13 may - aplicações de matrizes no ensino médio
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8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
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Aplicações de matrizes no ensino médio
Silvia da Rocha Izidoro Ferreira
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8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
2/70
Aplicações de matrizes no ensino médio
Silvia da Rocha Izidoro Ferreira
Orientador: Prof. Dr. Sérgio Henrique Monari Soares
Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação - ICMC-USP, como
parte dos requisitos para obtenção do título de Mestreem Ciências – Programa de Mestrado Profissional emMatemática. VERSÃO REVISADA
USP – São Carlos
Maio de 2013
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura:________________________
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3/70
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamentoda Informação da Biblioteca Prof. Achille Bassi – ICMC/USP
Ferreira, Silvia da Rocha Izidoro
F383a Aplicações de Matrizes no ensino médio / Silvia da
Rocha Izidoro Ferreira; orientador Sérgio Henrique
Monari Soares. –- São Carlos, 2013.
57 p.
Dissertação (Mestrado – Programa de Pós-Graduação em
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
(PROFMAT)) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação, Universidade de São Paulo, 2013.
1. Matrizes. 2. Produto de matrizes. 3. Aplicações
de matrizes. I. Soares, Sérgio Henrique Monari,orient. II. Título.
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•
•
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•
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•
•
•
-
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A = (aik) B = (bkj) n × p p × q
AB
C = (cij)
cij = ai1b1 j + · · · + aipb pj,
i = 1, · · · , n
j = 1, · · · , q
{P 1,...,P n}
(P i, P j)
-
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{P 1,...,P n} P i → P j P i
P j (P i, P j)
P i → P j P i
P j P i P j
P i → P j P j → P i P i P j
P 1
P 2
P 3
P 4
n
M = (mij)
n
M
mij =
1,
P i → P j,
0,
M =
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
P 2 P 1
P 2 P 4 P 1 P 2 → P 4 → P 1
P 2 P 1 P 2 → P 4
P 2 → P 4 → P 1 → P 3
k
k ∈ N
P i P j
-
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M
m
(k)ij
(i, j)
M k
m(k)ij k P i
P j
k = 1
P i P j mij
P i P j mij = m(1)ij k = 1
k
(i, j) M k
m
(k)ij
k
P i P j
k + 1
k + 1
M
m(k+1)ij (i, j) M
k+1
M k+1 = M kM
m(k+1)ij = m
(k)i1 m1 j + m
(k)i2 m2 j + · · · + m
(k)in mnj.
m
(k)i1 = 0 m
(k)i1 = 1 k
P i P 1 P 1 P j
k + 1
P i P j m
(k)i1 m1 j P i
P j k + 1 P 1 P i P j
P 1 k + 1 m
(k)i1 m1 j = 0
l = 1, 2, · · · , n
P i P j P l k + 1
m(k)il mlj
k + 1
k + 1
P i P j
k ∈ N
A
A =
0 1 1 1
1 0 0 0
0 1 0 10 1 1 0
.
P 1
P 4
A3 =
2 3 2 2
1 2 1 1
1 2 1 2
1 2 2 1
.
m(3)14 = 2 P 1 P 4
-
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P i → P j
P i P j
P i P j P i → P j P j → P i
{P 1, P 2, P 3, P 4} {P 3, P 4, P 6}.
S = (sij)
sij =
1,
P i ↔ P j,
0,
S
S
-
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S
s3ij (i, j) S
3
P i
s3ii = 0
s3ii = 0 P i
S
P i → P j → P k → P i
P i ↔ P j ↔ P k ↔ P i {P i, P j, P k}
P i
P i s
3ii = 0
M =
0 1 1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 0
P 1
P 2
P 3
P 4
M
S =
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 01 0 0 0
S 3 =
0 3 0 2
3 0 2 0
0 2 0 12 0 1 0
.
-
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s311, s
322, s
333, s
344
M =
0 1 0 1 1
1 0 0 1 0
1 1 0 1 0
1 1 0 0 0
1 0 0 1 0
.
S =
0 1 0 1 1
1 0 0 1 00 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0
S 3 =
2 4 0 4 3
4 2 0 3 10 0 0 0 0
4 3 0 2 1
3 1 0 1 0
.
s311, s322, s
344 P 1, P 2, P 4
{P 1, P 2, P 4}
P i P j P i → P j P j → P i
n
P i → P j P i P j
P 2
P 1 P 3
P 3
P 2
P 1 P 4
P 2
P 1 P 3
P 5 P 4
P 1
P 1, P 2, P 3 P 1, P 3, P 5
-
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P 1
P i
P 1 P i P 1 → P i
P i → P 1
P k P 1 → P k P k → P i
P 1 → P k → P i P 1 P i
P i → P k P i
P 1 P i
P 1
P i → P 1 P i
P 1
P 1 P i P 1
M
M 2
i
M
P i i M 2
P i
i M + M 2 P i
M + M 2
P i i A = M + M
2
M
• A
B
C
D
-
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• B C E
• C
D
E
• D
B
• E
A D
A
B C
D E
M
M =
0 1 1 1 00 0 1 0 1
0 0 0 1 1
0 1 0 0 0
1 0 0 1 0
A = M + M 2 =
0 1 1 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
0 1 0 0 01 0 0 1 0
+
0 1 1 1 2
0 0 0 2 1
1 1 0 1 0
0 0 1 0 10 2 1 1 0
=
0 2 2 2 2
0 0 1 2 2
1 1 0 2 1
0 1 1 0 11 2 1 2 0
,
,
,
,
A − (
)
E − (
)
B
C − (
)
-
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D − ( )
A
E
B
C
D
B
C
E
E
A
B
C
B
C
E
C
B
B
D
C
a, b
m
m > 0
a
b
m (a ≡ b m) m a − b a − b m
m
a
m
0, 1, 2, · · · , m−1
a
m
Z
m
[0] = {x ∈ Z; x ≡ 0 m}
[1] = {x ∈ Z; x ≡ 1 m}
[m − 1] = {x ∈ Z; x ≡ m − 1
m}.
[a] = {x ∈ Z; x ≡ a m} m
a ∈ Z
m
Zm
Zm = {[0], [1], · · · , [m − 1]}.
a
m
a m a
-
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m
a
R
|a| m r a
r =
R,
a ≥ 0
m − R, a
-
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Z4
[2] = [0] [2] · [2] = [0] Z3
Zm Z4 [2]
Zm
[a] ∈ Zm a m
(a, m) = 1.
[a]
[b] ∈ Zm [1] = [a] · [b] = [a · b]
ab ≡ 1
m
(a, m) = 1
(a, m) = 1
b
t
ab − mt = 1
[1] = [1] + [mt] = [1 + mt] = [a · b] = [a] · [b].
[a]
3
26
(3, 26) = 1
4
26
4 26
2
[a]
[a]−1
m
A
Zm m B
Zm
AB = BA = I ,
I
B
B
A
A−1
2 × 2 A Zm m
det(A)
m
m
A =
a b
c d
∈ M 2(Zm) det(A) = D = ad − bc ∈ Zm
A
m
A−1
A
AA−1 = A−1A = I .
det(A)det(A−1) = det(AA−1) = det(I ) = 1
m.
-
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det(A−1)
m
det(A)
(m, D) = 1
D−1 ∈ Zm
DD−1 = 1
m.
A−1 =
D−1d −D−1b
−D−1c D−1a
,
A
A
Zm m
m
det(A)
m
A
Z26 26
det(A)
26
2
13
A =
1 3
0 1
D =
(A) = 1
D−1 = 1
26
A−1 = 1
1 −3
0 1
=
1 −3
0 1
=
1 23
0 1
26.
n
n
-
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A
p1 p2
p =
p1
p2
Ap
p
Ap
2 × 2
3 × 3
n
n
n × n
1 3
2 1
1 3
2 1
.
20
21
=
5
9
mod26
1 3
2 1
.
4
15
=
23
23
mod26
1 3
2 1
.
5
16
=
1
0
mod26
1 3
2 1
.
15
19
=
20
23
mod26
-
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1 3
2 1
.
19
9
=
20
21
mod26
1 3
2 1
.
22
5
=
11
23
mod26
1 3
2 1
.
12
1
=
15
25
mod26
1 3
2 1 . 15
17 = 14
21 mod26
1 3
2 1
.
21
5
=
10
21
mod26
1 3
2 1
.
3
18
=
5
24
mod26
1 3
2 1 .
5
1 =
8
11mod26
EIWWAZ TWT U KWOY N U JU EX HK
NMITRMITRCPEQEOA
A
p =
p1
p2
c = Ap
p = A−1c
1 4 1 3 9 2 0 1 8 1 3 9 2 0 1 8 3 1 6 5 1 7 5 1 5 1
p = A−1c
-
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1 230 1
1413
=
31313
=
113
26
1 23
0 1
9
20
=
469
20
=
1
20
26
1 23
0 1
18
13
=
317
13
=
5
13
26
1 23
0 1
9
20
=
469
20
=
1
20
26
1 23
0 1
18
3
=
87
3
=
9
3
26
1 23
0 1
16
5
=
131
5
=
1
5
26
1 23
0 1
17
5
=
132
5
=
2
5
26
1 23
0 1
15
1
=
38
1
=
12
1
26
AM AT EM AT IC AE BE LA
-
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•
0 • ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 • ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 • ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 •
0 0 0 0 0 0 0
Li ↔ L j
Li → kLi
Li → Li + kL j
k
1/k
1 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 1 ∗ ∗0 0 0 0 1
→
1 ∗ 0 ∗ 0
0 0 1 ∗ 00 0 0 0 1
.
-
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x + y + 2z = 9
2x + 4y − 3z = 1
3x + 6y − 5z = 0
A
A =
1 1 2
2 4 −3
3 6 −5
9
1
0
.
1 1 2
0 2 −7
0 3 −11
9
−17
−27
.
−2 0 −110 2 −70 0 −1
−35−17
−3
.
−2 0 0
0 2 0
0 0 −1
−2
4
−3
.
(−1
2
)
1
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
3
.
x = 1,
y = 2,
z = 3.
x = 1, y = 2 z = 3
-
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A =
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
I
A−1
A
[A | I ].
I
A−1
[I |A−1] =
1 2 3
2 5 3
1 0 8
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
1 2 3
0 1 −3
0 −2 5
1 0 0
−2 1 0
−1 0 1
.
1 2 3
0 1 −3
0 0 −1
1 0 0
−2 1 0
−5 2 1
.
1 2 3
0 1 −3
0 0 1
1 0 0
−2 1 0
5 −2 −1
.
1 2 0
0 1 00 0 1
−14 6 3
−2 1 05 −2 −1
.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
.
A
−1
=
−40 16 9
13 −5 −35 −2 −1
.
-
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E
E
E 1 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
E 2 =
1 0 0
0 7 0
0 0 1
E 3 =
1 0 −3
0 1 0
0 0 1
E
E −1
E
E 1 =
0 1
1 0
, E 2 =
1 0
0 5
, E 3 =
1 3
0 1
.
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
E 1A =
a21 a22 a23
a11 a12 a13
(L1 ↔ L2)
E 2A = a11 a12 a13
5a21 5a22 5a23 (L2 → 5L2)
E 3A =
a11 + 3a12 a12 + 3a22 a13 + 3a23
a21 a22 a23
(L1 → L1 + 3L2)
E iA A E i
k
A E i
i
-
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i
E i
A → E 1A → E 2E 1A → · · · → E k · · · E 2E 1A,
A → U A,
U = E k · · · E 2E 1.
A
U A = I
U = A−1
A B → I A−1 .
p1, p2,...,pn
c1, c2,...,cn n
n × n
A
P =
pT 1
pT 2
pT n
n × n
pT 1 , p
T 2 ,...,p
T n
C =
cT 1
cT 2
cT n
n × n cT 1 , c
T 2 ,...,c
T n
C
I
P
(A−1)T
P
C
C = P AT
A
p1, p2,...,pn C
E 1, · · · , E k
C
I
E k · · · E 1C = I C = P A
T
E k · · · E 1P AT = I ,
-
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E k · · · E 1P = (A
−1)T
C
I
P
(A−1)T
A−1
C
I
P
IOSBTGXESPXHOPDE
p1 =
45
↔ c1 =
915
p2 =
1
18
↔ c2 =
19
2
.
C =
cT 1
cT 2
=
9 15
19 2
I
P =
pT 1
pT 2
=
4 5
1 18
(A−1)T
9 15
19 2
4 51 18
.
9−1 = 3
1 45
19 2
12 151 18
.
45
26
1 19
19 2
12 151 18
.
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
37/70
−19
1 190 −359
12 15−227 −267
.
26
1 19
0 5
12 157 19
.
5−1 = 21
1 190 1 12 1517 9 .
−19 1 0
0 1
−311 −15617 9
.
1 0
0 1
1 0
17 9 .
(A−1)T =
1 0
17 9
A−1 =
1 17
0 19
1 17
0 9 .
9
15 =
4
5 26
1 17
0 9
.
19
2
=
1
18
26
1 17
0 9
.
20
7
=
9
11
26
1 17
0 9
.
24
5
=
5
19
26
1 17
0 9
.
19
16
=
5
14
26
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
38/70
1 17
0 9
.
24
8
=
4
20
26
1 17
0 9
.
15
16
=
1
14
26
1 17
0 9
.
4
5
=
11
19
26
DEAR IKE SEND T ANKS
{1, 2,...,k}
i
j
pij
j
i
P = [ pij]
p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33
p23 3 2 p12
2
1
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
39/70
0, 8 0, 3 0, 2
0, 1 0, 2 0, 6
0, 1 0, 5 0, 2
1
x =
x1
x2
x3
,
x1 1 x2
2
x3 3
k
x
xi
1
P xn
xn+1 = P xn = P n+1x0
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
40/70
x0 =
x01x02
x0k
k
x0i
i
i ∈ {1, · · · , k} pij
j
i
k
x1 =
p11x01 + p12x02 + · · · + p1kx0k
pk1x01 + pk2x02 + · · · + pkkx0k
.
x1 = P x0
n + 1
k
xn+1 = P xn = P 2xn−1 = · · · = P n+1x0.
x0
x1, x2,...,xn,...
0, 8 0, 3 0, 2
0, 1 0, 2 0, 60, 1 0, 5 0, 2
x0 =
0
1
0
.
xn =
xn1
xn2
xn3
n ≥ 11 x11
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
41/70
n
xn1
xn2
xn3
n
P =
0 1
1 0
x0 =
1
0
.
P 2 = I
P 3 = P
x0 = x2 = x4 = · · · =
1
0
x1 = x3 = x5 = · · · =
0
1
.
P
N ∈ N P N
P
r × r
ε
P
x
r
M 0 m0
x
M 1 m1
xT P
M 1 ≤ M 0, m1 ≥ m0 M 1 − m1 ≤ (1 − 2ε)(M 0 − m0).
x
x
m0 M 0 xi ≤ x
i
i = 1, · · · , r P xT P
am0 + (1 − a)M 0 = M 0 − a(M 0 − m0),
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
42/70
a ≥ ε xT P M 0 − ε(M 0 − m0)
xi ≤ x
i i = 1, · · · , r
M 1 ≤ M 0 − ε(M 0 − m0).
−x
−m1 ≤ m0 − ε(−m0 + M 0).
M 1 − m1 ≤ M 0 − m0 − 2ε(M 0 − m0) = (1 − 2ε)(M 0 − m0).
P
r × r
P n → Q =
q 1 q 1 ... q 1
q 2 q 2 ... q 2
q k q k ... q k
n → +∞ q i q 1 + q 2 + ... + q k = 1
P ε P ρ j
j
0
M n mn
ρT j P
n
ρT j P n = ρT j P
n−1P,
M 1 ≥ M 2 ≥ M 3 ≥ · · ·
m1 ≤ m2 ≤ m3 ≤ · · ·
M n − mn ≤ (1 − 2ε)(M n−1 − mn−1), n ≥ 1.
M n mn
dn = M n − mn
dn ≤ (1 − 2ε)nd0 = (1 − 2ε)
n.
limn→+∞
dn = 0
M n mn ρ
T j P
n
q j ρT j P n
j
P n
j
P n
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
43/70
q j P
n
Q
q =
q 1
q 2
q r
P
P n
P n
Q
P
P
N
P N
ε
P N
dkN ≤ (1 − 2ε)k,
k ≥ 1.
(dn)
dn → 0 n → +∞
q
x0 P
nx0 q n → ∞
P
x
P nx →
q 1
q 2
q k
= q
n → +∞ q n
P n → Q n → +∞ P nx → Qx = q
n → +∞
q
q
q
P
P q = q
P P n = P n+1
P n
P n+1
Q n → +∞ P Q = Q
P q = q
q
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
44/70
r
P r = r
P nr = r
n = 1, 2, 3,...
n → ∞
q = r
(I − P ) p = 0
q
q 1+· · ·+q k = 1
0, 2 0, 1 0, 7
0, 6 0, 4 0, 2
0, 2 0, 5 0, 1
I 3 q =
x1
x2
x3
(I − P )q = 0.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
0, 2 0, 1 0, 7
0, 6 0, 4 0, 2
0, 2 0, 5 0, 1
x1
x2
x3
=
0
0
0
0, 8 −0, 1 −0, 7
−0, 6 0, 6 −0, 2
−0, 2 −0, 5 0, 9
x1
x2
x3
=
00
0
1 0 −22210 1 −29210 0 0
x1
= 2221
x3
x
2 = 29
21x3
x3 = s
q = s
22212921
1
x1 + x2 + x3 = 1 x1 =
1136 x2 =
2972 x3 =
2172
q =
113629
722172
.
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
45/70
5
1
2
5
3
2
15
1
10
3
3
10
1
5
2
P =
90% 15% 10%
5% 75% 5%
5% 10% 85%
=
0, 9 0, 15 0, 1
0, 05 0, 75 0, 05
0, 05 0, 1 0, 85
I 3 q =
x1
x2
x3
(I − P )q = 0.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
0, 9 0, 15 0, 1
0, 05 0, 75 0, 05
0, 05 0, 1 0, 85
x1
x2
x3
=
0
0
0
0, 1 −0, 15 −0, 1
−0, 5 0, 25 −0, 05
−0, 05 −0, 1 0, 15
x1
x2
x3
=
0
0
0
1 0 −1370 1 −470 0 0
x1 =
137 x3 x2 =
47x3
x3 = s
q = s.
13747
1
x1 + x2 + x3 = 1 x1 =
1324 x2 =
424 x3 =
724
54, 2 1 16, 7
2
29, 1
3
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
46/70
A
n × n λ A
Ax = λx
x
x
A
λ
A = 5 −2
4 −1
λ = 3 A
x =
1
1
x =
0
0
Ax =
5 −2
4 −1
1
1
=
3
3
= 3
1
1
= 3x
A
λ = 3
n × n
λ
A
Ax = λx
x = 0
I
A
(λI − A)x = 0 x = 0.
|λI − A| = 0.
A =
5 −2
4 −1
λI −A =
λ − 5 2−4 λ + 1
|λI −A| = (λ−5)(λ+1)+8 = (λ−3)(λ−1)
λ1 = 3 λ2 = 1 A λ1 = 3
λ2 = 1
λ2I − A =
λ2 − 5 2
−4 λ2 + 1
=
−4 2
−4 2
(λ2I − A)x = 0 x = t
1/2
1
t
x
λ2 x = t
1/2
1
t = 0
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
47/70
t = 2
x =
1
2
λ2 λ1 = 3
x = t
1
1
t = 0
n × n
µ1 0 · · · 0
0 µ2 · · · 0
0 0 · · · µn
A
P
P −1AP
P
A
λ1 = 3 λ2 = 1
P = 1 12 1 .
P
P −1AP = D
D =
3 0
0 1
,
A =
5 −2
4 −1
n × n
λ
A
λ
(λI − A)x = 0
A
x1, · · · , xn
P = [x1x2 · · · xn]
A
P −1AP
P
P A =
1 12 0
0 12 1
0 0 0
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
48/70
λ1 = 1 λ2 =
12 λ3 = 0
v1 =
1
0
0
, v2 = 1
−1
0
, v3 = 1
−2
1
P = 1 1 1
0 −1 −2
0 0 1
P −1AP = D =
1 0 0
0 12 0
0 0 0
.
A
n × n
Ak
k
P
D
P −1AP = D
A = P DP −1.
k = 1, 2, · · ·
Ak = AA · · · A = (P DP −1)(P DP −1) · · · (P DP −1)
= P D(P −1P )DP −1 · · · P DP −1
= P D(I )D(I ) · · · (I )DP −1
= P D · · · DP −1
= P DkP −1.
Ak = P DkP −1
k = 1, 2, · · ·
Dk =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
0 0 · · · λn
k
=
λ
k
1 0 · · · 00 λk2 · · · 0
0 0 · · · λkn
.
A
An = P DnP −1 =
1 1 1
0 −1 −2
0 0 1
1 0 0
0
12
n
0
0 0 0
1 1 1
0 −1 −2
0 0 1
=
1 1 −12
n1 −12
n−10
12
n
12
n−1
0 0 0
.
A
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
49/70
A
a
AA
Aa
aa
AA
Aa
aa
A
a
a
A
A
a
AA
Aa
aa
Aa
A
a
aa
Aa
a
aa
A
a
Aa
Aa
aa
AA Aa aa
AA
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
50/70
n ∈ N
an AA n
bn Aa n
cn aa n
a0 b0 c0
an + bn + cn = 1 n = 0, 1, 2,...
AA
an = an−1 + 1
2bn−1,
bn = cn−1 + 1
2bn−1,
cn = 0.
AA
AA
Aa
AA
aa
Aa
Aa
Aa aa
AA
xn = Axn−1,
xn =
an
bn
cn
, xn−1 =
an−1
bn−1
cn−1
A =
1 12 0
0 12 1
0 0 0
.
A
xn = Axn−1 = A2xn−2 = ... = A
nx0
An
An = P DnP −1 =
1 1 −12
n1 −12
n−1012
n 12
n−10 0 0
.
xn = P DnP −
1x0 =
1 1 − (12)n 1 − (12)
n−1
0 (12)n (12)n−1
0 0 0
a0
b0
c0
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
51/70
xn =
anbncn
= a0 + b0 + c0 − (
1
2)n
b0 − (1
2)n−1
c0( 12)
nb0 + (12)
n−1c0
0
.
a0 + b0 + c0 = 1
an = 1 −
1
2
nb0 −
1
2
n−1c0
bn =
1
2
nb0 +
1
2
n−1c0
cn = 0
n
12
n
n
an → 1,
bn → 0.
cn → 0 cn
AA
AA
xn = An.x0,
A =
1 14 0
0 12 0
0 14 1
.
A
λ1 = 1 λ2 = 1 λ3 = 12
v1 =
1
0
0
v2 =
0
0
1
v3 =
1
−2
1
an = a0 + 1
2b0 −
1
2
n+1b0
bn = 1
2n
b0
cn = c0 + 1
2b0 −
1
2
n+1
b0
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
52/70
n
12n n
an → a0 + 1
2b0,
bn → 0,
cn → c0 + 1
2b0.
AA
aa
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
53/70
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
54/70
A
• detA
• A detA = 0
• det(AB) = detAdetB
•
detA
A
A = [aij]
A
detA
det[aij]
|A|
•
1 × 1 |a| = a
• 2 × 2 a11 a12a21 a22 = a11a22 − a12a21
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
55/70
• 3 × 3
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31.
2 × 2
3 × 3
3 × 3
(a11a22a33 − a11a23a32) − (a12a21a33 − a12a23a31) + (a13a21a32 − a13a22a31),
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11
a22 a23a32 a33− a12 a21 a23a31 a33+ a13 a21 a22a31 a32
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11|A11| − a12|A12| + a13|A13|,
A11 A12 A13 2 × 2 A
A
3 × 3
−(a12a21a33 − a13a21a32) + (a11a22a33 − a13a22a31) − (a11a23a32 − a12a23a31),
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= −a21|A21| + a22|A22| − a23|A23|.
n × n
(n − 1) × (n − 1)
n ≥ 2
n × n A = [aij]
|A| = ai1|Ai1| − ai2|Ai2| + · · · + (−1)1+nain|Ain| =
n j=1
(−1)i+ jaij|Aij|,
i, j ∈ {1, . . . , n} Aij (n − 1) × (n − 1) A
i
j
A
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
56/70
i
A =
3 −7 8 9 −6
0 2 −5 7 3
0 0 1 5 0
0 0 2 4 −1
0 0 0 −2 0
,
|A| = 3
2 −5 7 3
0 1 5 0
0 2 4 −1
0 0 −2 0
.
4×4
|A| = 3 · 2
1 5 0
2 4 −1
0 −2 0
= 3 · 2 · (−2) = −12,
3 × 3
A
|A|
A
-
8/17/2019 13 May - Aplicações de Matrizes No Ensino Médio
57/70
A
n × n
B