129614320 fizika ennyit kellene tudnod

7/15/2019 129614320 Fizika Ennyit Kellene Tudnod

http://slidepdf.com/reader/full/129614320-fizika-ennyit-kellene-tudnod 1/343

GULYÁS JÁNOS • RÁCZ MIHÁLY

TOMCSÁNYI PÉTER • VARGA ANTAL

J

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / .

-F,

-F2

Panem-Akkord



F I Z I K A Ennyit kell(ene) tudnod

Gulyás-Rácz-Tomcsányi-Varga



Gulyás János-Rácz Mihály-Tomcsányi Péter-Varga Antal

FIZIKAEnnyit kell(ene) tudnod



Harmadik kiadás

Lektorálta: dr. Honyek Gyula, dr. Fejős CsabaA borítót tervezte: Vaisz György

Felelős szerkesztő: Koloszár OlgaMűszaki szerkesztő: Érdi Júlia

Gulyás János, Rácz Mihály, Tomcsányi Péter, Varga Antal, 1994

Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közö^ kiadásában készült

A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetőjeBudapest, 1995

A PANEM-könyvek megrendelhetők a 06-30/488-488 hívószámúW ES TE L 900 GSM mobiltelefonon,illetve az 1385 Budapest, Pf. 809 levélcímen is.

Postacím: Panem Kft.1385 Budapest, Pf. 809

ISBN 963 545 046 X



TARTALOM

Bevezetés................................................................. .......111. Mechanika.............................................................. .......131.1. A tömegpont kinem atikája .......131.1.1. A mozgások le írása .......131.1.2. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás .......151.1.3. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás . 18

1.1.4. A szabadesés .......201.1.5. N em nulla kezdősebességű, egyenes vonalú egyenletesen változó m ozgás .......22

1.2. A tömegpont dinamikája..............................................241.2.1. Erőmérő készítése .......251.2.2. Newton I. törvénye .......261.2.3. Newton II. törvénye .......27

1.2.4. Newton III. törvénye .......291.2.5. Nevezetes eróliatások. .......301.2.6. Súrlódási je lenségek .......321.2.7. Az impulzus .......331.3. Összetett mozgások .......341.3.1. Az egyenes vonalú egyenletes mozgások

összetétele .......34

1.4. Munka és az energ ia .......431.4.1. A munka fogalma .......431.4.2. Speciális munkavégzések .......461.4.3. A teljesítmény .......491.4.4. Az energia .......501.4.5. A hatásfok .......531.5. A pontrendszerek mozgásának le írása .......53



TARTALOM

1.5.2. A pontrendszer impulzusa,az impulzusmegmaradás té te le ............................. 55

1.5.3. A pontrendszer tömegközéppontja....................... 581.5.4. Ütközések................................................................ 601.5.5. Munkatétel a pontrendszerre................................. 631.6. A tömegvonzás........................................................ 641.6.1. Kepler törvényei..................................................... 641.6.2. A bolygómozgás dinamikai le írása ....................... 661.6.3. Az általános tömegvonzás törvénye...................... 681.6.4. A tehetetlen és súlyos töm eg................................. 701.6.5. A gravitációs erőtérben mozgó test....................... 711.7. Merev testek egyensúlya........................................ 711.7.1. A merev test fogalma............................................ 711.7.2. A forgatónyomaték ................................................ 721.7.3. Merev testre ható erők összegzése......................... 731.7.4. Merev test egyensúlyának feltétele....................... 771.7.5. Egyszerű gépek ...................................................... 79

1.7.6. Egyensúlyi helyzetek............................................... 841.8. A forgómozgás........................................................ 861.8.1. Rögzített tengely körül forgó merev te s t .............. 861.8.2. A forgómozgás alaptörvénye................................. 891.8.3. A forgási energia..................................................... 911.8.4. A perdület................................................................ 921.8.5. A haladó és a forgómozgás analógiája................... 93

1.9. Deformálható testek mechanikája......................... 931.9.1. Rugalmas nyújtás és összenyomás......................... 941.9.2. Hajlítás, nyírás, csavarás........................................ 961.10. Folyadékok és gázok mechanikája....................... 991.10.1. A nyomás egyenletes terjedése folyadékokban ... 991.10.2. A hidrosztatikai nyomás........................................ 1011.10.3. A felhajtóerő és Arkhimédész törvénye................ 102

1.10.4. Folyadékok és gázok áram lása.............................. 1051.10.5. A közegellenállás................................................... 1091.11. A rezgőmozgás........................................................ 1111.11.1. A rezgőmozgás kitérés-idő függvénye,

kapcsolat a körmozgással....................................... 111

1.11.2. Egyirányú rezgések összetétele.............................. 1141.11.3. Egymásra merőleges rezgések összetétele............ 117



TARTALOM

1.11.4. A rezgőmozgás dinamikai leírása .....1191.11.5. A csillapított rezgés .....1241.11.6. A kényszerrezgés és a rezonancia ........... .....125

1.11.7. Csatolt rezgések .....1281.12. Hullámok ................................................................. .....1281.12.1. Mechanikai hullámok .....1281.12.2. ÁllóhuUámok .....1421.12.3. A hang .....144

2. Hőtan .....147

2.1. A hőmérséklet fogalma és mérése .....1472.1.1. Hőmérők, hőmérsékleti skálák, hőtágulás .....1482.2. Gáztörvények...............................................................1492.2.1. Gay-Lussac első törvénye .....1502.2.2. Gay-Lussac második törvénye .....1512.2.3. Boyle-Mariotte törvény .....1522.3. Általános gáztörvény, ideális gázok

állapotegyenlete..

....

1532.4. Ideális gázok állapotváltozásai .... 1562.5. A kinetikus gázelmélet .... 1582.6. A hőmérséklet molekuláris értelmezése,

a gázok belső energiája .......................................... .... 1612.7. A termodinamika első fő té te le .... 1632.8. A hő mértéke, a hőmennyiség, a hőkapacitás .... 165

2.9. Halmazállapot-változások, fázisátalakulás .... 1682.10. A hőfolyamatok iránya, a termodinamikamásodik és harmadik főtétele..................................... 169

3. Elefctromágnességtan .....1733.1. Az elektromos mező 1733.1.1. Alapjelenségek 173

3.1.2. Az elektromos tér és a térerősség.............................1783.1.3. Kapacitás, kondenzátorok .... 1843.1.4. Az elektromos áram fogalma, az áramerősség — 1903.1.5. A vezetők ellenállása, Ohm törvénye 1923.1.6. Feszültségforrás, rövidzárási áram 1963.1.7. Az elektromos munka és a teljesítmény 1983 2 A mágneses mező : 200



TARTALOM

3.2.1. Amágnesség........................................................... ....2003.2.2. Mágneses törvények és összefüggések.......................2073.2.3. A váltakozó áram ................................................... ....2093.2.4. A feszültségrezonancia..............................................2213.2.5. Az áramrezonancia................................................ ....2233.2.6. A rezgőkörök vizsgálata........................................ ....2243.3. A változó elektromos mező........................................2263.4. Elektromágneses hullámok........................................2283.4.1. Geometriai op tika ................................................. ....2303.4.2. Hullámoptika......................................................... ....246

4. Atom- és magfizika.....................................................2524.1. Atomfizika.............................................................. ....2524.1.1. Az atomos felépítésre utaló megfigyelések ...............2524.1.2. Az elektron felfedezése.......................................... ....2544.1.3. Az energiakvantum megjelenése.......................... ....2604.1.4. Az elektromágneses hullám adagossága....................262

4.1.5. Az elektron mint hullám...........................................2654.1.6. A részecske-hullám kettősség ............................... ....2654.1.7. Atommodellek........................................................ ....2674.1.8. Kémiai kötések........................................................ ....2704.2. Magfizika.................................................................. ....2724.2.1. Az atommag lé tezése............................................. ....2724.2.2. Az atommag felépítése................................................273

4.3. Energiaviszonyok a magban ................................... ....2774.3.1. A tömegdefektus.........................................................2774.3.2. A héjmodell (1934)................................................ ....2794.3.3. A cseppmodell (1936)............................................. ....2804.3.4. A fajlagos kötési energia........................................ ....2814.4. A radioaktivitás...................................................... ....2824.4.1. A radioaktív sugárzás............................................. ....282

4.4.2. A radioaktív sugárzások jellemzői............................

2834.4.3. A természetes radioaktivitás.....................................

2844.4.4. Az indukált radioaktivitás..................................... ... 2864.5. A magenergia felhasználása................................... ...2874.5.1. A hasadásos reak to r.................................................. 2874.5.2. A fúziós energia...................................................... ... 288



TARTALOM

5. Részecskefizika...........................................................2905.1. Az elemi részecskék természete............................ .....2905.1.1. Hullám és részecske................................................ .....290

5.1.2. Vizsgálati eljárások ................................................ .....2915.2. A nagy energiák ...................................................... .....2925.3. Az első részecskék felfedezése...................................2945.3.1. Az elektron és a fo to n .................................................2945.3.2. A p ro ton ................................................................. .....2945.3.3. A neutron ................................................ .............. .....2955.3.4. A kozmikus sugárzás............... -...................................295

5.3.5. Antirészecskék........................................................ .....2965.3.6. Mezonok ................................................................. .....2975.4. Részecskegyorsítók ................................................ .....2985.5. A felfedezések sokasága ........................................ .....3005.6. A rendszerezés lehetősége..................................... .....303

6. Relativitáselmélet................................................... .....3056.1. A klasszikus relativitás........................................... .....3066.2. A fénysebesség állandóságának e lv e .................... .....3076.3. Az egyidejűség relativitásának e lv e ...........................3086.4. A speciális relativitás elmélete............................... .....3116.5. A speciális relativitás néhány követelménye.............3136.6 . Az energia és a tömeg ekvivalenciája........................3146.7. Az általános relativitáselmélet alapja........................315

7. Csillagászat.............................................................. .....3197.1. A csillagászat rövid története......................................3197.2. A Naprendszer.............................................................3247.3. A Nap, a legközelebbi csillag......................................3307.4. A csillagok keletkezése és fejlődése...........................3357.5. Galaxisunk és szomszédai....................................... .....3387.6. A világegyetem kialakulásának elmélete.............. .....340



BEVEZETÉS

Ebben a könyvben a középiskolában oktatott fizikai ismeret-anyag tömör összefoglalását kívánjuk közreadni. A szigorúan

vett törzsanyag mellett kitérünk olyan kiegészítésekre, elméletimegfontolásokra is, amelyek a felsőfokú intézményekbe jelentkező, illetve az átlagosnál jobban érdeklődő diákok igényeit iskielégítik.

Fontosnak tartjuk a középiskolai tananyagból való kitekintést is, éppen az igényesebb olvasók érdekében. Az ismeret-anyagot ugyanakkor a kísérleti fizika szemszögéből dolgozzuk

fel, így olvasmányosabb, szemléletesebb, közérthetőbb a tárgyalás. Az elméleti levezetések főleg magyarázatként, hipotézisként szerepelnek.

A könyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az esti, illetve a levelező középiskolai tanulóknak az aktuális óraianyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissítéséhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felkészü

léshez, sőt az elsőéves főiskolai és egyetemi hallgatók i§ hasznátvehetik.A kötet jellege megkövetelte, hogy a kísérleti és gyakorlati

előzményeket, a hozzákapcsolódó definíciókat, törvényeket tömören fogalmazzuk meg.

A kísérleteket E, a definíciókat [5], a törvényeket [t ] , a példákat B a levezetéseket B jelöléssel láttuk el A definíciók a



1. MECHANIKA 13

1. MECHANIKA

A mechanika a mozgások jelenségeivel foglalkozik. Két fő része a KINEMATIKA és a DINAMIKA.

A kinematika a mozgások leírásával, a dinamika pedig a mozgások megvalósulásának feltételeivel foglalkozik. A statika, amely az egyensúly feltételeit tárgyalja, a dinamika speciáliseseteként fogható fel.

Először a pontszerű, majd a kiterjedt testek mozgását vizsgál juk.

I® Egy testet pontszerűnek tekintünk, ha a mozgás leírásakor lényeges távolságokhoz képest a test mérete elhanyagolható.

[E A Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli keringését vizsgáljuk, saját forgása szempontjából viszont kiterjedt test

ként kell kezelnünk.A pontszerű testet szokás tömegpontnak vagy anyagi pontnak

is nevezni.

1.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA

1.1.1. A MOZGÁSOK LEÍRÁSAA mozgások leírásához vonatkoztatási rendszert használunk,

amelyben megadjuk a test helyét az időben.

[H Mozgásról akkor beszélünk, ha a test helye változik az idő ben. Egy test mozgását akkor ismerjük, ha bármely pillanat



14 1. MECHANIKA

Mozgása során a test a vonatkoztatási rendszer különböző pontjaiban található. Ezek a pontok alkotják a test mozgásának pályáját.

I[d] a mozgás pályája az a görbe, amelyen a test mozgása során halad.

Legyen a mozgás során a test egy adott pillanatban a pálya A pontjában, míg Aí idő múlva a pálya B pontjában.

II

[U Az A pontból a B pontba mutató vektort a test As elmozdulásának nevezzük.

1 ] A megtett út a pályagörbe egy adott darabjának í hosszúsága (1.1. ábra).

A mozgásokat a pálya alakjától, illetve időbeli lefolyásuktólfüggően különböző csoportokba soroljuk, pl.: egyenes vonalú,

periodikus, egyenletes, harmonikus stb. mozgások.Az elmozdulás és az út hosszúság dimenziójú fizikai mennyi

ségek. Mértékegységük nemzetközi megegyezések alapján améter (m). A hosszúság mérésére - a nagyságtól függően - különböző mérőeszközeink vannak. A legközismertebb a méterrúd, a mérőszalag, a tolómérő és a csavarmikrométer.

Az idő a természetben szabályosan ismétlődő jelenségek alapján mérhető. Ilyenek például a Föld forgása vagy az ingalengése. Az idő alapegysége a másodperc (s), de használjuk a



1. MECHANIKA 15

1.1.2. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES MOZGÁS

[k] a Mikola-cső vízzel töltött,megdöntött zárt üvegcső (1.2.ábra), amelyben egy légbuborék mozog. Ha megmérjük a buborék által megtett utat és a megtételéhez szükséges időt, azttapasztaljuk, hogy hányadosuk

állandó,, tehát egyenesen arányosak. A Mikola-csőben a légbuborék egyenes vonalú egyenletesmozgást végez.

’'T 777 777^ y777777 777 7777 7/

1.2. ábra

dl Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez egy test, ha mozgáspályája egyenes, és az általa megtett út egyenesen arányos

az út megtételéhez szükséges idővel.

A megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa állandó, amely a buborék mozgására jellemző adat.

I

® A megtett út (s) és a megtételéhez szükséges idő (t) hányadosa a sebesség, jele v.

s

Mértékegységét a hosszúság és idő alapmennyiségeiből származtatjuk, ezért dimenziója hosszúság/idő. A gyakorlatbanhasznált néhány sebességmértékegység:

1 m /l 8 = 1 m/s 1 km /l h = 1 km/h 1 km /l s = 1 km/sA sebesség mérőszáma megmutatja az egységnyi idő alatt

megtett út hosszát. Egyik mértékegységből a másikba a következő példa szerint válthatunk át:

72 km/h = 72-1 km/h = 72(1000 m/3600 s) == 72(1/3 6) m/s = 20 m/s



16 1. MECHANIKA

A mozgások matematikai leírásakor elengedhetetlenül fontos, hogy ismerjük a test (testek) mozgásállapotát (helyét, se bességét) az időmérés kezdetén, a í = 0 időpontban.

I® A kezdeti feltételek megadása azt jelenti, hogy megadjuk a test mozgásállapotát a í = 0 időpontban.

Ha a kezdeti feltételek szerint a v sebességű egyenes vonalúegyenletes mozgást végző test a í = 0 időpontban az s = íq helyen van, akkor mozgását áz

S - So + v t

összefüggés íija le. Ennek speciális esete, ha az időmérés kezdetekor a test az origóban van, vagyis sq = 0- Ekkor az előbbi ösz-szefüggés az

s —vt

alakra egyszerűsödik.A fizikában éppúgy, mint a matematikában, a függvénykap

csolatban lévő mennyiségek közötti viszony grafikus ábrázolás sal tehető szemléletessé. Egyenes vonalú egyenletes mozgásesetén az út-idő grafikont az 1.3.a ábra mutatja, míg a sebességidő diagram az 1.3.b ábrán látható. Az út-idő diagram egyenesének meredeksége a test sebességének felel meg. A sebesség-idődiagramon látható, hogy a görbe és az időtengely által határoltterület a test által megtett út nagyságát adja meg. Érdemesmegjegyeznünk, hogy ez a megállapítás bármely mozgás sebesség-idő .diagramja esetén érvényes.



1. MECHANIKA 17

Az átlag- és a pillanatnyi sebesség

A környezetünkben létrejövő mozgások gyakran nem egyen

letesek, a sebességük változó. A nem egyenletes, változó mozgások indokolják az átlag- és a pillanatnyi sebesség bevezetését.

I m A mozgást végző test t idő alatti átlagsebessége a t idő alattmegtett teljes út és a t idő hányadosa:

ö;t

Az átlagsebesség az a sebesség, amellyel a testnek mozogniakellene ahhoz, hogy egy adott utat adott idő alatt, egyenletesenmozogva fusson be.

Igen fontos kiemelni, hogy az átlagsebességet általában nem a sebességek átlaga adja.

Mozgás közben a test sebessége változhat, ezért a fizikábanhasználatos a pillanatnyi sebesség, mint a mozgás egyik jellemzőmennyisége (ezt mutatja pl. az autó sebességmérő műszere).

A pillanatnyi sebesség általánosságbana következő módon adható meg, nemcsak egyenes vonalú mozgásokra szorítkozva.

A változó mozgást végző test a t időpillanatban pályájának A pontjában található, míg Aí idővel később a B pontban.

1.4. ábra Ezen idő dlatt elmozdulása As (1.4. ábra).

m Az A pontbeli pillanatnyi sebességet a

AsV = -7- A t

hányados adja, ha a Aí tart 0-hoz.

A definícióból következik, hogy a pillanatnyi sebesség vektormennyiség amely a pálya érintőjével párhuzamos



18 1. MECHANIKA

1.1.3. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS

[k ]Vizsgáljuk egy lejtőn legördülő golyó mozgását! Ha nyugalmi helyzetből indítva, a különböző hosszúságú utakat és amegtételükhöz szükséges időket mérjük, azt tapasztaljuk, hogya megtett út és a megtételéhez szükséges idő négyzetének hányadosa állandó, tehát egyenesen arányosak.

^ =,áll, 111. s ~

Azt is megfigyelhetjük, hogy a golyó egyre gyorsabban mozog. A lejtő hajlásszögét változtatva azt tapasztaljuk, hogy nagyobb hajlásszögnél gyorsabban változik a sebesség, és az s/f' hányados értéke is nagyobb.

Változó mozgásról lévén szó, vizsgáljuk meg a pillanatnyi se bességet az idő függvényében!

E Jelölje A az s / f hányados értékét! így a t és a t+At idő közötti elmozdulás nagysága;

As = «2 —si = A(t —At)^ —At^

Ebből

As = A(2í Aí + Aí^)A Aí/Aí nagysága:

AsV = — = A{2t + At)

Mivel Aí tart nullához.

v ^ 2 A t

Láthatjuk, hogy a pillanatnyi sebesség nagysága arányos azeltelt idővel. Ennek alapján könnyen meggyőződhetünk arról,hogy a Av sebességváltozás és a közben eltelt idő is egyenesenarányosak:



1. MECHANIKA 19

Av ~ A t

m Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról beszélünk,

ha a mozgás pályája egyenes és a sebességváltozás nagyságaegyenesen arányos a közben eltelt idővel.

Láttuk, hogy az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző test pillanatnyi sebessége változik az időben. A se

bességváltozás gyorsaságának mértékéül vezetjük be a gyorsulást.

[H Az

AvAí

hányados a gyorsulás.

A definícióból következik, hogy a gyorsulás vektormennyiség. Mértékegysége a sebesség és az idő mértékegységéből származtatható: m/s^.

Alkalmazva a definíciót, a pillanatnyi sebességre kapott 2A állandó

Av 2A(t + At) - 2 A t „ ,a = — = — ^ -------- = 2A At At

a test gyorsulásával egyenlő.

A kapott eredményeket fölhasználva a megtett útra, a sebességre és a gyorsulásra, a következő összefüggésekhez jutunk:

CL n s = - t ] V = at] a = konstans

Megjegyzendő, hogy ezek az összefüggések csak akkor igazak, ha a kezdeti feltételek a í 0 időpontban: í = 0 és v = 0 .A nem nulla kezdősebességű esettel később foglalkozunk. Azút-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő grafikonok az 1.5. ábránláth tók



20 1. MECHANIKA

1.5. ábra

A gyorsulás-idő grafikon görbéje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt elért sebesség, míg a sebesség-idő grafikon gör béje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt megtett útszámértékét adja (1.6. ábra).-A sebesség-idő grafikon egyenesének meredeksége a gyorsulás értékével egyezik meg.

1.6. ábra

1.1.4. A SZABADESÉS

I Hl A nyugalmi állapotban elengedett testek tömegvonzásokozta mozgása a szabadesés.

A szabadesés az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás



1. MECHANIKA 21

IH] Ha nem lenne légellenállás, a különböző testek a Föld egyadott pontján azonos gyorsulással esnének a Föld felé.

Ma már tudjuk, hogy ez nemcsak a Földön, hanem mindenégitesten igaz. A Földön szabadon eső test gyorsulását nehézsé

gi gyorsulásnak nevezzük, jele: g. Értéke függ a földrajzi helytőlés a tengerszint feletti magasságtól. Például Budapesten

g = 9.808 m/s . Feladatok megoldása során gyakran 10 m/s^-re kerekítjük, bár helyesebb lenne ag = 9.8 m/s .

Galilei foglalkozott először helyesen a szabadon eső testek

mozgásával, és megállapította, hogy a szabadon eső testek általaz egymást követő azonos időtartamok alatt befutott utak úgyaránylanak egymáshoz, mint az egymást követő páratlan számok. Ez kísérletileg könnyen igazolható egy ejtőzsínór segítségével.

1 ] Az ejtőzsinór egy kb. 2 m hosszú vékony zsineg, amelyre

egymástól egyszeres, háromszoros, ötszörös stb. távolságokraapró, nehéz tárgyakat kötöttünk (1.7. ábra). Ha az ejtőzsinórtúgy emeljük föl, hogy az alsó vége érintkezzék a talajjal, majdelengedjük, azt tapasztaljuk, hogy a leeső tárgyak egyenletesritmusban kopognak, amikor a talajra esnek. Galilei ezenállítása igaz az összes nulla kezdősebességű egyenes vonalúegyenletesen változó mozgást végző testre. A sebesség-idő gra

fikonnal kapcsolatban említettek alapján Galilei megállapításaegyszerűen ellenőrizhető (1.8. ábra).

V77777777777

v=ot

y \K / / /



22 1. MECHANIKA

A nehézségi gyorsulás mérésére különböző niódszereket dolgoztak ki, amelyek közül az egyik nagyon szellemes módszertröviden ismertetjük. Mivel szabadesésnél nagyon rövid időtar

tamokat kell mérnünk, ezért minden esetben az időmérés okoz problémát. Ebben a kísérletben egy lengő lécet, mint ingáthasználunk óraként.

Megmérjük az inga lengésidejét,majd az 1.9. ábrának megfelelőenösszeállítjuk az eszközt. A lengőrészre két papírt ragasztunk, közöt

tük indigóval. A fonalat elégetve agolyó leesik, a lengő rész pedig nekicsapódik, így a golyó nyomothagy az indigós papíron. A golyó által hagyott nyomból tudjuk meghatározni az általa megtett utat, mígaz inga lengésidejének negyede ad- _________________

ja meg az esési időt, amelyekből g VZ77777777777777777Z V/ értéke számítható. 1-9- ábra

1.1.5. NEM NULLA KEZDŐSEBESSÉGŰ,

EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS

Az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás vizsgálatára szolgáló kísérletben vegyük fel az út-idő diagramot általánoskezdeti feltételek mellett úgy, hogy az órát akkor indítjuk, amikor a test már sq utat megtett és már vq sebességgel mozog. Az

út-idő és sebesség-idő diagram felvétele szempontjából ez azt jelenti, hogy a koordinátarendszer origóját illesztjük máshová(1.10. ábra).

A mozgás fizikai lényegét tekintve ugyanaz, mint a nulla kezdősebességű, egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás,csak a megfigyelés kezdetének „eltolódása” miatt a vonatkoztatási rends erben a görbék is eltolódnak”



1. MECHANIKA 23

1.10. ábra

Ennek megfelelő helyzettel a mindennapi gyakorlatban akkor találkozhatunk, ha a megfigyelés kezdete nem az indulás

pillanata, például, ha a gépkocsi előzésbe kezd vagy sportversenyen ún. repülőrajttal indulnak.

Ilyen esetekben a v -t diagram nem egyenes arányt, hanem lineáris függvénykapcsolatot mutat az 1.10. ábra szerint, ahol azegyenes meredekségének számértéke most is a gyorsulás értékével egyezik meg. Az ábráról leolvasható a sebesség időfüggése.

A megtett utat a sebességgrafikon egyenese és a í tengely által bezárt terület adja (1.11. ábra):

A megtett utat és a sebességet megadó összefüggések tehát a



24 1. MECHANIKA

a 9s = Voí + - r ; v = Vo + aí

A sebesség és a gyorsulás vektormennyiség. Az egyenes vonalú mozgásoknál irányukat a megfelelő előjelek alkalmazásával vesszük figyelembe az elólíbi egyenletekben.

1.2. A TÖMEGPONT DINAMIKÁJAA fizika által vizsgált kölcsönhatásokban rendszeresen ta

pasztaljuk, hogy a testeket valamilyen eróTiatás éri. Két elektromosan töltött test vonzza vagy taszítja egymást, a mágnesek esetében ugyancsak megfigyelhetünk vonzó- vagy taszítóerőt.Egy összenyomott rugó mozgásba hozhat egy tárgyat vagy egymozgó tárgy összenyomhat egy rugót. Számtalan példát sorolhatnánk a fizikai jelenségek közül, amikor testek között valamilyen eróTiatás lép föl. Valahányszor egy testet eróTiatás ér,megfigyelhető, hogy a test alakja, mozgásállapota, esetleg mindkettő megváltozik. Az eróTiatás tulajdonképpen a kölcsönhatások kísérője, amelynek mértéke az erő.

in Azt a fizikai hatást, amely a külcsönhatásban lévő testmozgásállapotát vagy alakját megváltoztatja, erőhatásnak ne-vezzük.'Az erő az erőhatás mértéke.Az erő jele; F

A továbbiakban nem különböztetjük meg az erőt és az erőhatást, hanem csak erőről beszélünk.

Ahhoz hogy az erőknek és a mozgásoknak a kapcsolatátleírhassuk, valamilyen módon mérnünk kell az erőt. Erre kétféle lehetőség kínálkozik:

a) Az erő hatására bekövetkező mozgásállapot-változásbóldefiniálhatjuk az erő mértékét.

b) Az erő hatására bekövetkező alakváltozást fölhasználvaadhatunk mérési eljárást.

Mi a második módszer szerint járunk el.Az erő vektormennyiség, mindkét hatása alapján erre követ

k t tü k



1. MECHANIKA 25

1.2.1. ERŐMÉRŐ KÉSZÍTÉSE

Erőmérő készítéséhez valamilyen rugalmas anyagot használunk, mely az erőhatás megszűnte után visszanyeri eredeti alak

ját. Tapasztalatból tudjuk, hogy nagyobb erőhatással nagyobbalakváltozás idézhető elő. Ez a két tulajdonsága teszi alkalmassá a rugalmas anyagokat az erő mérésére. Könyvünkben a rugós erőmérő elvét ismertetjük, amelynek skálája lineáris. Természetesen készíthető nem lineáris skálájú erőmérő is.

[k] Felfüggesztünk egy spirálrugót és az al jára azonos méretű azonos anyagból készülttesteket akasztunk. A rugó mellé egy skáláthelyezünk, hogy mérni tudjuk a megnyúlást(1.12. ábra).

Azt tapasztaljuk, hogy bármelyik testet

akasztjuk föl, a rugó minden esetben ugyanannyit nyúlik meg.

Az egy test által kifejtett erőt önkényesenerőegységnek választhatjuk. Ha két, háromvagy több testet akasztunk föl, a rugó meg

nyúlása mindig annyiszorosa az egy test által előidézett megnyúlásnak, ahány testet a rugóra akasztottunk. Azt mondhat

juk, hogy két test kétszer, három test háromszor, n db test n-szer akkora erővel húzza a rugót. Itt az erőhatások függetlenségének elvét használjuk ki, amellyel késól^b foglalkozunk részletesen.

m Ha két különböző erő a rugót azonos mértékben nyújtjameg, a két erő nagysága megegyezik.

II [d] Ha egy erő a rugót n-szer akkor mértékben nyújtja meg, mintaz egységnyi erő, akkor az erő nagysága az egység n-szerese.

Az előzőek ismeretében már tudunk erőt mérni. Az erő mérésének definíciójából következik, hogy a rugót megnyújtó erőés a rugó megnyúlása egyenesen arányos, azaz hányadosuk ál



26 1. MECHANIKA

latos, és rugóállandónak vagy direkciós erőnek nevezik. A rugóállandó megmutatja, hogy egy adott rugó mennjdre kemény,milyen nehéz megnyújtani vagy összenyomni.

E Az F = kx vagy F = D \

összefüggés a rugó erőtörvénye, ahol x a rugó megnyúlása azF erő hatására.

1.2.2. NEWTON I. TÖRVÉNYE[k ] Végezzük el a következő gondolatkísérletet!Egy, a jégkorongozásban használt korongot lökjünk meg

adott sebességgel, először egy park sétaútján, majd sima aszfalt-úton, végül a Balaton tükörsima jegén. Mindenki érzi, hogy akorong leghamarabb a sétaúton fog megállni, míg a Balaton je

gén jut a legmesszebb. Folj^atva ezt a gondolatmenetet: ha létre tudnánk hozni olyan felületet, amelyen nem lenne súrlódásés légellenállással sem kellene számolnunk, akkor a korongnem állna meg, hanem egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. Ebből az következik, hogy az erő nem a mozgásállapotfenntartásához, hanem a megváltoztatásához szükséges.

I[HA testeknek az a tulajdonsága, hogy mozgásállapotuk csak erő hatására változik meg, a testek tehetetlensége.

E Newton I. törvénye, a tehetetlenség törvénye:Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalúegyenletes mozgás állapotában mindaddig, amíg valamilyenerőhatás ennek elhagyására nem kényszeríti.

Mivel a bennünket körülvevő világban nincs olyan test,amelyre semmilyen erő nem hat, ezért ezt a törvényt kísérletileg nem lehet igazolni. Ehelyett olyan körülményeket teremthetünk, hogy a testre ható erólc eredője nagy pontossággal nullalegyen. Tapasztalataink szerint ekkor szintén nem változik a tö

t á áll t



1. MECHANIKA 27

I

[d] Az olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben teljesül a tehetetlenség törvénye, inerciarendszereknek nevezzük.

Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer. Példáula hirtelen induló vagy a fékező járművekben az az utas, aki nemkapaszkodik, „magára van hagyva”, nagyon könnyen eleshet,azaz a buszhoz mint vonatkoztatási rendszerhez képes változik a mozgásállapota. Az ilyen rendszereket gyorsuló vonatkoztatási rendszereknek nevezzük.

Az inerciarendszerek jelentősége az, hogy megadják a New-ton-törvények érvényességi körét. A Newton-törvények csak inerciarendszerekben érvényesek. Könnyen belátható, ha egyvonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden más,hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer is inerciarendszer.

1.2.3. NEWTON II. TÖRVÉNYE

[k] A z 1.13. ábra szerinti kísérleti összeállításban mérjük a kiskocsira ható erőt és a kiskocsi gyorsulását!

1.13. ábra

A mérési eredmények azt mutatják, hogy állandó erő állandógyorsulást hoz létre. Változtatva az erő nagyságát, a gyorsulás isváltozik, mégpedig az erő nagyságával egyenesen arányosan.

H] Newton II. törvénye: a dinamika alaptörvénye:A tömegpontot a fellépő erő a saját irányába gyorsítja, a létrejövő gyorsulás egyenesen arányos az erővel.



28 1. MECHANIKA

A testre ható erő és a gyorsulás hányadosát a test tehetetlen tömegének nevezük, jele: m. A tömeg alapmennyiség, önkényesen választott mértékegysége az 1 kg, amely a Párizs melletti

Sevre-ben található platina-irídium ötvözetből készült mintahenger tömege.

A mindennapi életben megfigyelt mozgások esetén a testek tehetetlen tömege állandó, de a fénysebességhez közeli sebességének esetén a tömeg megnövekszik.

Newton II. törvényéből kapjuk az erő fizikában használatos

mértékegységét:

Azszorzata

^z erő mértékegysége a tömeg és a gyorsulás egységének rzata, 1 kg • 1 m/s = 1 N (newton)

I m 1 N az az erő, amely az 1 kg tömegű testet 1 m/s^ gyorsu

lással mozgatja.

A dinamika alapegyenlete

Az erőmérő készítésénél láttuk, hogy az erő deformáló hatásánál az egyes erők egymástól függetlenül hatnak.

Hl Elvégezhető a következő kísérlet: gyorsítsunk egy testetkülönböző erőlckel különböző irányokba (1.14. ábra)!



1. MECHANIKA 29

Először az egyes erők külön-külön, majd egyszerre hassanak a testre. Megmérve az egyes erők által létrehozott gyorsulásokat, majd azokat vektoriálisan összegezve azt a gyorsulást kap

juk, amit akkor mérünk, amikor az erők egyszerre hatnak atestre. A kísérlet alapján mondhatjuk ki a következő törvényeket.

I [T] A testre ható erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásukat.

[t]A tömegpontra ható erők eredője egyenlő a test tömegének és gyorsulásának szorzatával. A gyorsulás az eredő erőirányába mutat.

SF = ma

Ez a tétel a dinamika alapegyenlete.

(A görög szigma: S jel, amit szummának ejtünk, az összegzést jelenti.)

1.2.4. NEWTON III. TÖRVÉNYE

E Tegyünk mindkét végén alátámasztott hajlékony lemezre

egy vízzel töltött léggömböt! A lemez lehajlik, a léggömb bela pul (1.15. ábra).

1.15. ábra

Nagyon sok hasonló kísérletet mutathatunk be annak szemlélt té é h köl ö h tá b é t ő i dkét t t ő



30 1. MECHANIKA

H] Newton III. törvénye, a hatás-ellenhatás törvénye Ha az egyik test erőt fejt ki a másikra, a másik is erőt fejt kiaz előzőre, tehát az erők mindig párosával lépnek fel. Ezek az

erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak. Az erő és azellenerő mindig más-más testre hat.

A törvényből következik, hogy erőhatás létrejöttéhez mindigkét test és a közöttük létrejövő kölcsönhatás szükséges. Nemmindig nyilvánvaló azonban a másik test jelenléte, amint ezt következő példánk is mutatja.

[p] Adjuk meg a talajon nyugvó ládára ható erőket és azok el-lenerejeit!

Az 1.16. ábrán N jelöli a nehézségierőt, míg F a talaj által a ládára kifejtettnyomóerőt. Az F ellenereje az az erő,amivel a láda nyomja a talajt. Mi az ellen

ereje a nehézségi erőnek? Az N erő aFöld vonzásából származik, tehát ellenereje a Földre hat, ugyanis a test is vonzza a Földet. Az erő-ellenerő párokat, tehát mindig a kölcsönhatás természetealapján találhatjuk meg.

1.16. ábra

1.2.5. NEVEZETES ERŐHATÁSOK

A nehézségi erő

A szabadon eső test gyorsulását a testre ható nehézségi erő

hozza létre, amely a test és a Föld között föllépő gravitációs erőkövetkezménye. Newton II. törvénye szerint a nehézségi erő

F„e/t = mg

A test tömege állandó, g értéke a földrajzi helytől függőenváltozhat. Budapesten az 1 kg tömegű testre ható nehézségi erőkö lí ől 9 81 N



1. MECHANIKA 31

A súly és a súlytalanság

Ha egy testet felfüggesztünk vagy egy vízszintes felületre he

lyezünk, akkor az egy függőlegesen ható erőt fejt ki a felfüggesztésre, ill. az alátámasztásra.

dl A test súlya az az erő, amellyel a test a hozzá képest nyugalomban lévő felfüggesztést húzza vagy a vízszintes alátámasztást nyomja.Jele: G

Egy test súlya nem állandó. Például aliftben álló ember a lift fölfelé indulásakor nehezebb, míg lefelé indulásakor könnyebb. Ha az 1.17. ábrának megfelelően berajzoljuk a rá ható erőket és alkalmazzuk a dinamika alapegyenletét, a súly

nagyságára a következő eredményt kap juk:

G = m(g H- a)

ha fölfelé indul,

G = m(g - a)

ha lefelé indul.

1.17. ábra

Látható, hogy ha a test szabadon esik, akkor a súlya nulla. Ezaz állapot a súlytalanság.

A kényszererőA kényszererők általános definíciója nagyon bonyolult, meg

haladja ennek a könyvnek a kereteit, így csak néhány példátvizsgálunk.

A felfüggesztett testre a felfüggesztés, az alátámasztott testreaz alátámasztás fejt ki erőt. Ezek az erők mindig olyan nagysá



32 1. MECHANIKA

téshez, ill. az alátámasztáshoz képesti elmozdulását. Mindenilyen típusú erőt kényszererőnek nevezünk. Kényszererő például a kötélerő, ami mindig kötélirányú, az alátámasztás által

kifejtett nyomóerő vagy a tapadási súrlódási erő. A kényszer-eró"knek van egy maximuma, pl. amit egy kötél szakadás nélkülkibír, és a legtöbb esetben nem lehet akármilyen az irányuk sem, mert pl. az alátámasztás nem tudja húzni a testet.

1.2.6. SÚRLÓDÁSI JELENSÉGEK

A csúszási súrlódási erő

A csúszási súrlódási erő két egymással érintkező, egymáshozképest mozgó felület között lép föl.

Iránya ellentétes a relatív sebességek irányával, nagysága afelületek simaságától és az őket összenyomó erő nagyságától

függ. Nem függ az érintkező felületek és a relatív sebességek nagyságától. Jele: Fg. Nagyságát az

ny

összefüggés adja meg, ahol fj. a csúszási súrlódási együttható, afelületek minőségére jellemző állandó. Az összefüggésből látha

tó, hogy a |Udimenzió nélküli mennyiség.

A tapadási súrlódási erő

A tapadási súrlódási erő két egymással érintkező, egjmáshozképest nyugvó felület között lép föl abban az esetben, ha valamilyen erő a felületeket el akaija mozdítani. Iránya párhuza

mos a felületekkel és ellentétes a felületeket elmozdítani akaróerő irányával, nagysága pedig azzal egyenlő. A tapadási súrlódási erő kényszererő. A tapadási súrlódási erő maximuma a felületek simaságától és a felületeket összenyomó erő nagyságától függ. Jele Fjo , az

Fso ~



1. MECHANIKA 33

Ha az elmozdító erő nagysága meghaladja a tapadási erő maximumát, a felületek csúszni kezdenek, és ekkor már a csúszásisúrlódási erő lép fel. Két feltilet között egys7erre nem léphet fel

tapadási és csúszási súrlódási erő.

1.2.7. AZ IMPULZUS

B Egy test sebességét a reá ható erólí t idő alatt változtassák vi-ről V2-re. A gyorsulás definíciója és a dinamika alapegyenlete miatt igazak a következők:

Av V2 -V 1 . ^a = = — T---- es * = ma

A t A t

Rendezés után azFAí = my^—rnyi

egyelethez jutunk. Az egyenlet bal oldalán a testre ható erők eredőjének és az erőhatás idejének a szorzata áll, ami független a testtől és a pillanatnyi sebességtől, lévén más testektőlszármazó erőhatás, míg a jobb oldalon az mv szorzat a testheztartozó mennyiség, amelyre más testek erővel hatottak.

[1 Az F Aí szorzatot erőlökésnek, az mv szorzatot impulzusnak (lendület) nevezzük.Az impulzus jele I vagy p. Mértékegysége kgm/s. Előzőegyenletünket az impulzussal fölírva az

^ AIF = — A t

egyenlethez jutunk.E A tömegpontra ható erőlc eredője és az erőhatás idejének szorzata egyenlő a tömegpont impulzusának megváltozásával. Az impulzusváltozás iránya megegyezik az eredő erő irányával. Rövidebben: a test impulzusváltozása egyenlő az őtérő erőlökéssel. Ez az impulzustétel, ami Newton II. törvé



34 1. MECHANIKA

vezette be, és törvényét is annak segítségével fogalmaztameg:„...Az impulzus megváltozása arányos a mozgatóerővel ésamaz egyenes irányában megy végbe, amelynek mentén ez azerő hat...”

1.3. ÖSSZETETT MOZGÁSOK

1.18. ábra

1.3.1. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES

MOZGÁSOK ÖSSZETÉTELEEl Egy csónak halad a folyóban a vízhez képest vi sebesség

gel. A folyónak a parthoz képesti sebessége V2. Hogyan riiozoga csónak a parthoz képest?

Az 1.18. ábra mutatja a Aí időalatt bekövetkező elmozduláso

kat, Si a csónaknak a vízhez ké pesti, S2 a víznek a parthoz ké pesti elmozdulása, míg a kételmozdulás s összege a csónak

parthoz képesti elmozdulását ad ja:

S = Si + S2S Si S2

Az egyenletet Aí-vel osztva a sebességeket kapjuk.Eredményünket a következő tételben foglalhatjuk össze:

E Ha ismerjük az A test B testhez képesti sebességét és ismert B sebessége a C testhez képest, akkor A sebességét C-hez képest két sebesség vektori összege adja.

Az egyenletet átrendezve:

Vi = V- V2



1. MECHANIKA 35

azt kapjuk, hogy ha ismerjük két test sebességét ugyanahhoz atesthez képest, akkor az egymáshoz viszonjatott sebességük akét sebességvektor különbségeként adódik.

A függőleges hajítás

A függőleges hajítás a nem nulla kezdősebességű egyenes vonalú egyenletesen változó mozgások egy speciális esete. így amozgást leíró összefüggések ugyanazok, mint az 1.1.5. fejezet

ben bemutatottak. Mutasson vonatkoztatási rendszerünk y ten

gelye a hajítás egyenesében fölfelé, ha a hajítás fölfelé történik.A mozgást leíró összefüggések;

9 2 y = yo + v o t - - t ^ ; v = v o - g - t

ahol yo az elhajítás magassága, vo a kezdősebesség.A függőleges fölfelé hajítás esetén szokás megadni az emel

kedés idejét és magasságát, ami:

í • h

Ha a hajítás lefelé történik, az y tengely mutasson lefelé.Ekkor az összefüggések:

g n

?/ = 2/o + i oí + 2Ín ; U=

Sebesség és gyorsulás görbe vonalú pályán

Tartózkodjon a test a t pillanatban a pálya A pontjában, majd At idővel később a B pontban (1.19.a ábra). Az A pontba mutató helyvektort jelölje ri, a B pontba mutatót t 2 . A test A pont

beli sebességét úgy kapjuk meg, ha a At idővel tartunk nullához.Ekkor azonban a Ar vektor és ezáltal a Ar/At sebességvektor tart az A pontbeli érintőhöz (1.19.b ábra). Azt mondhatjuk,h



36 1. MECHANIKA

IH] Görbe vonalú pályán mozgó test sebessége a pálya érintő jének irányába mutat.

Jelölje a görbe vonalú pályán mozgó test sebességét az A pontban vi, és A t idővel később a B pontban V2 (1.20.a ábra).Mivel a két sebességvektor nem egyenlő, a Av = V2-V1 nem nulla (1.20.b ábra), tehát a test gyorsul.

1.20. a ábra

A görbe vonalú pályán mozgótest gyorsulását két komponensre

bontva adjuk meg (1.21. ábra).

V21.20.b ábra

1.21. ábra

[H A pályára merőleges komponens a normális, míg a pályaérintőjének irányába mutató komponens a tangenciális gyor

sulás.

A normális gyorsulás a sebesség irányának, a tangenciális komponens pedig a'sebesség nagyságának megváltozását okoz



1. MECHANIKA 37

A vízszintes hajítás

A vízszintesen elhajított test mozgását egy vízszintes, állandó

sebességű mozgás és egy szabadesés összegeként íquk le. Eztazért tehetjük meg, mert a függőleges nehézségi gyorsulás avízszintes kezdősebesség nagyságát nem változtatja meg, a leeső golyónak pedig nincs kezdősebessége. Állításunk a következő kísérlet elvégzésével bizonyítható.

IS Az 1.22. ábrán látható eszköz egyszerre indít egy golyót

szabadeséssel, egy másikat pedig valamilyen Vq kezdősebességgel vízszintes irányba.

Gumiszál

—Lengő kar, amit meglökünk

Lyuk

i1.22. ábra

A kísérletet elvégezve azt tapasztaljuk, hogy a két golyó egyszerre koppan a talajon. Ha a vízszintesen ellökött golyót kü

lönböző sebességekkel indítjuk, ugyanúgy, egyszerre koppan-nak, csak a golyó más-más távolságokra repül.A leíráshoz koordináta-rendszerünket úgy vesszük fel, hogy

az origó az elhajítás helye, míg az y tengely függőlegesen lefelé,az X tengely pedig a hajítás irányába mutasson (1.23. ábra).

Ekkor a test helyét az



38 1. MECHANIKA

függvények adják meg. A sebesség vízszintes és függőlegeskomponense:

V x = V0 ; Vy = gt

A hely-idő függvényekből az időt kiküszöbölve, a hajítás pályáját kapjuk:

A pályát megadó másodfokú függvény egy parabola egyenle

te, tehát a vízszintesen elhajított test pályája parabola.

A ferde hajítás

A ferde hajításnál ugyanúgy járunk el, mint a vízszinteshajítás leírásánál. A mozgást egy vízszintes, állandó sebességűmozgásra és egy függőleges hajításra bontjuk. Kooidináta-rend-

szerünk kezdőpontja legyen azelhajítás helye, y tengelye mutassonfölfelé, X tengelye pedig az elhajításirányába. A test kezdősebességét bontsuk fel vízszintes és függőlegeskomponensekre (1.24. ábra).

Lefelé hajításnál ugyanígy járunk

el, csak az összefüggések fölírásánálVyo előjele negatív. A test helyét ‘megadó függvények: ^ 24. ábra

g « X = V{)COsa ' t ; y = t;oSÍna •t — - t

Zi

A vízszintes és függőleges sebességek:

Vx = Vocosa Vy — uosina — gt^

A helyet megadó függvényekből az időt kiküszöbölve a pályaegyenletét kapjuk:



1. MECHANIKA 39

Eredményül ismét parabolapályát adó másodfokú függvénytkaptunk.

Megjegyzés: a valóságban a légellenállás miatt a pálya ún.

ballisztikus görbe, aminek leírása meghaladja e könyv kereteit.A ferdén elhajított test pillanatnjd sebességének nagyságát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk:

irányát pedig a komponensek alkotta derékszögű háromszög

szögei adják meg (1.25. ábra).

A körmozgás

Hl Körmozgást végez egy tömegpont akkor, ha a pályája kör. Körmozgás esetén a megtett út a körpályán befutott ív.

ái

A görbe vonalú pályákkal kapcsolatban már láttuk, hogy a se

bességvektor minden pillanatban

a pálya érintőjébe esik. Ez a kör pályán is teljesül. Körmozgásesetén ezt kerületi sebességnek nevezzük. A körmozgás jól jellemezhető a mozgó ponthoz húzottsugár elfordulásának szögével,amelyet radiánban mérünk (1 26



40 1. MECHANIKA

Ekkor a befutott ív Aj hosszúsága és az Aa szögelfordulás között a következő egyszerű összefüggés érvényes:

A i = rA a

Az Aí időre vonatkozó átlagos kerületi sebesség a At idő alatt befutott Ai ívhossz és a megtételéhez szükséges idő hányadosa:

A i^ " ^ A t

Ha At elegendően kicsiny, akkor v a pillanatnyi kerületi se besség.

Helyettesítsük a Ai ívhosszat a sugárral és a hozzátartozó kisszögelfordulással;

r • Aa Aa= r

A t A t

[H A Aoí/At hányados a szögsebesség. Jele: co, dimenziója:l/idő, mértékegysége: l/s.Képlettel kifejezve;

AaAí

amivel a kerületi sebesség nagysága és a szögsebesség kapcsolatára a

V = r ■w

összefüggés adódik.

Mivel a körpályán mozgó test sebessége változik, ezért biztos, hogy van gyorsulása.

[U A körpályán mozgó test gyorsulásának normális komponense a centripetális (középpontba mutató), tangenciális gyorsulása a kerületi gyorsulás.



1. MECHANIKA 41

A kerületi gyorsulás a körmozgást végző test sebességének nagyságát változtatja, így a pillanatnyi sebesség és a kerületigyorsulás kapcsolatát a

v = vo±afc-í

összefüggés adja. A negatív előjelet akkor használjuk, ha a se besség és az érintő irányú gyorsulás ellentétes irányú.

[l] a centripetális gyorsulás meghatározásához tekintsük a ke

rületi sebesség nagyságát állandónak.Az 1.27.a ábra alapján a vi vektorra merőleges sugár és a \ 2

vektorra merőleges sugár szöge Aa, ezért a vi és V2 vektorok szöge is Aa. A két vektort közös kezdőpontból fölrajzolva,(1.27.b ábra) a V1V2AV háromszög és az rir 2As háromszögek hasonlók. Ezért a megfelelő oldalak arányára igaz a

Av V As r

egyenlet. Rendezve;

A ^ A Au = - Asr

Majd mindkét oldalt Aí-vel osztva, a

Av V As As r A t

összefüggést kapjuk.Mivel Af tart nullához a As/Aí a pillanatnyi sebesség, a Av/Aí pedig a gyorsulás nagyságát adja meg. így a centripetális gyor sulás nagysága:

V2acp = — r

Iránya a kör középpontja felé mutat.



42 1. MECHANIKA

Az egyenletes körmozgás

Hl Egyenletes körmozgásról beszélünk, ha a pálya kör, és amozgó test által befutott ív arányos a befutáshoz szükségesidővel.

A definícióból következik, hogy a kerületi sebesség, a szögse besség és a centripetális gyorsulás állandó, a kerületi gyorsulás pedig nulla. így a mozgást leíró összefüggések a következők:

i — vt a = wt

Az egyenletes körmozgás leírásához még két mennyiségetdefiniálunk;

I® A körpálya egyszeri teljes befutásához szükséges időt keringési időnek nevezzük és T-vel jelöljük.

szám, jele: n.I [d] Az egységnyi idő alatt befutott körök száma a fordulat-

A két definícióból következik, hogy e két mennyiség egymásreciproka:

T = -n

A szögsebességet a keringési idővel és a fordulatszámmal ki



1. MECHANIKA 43

27T „w = — = ZTrn

T

Mivel az egyenletes körmozgás során a test gyorsulása megegyezik a centripetális gyorsulással, ezért a dinamika alapegyenlete szerint az egyenletes körmozgást végző testre hatóerők eredője a kör középpontjába mutat, nagysága:

SF = m —

r

Ez az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele,

I[d] Azt az eredő erőt, amely a tömegpontot körpályára kényszeríti, centripetális erőnek nevezzük.

1.4. A MUNKA ÉS AZ ENERGIA1.4.1. A MUNKA FOGALMA

Hétköznapi értelemben munka, ha egész nap egy számítógépelőtt íilve dolgozunk, ha egy nehéz szatyrot hazacipelünk a közértből, vagy amikor építkezés során már negyedszer rakjuk ar

rébb a téglákat.

I® A fizikában egy erő munkája az erő és az erő irányábantörténő elmozdulás szorzata.

E definíció szerint munkát végzünk, amikor fölemelünk egytestet, ha megnyújtunk egy rugót vagy amikor felgyorsítunk egy

testet, de nem végzünk munkát, ha egy testet a kezünkben tartunk.Munkavégzésünk nagysága attól függ, hogy mekkora erővel

és milyen hosszú úton mozgatunk egy testet. Abban az esetben,ha az erő és a test elmozdulása egyirányú, a munkán az F erő ésaz s elmozdulás szorzatát értjük.



44 1. MECHANIKA

ahol W a munka jele. Fontos megjegyezni, hogy ez a meghatározás - tulajdonképpen megállapodás - önkényes, de indokolt,mert célszerű. Természetesnek érezzük, hogy több munkát vég

zünk, ha nehezebb tárgyat emelünk fel ugyanolyan magasra, illetve, ha ugyanazt a testet magasabbra visszük.

ámg

B Ha vízszintes úton hazaviszünk egy teli bevásárlószatyrot, hétköznapi értelemben munkát végeztünk, azonban a szó fizikai értelmében nem történt .munkavégzés. Ez a művelet ugyanolyan erőkifejtést ^

igényel, mintha a terhet egy helyben tartanánk (1.28.ábra).

Mivel a test függőlegesen nem mozog, ezért az

F = mg

erő irányában nincs elmozdulás, tehát a függőleges F erő nem

végez munkát, ha a test csak vízszintesen mozog. Mégis úgyérezzük, hogy dolgoztunk, izmaink munkát végeztek. A biológiai munkavégzés magyarázata az, hogy miközben a terhet tart

juk, izomkötegeink egymást váltva összehúzódnak és elemyed-nek. Az erő és az elmozdulás egyirányú, tehát van munkavégzés. Ezért fáradunk el akkor is, ha az általunk kifejtett Ferőnek fizikai értelemben nincs munkavégzése.

Általánosítva kimondhatjuk, hogy az elmozdulásra merőleges erő nem végez munkát.A munka mértékegysége a definíció alapján az erő és elmoz

dulás ességének szorzata, 1 N • 1 m = 1 kg • m/s^ • 1 m =1 kg • m^s^ = 1 joule (ejtsd; zsul), jele: J.

A munka definíciójának általánosítása

Abban az esetben, ha az erő és az elmozdulás nem egyirányú,az erőt felbontjuk elmozdulás irányú és arra merőleges összetevőkre (1.29. ábra).

A merőleges komponens munkája nulla, míg az elmozdulásirányú |Fi| = |F| cosa komponens munkája

W |F| | |



1. MECHANIKA 45

ahol a az erő- és az elmozdulásvektorok által bezárt szög.Mivel az erő és az elmozdulás is vektor, kifejezésünk nem

más, mint a két vektor skaláris szorzata.M^=|F||s|

Ha a munkavégzés során az erő nem állandó, akkor a testmozgását olyan elemi s elmozdulásokra bontjuk, hogy azon azerőt már állandónak tekinthessük, és ezen elemi elmozdulásokon végzett munkák összegeként számítjuk a munkát.

Eddig egy erő munkájával foglalkoztunk, a későbbiekben látni fogjuk, hogy több erő esetén különösen fontos az eredő erőmunkájának kiszámítása.

B H a egy tömegpontra több erő hat, akkor az eredő erőmunkája egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegével.

Ugyanis

Fe = Fi+F2 + . . . +F„

As elmozdulás esetén a munka

W = FeAs = FiAs + FaAs + .. . + FnAs

Ha ismerjük az erő-elmozdulás függvényt (természetesen ittaz erőn az elmozdulás irányú erólcomponenst értjük), akkor afüggvénygörbe és az elmozdulástengely által határolt terület amunka mérőszámát adj a (1.30 ábra).

Ebben az esetben az elmozdulástengelyen csak az elemi elmozdulások nagysága szerepelhet algebrai összegük a megtett



46 1. MECHANIKA

1.4.2. SPECIÁLIS MUNKAVÉGZÉSEK

Az emelési munka

Számítsuk ki, mennyi munkával lehet

egy m tömegű testet lassan, egyenletesenh magasságba vinni (1.31. ábra)! Azegyenletes emelés azt jelenti, hogy a testgyorsulása nulla. Ebből viszont következik, hogy a testre ható erők eredője isnulla, azaz: F - mg.

mgl

' / / / / / / / 7 / / / / / / / 7 Z

1.31. ábraígy az F erő munkája már kiszámítható:Wp = Fh — mgh

Érdemes megvizsgálni a nehézségi erő munkáját is. Az mg erő iránya ellentétes az elmozdulással, így a = 180°, azaz cosa =-1 . Tehát:

W^g = - mghHa a testet lefelé engedjük, ez előjelek felcserélésétől elte

kintve ugyanerre az eredményre jutunk:

Wp = — mgh ;



1. MECHANIKA 47

A súrlódási munka

Vízszintes talajon gyakran mozognak a testek állandó erő ha

tására állandó sebességgel. Ilyenkor a húzóerő a súrlódási erőellenében végez munkát (1.32. ábra).

TTT^T^.TTTTTTTTTTTTTTTTTTZ^^/T/.mg" y / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / S

1.32. ábra

Állandó sebesség esetén a testre ható erők eredője nulla:

mg = F„y és F —Fs —fimg

így az F húzóerő munkája a következő alakban írható:Wp — Fs = fímgs

A súrlódási erő munkája:

W f , ——límgs

Ha a pálya nem egyenes, a munka számításához a megtettutat kell használni, mivel a súrlódási erő ellentétes a pillanatnyisebességgel, azaz az erő iránjm elmozdulás megegyezik a megtett úttal.

A gyorsítási munka

A testek gyorsításához a dinamika alaptörvénye szerint nullától különböző eredő erő szükséges. Állandó F erő hatására atest egyenletes gyorsulással mozog. Számítsuk ki, mennyi a testre ható erólc eredőjének munkája, amikor vízszintes talajon,egyenes úton, álló helyzetből v sebességre gyorsul a test (1.33.ábra).

A dinamika alaptörvénye szerint: F = ma, további kinetikai



48 1. MECHANIKA

h - í M

/779' / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A^ 5 f//133. ábra

W f , = FeS ^ m a ^ t l = = ^ m v l

A kapott eredmény érdekessége, hogy a munkavégzés kizárólag a test adataitól - tömegétől, sebességétől - függ, sem a húzóerő sem az út nem szerepel a végső összefüggésben. Azkifejezés a test mozgási energiája (lásd bővebben a következőfejezetben).

Érdemes még arra is figyelni, hogy a talaj által a testre kifejtett nyomóerő munkája nulla. Ezt a nyomóerőt kényszererőnek

nevezzük. Általánosan érvényes, hogy az elmozdulásra merőleges kényszererők nem végeznek a testen munkát.

A rugó megnyújtása során végzett munka

A munka kiszámításához a rugó erőtörvényét és az erő-elmozdulás függvény grafikonjáról a fejezet első pontjában

említetteket használjuk. Nyújtatlan helyzetből kiindulva, növel jük meg egy D rugóállandójú rugó hosszát x-szel! Ábrázoljuk amegnyújtóerőt a megnyúlás függvényében (1.34. ábra)!



1. MECHANIKA 49

Az ábra jelöléseit felhasználva a végzett munka:

Dxx 1 ^ 9

1.4.3. ATEUESfTMÉNY

A munkavégzés szempontjából fontos, hogy az mennyi idő

alatt megy végbe. A munkavégzés gyorsaságát a teljesítmény méri. Jele: P

[d ] Valamely erő munkájának átlagos teljesítménye az erőmunkájának és a munkavégzés idejének hányadosa.

Mértékegysége a munka és az idő mértékegységének hányadosa, 1 J/l s = 1 watt, jele: W.

Mivel a munkavégzés gyorsasága nem feltétlenül állandó,ezért definiálnunk kell a pillanatnyi teljesítményt is.

[U A pillanatnyi teljesítmény az adott időpont környezetébennagyon rövid Aí időre számított átlagteljesítmény:

„ A W

Aí

|t] Számítsuk ki a pillanatnyi teljesítményt változó sebességűmozgás során! A test Aí idő alatti elmozdulása a gyorsítás soránAs. Az őt gyorsító F erő munkája ez alatt

W" = FAs

így a teljesítmény

,AsPá = F



50 1. MECHANIKA

A pillanatnjd sebesség definíciójából ^ % így a

P = | F | M

összefüggéshez jutunk. Azt mondhatjuk, hogy egy erő pillanatnyi teljesítménye az erő és a pillanatnyi sebesség skaláris szorzata.

1.4.4. AZ ENERGIA

A megnyújtott vagy összenyomott rugó munkát végezhet,gyorsítva egy testet. A mozgó test viszont összenyomhat egy rugót. A testek, ha megfelelő állapotba hozzuk ólcet, munkavégzésre képesek, azt mondjuk, hogy energiával rendelkeznek.Számtalan energiaformát ismerünk; az energia az egyik legáltalánosabb fizikai fogalom.

Hl Az energia mint munkavégző képesség definiálható, az

energia eltárolt munka, amely megfelelő körülmények mellett ismét szabaddá válik.

A munka és az energia nagyon szoros kapcsolatban lévő fogalmak, mégis lényegesen különböznek egymástól. Az energia a test egy adott állapotát jellemzi, míg a munka két állapot közti

folyamatot ír le.

A mozgási energia

Az állandó F erő gyorsítsa az m tömegű testet s úton! Az egyszerűség kedvéért az erő legyen mindig elmozdulás irányú!Ezalatt a test sebessége vi-ről V2-re változik. Vizsgáljuk az eredő erő munkáját s úton. Az F = ma egyenletet és az ismert kine

matikai összefüggéseket fölhasználvaTiA n v \ - v \ 1 ^ l 2W = r s = más = m —----- - = -mv% —-muí

2s 2 ^ 2 ^

A végeredmény csak a test mozgásállapotától függő mennyiségeket tartalmaz, tehát munkavégzésünk a test mozgásállapotára jellemző mennyiség megváltozásával egyenlő



1. MECHANIKA 61

mennyiség a test mozgási energiája.Mértékegysége: J.

A mozgási energia a sebességet négyzetesen tartalmazza,ezért a sebesség irányától, előjelétől független, értéke nem lehet negatív. Megjegyezzük, hogy egymáshoz képest mozgó vo

natkoztatási rendszerekben a sebesség nagysága, így tehát amozgási energia is különböző lehet.A mozgási energia fogalmának ismeretében előző eredmé

nyünk a következőképpen foglalható össze;

H] A testre ható erők eredőjének munkája egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával.

Ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel, amely röviden ígyis írható:= A E m

Megjegyzés: bár felhasználtuk, hogy a mozgás egyenletesenváltozó, belátható, hogy a munkatétel más mozgásoknál is érvényes.

A helyzeti energia

A súrlódási erő munkája függ attól, hogy milyen úton mozoga test. A nehézségi erő munkája viszont független az útvonaltól,csak a test függőleges elmozdulásának nagyságától függ.

I[d] Az olyan erőket, amelyek munkája független az útvonaltól, konzervatív erőknek nevezzük.Ilyenek pl. a gravitációs erő, az elektrosztatikus erő vagy a ru

góerő.

Ha konzervatív erőtérben egy tömegpontot az A-hó\ a B pontba viszünk munkavégzésünk csak a pontok elhelyezkedé



52 1. MECHANIKA

állapotát jellemezzük azzal a munkával, amit akkor végzünk, haa testet egy önkényesen megválasztott pontból (referenciapont) a tér egy tetszőleges pontjába visszük.

[U A konzervatív erőtér egy pontjában a test potenciális (helyzeti) energiája egyenlő azzal a munkával, amivel a testeta referenciapontból az adott pontba juttattuk.

Az m tömegű testet a talajról emeljük fölh magasságba (1.35. ábra)!

Ha referenciapontnak a talajszintet választjuk, munkavégzésünk W = mgh, ami atest helyzeti energiájával egyenlő.

Vízszintes elmozdulás esetén a munkavégzés nulla, hiszen az F erő és az elmozdulás egymásra merőlegesek.

'Rugó esetén a rugó megnyújtatlan állapo

ta a referenciapont, így a rugó energiája x 777^7^77777777?.megnyúlás esetén 1-35. ábra

E r = ^Dx

amit rugalmas energiának nevezünk. A konzervatív erőtérben mozgó testnek tehát van potenciális

és mozgási energiája. Ha csak konzervatív erők hatnak rá, akkor mozgása során, ha csökken a potenciáhs energiája, növekszik a mozgási energia, vagyis a potenciális és a mozgási energiák megváltozásainak összege nulla:

AEmozg + AEpot = 0

Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele.U] Ha egy testre csak konzervatív erők hatnak, a test helyzeti

és mozgási energiájának összege állandó.



1. MECHANIKA 53

1.4.5. A HATÁSFOK

A valóságos jelenségeknél a végzett munka ill a teljesítményegy része veszteségként jelentkezik, pl. a súrlódás és a közegellenállás miatt. Egy ilyen folyamat - pl. egy test fölgyorsításaadott sebességre - hatékonysága a munkavégzés hatásfokával

jellemezhető.

[H A munkavégzés hatásfoka a hasznos és az összes befektetett munka hányadosa

W h

o

A hatásfok jele: r|. A definícióból látható, hogy dimenzió nél-küU mennyiség; nulla és egy közé eső szám, amelynek 100-szo-rosa százalékban adja meg a hatásfok értékét.

1.5. A PONTRENDSZEREK MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA

1.5.1. A PONTRENDSZER

A fizikán belül gyakran találkozunk olyan problémákkal,ahol egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő tömegpontok mozgását kell leírnunk. Ilyen pl. két ütköző golyó, a Föld és akörülötte keringő Hold vagy az egész Naprendszer mozgásának leírása.

I[d] A z egymással kölcsönhatásban lévő tömegpontokból állórendszer a pontrendszer.

A pontrendszer mozgásának,leírásához vizsgáljuk meg a következő egyszerű elrendezést.

E Vízszintes asztalon két játékautó áll amelyeket hozzájuk



54 1. MECHANIKA

1 2 I-------------- 1 I--------

y / / / y / ^ / / / / / / / / / / / ^ / / ^ / / / / / / / / / / A1.36. ábra

Az 1.36. ábrának megfelelően az első autót a vízszintes F erővelhúzzuk. Mekkora az autók gyorsulása?

A megoldást az egyes autókra ható erők berajzolásával kezd jük, majd külön-külön alkalmazzuk ezekre a dinamika alaptörvényét. Csak a vízszintes irányú erőkkel foglalkozunk, mert

nem lévén függőleges irányú gyorsulás, az egyes testekre hatófüggőleges erők összege nulla (1.37. ábra).

F\ rn2 I------------ *--- 1 "’i I------- *■

’TT^^^^TTTTTTTTPTTZt T^TTTTTTTTTT/ Fs2 ' Sl

1.37. ábra

A következő mozgásegyenletek írhatók fel:

F —K —Fsi = mi a i ;

K - F s2 —m2a2

ahol 3i az mi tömegű test, míg 82 az m2 tömegű test gyorsulása.Megjegyezzük, hogy az 1.37. ábra jelölésében már felhasználtuk azt a tényt, hogy szabad, elhanyagolható tömegű fonalakban afeszítőerő állandó, így mindkét testre ugyanakkora K kötélerőhat.

Mivel a fonalakat nyújthatatlannak tekintjük, ezért az autók együtt mozognak, azaz gyorsulásaik egyenlők:

dl = Ci2 —CL

Tehát a következő egyenletrendszerhez jutottunk:

F - K - F si — m i a i ;

K - Fs2= m2a2 ;



1. MECHANIKA 55

Ez a két test mozgásegyenlet-rendszere. Az első az mi, a második az ni2 , tömegű test mozgásegyenlete, míg a harmadik egyenlet a kényszerfeltétel matematikai megfogalmazása. Az

egyenletrendszert megoldva az

a = ----------------m i -I- m2

eredményt kapjuk a gyorsulásra.

1.5.2. A PONTRENDSZER IMPULZUSA, AZ IMPULZUSMEGMARADÁS TÉTELE

A pontrendszer tagjaira ható erőket két csoportba osztjuk.Vannak olyan erők, mint pl. az F húzóerő (1.37. ábra), amelyek a pontrendszerhez nem tartozó testekkel létrejött kölcsönhatá

sokból származnak, míg az összekötő kötelek által a testekre kifejtett eróTcet a rendszerhez tartozó testek kölcsönhatása eredményezi.

I n Azok az erők, amelyeket a pontrendszerhez nem tartozótestek fejtenek ki a rendszer tagjaira, a külső erők.

I [H A pontrendszer tagjai között fellépő erők a belső erők.

A belső erők hatásának vizsgálatára tekintsük a következő példát!

B Két korcsolyázó egymással szemben áll a jégen (a súrlódáselhanyagolható), és egy kötél végét fogják (1.38. ábra). Egyikük hirtelen - Aí ideig - megrántja a kötelet F erővel. Hogyan változtatja meg a korcsolyázók mozgásállapotát ez a rövid ideigtartó erőhatás?

A hatás-ellenhatás törvénye alapján mindkét korcsonyázóraugyanakkora erő hat, csak ellentétes irányban. Ennek alapján amozgásegyenletük:



56 1. MECHANIKA

F = m\2í\

— m2Sí2

Szorozzuk meg az egyenletek mindkét oldalát az erőhatásidőtartamával!

FAí = miaiAí —FAí = m2^2^t

A bal oldalon kapott FAí mennyiséggel az erőlökést, a jobboldalon az aAí = Av összefüggés n^iatt a korcsonyázók lendületének megváltozását kapjuk. A két egyenletet összeadva, a következő eredménj^ kapjuk:

0 = miAvi + m2Av2

Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a két korcsolyázóból és aköztük kölcsönhatást létesítő kötélből álló rendszer összes lendülete (impulzusa) nem változott meg az egymásra gyakorolt

belső erők hatására.

Eredményünket egy általános érvényű tételben foglalhatjuk össze:

I li] A pontrendszer összimpulziisát a belső erőit nem változtat ják meg.

[D] Az olyan pontrendszert, amelyben csak belső erők hatnak,



1. MECHANIKA 57

Ezzel előző tételünk úgy is megfogalmazható, hogy:

H] Zárt pontrendszer összlendülete állandó. Ez a tétel lendü- letmegmaradás vagy impulzusmegmaradás tétel néven ismert.

Vizsgáljuk most meg a külső erólc hatását a lendületváltozásokra, az előző pontban vizsgált probléma esetén! Használjuk akét test mozgásegyenletét:

F —K —Fsi —miül

K — F s 2 = Tn20,2

Szorozzuk meg mindkét egyenletet At-vel, majd adjuk összeólcet! Ekkor az

{ F - F s i - F s 2 ) A t = m i A v i + m 2 ^ V 2

egyenletet kapjuk. Látható, hogy a belső erők nem szerepelnek az egyenletben. A bal oldalon a külső erólc erőlökéseinek összege (ami megegyezik a külső erők eredőjének erőlökésével), a

jobb oldalon pedig a pontrendszer összlendületének megváltozása áll. Röviden így írhatjuk egyenletünket:

SFkAí = SAIEz a pontrendszerre vonatkozó lendülettétel, ami a követke

zőképpen fogalmazható meg:

B A pontrendszer összlendületének megváltozása egyenlő arendszer tagjaira ható külső erők erőlökéseinek összegével.Ha ez az összeg nulla, akkor a pontrendszer összlendülete állandó.

A lendülettételben azért nem szerepelnek a belső erők, mert'Newton III. törvénye szerint egy belső erő ellenerőpáija annak (-l)-szerese, így a lendületváltozás számításakor az erőösszegzésben ezek rendre kiejtik egymást.



58 1. MECHANIKA

1.5.3. A PONTRENDSZER TÖMEGKÖZÉPPONTJA

lE Két korcsolyázó áll egjmással szemben súrlódásmentes jégen, tömegük mi és m2- Az egyik rövid ideig tartó F erővelmeglöki a másikat. írjuk le a korcsolyázók mozgását (1.39. ábra)!

x=0

- 1,0 2,01.39. ábra

Az ellökés után a korcsolyázókra ható erők eredője nulla,ezért egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. Legyen amozgás egyenese az x tengely, a korcsolyázók helye az ellökéselőtt x\Q, illetve X 2 o- Határozzuk meg a helyüket az ellökés után

t idővel! Az ellökés előtt a korcsolyázók álltak, ezért összimpul-zusuk nulla volt. Mivel csak belső erólc hatottak (a rendszer zártnak tekinthető, mert a külső függőleges irányú erők eredőjemindvégig nulla), ezért az ellökés után az impulzusmegmaradástörvénye miatt;

miVi -t- m2V2 = 0 ;

ahol Vi az mi, V2 az tömegű korcsolyázó sebessége.Szorozzuk meg ezt az egyenletet í-vel és használjuk fel, hogy vií= Xi-jci,o az mi tömegű, V 2 Í = X 2 ~X 2 fl az ni2 tömegű korcsolyázó elmozdulása az ellökés után í-vel (1.40. ábra).

A műveleteket elvégezve egyenletünk új alakja:

mi(xi - xifi) + ni2{x2 - X2,o) = 0



1.mechan ika 59

O o o o

1,0 2,01.40. ábra

m\Xi + m2X2 = miXifi + 7712X2,0

Arra az eredményre jutottunk, hogy zárt rendszer esetén a tömegek és a helykoordináták szorzata állandó mennyiség. Érdemes az egyenlet mindkét oldalát a teljes tömeggel (mi + m-^ elosztani, mert így matematikailag a helykoordináták tömegekkelsúlyozott átlagához jutimk, amit tömegközéppontként szokás de

finiálni.

I[d] Az (miXi + m 2 X 2 )l(mi + ni2 ) mennyiség által meghatározott pont tömegközéppont.Eredménytink azt mutatja, hogy a tömegközéppont mozgás

állapota az eUökés után sem változott meg. Megállapításunkategy általános érvényű tételben foglaljuk össze:

IH] Belső erők egy pontrendszer tömegközéppontjának mozgásállapotát nem változtatják meg.

Ez a tétel az impulzusmegmaradás törvényének következménye.

Megjegyzés: Két tömegpont tömegközéppontja a pontokat

összekötő szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja, azazm ih = 7712/2

Ezt az összefüggést úgy láthatjuk be egyszerűen, ha a koordináta-rendszerünk origóját a tömegközéppontba helyezzük,vagyis az ún. tömegközépponti koordináta-rendszert használjuk.

H több té b li l lá ú tö t d tt tö kö é



60 1. MECHANIKA

Hruirir = — ----

Hrrii

összefüggés alapján számítható, ahol F| az i-edik tömegponthoza vonatkoztatási rendszer origójából húzott helyvektor. Mivelegy vektoregyenlet a koordináták szerint skaláregyenletre bontható, így azonnal látható, hogy az előző definíció az utóbbi általános tömegközéppont-meghatározásnak speciális esete.

1.5.4. ÜTKÖZÉSEKAz ütközések során két test között általában nagyon rövid

ideig tartó, nagy deformációval, így nagy eróTiatással járó kölcsönhatás lép fel. Ennek következtében az ütköző testek zártrendszerként kezelhetők. Könyvünkben csak olyan esetekkelfoglalkozunk, amelyek során az ütköző testek sebességei az üt

közés előtt és után ugyanabba az egyenesbe esnek, vagyis kizárólag egyenes ütközéseket tárgyalunk.

A tökéletesen rugalmatlan ütközés

I

[d]Tökéletesen rugalmatlan két test ütközése akkor, ha az ütközés után közös sebességgel haladnak tovább.

Az mi tömegű vi sebességű test tökéletesen rugalmatlanul ütközik az m 2 tömegű V2 sebességű testtel. Az ütközés utáni se

bességüket jelölje c! Mivel az ütközés során a két test zárt pont-rendszernek tekinthető, ezért alkalmazhatjuk az impulzusmegmaradásának tételét. Az ütközés előtti és az ütközés utánilendületek összege egyenlő.

mivi + m2V2 = (mi + 1 7 1 2 ) 0

Ebből az egyenletből az ütközés utáni sebesség:

mivi + ni2V2c = ----------------------

mi +1712



1. MECHANIKA 61

Észrevehetjük, hogy a közös sebesség formulája nagyonhasonh't a tömegközéppontot definiáló egyenletre. Ez nem vé

letlen, hiszen aAaJi , A x 2

vi = es V2 = egyenletek

felhasználásával formálisan is beláthatjuk, hogy c éppen a tömegközéppont sebessége, ami az ütközés után nyilvánvaló,mert a testek együtt mozognak. Ennek alapján kimondhatjuk a

következő tételt:

I d] A belső erők a tömegközéppont sebességét nem változtat ják meg.

Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél a rendszer összes mozgási energiája csökken.

B Például két egyenlő tömegű, ellentétes irányú sebességgelmozgó kiskocsi az ütközés után állni fog. A kezdeti összes mozgási energia nem nulla, míg a végén nulla. Tehát a mozgásienergia nem maradt meg. A hiányzó energia más energia formájában található meg (deformáció, hő stb.^,

A tökéletesen rugalmas ütközés[U Az olyan ütközés, amikor az ütközésben részt vevő testek együttes mozgási energiája az ütközés előtt és után megegyezik, a tökéletesen rugalmas ütközés.Ellentétben a rugalmatlan ütközéssel, kiterjedt testek esetén

a valóságban ilyen nem fordul'elő, de az ütközések néhány eset

ben jó közelítéssel tökéletesen rugalmasnak tekinthetők. Atomiméretekben azonban gyakran tökéletesen rugalmas ütközések

játszódnak le.Két tömegpont rugalmas ütközésekor is csak belső eróTc lép

nek fel, ezért a lendületmegmaradás törvénye most is használható:



62 1. MECHANIKA

ahol vi és V2 az ütközés előtti, ui és U 2 pedig az ütközés utáni se bességek, továbbá mi és rri2 a két test tömege.

Ebben az esetben a sebesség vektoijellegét csak előjele hor

dozza, amit az adatok behelyettesítésénél veszünk figyelembe.A mozgási energiák összegének megmaradására vonatkozóegyenlet;

^mivf +^7712^2 +^rri2ul

Az egyenletrendszert megoldva, az

2m2V2 + (mi - m2)vi 2miVi + {rri2 - rrii)v2 ui = ---------------------------; U2 = ---------------------------

mi +7712 mi + rri2

eredményt kapjuk az ütközés utáni sebességekre.

Az ütközés lefolyása

A legtöbb mechanikai ütközés sem nem tökéletesen rugalmas, sem nem tökéletesen rugalmatlan, vagyis részben rugalmas, illetve rugalmatlan. Ilyenkor a következő módszer alkalmazható.

Az ütközést két szakaszra bontjuk: az első szakaszban a testek egészen addig hatnak egymásra, míg azonos sebességgel

nem mozognak, majd a második szakaszban a testek szétlökik egymást. Ez a szakasz általában a testek érintkezésének megszűnéséig tart, de pl. ha az ütközést egymást taszító mágnesek közvetítik, lehetséges, hogy a testek mechanikailag nem is érintkeznek.

Az első szakaszban a két test

A ll r n i {c - Vi); A I2 = m 2(c - V2)impulzusváltozást szenved, ahol c most is a tömegközéppont se bességét jelenti. Mivel a két test az ütközés során zárt rendszernek tekinthető, ezért

All = -A I2



1. MECHANIKA 63

All = ?Tii(ui - c); AI2 ==m2(u2 - c)

ahol ui, U2 az ütközés utáni sebességek. Az impulzusmegma

radás alapjánAI'i - - A I ' ;

tehát a lendületváltozások abszolút értéke a szétlökődés köz ben is megegyezik. A tapasztalat szerint:

lAI'il < lAIil

amiből:

lAIil IAI2I

A k szám az ütközési szám.

k = 0 esetén a tökéletesen rugalmatlan ütközés eredményétkapjuk. Ez azért van így, mert a közös sebesség elérése után atestek együtt mozognak, tehát hiányzik az ütközés második szakasza, mert az ütközés az első szakasszal befejeződött.

Ai; r. AI^ = 0

A tökéletesen rugalmas ütközés esetén k - \

AIi = Ai; és Al2 = AI^,

vagyis a közös sebesség elérése és a szétlökődés azonos módon játszódik le.

A valóságban lejátszódó, nem tökéletesen rugalmatlan ütkö

zéseknél 0 < A: < 1.

1.5.5. MUNKATÉTEL A PONTRENDSZERRE

Az előző részekben tárgyalt összefüggések felhasználásávalhatározzuk meg a pontrendszer teljes mozgási energiájának megváltozását, az egyes testekre ható erők munkája alapján! A



64 1. MECHANIKA

pont mozgási energiájának változását a külső erők munkája ad ja meg.

Tekintsíink először egy olyan egyszerű rendszert, amelyben

csak belső erők hatnak! Ilyen példával találkoztunk, amikor akorcsolyázók szétlökték egymást. Nyilvánvaló, hogy a korcsolyázók így energiára tettek szert. Megállapíthatjuk tehát, hogy amozgási energia megváltozása szempontjából a külső és a belsőerők szerepe nem különül el úgy, mint a pontrendszer lendületének megváltozásakor. A pontrendszer teljes mozgásienergiaváltozását a fellépő külső és belső erők munkájának összege ad

ja meg:Wk + Wb = AEössz-m

I H] Ez az összefüggés a pontrendszerre vonatkozó munkatétel.

1.6. A TÖMEGVONZÁS1.6.1. KEPLER TÖRVÉNYEI

A bolygók Nap körüli mozgásának törvényeit először Kepler fogalmazta meg. Ezek a törvények, valamint az egyre pontosabb mérések tették lehetővé Newton számára az általános tömegvonzás felismerését és leírását.

E Kepler I. törvényeA bolygók ellipszispályákon mozognak a Nap körül; az ellipszisek egyik gyújtópontja (fókusza) közös térbeh pont, ebbentalálható a Nap (1.41. ábra).



1. MECHANIKA 65

[T] Kepler n . törvényeA Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alattegyenlő területeket súrol (1.42. ábra).

H] Kepler ü l. törvényeA bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a bolygópályák fél nagytengelyeinek köbei. Két

bolygóra:

: T | = a? : a:

ahol Ti és T2 a két keringési idő, a\ és ü2 a két fél nagytengely.

Vizsgáljuk meg közelebbről a három törvény jelentését! Azellipszissel kapcsolatos elnevezések az 1.43. ábra szerint:

- nagytengely (2a), felének jele: a

- kistengely i2b), felének jele; b- excentricitás (az ellipszis középpontjának és egjdk fókusz pontjának távolsága), jele: c.

Az ellipszis lapultsága a c/a kifejezéssel jellemezhető, ez nu

merikus excentricitás, jele e, értéke nulla és egy közé esik. Has < < 1, akkor az ellipszis megközelíti a kört.A legtöbb bolygónál e<0.1. A Föld esetén értéke 0.017, a

Marsnál 0.093, a Vénusznál 0.007. Érdekes tény, hogy a Vénusz pályája annyira megközelíti a kört, hogy a két fókusz távolságacsak alig valamivel nagyobb, mint a Nap átmérője. A II. törvény következménye, hogy a bolygók napközeiben gyorsabban



1. MECHANIKA

A III. törvény szemléletesen annyit jelent, hogy a Naptól távolabbi bolygók keringési ideje hosszabb.

Kepler I. törvényéből az is következik, hogy a bolygók mind

egyike síkmozgást végez, ez a sík az egyes bolygók esetébenahg tér el egymástól, tehát mindegyik közelítőleg egybeesik aFöld keringési síkjával, amit ekliptikának nevezünk. A bolygók mind ugyanolyan körüljárás szerint keringenek a Nap körül.Ezek a tények a Naprendszer kialakulásának alapján magyarázhatók.

1.6.2. A BOLYGÓMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSA

A bolygók mozgásának dinamikai leírását elsőként Newton oldotta meg. Tekintsük át az általa követett gondolatmenetetegyszerűsített formában!

Newton feltételezte, hogy a Nap és a bolygók között vonzó

erő működik, amely a bolygót és a Napot összekötő egyenesbeesik. Láttuk, hogy a legtöbb bolygó pályája csak kevéssé tér el akörtől. Ebből kiindulva a mozgásokat körmozgásoknak tekint

jük. (Ellipszispályára számolva a végeredmény ugyanaz lenne,csak sokkal bolyolultabb számítás után.)

Körpálya psetén a centripetális gyorsulás

2 4r2n^acp = ru

Hasonlítsuk össze a két bolygó és az centripetális gyorsulását:

ai 4riII^ 4r2ll^

«2 n • T |Kepler III. törvénye szerint:

rp2 . rp2 _ 3 . 3 - l ■ 2 -^ 1 ■ 2

Ezt felhasználva, a gyorsulások aránya kifejezhető a pályasukk l



1. MECHANIKA 67

0.2 r \

Látható, hogy a centripetális gyorsulások aránya a Nap-bolygó távolságok négyzetével fordítottan arányos, tehát általában:

c

J.2

Ebből Newton II. törvénye alapján az következik, hogy a bolygók gyorsulását létrehozó erő is a távolságok négyzetévelfordítottan arányos.

írjuk fel Newton II. törvényét egy bolygóra, amelynek tömege m:

r = m a = - r - J.2

Ezt az erőt a Nap fejti ki a bolygóra. A hatás-ellenhatás törvénye miatt a bolygó is ugyanilyen nagyságú erőt fejt ki a Napra. Ezt az erőt azonban szimmetriaokok miatt a Nap tömegével arányosnak kell tekintenünk. Ezért a C arányossági tényezőnek tartalmaznia kell a Nap M tömegét, vagyis:

C - / M

ahol/sem a bolygó, sem a Nap tömegét már nem tartalmazó állandó. így a vonzóerő a következő alakban írható:

Ez a Nap és a bolygók közötti erőhatás törvénye.

Óhatatlanul fölmerül a kérdés, vajon ilyen természetű-e aFöld és a Höld, vagy a Föld és egy tetszőleges test, ill. általábankét tetszőleges test között fellépő erő, továbbá vajon az eső testeket ugyanolyan jellegű erő gyorsítja-e a Föld felé, mint amilyen erő a Holdat a pályáján tartja? Ha igen, akkor e két gyorsulás között is az



68 1. MECHANIKA

J.2

kapcsolat áll fenn. Számoljunk utána ennek!A test gyorsulása a Föld középpontjától R földsugárnyi távol

ságban:a i= 9 ,8 1 “ /32

A Hold gyorsulása meghatározható a Hold keringési adatai ból. A Hold T = 21 nap 7 óra 43 perc keringési idővel a Föld középpontjától 60 R távolságra kering; így a gyorsulása;

02 = 0,272

(A Föld sugara R = 6370 km)A két gyorsulás hányadosa:

— = 3606;0.2

míg a két távolság négyzetének hányadosa:

1

60i?2 “ 3600’

ami igen jó egyezést mutat az

2erőtörvénnyel.

Ezek ismeretében az általános tömegvonzás megfogalmazásacsak egy lépés.

1.6.3. AZ ÁLTALÁNOS TÖMEGVONZÁS

TÖRVÉNYEAz előző részben láttuk, hogy a Nap és a bolygók, a Föld és a

Hold, valamint a Föld és a földi testek között fellépő vonzóerőaz anyagi testek egységes fizikai tulajdonságaként látszik meg

jelenni. Ezt a felismerést általánosítva fogalmazta meg Newton általános tömeg on ás tör én ét



1. MECHANIKA

H] Bármely két test között kölcsönös vonzóerő lép fel, amely pontszerű testek esetén a két test tömegével egyenesen, a közöttük lévő távolság négyzetével fordítottan arányos:

F = f mim2

J.2

Ez a tömegvonzás, más néven gravitációs kölcsönhatás azanyagi testek egyik alapvető kölcsönhatási formája.

I [U Az/arányossági tényező a gravitációs állandó.

Hogyan határozható m eg/értéke?

[k] Cavendish kísérlete. Az 1.44. ábrán látható, nagyon vékony, rugalmas szálon függő súlyzóra a két nagyobb golyó erőtfejt ki. Megmérve a torziós szál elcsavarodását, meghatározhatóaz erő nagysága, és igazolható, hogy az erő valóban a tömegekkel egyenesen és a távolság négyzetével fordítottan arányos.

A mérést elvégezve, a gravitációs állandó értékére

/ = 6,7-10 -1 1 N ■ljg2

adódik.

■ 0

A leírt mérést Cavendish végezte el. A torziós szál nagyon kiserő hatására is elcsavarodik, rendkívül érzékeny eszköz, ezértlehetett vele megmérni a nagyon kis értékű gravitációs állan



70 1. MECHANIKA

1.6.4. A TEHETETLEN ÉS SÚLYOS TÖMEG

A gravitációs kölcsönhatás vizsgálatakor ugyanazon testek tömeggel kapcsolatos kétféle tulajdonságát vettük figyelembe.Az első tulajdonság a tehetetlenség, amely azt jelenti, hogy a testmozgásállapotának megváltoztatásához erőhatás szükséges. Amásodik tulajdonság a gravitációképesség, amely azt jelenti,hogy két test kölcsönösen vonzza egymást. Felmerül a kérdés,hogy milyen összefüggés áll fenn e kétféle tulajdonság között?Átmenetileg különböztessük meg ezt a két tulajdonságot, a te

hetetlenség mértékét jelöljük mt-vel, a gravitációképesség mértékét pedig mg-vel. A köztük fennálló összefüggés kiderítése érdekében vizsgáljuk meg a szabadesést!

Szabadesés közben a testre ható erő jó közelítéssel a gravitációs erő. így Newton II. törvénye a szabadon eső testre:

ahol Mg a Föld gravitáló tömege, R a sugara és g a test gyorsulása. Átrendezve:

mt ^ ^ Mg mg gB?

A nehézségi gyorsulás értéke a Föld adott helyén mindentestre ugyanaz, a kifejezés jobb oldala ezért állandó.Ez azt jelenti; hogy a tehetetlen tömeg arányos a gravitáló tö

meggel. Ezt a fontos következtetést Eötvös Loránd nagy pontosságú kísérletekkel igazolta.

Az arányosság következménye, hogy ha azon test gravitálótömegét választjuk egységnyinek, amely test tehetetlen tömege

is egységnjd, akkor a két mértékszám bármely test esetén megegyezik.Ez esetben viszont a mértékegység is ugyanannak választha

tó, annak ellenére, hogy a test két egészen más tulajdonságárólvan szó. A következőkben mindkét tömeg mértékegységéül akg-t választjuk, és mindkét tömeget m-mel jelöljük.



1. MECHANIKA 71

1.6.5. A GRAVITÁCIÓS ERŐTÉRBEN MOZGÓ TEST

A gravitációs tér konzervatív erőtér, ezért bevezethető a potenciális energia, és igaz a mechanikai energia megmaradásának tétele. A gravitációs térben, ha a referenciapontot (a nulla potenciálú helyet) vegtelen távolra választjuk, a potenciális energia az

Epot - - / — összefüggéssel adható meg, ahol M a teret keltő, m pedig a tér

ben mozgó test tömege. Az energia azért negatív, mert ahhoz,hogy a testet végtelen távolra vigyük a teret keltő testtől, munkát kell végeznünk.

Az összenergia így: _ 1 2

E'ÓSSZ — /2 r

Ha az összenergia negatív, akkor a test kötött pályán(nevezetesen ellipszis-, esetleg körpályán) mozog, továbbá megmutatható, hogy nem kötött rendszereknél, ha az összenergia

pozitív, akkor a pálya hiperbola, ill. határesetben, ha az összenergia nulla, akkor a pálya parabola.

1.7. MEREV TESTEK EGYENSÚLYA

1.7.1. A MEREV TEST FOGALMA

I [H Abban az esetben, ha a test méretei a kölcsönhatás soránnem elhanyagolhatóak, kiterjedt testről beszélünk.

A kiterjedt testeket két n^^gy csoportba osztjuk: merev testek és deformálható testek csoportjára.



72 1. MÉCHANIKA

[U Merev testről beszélünk, ha a test a rá ható erők hatásáraelhanyagolható mértékű alakváltozást szenved. Ellenkezőesetben a testet deformálható testnek nevezzük.

Definíciónk értelmében minden test egyszerre merev és deformálható test, hiszen a legkeményebb acélrúd is meghajlítható megfelelő szerszámokkal, ugyanakkor egy szivacsgolyó alak

ja nem változik meg jelentősen, amikor elgurítjuk, pedig nagyon könnjm összenyomni. Ebben és a következő fejezetben amerev testek mechanikájával foglalkozünk. A deformálható

testek mechanikája az ezután következő fejezetben található.A merev testre erő hatása nemcsak az irányától és nagyságától függ, hanem attól is, hogy hol hat a testre. Ezért vezetjük bea következő két fogalmat:

I

[d] Az az egyenes, amely mentén az erő hat, az erő hatásvonala.

Im Az a pont, ahol az erőhatás a testet éri, az erő támadás pontja.

I ID Az erő támadáspontja a hatásvonala mentén eltolható.

1.7.2. A FORGATÓNYOMATÉK

Adott egy merev test, amely akadálytalanul elfordulhat egyrögzített tengely körül (1.45. ábra).

Tapasztalatból tudjuk, hogy amennyiben a testre egy olyan F erő hat, amelynek hatásvonala nem megy át a tengelyen, a testgyorsulva forogni kezd. Ahhoz, hogy a test forgását megakadályozzuk, egy olyan F’ erőt kell kifejtenünk, amely ellentétesirányba forgatná a testet. Igaz az erőre, hogy nagyságát megszorozva hatásvonalának a tengelytől mért távolságával, ugyanazt az eredményt kapjuk, mintha az F erő nagyságát szoroznánk a hatásvonalának a tengelytől mért távolságával (1.46. ábra).A merev testre ható erő forgató hatásának mértékéül vezessük



1. MECHANIKA 73

I n Az erő hatásvonalának a tengelytől mért távolsága az erőkar.

I[H Az erő adott tengelyre vonatkozó forgatónyomatéka azerő nagyságának és az erőkarnak a szorzata.

A forgatónyomaték jele: M, dimenziója: erő szorozva távolsággal, mértékegysége: lN lm = lN m.

Megjegyzés: A forgatónyomaték vektormennyiség, de ebbena könyvben csak olyan problémákat vizsgálunk, ahol az erők és

az erólcarok egy közös síkban fekszenek, tehát ekkor a forgató-nyomaték-vektor merőleges a síkra, ezért számunkra elegendő,ha a forgatónyomatékot mint előjeles mennyiséget használjuk és összegezzük. A síkra nézve az óramutató járásával ellentétesen forgatni szándékozó forgatónyomatékot tekintjük pozitívnak, az óramutatóval megegyező irányba forgatót negatívnak.

1.7.3. MEREV TESTRE HATÓ ERŐK ÖSSZEGZÉSE

E könyvben csak olyan eseteket tárgyalunk, amelyekben amerev testre ható erők egy síkban hatnak.



74 1. MECHANIKA

Szöget bezáró erők összege

Az 1.47.a. ábrának megfelelően a testre az Fi és a vele nem párhuzamos F2 erő hat. Támadáspontjukat eltolhatjuk hatásvonalaik metszéspontjába (1.47.b ábra), így n^ár összegezhetjük őket. Az erők eredőjét szintén eltolhatjuk a hatásvonala mentén. Ez akkor fontos, amikor a hatásvonalak metszéspontja atesten kívül van.

Párhuzamos, azonos irányú erők összegzése

Az 1.48. ábrának megfelelően a testre az Fi és F2 erőlí hatnak. Mivel az erólc hatásvonalaik mentén eltolhatok, az ábrákatmár eleve úgy vettük fel, hogy a támadáspontokat összekötőszakasz merőleges legyen a hatásvonalakra. Mivel hatásvonalaik nem metszik egymást, ezért az előző módszer nem alkalmazható.



1. MECHANIKA 75

Az 1.49. ábra szerint vegyük fel az F és - F párhuzamos segéderőket, így a test egyensúlyát nem befolyásolják. Az Fi + Fés F2+ (-F ) erők összegét már meghatározhatjuk. Az ábránazonos módon vonalkázott háromszögek egybevágósága miattaz Fi + F2 erő nagysága a két erő nagyságának összege és az ábra jelöléseit felhasználva hatásvonalának helye is meghatározható a hasonló háromszögek oldalaira felírt arányokból.

Az eredő erő hatásvonala párhuzamos az Fi és F2 hatásvonalával, és az

Fi/ui = ^2^2összefüggés szerint metszik a két erő támadáspontja által meghatározott szakaszt. Eredményünket megvizsgálva láthatjuk,hogy az eredő erő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F2erő forgatónyomatékának összege nulla.

Párhuzamos, ellentétes irányú erők eredőjeA párhuzamos, ellentétes irányú erők összegét hasonló mó

don határozhatjuk meg.Az eredő erő nagysága az Fi és F2 erő nagyságának különbsé

ge. Hatásvonalára, az 1.50. ábra jelöléseit használva, az



76 1. MECHANIKA

Összefüggés teljesül. Ebben az esetben is igaz, hogy az eredőerő hatásvonalának bármely pontjára az Fi és F2 forgatónyoma-tékának összege nulla. Mind az azonos irányú, mind az ellentétes irányú párhuzamos erők esetében, ha ismerjük az eredő erőnagyságát és helyét, egyensúlyban tudjuk tartani a testet az eredő erővel közös hatásvonalú, azonos nagyságú és ellentétes irányú erővel.

Abban az esetben, ha két egyenlő nagyságú, ellentétes irányúerőt összegzünk, az eredő erő nagysága nulla, de a test nem leszegyensúlyban, mert gyorsuló forgást végez. Ebben az esetbentehát nem tudjuk egyetlen erővel egyensúlyban tartani a testet.

I® A párhuzamos hatásvonalú, ellentétes irányú, egyenlőnagyságú erő neve erőpár.

Vizsgáljuk meg az erőpár forgatónyomatékát egy tetszőlegesen választott tengelyre (1.51.a,b ábra)!

Az F erő forgatónyomatéka Mi = Ffci a - F erőé M2^-F/c2-Összegük:



1. MECHANIKA 77

Ml - Ffci - Fk2 = Fd

m Erőpár forgatónyomatéka a forgástengely helyétől függet

lenül M = Frf, ahol F az erők nagysága, d pedig a hatásvonalaik távolsága.

Megállapíthatjuk, hogy egy erőpár a legegyszerűbb módonegy másik erőpárral egyensúlyozható ki.

1.7.4. MEREV TEST EGYENSÚLYÁNAK FELTÉTELE

A merev test végezhet haladó és forgó mozgást. Ahhoz, hogyhaladó mozgásának sebessége ne változzék, az szükséges, hogya rá ható eróTc eredője nulla legyen. Az egyensúlyhoz azonbanez a feltétel még nem elegendő, mert ha az erőlc forgatónyomatéka nem nulla - pl. erőpár esetén - a test gyorsulva foroghat.Az egyensúlyhoz az is szükséges, hogy a testre ható erólc bármely pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak összege nulla legyen. Az egyensúly feltétele a következő tételben fogalmazható meg:

E Merev test egyensúlyának a feltétele, hogy a rá ható erők

eredője és az e r ^ valamely pontra vonatkozó forgatónyomatékainak algebrai összege nulla legyen.Egyenlettel kifejezve:

SF = 0 és EM = 0

Ha az eredő erő nem nulla, a test gyorsul. Ha a forgatónyo-

maték-összeg nem nulla, a test gyorsuló forgást végez.

Merev test tömegközéppontja és súlypontja

A merev test minden egyes pontjára mint tömegpontra hat anehézségi erő. Ezeknek a függőleges erőknek az összege a testet érő nehézségi erő. Ha valamely pontjában felfüggesztünk



78 1. MECHANIKA

erő és a felfüggesztés által kifejtett'erő hatásvonala egybeesik,azok egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak, mert a testcsak így lehet nyugalomban. Ugyanezt mondhatjuk el akkor is,ha a testet egy másik pontjában függesztjük fel (1.52. ábra).

Kísérletekkel és számításokkal egyaránt igazolható, hogy akülönböző esetekben adódó hatásvonalak egy pontban metszik egymást. Ez a pont tehát rendelkezik azzal a tulajdonsággal,

hogy a nehézségi erő hatásvonala a test bármely helyzetében átmegy rajta.

[U Az a pont, amelyen a merev testre ható nehézségi erő hatásvonala a test bármely helyzetében átmegy, a test súlypont

ja.

A súlypont nem minden esetben esik a test belsejébe (pl. egygyűrű esetén).

Ha a testet a súlypontjában alátámasztjuk vagy felfüggeszt jük, akkor az bármely helyzetében egyensúlyban van.

A merev test tömegközéppontját úgy határozhatjuk meg,hogy gondolatban olyan parányi részekre bontjuk a testet, amelyek már pontszerűnek tekinthetők, és az így kapott pontrend

szer tömegközéppontját határozzuk meg.



1. MECHANIKA 79

1.7.5. EGYSZERŰ GÉPEK

Az egyszerű gépek a gyakorlati alkalmazások során lehetővé

teszik, hogy erőkifejtésünket megsokszorozzuk, és ezáltal pl.olyan testeket tudunk felemelni, megmozdítani, amit izomerőnkkel képtelenek lennénk. Egyszerű gép az emelő, a hengerkerék, a csiga, a lejtő, az éA: és a csavar.

Az emelő

Az emelő olyan merev test, amely egy tengely köríil foroghat.Két fajtája az egykarú és kétkarú emelő (1.53.a,b ábra).

VZ777777777777777777777777777777777. 1.53.a ábra

1.53.b ábra

Mindkét típusra teljesül, hogy az erők tengelyre vonatkozóforgatónyomatékának összege nulla. Egyenlettel kifejezve:



80 1. MECHANIKA

ahol Fi az emelő erő és ki az erő kaija, F2 a teher által az emelőre kifejtett erő és k 2 az erőkar. Az emelő elvén működik az olló, a harapófogó, a feszítővas, a taliga és az emberi kar is.

A hengerkerék

A hengerkerék a kétkarú emelőspeciális esete. Az emelóTckel csak kis magasságú emelések végezhe-tőlc, míg a hengerkerék folyamatos

munkavégzést tesz lehetővé.Alkalmazása esetén az Fi emelőerőaz ri sugarú kerék érintőjének, míga teher által kifejtett F2 erő a kerékkel közös tengelyen lévő T 2 sugarúhenger érintőjének irányába mutat(1.54. ábra).

Az egyenletes emeléshez az szükséges, hogy az F2 és az mg nehézségi erő nagysága egyenlő legyen, ésaz Fi, F2 erő forgatónyomatékaimegegyezzenek: 1-54. ábra

F m = F2T2

Hengerkerék a daráló karja, a kerékpár pedálja, a kerekeskút stb.

Csigák és csigasorok

Az állócsiga (1.55. ábra) arra való, hogy az erő irányát megváltoztassuk.

Az Fi és F2 erő forgatónyomatékának a csiga tengelyéreegyenlőnek kell lennie. Mivel a két erő eróTcaija egyenlő, a kéterő nagysága megegyezik.

A mozgócsiga (1.56. ábra) olyan egykarú emelőnek tekinthető, amelynek forgástengelye a csiga és a kötél O érintkezési pontja. Egyenletes emelésnél az O pontra a forgatónyomatékok összege nulla Ebből



1. MECHANIKA 81

-F ,

o

.rn

1.55. ábra 1.56. ábra

Fi = Fz

Eredményünket úgy is magyarázhatjuk, hogy a testet két kötél tartja, ezért egy-egy kötélben a teher által kifejtett erőnek afele jelenik meg, az alkalmazott állócsiga viszont csak az erőirányát változtatja meg.

A közönséges és arkhimédészi csigasor lehetséges megvaló

sításai az 1.57. a,b ábrán láthatók.Egyenletes emelésnél, ha a teher emelkedése h, a kötél vége

4/í-val mozdul el. Mivel a két munka összegének ismét nullának kell lennie, ezért az Fi erő negyede a teher által kifejtett F2 erőnek. Általános esetben az arkhimédészi csigasor n db mozgócsiga alkalmazása esetén:

F = G2"

Közönséges csigasornál, ha 2n az álló- és mozgó csigák száma:

F =2



82 1. MECHANIKA

Lejtő típusú egyszerű gépek

A lejtő alkalmazása esetén a testet általában vagy a lejtővelvagy a lejtő alapjával párhuzamos erővel mozgatjuk (1.58. ábra).

Egyenletes mozgatás esetén a lejtővel párhuzamosan mozgató F erő és a testre ható mg nehézségi erő között az

F = mgsina

a lejtő alapjával párhuzamos F mozgatóerő esetén pedig azF = mgtga

összefüggés áll fenn. Ha a súrlódást is figyelembe vesszük, azösszefüggések módosulnak, ugyanúgy, mint az eddig vizsgált ösz-szes egyszerű gép esetén. Tárgyalásunkban ideális (tehát súrlódásmentes) egyszerű gépeket írunk le



1. MECHANIKA 83

A z ék a lejtő speciális alkalmazása. Az 1.59. ábrán lévő szimmetrikus ék esetén az egyensúly feltétele - az ábra jelöléseithasználva - a következő:



84 1. MECHANIKA

A csavar szintén a lejtőre vezethető vissza (1.60. ábra). Magaa csavar tulajdonképpen egy henger oldalába vágott lejtő, amina mozgatás a lejtő alapjával párhuzamos erővel történik. így azerők közötti összefüggés:

Fi = F2tgO! = F22rn

1.7.6. EGYENSÚLYI HELYZETEK

Ha egy merev testet egyensúljá helyzetéből kimozdítunk, az

új helyzetben az eredő erő és a forgatónyomaték általában nemnulla. Ha ebben a helyzetben a testet magára hagyjuk, háromdolog lehetséges:

- a test visszatér egyensúlyi helyzetébe;- új egyensúlyi helyzet elérésére törekszik;- abban a helyzetben marad, amelybe elmozdítottuk.

Hl Azt az egyensúlyi helyzetet, amelybe a test kismértékűkimozdítása után visszatér, stabil (biztos) egyensúljd helyzetnek nevezzük.

A stabil egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépőerőit kimozdítása után a test eredeti helyzete felé mozdítják

f ják (1 61 áb )



1. MECHANIKA 85

mg

1.61. ábra

[U Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyenkis mértékben kimozdítva, a test tovább mozog, új egyensúlyihelyzet elérésére törekedve, labilis (bizonytalan) egyensúlyihelyzetnek nevezzük.

A labihs egyensúlyi helyzetből kimozdított testet a fellépőeróTc az egyensúlyi helyzettől elmozgatják vagy elforgatják (1.62. ábra).

mq

1.62. ábra

d] Azt az egyensúlyi helyzetet, amelyből a testet bármilyenmértékben kimozdítva, a test az új helyzetben szintén egyensúlyban lesz indijferens (közömbös) egyensúlyi helyzetnek



1. MECHANIKA

VTTT^WTTTTZ j/779

1.63. ábra

mg

A közömbös egyensúlyi helyzetből kimozdított testre hatóerők eredője és forgatónyomatékainak összege az új helyzetbenis nulla (1.63. ábra).

1.8. A FORGÓMOZGÁS

A merev testek folj^athatnak haladó mozgást, foroghatnak egy rögzített tengely körül, valamint végezhetnek egyszerre haladó és forgómozgást.

Abban az esetben, amikor a merev test csak haladó mozgástvégez, minden pontjának egyenlő a sebessége. Ekkor tömeg pontként kezelhetjük és az 1.1. fejezetben leírt összefüggések segítségével írhatjuk le a mozgását. Ilyen mozgást végez pl. a

domboldalon lecsúszó szánkó. Rögzített tengely körüU forgástvégez a mennyezetre szerelt ventilátor forgó része, míg a járművek kerekei egyszerre végeznek haladó és forgómozgást.

1.8.1. RÖGZÍTETT TENGELY KÖRÜL FORGÓ MEREVTEST

Egyenletes forgómozgás

1® Egyenletes forgómozgás esetén a test szögelfordulása arányos a szögelfordulás idejével.

Egyenlettel kifejezve:



1. MECHANIKA 87

ahol Aa a szögelfordulás, At a szögelfordulás ideje, co pedig aszögsebesség. Egyenletes forgómozgást végez pl. a lemezjátszó

korongja.A forgó merev test minden pontja körmozgást végez és se bessége a V= tor összefüggéssel adható meg (1.64. ábra).

Látható, hogy a távolabbi pontok sebessége nagyobb, ezért a forgómozgás leírására a sebesség nem alkalmas. Helyette a szögsebességet

használjuk, amely a test minden pontjára azonos. Használjuk még a periódusidőt, amelyet itt is T-vél jelölünk, valamint a fordulatszámot (jele: n vagy/). Teljesülnek a következő összefüggések is;

1.64. ábra

2nT —— ; üj — = 2IIn

n ’ T

Az egyenletesen változó forgómozgás

Az 1.65. ábrán látható kísérleti eszköz forgó részének mozgását vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a rúd szögelfordulása arányos az idő négyzetével.

A



88 1. MECHANIKA

I n Ha a test szögelfordulása arányos az idő négyzetével, akkor mozgása egyenletesen változó forgómozgás.

Az alf' hányados állandó. Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál látottak szerint eljárva levezethető a pillanatnyi szögsebesség, amely arányos lesz az idővel. Az arányossági tényezőt (i- val jelöljük és szöggyorsulásnak nevezzük, dimenziója: l/idő anégyzeten, mértékegysége; 1/s^.

Abban az esetben, ha a test álló helyzetből indul, az egyenletesen változó forgómozgást leíró összefüggések a következőTc:

a = ; üj = (5t ; (3 = állandó

Ha az időmérés kezdetén a test már forgott, a haladp mozgáshoz hasonlóan az

a = üjQt ± ^ ; ui = üjQ±(5t ; ^ = állandó

összefüggések állnak fenn, ahol coq a kezdeti szögsebesség.A pozitív előjel a gyorsuló, a negatív pedig a lassuló forgómozgás esetén érvényes.

Merev test síkmozgása[d] Abban az esetben, ha a test egyes pontjai mozgásuk soránegy síkban maradnak, és ezek a síkok egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor síkmozgásról beszélünk.

Ilyen pl. a guruló labda vagy az egyenesen haladó járművek kerekének mozgása.

H] Tekintsük egy autó kerekének mozgását! A kerék egy tengely körül forog, miközben a tengely egyenes vonalú mozgástvégez. A kerék pontjainak sebességét két sebesség összegekéntadhatjuk meg (1.66. ábra).

A Vsebesség a tengely sebessége, Vk pedig a kerületi sebes



1. mechan ika _______________________TO

, 777777777777777Z 1.66. ábra

Abban az esetben, ha a kerék csak gördül és nem csúszik, atalajjal érintkező P pontja áll a talajhoz képest, sebessége tehátnulla. Alkalmazva a sebesség meghatározására az előbbi módszert (1.67. ábra):

Vp = V-Vk = Q

Ez a tiszta gördülés feltétele, amely szerint a gördülő kerék

tengelyének sebessége egyenlő a kerék szélső pontjainak kerületi sebességével. Természetesen ekkor a sebességek nagyságát(abszolút értékét) kell figyelembe venni. Ebből az is következik, hogy gyorsuló mozgás esetén a tengely gyorsulása és a kerék szélső pontjainak kerületi gyorsulása egyenlő. Egyenlettelkifejezve:

V —ruj és a = r(3A tisztán gördülő test mozgását vizsgálhatjuk úgy is, hogy az

minden pillanatban a talajon lévő pontja körül fordul el. Ekkor a tengely pillanatról pillanatra változik. Az ilyen tengely a pillanatnyi forgástengely, amelynek vizsgálata sok esetben egyszerűsíti a problémák megoldását.

1.8.2. A FORGÓMOZGÁS ALAPTÖRVÉNYE

Az 1.65. ábrán látható kísérleti eszközzel különböző m tömegek mellett mérve a szöggyorsulást, és meghatározva a forgató-nyomatékot, a következőt állapíthatjuk meg.



90 1. MECHANIKA

E A merev testre ható forgatónyomaték és az általa létrehozott szöggyorsulás egyenesen arányos. Ez a forgómozgás alaptörvénye.

Egyenlettel: M = e/3

ahol © a forgó test forgási tehetetlensége, amit tehetetlenségi nyomatéknak nevezünk; dimenziója: tömeg szorozva a távolságnégyzetével; mértékegysége: kg •m^.

A tehetetlenségi nyomaték skaláris mennjdség, a tehetetlenség megfelelője a forgásra, de abban különbözik tőle, hogy értéke a tengely helyétől is függ, azaz egy testnek különböző nagyságú lehet a tehetetlenségi nyomatéka, a tengely megválasztásától függően.

Tömegpont esetén 0 = vai^, ahol r a tömegpont tengelj^őlmért távolsága (1.68. ábra). P

Egyéb testek esetén úgy ---------o-számíthatjuk ki a tehetetlenséginyomatékot, hogy a testet olyan m-i í ^ darabokra Ijontjuk, amelyek már ' '

pontszerűnek tekinthetóTc, és azezekre számított tehetetlenségi nyomatékok összegét számítjuk: 1-68. ábra

0 = TiTUirj

Az 1.1. táblázat a leggyakrabban előforduló testek tehetetlenségi nyomatékát foglalja össze, megadva a tengely helyét.

A tehetetlenségi nyomaték meghatározását segíti a Steiner- tétel, amit bizonyítás nélkül mondunk ki:

[t] Ha ismert az m tömegű test © tkp tehetetlenségi nyomatéka valamely, a tömegközéppontján átmenő tengelyre, akkor avele párhuzamos, tőle s távolságra lévő tengelyre a tehetetlenségi nyomaték:



1. MECHANIKA 91

1.1. táblázat

Test Tehetetlenséginyomaték

A tengely

helye

m tömegű, r sugarú gyűrű 0 = rnr^ Om tömegű, r sugarú gyűrű 0

m tömegű, r sugarú henger 0 = ^mr^ em tömegű, r sugarú gömb 0 = 1mr^

c t)m tömegű, l hosszúságú vékony pálca 0 = ^fnr^

t=lm tömegű, l hosszúságú vékony pálca

Tételünk azt is jelenti, hogy a párhuzamos tengelyek közül a tömegközépponton átmenő tengelyre legkisebb a tehetetlenségi

nyomaték.

1.8.3. A FORGÁSI ENERGIA

A rögzített tengely körül forgó test mozgási energiáját úgykapjuk meg, hogy a testet mj tömegpontokra bontjuk, és ezek

mozgási energiáit összegezzük. Ekkor:

E ^ E -n i iV i

A sebességet a szögsebességgel és a sugárral megadva éset kiemelve:

E — TXmi{riüjf‘ =

ahol a a test tehetetlenségi nyomatéka. Tehát a forgásienergia:



92 1. MECHANIKA

Abban az esetben, ha a test haladó mozgást és forgómozgástis végez, a test teljes mozgási energiáját a mozgási és a forgásienergia összegeként kapjuk.

Egy rögzített tengelyű hengert álló helyzetből indulva forgasson a rácsévélt fonál végére ható állandó F erő. Ha a szögelfordulás a, a kötél végének elmozdulása s = rcL Mivel az F erő kötélirányú, munkája ezalatt

W = Fs — Fra = M a

Tehát a forgatónyomaték munkáját úgy számíthatjuk, hogy a

forgatónyomatékot megszorozzuk a szögelfordulással. A henger forgási energiájának megváltozását kiszámítva, az ismert ösz-szefüggések fölhasználásával:

W = Ma = = ^ew ^

Azt kapjuk, hogy a forgó test energiájának megváltozásaegyenlő a rá ható erő munkájával. Tehát a forgómozgásokra is

igaz a munkatétel

1.8.4. APERDÜLET

A haladó mozgáshoz hasonlóan, a forgómozgásra is bevezethetünk egy impulzusnak megfelelő mennyiséget.

I[d] a forgó test tehetetlenségi nyomatékának és szögsebességének szorzata a test perdülete (impulzusmomentuma):

N = 0 u j

A perdület jele: N; mértékegysége: kg •m^/s.A perdülettel megfogalmazható a forgómozgás alaptörvénye:

At At At At

Látható, hogy abban az esetben, ha M = O, akkor S.N = 0.Ezt a következő tétel fogalmazza meg:

li] Ha a külső forgatónyomatékok összege nulla, a test perdül áll dó ü á á é



1. MECHANIKA 93

1.8.5. ANALÓGIA A HALADÓ- ÉS A FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT

A haladó mozgás és a forgómozgás leírásánál használt meny-nyiségek és a leíráshoz használt összefüggések teljesen azonosak,csak más mennyiségek szerepelnek az egyes egyenletekben.Ezenkívül az érvényes tételek is analógiában állnak egymással.Az 1.2. táblázat ezt a kapcsolatot szemlélteti.

1.2. táblázat

Haladó mozgás Forgómozgás

Megtett út, s Szögelfordulás, a

Sebesség; v = ^ Szögsebesség, cü = ^

Gyorsulás, a = ^ Szöggyorsulás, P = ^

Tömeg: m Tehetetlenségi nyomaték: 0

Erő: F Forgatónyomaték: M

Dinamika alapegyenlege: F = ma Dinamika alapegyenlete: M = 0 p

Munka: W = Fs Munka: W=M(x

Mozgási energia: Em = ^ mv^ Forgási energia: E f = \

Munkatétel: F s = ^mv\ —\mv\ Munkatétel: M a = \ 9 íjü I - \ 9 uj I

Pillanatnyi teljesítmény: P = Fv Pillanatnyi teljesítmény: P = Mcú

Impulzus: I = mv Perdület: N =

Impulzusváltozás: AI = FAt Perdületváltozás: AN = MAt

1.9. DEFORMÁLHATÓ TESTEK MECHANIKÁJAA deformálható testek alakja a kölcsönhatások során megvál

tozik. Az alakváltozás lehet rugalmas és rugalmatlan.

[d] Rugalmas alakváltozás esetén az erőhatás megszűnése



94 1. MECHANIKA

I [H Rugalmatlan alakváltozás esetén a test az erőhatás megszűnése után nem nyeri vissza eredeti alakját.

Minden test egyszerre rugalmas és rugalmatlan, a testet érőerőhatás által létrehozott alakváltozástól függően. Ha egy testetegyre nagyobb mértékben deformálunk, egy bizonyos deformáció után a test már rugalmatlan alakváltozást szenved.

I

Hl Az a deformáció, amelynél nagyobb esetén a test rugalmatlan alakváltozást szenved, a rugalmasság határa.

A rugalmasság határát az egyes alakváltozásokra jellemző rugalmas feszíiltséggel adjuk meg (lásd későljb). Ebben a fejezet

ben a rugalmas nyújtással és összenyomással, a csavarással és anyírással foglalkozunk.

1.9.1. RUGALMAS NYÚJTÁS ÉS ÖSSZENYOMÁS

A nyújtás

Az 1.69. ábrának megfelelően összeállított kísérletben mér jük a huzal különböző nagyságú erők hatására bekövetkezőmegnyúlását! A kísérletet különböző hosszúságú és keresztmetszetű huzalokkal elvégezve, a következő megállapításra jutunk:

I .................................................................v: 7777777777777777777777777777777777?,

'i

1.69. ábra

[t] Rugalmas megnyújtás esetén a huzal megnyúlása arányos amegnyújtó erővel és a huzal hosszával, és fordítottan arányos

k t t té l



1. MECHANIKA 95

Az arányossági tényezőt 1/E-vel jelölve, tételünk a következő egyenlettel fogalmazható meg:

A , 1 E A

ahol A/ a megnyúlás, / a huzal eredeti hossza, F a megnyújtóerő, A a keresztmetszet, E a rugalmassági vagy Young-modulus.

Ez a rugalmas nyújtás Hooke törvénye.Az egyenletet átrendezve

l A

és bevezetve az s = A l/l és a = F /A jelölést, a Hooke-törvény akövetkező alakban írható:

= (7

I [d] Az e = A/Warány a huzal relatív megnyúlása.

A definícióból látható, hogy sí , relatív megnyúlás dimenziónélküli mennyiség.

1 ^ A a — F /A a rugalmas feszültség. Dimenziója erő/felület,mértékegysége N/m .

Nyújtás esetén minden esetben föllép harántösszehúzódás is,ami egy gumicső megnyújtásával jól megfigyelhető.

[Hl Egy gumicsőre olyan gyűrűt húzunk, amely szorul rajta.Ha a csövet függőleges helyzetben megnjoijtjuk, a gyűrű lecsúszik rajta, ami a cső keresztmetszetének csökkenését bizonyítja.A számításokban többnyire elhanyagoljuk a harántösszehúzó

dást, vagyis az eredeti A keresztmetszettel számolunk.

m A rugalmasság határát a rugalmas feszültség adja meg,amely azt a legnagyobb feszültséget jelenti, ameddig az alak-változás még rugalmas.

[D A szakítást szilárdság az a feszültség amelynek elérésekor



96 1. MECHANIKA

Az összenyomás

Egyik végén rögzített rúd szabad végére merőlegesen F nagy

ságú nyomóerő hat. Ekkor a rúd hossza csökken, átmérője pedig megnövekszik. A nyújtásnál leírt törvények a rugalmas ösz-szenyomásra lényegében változatlan formában érvényesek.

A nyújtásnál definiált o F j A rugalmas feszültség helyett a

F

mennyiséget nyomásnak nevezzük. A nyomás skaláris mennyiség, dimenziója erő/felület, mértékegysége N/m^=:Pa (pascal).

m Ha a testet az egész felületén éri a nyomóerő, és a nyomása felület minden helyén ugyanakkora, egyenletes térfogati ösz-

szenyomásáról beszélünk.

Egyenletes összenyomás esetén a test térfogatváltozása arányos a p nyomássalA F

A negatív előjel a negatív térfogatváltozás miatt szükséges.

m Az anyagi minőségre jellemző k állandó nevekompresszibilitás.

Dimenziója: l/nyomás, mértékegysége Pa'^.

1.9.2. HAJLÍTÁS, NYÍRÁS, CSAVARÁS

A hajiítás

Az egyik végén befogott vízszintes rúd a szabad végén hatófüggőleges F erő hatására lehajlik. Lehajlása (1.70. ábra) a

1 r.



1. MECHANIKA 97

képlettel számítható, ahol E a Young-modulus, / a rúd hossza, /a rúd alakjára jellemző tényező, számítások és mérések alapján/ értéke a szélességű b magasságú téglalap; r sugarú kör; körgyűrű keresztmetszetnél (ri külső, belső sugár) esetén a következő:

r I I 4 I o = - ^ r

A két végén alátámasztott rúd lehajlása (1.71. ábra) a köze pénél:

1s =

48E

2

V/ / / / / / / / .rF

1.71. ábra

A nyírás

Rögzítsük egy téglalap egják lapját, amelynek szemközti lapján érintő irányú az oldalakkal párhuzamos F erő lép fel (1 72



98 1. MECHANIKA

Az erő hatására a lap és a vele párhuzamos rétegek elcsúsznak egymáson, mint egy kártyacsomag lapjai. így a lapra eredetileg merőleges oldalélek y szöggel elfordulnak. A rugalmassághatárán belül y arányos az F erővel és fordítottan arányos a lapfelületével. Az arányossági tényezőt 1/G-vel jelölve:

1 F ^ ~ G ~ Á

I [H A test anyagára jellemző G állandó a nyírást vagy torzió modulus, mértékegysége N/m^.

A csavarás

Ha az egyik végén befogott kör keresztmetszetű, l hosszúságú rúd szabadvégén M forgatónyomaték hat, a rúd elcsavarodik szimmetriatengelye körül

(1.73. ábra).A rugalmasság határán belül az elcsa-varodás (p szöge arányos a forgatónyoma-tékkal és a rúd hosszával, és fordítottanarányos a rúd sugarának negyedik hatványával. Egyenlettel kifejezve:

if = tt G

ahol G a torzió modulus. Ha tehát egy rugalmas szál átmérőjéttizedére csökkentjük, akkor elcsavarodása tízezerszeres lesz. Eza magyarázata a torziós szálak nagy érzékenységének.



1. MECHANIKA 99

1.10. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKÁJA

A folyadékok legszembetűnőbb tulajdonsága, hogy gravitá

ciós térben mindig fölveszik a tárolóedény alakját, tehát önállóalakjuk nincs. Ez azért van, mert a folyadékokban egyensúlyiállapotban nem lép fel olyan nyírófeszültség, amely megakadályozná a folyadékrétegek elcsúszását. A folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok.

Külső nyomás hatására természetesen szenvednek nagyon kismértékű térfogatváltozást, amit a szilárd testek összenyomásá

nak leírásakor megismert összefüggéssel megegyezően, aA y

— y = ^ P

egyenlettel adhatjuk meg, ahol a negatív előjel a negatív térfogatváltozás miatt szükséges, a k pedig most is a kompresszibiU-tás. A továbbiakban azonban a folyadékokat összenyomhatat-lannak tekintjük.

A gázok a folyadékoktól merőben eltérő tulajdonságokkalrendelkeznek. A gázmolekulák között fellépő molekuláris erőlcnem képesek a gázt egyben tartani, ezért a gázok mindig kitöltik a rendelkezésre álló teret. A gázokban sem lép fel nyírófeszültség. Lényeges különbség azonban az, hogy a gázok köny-

nyen összenyomhatók, ennek ellenére mechanikai szempontbólhasonlóan viselkednek, mint a folyadékok. Az e fejezetben kimondott tételek ezért a gázokra is érvényesek vagy közelítőlegigazak.

1.10.1. A NYOMÁS EGYENLETES TERJEDÉSE

FOLYADÉKOKBANAz 1.74. ábrán látható „vízibuzogány” olyan apró lyukakkal

ellátott üveggömb, amelyhez dugattyút tartalmazó henger csatlakozik. Ha vízzel megtöltjük az eszközt és a dugattyút hirtelen

benyomjuk, a lyukakon át sugárirányban spriccel a víz, mindenlyukon azonos mennyiség távozva el. Ez a Pascal-törvény egyik



100 1. MECHANIKA

H] Zárt térben lévő njoigvó folyadékban vagy gázban a külsőerő által létrehozott nyomás minden irányban gyengítetlenülteljed.

Pascal törvényének egjdk gyakorlati alkalmazása a hidraulikus sajtó (1.75. ábra).

Az A i keresztmetszetű dugattyúra ható Fi erő által létrehozott p nyomás az A 2 keresztmetszetű dugattyúra az F2 = pA 2

erőt fejt ki. A p = Fi/Ai helyettesítést elvégezve az

egyenlethez jutunk.

F 2

Á2 ■ / / / // / / /7 7 7 /

1.75. ábra

A hidraulikus sajtó az erőkifejtés megsokszorozásának eszköze. Ezen az elven működnek pl. a járművek fékberendezései és

hid lik lők



1. MECHANIKA 101

1.10.2. A HIDROSZTATIKAI NYOMÁS

A nyugvó folyadék belsejében a nehézségi erő hatására ala

kul ki a hidrosztatikai nyomás. Ennek értéke a folyadék sűrűségétől, a nehézségi gyorsulástól és a folyadék felszínétől mértfüggőleges mélységtől függ. Értékét a

Ph = ggh

összefüggés alapján számíthatjuk. Ez a nyomás csak a folyadék nyomása. A légnyomást is figyelembe véve, a nyomás

p = Po + ggh.Fontos megjegyezni, hogy a nyomás egy adott helyen minden

irányba hat, ami az 1.76. ábrán látható eszközzel mutatható ki.Ha ugyanolyan mélységben forgatjuk a szondát, a manométer végig ugyanazt a nyomást jelzi.

Az 1.77. ábrán látható eszköz egy olyan mérleg, amelynek bal oldali részébe különböző alakú, fenék nélküli edények csa

varozhatok.A mérleg bal oldali serpenyője egyúttal az edény alja, amit amásik serpenyőben lévő súly az edény széléhez présel, megakadályozva így a folyadék kifolyását. Ha az edénybe elegendő folyadékot töltünk, a mérleg lebillen, és a folyadék kifolyik. Különböző alakú edényeket használva, a mérleg mindig ugyanannál a folyadékmagasságnál billen le Látszólag tehát különböző



102 1. MECHANIKA

A megoldást a nyomás egyenletes terjedése adja. Az edényalján a nyomás nem a folyadék mennyiségétől függ, hanem a folyadék szabad felszínének az edény aljától mért távolságától. A

szélesedő edényben a többletsúlyt az edény fala tartja, míg akeskenyedő edényben az edény fala fejti ki azt az erőt, ami miatt ugyanolyan súlyúnak tűnik a folyadék (1.78. ábra). Ez a jelenség az ún. hidrosztatikai paradoxon.

(S\

1.10.3. A FELHAJTÓERŐ ÉS ARKHIMÉDÉSZ TÖRVÉNYE

Rugós erőmérővel mérve egy test súlyát, azt tapasztaljuk,hogy a test levegőben nehezebb, mint valamilyen folyadékba

í



1. MECHANIKA 103

E] Folyadékba merülő testekre hat egy felfelé irányuló erő,amely a folyadékban uralkodó hidrosztatikai nyomásból származik.

I [d ] Ez az erő a felhajtóerő.

E Határozzuk meg a felhajtóerő nagyságát egy hasáb alakútest esetében (1.79. ábra)! Mivel az oldallapok szemben lévődarabjaira azonos mélységben azonos nagyságú, ellentétesirányú erő hat, ezért ezek eredője nulla.

A fedőlapra

Fi = gghiAnagyságú, lefelé irányuló erő, az alaplapra pedig

F 2 = ggh2A

nagyságú, felfelé iránjoiló erő hat. Mivel /12 > h , ezért F 2 > Fi, tehát a testre ható felhajtóerő:

F = F2 - F i = ggA{h 2 - hi) = ggV ;

ami megegyezik a test által kiszorított folyadék súlyával. A felhajtóerő abból származik, hogy a test aljára ható nyomóerő felfelé iránjTil, és a nagyobb mélység miatt minden esetben nagyobb, mint a test tetejére ható, lefelé irányuló nyomóerő.



104 1. MECHANIKA

Ezen megállapításokat Arkhimédész törvénye foglalja össze:

IE Folyadékba vagy gázba merülő testre a test által kiszorított

folyadék vagy gáz súlyával egyenlő nagyságú felhajtóerő hat.Arkhimédész törvényét a következő gondolatmenettel belát

hatjuk tetszőleges alakú testre is. Válasszuk ki a nyugvó folyadék egy olyan darabját, amely alakra, méretre megegyezik avizsgált szilárd testtel! Minthogy az egész folyadék njoigvó,ezért ez a rész is e^ensúlyban van, tehát a rá ható nehézségierő és a felhajtóerő egyenlő nagyságú (l.SO.a, b ábra).

a) b)1.80. ábra

A környező folyadék hatása, nyomóereje, tehát felhajtó erejenem változik, ha a folyadékdarabot kicseréljük szilárd testre(1.80.C ábra).

Ezzel Arkhimédész törvényét tetszőleges alakú testekre beláttuk.

Ha a folyadék belsejében tartott szilárd testet elengedjük,mozgásának irányát a ráható nehézségi és felhajtóerő eredőjeszabja meg (1.81. ábra). A test süllyed (l.Sl.a ábra), ha

mg > Ff,

lebeg (l.Sl.b ábra), ha

mg = Ff

és emelkedik (l.Sl.c ábra), ha

mg < Ff



1. MECHANIKA 105

Mivel

1.81. ábra

mg - QtVg,

a test és a folyadék sűrűségének ismeretében is megadható,hogy a test süllyed, ha

lebeg, ha

és emelkedik, ha

Qt > Qf,

Qt = Qf

Qt < Qf-

Az emelkedő testtel érdemes külön foglalkozni. Elérve afelszínt, a test a folyadékból kiemelkedik, ekkor azonban a felhajtóerő, és így a ráható erólí eredője is csökken. A test akkor lesz egyensúlyban, amikor a bemerülő részre ható felhajtóerőés az egész testre ható nehézségi erő eredője nulla lesz.Ilyenkor a test a víz felszínén úszik.

1.10.4. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK ÁRAMLÁSA

A folyadékok és gázok tulajdonságainak tárgyalásakor láttuk, hogy míg a nyugvó folyadék térfogata gyakorlatilag állandó, addig a gáz viszonylag könnyen összenyomható. Érdekes,hogy a nem túl nagy sebességgel áramló gázok - a folyadékok



106 1. MECHANIKA

a közelítéssel, hogy sűrűségváltozásuk elhanyagolható. így a folyadékok és gázok áramlása egjóitt tárgyalható.

Ez a jelenségkör rendkívül bonyolult, ezért itt csak a legegyszerűbb áramlási törvényekkel foglalkozunk.

Az áramló anyagra vonatkozó egyszerűsítő feltevéseink:- sűrűsége nem változik;- súrlódásmentes, azaz nem ébrednek benne nyírófeszültsé-

gek;- hőmérséklete nem változik.Az áramlásról azt is feltételezzük, hogy időben állandó. Ez

azt jelenti, hogy az áramlási tér mindeni pontjában az éppen ottlevő részecske sebessége arra a pontra jellemző érték.

I® Az időben állandó áramlást stacionárius áramlásnak nevezzük.

[k] Az áramlás láthatóvá tehető a Pohl-féle áramlási készülék

(1.82. ábra) segítségével.

Az egymástól egy-két mm-re lévő, függőleges síkú átlátszóüveglemezek között két tartályból, kettős lyukrendszeren folyik le a tiszta és kékre festett víz. Az áramlás sebessége szorítóvalszabályozható. A kirajzolódó színes csíkok az áramló folyadékrészecskék pályáját mutatják, amiket áramvonalaknak nevezünk



1. MECHANIKA 107

A stacionárius áramlás áramvonalai időben állandó képetmutatnak. Egyenletes keresztmetszetű áramlási térben az áramvonalak párhuzamosak.

E Helyezzünk az áramló folyadék útjába különböző akadályokat! A kisebb keresztmetszetű helyeken az áram vonalak sűrűbbek lesznek (1.83. ábra).

1.83. ábra

Észrevehetjük, hogy a szűkületben a folyadék gyorsabbanmozog, tehát az áramvonalak sűrűsége a sebességgel kapcsolatos.

Határozzuk meg, milyen matematikai összefüggés van azáramlási cső keresztmetszete és az áramlás sebessége között(1.84. ábra)!

I1

1/2

1.84. ábra

Minthogy a folyadék összenyomhatatlan, Aí idő alatt mindkétkeresztmetszeten azonos térfogatú folyadék jut át, tehát:

Aí = A2V2AÍ ;



108 1. MECHANIKA

A\\)i — A 2 V 2

adódik.

H] Ez a kontinuitási egyenlet vagy más néven a folytonossági törvény. Összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlásárafennáll, hogy az áramlási cső keresztmetszetének és az ott felvett sebességnek a szorzata a cső bármely helyén állandó.

A kontinuitási egyenlet értelmében az eltérő keresztmetszetűhelyek között a folyadéknak gyorsulnia kell. Vizsgáljuk meg,hogy ez a gyorsulás és a vele együttjáró mozgásienergia-válto-zás milyen hatás következményeként lép fel?

Egy áramlási cső különböző keresztmetszetű helyein mérjük az áramló folyadék vagy gáz nyomását! A kísérletek alapjánmegállapítható, hogy a nagyobb keresztmetszetű szakaszon nagyobb a nyomás, mint a szűkületben. E nyomáskülönbségbőladódó erő gyorsítja a folyadékot. Vizsgáljuk meg a nyomás éssebesség közötti kapcsolatot, az egyszerűség kedvéért csak vízszintes áramlási csőben (1.85. ábra)!

l/l1.85. ábra

A munkatétel az A1 és A2 keresztmetszeten átáramló folyadékra:

W —Fi'S\ —F 2 S 2 = p iA iviA t —p2A2V2^t

A E = ^ mvl —i muj



1. MECHANIKA 109

Mivel m = qY, V = AvíS.f, és a V térfogattal egyszerűsíthetünk, így

^ 2 ^ 2 P l - P 2 = ^ ^ 2 ~ 2 ^ 1

Rendezve az egyenletet, a

1 2 1 2Pl + 2 ^ 2 = P 2 + 2 É 2

Összefüggés adódik, ami a következőt jelenti:[t]Az áramlási cső bármely helyén

P + ^ — állandó

Ez Bemoulli törvénye vízszintes áramlási csőre. A törvény ér

telmében a nagyobb sebességgel áramló folyadékban a nyomás kisebb.

1.10.5. A KÖZEGELLENÁLLÁS

Valamely légnemű vagy folyékony közeg a benne mozgó test

re a relatív sebességgel ellentétes irányú erőt fejt ki. Ez a mozgást akadályozó erő a közegellenállás.

E Légáramlatba helyezzünk az 1.86. ábrán látható módonazonos keresztmetszetű, különböző alakú testeket, és mérjük arájuk ható erőt!

Mérésünk eredménye, hogy a fellépő erő a testek b) ábrán

feltüntetett sorrendjének megfelelően csökken, áramvonalastest esetén szinte nullává válik.

E A Pohl-féle áramlási készülékben növeljük az áramlás se bességét kör, téglalap és áramvonalas idomok körül! A kör éstéglalap alakú akadályok mögött örvények jönnek létre, míg azá l l k ál l k l k ki ö é k (1 87 áb )



110 1. MECHANIKA

*’ © Üres félgömb

►0 Körlap

►O Gömb

■■0 Üres félgömb

Áramvonalas test

b)1.86. ábra

1.87. ábra

így arra a következtetésre jutunk, hogy a közegellenállási erőaz örvényképződés miatt lép fel.

Pontos mérések szerint a közegellenállás a szilárd test alak ján kívül annak A homlokfelületétől (az áramlásra merőlegeskeresztmetszet), a közeg sűrűségétől (^) és a v relatív sebességtől függ:

F = kAgv^ Az összefüggésben k az alaki tényező.

Megjegyzés: kis sebességű áramlásoknál nem az örvényképződés, hanem az egymáshoz képest különböző sebességgel mozgó rétegek közötti súrlódás miatt lép fel a közegellenállási erő,

ami a sebesség első hatványával arányos. Ha a sebesség a közegbeli hangsebességhez tart, akkor a sebesség köbe jelenik meg a közegellenállási erő kifejezésében.



1. MECHANIKA 111

1.11. A REZGŐMOZGÁS[k] Egyik végénél felfüggesztett rugó másik végére erősítsünk

egy testet! A test a rugót megnyújtva egyensúlyi helyzetbenvan. Függőleges irányba kitérítve a testet, azt tapasztaljuk, hogyaz egyensúlyi állapothoz képest két szélső helyzet között fel-lemozog. Ez a mozgás a rezgőmozgás.

I

Hl A rezgőmozgást végző testnek a nyugalmi helyzettől mértmaximális kitérése a rezgőmozgás amplitúdója, jele: A.

[U Az az idő, amelynek elteltével a rezgő test kitérése és se bessége újra a kezdeti értékekkel egyezik meg, a rezgésidő, jele: T.

[U Az egy másodpercre jutó rezgések száma a frekvencia, jele:/.A rezgésidő és a frekvencia között igen egyszerű kapcsolatvan:

^ = 7

1.11.1. A REZGŐMOZGÁS KITÉRÉS-IDŐ FÜGGVÉNYE, KAPCSOLATA KÖRMOZGÁSSAL

B Változtatható fordulatszámú motor tengelyén, arra merőlegesen elhelyezünk egy pálcát, amelynek végén egy golyótrögzítünk. Oldalról megvilágítva a mozgó golyót, a golyó árnyéka fel-le mozog. Függesszünk fel rugóra egy testet, és hozzuk rezgésbe függőleges irányban (1.88. ábra)!

Legyen a rezgés amplitúdója a kör sugarával megegyező. Amotor fordulatszámának változtatásával elérhetük, hogy a kéttest árnyéka egjóitt mozog a falon. Ha az időmérést abban a pillanatban kezdjük, amikor a rezgőmozgást végző test az egyen-úl)^ h l t h l d k tül (1 89 áb ) kk ki f



112 1. MECHANIKA

lelő (ún. referencia) körmozgást végző test sugarának szög-elfordulása:

a = Lűt.

Ezzel a rezgőmozgást végző test kitérése:

Y = Rsm{uft)

I [H Harmonikus rezgőmozgásról beszélünk, ha a kitérés az időszinuszos függvénye.

I [1 Az a = coí. szög a rezgés fázisa.Előfordulhat az is, hogy a í = 0 időpontban a körmozgást vég

ző testhez húzott sugár nem vízszintes, hanem azzal ip szögetzár be (3. ábra).

I [U Ez a szög a kezdőfázis wagyfázisállandó



1. MECHANIKA 113

Ennek felhasználásával egy tetszőleges - későbbi t időpont ban - a rezgés fázisa:

így a kitérés:a = (f]

Y = - I - cp).

A sebesség-idő függvényMivel a két test árnyéka egjóitt mozog, ezért a körmozgástvégző test sebességének függőleges vetülete megegyezik a rezgőmozgást végző test sebességével (1.90. ábra):

V — R j j c o s { ü j t ) .

Tekintettel arra, hogy R = A,

ezértV — A ü J C O s { ü jt ) .

Amennyiben a kezdőfázis (/?, akkor

V = A ü J C O S{ üjt. + (p).

I® Az Aüj kifejezést sebességamplitúdónak is nevezzük, ez a

rezgőmozgást végző test legnagyobb sebessége.



114 1. MECHANIKA

A gyorsulás-idő függvény

A körpályán mozgó test gyorsulása = Ro?, iránya a kör

középpontja felé mutat. Ennek a függőlegesre eső vetülete lesza rezgőmozgás gyorsulása, amely mindig a test egyensúlyi helyzete felé mutat (1.91. ábra):

ü y - —iíw^sin ( ü j t ) = —Acj^sin (űrt)

Vegyük észre, hogy Asin (cot) - y, így

a = -uPyazaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes.

I[H Az Ao)^ kifejezést gyorsulásamplitúdónak is nevezzük, ez a

rezgőmozgást végző test legnagyobb gyorsulása.

1.11.2. EGYIRÁNYÚ REZGÉSEK ÖSSZETÉTELE

Készítsük el az 1.92. ábrán látható kísérleti berendezést! Akét egyforma rugón két egyforma tömegű testet függesztettünk



1. MECHANIKA 115

/ / / / / . mozgócsiga függ. Figyeljük meg, hogyanmozog a csiga tengelyére függesztett test, ha

a két testet rezgésbe hozzuk! Megfigyeléseinkből a következők állapíthatók meg.

HJKét azonos frekvenciájú harmonikusrezgésnek az eredője is harmonikus rez

gés. Az eredő rezgés frekvenciája megegyezik az összetevők frekvenciájával, de

az amplitúdó különbözik.1.92. ábra

Ezek után számítsuk ki az eredő rezgés amplitúdóját és kezdőfázisát! Legyen a két rezgést leíró függvény

Y\ = A\ sin(u;í)

Y 2 = A 2 s i n { u j t + (p ).

Keressük az eredő rezgést

Y = + 6 )

alakban. Az

Fi + F 2= .y

összefüggés minden időpontban teljesül, azaz

Aisin(a;í) A2SÍn(o;í + (p) = á).

A B és ő állandók meghatározásához helyettesítsük a t változó helyére a í = 0, illetve a í = értékeket, így

A2sin(/? = 5sinŐ (t — 0)

A i + >l2Cos( = BcosS ( t —

Osszuk el az első egyenletet a másodikkal:



116 1. MECHANIKA

^2sin<^tgb =

Ai + A2C,os(p

Ezzel meghatároztuk az eredő rezgés kezdőfázisának tangen-sét.Az eredő rezgés amplitúdójának meghatározásához emeljük

négyzetre a két egyenletet, majd adjuk őket össze. A számítások elvégzése után

= A \ - [ - A^ + 2 A iA 2C os ip

adódik. Eredményünk úgy is értelmezhető, hogy az azonosfrekvenciájú rezgések amplitúdói vektorként összegezhetők (1.93. ábra).

Ezek szerint </?= 0 esetén B = A^+ A 2 , míg </?= n esetén B == A-Í-A2 . Érdekesség, hogy azonos amplitúdók és ellentétes fázis esetén az eredő rezgés amplitúdója nulla, a két rezgés kioltja

egymást.[k ]Változtassuk meg az előző kísérleti berendezésben a rugó

ra függesztett testek egyikének a tömegét! Ekkor különbözőfrekvenciájú rezgéseket összegezhetünk.

Az egyszerűség kedvéért két olyan rezgés eredőjét számítsuk ki, amelyek amplitúdója azonos, kezdőfázisuk nulla, frekvenciá

juk különböző:Yi = Asin(ci;ií) illetve I 2 = ^sin(u;2Í)-

Képezzük a két függvény összegét! Az ismert trigonometriaiazonosságok felhasználásával:

Y = Y i + ¥ 2 = 2A- cos - í<2) 0 sin 4- U2 )



1. MECHANIKA 117

Nagyon érdekes görbét kapunk abban az esetben, ha a kétrezgés frekvenciája csak kismértékben különbözik.

Az amplitúdó lassan, a különbségi frekvencia szerint változik, a összetett rezgés kitérésének burkológörbéit két ellentétesfázisú, kis frekvenciájú harmonikus görbe alkotja (1.94. ábra).Ez a lebegés jelensége.

1.94. ábra

1.11.3. EGYMÁSRA MERŐLEGES REZGÉSEK

ÖSSZETÉTELE[Hl Hosszú fonálra függesszünk fel egy függőlegesen átfúrt

testet, majd kössük ki négy rugóval az 1.95. ábrán látható módon! Helyezzünk el egy filctollat a furatba, majd indítsuk el arezgést különféle kezdeti feltételekkel! Figyeljük meg a test aláhelyezett papíron kialakuló görbéket!



118 1. MECHANIKA

E Oszcilloszkóp X illetve Y bemenetelre kapcsoljunk hang-generátort! Figyeljük meg a kialakuló görbéket!

Akár a mechanikai, akár az elektronikai rendszerrel dolgo

zunk, az X = ^isin {(jJit)

y = A2sin + ¥?)

paraméteres egyenletrendszerrel megadott alakzathoz tartozógörbét rajzoltatjuk fel a papírra, illetve eiz oszcilloszkóp képer

nyőjére. Vizsgáljunk meg néhány speciális esetet!Legyen először wi = a;2 és = 0. Ekkor

X y

A\ A 2

Ez egy olyan egyenes egyenlete, amelynek meredeksége AxjA^ (1.96. ábra).

Hasonló a helyzet ip = n esetén is. (1.97.ábra).

1.96. ábra

1.97. ábra

Érdekes a </?= ti/2 eset is. Ekkor ugyanis

X

Aiy

— sin(a;<)

= cos(u;í)



1. MECHANIKA 119

A két egyenletet négyzetre emelés után összeadva:

— + ^ = 1

középponti helyzetű ellipszis egyenletét kapjuk.Belátható, hogy tetszőleges 0 < < < tc esetén is ellipszishez

jutunk, csak tengelyei nem lesznek párhuzamosak az x illetve y tengellyel.

Érdekes speciális eset az = >Í2 és a 97 = nl2 eset is. Ekkor ugyanis a két rezgés eredője körmozgás.

Különböző frekvenciájú egymásra merőleges rezgések eredő jét reprezentáló görbék analitikus alakját már igen nehéz megadni. Könnyű belátni, hogy önmagába visszatérő görbét csak akkor kapunk, ha a két frekvencia aránya racionális. Az egymásra merőleges, különböző frekvenciájú rezgések eredőjekéntkapott görbék a Lissajous görbék.

1.11.4. A REZGŐMOZGÁS DINAMIKAI LEÍRÁSA

Már láttuk, hogy harmonikus rezgőmozgás esetén

a = -(J y ,

azaz a gyorsulás arányos a kitéréssel, és mindig az egyensúlyihelyzet felé mutat. Ezt összevetve a dinamika alaptörvényévelmegállapíthatjuk:

[H Egy pontszerű test harmonikus rezgőmozgást végez, ha areá ható erők eredője a nyugalmi helyzettől mért távolsággal

arányos és mindig a nyugahni helyzet felé mutat.

A rugón rezgő test rezgésideje

Mozogjon egy m tömegű test vízszintes súrlódásmentes felületen, D rugóállandójú rugó hatása alatt (1.98. ábra).

Mozgásegyenlete:



120 1. MECHANIKA

W A V W (W ~ F >

1.98. ábra

ebből

Mivel

ezért

ma — —Dx

a ——{Dfm)x

a = —üj^x

u? — D /m

adódik.Tekintettel az (ít-2%IT összefüggésre, a rezgésidő

Látható, hogy a rezgésidő csak a test tömegétől és a rugóerősségétől függ, és nem függ pl. a rezgés amplitúdójától.

Az ingamozgás

1] Függesszünk vékony fonálra kisméretű testet! Ha a test

pontszerű és a fonál tömege elhanyagolható, akkor matematikai ingáról vagy fonálingáról beszélünk.

Számítsuk ki az inga lengésidejét!A testre két erő hat, a K fonálerő és a nehézségi erő. Bontsuk

fel ezeket sugár- és érintőiránjoi összetevőkre! Mivel a K kötélerő mindig sugárirányú, érintőirányú összetevője csak a nehéz



1. MECHANIKA 121

F=mg sina

'mg 1.99. ábra

F = mgsina

Abban az esetben, ha a kitérés kicsi (a szöget radiánban mér jük), a szög szinusza kb. megegyezik a szöggel:

F — mgsina;;

így a test mozgásegyenlete:

moe = —mga;

hiszen a test a kitéréssel ellentétesen gyorsul. Az ábráról leolvasható, hogy a = j ezért a mozgásegyenlet m-mel való egyszerűsítés után a következő alakot ölti:

aé = - x j -

Tehát a mozgás harmonikus rezgőmozgás, mert a gyorsulás akitéréssel arányos, de azzal ellentétes. Mivel

—J szert T =

M áll íth tj k h ki kité é té t tik i i



122 1. MECHANIKA

A fizikai inga

ján kív

&fizikai inga.[H Adott fizik a fizikai inga redukált hossza.

I [H A súlypontján kívül felfüggeszett, lengeni képes merev test

I [H Adott fizikai ingával együttlengő matematikai inga hossza

Lengessünk együtt egy fizikai ingát a neki megfelelő matematikai ingával (1.100. ábra)!

A fizikai inga tömege legyen m, az A felfüggesztési pontravonatkozó tehetetlenségi nyomatéka O, az A felfüggesztési

pont és S súlypont távolsága pedig s.Amikor az A S szakasz a függőlegessel a szöget zár be, a test

re

M = mgsina

nagyságú forgatónyomaték hat, amely

mg sin a/3 = .0

szöggyorsulást hoz létre. A vele együtt lengő matematikai ingaszöggyorsulása is ugyanekkora:

= f



1. MECHANIKA 123

A két kifejezést összehasonlítva a redukált hosszra

e1 = m s

adódik. így a fizikai inga lengésideje:

A rezgő rendszer energiája

[r]Ha az ideális rugóhoz kapcsolt testből és a rugóból állórendszerre ható külső erólc eredője nulla, akkor a rendszer összenergiája állandó.

Rezegjen egy m tömegű test vízszintes, súrlódásmentes asztalon, D direkciós állandójú rugóhoz kapcsolva (1.101. ábra).

v w w w1.101. ábra

Ekkor a pillanatnyi kitérés, ill. sebesség:

X = >lsin(ü;í);

illetve

V - Awcos{ut).

íijuk fel a rugó helyzeti, ill. a test mozgási energiájának ősz-szegét:



124 1. MECHANIKA

Vegyük észre, hogy D —muP, így az | DÁ^ kiemelhető, tehát

E = l-DA‘ (sín^{u)t) + cos (uit)).

ZiA zárójelben lévő kifejezés értéke 1, így a rendszer összener-

giája valóban állandó.

2

Mivel D = mco és Vmax = ezért az anergia a következőformában is felírható:

^ 1 2

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a rendszer mozgási energiája ésrugalmas energiája a mozgás során egymásba alakul át, kétszer

nagyobb frekvenciával, mint a rezgőmozgás frekvenciája.

1.11.5. A CSILLAPÍTOTT REZGÉS

Amennyiben a testre a rugóerőn kívíil más (nem konzervatív) erő is hat, akkor a rendszer energiája folyamatosan csök

ken: a rezgés amplitúdója egyre kisebb lesz, a rezgés csillapodik. Ha a testre a rugóerőn kívül csak a súrlódási erő hat, akkor megmutatható, hogy a test maximális kitérése minden félperiódusban ugyanannyival csökken, így az egymást követő amplitúdókra egyenes fektethető (1.102. ábra).



1. MECHANIKA 125

Ha a test mozgását a csúszási súrlódási erő helyett valamilyensebességtől függő (pl. közegellenállási) erő csillapítja, akkor belátható, hogy a test maximális kitérése kezdetben rohamosan,későljb egyre kevésbé csökken, így az egymást követő amplitúdók egy exponenciális görbére illeszkednek (1.103. ábra).

Nagy viszkozitású folyadékban (pl. méz) előfordulhat az is,hogy nem is jön létre egy teljes rezgés, hanem az 1.104. ábránlátható módon fog mozogni a test. Ezek az aperiodikus mozgá

sok.

1.11.6. A KÉNYSZERREZGÉS

ÉS A REZONANCIAHa egy rezgőképes rendszert egyensúlyi helyzetéből kitérítve

magára hagyunk, akkor ún. szabad rezgést végez, amely a környezettől függően valamilyen mértékben csillapodik. Ha egyilyen rezgőképes rendszerre periodikus erő hat, akkor ez az erő„gerjeszti” a rendszert. Állandó amplitúdójú harmonikus rezgés

jön létre, amelynek frekvenciája megegyezik a gerjesztő rezgésvagy erő frekvenciájával, amplitúdója és kezdőfázisa viszont attól eltér.

[Hl A probléma vizsgálata kísérletileg igen egyszerű: kézbe veszünk egy lehetőleg „laza” rugót és ráakasztunk egy testet.A rugó kézben tartott végét periodikusan .fel-le mozgatjuk.

ál k f k iá ! fi lh j k h f k



126 1. MECHANIKA

Iszen nagy amplitúdó is kialakulhat. Ha tovább növeljük afrekvenciát, a gerjesztett rezgés amplitúdója csökkeni fog.

[Ü Az egészen nagy amplitúdó létrejötte a rezonancia. Ekkor a kényszerítő rezgés frekvenciája közelítőleg megegyezik arezgőképes rendszer szabad rezgésének a frekvenciájával, azún. sajátfrekvenciával”.

Vízszintes súrlódásmentes asztalon elhelyezett D rugóállandójú rugóhoz (a rugó húzó-nyomó rugó) kössünk m tömegű tes

tet (1.105. ábra). A test csak arugó egyenese mentén tudmozogni. Hasson a testre egy

F = FoSÍn((uí) geijesztőerő, valamint a sebességtől függőcsillapítóerő is. írjuk fel a test

Fosinco t

- w V v W

mozgásegyenletét! 1.105. ábra

ma — —Dx —kv + i^osin(cjí)

Kísérletünk alapján keressük a megoldást

X = Asin(a;í + (p)

alakban. Ekkor a sebesség- és a gyorsulásfüggvény:

V = Au!cos{ijjt + íf); illetve a ——Ao/sin{üjt -1- (p)

Helyettesítsük be ezeket a mozgásegyenletbe! Rendezés utána következő egyenletet kapjuk:

A{D — mu^)sm{ut + y>) + kAu}cos{u)t + ^) = íosin(a;í)Az egyenlőségnek minden időpontban teljesülnie kell, így a

í ==0, illetve í = ^ időpontokban is. Behelyettesítve:

A{D —míJ^)sin(p -|- kAucos<p = 0 (í = 0)

A{D —rruJ^)cos(p —kAuisiníp —Fq (t —



1. MECHANIKA 127

A két egyenletet négyzetreemelve és összeadva, a kétszeresszorzatok kiesnek. Mivel a négyzetes tagok együtthatóinak ösz-

szege 1 (sin^i^ + = 1), ezért rendezés után az

{D - mw2)" +, illetve

tg(^ —küj

összefüggésekhez jutunk.Az első egyenlet szerint az amplitúdó ott maximális, ahol anevező minimális. Ehhez a következő függvény szélsőértékétkell meghatározni az aP' változó szerint:

f{J^) = {D —

A szélsőérték:

ÜJr, = \ OJt, - * U , 2 ^• ahol ü J n = — .m"ö 2m

Amennyiben a csillapítás (A:) kicsi, akkor

^rezonancia ^

azaz a gerjesztő frekvencia közelítőleg megegyezik a rendszer saját frekvenciájával. A következő két ábráról az amplitúdó illetve a kezdőfázis frekvenciafüggése olvasható le (1.106 és1.107. ábra).



128 1. MECHANIKA

1.11.7. CSATOLT REZGÉSEK

[k] Függesszünk fel egjmiás mellé két azonos hosszúságú, azo

nos tömegű intág (1.108. ábra)! Kössük őket össze egy fonallal,akasszunk a fonalra egy kis súlyt, majd lengessük meg az egyiket. Azt tapasztaljuk, hogy az első inga lengése nemsokára megáll, a második viszont ' / / / / / / / / /Y . nagy amplitúdóval fog lengem, majd a második áll le, és újra az első fog lengeni, egymás között

periodikusan cserélgetik az energiát. A periódusi

dő attól függ, hogy mekkora súlyt akasztottunk afonálra, azaz mennyire erős a csatolás a két ingaközött. Két esetben nem tapasztalunk energiavándorlást: ha a két ingát azonos, ill. ellentétes fázis-

bán indítjuk. ® ®1.108. ábra

I[d] Ezek a rezgések a csatolt rendszer normálrezgései (vagyalapmódusai)E két indítás két különböző, de közel azonos rezgésidőt pro

dukál, így a rendszer két tagja között energialebegés áll fenn.

1.12. HULLÁMOK

1.12.1. MECHANIKAI HULLÁMOK

Hl Hosszú (3...4 m), laza rugó egyik végét rögzítsük, a másik végét pedig hirtelen rántsuk meg hosszirányban! Azt tapasztal

juk, hogy az így létrehozott deformáció végigfut a rugón, majd arögzített végről visszaverődik. Ugyanezt tapasztalhatjuk akkor is, ha keresztirányban ráütünk. Ekkor egy „völgy” fut végig arugón. Ha jobban megfeszítjük a rugót, akkor gyorsabban ter

jed a deformáció, ha kevésbé feszítjük meg, akkor lassabban.

[k] Vizsgáljuk meg a visszaverődés jelenségét. Indítsunk elegy keresztirányú deformációt, egy „völgyet”! Megfigyelhetjük,h h ó á ik é í kk i ődé á



1. MECHANIKA 129

„hegy” alakú a deformáció, míg szabad vég (A rugó vége keresztirányban szabadon mozoghat) esetén visszaverődés után is„völgy” alakú a deformáció. Az is megfigyelhető, hogy a rugó

két végéről egyszerre indított deformációk mintegy „áthaladnak” egymáson. A találkozás helyén lévő pontok mind a két„utasításnak” eleget tesznek, azaz a két kitérés összeadódik,

szuperponálódik.

[E Határozzuk meg egy rugalmas rúdban a rúd irányú deformáció terjedési sebességét (1.109. ábra).

/l = c f ------------------

1.109. ábra

Modellezzük a rudat olyan m tömegű tömegpontokkal, amelyeket rugók kötnek össze! Húzzuk meg a rúd végét igen rövidideig ható F erővel! Ennek az erőnek a hatása nem abban nyilvánul meg, hogy a rúd gyorsulni kezd, hanem abban, hogy azok a tömegpontok kezdenek el v sebességgel mozogni, amelyekheza hatás eljutott. Nézzük meg, hogy Aí idő alatt mekkora tömegűdarab jön mozgásba v sebességgel. Ha a hatás terjedési sebessé

ge c, akkor Aí idő alatt a hatásli — cAt

távolságig jut el, így a mozgásba jött A keresztmetszetű /i hosz-szúságú darab tömege:

m — gAcAt;

az impulzusa:

I = mv = gAcAtv.

Az impulzus és az erő kapcsolata alapján:

A /A



130 1. MECHANIKA

Az F erő kifejezhető a Hooke-törvény alapján is:

F = A E ^ Ah

Mivel az AZ megnyúlás cAí-vel egyetilő, ezért

F ^ A E -c .

így a két egyenlet jobb oldalát egyenlővé téve, rendezés után ahatás terjedési sebességére a következő kifejezést kapjuk:

[f] Határozzuk meg egy rugalmas fonálon kihajlással létrehozott deformáció terjedési sebességét!

Az egyszerűség kedvéért válasszunk olyan koordináta-rend-szert, amely a deformáció terjedése irányában, azzal azonos se

bességgel mozog. Ebben a koordináta-rendszerben a deformáció „egy helyben áll”, míg a fonál -c sebességgel mozog (1.110.ábra). Szemeljük ki a kötél azon elemi Am tömegű darabját,amely a kiemelkedés tetején található! A deformáció tetejének

a környezetét^ geometriailag körrel helyettesíthetjük, így aztmondhatjuk, hogy a kiszemelt darabka c sebességgel körmozgást végez. A Am tömegű darabka körpályán tartásához szükséges centripetális erő:

F = A m - ;



1. MECHANIKA 131

ahol R jelenti a mozgást leginkább közelítő kör, az ún. simuló kör sugarát. Ez az erő csak a kötelet feszítő F eróljől származhat. Az F erő a kiszemelt A/ hosszúságú Am tömegű kötéldarab

végeire hat. Ennek a kötéldarabnak a tömegeAm = ^ylA/

A A/ hosszúságú darabhoz tartozó középponti szög ip. Ha akötéldarab végeire ható erő F, akkor a kör középpontja felé ható eredő erő:

Fe = 2Fsin^

Mivel kicsi,

sinv? <~p, így

1? F e = F ( p = — .

Továbbá

Al = R<p,

így

Fip = gAR(p— .

Az egyszerűsítések elvégzése és rendezése után

V =

QÁ

vagyis a deformáció terjedési sebessége a fonálban hatófeszítőerő négyzetgyökével arányos. A q A szorzat a fonál egységnyi hosszúságú darabjának tömegét adja meg, aminek négyzetgyökével fordítottan arányos a terjedési sebesség.

[U A terjedési irányra merőleges kitéréssel mozgó „zavar”transzverzális, míg a terjedési iránnyal megegyező kitéréssel



132 1. MECHANIKA

1] Mozgassuk egy „laza”, hosszú rugó rögzítetlen végét ütemesen fel és le. Megfigyelhetjük, hogy a rugón hullámhegyek illetve völgyek futnak végig. Ha a fel-le mozgatás harmonikus, akkor a rugó egyes pontjai is ugyanolyan frekvenciájú ésamplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végeznek, csak idő

ben kissé kés61)b, mint a kezdőpont. Találhatunk olyan pontokat a rugón, amelyek azonos ütemben mozognak.

I [d] Két ilyen szomszédos, azonos ütemben mozgó pont távolsága a hullámhossz.

m Ha a rezgésállapot terjedési sebessége c, ekkor a hullámhossz az a távolság, melyet a zavar pontosan a T rezgésidőalatt tesz meg, azaz

\ = cT

szokásos még ezt a kifejezést az egyes pontok rezgésének frekvenciájával ( / = is kifejezni:

- 7

A hullám matematikai leírásaLegyen a rezgéskeltés helyének kitérés idő függvénye

y{t) — Asin(cjí)

A tőle X távolságra lévő pont csak később kezd el rezegni, hiszen

Aí = -c

idő kell ahhoz, hogy a rezgésállapot eljusson odáig, így a kiszemelt pont kitérés-idő függvénye:

Y{Xyt) — ylsin^tí;(í — - ) j



1. MECHANIKA 133

A kapott kétváltozós függvény hely és idő szerint periodikus,hiszen mind rögzített t, mind rögzített x esetén a másik változószinuszos függvénye. Vegyük észre, hogy eredményünk egy

aránt használható transzverzális és longitudinális hullámokra is!

A polarizáció

[Hl Indítsimk egy rugalmas kötélen transzverzális hullámokatúgy, hogy a kezdőpont kitérésének irányát állandóan változtat

juk. Ha a kötelet egy keskeny, függőleges helyzetű résen vezet jük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a rés után a kötél minden pontja függőleges irány mentén rezeg. A rés a sokféle rezgésiirány közül egyet választott ki, polarizálta a hullámot.

Ha a kötelet egy másik, keskeny, vízszintes helyzetű résen vezetjük keresztül, azt tapasztaljuk, hogy a hullámjelenség megszűnik, teljes kioltás következik be. Ha a kísérletet longitudinális hullámokkal végezzük el, változást nem tapasztalunk, hiszena terjedési irány megegyezik a rezgés irányával.

[H Ha egy megfigyelt pont rezgésének iránya mindig egyazonegyenesbe esik, lineárisan poláros hullámról beszélünk. Haegy megfigyelt pont rezgésének iránya egyenletesen körben

jár, akkor cirkulárisán poláros a hullám.

A felületi és térbeli hullámok terjedése

E Csepegtessünk vizet egy nagy tálban lévő víz {hullámkád) felszínére! Azt tapasztaljuk, hogy a becsapódás helyéről indulódeformáció minden irányban állandó sebességgel terjed, ígyegyre nagyobb sugarú kört látunk a víz felszínén haladni. Ha a

víz felszínét egy pontjában periodikusan ütögetjük, akkor körhullámok alakulnak ki. Az azonos fázisú pontok a forrással koncentrikus körök, ezek alkotják a körhullámok hullámfront

jait. Ha a víz felszínét nem csak egy pontjában, hanem egy szakasz mentén periodikusan ütögetjük, akkor vonalhullámok alakulnak ki. Az azonos fázisú hullámfrontok egymással párhuzamos egyenesek. Térben gömbhullámokról, ill. síkhullámokról is



134 1. MECHANIKA

13 Helyezzünk a hullámkádba kör alakú lemezt, amelyenegyenlő távolságokban rések helyezkednek el, és indítsunk aközéppontból körhullámokat! Azt tapasztaljuk, hogy a résekbőlmint forrásokból kis körhullámok indulnak ki, amelyek a lemeztől „távol” olyan körhullámokká állnak össze, amelyek középpontja az eredeti hullámforrás.

[k ]Ütögessük a vízfelszínt egy „fésűvel”! Azt tapasztaljuk,hogy a „fésűfogakból”, mint hullámforrásokból körhullámok indulnak ki, amelyek a „fésűtói” távol vonalhullámokká állnak össze.

Ezekre a jelenségekre támaszkodik a Huygens-elv.

E A hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térben gömbhullámok) indulnak ki.

Ezen elemi hullámok burkolófelülete az új hullám front.

A Huygens-elv segítségével nagyon egyszerűen magyarázható a visszaverődés és törés jelensége.

A hullámok visszaverődése

I

H] A beeső és visszavert hullámok teijedési iránya a beesésimerőlegessel azonos szöget zár be (1.111. ábra).

A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget azún. beesési merőlegessel, a hullámfront A pontja legyen éppen



1. MECHANIKA 135

a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pontból elemi kör-hullám indul ki „visszafele”, míg a hullámfront B pontja még

As —cAt

távolságra van a határfelülettől. A At időköz alatt, míg a hullámfront B pontja is megérkezik a határfelületre, az A pontbólinduló elemi hullám frontja

As = cAt

utat tesz meg. A hullámfront egy A középpontú sugarú kör.A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a Bi pontból húzott érintője. Legyen az érintési pont az Ai. Az1.112. ábráról leolvasható, hogy az ABBi, illetve az A B iA i háromszögek egybevágóak, mert megegyezik két oldaluk és a nagy óbbikkal szemköztes szögük. így a visszavert hullám frontjaszintén a szöget zár be a határfelülettel.

Ez a szög viszont ugyanakkora, mint a sebességnek a beesésimerőlegessel bezárt szöge.

A hullámok törése\t \ Ha egy hullám új közegbe ér, akkor a beesési és törési szögek szinuszai úgy aránylanak egymáshoz, mint a terjedési se

bességeik.

A beeső síkhullám sebességének iránya zárjon be a szöget az



136 1. MECHANIKA

legyen éppen a határfelületen. Ebben a pillanatban az A pont

ból elemi körhullám indul ki a másik közegben, míg a hullámfront B pontja még

Asi = ciAt

távolságra van a határfelülettől. A Aí időköz alatt, míg a hullámfront B pontja is megérkezik a hatáfelületre, az A pontbólinduló elemi hullám frontja

A«2 = C2AÍ

Utat tesz meg az új közegben, a hullámfront egy A középpontú As2 sugarú kör. A Huygens-elv szerint az új hullámfront ennek a körnek a B^ pontból húzott érintője. Legyen az érintési pontaz A i. Az ábráról leolvasható, hogy az ABBi illetve az AB^Ai háromszögek alapjai megegyeznek. írjük fel mindkét háromszögben az a, illetve jS szög szinuszát!

sma = Cl

sin/3 = C2

A t ABi A t a F i



1. MECHANIKA 137

A két egyenlőség hányadosát véve éppen a kívánt összefüggéshez jutunk:

sina : sin/3 = ci : C2[U A ^ hányados a törésmutató, jele: n.Ha Cl nagyobb, mint c , vagyis n > 1, akkor a jS szög kisebblesz mint a, azaz minden beesési szöghöz tartozik törési szög.

A fordított irányú határátmenetre n értéke 1-nél kisebb, így a

törés szöge lesz a nagyobb. A beesés szögét növelve elérhetjük,hogy a törés szöge eléije a 90°-ot. Ha tovább növeljük a beesésszögét, akkor a hullám már nem lép át az új közegbe, teljes visz-szaverődés következik be, amelynek határszögének szinusza:

1sma ——

n

Az interferencia

[D A hullámok találkozása az interferencia.Ha a hullámok azonos fázisban (hegy a heggyel) találkoznak,akkor erősítik, ha ellentétes fázisban (hegy a völggyel), akkor gyengítik egymást.

E Indítsunk a hullámkád két, egymástól d távolságra lévő pontjából körhullámokat! Azt figyelhetjük meg, hogy azerősítések, ill. gyengítések szabályos görbéken helyezkednek el.Milyen görbék ezek? Ahhoz, hogy a hullámtér egy adott pont

jában tartósan erősítés vagy gyengítés alakuljon ki, az kell, hogya két forrástól mért útkülönbség a hullámhossz egész számú, il

letve a hullámhossz felének páratlan számú többszöröse legyen,azaz

n —V 2 —kX, illetve ri —r 2 = {2k + 1) Zi

Ezek a görbék hiperbolák, hiszen a hiperbola azon pontok h l ík l k ké ól é á l á külö b é



138 1. MECHANIKA

Változtassuk meg a két hullámforrás távolságát! Ha ez a d távolság A/2 alá csökken akkor, mint a háromszög-egyenlőtlenség- ből látható, egyáltalán nem lesz maximális gyengítés, ill. maximális erősítés, a 0. rend (k = 0) kivételével, ott ugyanis mindigmaximális erősítés van.

m Általában az interferencia észlelhetőségének feltétele az,hogy a két hullámforrás fáziskülönbsége időben állandó. Ezaz ún. koherencia-feltétel.

Az általunk vizsgált esetben a fáziskülönbség nulla volt, a ka pott összefüggés is csak erre az esetre érvényes. Nyilvánvaló,hogy a maximum- és minimumhelyek függenek a két hullámforrás fáziskülönbségétől is. Ha pl. a fáziskülönbség n, akkor azelőző formulák éppen a másik szélsőértéket szolgáltatják, vagyis, ha az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse,akkor lesz minimum, és a másik esetben lesz a maximum.

[k ] Indítsunk a hullámkádban körhullámokat, és tegyünk azútjába változtatható szélességi! rést (1.114. ábra)!

1.114. ábra

A rés fokozatos szűkítésével a hullámjelenség kiterjed azegész ámyéktérre. Ez az elhajlás jelensége. Azt is megfigyelhet

jük, hogy a rés után a hullámfrontok „lukasak”, márpedig egy burkológörbe nem lehet lukas. A dilemmát Fresnel oldotta mega Huygens elv módosításával



1. MECHANIKA 139

[D Huygens-Fresnel-elvA hullámfront minden pontjából elemi körhullámok (térbengömbhullámok) indulnak ki. Ezen elemi hullámok interferen

ciája adja az új hullámfrontot.

1] Bocsássunk síkhullámot résre, és figyeljíik meg az áthaladó hullám frontj át!

Tapasztalataink szerint bizonyos irányokban nem lesz hullámterjedés (itt „lukas” a hullámfront), míg más irányokbanmaximum található (1.115. ábra).

\

\ \

/I I !

/

1.115. ábra

A jelenség magyarázatát a Fresnel-elv segítségével adjuk meg. A beeső síkhullám egyenlete:

Y = ^sin — -)^

Legyen a rés szélessége d, és osszuk a rést n részre. Tekintsük ezeket elemi hullámforrásoknak. Az ezekből kiinduló elemihullámok egyenlete legyen

Vizsgáljuk meg, hogy az eredeti terjedési iránnyal a szöget



140 1. MECHANIKA

A két szélső elemi hullám közötti fáziseltérés;

X w d s i n a(f — w —= --------

c c

Két szomszédos hullám között a fáziskülönbség ennek n-edrésze, azaz ipln. Az amplitúdók vektorokként adódnak össze,

esetünkben n darab egyenlő hosszú, egjmiással ípin szöget bezáró vektort fűzünk egymás után (1.117. ábra).

A keresett amplitúdó ezek vektori összege. Ha finomítjuk a

felosztást, akkor a sokszög egyre jobban megközelíti a körívet,amelynek A hossza a beeső hullám amplitúdója (1.118. ábra).

Jelöljük a kör sugarát /?-rel! Ekkor

A = R(p, ill. Aa = 2ifein(^)

A két lő é ből kö át b h l tt ít



1. MECHANIKA 141

s in - A , = 2 A ----^

adódik. Az intenzitás az amplitúdó négyzetével arányos, így azadott a irányban az intenzitás

sin^^

'T

Ez akkor nulla, ha

-1 1 ) = »azaz

(f / 2 = 0 + fcTT

Mivel

X 27rdsino! , _ ^(rt = w - — — — ---- es I C — Á^ c Te

ezért rendezés után

dsina —kA

adódik a kioltási irányokra.A maximumirányokat jó közelítéssel ott kaphatjuk, ahol

Sin

azaz

(p 7T

2 ^ 2 + "Az elózóvel azonos meggondolás alapján a maximumirá

nyokra a következő összefüggést kapjuk

dsina = (2k + 1) ^



142 1. MECHANIKA

1.12.2. ÁLLÓHULLÁMOK

[U Hosszú gumikötél egyik végét rögzítsük, másik végét pedig rezegtessük változó frekvenciával. Megfigyelhetjük, hogyvannak olyan frekvenciák, amelyeknél a kötél egyes pontjainjoigalomban vannak {csomópontok), illetve vannak olyan pontok, amelyeknek a kitérése maximális (duzzadó helyek). A kötél egyes pontjai a haladóhullámokkal ellentétben, helytől függő amplitúdóval rezegnek (1.120. ábra).

1.120. ábra

A jelenség magyarázata a következő. A kötél rögzített végé

ről visszaverődő hullám interferál a kötél vége felé haladó hullámmal. Mindkét hullám terjedési sebessége és frekvenciájaazonos, a visszavert hullám n fázisugrást szenved a rögzítettvégről történő visszaverődés miatt.

Legyen a találkozás helye a kezdőponttól számított x távolságra. A visszavert hullám útja ekkor 21-x. Az összeadandó kétfüggvény:



1. MECHANIKA 143

Yi = A sin w(t —

(

2 1 —X W { t ----------------) + 7T

Az eredő hullámot leíró függvény a megfelelő trigonometrikus azonosságok felhasználásával a következő:

Y = Yi + Y 2 — 2Asin^w — ^ cos^w(í —-)

Mint a formulából látható, a szorzat egyik tényezője csak ahelytől, a másik tényező viszont csak az időtől függ. A helytőlfüggő tényező határozza meg az ampHtúdót. Ahol ez nulla, ottlesz csomópont, ahol ez 1, ott lesz duzzadóhely;

I — X , t — X , , . 7Tw

---------= Aivr, ill. tt)----------=(2fc + l) — .c c 2így a csomópontok illetve duzzadóhelyek távolságára

l — X — k ^ \ 111. l — X — {2k + 1)^

adódik.

Látható, hogy mind a szomszédos csomópontok, mind aszomszédos duzzadóhelyek távolsága XI2. Ha egy / hosszúságú,mindkét végén rögzített húrt rezgetünk, akkor csak olyan hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, melyeknél a kötélhossza a félhullámhossz egész számú többszöröse:

= , A= | : / = t2 k ■’ 21

A k = l értékhez tartozó frekvencia az ún. alapfrekvencia. Azösszes többi ennek egész számú többszöröse, amelyeket felharmonikusoknak nevezünk. Vegyük még észre, hogy két szomszédos csomópont között a kötél pontjai azonos fázisban rezegnek,míg egy csomópont két oldalán a fázis ellentétes, vagyis a fázis-



144 1. MECHANIKA

1.12.3. A HANG

mben a rugalmas kö5 gitudinális hullámokat nevezzük hanghullámoknak.

I 11 Általános értelemben a rugalmas közegekben terjedő lon-

Ezen belül a 2 0 -------- 2 0 0 0 0 Hz közötti frekvenciájú hullámok a hétköznapi értelemben vett hanghullámok. A hang terjedéséhez közvetítő közeg szükséges.

[k] Tegyünk légszivattyú burája alá elektromos csengőt, kap

csoljuk be, majd szívjuk ki a levegőt. A csengő fokozatosan elhalkul, jelezve, hogy légüres térben nem terjed a hang.

Hogyan határozhatjuk meg a hang terjedési sebességét?

E Egy hosszú, felül nyitott üvegcső alsó részét merítsük vízbe, fölé pedig tartsunk ismert rezgésszámú hangvillát (1.121.

ábra)! A csövet kiemelve a vízből, egy bizonyos távolságnál felerősödik a hang, továbbemelve elhalkul, majd ismét felerősödik. A két erősítési hely távolsága XI2 (mind a kettő csomó

pont) jól mérhető, így a hang terjedési sebessége:

c = fX

1 121 áb



1. MECHANIKA 145

[k] H osszú, néhány centiméter átmérőjű üvegcsőbe - Kundt- cső - szórjunk parafa reszeléket, majd az egyik végét záijuk le

egy mozgatható dugattyúval! (1.122. ábra)!

<nninxir[nxiir]>

1.122. ábra

Ha a másik végéhez hanggenerátorhoz kapcsolt hangszórótteszünk, a dugattyú mozgatásával elérhetjük, hogy a cső egyeshelyein a parafa reszelék élénk mozgásba jön, más helyeken pedig teljesen mozdulatlan. A csőben állóhullám alakul ki, amelya hangszórótól elinduló és a dugattyúról visszaverődő hanghullám interferenciájának eredménye. Az élénken mozgó parafareszelék jelzi a dvizzadóhelyeket, míg a mozdulatlanul maradó

részek a csomópontokat.

[k] Megfeszített húrt pendítsünk meg, majd egy libatollalérintsük meg a közepét! Ezzel az ún. alapfrekvenciát szüntetjük meg, hiszen ennek (is) van duzzadóhelye a húr felénél. Csak azok a frekvenciák maradnak meg, amelyekre a húr felezőpont

ja csomópont. Magasabb hangot fogunk hallani, éspedig az

alapfrekvencia kétszeresét. Ezután próbáljuk a harmadánál, negyedénél stb. A hallott alaphangnak a felharmonikusait kaphat juk meg sorban. Ezek a felharmonikusok mind jelen vannak azalaphangban, ezek határozzák meg az ún. hangszínt.

[k] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás közelébe! Az egyiket hozzuk rezgésbe, majd fogjuk meg kézzel,

hogy elhallgasson. Azt tapasztaljuk, hogy a másik hangvillaszól. Ennek az az oka, hogy az első hangvilla által kibocsátotthullám „gerjeszti” a másik hangvillát, és - mivel a frekvenciájaazonos - a rezonancia révén rezgésbe jön.

[K] Helyezzünk két azonos frekvenciájú hangvillát egymás közelébe! Az egyikre erősítsünk egy kis testet majd hozzuk rez



146 1. MECHANIKA

kusan erősödik, majd elhalkul: lebegés jön létre. Az egyik hangvilla frekvenciája kismértékben megváltozott a ráerösített testmiatt, így a két hullám frekvenciája közel azonos. Ezek interferenciája okozza a hanglebegés jelenségét.

E Húzzunk egy sípra kb. 1 m hosszúságú gumicsövet! A csőmásik végébe fújva a síp megszólal. A sípot a gumicsőnél fogvaés a fejünk fölött körbeforgatva, a síp hangját hol magasabbnak, hol mélyebbnek hallja a megfigyelő, aszerint, hogy a sípközeledik vagy távolodik. Ez a Doppler-effektus. Az észlelt

frekvencia:

/ = / o - Í ± í ,c — V

ha az észlelő u sebességgel közeledik, illetve

c —u f = fo-c-\-v

ha az észlelő u sebességgel távolodik. A forrás sebessége v.



2. HŐTAN

2.1. A HŐMÉRSÉKLET FOGALMA ÉS MÉRÉSE

A hőmérséklet a hét Sl-alapmennyiség közé tartozik, azegyik legfontosabb fizikai állapotjelző. A mindennapi életben ahőmérséklet változását Celsíus-skálán adjuk meg, a fizikusok azonban legtöbbször a Kelvin-féle skálát használják. Ezen a skálán a testek hőmérséklete elméletileg mindenféle felső határ nélkül növekedhet, viszont nem csökkenhet nulla kelvin alá,amely megfelel a -273,2 Celsius-foknak. Ezt a kitüntetett hőmérsékletet abszolút nulla foknak (0 K) nevezzük, mivel igenfontos szerepet tölt be a fizikai jelenségek leírásában.

Számítások alapján a világegyetem hőmérséklete a kezdetkezdetén 10^® K körül lehetett, és csak a tágulása közben hűlt lea jelenlegi, közelítőleg 2,7 K átlaghőmérsékletre.

A fizikusok - elméleti és gyakorlati jelentősége miatt egyaránt - sokat fáradoznak azon, hogy minél jobban megkö

zelítsék az abszolút nulla hőmérsékletet. Az eddigi „leghidegebb”, amit 1988-ban produkáltak, 2 •10“* K volt.A hőmérséklet köznapi, jelentését mindannyian ismerjük.

Ebben a fejezetben a tudományos értelmezésére is szükségünk lesz, ezt azonban csak később vezethetjük be.

Valahányszor el akarjuk dönteni két testről, hogy hőmérsékletük azonos vagy különböző, a termodinamika nulladik főtéte

le szerint járunk el:Hl Ha két test külön-külön termikus egyensúlyi állapotbanvan egy harmadik testtel, akkor a két test egymással is termikus egyensúlyban van.

Ez a tétel nem vezethető le elméletileg, alapvető természeti törvény, amelyeta kísérletek igazolnak A törvény alkalmas a testek hőmérsékletének megha



[U A hőmérséklet a testek termikus egyensúlyi állapotának meghatározó fizikai tulajdonsága. Két test hőmérsékletét akkor tekintjük egyenlőnek, ha hőegyensúlyi állapotban vannak.

148 _________________________ HŐTAN_____________________________

2.1.1. HŐMÉRŐK, HŐMÉRSÉKLETI SKÁLÁK, HŐTÁGULÁS

I

H A hőmérséklet az a fizikai alapmennyiség, amely a testek hőállapotának számszerű jellemzésére használható.

A hőmérséklet-változás a legtöbb test fizikai tulajdonságait istöbbé-kevésbé megváltoztatja: pl. térfogat-, elektromos ellenállás-, halmazállapot-változást okoz. Ezek közül bármelyik köny-nyen reprodukálható és mérhető változás alkalmas a hőmérséklet-változás mérésére (léteznek ellenállás- és színhőmérólc is).

A legelterjedtebb hőmérőkben a folyadékok hő okozta térfogatváltozását használják fel a hőmérséklet-változás jelzésére.Az általában higanyt vagy alkoholt tartalmazó tartály egy kapillárisban folytatódik, amit megfelelő skálával ellátva, az aktuáhshőmérsékletnek megfelelő szint leolvasható.

A nálunk leggyakoribb Celsius-skálán az egyik hőmérsékletialappont a normál légköri körülmények között olvadó jég hőmérséklete (0 °C), a másik pedig a normál nyomáson forrásbanlévő víz hőmérséklete (100 °C). A két hőmérséklet közötti intervallum 100 egyenlő részre, azaz fokra van felosztva.

Használatosak más fokbeosztással ellátott folyadékhőmérólc(Fahrenheit-, Reaumur-skála) is. Ezeknek az eszközöknek askáláját szintén tapasztalati (ún. empirikus) úton alakították ki,egy kiválasztott alsó és egy másik felső hőmérsékleti érték között, meghatározott számú, egyenlő skálaosztást alkalmazva. Eza beosztás egyébként tetszőleges is lehetne, csupán az egyszerűség kedvéért alkalmazzák az egyenlő közű skálát. Annak ismeretében, hogy a hőmérsékleti skálán leolvasott érték a hőmérő

ben lévő folyadék hőtágulásával egyenes arányban van,egyáltalán nem meglepő, hogy más folyadékok, sőt a szilárd testek hőtágulásának mértéke is egyenesen arányos a hőmérsék



HŐTAN 149

AF = /3VbAT

ahol Vo a 0 °C-on mért kezdeti térfogat. A T a hőmérséklet vál

tozása a 0 °C-hoz képest. f3 az ún. térfogati hőtágulási együttható, amelynek mértékegysége 1/°C, az anyagi minőségre jellemzőállandó.

2.2. GÁZTÖRVÉNYEK

Különböző gázokkal kísérletezve azt tapasztaljuk, hogy azonos körülmények között a hőtágulás mértéke - jó közelítéssel -nem függ az anyagi minőségtől. Emiatt a gázok hőtágulásán ala puló hőmérsékleti skála nem függ a gáz anyagától, ezért is nevezzük ezt a skálát termodinamikai vagy abszolút hőmérsékleti

skálának.A tényleges kísérlet a 2.1. ábrán látható összeállításban vé

gezhető el.

2.1. ábra

A vékony vízszintes csóljen higanycsepp zárja el a gázt, éstartja a belső nyomást állandó értéken. Használhatunk külön

böző gázokat és más-más térfogatú edényeket, eredményünk jóközelítésben a következő: a tágulás mértéke független az anyagi minőségtől csak a kezdeti térfogat és hőmérséklet változás



150 HŐTAN

2.2. ábra

A mérési eredményeket grafikonon ábrázolva, a kapott gör be mindig egyenes lesz, és ezek az egyenesek mind egy közös pontból indulnak ki (2.2. ábra).

A mérési pontok által meghatározott egyenesek - a mérésihibán belül - a negatív hómérsékleti tartomány felé meghosz-szabbítva, a -273 °C-nál (0 °K) metszik a T tengelyt. Ezt a hőmérsékletet természetesen nem érhetjíik el egyetlen gázzal sem,

hiszen ez nulla térfogatot jelentene, a valóságban azonban a gázmár sokkal előbb cseppfolyósodna.

2.2.1. GAY-LUSSAC ELSŐ TÖRVÉNYE

H] Állandó mennyiségű gáz térfogata és a Keliin-skálán mért

hőmérséklete egymással egyenesen arányosak, ha közben anyomás nem változik. Ez Gay-Lussac első törvénye, amelyképletben a következő:

Y l = Y i Ti T2

Ha a gáz állapotváltozása folyamán a nyomás és a tömegnem változik, a térfogat-hőmérsékletgrafikon az origóból kiinduló egyenes lesz (2.3. ábra).

[U Azokat a gázokat, amelyekre az elmondott törvény érvényes, ideális gázoknak (jó közelítésben ilyenek pl. a



HŐTAN 151

l/,

2.3. ábra

2.2.2. GAY-LUSSAC MÁSODIK TÖRVÉNYERögzített mennyiségű gázt állandó térfogaton melegítve, a

nyomása emelkedni Icezd. Az ábrán látható eszközzel, különböző hőmérsékleteken megvizsgálhatjuk a bezárt gáz nyomását.

~ W ~

ü2.4. ábra

A gázt a gumicsőben levő higany zárja el a külvilágtól (2.4.ábra). Ha melegítés közben a jobb oldali csövet fölfelé mozgat

juk, a kitáguló gáz visszaszorítható eredeti térfogatára. A higanyszintek közti különbség megadja a külső és belső nyomásközötti kapcsolatot, amelyből

P — PH g Plevegő

A nyomás és a kelvinben mért hőmérséklet között most is



152 HŐTAN

H] Gay-Lussac második törvénye szerint állandó mennyiségűgáz nyomása és Kelvin-skálán mért hőmérséklete egymássalegyenesen arányosak, ha közben a gáz térfogata nem változik.

Pl P 2

¥ r % '

p — cT\ ahol c = Po273’

vagyis a 0 °C-on mért nyomás 273-ad része.

2.2.3. BOYLE-MARIOTTE-TÖRVÉNYMindenféle mérés vagy kísérletezés nélkül is világos, hogy

egy adott mennyiségű gáz térfogatát csökkentve nő a nyomása,ha a hőmérsékletét állandó értéken tartjuk. A pontos függvénykapcsolat felismeréséhez használhatjuk az előzőekben már megismert egyszerű eszközt is. Melegítés nélkül, a mozgatható

üvegcső helyzetét lassan változtatva, leolvashatjuk az összetartozó nyomás- és térfogatértékeket.

E Állandó hőmérsékleten egy adott mennyiségű gázzal dolgozva, a nyomás fordítottan arányos a térfogattal:

pV — állandó



________________________________ HŐTAN_____________________________1M

Ez a Boyle-Maríotte-törvény, amely szintén csak ideális gázokra érvényes. A gáz két állapotát állandó hőmérsékleten

összehasonlítva, a következő kifejezést kapjuk:P i V i = P 2V 2

2.3. áltaU no s Gá z t ö r v é n y , ideális

GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEAmikor egy bizonyos minőségű gázzal dolgozunk, a tömeg, a

térfogat, a nyomás és a hőmérséklet egyértelműen meghatározzák a gáz egyensúlyi állapotát. Ezek a fizikai mennyiségek az állapotjelzők vagy állapothatározók. Az állapothatározók közül ahőtani folyamatok során kiegyenlítődóTc (pl. p, T) az intenzív, az

összeadódó^ (pl. m, V) pedig az extenzív állapotjelzők. Bármelyik állapotjelző megváltozása - pl. hűtés esetén - legalább egy,de inkább több állapotjelző változását vonja maga után.

E A z általános vagy egyesített gáztörvény - amely az előzőekben tárgyalt tapasztalati törvények összefoglalása - megadja a kapcsolatot egy adott mennyiségű ideáUs gáz állapot-

jelzői között, két különböző állapotban: piVi P 2 V 2 , , — —= —— = aiiando

Ti T 2

Látható, hogy az általános gáztörvény tartalmazza a többispeciális állapotváltozást leíró gáztörvényt, és egyszerűen leve

zethető azokból. Jegyezzük meg, hogy csak az ideális gázok (ilyenek az egyatomos nemesgázok) követik pontosan a gáztörvényt, és ezek is csak nem túl magas nyomásig. A reális, többatomos gázokban a molekulák között a nyomás emelkedésévelnő a vonzóerő, és ezért a mérhető térfogat kisebb az elméletiértéknél. A reális gázok viselkedését a Van dér Waais-féle álla

t l t íij l



miából ismert Avogadro-törvény alapján határozhatjuk meg azún. normálállapotban.

[t] Avogadro törvénye szerint, minden gáz moláris tömegének ugyanannyi a térfogata normálállapotban, azaz 0 °C hőmérsékleten és 0,1 MPa nyomáson, mégpedig 22,41 liter,így a p V n értéket erre az állapotra kiszámíthatjuk: 1 mól gázesetén;

o _ Po^o _ 1,013 • lO^Pa • 22,41 ■lO^^mVmol _ 273,2 K “

= 8,31 J/(mol • K)

154 _________________________ HŐTAN_____________________________

A z ideális gázok állapotegyenlete így kifejezhető az R gázállandó segítségével, és tetszőleges állapotában megadja az összefüggést az állapotjelzőit között:

pV = nRT,

ahol n jelenti a molok számát.

BAz Avogadro-törvény alapján a molekulák számával isfelírható az állapotegyenlet. Avogadro törvénye szerint a gázok 1 mól anyagmennyisége ugyanannyi, L = 6,02 . lO^^b

molekulát tartalmaz.így az m tömegű gázban a molok száma n - m/M, azaz a molekulák száma; N = n ■L. Az állapotegyenletben n helyett

N/L írható.

E Az állapotegyenlet kifejezése a részecskeszámmal;

pV = NkT,ahol k - R/L = 1,38 • 10“^ J/K állandó. Ez a nevezetes állandó a Boltzmann-állandó.

[f] Nézzük meg, hogyan használhatjuk fel az általános gáztörvényt egy egyszerű eszköz segítségével a légnyomás mérésére!V ü k ék ik é é á t áll dó A k t t



HŐTAN 155

2.6. ábra

szetű, 50 cm hosszúságú üvegcsövet, amelybe vízszintes helyzet ben zárjunk el 20 cm hosszú levegöoszlopot egy 20 cm hosszúhiganyoszloppal. (2.6. ábra). Az eszköz neve Melde-cső. Ha acsövet lassan, a nyílásával lefelé függőleges helyzetbe fordítjuk,a higany nem folyik ki, viszont 2 cm-re megközelíti az alsó

nj^ást. (Ez a 2 cm természetesen függ az aktuális légköri nyomástól.) Határozzuk meg az adatokból a külső légnyomást!A külső és a belső hőmérsékletet tekintsük végig állandónak!

Mivel a hőmérséklet nem változik, használhatjuk a Boyle-Mariotte-törvénj^:

P\Vl =P2V2

Az első helyzetben a bezárt levegő nyomása megegyezek akülső nyomással:

P i = P k

A második helyzetben a belső nyomás kisebb a külsőnél, akülönbség éppen a higanyoszlop nyomása:

P 2 = P k - Png

A térfogatokat a levegőoszlopok hosszával és a keresztmetszetével számíthatjuk ki. Ezeket, valamint a nyomásokat

behelyettesítve, az egyenletből kifejezhetjük a külső légnyomást:

hh



156 HŐTAN

2.4. IDEÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTVÁLTOZÁSAI

A gázok állapotváltozásai állapotsíkon ábrázolhatok, az első, pozitív síknegyedet használva. A leggyakrabban a p-V síkondolgozunk, mint látni fogjuk, nincs szükség a térbeli p-V-T felületre. A vízszintes tengelyen jelöljük a térfogatot, a függőlegesen pedig a nyomást.

Izobár folyamatok

I [d] Izobár folyamat alatt a gáz térfogata és hőmérséklete változik, miközben a nyomása állandó marad.

Egyszerűen valósíthatunk meg izobár tágulást, egy könnyenmozgó dugattyúval elzárt gáz lassú melegítésével.

A gáztörvény szerint az összefüggés állandó nyomáson:

Ti T2

Az energetikai viszonyok vizsgálatánál fontos szerepe lesz agáz által végzett munkának, amely A W = FAs. Izobár tágulásnál, azaz állandó nyomás mellett az állapotjelzőkkel is kifejez

hetjük a végzett munkát:= FAs = pAAs = pAV

Észrevehetjük, hogy a gáz által végzett munkát megadja -előjelesen - a p -V grafikon alatti terület. Izobár tágulást szemléltet a 2.7. ábrán áz AB szakasz.



HŐTAN 157

Izochor folyamatok

[d] Izochor állapotváltozás során a gáz térfogata marad állan

dó, a nyomás és a hőmérséklet a Gay-Lussac-törvénynek megfelelően változik (2.8. ábra);

Ti T2

co

4 0

2.8. ábra

Az ábrán az szakasz egy izochor melegítést jelöl; a végállapotban magasabb a hőmérséklet és a nyomás.

A grafikonról is látható, hogy mechanikai munkavégzés

nincs, hiszen nincs elmozdulás, mert állandó a térfogat.

Izoterm állapotváltozás

m Az állandó hőmérsékleten végbemenő folyamat az izoterm állapotváltozás, amelyet a Boyle-Mariotte-törvény ír le (2.9.ábra);

P l V l = P 2 V l

A p-V síkon a görbe egy hiperbolaív lesz. Könnyen belátható, hogy magasabb hőmérséklethez szintén hiperbola tartozik (az ábrán szaggatott vonallal jelölve).

A görbe alatti terület most is megadja a végzett munka szám



158 HŐTAN

2.5. A KINETIKUS GÁZELMÉLET

Minden fizikai és kémiai kísérlet azt mutatja, hogy az anyagok - szilárd, folyadék és gáz halmazállapotban egyaránt - pa

rányi részecskékből, molekulákból épülnek fel. A legkisebb molekulaméret 10“^° m nagyságrendű, az „óriásmolekulák” átmérőjének nagyságrendje pedig 10“^ m.

Az anyagi szerkezet szempontjából nagyon fontos a molekulák között ható, ún. intermolekuláris erő. A szilárd testekben ésa folyadékokban ez az erő főként elektromos természeti!, amelymellett a gravitációs vonzóerő teljesen elhanyagolható. A von-



________________________________HŐTAN_____________________________1TO

zóerő taszításba vált, ha a részecskéket túl közel akarjuk vinniegymáshoz - ez az egyik oka a folyadékok összenyomhatatlan-ságának. A 2.10. ábra az erő változását mutatja két folyadékmo

lekula között, a távolság függvényében.Az /*o távolság az egyensúlyi helyzetet jelöli, amely a külön

böző anyagokra más és más.Az egyensúlyban levő molekula a környezetében levő többi

molekula hatására egy adott értékű potenciális energiával rendelkezik. Ezenkívül a részecskék állandó rendezetlen mozgás

ban vannak, kinetikus energiájuk sem elhanyagolható. A molekulák átlagos kinetikus energikája a tapasztalat szerint ahőmérséklet emelkedésével növekszik, és elég magas hőmérsékleten túllépheti a kötéshez szükséges potenciális energiát.Ez a forráspont, ahol az anyag folyadékból gáz halmazállapotúlesz. Hűtéskor, ha az átlagos kinetikus energia elég kicsi értéketvesz fel, a részecskék mozgása megváltozik, rezegni kezdenek,a folyadék megfagy: szilárd halmazállapotú lesz.

A molekulák viselkedését tanulmányozva legegyszerűbbmódon a gázokra kaphatjuk meg a makroszkopikus fizikai tulajdonságokat. A gázok esetében az is szerencsés, hogy a molekulák átlagos kinetikus energiája viszonylag nagy, ezek a részecskék elég távol vannak egymástól, elhanyagolható közöttük a vonzóerő.

A z ideális gázok kinetikus modellje, amely a tapasztalatok szerint jól leírja a gázok viselkedését, a következőképpen foglalható össze.

A molekulák mérete elhanyagolható a közöttük levő ürestérrészhez képest. A részecskék egjmiással is és az edény falávalis tökéletesen rugalmasan ütköznek, az egyes ütközések között pedig egyenes vonalú egyenletes mozgással haladnak. Ezt úgy

kell érteni, hogy a gázmolekulák rendezetlenül, összevissza mozognak, és kizárólag az ütközések ideje alatt - amely időtartamszintén elhanyagolható - van közöttük kölcsönhatás.

Ezekkel a feltételezésekkel élve, egy adott állapotban levőgáz fontos fizikai jellemzői kifejezhetők a molekulák adataival.Első célkitűzésünk meghatározni a tartály falára kifejtett nyomást, mint a molekulák időegységenkénti lendületváltozását



160 HŐTAN

Jelöljük Vx-szel a molekulák sebességének x irányú komponensét, amelyet tekinthetünk átlagosan egyenlőnek az egyesmolekulákra. A 2.11. ábrán egy olyan képzeletbeli henger látható, amely azokat a molekulákat tartalmazza, amelyek A t időalatt ütköznek a kiszemelt fallal. Ezért lesz a henger alapterülete A, a magassága pedig VxAí.

Egyetlen részecske lendületváltozása a fallal történő ütközés

során 2moVx', állandó molekulasűrűséget feltételezve (N/V), akiszemelt hengerben levő molekulák száma: Avy^AtN/V, amelyeknek a fele mozog az adott fal felé. Mindezeket figyelembevéve, a falra kifejtett nyomást a következő alakban kapjuk meg:

_ F _ NA2vxAt2moVx _ Nrriovl ~ 2AAtV V

Tekintettel kell még lennünk arra a tényre, hogy a gáztartályminden egyes falán ugyanolyan nyomást mérhetünk, azaz a molekulák ugyanúgy mozognak a tér mindhárom irányában. Ez akövetkező egyenleteket jelenti:

2 2 2 ^x = ' y = V,

= v l + vl + vl Mindez azt eredményezi, hogy minden sebesség-összetevő

így írható:

2 2 2

3



_____________________ __________ HŐTAN_____________________________

2 Nml? 2 N ^ “ 3 2F “ 3

A gáznyomásnak ez a kifejezése azért lesz a következőkbenkülönösen fontos, mert az e = tényező éppen egyetlen molekula átlagos kinetikus energiája, amely kapcsolatot létesít amakroszkopikus adatok (nyomás, hőmérséklet) és a mikroszko pikus jellemzők (átlagos kinetikus energia) között.

2.6. A HŐMÉRSÉKLET MOLEKULÁRIS ÉRTELMEZÉSE, A GÁZOK BELSŐ ENERGIÁJA

Az ideális gázok nyomására két fontos kifejezést ismerünk.Az egyik a tapasztalati úton nyert, mérési eredményeket tartal

mazó állapotegyenlet: N kT

A másik egyenlet az elméleti úton, a kinetikus gázmodell segítségével kapott:

2 N rriQ•^ 3 > " ^

alak. A nyomásnak ezt a kétféle kifejezését egyenlővé téve, kifejezhetjük a gáz hőmérsékletét a Kelvin-skálán:

^ 2 molP ^ 2é6 k ~3k

ahol é a gázmolekulák átlagos kinetikus energiája.Látható, hogy az egyatomos ideális gázok molekuláinak hala

dó mozgásából származó átlagos kinetikus energiája a gáz abszolút hőmérsékletével arányos:



Ez az okoskodás ad lehetőséget a hőmérséklet mélyebb, tudományosabb értelmezésére, amelynek alapján a hőmérséklettel a gázmolekulák rendezetlen hőmozgásának erőssége jellemezhető. A hőmérséklet megváltoztatása mindig a molekulák átlagos mozgásállapotának változását jelzi. Természetesen csak nagyon sok molekula rendezetlen mozgása határozza meg agáznak mint rendszernek a hőmérsékletét.

m A gáz teljes belső energiája a molekulák kinetikus energiá jának összege, amely egyatomos ideális gázra kizárólag a haladó mozgásból származó kinetikus energiát jelenti:

E = Neo^^NkT

162 _________________________ HŐTAN_____________________________

[E Fejezzük ki a gáz sűrűségét a gáz állapotjelzővel! Az ideális gázok állapotegyenletéből az m/l^ hányadost közvetlenül ki

fejezhetjük:

m pM

[E Határozzuk meg, hogyan függ a gázmolekulák átlagos se bessége a hőmérséklettől, ill. a nyomástól!

A hőmérséklettől való függést azonnal megkaphatjuk a hőmérséklet kinetikus értelmezéséből:

A nyomás hatása az átlagos molekulasebességre az állapotegyenletből következik;



p V = N k T

_____________ HŐTAN__________________________163

c = mo

2.7. A TERMODINAMIKA ELSŐ FŐTÉTELE

A kinetikus gázmodellből kiindulva már megállapítottuk,hogy az egyes gázmolekulák haladó mozgásából származó kinetikus energiája kifejezhető a gáz hőmérsékletével:

1 _2 ^ 1 rp

A gáz teljes belső energiája, amely független az egész gáztartály helyzetétől, ill. mozgásállapotától, szintén egyenesen arányos a hó'mérséklettel:

E = Neo = ^ N k T = ^ n R T

Itt nem részletezett elméleti megfontolásokkal vagy kísérle

tileg kapott eredmények felhasználásával belátható, hogy azegyatomos gázok belsőenergia-kifejezésében szereplő „bűvös”3-as tényező a kétatomos gázokra 5, a többatomosokra pedig 6.Ugyanis az egyatomos gázok atomjai rendezetlen mozgásuk során csak haladó mozgást végeznek, a kétatomos gázmolekulák viszont - bár parányiak - a haladó mozgáson kívül forognak is,mégpedig két fő szimmetriatengely körül. Ezért hordoznak

ezek a molekulák átlagosan több energiát, mint az egyatomosgázok részecskéi. (Megjegyezzük, hogy az itt elmondottak aklasszikus mechanika törvényei szerint érvényesek, szobahőmérséklet körüli értéken.) Ez az /-fel jelölt szám a szabadságifokok száma, amely tehát egyatomos gázokra / = 3, kétatomosgázokra/= 5, többatomos gázokra/= 6.

Mindezek figyelembevételével a gázok belső energiája általá



E = N e ^ ^ N k T Zi

164 _____________________HŐTAN

[T] Az ekvipartídó tétele szerint, amely az energia egyenleteseloszlásának törvénye, a gázmolekula minden egyes szabadsági fokára \ kT átlagos kinetikus energia jut.

A kinetikus gázmodell a belső energia nullszintjét is meghatározza, amit a r = 0 K állapothoz rendelünk. Természetesen agázok nagy része elegendően alacsony hőmérsékleten cseppfo-lyósodik, és ezért 0 K hőmérsékletet, a 0 energiaállapotot már megközelíteni is nehéz gázállapotban.

Vizsgáljuk meg, hogyan változtathatjuk meg a gázok hőmérsékletét? A molekulák hőmozgását legegyszerűbben melegítéssel, hőközléssel növelhetjük. A hőközlés mértékét, a hőmennyi

séget a fizikában ö-val jelöljük. A hőközlésen kívül a belső

energiát - nem csak gázokra, hanem más testre is - külső, mechanikai munkavégzéssel (W) is változtathatjuk. Példa erre egyhőszigetelt tartályban levő gáz ún. adiabatikus összenyomása.Egy ilyen folyamatban a gáz hőmérséklete jelentősen növekedhet anélkül, hogy a környezettel bármilyen hőcsere fennállna.

Ezeket a megfontolásokat fogalmazza meg a termodinamikaelső főtétele, amely általános természeti törvény, lényegében az

energia megmaradásának egjdk megfogalmazása.HJA termodinamika első főtétele szerint egy anyagi rendszer

belső energiájának megváltozása egyenlő a közölt hő és arendszeren végzett mechanikai munka előjeles összegével:

A E = Q + W

A tétel azt fejezi ki, hogy egy rendszeren belül semmiféleenergia nem keletkezhet vagy tűnhet el. Tlilajdonképpen ez atétel zárja ki az ún. elsőfajú örökmozgó létezésének lehetőségét, amely úgy adna le környezetének energiát, hogy közben asaját belső energiája nem csökkenne.



________________________________ HŐTAN___________ _________________

2.8. A HŐ MÉRTÉKE, A HŐMENNYISÉG, A HŐKAPACITÁS

A termodinamika első főtételéből kiindulva először megvizsgáljuk egy zárt gáztartályban levő ideális gáz melegítését. Az állandó térfogat miatt mechanikai munkavégzés nincs, az összes bevezetett hő a belső energiát növeli:

Qy = AE = ^ nR A T =

Mivel egy adott minőségű ideális gázra a tényező a tömegtől és a hőmérséklet-változástól függetlenül állandó, ezért az állandó térfogaton felvett hő a következő alakban adható meg:

Qv = cvmAT

ahol az anyagra jellemző Cv = | ^ állandó a fajlagos hőkapacitás.

Gázok esetében ugyanazt a hőmérséklet-változást különbözőfolyamatokban, különböző mértékíí hólíözléssel érhetjük el.Minden esetben az első főtétel adja meg a kulcsot a szükségeshő kiszámításához.

Növeljük egy bizonyos mennyiségű (m) egyatomos ideálisgáz hőmérsékletét állandó (p) nyomáson AT-vel! Állandó nyomás mellett természetesen a térfogat növekedni fog. A térfogat-

változást AV^-vel jelöljük. Vizsgáljuk meg ezt az állapotváltozástaz energiaközlés és a hőkapacitás szempontjából!

Az első főtétel szerint {AE = Q + W) a belső energia növekedése /S.E —1^ i?AT. A munkavégzés negatív, hiszen a táguló gáz a környezetén végez munkát a külső, állandó nyomás ellen: W = - p A V

Mindezek alapján a szükséges hő, amelyet állandó nyomáson

be kell juttatni a rendszerbe:*\nryi

Qp = R A T + pAV

Figyelembe vehetjük még, hogy az állapotegyenlet alapján:m

P A V ^ R A T



166 HŐTAN

behelyettesítés után az állandó nyomáson szükséges hőre a következő összefüggést kapjuk:

= i? + S =5 SLátható, hogy az állandó nyomáson vett Cp = | ^ hőkapacitás

értéke nagyobb, mintha állandó térfogaton melegítjük a gázt. Akét, speciális állapotváltozáshoz tartozó hőkapacitás kifejezésétösszevetve megkapjuk az ún. Róbert Mayer-egyenleteket;

R Cp 5Cp-Cv=Yl'^ lU- ^ = ö M Cy 3

A Cp/Cy arányt a görög ( k ) betűvel jelölik, a nevo. fajhőhánya- dos, amely a szabadsági fokok számával kifejezve így adhatómeg:

/Tehát pl. kétatomos gázokra a fajhőhányados: k —7/5.Szólnunk kell még egy korábban már említett, de nem részle

tezett speciális állapotváltozásról, az adiabatikus folyamatról. Adiabatikus állapotváltozás alatt eltekinthetünk a hóTcözléstól,amit vagy jó hőszigeteléssel, vagy a folyamat gyors lefolyásávalérhetünk el.

I m Adiabatikus egy állapotváltozás, ha Q = 0.

Alkalmazva a termodinamika első főtételét az adiabatikus folyamatra, (<5 = 0) : A E = W, ami azt jelenti, hogy a belső energia növekedését csak külső munkavégzés okozhatja, ill. a gázkizárólag a belső energiájának rovására végezhet tágulási munkát.

Itt nem részletezett számítás szerint az ideális gázok eseténaz adiabatikus állapotváltozásra a következő összefüggés érvényes:

PlVl = P 2 V 2

h l K á b t tt C /C f jhőhá d



HŐTAN 167

A p -V diagramon ábrázolva egy adiabatikus állapotváltozást,a kapott görbe neve adiabata. Mivel a k értéke minden gázranagyobb egynél, az adiabatikus állapotváltozás egy, az izotermánál meredekebb görbével adható meg (2.12. ábra).

Érdemes megjegyezni, hogy az adiabatikus folyamatokhoz

tartozó hőkapacitás zérus, mivel mindenféle hőcsere nélkül lépföl hőmérsékletváltozás; pl. adiabatikus összenyomással felmelegíthetünk egy gázt.

[F] Vizsgáljuk meg egy bizonyos mennyiségű ideális gáz izo-term {T = áll.) tágulását Vi-ről V2-re. Bár a hőmérséklet nememelkedik, ehhez a táguláshoz a gáztartályba hőt kell bevezetni. Számítsuk ki, ill. a gáz állapotjelzőivel fejezzük ki ezt a hőt!

Mivel a hőmérséklet nem változik, ezért a belső energia állandó, tehát A E = 0. Alkalmazva az első főtételt, Q = \W\.



Semmiféle cmAT összefüggés nem használható a hőmennyiségkiszámolására, hiszen AT = 0, ezért a gáz által a környezetenvégzett munkát számoljuk ki. A 2.13. ábrán a már ismert izoter

ma látható, ahol a grafikon alatti, vonalkázott terület megadja amunka számértékét.Tehát a nyomást mint térfogatfügvényt kell integrálni, Fi-től

Fa-ig- A nyomást az állapotegyenletből kapjuk meg.

p ^ ^ n R T

Q = \Wl = J pdV= J n R T ^ d V = n K n n y

168 HŐTAN _________________

2 . 9 . HALMAZÁLLAPOT-VÁLTOZÁSOK, FÁZISÁTALAKULÁS

Hétköznapi tapasztalataink alapján jól ismert tény a homogén anyagok halmazállapot-változása, a fagyás, olvadás,, párolgás, forrás és a lecsapódás, de talán kevésbé ismert a szublimáció. Ezek az állapotváltozások az ún. elsőrendű fázisátalaku

lások. Ez azt jelenti, hogy egy - az anyagra jellemző - hőmérsékleten hirtelen, ugrásszerűen változnak meg az anyag fizikaitulajdonságai. Ezek az anyagra jellemző hőmérsékletek - olvadáspont, fagyáspont - nagyban függnek bizonyos külső hatásoktól, elsősorban a nyomástól.

A tapasztalat szerint a halmazállapot-változásokhoz mindenesetben állandó hőmérsékleten történő hőfelvétel - olvadás, pá

rolgás, forrás - vagy hőleadás - fagyás, lecsapódás - szükséges.A fázisátalakuláshoz szükséges hő mindig az átalakulást szenvedő anyag tömegével arányos!

Q = Lm

Az anyagra jellemző L állandó, a folyamattól függően olvadáshő párolgáshő illetve forráshő néven ismert és számértéke



megadja az egységnjd tömegű anyag halmazállapotának megváltoztatásához szíikséges hőmennyiséget.

Ha a termodinamika első főtétele szempontjából vizsgáljuk a

halmazállapot-változásokat, akkor olvadásnál és fagyásnál a hőúgy változtatja a belső energiát, hogy közben a hőmérsékletnem változik, és a mechanikai munkavégzés is elhanyagolható.

Párolgásnál és forrásnál viszont a kíilső légnyomás ellen végzettmunka már számottevő, hiszen a térfogatváltozás nem hanyagolható el.

Zárt térben párolgó vagy forrásban levő folyadék fölött álta

lában a folyadék telített gőze van jelen, ami azt jelenti, hogyazonos időközökben a folyadékból kilépő és oda visszatérő molekulák száma megegyezik. A telített gőzökre általában nem érvényesek a gáztörvények, pl. a folyadékával érintkező telítettgőz térfogatváltozása nem befolyásolja a gőz nyomását, hanemhalmazállapot-változást okoz. Általában érvényes, hogy egy adott anyag telített gőzének nyomása növekszik a hőmérséklet

emelkedésével. A forráspont éppen az a hőmérséklet, amelyen atelített gőz nyomása megegyezik a külső nyomással.

Minden anyaghoz tartozik egy jól meghatározott hőmérséklet, amely felett az adott anyag csak gáz halmazállapotú lehet,és bármilyen nagy nyomással sem cseppfolyósítható. Ez a hőmérséklet az anyag kritikus hőmérséklete. Az éppen kritikus hőmérsékleten levő gáz lecsapódásához szükséges nyomás a kriti

kus nyomás.

________________________ HŐTAN _________________ 189

2.10. A HŐFOLYAMATOK IRÁNYA, ATERMODINAMIKA

MÁSODIK ÉS HARMADIK FŐTÉTELE

A hőfolyamatok, állapotváltozások között számos olyan van,amely fordított irányban is lejátszódik, különösen, ha mindehhez külső segítséget is kap a rendszer. Ahogyan egy adott álla

potban levő víz megfagy, ha hűtjük, a keletkezett jég hővel megolvasztható. Gondolhatunk a só oldására vízben, illetve a sósld t l á lá á ikö b külö ál tj k ót é ldó



szert. Ezek a folyamatok mind valamilyen változást okoznak akörnyezetben: a rendszer nem magától jut vissza az eredeti álla

potba. Azt viszont még soha senki nem tapasztalta, hogy a talajra leeső és közben kissé fölmelegedő test hűtés hatására visszarepülne az eredeti magasságába. Az sem történik meg soha,hogy egy adott hőmérsékletű keverék magától szétválik két különböző hőmérsékletű összetevőre. Az ilyen folyamatok az irreverzibilis vagy megfordíthatatlan folyamatok, szemben a reverzibilis vagy megfordítható folyamatokkal. Reverzibilis hőfolyamat

pl. egy gáz izoterm összenyomása (amely csak ideahzált körülmények között mehet végbe).

|T| A termodinamika második főtétele szerint a természetbenkülső behatások nélkül mindig a hőmérséklet kiegyenlítődésére irányuló folyamatok zajlanak le: azaz hő magától nemkerülhet az alacsonyabb hőmérsékletű helyről a magasabbhőmérsékletű helyre.

A tétel egy másik, Max Planck által adott megfogalmazásaszerint ez azt fejezi ki, hogy nem lehet készíteni és működtetni\m. másodfajú örökmozgót. Ez egy periodikusan működő hőerőgép lenne, amely minden ciklus végén visszajuttatná a rendszert az eredeti állapotába, és közben még hasznosítható munkát is végezne.

Ugyanennek a tételnek létezik egy harmadik megfogalmazá sa is, aminek megértéséhez viszont be kell vezetni egy újabbfontos termodinamikai állapotjelzőt, az entrópiát. Ez a fiziká

ban 5-sel jelölt állapotjelző az adott anyagi rendszer részecskéinek a rendezettségére, azaz a mozgásállapotra és az energiaeloszlásra jellemző, amely rendezettség egy-egy állapotváltozásalatt szintén változik. E könyvben csak az entrópiaváltozás

definícióját adjuk meg, majd néhány kidolgozott példán keresztül megmutatjuk, hogyan jelzi a rendszer entrópianövekedése ahőfolyamatok lehetséges irányát.

170 ________ HŐTAN

[3

- í r



________________________________ HŐTAN_____________________________-m

Iahol AQ jelenti a hőmérsékleten a rendszerbe bevitt hőmeny-nyiséget.

[p] Mennyi az entrópiaváltozása 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletűjégnek, mialatt teljesen megolvad?

Az olvadás állandó hőmérsékleten történik, ezéií; a teljes entrópiaváltozás kiszámításához nincs szükség integrálszámításra.

Az adatok behelyettesítésével

US = 1223 J/K

Jegyezzük meg, hogy ez egy megfordítható, reverzibilis folyamat, amelyben az adott rendszer entrópiája elég jelentősen növekedett. Természetesen a környezetnek, ahonnan a hőt felvet

te, ugyanennyivel csökkent az entrópiája.

[E Mennyi az entrópiaváltozása egy adott gázmennyiségnek,ha adiabatikusan tágul?

A válasz zérus, hiszen az adiabatikus folyamatban nincs hőcsere a rendszer és környezete között (g = 0), azaz a rendszer entrópiája állandó marad.

[p] Keverjünk össze 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletű és 1 kgtömegű, 100 °C hőmérsékletű vizet egy hőszigetelt tartályban!Számítsuk ki az entrópiaváltozást! Ne felejtsük el, hogy ez egytipikus irreverzibilis folyamat: a keverék soha nem fog magátólszétválni az eredeti összetevólíre!

Az entrópia változását külön-külön számoljuk ki a lehűlő és

a felmelegedő vízre, majd előjelesen összegezzük:A lehűlő víz entrópiaváltozása:

323 323

A5i= I c m id r = 4200 J 373 373



172 HŐTAN

= 4200 ln(323 - 373) = -604,5 ~K K

A felmelegedő víz entrópiaváltozása:

323 323

Í c m id T = 4200 í ^ d T =

273 273

= 4200 ln(373 - 323) = 706,4^K K

A környezettől termikusán elszigetelt rendszer teljes entró piája tehát növekedett:

A S - A5i + AS2 = 706,4 ^ - 604,5^ =

Az eredmény, az entrópia növekedése általános természeti

törvény; a spontán, irreverzibilis folyamatok mindig a rendszer entrópiájának növekedésével járnak együtt. Ez a termodinamikamásodik tételének harmadik megfogalmazása.

HJA termodinamikailag zárt rendszerek entrópiája az ideális,reverzibilis folyamatokban állandó marad, a valóságos, spontán folyamatokban viszont növekszik. Egy rendszer entrópiá

ja az egyensúlyi állapotban lesz maximális. Ez az entrópiama ximum elve.

Végezetül megemlítjük még a termodinamika harmadik főtételét, amely azt a tapasztalati tényt rögzíti, hogy az abszolútzérus hőmérséklet, a nulla Kelvint véges sok lépésben egyetlenanyagi rendszer sem érheti el. Ugyanis az anyagok entrópiája

0 K közelében nagyon kicsi, közelít a nullához, ezért a hőkapacitás is tart a nullához, ami azt jelenti, hogy egészen kicsi Q hőmár végtelen nagy hőmérséklet-változást eredményezne.

IH] A termodinamika harmadik főtétele szerint az abs2olút zéruspont (0 K) nem érhető el (Nernst-tétel).



3. ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

3.1. AZ ELEKTROMOS MEZŐ

3.1.1. ALAPJELENSÉGEK

1] Újságpapírral megdörzsölt plexirudat vigyünk cémaszálra függesztett kis bodzabél golyó közelébe! Azt tapasztaljuk, hogy a rúdvonzza, ha viszont a golyót hozzáérintjük, akkor eltaszítja. (3.1. ábra)

Ehhez hasonló jelenségeket már az ókorban

is megfigyeltek (Thalész i. e. 600), pl. hogy agyapjúval megdörzsölt borostyánkő magáhozvonz apró, könnyű tárgyakat. Az ókori görö

gök nevezték el ezt az állapotot elektromos állapotnak, a borostyánkő görög neve alapján.

13 Tűs tengelyre helyezzünk egy posztóval megdörzsölt mű

anyag csövet, és közelítsünk hozzá egy ugyanilyen, szintén posztóval dörzsölt csövet (3.2. ábra)! Azt tapasztaljuk, hogy taszítják egymást. Ha viszont egy újságpapírral megdörzsölt

plexirudat közelítünk hozzá, akkor vonzást tapasztalunk.

3.1. ábra



Általánosan is igaz, hogy dörzsölés hatására kétféle elektromos állapot jöhet létre, és ez az állapot attól is függ, hogy miveldörzsöljük az illető anyagot.

Im Az elektromos állapotban lévő test elektromosan töltött,illetve a testnek elektromos töltése van.

B Dörzsöljünk meg műanyag csövet posztódarabbal, és a tűstengelyen levő, ugyancsak posztóval megdörzsölt műanyag csőhöz közelítsük először a műanyag csövet, majd a posztódarabot.

(3.3. ábra). Első esetben taszítás, második esetben vonzás ta pasztalható. Ez azt jelenti, hogy dörzsöléskor a két test másmás elektromos állapotba kerül. Dörzsölés hatására az addigsemleges anyagdarabon elektromos töltés jelenik meg.

174 ________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN _________________

Hl Az azonos töltésű anyagok taszítják, az ellentétesek pedig

vonzzák egymást. A bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését pozitívnak, a posztóval dörzsölt ebonitrúdét negatívnak nevezzük. Dörzsöléskor csak szétválasztjuk a töltéseket.

IH] Töltés a semmiből nem keletkezik, nem is tűnhet el. Zártrendszer töltése állandó.

Vezetők és szigetelők

E Próbáljunk egy kezünkben tartott fémrudat dörzsölésselfeltölteni, azaz elektromos állapotba hozni! Ez csak akkor sikerül, ha a fémrudat egy műanyag vagy üvegnyélhez erősítjük, ésígy dörzsöljük. Ekkor a fémrúd az egész felületén töltött lesz,d öl é l l i i h l l ik jáb



ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 175

hozzáérünk az ujjunkkal. Ezzel szemben nem veszíti el töltésétegy feltöltött plexirúd, ha egy ponton megérintjük.

Joggal feltételezhetjük, hogy a töltések a fémekben igen moz

gékonyak, de pl. a plexirúdban már nem. Az elektromos állapotot a fémek nagyon jól tudják közvetíteni, azaz jó vezetők. A plexirúd pedig jól szigetel, azaz rossz vezető. Ennek megfelelően a vezetés és a szigetelés nem határolható el élesen egymástól.Az anyagok csak a vezetőképességük mértékében különböznek egymástól. Jó vezetőknek tekinthetők a fémek, az emberi test,

a grafit, a föld, az elektrolitok stb. Jó szigetelő, azaz

rossz vezető pl. a plexi, az üveg, a porcelán, a desztillált víz stb.

Az eddigiek alapján egy igen egyszerű eszköz -szalmaszál elektroszkóp - készíthető az elektromosállapot kimutatására. Szigetelőlapra helyezett vékony fémrúd tetejéről lógassunk le két szalmaszálat,amelyek vízszintes tengely körül elfordulhatnak (3.4. ábra)! Ha töltést adunk a fémrúdnak, akkor a szalmaszálaknak is ugyanilyen töltésük lesz, így a taszítás miatt alul eltávolodnak egymástól, azaz szétágaznak.

[Hl Töltsürik fel egy szalmaszál elektroszkópot megdörzsölt plexirúddal, egy másik ugyanilyet pedig ebonitrúddal! Ha a kételektroszkópot szigetelőnyéllel ellátott fémrúddal összekötjük,a szétágazás pillanatszerűen megszűnik, jelezve, hogy a kétféletöltés közömbösíti egymást (3.5. ábra).



176 ELEKTROMÁGNESSÉGTAN

E Vegyünk két egyforma, szigetelőnyélre szerelt fémgolyót.Töltsük fel az egyiket, majd érintsük hozzá a másikat, ezutánérintsük hozzá az egyiket egy elektroszkóphoz! Az elektrosz-

kóp töltést jelez. Vezessük le az elektroszkóp töltését, majdérintsük hozzá a másik golyót. Észrevehetjük, hogy az elektroszkóp mutatója ugyanannyira tér ki, mint az előbb. Eszerint,ha két egyforma golyót összeérintünk, akkor a rajtuk lévő töltésmegfeleződik.

Coulomb törvénye

Vizsgáljuk meg, hogy a töltött testek közötti erőhatás mitőlés hogyan függ!

E Méról^erendezésünk a 3.6. ábrán látható. Egy vékony torziós szálra erősítsünk egy szigetelőnyélre szerelt golyót! Egyugyanilyen, szintén szigetelőnyélre szerelt golyónak adjunk töl

tést! Érintsük össze a két golyót! Ekkor az előzőek értelmébena két golyó töltése azonos lesz. Vigyük a másik golyót ismert távolságokra a torziós szálon lévőhöz képest, és figyeljük meg,hogy a torziós szálon elhelyezett tükörről visszaverődő fénysugár (fénymutató) mennyire mozdul el a skálán! A torziós száltetején levő tárcsával mindig visszaállíthatjuk az eredeti helyzetet, és a tárcsáról leolvasható az elfordulás szöge is, amely ará

nyos a két golyó közötti taszítóerővel. Eredményeinket elemez



ve azt látjuk, hogy a két pontszerű testen elhelyezkedő töltésközött ható erő fordítottan arányos a közöttük mért távolság

négyzetével. Hogyan tudnánk változtatni a töltéseket?Vezessük el a töltést az egyik golyóról, majd érintsük őket ismét össze! Ekkor az előző töltés fele marad csak rajtuk. Ismételjük meg így is a mérést! Kellően pontos mérések alapjánmegállapíthatjuk, hogy két pontszerű töltés között fellépő erőarányos a két töltés szorzatával.

[t]Eredményeinket Coulomb törvénye fogalmazza meg, amelyszerint két pontszerű és töltés között ható erő egyenesen arányos a két töltés szorzatával, és fordítottan arányos aközöttük lévő távolság négyzetével, azaz

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________ 177

A törvény felállításához nem kellett a töltéseket mérőszámokkal jellemezni. A törvény most lehetőséget ad a töltésegységének definiálására. Gyakorlati szempontok miatt (SI-rendszer) azonban a töltés egységét a Coulomb törvénytől függetlenül választották meg. Ezt a töltésegységet coulombnak nevezzük, jele C. így a k arányossági tényező értéke közelítőleg:

fc = 9 ■10® N •mVC^

Eszerint 1 C a töltése annak a pontszerű testnek, amely egymásik, ugyanakkora töltésű pontszerű testet 1 méter távolság ból 9 • 10 N erővel taszít. A valóságban ekkora töltést kis méretű testeknek nem adhatunk, csak annak töredékét.

Ha egy ponttöltésre egyszerre több erő hat, akkor a tapasztalat szerint érvényes a szuperpozíció elve, azaz a Coulomb törvény segítségével kiszámított erőTc vektori összege adja az adott ponttöltésre ható eredő erőt. Vigyázni kell azonban arra, hogyaz új töltés megjelenése egy kiterjedt vezetőn megváltoztathatjaa töltéseloszlást.




3.1.2. AZ ELEKTROMOS TÉR ÉS A TÉRERŐSSÉG

E Adjunk töltést egy kiterjedt testnek, pl. egy van de Graaf szalaggenerátornak! Vékony selyemszálra függesztett bodzabélgolyóval jáijuk körül a feltöltött testet! Azt tapasztaljuk, hogymindenhol „beáll” valamilyen irányba a selyemszál, amely jelziaz erő irányát is (3.7. ábra). Egy érzékeny erőmérővel az erőnagyságát is meg tudnánk mérni. A töltött testek környezetének ez a sajátossága azt jelenti, hogy az elektromosan töltött

testeket elektromos erőtér (mező) veszi körül, és ez hat az odahelyezett próbatöltésre. Mérések szerint az elektromos tér egyadott helyén az oda helyezett próbatöltésre ható erő és a próbatöltés hányadosa független a próbatöltés nagyságától, így csak az elektronios tér adott helyére jellemző. Ez a jellemző azelektromos térerősség:

A térerősség vektormennyiség, iránya a pozitív próbatöltésreható erő irányával egyezik meg, egysége ^

Az elektromos térerősségre is érvényes a szuperpozíció elve:

H] Ha egy pontban egyszerre több töltés erőtere is jelen van,akkor az eredő térerősség az egyes térerősségek vektori ösz-szege.

c

L



Igen egyszerűen számíthatjuk ki e definíció alapján egy ponttöltés elektromos terének térerősségét. Legyen az erőteret kel

tő töltés ö, a próbatöltés pedig q. Ekkor a közöttük ható erőnagysága a Coulomb törvény szerint:

kQq

A térerősséget ebből úgy kapjuk, hogy az erőt osztjuk a pró batöltéssel;

q

A térerősség mindenütt sugárirányú, előjelét a töltés előjelehatározza meg.

Az elektromos tér szemléltetése erővonalakkal

[Dl Az erővonalak olyan elképzelt görbék, amelyek a pozitívtöltésből indulnak, a negatív töltésen végződnek, és az erővonal érintője minden pontban a térerősségvektor. Minden ponton csak egy erővonal halad át.

Nyilvánvaló, hogy két erővonal nem metszheti egymást, hi

szen akkor azon a helyen nem lenne egyértelmű a térerősségvektor iránya. Ha minden erővonalat megrajzolnánk, akkor semmiféle szemléltetés sem adódna, hiszen csak egyenletesen„befestenénk” a teret. Próbáljuk ritkítani az erővonalakat úgy,hogy számuk legyen arányos a térerősséggel!

Állapodjunk meg abban, hogy egy négyzetméteres felületenát egy erővonalat húzunk, ha a térerősség a felület minden

pontjában egységnjd és a felületre merőleges. Ha a térerősségnem egységnyi, hanem E nagyságú, akkor E erővonalat rajzolunk. Ha a felület nem egységnyi, hanem A , akkor a felületetmetsző erővonalak száma

___________ _______ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________ 179

■ = EA




Az elektromos fluxus természetesen nem csak homogén tér ben értelmezhető. Inhomogén térben tetszőleges felület eseténaz eljárás a következő. Bontsuk fel a felületet olyan kicsiny A Afelületdarabokra, amelyeken a térerősség már homogénnek tekinthető (3.8. ábra). Az itt mérhető E térerősség felületre merőleges komponense legyen Az elektromos fluxus úgy számítható ki, hogy összegezzük a teljes felületre az E^/^A szorzatokat;

Nézzük meg, hogy mekkora a fluxus egy pontszerű Q töltéstkörülvevő, vele koncentrikus zárt gömbfelületre!

Mivel a térerősség a gömbfelület minden pontjában ugyanolyan nagyságú és a felületre merőleges irányú, a fluxust úgy

számítjuk ki, hogy a térerősséget megszorozzuk a gömb felületével:

= AirkQ,

vagyis független a gömb sugarától. Eredményünk a következőképpen általánosítható.

[T] Zárt felületre az elektromos fluxus egyenlő a bezárt össz-töltés 4A:7r-szeresével.

^ = AkivQ




Ennek segítségével egyszerűen számolható egy Q töltésű,nagy kiterjedésű fémlemez elektromos terének térerőssége. Legyen a fémlemez területe A, és vigyünk fel rá Q töltést(3.9. ábra). Ekkor a felületi töltéssűrűség:

<7= ^ , hiszen a töltés a fémlemez két oldalán oszlik el. Szemeljünk ki egy A i területű darabot, és gondolatban építsünk rámindkét irányban egy-egy d magasságú hasábot. Alkalmazzuk aGauss-tételt erre a zárt felületre! Szimmetriaokokból a térerősség merőleges a felületre, így fluxus csak a két fedőlapon van:

A bezárt össztöltés:

Qi = 2Ai R 2A

így a következő egyenlet írható fel:

2FAi = ikTvQi = 4fc7r2Ai

Egyenletünket 2^i-gyel egyszerűsítve

R .2A

adódik a nagy kiterjedésű Q töltésű fémlemez terének térerős




Munkavégzés elektromos térben, a feszültség

Az elektromos tér F = QE erőt fejt ki a benne lévő Q töltésű

próbatestre, ezért a próbatest mozgatásakor általában munkátvégzünk. Az egyszerűség kedvéért foglalkozzunk először azzala munkával, amelyet akkor végzünk, amikor egy Q töltést a3.10. ábra szerinti A pontból a B pontba viszünk. A töltésreható erő és az elmozdulás ekkor azonos iránjoi, ezért a tér munkája:

W ab E Q s

Mozgassuk most a töltést az AC útvonalon! A végzett munkaekkor:

W ac = Fd cos a — EQd cos a.

Vegyük észre, hogy d cos a = s, azaz W ab = Wac-

Mekkora munkát végeztünk a CB útvonalon?Mivel a CB >elmozdulásvektor merőleges az E térerősségvek

torra, ezért WcB = 0.Tehát W acb = W abEredményünket általánosítva kimondhatjuk, hogy ha a nyug

vó töltések által keltett elektromos térben egy rögzített A pont ból egy B pontba viszünk Q töltést, akkor a végzett munka füg

getlen az A-ból a B-be vezető útvonaltól, és csak az A és B ponthelyétől függ, azaz

W ab

Q= állandó.



Ezt az állandót az A, B pontra vonatkozó feszültségnek nevezzük, és C/AB-vel jelöljük:

U a b = - ö ~

A feszültség egysége a volt, jele V. Az elektromos tér két pontja között 1 V a feszültség, ha 1 C töltést 1 J munkával vihetünk át egyik pontból a másikba.

Homogén térben a térerősséggel megegyező irányú elmozdu

lás esetén; jr ^A B Q E s

Az elmondottakból következik, ha visszavisszük a töltést a B pontból az A pontba, akkor

Wba = -W abamiből

U b a = - U a b

H] Zárt görbe mentén a Q töltésen végzett összes munka zérus, azaz zárt hurokra a körfeszültség liulla.Ez az elektrosztatika II. alaptörvénye, avagy Maxwell II. tör

vénye.

Potenciái

Az elektromos térben egy Q töltésen akkor végzünk munkát,ha van térerősség irányú elmozdulás. Ha az elmozdulás mindigmerőleges a térerősségre, akkor munkavégzés nincs. így az

ilyen felületen elhelyezkedő pontok közötti feszültség nulla. Haa tér homogén, akkor ezek a felületek egymással párhuzamossíkok, amelyek a térerősségvektorra merőlegesek (3.11. ábra).

Ponttöltés esetén ezek a felületek koncentrikus gömbök, hiszen az elektromos tér gömbszimmetrikus, a térerősségvektor sugárirányú (3.12. ábra).

Ezek a felületek úgy is jellemezhetők hogy egy általunk kivá

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________




3.11. ábra 3.12. ábra

végeznünk kell a tér ellenében ahhoz, hogy a töltést a kérdésesfelületre juttassuk. Ekkor azt mondjuk, hogy Q töltés helyzetienergiája egy adott szinten W, így a W/Q hányados erre a szintre jellemző érték, neve potenciál, jele: U:

Az ilyen szintfelületeken a potenciál állandó, ezért ezeketekvipotenciális felületnek nevezzük. A nullaszintet vagy nullpo-tenciált általában a végtelen távoli pontban választjuk. Itt nemrészletezett számítások szerint a ponttöltés által keltett elektromos tér potenciálja a töltésrtől r távolságra:

U =kQ

A potenciál definíciójából következően két pont közötti feszültség a két pont potenciáljának különbsége, azaz

U ab = U a - U b

3.1.3. KAPACITÁS, KONDENZÁTOROK

Ha egy fémtestre töltést viszünk, akkor a test potenciálja arávitt töltéssel arányosan nő, feltéve, hogy a fémtest környezete




A magányos vezetőre jellemző a rávitt töltés és a létrejött potenciál hányadosa, neve töltésbefogadó képesség vagy kapacitás,

Q

A nagy kapacitás azt jelenti, hogy a testre sok töltés vihetőfel úgy, hogy a potenciálja kicsi marad. A kapacitás egysége afarad, jele F.

Egy r sugarú vezetogömb kapacitását könnyen meghatároz-

„ _ 0 _ Q _ r U kQ k

Ezek szerint egy 1 F kapacitású vezetőgömb sugara:

r = A;C = (9 -10® NmVC^) • IC/V = 9 -10® m = 9 ■10® km

amely a Föld sugarának kb. 1400-szorosa. Az 1 F egység tehátigen nagy kapacitást jelent, a gyakorlatban ennek csak tört részei fordulnak elő. Érdekességként jegyezzük meg, hogy a Földközel félmillió coulomb eredő negatív töltéssel rendelkezik.

[k] Szigetelőállványon lévő fémlapot kapcsoljunk elektro-

szkóphoz, majd adjunk neki Q töltést! Közelítsünk hozzá földelt fémlapot. A megosztás miatt a földelt fémlapon - Q töltés jelenik meg. így az elektromos tér a két lemez közé szorul, oda„sűrűsödik”. Az így kapott elrendezést síkkondenzátornak, ésáltalában a + Q -Q töltésű két fémtestből álló rendszert síkkondenzátornak nevezzük (3.13. ábra).

+ Q




3.14. ábra

Vizsgáljuk meg, mitől és hogyan függ a síkkondenzátor kapacitása (3.14. ábra).

A síkkondenzátor lényegében két azonos kiterjedésű párhuzamos fémlemez, amelyeket + Q, illetve - Q töltéssel látunk el.A két lemez három tartományra bontja a teret. Az egyes lemezektől származó térerősségek a két szélső tartományban ellentétes irányúak, ezért ott az összegük nulla, a középső tartományban pedig azonos irányúak, így az összegük;

E = 22knQ ákTvQ

Ha a lemezek távolsága d, akkor a feszültség:

így a kapacitás A

Ankd

A síkkondenzátor kapacitása tehát egyenesen arányos a felülettel és fordítottan arányos a lemezek távolságával.

Kondenzátorok kapcsolása

Soros kapcsolás

Kapcsoljunk össze két kondenzátort úgy, hogy fémesen összekötjük egy-egy lemezüket (más néven fegyverzetüket)! Az ígyk tt kö ö t 3 15 áb á B t H +Ö tölté t d k




3.15. ábra

az A felőli lemeznek, és a C pontot leföldeljük, akkor a két kondenzátor a megosztás révén azonos töltésre töltődik. A feszültség A és C között a két kondenzátor feszültségének összege,azaz

U ^ U ac = U ab + U bc -

A kondenzátorrendszer Q töltést tárol. A rendszer helyettesíthető olyan C kapacitású kondenzátorral, amelyen Q töltés

szintén U feszültséget hoz létre. Felhasználva, hogy U = Q/C, a feszültségre az alábbi összefüggés írható fel:

Q _ Q . Q C ~ Cl C 2

A kifejezést <2-val egyszerűsítve megkapjuk a soros kapcsolású kondenzátorok eredő kapacitására vonatkozó összefüggést:

1 1 1

C Cl C 2

Az így nyert összefüggés általánosítható: tetszőleges, sorosan kapcsolt kondenzátorok esetén az eredő kapacitás reciproka az egyes kapacitások reciprokainak összege.

Párhuzamos kapcsolás

Kapcsoljunk össze most két kondenzátort úgy, hogy fegyverzeteiket páronként összekötjük. (3.16. ábra) és vigyünk a rendszerre Q töltést! A helyettesítő kondenzátor C kapacitása a következőképpen határozható meg. A kondenzátorok feszültsége




töltése egyenlő a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorokon tárolt töltések összegével:

azaz

Q —Qi + Q2

CU ^CiU + C2U.

A közös feszültséggel osztva, a párhuzamosankapcsolt kondenzátorok eredő kapacitását kap

juk;

C = Cl + C 2 .

3.16. ábra

Ez az összefüggés is általánosítható: a- párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok kapacitásai összeadódnak.

A kondenzátor energiája

Gondolatban töltsünk fel egy kondenzátort úgy, hogy azegyik lemezről fokozatosan elveszünk AQ töltést, és azt visszük át a már kialakult elektrosztatikus tér ellenében a másik lemezre. Legyen egy adott pillanatban a lemezek közötti feszültségU'. Ekkor a AQ töltés átviteléhez szükséges munka:

A W - U'AQ

Ábrázoljuk az U' - Q függvényt! Láthatjuk, hogy az elemimunka éppen a megjelölt sáv területe (3.17. ábra), így az U feszültség eléréséig az összes munka:

W ^ - U Q .

A képlet a kondenzátor kapacitásának felhasználásával átírható:

2 2 ákán

Fejezzük ki a feszültséget a térerősséggel:




3.17. ábra

2 í - k U

Egyszerűsítsünk d-vel, és osszuk mindkét oldalt Aá-vel, aminem más, mint a kondenzátor térfogata;

W 1 Ad 2 4:irk

Eredményünk úgy értelmezhető, hogy a kondenzátor feltöltéséhez befektetett munka az elektrosztatikus tér energiájakénttárolódik. A w = ^ mennyiség az egységnyi térfogatban található energiát, azaz az elektrosztatikus tér energiasürűségét adja

meg.A kapott kifejezés általánosan érvényes. Tetszőleges elektromos tér energiasűrűsége az E térerősségű helyen:

1w = -

2 4Tvk

Az ^ = £o azaz a vákuum dielektromos állandója behelyet.

tesítésével w = mértékegysége: J/m •

Kondenzátor szigetelőkkel

[Hl Töltsünk fel egy kondenzátort Q töltéssel, majd tegyünk lemezei közé egy üveg- vagy plexilapot! Azt tapasztaljuk, hogya feszültség csökken Ha az üveg vagy plexilapot eltávolítjuk




tor töltése nem változott meg. A jelenséget azzal magyarázhat juk, hogy a szigetelőanyag behelyezésével megváltozik a kondenzátor kapacitása. Mivel a feszültség változatlan töltés mel

lett csökkent, a kapacitás megnőtt. Megállapodás szerint azc

a

hányados értékét, ami csak a behelyezett szigetelőanyagra jellemző, az anyag relatív permittivitásának nevezünk. Számértékemegmutatja, hogy hányszorosára nő a kondenzátor kapacitásaaz üres kondenzátoréhoz képest.

A jelenség magyarázata a következő. A szigetelőanyag molekulái vagy poláros vagy nempoláros (más néven apoláros) molekulákból állnak. Az első esetet tekintve külső elektromos tér hiányában az apró kis dipólusok teljesenrendszertelenül helyezkednek el (3.18. áb

ra). Ha külső elektromos teret kapcsolunk rá, akkor a dipólusok láncokká alakulnak,és a két határfelületen ún. polarizációs tölté

sek ielennek meg. Ezeken a polarizációs töltéseken végződik a fémlemezből kiindulóerővonalak egy része. így a szigetelő belse

jében a térerősség lecsökken, ami viszont a

feszültség csökkenésében, azaz a kapacitásnövekedésében nyilvánul meg. 3. I 8 . ábra

Apoláros molekulájú szigetelőanyagok esetén a külső tér hatására először töltésszétválasztás jön létre, azaz először polarizálódnak a molekulák, és azután alakulnak ki az előlsb említettdipólusláncok.

3.1.4. AZ ELEKTROMOS ÁRAM FOGALMA, AZ ÁRAMERŐSSÉG

B Állítsunk egymással szembe, függőleges helyzetbe egysemleges és egy elektromosan feltöltött fémlemezt! Függesz-




3.19. ábra

porral bevont pingponglabdát a 3.19.ábra szerint. Azt tapasztaljuk, hogy alabda lengésbe jön, és a két lemezérintése során töltéseket „szállít át” anagyobb potenciálú lemezről a nulla

potenciálú lemezre. A töltésszállításmindaddig tart, amíg a két lemez között elegendően nagy a potenciálkülönbség. Az ilyen töltésáramlást kon-vekciós áramnak nevezzük, ami azt

jelenti, hogy a töltések mozgása anyagárammal jár együtt.

[k] a feltöltött és a semleges B elektroszkópokat a 3.20. ábrán látható módon kössük össze farúddal! A potenciálkülönbség kiegyenlítődése most szinte szemmel is követhető, hiszen a

rossz vezetőben lassú a töltések áramlása. A kísérletek alapjánarra következtethetünk, hogy két pont között tartósan észlelhetünk töltésáramlást, azaz elektromos áramot, ha a pontok között tartósan potenciálkülönbséget biztosítunk.

[d] Az elektromos töltések adott helyen való áthaladása azelektromos áram. Az áram intenzitását az áramerősség jellemzi, amely megmutatja, hogy mennyi töltés halad át az adotthelyen egységnjd idő alatt. Jele I, nagysága:




AQ

I

A t ’

ahol AQ jelenti a vezető teljes keresztmetszetén A t idő alattátáramló töltés mennyiségét.

[U Az elektromos áramerősség egysége az amper, jele: A. Az1 A erősségű áram esetén a vezető minden keresztmetszetén1 s alatt 1 C töltés halad át.

[D Egyenáram (stacionárius áram) esetén az / = A Q /A t hányados állandó értéket ad, függetlenül a A t nagyságától.

Abban az esetben, ha ez a hányados nem állandó, akkor értéke az adott időtartamra vonatkozó átlagos áramerősséget adjameg. Az áram iránya megállapodás szerint a pozitív töltések mozgási iránya. Ez az önkényes megállapodás azt jelenti, hogy

az áram iránya a fémekben ellentétes irányú az elektronok tényleges mozgási irányával.

3.1.5. A VEZETŐK ELLENÁLLÁSA, OHM TÖRVÉNYE

[k ]Vizsgáljuk meg, hogy egy hosszú fémes vezetőn hogyanfügg az áram erőssége a két végpont közötti feszültségtől! Mérési eredményeink egyenes arányosságot mutatnak:

y = állandó.

Az állandó értéke független a fogyasztóra kapcsolt feszültségtől vagy a rajta átfolyó áramtól, így kizárólag az adott fogyasztóra jellemző. Neve elektromos ellenállás, jele: R.

Az ellenállás egysége az ohm. Jele: ü. Egy vezeték ellenállása akkor 1 Í7, ha 1 V feszültség hatására 1 A erősségű áram halad benne.

Állandó Uo feszültségű telep esetén az áramkörben bárhol



mozgása a vezetőben egyenletes, pedig az állandó feszültség miatt kialakuló homogén elektromos tér gyorsítja a töltéseket. Felkell tételeznünk tehát egy belső fékező erőt, amelynek hatására

a töltések mozgása a fémben a súrlódásos áramláshoz hasonlóan megy végbe. Ez a belső, anyagszerkezeti jelenségekre visszavezethető hatás jellemezhető a vezető ellenállásával.

Fémes vezetők ellenállása, fajlagos ellenállás

E Méljük meg különböző hosszúságú, keresztmetszetű, ill.anyagi minőségű fémhuzalok ellenállását! Állandó feszültségesetén a következő arányosság állapítható meg:

ahol A a huzal keresztmetszete, l a hossza. Ezt felhasználva, a

huzal ellenállására a következő összefüggés írható fel:

ahol g az anyagi minőségtől függő arányossági tényező, a fajla gos elektromos ellenállás, egysége Om.

Az ellenállás hőmérsékletfüggéseE Csavarszerűen föltekert huzalt kössünk be az áramkörbe!

Válasszuk meg úgy az áramkör adatait, hogy az izzó éppen csak világítson, majd melegítsük a huzalt izzásig! Az áramerősség amelegítés közben csökken, végül az izzó már nem is világít. Tehát a fémes vezetők ellenállása növekszik, ha növeljük a hőmér

sékletet.

E Kísérletünkben a fémspirált cseréljük ki grafitrúdra! Mostválasszunk olyan feszültséget, hogy az izzó még éppen ne világítson! A grafitrúd melegítésekor az izzó világítani kezd, azaz agrafit ellenállása melegítéskor csökken.

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________ 193



A kísérletek magyarázata nagy vonalakban a következő: a fémes vezetőkben állandó hőmérsékleten és állandó feszültségesetén az ún. vezetési elektronok állandó átlagos sebességgelszállítják az elektromos töltést. A hőmérséklet növekedésévelaz elektronok egyre gyakrabban ütköznek a hőmozgást végzőionokba, emiatt átlagos sebességük lecsökken, így a fém ellenállása megnő.

Az elektronok átlagos sebessége (amellyel a vezetésben résztvesznek) lényegesen növelhető - azaz lényegesen csökkenthetőaz ellenállás -, ha a fémrács ionjainak hőmozgása lecsökken. 0K-hez közeli hőmérsékleten, minden idegen szennyező atomtólmentes, tiszta fémes vezető ellenállása nullához tart (szuprave zetés). Grafit esetén viszont kevés elektron vesz részt a vezetés ben alacsony hőmérsékleten. A hőmérséklet emelésével jelentősen megnő a vezetésben résztvevő elektronok száma, vagyisilyenkor a hőmozgás „delokalizálja” a grafit kristályrácsának elektronjait, ami oda vezet, hogy az áram megnő, tehát az elekt

romos ellenállás csökken.

194 ________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ___________________

IEllenállások soros kapcsolása

[H Egy áramkörben az ellenállások kapcsolása két pont között soros, ha a két pont között nincs semmiféle elágazás.

[H Egy sorosan kapcsolt ellenállásokat tartalmazó áramkör eredő ellenállásán azt az ellenállást értjük, amelyet ugyanarraaz Uo feszültségű telepre kapcsolva, ugyanaz az I áramerősség

jön létre.

Egyenáram esetén a sorba kapcsolt ellenállásokon ugyanjízaz áram folyik át (3.21. ábra). Az egyes ellenállásokra jutó fe

szültségek összege a telep feszültségével egyenlő, azazU a b + U b c + U c D — U

Alkalmazzuk az utóbbi egyenletre Ohm törvényét, azaz fe jezzük ki az áramerősséggel és a megfelelő ellenállással a feszültségeket:

R il + R2I + R3I = ReI




/?1 /?2 R j

3.21. ábra

Osztva az áramerősséggel, megkapjuk az eredő ellenállásra

vonatkozó összefüggést: R e = R i + R2 + R í -

Az előbbi feszíiltségekre vonatkozó egyenlet alapján láthat juk tehát, hogy soros kapcsolás esetén az egyes ellenállásokra jutó feszültségek az ellenállások arányában oszlanak meg.

Ellenállások párhuzamos kapcsolása

I [d] Párhuzamos az ellenállások kapcsolása, ha a csatlakozási pontok egy-egy oldalon azonos potenciálon vannak.

H] Kírchoff I. törvénye, a csomóponti törvény:Egy hálózat minden elágazási pontjára (csomópontjára) igaz,

hogy a beérkező és a kifolyó áramok előjeles összege zérusT.I k = 0

A csomóponti törvény a töltésmegmaradás tételének következménye.

1] Kapcsoljunk párhuzamosan három ellenállást a 3.22. ábrán látható módon! Alkalmazzuk az adott áramkörre Kirchoff I. törvényét, a csomóponti törvén)^.

I = I \ ^ I 2 + h-




hC I h

/?1

R2

R3

3.22. ábra

Az áramerősségekre kapott egyenletet alakítsuk át az Ohmtörvény felhasználásával, így meghatározhatjuk az eredő ellen

állás értékét:r r r r U U U U

tehát

J _ _ J_ J_

Re R l i ?2 ^3

Ez azt mutatja, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az egyesellenállásokon folyó áramok az ellenállások értékével fordítottan arányosak.

3.1.6. FESZÜLTSÉGFORRÁS, RÖVIDZÁRÁSI ÁRAM

[Hl Kapcsoljunk a 3.23. ábra szerint változtatható ellenállástaz áramkörbe! Az ideális feszültségmérő belső ellenállása nagyon nagy. így, ha a műszert ellenállás nélkül, a K kapcsoló nyitott helyzetében közvetlenül a telepre kapcsoljuk, akkor na

ki i á f l ik á kö b Ebb tb t l




terheletlen, a mérhető feszültség csak a feszültségforrásra jel

lemző.

I [U A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség vagy elektromotoros erő Jele: U q ,

IS Csökkentsük a telepre kapcsolt ellenállás értékét, azaz acsúszka mozgatásával növeljük a telep terhelését! Azt tapasztal

juk, hogy az áramerősség növekedésével az ellenálláson mértfeszültség kisebb lesz, mint a telepre jellemző U q!

A jelenség oka, hogy a telep és a rákapcsolt ellenállás által kialakított áramkörban az áram a telepen is átfolyik. A töltések mozgásával szemben azonban a telepnek is van ellenállása,amelyet belső ellenállásnak nevezünk. A külső ellenállás a

Rb belső ellenállással együtt határozza meg az áramkörben kialakuló áram erősségét:

Uq —I{Rb + Rk) —IRb + IRk

Ez a kifejezés az Ohm-törvény teljes áramkörre vonatkozó alakja, amelyben R^ az összes külső ellenállás eredőjét jelenti.

Eredményünk alapján Kirchoff II. törvénye, a huroktörvény



B Egy hálózat bármely zárt hurkot alkotó részében az ellenállásokra jutó feszültségek összege egyenlő a körben levőelektromotoros erólc összegével:

E L R j = SC/o

198 ________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN___________________

ahol Rj a telepek belső ellenállását is tartalmazza.Egészítsük ki a törvényt Kirchhoff I. törvényével! Egy háló

zat bármely csomópontjába „befutó” áramok előjeles összege nulla, azaz:

= 0

Az eddigiekből kitűnik, hogy az R^ fogyasztóra csak IR^ = Uk feszültség jut, amelynek a neve kapocsfeszültség. A kapocsfeszültség a terheléstől függően jóval kisebb is lehet a forrásfeszültségnél, ugyanis:

Eredményünkből az is látszik, hogy a telepből Rk esetén vehető ki maximális áram. Ez az ún. rövidzárási áram:

I

Ekkor azonban a kapocsfeszültség nulla.

3.1.7. ELEKTROMOS MUNKA ÉS A TELJESÍTMÉNY

E Kapcsoljunk sorba a 3.24. ábra szerint különböző anyagok ból készült huzalokat! Az áram hatására a különböző anyagiminőségű vezetők különböző mértékben melegszenek. Azonoskeresztmetszetű és hosszúságú huzalok esetén a legnagyobb fajlagos ellenállású drót melegszik a legjobban. Az elektromosáram hőt termel, amelynek nagysága a fogyasztó adataitól isfü E J l fél hő í j k f l k é é t l t




3.24. ábra

elektromos tér végez az áramkör A és B pontjai között, miköz ben összesen Q töltés halad át t idő alatt:

W = [/ abQ Ez a kifejezés az Ohm-törvény segítségével átalakítható:

W = UABlt = U l B ^ = I^Rt

Az elektromos munkára kapott kifejezésből definiálható az

R ellenállású fogyasztó által felvett teljesítmény:

P = — = U I ^ f R = ^ t R

A z elektromos hálózatokra jellemző adat a munkavégzéshasznosságára vonatkozó hatásfok:

7/ = — ; ahol'Ó

P r a fogyasztó által felvett teljesítmény:

P r = I^R = R ’

Pö a feszültségforrás által leadott összes teljesítmény:C/2

Pö = I^Re = R e

Vizsgáljunk meg egy nem ideális telepből kivehető teljesítményt a külső ellenállás függvényében!




5.25. ábra

U k R r U o R b + R k

A kivehető teljesítmény:

P u l RkUl Rk {Rb + Rkf

Kimutatható, hogy a függvénynek (3.25. ábra) ott van maximuma, ahol Rb = Rk. Azt mondhatjuk, hogy akkor vehetünk kiegy telepből maximális teljesítményt, ha a külső és belső ellenállás megegyezik, vagyis „illesztve” vannak. Minden más (kisebb) teljesítményértékhez két Rk tartozik. Érdekes, hogy bármely összetartozó Rk értékpár mértani közepe az Rb ellenállástadja meg; R\ = RuRb

3.2. A MÁGNESES MEZŐ

3.2.1. AMÁGNESSÉG

Alapjelenségek[Hl Fonálra felfüggesztett mágnesrudat egy másik mágnesrúd

aszerint vojiz vagy taszít, hogy melyik végével közelítünk hozzá. Ha ezt a rudat feldaraboljuk, minden darabjának megmarada két pólusa, tehát mágneses monopólus nem létezik (3.26. ábra)




Y/ / / / / / Z

E D

3.26. ábra

D E

E Közelítsünk oszcilloszkóp képernyőjéhez rúdmágnest!Megfigyelhetjük, hogyan torzul a kép. A mozgó elektronokra arúdmágnes erőt fejt ki.

IS Feszítsünk ki egy vezetéket egy iránytű fölött, az iránytűvel megegyező irányban (3.27. ábra)! Ha a vezeték két végérefeszültséget kapcsolunk, az iránytű kitér a drótra merőleges

irányba (Oersted-kísérlet).

E Feszítsünk ki egymással párhuzamosan két drótot! Ha akét drótban áram folyik, aszerint vonzzák vagy taszítják egymást, hogy az áram iránya a két drótban azonos vagy ellentétes(3.28. ábra).

[k ]Tengely körül forogni tudó körvezetőre kapcsoljunk feszültséget, majd vigyük egy mágnesrúd közelébe! A körvezetőúgy viselkedik, mint egy iránytű, amely merőleges a körvezetősíkjára. Az irányt az ún. jobbkéz-szabállyal határozhatjuk meg;

jobb kezünk ujjait az áram irányában begörbítve, az északiirányt kinyújtott hüvelykujjunk jelzi (3.29. ábra).

n '




Kísérleteinkből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy akár permanens mágnest, akár áramjárta vezetőt használunk, mágneses mező alakul ki körülöttük, amely közvetíti az erőhatást amágnesek, illetve az áramjárta vezetők között. Ez a mező akkor is jelen van, ha nincs ott másik mágnes vagy áramjárta vezeték.A mágneses térre jellemző mennyiséget - amit történeti okok

ból mágneses indukciónak nevezünk - kicsit bonyolultabb módon mérhetjük ki, mint a sztatikus elektromos tér esetén, hiszennincs mágneses egypólus, így egyszerű erőméréssel nem érhetünk el eredményt. A felsorolt kísérletek bármeljdke alapján

dolgozhatunk, a legelterjedtebb azonban a következő eljárás.

A mágneses indukció mérése magnetométerrel

A mágneses indukció méréséhez az úgynevezett torziós mérleg használható (3.30. ábra). Két nagy átmérőjű sorba kapcsolttekerccsel homogén mágneses mezőt hozunk létre a nagy teker

csek belsejében. A gerjesztő áram erősségét egy tolóellenállássegítségével állítjuk be. Mivel mágneses monopólus nincs, ezértnem erőt mérünk, hanem a torziós szálra helyezett lapos tekercsre ható maximális forgatónyoraatékot. A lapos tekercsetúgy helyezzük el, hogy síkja párhuzamos legyen a mágneses tér irányával, ugyanis így kapjuk a maximális forgatónyomatékot.A torziós szálra erősített tükörről a ráeső fénynyaláb visszave-



rődik, és a visszavert fény egy skálára esik. A fénj^olt elmozdulása arányos a torziós szál szögelfordulásával, az pedig a forga-tónyomatékkal.

Legyen a tükör és a skála távolsága s. Ekkor, ha a tükör szög-elfordulása a, akkor a fénymutató szögelfordulása 2a, így afényfolt elmozdulása 2as, így ha s elég nagy, bármilyen kicsinya szögelfordulás is kimutatható.

Változtassuk a lapos tekercs áramát, és mérjük a fényfolt elmozdulását! Méréseink szerint a fényfolt elmozdulása arányos

a lapos tekercs áramával, azaz a mágneses tér egy adott helyénaz odahelyezett lapos tekercsre ható maximális forgatónyomaték arányos a tekercs áramával. Ugyanilyen arányosság mutathatók! a forgatónyomaték és a lapos tekercs területe között.Ennek megfelelően a mérőkeretre ható M maximális forgatónyomaték arányos a mérőkeret áramának és felületének szorzatával. így a B mágneses indukcióvektor nagysága:

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________203

B = Mjnax Afnlm.

Eredményünk másképpen is értelmezhető. Kísérleteink tanulsága szerint a mágneses tér nem fejt ki erőt a vele párhuzamos áramjárta vezetőre. Ezek szerint a lapos tekercsben folyóáramnak csak a lapos tekercs függőleges darabjában folyó ré

szére hat erő, a vízszintes részre nem. Legyen a függőleges részhossza l, a vízszintes rész hossza pedig d. Ekkor a forgatónyomaték:

Mmax = Fá (erőpár)

a méróTceret területe pedig:

Ennek felhasználásával

Idl

az egyszerűsítés és rendezés után




F = B //

adódik.Általánosítva ezt a formulát, az erőhatás nagysága csak a B-

re merőleges vezetékdarab hosszának függvénye, iránya pedig/-re és B-re merőleges, velük jobbrendszert alkot. Ez azt jelenti,hogy jobb kezünk hüvelykujját I irányába, mutatóujját B irányába tartva a középső ujj irányában hat az erő (3.31. ábra).

F = BIl sin a,

ahol a a vezető és a B indukcióvonalak által bezárt szög.Kísérletben már láttuk (oszcilloszkóp), hogy a mágneses tér

ben mozgó töltésre erő hat. Vizsgáljuk meg a mozgó töltésre ható erőt az előző eredmény figyelembevételével! Mozogjanak

töltött részecskék a mágneses tér indukciójára merőlegesen vsebességgel. Legyen egy részecske töltése Q, az általa t idő alattmegtett út

l — vt

Ez egy olyan áramjárta vezetőnek felel meg, amelynek hosz-sza /, és benne

/ = ot

áram folyik. Helyettesítsük ezt be az imént kapott formulába.Az egyszerűsítések elvégzése után

F Q B i




adódik, ahol a a B indukcióvonalaknak a sebességvektorral bezárt szöge. A mágneses térben v sebességgel mozgó Q töltésűrészecskére ható erő eszerint merőleges v-re és B-rc, velük

jobbrendszert alkot. Ez a mágneses LORENTZ-erő. Fontosmegjegyezni, hogy a Lorentz-erő - merőleges lévén a sebességre - csak a sebesség irányát változtathatja meg, a nagyságátnem.

Mágneses indukcióvonalak

E Helyezzünk patkómágnesre és mágnesrúdra üveglapot,majd szóljuk meg vasreszelékkel! A vasreszelék szemcséinek rendeződéséből következtethetünk a tér szerkezetére (3.32.ábra).

/

/

:e

\

yv\! I

//

3.32. ábra

E Az előző módszer felhasználásával vizsgáljuk meg az egyenes vezető, ill. a szolenoid mágneses terét (3.33. ábra)!



Igen lényeges különbség az elektrosztatikus térhez képest,hogy az indukcióvonalaknak nincs kezdetük és végük, hanemönmagukban záródnak. Az indukcióvektor az indukcióvonal

bármely pontjában érintő irányú. Célszerű annyi indukcióvonalat rajzolni, hogy számuk arányos legyen az indukcióvektor nagyságával. Ezért 1 m^ felületen 1 indukcióvonalat rajzolunk,ha B nagysága egységnyi. A B indukcióvektorra merőleges A felületet döfő indukcióvonalak száma a $ mágneses fluxus:

ha a mágneses mező homogén. Ha ez nem teljesül, akkor felkell osztani a felületet apró A^4 darabokra, és ezeket kell szor ozni a B A^-ra merőTeges komponensével, majd ezeket összekell adni.

$ = SB„AA

Mivel az indukcióvonalak önmagukban záródó görbék, zárt

felületre vonatkozóan az indukciófluxus nulla, ami azt fejezi ki,ha egy indukcióvonal a zárt felületen bement, akkor valahol kiis jön belőle.

Tekercs mágneses tere

B Vizsgáljuk meg a magnetométer segítségével, hogyan függ

a tekercs belsejében kialakuló mágneses tér indukciója a tekercs I áramától, N menetszámától és a tekercs l hosszúságától!A mérések szerint B értéke egyenesen arányos mind az árammal, mind a menetszámmal és fordítottan arányos a tekercs hosz-szával, nem függ viszont a keresztmetszettől, így

ahol /xo a vákuum permeabilitása, értéke;

_7 s/ío = 47t- 10 -----

A ■m





Egyenes vezető mágneses tere

A tekercshez hasonlóan vizsgálható a hosszú egyenes vezető

mágneses tere is. Az eredmények szerint

Ho2rn

ahol I jelenti a vezetékben folyó áramot, r pedig a vizsgált pontvezetőtől mért távolsága.

3.2.2. MÁGNESES TÖRVÉNYEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK

Mozgási indukció

Mozgassunk l hosszúságú fémrudat B indukciójú mágneses

térben úgy, hogy l, B és v páronként merőlegesek egymásra.(3.34. ábra).

Ekkor a fémrúd belsejében lévő szabad töltésekre rúdirány- ban hat a Lorentz-erő, és töltésmegosztást eredményez. Az ígylétrejövő E elektromos tér által a töltésekre kifejtett erő a Lo-rentz-erővel eltentétes. A töltésszétválasztás addig tart, amíg eza két hatás egyensúlyba kerül:

QvB = QE




E = vB.

vagyis a rúdban homogén indukált elektromos mező jön létre,tehát a feszültség az l hosszúságú rúd végei között

U = vBl

Amennyiben v és 5 nem merőleges egymásra, hanem a szöget zárnak be, akkor a sebességnek csak a B-re merőleges kom ponensét kell figyelembe venni, tehát a feszültség ekkor az l hosszúságú rúd végei között

U — vBl sin a

Lenz-törvény

A 3.35. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukcióa lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémru-

dat jobbra v állandó sebességgel húzzuk. Mekkora erő szükséges ehhez?

X X X

X X X X X

3.35. ábra

Az imént láttuk, hogy ha B indukciójú mágneses mezőbenegy l hosszúságú rudat B-re és /-re egyaránt merőleges irányban

Vsebességgel mozgatunk, akkor végei közöttU = Bvl

feszültség indukálódik. Esetünkben áram is folyik

r U Bvl R R ’



mivel zárt az áramkör. Alkalmazva a jobbkéz-szabál)^,megállapíthatjuk, hogy a rúd felső végén lesz a pozitív pólus,

így az áramköri ellenálláson felülről lefele folyik az áram, amozgó rúdon pedig felfelé. Még egyszer alkalmazva a jobbkéz-szabályt, megállapíthatjuk, hogy a mágneses mező által a rúdrakifejtett erő balra hat, azaz a húzóerő irányával ellentétesen.

F = B I l ^ ^ R

E Az indukált feszültség által létrehozott áram iránya olyan,hogy hatásával gátolja az őt létrehozó mozgást. Ez Lenz törvénye.

Ez a törvény voltaképpen az energiamegmaradás törvényétfejezi ki, hiszen fordított áramirány esetén csak meg kellenelökni a rudat, és már gyorsulna is a mágneses tér hatására, egy

re nagyobb sebességet érve el.


3.2.3. A VÁLTAKOZÓ ÁRAM

Váltakozó feszültség előállítása

A 3.36. ábrán látható összeállításban a B mágneses indukcióa lap síkjára merőlegesen befelé mutat, az l hosszúságú fémrúdharmonikus rezgőmozgást végez A amplitúdóval, uj körfrekvenciával. Ekkor a sebesség-idő függvény

V = A o; c o s (ü; í ) .

így az indukált feszültség értékeU = BlAüj co s { u á )

ahol a BlAüj kifejezés a feszültség maximuma. Ezzel a feszültség-idő függvény a következő alakban is felírható:

U = U m a x COs{üüt)




1 X X X X X

X X X X X

3.36. ábra

A váltakozó feszültség effektív értéke

E Kapcsoljunk váltakozó feszültséget ellenállásdrótra! A drótugyanúgy melegszik, mintha egyenfeszültséget kapcsoltunk volna rá: az áram munkát végez.

[H A váltakozó feszültség effektív értéke az az egyenfeszült-ség, amely egy periódusidő alatt, ugyanazon az ellenálláson,ugyanakkora munkát végez.

Itt nem részletezett számítások szerint a szinuszosan váltakozó feszültség effektív értéke

UmjlX U e f f =

V2

Kondenzátort tartalmazó áramkör vizsgálata

[Hl Kapcsoljunk kondenzátorra váltakozó feszültséget!

Uosin(a;í) = ^

Fejezzük ki egyenletünkből a kondenzátor töltését:

Q = CU q sm{üüt)

A rezgéseknél már láttuk, ha a kitérés szinuszosan változik,akkor a sebesség koszinuszosán, és a sebességamplitúdió Aw.Mi-vel a töltés, és az elektromos áram között ugyanolyan a kapcso




I — C uj U ocos{üüt)

Láthatjuk, hogy a szinuszos feszültséghez koszinuszos áramtartozik, tehát az áramerősség 90 fokkal „siet” a feszültséghezképest.

Az áram maximális értéke:

lo = CUoui

A kondenzátor váltakozó áramú ellenállását a feszültség és

az áram maximális értékének a hányadosaként definiáljuk, ésXc-vel jelöljük.

A kondenzátor váltóáramú ellenállása fordítottan arányosmind a kapacitással, mind a frekvenciával.

Nyugalmi indukció

E Közös vasmagra teg3óink két tekercset, majd az egyik tekercsre kapcsoljunk telepet, a másikra pedig árammérő műszert(3.37. ábra)!

3.37. ábra

Ha a telepet ki-be kapcsolgatjuk, akkor a másik tekercsrekapcsolt árammérő áramot jelez a ki- és bekapcsoláskor, egyébként nem. A ki- és bekapcsoláskor keletkező áramok iránya pedig ellentétes.

(Hl Készítsük el az előző kapcsolást azzal a változtatással,hogy a telepet tolóellenálláson keresztül kössük a tekercsre




3.38. ábra

Ha a tolóellenállás csúszkáját ide-oda húzogatjuk, akkor amásik tekercsre kapcsolt árammérő áramot jelez.

[k ]Tegyünk most a másik tekercs helyére egy alumíniumgyű-rűt! Ha a tekercset nagy egyenfeszültségre kapcsoljuk, akkor agyűrű valósággal „elszáll” (Thompson ágyú). Ha viszont váltakozó feszültséget kapcsolunk a tekercsre, akkor az alumíniumgyűrű „lebeg”.

Összegezzük tapasztalatainkat!1. kísérlet: a be- ill. kikapcsoláskor keletkező áramok iránya

ellentétes.2. kísérlet: az első tekercs áramának növelésekor a második

tekercsben keletkező áram iránya ellentétes az első tekercs áramának csökkenésekor keletkező áram irányával.

A jelenséget csak úgy magyarázhatjuk, hogy az első tekercsváltakozó árama változó mértékben mágnesezi a vasmagot. ígya második tekercs belsejében is változik a mágneses tér. Ez aváltozó mágneses tér maga körül elektromos teret hoz létre, ésez az „indukált” elektromos tér okozza az áramot a másik tekercsben, ill. a gyűrűben.

Mitől függ a keletkező indukált feszültség nagysága? Végezzük el újra a második kísérletet úgy, hogy más és más sebesség

gel mozgatjuk a tolóellenállás csúszkáját! Azt tapasztaljuk,hogy minél gyorsabban mozgatjuk a csúszkát, annál nagyobb feszültséget jelez a másik tekercsre kapcsolt műszer.

Kísérletünk szerint a tekercsben indukált feszültség nagyságaarányos a tekercs menetein áthaladó mágneses fluxus változásának sebességével.

Tegyünk ezután zárt vasmagra N = 600 menetes tekercset, és



hosszú röpzsinórt, tekerjük rá a vasmagra egyszer, majd kapcsoljuk érzékeny feszültségmérő műszerhez a zsinór két végét!

Ismételjük meg a mérést úgy, hogy egyre több menetet tekerünk a vasmagra! A mért feszültségek azt mutatják, hogy minéltöbbször járjuk körbe a változó mágneses fluxust, annál nagyobb lesz az indukált feszültség. Kísérleti tapasztalatainkat ösz-szegezve elmondhatjuk, hogy az indukált feszültség nagyságaegyenesen arányos a mágneses fluxus változási sebességével ésa változó fluxust körülvevő menetek számával, iránya pedig

mindig olyan, hogy az általa létrehozott áram mágneses hatásaakadályozza az öt keltő hatást:

A negatív előjel a LENZ-törvényt, tehát voltaképpen azenergiamegmaradás törvényét fejezi ki. Gondoljuk csak végig:

ha egy kicsit megváltoztatva a fluxust az indukált áram mágneses tere erősíthetné ezt a változást, akkor így egyre nagyobb ésnagyobb áramok jöhetnének létre, ami lehetetlen.

Az indukált elektromos mező szerkezete lényegesen külön bözik a sztatikus mezőétől: ugyanis a sztatikus elektromos tér erővonalai - mint már láttuk - a pozitív töltésekről indvilnak, ésa negatív töltéseken végződnek, továbbá két pont között a fe

szültség nem függ az útvonaltól. Az indukált elektromos mezőerővonalai ezzel szemben önmagukba záródó görbék, amelyek az ún. balkéz-szabály szerint veszik körül a változó mágnesesfluxust. Ha bal kezünk hüvelykujját a B mágneses indukcióvektor változásának megfelelően állítjuk be, akkor az elektromostér iránya a begörbített ujjaink irányába mutat.

Természetesen az így létrejött elektromos mező akkor is je

len van a változó mágneses fluxus körül, ha nem teszünk odavezetőt. A változó fluxust körülvevő zárt görbe mentén pedig áfeszültség nem nulla, hanem A$/Aí.

Kölcsönös és önindukcióE Vasmagos tekercsre kapcsoljunk váltakozó feszültséget

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________213




AMAAA^

~ 3.39. ábra

tott értékek erősen függenek a másik tekercs térbeli elhelyezkedésétől. A legnagyobb értéket akkor jelzi, ha közös vasmagra

kerül az első tekerccsel, ilyenkor ugyanis gyakorlatilag a vasmagban haladó valamennyi indukcióvonal áthalad rajta.

A két tekercs közötti kapcsolatot az úgynevezett kölcsönös indukciós együtthatóval jellemezhetjük. Az első tekercs mágneses fluxusa arányos az első tekercs áramával, tehát a fluxusváltozási sebessége is arányos az áram változási sebességével.

A kapcsolatot kifejező összefüggés, így az indukciótörvényalapján

alakban írható, ahol L12 csak a két tekercs geometriai adataitól,illetve a két tekercs egymáshoz viszonyított térbeli elhelyezke

désétől függ.A kölcsönös indukciós együttható mértékegysége az 1 Vs/A,neve henry, jele: H. Ezek szerint 1 H egy rendszer kölcsönös induktivitása, ha a rendszer egyik tagján 1 s alatt végbemenő 1 Aáramváltozás a rendszer másik tagján 1 V feszültséget hoz létre.

Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. az / hosszúságú, A keresztmetszetű közös tekercstestre csévélt ill. N 2 menetszá

mú tekercsekből álló rendszer kölcsönös indukciós együttható ja:, N 1 N 2 A

— Mo----- j—

Ha a tekercseket nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor azegyüttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzó-




Önindukció

B Kb. 600 w 1200 menetes tekercsre kössünk ködfénylámpátés egy laposelemet (3.40. ábra)! Ha a laposelemet ki-be kapcsolgatjuk, akkor a ködfénylámpa felvillan.

Nyilvánvaló, hogy egy tekercs számára közömbös, hogy honnan származik az a változó mágneses mezó", amely miatt benne

feszültség indukálódik. Esetünkben a tekercs saját árama változik, és ennek következtében változik a tekercsen áthaladó fluxus.

[H Az a jelenség, amikor a saját mágneses fluxus változásamiatt keletkezik indukált feszültség, az önindukció. Az önindukciós feszültséget a kölcsönös indukcióhoz hasonlóan az

U ^ - LA / At

egyenlettel definiáljuk.

- L = 1 henry az önindukciós együtthatója (öninduktivitása)annak a tekercsnek, amelyen ha 1 s alatt 1 A-t változik az áram,akkor 1 V feszültség indukálódik.

Bizonyítás nélkül említjük meg, hogy pl. egy l hosszúságú N menetszámú egyenes tekercs (szolenoid) önindukciós együtthatója:

L = fio N^A




3.41. ábra

Ha a tekercset nem levegő, hanem pl. vas tölti ki, akkor az

együttható az illető anyag relatív permeabilitásával is szorzó-dik.

[S Készítsük el a 3.41. ábrán látható kapcsolást!Az ábra szerint egy izzót és egy vele sorba kapcsolt tolóellen

állást párhuzamosan kapcsoltunk egy tekerccsel és azzal sorbakapcsolt izzóval. Először kapcsoljuk rá a rendszerre a telepet,

majd a tolóellenállással állítsuk be az izzó fényét a másikkalazonos erősségűre. Ezt követően kapcsolgassuk ki-be az áramot! Azt tapasztaljuk, hogy a tekercset tartalmazó ágban az izzó lényegesen később kezd világítani, mint a másik.

Bekapcsoláskor tehát a tekercset tartalmazó áramkörben azáram mintegy „késik” a feszültséghez képest.

A jelenséget az okozza, hogy bekapcsoláskor megváltozik az

áram erőssége: a kezdeti nulláról Aí idő alatt A7-re növekszik.Ez pedig U — ~ L ^ önindukciós feszültséget eredményez a tekercsen, aminek a nagysága a í = 0 időpontban éppen a telepfeszültséggel egyenlő, így a kezdő pillanatban nem folyik áram.Ezután bizonyos idő elteltével az áram erőssége elér egy állandó értéket, amelyet az áramkör eredő ellenállása és a telepfeszültség határoz meg: I

A kikapcsolási jelenséget már tanulmányoztuk, tehát tudjuk,hogy kikapcsoláskor nagy feszültség jelenik meg a tekercs kétkivezetése között, ami nagy szikrát okozhat (pl. autók gyújtóberendezése stb.) A kikapcsolási jelenségek egyúttal arra utalnak,hogy az árammal átjárt tekercs mágneses terének energiája van.Az energia a mágneses tér „felépülésekor”, azaz az áram kialakulásával kerül a térbe, és a kikapcsoláskor alakul át más ener



ELEKTROMAGNESSEGTAN 217

Tekercs mágneses terének energiája

Számítsuk ki, hogy mekkora munkát végez a telep, amíg ki-éptil a tekercs mágneses tere (3.42. ábra)!

A W W W V v \ A / V

3.42. ábra 3.43. ábra

íijuk fel a tekercs által felvett pillanatnyi teljesítményt:

P = UI = L . % I

írjuk fel a Aí idő alatt végzett munkát a pillanatnyi teljesítmény segítségével;

A / A W = PAt = L ~ I A t ^ L I A I

At

Ábrázoljuk ezután az LI mennyiséget az I függvényében(3.43. ábra)! Vegyük észre, hogy a A W elemi munka éppen a

bejelölt sávnak a területe, így az állandó I áram eléréséig végzett teljes munka a görbe alatti megfelelő terület, azaz

Ez a munka a mágneses tér kiépítéséhez szükséges energiát- fedezte, ezért ezzel megkaptuk a tekercs mágneses tere által tárolt energiát. Próbáljuk meg kifejezni ezt a térjellemzőkkel is!



Eredményünk első tényezőjében felismerhetjük a B mágneses indukció kifejezését. A második tényezőt is ilyen alakrahozhatjuk, ehhez csak egy /xo-as szorzó, ill. egy /-es osztó hiányzik. Ezeket a bővítéseket elvégezve, a kifejezés az

218 ____________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ___________________

2/xo

alakot ölti.Vegyük észre, hogy Al a tekercs térfogata. A kifejezést a tér

fogattal elosztva az egységnyi térfogatra eső energiát, azaz amágneses energiasűrűséget kapjuk:

<JÜ— ■

2fioEredményünk általánosan is igaz: a mágneses tér energiasű

rűsége egy adott pontban arányos a mágneses indukció négyzetével.

Tekercs váltakozó áramú ellenállása

[Hl Kapcsoljunk hanggenerátorra zárható vasmagos tekercsetés vele sorba árammérő műszert! Állandó frekvencián változtassuk a vasmag helyzetét, ill. pl. zárt vasmag esetén változtassuk a frekvenciát!

Megfigyeléseink szerint:a) Állandó frekvencián minél zártabb a vasmag (nőtt az önin

dukciós együttható), annál kisebb az áram erőssége, azaz annálnagyobb a váltóáramú ellenállás.

b) Zárt vasmag (állandó önindukciós együttható) esetén minél nagyobb a frekvencia, annál kisebb az áram erőssége, azazannál nagyobb a váltóáramú ellenállás. Pontos mérések szerinta tekercs váltóáramú ellenállása egyenesen arányos az áramkör frekvenciájával és a tekercs önindukciós együtthatójával.



I

Hl A tekercs váltóáramú ellenállása az impedancia. Jele: X l mértékegysége ohm.

A tekercs váltakozó áramú ellenállását a követkéző módonszámíthatjuk ki. Alkalmazzuk a huroktörvényt az iménti áramkörre!

C/o sin(wí) — — IR.

Tételezzük fel, hogy az áramkör ohmikus ellenállása nulla.Ekkor egyenletünk a következő alakot ölti:

Uosin(a;í) = ^

A rezgéseknél már láttuk, hogy ha a sebesség szinuszosan vál

tozik, akkor a kitérés-idő függvény - cos(o>í)-vel arányos. Ehhez hasonlóan, legyen

I —locosiívt).

ekkor az / változási gyorsasága:

A /

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________^

AíEszerint a feszültség és az áram között 90 fok a fáziskülönb

ség.Ezzel:

C/oSÍn(u;í) = LIoU}SÍa{ijt).

tehát az egyenlőség csak akkor állhat fenn, haU q = LI qu .

Ha a tekercs váltóáramú ellenállását az

lo



Y ^0 r X/, = — = L(jü h

ami igazolja előzetes megfigyeléseinket, tehát a tekercs váltakozó áramú ellenállása egyenesen arányos az önindukciós együtthatóval és a frekvenciával.

Az RLC-kör

Készítsük el a 3.44. ábra szerinti kapcsolást! Kapcsoljunk az

áramkörre 30 V váltakozó feszültséget, majd méijük meg azáramkör egyes tagjainak feszültségét! Azt tapasztaljuk, hogy azegyes elemeken mért effektív feszültségek összege nagyobb,mint a körre kapcsolt feszültség effektív értéke. Ez annak a következménye, hogy az effektív feszültségek nem adnak számotaz egyes kapcsolási elemeken eső pillanatnjd feszültségek egymáshoz képesti fázisáról. A huroktörvény alkalmazásáhozazonban a pillanatnyi feszültségek fázisát is figyelembe kellvennünk. Hogyan összegezhetjíik a pillanatnjd feszültségeket?A rezgésekkel foglalkozó fejezetben már láttuk, hogy párhuzamos, azonos frekvenciájú rezgések amplitúdói úgy összegezhetők, mintha vektorok lennének. Itt is pontosban erről van szó.

R L C

I----- V W W V \W A ^— 1|-


3.44. ábra

Az ellenálláson eső feszültség fázisban van az árammal, a tekercs feszültsége 90°-kai siet. Ezek szerint a tekercs és a kondenzátor feszültsége ellentétes fázisú, azaz a nekik megfeleltetett amplitúdóvektorok ellentétes irányúak. Az összegzésmenete a 3.45. ábráról olvasható le, az összegvektor a körrekapcsolt feszültségnek felel meg.

Igen egyszerű összefüggés írható fel e négy mennjdség kö




U^ = Ul + {U L- Uc f

A kifejezés négyzetgyökét az áramerősség effektív értékévelosztva

ahol az ^ hányados az áramkör váltóáramú ellenállása, azaz im pedanciája: jele Z, mértékegysége ohm. írjuk be X l és X c helyére a már megismert értékeiket. így a

Z = \ R ^ + i Lu j -\

Cuj

kifejezéshez jutunk.A vektorábráról leolvashatjuk az áramkör árama és feszültsé

ge közötti fáziskülönbség szögének tangensét is:

tga = X l - X c

R

3.2.4. A FESZÜLTSÉGREZONANCIA

Állítsuk össze a 3.46. ábra szerinti kapcsolást! Méijük megkülön-külön a tekercs és a kondezátor feszültségét és e két fe

ült é ö ét i ! Vált t k t k i d kti itá át á




ill. a kondezátor feszültsége nagy értékű, míg az összegük ehhezképest jóval kisebb, sőt nulla is lehet. Az utóbbi eset a feszült ségrezonancia.

A jelenség és az elnevezés magyarázata a következő. Mivel

Z = \ R ^ + { L( v - -VCuJ

az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercsinduktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív ellenállásával:

Ekkor viszont az áramkör ellenállása a tekercset alkotó drótellenállásával egyenlő:

Z = R,

amely viszonylag kis értékű, így az áramkörben nagy áram folyhat. Ekkor a tekercsen, illetve a kondezátoron wL/R-szer nagyobb feszültség esik, mint amennyi az ellenálláson eső feszültség.

Határozzuk meg adott L és C esetén azt a frekvenciát, amelyiknél fesztiltségrezonancia jön létre!

Az előzőek értelmében akkor lesz feszültségrezonanda, amikor

= Xc.

Ebből




Őiu>

következik, átrendezve és felhasználva, hogy u = 27t/, kapjuk az ún. Thomson-képletet:

/ -2- k ÍLC

Feszültségrezonancia esetén a kör ellenállása tiszta ohmos és

minimális.

3.2.5. AZ ÁRAMREZONANCIA

E Kapcsoljunk párhuzamos tekercset és kondenzátort (3.47.ábra)!

P 0 - ^ W W W V ^

o — Ih

3.47. ábra

Változtassuk a tekercs induktivitását a záróvas tologatásával,és méljük külön-külön a tekercs és a kondezátor áramát, valamint a kettő összegét is! Vannak olyan helyzetek, amikor azegyes mellékágakban folyó áramok erősségei igen nagyok,

ugyanakkor a főágban mérhető érték kicsi és szélső esetben közel nulla lehet.

A jelenség az áramrezonancia, magyarázata a következő.Az induktivitás változtatásával elérhetjük, hogy a tekercs in

duktív ellenállása megegyezzen a kondenzátor kapacitív ellenállásával. Ekkor - mivel párhuzamos kapcsolás miatt a feszültség a tekercsen és a kondenzátoron azonos az áramok is



keresnek ug;^anis van ohmikus ellenállása is a tekercset alkotódrót miatt). így elérhetővé válik, hogy az áramok összege közelnulla.

Határozzuk meg ideáUs (ellenállás nélküli) tekercs és kondenzátor esetén azt a frekvenciát, amely mellett létrejön azáramrezonancia!

Az eddigiek értelmében ekkor a rezonancia esetén a kondenzátor és a tekercs árama azonos nagyságú, csak ellentétes fázisú, azaz

^ = UCu. L lü

Egyszerűsítsük í/-val, majd fejezzük ki w-t!

1U) =

^/LC amiből

1


/ =2tt VLC

adódik, ugyanaz az összefüggés, mint feszültségrezonancia esetén. Mivel áramrezonancia esetén a főágban folyó áram közelnulla, ezért ekkor a párhuzamosan kapcsolt tekercs és kondenzátor eredő ellenállása nagyon nagy (ideális tekercs esetén vég

telen nagy).

3.2.6. A REZGŐKÖRÖK VIZSGÁLATA

E Kapcsoljunk párhuzamosan nagy induktivitású tekercsetnagy kapacitású kondenzátorral, és helyezzünk el az áramkör ben egy középállású árammérő műszert is (3.48. ábra). A Mor-se-kapcsoló egyik állásában a kondenzátor feltöltődik a telepfeszültségére, majd átkapcsolva a másik állásra, a kondenzátor kisül a tekercsen keresztül. Igen érdekes a kisülés folyamata,ugyanis a műszer mutatója kezdetben nagy, később egyre csökkenő amplitúdóval rezeg, azaz csökkenő intenzitású váltakozóá f l ik á kö b




' o----------p.

3.48. ábra

A jelenség magyarázata a következő: kezdetben a feltöltöttkondenzátor feszültsége (U) megegyezik a telep feszültségével,

az áram erőssége pedig nulla. Az áram megindulása után a kondenzátor feszültsége csökken, hiszen csökkent a töltése, így hamarosan nulla lesz. Ekkor viszont a tekercsnek már kiépült amágneses tere, az áram maximális, de nincs töltésutánpótlás.Az áram ennek megfelelően nullára csökkenne, de emiatt változik a tekercs mágneses tere, és ez a változó mágneses tér a tekercsen Lenz törvénye értelmében olyan feszültséget indukál,amely az áram csökkenését akadályozni igyekszik, vagyis azeredeti áramirányt tartja fenn. Ennek következtében a kondenzátor újra feltöltődik, csak ellenkező polaritással. Ezután a folyamat újraindul, csak az ellenkező irányban. Ez a mechanikairezgésekkel analóg folyamat az elektromágneses rezgés.

Energetikailag vizsgálva a folyamatot azt mondhatjuk, hogykezdetben a kondenzátor elektromos terének az energiája alakult át a tekercs mágneses terének energiájává és fordítva. Hasonló történik egy vízszintesen rezgő test esetén is, amikor arugalmas és a mozgási energiák alakulnak egymásba periodikusan. E két folyamatot szemlélteti a 3.49. ábra.

B,

; = o

\ w v \ o i-e----1

xo V=0

I

A W A W W p -



Valódi tekercs és kondenzátor esetén csillapodó rezgés jönlétre, az elrendezést pedig elektromos rezgőkörnek nevezzük. Általában, ha az áramkörre külső kényszer nem hat és rezgés

jön létre, úgy ezeket szabad elektormágneses rezgéseknek, a rezgés frekvenciáját pedig sajátfrekvenciának nevezzük.

Ideális tekercs (R - 0) és kondezátor esetén egyszerűen határozhatjuk meg a rezgőkör sajátfrekvenciáját, ugyanis az energiák egyenlőségéből indulhatunk ki:

ahol U a kondenzátor csúcsfeszültsége, I pedig az áramkör maximális árama. Mivel:

U = IX c

és

1

226 ________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ___________________

Cüj

ezért egyenletünk rendezés után a következő alakot ölti:

1ÜJ =

\ÍLC

ami a már jól ismert Thomson-képlet.

3.3. A VÁLTOZÓ ELEKTROMOS MEZŐMint már láttuk, a változó mágneses mező maga körül elekt

romos teret kelt, amelynek erővonalai önmagukban záródó gör

bék. Felvetődik a kérdés, hogy igaz-e az, hogy változó elektromos tér körül is kialakul mágneses tér?Vizsgáljunk meg gondolatban egy R-C áramkört, amelyet

egyenfeszültségre kapcsolunk. Bekapcsoláskor a kondenzátor még töltetlen, tehát az áram erőssége kezdetben / = ^. Ez azáram kezdi tölteni a kondenzátort, amelynek így egyre nagyobblesz az Uc feszültsége Az áram erősségének pillanatnyi értéke



I — lesz, vagyis az előzőeknél egyre kisebb érték. Végül isa kondenzátort töltő áram erőssége egyre kisebb lesz, a kondenzátor feszültsége pedig a telep feszültségéhez közelít.

A felöltődés ideje alatt tehát áram folyik az áramkörben.Vizsgáljuk meg ennek a mágneses terét! Az áramkört alkotódrótok mentén a mágneses tér indukcióvonalai „csőszerűén”veszik körül az áramot. De mit mondhatunk a kondezátorla-pokkal határolt térrészről? Ott ugyanis töltésáramlás nincs,áram nem folyik a kondenzátor lemezei között. Maxwell feltételezte, hogy nem hiányozhat egy „szelet” az áramokat „csőszerűén” körülvevő mágneses térből. Elgondolása szerint a kondenzátor körüli mágneses teret a kondenzátor elektromosterének változása hozza létre.

Legyen egy pillanatban a kondenzátort töltő áram erősségeI. Ez az áram egy nagyon kicsi Aí idő alatt nem változik megnagyon, így a Aí idő alatt a kondenzátor töltése

AQ = lód értékkel növekszik, így viszont megváltozik a feszültsége is:

AQ

___________________ELEKTROMÁGNESSÉGTAN________________2 ^

AC/ = -C

Fejezzük ki AQ-t, C helyére pedig íijuk be a síkkondenzátor

kapacitására már megismert összefüggést:

AQ = AUC - AU- ^ 4t7rkd

Vegyük észre, hogy

azaz

A E A _ A'ií> A-nk ~ A-nk

vagyis a töltés megváltozása a 'í' elektromos fluxus megváltozá




1 = AQ 1

A t áirk A t

Azt mondhatjuk tehát, hogy a kondenzátor lemezei közötti

térrészben az elektromos erővonalakat körülvevő mágnesesmezőt az elektromos fluxus változása hozza létre, azaz a változó elektromos térnek pontosan ugyanolyan hatása van mágneses szempontból, mint a vezetési áramnak. Ebből az következik, hogy a vezetési áramhoz hasonlóan a változó elektromos teret is az úgynevezett jobbcsavarral veszi körül a mágneses tér. Ez azt jelenti, hogy ha jobb kezünk hüvelykujját az E elektro

mos térerősségvektor változásának irányába tartjuk, akkor a begörbített ujjaink irányában „csavarodik” a mágneses tér.

3.4. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOKA váltakozó áramok nem túl nagy frekvenciák esetén ún.

kvázistacionárius áfamok, ami azt jelenti, hogy a vezeték mentén egy adott pillanatban az elektromos térerősség gyakorlatilag mindeütt ugyanakkora. Egészen más a helyzet nagyon nagyfrekvenciájú feszültségforrás alkalmazásakor. Ekkor már kis távolságokon belül sem tekinthető a térerősség egy adott pillanat ban állandónak, ezért az áramerősség sem állandó a vezeték mentén.

Gondolatban „nyissunk ki” egy nagyfrekvenciás rezgőkört(3.50. ábra)! Kezdetben egyszerű energia oda-vissza alakulásról

beszélhetünk, a kondenzátor lemezei közötti elektromos tér energiája alakul át a tekercs mágneses terének energiájává és

3 51 áb



viszont. Ahogyan egjre jobban kinyitjuk az eredetileg energiaszempontjából zárt rendszernek tekinthető rezgőkört, egyre nagyobb energia áramlik ki a rendszerből egy periódus alatt. A

rezgőkör „teljes kinyitása” (3.51. ábra) után ún. rezgő dipólust, vagy másiiéven dipólantennát kapunk, amely folyamatosan sugároz ki energiát. Eltekintve az antenna közvetlen környezetétől, a kisugárzott elektromágneses tér E, ill. B vektora egymással megegyező fázisban van, egymásra és a terjedés irányára ismerőleges, hiszen a változó mágneses mező balcsavarral hozlétre elektromos teret, a változó elektromos tér pedig jobbcsa

varral mágneses teret. Ez a sugárzási elektromágneses tér az antenna méretéhez képest viszonylag nagy távolságban egyszerűszinuszos hullám formájában terjed tova, amelyről megállapíthatjuk, hogy transzverzális hullám, hiszen egy tetszőlegesen ki

választott megfigyelési pontban azE és B merőlegesek mind egymásra, mind a terjedési irányra (3.52.ábra). A választott helyen az E vektor mindig ugyanabban a síkban, amegfigyelési pont és a pontszerűnek tekintett antenna által megha-

3.52. ábra tározott síkban van. Ez egyben aztis jelenti, hogy polarizált síkhullámról van szó.

A dipólantennával előállított elektromágneses hullámok ismutatják a már megismert hullámtulajdonságokat, azaz:

- visszaverődés,- törés,- elhajlás résen, rácson,- állóhullám,

- interferencia.A felsorolt utlajdonságok pl. mikrohullámú adó-vevővel igen

egyszerűen bemutathatok.A sugárzási térben áramló energia adott frekvencia mellett

függ az iránytól is. Legnagyobb az intenzitás az antennára merőleges síkban, és nulla az intenzitás az antenna hossztengelyé




Az elektromágneses rádióhullámok terjedési tulajdonságai ahullámhosszak szerint különbözőek. Ennek figyelembevételével a következő csoportokra bonthatjuk:

Hullámhossz Frekvencia1. hosszúhullámok A>1000 m / <300 kHz2. középhullámok 200 m - 1000 m 300 kH z- 1,5 MHz3. átmeneti hullámok 100 m - 200 m 1,5 M H z- 3 MHz4. rövidhullámok 10 m - 100 m 3 M H z- 30 MHz5. ultrarövid hullámok l m - 10 m 30 MHz-300 MHz

6 . mikrohullámok <0,3 m >100 MHzA hosszú- és középhullámok terjedésükkor viszonylag jól kö

vetik a Föld görbületét, ezért segítségükkel a rádiózás több százkilométerre terjed ki.

A rövidhullámok terjedése gyakorlatilag egyenes vonalú, deterjedésükben alapvető szerepet játszik a Földet kb. 80 és 400

km közötti tartományban körülvevő ionoszféra, amelyről lényegében visszaverődnek, így a rövidhullámú rádióadások többezer km távolságban is vehetők.

Az ultrarövid- és mikrohullámok szigorúan egyenes vonalbanterjednek. Ennek megfelelően a jó vételhez az szükséges, hogy„lássuk” az adót.


3.4.1. GEOMETRIAI OPTIKA

Az optikai törvények nagyon jól magyarázhatók a Huygens- Fresnel-elv alapján, ami szerint a fény hullámtermészetű, ígyminden nehézség nélkül leírható a hullámelmélet segítségével.Bizonyos jelenségeket viszont sokkal egyszerűbben tudunk leír

ni, ha nem vesszük figyelembe a fény hullámtermészetét. Ilyenkor azt a közelítést használjuk, hogy a fény frekvenciája nagyonnagy, így hullámhossza nagyon kicsi, homogén közegben egyenes vonalban terjed, nem veszünk figyelembe elhajlást, ill. interferenciát.

A testek elsődleges vagy másodlagos fényforrások, aszerint,hogy saját maguk bocsátanak ki-fényt vagy csak visszaverődik




3.53. ábra

róluk. Beszélhetünk pontszerű, ill. kiterjedt fényforrásokról.Egy kisméretű halogénizzó izzószála pontszerűnek vehető, mígegy 120 cm-es neoncső már kiterjedt fényforrásnak minősül egy

tanteremben. A kétféle fényforrás között az ámyékjelenségek-nél van nagy különbség, hiszen pontszerű fénj^orrás esetén azárnyék határvonala éles, míg kiterjedt fényforrást használva ázárnyék elmosódott: van egy sötét, ún. árnyékmag, ahonnankezdve fokozatosan világosodik, egészen az ámyékmentes zónáig (3.53. ábra).

Ebben a leírásban a fény visszaverődése, ill. törése tapasztalati törvény, amely mérések alapján mondható ki.

A fény két közeg határfelületére érve megváltoztatja terjedési irányát, egy része átlép a másik közegbe, másik része visszaverődik. E két, mindig egyszerre fellépő jelenség (3.54. ábra) fogalmazódik meg a visszaverődés, ill. a törés törvényében:

I[d] a beesés szöge a beeső sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.

I [d] a visszaverődés szöge a visszavert sugárnak a beesési merőlegessel bezárt szöge.

n A törés szöge a megtört sugárnak a beesési merőlegessel



3.54. ábra

Í® A visszaverődés törvénye szerint a beeső fénysugár, a visz-szavert fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.

A beesés szöge megegyezik a visszaverődés szögével.A törvényből közvetlenül következik, hogy ha sík felületre párhuzamos nyaláb érkezik, akkor az párhuzamosan is verődik vissza, a széttartó nyaláb széttartóan, az összetartó nyaláb pedigösszetartóan. Az is nyilvánvaló, hogy ha a felületen apróbbegyenetlenségek vannak (pl. gyöngyvászon), akkor a párhuzamos fénynyaláb szinte minden irányba szóródik. Ez a diffúz visz-

verőidéi jelensége (3.55. ábra).

I li] A törés törvénye szerint a beeső fénysugár, a megtört fénysugár és a beesési merőleges egy síkban vannak.



A beesési szög szinusza arányos a törési szög szinuszával. Azarányossági tényező az ún. relatív törésmutató:

sin a — ö — ^ 21smp

ahol a a beesés, /3 pedig a törés szöge, n2i pedig a második közegnek az elsőre vonatkozó törésmutatója.

Nyilvánvaló, hogy fordított iránjoi átmenet esetén ennek re-ciprokát kapjuk. Ha a fény vákuumból lép az illető anyagba, ak

kor abszolút törésmutatóról beszélünk.

A visszaverődés és törés speciális problémái

Visszaverődés gömbfelületről

A tükör görbületi középpontjának jele G, a tükör középpont jának jele A. Az A G egyenes a tükör optikai tengelye. A tükör nyílásszöge a G pontot a tükör széleivel összekötő sugarak szöge. A továbbiakban csak a kis nyílásszögű tükrökkel foglalkozunk.

1 ] Optikai pad forgatható korongjára erősítsünk homorú,majd domború tükröt, és bocsássunk rá párhuzamos sugarakat(3.56. ábra)!

Az első esetben a tükör összegyűjti a nyalábot, míg a második esetben úgy szórja szét, hogy a sugarak meghosszabbításailátszanak egy pontból kiindulni.

1 ] Az a pont, ahova a homorú tükör a ráeső párhuzamos nyalábot összegyűjti, ül. ahonnan a domború tükör által szétszórt

nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont, jele: F.

[f] Határozzuk meg a homorú tükör fókuszpontjának a tükör középpontjáról mért távolságát (3.57. ábra)!

Az ábra szerint párhuzamost húztunk az optikai tengellyel.Ennek a tükörrel való metszéspontja M. Összekötjük a G és M pontokat ez a beesési merőleges A visszaverődés törvényét fel

___________________ ELEKTROMÁGNESSÉGTAN ________________^




3.57. ábra

nak és az optikai tengelynek lesz a metszéspontja az F fókusz pont. Az MFG háromszög egyenlő szárú, hiszen MG oldalon lévő szögei egyenlők. Az MG szakasz éppen a kör sugara, így

R2 cos a

Ha a kicsi akkor cos a értéke « 1 így




FG , ezért

■’ 2

Látható, hogy ha nagy a tükör nyílásszöge, akkor a tengelytőltávolabb beeső sugarak jóval közelebb metszik az optikai ten

gelyt, mint a közeliek.

I dl Az ebből származó leképezési hibát gömbi (szférikus) hi bának nevezzük (3.58. ábra).

Fény áthaladása párhuzamos síklapokkal határolt

optikai törőközegen (plánparalel lemez)Bocsássunk fénysugarat a 3.59. ábra szerinti elrendezésben

egy d vastagságú, n törésmutatójú üveglemezre! Azt tapasztal juk, hogy a kétszeri törés után az eredetivel párhuzamos irány ban halad tovább a sugár, csak egy kicsit eltolódott. Számítsuk ki az eltolódás nagyságát!

A törés törvénye szerint sin asin j3

Az ábra szerinti ABC háromszög A-né\ lévő szöge: a - (3, ahol a a beesés, /? pedig a törés szöge, így




Az A B szakasz az AD B derékszögű háromszögnek is átfogó ja, tehát kifejezhető a d befogóval és a ,3 szöggel:

AB = ^ tehátcosp

. Y - . cos/3

A z ismert trigónometriai összefüggést használva:

^ d{smacos/3 — cosasin/?)cosP

Egyszerűsítés és rendezés utáncosa

X - dsina 1 -

\/n2 —sism^a.

Fény áthaladása egymással szöget bezáró

síklapokkal határolt optikai törőközegen (prizma) A 3.60. ábra szerint bocsássunk a prizmára egy fénysugarat!

A két síklap szöge ez a prizma törőszöge. Legyen a beesésszöge ai- A fény mind a belépésnél, mind a kilépésnél megtörik. Az ábra szerint a teljes eltérítés szöge:

6 C i 012 ^



Számítások szerint a minimális eltérítés szögét akkor kapjuk,amikor a sugármenet szimmetrikus

6 ^ 2a

Ekkor a $ törőszög és a minimális 6 eltérítési szög között akövetkező összefüggés áll fenn:

. ^sm—-— = nsm —

z z

Fény áthaladása gömbfelületekkel határolt optikai tőrőkőzegen (lencse)

[k ]optikai padra helyezzünk egy kétszerdomború lencsét,majd világítsuk meg párhuzamos fénynyalábbal! Ismételjük meg a kísérletet kétszerhomorú lencsével is (3.61. ábra)!

Azt tapasztaljuk, hogy a domború lencse a ráeső nyalábot ösz-szetartóvá teszi, fókuszálja, míg a homorú lencse a ráeső fénynyalábot széttartóvá teszi. Az a pont, ahová összehozza a nyalá

bot, illetve ahonnan a szétszórt nyaláb kiindulni látszik, a fókuszpont. Legyen a két gömbfelület görbületi sugara Ri, ill. R 2 (3.62. ábra), anyagának törésmutatója n. Ekkor, itt nem részl á í á k i fók á l á i k



3.62. ábra

+ R2.

A formula szerint a fókusztávolság előjele nemcsak attólfügg, hogy a lencse domború vagy homorú, hanem a környezet

re vonatkozó törésmutatótól is. így például, ha óraüvegből ösz-szeragasztunk egy domború lencsét, és vízbe tesszük (levegő-lencse), akkor a ráeső párhuzamos nyalábot szétszórja, míg azugyanígy készült homorú lencse a ráeső párhuzamos nyalábotösszetartóvá teszi.




Optikai leképezés

Általában optikai leképezésről beszélünk, ha egy pontból in

duló sugárnyalábot egy másik pontra illeszkedő sugárnyalábbaviszíink. Tökéletesen mindössze a forgási ellipszoidnál, illetve paraboloidnál valósul meg az, hogy egy pontra illeszkedő vala-mennjd sugár képe visszaverődés után szintén egy pontra illeszkedik. Ellipszoid esetén az egyik fókuszon átmenő valamennyisugár visszaverődés után áthalad a másik fókuszon, míg paraboloidnál az ún. végtelen távoli pontból érkező párhuzamos nya

láb megy át visszaverődés után a fókuszponton (3.63. ábra).

Gömbfelületű lencsék és tükrök esetén nem tökéletesen való

sul meg az optikai leképezés, de kis nyílásszögű tükrök, ill. vékony lencsék esetén nagyon kicsi a leképezés hibája.

[U Valódi a kép, ha ernyőn felfogható, vagyis a fénysugarak összetartóak. Látszólagos a kép, ha a leképező eszközt elhagyó sugárnyaláb széttartó, a képet a sugarak meghosszab

bításában látjuk.

A következőkben a tükrök és lencsék képalkotásának egyeseseteit, ill. a szerkesztéseket nézzük végig.




Sík tükör

E Optikai padra helyezzünk a padra merőlegesen tisztaüveglapot, majd elé és mögé azonos távolságra egy-egy gyertyát! Gyújtsuk meg az egyik gyertyát, majd az égő gyertya felőlnézzünk rá az üveglapra! A másik gyertyát is égni látjuk (3.64.ábra). Ez annyit jelent, hogy a gyertya látszólagos képe ténylega túloldalon keletkezik, a tárggyal azonos távolságra.

k = \ t \

3.64. ábra

Homorú tükör

E Optikai padra helyezzünk homorú tükröt, egy égő gyertyát és egy ernyőt (3.65. ábra)! A gyertya tologatásával keressük meg a gyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük ela szerkesztést is!

3.65. ábra

A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk (3.66. ábra):

- a fókuszon átmenő sugarat, amely visszaverődés után párhuzamos az optikai tengellyel;

- az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely visszaverődés után átmegy a fókuszon;




- a geometriai középponton átmenő sugarat, amely önmagá ba verődik vissza;

- a tükör középpontjába irányított sugarat, amely az optikaitengellyel szimmetrikusan verődik vissza;

Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést!

3.67. ábra

A 3.67. ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk

K : T = k: t , ÜL K : T = (;k - 2 f ) : (2/ - t)

A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzése

után a leképezési törvényt kapjuk:1 _ 1 1

/ k

Teljesen hasonló módon lehet domború tükörre is levezetni aleképezési törvényt. Vezessük be a nagyítás fogalmát!




Hl Nagyításnak nevezzük az előjelesen vett képtávolság éstárg5itávolság arányát.

t t - f

Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgj^ávolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha

0 < í < /.

Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított(3.68.a ábra).

Ha

f = t,

akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükörről visszaverődve párhuzamosan haladnak (3.68.b ábra).




Ha

akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi (3.68.C

ábra).Ha

2/ < í ,

akkor a keletkező kép kicsinyített, fordított állású, valódi

(3.68.d ábra).

E Optikai padra helyezzünk domború lencsét, egy égő gyertyát. és egy ernyőt! A gyertya tologatásával keressük meg agyertya lángjának éles képét az ernyőn! Végezzük el a szerkesztést is!

A következő nevezetes szerkesztő vonalakat használhatjuk:- a fókuszon átmenő sugarat, amely törés után párhuzamos

az optikai tengellyel;- az optikai tengellyel párhuzamos sugarat, amely törés után

átmegy a fókuszon;- a lencse középpontjába irányított sugarat, amely törés nél

kül halad tovább.Ezek felhasználásával végezzük el a szerkesztést (3.69. ábra).

3.69. ábra

Az ábrán látható két hasonló háromszögre felírhatjuk




A kettőt egybevetve, a szükséges összevonások elvégzéseután a leképezési törvényt kapjuk:

1 _ 1 1

l ~ t ^ k

ami megegyezik a tükrökre kapott leképezési törvénnyel.A homorú tükör képalkotásával teljesen analóg módon ve

zethetjük be a nagyítást:

= f t t - f

Vizsgáljuk meg, hogyan függ a nagyítás a tárgy távolságtól! Negatív a nagyítás értéke, ha

0 < í < /

Ekkor a keletkező kép virtuális, egyenes állású, nagyított

(3.70.a ábra).Ha

/ .= t,

f<\

a) b)




akkor nem keletkezik kép, a fókuszból induló sugarak a tükörről visszaverődve párhuzamosan haladnak.

Ha f < t < 2/ ,

akkor a keletkező kép nagyított, fordított állású, valódi (3.70.bábra).

Ha2 f < t ,

akkor a keletkező kép kicsinyített, fordított állású, valódi(3.70.C ábra).

Homorú lencsére pontosan ugyanez a törvény érvényes.

[F] Szerkesszük meg a 10 cm fókusztávolságú domború lencsétől 15 cm, az optikai tengelytől 4 cm távolságra világító P pont

képét, ha a lencse túlsó oldalán, a lencsétől 10 cm távolságra azoptikai tengelyre merőlegesen sík tükröt helyeztünk el! Számítsuk is ki a végső kép helyét (3.71. ábra)!

Alkalmazva a leképezési törvényt:

1 _ 1 1 _ 1 1 _ 1

k - 3 0 cm



Mint a szerkesztésből is látszik, a lencse által alkotott kép asík tükör mögött keletkezne, de nem jön létre, mert a tükör visz-szaveri a ráeső összetartó nyalábot, amely a visszaverődés után

is összetartó marad. így a sík tükör valódi képet hozott létre, hiszen a visszavert sugarak metszik egymást. Ilyen esetben beszélünk virtuális tárgyról: az optikai eszközre eső összetartó nyalábtartópontja a virtuális tárgy, amiről az optikai eszköz valódi ké

pet is alkothat. A leképezési törvényben ilyenkor a tárgytávolságot negatív előjellel kell venni, hiszen a szokványos esethezképest a „másik” oldalon van a tárgy.

Folytatva a feladat megoldását, a sík tükör által alkotott képa tükörtől 20 cm-re jön létre, de ott van a lencse. A lencsére ösz-szetartó nyaláb esik, amelynek tartópontja virtuális tárgy a lencse számára. Ismét a leképezési törvényt használva:

J _ _ lk ~ f ~ t ~ 1 0 ^ Í Ö ~ 5

k = 5 cmA végső kép a lencsétől balra, tőle 5 cm-re keletkezik.


3.4.2. HULLÁMOPTIKA

A mechanikai hullámoknál már megismerkedtünk a visszaverődés, a törés, az elhajlás, az interferencia és a polarizáció jelenségével, valamint az ezeket magyarázó Huygens-Fresnel elmélettel. A fény hullámtermészetét úgy tudjuk igazolni, hakísérleti úton előállítjuk ezeket a jelenségeket. A visszaverődés,törés és polarizáció jelensége viszonylag egyszerűen bemutatható.

11 Forgatható optikai korongra szerel-^ jünk sík tükröt, majd bocsássunk rá néhány fénysugarat! Mérjük meg a beesésés a visszaverődés szögét! Mérésünk alapján kimondhatjuk a visszaverődés törvényét (3.72. ábra).




HJA visszaverődés törvénye szerint a beeső és visszavertfénysugár a beesési merőlegessel egy síkban van, a beesés szögemegegyezik a visszaverődési szöggel.

Ha a fény két összeg határfelületére érkezik, akkor „megtörik”, azaz nem az eredeti irányban halad tovább. Csak a merőleges beesésnél nem változik meg az eredeti terjedési irány. Ezthasználjuk fel a törés törvényének vizsgálatakor.

13 Forgatható optikai korongra erősítsünk egy üvegből készült félhengert (3.73. ábra^, és bocsássunk néhány fénysugarata henger középpontjába! így a továbbhaladó fénysugár sugár-iránjm lesz a törés után, vagyis kilépéskor már nem változik aterjedés iránya. A korongon leolvasva a beesési és törési szögeket, kimondhatjuk a törésre vonatkozóan a Snellíus-Descartes- törvényt.

E A Snellius-Descartes-törvény szerint a beesési és törésiszög szinuszainak aránya állandó, ez az illető anyagnak a másik anyagra vonatkozó törésmutatója

H21smasin;0

Ha a fény vákuumból érkezik az átlátszó anyagra, akkor amérés eredménye az abszolút törésmutató.

A Huygens-elv felhasználásával az abszolút törésmutató aztmutatja hogy hányadrészére csökken a fény sebessége az illető




E Ismételjük meg előző kísérletünket úgy, hogy most sugárirányban a félhenger palástjára bocsájtjuk a fénysugarat, és az afélhenger síklapján lép ki (3.74. ábra)! Növelve a beesés szögétegy bizonyos szögnél, az ún. határszögnél megszűnik a fénykilé

pés, tovább növelve a beesés szögét pedig már teljes visszaverő

dés tapasztalható. Ennek a határszögnek a szinuszára a töréstörvénye alapján1

smaji = — n

adódik, ugyanúgy, ahogyan ezt már a mechanikai hullámok esetén beláttuk.

A polarizáció

(Hl Bocsássunk keskeny fénynyalábot egy üveglapokból állólemezsoron keresztül! Az átmérő fény egy tengelyezett feketetükörre esik (3.75. ábra).

A tükröt a tengely körül forgatva, a visszavert fény két helyzetében is eltűnik. A lemezsor polarizálta a fényt, a tükörrel



analizáltuk. Amikor eltűnik a fény, a polarizátor és az analizátor „keresztezett” helyzetben vannak.

HJA Brewster-törvény szerint a visszavert fény akkor teljesen poláros, ha a visszavert és a megtört sugár egymásra merőleges. így a törés törvénye alapján a polarizáció szögére

tgcüp = n adódik.

Elhajlást és interferenciát itt már jóval nehezebb előállítani,mint a mechanikai hullámoknál, hiszen a fény hullámhosszaegyrészt nagyon kicsi, másrészt koherens fényforrások a fényki-

bocsájtás mechanizmusa miatt nem léteznek.Koherens fényforrásokat a legegyszerűbb létrehozni úgy,

hogy látszólag megkettőzzük a fényforrást.

[k ]Vékony résen áthaladó fény egy része a vele párhuzamossíktükörre jut, így a nyaláb kettéoszUk: olyan, mintha két fény

forrásból érkeznének fénysugarak az ernyőre. Az ernyőn nagyon szép interferenciakép figyelhető meg (3.76. ábra).

___________________ ELEKTRQMÁGNESSÉGTAN ________________

Ernyő

3.76. ábra

[k] A Ti féUg áteresztő tükröt világítsunk meg lézen-el (3.77.ábra)! A nyaláb egy része visszaverődik, másik része továbbha

lad. A visszavert rész T 2 tükörről, a továbbhaladó rész T 3 tükörről verődik vissza. A visszaverődő nyalábok az E ernyőnnagyon szép interferenciaképet hoznak létre (Michelson inter-ferométer).

[k] Erős fénynyalábbal világítsunk meg keskeny rést (3.78. ábra)! Ez a Ycang féle kettős rés A résből mint erős fényforrás



5.77. ábra

Maximumíí=kha

3.78. ábra

Ernyő

keskeny réseket azonos fázisban érik el. Ezekből a résekből a Huygens-elv szerint másodlagos és koherens fényhullámok in

dulnak ki, és ennek eredményeként a velük szemközti ernyőnmegjelennek a jellegzetes interferenciából származó maximum-és minimumhelyek, az útkülönbségtól függően.

Hl Vékony fehér fénynyalábot bocsássunk optikai rácsra(3.79. ábra). Az ernyőn a középső fehér vonalra szimmetrikusan színképek jelennek meg. Legyen a rácsállandó d. Vizsgáljuk

meg, hogy az eredeti iránnyal szöget bezáró irányban hogyankaphatunk fényjelenséget? A rács két szomszédos részéből induló sugarak útkülönbsége

As = dsina




Ha ez az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse, akkor erősítést kapunk:

dsina = kA

Minden színre máshol van a maximum, ezért kapunk színké pet.



4. ATOM- ÉS MAGFIZIKA

4.1. ATOMFIZIKA

4.1.1. AZ ATOMOS FELÉPÍTÉSRE UTALÓ MEGFIGYELÉSEK

Az atomelmélet kezdeti csírái már az ókori görög gondolkodók műveiben megtalálhatók. Először négy őselemet (tűz, víz,föld és levegő) képzeltek el, majd Démokritosz több egyformaatomról (görögül oszthatatlan) beszélt. Kétezer éven át azon

ban - kísérleti tapasztalat híján - az atomelmélet az anyag szerkezetének pusztán egy elképzelhető leírásmódja maradt.

Komolyabb eszközzé és így a vizsgálat tárgyává csak a

XVIII. századtól vált az atomelmélet. Folyamatosan kialakultés hosszú idő után teljes lett a kinetikus elmélet, amelyet a hőtan tárgyalásánál mi is használtunk. A kinetikus elmélet már használja az atomos felépítést, de magukról az atomokról nemmond bővebbet.

Igazán hatásosan először a kémia segítette az atomelmélet kialakulását, a XVIII. század végén és a XIX. században tett fel

fedezéseivel.Lavoisier (1743-1794) már tisztázta az elemek fogalmát, sezek súlyarányát a vegyületekben, majd Proust (1754-1826)felállította az állandó súlyviszonyok törvényét (1801).

[t]A kémiai elemek nem egyesíthetek vegyületekké bármilyen arányban, hanem csak egy, a vegyületre jellemző súly

arány szerint.Röviddel utána Dalton (1766-1844) megfogalmazta a több

szörös súlyviszonyok törvényét (1803).

[t]Ha két elem többféle arányban is képes egymással vegjóil-ni, akkor az egjdk elem azon mennyiségei, amelyek a másik elem egy adott mennyiségével vegyülnek, úgy viszonylanak



Ezt a tövényt csak az atomelmélet segítségével lehet magyarázni, miszerint minden elem egyes atomjai azonosak, és a különböző anyagok legkisebb egységei (molekulái) kisszámú különböző atomból állnak.

A reagáló gázok térfogatarányai között hasonló törvény fogalmazható meg. Ezután született meg Avogadro (1776-1856)törvénye.

I[t]Azonos nyomás, térfogat és hőmérséklet mellett a gázok azonos számú részecskét tartalmaznak.

A molnyi mennyiségben lévő molekulák száma, amit többmódszerrel is meghatároztak:

iV = 6,02 • 10 ^

Bevezették az atomsúly és a molekulasúly fogalmát, amiket

mai szóhasználattal relatív atom-, ül. molekulatömegnek nevezünk. Meggyőző bizonyítéknak számított az atomok és molekulák létezésére az Einstein (1879-1955) által értelmezett Brown- mozgás. (Einstein erről szóló dolgozata azonban csak a XX.század elején, 1905-ben jelent meg.)

[3 Ha mikroszkóppal figyelünk füstszemcséket levegőbenvagy apró festékszemcséket folyadék felszínén, akkor azok rendezetlen, zegzugos mozgását tapasztaljuk. A levegő, ill. a folyadék molekuláinak véletlenszerű lökdösődése okozza a hozzájuk képest lényegesen nagyobb szemcsék lassúbb, s így már láthatómozgását. (Brown, botanikus lévén, eredetileg virágporszemcsék mozgását észlelte mikroszkópjában 1827-ben.)

A XIX. század második felére a kinetikus gázelmélet már tudatosan használta az atom és a molekula fogalmát. Hatalmas sikernek számított, hogy mennyiségi összefüggéseket tudottfelállítani a mikrofizikai folyamatokra, a molekulák méretére,tömegére. Nem tudott azonban válaszolni arra, hogyan kapcsolódnak molekulákká az atomok, s nem mondhatott semmit

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA __________________ 2M



254 ATOM- ÉS MAGFIZIKA

Az Atomfizika című fejezet ismerteti hogyan fedezte fel a tudomány az eredetileg oszthatatlannak hitt atom belső struktúrá

ját, és hogy miképpen lehet ennek ismeretében megérteni az

atomok kapcsolódását.

4.1.2. AZ ELEKTRON FELFEDEZÉSE

Az elektrolízis

Az atomok oszthatatlanságának elve a kezdeti kémiai tapasztalatok alapján fogalmazódott meg, de érdekes módon éppen akémia adta az első érvet ahhoz a meglátáshoz, hogy az atom valamilyen összetett dolog, továbbá az atomok kapcsolódása és azelektromosság között szoros összefüggés van.

[U Elektrolitoknak nevezzük savak, lúgok, sók oldatait vagy

olvadékait, mivel ezek vezetik az áramot, ellentétben példáula tiszta vízzel.

[k ] Helyezzünk elektrolitba két elektródát és kapcsoljunk rááramforrást (4.1. ábra). A körben mérhető áramerősség és azidő ismeretében megkapjuk az elszállított töltés nagyságát. Azáram az ionok vándorlásának következménye: az ellentétes elő-



jelű töltéssel rendelkező iónok különböző elektródákhoz vándorolnak, semlegesítődnek, s ott általában gáz vagy szilárd alak

ban kiválnak.A kinyert anyagok mennyisége, és így az ionok darabszáma

kémiai mérésekkel határozható meg. Egy ion töltését megkaphatjuk tehát, ha az áramkör által szállított töltés nagyságát elosztjuk a kinyert ionok számával. A tapasztalat szerint az ígykapott töltés mindig egy bizonyos érték egész számú többszöröse:

ahol qion egy ion töltése, Q a szállított össztöltés, amelyet I áram t idő alatt szállít, és Nion az ionok darabszáma.

Ugyanerre az eredményre vezettek Faraday elektrolízisselkapcsolatos tapasztalati törvényei is.

S / áramerősség mellett, t idő alatt az elektródákon leváltanyag tömege

m = k -1 - t,

ahol k az elektrokémiai egyenérték, amely az egységnyi töltésáltal kiválasztott anyag tömegét jelenti, vagyis az elektrokémiai egyenérték az anyagi minőségtől függő állandó.

_____________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA __________________

I [t ] Egy molnyi anyag kiválasztásához annyiszor 96 500 C töltés szükséges, amennyi az illető anyag vegyértéke.A két törvény és az Avogadro-szám ismeretében az egy

vegyértékű anyag egy ionjára jutó töltés:

_ 96 5 00 C _ , g

^*"""6,02.1023-^’^ ^

Úgy tűnik tehát, hogy létezik egy legkisebb töltés, amelynek akémiai folyamatokban fontos szerepe van.



256 ATOM-ÉS MAGFIZIKA

A Millikan-kísérlet

E Millikan (1868-1953) angol fizikus vízszintesen elhelyezett

kondenzátorlemezek (4.2. ábra) közé olajcseppeket porlasztott,majd ezeket mikroszkópon keresztül figyeltemeg. Egy olajcseppet kiválasztva addig változtatta az elektromos mezőt, míg a porlasztás során töltést kapott olajcsepp lebegni kezdett.Az egyensúlyt a gravitációs erő és az elektrosztatikus erő egyenlősége okozta. Az olajcsepp

mérete optikai úton meghatározható, így a következő egyenlőség írható fel:

mg = Vgg= QE = Q ^ a

4.2. ábra

ahol m az olajcsepp tömege, V a térfogata, g a sűrűsége, Q a töltése, E a kondenzátor lemezei közötti térerősség, U a feszültség, d a távolság. Az U feszültség és a lemezek d távolsága mérhetőek, így megkaphatjuk az olajcsepp töltését.

Millikan azt tapasztalta, hogy minden esetben az eleminek nevezhető töltés egész számú többszörösét kapta, vagyis az elemi töltés a legkisebb töltésegység:

g = n - l , 6 - 10-i^C

A hidegemisszió

[Hl Vigyünk fémtárgyra töltést, amely - amint az elektrosztatikából tudjuk - az azonos töltések taszítása következtében a fémfelületén helyezkedik el. Nagyon nagytöltés esetében akkora lehet a taszítás,hogy a töltés egy részét kinyomja a felületből, különösen a csúcsok közelében.A környező gázmolekulák zavaró hatását kiküszöbölhetjük, ha a fémtárgyatlégritkított térbe helyezzük (4.3. ábra).A jelenség neve hidegemisszió és arrautal, hogy a töltés valamilyen töltéshord óh ik



ATOM-ÉS MAGFIZIKA 257

A Richardson-hatás

Richardson (1879-1959) angol fizikus figyelte meg azt a jelen

séget, hogy a fémekből minden külső hatás nélkül is kilépnek anegatív töltések.

E Légritkított edénybe egymással szemben két elektródáthelyezünk el, az egyiket leföldeljük, a másikra gyenge pozitívfeszültséget adunk. Azt tapasztaljuk, hogy az elektródák közöttáram indul meg (4.4. ábra).

A jelenség magyarázata a következő: a töltés valamely töltés

hordozóhoz kapcsolódik, amely a hőmozgás következtében kiléphet a felületből. A földelt elektródából spontán kilépőnegatív töltéshordozó nem esik vissza az elektródára, hanemengedve a gyenge vonzó hatásnak, a másik elektródára kerül.

Az izzóelektromos hatás

Magas hőmérsékleten erősen megnő a Richardson-hatás, azizzó fémből már tömegesen távozik a negatív töltés. Ez az iz zóelektromos jelenség vagy termikus emisszió.

Ez utóbbi két jelenség az alapja a katódsugárcső, így példáula tv-képcső mííködésének. Ezekben a katódot általában különáramkör ffíti és hevíti izzásig.



258 ATOM- ÉS MAGFIZIKA

A katódsugárcső

E Helyezzünk erősen légritkított térbe két elektródát, s kapcsoljunk rájuk áramforrást! Nagyon kis gáznyomás esetén a ka-tód egy láthatatlan sugárzást bocsát ki, amely abból vehető észre, hogy a katóddal szemben, ahol a sugárzás az üvegburát éri,fényjelenség jön létre, amennyiben az üveg belső felületét fluoreszcens anyaggal vonták be. Ez a sugárzás a katódsugárzás (4.5. ábra).

\ \ \

4.5 ábra

A katódsugárzást /. J. Thomson (1856-1940) vizsgálta először. 1897-ben végzett kísérleteiben elektromos és mágneses terek segítségével a katódsugárzásban megjelenő részecske elté-rülését vizsgálta, s ennek segítségével meghatározta annak fajlagos töltését. Az elemi töltés ismeretében kiszámítható volta részecske tömege is, ezért ezt az időpontot tekintjük az elektron felfedezésének.

Mi a Thomson által elvégzett mérés egyszerűsített változatátmutatjuk be.

[k ] a katódsugárcsőben izzókatódot alkalmazunk, a katód ésaz anód közé ismert gyorsítófeszültséget kapcsolunk. Az anódnyílásán keskeny nyalábban áthaladó, közel egyforma sebességű elektronok ismert erősségű homogén mágneses térbenugyanazon a körpályán mozognak, amelynek sugara meghatározható (4.6. ábra).

A levezetés a következő.

0 A körmozgásra vonatkozóan a centripetális erőt a mágneses Lorentz-erő szolgáltatja:

i ^ R B




ahol m az elektron tömege, v a sebessége, q a töltése, R a kör pálya sugara, B a mágneses indukció.A gyorsítási munka megadja az elektron mozgási energiáját

(feltéve, hogy a gyorsítási feszültség néhány százezer V alattmarad, s így az elektron sebessége nem közelíti meg a fényse bességet);

gí7 = ^ mv^

Helyettesítsük ebbe a sebesség kifejezését:

2

így a fajlagos töltésre adódik:

q 2U m ~

Az elemi töltés ismeretében az elektron tömege:m —9,1 ■ kg

Ezzel tehát az elektron polgárjogot nyert, mint az„oszthatatlannak”^hitt atom egyik alkotórésze.



4.1.3. AZ ENERGIAKVANTUM MEGJELENÉSE

A XIX-XX. század fordulóján két egymástól független jelen

ség magyarázata során is felmerült az a gondolat, hogy az energiát az anyag nem képes folytonosan felvenni, ill. leadni, amintaz a klasszikus fizika alapján joggal feltételezhető volt.

260 __________________ ATOM- ÉS MAGFIZIKA _____________________

A hőmérsékleti sugárzás

Tapasztalati tény, hogy a testek minden hőmérsékleten hőt

sugároznak ki elektromágneses hullámok formájában. Ez a hő- mérsékleti sugárzás. Az elektromágneses sugárzás intenzitásatermészetesen nő a hőmérséklet növekedésével, emellett a sugárzás hullámhossz-eloszlása is változik a hőmérséklettel.

H] KirchhofF sugárzási törvénye szerint anyagi minőségtőlfüggetlenül minden anyagra igaz, hogy a kibocsájtás és az elnyelés intenzitásának hányadosa egy adott frekvencia- és hőmérsékletérték mellett állandó.

I ] Abszolút fekete test az az idealizált test, amely minden érkező sugárzást teljes egészében elnyel. (Jó közelítéssel ilyenlehet egy kicsiny nyílású üreg.)

A kísérleti vizsgálatok során a fekete test esetében két fontostörvényszerűséget fogalmaztak meg.

E A Stefan-Boltzmann-törvény szerint az egységnyi felületről egységnyi idő alatt kisugárzott energia arányos a test abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával.

[t ] a Wien-féle eltolódási törvény szerint minden hőmérséklethez tartozik egy hullámhossz, ahol a sugárzás intenzitásamaximális. Ez a hullámhossz fordítva arányos a hőmérséklettel (4.7. ábra).

A 4.7. ábrán látható tapasztalati összefüggést sok fizikus




4.7. ábra

formáját megadni. Ez azonban a klasszikus fizika keretein belülnem sikerült. Max Planck (1858-1947) vizsgálatait szintén az a cél vezérelte,hogy magyarázatot találjon az előbbi törvényekre. 1900-ban kutatásai során arra a meglepő eredményre jutott (bár saját bevallása szerint csak modellszerűen értelmezve), hogy akkor kapkielégítő magyarázatot a tapasztalati eredményekre, ha feltételezi a következőket.

[H Egy test részecskéi (atomok, molekulák vagy ionok) nemfolytonosan, hanem elkülönült adagokban (kvantumokban)

sugároznak ki és nyelnek el energiát. Ez a véges energiaadag arányos a sugárzás frekvenciájával:

E ^ h f

Az arányossági tényezőh = 6,6.10~^Js, amelyet ma Planck-állandó néven emlegetünk.

így jelenik meg először az energiaadag (energiakvantum) fogalma. Ez a korabeli fizikusok számára megdöbbentő ellentmondásban volt a klasszikus szemlélettel, ami a folytonos energiaközlés lehetőségét természetesnek tartja.



A kristályok fajhője

Dulong és Petit mérései legtöbb kristály molhöjét - elegendően magas hőmérséklet felett - 25 J/K értékűnek mutatták. A kristályok többségére széles hőmérséklet tartományban

jó közelítés a Dulong-Petit-szabály. Alacsony hőmérsékletenazonban a molhő értéke erősen csökken, és van olyan kristály(pl. a gyémánt), melynek molhője már szobahőmérsékleten iserősen eltér a 25 J/K értéktől.

A magyarázat sokáig váratott magára. Végül Einstein oldotta

meg a kérdést 1906-ban, ismerve és felhasználva Planck ötletét.H] A kristály nem képes akármilyen kis energiát felvenni, hanem csak egy meghatározott kis energiaadag egész számútöbbszörösét. Ez az energiakvantum arányos a frekvenciával,az arányossági tényező a Planck-állandó.

Einstein megoldásában feltette, hogy a kristályban mindenrugalmas hullám azonos frekvenciájú, ami nem helytálló, így aző modelljét később Peter Debye helyesbítette.

A jelenség magyarázata szintén az energiakvantum létezéséttámasztotta alá.


4.1.4. AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁM ADAGOSSÁGA

A fotoeffektus (fényelektromos jelenség)

Tapasztalati tényként ismert az a jelenség, hogy fény hatásáraa fémek felületéről elektronok léphetnek ki. Ez a fotoeffektus,

azaz a fény elektromos jelenség.A mérések szerint azonban a fény intenzitásától független az

a tény, hogy valóban megtörténik-e az elektron kilökődése azanyagból: ez csak a fény frekvenciájától függ. A vörös fény általában nem, az ibolya ritkán, do. ultraibolya sok fém esetén elegendő a jelenség bekövetkezéséhez. A fény intenzitása csak akilépő elektronok s ámát határo a meg a kilépés bekö etke




zését és a kilépő elektron energiáját nem. A klasszikus szemlélet alapján ezt a tényt nem lehetett magyarázni.

A problémát Einstein oldotta meg, felhasználva a fény, mint

elektromágneses hullám adagosságát.

HJA fény nem folytonosan, hanem adagokban, kvantumokban szállítja az energiát. Egy energiakvantum nagysága arányos a fény frekvenciájával.

e = h f

A z elektromágneses hullámban terjedő energiakvantum a fo ton. Az anyagban kötött elektron egyszerre mindig csak egy fotonnal találkozik, amelynek energiája nagyobb kell legyen azelektron kötési energiájánál ahhoz, hogy az elektron kiszabaduljon.

Ezzel a gondolattal lehetővé válik a kötési energia mérése is.A konkrét kísérlet a következő:

E Erősen légritkított üvegedényben helyezzünk el fémlapot,majd vele szemben egy másik elektródát (4.8. ábra). A kételektródát összekötve és a fémlapot megvilágítva, a körbenáram folyik. Kapcsoljunk a két elektródára olyan feszültséget,

hogy a fémlap legyen pozitív töltésű, és változtassuk úgy a feszültség nagyságát, hogy a kezdeti elektronáramlás az ellentér hatására éppen megszűnjön. Az így mérhető feszültséget megszorozva az elektron töltésével, megkapjuk azt a munkát, amit



a tér végzett, miközben a fémlapból valamilyen sebességgel kilépő elektront lelassította. Ez tehát éppen egyenlő az elektronkezdeti mozgási energiájával. A foton energiájánák egy része

tehát a kilépési munkát szolgáltatta, másik része pedig az eltávozó elektron mozgási energiáját adta. A következő összefüggés írható fel:

h f = W + lm v^ = W + qU Zi

ahol

= qU

Ismerve a fény frekvenciáját innen a kilépési munkakiszámítható.

A jelenség gyakorlati alkalmazását látjuk a fotocellák működésekor.

A Compton-effektus

Compton (1892-1962) amerikai fizikus végezte el azt akísérletsorozatot, amelyben nagy energiájú elektromágneses fotonok szóródását figyelte meg lényegében szabad elektronokon. Ennek során az elektromágneses hullám kvantuma, a foton úgy viselkedett, mint egy részecske, azaz a megszokottenergia- és impulzusmegmaradási tételek igaznak bizonyulnak (relativisztikus korrekcióval), ha a foton impulzusát a követke-zólcéppen határozzuk meg.

c A

ahol c az elektromágneses hullám sebessége, A pedig a hullámhossza. A foton tömege így a következő:

h f &

264 __________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA _____________________



4.1.5. AZ ELEKTRON MINT HULLÁM

Az elektromágneses huUám, a fény kettős természete

(hullámként és részecskeként is képes viselkedni) hívta fel Louis de Broglie (1892-1987) francia fizikus figyelmét arra,hogy az eddig részecskének ismert elektronnak is lehet hullám-tulajdonságot tulajdonítani. Vizsgálatai során a foton esetében bevált gondolatmenetet fordította meg. Ismerve az elektronimpulzusát, adjuk meg ennek alapján a hullámhosszát:

A - - - ^


I mv

Feltevése helyesnek bizonyult, az elektron hullámhossza azóta Broglie-hullámhossz néven ismert.

A kísérleti bizonyíték 1927-ben született meg. Davisson (1881-1958) és Germer (1896-1971) amerikai fizikusok elekt

ronnyaláb kristályon való áthaladásakor interferenciát figyeltek meg, ami egyértelműen hullámjelenség. Azóta más részecskékkel (például protonokkal, neutronokkal) is végeztek ilyen diffrakciós kísérleteket, s a hullámtulajdonság minden esetben kimutatható volt.

Broglie feltételezése tehát minden részecskére általánosítható. Gyakorlati alkalmazását látjuk például az elektronmikrosz

kóp működése során.

4.1.6. Á RÉSZECSKE-HULLÁM KETTŐSSÉG

Kialakult tehát az a kép, hogy a mikrovilág tagjai, pl. azelektron és k foton, egyszerre részecske- és hullámtulajdonsá

gokkal is rendelkeznek, amiknek megnyilvánulásait a körülmények határozzák meg. Általában azt lehet mondani, hogy amozgás, mint tulajdonság mindegyikre jellemző, és terjedésnél általában hullámként, kölcsönhatásokban általában részecskeként mutatkoznak meg. Ezt a tárgyalási módot az adagosság fi zikája néven is emlegetik, innen származik az elnevezés: kvantumfizika



összes tapasztalatot egységes rendszerbe kell foglalni. Egymástól függetlenül több fizikus is kísérletezett a matematikai elmélet kidolgozásával. Heisenberg (1901-1976) mátrixokkal,Schrödinger (1887-1961) komplex állapotfüggvénnyel alkotottegységes matematikai leírást, később maga Schrödinger mutatta ki a két leírás egyenrangúságát. Dirac (1902-1984) operátorokkal dolgozott, majd a relativisztikus kiterjesztéssel általánosította a kvantummechanikát.

így jutott el a tudomány a mai szemlélethez, amelynek alapjaa valószínűségi leírás. A részecskére jellemző fizikai mennjáségtöbb lehetséges értékét tudjuk adott körülmények között meghatározni, mindegyik értékhez hozzátéve a bekövetkezésvalószínűségét. Egy konkrét mérés kimenetele tehát nem jósolható meg biztosan, de meghatározható, hogy több mérést végezve, milyen valószínűséggel kapjuk az egyes értékeket.

A leírt képhez jól illeszkedik az a tétel, amelyet Heisenberg fogalmazott meg minden részecskére vonatkozóan.

H] Egy részecske helyének és impulzusának egyidejű meghatározása nem lehet tetszőlegesen pontos. A két mennyiség bizonytalansága összefügg, a mérési hibák szorzata nem lehetkisebb egy állandó értéknél, bármilyen „pontos” mérőberendezéseket fejlesztünk is ki.

Ezt a törvényt szokás Heisenberg-féle határozatlansági relációnak nevezni.Például az x tengely menti mozgásra nézve ez így fejezhető ki

képlettel:

A A . h A x ■AIx > — 47T

ahol Ax a hely, AIx az x irányú impulzus bizonytalansága, h a Planck-állandó.




4.1.7. ATOMMODELLEK

A Thomson-modell

A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi.Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja össze az atomot, milyen szerkezetű, és hogyan magyarázható a kívülről tapasztaltsemlegesség.

/. /. Thomson talált először érveket amellett, hogy az atom

ban található elektronok száma nem túl nagy, az atom tömegének nagy részét a pozitív töltésű rész adja. Elképzelése szerintaz atom egész térfogatát kitölti a folytonosan elosztott pozitívrész, s ebben vannak beágyazva az igen kis méretű elektronok.Ezek vagy nyugalomban vannak az atom középpontjában, vagymeghatározott sugarú pályákon körben keringenek. A modell - bár nem sokáig volt elfogadható -, igen pozitív szerepet játszotta kutatásokban, mivel teljes egészében figyelembe vette a klasz-szikus elektrodinamika törvényeit (pl. hogy a gyorsuló töltés sugároz), és itt vetődött fel először az elektronburok héj szerkezete.

A modell azért nem maradt sokáig érvényben, mert hamar kiderült, hogy az atomban viszonylag sok hely van, és így nemlehet folytonos kitöltésű.

A Rutherford-modell

Rutherford (1871-1937) munkatársaival kísérleteket végzettaz atom szerkezetének vizsgálatára. Nagy energiájú héliumatommagok vékony férnfólián való áthaladásának vizsgálata so

rán a tapasztalat szerint a pozitív töltésű héUumatommagok nagy számban áthaladtak a vékony anyagrétegen. Ez mutatja,hogy az atom igen „szellős” szerkezetű, tömegének nagy részeigen kis helyre koncentrálódik. Másrészt néhány részecske jelentősen, nagy szögben elkanyarodott, szóródott, ami csak nagy

pozitív töltésű centrumokkal való ütközéssel magyarázható. Ezvolt a híres szórási kísérlet.

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA __________________



1911-ben meg az újabb atommodell. Eszerint az atom közép pontja az atom méreténél három nagyságrenddel kisebb pozitívmag, amely körül, mint bolygók a Nap körül, keringenek azelektronok. Az elektronokat az elektrosztatikus vonzóerő tartjakörpályán.

A körpályán keringő elektron azonban, mivel gyorsul, ezértsugároz, és így fokozatosan elveszti energiáját, az atom tehátnem lehetne stabil. A modell ezen hibája hamar nyilvánvalóvávált.

A Bohr-modell Niels Bohr (1885-1962) a következőképpen oldotta meg az

előző problémát. Alapkövetelményeket fogalmazott meg indoklás nélkül az atomban kötött elektronnal szemben. Ezek a

Bohr-féle kvantumfeltételek.Az atom elektronjai csak meghatározott pályákon keringhet

nek a mag körül. Az ilyen pályán keringő elektron - a klasszikus fizika törvényeivel ellentétben - nem sugároz. Az atomcsak akkor sugároz, ha az elektron az egyik pályáról a másikraugrik. Ilyenkor a két pálya közötti energiakülönbséget az elektron egyetlen foton formájában kisugározza, amelynek így azenergiája:

h f — En2 -Eni

Energiaelnyelésnél, gerjesztésnél fordított folyamat játszódik le. A modellt később Sommerfeld (1868-1951) fejlesztette tovább, kiegészítve a körpályákat ellipszispályákkal.

Az elmélet legfontosabb érdeme, hogy magyarázatot adott adiszkrét energiaszint létezésére, és a legegyszerűbb esetekben aszínképelemzés tapasztalatait is értelmezni tudta. Szemléletes

képet festett az elektronpályák alakjáról, az atomfizikával kapcsolatos plakátok többsége ma is ezekhez a modellekhez kapcsolódik.

IS A diszkrét energiaszintek létezését jól igazolták Franck (1882-1964) és Hertz (1887-1975) kísérietei, amelyekben higanyatomokat gerjesztettek gyorsított elektronokkal való ütkö




ATOM-ÉS MAGFIZIKA

zéssel. Az elektron csak jól meghatározott energiaadagokat voltképes átadni a higanyatomnak.

A modell végül kiegészült a forgó elektronnal, amelynek így sajátperdülete (spinje) és saját mágneses momentuma van. Ezek a külső mágneses térhez képest különböző módon állhatnak.

Egy atom kötelékébe tartozó elektron így négy kvantumszámmal jellemezhető. Az n főkvantumszám (pozitív egész) a

pálya sugarát és ezzel együtt az energiáját jelzi. Az l mellékkvantumszám (értéke l,2,...,n-l) a pálya alakját jelzi. Az mmágneses kvantumszám (értéke - 1 és + 1 közötti egész szám),illetve az s spinkvantumszám (értéke +^/2 vagy -^/a) azt határozza nieg, hogy az atomi pálya impulzusmomentuma, ill. azelektron saját impulzusmomentuma a külső mágneses-térhezképest milyen helyzetben van. így értelmezhetők a Zeemann-, ill. Stark-effektus néven ismert jelenségek, amelyekben az atomienergiaszintek mágneses és elektromos terekben megváltoznak,felhasadnak több szintre.

1925-ben fogalmazza meg Pauli (1900-1958) a kizárási elvet.

□ Egy atomban egyensúlyi állapotban minden elektron csak más-más állapotban lehet, azaz nem lehet két elektronnak azonos a négy kvantumszáma.

Ez a Pauli-elv egy atomra vonatkozó megfogalmazása. Megjegyezzük, hogy a Pauh-elv összetett rendszerekben is érvényes.

A Bohr-modell alapfeltevését (a gyorsuló töltés bizonyos pályán nem sugároz) azonban axiómaként igen nehéz volt elfogadni, ezért egyre több kifogás merült fel az elmélettel szem

ben. Ráadásul a modell a hidrogén után már a hélium spektrumát sem tudta megmagyarázni, nem beszélve a bonyolultabbelemekről. így tehát az elmélet, óriási eredményei ellenére, hi

bás következtetései miatt túlhaladottá vált, maga Bohr is csak induló lépésnek tekintette, és kortársaival együtt kereste a jobbmagyarázatot. Ennek ellenére mind a mai napig használjuk aBohr-modellt, amit a modell nagyfokú egyszerűsége indokol.



nimumra való törekvését is figyelembe vesszük, nyomon követhetjük a Mengyelejev-féle periódusos rendszer felépítését.A rendszer és az elemek sorrendje fizikai magyarázatot kap,

aminek igen nagy jelentősége van.

A valószínűségi modell

1927-ben kísérleti igazolást kapott de Broglie elektronra vonatkozó hullámhipotézise, amely nagy lökést adott a korábbanemlített matematikai vizsgálatoknak. Elfogadottá vált a hul

lám-részecske kettó'sség, és a határozatlanság irreláció miatt akonkrét elektronpálya tarthatatlansága.Ma azt mondjuk, hogy az atomon belül az elektron lehetsé

ges tartózkodási helyét és az ott-tartózkodás valószínűségét adhatjuk meg. A legvalószínűbb helyek például a hidrogénatomesetében megegyeznek a Bohr-féle pályáknak megfelelő gömbhéjakkal. A kvantumszámokat továbbra is használjuk, azonban

nem annyira a pálya alakja, sokkal inkább az elektron energiaszintjeivel kapcsolatban, ami persz^ szorosan összefügg az előfordulási tértartomány mintázatával.

Ha szemléltetni akarjuk az atomon belüh elektront, akkor inkább az állóhullámokhoz hasonlítjuk. így talán látható, mit is

jelent az, hogy az elektron a lehetséges helyeket egyszerre kitölti. Ha azonban detektálni, befogni akarjuk az elektront, az ré

szecskeként, egy pontban jelenik meg.


4.1.8. KÉMIAI KÖTÉSEK

A kvantummechanika magyarázatot ad az ún. zárt elektronhéjak stabilitására, így a kémiai kötésekért általában a külső

elektronok a felelősek. Az egyszerű kötések ezután már köny-nyen érthetőek.



A heteropoláris (ionos) kötés

Ha egy-két elektron helyezkedik el az utolsó zárt héjon kívül,

akkor azok könnyen leszakíthatok az atomról. Ha viszont néhány hiányzik a zárt szerkezethez, akkor az atom könnyen befog elektronokat. így egyszeres elektroncsere megy végbe például a NaCl esetében, és kétszeres a ZnS létrejöttekor. Azelektron elvesztése vagy befogása azonban elektromosan töltöttiont eredményez, amelyeket a Coulomb-törvény szerint vonzóerő tart össze.

A homeopoláris (kovalens) kötés

Semleges atomok kapcsolódását a valószínűségi pályák alap ján gyakran könnyen megérthetjük. Például két hidrogénatommagja taszítja egymást, tehát szétlökődnének. A két pozitívmag vonzóereje azonban kölcsönösen megváltoztatja egymás

elektronjának valószínűségi pályáit. Mindkét elektron lehetséges helyei közül nagy valószínűséget kap a két mag közötti tartomány, leárnyékolják a magok taszítását, ezzel jön létre a hidrogénmolekula. Nagyobb atomok esetén is hasonló a helyzet.

A fémes kötés

Fémek esetén a legkülső elektronok nem rendelhetők különálló atompárokhoz, hanem a fémrácshoz, mint egészhez tartoznak. A fémek rácsszerűeh összekötött atomtörzsekből állnak,amelyek között a leszakadt vegyértékelektronok elektrongázként szabadon mozognak. A pozitív töltésű atomtörzsek és anegatív töltésű elektronok közti vonzóerő tartja össze a rácsot.

A Pauli-elv a fémek részben szabad elektronjaira is érvényes.

Mivel a sok elektron egyszerre az egész rácshoz tartozik, ezértaz energiaszintek sokszorosan felhasadnak. Ez azt jelenti, hogyenergiasávok alakulnak ki, amelyeken belül nagyon sok, egymáshoz igen közeli energiaszint valósul meg. Ezeket a sávokattöltik be az elektronok.

_____________________ ATOM-És MAGFIZIKA __________________



4.2. MAGFIZIKA

4.2.1. AZ ATOMMAG LÉTEZÉSE

[Hl A Rutherford-féle szórási kísérlet lényeges elemeit azatommodellek tárgyalása kapcsán ismertettük. Most emeljük kiaz atommagra vonatkozó fontos következtetést. A bombázó részecskék nagy számban keresztülhaladtak az anyagon, amibőlaz következik, hogy az atom nem tömör felépítésű. Kiderült,hogy az atom igen kisméretű, pozitív töltésű magból és az elekt

ronok alkotta burokból áll. A mag méretére öt nagyságrenddelkisebb értéket kaptak a mérések során, mint maga az atom mérete. így érthetővé válik, hogy a mag pontszerű, pozitív töltésnek felel meg, tehát a kémiai folyamatokban az atommag nemis játszik szerepet.

Az atomfizika tárgyalása során láttuk, hogy a tudósok figyel

me a XX. század első évtizedeiben elsősorban az atom külsőtartományára, az elektronburok leírására irányult. Bár az atommagjával kapcsolatos jelenségek már 1896-tól, a radioaktivitásfelfedezésétől kezdve jelen voltak a kutatási témákban, a külső burok és a mag vizsgálata csak Rutherford kísérleti eredményeinek következtében válhatott ketté. Ez az 1911-es dátumhozkapcsolódik. Ettől kezdve vizsgálták tudatosan az atom magját,

s a figyelem a neutron felfedezése után, a harmincas évekbenfordul igazán e terület felé.

A magfizikai kutatások során le kellett győzni az elemek egyforma atomjaiba vetett hitet, amit a kémia eredményei mindaddig általános törvényként sugalltak. Az egyes elemek atomjaisem bizonyultak mindig egyformának például tömegük, radioaktivitásuk alapján, s megjelentek a spontán elemátalakulások,ahogyan azt az alkimisták elképzelték. Emellett kiderült, hogya magban lezajló folyamatok sok nagyságrenddel nagyobb energiafelszabadulással járnak, mint a kémiai folyamatok. Ez elvezetett a tömegmegmaradás és az energiamegmaradás törvényeinek egységesítéséhez, a tömeg-energia ekvivalenciaelv felismeréséhez.




4.2.2. AZ ATOMMAG FELÉPÍTÉSE

A proton felfedezéseMár Rutherford feltételezte a kísérleti tapasztalatok alapján,

hogy léteznie kell egy olyan részecskének, amelynek az elektron töltésével egyező abszolút értékű, pozitív töltése van.Tömegét az atommagok osztályozásával lehetett megbecsülni,ha az elemek atomjainak tömegét a hidrogénatom tömegével

összehasonlították. A becstilt érték az elektron tömegénél kb.1840-szer nagyobbnak adódott.

[1 Az elem rendszáma (Z) megadja a semleges atom külső burkában lévő elektronok számát, ill. a mag ezzel egyenlő pozitív töltéseinek számát.

[U Az elem relatív tömegszáma (A) azt fejezi ki, hányszor nagyobb tömegű az illető elem egy atomja a hidrogénatom tömegénél, ill. mai megfogalmazás szerint a szénatom tömegének 12-ed részénél.

A feltételezett részecske gondolata annjdra természetes volt,s egyéb paramétereit is olyan pontosan meg lehetett határozni,hogy létezésében senki sem kételkedett, s a kutatások, számítá

sok eszköze lett. A proton elnevezést is Rutherford adta. Akísérleti bizonyítással azonban 1925-ig várni kellett, így a proton ékes példája a tudományos előfelfedezések fontosságának.

B A kísérleti kimutatás P. Brackett (1897-1974) nevéhez fűződik, aki atommagok ütközéseit vizsgálta. Sikerült rögzítenieazt az eseményt, amikor a nitrogénmag elnyelte az ütköző ré

szecskét, s protonkibocsátás mellett oxigénmaggá alakul át.Ezzel vált bizonjatottá a proton létezése.

A neutron felfedezése

Rutherford a kísérleti tapasztalatok alapján először úgy képzelte (1910) hogy a Z rendszámú magban A darab proton és




atom, és a protonokat és elektronokat az elektromos vonzóerőtartja össze. Elképzelését azonban el kellett vetnie, amikor Heisenberg 1927-ben kimutatta annak tarthatatlanságát. A ha

tározatlansági törvény szerint ugyanis, ha az elektron a mag méretének megfelelő igen kis helyen tartózkodna csak nagyvalószínűséggel, akkor impulzusa, s ezzel sebessége olyan nagylenne, hogy ekkora mozgási energiával nem lehet ott tartani aCoulomb-erő segítségével. így már nagyon hamar felvetődöttegy semleges részecske létezésének gondolata.

(H 1930-ban különös jelenségeket észleltek a kísérletezők,mikor berilliumot héliummagokkal bombáztak. A bombázáshatására olyan áthatoló sugarat kaptak, amely vastag ólomlemezen is áthatol és nem ionozál, vagyis töltéssel nem rendelkezik. A sugárzás hatására a hidrogéntartalmú anyagból hihetetlen energiájú protonok léptek ki. A jelenséget Chadwick (1891-1974) értelmezte 1932-ben, neutronok kilépésével, a következő

reakció szerint;2Hé -f4 Be® = 6 + 0

A hélium" és beriliumatom találkozásakor tehát szén és azeddig ismeretlen sugárzást alkotó részecske, neutron keletkezett. Ez a felismerés tekinthető a neutron felfedezésének.

A neutron ismeretében módosul az atom szerkezetéről alkotott kép. A mag Z darab protont és A -Z darab neutront tartalmaz, az atomburokban pedig Z darab elektron kap helyet.

A nukleonok

IE A proton és a neutron, azaz a mag alkotói, közös neve a

nukleonok.

A nukleonok sokkal nagyobb tömegűek, mint az elektron. Aneutron kicsit nagyobb tömegű a protonnál:

274 __________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA ________ _____________

= 1, 672648- 10^27




m „ = 1,674953-10-2^ A;5

me = 9,1 09 53- 10"^^

Eszerint tehát az anyag igen szellős felépítésű. Tömegének 99,98%-a az atomok magjában, nagyon kis helyen van össze-síJTÍtve. A mag 16 nagyságrenddel sűrűbb, mint az elektronburok.

Mivel a neutron tömege közel azonos a proton tömegével,ezért első pillantásra megdöbbentő, s igen fontos mérési ered

ményként adódik az a tény, hogy az elemek tömegszámaközelítőleg sem fejezhető ki egész számmal. Kiderült, hogy egyadott elem magjában, azonos protonszám mellett, különbözőszámú neutron lehet. A többféle előfordulás miatt átlagos értékként kapjuk a törtszámmal kifejezett atomsúly értéket.

IH] Egy adott elem különböző tömegszámú atomjai az illető

elem izotópjai.

A különböző izotópok tehát kémiailag egyformán, de másszempontból (például stabilitásukat tekintve) különbözőkép

pen viselkednek. Éppen ezért van nagy jelentőségük a magfizikai folyamatokban.

A mérések szerint a protonok és neutronok száma a kis rend

számú elemek magjában általában azonos. A nagy rendszámú



elemek esetén ez az arány eltolódik a neutronok javára, ami arendszám és a tömegszám összehasonlításával jól látható (4.9.ábra). A tapasztalat a későbbiekben akkor válik érthetővé, ami

kor megvizsgáljuk a magot összetartó erőt, ill. az atommagenergiaviszonyait.

Erős kölcsönhatás

Az atommagot összetartó erőhatás természetének teljes megértése az elméleti fizikusok számára a mai napig sem lezárt

problémakört képez. A gravitáció nem elég erős. Az elektromos vonzás nem jöhet szóba, hiszen a neutron semleges részecske, míg az egymáshoz rendkívül közel elhelyezkedő protonok óriási erővel taszítják egymást. Egy új típusú kölcsönhatás jelenik meg tehát a nukleonok között, amelynek általános jellemzői a következőkben foglalhatók össze:

- a kölcsönhatás elektromos töltéstől független,

- bármely két nukleon között vonzás jellegű,- erősebb, mint az elektromos, hiszen legyőzi a protonok taszítását (innen származik az elnevezés),

- igen kis hatótávolságú, csak a közvetlenül szomszédos néhány nukleon között hat.

Az atommag sűrűsége

Hofstadter (1915-) szórási kísérleteket végzett az atommagméretének pontosabb vizsgálata céljából. A mérések megerősítették Rutherford eredményeit, miszerint az atommag méretének nagyságrendje

Hofstadter méréseinek következményeként adódott viszontegy, az energiaviszonyok szempontjából, nagyon fontos felismerés. Ha egy nukleon átlagos sugara

ro S 1, 2 -

és a mag sugara evvel és a tömegszámmal kifejezhető




akkor az atommag térfogata képlettel kifejezveV = ^P?T^ = ^rl'K-A

Tehát az atommag térfogata a tömegszámmal arányosnak bizonyult.

Ez azt jelenti, hogy a mag sűrűsége nem nő a tömegszám növekedésével, mint az elektronburok sűrűsége. Mint látni fogjuk,ez a tapasztalat sugallta az energetikai leíráshoz az egyik lehetséges magmodellt, amely az atommagot az állandó sűrűségű, ösz-szenyomhatatlan folyadékcsepphez hasonlítja.

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA __________________ 277

4.3. ENERGIAVISZONYOK A MAGBAN

Az atom és a magfizikában használatos energiamértékegységaz elektronvolt (eV):

[U 1 eV annak az elektronnak a mozgási energiája, amely állóhelyzetből 1 V feszültség hatására gyorsult fel, tehát leV =1,602 ■ A magfizikában szokásos energiák nagyságrendje az elektronvolt milliószorosa: lO^eV = IMeV (ejtsd:megaelektronvolt).

4.3.1. A TÖMEGDEFEKTUS

[U Ha a magot alkotó nukleonok saját tömegét összeadjuk,akkor nagyobb értéket kapunk, mint a mag tömege. Ez a jelenség a tömegdefektus (tömeghiány). Képlettel:

Z ■mp + {A —Z) ■run > M

E tényhez tartozik még egy kísérleti tapasztalat. Például, amikor egy deutériummag létrejön, ami egy protonból és egy neutronból áll, azaz a nukleonok kölcsönhatásba kerülnek, egy igennagy energiájú elektromágneses foton távozik el tehát a folya



nők beépülése természetesen több lépcsőben zajlik. A folyamatot megfordíthatjuk. Ha a nukleonokat újra szét akarjuk szakítani, azaz a kötéseket felbontani, akkor ehhez az elektromágne

ses sugárzás által elvitt energiát kell befektetnünk.A magyarázat a relativitáselméletben megfogalmazott tömeg-energia kapcsolat segítségével adható meg. A hiányzó tömegnek megfelelő energiát a keletkező és eltávozó fotonok viszik magukkal.

Im A tömeghiánynak megfelelő energia a kötési energia:

A M ■ = Ekötési

A tömeg-energia ekvivalenciájának elve alapján tehát a folyamatok tömeg és energia egységekben is leírhatók. A tömeget gyakran relatív atomtömegegységekben adják meg.[S Példa a kétféle leírásra:Hidrogén és lítium egyesülésekor két héhumatom és felszaba

duló energia keletkezik. Az első sor a kémiában használatosreakcióegyenlet, a második sor a relatív atomtömegeket mutat

ja, az energiát is ilyen egységben kifejezve:

\H + i L i = \He + \He + 17,4 MeV1,007825 + 7,016005 = 4,002604 + 4,002604 -I- 0,018622

B Példa a tömeg-energia átszámításra:

Egy hélium atommag összetevőit relatív atomtömeg egységek ben kifejezve a tömegdefektus nagyságát átszámíthatjuk energiaegységbe:

2p + 2n 7^ \He

2-1 ,00727661 + 2-1 ,008665 20 7^ 4,001507

Am = 0 ,0303766 {rel. at. tömeg) = 28,298 MeV

A kötési energiát elosztva a tömegszámmal megkapjuk azegy nukleonra jutó átlagos kötési energiát:

Am 28,298 MeV ^ — = ^ ^ ------- = 7,074 MeV A 4

Az atommag energiáját az előzőek alapján általában a követk ő ód j ll k é iáli iájú áll




nak tekintjük a nukleonok szabad állapotát. Ha a nukleonok atommaggá kapcsolódnak össze, akkor a mag együttes energiá

ja a kötési energiának megfelelő értékkel csökken a zérus alá,vagyis negatív. Ebből az állapotból természetesen pozitív energiabefektetéssel tudjuk a nukleonokat kiszakítani. A mag létre

jötte pozitív energiafelszabadulással jár.

4.3.2. AHÉJMODELL(1934)

Az egyik lehetséges magmodell a következő megállapításonalapszik. A nukleonok csak a közvetlen szomszédjukhoz kapcsolódnak erős kölcsönhatással így más jellemző potenciálgör

bét képzelhetünk el a leírásukhoz, mint az elektron esetében.Az összes nukleontól származó közepes potenciáltér alakul ki,amelyben minden egyes nukleon a többitől független, önállómozgást végez. A nukleonok állapotaihoz ugyanakkor hasonló

módon rendelhetünk kvatumszámokat, mint az elektron eseté ben. Itt is érvényes a Pauli-elv, azzal a különbséggel, hogy ittmindig az azonos spinű helyzetet veszik fel először (Anti- Hund-szabály). Ezenkívül külön érvényes a Pauli-elv a protonokra és a neutronokra. Ezekkel a megállapításokkal dolgozik a modell (4.10. ábra).

_____________________ ATOM-ÉS MAGFIZIKA __________________ 279

Potenciál-gödör Gne rg i a s z i n t j e i

4.10. ábra

A modell érdeme többek között az, hogy indoklást ad azatommag belsejében diszkrét energiaszintek létezésére Segít



keletkezett vagy megkötött nukleon alapállapotba kerülésének következményét, hasonlóan az elektron fotonkibocsátásához.Ezenkívül a modell utal lezárt héjú, tehát stabil magokra. De ez

valóban csak utalás, mivel a tapasztalatok szerint egészen másnukleonszámoknál találunk kiugró stabilitást. A tapasztalt sta bil nukleonszámok a következők; 2, 8, 20, 50, 82,126. Ezeket aszámokat csak jóval később, egy javított héjmodell segítségéveltudták értelmezni.

4.3.3. ACSEPPMODELL(1936)

Ehhez a modellhez az a gondolat vezetett, hogy az atommag sűrűsége minden atommagra közelítőleg egyforma. Ez a tulajdonság a folyadékcseppre jellemző, innen az elnevezés.

A modell segítségével a tömegdefektus a következő empirikus képlettel bontható fel tagokra:


M = Z ' Ui p ^ {A - Z ) - m n -

A zárójelben lévő kifejezés a tömeghiány, különböző tagokra bontva. Az első tag a nukleonok számával egyenesen arányosannövekvő, úgynevezett térfogati energiát fejezi ki, azaz az erőskölcsönhatást. Ez tehát mélyíti az energiát, ami a mag stabilitása szempontjából javítja az energiamérleget. A második tag, mi

vel a tömegszám harmadik gyöke a mag sugarával arányos (lásdkorábban), így a mag sugarának négyzetével, azaz a mag felületével arányos. Azt fejezi ki, hogy a mag felületén lévő nukleonkevésbé kötött állapotban van, ezért rontja a stabilitást. A harmadik tag a rendszám, azaz a protonok számának négyzetévelarányos, vagyis az elektrosztatikus taszítás hatását fejezi ki, amiszintén rontja a stabilitást, emeU az energiaszintet. A negyedik

tag azt jelenti, hogy a protonok és neutronok egyenlő számátólvaló eltérés rontaná a stabilitást, amit a tömegszám növekedése javíthat, ezért szerepel A a nevezőben. Végül az utolsó korrekciós tag a nukleonok páros vagy páratlan számára utal, ami

javíthatja, de ronthatja is a stabilitást.Az energiamérlegen való rontás és javítás akkor érthető elő-

jelhelyessen ha az egy nukleonra jutó ún fajlagos kötési ener



ATOM-És MAGFIZIKA 281

giát fejez ki. Az előbbi zárójelben lévő kifejezést tehát (-l)-elés c^'-tel szorozva, valamint A-val osztva, a következő kifeje

zéshez jutunk: E b2 A ' ^

- h

A modell legnagyobb sikerét a maghasadás értelmezésévelaratta.

Mindkét eddig tárgyalt modell csak bizonyos jelenségkör leírására alkalmas, mint ahogy készült úgynevezett optikai modell is a magreakciók kvantitatív leírására. Az egységesítésitörekvések eredményeképpen 1952-ben született meg a kollek-tívmodell, Aage Bohr (1922-, Niels Bohr fia) és Mottelson (1926-) munkája nyomán.

4.3.4. A FAJLAGOS KÖTÉSI ENERGIAAz egy nukleonra jutó átlagos kötési energia, a fajlagos kötési

energia. A-tói és Z-tól függő kétváltozós függvény. Ezt ábrázolva egy felületet kapunk, amelynek metszetei a tömegszám mentén haladva parabolák, hiszen a függvény Z-ben másodfokú.Ábrázoljuk a fajlagos kötési energiát most a másik változó, a tömegszám szerint. (4.11. ábra)



A görbe alakját a kötési energia egyes tagjai különböző tartományokban más-más mértékben határozzák meg. A kis tömegszámú elemek esetében az összes nukleonszámhoz képest sok

nukleon található a mag felszínén, azaz kevésbé kötött állapot ban. Ezért a felületi energiatag erősen emeh az energiaszintet.A nagy tömegszámú elemeknél a felületi energia jelentőségecsökken, viszont egyre több a protonok száma. Ezért nő aCoulomb-erő taszító hatását kifejező tag, s ezzel együtt emelkedik áz energiaszint. Itt rontja még a stabilitást a protonok ésneutronok számának egyre nagyobb eltérése is.

A jellegzetes görbe bal oldala azt mutatja, hogy nő a kötésienergia, azaz mélyül az energiaszint, ha a nagyobb tömegszámfelé haladunk. Ez azt jelenti, hogy a kis tömegszámú elemeknélaz egyesülés, a fúzió során szabadul fel energia, ez lehet azenergiatermelés módja.

A görbe jobb oldalán a nagy tömegszámú elemek találhatók.Itt akkor haladunk a mélyebb energia felé, ha bomlanak a ma

gok, hasadnak. Ez tehát a másik energiatermelési lehetőség.Mindkét utat részletesebben tárgyaljuk.A görbének minimuma van az 58 tömegszám környékén. Ez

azt mutatja, hogy a természetben lejátszódó energiatermelőmagreakciók ezen állapot, tehát a vas felé haladnak. Szokásezért a teljes energiafelület ezen részét „vastónak”nevezni. (AzUniverzum még fiatal - sok mag még nem jutott el a „vastó

ba”.)


4.4. A RADIOAKTIVITÁS

4.4.1. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁS

A radioaktivitás jelensége már nagyon korán, az atommaggalkapcsolatos vizsgálatokat évekkel megelőzve, ismertté vált. Becquerel (1852-1908) francia fizikus uránsókkal végzett más jellegű kísérletei során figyelt fel arra, hogy az uránsó kristályának közelében hagyott fényképlemezen előhívás után a kristálynyoma láthatóvá vált. A felfedezést tudatos vizsgálatok követék Ő jd ké őbb Pi é M ié C i ill R h f d



több radioaktív elemet is felfedeztek, s ezek vizsgálata soránlassan fény derült a sugárzás természetére.

A sugárzásokat elektromos vagy mágneses téren átvezetve,azok három különálló részre bomlanak, amelyek erősen külön

böző tulajdonságokat mutatnak. Az is kiderült, hogy a sugárzások a mágból erednek külső energiabefektetés nélkül, tehátmagfolyamatok eredményeképpen jönnek létre. A tulajdonságok értelmezésére és magyarázatára azonban csak akkor kerülhet sor, mikor a valószínűségi leírás és a magmodellek megszü

lettek.4.4.2. A RADIOAKTÍV SUGÁRZÁSOK

JELLEMZŐI

Az a-sugárzás kétszeresen ionizált He atommagokból áll.Ezek a részecskék tehát elég nagy tömegűek, pozitív föltésűek.

Az első szórási kísérleteket éppen evvel a részecskével végezték. Az a-részecskét két proton és két neutron alkotja.

m Az a-részecske előfordulási valószínűsége az atommagonkívül sem zérus a radiaktív elemek esetében. Ez ad lehetőséget arra, hogy a magból bizonyos valószínűséggel kiléphetegy ilyen nukleoncsoport. Ez a jelenség az alagút-effektus.

Ha az előző esemény bekövetkezik, akkor új elem keletkezik, a rendszám 2-vel, a tömegszám 4-gyel csökken. Ez a sugárzás a részecskék természeténél fogva nem nagy energiájú, kisáthatoló képességű.

A ^-sugárzás kétféle lehet, áthatoló képessége nagyobb az

előző sugárzásénál. Vagy elektronokból, vagy azok antirészecs-kéiből, a pozitronokból áll. Ez utóbbiak az elektronnal azonostömegű részecskék, töltésük az elemi töltés nagyságával megegyezik, de pozitív előjelű. A sugárzás létrejöttekor egy nukleon (neutron vagy proton) megsemmisül és egy másik nukleon,az elektron vagy a pozitron, ill. egy eddig ismeretlen semlegesrészecske jön létre amely utóbbi kis tömegű és igen nagy átha




a neutrínó vagy annak antipárja. A ^-sugárzás bekövetkezésekor így a tömegszám nem változik, a rendszám 1-gyel változik, nő vagy csökken.

[p] Példák a /3-bomlásra:

(3~ n + e~ + v

(proton, elektron, antineutrino)

n + e'^ + v

(neutron, pozitron, netrino)

A /3-átalakulás általában azért jön létre, mert az atommagbanegy a-rész kiválása után nem megfelelő a proton-neutron arány,hiszen ezek száma a nagy rendszámú elemeknél nem egyenlő.Az átalakulás ezt az arányt hozza helyre, amely során új elemkeletkezik.

A harmadik, a ^-sugárzás nem hajlik el sem elektromos, semmágneses térben. Ez nagy energiájú, nagy áthatoló képességűelektromágneses sugárzás. Létrejöttét az okozza, hogy a keletkezett neutron vagy proton nem a lehetséges legkisebb energiá

jú állapotban jön létre, hanem magasabb energiájú gerjesztettállapotban, és egy 7 -foton kibocsátásával jut a megfelelő szintre. ^-sugárzás során a tömegszám és a rendszám nem változik,

nem keletkezik új elem.

4.4.3. A TERMÉSZETES RADIOKTIVITÁS

Láthatjuk, hogy a három sugárzás egymás után bekövetkezőmagátalakulások során jön létre. Ha a fajlagos kötési energiagörbéjére tekintünk, érthetővé válik, hogy ilyen folyamatok során közelítenek a nagy rendszámú elemek a vastó felé, azaz aminimáUs energiájú állapot felé.

1 ] A radioktív magátalakulások tehát a természetben lejátszódó spontán folyamatok lehetnek. Ez a jelenségkör a termé

di k i i á




Az atommagokat csoportosíthatjuk stabil és radioaktív ma gokra. Ez a felosztás azonban önkényes, hiszen a stabilnak te

kintett magokról is kiderül, hogy bár hosszú idő alatt (azaz kisvalószínűséggel), de elbomlanak. Megállapodás szerint akkor tekintünk stabilnak egy izotópot, ha ahhoz, hogy atomjainak fele elbomoljon, hosszabb idő szükséges, mint a világegyetem jelenlegi életkora, ami körülbelül tizenhatmilliárd évre tehető.

A radioaktív bomlások mennjdségi jellemzésére vezették bea következő fogalmakat.

[l Ha egy t időpillanat utáni rövid Aí időintervallumbanAn(í) darab bomlás következik be,, akkor a következő kifejezés a folyamat erősségét jellemzi, és aktivitásnak nevezzük:

An(í)O' — ----- — Aí

A negatív előjel arra utal, hogy a magok száma csökken.

[H Az aktivitás arányos a meglévő magok számával n(t), aholaz arányossági tényezőt (A) bomlásállandónak nevezzük:

a{t) = A•n{t)


A természetben található radioaktív izotópok darabszáma atermészetes radiaktivitás során bekövetkező bomlásokkal csökken. A csökkenés azonban nem egyenletes. Nagy számú atomotvizsgálva, statisztikusan egy bizonyos izotóp még meglévőatomjainak mindig azonos hányada bomlik el azonos időtartamok alatt, mértani sorozat szerint. Egy konkrét atom bomlásának bekövetkezéséről azonban semmit nem mondhatunk.

[U Ha egy radioaktív izotóp atomjainak fele T idő alatt bomlik el, akkor minden újabb T időtartam alatt a megmaradtatomok fele fog elbomlani. Ez az időtartam a felezési idő.

Ha a kezdeti atomszám n(0), akkor t időpillanatban a még



n{t) — n(0) •2~ ?

A radioktív bomlás során létrejövő izotópok gyakran szintén

radioaktívak, azaz tovább bomlanak. így jöhetnek létre hosszú bomlási sorok. Mivel a tömegszám csak 4-gyel képes változni(a-átalakulás), ezért egy bomlási sor minden tanának tömegszámát 4-gyel osztva azonos maradékot kapunk. így tehát 4 család különböztethető meg (4.12. ábra).


4.4.4. AZ INDUKÁLT RADIOAKTIVITÁSm Az instabil izotópmag nem csak a-átalakulás során eshetszét. Előfordulhat kis valószínűséggel, hogy a nagy tömegszámú atommag két nála kisebb, de a héliummagnál nagyobbatommagra bomlik szét. Ez az esemény a hasadás, amely általában a már ismert radioaktív sugárzásokkal jár együtt.

4k család 232xh ^ 20|Pb T = 1,8 •10^“ év

4k + 1 család 2gNp ^ T = 2,14 •10« év

4k + 2 család ^ T = 4 ,5 -10»év

4k + 3 család 23|u 207p,, t = 7,04-10* év

A viszonylag nagy felezési idők miatt spontán hasadás ritkán következik be a természetben. Valamilyen külső gerjesztés azon

ban jelentősen megnövelheti a bekövetkezés valószínűségét.Ilyen külső gerjesztés lehet például egy lassú neutron befogása.Szabad neutronokat viszont a nagy tömegszámú elemek maguk szolgáltatnak bomlásuk során. Ennek okát könnyű belátni, hiszen tudjuk, hogy a neutronok száma ezen elemeknél egyre nagyobb a protonokhoz képest. Hasadás közben azonban kisebbtömegszámú elemek keletkeznek, amelyekben fölösleges neutronok lesznek és ezek eltávoznak az újonnan keletkezettmagokból. Szilárd Leótól (1934) származik az ötlet, hogyhasznosítani kellene ezeket a neutronokat újabb hasadások in-dukálásához.

Hahn (1879-1968) és Strassmann (1902-1981) mutattak ki először olyan hasadási folyamatot kísérletileg 1938-ban, amikor



zásakor két közepes tömegszámú elem, két-három szabad neutron keletkezett. Ezek megjelenése adja a lehetőséget, hogy

újabb hasadást okozva, a hasadások láncszerűen kövessék egymást, és a folyamat önmagát tartsa fenn. A láncreakciót először 1942-ben Fermi (1901-1954) csoportjának sikerült a gyakorlat

ban megvalósítani.


4.5. A MAGENERGIA FELHASZNÁLÁSA

4.5.1. HASADÁSOS REAKTOR

Ismerkedjünk meg a gyakorlati felhasználás problémáival! Ahasadás során keletkezett szabad neutronok nagy energiával távoznak az új magok közeléből. A nagy energiájú neutronok azonban kis valószínűséggel ütköznek újabb magoknak, azaz ki

csi az ütközési hatáskeresztmetszetük. Ezért a neutronokat lekell lassítani.

A lassításhoz használt közeg a moderátor, amely általábanvíz vagy grafit.

Ha a neutron hamar elhagyja az anyagot, akkor szintén nem

következhet be az újabb ütközés. így vagy elegendően nagy tömeget, úgynevezett kritikus tömeget halmozunk fel a hasadásraképes anyagból (ezt alkalmazzák az atombombában a folyamatszabályozása' nélkül) vagy a moderátort a hasadó anyag kisebbdarabjai közé kell elhelyezni. Ez utóbbi valósul meg a reaktorokban.

A folyamatot a békés célú felhasználás során szabályozni

kell. Tehát a láncreakciót fenntartva, a hasadó magok és azújabb hasításra képes néutronok száma legyen közel egyenlő.Ezt olyan anyagokkal érik el, amelyek a fölösleges neutronokatkönnyen befogják, például a kadmiummal vagy a bórral.

A hasadás következtében létrejövő ütközések során hő keletkezik, amit el kell vezetni a reaktorból. Erre a célra szintén a vizet használják A keletkező magas hőmérsékletű és nyomású



A reaktorokban általában az uránt használják fűtőanyagként.Az urán izotópjai köztil azonban csak a 235-ös vesz részt a folyamatban nagy valószínűséggel. A 235-ös izotóp a természetes

uránércben csak 0,7%-bán található, amely nem elegendő a folyamat fenntartásához. Ezért az uránércet felhasználás előttdúsítani kell, íizaz növelni kell a 235-ös izotóp arányát a 238-asizotóphoz képest.

A hasadás során keletkező radiaktív elemek és a berendezések radiaktíwá váló tagjai erősen sugároznak, emiatt meg kelloldani a sugárvédelmet is.

A ma használatos reaktorok egyik fajtája a nyomottvizesreaktor. Ebben a dúsított urántömbök között nagy nyomású vizet keringtetnek zárt körben, a víz a moderátor és a hűtő feladatát is ellátja. A szabályozást például kadmiumrudak automatikus mozgatásával biztosítják. A keletkező vízgőz másik zárt vízkör vizét melegíti, ott gőzt termel, s ez hajtja meg a tur

binákat, hogy a generátorokból elektromos energiát kapjunk. A

biztonságot a szigorúan ellenőrzött zárt rendszerek, a sugárvédelmet biztosító falak és a nagyfokú, többlépcsős automatizálásadja.


4.5.2. A FÚZIÓS ENERGIA

A fajlagos kötési energia grafikonja már utalt arra, hogy nema hasadás az egyetlen lehetséges módja a magenergia hasznosításának. A könnyű magok esetében nem a bomlás, hanemaz egyesítés, a fúzió jár energiafelszabadulással. Ilyen folyamatok játszódnak le a csillagok belsejében, mint látni fogjuk a csillagászat tárgyalása során, ahol a fúziós folyamatok konkrétleírása is megtalálható. A mai kutatások egyik legnagyobb

problémája a fúziós energia ipari hasznosításának megoldása.Uránérc viszonylag kevés található, tengervíz és benne hidrogén azonban bőven van, a hasznosítással tehát az emberiségenergiagondja beláthatatlan idóTcre megoldódna.

A fúziós reakció akkor megy végbe, ha a részecskék elegendően nagy mozgási energiával ütköznek. Ez a gyorsítókban

ló íth tó d l ki h tá f kk l h i t lé



re nem gondolhatunk. A nagy mozgási energia magas hőmérséklettel is elérhető a szóba jöhető könnyű atommagok azon

ban csak több száz millió fokos hőmérsékleten képesek fúzióra,

és akkor is csak az alagúteffektus révén. A törekvés arra iránjoiltehát, hogy a Földön is létrehozzanak ilyen nagy hőmérsékletenreakciót, ami egyelőre csak a hidrogénbomba esetében sikerült,ahol persze nincs szó a folyamat szabályozásáról, irányításáról.Az irányított reakció ipari megvalósítása tehát még a jövő feladata.




5. RÉSZECSKEFIZIKA

Az atomfizika és a magfizika fejezetekben már megismerkedtünk néhány elemi részecskével. Tiidjuk, hogy az atomot elektronok, protonok és neutronok alkotják. Néhány magfizikai folyamat során újabb részecskék tűntek fel, a pozitron és aneutrínó. Ebben a fejezetben az anyag további alkotóeleníeivelismerkedünk meg, valamint ezek kutatásának folyamatával ésrendszerezésük lehetőségeivel.

5.1. AZ ELEMI RÉSZECSKÉK TERMÉSZETE

5.1.1. HULLÁM ÉS RÉSZECSKE

Az elektromágneses hullámokkal kapcsolatos vizsgálódásaink során a hullámtermészetnek ellentmondó tapasztalatokatszereztünk a fotoeffektus tárgyalásakor. Kidertilt, hogy az elektromágneses sugárzásban jól meghatározott adagokban terjed azenergia, és ez elvezetett a fotonok felismeréséhez.

Felfedezése után az elektront egyértelműen részecskének te

kintették. Később kiderült, hogy bizonyos körülmények közöttaz elektron is hullámként viselkedik.Mindez arra a fehsmerésre vezet, hogy a mikrovilágbeli ré

szecskéknek, beleértve a fotont és az elektront is, hullámtulajdonságot és részecsketulajdonságot is kell tulajdonítanunk. Eza kettő együttesen jellemző rájuk, s a körülmények határozzák meg, hogy melyik tulajdonság nyilvánul meg jobban.



A szükséges matematikai leírás főként L. de Broglie,, E. Schrödinger, M. Born és W. Heisenberg munkája során alakultki. Kiderült, hogy az elemi részecskéknek a klasszikus fizikai

szemlélettől eltérő, úgynevezett valószínűségi leírás adhatómeg. Vagjás nem mondhatjuk, hogy az elektron itt van és ekkora a sebessége, csak azt, hogy milyen valószínűséggel van itt ésmilyennel ott. Milyen valószínűséggel ekkora a sebessége és milyen valószínűséggel akkora. Két részecske ütközésekor milyenvalószínűséggel történik ez vagy az.

Ezeket szem előtt tartva azonban megérthetjük a természet

viselkedését.Amit eddig elmondtunk, nem csak az elektronra és a fotonra

igaz, hanem minden részecskére, a protonra, a neutronra ésazokra is, amelyeket csak ezután fogunk megismerni.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________^

5.1.2. VIZSGÁLATI EUÁRÁSOKA részecskék konkrét kísérleti vizsgálata, azok méretei miatt,

komoly technikai nehézségeket okoz. Ismerkedjünk meg azokkal az eszközökkel, amelyek lehetővé teszik a vizsgálatok elvégzését!

A Rutherford-féle szórási kísérlet elvét továbbra is alkalmazzák, vagyis azt az eljárást, hogy valamely céltárgyra részecskék áramát bocsájtják, s különböző irányokban észlelik a céltárgyonszóródó anyagok becsapódását. A becsapódások számából következtetnek a szóródás közben lezajlott kölcsönhatásra.

Egyszerű kísérleti eszköz a szcintillációs ernyő, amin a becsapódó részecske felvillanást okoz.

A^ egyik leggyakrabban használt eszköz a fényképező lemez.

A módszer arra épül, hogy a töltött részecske vagy az elegendően nagy energiájú foton nyomot hagy a fotólemez nagyon vékony, finomszemcsés emulziójában, miközben rajta áthalad. Haa lemezt előhívjuk, vonalak jelzik a részecskék útját.

Az egyik legérdekesebb eszközt C. T. R. Wilson (1869-1959)szerkesztette meg. A róla elnevezett Wilson-kamra tulajdonképpen egy ködkamra. Azon az elven működik, hogy a nagyon



mindaddig nem indul meg, amíg szennyező szemcsék nem kerülnek a gőzbe, s ekkor körülöttük alakulnak ki először csep pek, ők lesznek a ködképződés központjai. A szennyező szem

csék szerepét ionok is játszhatják. A kamrába nagy energiával bejutó részecske mozgása során ionizálja azokat az atomokat,amelyekkel találkozik, így útja mentén folyadékcseppek füzérealakul ki rövid időre, mielőtt az egész kamrára kiterjed a ködképződés. Ha ekkor fényképfelvételt készítünk a kamra tartalmáról, a képen jól látható lesz a részecske útja.

Mint látjuk, mindegyik eszköz arra irányul, hogy az ember

számára közvetlenül nem érzékelhető elemi részecskék mozgásáról makroszkopikusan értékelhető információt adjon.

5.2. A NAGY ENERGIÁKHa valamely tárgyat meg akarunk vizsgálni, akkor meg kell

világítani. Minél pontosabban akarjuk ismerni pl. a helyét, annál rövidebbre kell választanunk a megvilágításra használt sugárzás hullámhosszát. Ez a szabály más esetben is érvényes.Valamely tárgy méretének vagy helyzetének meghatározása sohasem végezhető el kisebb hibával, mint a megvilágítására használt sugárzás hullámhossza.

Ha az elemi részecskék kis méreteire gondolunk (10'^^ m

nagyságrend), akkor a nyilvánvaló út a mind rövidebb és rövi-debb hullámhossz előállítása felé vezet. Természetesen nemcsak fényhullámokra, hanem a részecskék de Broglie-hullámára is gondolunk. Mivel a hullámhossz fordítottan arányos az im

pulzussal, lehetőleg minél nagyobb impulzusú részecskékbőlkell nyalábokat létrehozni. Tehát a szuperkicsi térbeli tartományok titkai csak akkor nyílneik meg, ha elég nagy energiájú ré

szecskékkel végezzük a kísérleteket.A szükséges energia mértékét az is megszabja, hogy mekkoraa kötési energia a vizsgált részecskék között, hiszen ennyi energiával tudjuk őket elszakítani egymástól.

Vizsgáljuk meg, mekkora a mikrovilágban előforduló kötési energiák nagyságrendje! Mint már korábban említettük, az elemi részecskék fizikájában a célszerűség miatt ezt az energiát

292 ____________________RÉSZECSKEFIZIKA_______________________



elektonvoltokban (eV) szokás mérni. A nagyobb egységeket aszokásos módon képezzük:

1 kiloelektronvolt (keV) = ezer eV1 megaelektronvolt (MeV) = millió eV1 gigaelektronvolt (GeV) = milliárd eV1 teraelektronvolt (TeV) = billió eV

Makroszkopikus szempontból szemlélve 1 eV nagyon kisenergiát jelent. De ha azt vizsgáljuk, hogy mennyi energia kell

ahhoz, hogy egy makroszkopikus test minden részecskéjével 1eV energiát közöljünk, akkor a kép észrevehetően megváltozik:ehhez az anyagot kb. 10'* K fokra kell hevíteni.

Az atomok és molekulák világában a kötési energiára jellemző érték az eV törtrészeitől a néhány eV-ig terjed. Az atommagokra ezek az értékek miUiószor nagyobbak, a részecskekutatásban pedig már túl vannak a milliárd eV-on.

Most már érthető, hogy miért nevezik a fizikának ezt a területét a nagy energiák fizikájának, ill. miért használnak az egjn-einkább kérdésessé váló „elemi” jelző helyett a fizikusok „nagyenergiájú” jelzőt a részecskék emlegetésekor. Ugyanis ezek legfontosabb energetikai jellemzője a tömeg, a részecskék tömegét pedig energetikai egységekben szokás kifejezni. A grammok átszámítása elektronvoltokra a relativitáselmélet képlete alap

ján történik: E = mc^. Ily módon az elektron tömege 0, 51 MeV.A proton tömege 938,28 MeV, azaz kb. 1 GeV. A neutron tömege közelítőleg 1,3 MeV-al nagyobb a proton tömegénél.

Egy összetett alakzat összetettségének jellemzésére a kötésienergia és a szerkezetbe tartozó legkönnyebb részecske tömegének arányát használhatjuk. Az atomok esetén ez rendkívül

kicsi, néhány milliomod nagyságú érték. Az tehát, hogy az elektron az atom szerkezeti egysége, nagy pontossággal igazolható. Az atommagokban a helyzet már nem ilyen nyilvánvaló,mert az elóljbi viszonyszám néhány ezred nagyságú. De ez mégmegengedi, hogy az atommagot protonokból és neutronokbólállónak gondoljuk. Ha viszont két elemi részecske ütközésének eredményeként új részecske keletkezik, akkor semmi értelme

_______________________RÉSZECSKEFIZIKA____________________293



tőzött, mivel a viszonyszám ekkor közelítőleg 1 lenne. Ez pedigazt jelenti, hogy az alkotórész korábban nem rendelkezett sajátarculatával. Ésszerűbb feltételezni, hogy az új részecske közvetlenül a két eredeti részecske kölcsönhatási folyamatában keletkezett. Byen jelenséggel gyakran találkozunk tárgyalásunk során.

5.3. AZ ELSŐ RÉSZECSKÉK FELFEDEZÉSE

5.3.1. AZ ELEKTRON ÉS A FOTON

Az elektron felfedezéséről már szóltunk az Atom- és magfizika című fejezetben. Csupán emlékeztetőül idézzük fel a felfedezés történetét. Az elektrolízis, a q/m mérések és a Millikan-kísérlet során bizonyossá vált az elemi töltés és hordozója azelektron létezése.

A fotoeffektus jelenségének értelmezésekor ismerte fel Einstein a foton létezését. A fotonnak nincs njoigalmi tömege,tehetetlen tömege a zE —mc^ összefüggés alapján számítható.

E két részecske megtalálása volt az első lépés az elemi részecskék világába vézető úton.

5.3.2. A PROTON Nem kevésbé érdekes a mikrovilág harmadik „nagy öregje”,

a proton előéletének és későbbi kísérleti felfedezésének története sem (lásd a Magfizika részt). Rutherford feltételezte először - a híres szórási kísérletek eredményeit értékelve - egyolyan részecske létezését, amely az elektron töltésével azonos

abszolút értékű pozitív töltéssel rendelkezik, de tömege azelektron tömegénél kb. 1840-szer nagyobb. Feltételezése logikusan következett az atommagok osztályozásából. Ily módonaz egységnyi pozitív töltésű hidrogén-atommag lett az elemiépítőkő, amelyből a többi atommag összerakható.

Az új részecske közvetlen kísérleti észlelésére csak néhányév múlva 1925 ben került sor

294____________________RÉSZECSKEFIZIKA _______________________



5.3.3. A NEUTRON

Rutherford 1920-ban már feltételezett egy elektromosan sem

leges nukleáris részecskét, amelynek a neutron nevet is ő adta,(lásd a Magfizika fejezetrészt). Tényleges kísérleti bizonyítékraazonban 1932-ig kellett várni. Ekkor írta le /. Chadwick (1891-1974) a berillium alfa-részecskékkel való bombázása soránkeletkező furcsa, rendkívül nagy áthatoló-képességű sugárzástermészetét. Bebizonyította, ha a berillium atommagja befogegy alfa-részecskét, akkor szén-atommag és egy semleges ré

szecske keletkezik, amelyik valamelyik ütköző atommag részevolt. A semleges részecskéről kiderült, hogy tömege majdnemmegegyezik a proton tömegével, s így a már régen keresettneutronnal azonos.

A foton és az elektron stabil részecske. A proton is az, mivelfelezési ideje a világegyetem jelenlegi korát messze meghaladja.Bár a neutron, amikor az atommagban van, örökéletűnek lát

szik, a szabad neutron nem stabil. Körülbelül 12 perces felezésiidővel protonra, elektronra és neutrínóra bomlik, ami azonbanciz előző fejezet szerint nem jelenti azt, hogy ezekből áll.A neutron önálló részecske.


5.3.4. A KOZMIKUS SUGÁRZÁS

Valószínűleg Charles Coulomb, francia tudós volt az, aki először tekintette teljes komolysággal kutatási témának azt a jelenséget, hogy a töltött test - látszólag minden külső beavatkozásnélkül - egy idő után elveszti töltését. Ő a tökéletlen szigeteléssel magyarázta a töltések elvándorlását. Századunk elején azon ban kiderült, hogy az ólomlemezekkel való árnyékolás lényege

sen lelassítja a spontán kisülést. Arra kezdtek gondolni, hogy atöltések elveszítésének oka a földkéregben előforduló elemek gamma-sugárzása. Ez viszont nem magyarázza meg, hogy a kisülés törvényei a Föld különböző helyein azonosak, hiszen nehéz lenne elhinni, hogy a radioaktív anyagok abszolút egyenletesen oszlanak el. Valószínűbbnek látszott, hogy valamilyenFöldö kí üli á á ól ó



Az új sugárzás felderítésére kísérletek indultak. 1909-ben asvájci K. Höckel léggömbre szerelt elektroszkóppal végzett méréseket, s kiderült, hogy 4 km magasan a műszer hamarabbveszti el töltését, mint a Föld felszínén. A kéregből eredő sugárzást tehát kizárta, de az még lehetett légköri eredetű. 1923-tólkezdve méréseket végeztek mély alpesi szurdokban, 20 m mélyen egy kaliforniai tóban, valamint 220 m mélységig a Bodeni-tóban.

A kísérletek során megdőlt a sugárzás légköri eredetét feltételező hipotézis. Beigazolódott, hogy az új sugárzás a Földönkívülről érkezik. Áthatolóképessége fantasztikus, hiszen átjutott íiz atmoszféra háromszoros vastagságának megfelelővízrétegen is. Ebből az következett, hogy a sugárzás részecskéinek olyan hatalmas az energiája, hogy ezerszer vagy még többször meghaladja a földi radioaktív sugárforrások energiáit.

Az új sugarakat kozmikus sugaraknak nevezték el. Bebizonyosodott, hogy a világűrből megdöbbentően széles energiatar

tományban érkezik sugárzás. Ráadásul nemcsak elektromágneses hullámokat tartalmaz, hanem szó szerint az egész Mengye-lejev-táblázatot, a protontól a nehéz atommagokig. A csillagközi tér tehát nem hideg és üres, hanem mikrorészecskékből állónagy energiájú, bár nagyon ritka gázzal van kitöltve. A kozmikus részecskék energiája sokszorosan meghaladja a radioaktívsugárforrásokét. A fizikusok találtak egy új kutatási lehetősé

get, amellyel tovább vizsgálhatják a mikrovilág titkait.Most a kozmikus sugarakkal folytatott vizsgálatok néhány példáját említjük meg.

5.3.5. ANTIRÉSZECSKÉK

1932-ben C. D. Anderson (1905-) - a kozmikus jövevények

mágneses térben való elhajlásának vizsgálatakor - megállapította, hogy a Wilson-kamrában bizonyos nyomok olyan pozitív töltésű részecskéknek felelnek meg, amelyek tömege azelektron tömegével megegyezik. Ezzel kísérleti bizonyítástnyert P. Dirac (1902-1984) 1928-ban megfogalmjizott jóslata. Őa relativitáselmélet figyelembevételével vizsgálta az elektronok kvantummechanikai leírását. Elméleti megfontolások alapján




jutott arra a következtetésre, hogy léteznie kell egy olyan részecskének, ami mindenben azonos az elektronnal, csak éppen

pozitív töltésű. A kísérleti bizonyíték után vált elfogadottá az

antielektron, azaz a pozitron.A pozitron volt az elsőként megismert antirészecske. Azóta

majd minden részecskének felfedezték már az anti-páiját. Azantirészecskék világa azonban még nagyon sok kérdést vet fel,amelyekre ma is keresik a választ.

A kérdéskör azért is fontos, mert ha egy részecske antiré-szecskével találkozik, annihiláció (megsemmisülés) megy vég

be, azaz a kölcsönhatásba lépő részecskék eltűnnek, és helyettük nagy energiájú fotonok keletkeznek. Érdekes probléma például, hogy mivel a neutronnak nincs elektromos töltése, aneutron és az antineutron közötti különbség (a tükrözési szimmetrián kívül) csak a kölcsönös megsemmisítő képességük alap

ján definiálható. Az elektron és a pozitron találkozásának legvalószínűbb következménye kettőjük megsemmisülése, ésegyidejíQeg két nagy energiájú foton keletkezése. Ha nagy meny-nyiségű anyag és antianyag lép ilyen reakcióba, akkor hihetetlenerősségű sugárzás jön létre, az anyag teljes nyugalmi tömegének megfelelő sugárzási energia keletkezik.

Nem csoda hát, ha ez a kérdés erősen foglalkoztatja az újenergiaforrásokon gondolkodó fizikusokat.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________297

5.3.6. MEZONOK

A kozmikus sugarakhoz kötödő másik példa azokkal a folyamatokkal kapcsolatos, amelyekben a hatalmas energiával repülő kozmikus részecske az atommaggal ütközve valósággal

felrobbant, amiről rengeteg nyomvonal tanúskodott a fényképlemezen. Ezeket a vonalakat olyan új részecskéknek lehetetttulajdonítani, amelyek tömege az elektronnál nagyobb, a protonnál kisebb. Az új részecskék a mezonok.

A mezonok között különleges, az elektronokhoz hasonló részecskéket találtak. Az új részecskéket mü-mezonoknak, rövidebben müonoknak nevezték el, valószínűleg azért, hogy meg



A müonok tömege 207-szer nagyobb az elektronok tömegénél,egyéb tulajdonságaik viszont teljesen megegyeznek az elektronokéval, minden reakcióban pontosan ugyanazoknak a szabályoknak engedelmeskednek.

A többi mezon további vizsgálata - mint a következő fejezet ben látni fogjuk - elvezetett az atommag belsejében uralkodó, az elektrosztatikus vonzást legyőző, szükségképpen létező nagyon erős kölcsönhatás megértéséhez.

5.4. RÉSZECSKEGYORSÍTÓKA rendszeres kutatáshoz olyan eszközökre volt szükség, amelyekkel a tervezett kísérleteket el lehetett végezni. Ezek az eszközök a részecskegyorsítók. Az elv egyszerű, az elektromosantöltött részecskét elektromos térrel gyorsítjuk, pályáját mágneses térrel vezéreljük, és a megfelelő pillanatban ütköztetjük a

céltárggyal. Az ütközés során keletkező és szétrepülő részecskék viselkedéséből következtetünk az ütközésben lezajlott eseményekre.

A gyorsítók megépítésének feladata azonban technikailagigen nehéznek bizonyult. Tekintsük át röviden a gyorsítók fejlődését!

Az első működő modell 1929-ben a Princetoni Egyetemen

kezdte meg működését, de ez csak 80000 V gyorsítófeszültséggel működött. Az első gyorsítók az egyenes úton felgyorsítottrészecskenyalábbal álló céltárgyat bombázták, így másfél millióeV-ig jutottak el.

1932-ben Berkeley városában E. Lawrence (1901-1958) munkacsoportja megépítette az első ciklotront. Ez a berendezésazon az elven működik, hogy a töltött részecskéket körpályára

kell kényszeríteni, és nagyfrekvenciás elektromos erőtérrel, se bességüket periodikusan kell nöyelni. Az első ciklotronnal 3,6MeV energiájú jól használható protonnyalábot tudtak előállítani. A milliárd eV-ig (GeV) azonban ezzel a berendezésselnem lehet eljutni. Ugyanis a relativisztikus tömegnövekedésszerint az egyre nagyobb sebességű részecske tömege is megnő,és ez a tömegnövekedés megzavarja a folyamat ciklikusságát.




A megoldást 1944-ben találták meg. Ha a növekvő tömegmegváltoztatja a periódust, akkor a térnek kell szinkronban lennie a részecske mozgásával, vagy a gyorsító elektromos tér frek

venciáját változtatjuk, vagy a körpályát biztosító mágneses tereterősítjük fokozatosan.

Az első megoldáson alapuló berendezést szinkrofazotronnak nevezték el, ilyen típusból a legnagyobbat 1957-ben Dubnábanépítették, ez 10 GeV energiájú. A második megoldás nagyobbener^ákat tett lehetővé, az ilyen berendezések a szinkrotronok. Egymás után épültek a nagy gyorsítók, 1967-ben Szerpuhovban

76 GeV energiát, 1972-ben Batáviában 200 GeV, majd későbbugyanitt 800 GeV energiát értek el.

A tudósok azonban még nagyobb energiákról álmodoztak.Az újabb ötletet az adta, hogyha mindkét részecskét felgyorsítjuk és egymással szembe mozogva ütköznek, akkor sokkalnagyobb energiájú az ütközés, mintha az egyik áll. Az ilyengyorsítók az ütközőnyalábos gyorsítók. Ilyen a Hamburg melletti Héra nevű berendezés, amely 1000 GeV energiájú protonokat ütköztet a 30 GeV energiájú elektronokkal. Ugyanezen azelven működik a Genfi-tó közelében az Európai MagkutatóKözpont (CERN) berendezése. Tervezik Chicago mellett egy1000 GeV, Szerpuhovban pedig egy 3000 GeV energiájúgyorsító megépítését.

A méretek szemléltetésére néhány adat a CERN gyorsítójáról. A berendezést a föld alatt mintegy 40 m mélyen fúrt alagút-

ban helyezték el, hogy ne zavarja a környezetet. A kerülete7 km, és áthalad Franciaország és Svájc határán. A régi, 30GeV-es gyorsítótól kapja a protonnyalábokat, amelyek többmint egymillió km ( 150 000 fordulat) megtétele után lövődnek az észlelőberendezés felé. A térerősségnek egy ezrelékre pon

tosnak kell lenni a mágnesek ezreiben, a berendezés egyes részeit tizedmilliméíer pontossággal kell egymáshoz beállítani; A berendezésben olyan nagy vákuumnak kell lenni, mint a Holdfelszínén. A vezérlést számítógépek sora végzi, az ellenőrzőrendszer mintegy 1500 km kábelt használ fel. A gyorító hűtésére a Genfi-tó vizét használják. Ezek a gigantikus méretek és atechnikai igényesség mutatja, hogy miért olyan fantasztikusan

_______________________RÉSZECSKEFIZIKA____________________^



5.5. A FELFEDEZÉSEK SOKASÁGA1914-től kezdve foglalkoznak azzal a problémával, hogy az

atommagból kilépő béta-sugárzásban található elektronok energiája nagyon széles határok között változott. A magyarázattal több fizikus próbálkozott. Végül Pauli feltételezte először, hogy az atommagból a béta-elektronnal együtt kilép egykis tömegű, semleges elektromos töltésű és nagy áthatolóképes-ségű részecske. A jelenséget E. Permi (1901-1954) magyaráztameg, 1933-ban. Az új részecskét is ő nevezte el neutrínónak.

Rámutatott arra, hogy a béta-radioaktivitást az elektromágneses erőknél gyengébb, új, különleges kölcsönhatás idézi elő.Az ún. „gyenge kölcsönhatás” következtében a neutron protonná alakul, miközben elektront és antineutrínót bocsát ki.

Azért, hogy a neutrínó kísérleti kimutatása sokáig váratottmagára, maga a neutrínó a felelős. Fantasztikus az áthatolóké- pessége, képes egy 100 fényév vastagságú ólomfalon is keresz

tülhaladni. Ez az érték tíz nagyságrenddel nagyobb a Nap sugaránál, és háromszor nagyobb a Galaktikánk magjához tartozósugárnál. Ezért a neutrínó valószínű észleléséhez egy elegendően nagy intezitású neutrínónyalábot kellett létrehozni. 1956-banamerikai fizikusoknak sikerült néhány atomreaktorbanelőállítaniuk az antineutrínó megfelelő nagyságú áramát, és kimutatták a következő reakciót: amikor az antineutrínó a

protonhoz csapódik, egy neutron és egy pozitron keletkezik.1962-ben pedig felfedezték a müon bomlásakor keletkező újneutrínótípust, a müonneutnnót. Ahogy tehát az elektronhozhasonKt a müon, úgy az elektronneutrínóhoz hasonlít amüonneutrínó.

Egy másik probléma is régen izgatta a fizikusokat. Amintmegfogalmazódott a protonból és neutronból álló atommagmo-

dell, azonnal nyilvánvalóvá vált, hogy léteznie kell a nukleonok között egy, az elektromágneses erőtől független, azt legyőzniképes, nagyon erős kölcsönhatásnak. A kvantumelektrodinamika szerint két töltött részecske úgy hat egymással kölcsön, hogyegyik kibocsát egy látszólagos fotont, a másik pedig elnyeli azt.Az atommagon belüh erős kölcsönhatásnak azonban sokáignem találták a közvetítőjét




1935-ben jelent meg H. Yukawa (1907-1981) cikke, amelyben pontosan kiszámította a feltételezett részecske tömegét, és ezaz elektron tömegénél kb. 300-szor nagyobbnak adódott. Vagyis

az új részecske valószínűleg mezon. Az elmélet ellen és mellettsokáig folyt a kutatás. Végül 1947-ben találták meg a keresettrészecskéket, amelyek az atommaggal is kölcsönhatásba tudtak lépni, tehát valóban az erős kölcsönhatás közvetítői. Ezek a pi- mezonok.

A gyorsítók fejlesztésével egyre több és több új részecske látott napvilágot. Felfedezték az ún. „ritka” részecskéket, ame

lyek közül a protonnál könnyebbeket K-mezonoknak, a protonnál nehezebbeket hiperonoknak nevezték el. A protont, aneutront és a hiperonokat a közös barion elnevezéssel is ellátták. És a felfedezések még nem értek véget.

A pi-mezon (pion) és proton ütközésének vizsgálatakor kiderült, hogy a folyamat leírásához fel kell tételezni bizonyos igenrövid életű részecskék létezését, amelyek szintén az erős kölcsönhatásban vesznek részt. Ezek voltak a rezonanciák. (Az elnevezést onnan kapták, hogy a folyamatban az ütközés objektív

jellemzésére szolgáló ún. hatáskeresztmetszet látszólag hirtelenmegnőtt, ami a rezonancia jelenségére hasonlít. Tulajdonkép pen ezen részecskék keletkezése és elbomlásá történt.)

Valójában az is kérdés, mit tekintünk részecskének. A rezonanciák ugyanis nem hagynak nyomot a Wilson-kamrában vagya fényképlemezen, létezésük csak a nyomok eloszlása alapján,számítással igazolható. Ha ezt megengedettnek tekintjük, akkor a rezonanciák a részecskék családjának teljes jogú tagjaivá válnak.

A rezonanciák megjelenése előtt kb. 30 részecskét és antiré-szecskét ismertek. A rezonanciákkal együtt az összes részecs

kék száma csaknem tízszeresére duzzadt. Hozzávetőleges táblázat látható az 5.1. ábrán.

_______________________ RÉSZECSKEFIZIKA____________________301



302 RÉSZECSKEFIZIKA

Osztályok Részecskék

Jel Megnevezés

Foton 7 foton

Leptonok

767me

elektron-neutrínómüon-neutrínó

elektron

müon7T pi-mezonok

St3.Dll

részecskék K K-mezonok V éta-mezon

Mezonok Q ró-mezonok

rezonanciák ÜJ omega-mezonok

M pszi-mezonok

OP proton

Ö n neutrono stabil A lambda-hiperon

Vh részecskék E szigma-hiperonH kszi-hiperon

ctí íí omega-hiperonBarionok

Ni470 N(1470)

rezonanciák N303O N(3030)A i232 delta-három-három

A3230 delta(3230)

5.1. ábra



5.6. A RENDSZEREZÉS LEHETŐSÉGEAz előző fejezet végén láttuk, milyen sok részecskét fedeztek

már fel. Ettől kezdve persze furcsának tűnik a korábban megszokott „elemi” jelző használata, hiszen ennyi részecskéről nehéz elfogadni, hogy mindegyik elemi. Hasonló a helyzet, mintmielőtt Mengyelejev megalkotta periódusos táblázatát. Az először szintén eleminek tekintett atomokról kiderült, hogy számos hasonló tulajdonság alapján csoportokba rendezhetők, skésőbb az is, hogy egyáltalán nem elemiek. Vajon mi a helyzet a

részecskék világában?A megmaradási törvények jöttek a fizikusok segítségére, s

adtak lehetőséget a rendszerezésre.A szimmetria görögül - szó szerint - összemérhetőséget je

lent. Valóban nem tudunk megkülönböztetni két fényképet, haaz egyik egy szimmetrikus épületről, a másik annak tükörképéről készült. Vagyis a szimmetriküs testek fontos tulajdonsága,hogy alakjuk a tükrözés során nem változik.

Általában is igaz, hogy a testek vagy folyamatok szimmetriá ja kapcsolatban van valamely mennyiség megmaradásával. Deez fordítva is teljesül, bármely megmaradási törvényhez feltétlenül tartozik egy meghatározott szimmetria.

Ezért emlegetik a fizikusok, hogy a természet legfontosabbtörvényei a szimmetriák.

Mindenekelőtt vizsgáljuk meg az igaznak vélt megmaradásitörvényeket!

Tudjuk, hogy meghatározott zárt térben lévő elektromos töltés nem tűnhet el és nem keletkezhet. Ezt a törvényt már oly sok kísérletben és olyan nagy pontossággal ellenőrizték, hogy joggalsorolják az abszolút megmaradási törvények közé. A törvényegyik megnyilvánulási formája, hogy az elektron - a legköny-nyebb elektromosan töltött részecske - stabil becsült felezési ide

je jóval meghaladja az Univerzum életkorát. A másik abszolút megmaradási törvény a barionok megmara

dása. Barionok nyomtalanul nem tűnhetnek el és a semmibőlnem keletkezhetnek. Ezt a törvényt is nagy pontossággal igazolták. A legkönnyebb barion, a proton szintén stabil, nem hasad




Mindezt azért mondtuk el, hogy megértsük a fizikusok hozzáállását a megmaradási tételekhez. A megmaradási törvényekhez persze szeretnénk ragaszkodni, ezért vizsgálunk meg minden olyan elméletet, amely a törvény érvényben maradásátsegíti.

Általában csak azt mondhatjuk, hogy egy-egy törvény a jelenlegi ismereteink mellett igaz. Ha felmerül olyan jelenség,amelyre semmiképp nem illik ez vagy az a törvény, akkor ezcsak közelítő törvényszerűségnek fogadható el.

A mikrovilágban valp eligazodás, rendszerezés érdekében a

fizikusok még további töltés jellegű tulajdonságokkal ruházzák fel a részecskéket, hogy legalább közelítő érvényű megmaradásitételeket találjanak. Ilyen például a ritkaság.

Végül tehát a tudósok bizonyos szimmetriákat találnak a mikrovilágban, amelyek segítségével a részecskéket csoportokba lehet sorolni, a periódusos táblázathoz hasonlóan. így könnyebbeligazodni, könnyebben kezelhetők a részecskék tulajdonságai.

Befejezésül a részecskefizika fejlődésének vázlatos áttekintése után meg kell említenünk azokat a kutatásokat, amelyek már a jövőbe mutatnak.

A sok-sok részecske, s azok táblázatba rendezhetősége vetette fel a kérdést, hogy vajon nem léteznek-e olyan, az eddigieknél „elemibb” részecskék,- amelyekből az eddigiek felépíthetők? Az elméleti megfontolások, a még magasabb rendű

szimmetriák adták azt a modellt, amely szerint léteznek ilyenrészecskék. Az elméletet a Kaliforniai Technológiai Intézet munkatársai, M. Gell-Mann és G. Zweig fogalmazták meg1964-ben, és a részecskéknek a kvark nevet adták. Ma már kísérleti bizonyíték született a nagy gyorsítókban arra, hogy a

protonnak három kemény magja van. A további elméleti modellek és számítások pedig azt mutatják, hogy nem is három, ha

nem több kvark létezését kell feltételezni. A kvark-modellben az a furcsa, hogy az elektromos és a barion tőkésnek tört részét kell egy kvarknak tulajdonítanunk.

Egy olyan általános elmélet megalkotása, amely az eddigmegismert kölcsöhatásokat egységes rendszerben lenne képestárgyalni, a jövő nagy feladata.




6. RELATIVITÁSELMÉLET

6.1. A KLASSZIKUS RELATIVITÁS

A relativitás elméletében alapvető szerepet játszik a vonatkoztatási rendszer, más szóval a koordináta-rendszer. A fiziká

ban alapvető kérdés, hogy egy esemény hol és mikor következik be. A kérdés megválaszolásához feltételezünk egy mindentől függetlenül létező teret, amelyben koordináta-rendszertdefiniálunk, és így válaszolni tudunk a hol kérdésre. A klasszikus mechanikában, Galilei és Newton szerint, ha egy vonatkoztatási rendszerben érvényes a tehetetlenség törvénye, akkor ahozzá képest egyenes vonalú, egyenletes mozgást végző másik rendszerben is érvényben marad a törvény. Ezek az inerciarend

szerek. (Egy, a külvilágtól teljesen elzárt fülkében ülve nem tudom megállapítani, hogy a fülke áll-e, vagy valamely jármfívönegyenes irányban egyenletesen mozog-e a földhöz képest.) Azilyen rendszerekben elvégezve egy kísérletet, mindig ugyanarraaz eredményre jutunk. Ilyen gondolatok vezettek a relativitáselvének megfogalmazásához.

HJA fizikai tudomány alapja, hogy a természeti törvény nemfügghet attól a koordináta-rendszertől, amelyet a törvényhezkapcsolódó jelenség leírásához választottunk.

Ehhez kapcsolódik, hogy a klasszikus fizikában abszolút időt feltételezünk, amely a fizikai tér eseményeitől függetlenül telik.Másként megfogalmazva: egy. esemény időtartama független at



RELATIVITÁSELMÉLET

6.2. A FÉNYSEBESSÉG ÁLLANDÓSÁGÁNAK ELVE

A korábbi fizikai eredmények egy csoportja látszólag ellentmond a relativitás elvének.

A fénynek és minden elektromágneses hullámnak - ellentét ben például a hanghullámokkal - nincs szükségük anyagi hordozóra, a fény pl. vákuumban is terjed. A klasszikus fizika afény terjedéséről kétféle elméletet dolgozott ki.

A korpuszkuláris elmélet alapján a fényt a fényforrás egy jellegzetes sebességgel kilövi, és így az a fényforráshoz képest állandó sebességgel mozog (6.1. ábra).

c-v c+v

c+v c-v

I v''

6.1. ábra

Ezt azonban könnyen cáfolhatjuk. Akettős csillagok egyik tagja közeledik,másik távolodik a Földtől. Ezért az elmélet szerint a két csillagról különbözősebességgel érkezik hozzánk a fény (6.2.

ábra). Bár a csillagok sebessége tícsi afény sebességéhez képest, a nagy távolságkövetkeztében a látszólagos pályagörbénolyan nagy szabálytalanságok jönnének létre, amit már észlelnénk. Ilyet azonbansoha nem vettek észre.

Hasonlóan erős érv a különböző fény-sebességek ellen a következő. Az elektromágnesség elméletének leírásakor

Maxwell a fénj^, mint elektromágneses hullámot értelmezte, ésa sebességét is megjósolta. A leírás alapján azonban a fényse

besség nem függhet a fénj^orrás mozgásától. Minthogy az elmélet minden más jelenséget a Valóságnak megfelelően ír le,

kö k é i l k ll f d k

6.2. ábra



A fény terjedésének másik lehetséges klasszikus leírása megkívánja egy mindent átható közeg, az éter jelenlétét, amely kö

rülvesz minket, és kitölti a világegyetemet. Az éterelmélet szerint a fény ebben ^ közegben terjed, mint a hang más közegben,vagyis a fény sebessége az éterhez képest állandó.

Az elmélet azonban azonnal új kérdést vet fel. Ha az éterhezrögzítünk inerciarendszert, akkor ebben milyen sebességgelmozog a Föld? Egyáltalán megtalálható-e ez a rendszer, amibena fény sebessége állandó?

Elvben könnyű ilyen kísérletet kitalálni. Vegyünk egy rövididőre felvillanó fénj^orrást. A villanás után bizonyos idővelmegvizsgáljuk, hogy a fény különböző irányokban milyen távolságra jutott. Ha ez a távolság minden irányban ugyanakkora,akkor a kísérletet nyilván a nyugvó éterrendszerben végeztük, afény sebessége minden irányban megegyezett. Ha viszont a kísérletet nem ebben a rendszerben hajtottuk végre, akkor az

éterelmélet szerint más eredmény adódik.A kísérlet technikailag igen nehéz, hiszen kis eltéréseket kellmérni. Először 1887-ben Michelson és Morley végezték el megfelelő pontossággal. Felhasználták, hogy a Föld a Nap körül -és így a nyugvó éterhez képest is - hozzávetőlegesen 30 000 m/ssebességgel mozog, így a Földön különböző irányokban mérvemás-más sebességet kellett volna kapniuk. A sebesség azonban

minden irányban azonos volt, az észlelések között nem tapasztaltak időkülönbséget. A kísérletet azóta lézerrel, nagyobb pontossággal is elvégezték, amelynek során az éterhez képest 9 m/ssebességet is ki lehetett volna mutatni. Az eredmény azonbantovábbra is negatív.

Az éterelméleten kívül annyira nem volt más lehetőség, ahelyzet feloldására, hogy a tudósok sokat próbálkoztak az el

mélet megmentésén. Feltételezték például, hogy a Föld magakörül magával ragadja az étert, és ezért nem mozog ahhoz ké pest. Volt azonban más jelenség is, ami ezt a lehetőséget kizárta. Egy csillagból jövő fény észlelésekor a távcső tengelyét kissémás irányba kell beállítani, attól függően, hogy a Föld milyenmozgást végez a beérkező fény irányához képest (6.3. ábra). Eza jelenség viszont egyszerűen úgy magyarázható hogy a Föld a

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________307



308 RELATIVITÁSELMÉLET

ná. Ez az aberráció jelensége, amit már a XIX. században ismertek.

Az előzőek és más eredmények külön-külön még illeszthetők lettek volna az éterelmélettel, de egyszerre már nem. így azéter feltételezését el kellett vetni.

Mindezekután a fénysebesség állandósága, ámi az elektro

mágneses elmélet tiszta következménye, továbbra is ellentétben áll a relativitás elvével, hiszen a relativitás elve szerint egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszerekben különböző fénysebességeket kellett volna mérni.

6.3. AZ EGYIDEJŰSÉG

RELATIVITÁSÁNAK ELVEA mindennapi életben természetesnek érezzük, hogy két ese

ményről el tudjuk dönteni; egyszerre történtek vagy sem. Haazonban mélyebben belegondolunk, mit is jelent az egyidejűség, kiderül, hogy nein is olyan könnyű pontosan megfogal

mazni.Tisztázzuk először, hogyan tudjuk eldönteni két különbözőhelyen bekövetkező eseményről, hogy egy időpillanatban zajlottak-e le vagy nem? Az egyidejűség definíciójától csak azt azegyet kell megkövetelnünk, hogy minden esetben adjon módotannak eldöntésére, hogy az állítás igaz vagy sem.

Az egyik lehetséges megállapodás a következő. Ha az A és B



bán álló megfigyelőhöz egyszerre érkezik, akkor a két villanásegyszerre történt. Ez a definíció attól is független, hogy milyen

sebességgel haladt a fény az egyik vagy a másik szakaszon, hiszen az érkezésnél a kérdést mindig el lehet dönteni.Valamely esemény időpontja az esemény helyén levő óra

állása. Képzeljük el, hogy egy koordináta-rendszerben sűrűnegymás mellett azonos gyorsasággal járó órák vannak. Ha feltesszük egy rendszeren belül az órák szinkronizálásának megtörténtét, egységes rendszeridőre tettünk szert. Két esemény

egy koordináta-rendszerben így akkor egyidejű, ha rendszeride jük megegyezik.

E A szinkronizálás végrehajtható például a következő módon. A vonatkoztatási pontból t - 0 pillanatban indítunk egyfényjelet. Az innen r távolságra álló megfigyelőnek előre megmondjuk, hogy ha a fényjelet meglátja, állítsa be az óráját r/c ér

tékre. Ilyen módon bármely két órát össze lehet hangolni (6.4.ábra).

_____________________RELATTVITÁSELMÉLET _________________ 309

Ugyanígy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszer óráit is össze lehet hangolni. Legyen kpt rendszer, amelynek X és x ’ tengelyei összeesnek és a K ’ rendszer az x ’ tengelymentén mozog jobbra (6.5. ábra). Amikor az 0 és 0' pontok egybeesnek, indítsunk egy fényjelet! A P-ben álló megfigyelő a K rendszer szerint r/c, a K rendszer szerint r’lc értékre állítja beaz órát, hiszen ekkor 0 és 0’ már nem esik egybe. A két idő természetesen nem azonos, két különböző rendszeridő lesz. Egysé ges világidőről tehát nem lehet beszélni!

[ ] Vi álj k t kö tk ő éldát! E ál á h l




F' vonat ----------- - h

-VF

6.6. ábra

(6.6. ábra). Az A B távolság felezőpontjában (F) álló megfigyelőhöz a két villanás fénye egyszerre érkezik. F azt mondja, hogya villanások egyidejűek.

A z A és B helyeknek a vonaton is az A és B helyek felelnek meg. Legyen F’ a gördülő vonaton dcz A és B helyek”távolságá-nak felezőpontja. F’ egybeesik F-el a villanások pillanatában, atöltésről nézve. Azonban F’ a B pont felé halad, így annak fényét előbb észleli, mint az A pont villanásának fényét. így azegyidejűségről adott definíció szerint ő a B pontbeli villanástkorábbinak mondja, mint a másikat.

Ebből tehát az látszik, hogy olyan események, amelyek a töltéshez képest egyidejűek, a vonathoz képest nem azok, és megfordítva. Ez az egyidejűség relativitásának elve.

E Minden koordináta-rendszernek megvan a saját külön ide je. Az időadatnak csak akkor van értelme, ha megadjuk a vo

natkoztatási rendszert is, amelyre az időadat vonatkozik.

A fizika a relativitás elméletének létezése előtt hallgatólagosan mindig feltette az: abszolút idő létét, vagyis az időadatok függetlenségét a vonatkoztatási rendszertől. Ez a feltevés tehátnem tartható fenn.



6.4. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS ELMÉLETE

Az előző három fejezetben felvázolt elvek és azok ellentmondásossága régóta foglalkoztatja a fizikusokat, többen megpró

bálták a nehézségeket feloldani.A probléma lényege a következő:Ha a ^ koordináta-rendszerben a K ’ koordináta-rendszer v

sebességgel mozog, akkor fordítva, a K ’ rendszerben a - v se

bességgel mozog. Megadhatunk tehát olyan összefüggéseket,amelyek egy adott pontnak az egyik rendszerben kifejtett koordinátáit megadja a másik rendszer koordinátáival és a v sebességgel. Az ilyen összefüggések a transzformációk, mert az egyik rendszer koordinátáiból áttranszformálnak a másik rendszer koordinátáiba^

[t]A klasszikus fizikában az ún. Galilei-féle transzformációt használták;

X l = x—vt X — X i + v t

y i ^y y = yi Z l = Z Z = Z i

Ennek megvolt az a jó tulajdonsága, hogy a relativitás elvének megfelelően, az összefüggések szimmetrikusan alkalmazhatók bármely irányú transzformációra, csak a koordinátákat kellkicserélni. Vagyis ez azt jelenti, hogy a két rendszer egyenrangú. A klasszikus fizika természettörvényei mindkét rendszerbenazonos alakúak. Azonban mihelyt alkalmazni akarjuk a fény

esetére a Galilei-transzformációt, akkor az derül ki, hogy a fénysebessége nem lenne azonos minden rendszerben. Ez pedig láttuk, hogy ellentmond a tapasztalatnak. A Galilei-transzformá-ció másik hibája, hogy abszolút időt feltételez, vagyis olyan időmérést, amely független a rendszertől. Mint láttuk, ez semtartható.

A relativitáselmélet megszületését Albert Einstein (1879

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________3 ^



Einstein meg akarta tartani a relativitás elvét és a fénysebesség állandóságának elvét. Ehhez keresett megfelelő transzformációs képleteket.

Ekkor már ismert volt Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)eredménye, amelyet 1904-ben publikált. Ő dn elektron mozgásának leírásához - pusztán formai okokból - olyan összefüggéseket használt, amelyek alkalmasak arra, hogy általánosan is leírják két egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszer adatai közötti kapcsolatot. Ezek az összefüggések azóta is Lorentz-transzformáció néven ismertek.

[t]a Lorentz-transzformáció:

X — v t X \ - { - V t X i — — -------------------- X

312__________________RELATIVITÁSELMÉLET_____________________

yi = y y = yi Z i = Z Z = Z i

X V X i V

V .2

(Meg kell említeni Jules Henri Poincaré (1854—1912) nevét,aki folytatta Lorentz munkásságát. Mindketten használták akérdéses összefüggéseket, de nem vonták le a megfelelő következtetéseket, nem tudtak elszakadni a klasszikus fizikai szemlélettől. Eredményeik mégis rendkívül fontosak voltak a relativitáselmélet kialakulása szempontjából.)

A Lorentz-transzformációt alkalmazva a fény esetére aztkapjuk, hogy a fénysebesség minden egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszerben azonos, amint azt az elektrodinamikából kapjuk.

A transzformáció az időt, mint negyedik koordinátát használ ja a három térbeli koordináta mellett, amely függ a többitől.



azaz függ a vonatkoztatási rendszertől. Vagyis nem használ abszolút időt, minden rendszernek saját ideje van.

A transzformáció valóban szimmetrikus az egymáshoz képestegyenletesen mozgó rendszerekre, akkor is, ha azok relatív se

bessége megközelíti a fénysebességet. A két rendszer kis relatívsebessége esetén pedig határesetként megkapjuk a Galilei-transzformációt. Ilyen módon a két rendszerben minden természettörvény egyforma alakú.

Végül tehát a Lorentz-transzformáció fenti tulajdonságait fel

ismerve Einstein volt az, aki határozottan és tudatosan szakította klasszikus tér és az abszolút idő fogalmával, elvetve ilyen módon az éterhez rögzített, kitüntetett inerciarendszer fogalmát éslétét. Teljesen egyenrangúnak tekintett minden inerciarendszert, vagyis mindegyik koordináta-rendszerben helyet foglalómegfigyelő az ő rendszerében nyugvó órák által mutatott időtfogadhatja el a helyes, az igazi időnek. Ugyanakkor tudomásul

veszi, hogy a másik rendszer helyes, igazi ideje nem egyezik aző idejével.Einstein 1905-ben kidolgozott elméletét speciális relativitás-

elméletnek nevezzük. A speciális szó arra utal, hogy kizárólagegymáshoz képest állandó sebességgel mozgó inerciarendszereket hasonlítunk össze a tárgyalás során.

A relativitáselmélet szerint a világunk a tér-idő, négydimen

ziós világ, amelyben az idő ugyanolyan koordináta, mint bármelyik tengely menti távolság. Az e felfogásnak megfelelő matematikai leírást Minkowski dolgozta ki 1908-ban megjelentcikkében.

6.5. A SPECIÁLIS RELATIVITÁS NÉHÁNY

KÖVETKEZMÉNYEA továbbiakban olyan K és K\ koordináta-rendszerekben fo

galmazzuk meg a tételeket bizonyítás nélkül, amelyek egymáshoz képest a fénysebességet megközelítő nagyságú, egyenletessebességgel mozognak. A tételek a tér-idő szerkezetéből és aLorentz transzformációból következnek Egy esemény hely és

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET__________________313



különbözni fognak. Azok az események, amelyek a K rendszer ben egjddejűek, a rendszerben nem azok, és viszont.

H] Relativisztikus tömegnövekedés A kis sebességnél mért tömeg, az úgynevezett njmgalmi tömeg ( m o ) , mellett a nagy sebesség esetén jelentőssé válik a se- bességtffl függő tömegnövekedés, amely végső soron mozgásienergiával van kapcsolatban.

mom =


A tehetetlen tömeg e képlet szerinti növekedése azt a ténj^ juttatja kifejezésre, hogy véges m nyugalmi tömegű testek (részecskék) sebessége nem érheti el a fénysebességet. Az eztmegközelítő sebességű test sebességének további növelése egyre nagyobb munkavégzést (energiabefektetést) igényel.

Ennek a jelenségnek kísérleti kimutatásához nagy sebességrevan szükség, mert csak akkor lesz a változás észlelhető. Ilyensebességek csak igen kis részecskék (elektronok, protonok)esetén valósulhatnak meg. A tömegnövekedést atomi részecskékkel, számtalan kísérletben tapasztalták, így ez a relativitás-elmélet legpontosabb bizonyítéka.

6.6. AZ ENERGIA ÉS A TÖMEG EKVIVALENCIÁJA

Ha két részecskét nagy sebességgel ütköztetünk, akkor létre

jöhet egy nagyon fontos jelenség: az ütközés után egyes esetek ben a részecskék nem repülnek szét, hanem egy új részecske jön létre. Ha ez az új részecske állva marad, akkor az ő tömegenem az eredeti két test njoigalmi tömegének összege, hanem amegnövekedett tömegek összege. Ez tehát azt jelenti, hogy amegnövekedett mozgási energiával megnövekedett tehetetlentömeg is együtt jár



Más esetekben az ütköztetések során éppen az ellenkezőjéttapasztalták. Az ütközés eredményeként keletkezett új részecske tehetetlen tömege kisebb volt, mint az eredeti két test nyugalmi tömegének összege, ugyanakkor nagy energiájú sugárzásszabadult fel. Ekkor viszont a felszabadult energiával együtt tömeg is eltávozott.

Ma már a fenti jelenségek mindennaposak a részecskekutatásterületén, sőt, azokat ki is használják új részecskék előállítására.

E A tömeg és energia szoros összetartozásának, a tömegenergia ekvivalenciájának ténye az

E — m(?

összefüggés alapján, a relativitáselmélet egyik legtöbbet emlegetett, klasszikus törvénye. A relativitáselmélet szerint a tö-

meg- és az energiamegmaradás törvényei nem különálló törvények, hanem a tömeg-energia ekvivalenciának megfelelőenegyetlen megmaradási törvényről, az anyagmegmaradás törvényéről beszélhetünk.

6.7. AZ ÁLTALÁNOS

RELATIVITÁSELMÉLET ALAPJAEbben a fejezetben betekintést adunk az általános relativitás-

elmélet lényegébe, amelyet Einstein a speciális relativitáselmélet szükségszerű folytatásaként 1916-ban foglalt össze.

Az elmélet kialakulásában három problémakör játszott fontos szerepet.

Már a múlt században foglalkoztatta a tudósokat az a kérdés,hogy a tér vajon megfelel-e az euklideszi geometriának. Létezett már ugyanis az euklideszitől eltérő (görbült felületeken ésnem síkon dolgozó), ellentmondásmentes rendszert alkotó geometria. A mérési pontatlanságok miatt azonban akkor még nemtudták ezt a kérdést eldönteni.

Lehet e egyáltalán erre a kérdésre válaszolni? Észrevennénk e

_____________________RELATWITÁSELMÉLET _________________ 315




Egy gömbfelszínen rajzoljunk két kört (6.7. ábra), majd rajzoljunk szabályos hullámvonalat a két kör közé! Könnyű belátni, hogy a két kört a hullámvonal nem azonos távolságonkéntéri el.

Az előbbihez hasonló ábrát lehet rajzolni egy üvegnyakszerűfelületen (6.8. ábra). Ha az üveg tengelyére merőleges két kör közé a felületen szabályosan rajzoljuk a körökre merőleges vonalakat, akkor azok távolsága a két kör mentén nem lesz azonos.

Hasonlót mértek nem olyan régen a valóságban. (Ma már akísérleti eszközök fejlettebbek, kis eltéréseket is képesek mérni). Egy 13 m magas víztorony teteje és alja között ugráltattak



nem voltak azonosak. Ez a kísérleti tapasztalat a tér görbültsé-gére utal.

A másik ismeret, amely erősen befolyásolta az elmélet kialakulását, a mechanikából ismert. Nevezetesen, hogy a testek tehetetlenségének mértéke, a tömeg, és a gravitáló hatásuk mértéke, a gravitáló tömeg, minden lehetséges mérési pontosságmellett egymással arányosnak bizonyul. Úttörő munkát végzettezen a téren Eötvös Loránd (1848-1919), aki a múlt század végén olyan pontossággal mérte meg a két tömeg egyenlőségét,

hogy azt az utóbbi évtizedekben tudták csak felülmúlni.Felmerül a kérdés tehát, hogy a két tömeg arányossága egzakt módon érvényes-e?

A harmadik kérdéskör, amely az elmélet kialakulásához vezetett, a következő. A klasszikus fizika szerint a minden csillagtól távol lévő űrhajó, amelynek hajtóműve nem működik, zavartalanul mozog, benne súlytalanság van. De a Föld körül

keringő űrhajóban, amelynek szintén nem működnek a hajtóművei, a Föld felé szabadon esik, és így benne szintén súlytalanság van. Ennek az az oka, hogy minden test, függetlenül az anyagi összetételétől, egyformán gyorsul a gravitációs térben.

így tehát az űrhajós, ha kívülről nem kap információt, a bezárt kabinban nem tudja megállapítani, hogy az ő vonatkoztatási rendszere a Föld körül keringve, gyorsuló mozgást végez-e,

vagy végtelen távol van-e minden jelentős tömegtől, és nemgyorsul. Márpedig, ha a gyorsuló rendszer nem egyenrangú,nem ekvivalens az inerciarendszerrel, akkor a kabinban kísérleti úton különbséget tudnánk tenni a két rendszer között.

Einstein a leírtak alapján radikáhs következtetéshez jutott.

H] Ha a gravitáció jelenlétét a tér-idő szerkezeti tulajdonságá

nak tekintjük, akkor a végtelen távoli űrhajó, a keringő űrka bin vagy a szabadon eső kabin mozgását egyformán tekinthet jük zavartalan, szabad mozgásnak. A mozgás pályája mindenesetben a tér-idő adott tartományának megfelelő „legegye-nesebb vonal”, az úgynevezett geodetikus vonal, amely perszeeukUdeszi értelemben nem feltétlenül egyenes. így tehát atér-idő sem euklideszi általában hanem görbült

_____________________RELATIVITÁSELMÉLET _________________ 317



A tér-idő szerkezete geometriailag tükrözi a gravitáció jelenségét. Ebben az értelemben a tömegek nem gravitációs mezőtkeltenek maguk körül, amellyel megzavarják a többi test zavar

talan mozgását, hanem elgörbítik a tér-időt, amelyben már máslesz a„legegyenesebb vonal”. így tehát a gravitáló tömeg fogalmára nincs szükség, csak tehetetlen tömeg van.

A z általános relativitáselmélet így nem csak az egymáshoz ké pest tetszőleges mozgást végző koordináta-rendszerek ekvivalenciáját mondja ki, hanem ezen túlmenően, a gravitáció új.értelmezését is adja.

Az elmélet következménye, hogy a fény is a tér szerkezeté ből adódó vonalon mozog. Nagy tömegű csillag közelében elhaladva a fény elhajlik az egyenestől.

A másik következmény, hogy a fény valamely tömeget elhagyva energiát veszít, mivel le kell győznie annak a tömegnek a fény súlyos tömegére gyakorolt gravitációs hatását. Az energiavesztés a hullámhossz növekedésével jár, ez a hatás a gravitá

ciós vörös-eltolódás.

E Azok a kísérleti tények, amelyek az általános relativitáselméletet erősítik, már évtizedek óta ismeretesek. Ezek a fény út

jának elgörbülése a csillagok mellett, a vörös-eltolódás a nehézcsillagok színképében és a Merkúr perihéliumának elfordulása.

A fizikusok az utóbbi néhány évtizedben nagy erőkkel dol

goznak az általános relativitáselmélet (ami az univerzum nagyléptékű szerkezetéről ad információkat) és a kvantumfizika(ami az elemi részecskék leírását adja) egyesítésén, de ez amunka még a mai napig nem vezetett eredményre.




7. CSILLAGÁSZAT

7.1. A CSILLAGÁSZAT RÖVID TÖRTÉNETE

A csillagászat az egyik legrégebben fejlődő természettudomány. A történelemből,^ megmaradt írásos dokumentumokbóltudjuk, hogy már az első kultúrnépek - babilóniaiak, egyiptomiak, kínaiak, indiaiak, mayák, aztékok - is sok-sok csillagászati megfigyelést végeztek.

Ennek egyik oka, hogy szükségesnek mutatkozott egy meg bízhatóan előre számítható gyakorlati időbeosztás, melybőlkésőbb a különböző időszámítások kifejlődtek. Bár semmi ismeretük sem volt az égitestek mozgásának fizikai törvényszerűségeire vonatkozóan, a hosszú évszázadok alatt felhalmozottmegfigyelési anyag alapján a Nap, a Hold és az első öt bolygóégi helyzetét közelítőleg meg tudták jósolni.

Kövessük végig röviden a csillagászati ismeretek gyarapodásának történetét.A babilóniaiak különböző táblázatokban pontosan rögzítet

ték az égi eseményeket, a bolygók mozgását, s ezek az adatok amai tudós számára is fontosak. Az egyiptomiak a naptárkészítésben és a csillagászati geodéziában értek el jelentős eredményeket. A kínaiak nem törekedtek egységes csillagászati rend

szer kiépítésére, hanem csupán bizonyos események - nóvák,üstökösök, fogyatkozások - megfigyelésére és leírására specializálták magukat. Kiemelkedik azonban az i.e. II. sz.-ban keletkezett elmélet, amely a Földet gömbnek, a világmindenséget

pedig végtelennek tekintette. Közép-Amerika ősi kultúrnépeiközül különösen a mayáknál találkozunk igen régi megfigyelésekkel, mint pl. egy i.e. 3379-ben lejátszódott napfogyatkozás



leteken talált csillagászati megfigyelések sokkal régebbi idő pontokat jelölnek, mint az épületek régészetileg becsült kora.

A görögöknél találkozunk először azzal az igénnyel, hogy

nem elégednek meg a puszta megfigyeléssel, hanem az okokatis keresik. Ők alkották meg az első bolygómozgás-elméleteket,magas fokra fejlesztették a deduktív gondolkodást, amely általános alapelvekből kiindulva próbál mindent megmagyarázni.

A számoszi Arisztarkhosz (i.e. 320-250) geometriai okoskodás és szögmérés alapján rájött arra, hogy a Nap sokkal nagyobb, mint a Föld, s ezért a Napnak kell a központban állnia.

Nagy érdeme, hogy ő nemcsak filozofált, hanem mért is. Hipparkhosz (i.e. 190-125) és Ptolemaiosz (i.u. 90-160) újfent geocentrikus nézeteket vall. Szerintük a Föld áll a közép pontban, és az égitestek egyszerű vagy összetett körpályákon,körülötte keringenek. Ez a felfogás egészen Kopernikuszigegyeduralkodó maradt.

Ahogy telt az idő és sokasodtak az észlelések, egyre nyilván

valóbbá vált, hogy a ptolemaioszi rendszer nem tökéletes. Egyre több kört kellett eiz összetett pálya leírásához bevezetni,hogy a számítás az észlelések eredményével megegyezzen. Afordulatot Nikolausz Kopernikusz (1473-1543) elmélete jelentette, aki észrevette, hogy a heliocentrikus (napközéppontú)rendszer sokkal egyszerűbb magyarázatot ad a bolygómozgásleírására, mint a geocentrikus. A bolygópályát azonban ő is kör

nek képzelte, s ez ellentmondáshoz vezetett.A heliocentrikus elmélet végső formáját Johannes Kepler

(1571-1630) fogalmazta meg, aki a róla elnevezett törvények ben foglalta össze a bolygómozgás alapelveit.

Erre az időre esik a távcső feltalálása is, amit komoly tudományos eredménnyel Galileo Galilei (1564-1642) alkalmazottelőször. Segítségével felfedezte a Jupiter négy legfényesebb

holdját, a Hold hegyeit, a napfoltokat és a Nap tengely körüliforgását. Elvetette az ókori szaktekintélyekre való puszta hivatkozás bizonyító erejét, s hangsúlyozta a megfigyelések szükségességét.

A Kepler utáni évszázadot Newton neve fémjelzi. Az általamegfogalmazott gravitációs törvény segítségével magyarázatotk tt b l ók á á ál j l é l i t

320 _____________________ CSILLAGÁSZAT_________________________



égitestek forgástengelyének kúpfelületen való mozgása, a precesszió is.

A megfigyelésekben lényeges szerep jutott a távcsőnek és azegyre tökéletesebb csillagászati óráknak. Olaf Römer (1644-1710) először mérte meg a fény terjedési sebességét. Ticho

Brache (1546-1601) obszervatóriuma után megépülnek az elsőnagy csillagdák: 1670-ben a párizsi, néhány évvel később agreenwichi és 1700-ban a berlini.

1706-ban Edmund Halley (1656-1742) először számolta ki

egy üstökös pályáját, amelyet később róla neveztek el. A pálya-számításokból derült ki, hogy az üstökösök nem légköri jelenségek - mint pl. a sarki fény - hanem önálló égitestek.

1781-ben William Herschel (1738-1822) felfedezte az Urá-nuszt, az első olyan bolygót, amit az ókoriak nem ismertek.Ugyancsak ő, 1783-ban felismerte, hogy a Nap sem mozdulatlan, így nem lehet többé a világegyetem középpontjának tekin

teni. A Nap is elveszítette tehát kiváltságos helyzetét.A pályaszámítás kifejlesztésével az XVIII. század második felében és a XIX. század elején egész sor kiváló matematikusfoglalkozott: Euler, d’ Alembert, Lagrange, Laplace.

A XIX. századot az jellemzi, hogy ekkor vált igazi szaktudománnyá az asztronómia, s kezdődött meg önálló tudományágakra való felbomlása is. Az égi mechanika a század közepén

érte el addigi legnagyobb sikerét a Neptunusz felfedezésével.Ezt a bolygót az Uránusz pályaháborgásain alapuló számítások után találták meg tácsővel a megadott helyen. Ugyanez ismétlődött meg 1930-ban a Plútóval. A század második felére esik azasztrofizika kifejlődése, ekkor kezdik rendszeresen kutatni azégitestek fizikai jellemzőit. Végül, a távcső felfedezésével szinteegyenrangú jelentőségű volt a színképelemzésnek, mint kutatási

eljárásnak a bevezetése.A XX. század elejétől váltak isifleretessé a csillagok hőmér

sékletére és méreteire vonatkozó adatok, és jelentősen fejlődötta csillagrendszerek kutatása. A század második évtizedében került sor a Tejútrendszer méreteinek helyes meghatározására, s ahúszas években bizonyosodott be, hogy az extragalaxisok óriásibirodalma létezik

_________________________CSILLAGÁSZAT _____________________ ^



csillagászok és az elemi részecskék vizsgálatával foglalkozó elméleti fizikusok. A v/tógegyeíem jelenségeinek magyarázatáhozegyre inkább szükség van a kvantummechanika, a kvantum

elektrodinamika és a relativitáselmélet eredményeire, s ugyanakkor a csillagvilág kutatása egyre újabb és újabb tényeket, ismereteket ad a részecskekutatók kezébe, hiszen a világmindenséglegnagyobb részén az anyag számunkra egészen különleges - la

boratóriumban megvalósíthatatlan - körülmények között van jelen.

Ma úgy tűnik, hogy elég átfogó képünk van a világegyetem

ről. A rádiótávcsövekkel sok-sok fényévre, egyre messzebbre„látunk”. Minél messzebbről érkezik az információ, a világ-egyetem annál régebbi állapotáról ad hírt. Mivel így az időibenis visszatekintünk, tehát remény van arra, hogy az univerzumkialakulásáról is egyre többet tudhatunk meg. A fizika tudományának fejlődése pedig segíti a megfigyelt jelenségek megértését.

Könnyen beláthatjuk, hogy a csillagászat óriási hatást gyakorolt a többi tudományág fejlődésére. Elősegítette az időmérésegységesítését, a földrajzi koordináták és irányok meghatározását. Általa fejlődött az optika és a meteorológia, és nem utolsósorban a matematika. Sok-sok új ismeretet adott a kémiának, afizikának és a filozófiának. A mesterséges égitestek által hajtottközvetlen haszon pedig már ma is lemérhető a geológia, geográ

fia, oceonográfia, hidrológia, a mezőgazdaság, a biológia, a távközlés, valamint a technika különböző ágazatai, mint pl. a mikroelektronika területén.

Mielőtt rátérnénk a csillagászati ismeretek tárgyalására, tekintsük át röviden azokat az információs csatornákat, amelyek a fizikusok és csillagászok rendelkezésére állnak.

A közönséges optikai távcsőről már volt szó. Bár szerepe ma

sem elhanyagolható, bizonyos távolságnál messzebbről távcsővel nem tudunk információt szerezni, így inkább a közelebbiobjektumok vizsgálatára használják.

Részben az optikai vizsgálattal függ össze a színképelemzés asztronómiai használata is. A csUlagok színképében jól elkülöníthetők az egyes elemekre jellemző spektrumok, s így informáiót k k ill k ké i i ö tét lé ől

322 _____________________ CSn^LAGÁSZAT ________________________



A rádiócsillagászat születésének időpontját 1931-re tehetjük,amikor először észleltek jeleket 15 m-es hullámhosszon, a Te

jútrendszer közepéből. 1946 óta a ráióinterferencia módszerévelmár pontosabban megállapítható a rádióhullámokat kibocsátóobjektumok helye. Ezen objektumok között külön említést érdemelnek a kvazárok és a pulzárok. A pulzárok változó csillagok, róluk még később szólunk. A kvazárok nagyon nagy fényességű csillagok, amelyek erős rádiósugárzást bocsátanak ki.1963-ban megállapították róluk, hogy színképük erősen eltoló

dik a vörös felé, ami a Doppler-effektussal magyarázva azt jelenti, hogy nagy sebességgel távolodnak tőlünk. Valószínűlegezek tekinthetőik; univerzumunk legtávolabbi objektumainak.

A rádiócsillagászat érdekes eredménye volt a világegyetemfejlődése szempontjából, mikor 1965-ben Arho Penzias és Róbert Wilson felfedezték az univerziun mindenütt jelenlevő, minden irányból érkező ún. háttérsugárzását. Ez olyan energiájú rá

diósugárzás, amely egy 2,7 K hőmérsékletű, egyensúlyi álla potban lévő gáz elektromágneses sugárzása. A mai rádiótávcsövek, amelyek tulajdonképpen hatalmas antennák, olyan távolságokból fognak jeleket, vag5ds olyan régi jeleket érzékelnek,amikor még nem voltak galaxisok.

Földünket állandóan éri a világűrből a kozmikus sugárzás, amely nagyon nagy energiájú részecskék árama. A csillagászat

nak az az ága, amely ezek vizsgálatával foglalkozik, a röntgen- csillagászat.Végül említést kell tennünk egy fejlődésben lévő kutatási ág

ról, a neutrínócsillagászatról. Korábban beszéltünk már arról,hogy a neutrínó - éppen az anyaggal való nagyon gyenge kölcsönhatása következtében - igen nagy áthatoló képességű, ilyenmódon közvetlen információt tud hozni a galaktika mélyéről

vagy egy csillag belsejéből. Igaz, hogy éppen emiatt a befogása,detektálása is nehézségeket okoz.

_________________________CSILLAGÁSZAT _____________________ 3M



324 CSILLAGÁSZAT

7.2. A NAPRENDSZER

A Naprendszer középpontja és legfontosabb energiaforrása a

Nap. Vele a következő fejezetben részletesen foglalkozunk.A hozzánk legközelebbi égitest a Hold. Átlagos távolsága aFöldtől 384 000 km. A Hold felszínén különböző alakzatok figyelhetők meg: hegységek, kráterek, lapos síkságok. Nincs légköre, hiszen a szökési sebesség itt mindössze 2,4 km/s, s ezért amolekulák termikus mozgása elegendő ahhoz, hogy elhagyják aHoldat. Hasonló ok miatt nincs víz sem. A levegő és a víz hiá

nya azt is jelenti, h o ^ nincsenek olyan romboló erők, amelyek a Föld felszínén az egyenetlenségeket eltüntetik. Romboló hatásuk az akadálytalanul lehulló meteoroknak van. Ezért a Holdfelszíni alakzatai sokkal élesebben jelentkeznek, mint a Földöna felszín változásai.

Míg a Föld átmérője 12 740 km, a Hold átmérője 3476 km.Mérete - anyabolygójához képest - kiugróan nagy, ha a többi

nagybolygó holdjával összehasonlítjuk. Ennek döntő szerepevolt a földi élet kialakulásában, mivel ez okozza a jelentős árapály jelenséget. A jelenség modellszerű magyarázata a következő.

Tegjóik fel az egyszerííség kedvéért, hogy a tenger egyenletesen borítja a Föld szilárd felszínét (7.1. ábra). A szilárd gömbrea Hold vonzóereje úgy hat, mint egy szilárd testre, vagyis a gra-

Hold



CSILLAGÁSZAT 325

vitációs erő támadáspontja a Föld középpontjába tehető. A szilárd kéreg minden pontja, így A és B pont is egyforma a gyorsulással rendelkezik. A tenger folyékony anyagára azonban ez afeltevés már nem vonatkoztatható;. Az A pont messzebb van aHoldtól, mint a B pont, így az A pontban a tenger anyagán létrehozott p gyorsulás kisebb, a B pontban a q gyorsulás nagyobb. A tenger 1 kg-jára a tengerfenék 1 kg-jához képest teháta Föld középpontjától kifelé mutató gyorsulás érvényes.

Az árapályerők eloszlását a Föld felszínén a 7.2. ábrán láthat juk. Kiderül tehát, hogy a Holddal megegyező és ellentétes oldalra áramlik a víz, a másik két oldalon pedig csökken a tengerszint. A Föld tengely körüli forgásával változnak a helyszínek, sígy egy adott helyen kb. hatóránként váltja egymást a dagály és

az apály. Mikor a Hold felszíne még olvadt állapotban volt,ugyanilyen hatást gyakorolt rá a Föld. Az árapálymozgásokkalegjóittjáró súrlódás hatására a keringési idő csökkenhetett. Valószínűleg ez az oka annak, hogy a Hold jelenleg annyi idő alattfordul meg a saját tengelye körül, mint amennyi idő alatt megkerüli a Földet, és így mindig ugyanazt az oldalát mutatja felénk.



326 CSE^LAGÁSZAT

BolygóNaptól

való

távolság

Átmérő Tömeg Közepes

sűrűség

Hőmérséklet a Napáltal meg

világítottoldalon

Merkúr 0,39 0,40 0,042 0,70 460 °CVénusz 0,72 0,99 0,81 0,81 400 °CFöld 1,00 1,00 1,00 1,00 22 °CMars 1,52 0,54 0,108 0,72 - 1 3 °C

Jupiter 5,20 11,26 317 0,24 - 14 0 °C

Szaturnusz 9,54 9,45 95 .0,13 - 15 0 °CUránusz 19,18 4,19 15 0,23 - 16 0 °CNeptunusz 30,06 3,89 17 0,29 -1 6 0 °CPlútó 39,6 0,5 0,18 0,3

Számuk kilenc, jellegzetes adataikat - szokásosan a Föld adataihoz viszonyítva - a 7.4. ábrán láthatjuk.

A táblázatból kitűnik, hogy a nagybolygók két csoportba sorolhatók. A Föld típusú bolygókra a lassúbb tengely körüli forgás, kisebb tömeg, nagyobb közepes sűsűség jellemző. AJupiter típusú bolygókra ezek ellenkezője igaz. Ennek a megállapításnak a bolygórendszerek kialakulásával kapcsolatban lesz jelentősége.

O O o o

Foglaljuk össze röviden az egyes bolygók jellemző tulajdonságait! A Merkúrnak légköre gyakorlatilag nincs, a Naphoz való közelsége és kis tömege miatt. Pályája aránylag eln5nilt eUip-szis, amelynek tengelye a többi bolygó hatása miatt elmozdul.



merjük, mivel a Nap közelsége miatt nehéz megfigyelni. Közvetett mérésekből tudjuk, hogy méreteihez képest magas hegységek találhatók rajta.

A Vénusz népies neve Esthajnalcsillag. Felszíne nem látható,átlátszatlan felhőburok veszi körül. Több mesterséges szondavizsgálta felületét és légkörét. A felhőréteg felső határán a hőmérséklet 220 K, az alsó határon 370 K, a felszínen kb. 700 K.Megállapítható volt, hogy a Vénusz felszíne elég egyenetlen,nagy domborzati különbségek találhatók rajta. A légköri nyomás a normál földi nyomásnak több mint 100-szorosa. A bolygónak jelentős mágneses tere nincs. A légkör, amely döntőenszén-dioxidból áll, a ráeső fény 76%-át visszaveri. A magas felszíni hőmérsékletet az üvegházhatás magyarázza.

A Mars sok szempontból hasorűít a Földhöz. Pályasíkja ésegyenlítője szintén szöget zár be egymással, így itt is vannak évszakok. Légköre vékony és átlátszó, néha sárga, fehér és kék

színű felhőket figyelhetünk meg benne. Légköre főleg széndioxid. A felületen a légköri nyomás 0,017-szerese a normál nyomásnak, ami megfelel a Föld légköri nyomásának 20 km magasan. Felszínét meglehetősen jól ismerjük. Jellegzetesek aszárazjégsapkák a téli féltekén, a sötétebb medencék és a többszáz kilométer hossztí árkok. A Marsnak két kis tömegű holdjavan, a Phobos és a Deimos.

A Jupiter a Nap után a Naprendszer legjelentősebb égiteste. Nincsenek rajta évszakok, felszínét nagy tömegű légkör veszikörül, amiben ammóniát, metánt, hidrogént és héliumot fedeztek fel. Felhői sávokban helyezkednek el, valószínűleg a gyorstengely körüli forgás miatt. Jellegzetes képződmény felszínénaz ún. vörös folt, amely az egyenlítői sávhoz képest mozog.A Jupiternek erős mágneses tere van, s a földihez hasonló su

gárzási öv veszi körül. 12 holdja van, amelyek közül a legismertebbek az Európa, az lo, a Ganimedes és a Kallistó. Az utóbbikettő nagyobb a Merkúrnál.

A Szaturnusz sok tekintetben hasonlít a Jupiterhez. Légkörehasonló összetételű és bár gyengébb mértékben, de csíkszerűfelhőket is találhatunk rajta. 10 holdja és egy gyűrűrendszerevan A holdak közül legérdekesebb a Titán amely abból a

_________________________CSILLAGÁSZAT _____________________ 3 ^



A gyűrűrendszer három különálló részgyűrűre bomlik. Spektroszkópiai méréssel igazolni lehetett, hogy a gyűrűk homokszem vagy legfeljebb kavics nagyságú részecskékből állnak,

amelyek körpályán keringenek a bolygó körül. Lehetséges,hogy a gjóírű a Szaturnusz egy felrobbant holdjának maradványa.

Az Uránuszról és a Neptimuszról, nagy Földtől való távolságuk miatt keveset tudunk. Légkörük hasonlít a Jupiterére. AzUránusznak 5, a Neptunusznak 2 holdját ismerjük.

A Plútót 1930-ban fedezték fel. Keveset tudunk róla. Ha mé

retét és tömegét nézzük, a Föld típusú bolygókra hasonlít. Ezértokoz fejtörést a csillagászoknak, hogy hogyan lehet ez a legkülső bolygó.

A XVIIL században misztifikációs törvényekbe igyekeztek a bolygók Naptól való távolságait beilleszteni. Egy ilyen empirikus szabály szerint a Mars és a Jupiter között hiányzik egy boly

gó. Ehelyett ezéií a területen nagyon sok kisbolygót találtak.

A legnagyobb közülük a Ceresz, átmérője 768 km. A legkisebbismert kisbolygók km-es átmérőjűek. Statisztikai számítások szerint az ennél nagyobb kisbolygók száma mintegy 100 000, ésössztömegük 0,5 földtömeg. Egyes kisbolygók - pl. az Erosz, az

Ámor és az Ikarusz - időnként közel kerülnek a Földhöz.A Naprendszer leglátványosabb égitestei az üstökösök. Éven

te kb. egy tucatot lehet megfigyelni, ezek közül 6-7 új, 4-5 pedig

már korábban is megfigyelt üstökös. Az üstökös magja tan-esnagyságrendű, szilárd részecskékből és a rájuk fagyott gázokbóláll. A Nap közelébe érve a gáz elpárolog, s külön vagy a porralegjóitt a csillag sugárnyomása a Nappal ellentétes oldalra taszít

ja a gázt. így keletkezik a csóva. Az üstökösök túlnyomórésztelnyújtott ellipszispályákon keringenek, de a bolygók hatásáraez hiperbolikussá válhat, s ekkor elhagyják a Naprendszert.

A meteorrajok valószínűleg felbomlott üstökösök maradványai. Ha a Föld egy ilyen meteorraj pályáján keresztülhalad, akkor gyakori meteorhullást észlelünk. A nagy sebességgel a Földlégkörébe érkező meteor a súrlódás következtében fényjelenség kíséretében elég. Már néhány milligramm tömegű meteor islátható fényjelenséget okoz. A nagy meteorok maradványai le

k Föld k t it k E k i ál t é d k i

328 _____________________ CSILLAGÁSZAT ________________________



mereteket nyújt a Földön kívüli világ anyagi összetételéről.Évente mintegy 2000 ilyen meteorit esik a Földre, átlagosan 100kg tömeggel.

Bizonyos számításoknál figyelembe kell venni az ún. interpla-netáris anyagot, amely a Naprendszer szimmetriasíkjában elhelyezkedő por- és gázfelhő. Ide tartozik még a bolygóközi térbenállandóan jelenlevő kozmikus sugárzás is.

Végül vizsgáljuk meg egy bolygórendszer kialakulásának lehetséges folyamatát!

Le kell szögeznünk először, hogy a Naprendszer nem egy vé

letlen, egyedi jellegű folyamat eredménye. Ezt bizonyítja, hogya bolygórendszer és a kettős vagy többszörös csillagrendszer nagyon hasonló, lényegében csak a résztvevők tömegében van különbség. Kettős és többsörös csillagrendszer pedig nagyon sok van a Tejútrendszerben.

Bár biztosak lehetünk abban, hogy a galaktikában számtalan,a Naprendszerhez hasonló bolygórendszer van, mégis csak mintegy 10 csillag esetében tudták közvetve meggyőződni arról,hogy a csillag körül sötét kísérő, feltehetően bolygó kering.Közvetlen tanulmányozásra tehát csak a mi bolygórendszerünk áll rendelkezésre. Ezért a Naprendszer keletkezésének kérdésea csillagászat egyik legnehezebb problémája.

A Föld korát geológiai módszerekkel 4-5 milliárd évre lehet becsülni. Továbbá megállapítható, hogy közben az ide másod percenként érkező sugárzás mennyisége nem változott lényegesen. A Nap is tehát legalább ennyi idős.

A bolygók keletkezésével foglalkozó elméletek a bolygókoz- mogóniai elméletek. Mindegyiknek a Naprendszer jelenlegi adataiból kell kiindulni, de nem lehet tudni, hogy melyik adat általános és melyik egyedi. Ilyen adatok: a Föld típusú bolygók

közelebb vannak a Naphoz, mint a Jupiter típusú bolygók (a Plútó inkább elszökött holdnak tekinthető). A Jupiter típusú bolygók mintegy 100-szor nagyobb tömegűek, kémiai összetételük hasonlít az interplanetáris anyag összetételéhez, a bolygók mind közel egy síkban és egy irányban keringenek. A Nap lassan forog, a bolygók összes perdülete sokkal nagyobb, mint a

Nap impulzusnyomatéka stb.

______________ CSILLAGÁSZAT _____________________ ^



330 CSILLAGÁSZAT

bán egyik elméletről sem állíthatjuk, hogy kifogástalanul leírjaa Naprendszer keletkezését. Inkább csak részkérdésekre vannak elfogadható magyarázataink. Még az sem dönthető elegyértelműen, hogy a bolygók a Nap anyagából vagy a csillag

közi gázból keletkeznek-e?Az elméleteknek több csoportja ismeretes. A katasztrófa tí

pusú elméletek azt feltételezik, hogy a bolygók anyaga a Napbólvagy egy másik csillagból szakadt ki, a két csillag találkozásának következtében. A csillagok találkozása azonban olyan ritka, hogy így a bolygórendszer kialakulása véletlen jelenség lenne. Az elméletek másik csoportja szerint a bolygók anyagát a Nap a csillagközi gázfelhőkből szedte össze, rajtuk áthaladva.Azonban az ilyen befogás is nagyon kis valószínűséggel következik be.

A harmadik, legvalószínűbb elméletcsoport szerint a Nap ésa bolygók ugyanabból az anyagból, ugyanazon folyamat során

jöttek létre.A bolygókozmogónia olyan elméletek összességét jelenti,

amelyek kizárólag spekulatív módszerekkel, de a feltevések alapján komoly és igen nehéz számításokkal születnek. A kérdés tisztázása W tos lenne, mivel így a Föld belső szerkezetének megismerése és közvetve az ipari nyersanyagok felkutatásais lehetségessé válna.

7.3. A NAP, A LEGKÖZELEBBI CSILLAGA Nap egy csillag a sok közül, de átlagos jellemzők folytán a

többi csillag sok tulajdonságát is hordozza. Tanulmányozása tehát - közelsége miatt - sok vonatkozásban a csillagokra vonatkozó általános ismereteinket is bővíti.

Adatok a Napról.sugara; i? = 6,96 •10* m = 696 000 kmtömege: M = 2 • 10^° kga felületi gravitációs gyorsulás: g = 2,7 ■10^ m/s^középpontjában a hőmérséklet: T = W K a felületi hőmérséklet: T' = 5780 K



Érdemes megemlíteni még, hogy az állócsillagokhoz viszonyítva a Nap mintegy 25 napos periódussal forog saját tengelyeköríil. Forgása azonban nem egyenletes, az egyenlítői tartomá

nyok nagyobb, a póluskörnyéki tartományok kisebb szögsebességgel mozognak.

A Napról a földfelszín minden négyzetméterére 1 kW teljesítménnyel érkezik az energia. Ez annyit jelent, hogy az emberiség jelenlegi villamosenergia-szükségletét körülbelül egy hazánk területével azonos nagyságrendű területre eső napenergiafedezni tudná. Még impozánsabb számadatot kapunk akkor, ha

meggondoljuk, hogy a Nap felületének minden négyzetmétere60 MW teljesítményt sugároz szét az űrben, ez a teljesítményegy kisebb erőmű teljesítményével mérhető össze.

Az egyszerű ember azt képzeh, hogy a Nap energiatermelésevalamiféle „égés”. Könnyen kiszámítható azonban, hogyha a Nap anyaga a legkitűnőbb rakétahajtóanyag-keverék lenne,égése akkor sem volna többre elegendő, mint néhány ezer év.1929-ben, számítások alapján mutattak rá a helyes megoldásra,miszerint a Nap és más csillagok energiatermelése a nagyon magas hőmérsékleten létrejövő magreakciók (magfúzió) következménye. A pontos folyamatokat csak az első gyorsítókkal végzett kísérletek segítségével tudták leírni 1938-ban.

Két alapvetően lehetséges reakciót fogalmaztak meg. Azegyik, ún. p-p ciklus vázlatos rajza és lépései a 7.5. ábrán láthatók. A másik, az ún CN-ciklus vagy karbon-ciklus vázlatos rajzaa 7.6. ábrán látható. Ez utóbbiban a szén csak mint katalizátor szerepel.

Mindkét folyamat lehetséges. A Napnál kisebb tömegű csillagokban a p-p reakció gyakorisága nagyobb, így ez ad nagyobbteljesítményt. A Napnál nagyobb tömegű csillagokban nagyobb

a hőmérséklet, százmiUió fok körüli, megnövekszik a CN-ciklus gyakorisága, így ott ez dominál.A csillag élete során a hidrogén mennyisége tehát elfogy,

azaz elfogy a nukleáris fűtőanyag. Ekkor más fúziós reakciók is belépnek, egészen addig, míg a fúziós reakció energiafelszabadulással jár. A magfizika fejezetben láttuk, hogy a folyamat avas környékén lévő elemeldg tart. Ehhez azonban egyre na

_________________________CSILLAGÁSZAT _____________________ 331



332 CSILLAGÁSZAT



CSILLAGÁSZAT 333

A múlt század közepén H. Helmholtz (1821-1894) a Napenergiatermelésének új elméletét fogalmazta meg. Feltevése

szerint a Nap egy hatalmas izzó gázgömb, amely felületének sugárzása közben állandóan energiát veszít, s közben összehúzódik. Az összehúzódásért felelős gravitációs erő munkája adja tehát az energiát. Kiszámította, hogy ez a folyamat a kémiaireakcióknál sokszorta több energiát termel, s hogy ezzel a Nap- jelenlegi fényessége mellett - néhány százmillió évig fennmarad. Akkor ez elegendően hosszú időtartamnak látszott. Matudjuk, hogy a Föld életkora legalább ötmilliárd év. Az összehúzódás tehát nem adhat elegendő energiát.

A radioaktivitás felfedezése és annak a felismerése, hogy azatommagokban elraktározott energia milliószorta több az addigismert folyamatokban felszabaduló energiánál, új színben tüntette fel a Nap energiaforrásának problémáját. Csupán az okozgondot, hogy a természetes radiokatív bomlás nagyon lassú folyamat. Ha ezzel akarjuk magyarázni a Nap sugárzási teljesítményét, akkor azt kéne feltételeznünk, hogy teljes egészébenuránból, tóriumból és ezek bomlástermékeiből áll. Márpedig eznincs így.

A Nap közvetlen megfigyelése csak a felszínére terjedhet ki,mivel a belsejébe a szem nem képes behatolni. A Nap központitartományairól mégis többet tudunk, mint a Föld magjáról, pe

dig az itt van a lábunk alatt, a Nap pedig 150 millió km-re. Ennek az a magyarázata, hogy mindkét égitest esetén elméletimegfontolásokkal jutunk következtetésekre, ehhez viszont ismerni kell az anyag viselkedését a megfelelő körülmények között. A Föld belsejében, a szilárd kéreg alatt rendkívül nagynyomáson lévő olvadt anyag van, aminek igen nehéz az elméletileírása. Azonban a Nap belsejél?en fennálló körülmények kö

zött a közönséges anyagot képező molekulák, atomok csaknemteljesen alkotóelemeikre esnek szét. A heves hőmozgásbanszinte csupasz atommagokat és szabad elektronokat találunk,így a Nap anyagát, sűrűségétől függetlenül, ideális gáznak tekinthetjük. Ezzel a modellel pedig a leírás viszonylag egyszerűvé válik.

Vizsgáljuk meg a Nap szerkezetét!



334 CSILLAGÁSZAT

jed, itt játszódnak le a magfolyamatok. A következő rétegben amagban keletkezett energia röntgen- és gammasugárzás formá

jában, folytonos elnyelődés és újrakeletkezés útján terjed a kül

ső hidegebb tér felé. A felszín alatt, mintegy 100 000 km mélyenkezdődik az a tartomány, amelyen keresztül már nemcsak sugárzás, hanem áramlás útján is vándorol az energia kifelé. Ezek az áramlások a felszínen foltokat okoznak, a meleg, felfeléáramló anyag fényesebb, a hidegebb, lefelé áramló anyag söté-tebb foltként látszik.

A következő, 400 km vastag réteg a fotoszféra. Az itt keletke

ző sugárzás már gyakorlatilag változatlanul halad át a külső tartományokon. A réteg vastagsága a Nap sugarához képest elenyésző, ezért szokták ezt a Nap felszínének nevezni.

A felszín fölött találjuk az egyre ritkuló kromoszférát, amelynek vastagsága a Nap méretével azonos nagyságrendű, és fokozatosan megy át az interplanetáris anyagba. Ez tekinthető a Nap légkörének. Itt születnek a protuberanciák, ezek a felszín

fölé emelkedő, néhányszor 100 000 km-es hosszúságú gázoszlo pok. Itt jelennek meg időnként fényes foltok, amelyeket napkitöréseknek hívunk. Ilyenkor nagy mennyiségű korpuszkula do-

bódik ki a Napból, amelyek a Földet is elérhetik, s hatássalvannak az élővilágra, zavarják a rádiózást. Még egy érdekességkapcsolódik ide. A fotoszférában a gázatomok olyan szorosanvannak összezárva, hogy mindenféle frekvenciával, folytonos

sugárzást bocsátanak ki. A kromoszférában azonban a gáz már nincs annyira összenyomva, így minden gázatom gerjeszthető, sa rá jellemző frekvenciájú sugárzást elnyelheti. Legelőször /. Fraunhofer (1787-1826) mérte gondosan a Nap színképét, sfigyelte meg a folytonos színképben a sok ezer sötét vonalat.A Nap színképében tehát elnyelési színképet is találunk.

A Napban lezajló folyamatokkal kapcsolatban még nagyon

sok kérdés vár válaszra. A kutatás tovább folyik, hiszen a Napmegismerésével más csillagok viselkedésére is magyarázatot találhatunk.



7.4. A CSILLAGOK KELETKEZÉSE ÉS FEJLŐDÉSE

Az eddigiekben azt láttuk, hogy Napunk jelenleg hirdogénjétfogyasztja, miközben középpontjában feldúsul az átalakulás terméke, a hélium, amely egy magasabb hőmérsékleten végbemenő átalakulás nyersanyaga lehet. Érdemes megvizsgálni azon ban azt a kérdést, hogy mitől emelkedett a hőmérséklete ilyenmagasra, s mi történik egy csillaggal, ha elfogy benne a „tüzelőanyag”?

A kérdések megválaszolásához a meglevő csillagok katalogizálása ad segítséget. A különböző tulajdonságú csillagokat úgylehet tekinteni, mint különböző korú csillagokat. Az egyik mostszületik, a másik éli életét, a harmadik az öregedés jeleit mutat

ja. Ahogy egy város lakosságának ismeretében felállíthatjuk egyetlen ember életútját, ugyanúgy a különböző csillagok ismeretében Igen nagy valószínűséggel nyomon tudjuk követniegyetlen csillag fejlődésének útját.

A csillag kialakulása a kozmikus gázfelhő gravitációs összehúzódásával indul meg. Az első fázisban a gravitációs energia arészecskék mozgási energiáját növeli. A csillag anyaga kezdet

ben szinte akadálytalanul esik össze, későljb a növekvő nyomáshatására a folyamat lelassul. Az összehúzódás során a gázfelhő

belseje fokozatosan melegszik, először vörösen izzik, majd egyre fényesebb. Mikor a központi tartomány eléri a néhány millió fokot, beindulnak a magreakciók, megszületett a csillag. Életének mintegy 99%-át ebben az állapotban tölti, mikor hidrogén

jét fogyasztja. Ebben az állapotban a csillag egyensúlyban van, mérete lényegesen nem^változik. Ha megszűnik a középpont ban az energiatermelés, a sugárnyomás már nem tart egyensúlyt

a gravitációs hatással, újabb összehúzódás lép fel. Ekkor a csillag megint felmelegszik, s belsejében beindul a hélium „égése”.A hidrogén átalakulása viszont a külső rétegekre teijed át, aminek küvetkeztében ezek a külső rétegek kiterjednek. A csillagugyan belül most melegebb, de n a ^ a felülete, ezért a felülethőmérséklete alacsonyabb. Az ilyen csillagot nevezzük vörös óriásnak.

_________________________CSILLAGÁSZAT _____________________ 33S



potot. Ekkor sugara majd túlnyúlik a Merkúr, a Vénusz pályá ján, de lehet, hogy Földünk is a belsejébe kerül.

Elfogyasztva a héliumot, a csillag megint összehúzódik, s a

felmelegedés hatására további fúziós reakciók indulhatnak be.A külső rétegek minden ilyen lépésnél kitágulhatnak, s a csillag, mint fényes nóva jelenik meg az égbolton. Az ilyen rövidideig tartó felvillanások alatt a csillag tömegéből mindig nagymennyiségű anyag áramlik ki az űrbe.

A csillag anyaga egyre sűrűbb lesz, végül fehér törpévé válik.Ekkor felszíni hőmérséklete magas, de kis felülete miatt nem

túl fényes csillag az égbolton. Innen kapta a nevét. Az ilyen csillag lassan kihűl, szürke, jellegtelen objektummá válik.A leírt befejezés a másfél naptömegnél nem nagyobb csilla

gokra jellemző. Sokkal érdekesebb az ennél nagyobb tömegű csillag sorsa. Nagy tömeg esetén &fehér törpe állapot nem stabil. Az összehúzódás tovább tart, a csillag belseje tovább melegszik,míg eléri az egymilliárd fokot. Ekkor már a periódusos rendszer

összes eleme kialakulhat. Ez az állapot instabil, a csillag a felesleges tömegtől a külső burok robbanásszerű szétszórásával sza badul meg. Ez a jelenség, a szupernóvarobbanás, az egyik leglátványosabb a világegyetemben. Az égbolton váratlanul újcsillag jelenik meg, fényessége olyan nagy lehet, hogy világosnappal is észrevehető, összemérhető egy egész galaxis fényességével.

A történelem három nevezetes szupernóvát jegyzett fel.1054-ben kínai csillagászok figyeltek meg egy ilyet. A másodikat Tycho de Brahe jegyezte fel 1572-ben. A harmadik szupernóvát 1604-ben Kepler írta le.

A robbanás után megmaradó csillag további sorsa a gravitáció hatására történő összeroppanás. Elegendően nagy tömegesetén a sűrűség olyan nagyra nőhet, hogy a csillag anyaga az

atommag sűrűségéhez lesz hasonló. Ez a neutroncsillag. ^ A szupernóvarobbanás nagy jelentősége, hogy úgy látszik, anehézelemek létrejöttének feltételei a robbanás előtt álló csillagban vannak meg. A robbanáskor ezek az elemek szétszóródnak a világűrben. A Naprendszerben is találhatunk ilyen elemeket,tehát minden valószínűség szerint az itteni anyag része volt egyszupernóvarobbanásnak.

336 _____________________ CSILLAGÁSZAT ________________________



CSILLAGÁSZAT 337

0 GVI 10"22gr/cm^

l T - 1 0 K /

\

I/Gravitációs /

összehúzódás \

30-10® év

O

T=15-10® K

9= 100 gr/cm^

p =2-1011 aty5000-10^ év

10 000-10® év

5-10® év

R - R nqp

^ H->He fúzió

I Gravitációs

▼ összehúzódás Vörös óriás

( \ R=100-Rnqp

I I ] \ He-^C fúzióV V / L 1 0 0 - 1 0 ® K

100-10® év

1000-10® Gv

o

M>1,4 Mnop

X '\ '\ Szupernóva

Io

R-2-10® cm > Neutroncsillag

I^~2-103^ gr

9~2-10’’ gr/cm^^



Úgy tűnik, hogy a neutroncsillag még nem a végső stádiumaegy nagy tömegű csillag életének. Elképzelhető, hogy olyanmértékben sűrűsödik össze az anyag, hogy közeléből az intenzívgravitációs tér már semmilyen anyagi információt sem enged ki.A fénynek is van tömege, tehát a fény sem szabadulhat az ilyencsillag környezetéből. Érthetően ezért nevezik ezt fekete lyuknak. Az ilyenről közvetett jelenségek útján szerezhetünk tudomást.

A csillag életútját a 7.7. ábrán rajzoltuk meg vázlatosan, feltüntetve az egyes állapotokban eltöltött időt és néhány jellegze

tes adatot.Csillagok ma is keletkeznek a világegyetemben, amire a nagyon rövid életű csillagok létezése a bizonyíték. Ugyanakkor sok milliárd éves csillaghalmazokat is ismerünk, a világegyetemtehát dinamikusan változik.

338 _____________________ CSILLAGÁSZAT ________________________

7.5. GALAXISUNK ÉS SZOMSZÉDAITiszta éjszakákon, a mesterséges fényektől távol, ha az ég

boltra tekintünk, a sok pontszerű csillagon kívül egy fényes sávot is látunk. Ezt a galaktika vagy más néven a Tejút halványfényű csillagai és ködfelhői alkotják. A Tejútrendszer 100 milliárdcsillaga közül csak kevés látszik szabad szemmel, a többiek fé

nye elmosódottan, együttesen alkotja a fényes sávot. Ehhez asok-sok csillagból álló családhoz tartozik Napunk is.Mielőtt, a galaktikáról beszélünk, praktikus okokból vezes

sünk be egy új távolságegységet. 1 parsec (pc)=3,26 fényév. A galaktika alakját oldalról és felülről a 7.8. ábrán rajzoltuk meg. A központi mag körül 12 spirálkar figyelhető meg. A mi Napunk az egyik ilyen spirálkarban van, a központtól 10 kpc tá

volságra, a szimmetriasíktól 15 pc távolságra. A szimmetriasíktól nagyobb távolságra egyedülálló csillagok és csillagcsoportok figyelhetők meg. A szimmetriasík közelében található a csillagok össztömegének néhány százalékát kitevő diffúz intersztellá- ris anyag.

A Nap közelében, mintegy 15 pc sügarú gömbben 290 csillagot ismerünk A legközelebbi állócsillag a Proxima Centauri



CSILLAGÁSZAT 339

X X

NapX X X X

^ 30kpc

^ X " X ,OldalnezGt

5 kpc

\

\

\

/Felütnézet

7.8. ábra

tőlünk 1,3 pc távolságra van. Az égbolt legfényesebb csillaga, aSzíriusz 4,2 pc távolságra van tőlünk.

A közeli csillagok megfigyeléséből statisztikai módszerekkelarra lehetett következtetni, hogy a csillagoknak mintegy a felekettős vagy többszörös rendszer tagja. Ez azt jelenti, hogy arendszer alkotói dinamikai egységet alkotnak, és a gravitációtörvényeinek megfelelő mozgást végeznek egymás körül.

Érdekesek még a változó csillagok. Vannak olyanok, amel k fé é ük t é i t ké őbb kid ült k t i



Ezek igen szabályos időközönként, néhány másodperc periódussal, impulzusokat bocsátanak ki a rádiófrekvenciás tartományban. A kis periódusidő arra enged következtetni, hogy a

pulzárok kis kiterjedésű objektumok, esetleg szupersűrűségűneutroncsillagok.A galaktika azonban nem különleges képződmény. A műsze

reinkkel elérhető térrészben - ami kb. 2 milliárd pc sugarúgömb - mintegy 10 milliárd darab. Tejútrendszerünkhöz többé-kevésbé hasonló, ún. extragalaxis található.

A galaxisok nem töltik ki egyenletesen a teret. Általában ki-

sebb-nagyobb csoportosulásokat, ún galaxishalmazokat alkotnak. A Tejútrendszer is egy kisebb csoport tagja. E csoporthozkét nagy spirális és 15 kisebb galaxis tartozik. A két nagy spirális galaxis a Tejútrendszer és az Androméda-köd, amely táünk 690 kpc távolságra van. A kisebb galaxisok közül a déli félgömbön látható Nagy és Kis Magellán Felhő fekszik hozzánk alegközelebb. Az előbbi 50 kpc, az utóbbi 60 kpc távolságra ta

lálható.Csillagvilágunk tehát igen tágas és nagyon gazdag, még sok felfedezés vár a kutatókra. A legújabb mérések arra utalnak,hogy a látható anyag csak néhány százalékát alkotja az univerzum anyagának, a többi az úgynevezett sötét anyag. A kutatások most arra irányulnak, hogy a sötét anyag természetét felkutassák.

7.6. A VILÁGEGYETEM KIALAKULÁSÁNAK ELMÉLETE

Az általános relativitáselmélet alapegyenleteinek csak egy táguló vagy összehúzódó világegyetemet szolgáltató megoldása

van, illetve a kettő közötti aszimptótikus átmenet lehetséges.A csillagok színképének eltolódása a vörös felé azonban egyértelműen a tágulást igazolja. A tömeg mintegy létrehozza magának a teret. Ez persze nem jelenti azt, hogy mi vagyunk a közép pontban. Hasonló a jelenség ahhoz, mintha egy átlátszó,felfújódó léggömb felszínén lévő pontból néznénk a felszínenlévő többi pontot mindegyiket távolodni látjuk A tágulásból

340 _____________________ CSILLAGÁSZAT ________________________



CSILLAGÁSZAT 341

azonban következik a gondolat, hogy az univerzum anyaga valamikor nagyon kis helyre volt összesűrítve. Ebből a gondolat ból származik a ma legvalószínűbbnek tartott elmélet, amelyet

a következőkben leegyszerűsítve vázolunk.Az univerzum egy nagy robbanással kezdi létezését. Az

anyag ebben az állapotban protonok, neutronok, elektronok, pozitronok, fotonok és neutrínók tízezermillió fokos közelítőleghomogén keveréke. A robbanás durván tízmilliárd évvel ezelőtttörtént. A tágulás kezdetben fantasztikus gyorsasággal folyik.Az első századmásodpercben a protonok és neutronok számamég közel egyenlő, egy másodperc múlva azonban a protonok

javára tolódik el a mérleg, míg elérkezik az anyagtömeg egyolyan állapotba, amikor 70% hidrogénből és 30% héliumból áll.Innen már valóban kozmikus léptékkel mérhető időintervallumok következnek.

A térben a lényegében homogén eloszlású hidrogén- és héliumatomok ionizált állapotúak, és szoros kölcsönhatásban vannak a fotonokkal. Azt szokták mondani, hogy ekkor a részecs-kesugárzás-átalakulások még folytonosan mennek végbe, az állandóan jelen levő nagy energiájú sugárzás szétszakítja az atomos szerkezeteket.

Az univerzum azonban rohamosan tágul, és ezzel együttgyorsan hűl, mint táguló gáz. Mikor a hőmérséklet 4000 K-t ér el, az ionizációs fok erősen lecsökken, és így a semleges gáz kölcsönhatása a fotonokkal már elhanyagolható. A sugárnyomás megszűnése után folytatódhat a kezdeti százmillió fényév kiter

jedésű besűrűsödések torábbi összehúzódása a gravitáció hatására. Létrejönnek az első struktúrák, a galaxishalmazok. Ezeken belül az áramlások további sűrűsödéseket okoznak,amelyek összehúzódását a gravitáció okozza. Létrejönnek a ga

laxisok, a csillaghalmazok, majd a csillagok.A jelenségek részletes vizsgálata, a számítások magyarázatotadhatnak a galaxisok diszkoszhoz hasonló alakjáról, sőt a forgásukat is megindokolják.

Jogos lehet a kétkedés a tudósok bátorságát látva, mikor a la boratóriumban kapott ismereteket felhasználva, tízmilliárd évrevisszanyúlva igyekeznek a folyamatokat tized- vagy századmá



ez az elképzelés a különböző teremtésmítoszoknál?-Az igazolást most az jelenti, hogy az elmélet számot tud-e adni az észlelt

jelenségekre, érvényes lesz-e majd az új tapasztalatokra, s különösen ad-e útmutatást azok keresésére? Ha igen, akkor hitelemegközelíti a klasszikus fizika magyarázatainak hitelét.

Nézzük meg ezek után, hogy jelen pillanatban milyen ismeretek támasztják alá ezt az elméletet! A legfontosabb az univerzum első fejezetben említett, minden irányból érkező sugárzása, amelyet 1965-ben találtak meg. Ez a rádiósugárzás egy 2,7 K fokos háttérsugárzásnak felel meg. A tízmilliárd évvel ezelőtti

sok millió fokos egyensúlyi sugárzásnak a világegyetem tágulása közben éppen ilyen mértékben kellett lehűlnie. A többi megfigyelés: a galaxishalmazok elméletből kiadódó mérete is a mérési eredményeknek felel meg. A világegyetem tágulása konkrét mérésen alapuló elméleti következtetés. Az általunk ismert tér

ben a hidrogén és hélium jelenleg tapasztalt aránya megegyezik az elméletből számított aránnyal, ha figyelembe vesszük a csil

lagok eddigi működését.Természetesen léteznek más elméletek is, amelyek jogosságát nem lehet elvitatni, hiszen a különleges körülmények közöttaz általunk ismert természettörvények sem feltétlenül igazak. Afizikusok többsége mégis az itt ismertetett elméletre szavazna,amely az energia- és tömegmegmaradási törvény érvényességéttételezi fel.

A jelen egyik legnagyobb csillagászati kutatási programját avilág sok obszervatóriuma közös munka keretében valósítjameg, feltérképezik a galaxisok eloszlását az egész univerzum ban. Remélhető, hogy a megszerzett információk alapján sokkal többet fogunk tudni az univerzum történetéről.

342 ________________ CSILLAGÁSZAT ________________________

129614320 fizika ennyit kellene tudnod

Documents