układ dwóch sił równoległych nazywa się parą sił. Literatura: [2], rozdz. 2.1. str. 27÷29.


Skala odległości np. 2 m

A1

A2

C

D

��

��

��

��

��

��

�′��

�′��′

��



2.3. Para sił i jej własności

Definicja pary sił: „Par ą sił nazywa się dwie siły równoległe (lecz o różnych liniach działania), przeciwnych

zwrotach i tej samej wartości liczbowej”. Wypadkowa pary sił jest wektorem zerowym, lecz działanie pary sił nie jest zerowe. Przedstawia się je wektorem momentu pary sił &��. Definicja momentu pary sił &��: - wektor '�� jest prostopadły do płaszczyzny pary sił;

- zwrot wektora '�� wynika z reguły śruby prawoskrętnej: śrubę prawoskrętną ustawia się jej osią prostopadle do płaszczyzny pary sił i obraca w kierunku działania pary sił (tutaj w prawo), wówczas ruch translacyjny śruby wyznacza zwrot wektora momentu pary sił (tu-taj do góry);

- wartość momentu '�� jest równa iloczynowi wartości sił pary ()��*( = ()��+( i ramienia pary h

('��( = ' = ()��*( ∙ - = ()��+( ∙ - [/0]

Własności pary sił:

– Moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna względem którego jest wyznaczany, czyli jest wektorem swobodnym.

– Równoważność dwóch par sił oznacza równość geometryczną wektorów momentów tych par. – Parę sił można przenieść do dowolnego miejsca na płaszczyźnie pary sił lub na płaszczyznę

do niej równoległą. – Para sił nie zmieni się, jeżeli proporcjonalnie powiększy się wartość sił i zmniejszy ramię pary

(lub odwrotnie), tak aby wartość M momentu pary sił nie uległa zmianie

' = ()��*( ∙ - = ()��+( ∙ - = 23456

– Układ par sił można zastąpić jedną tylko parą o momencie równym sumie geometrycznej momentów tychże par składowych.

– Pary sił nie można zastąpić jedną tylko siłą lecz inną parą o takim samym momencie. – Dowolny układ par sił pozostaje w równowadze jeżeli suma geometryczna momentów tychże

par jest wektorem zerowym

'�� = � 7��8 = 9

Literatura: [2] rozdz. 3.2÷3.4. str. 66÷74.

��

��

&��

h



Temat 3. Redukcja dowolnego płaskiego układu sił

3.1. Redukcja siły do dowolnego punktu

Rozważa się siłę �� zaczepioną w pewnym punkcie A. Czym można ją zastąpić w pewnym innym punkcie O?

Na podstawie powyższej analizy można sformułować twierdzenie:

„Dowolną siłę )�� można zastąpić w dowolnym punkcie O siłą )��′ do niej równoległą, o tej samej wartości liczbowej i tym samym zwrocie, oraz parą sił )��, )′′�� o momencie równym momentowi

siły )�� względem punktu redukcji O”.

3.2. Wektor główny i moment główny układu sił

Redukuje się płaski układ n sił ��, o kierunkach dowolnie rozmieszczonych względem siebie, do pew-nego dowolnego punktu O.


��

��

��

��′ ��′

��′ Skala sił np.

O

&�� = &��:�

&��= &��:�&��= &��:� ;��<

'��<

��

��

��

;��<

O’

O

A

��

�′��

�′′��

&��: = &��

Dodajmy w punkcie O „dwójkę zerową”

sił �′�� i �′′��, równoległych i o przeciwnych zwrotach oraz równoległych do siły �� i o tej samej wartości jak siła ��. Siły te nie zmieniają

działania układu sił. Zauważmy, że siły �� i �′′�� tworzą parę sił o momencie &�� równym mo-mentowi &��: siły �� względem punktu O.



– Każdą z sił �� układu zastępuje się w punkcie O, na podstawie wyżej udowodnionego twier-dzenia (punkt 3.2), siłą ��′ oraz parą sił �� , ��′′ o momencie &�� równym momentowi &��:� siły �� względem punktu redukcji.

– Układ zbieżny n sił �� można zastąpić (na podstawie 2.1) jedną tylko siłą wypadkową ;��< zwaną wektorem głównym układu sił.

– Układ n par sił o momentach &�� można zastąpić (na podstawie 2.3) jedną tylko parą sił o mo-mencie '��< zwanym momentem głównym układu sił.

Na podstawie powyższej analizy można sformułować twierdzenie:

„Dowolny płaski układ sił można zawsze zredukować w dowolnym punkcie do wektora główne-go ;��<, który jest sumą geometryczną sił układu oraz do pary sił o momencie '��< równym sumie

geometrycznej momentów sił układu względem punktu redukcji”.

;��< = � )��>?4

>�*= � )��>

4>�*

'��< = � '��> =4>�*

� '��@>4

>�*

Analityczny opis wektora głównego ;��< i momentu głównego '��<.

3.3. Redukcja płaskiego układu sił tylko do wypadkowej lub tylko do pary sił

Załóżmy, że płaski układ sił został zredukowany w punkcie O do wektora głównego ��A ≠ 0 i pary sił

o momencie &��A. Połóżmy w punkcie O układ współrzędnych OXYZ.

X

Y

Z

D��

�� = �� ∙ � + �� ∙ �� A = �A� ∙ � + �A� ∙ �� A� = � ��

��

[E] �A� = � ��

��

[E] �A = ��A�� + �A�� [E] &��A = &AF ∙ D�� = � &��:�

��

=

= �G�� ∙ H� − �� ∙ I�J [EK]��

��

��

��

��′ ��′

��′ Skala sił np. 1000 N

O

&�� = &��:�

&�� = &��:�

&�� = &��:� ;��<

'��< � ��



Równanie linii działania wypadkowej

Moment wypadkowej �� zastępującej działanie całego układu sił jest równy momentowi głównemu &��A, czyli na podstawie tw. Varignona można napisać równanie

&��A = &AF ∙ D�� = G�� ∙ H − �� ∙ IJ ∙ D�� czyli

&AF = �� ∙ H − �� ∙ I = �A� ∙ H − �A� ∙ I

stąd po przekształceniach otrzymuje się równanie linii działania wypadkowej w postaci kierunkowej

ILH) = �A��A� H − &AF�A�

Na podstawie powyższych analiz można sformułować twierdzenia:

„Jeżeli wektor główny jest niezerowy ;��< ≠ 9, to płaski układ sił można zredukować do jednej

tylko siły wypadkowej ;�� równoległej, o tym samym zwrocie i tej samej wartości liczbowej jak wektor główny”.

„Jeżeli wektor główny jest wektorem zerowym ;��< = 9, to płaski układ sil można zredukować

co najwyżej do pary sił o momencie równym momentowi głównemu '��<”.

„Jeżeli ;��< = 9 i '��< = 9 to układ sił pozostaje w równowadze”.

Literatura: [2] rozdz. 4. str. 75÷81.

• Przyjmijmy parę sił �� i �′�� równoległych do ��A, o wartościach równych wartości �A leżących w odległości ℎ = &A �A⁄

czyli o momencie równym &��A.

• Siły �′�� i ��A tworzą „dwójkę zerową”, można je więc odjąć od układu.

• Pozostaje jedynie siła ��, zwana wypad-kową, zastępująca działanie całego układu n sił. �′��

�� A &��A

X

Y

Z

h

O � ��

D�� (x, y)



Temat 4: Warunki równowagi statycznej płaskiego układu sił

Warunki ogólne (wektorowe)

Wektor główny ��A i moment główny &��A muszą być jednocześnie równe zero ;��< = 9 '��< = 9

Warunki wykre ślne (graficzne)

Aby wektor główny był zerowy ��A = 0 wielobok sił musi być zamknięty.

Aby moment główny był zerowy &��A = 0 tzw. wielobok sznurowy musi być zamknięty.

Warunki analityczne inaczej równania równowagi statycznej

Wektor główny na płaszczyźnie OXY jest zerowy jeżeli jego składowe na osiach OX i OY są zerowe, a moment główny jest zerowy, jeżeli suma momentów sił układu względem dowolnego punk-tu A płaszczyzny OXY jest równa 0

�A� = � �� = 0 ��

�A� = � �� = 0 ��

&AF = � &�! = 0 ��

lub alternatywne dwa układy równań

�A� = � �� = 0 ��

� &�! = 0 ��

� &�O = 0 H PQR SRTU ⊥ WX. �Z ��

� &�! = 0 ��

� &�O = 0 ��

� &�# = 0 punkty A, B i C niewspółliniowe ��

Twierdzenie o równowadze trzech sił nierównoległych „Aby trzy siły nierównoległe mogły być w równowadze muszą być zbieżne”.




Temat 5. Wybrane zagadnienia układu sił przestrzennych

5.1. Moment siły względem osi

Rozważmy siłę �� w ogólności skośną względem pewnej osi l.

Można sformułować następujące twierdzenie:

„Momentem siły względem osi jest rzut na tę oś wektora momentu tejże siły, wyznaczonego względem dowolnego punktu tej osi”.

Literatura: [2] rozdz. 7.6. str. 152÷155.

5.2. Warunki równowagi statycznej przestrzennego układu sił.

Dowolny układ sił, podobnie jak układ płaski, można zawsze zredukować w dowolnym punkcie do wektora głównego ��A i momentu głównego &��A. Aby układ był w równowadze statycznej, oba wekto-ry muszą być jednocześnie zero. Stąd warunki ogólne (inaczej wektorowe)

��A = 0 &��A = 0

Nie istnieją oczywiście, jak w przypadku płaskiego układu sił, warunki wykreślne (graficzne). Warunki analityczne (inaczej warunki równowagi statycznej) są układem sześciu równań. Pierw-sze trzy warunkują zerowanie się składowych wektora głównego na osiach układu OXYZ, natomiast trzy kolejne zerowanie się rzutów wektora momentu głównego na osie układu OXYZ, czyli momen-tów sił układu względem osi układu OXYZ

&��! = X� × ��

&��i = (&��!( cos �

• Rozłóżmy siłę �� na dwie składowe: ��∥ Q ��k; Moment względem osi l ma jedynie składowa ��k.

• Wyznaczmy moment &��! siły �� względem dowolnego punktu A leżą-cego na osi l

• Zrzutujmy prostokątnie &��! na oś l.

• Można udowodnić, że rzut ten jest momentem &��i siły ��k względem osi l, czyli momentem siły � �� względem osi l. Stąd

A

X� &��!

�� ∥

��k &��i

�

l



�A� = � ��

��= 0 ; �A� = � ��

��

= 0 ; �AF = � ��F�

��= 0

&A� = � &��

��= 0 ; &A� = � &��

��

= 0 ; &AF = � &�F�

��= 0


5.2. Środek sil równoległych.

Rozważa się układ n sił równoległych �� o niezmiennych wartościach i stałych punktach zacze-pienia. Założenia te spełniają elementarne siły ciężkości ciał o niewielkich rozmiarach względem glo-bu ziemskiego, a więc nawet największe budowle inżynierskie: mosty, wieże, statki itp.

Dokonajmy obrotu wszystkich sił układu wokół ich stałych punktów zaczepienia o ten sam kąt α w płaszczyznach równoległych do np. płaszczyzny OXZ. Okaże się, że ze względu na przyjęte założe-nia, wypadkowa �� ulegnie obrotowi o kąt α, lecz dalej będzie zaczepiona w tym samym punkcie CLH# , I# , m#). Punkt ten nazwano środkiem sił równoległych spełniających powyższe założenia.

Współrzędne środka sił równoległych.

Na podstawie definicji momentu siły względem osi można napisać dla 1-ej i i-tej siły

&�� = −�� L��FH�) oraz &�� = −�� L��FH�)

oraz dla całego układu n sił

&�� = � &��

��= �[−�� L��FH�)]�

��= −��L��FH�)�

��

�� ∥ ��n ∥ op �� = const Założenia:

LH�, I� , m�) = const

Składając dwie kolejne siły równoległe układu (w sposób opisany w pkt. 2.2), np. �� i �� otrzymuje się wypadkową �� zaczepioną w punkcie leżącym na odcinku wyznaczonym punktami zaczepienia sił �� i ��. Po złożeniu wszystkich sił układu otrzymuje się wypadkową �� zaczepioną w pewnym punkcie C.

X

Y

Z

O � �� D��

��

��

��

�� = ��

LH�, I�, m�) LH�, I�, m�) LH# , I# , m#)

�

H�

I�



Analogicznie dla wypadkowej

�� = � ��F�

��

moment wypadkowej jest równy

&�� = −�� F = −�� F�

��

stąd z porównania obu powyższych momentów otrzymuje się wyrażenie określające współrzędną H#

H# = ∑ L��FH�)��∑ ��F��

Analogiczne rozumowania prowadzą do wyrażeń określających współrzędne I# i m#

I# = ∑ L��FI�)��∑ ��F�� m# = ∑ L��Fm�)��∑ ��F��


Temat 6: Środek ciężkości ciała

Rozważa się ciała o rozmiarach, jak wspomniano już w punkcie 5.3, niewielkich względem globu ziemskiego. Rozważania dotyczą więc największych nawet budowli, konstrukcji inżynierskich jak np. statków, mostów, wież, żurawi portowych i budowlanych, wież wiertniczych itp.

Współrzędne środka ciężkości i tw. podstawowe o środku ciężkości.

Na podstawie rozważań punktu 5.3. można określić wyrażenia na współrzędne środka ciężkości

∆s�� ∥ ∆s�n ∆s� = const LH�, I�, m� = const)

Elementarne siły ciężkości rozważanego ciała speł-niają założenia, analogiczne do założeń przyjętych dla rozważanego wcześniej układu sił równoległych

Istnieje więc taki punkt C(xC,yC,zC) zwany środkiem ciężkości ciała, w którym niezmiennie jest zaczepiona wypadkowa s� elementarnych sił ciężkości ciała.

�LH# , I# , m#)

∆s�� ∆s�n

s�

LH�, I� , m�)

X

Y

Z



H# = ∑ L∆s�H�)��∑ ∆s�� = ∑ L∆t� u� v H�)��∑ L∆t� u� v)�� = ∑ L∆t� u� H�)��∑ L∆t� u�)�� = ∑ L∆K�H�)��∑ ∆K�� = ∑ L∆K�H�)�� K

gdzie: u� [kg/m3] gęstość ciała w i-tym punkcie; v ≅ 9.81 [m/s2] przyspieszenie ziemskie; ∆K� [kg] masa i-tego elementu ciała; K = ∑ ∆K�� [kg] masa ciała; ∆K�H� = ∆{:|}� [kgm] elementarny masowy moment statyczny ciała względem płaszczyzny OYZ. Analogicznie można wyznaczyć wzory określające pozostałe współrzędne środka ciężkości C. Osta-tecznie otrzymano wyrażenia:

H# = ∑ L∆K�H�)�� K ; I# = ∑ L∆K�I�)�� K ; m# = ∑ L∆K�m�)�� K

Jeżeli powyższe wyrażenia zapisze się w innej postaci, otrzyma się podstawowe twierdzenie o środ-ku ciężkości:

�L∆K�H�)��

= K H# �L∆K�I�)��

= K I# �L∆K�m�)��

= K m#

„Rzeczywisty moment statyczny ciała wyznaczony względem dowolnej płaszczyzny (lub w przy-padku układów płaskich względem dowolnej osi) jest równy momentowi statycznemu całego

ciała skupionego w jego środku ciężkości”. Ponadto łatwo udowodnić inną postać powyższego twierdzenia: „Moment statyczny ciała wyznaczony względem płaszczyzny (w układzie płaskim względem osi)

przechodzącej przez środek ciężkości, jest równy zero”.

6.2. Środek ciężkości ciała jednorodnego.

W ciele jednorodnym gęstość ciała ρ w każdym punkcie ciała jest taka sama, przy czym rozróżnia się ciała:

- objętościowe (trójwymiarowe) ρv = ρ [kg/m3] (większość rzeczywistych ciał) - powierzchniowe (dwuwymiarowe) ρp [kg/m2] (np. blachy, powłoki, itp.) - liniowe (jednowymiarowe) ρl [kg/m] (np. liny, pręty, itp.).

Współrzędne środka ciężkości ciała jednorodnego objętościowego można otrzymać na pod-stawie wyrażeń dla ciała jednorodnego

H# = ∑ L∆s�H�)��∑ ∆s�� = ∑ L∆t� u� v H�)��∑ L∆t� u� v)�� = ∑ L∆t� H�)��∑ ∆t�� = ∑ L∆t� H�)�� t

i analogicznie



I# = ∑ L∆t� I�)�� t

m# = ∑ L∆t� m�)�� t

Podobne wzory można otrzymać dla ciała powierzchniowego i liniowego, przy czym w miejsce obję-tości należy podstawić pole powierzchni lub długość linii. Z powyższego wynika twierdzenie:

„Środek ciężkości ciała jednorodnego jest jego środkiem geometrycznym”.

Ponadto można łatwo udowodnić twierdzenie

„Jeżeli ciało jednorodne posiada płaszczyznę, oś lub środek symetrii to jego środek ciężkości leży na tej płaszczyźnie, na tej osi lub w tym środku symetrii”.


Temat 7: Momenty bezwładności i dewiacji (geometryczne i masowe)

Momenty te są pewnymi wskaźnikami charakteryzującymi geometrię lub rozkład masy ciała w prze-strzeni.

7.1. Momenty bezwładności i dewiacji punktu materialnego względem elementów układu OXYZ

X

Y

Z

P(x,y,z)

x y

z rx

ry

rz

rz

r

O

~:�| = Km� [kgm�] ~:�} = KI� ~:|} = KH� ~� = KX�� = KLI� + m�) [kgm�] ~� = KX�� = KLH� + m�) ~F = KXF� = KLH� + I�)

Momenty bezwładności punktu o masie m - względem płaszczyzn układu (tzw. płaszczy-znowe)

- względem osi układu (tzw. osiowe)

- względem bieguna O (tzw. biegunowy) ~: = KX� = KLH� + I� + m�) [kgm2]



Można sformułować twierdzenia:

~:�| + ~:�} + ~:|} = ~:

~� + ~� + ~F = 2~:

Momenty dewiacji (inaczej odśrodkowe) punktu materialnego o masie m względem płaszczyzn ukła-du OXYZ

�� = KHI [kgm2]

��F = KIm

�F� = KmH

7.2. Momenty bezwładności i dewiacji ciała płaskiego względem elementów układu OXY

Dla jednorodnego ciała płaskiego o gęstości powierzchniowej ρp między momentem materialnym i geometrycznym zachodzi zależność

I = I ρp ; D = D ρp

W dalszym ciągu rozważa się więc tylko momenty geometryczne.

Całkowite momenty bezwładności i dewiacji ciała otrzymuje się po zsumowaniu momentów elemen-tarnych po całej powierzchni ciała P, czyli po scałkowaniu różniczek momentów bezwładności i de-wiacji

�� = � �� = � I�� [m�] �� = � �� = � H��

�: = � ��: = � X�� = �LH� + I�) �� [m�] �� = � �� = � HI�� [m�]

X

Y

x

y

r

dP

P

O

Elementarne momenty bezwładności i dewiacji ciała - względem osi układu (tzw. osiowe) �� = I�� [m4] �� = H�� - względem bieguna O (tzw. biegunowy) ��: = X�� [m4] - moment dewiacji względem osi OX i OY �� = HI�� [m4] gdzie dP jest różniczką pola powierzchni w m2.



Można sformułować następujące twierdzenie:

�� + �� = �:

„Suma momentów bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych jest równa mo-mentowi bezwładności względem bieguna będącego częścią wspólną tych osi”.

Promień bezwładności ciała względem osi lub bieguna:

„Jest to taka odległość il od osi l lub iA od bieguna A, że całe ciało skupione w tej odległości od osi l lub bieguna A ma moment bezwładności równy momentowi rzeczywistemu Il lub I A ”.

>� = �~�� [0] ; >� = �~�� [0]

7.3. Transformacja momentów bezwładności i dewiacji przy równoległym przesunięciu osi. Twierdzenia Steinera.

Rozważa się zmianę momentów bezwładności i dewiacji ciała płaskiego przy równoległym przesunię Po obliczeniu powyższych całek otrzymuje się wzory wyrażające treść twierdzeń Steinera:

�� = �� + � ∙ Δy� [m�] �� = �� + � ∙ Δx�

�� = �� + Δx ∙ Δy ∙ P [m�] “Moment bezwładności ciała względem danej osi jest równy sumie momentu bezwładności ciała względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek ciężkości C ciała, oraz iloczynu

pola powierzchni ciała i kwadratu odległości między osiami”.

�� = � I� �� [m�] �� = � H� ��

�� = � HI�� [m�]

Transformacja współrzędnych przy równoległym przesunięciu osi OX i OY o ∆x i ∆y H = H# − ∆x I = I# − ∆y

Momenty bezwładności i dewiacji względem osi OX i OY przesuniętych w stosunku do osi OCXC i OCYC o ∆x i ∆y są określone całkami

XC

YC

C=OC

dP

xc

yc

X

Y

∆y

∆x

O



Łatwo wykazać również prawdziwość następującego twierdzenia: „Spośród momentów bezwładności wyznaczonych względem pęku prostych równoległych, naj-mniejszym jest moment bezwładności wyznaczony względem prostej przechodzącej przez śro-

dek ciężkości ciała”. Literatura: [3] rozdz. 7. str. 142÷170.

Temat 8: Tarcie

Spośród wielu rodzajów tarcia rozważa się tutaj jedynie tarcie ślizgowe suche i tarcie toczne.

8.1. Tarcie ślizgowe suche.

Jest to siła oporu, jaka występuje między suchymi powierzchniami dwóch ciał ślizgających się po sobie. Powierzchnie ciał nie są rozdzielone jakąkolwiek warstwą smarującą, np. oleju, wody, itp. Tar-cie to występuje np. w suchych sprzęgłach ciernych, hamulcach ciernych, między suchymi po-wierzchniami znitowanych blach, między suchą nawierzchnią drogi a oponą samochodową. Zjawisko tego tarcia opisują prawa Coulomba-Morena.

Prawa Coulomba-Morena:

1. Siła tarcia ślizgowego suchego nie zależy od wielkości powierzchni trących się ciał lecz od rodzaju tych powierzchni, czyli od rodzaju materiału, chropowatości powierzchni, kierunku linii obróbkowych, zapylenia.

2. Wartość siły tarcia spoczynkowego, w zależności od wielkości zewnętrznej siły czynnej )��, zmienia się od zera do wartości maksymalnej �� proporcjonalnej do wartości siły nacisku wzajemnego ciał ��; współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik µs tarcia ślizgo-wego suchego spoczynkowego 9 < � ≤ �� = µs N Zwrot siły tarcia spoczynkowego jest przeciwny do kierunku poślizgu jaki wystąpiłby, gdyby tego tarcia nie było.

3. Wartość siły tarcia ruchowego (kinetycznego) nie zależy od prędkości poślizgu wzajemnego ciał, jej zwrot jest przeciwny do kierunku poślizgu a wartość proporcjonalna do siły nacisku wzajemnego ciał ��; współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik tarcia ruchowego µr �� = ��

Orientacyjne wartości współczynnika tarcia ślizgowego suchego

��

��

��

��

E��

φ



Skojarzenie Współczynnik

tarcia ruchowe-go ��

Współczynnik tarcia spoczyn-

kowego �

Stal - żeliwo 0.18 0.30 Stal - stal 0.1 0.17

Stal - mosiądz 0.15 0.19 Stal - grafit 0.08 0.12 Stal - teflon 0.04 0.09 Stal - szkło 0.08 0.19

Kąt tarcia φ jest to największy kąt, o jaki może odchylić się całkowita reakcja �� podłoża od kierunku normalnego do powierzchni, gdy tarcie jest maksymalnie rozwinięte czyli ma wartość �¡¢�

tg£ = �¡¢�� = � EE = � czyli

£ = arctg � Literatura: [2] rozdz. 2.7. str. 51÷59.

8.2. Tarcie toczne.

Rozważania niniejsze dotyczą elementów tocznych stosunkowo sztywnych, np. elementów łożysk tocznych: kulek, wałeczków, igiełek, stożków itp., kół jezdnych kolejowych, tramwajowych, wózków jezdnych suwnic, żurawi portowych itp., dla których tzw. promień toczny nie ulega istotnej zmianie. Rozważania nie dotyczą więc np. gumowych kół jezdnych samochodowych, które ulegają istotnym odkształceniom.

Orientacyjne wartości współczynnika δ tarcia tocznego:

A=O X

Y

δ

��

��

��

s�

r

Uzasadnienie powstawania oporu przy toczeniu wymaga przyjęcia odkształcalno-ści np. podłoża. Siła reakcji normalnej podłoża nie jest wówczas przyłożona w jednym punkcie A teoretycznego styku elementu tocznego z podłożem, lecz rozłożona na pewnej po-wierzchni. Wypadkowa �� jest przesunięta z punktu teoretycznego styku z podłożem A o wiel-kość δ zwaną współczynnikiem tarcia tocznego.



δ 0.5 mm dla elementów drewnianych δ 0.005÷ 0.01 mm dla elementów stalowych utwardzanych powierzchniowo

Równania równowagi statycznej elementu tocznego:

� �� = � − � = 0

� �� = −s + �� = 0

� &�! = � ∙ X − �� ∙ δ = 0

Z trzeciego równania wynikają wnioski konstrukcyjne:

� = δX ∙ �� = δX ∙ s [N]

„Aby siła czynna F niezbędna do toczenia elementu była jak najmniejsza, promień elementu r musi być jak najwi ększy, a współczynnik tarcia tocznego δδδδ jak najmniejszy”.

Tarcie w łożyskach tocznych.

Rozważania niniejsze są oczywiście ogromnym uproszczeniem rzeczywistego zjawiska tarcia wystę-pującego w łożyskach tocznych.

��

��F� E��

2δ

ℎF�

A

d/2

� &�! = �F� ∙ ℎF� − �� ∙ 2¨ = 0

�F� = 2¨ℎF� �� = 2¨ℎF� ∙ E [N]

&© = �F� ∙ �2 = 2¨ℎF� ∙ E ∙ �2 = �� ∙ E ∙ �2 [Nm]

Opory tarcia w łożysku redukuje się do średnicy czopa łoży-ska. Równanie równowagi momentów sił działających w łożysku

a stąd wartość zredukowanej siły tarcia

oraz moment sił tarcia w łożysku

gdzie ��= 2¨/hzr jest współczynnikiem tarcia ruchowego łoży-ska.



Wartości współczynnika tarcia ruchowego łożysk tocznych

Typ łożyska

Współczynnik tarcia rucho-

wego �X Kulkowe zwykłe przy obciążeniu promieniowym 0.002 Kulkowe zwykłe przy obciążeniu osiowym 0.004 Kulkowe wahliwe 0.0015 Igiełkowe 0.008 Stożkowe przy obciążeniu promieniowym 0.008 Stożkowe przy obciążeniu osiowym 0.020


Temat 9: Kinematyka punktu materialnego

9.1. Równania ruchu i toru ruchu punktu materialnego.

Ruch punktu materialnego to zmiana położenia punktu względem innego ciała, uważanego za ciało odniesienia. Obowiązuje oczywiście zasada względności ruchu. Z ciałem odniesienia wiąże się układ współrzędnych, względem którego określa się położenie punktu materialnego.

Współrzędne kartezjańskie.

X

Y

Z

� �� D�� X� P(x,y,z)

x

y

z

O

[

tor ruchu X� = X�LU) = HLU) ∙ � + ILU) ∙ �� + mLU) ∙ D��

H = HLU); I = ILU); m = mLU)

ªLH, I, m) = 0

Równanie wektorowe ruchu punktu

jest równoważne trzem równaniom parametrycznym skalarowym opisującym współrzędne kartezjańskie jako funkcje czasu t

Jeżeli z powyższych równań można wyeliminować czas t, czyli istnieje funkcja

to jest ona równaniem toru ruchu punktu materialne-go we współrzędnych kartezjańskich.



Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie OXY

Współrzędne walcowe

Współrzędne biegunowe w przestrzeni trójwymiarowej (sferyczne)

X

Y

Z

x

y

z

φ

Θ

O

X� P(x,y,z)

H = HLU); I = ILU) ; m = mLU)

X = «H� + I� + m� ; £ = arc tg ¬IH ® = arc cos m

«H� + I� + m�

X = XLU) ; £ = £LU) ; ® = ®LU)

Jeżeli istnieją równania parametryczne ruchu we współrzędnych kartezjańskich

to ze względu na transformacje współrzędnych

istnieją również równania we współrzędnych sferycznych

H = HLU); I = ILU) ; m = mLU)

£ = arc tg ¬IH ; u = «H� + I� ; m = m

£ = £LU) ; u = uLU) ; m = mLU)

Jeżeli istnieją równania parametryczne ruchu we współrzędnych kartezjańskich

to ze względu na transformacje współrzędnych

istnieją również równania ruchu we współrzędnych walcowych

X

Z

Y

x

y

z

ρ

X� P(x,y,z)

O

φ

X

Y

O

φ

x

y P(x,y)

X�

H = HLU); I = ILU)

H = X ∙ cos£ ; I = X ∙ sin£

£ = arc tg IH ; X = «H� + I�

£ = £LU) ; X = XLU)

Jeżeli istnieją równania parametryczne ruchu we współ-rzędnych kartezjańskich

które związane są zależnościami ze współrzędnymi bie-gunowymi r, φ

lub

to istnieją więc również równania ruchu we współrzęd-nych biegunowych



Współrzędna łukowa

Załóżmy, że punkt materialny porusza się po pewnej krzywej, w ogólności w przestrzeni trójwymia-rowej.


9.2. Prędkość punktu materialnego.

Prędkość �̄ punktu materialnego jest wektorem określającym szybkość zmiany jego położenia.

Ponieważ

�T� = �H� + �I� + �m�

stąd

¯ = °�T�U° = �±�H�U²� + ±�I�U²� + ±�m�U²� = «H³ � + I³ � + m³� [m s⁄ ] Wektor prędkości można przedstawić również za pomocą pochodnej geometrycznej promienia wo-dzącego X�

X

Y

Z

τ

P0 P1

P2

O

X�

´X�

TLU) s(t)+∆s

�̄ µ�¶

| �̄| = ¯ = ° lim∆ →¶∆T∆U° = °�T�U° = |T³| [m s⁄ ]

¹�� = º5º6 »��9

Przy ∆U → �U → 0: - kierunek siecznej P0P1 zmierza do kierunku stycz-nej τ - współrzędna łukowa s zmieniła się o ∆T → �T czyli wartość prędkości punktu

stąd wektor prędkości chwilowej punktu

� �� D��

T = TLU)

Jeżeli kolejnym punktom P0, P1, P2, P3 , … na torze ruchu punktu, odpowiadającym czasom U¶ = 0, t1, t2, …, przyporządkuje się współrzędne tzw. łukowe s0 = 0; s1, s2, s3, …, które są równe długości drogi przebytej przez punkt materialny wzdłuż toru ruchu punktu od chwili początkowej, to oznacza że określono równanie ruchu punktu we współrzędnej łukowej P0 P1

P2

P3

s0 = 0 s1

s2

s3



¹�� = ¼80∆6→9∆��∆6 = º��º6

a ponieważ X� = H ∙ � + I ∙ � �� + m ∙ D��, stąd więc również

�̄ = H³ ∙ � + I³ ∙ �� + m³ ∙ D�� Na podstawie powyższego można sformułować twierdzenie:

„Pr ędkość jest wektorem stycznym do toru ruchu, zwrocie zgodnym z aktualnym kierunkiem ruchu i o wartości liczbowej równej wartości bezwzględnej pochodnej współrzędnej łukowej

względem czasu”.

9.3. Przyspieszenie punktu materialnego.

Wektor przyspieszenia ½� określa szybkość zmiany wektora prędkości �̄ punktu materialnego.

Wektor ½� jest więc równy granicy ilorazu różnicowego przyrostu ∆ �̄ i przyrostu czasu ∆U → 0

�� = ¼80∆6→9∆¹��∆6 = º¹��º6 = º+��º6+ = ��¾

czyli jest wektorem stycznym do hodografu prędkości tj. linii kreślonej przez koniec wektora prędko-ści zaczepionego w jednym punkcie np. O’. Ponieważ X� = H ∙ � + I ∙ � �� + m ∙ D�� stąd wektor ½� można rozłożyć na składowe na osiach układu OXYZ

½� = ��X��U� = H¾ ∙ � + I¾ ∙ � �� + m¾ ∙ D��

Wartość wektora przyspieszenia

|½�| = ½ = «H¾ � + I¾ � + m¾� [K T�⁄ ]

O' ̄

�� ̄

½�

hodograf prędkości

X

P0

� �� D��

Y

Z

τ

P1

P2

O

X� �̄ µ�¶ �̄

¯�� ¯�� ∆ �̄ P��¶

¿��¶ n

b S ρ



Wprowadza się ruchomy układ współrzędnych naturalnych trzech osi wzajemnie prostopadłych: stycznej τ, normalnej n i binormalnej b z wersorami µ�¶, P��¶ Q ¿��¶. Układ ten podczas ruchu punktu poru-sza się wraz z nim w ten sposób, że oś τ pozostaje niezmiennie styczna do toru ruchu punktu material-nego. Można wykazać, że wektor przyspieszenia jest sumą geometryczną dwóch składowych: stycznej i normalnej

½� = � �̄�U = ��U ±�T�U µ�¶² = �¯�U ∙ µ�¶ + ¯�u ∙ P��¶ = ½À ∙ µ�¶ + ½� ∙ P��¶

gdzie: ρ [m] – promień krzywizny toru ruchu punktu materialnego ρ = P0S, S – środek krzywizny toru

½À = �¯�U [m s�⁄ ] składowa styczna

½� = ¯�u [m s�⁄ ] składowa normalna

|½�| = ½ = «½À� + ½�� [m s�⁄ ] wartość przyspieszenia. Twierdzenie:

„Wektor przyspieszenia punktu �� jest sumą geometryczną składowej stycznej ��», która od-zwierciedla szybkość zmiany wartości prędkości punktu, oraz składowej normalnej ��4, która

odzwierciedla szybkość zmiany kierunku prędkości punktu”.

9.4. Kinematyka punktu w ruchu po okręgu.

∆£

£ X

Y

O

R P s

P1

�̄

τ

| �̄| = ¯ = lim∆©→¶∆T∆U = lim∆©→¶

R ∙ ∆£∆U

= R ∙ lim∆©→¶∆£∆U = R ∙ d£dU = R ∙ Ä [m s⁄ ]

Ä = d£dU = £³ [rad s⁄ ] prędkość kątowa

Rozważa się ruch punktu materialnego po okrę-gu o promieniu R. W czasie ∆U punkt P przebędzie drogę kątową ∆£ oraz drogę liniową ∆T . Wektor prędkości �̄ ma więc wartość

gdzie:

punktu w ruchu po okręgu.




Temat 10: Kinematyka ciała doskonale sztywnego; ruch postępowy i obrotowy dokoła stałej osi

Przykłady szczególnych przypadków ruchu ciała doskonale sztywnego.

10.1. Ruch postępowy ciała doskonale sztywnego.

R1=2R2

R2

ω0

ω1=ω0/2

tłok w ruchu postępowym

korbowód w ruchu płaskim wał korbowy w ruchu obrotowym dokoła stałej osi

½À = d¯dU = dLR ∙ Ä)dU = R ∙ dÄdU = R ∙ ε [m s�⁄ ] ½� = ¯�

u = LR ∙ Ä)�R = R ∙ Ä� [m s⁄ �]

½ = «½À� + ½�� = «LR ∙ ε)� + LR ∙ Ä�)� = = R «ε� + Ä� [m s⁄ �] Ê = dÄdU = Ä³ = d�£dU� = £¾ [rad s�⁄ ]

Wektor przyspieszenia punktu ½� jest sumą geome-tryczną składowej stycznej ½�À i składowej normal-nej ½��, przy czym

gdzie:

przyspieszenie kątowe punktu w ruchu po okręgu

£ X

Y

R P

n

τ

½�À ½�

½��

O



Inne przykłady ruchu postępowego

Takie samo twierdzenie dotyczy przyspieszeń dwóch dowolnych punktów ciała. Literatura: [2] rozdz. 12. str. 272÷281.

AB�� ∥ A′B′��

∆X�! = ∆X�O

lim∆©→¶∆X�!∆U = lim∆©→¶

∆X�O∆U

�̄! = �̄O

½�! = ½�O

Z definicji ciała doskonale sztywnego wynika AB =A’B’

oraz z definicji ruchu postępowego

stąd czworobok ABB’A’ jest równoległobokiem, czyli

oraz

a stąd

Po ponownym zróżniczkowaniu otrzymuje się

Z powyższego wynika twierdzenie: „W ruchu postępowym ciała doskonale sztywnego prędkości dwóch dowolnych punktów ciała są w

danej chwili takie same”.

X

Y

Z

A’

B

A

B

O

X�!X�O

�̄O

∆X�O

∆X�!

�̄!



10.2. Ruch obrotowy ciała doskonale sztywnego dokoła stałej osi.

Załóżmy, że ciało obraca się dokoła osi OZ. W czasie ∆t ciało przebywa drogę kątową ∆φ [rad].

ρ

X�

X

Y

Z

∆φ φ

Ê� Ä��

� �� D��

�̄

α

Ä�� = lim∆©→¶∆£ D��∆U = D�� lim∆©→¶

∆£ ∆U = �£�U D�� = £ ³ D��

Ê� = lim∆©→¶∆Ä D��∆U = D�� lim∆©→¶

∆Ä ∆U =

= �Ä�U D�� = Ä³ D�� = £¾ D��

�̄ = Ä�� × X�

Wprowadza się pojęcie wektora prędkości kątowej ciała, który określa szybkość zmiany w czasie drogi kątowej ∆φ

oraz pojęcie wektora przyspieszenia kątowego ciała, który określa szybkość zmiany w czasie wektora pręd-kości kątowej

Oba wektory Ä�� i Ê� pozostają niezmiennie na osi obrotu ciała OZ. Można udowodnić, że prędkość �̄ dowolnego punktu ciała można określić wyrażeniem

bowiem - �̄ ⊥ Ä�� Q �̄ ⊥ X� - zwrot ̄� wynika z reguły śruby prawoskrętnej dla wektorów ̄�, Ä�� i X� - wartość ¯ = Ä X sin � = Ä u [m/s].




Temat 11: Kinematyka ciała doskonale sztywnego w ruchu płaskim

Przykłady ruchu płaskiego ciała doskonale sztywnego. Koło toczące się po prostoliniowym torzeKoło satelitarne obiegające koło

w płaszczyźnie pionowej słoneczne (centralne)

Definicja:

„W ruchu płaskim punkty ciała poruszają się w płaszczyznach niezmiennie równoległych do pewnej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kieruj ącą”.

Punkty ciała leżące na prostej prostopadłej do płaszczyzny kierującej kreślą identyczne tory ruchu. Ruch ciała może być więc opisany ruchem przekroju płaszczyzną związaną sztywno z ciałem, np. płaszczyzną kierującą. Załóżmy, że płaszczyzną kierującą jest płaszczyzna OXY.

�� = ��» + ��4

Można udowodnić ponadto, że przyspieszenie liniowe ½� dowolnego punktu ciała można określić wyrażeniem

gdzie: ��» = Ë�� × �� przyspieszenie styczne ½�À ⊥ Ê� i ½�À ⊥ X� zwrot ½�À wynika z reguły śruby prawoskrętnej dla wektorów Ê�, X� i ½�À wartość ½À = Ê ∙ X ∙ sin� = Ê ∙ u [m/s2]

��4 = Ì�� × ¹�� = Ì�� × LÌ�� × ��) przyspieszenie normalne − ½�� ⊥ Ä�� i ½�� ⊥ �̄ zwrot ½�� wynika z reguły śruby prawoskrętnej dla

wektorów Ä��, �̄ i ½�� − wartość ½� = Ä ∙ ¯ ∙ sin90° = = Ä ∙ LÄ ∙ X ∙ sin�) = Ä� ∙ u [m/s2]. Wartość całkowita przyspieszenia ½ = «½À� + ½�� = u ∙ √Ê� + Ä� [m/s2] ��

X

Y

Z

∆φ φ

Ê� Ä��

� D��

α

½�� ½�À

½�

X�



11.1. Przemieszczenie ciała w ruchu płaskim

Położenie ciała może być opisane jednoznacznie położeniem dwóch różnych punktów ciała, np. A i B, wyznaczających odcinek AB��, leżący w przekroju ciała płaszczyzną kierującą. Dokonano przemieszczenia ciała w taki sposób, że odcinek AB�� znalazł się w położeniu A′B��′.

Twierdzenie:

„Przemieszczenie ciała w ruchu płaskim można uważać jako złożenie przesunięcia równoległego o wektor translacji ∆�� dowolnego bieguna A oraz obrotu dokoła tego bieguna, przy czym kąt

obrotu ∆Ï nie zależy od wyboru tego bieguna”.

I twierdzenie Eulera:

„Przemieszczenie ciała w ruchu płaskim może być dokonane za pomocą obrotu wokół pewnego punktu zwanego środkiem obrotu”.

11.2. Prędkość kątowa ciała i prędkości liniowe jego punktów.

Rozważmy dwa położenia ciała określone położeniami odcinka AB�� i A′B′��. Przemieszczenie punktu B można przedstawić za pomocą przyrostów promieni wodzących punktów A i B

A

B

X

Y

Z

A’

B’ B1

∆φ

∆X�!

∆X�O



Z powyższych rozważań wynika twierdzenie:

„Pr ędkość ¹��Ð dowolnego punktu ciała B jest sumą geometryczną prędkości ¹�� pewnego bieguna A i pr ędkości względnej ¹��Ð/� = Ì�� × ��Ð tegoż punktu względem bieguna A, która jest prędko-

ścią punktu B w ruchu po okręgu o środku w biegunie A, z prędkością kątową ω”.

Ponieważ kąt obrotu ∆φ nie zależy od wyboru bieguna, stąd twierdzenie:

„Pr ędkość kątowa ciała ω w ruchu płaskim nie zależy od wyboru bieguna, względem którego jest wyznaczana”.

Oznacza to, że prędkość kątowa ω ciała względem bieguna A jak i bieguna B, jest w danym momen-cie taka sama. Szczególne przypadki ruchu płaskiego: - ruch postępowy, gdy ω = 0, gdyż wówczas ̄�O = �̄!; - ruch obrotowy dokoła osi przechodzącej przez punkt A, gdy �̄! = 0.

11.3. Chwilowy środek obrotu ciała. Centroida stała i ruchoma.

Punkt Sv, którego prędkość jest w danej chwili równa zero, jest punktem, wokół którego w danej chwi-li obraca się ciało. Punkt taki nazwano chwilowym środkiem obrotu lub środkiem prędkości. Sposoby znajdowania chwilowego środka obrotu Sv:

∆X�O = ∆X�! + ∆X�O/!

lim∆©→¶∆X�O∆U = lim∆©→¶

∆X�!∆U + lim∆©→¶∆X�O/!∆U

lim∆©→¶∆X�O/!∆U = lim∆©→¶

G∆£ D��J × X�!O∆U =

= ± lim∆©→¶∆£∆U ∙ D��² × X�!O = GÄ D��J × X�!O

�̄O = �̄! + Ä�� × X�!O

Rozważmy granice powyższych przy-rostów

przy czym

stąd

gdzie Ä�� jest prędkością kątową ciała w danej chwili.

X

Y

Z

O

A B

A’

B’

B1

∆£

X�! X�O

∆X�O ∆X�! ∆X�!

∆X�O/!

� �� D��



1. Na podstawie znajomości kierunków prędkości dwóch punktów ciała A i B

2. Na podstawie znajomości prędkości �̄! pewnego bieguna A i prędkości kątowej Ä�� ciała w da-nej chwili.

Podczas płaskiego ruchu ciała chwilowy środek obrotu kreśli na płaszczyźnie kierującej krzywą zwaną centroidą. Centroida wykreślana w układzie nieruchomych osi nazywa się centroidą stałą, zaś w układzie osi ruchomych, związanych z ciałem – centroidą ruchomą. Ruch płaski można interpreto-wać jako toczenie się bez poślizgu centroidy ruchomej po centroidzie stałej.

�̄! = �̄Ò + Ä�� × {Ó�� ̄Ò = �̄! − Ä�� × {Ó�� = = �̄! + Ä�� × �{Ó�� = 0

�̄! = −Ä�� × �{Ó�� = − �̄Ò/!

�̄Ò/! = − �̄!

�{Ó = ¯Ò/!Ä = ¯!Ä

Prędkość punktu A określona jest równaniem

czyli

stąd

oraz ostatecznie

i odległość ASv jest równa

�̄!

�̄!

�̄Ò/! ω A

�̄Ò =0

Sv

Kierunek prędkości �̄! punktu A mu-si być prostopadły do promienia SvA okręgu po jakim w danej chwili wiru-je punkt A. Podobnie jest z kierun-kiem prędkości �̄O punktu B. Chwilowy środek obrotu Sv musi więc leżeć na przecięciu się prostych prostopadłych do kierunków prędko-ści �̄! i �̄O w punktach A i B.

A

k. ̄ �!

k. ̄ �O B

Sv



11.4. Przyspieszenie kątowe ciała i przyspieszenia liniowe jego punktów.

Przyspieszenie liniowe ½�O pewnego punktu B z definicji jest pochodną względem czasu jego prędko-ści �̄O

½�O = � �̄O�U

przy czym na podstawie poprzednich rozważań

�̄O = �̄! + Ä�� × X�!O

stąd

½�O = ��U L �̄! + Ä�� × X�!O) = � �̄!�U + ��U LÄ�� × X�!O) = ½�! + �Ä��U × X�!O + Ä�� × �X�!O�U

gdzie:

�Ä��U = Ê� przyspieszenie kątowe ciała

�X�!O�U = �̄O/! = Ä�� × X�!O prędkość względna punktu B względem punktu A.

Ostatecznie

��Ð = �� + Ë�� × ��Ð + Ì�� × LÌ�� × ��Ð) = �� + ��Ð/�» + ��Ð/�4 = �� + ��Ð/�

gdzie ½�O/!À = Ê� × X�!O − przyspieszenie względne styczne punktu B względem punktu A ½�O/!� = Ä�� × LÄ�� × X�!O) − przyspieszenie względne normalne punktu B względem A ½�O/! = ½�O/!À + ½�O/!� − przyspieszenie względne punktu B względem punktu A

X

Y

Z

A B

Ê� Ä��

X�O

X�!O

½�O

½�!

½�O/! ½�O/!À

½�O/!�

½�!

X�!

Ô

tgÔ = ½O/!À½O/!� = Ê ∙ X!OÄ� ∙ X!O = ÊÄ�

β kąt nachylenia przyspieszenia względnego ½�O/! względem prostej AB łączącej punkt B z biegunem A



½O/! = �G½O/!À J� + G½O/!� J� = «LÊ ∙ X!O)� + LÄ� ∙ X!O)� = X!O ∙ «Ê� + Ä� [K T�⁄ ] −

wartość przyspieszenia względnego Twierdzenie:

„Przyspieszenie ��Ð dowolnego punktu ciała B jest sumą geometryczną przyspieszenia �� pew-nego bieguna A oraz przyspieszenia względnego ��Ð/� punktu B względem bieguna A, które z

kolei jest sumą geometryczną przyspieszenia względnego stycznego ��Ð/�» i przyspieszenia względnego normalnego ��Ð/�4 ”.

11.5. Środek przyspieszeń

Przyspieszenie dowolnego punktu B jest sumą geometryczna ½�! pewnego bieguna A i przyspieszenia względnego ½�O/! punktu B względem punktu A. Jeżeli dla pewnego punktu B zachodziłby warunek

½�O/! = −½�!

to przyspieszenie całkowite punktu B byłoby równe 0. Punkt taki nazwano środkiem przyspieszenia Sa ciała w ruchu płaskim. Jak znaleźć środek przyspieszenia ciała?

Gdy znane są kierunki przyspieszeń dwóch punktów ciała oraz prędkość kątowa ω i przyspieszenie kątowe ciała Ê�, wyznaczamy kąt β i odkładamy dwie proste odchylone od przyspieszeń punktów o kąt β w kierunku wyznaczonym zwrotem przyspieszenia Ê�. Punkt przecięcia tych prostych wyznacza śro-dek przyspieszeń Sa. Literatura: [2] rozdz. 13. str. 300÷337.

tg Ô = ÊÄ�

AS¢ = ½Ö√Ê� + Ä�

Załóżmy, że znane jest przyspieszenie ½�! pewnego bieguna A oraz prędkość kątowa ciała ω i przyspieszenie kątowe ciała Ê�. Przyspieszenie względne ½�O/! jest odchylo-ne od prostej AB o kąt β wyznaczony rów-naniem

Należy więc od kierunku przyspieszenia ½�! pewnego bieguna A odmierzyć kąt β w kie-runku wyznaczonym znakiem przyspiesze-nia Ê� i narysować prostą ASa. Środek przy-spieszeń Sa leży na tej prostej w odległości

X

Y

Z

A

B=Sa ε

β

β ½�!

½�!

½�O/!

Ê� O



Temat 12: Podstawowe pojęcia teorii mechanizmów i maszyn

Współczesne urządzenia techniczne np. statki, dźwigi, pojazdy lądowe i powietrzne, zbiorniki, słupy trakcji elektrycznej, mosty, roboty itp. to systemy złożone z ciał materialnych stałych, płynnych i ga-zowych. Wśród nich można wyróżnić urządzenia zmieniające swoją geometrię lub położenie, zwane maszynami. Składają się one najczęściej z wielu mechanizmów, spełniających określone zadania np. zamieniają ruch posuwisto-zwrotny tłoka na ruch obrotowy wału korbowego i dalej śruby okrętowej lub koła jezdnego pojazdu. Elementy składowe mechanizmów, wykonujące ruchy względne, nazywa się członami lub ogniwami, np. w mechanizmie korbowo-tłokowym są nimi: tłok, korbowód, wał korbowy.

Człony (ogniwa) najczęściej są elementami sztywnymi (ich odkształcenia są pomijalnie małe) ale mogą być również elementami odkształcalnymi np. sprężyny zaworowe silników, sprężyny resorów samochodowych lub płyny zamknięte w cylindrach siłowników hydraulicznych: hamulców, robotów, koparek itp. Człon układu, mechanizmu, najczęściej nieruchomy, względem którego określa się ruch pozostałych członów nazywa się podstawą lub ostoją. Dla mechanizmu korbowo-tłokowego jest to korpus silnika, głowica, cylinder. Wśród członów ruchomych wyróżnia się człony czynne, do których jest przyłożony napęd układu i człony bierne tzn. te, które są napędzane. W mechanizmie korbowo-tłokowym członem czynnym jest tłok a biernym - wał korbowy. Korbowód można nazwać członem pośredniczącym. Ze względu na rodzaj ruchu wykonywanego przez człony wyróżnia: korby wykonujące pełny ruch obrotowy, wahacze wykonujące ruch obrotowy nawrotny w granicach części kąta pełnego, suwaki wykonujące ruch postępowy itp.

Części członów przystosowane do połącze-nia z innymi członami nazywa się półpara-mi lub półwęzłami. Wyróżnia się człony 2- , 3-, … , n-węzłowe. Obok pokazano przykład członu dwuwęzłowego i jego schemat.

korbowód

tłok

wał korbowy



Liczbę półwęzłów członu oznacza się symbolem N2, N3, N4,…, Nn zaś liczbę takich członów w ukła-dzie, mechanizmie symbolem n2, n3, n4, …, nn. Połączenie ruchowe członów, umożliwiające wzajemny ruch względny członów, nazywa się parą kinematyczną lub węzłem kinematycznym. Pary kinematyczne dzieli się na przestrzenne i płaskie.

Typy członów N2 N3 N4 N5

W układzie płaskim

W układzie przestrzennym

Pary kinematyczne dzieli się m.in. na klasy według liczby stopni swobody jednego członu wzglę-dem innego. Stopnie swobody rozumie się w sposób omówiony w temacie 1.

Człony w parach kinematycznych nakładają na siebie ograniczenia czyli więzy, odbierając sobie wza-jemnie pewną liczbę stopni swobody. Człony dysponują więc w parach kinematycznych mniejszą niż ciała swobodne liczbą stopni swobody. Wszystkie pary kinematyczne podzielono na tej podstawie na 5 klas oznaczonych cyframi rzymskimi: I, II, III, IV i V. Numer klasy oznacza liczbę stopni swobody jednego członu względem drugiego.

Swobodny człon ma więc sześć stopni swobody, rozumianych jako możliwość wykonywania trzech niezależnych translacji Tx, Ty, Tz i trzech niezależnych obrotów Rx, Ry, Rz względem trzech osi układu OXYZ.

Tx

Ty

Tz

Ry

Rx

Rz



Klasa Symbol Przykład rozwiązania

I

II

III

IV

V

Łańcuchem kinematycznym nazywa się połączenie ruchowe kilku członów.

Ruchliwością lub stopniem ruchliwości W układu nazywa się liczbę stopni swobody jakimi dyspo-nują człony układu względem jednego z nich, lub inaczej, ruchliwość można określić liczbą ograni-czeń ruchów (więzów), które nałożone na ruchome człony układu powodują, że układ staje się sztyw-ny.

a)

b)

Łańcuch na rys a) jest łańcuchem otwartym, natomiast na rys. b) – zamkniętym. Łańcuch b) jest łańcuchem jednobieżnym, tzn. zada-nemu ruchowi jednego członu odpowiadają ściśle okre-ślone ruchy pozostałych członów. Łańcuch a) jest nato-miast łańcuchem niejednobieżnym.

Tx Ty Rx Ry R

Tx Ty Rx Rz

Tx Ty Rz

Tx Rx

Tx

Łańcuch kinematyczny na rys. a) ma ruchli-wość W=1; należy nałożyć tylko jedno ograni-czenie ruchu i jednocześnie liczba członów czynnych równa jest ruchliwości czyli 1. Łańcuch kinematyczny na rys. b) ma ruchli-wość W=2, ponieważ należy nałożyć dwa wię-zy, aby go usztywnić; liczba członów czyn-



Mechanizmem określa się zamknięty łańcuch kinematyczny jednobieżny z jednym członem będącym podstawą i charakteryzujący się liczbą członów czynnych równą jego ruchliwości. Poniżej na rysunku pokazano przykłady mechanizmów: a) mechanizm jarzmowy; b) mechanizm krzywkowy; c) mechanizm zębaty z członem czynnym w postaci korby.

Literatura: [1], rozdz. 1. [4], rozdz. 1, str. 7÷34.

Temat 13: Analiza kinematyczna mechanizmów.

Większość zagadnień dotyczących analizy kinematycznej mechanizmów płaskich, takich jak określa-nie prędkości i przyspieszeń ciał oraz ich punktów, znajdowanie środka prędkości i przyspieszeń, zo-stała omówiona w temacie 12. Tutaj zostaną uzupełnione te rozważania o zagadnienie wyznaczania centroidy stałej i ruchomej. Rozważmy ruch sztywnego pręta AB o długości l, którego końce A i B ślizgają się po osiach OX i OY, w sposób pokazany na rysunku poniżej.

a) b) c)

a) b)



Po podstawieniu powyższych równań do równania centroidy stałej otrzymuje się równanie

2×� − 2l× + 2Ø� = 0

a po przesunięciu układu współrzędnych O’ξη wzdłuż osi O’ξ o wektor 0.5l ×�¶, czyli przy zastosowa-niu transformacji współrzędnych

× = ×? + 0.5l Ø = Ø′ otrzymuje się równanie

×′� + Ø′� = Ll 2⁄ )�

Centroidą ruchoma jest więc okrąg o środku w punkcie O’ i o promieniu l/2. Ruch płaski pręta AB można więc przedstawić jako toczenie się bez poślizgu okręgu o promieniu l/2 wewnątrz okręgu o promieniu l. Literatura: [1], rozdz. 1. [2] rozdz. 13. str. 300÷337. [4], rozdz. 1.

Temat 14: Podstawy dynamiki punktu materialnego.

Dynamika jest częścią mechaniki, poszukującą związków między przyczynami ruchu ciał, tj. siłami a ich skutkami, tj. parametrami opisującymi ruch: prędkością czy przyspieszeniem. Rozważana tutaj klasyczna dynamika, opiera się na sześciu aksjomatach, w tym przede wszystkim na trzech prawach Newtona.

14.1. Aksjomaty dynamiki punktu materialnego

1. „Jeżeli na punkt materialny nie działa żadna siła lub działa układ sił równoważących się, to taki punkt porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układu inercjalnego”.

H� + I� = l�

H� = ×� + Ø� I� = Ø� + Ll − ×)�

Chwilowy środek obrotu S pręta AB leży na przecięciu się prostych AS i BS prosto-padłych do kierunków prędkości �̄! i �̄O czyli do kierunków osi OX i OY. Centroida stała jest więc opisana równaniem

czyli jest to okrąg o średnicy l/2 i o środku w punkcie O. Ruchomy układ współrzędnych O’ξη zwią-zany jest z prętem, przy czym oś O’ξ pozo-staje niezmiennie na pręcie AB. Między współrzędnymi ξ, η oraz x, y istnieją następujące związki X

Y

O

A

B

ξ=ξ’

ξ

η

η

η’

O’

S(x, y) = S(ξ, η)

centroida stała

centroida ruchoma

�̄!

�̄O



2. „Przyspieszenie ½� punktu materialnego względem układu inercjalnego jest proporcjonalne do siły �� działającej na punkt, a odwrotnie proporcjonalne do masy punktu m, będącej miarą jego bezwładności”

½� = 1K ��

3. „Dwa punkty materialne A i B oddziałują na siebie siłami ��!O i ��O! o tych samych kierun-kach, przeciwnych zwrotach i tych samych wartościach liczbowych” ��!O = −��O!

4. Prawo niezależności działania sił, tj. niezależności skutku działania danej siły od działania in-nej siły: „Jeżeli na punkt materialny działają siły ��, ��, … , ��, z których każda z osobna działając na punkt materialny powoduje jego przyspieszenie równe ½��, ½��, … , ½��, to przyspieszenie punktu jest sumą geometryczną poszczególnych przyspieszeń ½��”

½� = � ½��

��

5. Prawo powszechnego ciążenia: „Dwa punkty o masach m1 i m2 przyciągają się siłami o tym samym kierunku, przeciwnych zwrotach i o wartościach jednakowych, proporcjonalnych do iloczynu mas punktów a odwrot-nie proporcjonalnych do kwadratu odległości r między punktami � = D K�K�X� [N] gdzie k jest pewnym współczynnikiem proporcjonalności zwanym stałą grawitacji.

6. Prawo względności mechaniki klasycznej: „Każdy układ poruszający się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pewnego układu inercjalnego, jest też układem inercjalnym, bezwładnościowym”.

14.2. Równanie dynamiczne ruchu punktu materialnego

Na podstawie II prawa Newtona można napisać równanie różniczkowe wektorowe ruchu punktu mate-rialnego

K½� = KX�¾ = �� + �� gdzie �� jest wypadkową sił czynnych działających na punkt materialny, natomiast �� jest siłą reakcji więzów, ograniczających ruch punktu. Przyspieszenie ½� oraz siły �� i �� można przedstawić za pomocą składowych w układzie kartezjańskim OXYZ

½� = ½� � + ½�� + ½FD��

�� = �� + �� + �FD�� = �� + �� + �FD��

i stąd trzy równania dynamiczne skalarowe w układzie kartezjańskim

K½� = �� + ��



K½� = �� + ��

K½F = �F + �F

Analogicznie można przedstawić przyspieszenie ½� oraz siły �� i ��, za pomocą składowych w układzie współrzędnych naturalnych Oτ n b osi stycznej Oτ, normalnej On i binormalnej Ob

½� = ½Àµ�¶ + ½�P��¶

�� = �Àµ�¶ + ��P��¶ + �Û¿��¶

�� = �Àµ�¶ + ��P��¶ + �Û¿��¶

przy czym oczywiście przyspieszenie ½� ma tylko dwie składowe: styczną ½�À i normalną ½��, stąd rów-nania dynamiczne ruchu we współrzędnych naturalnych

K½À = K ��T�U� = K �¯�U = �À + �À

K½� = K ¯�u = �� + ��

K½Û = 0 = �Û + �Û

gdzie, s jest drogą punktu materialnego, v jest wartością prędkości punktu materialnego a ρ jest pro-mieniem krzywizny toru ruchu punktu materialnego.

Oczywiście w ruchu swobodnym punktu materialnego w powyższych równaniach znikają

wszystkie składowe siły reakcji więzów ��, natomiast dla więzów idealnych, tj. bez tarcia, znika skła-dowa styczna �À.

14.3. Zagadnienia dynamiki

a) Zadane jest równanie parametryczne ruchu punktu materialnego X� = X�LU) a wyznaczane są, poprzez różniczkowanie powyższego równania, siły działające na punkt materialny, w tym si-ły reakcji więzów.

b) Zadane są siły czynne �� = ��LU), a poszukiwane są, poprzez całkowanie, równanie parame-tryczne ruchu X� = X�LU) oraz siły reakcji więzów.

Literatura: [3] rozdz. 1, str. 9÷12; rozdz. 2, str. 13÷31.

Spis literatury

1. Felis J., Jaworowski H., Cieślik J.: Teoria maszyn i mechanizmów. Część I. Analiza mechani-zmów. Wydawnictwa AGH, Kraków 2008.

2. Leyko J.: Mechanika ogólna. T.1: Statyka i kinematyka. Wydawnictwo Naukowe PWN, War-szawa 2005.

3. Leyko J.: Mechanika ogólna. T.2: Dynamika. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

4. Miller S.: Teoria maszyn i mechanizmów: analiza układów kinematycznych. Oficyna Wy-dawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1996.

5. Niezgodziński T.: Mechanika ogólna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007.

13 mechanika wykłady i semestr

Documents