125 prokliseis roufogalis antonis

1

125 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ

ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ.

Ελεύθερη απόδοση δραστηριοτήτων απο το

http://www.figurethis.org/index.html

ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ και ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ.

http://www.figurethis.org/index.html

2

1. Μπορείς να τρέξεις τόσο γρήγορα όσο ένα αυτοκίνητο;

Υπολόγισε αυτό! Κατά τη διάρκεια των 100 μέτρων ταχύτητας στους Ολυμπιακούς Αγώνες

της Σεούλ το 1988, η δρομέας, Florence Griffith – Joyner χρονομετρήθηκε με 0,91

δευτερόλεπτα για 10 μέτρα. Με αυτή τη ταχύτητα μπορούσε να ξεπεράσει ένα αυτοκίνητο

που ταξιδεύει με 15 μίλια ανά ώρα, σε μία σχολική ζώνη;

Υπόδειξη: Πόσα μέτρα κάνει σε 1 μίλι;

Πόσα δευτερόλεπτα σε μία ώρα;

Η μετατροπή μεταξύ μονάδων μέτρησης απαιτείται από την κουζίνα μιας νοικοκυράς, μέχρι

τα εργαστήρια των επιστημόνων. Οι σεφ, οι ξυλουργοί, οι επιστήμονες και οι μηχανικοί,

όλοι μετατρέπουν τις μονάδες μέτρησης στις δουλειές τους.

Απάντηση: Η ταχύτητά της θα ήταν περίπου 24,6 μίλια ανά ώρα – θα μπορούσε να

ξεπεράσει το αυτοκίνητο.

Προετοιμάσου:

Υπάρχουν 2,54 εκατοστά σε μία ίντσα και 5.280 πόδια σε ένα μίλι. Ένα μίλι, είναι 1,6094

χιλιόμετρα.

Πόσα εκατοστά είναι σε ένα μέτρο;

Πόσες ίντσες είναι σε ένα πόδι;

Σε ένα μίλι;

Πόσα μίλια κάνει σε μία ώρα;

Ολοκληρωμένη λύση:

Μία μέθοδος για μετατροπή μεταξύ μέτρων ονομάζεται ανάλυση διαστάσεων. Οι

μετατροπές μεταξύ των μέτρων γράφονται σαν κλάσματα, έτσι ώστε οι κοινές μονάδες να

διαγράφονται.

3

10μ * 100εκατ * 1ίντσα * 1πόδι * 1μίλι * 60δευτ * 60λεπτά = 24,6

0,91δευτ 1μ 2,54εκ 12ίντσες 5.280πόδια 1λεπτό 1ώρα μίλ/ώρα

Ο ρυθμός της είναι περίπου 24,6 μίλια ανά ώρα και θα μπορούσε εύκολα να ξεπεράσει ένα

αυτοκίνητο που πηγαίνει με ρυθμό 15 μιλίων ανά ώρα.

Δοκίμασε αυτό:

Πολλά λεξικά περιέχουν πίνακες μετατροπών για μέτρα. Βρες ένα πίνακα

μετατροπής και εξέτασέ τον. Είναι κάποια από τις μετατροπές γνωστές σε εσένα;

Κοίταξε σε μία εφημερίδα ή στο δίκτυο για τους πρόσφατους ρυθμούς

συναλλάγματος. Πώς θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις τις πληροφορίες που

βρήκες για να μετατρέψεις τις ισπανικές πεσέτες σε γιαπωνέζικα γιέν;

Σύγκρινε το μέγεθος ενός λίτρου και ενός τετάρτου του γαλονιού.

Βάλε κάποιον να σε χρονομετρήσει, πόσο χρόνο σου παίρνει για να περπατήσεις

10 γιάρδες (μία γιάρδα ισούται με 0,9144 μέτρα) ; Πόσα χιλιόμετρα μπορείς να

κάνεις σε μία ώρα με αυτό το ρυθμό;

Επιπρόσθετες προκλήσεις.

1. Ένα στρώμα ύπνου με νερό είναι 84 ίντσες μακρύ, 60 ίντσες φαρδύ

και 8 ίντσες βαθύ. Υπάρχουν 231 κυβικές ίντσες σε ένα γαλόνι. Πόσα γαλόνια

νερού χρειάζονται για να γεμίσεις το στρώμα νερού; (Απάντηση: περίπου 175

γαλόνια)

2. Σύμφωνα με το περιοδικό Φυσικής Ιστορίας, η τσίτα είναι το γρηγορότερο ζώο

στον κόσμο με ταχύτητα 6.160 πόδια ανά λεπτό. Πόσα μίλια ανά ώρα είναι αυτό;

(Απάντηση: 70 μίλια ανά ώρα)

3. Εάν η θερμοκρασία έξω είναι 20ο βαθμούς Κελσίου, θα χρειαστεί να φορέσεις

μπουφάν; (Απάντηση: όχι γιατί η θερμοκρασία είναι 68ο Fahrenheit).

Πράγματα για να σκεφτείς.

4

Ποιο σύστημα μέτρησης χρησιμοποιείται στους διεθνείς διαγωνισμούς στίβου και

γηπέδου;

Ο Roger Bannister, ένας Βρετανός Φυσικός κατέρριψε το μίλι των τεσσάρων

λεπτών το 1954. Θα μπορέσει κάποιος να κάνει ένα μίλι σε τρία λεπτά; Υπάρχει

κάποιο όριο στο ποσό του χρόνου που απαιτείται για να τρέξει κάποιος ένα μίλι;

Εάν ναι, πότε νομίζεις ότι μπορεί να πλησιαστεί;

Γιατί οι ταχύτητες στα 100 μέτρα ή στα 200 μέτρα αγώνων ταχύτητας αναφέρονται

σε μέτρα / δευτερόλεπτα αντί για χιλιόμετρα / ώρα;

Τα σαρκοφάγα ζώα, όπως η τσίτα, το λιοντάρι και η ύαινα, τρέχουν γρηγορότερα,

από τα περισσότερα άλλα ζώα. Γιατί;

Το ήξερες αυτό;

Από το 1984, τα αθλήματα που αφορούσαν το τρέξιμο στους Ολυμπιακούς

αγώνες, χρονομετρήθηκαν σε εκατοστά του δευτερολέπτου λόγω των

ηλεκτρονικών συσκευών χρονομέτρησης.

Οι Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής είναι η μοναδική αναπτυγμένη χώρα που δεν

χρησιμοποιεί το μετρικό σύστημα για τις κύριες μονάδες μέτρησης.

Σχεδόν όλες οι επιστημονικές μετρήσεις γίνονται χρησιμοποιώντας μετρικές

μονάδες. Το μετρικό σύστημα βασίζεται στο δεκαδικό σύστημα (μονάδες των 10)

και ακολουθεί ένα σταθερό ονομαζόμενο σχέδιο χρησιμοποιώντας προθέματα.

Η διεθνής διοίκηση αεροναυτικής και διαστήματος των Ηνωμένων Πολιτειών

(ΝΑΣΑ) ξόδεψε 125εκατ. δολάρια σε ένα διαστημόπλοιο που πετούσε με 416

εκατομμύρια μίλια πάνω από 9 ½ μήνες πριν προσκρούσει στον Άρη. Το

διαστημόπλοιο συνετρίβει λόγω ενός λάθους του προμηθευτή στην μετατροπή

λιβρών δύναμης σε μία άλλη μονάδα δύναμης που ονομάζεται νιούτονς. Το ένα

νιούτον είναι το σύνολο της δύναμης που απαιτείται για να επιταχυνθεί ένα

χιλιογραμμάριο μάζας, ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο κάθε δευτερόλεπτο.

Πολλά αυτοκίνητα και φορτηγά απαιτούν μετρικά μηχανήματα για την διατήρηση.

Ένα τετραγωνικό εκατοστό (1cm2) είναι περίπου το μέγεθος από το μικρό νύχι του

δάχτυλού σου.

Η μάζα ενός κυβικού νερού σε σταθερή θερμοκρασία και πίεση είναι 1 γραμμάριο.

5

Το σύστημα μετατροπής της μέτρησης των Ηνωμένων Πολιτειών είναι μία

αλλαγμένη εκδοχή του Βρετανικού Βασιλικού Συστήματος, που δεν

χρησιμοποιείται πλέον.

Από την 1η Ιανουαρίου του 2000 είναι παράπτωμα στην Μεγάλη Βρετανία να

πουλάς τα περισσότερα πακεταρισμένα και ελεύθερα προïόντα χρησιμοποιώντας

βασιλικές μετρήσεις (ίντσες, λίβρες κ.λ.π). Μια εξαίρεση γίνεται στα πολύτιμα

μέταλλα.

Μία από τις λίγες Βρετανικές Βασιλικές μονάδες μέτρησης που παραμένει

παγκόσμια σε χρήση είναι το βαρέλι, ειδικά για το πετρέλαιο.

6

2. Τι σχήμα έχει η κορυφή ενός σωλήνα πυρκαγιάς;

Υπολόγισε αυτό! Η βαλβίδα ελέγχου ενός σωλήνα πυρκαγιάς έχει 5 πλευρές ίσου μήκους

και 5 γωνίες ίσης μέτρησης. Πολλά οικιακά γαλλικά κλειδιά δε μπορούν να στρέψουν αυτές

τις βαλβίδες. Γιατί όχι;

Υπόδειξη: Σκέψου ένα συνηθισμένο οικιακό κλειδί. Τα περισσότερα γαλλικά κλειδιά έχουν

δύο παράλληλες πλευρές. Οι πλευρές είναι ίσες. Τα γεωμετρικά σχήματα πολλών

αντικειμένων σχετίζονται με τη χρησιμότητά τους. Για παράδειγμα, τα στρόγγυλα λάστιχα

παράγουν μία ομαλή διαδρομή και τα φτερά των αεροπλάνων είναι σχεδιασμένα για να

παρέχουν ανύψωση.

Απάντηση.

Τα περισσότερα οικιακά γαλλικά κλειδιά δεν θα χρησίμευαν για τις βαλβίδες ενός σωλήνα

πυρκαγιάς επειδή δεν υπάρχουν παράλληλες πλευρές στην πεντάπλευρη (πενταγωνική)

έννοια.

Προετοιμάσου!

Ζωγράφισε ένα τετράγωνο. Είναι κάποιες πλευρές παράλληλες; Αν ήταν βίδα θα την άνοιγε

ένα γαλλικό οικιακό κλειδί;

Έχει οποιοδήποτε σχήμα με τέσσερις πλευρές το ίδιο μήκος που έχουν οι παράλληλες

πλευρές του;

Ένα σχήμα με πέντε πλευρές έχουν το ίδιο μήκος οι παράλληλες πλευρές;

Τι λες για ένα σχήμα με πέντε πλευρές; Έχουν το ίδιο μήκος οι παράλληλες πλευρές και οι

πέντε γωνίες είναι του ίδιου μεγέθους;

7


Όλες οι γωνίες από μία βαλβίδα στην κορυφή ενός σωλήνα πυρκαγιάς είναι του ίδιου

μεγέθους. Οι πέντε πλευρές έχουν ίσο μήκος. (Η κορυφαία βαλβίδα είναι ένα κανονικό

πεντάγωνο). Κανένα πεντάπλευρο σχήμα με αυτά τα χαρακτηριστικά δε μπορεί να έχει

παράλληλες πλευρές. Αυτό σημαίνει πως ένα συνηθισμένο οικιακό γαλλικό κλειδί δε θα

ταίριαζε. Αυτό το σχέδιο κάνει άνοιγμα των σωλήνων πυρκαγιάς δύσκολο χωρίς τα ειδικά

γαλλικά κλειδιά που έχουν οι πυροσβέστες.

Δοκίμασε αυτό!

Δέσε ένα κόμπο σε μία μακριά, λεπτή λωρίδα χαρτιού. Προσεκτικά κάνε επίπεδο τον

κόμπο έτσι ώστε το τελικό σχήμα να έχει ίσο μήκος πλευρών. Κόψε το χαρτί που

περισσεύει. Τι σχήμα έφτιαξες;

Κοίτα έξω από ένα παράθυρο και περιέγραψε όλα τα ζεύγη παράλληλων γραμμών

που βλέπεις.


1. Τι σχήματα βιδών μπορούν να βιδωθούν με ένα κοινό οικιακό γαλλικό κλειδί;

(Απάντηση: κάθε σχήμα με ένα τουλάχιστον ζευγάρι παράλληλων πλευρών –

συμπεριλαμβάνοντας τα τετράγωνα και τα εξάγωνα – τα πιο συνηθισμένα σχήματα).

2. Θα ήταν ευκολότερο να χρησιμοποιήσεις ένα γαλλικό κλειδί, εάν οι πλευρές από μία

εξάπλευρη βίδα έχουν όλες το ίδιο μήκος;

(Απάντηση: οι βίδες με πλευρές ίδιου μήκους, θα ήταν ευκολότερες, επειδή θα

μπορούσες να χρησιμοποιήσεις το κλειδί, για καθένα από τα τρία ζευγάρια των

παράλληλων πλευρών).

3. Εάν, η κάθε μία μη εφαπτόμενη κάθετη ενός πενταγώνου συνδεθεί, οι διαγώνιες

έχουν σχηματιστεί. Οι διαγώνιες από κάθε κανονικό πεντάγωνο σχηματίζουν ένα

αστέρι πέντε σημείων. Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο αστέρι;

(Απάντηση: 10).

8


Εάν δύο γραμμές είναι παράλληλες σε μία τρίτη γραμμή είναι και οι τρεις γραμμές

παράλληλες;

Μερικά σχήματα έχουν πλευρές του ίδιου μήκους αλλά γωνίες διαφορετικού

μεγέθους.

Μερικά σχήματα έχουν γωνίες ίδιου μεγέθους και πλευρές διαφορετικού μήκους.

Ένα τετράγωνο είναι ένας ρόμβος, αλλά ένας ρόμβος δε χρειάζεται να είναι

τετράγωνο.

Γιατί όλα τα σωληνοειδή γαλλικά κλειδιά διαφέρουν από τα συνηθισμένα οικιακά

γαλλικά κλειδιά;

Το παράνομο άνοιγμα σωλήνων πυρκαγιάς συχνά προκαλεί υπόγειες βλάβες στους

σωλήνες νερού και η τελική πίεση, μπορεί να προκαλέσει βλάβη στα οικιακά

καλοριφέρ.


Ο όρος «βούλωμα φωτιάς» χρονολογείται από τις αρχές του 1800, όταν οι αγωγοί

του νερού φτιάχνονταν από ξύλο. Έτσι, ανταποκρινόμενοι σε κάποιο συναγερμό, οι

πυροσβέστες, έπρεπε να κόψουν τον κεντρικό αγωγό νερού για να συνδέσουν τις

μάνικές τους. Όταν έσβηναν την φωτιά, σφράγιζαν τον αγωγό με ένα «βούλωμα

φωτιάς».

Τα ονόματα πεντάγωνο και εξάγωνο περιγράφουν τους αντίστοιχους αριθμούς

γωνιών (ή πλευρών) τους. Οι πρώτοι Έλληνες μαθηματικοί μελέτησαν αυτά τα

σχήματα και τους έδωσαν τα ονόματά τους. Στα ελληνικά πέντα- σήμαινε 5, έξα-

σήμαινε 6, έπτα- σήμαινε 7, όκτα- σήμαινε 8, νόνα- 9 και δέκα- 10. Επίσης, το γκόν

προέρχεται από μία λέξη που σημαίνει γωνία.

Ένα γαλλικό κλειδί «Allen», έχει μία εξάγωνη τμηματική διαγράμμιση.

Ένα κανονικό πολύγωνο, έχει πλευρές του ίδιου μήκους και εσωτερικές γωνίες του

ίδιου μεγέθους.

Καθεμιά από τις διαγώνιες ενός κανονικού πενταγώνου είναι παράλληλη με μία από

τις πλευρές.

9

3. Τι ποσοστό χρειάζεται, για να κερδίσεις μία ψήφο;

Υπολόγισε αυτό! Το 22% των κοριτσιών ψήφισαν ναι και το 30% των αγοριών ψήφισαν

επίσης, ναι στην ίδια πρόταση. Αν όλοι ψήφισαν, πέρασε η πρόταση;

Υπόδειξη: Υπέθεσε ότι 40 αγόρια και 50 κορίτσια ψήφισαν. Πόσοι από αυτούς ψήφισαν ναι;

Η κατανόηση των ποσοστών είναι αναγκαία στους ανθρώπου για να κατανοήσουν

πληροφορίες από τα Μ.Μ.Ε, για τους πολιτικούς, για να μεταφράσουν τα αποτελέσματα

των γκάλοπ και για τους βιομηχάνους, για να πάρουν αποφάσεις σχετικά με τη διαφήμιση

των προϊόντων τους.

Απάντηση.

Υπέθεσε, ότι «νίκη» σημαίνει πάνω από τους μισούς ψήφους. Αν χρειάζονται τουλάχιστον

οι μισοί ψήφοι να είναι «ναι» για να περάσει, η πρόταση τότε η πρόταση δεν περνάει.

Προετοιμάσου.

Αν ο αριθμός των αγοριών και ο αριθμός των κοριτσιών ήταν ίδιος, θα περνούσε η

πρόταση;

Αν υπήρχαν παραπάνω αγόρια από κορίτσια;

Αν υπήρχαν περισσότερα αγόρια από κορίτσια;

Ολοκληρωμένη λύση.

Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι για να λύσεις το πρόβλημα.

Κοίταξε τα διαφορετικά νούμερα αγοριών και κοριτσιών. Σκέψου το καθένα από τα

ακόλουθα:

1. Μία τάξη 50 αγοριών και 50 κοριτσιών.



10

Σε καμία από τις παραπάνω περιπτώσεις, ούτε σε κάποια άλλη, η πρόταση θα

περάσει.

Σκέψου ένα διάγραμμα γραμμών το οποίο θα δείχνει τα ποσοστά όπου οι αριθμοί

αγοριών και κοριτσιών δεν είναι οι ίδιοι. Πάνω από τη γραμμή, βλέπεις ότι το 100%

των αγοριών απεικονίζεται στο αριστερό μέρος της έντονης γραμμής, με ποσοστό

100% των κοριτσιών στο δεξί μέρος. Κάτω από τη γραμμή είναι τα ψηφισμένα

ποσοστά των ναι και των όχι και για τα αγόρια και για τα κορίτσια.

100% των αγοριών. 100% των κοριτσιών

ψήφισαν

“ναι”

ψήφισαν “όχι” κοριτσιών

ψήφισαν

“ναι”

Κοριτσιών

ψήφισαν

“όχι”.

Για να καθορίσεις εάν οι «ναι» ψήφοι νικούν, τότε τα τμήματα που αναπαριστούν

τους ψήφους «ναι», πρέπει μαζί να είναι πάνω από το μισό του μήκους ολόκληρου

του τμήματος. Τα τμήματα που αναπαριστούν τα ναι ποτέ δε θα είναι πάνω από το

μισό του συνολικού μήκους, έτσι η πρόταση δε μπορεί να περάσει.

Σκέψου το ποσοστό που ψήφισε όχι: 78% των κοριτσιών ψήφισαν όχι και 70% των

αγοριών ψήφισαν επίσης όχι. Δεν υπάρχει περίπτωση για πάνω από το μισό του

συνόλου να ψήφισε ναι.

Δοκίμασε αυτό.

Σκέψου μία έρευνα που μπορεί να απαντηθεί είτε με «ναι», είτε με «όχι». Ρώτησε

μία ομάδα ανθρώπων και κατέγραψε τα αποτελέσματα, κατηγοριοποιώντας τις

απαντήσεις τους, σε αρσενικών και θηλυκών. Βρες το ποσοστό των αντρών και των

γυναικών που ανταποκρίθηκαν με «ναι». Μετά υπολόγισε το συνολικό ποσοστό των

30%

αγοριών.

των 70% των αγοριών. 22% των 78% των

11

ανθρώπων που είπαν «ναι». Αυξάνει αυτό τα ποσοστά των «ναι» ψήφων από τους

άντρες και τις γυναίκες, το αποτέλεσμα του συνολικού ποσοστού των ανθρώπων

που είπαν «ναι»;

Υπέθεσε ότι μία πρόταση περνάει με το 52% των ψήφων. Βρες μερικούς πιθανούς

τρόπους, για να το χωρίσεις αυτό, σε ποσοστά για άντρες και γυναίκες που ψήφισαν

«ναι». Είναι δυνατόν μόνο άντρες να υποστήριξαν την πρόταση; Μόνο γυναίκες;


1. Υπάρχουν 400 αγόρια και 420 κορίτσια σε ένα σχολείο. Αν το 18% των αγοριών είναι

αριστερόχειρες και το 10% των κοριτσιών είναι αριστερόχειρες, τι ποσοστό των

μαθητών στο σχολείο είναι αριστερόχειρες;

(Απάντηση: περίπου 14%)

2. Μία έρευνα πάνω στην προτίμηση αναψυκτικού είχε τα εξής αποτελέσματα: 25%

προτιμούσαν την Pepsi, 30% προτιμούσαν την Coca – Cola και 10% και τα δύο. Σε

πόσους δεν άρεσε κανένα από τα δύο αναψυκτικά;

(Απάντηση: το 55%)

3. Η έρευνα μιας εφημερίδας έδειξε ότι το 42% των ψηφοφόρων στην Δυτική χώρα

προτιμούσαν τον υποψήφιο των δημοκρατικών και ότι το 25% των ψηφοφόρων

στην Κεντρική χώρα προτιμούσε επίσης τον ίδιο υποψήφιο. Η εφημερίδα έδειξε μία

διαφορά 17% στον αριθμό ψηφοφόρων που προτιμούσε τον υποψήφιο των

δημοκρατικών. Είναι αυτό το συμπέρασμα αληθινό;

(Απάντηση: όχι απαραίτητα).

4. Το 99% των ανθρώπων στην Ελλάδα έχουν τηλεόραση. Το 40% έχουν τρεις ή και

παραπάνω. Είναι αυτό αρκετό, για να συμπεράνουμε ότι το 59% των ανθρώπων δεν

έχουν πάνω από δύο τηλεοράσεις;

(Απάντηση: όχι)


Δε μπορεί να προσθέσεις ποσοστά, εκτός εάν υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας τον

ίδιο πληθυσμό και αναφέρονται στην ίδια έρευνα.

Πότε μπορείς να προσθέσεις, να αφαιρέσεις, να πολλαπλασιάσεις ή να διαιρέσεις

ποσοστά;

12

Είναι ποτέ δυνατό να υπάρξει ένα ποσοστό πάνω από 100%;


Σύμφωνα με τους εκλογικούς κανόνες της Ελλάδας, είναι δυνατό να κερδίσει ένα

κόμμα, με λιγότερο ποσοστό από 50% των ψήφων;

Τα ποσοστά συχνά χρησιμοποιούνται για να συγκρίνουμε ποσότητες πληθυσμών

διαφορετικών μεγεθών.

Ο ρυθμός 10/1000 είναι ο ίδιος όπως 1%.

Το 50% της έκπτωσης είναι το ίδιο με τη μισή τιμή.

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι ψηφίσματος. Για παράδειγμα η μέθοδος

ψηφίσματος της απλής πλειοψηφίας έχει έναν νικητή που λαμβάνει τους

περισσότερους ψήφους. Αυτή η μέθοδος ψηφίσματος μπορεί να είναι άδικη εάν

υπάρχουν πάνω από δύο επιλογές.

13

4. Πόσα χρώματα νομών, υπάρχουν σε ένα χάρτη της Ελλάδας;

Υπολόγισε αυτό! Οι κατασκευαστές χαρτών, χρησιμοποιούν διαφορετικά χρώματα σε κάθε

νομό, που μοιράζονται ένα σύνορο. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που

χρειάζεται για να χρωματίσεις ένα χάρτη των νομών της Ελλάδας;

Υπόδειξη: Προσπάθησε να γεμίσεις τον χάρτη με όσο δυνατό λιγότερα χρώματα. Μετά

προσπάθησε να δείξεις γιατί η χρησιμοποίηση λιγότερων χρωμάτων δε θα είχε

αποτελέσματα.

Το να δίνεις διαφορετικά χρώματα σε αντικείμενα ή αποφάσεις είναι μία χρήσιμη τεχνική

για να αναλύεις περίπλοκες καταστάσεις. Παρόμοιες μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν

στον κανονισμό συνεδρίων, στην εναέρια κυκλοφορία και στο σχεδιασμό περιοδικών

πινάκων σε κομπιούτερ.

Απάντηση: οκτώ χρώματα.


Μπορείς να χρωματίσεις ένα νομό ή να γράψεις ένα σύμβολο για το όνομα ενός χρώματος

σε ένα νομό; Άρχισε από τη μία γωνία του χάρτη. Μετά άρχισε να χρωματίζεις τους

γειτονικούς νομούς, προσθέτοντας άλλο χρώμα μόνο όπου είναι απαραίτητο.


Ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που χρειάζεται γι’ αυτόν το χάρτη είναι 8. Μία πιθανή

λύση χρησιμοποιεί τα χρώματα κόκκινο, πράσινο, κίτρινο, μπλε, καφέ, πορτοκαλί, ροζ και

μοβ. Δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιήσεις λιγότερα από 8 χρώματα. Εάν, ένας νομός, είναι

πλαισιωμένος από άλλους νομούς, κάνε εναλλαγή δύο χρωμάτων καθώς προχωράς γύρω

από αυτούς. Ο πλαισιωμένος νομός, θα απαιτεί τρίτο χρώμα. Εάν, ένας νομός είναι

14

πλαισιωμένος, από έναν μόνο αριθμό νομών, οι γύρω νομοί, απαιτούν τρία χρώματα και ο

πλαισιωμένος νομός, απαιτεί το τέταρτο χρώμα.


Πάρε ένα χάρτη του κράτους σου που δείχνει όλες τις χώρες. Χρωμάτισε τον χάρτη

έτσι ώστε οι γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα. Πόσα χρώματα

χρειάζεσαι;

Βρες ένα χάρτη των Ηνωμένων Πολιτειών όπου οι πολιτείες είναι χρωματισμένες.

Έχουν οι γειτονικές πολιτείες διαφορετικά χρώματα; Πόσα χρώματα χρησιμοποιεί ο

χάρτης;

Κάνε ένα χάρτη που απαιτεί μόνο τρία χρώματα και αυτό να είναι διαφορετικό από

αυτό που απεικονίζεται.


1. Ζωγράφισε ένα χάρτη που να έχει τουλάχιστο 7 περιοχές οι οποίες απαιτούν μόνο 3

χρώματα.

(Απάντηση: Ζωγράφισε μία περιοχή, σαν ένα κύκλο που να περιέχει ένα μικρότερο.

Ο μικρότερος είναι η μία περιοχή – ζωγράφισέ την μπλε. Το μεγάλο κύκλο, διαίρεσέ

τον σε 6 μέρη – ζωγράφισέ τον εναλλακτικά, με τα χρώματα κόκκινο και πράσινο).

2. Φαντάσου ότι σχεδιάζεις την ιδανική πόλη. Η πόλη έχει πέντε γειτονιές και

αυτοκινητόδρομους που συνδέουν την κάθε γειτονιά με την άλλη. Για να γλιτώσεις

ώρα οδήγησης κανείς από τους αυτοκινητόδρομους δε πρέπει να χωριστεί. Ποιος

είναι ο μικρότερος αριθμός ανυψωμένων διαβάσεων που θα χρειαστεί να χτίσεις;

Πως θα άλλαζε η απάντησή σου αν η πόλη είχε έξι γειτονιές;

(Απάντηση: Σε μία πόλη με 5 τέτοιες γειτονιές, θα χρειαστεί να φτιάξεις τουλάχιστο

ένα αυτοκινητόδρομο. Σε μία πόλη με 6 γειτονιές, θα χρειαστεί να φτιάξεις

τουλάχιστο 3 αυτοκινητόδρομους).


Για κάποιες επιφάνειες, ένας χάρτης μπορεί να σχεδιαστεί με περισσότερα από

τέσσερα χρώματα.

15


Το 1852, ένας Βρετανός μαθητής, ο Frederick Guthrie, ρώτησε, εάν κάποιος χάρτης

σχεδιασμένος σε ένα κομμάτι χαρτιού, μπορεί να χρωματιστεί, με όχι περισσότερα

από τέσσερα χρώματα. Η ερώτηση του Guthrie έγινε το «τετρά-χρωμο πρόβλημα».

Ο Α.Β. Kempe, ένας δικηγόρος, έδωσε μία απόδειξη για το «τετρά-χρωμο

πρόβλημα» το 1879, αλλά ο D.J. Heawood βρήκε ένα λάθος στην απόδειξη του

Kempe το 1890. Το πρόβλημα παρέμενε άλυτο μέχρι το 1976 όταν οι μαθηματικοί

Kenneth Appel και Wolfgang Haken του Πανεπιστημίου του Illinois έδωσαν μία

απόδειξη και χρειάστηκαν πάνω από 1000 ώρες υπολογισμών σε κομπιούτερ.

Ο αριθμός των χρωμάτων που χρειάζονται, για ένα χάρτη που είναι σχεδιασμένος,

σε άλλες, εκτός της λείας, επιφάνειες, καθορίστηκε το 1968, οχτώ χρόνια πριν το

«τετρα-χρωμο πρόβλημα» λυθεί.

16

5. Μεγαλύτερη περίμετρος σημαίνει μεγαλύτερη περιοχή;

Υπολόγισε αυτό! Ο Γιάννης και η Αλεξάνδρα, χρησιμοποίησαν και οι δύο τον ίδιο αριθμό,

όμοιων τσιμεντένιων κομματιών για να κάνουν τις πλακόστρωτες αυλές τους. Η περιοχή

κάθε πλακόστρωτης αυλής είναι ίδια: 180 τετραγωνικά μέτρα. Ποιες είναι οι διαστάσεις

ενός κομματιού τσιμέντου;

Υπόδειξη: Παρατήρησε, πως τα κομμάτια εφαρμόζουν στην πλακόστρωτη αυλή της

Αλεξάνδρας. Ποιο είναι το διαφορετικό στον τρόπο που τα κομμάτια εφαρμόζουν στην

πλακόστρωτη αυλή του Γιάννη;

Γιάννης.

Αλεξάνδρα.

Η περιοχή είναι μία σπουδαία μαθηματική έννοια. Οι αρχιτέκτονες, οι κτηματίες, οι

καλλιτέχνες και οι ερευνητές, όλοι χρησιμοποιούν την περιοχή στη δουλειά τους.

Απάντηση.

Ένα πλακάκι είναι 4μ επί 5μ.


Βρες τη περιοχή ενός από τα τσιμεντένια κομμάτια. Πόσες από τις κοντές πλευρές

ισοδυναμούν με μία μακριά πλευρά στην πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας;

17


Η περιοχή της κάθε πλακόστρωτης αυλής είναι 180τ.μ (m2) και η καθεμία φτιάχτηκε από

εννιά όμοια ορθογώνια τσιμεντένια κομμάτια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του κάθε

κομματιού είναι 180/9 ή 20m2. Αφού η περιοχή του ορθογωνίου ισοδυναμεί με μήκος (Μ)

επί πλάτος (Π), ξέρεις ότι Μ * Π = 20. Από τον τρόπο με τον οποίο τα κομμάτια

τοποθετούνται στην πλακόστρωτη αυλή της Polygon, μπορείς να δεις, ότι τέσσερα μήκη

είναι το ίδιο με πέντε πλάτη. Με άλλα λόγια, η αναλογία του μήκους με το πλάτος είναι 5

προς 4. Όπως συμβαίνει 5 * 4 = 20. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος είναι 5m,ενώ, το πλάτος

είναι 4m.

Ένα άλλος τρόπος για να εξετάσεις αυτό είναι ο ακόλουθος: ξέρεις από την

πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας, ότι τέσσερα μήκη ισοδυναμούν με πέντε πλάτη.

Αφού 4Μ=5Π τότε:

Μ=5/4 * Π

Ξέρεις επίσης την περιοχή του κομματιού: Μ * Π = 20. Στη συνέχεια

αντικαθιστάς το Μ και έχουμε:

(5/4 * Π) * Π = 20

5/4 * Π2 = 20

Π2 = 4/5 * 20

Π2 = 16

Π = 4 (τα πλάτη δεν μπορεί να είναι αρνητικά). Εάν αντικαταστήσεις το 4 για το

Π, τότε μπορείς να κάνοντας τις πράξεις θα δεις, ότι Μ = 5. Έτσι, ένα τσιμεντένιο

κομμάτι έχει διαστάσεις 4m επί 5m.


Πάρε δύο κόλλες χαρτιού διαστάσεων 8 ½ εκατ. επί 11 εκατ. Δίπλωσε το ένα

οριζόντια όπως δείχνεται:

18

Συνέχισε να διπλώνεις το χαρτί οριζόντια τέσσερις φορές παραπάνω. Πάρε την άλλη

κόλλα χαρτιού και κάνε σε αυτό το ίδιο δίπλωμα όπως παραπάνω. Μετά

τοποθέτησε τον δεύτερο φάκελο κάθετα όπως δείχνεται:

Συνέχισε να διπλώνεις αυτό το κομμάτι χαρτιού τρεις επιπλέον φορές εναλλακτικά,

οριζόντια και κάθετα. Σύγκρινε τις περιοχές των ορθογωνίων που είναι διπλωμένες

στα δύο διαφορετικά φύλλα.

Υπολόγισε, την περίμετρο και το εμβαδόν, του πάνω μέρους του κρεβατιού σου.

Μετά, μέτρα το κρεβάτι σου και υπολόγισε την περίμετρο και το εμβαδόν όλου του

κρεβατιού. Πόσο κοντά έπεσαν οι υπολογισμοί σου;

Σχεδίασε δύο ορθογώνια, με το ίδιο εμβαδόν, άλλα με διαφορετικές περιμέτρους.

Δέσε τις άκρες μιας λωρίδας χαρτιού και σχημάτισε ένα κύκλο. Χρησιμοποίησε την

λωρίδα, για να σχηματίσεις ποικίλα ορθογώνια. Η περίμετρος δεν αλλάζει. Το

εμβαδόν;


1. Η απόσταση γύρω από ένα σχέδιο είναι η περίμετρός του. Ποιες είναι οι περίμετροι

των πλακόστρωτων αυλών στο πρόβλημα;

(Απάντηση: οι περίμετροι είναι 58 και 54 μέτρα).

2. Η πλακόστρωτη αυλή στο διάγραμμα φτιάχτηκε από όμοια πλακάκια και έχει

περιοχή 180m2. Ποια είναι η περίμετρός της;

19

(Απάντηση: η περίμετρος είναι 56 μέτρα).

3. Αν σου δινόταν μόνο η πλακόστρωτη αυλή του Γιάννη στο πρόβλημα, δε θα

έπαιρνες μία μοναδική απάντηση. Αν σου δινόταν μόνο η πλακόστρωτη αυλή της

Αλεξάνδρας, θα έβρισκες μία απάντηση. Εξήγησε γιατί;

(Απάντηση: επειδή η διάταξη από τα πλακάκια, στην αυλή του Γιάννη, δεν δείχνουν

κάποια σχέση μεταξύ του μήκους και του πλάτους, δε μπορείς να υπολογίσεις τις

διαστάσεις από κάθε πλακάκι. Υπάρχουν πολλά ζευγάρια αριθμών που αν τα

πολλαπλασιάσεις δίνουν το αποτέλεσμα 20).

4. Χρησιμοποίησε τετράγωνα με μήκος πλευράς 1 μέτρο, για να δημιουργήσεις

διαφορετικά σχήματα που έχουν περίμετρο 8 μέτρα. Ποιο από τα σχήματα έχει την

μεγαλύτερη περιοχή;

(Απάντηση: ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 2 μέτρα).


Υπάρχουν ορθογώνια με την ίδια περίμετρο αλλά με διαφορετικά εμβαδά.

Οι πατέντες σε πολλά ξύλινα ή πλακόστρωτα πατώματα φτιάχνονται με ορθογώνια.

Γιατί νομίζεις ότι γίνεται αυτό;

Όσο η περίμετρος ενός ορθογωνίου αυξάνει, το εμβαδόν, μπορεί είτε να αυξηθεί,

είτε να μειωθεί.

Το ήξερες αυτό.

Το να μαντεύεις, να ελέγχεις και να κάνεις επανάληψη είναι μερικές φορές ο πιο

επαρκής τρόπος για να λύσεις ένα πρόβλημα.

Για ένα ορθογώνιο, με δοσμένη περίμετρο, το σχήμα με τη μεγαλύτερη περιοχή

είναι ένα τετράγωνο.

Όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια, αλλά όλα τα ορθογώνια δεν είναι τετράγωνα.

Ο μικρότερος κοινός πολλαπλασιαστής δύο αριθμών α και β, μπορεί να βρεθεί

κάνοντας, ένα τετράγωνο από ορθογώνια με διαστάσεις α * β.

Ένα διαμάντι τοποθετημένο σε μία βάση, είναι ένα τετράγωνο με 27,5 μέτρα, σε μία

πλευρά.

20

6. Μπορείς να βάλεις την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη;

Υπολόγισε αυτό! Πώς θα μπορούσε η Αφροδίτη, να χτυπήσει μία μπάλα του γκολφ, από το

υψωματάκι, για να την βάλει στην τρύπα με την πρώτη;

Υπόδειξη: Η γωνία, στην οποία η μπάλα αναπηδά από τον τοίχο, έχει τις ίδιες μοίρες, με την

γωνία, στην οποία η μπάλα, χτυπά τον τοίχο.

Μία μπάλα του γκολφ αναπηδά από την πλευρά ενός γηπέδου μινιατούρα, με τον ίδιο

τρόπο που το φως αντανακλά από έναν καθρέφτη. Οι οπτικοί που δημιουργούνε φακούς

για τα μάτια, οι βιολόγοι, που χρησιμοποιούν μικροσκόπια και οι αστρονόμοι που

χρησιμοποιούν τηλεσκόπια, όπως επίσης και οι κατασκευές δορυφόρων και περισκοπίων,

έχουν υπόψη τους αυτή την αρχή στη δουλειά τους.

Απάντηση.

Οι γραμμές στο σχήμα δείχνουν ένα μονοπάτι για το πώς να βάλεις την μπάλα στην τρύπα

με την πρώτη. Οι μαρκαρισμένες γωνίες 1 και 2 έχουν τις ίδιες μοίρες. Θα πρέπει να

στοχεύεις στο σημείο P

Πως μπορείς να αποφασίσεις που να στοχεύσεις; Από την στιγμή που δεν υπάρχει μία

ευθεία πορεία από το υψωματάκι στην τρύπα, θα πρέπει να χτυπήσεις την μπάλα προς τον

τοίχο. Ζωγράφισε γραμμές από το υψωματάκι, μέχρι την άκρη και από την τρύπα, μέχρι την

άλλη άκρη, για να βρεις ένα σημείο, που κάνει τις αναπηδόμενες γωνίες 1 και 2 ίσες.

21


Ένας τρόπος για να βρεις το κατάλληλο σημείο για να στοχεύσεις είναι να σκεφτείς τη

πλευρά του τοίχου σαν ένα καθρέφτη. Εάν κοιτάξεις μέσα στον καθρέφτη από το

υψωματάκι, η αντανάκλαση της τρύπας θα φαίνεται σα να είναι στην τοποθεσία που

δείχνεται στο διάγραμμα:

Όπως αναφέρθηκε στην υπόδειξη, η γωνία στην οποία η μπάλα αφήνει τον τοίχο, θα είναι η

ίδια, με την γωνία στην οποία τον χτυπά. Εάν, στοχεύεις με τη μπάλα, στο σημείο όπου η

γραμμή από το υψωματάκι μέχρι το είδωλο της τρύπας που τέμνει τον τοίχο, τότε θα

αναπηδήσει μέσα στην τρύπα. Αυτό μπορεί να αποδειχτεί μαθηματικά ως εξής: επειδή και

τα δύο τρίγωνα στην κάθε πλευρά του τοίχου στο διάγραμμα είναι είδωλα του καθρέπτη,

θα είναι ακριβώς το ίδιο μέγεθος και σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία 2 έχει τις ίδιες

μοίρες, με τη γωνία 3. Η γωνία 1 και η γωνία 3 έχουν επίσης, ίσες μοίρες, επειδή είναι

κάθετες γωνίες. ( Οι κάθετες γωνίες, είναι γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες

γραμμές). Η γωνία 1 έχει τις ίδιες μοίρες, με τη γωνία 2, επειδή και οι δύο έχουν το ίδιο

μέγεθος, με τη γωνία 3. Αυτό σημαίνει ότι το μονοπάτι μέχρι την τρύπα που δείχνεται στο

διάγραμμα είναι το ίδιο μονοπάτι που η μπάλα θα πάρει καθώς αναπήδά από τον τοίχο.


Σχεδίασε μία τρύπα για ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ. Μετά, παίξε ένα παιχνίδι

με ένα φίλο σου, για να δείξεις πως η μπάλα μπορεί να αναπηδήσει και από τις δύο

πλευρές και μέσα στην τρύπα. ( Δοκίμασέ το αυτό σε ένα computer).

Μέτρα την απόσταση, από την μπάλα, μέχρι την τρύπα, μαζί με την πορεία στην

οποία η μπάλα ταξιδεύει στην πρόκληση ( δηλαδή στο πρόβλημα). Υπέθεσε, ότι η

22

μπάλα χτυπά το όριο, σε οποιοδήποτε άλλο σημείο στο δρόμο της για την τρύπα.

Μέτρα την άλλη πορεία της μπάλας και σύγκρινέ τη με τη πρώτη. Τι βρίσκεις;

Χάραξε το διάγραμμα στην πρόκληση σε ένα φύλλο χαρτιού. Βάλε πινέζες στο

υψωματάκι και στην τρύπα. Άπλωσε μία δέσμη από καουτσούκ γύρω από τις πινέζες.

Τοποθέτησε ένα μοιρογνωμόνιο στο διάγραμμα και τράβα τη δέσμη από το

καουτσούκ στο κέντρο του μοιρογνωμονίου όπως δείχνεται:

Σύρε το μοιρογνωμόνιο μέχρι που οι μαρκαρισμένες γωνίες 1 και 2 να είναι το ίδιο

μέγεθος. Τώρα μέτρα το μήκος της τανημένης δέσμης από καουτσούκ. Εάν, οι γωνίες

δεν είναι ίσες, πώς νομίζεις ότι το μήκος της δέσμης από το καουτσούκ θα αλλάξει;

Το διάγραμμα παρακάτω, δείχνει μία δέσμη φωτός, που εισέρχεται σε ένα τρίγωνο

κουτί, με τοίχους από καθρέφτη. Χάραξε τη πορεία, όπου το φως αναπηδά από τους

τοίχους. Δεν έχει σημασία από πού θα αρχίσεις, τι συμβαίνει στο μονοπάτι;


1. Στην ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος, η τρύπα ανακλάται. Πως θα άλλαζε η

λύση, εάν, το υψωματάκι είχε αντανακλαστεί;

(Απάντηση: δε θα άλλαζε).

2. Δείξε, πώς να βάλεις την μπάλα στη τρύπα, με την πρώτη, σε αυτό το γήπεδο

μινιατούρα του γκολφ, με το να χτυπώντας την μπάλα με τέτοιο τρόπο, ώστε να

χτυπήσει και από τους δύο τοίχους;

23

3. Μία πόλη (Α), απέχει 20 χιλιόμετρα, από ένα ποτάμι, ενώ, μία άλλη πόλη (Β), απέχει

6 χιλιόμετρα, από το ποτάμι. Η χώρα, θέλει να χτίσει ένα σταθμό άντλησης νερού

στο ποτάμι, για να εξυπηρετεί και τις δύο πόλεις. Για να μειώσουν το κόστος, οι

μηχανικοί θέλουν να τοποθετήσουν τον σταθμό σε τέτοιο μέρος, ώστε, το σύνολο

των αποστάσεων από το σταθμό άντλησης μέχρι τις πόλεις να είναι όσο το δυνατό

μικρότερο. Που θα πρέπει να χτίσουν τον σταθμό; (Αυτό συμβαίνει όταν οι

αναπηδόμενες γωνίες είναι ίσες).

(Απάντηση: Το άθροισμα των διαστάσεων είναι ελάχιστο, όταν οι γωνίες 1 και 2, στο

διάγραμμα είναι ίσες. Σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση είναι 20 χιλιόμετρα):


Υπάρχει τρόπος να τοποθετήσεις μία τρύπα σε ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ,

έτσι ώστε, ασχέτως με το που στοχεύεις την μπάλα, από το υψωματάκι, να μπορείς

να τη βάλεις στην τρύπα, με την πρώτη φορά;

Υπάρχει τρόπος να τοποθετήσεις μία τρύπα σε ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ,

ώστε, ασχέτως με το που στοχεύεις την μπάλα, δε θα μπορέσεις ποτέ να τη βάλεις

στην τρύπα με την πρώτη;

24


Αν και οι αναλογίες του αντανακλόμενου φωτός, ήταν γνωστές, και σε άλλους

αρχαίους φιλόσοφους και επιστήμονες, ο Χερών της Αλεξάνδρειας (περίπου 75 π.Χ)

ήταν αυτός που ανέπτυξε τα σχετικά μαθηματικά.

Ο μόνος που έβαλε την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη, από μία απόσταση 409

μέτρα, ήταν ο Robert Mitera στην Omaha της Νεμπάσκας το 1965.

Ο Kenneth Schreiber, ένας τυφλός γκολφέρ, έριξε την μπάλα στην τρύπα με την

πρώτη, το 1997, στο Bayonet Point της Φλόριντας. Η μέθοδος αντανάκλασης

χρησιμοποιείται μερικές φορές για να βρεθούν αποστάσεις που δε μπορούν να

μετρηθούν απευθείας.

25

7. Πόσο χώρο χρειάζεσαι σε ένα τραπέζι;

Υπολόγισε αυτό! Το εστιατόριο της Μαρίας, έχει τετράγωνα τραπέζια που χωρούν 1 άτομο

σε κάθε πλευρά. Για να καθίσουν πιο πολλά άτομα, δύο ή περισσότερα τραπέζια

ενώνονται. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός τραπεζιών που χρειάζεται για να καθίσουν 19

άτομα μαζί;

Υπόδειξη: Πόσοι άνθρωποι θα μπορούσαν να καθίσουν σε 2 ενωμένα τραπέζια;

Πόσοι θα μπορούσαν να καθίσουν σε 3 ενωμένα τραπέζια;

Το να βρίσκεις πατέντες και το να κατατάσσεις γεωμετρικά σχήματα, είναι κάτι που

χρησιμοποιείται από αρχιτέκτονες, ζωγράφους τοπίων, κατασκευαστές παπλωμάτων και

ταπετσιέρηδες στις εργασίες τους.

Απάντηση: 9 τραπέζια


Χρησιμοποίησε τετράγωνα από χαρτί (ή τετράγωνα κράκερ) για να αναπαραστήσεις τα

τραπέζια και τις θέσεις που θα καθίσουν οι άνθρωποι. Άρχισε με ένα τετράγωνο και δες

πόσοι άνθρωποι μπορούν να καθίσουν.

Εάν ανώσεις 2 τετράγωνα τι συμβαίνει στον αριθμό των θέσεων;


Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να λύσεις το πρόβλημα. Χρησιμοποιώντας την

υπόδειξη, (σε ένα τραπέζι μπορούν να καθίσουν 4 άνθρωποι).

x

x x

26

x

Η πρόσθεση ενός άλλου τραπεζιού αφαιρεί μία θέση και προσθέτει 3 θέσεις,

κερδίζοντας έτσι, 2 θέσεις:

x x

x x

x x

Λογικό είναι, ότι με αυτό τον τρόπο, ένα επιπλέον τραπέζι προστίθεται, μία θέση

χάνεται και 3 κερδίζονται, αν ενώσουμε 2 τραπέζια. Συνεχίζοντας με 3, 4 κ.λ.π

τουλάχιστον 9 τραπέζια απαιτούνται για να καθίσουν 19 άνθρωποι. Υπάρχουν

πολλές διαφορετικές πιθανές κατατάξεις τραπεζιών.

Ένας άλλος τρόπος είναι να κάνεις ένα πίνακα και να κοιτάξεις για πατέντες.

Αριθμός τραπεζιών Αριθμός ανθρώπων που κάθονται

1 4

2 6

3 8

…. …

Η πατέντα δείχνει μία αύξηση 2 θέσεων κάθε φορά. Συνεχίζοντας την πατέντα σε 9

τραπέζια θα κάθονται 20 άνθρωποι, αλλά σε 8 θα κάθονται μόνο 18. Έτσι, 9 τραπέζια

απαιτούνται για 19 ανθρώπους.

27

Το να σκέφτεσαι γεωμετρικά σε οδηγεί σε ένα γενικό κανόνα για θέσεις. Για κάθε

κατάταξη τραπεζιού, μπορείς να τοποθετήσεις ένα «σε κάθε τέλος», τόσους

ανθρώπους σε κάθε πλευρά, όσα και τα τραπέζια. Ακολουθούν παραδείγματα:

x

x x

x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x x

Με 2 ανθρώπους στις άκρες και αριθμό ανθρώπων, όσο και τα τραπέζια, ένας

γενικός κανόνας για -ν- τραπέζια θα επιτρέπει να κάθονται το πολύ 2+2ν άνθρωποι.

Για 19 ανθρώπους;

2ν+2≥19

2ν≥17

ν≥8,5

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον 9 τραπέζια πρέπει να χρησιμοποιηθούν.

28


1. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ανθρώπων που μπορούν να καθίσουν σε 7

ενωμένα τραπέζια;

(Απάντηση: 16)

2. Αν ενώναμε 9 τραπέζια και κάθε θέση γέμιζε, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός

ανθρώπων που θα μπορούσαν να καθίσουν;

(Απάντηση: Ταξινομώντας τα τραπέζια σε σχήμα τετραγώνου 3 * 3, μόνο 12 θέσεις

θα έμεναν διαθέσιμες, για να καθίσουν τα άτομα).

Πράγματα να σκεφτείς.

Αν ήσουν σερβιτόρος, θα ήταν ευκολότερο να τοποθετήσεις μία μεγάλη ομάδα σε

ένα μεγάλο τραπέζι ή σε 2 μικρότερα τραπέζια; Και για το σερβίρισμα;

Γιατί μερικά εστιατόρια χρησιμοποιούν στρόγγυλα τραπέζια;

Πώς σχετίζεται το ηλεκτρονικό παιχνίδι Tetris με το πρόβλημα;


Οι κατατάξεις των τετραγώνων ονομάζονται πολυνομίες. Τα ντόμινο είναι

πολυνόμινα με 2 τετράγωνα.

Σύμφωνα με το βιβλίο Γκίνες, ο μεγαλύτερος αριθμός ανθρώπων, που ταυτόχρονα,

συμμετείχαν σε μία πρόποση, σε ενωμένα τραπέζια, ήταν 78.276 στις 27

Φεβρουαρίου 1998 στις Η.Π.Α.

Ο Fred Magel από το Σικάγο, δείπνησε σε εστιατόρια, 46.000 φορές σε 50 χρόνια

ενώ εκτιμούσε την ποιότητα των φαγητών τους.

29

y

y

8. Πότε δύο τετράγωνα κάνουν ένα καινούριο τετράγωνο;

Υπολόγισε αυτό! Μπορείς να κάνεις ένα καινούριο τετράγωνο, από 2 τετράγωνα;

x

Υπόδειξη: Κόψε 2 τετράγωνα από ένα φύλλο χαρτιού και κόλλησέ τα μαζί όπως βλέπεις

παραπάνω. Βρες ένα σημείο 2 κατά μήκος της βάσης των 2 τετραγώνων έτσι ώστε η γωνία

xzy να είναι ορθή. Στη συνέχεια, ένωσε τα σημεία αυτά και φτιάξε το καινούριο τετράγωνο.

Η πυθαγόρεια θεωρία δηλώνει ότι κάθε ορθή γωνία α2 + β2 = γ2 όπου το γ είναι το μήκος

της μακρύτερης πλευράς ενώ, α και β είναι τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Αυτή η σχέση

συχνά χρησιμοποιείται για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων και είναι βασική

για κατασκευές, για την μηχανική και τις περισσότερες επιστήμες.

Απάντηση

Ζωγράφισε δείγματα XZ και YZ όπως στην εικόνα. Τα 3 κομμάτια μπορούν να σχηματιστούν

σε ένα τετράγωνο όπως δείχνεται. Οποιαδήποτε 2 τετράγωνα μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε ένα τετράγωνο με αυτό τον τρόπο:


Για να τοποθετήσουμε το σημείο 2 όπως περιγράφεται στην υπόδειξη, βάλε ακόμη ένα

άλλο φύλλο χαρτιού στην κορυφή των 2 τετραγώνων. Κύλησε το χαρτί μέχρι που η μία άκρη

να αγγίξει το σημείο x και κάνε μία γειτονική άκρη που να αγγίζει το σημείο y. Κόψε τα

30

τρίγωνα και προσπάθησε να σχηματίσεις ένα τετράγωνο, κατατάσσοντας ξανά, όλα τα

κομμάτια.


Η υπόδειξη και η απάντηση προτείνουν να χρησιμοποιήσεις ένα κομμάτι χαρτιού για να

βρεις το σημείο “z” και να δημιουργήσεις ένα τετράγωνο. (Οι άκρες του χαρτιού, θα

υπάρχουν και στις δύο πλευρές του καινούριου τετραγώνου. Οι ταπετσιέρηδες, θα

χρησιμοποιούσαν ένα ειδικό τετράγωνο, το τετράγωνο του ταπετσιέρη, όπως λέγεται, για

να βρουν το σημείο “z”):

Ένας διαφορετικός τρόπος για να βρεις το σημείο “z” είναι να μετρήσεις, το μήκος μιας

πλευράς του μικρού τετραγώνου και το μήκος της βάσης ενός μεγαλύτερου τετραγώνου

αρχίζοντας από αριστερά. Το μήκος δείχνει το σημείο “z”. Επειδή το συνολικό μήκος της

βάσης είναι το σύνολο των μήκων μιας πλευράς κάθε τετραγώνου, το “z”, χωρίζει τη βάση

σε δύο ίσα μήκη, που είναι τα μήκη των πλευρών των τετραγώνων. Ζωγράφισε τα δείγματα

xz και yz. Τα δύο ορθά τρίγωνα, έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα επειδή το καθένα έχει μία

ορθή γωνία και οι δύο μικρότερες πλευρές είναι η καθεμία ίση με το μήκος των πρώτων

τετραγώνων. Επειδή τα τρίγωνα έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα, τα xz και yz έχουν επίσης,

το ίδιο μήκος και γίνονται οι πλευρές του νέου τετραγώνου. Χρησιμοποιώντας τις γωνίες

των τριγώνων, κατά μήκος της βάσης, η γωνία xzy, είναι μία ορθή γωνία.


Κατασκεύασε ένα τετράγωνο, με πλευρές 3εκατ. και ακόμη ένα με πλευρές 4εκατ.

Χρησιμοποίησε αυτά τα δύο τετράγωνα, για να κατασκευάσεις, ένα καινούριο

τετράγωνο. Πόσο μήκος έχει η κάθε πλευρά του καινούριου τετραγώνου;

Δείξε, πως το δείγμα xy στο πρόβλημα, μπορεί να γίνει η διάμετρος ενός κύκλου που

περνά, από το σημείο z.


31

1. Ένα τριπλό Πυθαγόρειο είναι σετ 3 αριθμών α, β και γ, έτσι ώστε α2 + β2 = γ2 . Για

παράδειγμα οι αριθμοί 3, 4 και 5 κάνουν τριπλό Πυθαγόρειο επειδή 32 + 42 =52 , ή

9+16=25. Οι αριθμοί 6, 8 και 10 κάνουν ένα τριπλό Πυθαγόρειο;

(Απάντηση: ναι, αφού 62 + 82 =102)

2. Βρες ένα διαφορετικό τριπλό Πυθαγόρειο που να περιέχει το 5.

(Απάντηση: 5, 12, 13).

3. Βρες ένα τριπλό Πυθαγόρειο στο οποίο το 7 να είναι ο μικρότερος αριθμός και οι

μεγαλύτεροι αριθμοί να διαφέρουν κατά 1.

(Απάντηση: 7, 24, 25).

4. Μπορούν όλοι οι αριθμοί να σε ένα τριπλό πυθαγόρειο να είναι μονοί;

(Απάντηση: όχι).

5. Το διάγραμμα δείχνει ένα ορθό τρίγωνο και 3 τετράγωνα Α, Β και Γ. Οι πλευρές του

κάθε τετραγώνου έχουν το ίδιο μήκος όπως μία από τις πλευρές του τριγώνου:

Κάνε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο χρησιμοποιώντας το τετράγωνο Γ και 4 αντίγραφα

του ορθού τριγώνου. Κάνε ακόμη ένα μεγάλο τετράγωνο από τα τετράγωνα Α και Β

και τέσσερα αντίγραφα από αυτό το ίδιο ορθό τρίγωνο. Χρησιμοποίησε το καινούριο

τετράγωνο για να δείξεις ότι το σύνολο των περιοχών από τα τετράγωνα Α και Β

ισοδυναμεί με την περιοχή του τετραγώνου Γ.

(Απάντηση: οι δύο παρακάτω επιφάνειες, έχουν το ίδιο εμβαδόν):


32

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, δημιουργούσαν, ορθά τρίγωνα για τα κτίρια και τις πυραμίδες,

χρησιμοποιώντας ένα σκοινί με 12 κόμπους, οι οποίοι είχαν, ίση απόσταση μεταξύ

τους.

Οι δύο μικρότεροι αριθμοί ενός τριπλού Πυθαγορείου δε μπορεί να είναι μονοί.

Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο ενός τριπλού Πυθαγορείου είναι επίσης ένα Πυθαγόρειο

τριπλό.

Η Πυθαγόρεια θεωρία ισχύει για οποιουσδήποτε αριθμούς α, β και γ οι οποίοι

σχηματίζουν τις πλευρές ενός ορθού τριγώνου.

Εάν δύο ορθά τρίγωνα έχουν τις απέναντι πλευρές στο ίδιο μήκος, τα τρίγωνα πρέπει

να είναι στο ίδιο μέγεθος και σχήμα.


Ο Πυθαγόρας ήταν ένας Έλληνας μαθηματικός (περίπου 580 – 500 π.Χ) που έκανε

μία κρυφή κοινωνία βασισμένη σε μαθηματικές ανακαλύψεις. Το σύνθημα από τους

μαθητές του λέγεται ότι ήταν «όλα είναι αριθμός».

Αυτό που ονομάζεται Πυθαγόρεια Θεωρία ήταν γνωστό στους Αιγυπτίους από το

2000 π.Χ και στους Βαβυλώνιους από το 1700 π.Χ.

Ο ινδουιστής μαθηματικός Bhaskara (περίπου 1114 – 1185) απέδειξε το Πυθαγόρειο

Θεώρημα απλά ζωγραφίζοντας αυτή την εικόνα και λέγοντας «βλέπω»

β α

α α

β β

β α

Ο Lewis Carrdl, συγγραφέας του βιβλίου η «Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων», και ο

Αμερικανός πρόεδρος James Garfield έγραψαν αποδείξεις του Πυθαγόρειου

Θεωρήματος.

33

Ο Γάλλος μαθηματικός Pierre Fermat (1601 – 1665) «έχτισε» το Πυθαγόρειο

Θεώρημα αποδεικνύοντας ότι κανένας κύβος δεν είναι το σύνολο δύο κύβων και ότι

καμία δύναμη εις την 4 δεν είναι το σύνολο δυνάμεων εις την 4 . Πίστευε ότι το ίδιο

ήταν αλήθεια για όλες τις δυνάμεις μεγαλύτερες από το 2. Έγραψε στο περιθώριο

ενός τετραδίου ότι είχε μία απόδειξη του πιστεύω του, αλλά το περιθώριο ήταν

πολύ μικρό για την απόδειξη. Μόνο το 1995, πάνω από 300 χρόνια αργότερα, ο

βρετανός μαθηματικός Andrew Wiles βρήκε το κλειδί που απέδειξε ότι ο Fermat είχε

δίκιο.

Διάλεξε οποιουσδήποτε δύο διαφορετικούς θετικούς μετρήσιμους αριθμούς α και β

με το α μεγαλύτερο και από τους δύο. Αν x=2αβ, y=α2– β2 και z=α2+β2 τότε τα x, y και

z δημιουργούν ένα Πυθαγόρειο τριπλό.

34

9. Τι λείπει….;

?

Υπολόγισε αυτό! Τα σχέδια που δείχνονται εδώ, είναι τυπικά ενός Αφρικανού ιχνηλάτη στην

άμμο. Αν το σχέδιο που λείπει είναι κομμάτι μιας πατέντας ενός αυξανόμενου μεγέθους,

πως θα μοιάζει το σχέδιο που λείπει;

Υπόδειξη: Κοίτα για πατέντες στο σχέδιο με τα ίχνη, όπως επίσης στον αριθμό και στην

κατάταξη από τις τελείες σε κάθε σχέδιο.

Οι περισσότεροι άνθρωποι μέσα από την ιστορία έχουν δημιουργήσει σχέδια και

υποδείγματα για να εκφράσουν την κουλτούρα τους. Πολλά τέτοια σχέδια, δείχνουν

επίσης, ένα θεμελιώδη μαθηματικό υπόδειγμα. Η μελέτη των μαθηματικών σχεδίων και

υποδειγμάτων, βοηθά τους αρχαιολόγους και τους ανθρωπολόγους στην κατανόηση

αρχαίων πολιτισμών.

Απάντηση.

Το σχέδιο που λείπει θα μπορούσε να είναι:


Πως είναι καταταγμένες οι τελείες; Είναι σε γραμμές;

35

Πως είναι καταταγμένες οι θηλιές;

Ποιες είναι οι σχέσεις μεταξύ των τελειών, των θηλιών και των τετραγώνων; Μπορείς να

καθορίσεις τον αριθμό από τις τελείες στο σχέδιο που λείπει;


Ένας τρόπος για να πλησιάσεις το πρόβλημα είναι να εξετάσεις το υπόδειγμα από

τις τελείες. Στο πρώτο σχέδιο υπάρχουν 4 σειρές από οριζόντιες τελείες στο

υπόδειγμα 1, 3, 3, 1. Στο τρίτο σχέδιο υπάρχουν 8 σειρές από τελείες στο υπόδειγμα

1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1. Φαίνεται λογικό ότι η φιγούρα που λείπει θα συμπεριλαμβάνει 6

σειρές από τελείες στο υπόδειγμα 1, 3, 5, 5, 3, 1:

Άλλος ένας τρόπος για να κατατάξεις το υπόδειγμα είναι να μετρήσεις τις θηλιές στο

σχέδιο. Η πρώτη φιγούρα έχει 2 θηλιές ανά πλευρά, ενώ η τρίτη φιγούρα, έχει 4

θηλιές, ανά πλευρά. Σε αυτή την περίπτωση, φαίνεται λογικό για την φιγούρα που

λείπει να έχει 3 θηλιές σε κάθε πλευρά.

Ένας τρίτος τρόπος για να αναλογιστείς το πρόβλημα περιέχει το μέτρημα των

τετραγώνων. Το πρώτο σχέδιο είναι ένα τετράγωνο 2 * 2. Έτσι, το δεύτερο ίσως να

είναι ένα τετράγωνο 4 * 4.


Τα σχέδια ζωγραφίστηκαν με σχεδιασμό στην άμμο. Ιχνηλάτησε το εξωτερικό των

σχεδίων στην πρόκληση χωρίς να σηκώσεις το δάχτυλό σου.

Κατάταξε 5 σειρές από τελείες στο υπόδειγμα 1, 3, 5, 3, 1. Ζωγράφισε ένα σχέδιο

που να εσωκλείει την κάθε τελεία στο δικό της «κελί», χωρίς να είναι 2 τελείες στο

ίδιο κελί.

Δόμησε τη δική σου σειρά από υποδείγματα από τελείες και σχέδια. Αφαίρεσε μία

φιγούρα από τη σειρά. Προκάλεσε ένα μέλος της οικογένειάς σου να ζωγραφίσει το

σχέδιο που λείπει.

36

Ερεύνησε την Ελληνική κουλτούρα ψάχνοντας για υποδείγματα και σχέδια στο

ρουχισμό και στην αγγειοπλαστική.


1. Εάν το σχέδιο που δείχνεται στην πρόκληση επεκτείνονταν σε μία τέταρτη φιγούρα

πως θα κατασκευάζονταν οι τελείες;

(Απάντηση: θα υπάρχουν 10 σειρές από τελείες στο σχέδιο 1, 3, 5, 7, 9, 9, 7, 5, 3, 1,).

2. Χωρίς να ανασηκώσεις το μολύβι σου, ζωγράφισε τέσσερα ίσια δείγματα σειρών στο

παρακάτω υπόδειγμα, έτσι ώστε κάθε τελεία να ακουμπά σε τουλάχιστο μία από τα

δείγματα σειρών:

(Απάντηση: μία πιθανή απάντηση φαίνεται σο παρακάτω διάγραμμα:

3. Ζωγράφισε δύο τρίγωνα για να δημιουργήσεις 9 κελιά, έτσι ώστε κάθε κελί να

περιέχει ακριβώς μία τελεία:

(Απάντηση: μία πιθανή απάντηση φαίνεται παρακάτω):

37


Πώς στοιβάζονται τα φρούτα ή οι κονσέρβες στις λαϊκές;

Ποια προïόντα επαναλαμβάνουν σχέδια στις διαφημίσεις ή στα λογότυπα εταιριών;


Τα σχέδια στην άμμο στην πρόκληση δημιουργήθηκαν από τη φυλή Tchokwe της

βορειοανατολικής Angola. Μέλη της φυλής χρησιμοποίησαν αυτά τα σχέδια για να

διηγούνται ιστορίες.

Οι ανθρωπολόγοι Dorothy Washburn και Donald Crowe, μελέτησαν τους

συσχετισμούς των γεωμετρικών υποδειγμάτων με την πολιτιστική ταυτότητα.

Μερικοί Αφρικάνικοι πολιτισμοί, όπως οι Ndebele, κάνουν διακοσμήσεις και

χρησιμοποιούν συμμετρίες με σειρές. Αυτές οι πατέντες δεν έχουν λοξοδρομήματα,

σε αντίθεση με τις πατέντες Angolan στην πρόκληση.

Η Jhane Barnes είναι μία σχεδιάστρια που χρησιμοποιεί μαθηματικά για να

σχεδιάσει πατέντες για τα ρούχα της.

Πολλές εξετάσεις για την ανώτερη εκπαίδευση, που συμπεριλαμβάνουν το

Αμερικάνικο Test (Dat), περιέχουν ερωτήσεις που αφορούν την αναγνώριση και

επέκταση των πατέντων.

38

6

12

18

10. Τι είναι δίκαιη μοιρασιά;

Υπολόγισε αυτό! Ο Νίκος και οι φίλοι του θέλουν να μοιράσουν μία τετράγωνη σοκολατένια

τούρτα 24 εκατ. με επικάλυψη. Πως μπορεί ο Νίκος να κόψει την τούρτα έτσι ώστε το κάθε

άτομο να λάβει ένα ίσο μερίδιο τούρτας και επικάλυψης;

Υπόδειξη: Εάν 6 άτομα θα μοιράσουν ολόκληρη την τούρτα, τότε 3 άτομα θα μοιράσουν

την μισή τούρτα. Μη ξεχνάς την επικάλυψη στις πλευρές.

Οι αναλογίες σε σχήματα τριών διαστάσεων μπορούν να κατανοηθούν σκεπτόμενοι τις

όψεις τους, των δύο διαστάσεων. Ο χωρισμός των γεωμετρικών σχημάτων σύμφωνα με

ορισμένα κριτήρια είναι απαραίτητος στην εργασία των σχεδιαστών πόλεων, των

σχεδιαστών γραφικών και των κτηματομεσιτών.

Απάντηση.

Οι δύο πιθανές λύσεις φαίνονται εδώ:

12 12 6 18

6 6

12 18

6

12 12 18 6


Ζωγράφισε το πάνω μέρος της τούρτας. Χώρισε το τετράγωνο στα 2 και προσπάθησε να

μοιράσεις το 1 μισό μερίδιο σε 3 ίσα μερίδια.

Πως είσαι σίγουρος ότι το ποσό της επικάλυψης είναι το ίδιο σε κάθε κομμάτι; Πως μπορείς

να σιγουρευτείς ότι το κάθε κομμάτι είναι ίδιο;


Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να προσεγγίσουμε αυτό το πρόβλημα. Υποθέτοντας ότι

όλα τα κομμάτια της τούρτας έχουν το ίδιο ύψος, το μέγεθος του κάθε κομματιού

εξαρτάται από την περιοχή του πάνω μέρους του. Αφού η επικάλυψη είναι και στο

πάνω μέρος καις στις πλευρές, ωστόσο το κάθε κομμάτι πρέπει να έχει ένα ίσο

39

3 24 ε

μερίδιο και της περιμέτρου του τετραγώνου. Αν έξι άνθρωποι μοιράσουν ολόκληρη

την τούρτα, τότε οι τρεις θα μοιράσουν τη μισή. Ένας τρόπος για να μοιράσεις την

τούρτα φαίνεται εδώ:

24 εκατ.

24 εκατ.

Το κάθε μισό της τούρτας είναι 48 εκατ. στις δύο εξωτερικές του πλευρές. Έτσι, το

κάθε άτομο θα πάρει τα 48/3 ή τα 16 εκατ. από την εξωτερική πλευρά της τούρτας.

Ένας τρόπος για να κάνεις την διαίρεση φαίνεται εδώ:

24 εκατ.

16 εκ. κατ.

8 εκ.

8 εκ. 16 εκ.

Για να ελέγξεις τις πλευρές των κάθε κομματιών, χρησιμοποίησε την φόρμουλα για

την περιοχή ενός τριγώνου: εμβαδόν=(1/2)*βάσης*ύψος. Το ύψος των τετραγώνων 1

και 3 στο διάγραμμα είναι το μισό του πλάτους της τούρτας ή 12 εκατ. Αφού το

μήκος της κάθε βάσης είναι 24 εκατ., η περιοχή του καθενός από αυτά τα τρίγωνα

είναι : Α=(1/2)*16*12=192τετρ. μέτρα. Η περιοχή του 2ου μεριδίου είναι το μισό της

περιοχής ολόκληρης της τούρτας μείον την περιοχή των τριγώνων 1 και 3:

Περιοχή του μισού=(1/2) * 24* 24= 576/2=288 τετρ. μέτρα.

Περιοχή τριγώνου 1= Περιοχή τριγώνου 3= (1/2) * 16 * 12=192τετρ. μέτρα.

Περιοχή τμήματος 2, είναι η περιοχή της μισής τούρτας – Περιοχή τριγώνου 1 –

Περιοχή τριγώνου 3.

Περιοχή τμήματος 2= (1/2) *24 *24 -192 -192=192 τετρ. μέτρα.

Έτσι, αυτά τα 3 κομμάτια εκπροσωπούν ίσα μερίδια. Το άλλο μισό της τούρτας

μπορεί ομοίως να χωριστεί.

40

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να κόψεις την τούρτα σε 6 ίσα μερίδια. Για

παράδειγμα, μπορείς να αρχίσεις με το να χωρίσεις την τούρτα σε 6 ίσα μερίδια. Για

παράδειγμα μπορείς να αρχίσεις χωρίζοντας την τούρτα σε 2 ορθογώνια του ίδιου

μεγέθους και σχήματος.


Κόψε ένα ορθογώνιο κομμάτι από βαρύ χαρτόνι από ένα βαρύ χαρτόνι σε 2

κομμάτια με διαφορετικά σχήματα που νομίζεις ότι έχουν την ίδια περιοχή. Ένας

τρόπος για να καθορίσεις αν οι περιοχές είναι ίσες, είναι να συγκρίνεις τα βάρη των

δύο κομματιών. Υποθέτοντας ότι η πυκνότητα του χαρτονιού είναι συνεχής, αν τα

βάρη είναι ίδια, τότε οι περιοχές πρέπει να είναι ίδιες. Μπορείς να συγκρίνεις τα

βάρη, βάζοντας το κάθε κομμάτι στην άκρη μιας κλωστής, μαρκάροντας το μέσο της

κλωστής και έπειτα τοποθετώντας ένα μολύβι στο μέσο, όπως φαίνεται στο

ακόλουθο διάγραμμα. Αν η κλωστή δεν κουνηθεί, τα κομμάτια ισορροπούν


1. Πως θα μπορούσες να μοιράσεις μία τετράγωνη τούρτα των 24 εκατ. σε 5

ανθρώπους έτσι ώστε, το κάθε άτομο να λάβει ένα ίσο μερίδιο τούρτας και

επικάλυψης;

(Απάντηση: διαίρεσε το εμβαδόν και τη περίμετρο – το εξωτερικό της τούρτα – σε 5

ίσα τμήματα).

2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείς να χωρίσεις ένα ορθογώνιο σε 2

κομμάτια του ίδιου μεγέθους και σχήματος;

(Απάντηση: με άπειρους τρόπου, αν αρχίσεις το κόψιμο από το κέντρο του

ορθογωνίου).

3. Με ένα κόψιμο πως μπορείς να χωρίσεις το παρακάτω τρίγωνο σε 2 κομμάτια με

ίσες περιοχές;

Β

41

Α Γ

(Απάντηση: Ένας τρόπος, είναι να βρεις τη διάμεσο Μ, της πλευράς ΒΓ. Στη συνέχεια,

ένωσε το σημείο Α με το Μ και αφού το ύψος είναι το ίδιο και για τα δύο καινούριο

τρίγωνα που δημιουργήθηκαν και οι βάσεις τους είναι και οι δύο το μισό του αρχικού

μήκους, τα δύο τρίγωνα είναι και ίσα):


Ο τρόπος με τον οποίο έλυσες την πρόκληση θα άλλαζε αν η τούρτα ήταν ορθογώνια

και όχι τετράγωνη;

Θα προτιμούσες ένα κομμάτι τούρτας με ένα κανονικό ή ένα ακανόνιστο σχήμα;

Πως κόβεις ένα μήλο στη μέση;

Ποιο μισό από το σάντουιτς παρακάτω θα διάλεγες; Γιατί;

Ποιοι παράγοντες θα πρέπει να ληφθούν υπόψη όταν χωρίζεις παραθαλάσσια

περιουσία σε κλήρους;

Θα ήταν ευκολότερο να μοιράσεις μία στρόγγυλη τούρτα στην πρόκληση;

Σε ποιες άλλες περιπτώσεις είναι σημαντική η διαίρεση σε ίσα μέρη;


42

Σύμφωνα με το ρεκόρ Γκίνες του 1999, η μακρύτερη τούρτα του κόσμου έγινε από

το φούρνο EarthGrains για να γιορταστεί η εκατονταετηρίδα του Fort Payne, στην

Αλαμπάμα το 1989. Με σχήμα σαν τις Η.Π.Α. Ζύγιζε λίγο περισσότερο από 58 τόνους

και χρησιμοποιήθηκαν 16.209 κιλά πάγου.

Αν μία τούρτα είναι τετράγωνη και ίσου ύψους παντού, τότε μπορείς να την χωρίσεις

σε 5 μερίδες ίσης περιοχής, χρησιμοποιώντας την ιδέα πίσω από το ακόλουθο

σχέδιο:

Το τετράγωνο χωρίζεται σε 4 τρίγωνα και τοποθετείται ξανά όπως φαίνεται. Αν το

σύνολο της βάσης των τριγώνων από τα δεξιά κοπεί σε 5 ίσα μέρη, τότε με το να

συνδέσεις τις κορυφές των τριγώνων στα κοψίματα της βάσης, έχουμε 5 ίσα

μερίδια.

Ο Ιταλός μαθηματικός Francesco Banaventura Cavalieri (1598-1647) ανάπτυξε ένα

θεώρημα που δηλώνει ότι αν δύο στερεά τριών διαστάσεων, έχουν το ίδιο ύψος και

όλες οι διαγώνιες τομές παράλληλες στην βάση και από τις ίσες αποστάσεις από τις

βάσεις έχουν ίσες περιοχές, τότε τα στερεά έχουν το ίδιο μέγεθος.

43

11. Διακοσμώντας κουτιά.

Πως τυλίγεις με μία κορδέλα ένα κουτί;

1. 2.

Υπολόγισε αυτό! Ποιο από τα σχέδια μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διπλωθεί ένα κουτί,

έχοντας μία πορτοκαλί κορδέλα τυλιγμένη γύρω του συνεχώς;

Υπόδειξη: Σκέψου το δίπλωμα της κάθε πατέντας για να κάνεις ένα κουτί. Οι άκρες της

πορτοκαλί ταινίας συναντώνται.

Οι πατέντες 2 διαστάσεων χρησιμοποιούνται συχνά στο σχεδιασμό αντικειμένων τριών

διαστάσεων. Ο οραματισμός αντικειμένων τριών διαστάσεων, από πατέντες δύο

διαστάσεων, είναι σημαντικός για τους αρχιτέκτονες, τους καλλιτέχνες, τους σχεδιαστές,

τους κατασκευαστές μοντέλων και τους γιατρούς.

Απάντηση.

Οι πατέντες 1, 3 και 4.

44


Ζωγράφισε την κάθε φιγούρα σε ένα κομμάτι χαρτί και κόψε την κάθε πατέντα. Τι

συμβαίνει όταν διπλώνεις την κάθε πατέντα κάνοντας την κουτί;


Ένας τρόπος για να λύσεις το πρόβλημα είναι να γράψεις γράμματα στις γωνίες που

ταιριάζουν όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Δίπλωσε την πατέντα σε κουτί και

δες αν η μπάλα ταιριάζει.

1.

2. Στο σχέδιο 2, οι άκρες της κορδέλας δε θα συναντηθούν.

3. Το σχέδιο 3 δείχνεται παρακάτω:

4. Το σχέδιο 4 δείχνεται παραπάνω:


Βρες μία πατέντα, όχι από την πρόκληση, που διπλώνεται σε κουτί, έτσι ώστε μία

συνεχής κορδέλα, να σχηματίζεται αυτόματα, όταν συναρμολογηθεί το κουτί.

Καθόρισε πώς να τυλίγεις ένα πακέτο χρησιμοποιώντας το λιγότερο ποσό κορδέλας

αν πρέπει να αγγίζει τις 6 πλευρές.

Βρες τους κανόνες της ελληνικής ταχυδρομικής υπηρεσίας για το τύλιγμα κουτιών

που πρόκειται να μεταφερθούν με καράβι.

Μερικά προïόντα πωλούνται σε κουτιά με ασυνήθιστα σχέδια. Βρες μερικά από

αυτά τα κουτιά, ξετύλιξέ τα και εξέτασε τις πατέντες τους. Εξέτασε τις πατέντες που

χρησιμοποιήθηκαν για να φτιαχτούν.

45


1. Ένα ορθογώνιο κουτί δεμένο με μία κορδέλα έτσι ώστε, η κορδέλα να περνά το

κουτί στα μέσα των πλευρών του. Αν το κουτί είναι 8 εκατ. μακρύ, 6 εκατ. πλατύ και

5 εκατ. ψηλό, πόσο μήκος έχει η κορδέλα;

5

(Απάντηση: 40 εκατοστά). 6

2. Συμπλήρωσε κάθε ένα από τα ακόλουθα διαγράμματα, ώστε να το κάνεις να

διπλωθεί σε ένα κύβο σαν αυτό. [ Κάθε μία από τις 3 γραμμές (άσπρη, με βούλες και

μαύρη) θα πρέπει να διπλωθεί εντελώς γύρω από τον κύβο]

(Απάντηση):

3. Ποιο είναι το μήκος της μικρότερης γραμμής που μπορεί να τανηθεί από το σημείο Χ

μέχρι το σημείο Υ κατά μήκος του εξωτερικού του κουτιού, στο παρακάτω

διάγραμμα; ( Οι διαστάσεις του κουτιού δίνονται σε εκατοστά):

(Απάντηση: περίπου 12 εκατοστά. Μία πιθανή λύση του προβλήματος φαίνεται

παραπάνω):

4. Ζωγράφισε μία πατέντα 2 διαστάσεων έτσι ώστε όταν διπλωθεί να γίνει μία

τετράγωνη πυραμίδα όπως φαίνεται παρακάτω:

46

(Απάντηση: μία πιθανή λύση του προβλήματος, φαίνεται εδώ:


Ποια πατέντα, που μπορεί να διπλωθεί, ώστε να κάνει ένα κουτί θα χρησιμοποιούσε

ένας κατασκευαστής; Γιατί;

Γιατί οι παράλληλες γραμμές είναι σημαντικές όταν ζωγραφίζεις εικόνες δύο

διαστάσεων για να εκπροσωπήσεις σχέδια τριών διαστάσεων;

Πως οι ζωγράφοι δημιουργούν εικόνες δύο διαστάσεων που εμφανίζονται σα να

έχουν τρεις διαστάσεις;

Ποιο σχήμα δύο διαστάσεων χρησιμοποιείται για να φτιαχτεί ένα κουτί γάλακτος;

Οι εικόνες που βλέπεις στο σινεμά αποθηκεύονται σε επίπεδες λωρίδες ταινίας.

Γιατί εμφανίζονται σα να είναι τριών διαστάσεων στην οθόνη;

Γιατί τα παραλληλόγραμμα χρησιμοποιούνται στην κατασκευή χάρτινων σωλήνων

για ρολά ή για ρολά ή για χαρτί τουαλέτας;


Η κοντινότερη αεροπορική διαδρομή από τη Νέα Υόρκη για το Λονδίνο περνά από

τη Ισλανδία. Είναι μέρος ενός τεράστιου κύκλου, όχι μιας ευθείας γραμμής.

Μία εξερεύνηση CAT βασίζονται στην αρχή ακτινών Χ. Καθώς οι ακτίνες Χ περνούν

μέσα από το σώμα απορροφούνται ή αποδυναμώνονται σε διαφορετικά επίπεδα

δημιουργώντας ένα προφίλ ακτινών Χ διαφορετικής δύναμης. Αυτό το προφίλ

ακτινών Χ γράφεται σε μία ταινία, δημιουργώντας μία εικόνα. (Η λέξη CAT δηλώνει

το Computrized Axial Tomography – Αξονική Τομογραφία σε κομπιούτερ).

Τα νοσοκομεία συχνά χρησιμοποιούν μία σωστή χρωματιστή γραμμή στο πάτωμα

για να κατευθύνουν τους ασθενείς από μέρος σε μέρος μέσα στο κτίριο.

47

Μερικά ιστορικά sites χρησιμοποιούν γραμμές για να δηλώσουν το μονοπάτι του

προσωπικού οδηγού. Ένα παράδειγμα είναι το Ίχνος της Ελευθερίας στην Βοστόνη

της Μασαχουσέτης.

48

12. Πόσο νερό ξοδεύεις;

Υπολόγισε αυτό! Μία βρύση στάζει κάθε δύο δευτερόλεπτα. Σε μία εβδομάδα, πόσο νερό

πηγαίνει χαμένο – αρκετό για να γεμίσει ένα ποτήρι, ένα νεροχύτη ή μία μεγάλη λεκάνη;

Υπόδειξη: Ένα κουταλάκι του γλυκού περιέχει περίπου 20 σταγόνες. Υπάρχουν περίπου, 96

κουταλάκια γλυκού, σε μισό λίτρο και 4 λ σε ένα γαλόνι. Τα μαθηματικά μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν να εκτιμήσουν και να μετρήσουν τους

περιβαντολογικούς παράγοντες και για να δώσουν αυτές τις πληροφορίες στο κοινό. Αυτές

οι πληροφορίες χρησιμοποιούνται από αυτούς που ενδιαφέρονται για το περιβάλλον, τους

καταναλωτές και τα κυβερνητικά γραφεία.

Απάντηση. Την πρώτη εβδομάδα, αυτή η βρύση που στάζει θα μπορούσε να γεμίσει

περισσότερο από ένα νεροχύτη κουζίνας, αλλά όχι μία μεγάλη λεκάνη.


Πόσο νερό στάζει σε μία ώρα; Πόσο θα έπαιρνε για να γεμίσει με σταγόνες μία δεξαμενή

ενός γαλονιού;


Μία σταγόνα κάθε 2 δευτερόλεπτα ισοδυναμεί με 30 σταγόνες ανά λεπτό ή με

περίπου 1 ½ κουταλάκια του γλυκού ανά λεπτό. Αυτό ανταποκρίνεται σε 90

κουταλάκια του γλυκού ανά ώρα (λίγο λιγότερο από 2 κούπες). Όπως φαίνεται,

στην ακόλουθη εξίσωση, η βρύση θα έσταζε περίπου 20 γαλόνια ή 80 λίτρα νερό

την εβδομάδα.

1 σταγ./2 δευτ. * 60 δευτ./1 λίτ. * 60 λίτρα / 1 ώρα * 24 ώρες / 1 ημ. * 7 ημέρ. / 1

εβδ. * 1 κουτ. / 20 σταγ. * 0,5λίτρα / 96 κουτ. * 1 γαλόνι / 4 λίτρα = 20 γαλόνια /

βδομάδα ή 80 λίτρα / βδομάδα.

49

Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης του προβλήματος είναι να δημιουργήσεις ένα

πίνακα όπως αυτόν που φαίνεται παρακάτω:

1 σταγόνα κάθε 2

δευτερόλεπτα.

60 δευτερόλ. το λεπτό. 30 σταγόνες το λεπτό.

30 σταγόνες κάθε λεπτό. 60 λεπτά την ώρα. 1880 σταγόνες την ώρα.

1800 σταγόνες την ώρα. 24 ώρες τη μέρα. 43.200 σταγόνες τη μέρα.

43.200 σταγόνες τη μέρα. 7 μέρες τη βδομάδα. 302.400 σταγόνες τη

βδομάδα.

302.400 σταγόνες τη

βδομάδα.

20σταγόνεςσε κάθε

κουταλάκι.

15.120 κουταλάκια τη

βδομάδα.

15.120 κουταλάκια τη

βδομάδα.

96 κουταλάκια σε 0,5

λίτρα.

78,75 λίτρα τη βδομάδα.

78,75 λίτρα τη βδομάδα. 4 λίτρα σε ένα γαλόνι. 20 γαλόν. ή 80 λίτρ. τη

βδομάδα.


Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει το σύνολο του νερού που χρησιμοποιείται από ένα

τυπικό Έλληνα για κάποιες βασικές εργασίες. Χρησιμοποίησε αυτές τις πληροφορίες

για να εκτιμήσεις πόσο νερό χρησιμοποιείς σε μία ημέρα.

Χρήση Κατά μέσο όρο πόσο

σε λίτρα.

Κατά μέσο όρο ποσό

σε γαλόνια.

Μπάνιο 110 29

Ντους 75 20

Καζανάκι 22 6

Πλύσιμο χεριών,

προσώπου

7 2

50

Πόση 1 0,3

Πλύσιμο δοντιών 1 0,3

Πλύσιμο πιάτων (1

γεύμα)

30 8

Μαγείρεμα (1 γεύμα) 18 5

Βασισμένοι στις πληροφορίες από τον παραπάνω πίνακα, πόσο νερό χρησιμοποιεί η

οικογένειά σου σε μία μέρα;

Τηλεφώνησε στην τοπική σου εταιρία νερού ή στο δημαρχείο για να βρεις το κόστος

του νερού/γαλόνι στη πόλη σου.


1. Αν μία βρύση στάζει μία φορά κάθε 2 δευτερόλεπτα, πόσο νερό θα χανόταν σε ένα

χρόνο; Θα μπορούσες να κολυμπήσεις μέσα σε αυτό;

(Απάντηση: Με 20 γαλόνια τη βδομάδα, περίπου 1040 γαλόνια. Μία μικρή πισίνα

περιέχει περίπου 8000 γαλόνια νερό. Άρα με αυτή την ποσότητα δε θα μπορούσες

να κολυμπήσεις).

2. Υπάρχουν περίπου 250.000 νοικοκυριά στη Ελλάδα . Αν το 1/5 των σπιτιών έχει μία

βρύση που στάζει 1 φορά κάθε 2 δευτερόλεπτα πόσο νερό ξοδεύεται από τις βρύσες

που στάζουν κάθε χρόνο;

(Απάντηση: Περίπου 21.011.744.000 γαλόνια).

3. Ποιο είναι πιο ακριβό, το αέριο με τιμή 1,56 ευρώ ανά γαλόνι ή 0,42 ευρώ ανά

λίτρο;

(Απάντηση: Η τιμή ανά λίτρο είναι ακριβότερη).


Τι μπορείς να κάνεις για να αποθηκεύσεις το νερό στο σπίτι;

Από πού παίρνει η πόλη σου νερό; Είναι ανανεώσιμη πηγή;

Τι συμβαίνει με το νερό που πηγαίνει στην αποχέτευση;

Πόσο νερό χρειάζεται για να πλύνεις ένα αυτοκίνητο;


51

Περίπου το 74% της επιφάνειας της γης καλύπτεται από νερό. Ωστόσο μόνο το 3%

από αυτό είναι πόσιμο νερό. Από αυτό μόνο το 1% περίπου περιέχεται στις λίμνες

και στα ποτάμια.

Αν το 1/5 των νοικοκυριών είχε μία βρύση που στάζει για ένα χρόνο, αυτό

ισοδυναμεί με περίπου 4 ώρες υδατόπτωσης στους καταρράχτες του Νιαγάρα.

Ένα σύννεφο έχει 113 σταγόνες περίπου ανά τετραγ/δευτερ. Μία συνηθισμένη

βροχή έχει περίπου 46, ενώ ένα ψιχάλισμα, περίπου 14.

Η πόλη του Λος Άντζελες, προσφέρει στους κατοίκους της δωρεάν τουαλέτες με

χαμηλής πίεσης καζανάκια, για να τους βοηθήσουν στην αποθήκευση του νερού και

στην εξοικονόμηση χρημάτων. Οι τουαλέτες καταναλώνουν μόνο 1,6 γαλόνια ή 6,4

λίτρα, ανά πάτημα.

Σε μερικές αγροτικές περιοχές, οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το νερό από πηγάδια. Σε

άλλες το νερό μεταφέρεται σε μία κεντρική δεξαμενή για διανομή.

52

13. Πως μπορείς να διπλώσεις ένα φάκελο χαρτιού για να κάνεις ένα νέο φάκελο;

Υπολόγισε αυτό! Υπέθεσε ότι θέλεις να κάνεις ένα φάκελο επιχειρηματικού μεγέθους, από

ένα φύλλο χαρτιού με όσο το δυνατό λιγότερο χαρτί. Τι σχήμα θα χρησιμοποιούσες για το

σχέδιο;

Υπόδειξη: Ξεδίπλωσε ένα επιχειρηματικό φάκελο, κατά μήκος των ραφών του και εξέτασε

τον τρόπο κατασκευής του.

Απάντηση.

Μία κοινή πατέντα για ένα φάκελο δείχνεται παρακάτω, αλλά χρησιμοποιούνται και άλλα

σχήματα:


Ξεδίπλωσε ένα φάκελο να δεις την κατασκευή του. Με ποιο τρόπο διπλώνεται.

Αν θέλεις να κάνεις πολλούς φακέλους με αυτό τον τρόπο που είναι αυτός

κατασκευασμένος, σε ένα μεγάλο φύλλο χαρτιού, θα συνέφερε αυτό το σχέδιο;

Μήπως ένα διαφορετικό σχήμα θα μείωνε τη σπατάλη χαρτιού;


Για να καλύψεις ένα φύλλο χαρτιού με πολλά αντίγραφα από το ίδιο σχέδιο, ώστε να μην

υπάρχουν τρύπες, τα αντίγραφα πρέπει να είναι ενωμένα, να ταιριάζουν. Ένας ρόμβος με 4

πλευρές ίσου μήκους, όπως φαίνεται παρακάτω, θα έκανε αυτό;

53

Για να κολλήσουν ένα φάκελο, πολλοί κατασκευαστές, κόβουν λίγο τις άκρες κάθε

πατέντας, όπως φαίνεται στο σχέδιο. Η πατέντα τότε αναδιπλώνεται στις κατευθύνσεις που

δείχνονται με τα βέλη:

Χρησιμοποιούνται και άλλες πατέντες, όπως αυτή που φαίνεται παρακάτω, αλλά αυτές

ίσως σπαταλήσουν λίγο περισσότερο χαρτί:

Δοκίμασε αυτό

Βρες φακέλους με διαφορετικά μεγέθη και ξεδίπλωσέ, τους κοιτάζοντας τον τρόπο

κατασκευής τους. Μπορούν αυτές οι πατέντες να γίνουν σε ένα μεγάλο φύλλο

χαρτιού με όσο το δυνατό λιγότερη σπατάλη χαρτιού;

Σχεδίασε μία πατέντα που να διπλώνεται σε ένα τετράγωνο φάκελο.

Βρες άλλους τύπους πακέτων, όπως χάρτινες σακούλες, ή κουτιά και σκέψου πως το

σχέδιο του καθενός ελαχιστοποιεί τη σπατάλη υλικών, δίνει αντοχή στη συσκευασία

και κάνει την παραγωγή πιο εύκολη.


1. Μπορεί κάποιο πολύγωνο με 4 πλευρές να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει μία

επίπεδη επιφάνεια χωρίς να αφήσει κενά;

(Απάντηση: Ναι).

2. Τι σχήμα έχει το χαρτόνι που βρίσκεται στο εσωτερικό ενός ρολού τουαλέτας;

(Απάντηση: Παραλληλόγραμμο).


54

Τι σχήμα μπισκότων θα κάλυπτε τελείως μία επίπεδη επιφάνεια, χωρίς να αφήσει

καθόλου κενά;

Ποια σχήματα σου επιτρέπουν να φτιάξεις κουλούρια, εξοικονομώντας όσο το

δυνατό περισσότερο ζύμη;


Στην Αμερική υπάρχει ένα μουσείο, που περιέχει όλες τις μηχανές που φτιάχνουν

φακέλους, από τον πρώτο μέχρι και τον τελευταίο σήμερα.

Οι πέτρες που βάζουμε στον εξωτερικό χώρο του σπιτιού μας, καθώς επίσης και τα

πλακάκια είναι σχεδιασμένα έτσι ώστε, να καλύπτουν πλήρως μία επίπεδη

επιφάνεια, χωρίς να αφήνουν κενά.

55

14. Μπορείς να ζωγραφίσεις μια εικόνα των αστεριών μιας αμερικάνικης σημαίας;

Υπολόγισε αυτό! Η αμερικάνικη σημαία έχει 50 αστέρια , ένα για κάθε πολιτεία. Δύο

σειρές είναι διαφορετικού μήκους. Κάθε σειρά έχει ένα ή περισσότερο ή ένα λιγότερο

αστέρι από την σειρά δίπλα σε αυτήν. Χρησιμοποίησε αυτά τα στοιχεία για να βρεις πως τα

αστέρια είναι τοποθετημένα.

Υπόδειξη: Επέλεξε έναν αριθμό αστεριών για μια σειρά . μετά χρησιμοποίησε την

πληροφορία που σου δόθηκε για να ελένξεις μερικές πιθανές πατέντες.

Τα μαθηματικά έχουν καθοριστεί σαν την μελέτη πατέντων. Οι βιολόγοι, οι γεωλόγοι, οι

αρχιτέκτονες, οι σχεδιαστές και οι επιστήμονες των κομπιούτερ όλοι χρησιμοποιούν

υποδείγματα στις εργασίες τους.

Απάντηση:

Χρησιμοποιώντας τα στοιχεία υπάρχουν 6 πιθανές τοποθετήσεις. Η πραγματική σειρά των

Η.Π.Α. έχει 9 σειρές από αστέρια , 4 σειρές από 5 αστέρια και 5 σειρές από 6 αστέρια.


Μελετώντας τα στοιχεία γνωρίζεις πως αν υπάρχουν δύο αστέρια στη πρώτη σειρά, μια

πιθανότητα είναι πως υπάρχουν 3 αστέρια στην επόμενη σειρά , 2 αστέρια στην επόμενη

σειρά κ.ο.κ. Το υπόδειγμα αυτό θα μπορούσε να είναι έτσι :2+3+2+3+… Χρησιμοποιώντας

αυτό το υπόδειγμα είναι δυνατό να φτάσεις σε ένα σύνολο 50 αστεριών; Με το 3+4+3+4+…;


Ένας τρόπος για να πλησιάσεις αυτό το πρόβλημα είναι να τσεκάρεις όλα τα πιθανά

υποδείγματα. Γνωρίζοντας ότι τα νούμερα των αστεριών στις εναλλασσόμενες

σειρές διαφέρουν κατά ένα, καθόρισε ποια υποδείγματα επιτρέπουν μια κατάταξη

από 50 αστέρια. Για τις σειρές 2 και 3 αστεριών, θα μπορούσες να έχεις:

2+3+2+3+…..+2+3=50. δέκα σειρές από 2 αστέρια και 10 σειρές από 3 αστέρια

ισοδυναμούν με 50 αστέρια. Με σειρές 3 αστεριών και 4 αστεριών, έχεις :

3+4+3+4+…3+4=48. το πιο κοντινό νούμερο που μπορείς να πάρεις κοντά στο 50

56

είναι το 49 και 49 συν άλλα μια σειρά 3 ή 4 αστεριών δεν θα κάνει 50 αστέρια. Έτσι

οι σειρές με 3 και 4 αστέρια δεν θα έχουν αποτέλεσμα. Συνεχίζοντας να τεστάρεις

πιθανότητες με αυτόν τον τρόπο, θα βρεις πως υπάρχουν 6 λύσεις που ικανοποιούν

τα στοιχεία που δίνονται στο πρόβλημα. Η πραγματική αμερικάνικη σημαία έχει 4

σειρές από 5 αστέρια και 5 σειρές από 6 αστέρια.

Αριθμός

αστεριών

σε 1 σειρά

Αριθμός

σειρών

Αριθμός

αστεριών σε

επόμενη σειρά

Αριθμός

σειρών

Σύνολο

αριθμών

αστεριών

1 16 2 17 1x16+2x17=50

2 10 3 10 2x10+3x10=50

4 5 5 6 4x5+5x6=50

5 4 6 5 5x4+6x5=50

12 2 13 2 12x2+13x2=50

16 1 17 2 16x1+17x2=50

Ένας άλλος τρόπος να σκεφτείς αυτό το πρόβλημα είναι να σκεφτείς τα σύνολα από

τα ζευγάρια με τα νούμερα στα οποία ένας αριθμός είναι 1 παραπάνω από τον

άλλο. Χρησιμοποιώντας το 2 και το 3 για παράδειγμα, το σύνολο είναι 5. αφότου 10

ζεύγη των 5 κάνουν 50, θα μπορούσε να είναι 10 σειρές από 2 αστέρια και 10 σειρές

από 3 αστέρια. Χρησιμοποιώντας το 3 και το 4 το σύνολο είναι 7. εφτά ζεύγη των

εφτά κάνουν 49 και ούτε το 3 και το 4 μπορεί να προστεθεί στο 49 για να κάνει 50.

έτσι οι σειρές με το 3 και το 4 δεν θα έχουν αποτέλεσμα. Αυτήν η διαδικασία μπορεί

να συνεχιστεί για να βρούμε τις υπόλοιπες πιθανές λύσεις.

Δοκίμασε αυτό !

Πώς θα έκανες κατάταξη των αστεριών εάν οι Η.Π.Α. είχαν 51 πολιτείες;

Κοίταξε σημαίες διαφορετικών χωρών σε ένα λεξικό, σε έναν άτλα ή στο Internet.

Ποια υποδείγματα μπορείς να βρεις;

Ζωγράφισε μια από τις πιθανές σημαίες του προβλήματος. Ποια σου αρέσει

περισσότερο;

57

Επιπρόσθετες Προκλήσεις.

1. Πως θα μπορούσες να κατατάξεις τα 50 αστέρια σε 5 σειρές έτσι ώστε κάθε σειρά να

έχει ένα περισσότερο αστέρι από την προηγούμενη σειρά;

(Απάντηση: Τα αστέρια μπορούν να μπουν σε σειρές με 8, 9, 10, 11 και 12 αστέρια).

2. Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός που όταν θα τον διαιρέσεις με το 2 , το

υπόλοιπο να είναι 1; Όταν τον διαιρέσεις με το 3 το υπόλοιπο να είναι 2; Όταν τον

διαιρέσεις με το 4 το υπόλοιπο να είναι 3; Και όταν το διαιρέσεις με το 5 το υπόλοιπο

να είναι 4;

(Απάντηση: 5, 12, 13).

3. Ένας διευθυντής μιας μπάντας βρήκε πως αν τα μέλη της μπάντας κατατάσσονται σε

2 την μία φορά, 3,4,5 ή ακόμη και 6 την μία φορά, πάντα θα περίσσευε ένα άτομο.

Ωστόσο, αν κατατάσσονταν 7 την φορά κανείς δεν θα περίσσευε. Εάν υπήρχαν

λιγότερο από 500 μαθητές στην μπάντα, πόσο μεγάλη ήταν η μπάντα;

(Απάντηση: Όχι).

Πράγματα για να σκεφτείς:

Υπάρχουν μερικές βασικές πατέντες στις σημαίες που επαναλαμβάνονταν ξανά και

ξανά;

Ποιος αποφασίζει πως θα μοιάζει κάθε σημαία;

Η αυθεντική σημαία των Η.Π.Α. είχε 13 αστέρια καταταγμένα σε έναν κύκλο μαζί με

13 ρίγες το 1795.όταν το Κεντάκι και το Βερμόντ προστέθηκαν στις αυθεντικές 13

πολιτείες των Η.Π.Α. η σημαία είχε 15 αστέρια και 15 ρίγες. Όταν περισσότερες

πολιτείες προστέθηκαν, ωστόσο οι σχεδιαστές γύρισαν στις 13 ρίγες. Γιατί νομίζεις

πως συνέβη αυτό;


Ενώ έκανε την πατέντα για την πρώτη αμερικάνικη σημαία, ο Betsy Ross είχε την

δυνατότητα να δημιουργήσει ένα 5- σημείων αστέρι από ‘ένα μοναδικό φύλλο

χαρτιού με ένα κόψιμο.

Η 14 Ιουνίου είναι η Ημέρα της σημαίας , γιορτάζοντας την υιοθέτηση της

αμερικανικής σημαίας από το Κογκρέσο το 1777.

58

Η πρώτη αμερικάνικη σημαία είχε 13 αστέρια, ενώ η δεύτερη είχε 15. αφότου και οι

άλλες πολιτείες μπήκαν στην ένωση, καμία αμερικάνικη σημαία δεν είχε

14,16,17,18,19,22,39,40,41,42 ή 47 αστέρια.

Οι καινούργιες αμερικανικές σημαίες μπορούν να συστηθούν μόνο στις 4 Ιουλίου.

Η «σημαία των αστεριών» που περιγράφεται στον εθνικό ύμνο των Η.Π.Α είναι η

σημαία με τα 15 αστέρια και τις 15 ρίγες.

Η σημαία της Χαβάης είναι η μοναδική σημαία που περιλαμβάνει την σημαία ξένης

χώρας.

Δεν είναι όλες οι σημαίες των κρατών ορθογώνιες.

59

15. Πως μπορώ να καλύψω ένα πάτωμα; Μέτρησε τους τρόπους.

Υπολόγισε αυτό! Στην Ιαπωνία, χρησιμοποιούν χαλιά (που ονομάζονται Tatami), για να

καλύψουν όλο το πάτωμα του σπιτιού τους, σε όλα τα δωμάτια. Τα πατώματα καλύπτονται

πλήρως από αυτά τα χαλάκια τα οποία είναι περίπου 3x6 μέτρα. Με πόσους διαφορετικούς

τρόπους μπορούν να ταξινομηθούν τα χαλάκια για να καλύψουν ένα πάτωμα 6x15 μέτρα;

Υπόδειξη: Δημιούργησε κάποιες ταξινομήσεις από αυτά τα χαλάκια, οι οποίες θα κάλυπταν

το πάτωμα.

Οι ταξινομήσεις σχημάτων επηρεάζουν τον χώρο που ζούμε, τον αποθηκευτικό χώρο, τις

διαφημίσεις, και το φυσικό περιβάλλον. Η μελέτη ων σχημάτων είναι σημαντική για τους

αρχιτέκτονες, τους τοποθετητές σωλήνων, τους εργάτες κατασκευών και τους βιολόγους.

Απάντηση:

Υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι , ο καθένας χρησιμοποιεί 5 χαλάκια.


Πόσα χαλάκια χρειάζονται για να καλύψεις το πάτωμα αν όλα κατατάσσονται με τον ίδιο

τρόπο;

Ποιες είναι οι διαστάσεις μιας περιοχής που καλύπτεται από 2 χαλάκια;

Πως επηρεάζει αυτό την τοποθέτηση τους;

Ολοκληρωμένη Λύση:

Οι οχτώ πιθανές κατατάξεις δείχνονται παρακάτω:

60


Η αναλογία από τα μήκη των πλευρών από ένα τέτοιο χαλάκι είναι 2 προς 1. Τα

ντόμινο έχουν την ίδια αναλογία. Χρησιμοποίησε ντόμινο για να κάνεις

διαφορετικές πατέντες για μεγέθη δωματίων.

Ψάξε για τα χαλάκια αυτά και την χρήση τους στην γιαπωνέζικη κουλτούρα σε μια

εγκυκλοπαίδεια ή στο δίκτυο.

Σε μια εγκυκλοπαίδεια ή στο δίκτυο , ψάξε για τις μέλισσες και για το πώς χτίζονται

οι κυψέλες τους.


61

1. α. Φτιάξε ένα πίνακα όπως παρακάτω για να δεις με πόσους τρόπους μπορείς να

χρησιμοποιήσεις τα χαλάκια Tatami για να καλύψεις το πάτωμα δωματίων με τις

ακόλουθες διαστάσεις :

Μέγεθος

δωματίου

6x3 6x6 6x9 6x12 6x15 6x18 6x21 6x24

Αριθμός

τρόπων

β. Περιέγραψε την σειρά που βρήκες στο α μέρος.

(Απάντηση: α. Μία πιθανή απάντηση φαίνεται εδώ:

Μέγεθος

δωματίου

6x3 6x6 6x9 6x12 6x15 6x18 6x21 6x24

Αριθμός

τρόπων

1 2 3 5 8 13 21 34

β: Κάθε αριθμός μετά από

2. Οι γιαπωνέζοι κατασκευαστές σπιτιών δεν συμπαθούν τις πατέντες όπου 4 γωνίες

συναντιούνται ,πιστεύοντας πως αυτό είναι δείγμα κακής τύχης. Πόσες από τις

ταξινομήσεις που βρήκες στην Πρόκληση έχουν μέρη όπου 4 γωνίες συναντιούνται;

3. Όταν οι χτίστες κατασκευάζουν σπίτια από τούβλα, προσπαθούν να αποφύγουν

τα «λάθη των γραμμών» τις ραφές που καθορίζουν το ύψος ή το μήκος ενός τοίχου.

Για παράδειγμα, η ταξινόμηση τούβλων που δείχνεται παρακάτω είναι ένα κάθετο

λάθος γραμμής (ακολουθεί σχέδιο). Βρες ένα πιθανό σχέδιο χωρίς λάθη

χρησιμοποιώντας παραπάνω από ένα τούβλο. Με άλλα λόγια, βρες ένα ορθογώνιο

που δεν έχει λάθη στις γραμμές, ούτε κάθετες ούτε οριζόντιες.


Στην Ιαπωνία το μέγεθος ενός δωματίου συχνά περιγράφεται με τους όρους από τα

χαλάκια Tatami- για παράδειγμα, ένα δωμάτιο με 4 χαλάκια ή ένα δωμάτιο με 6

χαλάκια. Ποιες είναι μερικές πιθανές Διαστάσεις για ένα δωμάτιο με 10 χαλάκια;

62

Γιατί νομίζεις ότι το μέγεθος από τα χαλάκια Tatami έχει βοηθήσει στον καθορισμό

στάνταρ για το μέγεθος ενός δωματίου στην Ιαπωνία;

Για τι οι χτίστες προσπαθούν να αποφύγουν λάθη στις γραμμές;


Ένα χαλάκια αποτελείται από ένα λεπτό στρώμα από λεπτά υφασμένα βούρλα, στην

κορυφή από ένα πιο ακατέργαστο χαλί με σκοινιά από άχυρα. Το πάνω χαλάκι

ράβετε στο πιο χαμηλό με σπάγκο. Το χαλάκι είναι στέρεο, συμπαγές αλλά όχι

σκληρό.

Στις Η.Π.Α οι διαστάσεις χτισίματος, συχνά δείχνονται από το μέγεθος ενός

σταθερού φύλλου κόντρα πλακέ: 4*5 πόδια.

Η σειρά στην επιπρόσθετη πρόκληση 1. β είναι μια σειρά Fiboracci. Το Fiboracci ήταν

το παρατσούκλι για τον ιταλό μαθηματικό Leonardo of Pisa. Στο βιβλίο του Liber

abaci, που εκδόθηκε το 1202, ο Fiboracci περιέγραψε το ακόλουθο πρόβλημα: πόσα

ζευγάρια από κουνέλια μπορούν να παραχθούν από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο , αν

κάθε μήνα το κάθε ζευγάρι γεννά ένα καινούργιο ζευγάρι, το οποίο από το δεύτερο

μήνα και μετά γίνεται παραγωγικό;

63

16. Είναι η μύτη του αγάλματος της Ελευθερίας τόσο μακριά;

Υπολόγισε αυτό! Το χέρι του αγάλματος της Ελευθερίας έχει μήκος 13 μέτρα. Πόσο μήκος

έχει η μύτη της;

Υπόδειξη: Ποιο είναι το μήκος της δικής σου μύτης;

Ποιο είναι το μήκος του χεριού σου;

Η κλίμακα είναι απαραίτητη γι το σχεδιασμό των κτιρίων. Οι αρχιτέκτονες, οι σχεδιαστές

ρούχων, οι κατασκευαστές παιχνιδιών και οι δημόσιοι τεχνικοί χρησιμοποιούν την κλίμακα

της εργασίας τους.

Απάντηση:

Το πραγματικό μήκος της μύτης της είναι περίπου 1,65 μέτρα.


Μέτρα τα μήκη από τη μύτη και το χέρι σου στην ίδια μονάδα.

Πόσες φορές περίπου είναι μακρύτερο το χέρι από την μύτη σου;

Τι σου λέει αυτό για τις διαστάσεις του αγάλματος της Ελευθερίας;


Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να σκεφτείς αυτό το πρόβλημα. Ένας τρόπος είναι να

υποθέσεις ότι περίπου η ίδια σχέση υπάρχει μεταξύ των δικών σου διαστάσεων και

εκείνων του αγάλματος της Ελευθερίας. Αν η μύτη σου είναι 3εκατ. μακριά και το

μήκος του χεριού είναι 24εκατ. μακρύ, τότε το μήκος της μύτης σου είναι 3/24 ή 1/8

64

του μήκους του χεριού σου. Αν η μύτη σου είναι το 1/8 του χεριού σου, τότε η μύτη

του αγάλματος της Ελευθερίας ίσως είναι το 1/8 του μήκους του χεριού της. Γενικά

το μήκος της μύτης της θα είναι:

Μήκος της μύτης σου. Μήκος του χεριού του

Μήκος του χεριού σου. Αγάλματος της Ελευθερίας.

Άλλη προσέγγιση είναι να υποθέσεις πως το άγαλμα της ελευθερίας είναι ίδιο σε

κλίμακα με έναν μέσο άνθρωπο. Σε αυτήν την περίπτωση , τα μήκη των αντίστοιχων

μελών του σώματος θα έχουν την ίδια αναλογία, (Για να εκτιμήσεις τα μήκη ενός

μέσου ανθρώπου πάρε μια ομάδα ανθρώπων, μέτρα τους και βρες τους τα μέσου

όρου μέτρα. Οι απαντήσεις θα ποικίλουν εξαρτώμενες στα λάθη των μετρήσεων και

με αυτό που χρησιμοποιείται σαν μέσο όρο). Χρησιμοποιώντας αυτήν την μέθοδο, η

σχέση θα είναι:

Μήκος της μύτης του αγάλματος της

Ελευθερίας.

Μήκος μια τυπικής μύτης

=

Μήκος του χεριού του αγάλματος της


Μήκος ενός τυπικού χεριού

Για παράδειγμα:

Μήκος της μύτης του αγάλματος της


= 13

3 24

Μήκος της μύτης του αγάλματος της Ελευθερίας = 3 (13/24), ή 1,65 μέτρα.

65


Μέτρα τα μήκη από την μύτη και το χέρι ενός φίλου σου. Βρες την αναλογία αυτών

των μέτρων. Πως συγκρίνεται αυτή η αναλογία με τις δικές σου;

Μέτρα το μήκος, το πλάτος, και το ύψος μιας μινιατούρας αυτοκινήτου και ενός ίδιο

μοντέλου, αληθινού αυτοκίνητου. Φαίνεται το αυτοκίνητο μινιατούρα να είναι

μοντέλο κλίμακας;

Μπορείς να χρησιμοποιήσεις την ομοιότητα και την κλίμακα για να μεγεθύνεις μια

εικόνα. Διάλεξε ένα απλό καρτούν. Ζωγράφισε ένα τετράγωνο γύρο του., μετά

χρησιμοποίησε οριζόντιες και κάθετες γραμμές για να χωρίσεις το τετράγωνο σε 16

μικρότερα τετράγωνα, όπως φαίνεται στο πρώτο διάγραμμα. Τώρα ζωγράφισε ένα

μεγαλύτερο τετράγωνο, που επίσης θα χωρίσεις σε 16 μικρότερα κομμάτια. Σε κάθε

κελί στο μεγαλύτερο τετράγωνο, ζωγράφισε το αντίστοιχο κομμάτι της φιγούρας του

καρτούν:

Για παράδειγμα, στο μεγάλο πλέγμα, το κελί Β1 είναι η αναπαραγωγή του κελιού Β1

του μικρότερου πλέγματος. Δοκίμασε αυτή την μέθοδο για να μεγεθύνεις ένα

καρτούν.


Το μέσο ύψος ενός Λιλιπούτειου (από τα ταξίδια του Γκιούλιβερ του Jonathan Swift)

είναι περίπου 15 εκατοστά. Ποια είναι η αναλογία ανάμεσα στο δικό σου ύψος και

το ύψος ενός Λιλιπούτειου;

(Απάντηση: Αυτό εξαρτάτε από το δικό σου ύψος. Αν για παράδειγμα το ύψος σου

είναι 1,5 μέτρα, τότε η αναλογία θα είναι 1,5:10).


66

Αν ένα μπλουζάκι μαζέψει στο πλύσιμο , αρχικά πριν πλυθεί, ήταν μοντέλο κλίμακας

του αρχικού σχεδίου;

Είναι οι μεγεθύνσεις των εικόνων πάντα μοντέλα κλίμακας των αρχικών εικόνων;

Οι αρχιτέκτονες χρησιμοποιούν αναλογίες κλίμακας για να καθορίσουν το βάρος

των φορτίων και τη δομική δύναμη.

Τα διαφορετικά μεγέθη κουτιών των ίδιων δημητριακών έχουν τις ίδιες αναλογίες

μήκους προς πλάτους;


Οι ταινίες «Αγάπη μου συρρίκνωσα τα παιδιά « και «Αγάπη μου συρρικνωθήκαμε»

εμπεριέχουν μοντέλα κλίμακας για να κάνουν τους ανθρώπους να φαίνονται

μικρότερα.

Μερικοί χάρτες είναι μοντέλα κλίμακας των πραγματικών περιοχών.

Το 2000 το Εθνικό Κατασκευαστικό Μουσείο περιείχε ένα μοντέλο κλίμακας του

Λευκού Οίκου.

Μερικές φορές οι άνθρωποι ποζάρουν σε μεγάλα έπιπλα για να φαίνονται

μικρότερα.

Η σχέση : α/β= γ/δ, όπου κανένα από τα α,β,γ, ή δ δεν είναι Ο, μπορεί επίσης να

γραφεί με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: α/γ=β/δ, δ/β=γ/α, β/α= δ/γ.

Το άγαλμα της Ελευθερίας αρχικά ονομαζόταν Η Ελευθερία διαφωτίζει τον κόσμο.

Ολοκληρώθηκε στο Παρίσι το 1884, και ύστερα μεταφέρθηκε με πλοίο στην Νέα

Υόρκη.

67

17. Πότε πρέπει να αγοράσεις ένα μεγάλο κομμάτι πάγου ή τριμμένο πάγο;

Υπολόγισε αυτό! Πιο λιώνει πιο γρήγορα, ένα μεγάλο κομμάτι πάγου ή το ίδιο κομμάτι

κομμένο σε τρεις κύβους;

Υπόδειξη : Σύγκρινε τις περιοχές.

Η περιοχή την επιφάνειας είναι κρίσιμος παράγοντας στη θέρμανση και στην ψύξη. Οι

αρχιτέκτονες, οι διακοσμητές εσωτερικού χώρου, οι χημικοί και οι τεχνικοί του

περιβάλλοντος χρησιμοποιούν το εμβαδόν της επιφάνειας και την πίεση, στις εργασίες

τους.

Απάντηση:

Οι τρεις κύβοι θα λιώσουν γρηγορότερα.


Η ζέστη μπαίνει σε ένα αντικείμενο, μέσα από την εκτεθειμένη επιφάνεια . Όσο πιο πολύ η

περιοχή εκτίθεται , τόσο γρηγορότερα λιώνει. Ο πάγος θα λιώσει πιο γρήγορα αν η περιοχή

του που εκτίθεται είναι μεγαλύτερη. Σύγκρινε την επιφάνια της περιοχής των κύβων και του

κομματιού.

68

Ολοκληρωμένη Λύση.

Υπέθεσε πως το ύψος του κάθε μικρού κύβου, είναι 3 εκατ. ψηλός. Η περιοχή της μιας όψης

του κύβου είναι το μήκος επί το πλάτος: 3*3=9 τετρ. μέτρα.

3

3

3

9

Σε κάθε κύβο υπάρχουν 6 όψεις η καθεμία με περιοχή 3 εκατ. Η συνολική περιοχή για κάθε

έναν από τους κύβους είναι 18 τετρ. μέτρα. Η περιοχή της επιφάνειας των κύβων είναι

3*18, ή 54 τετρ. μέτρα. Το μεγάλο κομμάτι πάγου έχει 4 όψεις, η καθεμία με περιοχή 3*3

για ένα σύνολο 36 τετρ. μέτρων. Το κομμάτι έχει 2 όψεις με την επιφάνεια περιοχής 3*3 για

ένα σύνολο 18 τετρ. μέτρα. Έτσι η επιφάνεια περιοχής του κομματιού του πάγου είναι 36+2

ή 38 τετρ. μέτρα. Οι 3 κύβοι θα λιώσουν πιο εύκολα αφού η επιφάνεια των 54 τετρ. μέτρων

είναι εκτεθειμένη, ενώ το κομμάτι πάγου έχει μόνο 38 τετρ. μέτρα εκτεθειμένα. Σκέψου τι

θα συμβεί όταν κόψεις το κομμάτι σε κύβους. Υπάρχει περισσότερη εκτεθειμένη επιφάνεια,

έτσι, οι κύβοι θα λιώσουν γρηγορότερα.


Ζήτα από έναν ενήλικα 2 αναβράζοντα παυσίπονα και 2 ποτήρια νερό. Προσεκτικά κόψτε

μια από τις δυο ταμπλέτες σε 4 κομμάτια. Ποια ταμπλέτα νομίζεις πως θα διαλυθεί

γρηγορότερα; Η ολόκληρη ή αυτή που είναι κομμένη σε κομμάτια; Βάλε τη μία ταμπλέτα

στο ένα ποτήρι και το 4 κομματάκια της άλλης, στο άλλο, για να συγκρίνεις την πρόβλεψή

σου.

69

Επιπρόσθετες Προκλήσεις

1. Άφησε 2 όμοια μπουκάλια με κρύο νερό στον ήλιο. Το ένα μπουκάλι να περιέχει 1

λίτρο νερό και το άλλο 2 λίτρα νερό. Μετά από 15 λεπτά, ποιο θα είναι πιο κρύο;

(Απάντηση: το μπουκάλι που περιέχει 2 λίτρα νερό).

2. Βρες την επιφάνεια περιοχής αυτού του κουτιού (οι αριθμοί δίνονται σε εκατοστά):

(Απάντηση: 112 τετραγωνικά μέτρα).

3. Όλα τα κιβώτια με το ίδιο εμβαδόν, έχουν και τον ίδιο όγκο;

(Απάντηση: Όχι).

4. ‘Όλα τα κουτιά με τον ίδιο όγκο, έχουν και το ίδιο εμβαδόν;

(Απάντηση: Όχι)


Ο πιο γρήγορος τρόπος για να λιώσουν τα παγάκια, είναι να τα κάνει σε σφαιρική

μορφή.

Το εμβαδόν μιας περιοχής, επηρεάζει τους αρχιτέκτονες στο σχεδιασμό κτιρίων;

Γιατί μερικά χάπια πρέπει να λιώνονται πριν δοθούν στον ασθενή;

Όταν οι άνθρωποι πέφτουν σε κρύο νερό, ο κίνδυνος της υποθερμίας (επικίνδυνη

πτώση της θερμοκρασίας του σώματος) είναι μεγαλύτερος. Αν είσαι μόνος και φοράς

σωσίβιο, πάρε θέση μείωσης θερμοκρασίας. Κράτησε τα χέρια σου κοντά στις πλευρές

του στήθους σου, σταύρωσε τα πόδια σου και τράβα τα όσο πιο μακριά μπορείς.

Αν είσαι στο νερό με 2 ή περισσότερους ανθρώπους, πάρε την θέση αγκαλιάς που

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Μείνετε μαζί και ακίνητα για να κρατάτε το κρατάτε

το κρύο νερό έξω. Η αγκαλιά μπορεί να βοηθήσει τα μικρά παιδιά να επιζήσουν

πιο πολύ.

70

Ένα σκόρδο έχει περισσότερη γεύση ολόκληρο ή κομμένο;


Ο κορμός του φυτού, κάκτου, είναι χοντρός και στρογγυλός, για να ελαχιστοποιείτε

το εμβαδόν και να αποθηκεύει περισσότερο νερό. Τα περισσότερα είδη κάκτου δεν

έχουν φύλλα, αφού τα φύλλα τους, θα επέτρεπαν μεγάλη εξάτμιση, του νερού που

αποθηκεύουν, από τον ξηρό αέρα της ερήμου.

Το νερό είναι μια από τις πιο παράξενες ουσίες του κόσμου. Τα περισσότερα υγρά

συρρικνώνονται όταν παγώνουν, αλλά το νερό διαστέλλεται και γίνεται λιγότερο

πυκνό σαν στερεό παρά σαν υγρό. Γι’ αυτό ο πάγος επιπλέει στο νερό.

Ο χρόνος που χρειάζεται για να διατηρήσεις κάτι, κρύο, εξαρτάται, από την

ποσότητα του πάγου που θα χρησιμοποιήσεις.

71

18. Γιατί οι διάδρομοι προσγείωσης και απογείωσης των αεροπλάνων στα αεροδρόμια,

είναι αριθμημένοι;

Υπολόγισε αυτό! Οι διάδρομοι προσγείωσης απογείωσης στα αεροδρόμια αριθμούνται και

στις δύο άκρες. Ο πιλότος βλέπει τα σημάδια όταν το αεροπλάνο προσγειώνεται. Ποιος

είναι ο αριθμός του διαδρόμου που λείπει;

Υπόδειξη :Βάλε ένα μηδέν μετά από κάθε αριθμό του αεροδιαδρόμου. Μετά σκέψου με

βαθμούς. Το μέγεθος μιας γωνίας, κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής του διαδρόμου, είναι

180ο .

Η γνώση της τοποθεσίας και της διεύθυνσης, είναι απαραίτητη στους ναυτικούς. Οι

πιλότοι αεροπλάνων και πλοίων , οι ερευνητές, οι εξερευνητές και οι πρόσκοποι

χρησιμοποιούν πυξίδες για να βρουν τις κατευθύνσεις.

Απάντηση: 21


Μια διεύθυνση των 10ο, σημαίνει πως ταξιδεύεις σε μια κατεύθυνση των 10ο με τη φορά

του ρολογιού από προς βορρά. Ο αριθμός σε ένα αντίστοιχο διάδρομο θα ήταν 1. Ποια

διεύθυνση αντιστοιχεί σε έναν διάδρομο με το νούμερο 19;


Οι αριθμοί, που βρίσκονται, στην κάθε άκρη ενός διαδρόμου, βοηθούν τον πιλότο,

να κατευθύνει και να προσγειώσει σωστά το αεροπλάνο. Για παράδειγμα, σκέψου

72

έναν διάδρομο με άκρα που βλέπουν στον βορρά και στον νότο. Η άκρη του βορρά

έχει το νούμερο 18. Βάζοντας ένα 0 μετά το 18 βρίσκουμε τις μοίρες 180ο. Αυτό μας

δείχνει ότι το αεροπλάνο κατευθύνεται σε αυτό το διάδρομο και έχει νότια

διεύθυνση 180ο.

Στην πρόκληση, ο διάδρομος με το νούμερο που λείπει, αριθμείται με το 3 στην

αντίθετη άκρη του. Ο αριθμός 3 δείχνει μια διεύθυνση 30ο. Αφού ο κάθε διάδρομος

είναι μια ευθεία γραμμή, η διαφορά μεταξύ των διευθύνσεων και για τις 2 άκρες

του είναι πάντα 180ο. Έτσι, αν η κάθε άκρη απαιτεί μια διεύθυνση των 30ο, η άλλη,

αντιστοιχεί, σε μία διεύθυνση των 30ο+180ο ή των 210ο. Η ένδειξη του διαδρόμου

τότε θα είναι 21.


Ερεύνησε για να μάθεις πως ταξινομούνται οι διάδρομοι στα διάφορα αεροδρόμια.

Πως αριθμούνται οι διάδρομοι στο τοπικό σου αεροδρόμιο;

Αναγνώρισε ένα κτίριο ή ένα αντικείμενο που είναι βόρεια από το σπίτι σου.

Εκτίμησε τις διευθύνσεις της πυξίδας για το δρόμο που είναι πιο κοντά στο σπίτι

σου.


1. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τους διαδρόμους ενός μικρού αεροδρομίου.

Χρησιμοποίησε τις πληροφορίες που σου δίνονται για να βρεις τους αριθμούς που

λείπουν από τους διαδρόμους:

(Απάντηση: Το τέλος του ενός αεροδιαδρόμου πρέπει να είναι 26 και 8 και τα άλλα

πρέπει να είναι 35 και 17).

2. Καθόρισε τους αριθμούς που λείπουν από τους διαδρόμους του αεροδρομίου που

φαίνονται παρακάτω:

73

(Απάντηση: Η τελική γραμμή του ενός αεροδιαδρόμου πρέπει να είναι 13 και 31,

του άλλου 4 και 22. Η τελική γραμμή του βόριου – νότιου αεροδιαδρόμου, πρέπει

να είναι 18 και 36).

3. Ένα αεροπλάνο έχει μια διεύθυνση των 10ο, γυρίζει και πηγαίνει από την αντίθετη

κατεύθυνση. Ποια είναι η νέα διεύθυνση;

(Απάντηση: 190ο).


Τα περισσότερα αεροδρόμια σχεδιάζουν τους διαδρόμους τους, έτσι ώστε, τα

αεροπλάνα, να μπορούν να απογειώνονται και να προσγειώνονται με τη φορά του

ανέμου, όσο το δυνατόν περισσότερο.

Γιατί οι περισσότεροι διάδρομοι από τσιμέντο και όχι από άσφαλτο;

Πως το περιβάλλον επηρεάζει το που θα χτιστούν τα αεροδρόμια;

Τι μήκος ενός διαδρόμου απαιτείται για να προσγειωθεί ένα μικρό αεροπλάνο; Για

να προσγειωθεί ένα διαστημόπλοιο;

Γιατί οι διάδρομοι των αεροδρομίων χρησιμοποιούν το 36 αντί για το 0;


Οι διάδρομοι επίσης αριθμούνται με κάθετες γραμμές, για να δείξουν το μήκος

τους. Η κάθε κάθετη γραμμή αντιπροσωπεύει 3 χιλιόμετρα.

Το Διεθνές Αεροδρόμιο Ο’ Hare του Σικάγου, στο Ιλινόις, έχει περισσότερες από

900.000 απογειώσεις και προσγειώσεις το χρόνο.

Οι Η.Π.Α. έχουν περισσότερα από 18000 αεροδρόμια. Περισσότερα από 8000 έχουν

επιστρωμένους διαδρόμους ενώ πολλά από τα άλλα έχουν διαδρόμους με χορτάρι.

Περίπου 4900 έχουν φωτισμένους διαδρόμους.

74

19. Η Ευγενία χρειάζεται μπουφάν;

Υπολόγισε αυτό! Πριν φύγει από το ξενοδοχείο της , η Ευγενία παρατήρησε ότι η

θερμοκρασία έξω, ήταν 35ο Κελσίου. Χρειάζεται να φορέσει μπουφάν για να βγει έξω;

Υπόδειξη : Στην κλίμακα Κελσίου, το νερό παγώνει στους 0ο και βράζει στους 100ο. Στη

κλίμακα Φαρενάιτ, το νερό παγώνει στους 32ο και βράζει στους 212ο.

Οι ενδείξεις στις μετρικές μονάδες μέτρησης είναι σημαντικές στην παγκόσμια

οικονομία. Οι επιστήμονες, οι γιατροί, οι νοσοκόμες, οι οικονομολόγοι και οι αγρότες, όλοι

χρειάζονται να έχουν γνώση των διεθνών μονάδων μέτρησης.

Απάντηση:

Η Ευγενία δεν χρειάζεται σακάκι, αφού οι 35ο C είναι 95ο F.


Σχεδίασε δύο θερμόμετρα δίπλα- δίπλα. Σημείωσε στο ένα τους βαθμούς ψύξης και

βρασμού στην κλίμακα Κελσίου και το άλλο με τα ίδια σε βαθμούς Φαρενάιτ. Μετά

καθόρισε τις θερμοκρασίες στο μισό μεταξύ της ψύξης και του βρασμού σε κάθε

θερμόμετρο. Μια αλλαγή στους βαθμούς Κελσίου είναι αναλογική με την αντίστοιχη

αλλαγή σε βαθμούς Φαρενάιτ.


Στο διάγραμμα με το θερμόμετρο Κελσίου, το σημάδι στο μισό είναι 50ο και τα

σημάδια στα τέταρτα είναι 25ο,50ο και 75ο αφού υπάρχουν 100 διαιρέσεις μεταξύ

του 00 και το 100ο. Στο θερμόμετρο Φαρενάιτ υπάρχουν 180 διαιρέσεις μεταξύ των

32ο και 212ο. το ένα μισό του 180 είναι το 90 και 90+32=122, το μισό ενδιάμεσα.

Ομοίως τα σημάδια στα τέταρτα είναι 77ο, 122ο και 167ο. τα μισά και τέταρτα σημάδια

στις κλίμακες θα πρέπει να ταιριάζουν. Μια θερμοκρασία των 35ο C είναι πάνω από

77οF,έτσι η δεν θα χρειαζόταν σακάκι

75

Για να καθορίσεις την ακριβή θερμοκρασία, χρησιμοποίησε την φόρμουλα: F=

(9/5)*C+32. Όταν C=35ο,η Θερμοκρασία είναι 95ο F και η Ευγενία δεν χρειάζεται

σακάκι.


Εξέτασε εφημερίδες, περιοδικά και άλλα μέσα ενημέρωσης για να δεις πως

μετριέται η θερμοκρασία σε διαφορετικές πόλεις στον κόσμο.

Κοίτα στα ντουλάπια για να δεις ποιες μετρικές ετικέτες χρησιμοποιούνται

Οι μετρητές ταχύτητας σε πολλά αυτοκίνητα δείχνουν την ταχύτητα σε μίλια/ ώρα

και σε χιλιόμετρα ανά ώρα. Ποια θα ήταν τα τοπικά όρια ταχύτητας σε χιλιόμετρα

ανά ώρα;


1. Η Ευγενία, θα χρειαζόταν να φορέσει σακάκι, σε θερμοκρασία των 10ο C.

2. Μία φόρμουλα μετατροπής μεταξύ θερμοκρασιών Φαρενάιτ (F) και Κελσίου (C)

είναι C= 5/9 * (F-32). Ποια η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου, όταν η

θερμοκρασία, είναι 86ο F;

3. Μερικοί επιστήμονες έχουν παρατηρήσει μια σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας του

αέρα και την συχνότητα με την οποία ένα τριζόνι κελαηδά. Αν μετρήσεις τις φορές

που ένα τριζόνι κελαηδά σε 1 λεπτό, ύστερα να το διαιρέσεις με το 4 και μετά να

προσθέσεις 37, το αποτέλεσμα είναι μια καλή εκτίμηση της θερμοκρασίας σε

βαθμούς Φαρενάιτ. Αν είναι τριζόνι κελαηδά 120 φορές σε ένα λεπτό, ποια θα είναι

η θερμοκρασία;

4. Σε ποια θερμοκρασία ένα θερμόμετρο Κελσίου και ένα θερμόμετρο Φαρενάιτ θα

έδειχναν την ίδια ένδειξη;


76

Ποια είναι η κατάλληλη θερμοκρασία για να κάνεις ένα μπάνιο;

Είναι η θερμοκρασία του σώματος ενός ψαριού, ίδια με τη θερμοκρασία του νερού;

Γιατί η ονομαζόμενη «κανονική» θερμοκρασία σώματος των 36,6ο C ή 98,6ο F,

αναφέρεται με την δεκάδα της θερμοκρασίας;


Ένας εύκολος κανόνας εκτίμησης θερμοκρασίας σε Φαρενάιτ είναι να διπλασιάσεις

την θερμοκρασία σε Κελσίου και να προσθέσεις 30ο. μία άλλη απλή μέθοδος είναι

να θυμάσαι το ποίημα του Carole Greenes, από το πανεπιστήμιο της Βοστόνης: 30ο

είναι ζέστη, 20ο είναι ευχαρίστηση, 10ο δεν είναι, 0ο είναι παγωνιά.

Ένα μέτρο είναι μια «μεγάλη γιάρδα», ενώ ένα λίτρο είναι ένα «μεγάλο τέταρτο».

Ένας τόνος είναι 200 λίμπρες . Ένας μετρικός τόνος είναι 1000 κιλά. Η διαφορά είναι

200 λίμπρες ή περίπου 91 κιλά.

Το ηλιοβασίλεμα, η θερμοκρασία του φεγγαριού στον ισημερινό είναι περίπου 58ο

F. Κατά την διάρκεια της νύχτας, πέφτει στους –261ο F περίπου.

Η υψηλότερη θερμοκρασία που έχει καταγραφεί ποτέ στις Η.Π.Α ήταν 134ο F στις 10

Ιουλίου 1913, στην Κοιλάδα του Θανάτου, στην Καλιφόρνια.

Ο Γερμανός φυσικός Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) εφηύρε το θερμόμετρο

υδραργύρου το 1714. Πριν από αυτό τα θερμόμετρα περιείχαν αλκοόλ.

Ο Σουηδός Αστρονόμος Anders Celsius (1701-1744) εισήγαγε την κλίμακα του 1742.

Η κλίμακα Κελσίου έγινε μέρος του μετρικού συστήματος μέτρησης και

χρησιμοποιείται σε όλο τον κόσμο.

Ο Βρετανός μαθηματικός William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907), εισήγαγε μια

κλίμακα που αρχίζει από το απόλυτο μηδέν, τη θερμοκρασία στην οποία η κίνηση

όλων των ατόμων σταματά. Για τη σύγκριση, 0ο Κ-273,16ο C.

Οι διαφορετικές φόρμουλες που δόθηκαν παραπάνω για τις μετατροπές Φαρενάιτ

και Κελσίου είναι ισοδύναμες.

77

20. Είναι ότι βλέπεις αληθινό;

Υπολόγισε αυτό! Ποιο τραπέζι φαίνεται να έχει τη μεγαλύτερη επιφάνεια;

Υπόδειξη : Τι πρέπει να γνωρίζεις για να συγκρίνεις μεγέθη;

Ο οραματισμός είναι η ικανότητα να «βλέπεις» μια φιγούρα σε 2 ή 3 διαστάσεις. Ο

οραματισμός είναι σημαντικός για τους αρχιτέκτονες τους καλλιτέχνες και τους σχεδιαστές.

Απάντηση: Οι επιφάνειες έχουν την ίδια περιοχή


Σχεδίασε και σύγκρινε κάθε επιφάνεια.


Αν σχεδιάσεις μια επιφάνεια, θα ταιριάζει ακριβώς πάνω στην άλλη. Τα αντικείμενα

ίσως φανούν διαφορετικά επειδή οι άνθρωποι οραματίζονται τα αντικείμενα 2 και 3

διαστάσεων διαφορετικά.

Μια άλλη στρατηγική είναι να μετρήσεις και να υπολογίσεις την πραγματική

επιφάνεια της κάθε επιφάνειας του τραπεζιού. Κάνοντάς το αυτό θα φανεί ότι οι

επιφάνειες έχουν την ίδια περιοχή.


Περπάτησε γύρω από μια καρέκλα ή ένα καναπέ στο σπίτι σου και παρατήρησε ότι

κάθε τι που βλέπεις, αλλάζει καθώς κινείσαι.

78

Χρησιμοποιώντας ένα φύλλο τετραγωνισμένου χαρτιού, ζωγράφισε μερικά

γράμματα της αλφαβήτας, έτσι ώστε, να φαίνονται ότι είναι τρισδιάστατα.

Ο Γερμανός καλλιτέχνης Albecht Durer (1471-1528) δημιούργησε μια ξυλογραφία

που την ονόμασε «ο Άγιος Jerome στο κελί του». Ψάξε σε ένα βιβλίο ή στο internet,

για να βρεις, ένα αντίγραφο αυτής της ξυλογραφίας. Σε αυτήν την εγχάραξη που

έκανε, ψάξε για γραμμές που τέμνουν την εικόνα αλλά που θα ήταν παράλληλες

στην αληθινή ζωή.


1. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την όψη ενός κτιρίου από την δεξιά γωνία:

Με αυτό το σχέδιο, υπάρχει καμία από τις παρακάτω όψεις που δεν φαίνεται στο

μπροστινό μέρος του κτιρίου;

α β γ δ

(Απάντηση: όχι)

2. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τετραγώνων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για

να δημιουργηθούν οι όψεις των κατασκευών, των οποίων η μπροστινή και δεξιά

όψη, απεικονίζονται παρακάτω;

(Απάντηση: το περισσότερο 20).

79

3. Ζωγράφισε ένα κύβο. Μετά αύξησε την μια διάσταση του κύβου, για να σχεδιάσεις

ένα κουτί που έχει 3 φορές τον όγκο του κύβου.

(Απάντηση: οι απαντήσεις είναι πολλές. Μία πιθανή απάντηση φαίνεται παρακάτω):


Κόλλησε ένα μολύβι ή ένα καλαμάκι μέσα σε ένα ποτήρι νερού. Το αντικείμενο

φαίνεται σπασμένο ή λυγισμένο; Γιατί;

Γιατί το φεγγάρι φαίνεται μεγαλύτερο όταν είναι κοντά στον ορίζοντα και μικρότερο

όταν είναι ψηλότερα στον ουρανό;

Θα μπορούσε το παρακάτω τρίγωνο σχήμα να είναι χτισμένο από ξύλο;


Το είδωλο (εικόνα), που σχηματίζεται στον αμφιβληστροειδή σου, είναι επίπεδο, κι

όμως μπορείς και βλέπεις, έναν κόσμο σχημάτων χρωμάτων, βάθους και κίνηση.

Η φύση χρησιμοποιεί ψευδαισθήσεις, που επιτρέπουν σε κάποια ζώα και κυρίως,

στα έντομα να γίνουν ένα με το περιβάλλον τους, έτσι ώστε να μην είναι ευδιάκριτα.

Το είδωλο (mirage) προέρχεται από τη γαλλική λέξη mirer , (κοίτα), ή se mirer,

(αντανακλάται) . Το είδωλο, ίσως, περικλείει την εμφάνιση λιμνών στις ερήμους ή σε

ζεστούς ασφαλτοδρόμένους δρόμους, τα είδωλα πλοίων και παγόβουνων (που

συχνά βλέπονται στην ατμόσφαιρα της περιοχής των πόλεων), ή που «διαφαίνεται»

σε ομίχλες ή νέφη.

80

21. Πόσο μεγάλο ήταν το πιάτο;

Υπολόγισε αυτό! Ενώ έσκαβε σε μια αρχαία πόλη , ένας αρχαιολόγος, βρήκε αυτό το κομμάτι

ενός στρογγυλού πιάτου. Πως μπορεί ο αρχαιολόγος αυτός, να εκτιμήσει το μέγεθος, του

αρχικού πιάτου;

Υπόδειξη : Πως μπορείς να διπλώσεις έναν κύκλο, για να βρεις το κέντρο του;

Η συμμετρία, χρησιμοποιείται, σε πολλά μαθηματικά σχήματα. Οι σχεδιαστές, οι

αρχιτέκτονες, οι αρτοποιοί και οι διακοσμητές, όλοι χρησιμοποιούν τη συμμετρία στις

εργασίες τους.

Απάντηση: Σχεδίασε την στεφάνη του κομματιού του πιάτου, σε ένα φύλλο χαρτιού.

Δίπλωσε το σχέδιο της στεφάνης, για να δημιουργήσεις ένα τσάκισμα στο χαρτί. Επανέλαβε

αυτή τη διαδικασία χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό κομμάτι τόξου. Το σημείο όπου οι

δυο τσακίσεις τέμνονται, είναι το κέντρο του κύκλου. Αυτός ο κύκλος έχει το ίδιο μέγεθος,

με το αρχικό πιάτο. (Μπορείς να χρησιμοποιήσεις διαβήτη, για να ολοκληρώσεις τον κύκλο):


Σχεδίασε το κάτω μέρος ενός ποτηριού για να κάνεις έναν κύκλο . Δίπλωσε τον κύκλο του

χαρτιού στο μισό. Ξεδίπλωσε το , μετά δίπλωσέ το ξανά στο μισό, κατά μήκος μιας

διαφορετικής γραμμής. Τι παρατηρείς για τις δυο πτυχές;

81

Ολοκληρωμένη Λύση.

Σχεδίασε το κομμάτι ενός πιάτου σε ένα φύλλο χαρτιού. Δίπλωσε το σχέδιο από την άκρη

του πιάτου, για να κάνεις μια πτυχή στο χαρτί. Επανέλαβε αυτήν την διαδικασία

χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικού τμήμα τόξου. Οι γραμμές είναι πτυχές συμμετρίας για

τον κύκλο που περιγράφουν στο σχήμα του αρχικού πιάτου. Αυτές οι γραμμές της

συμμετρίας περιέχουν διαμέτρους του κύκλου και συναντούνται στο κέντρο. Η ακτίνα του

πιάτου είναι η απόσταση από το κέντρο στην στεφάνη, στο χείλος. Η διάμετρος του είναι 2

φορές η ακτίνα του:


Σχεδίασε το παρακάτω σχέδιο:

Δίπλωσε το χαρτί κατά το μήκος της γραμμής έτσι ώστε το σχέδιο να είναι απέξω,

μετά σχεδίασε το σχέδιο στην αντίθετη πλευρά της γραμμής. Όταν ξεδιπλώσεις το

χαρτί , το καινούργιο σχέδιο σχηματίζει μια φιγούρα με μία γραμμή συμμετρίας.

Ψάξε στις κίτρινες σελίδες του τοπικού τηλεφωνικού καταλόγου σου, για λογότυπα

εταιρειών, που έχουν γραμμές συμμετρίας.

Βρες ένα σταυρόλεξο και καθόρισε , διπλώνοντας το, αν έχει γραμμή συμμετρίας.

Ζωγράφισε ένα τρίγωνο. Από το μέσο της κάθε πλευράς του τριγώνου, ζωγράφισε

μια γραμμή που σχηματίζει 90ο γωνίες με την πλευρά. Αυτές οι γραμμές τέμνουν το

κέντρο του κύκλου που περιέχουν κάθε τμήμα του τριγώνου.

82


Πόσες γραμμές συμμετρίας έχει ένα ορθογώνιο;

(Απάντηση: Αν το ορθογώνιο είναι επίσης και τετράγωνο, τότε έχει 4 συμμετρικές

γραμμές).

Πως μπορείς να βρεις το κέντρο ενός σήματος STOP;

(Απάντηση: Βρες δύο συμμετρικές γραμμές, οι οποίες θα τέμνονται στο κέντρο).

Ποια είδη τριγώνων έχουν μία γραμμή συμμετρίας;

[Απάντηση: Ένα τρίγωνο με τουλάχιστο δύο πλευρές ίδιου μήκους, (ένα ισοσκελές

τρίγωνο)].


Έχει, κάθε σχέδιο, κέντρο;

Τι είναι ένα σχέδιο συμμετρίας;

Γιατί οι έφοροι, των μουσείων, αποθηκεύουν αρχαία αντικείμενα;

Πως δημιουργούν οι παλαιοντολόγοι, ένα μοντέλο δεινοσαύρου, από ένα

απολιθωμένο κόκαλο;


Ο Scott Kim έχει αναπτύξει μια διαδικασία γραψίματος που περιέχει «ανάποδη»

συμμετρία. (Δες την πρόκληση «ανάποδα»).

83

22. Ποιος τρέχει πιο γρήγορα;

Υπολόγισε αυτό! Όταν η Χριστίνα και ο Νίκος έτρεχαν έναν αγώνα 50 μέτρων, η Χριστίνα

διέσχισε την γραμμή του τέλους, ενώ ο Νίκος, ήταν στο σημάδι των 45 μέτρων. Οι φίλοι

αποφασίζουν να αγωνιστούν ξανά. Αυτή τη φορά ο Νίκος, αρχίζει να τρέχει , ενώ ήταν 5

μέτρα μπροστά από την Χριστίνα, η οποία ήταν στη γραμμή εκκίνησης. Αν ο καθένας τρέχει

με τη ίδια ταχύτητα, όπως στον προηγούμενο αγώνα, ποιος θα κερδίσει;

Υπόδειξη : Σύγκρινε τις αποστάσεις που διανύθηκαν.

Η λύση των μαθηματικών προβλημάτων απαιτεί λογικό συλλογισμό. Οι δικηγόροι , οι

φιλόσοφοι, οι ηλεκτρικοί και οι ξυλοκόπο όλοι χρησιμοποιούν λογικούς συλλογισμούς στην

καθημερινή τους εργασία.

Απάντηση: Ο αγώνας θα λήξει με ισοπαλία.


Σχεδίασε ένα δείγμα, για να αναπαραστήσεις τη θέση του κάθε δρομέα, όταν ο αγώνας έχει

κριθεί! Ζωγράφισε ακόμη ένα σετ δειγμάτων για να αναπαραστήσεις τις αρχικές θέσεις από

τον δεύτερο αγώνα. Τι παρατηρείς;


Στον πρώτο αγώνα, ο Exponent έτρεξε 45 μέτρα στην ίδια ώρα που χρειάζεται η Polygon να

τρέξει 50 μέτρα. Στον δεύτερο αγώνα, η γραμμή τερματισμού είναι 45 μέτρα από την

αρχική θέση του Exponent και 50 μέτρα από την θέση της Polygon. Έτσι αν ο καθένας

τρέχει με την ίδια ταχύτητα όπως στον προηγούμενο αγώνα, ο αγώνας θα λήξει με

ισοπαλία. Δες το διάγραμμα:

84

Εκκίνηση 50 Χριστίνα

45 Νίκος

Εκκίνηση 50 Χριστίνα

50 Νίκος


Τρέξε έναν αγώνα με έναν φίλο σου. Μετά τον αγώνα , αποφάσισε με δίκαιο τρόπο

(την απόσταση που ο καθένας από εσάς χρειάζεται για να αρχίσει πιο μπροστά από

το πιο γρήγορο άτομο) για τον νικητή, μετά ξανατρέξτε. Ποιος κέρδισε στον δεύτερο

αγώνα;

Ψάξε για τους νικητήριους χρόνους για κάποιους Έλληνες δρομείς στους

Ολυμπιακούς αγώνες του 2000. Πως συγκρίνονται αυτοί οι χρόνοι με τα παγκόσμια

ρεκόρ για τις αποστάσεις που τρέχουν;


1. Η Χριστίνα και ο Νίκος, αποφασίζουν να αγωνιστούν για τρίτη φορά. Σε αυτόν τον

αγώνα η Χριστίνα, αρχίζει 5 μέτρα πιο πίσω από τον Νίκο, ο οποίος είναι στην

γραμμή εκκίνησης. Αν ο καθένας τρέχει με την ίδια ταχύτητα όπως πριν, ποιος θα

νικήσει αυτήν την φορά;

(Απάντηση: Η Χριστίνα, θα νικήσει στον αγώνα. Αν και θα είναι ισόπαλοι στην γραμμή

των 45 μέτρων, η Χριστίνα θα τρέξει τα τελευταία 5 μέτρα πιο γρήγορα από το Νίκο).

2. Φαντάσου πως η Χριστίνα και ο Νίκος τρέχουν γύρους σε ένα οβάλ γήπεδο 50

μέτρων. Αν ο καθένας τρέχει με την ίδια ταχύτητα όπως στους προηγούμενους

αγώνες, μετά από πόσους γύρους η Χριστίνα, θα είναι έναν ολόκληρο γύρω,

μπροστά από τον Νίκο;

(Απάντηση: Με τις προηγούμενες ταχύτητές τους, η Χριστίνα θα τρέξει 500 μέτρα -

10 γύρους – στον ίδιο χρόνο που ο Νίκος θα κάνει 450 μέτρα – 9 γύρους - .

1ος αγώνας

2ος αγώνας

85

Επομένως, μετά από 10 γύρους, η Χριστίνα θα βρίσκεται 1 γύρω μπροστά από το

Νίκο).

3. Αν ο Νίκος και η Χριστίνα, αρχίζουν από αντίθετα άκρα, από το γήπεδο των 50

μέτρων και τρέξουν ο ένας προς τον άλλο, που θα συναντηθούν;

(Απάντηση: Θα συναντηθούν στα 26,3 μέτρα από το σημείο που ξεκίνησε η Χριστίνα

ή στα 23,7 μέτρα από το σημείο που ξεκίνησε ο Νίκος).


Η απόσταση που έχει να τρέξει ένας δρομέας επηρεάζει τη στρατηγική με την οποία

θα αγωνιστεί, για να νικήσει.

Γιατί το σκάκι αποκαλείται παιχνίδι της λογικής;

Πως αναπαρίστανται τα εμπόδια στο γκολφ; Σε ποια άλλα σπορ οι αθλητές

επιτρέπουν εμπόδια;


Ο έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης (287-212πΧ.) μερικές φορές θεωρείται ως

πατέρας της λογικής.

Ο Bertrand Russell (1872-1970), ο Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος, είπε κάποτε:

«Τα μαθηματικά είναι λογική κι η λογική είναι μαθηματικά».

Οι ξυλουργοί μερικές φορές χρησιμοποιούν ένα σχοινί με κόμπους που έχουν

περιθώρια στις 3,7 και 12 μονάδες για να κάνουν μια ορθή γωνία και ένα ορθό

τρίγωνο με πλευρές 3,4 και 5.

Υπάρχει ένας Σύνδεσμος για τη Συμβολική Λογική.

Ο πρώην δάσκαλος βασικής εκπαίδευσης George Boole (1815-1864) ανέπτυξε μια

άλγεβρα λογικής.

86

23. Τοποθεσία Α! Τοποθεσία Β! Πόσο μοιάζουν;

Υπολ

όγισ

ε αυτό! Οι αρχαιολόγοι παρατήρησαν διαφορές στον τύπο των στοιχείων που βρήκαν σε 5

σκαμμένες τοποθεσίες. Ο πίνακας δείχνει τα ποσοστά των υλικών που βρέθηκαν σε κάθε

τοποθεσία. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες, ποιες δύο τοποθεσίες φαίνονται να

είναι ίδιες;

Υπόδειξη : Ποια είναι η διαφορά των ποσοστών κεραμικής που βρέθηκαν στις τοποθεσίες Α

και Β; Του ποσοστού από τα κόκαλα;

Τα κριτήρια με νούμερα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σύγκριση αντικειμένων. Ο

καθορισμός της ομοιότητας ή της διαφοράς μεταξύ 2 σετ πληροφοριών, είναι σημαντική,

για τους γεωλόγους που ψάχνουν πετρέλαιο, τους γιατρούς, που αποφασίζουν τις

συνέπειες διαφορετικών θεραπειών και τους διαφημιστές, που αποφασίζουν, για τις

στρατηγικές που θα ακολουθήσουν, για να πετύχουν οι διαφημίσεις τους.

Απάντηση: Στα κελιά Γ και Ε υπάρχουν τα περισσότερα κοινά ποσοστά.


Τοποθεσία Κεραμική Κεραμικές

φιγούρες

Κόκαλα Νομίσματα Εργαλεία από

χαλκό/

μπρούντζο

Α 10% 20% 0% 40% 30%

Β 30% 5% 10% 10% 45%

Γ 0% 35% 35% 10% 20%

Δ 40% 0% 20% 32% 8%

Ε 5% 22% 30% 15% 28%

87

Κάνε ζευγάρια τις τοποθεσίες και μετά κάνε έναν πίνακα με τις διαφορές που βρήκες

αφαιρώντας το μικρότερο ποσοστό από το μεγαλύτερο από κάθε κατηγορία. Για

παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τις τοποθεσίες Α και Β, οι διαφορές είναι (30%-10%), (20%-

5%).(10%-0%), (40%-10%) και (45%-30%). Το σύνολο αυτών των διαφορών είναι

20%+15/%+10%+30%+15%, ή 90%.

Ζευγάρια

τοποθεσιών

.

Κεραμική. Κεραμικές

φιγούρες.

Κόκαλα. Νομίσματ

α.

Εργαλεία

από

χαλκό/

μπρούντζ

ο.

Σύνολο

διαφορώ

ν.

Α και Β 20% 15% 10% 30% 15% 90%

Βρες την συνολική διαφορά για κάθε ζευγάρι τοποθεσιών.


Χρησιμοποιώντας την υπόδειξη, βρες την διαφορά των ποσοστών για κάθε υλικό, στο κάθε

ζευγάρι τοποθεσιών και πρόσθεσε αυτές τις διαφορές. Οι πληροφορίες που θα προκύψουν

μπορούν να ταξινομηθούν σε έναν πίνακα όπως φαίνεται παρακάτω. Σε αυτόν τον πίνακα,

το κελί στη σειρά Α, στη στήλη Β, αντιστοιχεί, στο σύνολο των διαφορών, για τις τοποθεσίες

Α και Β, ή 90%. (Αφού δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ μιας τοποθεσίας και του εαυτού της, τα

αντίστοιχα κελιά θα έχουν 0% σαν καταχωρήσεις).

Α Β Γ Δ Ε

Α 0% 90% 100% 100% 64%

Β 90% 0% 110% 84% 84%

Γ 100% 110% 0% 124% 36%

Δ 100% 84% 124% 0% 104%

88

Ε 64% 84% 36% 104% 0%

Τα ζευγάρια των τοποθεσιών με το μικρότερο άθροισμα (36%) είναι το Γ και το Ε. Αυτό

δείχνει ότι τα ποσοστά των υλικών στις 2 τοποθεσίες είναι τα ίδια.


Κοίτα τα παπούτσια στο σπίτι σου. Αναγνώρισε τουλάχιστον 4 χαρακτηριστικά που

μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τα παπούτσια. Βάλε σε

κατηγορίες τα παπούτσια σύμφωνα με αυτά τα χαρακτηριστικά. Χρησιμοποιώντας

αυτά τα κριτήρια ποια παπούτσια μοιάζουν περισσότερο;

Ποια από τα δημητριακά στο ντουλάπι σου μοιάζουν, όσον αφορά την θρεπτική

ουσία;

Χρησιμοποίησε το internet για να βρεις άλλα παραδείγματα μαθηματικών στην

δουλειά των αρχαιολόγων.


1. Κοίτα τον πίνακα που σου δίνεται στην ολοκληρωμένη λύση της πρόκλησης. Αν

ζωγραφίσεις μία γραμμή από την πάνω αριστερή γωνία του πίνακα στην κάτω δεξιά

γωνία, οι καταχωρήσεις στο μέρος πάνω από την γραμμή ταιριάζουν με αυτές κάτω

από την γραμμή. Γιατί αυτό είναι αλήθεια;

(Απάντηση: Τα τμήματα είναι συμμετρικά, επειδή το άθροισμα των διαφορών,

μεταξύ των δύο τοποθεσιών Α και Β, είναι οι ίδιες, είτε συγκρίνεις το Α με το Β, είτε

Β με Α).

2. Ο παρακάτω πίνακας, δείχνει, τις τιμές για το ψωμί, το γάλα, τα αυγά, τον καφέ και

τον χυμό πορτοκαλιού, από 5 γειτονικά μαγαζιά. Δύο από τα μαγαζιά φαίνονται να

έχουν τις ίδιες τιμές. Ποια είναι αυτά; Ποια μαγαζιά φαίνεται να διαφέρουν

περισσότερο;

Κατάστημ

α

Ψωμί Γάλα Αυγά Καφές Χυμός

πορτοκαλιο

ύ

89

Α €0,89 €1,90 €1,79 €5,99 €2,39

Β €1,19 €1,65 €1,75 €6,24 €2,49

Γ €1,09 €1,99 €1,65 €5,33 €3,24

Δ €1,49 €1,75 €2,05 €5,88 €2,75

Ε €0,99 €1,89 €2,16 €6,12 €2,33

(Απάντηση: Οι τιμές στα μαγαζιά Α και Ε, μοιάζουν περισσότερο. Το άθροισμα των

διαφορών τους είναι μόνο 0,64 ευρώ. Οι τιμές στα μαγαζιά Γ και Ε είναι ι πιο

διαφορετικές, με άθροισμα των διαφορών τους 2,38 ευρώ).


Πως μπορούν οι αρχαιολόγοι να προβλέψουν την ηλικία από ένα κόκαλο ή από ένα

αγγείο;

Τι νομίζεις, ότι οι αρχαιολόγοι του μέλλοντος θα βρουν, όταν αυτοί θα σκάψουν την

πατρίδα σου, μετά από 1000 χρόνια από τώρα;

Τι κάνει τις αρχαίες πόλεις να καταστρέφονται και να θάβονται κάτω από γη ή νερό;

Πως μπορείς να συγκρίνεις το κλίμα, διαφορετικών πόλεων;


Οι αρχαιολόγοι επίσης εξερευνούν κάτω από το νερό για να βρουν κτίρια και

απομεινάρια νεότερων πολιτισμών.

Στην αρχαία Ρώμη, το να θαφτεί κάποιος, κάτω από έναν πολυσύχναστο δρόμο,

όπου οι περαστικοί θα μπορούσαν να σταματήσουν και να διαβάσουν την επιτάφια

επιγραφή, ήταν πολύ σημαντικό και το έκαναν μόνο στα άτομα που προερχόταν από

ανώτερη κοινωνική θέση. Με αυτό τον τρόπο, πίστευαν ότι το άτομο που θαβόταν

εκεί, έμενε κατά κάποιο τρόπο αθάνατο.

Τα νομίσματα που βρέθηκαν στις αρχαιολογικές τοποθεσίες, βοηθούν τους

ιστορικούς, να κατανοήσουν το εμπόριο και την οικονομία των αρχαίων πολιτισμών.

Οι αρχαιολόγοι συχνά χρησιμοποιούν οδοντογλυφίδες και βαμβακερά ξέστρα, για

να απομακρύνουν τη βρωμιά και το χώμα από τα νομίσματα, τα κόκαλα, τα αγγεία

και άλλα ευρήματα.

90

Αναλύοντας τις διαφορές στο κέντημα, στο χρώμα και στο σχέδιο, μιας ενδυμασίας,

οι αρχαιολόγοι μπορούν μερικές φορές να αναγνωρίσουν το μέρος στο οποίο αυτό

κατασκευάστηκε.

Τα στοιχεία για τον τετραγωνισμό των πόλεων , τις εθιμοτυπικές οδούς, την

σύνθεση των διαμερισμάτων και την κατασκευή των πλατειών έχει οδηγήσει τους

αρχαιολόγους να σκεφτούν ότι οι διάφορες πρώιμες πόλεις από Basin του Μεξικό,

έμοιαζαν με την αρχαία πόλη των Ατζέκων των Teotijuacan.

24. Μπορείς να μετατρέψεις ένα σκυθρωπό πρόσωπο σε ένα χαμογελαστό;

Υπολόγισε αυτό! Στα γραφικά του κομπιούτερ, η μορφοποίηση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί,

για να αλλάξουμε σταδιακά, μια εικόνα σε μία άλλη. Ένα κατσούφιασμα, μπορεί να

«μορφοποιηθεί» σε ένα χαμόγελο, αλλάζοντας τις σκιές των τετραγώνων. Καθώς

μορφοποιείς το κατσούφιασμα από τα αριστερά προς τα δεξιά σε χαμόγελο, τι σκιές θα

υπάρχουν στην εικόνα στο μέσο;

Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε μόνο τους αριθμούς 0,1,2,3 και 4, για να αναπαραστήσεις, τις 5

διαφορετικές σκιές. Ποια σκιά είναι στα μισά μεταξύ του 0 και του 4;

Οι εικόνες ή οι ήχοι, μπορούν να «γίνουν ψηφία», χρησιμοποιώντας μια συλλογή αριθμών.

Οι εικόνες ή οι ήχοι, με τα ψηφία, μπορούν να μορφοποιηθούν ή να χειριστούν με την

αριθμητική. Τα «ειδικά εφέ» στις ταινίες , οι εικόνες στα κομπιούτερ και οι ήχοι σε μερικά

CD, δημιουργούνται μετά από μορφοποίηση.

Απάντηση : Μία απάντηση φαίνεται εδώ:

91

Προετοιμάσου!

Αντικατέστησε κάθε σκιά στα γραφικά, με τους αντίστοιχους αριθμούς. Κοίτα τα τετράγωνα

των αριθμών και αποφάσισε ποια «μισά» μπορεί να σημαίνουν.


Αντικατέστησε κάθε σκιά στο κατσούφιασμα και στο χαμόγελο με το αντίστοιχο νούμερο,

όπως φαίνεται εδώ:

Για να βρεις τα κατάλληλα νούμερα για κάθε τετράγωνο στην μεσαία εικόνα, εξήγαγε τον

μέσο όρο των αριθμών, στα αντίστοιχα τετράγωνα, από το κατσούφιασμα και το χαμόγελο.

Το τετράγωνο στα κάτω δεξιά δείχνει τους κατάλληλους αριθμούς, ενώ το τετράγωνο στα

αριστερά, δείχνει τις αντίστοιχες σκιές:

Για να δημιουργήσει την ψευδαίσθηση μιας ομαλής μετατροπής , μια μορφοποίηση

χρησιμοποιεί πολλές περισσότερες σκιές και έχει πολλά περισσότερα βήματα.


Σχεδίασε ένα σετ από κάρτες, έτσι ώστε, μια εικόνα να αλλάξει σχήμα σταδιακά,

από την μία κάρτα στην άλλη, έτσι ώστε όταν χτυπάς τις κάρτες, το σχέδιο (η

εικόνα), να φαίνεται πως κινείται.

92

Αν μορφοποιήσεις το Α στο Β, πως θα έμοιαζε το μισό σχέδιο;

Ψάξε στο δίκτυο για Sites που έχουν μορφοποιημένες εικόνες.

Ρώτα την δασκάλα των καλλιτεχνικών ή των κομπιούτερ αν το σχολείο σου έχει

διαθέσιμο κάποιο πρόγραμμα στον υπολογιστή του σχολείου σου (Software), από

μορφοποιημένες εικόνες.


1. Ζωγράφισε το τετράγωνο που αναπαραστά μια εικόνα, η οποία είναι 70%

αλλαγμένη, από το κατσούφιασμα, στο χαμόγελο.

(Απάντηση: Για να δημιουργήσεις μία εικόνα, που τείνει κατά 70% για χαμόγελο,

πρέπει να ταυτίσεις, τον αριθμό που είναι 70% ή 0,7, σε κάθε αντίστοιχο αριθμό για

να αλλάξεις το κατσούφιασμα σε χαμόγελο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 στο

σχεδιάγραμμα του κατσουφιάσματος αντιστοιχεί στο 2 για ένα χαμόγελο. Η

διαφορά μεταξύ του 4 και του 2 είναι 2. Βρες το 70% από τη διαφορά μεταξύ τους,

0,7 * 2 = 1,4. Αφού 4 – 1,4 = 2,6, το αντίστοιχο τετράγωνο της εικόνας θα είναι το 3 –

στρογγυλοποιημένο στον κοντινότερο ολόκληρο αριθμό):

2. Η πόλη του Βελιγραδίου, είναι μισή, μεταξύ τις πόλεις Bozeman και Butte. Το

Bozeman βρίσκεται στα 200 χιλιόμετρα, ενώ το Βελιγράδι στα 155 χιλιόμετρα. Σε

ποιο χιλιόμετρο, βρίσκεται το Butte;

(Απάντηση: 110 χιλιόμετρα).

3. Ένα πλοίο ταξιδεύει από το Μαϊάμι στις Βερμούδες. Το Μαϊάμι είναι περίπου 1000

χιλιόμετρα, δυτικά από την Νέα Υόρκη. Οι Βερμούδες είναι περίπου 400 χιλιόμετρα

νότια και 300 χιλιόμετρα, ανατολικά, από τη Νέα Υόρκη. Ποια είναι η τοποθεσία του

πλοίου, σε σχέση με το Μαϊάμι, όταν έχει συμπληρώσει το 30% του ταξιδιού του;

(Απάντηση: Θα είναι 180 χιλιόμετρα βόρια και 120 χιλιόμετρα ανατολικά από το

Μαϊάμι).

93


Όπως παρατηρήθηκε στην λύση της πρόκλησης, μία πραγματική μορφοποίηση,

χρησιμοποιεί πολλές σκιές ή χρώματα και έχει πολλά περισσότερα βήματα. Πως θα

έκανες μία εικόνα να εμφανίζεται, ότι μορφοποιείται, πιο αργά στην αρχή και πιο

γρήγορα στο τέλος;

Πως η αστυνομία χρησιμοποιεί την μορφοποίηση;

Οι περισσότερες εικόνες στο κομπιούτερ αποτελούνται από χρώματα, όχι απλά σκιές

του μαύρου και άσπρου. Πως θα καθόριζες τους αριθμούς, στα διαφορετικά

χρώματα;


Οι διαστάσεις μιας οθόνης ενός τυπικού κομπιούτερ είναι περίπου 800*600

τετράγωνα. Το καθένα από αυτά τα περίπου 1,5 εκατ. τετράγωνα μπορεί να

εμφανιστούν σαν χιλιάδες διαφορετικών χρωμάτων και σκιών.

Ένα βήμα, στη μορφοποίηση μιας εικόνας, μιας οθόνης, μπορεί να γίνει σε λιγότερο

από 0,1 δευτερόλεπτο.

Για να φτιάξουν την ταινία Toy Story II οι animators στα Pixar Studios ζωγράφισαν

περίπου 4000 σκετς με το χέρι. Για να δημιουργήσουν τα πλαίσια γι’ αυτά τα

σχέδια, χρησιμοποιούσαν τα κομπιούτερ για να χειριστούν τα στοιχεία στην οθόνη.

Μετά από αυτό βασίστηκαν στο software για να γεμίσουν τις οθόνες

χρησιμοποιώντας ποικιλίες μορφοποίησης.

Σε ένα στυλ ζωγραφικής γνωστό σαν pointillism, οι ζωγράφοι απλώνουν τελείες

μπογιάς στους καμβάδες για να δημιουργήσουν εικόνες. Ο Γάλλος καλλιτέχνης

Georges Seyrat (1859-1891) είναι ίσως ο πιο γνωστός καλλιτέχνης που

χρησιμοποίησε αυτό το στυλ.

94

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

(Επιπλέον…προκλήσεις)

95

1. Ταξιδεύοντας με πλοίο, στη μέση του ωκεανού, το πλοίο βουλιάζει. Ευτυχώς για ΄σένα,

ένα τροπικό νησί βρίσκεται κοντά και κολυμπάς μέχρι εκεί. Σε αυτό το νησί, οι ντόπιοι

κάτοικοι δεν χρησιμοποιούν χρήματα για τις συναλλαγές τους, αλλά φρούτα.

Αν:

60 μπανάνες = 20 καρύδες

35 σύκα = 15 πορτοκάλια

10 καρύδες = 25 σύκα

200 σύκα = 1 βάρκα

Πόσες μπανάνες θα χρειαστείς για να αγοράσεις μία βάρκα για να φύγεις από το νησί;

2. Ένα ποντίκι παίρνει 2 γραμμάρια βάρος κάθε μέρα τρώγοντας όσο το δυνατό

περισσότερο τυρί. Αν δεν τρώει καθόλου χάνει 3 γραμμάρια, από το βάρος, του κάθε μέρα.

Αν το ποντίκι, έβαλε 5 γραμμάρια σε 20 μέρες, πόσες μέρες πέρασε το ποντίκι χωρίς να

φάει καθόλου;

3. Η Άννα είχε κάποια χρήματα στην τσέπη της. Έδωσε τα μισά στη Μαρία. Στη συνέχεια

δίνει το 1/4 αυτών που της απέμειναν στο Γιάννη. Όταν συνάντησε τον Παύλο και την

Βάσω, έδωσε το 1/3 αυτών που της είχαν απομείνει στο Παύλο και από εκείνα που της

έμειναν έδωσε ακριβώς τα μισά στη φίλη της τη Βάσω. Η Βάσω πήρε 2 ευρώ. Με πόσα

χρήματα ξεκίνησε η Άννα και ποιος κατέληξε να έχει τα περισσότερα χρήματα;

4. Φαντάσου ότι ο κάθε μαθητής στο σχολείο είχε το δικό του ντουλάπι. Υπάρχουν 1000

ντουλάπια, όλα κλειδωμένα και 1000 μαθητές.

α. Υπέθεσε ότι ένας μαθητής (Α), πηγαίνει κατά μήκος και ανοίγει όλα τα ντουλάπια. β.

Ένας άλλος μαθητής (Β), πηγαίνει κατά μήκος και κλείνει κάθε ντουλάπι που αρχίζει

με τον αριθμό 2.

96

γ. Ένας τρίτος μαθητής (Γ), που είναι πίσω από τους άλλους δύο, αλλάζει τη θέση ανά

τρία ντουλάπια που αρχίζουν με τον αριθμό 3. (Αν το ντουλάπι ήταν ανοιχτό το έκλεινε και

αν ήταν κλειστό το άνοιγε).

δ. Ένας τέταρτος μαθητής (Δ), έκανε το ίδιο, αλλά σε κάθε τέταρτη ντουλάπα που άρχιζε

με τον αριθμό 4.

Αν συνεχιστεί αυτό ώσπου και οι 1000 μαθητές ακολουθήσουν την ίδια μέθοδο με τα

ντουλάπια, ποια ντουλάπια θα ανοίξουν τελικά και ποια θα κλείσουν; Γιατί;

5. Υπέθεσε ότι υπάρχουν 25 μαθητές στη τάξη σου. Τη τελευταία μέρα του σχολείου πριν

τις διακοπές των Χριστουγέννων, κάθε μαθητής δίνει σε όλους τους συμμαθητές του ένα

συμβολικό δώρο. Πόσα δώρα ανταλλάχθηκαν;

6. Η μαμά του Γιώργου έφτιαξε μία τούρτα.. Ο μπαμπάς του έφαγε το 1/6 της τούρτας. Ο

αδελφός του το 1/5 από αυτό που είχε απομείνει. Η αδελφή του έφαγε το 1/4 από αυτό

που άφησε ο αδελφός της και μία φίλη της που βρισκόταν μαζί της έφαγε το 1/2 από αυτό

που άφησε η αδελφή του Γιώργου. Τελικά πόση τούρτα έμεινε να φάει ο Γιώργος; Ποιος

έφαγε τη μεγαλύτερη ποσότητα τούρτας;

7. Τρία αγόρια ο Νίκος, ο Τάσος και ο Γιώργος βρίσκονται σε μία φάρμα. Προχωρούν μέσα

στον αχυρώνα και παρατηρούν μία ζυγαριά που τη χρησιμοποιεί αυτός που έχει τη φάρμα

για να ζυγίζει τις αγελάδες που έχει. Αποφασίσουν να ζυγιστούν και οι ίδιοι, αλλά η ζυγαριά

αρχίζει από 100 κιλά. Το πρόβλημα είναι ότι κανένας από αυτούς δε ζυγίζει πάνω από 100

κιλά. Γι’ αυτό αποφασίζουν να μετρηθούν κατά ζευγάρια. Ο Νίκος ήταν σίγουρος ότι ζύγιζε

περισσότερο από τους άλλους δύο.

Ο Τάσος και ο Γιώργος μαζί, ζύγιζαν 132 κιλά.

Ο Γιώργος και ο Νίκος, 151 κιλά.

Ο Νίκος και ο Τάσος ζύγιζαν 137 κιλά.

Ποιο ήταν το βάρος του καθενός;

97

8. Έστω ότι το πλάτος ενός ποταμού είναι 1150 μέτρα. Η γέφυρα που χρειάζεται για να

περάσουμε στην απέναντι μεριά του ποταμού, έχει τρία στηρίγματα. Ένα στην μία άκρη της

γέφυρας, ένα στην άλλη και ένα στο κέντρο του ποταμού. Αν το 1/5 της γέφυρας υπάρχει

από τη μία πλευρά και το 1/7 από την άλλη τότε ποιο είναι το μήκος της γέφυρας;

9. Η Χρύσα προπονείται για τον πρώτο αγώνα κολύμβησης της χρονιάς. Νομίζει ότι αν

κολυμπάει για 30 λεπτά συνεχόμενα, χωρίς διάλειμμα, θα αποκτήσει αρκετή δύναμη για να

νικήσει στον πρώτο της αγώνα. Την πρώτη μέρα μπόρεσε να κολυμπήσει 2 λεπτά χωρίς να

σταματήσει. Τη δεύτερη 3. Την τρίτη 6 και την τέταρτη 11 λεπτά χωρίς να σταματήσει. Αν η

Χρύσα συνεχίσει την προπόνηση, ποια μέρα θα είναι ικανή να κολυμπήσει για 30 λεπτά

συνεχόμενα; Αιτιολόγησε την απάντησή σου.

10. Η Μαρίνα βγαίνει για περίπατο μία όμορφη ανοιξιάτικη μέρα και παρατηρεί 24 λευκά

άνθη στην ανθισμένη αμυγδαλιά της αυλής της. Την επόμενη μέρα, μετράει τα άνθη και

συνειδητοποιεί ότι ο αριθμός των ανθών του δέντρου ήταν το 1/2 της προηγούμενης μέρας.

Το ίδιο συνέβαινε την τρίτη, την τέταρτη και την πέμπτη μέρα. Τελικά πόσα άνθη υπήρχαν

στο δέντρο την πέμπτη μέρα;

11. Ο δάσκαλος, σας επιτρέπει να διοργανώσετε ένα πάρτι. Αφού αγοράσατε αναψυκτικά

για όλους, μπαλόνια και ότι χρειαζόταν για το πάρτι σας, σας περίσσεψαν 35 ευρώ και

αποφασίσατε να παραγγείλετε και πίτσες. Το κόστος μίας σπέσιαλ μεγάλης πίτσας είναι 10

ευρώ. Η πιτσαρία όμως που παραγγείλατε έχει προσφορά την δεύτερη πίτσα που θα

παραγγείλετε στη μισή τιμή της πρώτης και την τρίτη στη μισή τιμή της δεύτερης (αν τις

παραγγείλετε όλες μαζί με ένα τηλέφωνο). Τελικά με αυτά τα χρήματα που σας περίσσεψαν

πόσες πίτσες μπορείτε να παραγγείλετε;

98

12. Στο τέλος της σχολικής χρονιάς, το σχολείο σου κάνει μία γιορτή και διοργανώνει ένα

παιχνίδι «το κυνήγι της καραμέλας». Οι μαθητές χωρίζονται σε ομάδες. Η τάξη σου έχει 24

μαθητές που χωρίζονται σε 4 ομάδες των 6 ατόμων. Η ομάδα σου αποτελείτε από την

Μαρία, τη Γιώτα, το Κώστα, το Πέτρο και τον Αλέξη. Εσύ βρήκες 18 καραμέλες, η Μαρία 23,

η Γιώτα 20, ο Κώστας 28 και ο Πέτρος 15. Αν ο μέσος όρος των καραμελών που κάθε μέλος

της ομάδας σου βρήκε είναι 22, πόσες καραμέλες βρήκε ο Αλέξης, και ποιος βρήκε τις

περισσότερες καραμέλες στη δικιά σου ομάδα;

Μία άλλη ομάδα βρήκε συνολικά 120 καραμέλες. Τελικά ποια ομάδα νίκησε (ποια βρήκε τις

περισσότερες καραμέλες); Η δικιά σου ή αυτή που βρήκε τις 120 καραμέλες;

13. Η Μαρία είναι η υπεύθυνη των κουστουμιών της θεατρικής παράστασης που θα ανέβει

στο τέλος της χρονιάς, στο σχολείο σου. Συζητάει με τους ηθοποιούς για να δει ποιοι

χρειάζονται καινούρια κοστούμια, ποια κοστούμια χρειάζονται διόρθωση και ποια

ταιριάζουν απόλυτα πάνω τους. Κρατούσε σημειώσεις και έδωσε στον υπεύθυνο για τις

διορθώσεις τον κατάλογο με τα αποτελέσματά της. Ο υπεύθυνος κοίταξε τον κατάλογο της

Μαρίας αλλά δεν ήταν σίγουρος αν η Μαρία ρώτησε όλους του ηθοποιούς. Οι σημειώσεις

της έγραφαν:

3/8 των ηθοποιών χρειάζονται καινούρια κοστούμια.

1/3 χρειάζονται διορθώσεις αλλά όχι καινούρια κοστούμια.

1/4 των ηθοποιών τα κοστούμια δε χρειαζόταν επιδιορθώσεις. Ταίριαζαν απόλυτα πάνω

τους.

Τελικά η Μαρία συμπεριέλαβε όλους του ηθοποιούς; Πόσοι ήταν τελικά;

14. Ο Δημήτρης και οι φίλοι του πήγαν το καλοκαίρι διακοπές στη Σαντορίνη με πλοίο. Το

ταξί τους διάρκεσε 330 λεπτά. Στο γυρισμό ταξίδεψαν με δελφίνι που έκανε 21.600

δευτερόλεπτα. Στη Σαντορίνη έμειναν για 3629 λεπτά.

Η διαδρομή όταν πήγαιναν και όταν γύρισαν είχε την ίδια διάρκεια;

Πόσο έμειναν τελικά στην Σαντορίνη;

99

15. Το βάρος μιας μεγάλης πυραμίδας είναι 557 τόνους μεγαλύτερη από τον πύργο της

Πίζας. Το άγαλμα της Ελευθερίας ζυγίζει 2695 τόνους και είναι κατά 95 τόνους μικρότερο

από τον πύργο της Πίζας. Η μεγαλύτερη πυραμίδα που υπήρξε ποτέ είχε το διπλάσιο βάρος

από τη μεγάλη πυραμίδα. Πόσο ήταν το βάρος της μεγαλύτερης πυραμίδας που υπήρξε

ποτέ;

16. Ο καιρός όταν πήγε η Μαρία με την οικογένειά της διακοπές ήταν περίεργος. Έβρεχε για

15 μέρες, αλλά όχι για ολόκληρη τη μέρα. Μετά από ένα βροχερό πρωινό ακολουθούσε ένα

ηλιόλουστο απόγευμα. Μετά από ένα ηλιόλουστο πρωινό, ακολουθούσε ένα βροχερό

απόγευμα. Ήταν συνολικά 12 ηλιόλουστα πρωινά και 13 ηλιόλουστα απογεύματα. Τελικά

πόσες μέρες κράτησαν οι διακοπές της Μαρίας και της οικογένειάς της;

17. Αν κάθε κορυφή ενός κανονικού πενταγώνου συνδέεται με κάθε άλλη κορυφή, πόσα

τρίγωνα σχηματίζονται;

18. Ένα μυρμήγκι βρίσκεται στο τελευταίο σκαλοπάτι του σπιτιού σου και κοιτάει την

πόρτα. Αρχίζει να περπατάει κάνοντας 3 βήματα αριστερά, 1 δεξιά, 2 αριστερά και άλλα8

πάλι αριστερά. Πόσα βήματα πρέπει το μυρμήγκι να κάνει και προς τα πού για να φτάσει

στο σημείο που ξεκίνησε, όσο το δυνατό πιο γρήγορα και χωρίς να κάνει ακολουθήσει τα

ίδια βήματα που έκανε πριν;

19. Αν η Κατερίνα είναι μεγαλύτερη από την Νατάσσα και η Νατάσσα μεγαλύτερη από τον

Πέτρο. Ο Πέτρος είναι μικρότερος από την Κατερίνα και ο Αντρέας μεγαλύτερος από αυτή.

Βάλε με τη σειρά τα άτομα ξεκινώντας από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο.

20. Υπάρχουν 12 άτομα σε ένα δωμάτιο. Οι 6 φοράνε κάλτσες και 4 παπούτσια. Οι 3

φοράνε και τα δύο. Πόσα άτομα είναι χωρίς κάλτσες και παπούτσια;

100

21. Ένα πρωινό μία ακρίδα έπεσε σε μία τρύπα 2 μέτρων βαθιά. Μπορεί όμως να

σκαρφαλώσει 1/4 του μέτρου σε μία ημέρα, αλλά το βράδυ γλιστράει κατά 1/8 του μέτρου.

Με αυτό το ρυθμό, σε πόσες μέρες θα καταφέρει η ακρίδα να βγει από την τρύπα που

έπεσε;

22. Σε ένα αγώνα με τα ποδήλατα η Άννα, ο Κώστας, η Γιάννα και ο Αντρέας τερμάτισαν

πρώτος, δεύτερος, τρίτος και τέταρτος. Αν τα νούμερά τους ήταν 5, 17, 1, 7 χρησιμοποίησε

την παρακάτω ένδειξη και βρες ποιος είχε ποιο νούμερο και με ποια σειρά τερμάτισαν.

Το 17 θα είχε τερματίσει σε καλύτερη θέση αν έκανε καλύτερη εκκίνηση.

Ο Αντρέας τερμάτισε πριν το άτομο με τον αριθμό 7, αλλά μετά τον Κώστα.

Ο πατέρας αυτού που τερμάτισε πρώτος στον αγώνα δήλωσε ότι ήταν πολύ

περήφανος για την κόρη του που τερμάτισε πρώτη.

Η Άννα τερμάτισε μετά από το άτομο με τον αριθμό 5.

Η Γιάννα, δε βγήκε τρίτη.

23. Το ζαχαροπλαστείο του Μανόλη έχει παγωτά 9 διαφορετικών γεύσεων. Μία παρέα

παιδιών πήγε να αγοράσει παγωτό και κάθε παιδί έβαλε από 2 μπάλες παγωτό στο χωνάκι

του. Αν κανένα από τα παιδιά δεν έκαναν τον ίδιο συνδυασμό γεύσεων και ο καθένας

επέλεξε διαφορετικούς συνδυασμούς γεύσεων, πόσα παιδιά ήταν;

Γεύσεις:

1. Βανίλια

2. Σοκολάτα

3. Φράουλα

4. Μπανάνα

5. Καφέ

6. Κεράσι

7. Φιστίκι

8. Βανίλια – Φράουλα

9. Ροδάκινο

101

24. Τέσσερα αγόρια δουλεύουν το καλοκαίρι μαζί, βάφοντας σπίτια. Για κάθε σπίτι που

βάφουν παίρνουν 256 ευρώ. Αν δουλέψουν 4 μήνες το καλοκαίρι και τα έξοδά τους είναι

152 ευρώ κάθε μήνα, πόσα σπίτια πρέπει να βάψουν για να κερδίσει το κάθε αγόρι 1000

ευρώ;

25. Μία παραγωγή ενός θεάτρου το πρώτο χρόνο που παίχτηκε το έργο, πούλησαν

συνολικά 1572 εισιτήρια. Το δεύτερο χρόνο 1753 εισιτήρια. Το τρίτο χρόνο πούλησαν 152

λιγότερα από το δεύτερο χρόνο. Πόσα εισιτήρια συνολικά πούλησαν στα 3 χρόνια; Αν το

ένα εισιτήριο κόστιζε 15 ευρώ, πόσα χρήματα έβγαλαν το πρώτο χρόνο και πόσα συνολικά

στα 3 χρόνια;

26. Ένας κακοποιός ο Ρίντλερ άφησε ένα αποδεικτικό στοιχείο για το Μπάτμαν για να βρει

τον τόπο του εγκλήματος. Αυτά είναι τα στοιχεία που βρήκε ο Μπάτμαν:

1. Είναι ένα μέρος ανάμεσα σε χίλιες περιοχές.

2. Ο αριθμός στη δέκατη περιοχή είναι 9 φορές ο αριθμός στις χίλιες περιοχές.

3. Πολλαπλασίασε τον αριθμό σε χίλιες περιοχές επί 2.

4. Ο αριθμός της πρώτης περιοχής είναι ίσο με ένα χέρι χωρίς αντίχειρα.

5. Ο αριθμός σε εκατοντάδες είναι 2 λιγότερο από τον αριθμό στη δέκατη περιοχή.

Λύσε το γρίφο και βοήθησε τον Μπάτμαν να σταματήσει τον Ρίντλερ.

27. Ποια αριθμητικά σύμβολα και που πρέπει να μπουν ανάμεσα στους αριθμούς του

987654321 για να μας δώσουν το τελικό αποτέλεσμα 99;

28. Το σκοινάκι μου που παίζω κόπηκε στη μέση. Το μισό το πέταξα. Το άλλο μισό, κόπηκε

ξανά στο 1/3. Το μεγαλύτερο κομμάτι (3 μέτρα μακρύ) που έμεινε, είναι αυτό που

χρησιμοποιώ για να παίξω. Πόσο μακρύ ήταν το σκοινάκι μου όταν άρχισα το παιχνίδι

σήμερα;

29. Σύμφωνα με αυτούς που γνωρίζουν καλά σκάκι, οι πρώτες 4 κινήσεις σε ένα αγώνα

σκάκι μπορούν να παιχτούν με 197.299 συνολικά διαφορετικούς τρόπους. Αν ο χρόνος που

102

χρειάζεται κάποιος για να κάνει μία κίνηση είναι 30 δευτερόλεπτα, πόση ώρα θα πάρει σε

κάποιο παίχτη αν θέλει να δοκιμάσει κάθε πιθανό τρόπο των 4ων κινήσεων;

30. Ο Νίκος πρέπει να πάει στη δουλειά του στις 9:00 π.μ. Χρειάζεται 15 λεπτά για να

ντυθεί, 20 λεπτά για να πάρει το πρωινό του και 35 λεπτά να πάει στη δουλειά του. Τι ώρα

πρέπει να σηκωθεί για να είναι στην ώρα του στη δουλειά του;

31. Όπως περίμενα το μετρό ένα πρωί, παρατήρησα πως πληρώνουν οι άνθρωποι την τιμή

του εισιτηρίου. Μέτρησα 20 άτομα πριν να έρθει το τρένο μου. Οι 12 μειωμένα εισιτήρια,

οι 6 πλήρωσαν με πιστωτική κάρτα και οι 2 μετρητά. Αποφάσισα να θεωρήσω ότι αυτή η

αναλογία ίσχυε για όλους τους ανθρώπους που υπήρχαν εκείνο το πρωινό μαζί μου μέσα

στο μετρό.

Όταν μπήκα μέσα στο τρένο γρήγορα μέτρησα 47 άτομα να κάθονται και23

(συμπεριλαμβάνοντας κι εμένα) να στέκονται όρθιοι.

Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις που έκανα για το πώς οι άνθρωποι πλήρωσαν για το

εισιτήριο το πρωί , πόσοι νομίζεις εσύ πλήρωσαν μειωμένο εισιτήριο, πόσοι πλήρωσαν με

πιστωτική κάρτα και πόσοι με μετρητά;

Όταν ένα εισιτήριο μειωμένο κοστίζει 1.30 ευρώ, ένα κανονικό 2 ευρώ και με πιστωτική

κάρτα 69 ευρώ το μήνα (που είναι ίσο περίπου με 60 διαδρομές το μήνα), πόσο κόστισε

στους ανθρώπους που βρισκόταν στο τρένο μου αυτή η μία διαδρομή;

32. Το εργοστάσιο παραγωγής ποδηλάτων, κάνει ένα γενικό έλεγχο στα ποδήλατα, για να

ελέγξουν αν η συναρμολόγηση έγινε σωστά. Μερικά από αυτά όμως περνάνε

αυστηρότερους ελέγχους, για να ελεγχθεί η ασφάλειά τους πριν βγούνε σε μαζική

παραγωγή.

Σε κάθε τέταρτο ποδήλατο, γίνεται αυστηρότερος έλεγχος στις ταχύτητες. Σε κάθε πέμπτο

γίνεται έλεγχος των φρένων.

Αν το εργοστάσιο παράγει 435 ποδήλατα, κάθε μέρα, σε πόσα από αυτά γίνεται έλεγχος

των ταχυτήτων και των φρένων μαζί;

103

Υπέθεσε ότι σε όλους του ελέγχους που έχει κάνει το εργοστάσιο στα ποδήλατα δε βγήκε

κανένα ελαττωματικό και γι’ αυτό αποφασίζουν να κάνουν έλεγχο ταχυτήτων και φρένων,

σε κάθε έξι ποδήλατα. Πόσα ποδήλατα θα ελεγχθούν συνολικά σε ταχύτητες και σε φρένα,

(η παραγωγή παραμένει η ίδια, 435 ποδήλατα κάθε μέρα).

33. Η Ματίνα και ο μπαμπάς της γεννήθηκαν και οι δύο στις 13 Ιουλίου. Ο μπαμπάς της

γεννήθηκε το 1961 και η Ματίνα το 1991. Κάθε χρόνο, στα γενέθλιά τους, ο μπαμπάς της

χαμογελώντας της λέει «με έφτασες». Η Ματίνα, ξέρει ότι λέει κάτι που πιστεύει ότι είναι

αστείο, αλλά δε καταλαβαίνει τι εννοεί με αυτό. Γι’ αυτό της έδωσε πέντε ερωτήσεις να τη

βοηθήσουν να σκεφτεί και να το καταλάβει. Βοήθησε τη Ματίνα να απαντήσει τις

ερωτήσεις για να καταλάβει τι εννοεί ο μπαμπάς της όταν το λέει αυτό.

1. Τι μέρος της ηλικίας του μπαμπά της ήταν η Ματίνα όταν ήταν 1 μηνών;

2. Όταν ήταν 1 χρονών;

3. Όταν ήταν 10;

4. Σε ποια ημερομηνία η Ματίνα θα είναι ακριβώς το 1/2 της ηλικίας του μπαμπά της;

5. Πως οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις δείχνουν ότι η Ματίνα «φτάνει» το

μπαμπά της;

Η Ματίνα ποτέ στην πραγματικότητα δε θα «φτάσει» τον μπαμπά της. Αν αυτός είναι υγιής

και ζήσει πολλά χρόνια, ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό μέρος της ηλικίας του μπαμπά

της, που θα μπορέσει να φτάσει;

34. ΄΄Είμαι τρεις μέρες μεγαλύτερος από την Χριστίνα που μένει δίπλα μας. Πόσο

μεγαλύτερος είσαι εσύ από εμένα;’’, είπε ο Νίκος στον αδελφό του Βασίλη;

Ο Βασίλης λέει, ΄΄ Ήμουν έξι χρονών όταν γεννήθηκες εσύ’’.

΄΄Αλλά δεν έχουμε την ίδια ημερομηνία γενέθλια, άρα δεν ήσουνα ακριβώς έξι χρόνια

μεγαλύτερος. Πόσες μέρες μεγαλύτερος είσαι;’’

Ο Βασίλης το σκέφτηκε για μερικά λεπτά και είπε, ΄΄ Βασίλη σε προκαλώ να βρεις πόσες

μέρες είμαι μεγαλύτερος και μόλις το βρεις θα βρω εγώ πόσες ώρες είμαι μεγαλύτερος.’’

Και τα δύο αγόρια χαμογέλασαν, σκεφτόμενοι ότι έχουν την πιο εύκολη πρόκληση.

Πληροφορίες:

104

Ο Νίκος γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου το 1994, στις 1:00π.μ. στο Πανεπιστημιακό

Νοσοκομείο.

Ο Βασίλης γεννήθηκε στις 9 Νοεμβρίου του 1987 στις 10:30μ.μ. στο ίδιο

νοσοκομείο.

Πόσες μέρες τελικά είναι μεγαλύτερος ο Βασίλης; Εξήγησε τον τρόπο που το βρήκες.

Ποιος από τα δύο αδέλφια είχε τελικά την πιο εύκολη πρόκληση και γιατί;

35. Η Μαρία, η Κατερίνα και η Γιάννα θέλουν να αγοράσουν τρεις μπλούζες και ζητάνε από

τον μπαμπά τους χρήματα. Επιπλέον, η Μαρία χρειαζόταν ένα καπέλο και η Κατερίνα με τη

Γιάννα ήθελαν να αγοράσουν και αυτοκόλλητα.

ΤΙΜΕΣ

Μπλουζάκι 15,95 ευρώ

Καπέλο 12,45 ευρώ

Αυτοκόλλητα 1,60 ευρώ

΄΄Θα δώσω τα χρήματα στη Μαρία, αλλά πέστε μου πόσα να τις δώσω ακριβώς, ώστε να

μην έχετε πολλά ρέστα για ζαχαρωτά’’, είπε ο μπαμπάς τους χαμογελώντας.

Και οι τρεις σκέφτηκαν τις παραπάνω τιμές και έκαναν κάποιους γρήγορους υπολογισμούς

με τα δάχτυλα. Η Γιάννα είπε ,΄΄θέλουμε 59 ευρώ’’. Η Κατερίνα είπε, ΄΄ είναι πολύ λίγα, δε

θα μας φτάσουν, δώσε της 65 ευρώ’’ και η Μαρία είπε, ΄΄ θα κάνουν λιγότερο από 65 ευρώ,

αλλά περίπου τόσα θα χρειαστούμε.’’

Πως νομίζεις εσύ ότι έκαναν τους υπολογισμούς τους η Γιάννα και η Κατερίνα;

Χωρίς να προσθέσεις καθόλου τις τιμές, βρες έναν άλλο τρόπο να υπολογίσεις πόσα

χρήματα θα περισσέψουν από τα κορίτσια για να αγοράσουν και ζαχαρωτά; Ποιον από τους

παραπάνω υπολογισμό θα χρησιμοποιούσες εσύ σε τέτοια περίπτωση; Γιατί;

36. Ο Αντρέας και η παρέα του σχεδιάζουν τις καλοκαιρινές τους διακοπές και αποφάσισαν

να πάνε για έξι μέρες στη Χαλκιδική. Ο Αντρέας που λατρεύει να βρίσκει και να κλείνει τις

πιο συμφέρουσες ταξιδιωτικές συμφωνίες, ψάχνοντας για προσφορές στο internet, για

ενοικιαζόμενα αυτοκίνητα, καταλήγει στις παρακάτω:

Αυτοκίνητο Α – 199 ευρώ την εβδομάδα, για απεριόριστο αριθμό χιλιόμετρων.

105

Αυτοκίνητο Β – 172 ευρώ την εβδομάδα και 15 λεπτά κάθε χιλιόμετρο, με όριο

περίπου 300 χιλιόμετρα.

Αυτοκίνητο Γ – 30 ευρώ την ημέρα και 8 λεπτά κάθε χιλιόμετρο.

Στις διακοπές τους υπολογίζουν ότι θα κάνουν περίπου 400 με 500 χιλιόμετρα με το

ενοικιαζόμενο αυτοκίνητο. Για να καταλήξει ο Αντρέας στην πιο συμφέρουσα σε αυτούς

προσφορά, κάνει υπολογισμούς και συγκρίνει το κόστος που θα έχουν σε κάθε

επιλογή(αυτοκίνητο Α, Β ή Γ) στα 400, 450 και 500 χιλιόμετρα.

Χρησιμοποιώντας το σκεπτικό του Αντρέα και κάνοντας αυτούς τους υπολογισμούς, ποια

νομίζεις εσύ από τις παραπάνω προσφορές είναι η πιο συμφέρουσα για τον Αντρέα και την

παρέα του; Γιατί;

37. Μία ομάδα μαθητών, (με το ψευδώνυμο Πυθαγόρας) μία φορά την εβδομάδα, μετά το

σχολείο, συναντιούνται σε ένα μέρος που οι ίδιοι έχουν διαμορφώσει και κάνουν

μαθηματικούς υπολογισμούς, έρευνες και μετρήσεις. Στις συναντήσεις τους φροντίζουν

πάντα να έχουν παγωτά για όλους. Η αποστολή τους αυτή την εβδομάδα, είναι να

αγοράσουν παγωτά για τις επόμενες συναντήσεις τους και να τα χωρέσουν στο ψυγείο

τους.

Πριν φύγουν για το ζαχαροπλαστείο, όπου θα πάρουν τα παγωτά καταγράφουν τις

διαστάσεις του ψυγείου, για να πάρουν τόση ποσότητα όση χωράει σε αυτό. Το εσωτερικό

του ψυγείου έχει διαστάσεις 65 εκατ. πλάτος, 45 εκατ. βάθος ( μήκος) και 35 εκατ. ύψος.

Στο ζαχαροπλαστείο, μέτρησαν τις διαστάσεις ενός κουτιού με παγωτά. Το πάνω μέρος του

κουτιού είχε διαστάσεις 17,5εκατ. μήκος, 11,6 εκατ. πλάτος και ύψος 12,2 εκατ.

Το «μοιρογνωμόνιο» (ψευδώνυμο ενός παιδιού – όλα τα παιδιά της ομάδας έχουν από ένα

ψευδώνυμο που το πήραν από κάποια μαθηματική έννοια), πρότεινε να βάλουν τα κουτιά,

με το μπροστινό μέρος του κουτιού να κοιτάει προς τα επάνω και τη διάσταση των 17,5

εκατ. κατά μήκος του μπροστινού μέρους του ψυγείου.

Η «ορθή γωνία», συμφώνησε να βάλουν τα κουτιά, με το μπροστινό μέρος του κουτιού να

κοιτάει προς τα πάνω, αλλά για να αποφύγουν τη δυσκολία που θα συναντήσουν αν τα

τοποθετήσουν έτσι, για να βγάλουν τα παγωτά όταν τα χρειαστούν, πρότεινε να βάλουν τη

διάσταση των 11,6 εκατ. κατά μήκος του μπροστινού μέρους του ψυγείου.

106

Ποια από τις δύο προτάσεις είναι η καλύτερη για να χωρέσουν περισσότερα παγωτά στο

ψυγείο και πόσα; Πόσο κενό μέρος θα μείνει στο ψυγείο αν αγόραζαν τόσα κουτιά με

παγωτό;

Υπέθεσε ότι είσαι μέλος της ομάδας αυτής. Δώσε ένα ψευδώνυμο στον εαυτό σου και

πρότεινε εσύ στα άλλα μέλη της ομάδας, ένα άλλο τρόπο, με τον οποίο θα μπορούσες να

χωρέσεις περισσότερα κουτιά στο ψυγείο. Πόσα τελικά μπόρεσες να χωρέσεις εσύ;

38. Ο Κώστας και η Αγγελική συνεργάζονται στο μάθημα των μαθηματικών για να φτιάξουν

παιχνίδια με βάση τα μαθηματικά. Η Αγγελική έφτιαξε ένα παιχνίδι που το ονόμασε «

Μονούς και Ζυγούς » και παίζεται ως εξής:

Φτιάξε 2 κύκλους όπως φαίνονται παρακάτω και βάλε στον καθένα τους αριθμούς

από το 1 μέχρι το 6, και στο κέντρο ένα δείκτη (σαν του ρολογιού).

Στριφογύρισε το δείκτη και βρες το γινόμενο των δύο αριθμών που θα δείξουν οι

δείκτες.

Ο παίκτης Α παίρνει ένα βαθμό αν το γινόμενο είναι ζυγός αριθμός.

Ο παίκτης Β παίρνει ένα βαθμό, αν το γινόμενο των δύο αριθμών είναι μονός

αριθμός.

Ο παίχτης που θα συγκεντρώσει πρώτος 10 πόντους κερδίζει.

Αφού έπαιξαν το παιχνίδι αρκετές φορές, με τον ίδιο παίχτη να χάνει κάθε φορά, η Αγγελική

είπε, ΄΄Σκέφτομαι να αλλάξουμε τους κανονισμούς γιατί αυτό το παιχνίδι δε μου φαίνεται

δίκαιο.’’

Τελικά εσύ τι πιστεύεις; Έχουν και οι δύο παίχτες Α και Β την ίδια ευκαιρία για να νικήσουν;

Αν πιστεύεις ότι η απάντηση είναι ναι, εξήγησε τον λόγο.

Αν πιστεύεις πως όχι, εξήγησε πως μπορεί να αλλάξει το αποτέλεσμα, για να είναι

δίκαιο το παιχνίδι.

107

Η Αγγελική αποφάσισε να χρησιμοποιήσει παρόμοια ιδέα με την προηγούμενή της και

έφτιαξε ένα άλλο παιχνίδι που το ονόμασε «Πρώτοι στη Διάσωση». Σε αυτό το παιχνίδι, ο

παίχτης Α, παίρνει ένα πόντο για κάθε ζυγό γινόμενο και ο παίχτης Β, παίρνει ένα πόντο για

κάθε γινόμενο. Αλλά αυτή τη φορά, ο παίχτης που είναι σε μειονεκτική θέση, επίσης παίρνει

δύο βαθμούς για το πρώτο γινόμενο. Ποιος παίχτης έχει τώρα περισσότερες πιθανότητες

να κερδίσει;

39. Ένας οδηγός αυτοκινήτου και ένας ποδηλάτης ξεκινάνε την ίδια ώρα, από το ίδιο μέρος

και πηγαίνουν προς την ίδια κατεύθυνση. Το αυτοκίνητο ταξιδεύει με 65 χιλιόμετρα την

ώρα. 80 λεπτά αργότερα ο οδηγός του αυτοκινήτου στρίβει και γυρίζει προς τα πίσω. 20

λεπτά αργότερα, σταματάει να κάνει ένα διάλειμμα. Ο ποδηλάτης κάνει ακριβώς το ίδιο.

Προχωράει για 80 λεπτά, γυρίζει πίσω και μετά από 20 λεπτά κάνει επίσης διάλειμμα για να

ξεκουραστεί. Οι δύο περιοχές που σταμάτησαν έχουν διαφορά 50 χιλιόμετρα. Πόσα

χιλιόμετρα μπορεί να κάνει τελικά ο ποδηλάτης, σε μία ώρα;

40. 96 μικρά λεωφορεία πήραν του οπαδούς της Ελληνικής ομάδας ποδοσφαίρου από την

Αθήνα, για να τους μεταφέρουν στη Γερμανία, όπου θα διεξάγονταν ο αγώνας. Κάθε

λεωφορείο είχε τον ίδιο αριθμό οπαδών μέσα. 12 από τα λεωφορεία, έπαθαν λάστιχο στο

δρόμο και δεν είχαν μαζί τους άλλη ρόδα για να αντικαταστήσουν τη χαλασμένη. Έτσι, τα

άλλα λεωφορεία, έπρεπε να πάρουν έναν επιπλέον επιβάτη. Πόσοι επιβάτες ήταν από την

αρχή σε όλα τα λεωφορεία.

41. Σε μία φάρμα υπήρχαν 2 πρόβατα που κούτσαιναν στο μπροστινό δεξί πόδι και άλλα 3

που κούτσαιναν στο αριστερό μπροστινό πόδι. Ακριβώς 4 πρόβατα, δεν κούτσαιναν στο

δεξί μπροστινό πόδι και 5 που δεν κούτσαιναν στο μπροστινό αριστερό πόδι. Πόσα

τουλάχιστον πρόβατα εκτιμάς εσύ ότι βρισκότανε στη φάρμα;

108

42. Ο μπαμπάς της Μαρίας στα γενέθλιά της, της έκανε δώρο ένα σκυλάκι. Μετά από ένα

χρόνο το σκυλάκι έκανε 2 μικρά κουταβάκια. Το δεύτερο χρόνο έκανε τρεις φορές

περισσότερα κουταβάκια. Το τρίτο χρόνο πέντε φορές περισσότερα από τον πρώτο χρόνο.

Πόσα κουταβάκια έκανε η σκυλίτσα της Μαρίας μέσα σε 3 χρόνια;

Επειδή όμως, δε μπορούν να τα κρατήσουν, αν τα πουλήσει 200 ευρώ το ένα πόσα χρήματα

θα πάρει;

43. Δύο κουνέλια έχουν ακριβώς το ίδιο βάρος. Υπάρχουν και δύο κουτιά με το ίδιο βάρος

επίσης. Αν το συνολικό βάρος των δύο κουνελιών και των δύο κουτιών μαζί είναι 18 κιλά

και το βάρος των κουτιών είναι 3 κιλά, πόσο είναι το βάρος ενός κουνελιού;

44. Ενός τρένου η ταχύτητα είναι 50 χιλιόμετρα την ώρα. Πόση ώρα θα χρειαστεί το τρένο

να περάσει μέσα από ένα τούνελ, όταν το μήκος του τούνελ είναι 1000 μέτρα;

45. Υπάρχουν τρία παιδιά σε μία οικογένεια. Το μεγαλύτερο είναι 15 χρονών. Ο μέσος όρος

των ηλικιών τους είναι 11. Η μεσαία ηλικία είναι 10. Πόσο χρονών είναι το μικρότερο παιδί

της οικογένειας;

46. Η τιμή μιας μπάλας και ενός καπέλου είναι 32 ευρώ. Έστω, ότι ήθελες να αγοράσεις 2

μπάλες και 3 καπέλα. Η συνολική τιμή όλων αυτών είναι 86 ευρώ. Ποια είναι η τιμή της

μπάλας και ποια ενός καπέλου;

47. Ένα άτομο αγόρασε ένα άλογο 275 ευρώ και το πούλησε 295 ευρώ. Το αγόρασε ξανά

από αυτόν που το είχε πουλήσει και το πούλησε ξανά σε κάποιον άλλο 350 ευρώ. Μετά

από όλες αυτές τις αγοραπωλησίες, κέρδισε ή έχασε αυτό το άτομο και πόσα;

109

48. Έξι εργάτες πρέπει να ανοίξουν μία μεγάλη τρύπα στο έδαφος. Για να το καταφέρουν

αυτό, χρειάζεται να σκάβουν για έξι ώρες ο καθένας, από αυτούς. Την επόμενη ημέρα οι

πέντε από τους έξι εργάτες πήραν άδεια. Ο ένας εργάτης που έμεινε πρέπει να σκάψει μισή

τρύπα. Πόση ώρα θα χρειαστεί για να τελειώσει την δουλειά του;

49. Ένας άντρας γεννήθηκε στις 10 Μαρτίου, το 29 π.Χ. και πέθανε στις ( Μαρτίου το 41 μ.Χ.

Πόσο χρονών ήταν την ημέρα που πέθανε;

50. Σε μία έρευνα που έγινε, 200 μαθητές του δημοτικού, ρωτήθηκαν αν τους αρέσει

περισσότερο να τρώνε πίτσα ή σάντουιτς. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής έδειξαν ότι

το 5% απάντησαν ότι δεν τους αρέσουν τίποτα από τα δύο. Το 85% απάντησε ότι προτιμούν

την πίτσα και το 23% τα σάντουιτς. Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που απάντησαν ότι

τους αρέσουν και τα δύο;

51. Υπέθεσε ότι έχεις 5 σπασμένα τμήματα μιας αλυσίδας, που το καθένα τμήμα,

αποτελείται από 3 κρίκους. Θέλεις να τα κολλήσεις όλα μαζί και να φτιάξεις πάλι την

αλυσίδα. Αν σου κοστίσει 4 ευρώ να ενώσεις ένα κρίκο, πόσα χρήματα θα σου κοστίσει για

να φτιάξεις ξανά την αλυσίδα να αποτελείται από 15 κρίκους;

52. Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, το σύμβολο + και το = μόνο μία φορά το

καθένα, δημιούργησε μία σωστή παράσταση. (π.χ. 2+3=45, χρησιμοποίησα όλα τα στοιχεία

που μου δόθηκαν αλλά η παράσταση που έφτιαξα δεν είναι σωστή. Φτιάξε εσύ μία που να

ισχύει).

53. Σου δίνονται παρακάτω δύο σύνολα αριθμών:

Α = {6, 8, 10, 12 }

Β = {2, 3, 5, 6}

110

Τυχαία, διάλεξε δύο αριθμούς από το σύνολο Α και πρόσθεσέ τους. Στη συνέχεια διάλεξε

δύο αριθμούς από το σύνολο Β και πολλαπλασίασέ τους. Ποια είναι η πιθανότητα το

άθροισμα από τους δύο αριθμούς του συνόλου Α που επέλεξες να είναι μεγαλύτερο από το

αποτέλεσμα που είχες από των πολλαπλασιασμό των δύο αριθμών του συνόλου Β;

54. Η ομάδα της Βάσως έχασε στον αγώνα ποδοσφαίρου από την ομάδα της Άννας. Η

Βάσω, έχασε δύο πολύ μεγάλες ευκαιρίες για να σκοράρει. Αν δεν είχε χάσει αυτές τις δύο

ευκαιρίες, οι δύο ομάδες θα είχαν λήξει με ισοπαλία. Από την άλλη, αν η ομάδα της Βάσως

είχε διπλασιάσει τα γκολ, θα είχαν κερδίσει με ένα γκολ παραπάνω από την ομάδα της

Βάσως. Ποιο ήταν το τελικό σκορ που τερμάτισε το παιχνίδι;

55. Μία οικογένεια ζει στην Θεσσαλονίκη. Η κάθε κόρη τους έχει 5 αδελφές (κορίτσια) και 2

αδέλφια (αγόρια). Επίσης, κάθε αδελφός έχει 6 αδελφές και μόνο ένα αδελφό. Πόσα παιδιά

έχει η οικογένεια;

56. Υπέθεσε ότι πήρες μέρος σε ένα διαγωνισμό «δύναμης και ταχύτητας» και πρέπει να

κόψεις ένα κούτσουρο σε 3 κομμάτια μέσα σε 12 λεπτά. Στον ίδιο διαγωνισμό, αν σου

ζητούσαν να κόψεις το κούτσουρο σε 7 κομμάτια πόση ώρα θα έκανες;

57. Αν υποθέσουμε ότι μία κότα έκανε 1,5 αβγό σε 1,5 μέρα, πόσα αβγά θα έκαναν 3,5

κότες σε 3 μέρες;

58. Πόσο χρονών θα ήσουν αν ζούσες 1.000.000 ώρες;

59. Ο νικητής ενός διαγωνισμού, ανακηρύχθηκε στις 4:00π.μ. Ένας φίλος του παίρνει

τηλέφωνο σε άλλους δύο φίλους του για να τους ανακοινώσει το αποτέλεσμα στις 4:15.

Πριν τις 4:30 αυτοί παίρνουν τηλέφωνο σε άλλους δύο φίλους τους, ο καθένας για να

111

ανακοινώσουν το νικητή. Πριν τις 4:45 κάθε άτομο που κλήθηκε από τους προηγούμενους

τηλεφωνεί άλλους δύο. Τι ώρα 200 άτομα θα μάθουν τα αποτελέσματα του διαγωνισμού;

60. Βάλε τις παρενθέσεις στη σωστή σειρά, ώστε, η επόμενη παράσταση να βγαίνει σωστή:

40 – 6 * 6 – 2 – 6 = 10

61. Υπέθεσε ότι οι μαθητές πηγαίνουν στο σχολείο σε ομάδες. Είσαι ο πρώτος που φτάνεις

και αν και είσαι μόνος σου θεωρείσαι ομάδα. Η δεύτερη ομάδα έχει δύο άτομα

περισσότερα από τη δικιά σου. Η τρίτη έχει επίσης δύο περισσότερα από τη δεύτερη

ομάδα. Αν οι υπόλοιποι μαθητές είναι 625, πόσες ομάδες θα φτάσουν στο σχολείο, με την

προϋπόθεση ότι η κάθε ομάδα θα έχει δύο περισσότερα μέλη από ότι η προηγούμενη.

62. Ένας κανονικό άνθρωπος ανοιγοκλείνει τα μάτια του, κατά μέσο όρο 25 φορές το

λεπτό από τη στιγμή που ξυπνάει. Αν υποθέσουμε ότι κοιμάσαι ακριβώς 8 ώρες την ημέρα

και ότι ένας χρόνο έχει ακριβώς 365,25 μέρες, στα επόμενα γενέθλιά σου, πόσες φορές θα

έχεις ανοιγοκλείσει τα μάτια σου, από τη στιγμή που γεννήθηκες;

63. Υπέθεσε ότι είσαι στον κινηματογράφο και παρακολουθείς μία ταινία. Στο διάλειμμα

αποφασίζεις να αγοράσεις ένα κουτί ποπκορν και ένα αναψυκτικό. Παρατήρησες ότι η τιμή

των ποπκορν είναι 2 ευρώ και επιπλέον, το μισό της τιμής τους. Το αναψυκτικό κάνει 1

ευρώ και επιπλέον, το μισό της τιμής του. Αν αγοράσεις ένα κουτί ποπκορν και ένα

αναψυκτικό, πόσα χρήματα θα πλήρωνες;

64. Οι μαθητές μιας τάξης ενός δημοτικού σχολείου θα πάνε εκδρομή και θα πάνε με μικρά

λεωφορεία. Οι μαθητές είναι 25. Καθένας από αυτούς πρέπει να φοράει ζώνη και κάθε

από αυτά τα λεωφορεία έχουν 7 ζώνες. Πόσα μικρά λεωφορεία σαν αυτά θα χρειαστούν

για να μεταφέρουν τους μαθητές;

112

65. Η Αγγελική κάλεσε στο πάρτι των γενεθλίων της τους συμμαθητές της. Από αυτούς πήγε

το 1/3. Το 1/2 από αυτούς ήπιαν κόκα – κόλα και τα 4/6 πορτοκαλάδα. Πόσοι πήγαν τελικά

και ήπιαν πορτοκαλάδα;

66. Η Μαρία, ο Πέτρος και ο Άγγελος είναι τρεις αχώριστοι φίλοι αν και είναι από

διαφορετικά μέρη ο καθένας τους. Κάθε φορά που συναντιούνται συγκρίνουν ομοιότητες

και διαφορές των πόλεών τους. Το θέμα της τελευταίας συζήτησής τους ήταν για το

ποδήλατο του Άγγελου που του το έκλεψαν.

Αυτό το γεγονός τους έκανε να αναρωτηθούν σε ποια από τις τρεις πόλεις, τα ποδήλατά

τους θα είναι πιο ασφαλή. Αποφάσισαν, λοιπόν, να κάνουν μία μικρή έρευνα. Η Μαρία είπε

ότι στην πόλη της τον προηγούμενο χρόνο, έμαθε ότι κλέφτηκαν 7 ποδήλατα. Ο Πέτρος,

ανακάλυψε ότι στη δικιά του κλέφτηκαν 75. Ενώ ο Άγγελος διαπίστωσε ότι στη πόλη του το

περασμένο χρόνο, είχαν γίνει 50 καταγγελίες, για κλοπές ποδηλάτων. Με αυτές τις

πληροφορίες που συγκέντρωσαν τα παιδιά, η Μαρία κατέληξε, ότι η πόλη της είναι η πιο

ασφαλής για το ποδήλατό της. Ο Πέτρος όμως, θέλοντας να είναι πιο προσεκτικός,

κλείδωσε καλά το ποδήλατό του.

Οι τρεις φίλοι αποφάσισαν ότι οι παραπάνω πληροφορίες δεν ήταν αρκετές για να βγάλουν

σωστό συμπέρασμα κι αυτό γιατί η Μαρία ζει σε μία πόλη με 10.000 κατοίκους, ο πόλη που

ζει ο Πέτρος έχει 500.000 κατοίκους, ενώ, η πόλη του Άγγελου 100.000 κατοίκους.

Λαμβάνοντας υπόψη, το πληθυσμό της κάθε πόλης, σε ποια από τις παραπάνω πόλεις, το

ποδήλατό σου θα είναι ασφαλή;

67. Αν 7 παιδιά μοιραζόταν μία πίτσα, θα έτρωγε από ένα κομμάτι ο καθένας τους, δηλαδή

το 1/7 της πίτσας. Κι αυτό θα γινόταν αν κόβαμε την πίτσα σε 7 κομμάτια, ώστε το κάθε

παιδί να πάρει από ένα κομμάτι. Αν όμως θέλαμε να κόψουμε την πίτσα ,έτσι ώστε, το κάθε

παιδί να έτρωγε 2 κομμάτια, τι μέρος της πίτσας θα έτρωγε σε αυτή την περίπτωση το κάθε

παιδί;

113

68. Ο Αλέξανδρος έφαγε το 1/2 από τα 2/3 μιας πίτσας. Τι μέρος από ολόκληρη την πίτσα

έφαγε;

69. Αν ένας άντρας μπορεί να περπατήσει 4 χιλιόμετρα σε 1 ώρα και η γυναίκα του 5

χιλιόμετρα σε 1 ώρα, σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν αν αρχίζουν το περπάτημα σε ένα

δρόμο 12 χιλιομέτρων, την ίδια ώρα, αλλά από την αντίθετη κατεύθυνση; Συμφώνησαν να

συναντηθούν στο μέσο της διαδρομής (σημείο Β).

Άντρας. 6 χιλ. Β 6 χιλ. Γυναίκα.

70. Δεκαέξι παίκτες παίρνουν μέρος σε τουρνουά τένις. Πόσοι αγώνες θα γίνουν για να

αναδειχτεί ο τελικός νικητής, αν κάθε παίχτης βγαίνει εκτός παιχνιδιού με μία ήττα;

71. Αν μία μπάλα πέσει από ένα ύψος 100 μέτρων, κάθε φορά που χτυπάει στο έδαφος,

αναπηδάει τόσο ψηλά όσο τα 3/5 του ύψους που έπεσε. Πόσο ψηλά θα φτάσει η μπάλα,

στη πέμπτη αναπήδηση που θα κάνει;

72. Δύο κορίτσια η Αφροδίτη και η Σοφία , αποφάσισαν να πάνε διακοπές μαζί και να

μοιράσουν τα έξοδά τους. Η Αφροδίτη υπολόγισε πόσα χρήματα θα ξοδέψουν στο φαγητό

και στο ξενοδοχείο που θα μείνουν. Η Σοφία υπολόγισε τα έξοδα της βενζίνης και της

διασκέδασης. Πόσα χρήματα τελικά χρωστάει η Σοφία στην Αφροδίτη; Πόσα θα είναι τα

συνολικά έξοδα των κοριτσιών;

Αφροδίτη: Φαγητό

56,97 ευρώ

Ξενοδοχείο

83,29 ευρώ

Σοφία:

Βενζίνη

41,96 ευρώ

Διασκέδαση

37,47 ευρώ

114

73. Αν 7 μήνες έχουν 31 ημέρες, 11 μήνες έχουν 30, πόσοι μήνες έχουν 28 μέρες;

74. Ένα μικρό, πράσινο βατραχάκι, θέλει να ανέβει στο τελευταίο σκαλοπάτι. Πηδάει

μπροστά δύο σκαλοπάτια και ένα προς τα πίσω. Στη συνέχεια, πηδάει μπροστά άλλα δύο

και πίσω άλλο ένα. Πόσες κινήσεις πρέπει να κάνει το βατραχάκι για να φτάσει στο τελευταίο

σκαλοπάτι, όταν τα σκαλοπάτια είναι 10, αν συνεχίσει να κάνει τις ίδιες κινήσεις(δύο

μπροστά, ένα πίσω);

75. Υπάρχουν ακριβώς 11 άτομα σε ένα δωμάτιο και κάθε άτομο ανταλλάζει χειραψία με τα

υπόλοιπα άτομα που είναι στο δωμάτιο. Όταν ο Α ανταλλάσσει χειραψία με τον Β, τότε και

ο Β επίσης, ανταλλάσσει χειραψία με τον Α. Πόσες χειραψίες θα γίνουν όταν όλοι

χαιρετηθούν;

76. Ένας ενήλικας ζυγίζει 80 κιλά και δύο παιδιά ζυγίζουν 40 κιλά το καθένα. Θέλουν και οι

τρεις να περάσουν με τη βάρκα τους απέναντι από το ποτάμι. Η βάρκα όμως, μπορεί να

αντέξει βάρος 80 κιλών σε κάθε διαδρομή. Πόσες διαδρομές πρέπει να κάνουν για να

περάσουν και οι τρεις απέναντι;

77. Οι 28 μαθητές μιας τάξης, αποφάσισαν να πάνε ημερήσια εκδρομή σε ένα ζωολογικό

κήπο 60 χιλιόμετρα μακριά από το σχολείο τους. Το ταμείο του συλλόγου γονέων, θα τους

κάλυπτε τα έξοδα της διαμονής αλλά χρειάζονταν χρήματα και για τα υπόλοιπα έξοδα της

εκδρομής τους.. Οι μαθητές έπρεπε να πληρώσουν 150 ευρώ για το λεωφορείο, 3,95 ευρώ

για το πρωινό του κάθε μαθητή, 2,38 ευρώ για το μεσημεριανό του κάθε μαθητή και 45

ευρώ για το βραδινό όλων. Καθώς επίσης, και 4 ευρώ ο καθένας για την είσοδό τους στο

ζωολογικό κήπο.

115

Αν οι μαθητές μοιράσουν τα έξοδα, πόσα χρήματα θα χρειαστεί ο καθένας από αυτούς για

να πραγματοποιήσουν την εκδρομή τους;

Πόσο θα τους κοστίσει το λεωφορείο για κάθε χιλιόμετρο;

78. Η Στεφανία βοηθάει την Λίντα να φουσκώσουν μπαλόνια για το πάρτι των γενεθλίων

της. Η Στεφανία χρειάζεται 5 λεπτά για να φουσκώσει ένα μπαλόνι και 3 λεπτά για να το

δέσει. Η Λίντα χρειάζεται 6 λεπτά για να φουσκώσει ένα μπαλόνι και 4 για να το δέσει. Και

οι δύο μαζί, φούσκωσαν και έδεσαν τρεις σακούλες μπαλόνια μέσα σε 14 λεπτά.

Πόσα μπαλόνια είχε η κάθε σακούλα;

79. Μία ομάδα 10 παιδιών ανέλαβαν να βγάλουν φωτογραφίες διάφορα ζώα και φυτά για

μία εργασία που είχαν στο μάθημα της Μελέτης. Όταν συναντήθηκαν, κάθε μέλος

αντάλλαξε τις φωτογραφίες που είχε, με ένα άλλο μέλος της ομάδας. Την επόμενη μέρα οι

φωτογραφίες επιστράφηκαν σε αυτόν που του ανήκε, για να ανταλλαχθούν ξανά, με άλλα

μέλη που δεν τις είδαν.

Πόσες ανταλλαγές πρέπει να γίνουν από κάθε μέλος ώστε κάθε μέλος να δει όλες τις

φωτογραφίες;

80. Η Νατάσσα και η Ευδοκία περίμεναν την περίοδο των εκπτώσεων για να αγοράσουν μία

μπλούζα που τους είχε αρέσει πολύ. Το κόστος της μπλούζας ήταν 24,99 ευρώ και είχε 5%

έκπτωση.

Η Νατάσσα επισήμανε ότι χρειάζεται 24,99 ευρώ για να την αγοράσει, αφού ο φόρος στην

πόλη τους για κάθε ρούχο ήταν επίσης 5%.

Η Ευδοκία διαφώνησε και της είπε ότι χρειάζεται λιγότερο από 24,99 ευρώ για να την

αγοράσει.

Κάνε με τη σειρά τους υπολογισμούς για να δεις ποια από τις δύο κοπέλες έχει δίκιο.

116

81. Η Μαρία έκανε μία λίστα των προϊόντων που χρειάζεται για την σχολική χρονιά που

μόλις άρχισε και κατέγραψε τα παρακάτω:

Ένα κουτί λευκά φύλλα – 1,29 ευρώ.

Ένα κομπιουτεράκι – 7,99 ευρώ.

Πέντε τετράδια των τριών θεμάτων – 0,69 ευρώ το καθένα.

Ένα πακέτο με 10 στυλό – 0,99 ευρώ.

Ένα κουτί μολύβια – 1,09 ευρώ.

Ένα πακέτο με χρωματιστά στυλό – 2,49 ευρώ.

Μία κόλλα – 0,44 ευρώ.

Δύο μπλοκ ζωγραφικής – 0,99 ευρώ το καθένα.

Ένα κουτί με συνδετήρες – 1,99 ευρώ.

Βοήθησε την Μαρία να υπολογίσει τα χρήματα που χρειάζεται για να αγοράσει τα

παραπάνω προϊόντα, συμπεριλαμβάνοντας στο κόστος του κάθε ποιούντος και τον φόρο,

που είναι 5%.

82. Μετά το σχολείο 4 αγόρια, ο Νίκος, ο Βασίλης, Ο Οδυσσέας και ο Αλέξης, αποφάσισαν

να παίξουν ένα αγώνα μπάσκετ και χωρίστηκαν σε δύο και δύο. Ποια από τις δύο ομάδες

νίκησε αν:

Ο Νίκος ξεπέρασε τον συμπαίκτη του κατά 6 πόντους.

Τον αριθμό των πόντων που έβαλε ο Αλέξης, μπορείς να τον βρεις, αν αναστρέψεις

τα ψηφία του αγαπημένου του αριθμού, που είναι το 31.

Ο Βασίλης έβαλε τους μισούς από τους πόντους που έβαλε ο Οδυσσέας.

Οι πόντοι που έβαλε ο Οδυσσέας ήταν 3 περισσότεροι από τρεις φορές τους

πόντους που έβαλε ο συμπαίκτης του, ο Αλέξης.

Ποια ομάδα νίκησε τελικά και με πόσους πόντους;

83. Στην Ελλάδα οι ημερομηνίες μερικές φορές γράφονται μόνο σαν αριθμούς όπως

φαίνεται παρακάτω:

4/12/1847 που είναι 4 Απριλίου,1847

117

Γράψε με αυτό τον τρόπο, πότε ήταν η τελευταία φορά που η ημερομηνία είχα 5

μηδενικά.

Ποια θα είναι η επόμενη ημερομηνία που θα έχει 5 μηδενικά;

Ποια θα είναι η ημερομηνία της τρίτης φοράς που θα έχει 5 μηδενικά;

Πότε θα είναι η πρώτη φορά που η ημερομηνία θα έχει 6 μηδενικά;

84. Η Μαρίνα δουλεύει τα καλοκαίρια σαν σερβιτόρα κάθε Παρασκευή, Σάββατο και

Κυριακή από τις 4:00 μέχρι τις 10μ.μ, στο φαστφουντάδικο του μπαμπά της. Επειδή

δουλεύει κάθε καλοκαίρι, έχει μεγάλη εμπειρία και μπορεί να εξυπηρετήσει 8 τραπέζια σε

μία ώρα. Οι πελάτες την συμπαθούν πολύ, γι’ αυτό συνήθως, της αφήνουν ένα καλό

φιλοδώρημα, 20% του πόσου που πληρώνουν. Ο μέσος όρος του συνολικού λογαριασμού

είναι 9 ευρώ.

Ποιος είναι ο μέσος όρος του ποσού των χρημάτων που παίρνει η Μαρίνα από τα

φιλοδωρήματα κάθε εβδομάδα;

Ποιος θα ήταν ο μέσος όρος του συνολικού λογαριασμού που χρειάζεται για να κερδίσει η

Μαρίνα 100 ευρώ;

85. Σε μία πρόσφατη επίσκεψή μου στο γιατρό, αποκόμισα πληροφορίες για τα

αντιβιοτικά. Ο γιατρός, μου εξήγησε, ότι για να καθορίσει πόσο αντιβιοτικό πρέπει να πάρει

κάθε ασθενής, για κάθε θεραπεία, εξαρτάται από το βάρος του κάθε ασθενή. Γι’ αυτό το

αντιβιοτικό που μου έδωσε, αντιστοιχούν 40 χιλιοστόγραμμα από το φάρμακο, για κάθε

κιλό του ασθενούς. Αυτή η δοσολογία, αντιστοιχεί περίπου σε 3 χάπια την ημέρα για μένα.

Ο γιατρός μου υπενθύμισε, ότι για να γίνω καλά πρέπει να τελειώσω όλα τα χάπια, ακόμη

και αν αισθανόμουν καλύτερα μετά από μερικές μέρες. Αλλιώς αυτά τα μικρά μικρόβια που

είχα στον οργανισμό μου θα γυρνούσαν και θα αρρώσταινα ξανά.

Το βάρος μου είναι 43 κιλά. Πόσο αντιβιοτικό περιέχει κάθε χάπι που θα πάρω;

86. Όταν o Γιωργάκης δεν έχει όρεξη να καθαρίσει το δωμάτιό του, να συμμαζέψει τα

παιχνίδια του ή να κάνει άλλες δουλειές που του λέει η μαμά του, υπερβάλει στη ώρα που

118

θα χρειάζεται, για να κάνει κάποια δουλειά και λέει ΄΄Αυτό θα μου πάρει πολύ χρόνο για να

καθαρίσω μαμά. Θα χρειαστώ ένα εκατομμύριο λεπτά για να το κάνω!’’

Όταν δεν έχει καθόλου όρεξη και η δουλειά που του έχει αναθέσει η μαμά του είναι

δύσκολη, λέει ότι χρειάζεται ένα εκατομμύριο ώρες, μέρες, βδομάδες ή «άπειρο χρόνο».

Αυτό με κάνει να αναρωτιέμαι, ποιο από τα παραπάνω παράπονα του Γιωργάκη, είναι ποτέ

δυνατό να γίνουν, λαμβάνοντας υπόψη και το όριο ζωής των ανθρώπων. Ζούμε ένα

εκατομμύριο δευτερόλεπτα; Λεπτά; Ώρες; Μέρες; Εβδομάδες;

87. Η μαμά της Δήμητρας συμφώνησε να την αφήσει να κάνει τα καλοκαιρινά της ψώνια

χρησιμοποιώντας το Ιnternet. Ο προϋπολογισμός της Δήμητρας για τα δώρα ολόκληρου

του χρόνου που θέλει να κάνει, ανέρχεται στα 100 ευρώ και θέλει να αγοράσει δώρα για τη

μαμά, το μπαμπά, τον μικρό της αδελφό, την καλύτερή της φίλη και τη δασκάλα της. Με τα

υπόλοιπα χρήματα που θα της περισσέψουν, θα αγοράσει τα υλικά για να φτιάξει κάρτες

για τους άλλους φίλους της και την οικογένειά της.

Η Δήμητρα έχει δύο απαιτήσεις για τις αγορές που θα κάνει από μέσου του δικτύου.

Πρώτον, να μην υπάρχουν φορολογικές χρεώσεις για τα προϊόντα που θα αγοράσει και

δεύτερων, η αποστολή των προϊόντων να είναι δωρεάν για τους καλοκαιρινούς αγοραστές.

Μετά από μία ώρα ψάξιμο στο Internet, η Δήμητρα δημιούργησε την ακόλουθη λίστα:

Γυναικείο πουλόβερ – 23,79 ευρώ.

Ένα παιχνίδι αυτοκινητάκι – 12,22 ευρώ.

Ένα μαντίλι – 8,99 ευρώ και τα δύο 14,95 ευρώ.

Βιβλία κηπουρικής μόνο για σήμερα προσφορά – 6,95 ευρώ.

Προσφορά βιβλία με τον Harry Potter – 11,49 ευρώ το καθένα.

Μία βιντεοκασέτα ΄΄100 εύκολοι τρόποι κηπουρικής ’’ – 12.25 ευρώ.

Ένα μικρό παιχνίδι φορτηγό 2,72 ευρώ. Η

Δήμητρα αποφάσισε να αγοράσει τα παρακάτω:

Ένα μαντίλι και το βιβλίο κηπουρικής, για τη μαμά της.

Την βιντεοκασέτα ΄΄100 εύκολοι τρόποι κηπουρικής `` για τον μπαμπά της.

Ένα αυτοκινητάκι για τον μικρό της αδελφό.

Ένα μαντίλι για την δασκάλα της.

Δύο βιβλία του Harry Potter για την καλύτερή της φίλη.

119

Πόσα χρήματα θα περισσέψουν στην Δήμητρα, μετά από τις αγορές, για να προμηθευτεί

και τα υλικά για τις κάρτες που θέλει να φτιάξει;

88. Η Ελλάδα, η χώρα μας είναι μία από τις πιο όμορφες χώρες του κόσμου, με τεράστιας

σημασίας για όλο τον κόσμο, παρελθόν. Εκατομμύρια τουρίστες επισκέπτονται κάθε χρόνο

τη χώρα μας, για να απολαύσουν τις μαγευτικές της παραλίες, τον λαμπερό ήλιο, τα

αξιοθαύμαστα και μοναδικά στον κόσμο αρχαιολογικά και ιστορικά μνημεία. Μία χρονιά,

επισκέφτηκαν την χώρα μας 4 εκατομμύρια τουρίστες.

Το 60% των τουριστών επισκέφτηκαν την Ακρόπολη.

Το 20% την Σαντορίνη.

Οι μισοί από αυτούς που επισκέφτηκαν την Σαντορίνη, επισκέφτηκαν και την

Ακρόπολη και την Κρήτη.

Το 2% των τουριστών επισκέφτηκαν και τα τρία αυτά μέρη (Ακρόπολη, Σαντορίνη

και Κρήτη.)

Ο αριθμός των ανθρώπων που επισκέφτηκαν μόνο την Κρήτη, είναι οι μισοί, από

τους ανθρώπους που επισκέφτηκαν μόνο την Σαντορίνη.

Οι τουρίστες που επισκέφτηκαν την Κρήτη ή είδαν μόνο την Κρήτη ή την Κρήτη, την

Σαντορίνη και την Ακρόπολη.

Οι υπόλοιποι τουρίστες, επισκέφτηκαν άλλες περιοχές, όπως, Θεσσαλονίκη,

Χαλκιδική, Ρόδο, Ναύπλιο και Μύκονο.

Πόσοι από τους τουρίστες επισκέφτηκαν μόνο άλλες περιοχές;

89. Η Ανδριάνα, ανάλαβε να φέρει στη γιορτή που διοργανώνει το σχολείο της 48 μικρά

κέικ για τους συμμαθητές της. Για να προλάβει το σχολικό της λεωφορείο πρέπει να

βρίσκεται στην στάση στις 7:50 π.μ. ακριβώς. Άρχισε να γαρνίρει με ζάχαρη τα κέικ στις

7:40π.μ. ακριβώς και έκανε 3 κέικ κάθε λεπτό. Αμέσως όμως, κατάλαβε ότι δε θα

προλάβαινε γι’ αυτό στις 7:44 φώναξε την μεγαλύτερη αδελφή της να την βοηθήσει να

τελειώσουν πιο γρήγορα. Η αδελφή της έκανε 4 κέικ σε ένα λεπτό. Αμέσως μόλις τελείωσαν

το γαρνίρισμα, τα έβαλε σε ένα κουτί και έφυγε αστραπιαία.

Τι ώρα ακριβώς τελείωσαν το γαρνίρισμα του τελευταίου κέικ;

120

Τελικά πρόλαβε η Ανδριάνα το λεωφορείο;

90. Στο διαμέρισμα της Χριστίνας, υπάρχει μία ανακοίνωση, που λέει «το βάρος να μη

ξεπερνάει τα 400 κιλά». Κάθε φορά που ανεβαίνει η Χριστίνα στο ασανσέρ, αναρωτιέται,

πόσα άτομα να χωράει το ασανσέρ, χωρίς να ξεπερνάει το προκαθορισμένο όριο;

Αποφάσισε λοιπόν να ρωτήσει τα αδέλφια της, τους γονείς και κάποιους από τους γείτονες,

για το βάρος τους. Τις έδωσαν αυτές τις πληροφορίες:

Χριστίνα: 35 κιλά.

Ο μικρός της αδελφός: Ζυγίζω τόσο όσο ο Πλούτο ο σκύλος μας.

Ο μεγάλος της αδελφός: Σε Ρωμαïκούς αριθμούς, το βάρος μου είναι ΧΧΧΧΙΙ κιλά.

Η μαμά της: Το βάρος μου είναι δύο φορές το δικό σου.

Ο κ. Γιάννης: ήμουν 90 κιλά, αλλά έχασα 7.

Η Γιώτα ( η κόρη του κ. Γιάννη): το βάρος μου είναι 10 κιλά περισσότερο από το μισό

του βάρους του μπαμπά μου.

Ο Πλούτο: 20 κιλά λιγότερο από το βάρος της μαμάς της.

Αν όλοι αυτοί μαζί, έμπαιναν στο ασανσέρ, πόσο κοντά θα ήταν στο όριο;

91. Τις τέσσερις πρώτες πτήσεις που έγιναν με αεροπλάνο, τις έκαναν δύο αδέλφια. Ο

πρώτος, πέταξε 37 μέτρα την πρώτη φορά και 179 μέτρα τη δεύτερη. Ο αδελφός του,

πέταξε 116 μέτρα τη πρώτη φορά και 290 τη δεύτερη. Χρησιμοποιώντας το μέσο όρο των

αποστάσεων που πέταξαν και τα δύο αδέλφια, στις τέσσερις πτήσεις που έκαναν εκείνη την

ημέρα, πόσες πτήσεις έπρεπε να κάνουν, αν ήθελαν να διανύσουν το γύρω του κόσμου;

Υπέθεσε, ότι ο γύρος του κόσμου είναι 40.000 χιλιόμετρα.

92. Μία πολύ μεγάλη πολυκατοικία, έχει 4 ασανσέρ. Κάθε ασανσέρ, ανεβαίνει 5,5 μέτρα

κάθε δευτερόλεπτο. Η απόσταση που χωρίζει τον κάθε όροφο με τον άλλο, είναι 3,7 μέτρα.

Υπέθεσε ότι είσαι στο 1ο όροφο. Μπαίνεις στο ασανσέρ, στον πρώτο όροφο και πηγαίνεις

κατευθείαν στον πέμπτο όροφο, χωρίς να σταματήσεις σε άλλο. Πόση ώρα θα κάνεις με

αυτό το ασανσέρ να ανέβεις από τ6ον 1ο στον 5ο όροφο;

121

93. Αυτό το χρόνο η οικογένεια της Αθανασίας, θα κάνει το τραπέζι, την ημέρα της

Πρωτοχρονιάς, σε όλους τους συγγενείς.. Αυτό σημαίνει ότι η γιαγιά, οι θείες, οι θείοι και

τα ξαδέλφια της θα μαζευτούν στο σπίτι της. Θα είναι 12 ενήλικες και 15 παιδιά, γι’ αυτό θα

χρειαστούν αρκετή ποσότητα φαγητού.

Η Αθανασία είναι υπεύθυνη να φτιάξει ψωμάκια γι όλους. Η μαμά της, της ζήτησε να

φτιάξει αρκετά, ώστε 3 ψωμάκια να αντιστοιχούν σε 2 ενήλικες και 4 για κάθε 3 παιδιά.

Επίσης, της ζήτησε να κάνει ένα επιπλέον ψωμάκι για κάθε άτομο, για να φτιάξουν

σάντουιτς με γαλοπούλα το άλλο πρωινό. Την συμβούλεψε να κάνει σωστά τη συνταγή

ακολουθώντας της οδηγίες ακριβώς , γιατί οι συνταγές που περιέχουν ζύμη, χρειάζονται την

κατάλληλη δοσολογία για να πετύχουν. Η Αθανασία όμως, επειδή ήθελε να τα τελειώσει

γρήγορα αποφάσισε να τα φτιάξει και να τα ψήσει όλα μαζί.

Η συνταγή είναι για 24 ψωμάκια. Πόσα ψωμάκια θα φτιάξει η Αθανασία αν ακολουθήσει

πιστά τις συμβουλές της μαμάς της; Εξήγησε με ποιο τρόπο έφτασες στην απάντηση σου.

94. Χθες, αγοράσαμε το καινούριο μας σπίτι, που είναι 14 χιλιόμετρα πιο μακριά από το

παλιό και προσλάβαμε μία μεταφορική εταιρία, που αποτελούνταν από 5 άντρες, να κάνουν

την μετακόμιση.

Σε ένα προϋπολογισμό που κάναμε, υπολογίσαμε ότι χρειαζόμαστε 160 ευρώ την ώρα για

την μεταφορική εταιρία, 40 ευρώ επιπλέον χρέωση για τη μεταφορά του πιάνου και 150

ευρώ, για επιπρόσθετες χρεώσεις. Τα συνολικά χρήματα που έπρεπε να πληρώσουμε, ήταν

1870 ευρώ.

Πόσες ώρες δούλεψε η ομάδα των 5 αντρών, για να μεταφέρουν όλα μας τα πράγματα;

95. Ο δάσκαλος είπε στους μαθητές: η αυλή μας έχει περισσότερα από ένα δέντρα και σε

κάθε δέντρο υπάρχουν περισσότερα από ένα πουλιά. Κάθε δέντρο, έχει τον ίδιο αριθμό

πουλιών, με το επόμενο δέντρο και υπάρχουν περίπου 200 με 300 πουλιά στην αυλή μας.

Πόσα δέντρα υπάρχουν στην αυλή μας;

Αν υποθέσουμε ότι το πρόβλημα αυτό άρχιζε έτσι:

122

Η αυλή μας, έχει περισσότερα από ένα δέντρα. Καθένα από αυτά, έχουν περισσότερα από

ένα κλαδιά και σε κάθε κλαδί, υπάρχουν περισσότερα από ένα πουλιά. Κάθε δέντρο έχει

τον ίδιο αριθμό κλαδιών με το επόμενο δέντρο και κάθε κλαδί έχει επίσης τον ίδιο αριθμό

πουλιών με το επόμενο κλαδί. Υπάρχουν περίπου 300 με 400 πουλιά στην αυλή. Πόσα

δέντρα υπάρχουν στην αυλή σε αυτή την περίπτωση;

96. Ο Γιάννης, η Δήμητρα και ο Αντρέας, είναι βιβλιόφιλοι. Αποφάσισαν να μοιραστούν την

αγάπη τους για τα βιβλία με τους φίλους τους, γι’ αυτό δημιούργησαν μία δανειστική

βιβλιοθήκη. Και οι τρεις τοποθέτησαν τα αγαπημένα τους βιβλία σε ένα πάγκο και

επέτρεψαν τους φίλους τους να τα δούνε.

Την επόμενη μέρα συνειδητοποίησαν, ότι έλειπαν 24 βιβλία από τον πάγκο. Αυτό σημαίνει

ότι οι φίλοι του δανείστηκαν ένα λιγότερο από τον αριθμό των βιβλίων που έβαλε στον

πάγκο ο Αντρέας. Επίσης, γνώριζαν ότι η Δήμητρα, έδωσε ένα βιβλίο επιπλέον, από ότι

τρεις φορές τα βιβλία που έδωσε ο Αντρέας. Ενώ, ο Γιάννης, έφερε ένα λιγότερο, από τα

μισά βιβλία που έφερε η Δήμητρα.

Πόσα βιβλία τελικά έφεραν και τα τρία παιδιά για να μοιραστούν με τους φίλους τους;

Εσείς ανταλλάζετε βιβλία μεταξύ σας;

97. Ένας πολύ πλούσιος άνθρωπος έκανε μία πολύ καλή επένδυση στη δουλειά του και

κέρδισε πάρα πολλά χρήματα. Αποφάσισε λοιπόν να δώσει ένα πολύ σημαντικό ποσό σε

κάποια φιλανθρωπικά ιδρύματα και τα υπόλοιπα σε τρία πολύ φτωχά ανδρόγυνα.

Την Μαριάννα, την έδωσε 50.000 ευρώ περισσότερα από την Κατερίνα και την Ελισάβετ

50.000 ευρώ περισσότερα από την Μαριάννα. Οι τρεις γυναίκες έλαβαν συνολικά 1.980.000

ευρώ.

Τα υπόλοιπα τα έδωσε στους συζύγους τις. Ο Γιώργος πήρε τόσα όσα πήρε και η γυναίκα

του. Ο Αντώνης πήρε τα μισά, όπως και η γυναίκα του και ο Σάκης πήρε τα διπλά, όπως είχε

πάρει και η δική του γυναίκα.

Μπορείς να ταιριάξεις τους άντρες με τις γυναίκες; Ποιοι είναι ζευγάρια;

123

98. Η Άντζελα έχει τα γενέθλιά της και θέλει να φτιάξει τα γλυκά για τους 40 καλεσμένους

της. Οι μισοί από αυτούς είναι έφηβοι, το 1/4 είναι ενήλικες και τα υπόλοιπα άτομα είναι

μωρά.

Στα μισά από τα μωρά δεν αρέσουν τα γλυκά και τα 1/5 των μωρών είναι πολύ μικρά για να

φάνε γλυκά. Στο 1/2 από τους ενήλικες και στα 3/4 των εφήβων, αρέσουν τα γλυκά με

σοκολάτα. Ενώ, στους υπόλοιπους αρέσουν τα γλυκά με λευκή σοκολάτα. Πόσα γλυκά με

λευκή σοκολάτα πρέπει να φτιάξει η Άντζελα;

100. Η δασκάλα ενός δημοτικού σχολείου, βάζει ένα επαναληπτικό τεστ, στα μαθηματικά,

για να δει αν οι μαθητές της κατανόησαν το κεφάλαιο που μόλις είχαν τελειώσει. Το 1/3

των μαθητών έγραψε «πολύ καλά», το 1/4 έγραψε «καλά» και το 1/6 έγραψε «μέτρια».

Δυστυχώς το 1/8 των μαθητών δεν τα πήγαν καθόλου καλά. Οι υπόλοιποι μαθητές έγραψαν

«άριστα». Πόσοι μαθητές συνολικά έγραψαν «άριστα»;

101. Ένα κουτί με 71 καραμέλες έχουν τις εξής γεύσεις: φράουλα, κεράσι, μπανάνα και

πορτοκάλι. Υπάρχουν διπλάσιες καραμέλες φράουλας από ότι κεράσι στο κουτί. Οι

καραμέλες με γεύση μπανάνα είναι μία λιγότερη από τις καραμέλες με γεύση κεράσι και έξι

λιγότερες με γεύση πορτοκάλι από τις καραμέλες με γεύση φράουλα.

Πόσες καραμέλες πρέπει να πάρεις μέσα από το κουτί, για να έχεις τουλάχιστον δύο με ίδια

γεύση;

Πόσες καραμέλες πρέπει να πάρεις για να έχεις τουλάχιστο δύο διαφορετικές γεύσεις;

124

ΔΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΣΤΟ INTERNET, απο όπου αντλήθηκαν τα προβλήματα

Πρώτο μέρος.

http://www.figurethis.org/challenges/math_index.htm

Δεύτερο μέρος.

http://illuminations.nctm.org/swr/list.asp?Ref=2&Std=5

http://mathforum.org/elempow/solutions

http://www.olemiss.edu/mathed/brain/brainold.htm

http://www.cut-the-knot.com/collection.shtml

http://www.figurethis.org/challenges/math_index.htm

http://illuminations.nctm.org/swr/list.asp?Ref=2&Std=5

http://mathforum.org/elempow/solutions

http://www.olemiss.edu/mathed/brain/brainold.htm

125 prokliseis roufogalis antonis

Education