UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10 ESERCITAZIONE VERIFICA DI COLONNE COMPOSTE ACCIAIO-CALCESTRUZZO Si consideri la sezione composta di figura (tipo fully encased) costituita da un profilo di acciaio classe S355 (fyk=355 MPa) immerso in una sezione di calcestruzzo di classe C/25/35 e forma quadrata con lato 30 cm. Utilizzando il metodo semplificato di Bergman, determinare il diagramma di interazione M-N della sezione. Si trascuri la presenza di armatura da cemento armato.

5015

170

1550

50 200 50

HEB 200

300

300

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10 SOLUZIONE Per l’applicazione del metodo di Bergman è necessario determinare i quattro punti (A,B,C,D) del diagramma M-N corrispondenti a: punto A : pressione centrata (N=Nmax, M=0) punto B : Pura flessione (N=0, M=Mf) punto C : flessione composta (N=Nd, M=Mf) punto C : flessione composta (N=Nd/2, M=Md) Calcolo coordinate punto A (pressione centrata) Essendo l’area del profilo HEB 200 pari a As=78.08 cm2, il valore della resistenza sforzo normale centrato è calcolabile mediante la seguente espressione: NA=

Asfyk

γs+ 0.85fckAc

γc= 78.08×35.5

1.1+ 0.85×2.5

1.6(30×30-78.08) = 2519 + 1090 = 3729 kNcm

Il momento MA è evidentemente pari a 0 Calcolo coordinate punto B (Pura flessione) Per il calcolo del momento è necessaria la determinazione calcolo della posizione dell’asse neutro. A tal fine è possibile utilizzare l’equilibrio alla traslazione della sezione.

0

A

B

C D Nd

Mf

Md

Nd/2

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10 dove yc è la posizione dell’asse neutro rispetto al lembo superiore. La precedente può essere riscritta mettendo a fattor comune i coefficienti dell’incognita As’ mediante la quale è poi possibile determinare la posizione dell’asse neutro:

20

La soluzione della precedente è semplicemente

con , Se poniamo

la precedente può essere riscritta in funzione dell’incognita x:

La cui soluzione è la seguente:

Nel caso dell’esercizio l’incognita x vale:

1.5 ×20 2639.8466.06

1.5× 46.87566.06

5× 46.87566.06

0.9 46.87566.06

3.32

con 66.06, 2639.84, 46.875. La distanza dell’asse neutro dal lembo superiore è dunque:

3.32 1.5 5 9.82 L’area d’acciaio compressa è infine pari a :

5015

170

1550

50 200 50

HEB 200

300

300

yc=

98.2

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10

2639.84 9.82 × 46.87566.06 32.99

CALCOLO SFORZO NORMALE ULTIMO

CALCOLO MOMENTO FLETTENTE ULTIMO Il calcolo si effettua agevolmente separando le componenti di momento di ciascuna risultante.

dove MBc = momento della risultante delle compressione nel cls rispetto al baricentro MBac1,2= momento delle risultanti delle compressioni nell’acc. nel rispetto al baricentro MBat1,2= momento delle risultanti delle trazioni nell’acc. nel rispetto al baricentro L’indice 1 sta ad indicare il momento dell’ala della trave in acciaio, 2 il momento dell’anima

NB yc b⋅ Asp−( )fckγc⋅ Asp

fykγa⋅+ As Asp−( )

fykγa⋅− 2.328− 10 13−

× kN⋅=:=

MBc yc b⋅fckγc⋅

b2

yc2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 48.892kN m⋅⋅=:=

MBac1fykγa

x⋅ tw⋅ ycx2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 7.521 kN m⋅⋅=:=

MBac2fykγa

ba⋅ tf⋅b2

a−tf2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 93.821kN m⋅⋅=:=

MBat1fykγa

ba 2 tf⋅− x−( )⋅ tf⋅x2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 10.858kN m⋅⋅=:=

MBat2fykγa

ba⋅ tf⋅b2

a−tf2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 93.821kN m⋅⋅=:=

MB MBc MBac1+ MBac2+ MBat1+ MBat2+ 254.914kN m⋅⋅=:=

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10 Calcolo coordinate punto C Con riferimento al punto C si ha, come noto, lo stesso momento del punto B, mentre lo sforzo normale non è nullo. CALCOLO SFORZO NORMALE

CALCOLO MOMENTO ULTIMO MC=MB Calcolo coordinate punto D Con riferimento al punto D si ha uno sforzo normale metà di quello del punto C, mentre un momento maggiore del momento MB CALCOLO SFORZO NORMALE

CALCOLO MOMENTO ULTIMO

NC b 2 yc⋅−( ) b⋅fckγc⋅ b 2 yc⋅−( ) tw⋅

fykγa⋅+ 872.646kN=:=

NDNC2

436.323kN=:=

MD MBb 2 yc⋅−( )

2b⋅

b 2 yc⋅−( )4

⋅fckγc⋅+

b 2 yc⋅−( )2

tw⋅b 2 yc⋅−( )

4⋅

fykγa⋅+ 266.749kN m⋅=:=

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE – FACOLTA’ DI INGEGNERIA COMPLEMENTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ing. F. Paolacci - A/A 09-10 DIAGRAMMA DI INTERAZIONE M-N Diagrammando la spezzata le cui coordinate sono i punti precedentemente determinati si ottiene il diagramma M-N cercato

0 1 105× 2 105× 3 105×0

1 106×

2 106×

3 106×

N

M