乌鲁木齐市高级中学 杨帆

1.3 算法案例

第四课时

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问题提出 1.“ 满几进一”就是几进制， k 进制使用哪几个数字， k 进制数化为十进制数的一般算式是什么？

1 2 1( )

1 2 1 01 2 1

n n k

n nn n

a a aa

a k a k a k a k

-

- --= ´ + ´ + + ´ + ´

L

L

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2. 利用 k 进制数化十进制数的一般算式，可以构造算法，设计程序，通过计算机就能把任何一个 k 进制数化为十进制数 . 在实际应用中，我们还需要把任意一个十进制数化为 k 进制数的算法，对此，我们作些理论上的探讨 .

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知识探究 ( 一 ): 除 k 取余法思考 1: 二进制数 101101 （ 2 ）化为十进制数是什么数？十进制数 89 化为二进制数是什么数？

101101 （ 2 ） =25+23+22+1=45.

89=2× （ 2× （ 2× （ 2× （ 2×2+1 ） +1 ） +0 ） +0 ） +1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001 （ 2 ） .

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思考 2: 上述化十进制数为二进制数的算法叫做除 2 取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？

2 12 22 5

0

2 11

2222

44

2 89

10

011

0

1

余数

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思考 3: 上述方法也可以推广为把十进制数化为 k 进制数的算法，称为除 k 取余法，那么十进制数 191 化为五进制数是什么数？

0

5 1

5

75

38

5 191

1

3

2

1

余数

191=1231（ 5 ）

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思考 4: 若十进制数 a 除以 2所得的商是 q0 ，余数是 r0 ，

即 a=2·q0+ r0 ；q0 除以 2 所得的商是 q1 ，余数是 r1 ， 即 q0=2·q1+ r1 ； ……qn-1 除以 2 所得的商是 0 ，余数是 rn ， 即 qn-1= rn ，那么十进制数 a 化为二进制数是什么数？

a=rnrn-1…r1r0(2)

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知识探究 ( 二 ): 十进制化 k 进制的算法 思考 1: 根据上面的分析，将十进制数 a化为二进制数的算法步骤如何设计？

第四步，若 q≠0，则 a=q ，返回第二步； 否则，输出全部余数 r排列得

到 的二进制数 .

第一步，输入十进制数 a的值 .第二步，求出 a除以 2所得的商 q，余数 r.第三步，把所得的余数依次从右到左排列 .

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思考 2: 利用除 k 取余法，将十进制数 a化为 k 进制数的算法步骤如何设计？

第四步，若 q≠0，则 a=q ，返回第二步； 否则，输出全部余数 r排列得到 的 k进制数 .

第一步，输入十进制数 a和基数 k的值 .

第二步，求出 a除以 k所得的商 q，余数 r.

第三步，把所得的余数依次从右到左排 列 .

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思考 3: 将除 k 取余法的算法步骤用程序框图如何表示？ 开始

输入 a ，k

求 a 除以 k 的商q

求 a除以 k的余数 r

把所得的余数依次从右到左排列

a=q

q=0？

结束

输出全部余数 r排列得到的 k 进制数

是

否

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思考 4: 该程序框图对应的程序如何表述？开始

输入 a ，k

求 a 除以 k 的商q

求 a除以 k的余数 r

把所得的余数依次从右到左排列

a=q

q=0？

结束

输出全部余数 r排列得到的 k 进制数

是

否

INPUT a ，kb=0i=0DOq=a/k

r=a MOD kb=b+r*10∧ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0

PRINT bEND

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理论迁移

例 1 将十进制数 458 分别转化为四进制数和六进制数 .

0

4 1

4 7

4

284

114

4 458

2

2

0

3

1

余数

0

6 2

6

126

76

6 458

2

4

0

2

余数

458=13022 （ 4 ） =2042（ 6 ）

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例 2 将五进制数 3241 （ 5 ）转化为七进制数 .

30241 （ 5 ） =3×54+2×52+4×5+1=1946.

0

7 5

7

397

278

7 1946

0

5

4

5

余数

30241 （ 5 ） =5450（ 7 ）

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小结作业

1. 利用除 k取余法，可以把任何一个十进制数化为 k进制数，并且操作简单、实用 .

2. 通过 k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个 k进制数转化为另一个不同基数的 k进制数 .

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作业：P45 练习： 3.P48 习题 1.3A 组： 3 ， 4.