UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

FUNCIÓN CUADRÁTICA II

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas

en y = c

EJEMPLOS

1. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) con respecto a la

función f(x) = (x – 4)(2x + 1)?

I) La parábola intersecta al eje y en -4.

II) El discriminante de la ecuación asociado a la función es positivo.

III) La concavidad de la parábola asociada a la función está orientada hacia

arriba.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

2. La parábola asociada a la función f(x) = (2x – 1)(x – 1) corta al eje y en el punto de

coordenadas

A) (0, 1)

B) (0, -1)

C) (0, -2)

D) 1

0, 2

E) 1

0, -2

x

y

c

C u r s o : Matemática 3º Medio

Material Nº MT-09

2

FUNCIONES DE LA FORMA

Donde, y

La figura 1 muestra las gráficas de:

f(x) = 3 (x + 3)2 + 1

2 f(x) = 3(x – 2)2 +

1

2 f(x) = 3(x – 5)2 –

1

2

De las cuales se deduce:

Si h > 0, la parábola se traslada h

unidades hacia la derecha del eje y.

Si h < 0, la parábola se traslada h

unidades hacia la izquierda del eje y.

k indica las unidades que se desplaza la

gráfica hacia arriba o hacia abajo del

eje x.

El vértice de la parábola es: V (h,k).

El eje de simetría es la recta x = h.

EJEMPLOS

1. La función f(x) = 3x2 – 6x – 9 escrita en la forma f(x) = a(x – h)2 + k es

A) 3(x – 2)2 – 21

B) 3(x + 2)2 – 21

C) 3(x – 1)2 – 12

D) 3(x – 3)2 + 12

E) ninguna de las anteriores.

2. Con respecto a la gráfica asociada a la función f(x) = -4(x – 1)2 + 2, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) Intersecta al eje y en el punto (0, -4).

II) Intersecta al eje x en un solo punto.

III) La ecuación de su eje de simetría es x + 1 = 0.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

y = a (x – h )2 + k

h = -b

2a k =

24ac b

4a

A C B

fig. 1

A B

C 1 1

2

1 - 1

2 -3 2

2

5

x

y

3

DOMINIO Y RECORRIDO

DOMINIO: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la variable x para que la función

f(x) exista.

RECORRIDO: Es el conjunto de valores reales que puede tomar la función f(x).

En las funciones cuadráticas, el dominio es el conjunto de los lR y el recorrido se puede

determinar usando el siguiente teorema:

“La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c (con a 0), tiene un valor extremo en el punto

donde x = -b

2a”. Si a > 0, el valor extremo es un valor mínimo y si a < 0, el valor extremo

es un valor máximo.

EJEMPLOS

1. Las siguientes funciones tienen como dominio el conjunto lR, excepto

A) f(x) = 1 – x

4

B) f(x) = x2 – x – x

4

C) f(x) = 1 + 4

x

D) f(x) = 1

4 – x2

E) f(x) = x2 + x

4

2. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x) = -12 – 4x – x2?

A) [-8, +[

B) ]-, -8]

C) ]-, -24]

D) [-24, +[

E) ]-, -16]

4

EJERCICIOS

1. Si el discriminante de la ecuación asociada a la función f(x) = 3x2 – 2x – k es 28,

entonces ¿cuál es el valor de k?

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

2. La recta de ecuación x – 2 = 0 es el eje de simetría de la parábola de ecuación

A) y = x(x – 2)

B) y = x2 + 2x + 1

C) y = (x + 2)(x – 2)

D) y = (x – 1)(x – 3)

E) y = (x + 1)(x + 3)

3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la parábola

asociada a la función y = x2 – 9x + 14?

I) Los ceros de la función son 2 y 7.

II) La parábola intersecta al eje y en (0, 14).

III) La ecuación de su eje de simetría es x = 9

2.

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

4. ¿Cuál de las siguientes funciones podría estar representada por la gráfica de la figura 1?

A) f(x) = x2 – 2x – 3

B) f(x) = x2 – 2x + 3

C) f(x) = x2 – x – 3

D) f(x) = x2 + 2x + 3

E) f(x) = 3 + 2x – x2

1

2

3

4

1 2 3

fig. 1

x

y

5

5. La parábola asociada a la función f(x) = (2 – 3x)(1 – x) intersecta al eje y en el punto de

coordenadas

A) (0, 1)

B) (2, 0)

C) (0, 2)

D) (-2, 0)

E) 2

0, -3

6. El dominio de la función f(x) = x2 – 4, es el conjunto de

A) los números enteros mayores que 2.

B) los números enteros mayores que 4.

C) los números racionales mayores que 2.

D) los números reales mayores que 4.

E) los números reales.

7. En un sistema de ejes coordenados, la gráfica correspondiente a la ecuación y = 5x2 – 5x

A) tiene eje de simetría de ecuación x + 1 = 0.

B) tiene su vértice en el tercer cuadrante.

C) presenta concavidad hacia abajo.

D) pasa por el origen.

E) intersecta al eje x en un solo punto.

8. La representación gráfica de la ecuación y = ax2 + bx + c pasa por el punto (-1, 1) si

A) a = 1, b = -3, c = 1

B) a = 2, b = -4, c = 1

C) a = 1, b = -5, c = 3

D) a = 1, b = 4, c = -3

E) a = 2, b = 4, c = 3

6

9. ¿Cuál de las siguientes parábolas puede ser la representación gráfica de la función

f(x) = -(x – 2)2 – 3?

A) B) C)

D) E)

10. Si de la función f(x) = ax2 + bx + c se sabe que, a 0, b < 0 y a · c ≥ 0, entonces

¿cuál(es) de las siguientes gráficas puede corresponder a esta función?

I) II) III)

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

11. Si el gráfico de la función definida por y = ax2 + bx – 9 tiene como vértice el punto

(4, -25), entonces a + b =

A) -8

B) -7

C) 1

D) 7

E) 9

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

7

12. Si el valor máximo de la función f(x) = -x2 – 2x + k es 2, entonces k =

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

13. La ecuación de una parábola idéntica a la parábola y = x2, pero cuyo vértice es el punto

(2, 2) está expresada por

A) y = x2 + 2

B) y = x2 – 2

C) y = (x – 2) 2 – 2

D) y = (x – 2) 2 + 2

E) y = (x + 2) 2 + 2

14. En la función cuadrática f(x) = ax2 – 3x + c, se conoce el intercepto con el eje y, si:

(1) a es positivo.

(2) c = -10

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

15. En la función cuadrática y = ax2 + bx +5, se pueden determinar los valores de a y b, si:

(1) La parábola pasa por el punto (1,3).

(2) La parábola pasa por el punto (0,5).

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 4

DMQMT-09

Ejemplos Págs.

1 2

1 E A

2 C E

3 C B

1. E 6. E 11. B

2. D 7. D 12. D

3. E 8. E 13. D

4. B 9. E 14. B

5. C 10. C 15. E

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