12362 (1).pdf
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ
Specializarea: INGINERIE ELECTRICĂ ŞI CALCULATOARE
PROIECT DE DIPLOMĂ
Coordonator ştiinţific: Prof. dr. ing. Lucian Mandache
Student: Popescu Marius Dănuţ
Craiova 2015
2
ALGORITMI ŞI PROGRAM DE CALCUL
PENTRU ANALIZA REGIMURILOR
ARMONICE ÎN CIRCUITE CU CUPLAJE
MAGNETICE
3
CUPRINS
INTRODUCERE .............................................................................................................................. 5
CAPITOLUL 1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE PRIVIND CUPLAJELE MAGNETICE ................................... 6
1.1. MĂRIMI SINUSOIDALE ................................................................................................................. 6
1.2. REPREZENTAREA ÎN DOMENIUL COMPLEX ................................................................................. 9
1.3. PUTERI ÎN REGIM SINUSOIDAL .................................................................................................. 10
1.4 REZONANŢA ELECTRICĂ .............................................................................................................. 16
1.5 CIRCUITE ELECTRICE CUPLATE MAGNETIC. TRANSFORMATORUL IDEAL.................................. 17
1.6. TRANSFORMATORUL IDEAL FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC ....................................................... 19
CAPITOLUL 2. ANALIZA CIRCUITELOR CU CUPLAJE MAGNETICE MULTIPLE ................................... 27
2.1. MODELAREA CUPLAJELOR MAGNETICE SIMPLE ....................................................................... 27
2.1.1. Modelul tip serie ................................................................................................................. 27
2.1.2. Modelul tip paralel ............................................................................................................. 28
2.1.3. Modelul cu transformator ideal ......................................................................................... 30
2.2. MODELAREA CUPLAJELOR ÎN CIRCUITE TRIFAZATE ................................................................. 31
2.3. MODELAREA CUPLAJELOR MAGNETICE MULTIPLE .................................................................. 35
2.4. ALGORITMI DE CALCUL PENTRU CIRCUITE CU CUPLAJE MAGNETICE ...................................... 37
2.4.1. Algoritm pentru cuplaje simple ......................................................................................... 37
2.4.2. Algoritmi pentru cuplaje multiple ...................................................................................... 39
2.5. MODELE MATEMATICE PENTRU CIRCUITE NERECIPROCE ÎN REGIM SINUSOIDAL ................. 40
CAPITOLUL 3. PROGRAM DE CALCUL SI STUDIU DE CAZ .............................................................. 43
3.1. PREZENTARE GENERALA SI DATE INIŢIALE ............................................................................... 43
3.2. DESCRIEREA PROGRAMULUI ..................................................................................................... 45
CONCLUZII ................................................................................................................................. 57
BIBLIOGRAFIE ............................................................................................................................. 58
4
5
INTRODUCERE
Circuitele de curent alternativ sinusoidal sunt specifice sistemelor electroenergetice
reţelelor de transport şi distribuţie a energie electrice astfel încât acestea transportă o cantitate
de energie cu o pondere foarte mare la nivel mondial. Cuplajele magnetice între circuite
învecinate sunt fenomene care trebuie ţinute permanent sub control pentru a asigura buna
funcţionare a circuitelor de curent alternativ. Ca urmare studiul amănunţit al acestei categorii
de circuite este de foarte mare importanţă, motiv pentru care am ales să tratez în cadrul
proiectului de licenţă o tematică legată de analiza asistată de calculator a circuitelor din
această categorie. Proiectul e structurat în trei capitole principale, primele două conţinând
noţiunile teoretice care stau la baza realizări programelor de calcul specializate în analiza
numerică a circuitelor de curent alternativ. Ultimul capitol descrie un program de calcul
original realizat in Matlab si tratează un caz concret de reţea trifazată de medie/joasă tensiune
cu cuplaje magnetice multiple. Algoritmul pe care se bazează programul realizat folseşte
metoda nodală modificată datorită avantajelor acesteia în uşurinţa construirii sistemului de
ecuaţii. Calculele numerice se fac în domeniul complex iar rezultatele sunt verfificate prin
bilanţul puterilor. Lucrarea se bazează pe o documentare prin manuale univerisitare, cursuri,
cărţi şi articole de specialitate, informaţii culese de pe internet.
6
Capitolul 1.
NOŢIUNI FUNDAMENTALE PRIVIND CUPLAJELE
MAGNETICE
1.1. MĂRIMI SINUSOIDALE
Orice mărime )(tv de forma:
)sin()( tVtv m (1.1)
se numeşte mărime sinusoidală, de timpul t , dacă mărimile 0mV , şi sunt constante în
timp. Mărimile acestea se numesc respectiv eaamplitudin ),( mV frecvenţa unghiulară sau
pulsaţia ( ) si faza iniţială ( ) a funcţiei sinusoidale de t. Se observă că amplitudinea
reprezintă valoarea maximă a lui )(tv , ceea ce înseamnă notarea amplitudinii mV cu indicele
m, iniţială a cuvântului maxim. Argumentul t al sinusului se numeşte fază. La creşterea
lui t cu o perioadă T faza creşte cu 2 şi deci:
.2 T (1.2)
Frecvenţa f a mărimii sinusoidale fiind prin definiţie inversul perioadei:
,1
Tf (1.3)
rezultă următoarele expresii ale pulsaţiei:
.2
2T
f
(1.4)
În sistemul de unităţi SI, faza si faza iniţială, care sunt unghiuri, se măsoară în
radiani. Pulsaţia se măsoară în radiani/secundă (rad/s), iar frecvenţa în herţi (Hz).
Mărimile de forma:
)cos()( tVtv m (1.5)
7
numesc şi ele mărimi sinusoidale, deoarece pot fi aduse la forma (1.1), cu .2
Formele (1.1) şi (1.5) se numesc forma în sinus, respectiv forma în cosinus a unei mărimi
sinusoidale.
Două mărimi sinusoidale:
)sin()( 111 tVtv m
)sin()( 222 tVtv m
(1.6)
având o aceeaşi pulsaţie pot diferi prin amplitudinile lor şi prin momentele lor
corespunzătoare realizării valorilor maxime ca în figura 1.1.
-5 0 5 10 15 20
x 10-3
-150
-100
-50
0
50
100
150
Timp [s]
v 1 ;
v2
v1(t)
v2(t)
1
2
Fig. 1.1
Defazajul astfel definit poate fi caracterizat prin unghiul de defazaj:
8
,2112 (1.7)
în care 1 şi 2 sunt fazele iniţiale corespunzătoare unor treceri prin zero învecinate ale
mărimilor )(1 tv şi )(2 tv . Unghiul 12 se numeşte defazajul mărimii )(2 tv ,în urma mărimii
)(1 tv .
Programul sursă cu ajutorul căruia a fost construită reprezentarea din figura 1.1:
f=50
T=1/f
omg=2*pi*f
gamma_1=pi/3
gamma_2=pi/6
ti=-gamma_1/omg
tf=T
N=100
pas=(tf-ti)/N
t=[ti:pas:tf]';
V1=100
V2=60
v1=V1*sqrt(2)*sin(omg*t+gamma_1);
v2=V2*sqrt(2)*sin(omg*t+gamma_2);
figure;plot(t,v1,'k',t,v2,'r-.','linewidth',2);grid
legend('v_1(t)','v_2(t)')
xlabel('Timp [s]')
ylabel('v_1 ; v_2')
Se observă că defazajul astfel definit are valori cuprinse între şi .
Mărimile )(),( 31 tvtv cu defazaj nul se numesc mărimi în fază. Mărimi în opoziţie de
fază se numesc mărimile )(),( 21 tvtv , cu un defazaj de .Mărimile )(),( 41 tvtv cu un
9
defazaj egal cu 2
se spune că sunt în cuadratură.
Defazajul al unui curent
)sin( Im tIi (1.8)
în urma unei tensiuni
)sin( Um tUu (1.9)
se defineşte conform relaţiei (1.7) prin:
IU . (1.10)
Rezultă ca expresie a intensităţii curentului:
)sin( Um tIi . (1.11)
Această formă a intensităţii curentului se utilizează frecvent în studiul curenţilor
sinusoidali.
1.2. REPREZENTAREA ÎN DOMENIUL COMPLEX
Calculul cu funcţiuni sinusoidale de o aceeaşi frecvenţă poate fi mult simplificat, aşa
cum se prezintă în acest paragraf, dacă se operează cu mărimi complexe asociate acestor
funcţiuni.
Unei mărimi sinusoidale oarecare
)sin(2)( tVtv (1.12)
i se asociază convenţional mărimea complexă constantă:
jeVV , (1.13)
în care e este baza logaritmilor naturali, iar 1j .
Reprezentarea în complex V a mărimii sinusoidale )(tv are prin urmare, ca modul
valoarea efectivă V a mărimi sinusoidale şi ca argument faza iniţială a acestei mărimi.
10
Prin reprezentarea mărimii complexe V printr-un vector în planul complex, fiecărei
mărimi sinusoidale i se asociază câte un vector în acest plan.
Considerăm ca exemplu un curent de intensitate
4502sin2
ti , amperi, are o
reprezentare în complex jjjeIj
1
2
2
2
22
4sin
4cos2
2
24
amperi.
1.3. PUTERI ÎN REGIM SINUSOIDAL
Un circuit dipolar pasiv sau activ în regim sinusoidal primeşte o putere instantanee:
)(sin)(sin2 IU ttUIiup . (1.14)
Înlocuind produsul celor două sinusuri, această putere va deveni următoarea expresie:
)2cos(cos IUtUIIUp , (1.15)
în care este defazajul IU .
Puterea instantanee poate varia în timp pentru diferite valori ale defazajului , poate
fi negativă într-un interval al unghiului de fază )( t egal cu . Valoarea medie a puterii
instantanee la U şi I daţi depinde de defazajul , fiind nulă pentru 2
şi maximă pentru
0 . În intervalele de timp
t , în care puterea este negativă, energia primită de dipol
este negativă. În aceste intervale de timp dipolul cedează energie electrică şi nu primeşte.
Deci, în regim sinusoidal transmiterea de energie, la 0 , nu se face într-un singur sens.
Prin definiţie, un circuit receptor este acel circuit care, în medie pe o perioadă,
primeşte mai multă energie decât cedează. Circuitul generator fiind cel care, în medie pe o
perioadă, cedează energie.
Puterea activă. Valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee în orice regim
periodic:
11
dtpT
P
T
0
1 (1.16)
se numeşte putere activă. Puterea activă primită de dipol corespunde unei asocieri a sensurilor
de referinţă după convenţia de la receptoare.
În cazul particular al regimului sinusoidal, puterea activă a unui dipol este egală cu
produsul dintre valoarea efectivă a tensiunii la borne, valoarea efectivă a intensităţii
curentului electric şi cos :
cosUIP . (1.17)
Acest rezultat de mai sus se obţine observând ca puterea fluctuantă
)2(cos IUtUI , care constituie al doilea termen al puterii instantanee, are o valoare
medie nulă pe timp de o perioadă
2T .
Puterea activă a unui dipol se poate exprima:
22 GURIP . (1.18)
Puterea activă iP corespunzătoare pierderilor prin efect Joule-Lenz 2Ripi , într-un
conductor de rezistenţă R parcurs de un curent de intensitate i , este proporţională cu pătratul
valorii efective I a intensităţii curentului:
TT
JJ RIdtiT
RdtpT
P0
22
0
.11
(1.19)
Un receptor are o putere activă pozitivă si un generator are o putere activă negativă.
Elementele ideale pasive de circuit au puterile active
0;0;22 CLR PPGURIP , (1.20)
unde indici R, L, C corespund respectiv rezistorului, bobinei şi condensatorului ideal.
Puterea aparentă a unui dipol este produsul dintre valoarea efectivă a tensiunii U şi
valoarea efectivă a intensităţii curentului electric la bornele acestuia:
UIS . (1.21)
În funcţie de impedanţa reală sau admitanţa reală, puterea aparentă are expresiile:
12
22 YUZIS . (1.22)
Observăm că puterea aparentă exprimă cea mai mare putere activă care se poate
realiza la tensiune U dată şi intensitate I dată.
Puterea aparentă la bornele elementelor ideale pasive de circuit se poate exprima sub
formele:
.1
1
22
22
22
CUIC
UIS
UL
LIUIS
GURIUIS
C
L
R
(1.23)
Raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă se numeşte factor de putere al
dipolului:
cosS
P. (1.24)
O problemă tehnică importantă în transportul energiei electrice este constituită de
ameliorarea factorului de putere, în sensul creşterii valori acestuia cât mai aproape de valoarea
maximă, care este egală cu unitatea. Importanţa acestei probleme derivă din faptul că
pierderile de putere, prin efect Joule-Lenz pe o linie bifilară, sunt invers proporţionale cu
pătratul factorului de putere cos , la o linie cu rezistenţă lR dată, intensitatea I, tensiunea U
şi puterea transmisă P, date:
22
22
cosU
PRIRP llJ . (1.25)
Puterea reactivă primită de un dipol cu tensiune u şi intensitate de curent i
sinusoidale este prin definiţie:
sinUIQ , (1.26)
unde fiind defazajul curentului în urma tensiunii.
Cu ajutorul unor relaţii, puterea activă se mai poate exprima şi sub formele:
13
22 BUXIQ . (1.27)
Puterea activă a elementelor ideale de circuit este:
2222 1,
1,0 CUI
CQU
LLIQQ CLR
. (1.28)
Relaţii între puterile active, reactive şi aparente ale unui dipol. Aceste puteri au
următoarele expresii:
cosUIP
sinUIQ
UIS
(1.29)
satisfac relaţiile
tgP
Q
QPS
22
(1.30)
şi
,sin
cos
SQ
SP
(1.31)
în care este defazajul dintre tensiunea şi curentul la bornele dipolului căruia îi corespund.
Aceste puteri cu semnificaţii fizice diferite au în sistemul de unităţi SI unităţi cu
denumiri diferite: 1 watt (W) pentru puterea reactivă, 1 volt-amper-reactiv (var) pentru
puterea reactivă şi 1 volt-amper (VA) pentru puterea aparentă si puterea complexă care o vom
prezenta în următorul paragraf.
Puterea complexă. Mărimile sinusoidale sunt un dipol cu o tensiune la borne
sinusoidală:
)sin(2 UtUu (1.32)
şi un curent de intensitate:
14
)sin(2 ItIi (1.33)
se caracterizează în metoda simbolică prin complexul tensiunii U şi complexul curentului I,
definite prin:
UjeUU
IjeII
.
(1.34)
Pentru calculul puterii active, reactive şi aparente, în aceeaşi metodă se defineşte
puterea complexă:
IUS , (1.35)
în care prin asterisc s-a notat valoarea complexă conjugată. Folosind defazajul IU
rezultă:
)sin(cos)(
jUIeUIeUIS jj IU
(1.36)
deci
jQPS . (1.37)
Puterea activă este deci partea reală, iar puterea reactivă partea imaginară a puteri
complexe:
SQSeRP Im, . (1.38)
Modulul puterii complexe este egal cu puterea aparentă:
.SUIIUS
(1.39)
Valoarea complex conjugată a puterii:
IUS
,
(1.40)
are parte reală egală cu P şi parte imaginară egală cu –Q:
jQPS
, (1.41)
15
adică
SQsiSeRP Im .
(1.42)
Ca orice mărime complexă şi puterea complexă se poate reprezenta în planul complex
printr-un vector. În funcţie de poziţia vectorului S , determinată de valoarea unghiului ,
puterile active şi reactive au semnele indicate prin inegalităţi.
Considerăm un exemplu cu o bobină ideală
2
L , pentru o asociere a sensurilor
de referinţă, are o putere reactivă primită pozitivă. Ca urmare, bobina este un receptor de
putere reactivă.
Un condensator ideal
2
C , pentru o asociere a sensurilor de referinţă, are o
putere reactivă primită negativă. Ca urmare, condensatorul este un generator de putere
reactivă deoarece dă o putere reactivă pozitivă.
În cazul unui dipol pasiv, folosind legea lui Ohm în formă complexă, rezultă:
.2
2
UYUYUS
IZIIZS
(1.43)
Separând părţile reale şi cele imaginare ale acestor expresii, se regăsesc expresiile
puterilor active şi reactive:
22 GURIP
22 BUXIQ .
(1.44)
Luăm cazul particular când dipolul este o sursă ideală de tensiune, operând cu
convenţia de asociere a sensurilor pozitive de la generatoare pentru o tensiune electromotoare:
)sin(2 EtEe (1.45)
şi o intensitate de curent notată:
16
)sin(2 EtIi (1.46)
rezultă:
.)(
E
E
j
j
eII
eEEU (1.47)
Puterea complexă dată de o sursa ideală de tensiune este următoarea:
sincos IjEIEIEIUS .
(1.48)
Prin urmare puterile active şi reactive date de sursă au următoarele expresii:
,sin
cos
EIQ
EIP
(1.49)
în care este defazajul curentului faţă de tensiunea electromotoare a sursei ideale. Se
remarcă faptul că P şi Q pot avea acelaşi semn sau semne diferite, în funcţie de valorile
defazajului . Putem considera un exemplu, pentru 4
, sursa considerată este
generator de putere activă şi receptor de putere reactivă )0( Q . Pentru 42
, sursa
fiind receptor de putere activă şi generator de putere reactivă.
1.4 REZONANŢA ELECTRICĂ
Prin regim de rezonanţă sau rezonanţă se poate înţelege regimul de funcţionare
sinusoidal al unor circuite dipolare cu bobine şi condensatoare, în care puterea reactivă
primită pe la bornele de alimentare este nulă:
0Q . (1.50)
Frecvenţele sau pulsaţiile care satisfac condiţia de rezonanţă (1.50), atunci când
circuitul este alimentat la tensiune U dată sau la curent I dat, le putem numii frecvenţe de
rezonanţă.
Având
17
2BUQ , (1.51)
în cazul alimentării circuitului cu tensiune U dată, cum ar fi de la o sursă de tensiune,
condiţia de rezonanţă (1.50) va fi exprimată prin relaţia:
0B . (1.52)
Din expresia :
2XIQ , (1.53)
în cazul în care alimentam circuitul cu un curent dat I, cum ar fi de la o sursă de curent,
condiţia de rezonanţă (1.50) va fi exprimată prin relaţia:
0X . (1.54)
Deci frecvenţele sau pulsaţiile de rezonanţă sunt frecvenţele care satisfac relaţiile
(1.52) şi (1.54).
De regulă, în aplicaţii se consideră cazul alimentării circuitelor cu tensiune la borne
dată.
În circuitele cu rezistenţă echivalentă nenulă, la rezonanţă curentul este în fază cu
tensiunea.
În transportul de energie electrică acest fenomen de rezonanţă poate să ducă la apariţia
unor tensiuni sau curenţi mari, periculoşi pentru instalaţiile electrice.
1.5 CIRCUITE ELECTRICE CUPLATE MAGNETIC. TRANSFORMATORUL
IDEAL
Dacă se neglijează câmpul magnetic dinafara miezului feromagnetic, de reluctanţă
MR foarte mică, fluxul magnetic al primarului şi al secundarului unui transformator cu miez
feromagnetic se exprimă:
ff nn 211 ; , (1.55)
21 ,nn însemnând numărul de spire, iar f fluxul magnetic fascicular din circuitul magnetic.
Acest flux se exprimă în funcţie de solenaţie şi reluctanţă prin următoarea relaţie:
18
M
fR
inin 2211 . (1.56)
În regimurile în care căderile de tensiune rezistive sunt neglijabile, din (1.55) rezultă:
dt
dnu
f 11
22 udt
dn
f
(1.57)
şi prin urmare
nkn
n
u
u
2
1
2
1 . (1.58)
În astfel de regimuri, raportul tensiunilor este egal cu raportul numărului de spire, care
este notat nk .
În regimurile în care reluctanţa mR a circuitului este neglijabilă, din (1.56) rezultă că
raportul intensităţilor curenţilor este egal cu inversul raportului numărului de spire dar cu
semn schimbat:
nkn
n
i
i 1
1
2
2
1 . (1.59)
Un transformator electric cu rezistenţe electrice, reluctanţă şi dispersie magnetică
neglijabilă se numeşte transformator electric ideal. Folosind sensurile de referinţă, relaţiile
între tensiuni şi curenţi se exprimă în funcţie de raportul de transformare nk , în felul următor:
n
nki
ik
u
u 1,
2
1
2
1 , (1.60)
Se observă că un transformator ideal cedează la bornele secundare o putere
instantanee, egală cu cea primită la bornele primare:
11111
222 piuikk
uiup n
n
. (1.61)
Se mai poate vedea faptul că în regim sinusoidal, transformatorul ideal transformă
impedanţele în raportul 2
nk adică:
19
2
2
2
22
2
2
1
11 Zk
I
Uk
k
I
Uk
I
UZ nn
n
ne .
(1.62)
Pentru obţinerea unei scheme echivalente cu transformator ideal pentru un
transformator oarecare, se observă ca ecuaţiile acestuia se pot scrie sub forma:
)()(
)(
211
1
2
2
1
2
2222
21
111
IIM
L
L
MjI
L
MLjIRU
IIM
LMjIRU
(1.63)
1.6. TRANSFORMATORUL IDEAL FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC
Aparatele statice care servesc la transformarea tensiunilor şi curenţilor sinusoidali se
numesc transformatoare electrice. Cel mai simplu transformator electric este alcătuit din două
bobine cuplate magnetic. Pentru realizarea unei inductivităţi mutuale mari, adesea cele două
bobine se realizează pe un miez feromagnetic cu permeabilitate magnetică mare. În general
transformatorul fără miez feromagnetic este un circuit liniar spre deosebire de
transformatoarele cu miez feromagnetic neliniar. Transformatorul se caracterizează prin
rezistenţele 21, RR , inductivităţile proprii 21 , LL ale înfăşurărilor şi inductivitatea lor mutuală
M.
Înfăşurarea la care se aplică tensiunea de alimentare se numeşte înfăşurare primară, iar
cealaltă, unde se conectează un receptor se numeşte înfăşurare secundară.
Curentul electric din înfăşurarea secundară se stabileşte datorită fenomenului de
inducţie electromagnetică. Curentul electric din primar stabilind un câmp magnetic. Variaţia
în timp a acestui curent produce în secundar un flux magnetic variabil în timp, care datorită
legii inducţiei electromagnetice, este însoţit de o tensiune electromotoare indusă în înfăşurarea
secundară. Sub acţiunea acestei tensiuni electromotoare induse se stabileşte în secundar, dacă
aceasta formează un circuit cu impedanţă finită, un curent electric.
Intensităţile curenţilor din primar şi secundar au valori care satisfac ecuaţiile
circuitului care rezultă din legile câmpului electromagnetic.
20
De-a lungul curbelor 1 şi 2 , formate din câte o înfăşurare şi linia tensiunii la borne,
rezultă tensiunea electromotoare:
1111 uiRe
2222 uiRe .
(1.64)
Aceste tensiuni electromotoare se exprimă, pe de altă parte, pe baza legii inducţiei
electromagnetice:
dt
de 1
1
dt
de 2
2
,
(1.65)
cu valori ale fluxurilor magnetice totale ale înfăşurărilor
2111 MiiL
1222 MiiL .
(1.66)
Ecuaţiile transformatorului se scriu sub forma:
22
222121
1111 udt
diLiR
dt
diM
dt
diM
dt
diLiRu ,
(1.67)
care rezultă din (1.64), (1.65) şi (1.66), menţinând în primul membru tensiunea la bornele
primarului, respectiv tensiunea electromotoare indusă în secundar de variaţia fluxului
magnetic 121 Mi , produs în secundar de curentul din primar.
În regim sinusoidal folosind metoda simbolică, ecuaţiile transformatorului capătă
forma complexă:
222221211111 UILjIRIMjIMjILjIRU . (1.68)
Rescriem ecuaţiile (1.68) sub forma echivalentă:
)()(
)()(
2122222
2111111
IIMjIMLjIRU
IIMjIMLjIRU
. (1.69)
21
Se presupune ca se cunoaşte impedanţa complexă a sarcinii:
ss jXRZ , (1.70)
impedanţele complexe proprii ale circuitului primar, respectiv secundar:
22222
11111
LXcujXRZ
LXcujXRZ
(1.71)
şi impedanţa complexă mutuală:
MXcujXZ mmm (1.72)
se poate calcula valorile complexe ale curenţilor 1I , 2I din primar, respectiv secundar,
precum şi valoarea complexă a tensiunii la bornele secundarului, în funcţie de complexul
tensiunii la bornele primarului. Pentru acesta se rezolvă sistemul de ecuaţii (1.68):
1222
1211
IZUIZ
UIZIZ
m
m
(1.73)
şi ecuaţia:
22 IZU s , (1.74)
care exprimă forma complexă a legii lui Ohm la bornele sarcinii.
Notând impedanţa complexă totală a circuitului secundar cu:
ttst jXRZZZ 2222 , (1.75)
rezultă:
1
2
2 IZ
ZI
t
m (1.76)
deci
11
2
2
1 UIZ
ZZ
t
m
. (1.77)
Impedanţa complexă echivalentă a transformatorului definită de relaţia:
111 UIZ e (1.78)
22
care are expresia:
t
me
Z
ZZZ
2
2
11 . (1.79)
Această impedanţă complexă echivalentă se exprimă în funcţie de rezistenţe şi
reactanţe (1.71), (1.72) şi (1.75) sub forma:
tt
tt
me jXR
XR
XjXRZ 222
2
2
2
2
111
. (1.80)
Se notează raportul dintre complexul curentului secundar şi complexul curentului
primar:
t
m
Z
Z
I
ID
21
2 . (1.81)
Modulul acestei mărimi este:
2
2
2
21
2
tt
m
XR
X
I
I
(1.82)
şi din relaţia (1.80) rezultă:
)( 2
2
12
2
11 tte XXjRRZ . (1.83)
Ca urmare, impedanţa complexă echivalentă în raport cu bornele primare ale
transformatorului se poate pune în forma:
eee jXRZ 111 , (1.84)
cu o rezistenţă echivalentă:
te RRR 2
2
11 (1.85)
şi o reactanţă echivalentă:
te XXX 2
2
11 . (1.86)
Mărimile:
tttt XDXşiRDR 2
2
22
2
2 (1.87)
23
se numesc rezistenţă, respectiv reactanţa totală a secundarului reflectată în primar. În
funcţie de aceste mărimi se obţine:
.211
211
te
te
XXX
RRR
(1.88)
Se remarcă faptul că reactanţa totală a secundarului reflectată în primar şi reactanţa
totală a secundarului au semne contrare.
Valoarea efectivă a curentului primar rezultă din relaţiile (1.79) şi (1.83):
2
22
2
2
1
2
22
2
2
1
11
t
t
mt
t
m XZ
XXR
Z
XR
UI .
(1.89)
Puterea activă totală primită de transformator este:
2
11111 cos IRUIP et , iar cea consumată în primar, prin efect Joule-Lenz, este 2
111 IRP .
Diferenţa acestor puteri active este, evident, puterea activă transmisă secundarului:
12 PPP tt . (1.90)
Puterea activă transmisă secundarului se consumă în acesta prin efect Joule-Lenz:
2
222 IRP tt . (1.91)
Pe baza relaţiei (1.90), puterea transmisă secundarului se poate calcula în funcţie de
curentul primar şi rezistenţa secundarului reflectată în primar:
2
12
2
1112 )( IRIRRP tet . (1.92)
Din relaţiile (1.91) si (1.92) rezultă:
1
2
2
2 IR
RI
t
t
. (1.93)
Puterea totală transmisă secundarului este:
24
2
12
22
2
2
1
2
22
2
2
1
22
2
2
2 U
XZ
XXR
Z
XR
RZ
X
P
t
t
m
t
t
m
t
t
m
t
. (1.94)
Pentru a se obţine valori maxime pentru această putere transmisă se adaugă în serie cu
primarul şi cu secundarul transformatorului câte un condensator variabil. Variind reactanţa
circuitului primar până la valoarea:
t
t
m XZ
XX 22
2
2
1 , (1.95)
care anulează reactanţa echivalentă a transformatorului (1.86) şi corespunde rezonanţei
circuitului primar, puterea tP2 are o valoare maximă la 1U , 1R , tR2 , tX 2 şi mX daţi. Ca
urmare, acordând la rezonanţa circuitul primar (1.95), puterea activă transmisă secundarului
atinge valoarea maximă:
2
12
2
2
2
21
2
2
,2 U
RZ
XZR
RXP
t
t
mt
tm
mt
. (1.96)
Valoarea efectivă a curentului secundar are şi ea o valoare maximă conform relaţiei
(1.91), la tR2 constant:
1
2
2
2
21
,2 U
RZ
XZR
XI
t
t
m
t
m
m
.
(1.97)
Anulând derivata de la numitor în raport cu tZ 2 , se deduc valorile extreme ale lui mI ,2
şi mtP ,2 în raport cu variaţia reactanţei tX 2 a circuitului secundar, dacă se menţine simultan şi
valabilitatea relaţiei (1.95) prin reglări convenabile ale reactanţei 1X .
Această derivată are relaţia:
t
t
m RZ
XRA 22
2
2
1 . (1.98)
25
Semnul acestei expresii se ia în funcţie de valorile lui tZ 2 , aşa cum se indică mai jos:
0A pentru 2
1
22
2 m
t
t XR
RZ ,
0A pentru 2
1
22
2 m
t
t XR
RZ ,
0A pentru 2
1
22
2 m
t
t XR
RZ .
(1.99)
Observând că tttt RXRZ 2
2
2
2
22 , după cum 02 tX sau egal cu zero, se pot
distinge următoarele cazuri:
1. Cuplajul strâns definit prin tm RRX 21 care corespunde la 2
2
2
1
2
tm
t RXR
R .
Ca urmare, în cazul cuplajului strâns satisfăcând condiţia (1.99) se realizează un maximum
maximorum al curentului şi puterii în secundar:
t
mmRR
UI
21
1,2
2 ,
(1.100)
1
2
1,2
4R
UP mmt (1.101)
pentru
tm
t
t RRXR
RX 21
2
1
2
2 . (1.102)
Pentru cea mai mică valoare realizabilă a lui tt RZ 22 , la 02 tX corespunde în acest
caz )0( A o valoare minimă a curentului:
12
21
min,2 UXRR
XI
mt
m
. (1.102)
26
Din (1.95) rezultă că această valoare minimă se realizează la 021 tXX .
2. Cuplajul critic definit prin tm RRX 21 corespunde la 2
2
2
1
2
tm
t RXR
R .
În cazul cuplajului critic pentru 012 XX t se satisface condiţia (1.99), corespunzătoare
unei valori maxime (1.100).
3. Cuplajul slab definit prin tm RRX 21 corespunde la 2
2
2
1
2
tm
t RXR
R .
În acest caz, condiţia (1.99) de maxim nu poate fi satisfăcută. Cea mai mare valoare a
curentului secundar, respectiv a puterii active secundare se realizează )0( A pentru cea mai
mică valoare posibilă a impedanţei tt RZ 22 , corespunzătoare lui 012 XX t . Cea mai
mare valoare a curentului secundar are expresia dată de relaţia (1.102).
Se observă ca transmiterea puterii maxime (1.101) se face cu un randament:
2
1
1
1
1
1
)(
1
1
2
12
121
2
122
R
R
R
RIRR
IR
P
P
t
t
t
t
t . (1.103)
Transmiterea celei mai mari puteri în cazul cuplajului slab se face cu un randament:
2
21
2
2
1
2
2
21
2
1
1
m
t
t
m
t
m
t
t
X
RR
R
XR
R
X
RR
R
. (1.104)
Având în acest caz tm RRX 21
2 , rezultă că randamentul este mai mic decât 2
1.
27
Capitolul 2.
ANALIZA CIRCUITELOR CU CUPLAJE MAGNETICE
MULTIPLE
2.1. MODELAREA CUPLAJELOR MAGNETICE SIMPLE
2.1.1. Modelul tip serie
Considerăm diportul format de două bobine ideale cuplate magnetic (fig. 2.1), căruia îi
corespund ecuaţiile:
,
,
221
112
ILjIMjVV
ILjIMjVV
dc
ba
(2.1)
unde 21 , LL sunt inductivităţile proprii ale celor două bobine şi M este valoarea absolută a
inductanţei mutuale. În scrierea ecuaţiilor (2.1), se presupune dependenţa flux-curent liniară şi
cuplajul magnetic reciproc. În fig. 2.1, cu săgeata dublă punctată s-a sugerat posibilitatea
existenţei unui cuplaj negativ.
(a)
I1
●
M
I2 c
f
(b)
* * ●
a
b d
e
L1 L2
I1 a
* * M
I2
b
c
d
●
● L1
L2
Fig.2.1
Pentru schema din figura, sunt valabile relaţiile
,
,
dffcdc
beeaba
VVVVVV
VVVVVV
(2.2)
şi ecuaţiile
28
,
,
22
11
ILjVV
ILjVV
df
be
(2.3)
Care, permit construirea modelului tip „serie” prezentat. Acest model are avantajul că nu
conţine cuplaje mutuale.
Într-o schemă electrică dată, toate perechile de bobine cuplate magnetic pot fi
substituite prin modele tip „serie”, obţinându-se astfel o schemă echivalentă fără cuplaje
mutuale. Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff, pentru (n–1) noduri şi pentru bornele
diporţilor „cuplaj exclusiv”, conduce la un sistem de ecuaţii ce permite calculul potenţialelor
punctelor invocate. Numărul potenţialelor necunoscute poate fi diminuat, dacă se poziţionează
elementele înseriate ale unei laturi cuplate astfel încât o bornă a „cuplajului exclusiv” să se
suprapună unui nod al schemei echivalente.
I1 I2
c
f
(b)
a
b d
e
L1 L2
Is1 Is2
I1 I2
c
f
(a)
a
b d
e
L1 L2
Is1 Is2
Fig.2.2
2.1.2. Modelul tip paralel
Considerăm schema electrică din fig. 2.1.a, ce corespunde unei perechi de bobine
ideale cuplate magnetic. În cazul cuplajului pozitiv, exprimarea curenţilor accesurilor în
funcţie de potenţialele acestora conduce la următoarele expresii:
29
.
,
221
1
221
2
221
2
221
1
M
MLLj
VV
L
MLLj
VVI
M
MLLj
VV
L
MLLj
VVI
badc
dcba
(2.4)
Cu notaţiile
,
2
221
1
L
MLLj
VVI ba
L
(2.5)
,
1
221
2
L
MLLj
VVI dc
L
(2.6)
şi
,
221
1
M
MLLj
VVI dc
p
(2.7)
M
MLLj
VVI ba
p 221
2
(2.8)
se ajunge la modelul tip „paralel” reprezentat, în care
21
1 Lp IL
MI şi
12
2 Lp IL
MI . (2.9)
I1 I2 c
2
221
L
MLL
d
Ip1
IL1
a
b
Ip2
IL2
1
221
L
MLL
Fig.2.3
Pentru cazul cuplajului negativ, se obţin expresiile :
30
.
,
221
1
221
2
221
2
221
1
M
MLLj
VV
L
MLLj
VVI
M
MLLj
VV
L
MLLj
VVI
badc
dcba
(2.10)
Dacă păstram notaţiile anterioare, se ajunge la schema echivalentă din figura de mai
jos, corespunzătoare cazului analizat.
Avantajul utilizării modelului tip „paralel” constă în faptul că numărul nodurilor nu se
modifică.
I1 I2 c
2
221
L
MLL
d
Ip1
IL1
a
b
Ip2
IL2
1
221
L
MLL
Fig. 2.4
2.1.3. Modelul cu transformator ideal
Se poate găsi o schemă la fel ca cea de la modelul tip „serie”, putem considera
2nLM , cu n număr real.
Analiza unei scheme ca cea de la modelul tip „serie” furnizează ecuaţiile
,
,
2212
22122
ILjInLjVV
InLjILnjVV
dc
ea
(2.11)
din care se obţin
dcea VVnVV (2.12)
şi
'21 IIn , (2.13)
unde
31
dc VVLj
II
2
22
1' . (2.14)
I1
a * *
nL2 I2
b
c
d e
n2L2
L1 –
n2L2
L2
Fig.2.5
Plecându-se de la schema de mai sus, cu luarea în considerare a relaţiilor de mai sus,
se ajunge la modelul cu transformator ideal prezentat în fig. 2.6, unde cu n s-a notat raportul
de transformare.
I1 a
n : 1 I2
b
c
d L1 –
n2L2
L2
Fig.2.6
2.2. MODELAREA CUPLAJELOR ÎN CIRCUITE TRIFAZATE
Considerăm trei bobine cuplate mutual care pot aparţine:
- unui receptor trifazat în stea;
- unui receptor trifazat în triunghi;
- unei linii trifazate.
Dacă punem în evidenţă, dar separat, inductanţele proprii şi cele mutuale, obţinem
schema din figura 2.7. Apoi rezultă:
32
.
,
,
333333
222222
111111
VVILjVV
VVILjVV
VVILjVV
(2.15)
(b)
I1 1 * L1 1’
I3 3 * L3 3’
I2 2 * L2 2’
I1 1 * L1 1’
I3 3 * L3 3’
I2 2 * L2 2’
1”
3”
2”
(a)
Fig.2.7
Diferenţele de potenţial induse prin cuplaj sunt:
.
,
,
23213133
12132322
31321211
ILjILjVV
ILjILjVV
ILjILjVV
(2.16)
Sistemul de ecuaţii (2.15) are ca soluţii curenţii bobinelor cuplate
,
,
,
3231
33
333
2123
22
222
1312
11
111
IIZ
VVI
IIZ
VVI
IIZ
VVI
(2.17)
în expresiile cărora apar impedanţele asociate cuplajelor
33
2112
33
1331
22
3223
11
,
,
LL
jZ
LL
jZ
LL
jZ
(2.18)
cu
133221312312 LLLLLL (2.19)
şi curenţii comandaţi
,, 33
23121322
321312 VV
j
LLIVV
j
LLI
(2.20)
,, 11
31232133
132123 VV
j
LLIVV
j
LLI
(2.21)
., 22
12313211
213231 VV
j
LLIVV
j
LLI
(2.22)
Grupul celor trei bobine cuplate admite un model cu surse de curent comandate,
relaţiile (2.17) constituind suportul analitic al acestuia. În figură se prezintă faza întâi a acestui
model trifazat.
În cazul cuplajelor reciproce, există relaţiile particulare
,
,
,
311331
233223
122112
MLL
MLL
MLL
(2.23)
şi
.2 312312 MMM (2.24)
În consecinţă, pentru curenţii fazelor se obţin expresiile
34
,11
2
1
,11
2
1
,11
2
1
22
23
11
31
33
2331
121
11
12
33
23
22
1223
312
33
31
22
12
11
3112
231
VVZ
VVZ
VVZZ
ZI
VVZ
VVZ
VVZZ
ZI
VVZ
VVZ
VVZZ
ZI
(2.25)
în care impedanţele
3131
2323
1212
,
,
MjZ
MjZ
MjZ
(2.26)
rezultă prin particularizare adecvată a expresiilor (2.18).
Dacă dispozitivul trifazat este echilibrat, atunci:
3
312312
321
2
,
,
M
MMMM
LLLL
(2.27)
rezultă
,2
1
,2
1
,2
1
3322113
3322112
3322111
VVVVVVZ
I
VVVVVVZ
I
VVVVVVZ
I
M
M
M
(2.28)
unde MjZ M .
Prin însumarea relaţiilor de mai sus, va rezulta
3322113212
1 VVVVVV
ZIII
M
. (2.29)
Dacă sistemul de alimentare este simetric, vom obţine
0332211 VVVVVV . (2.30)
Astfel relaţiile de mai sus vor căpăta următoarea formă particulară
35
.
,
,
333
222
111
Mj
VVI
Mj
VVI
Mj
VVI
(2.31)
2.3. MODELAREA CUPLAJELOR MAGNETICE MULTIPLE
Se consideră un caz general, în care fiecare bobină este cuplată cu toate celelalte
bobine ale circuitului analizat. Se plasează o bobină în latura k si cuplată cu bobinele plasate
în celelalte laturi m );,1( kmpm .
(a) (b)
Fig.2.8
Pentru fiecare latură k din schema echivalentă, se poate scrie o relaţie de forma
,,1, pkVVILjVV kkkkkk (2.32)
apoi
,,1,1
pkIZVVp
kmm
mkmkk
(2.33)
unde kmkm LjZ este impedanţa de cuplaj dintre latura k şi latura m .
36
Sistemul de ecuaţii de mai jos, cu formă matriceală
],[][][ mkmkk IZVV (2.34)
are soluţiile
,,1),()(1
pkVVVVI mm
p
kmm
km
kk
kkk
(2.35)
în care este determinantul matricei ][ kmZ , iar kk şi km sunt minori ai acestei matrice.
Dacă se utilizează notaţiile
kk
kkY (2.36)
şi
,),( kmVVY mmkm
km
(2.37)
curenţii laturilor cu cuplaje se pot exprima astfel
,,1,)(1
pkIVVYIp
kmm
kmkkkkk
(2.38)
care permite ca fiecărei laturi k să i se asocieze un model conţinând surse de curent
comandate.
Fig.2.9
37
2.4. ALGORITMI DE CALCUL PENTRU CIRCUITE CU CUPLAJE
MAGNETICE
Analiza asistată de calculator necesită o descriere sistematică a topologiei circuitului
care, odată depusă în memoria sistemului de calcul, să poată fi uşor accesată şi interpretată. În
acest scop, folosim o matrice de descriere asociată unui circuit, cu o formă compactă care
poate sa conţină cinci linii şi un număr de coloane egal cu numărul laturilor circuitului.
Structura matricei este următoarea:
- prima linie conţine indecşii laturilor;
- a doua linie conţine codurile numerice asociate elementelor de circuit din fiecare
latură;
- linia a treia, respectiv a patra, conţine indecşii nodurilor iniţiale, respectiv finale,
pentru curentul sau tensiunea fiecărei laturi;
- ultima linie conţine „zerouri”, pentru elementele de circuit dipolare, sau indexul
porţii pereche, pentru sursele comandate şi perechile de bobine cuplate magnetic.
Eliminam cuplajele mutuale, prin modelări adecvate, astfel se implică adaptarea
matricei de descriere a circuitului în concordanţă cu metoda de modelare utilizată. Vom
prezenta doi algoritmi de adaptare a matricei de descriere, primul pentru cazul cuplajelor
simple, celalalt pentru cazul general al cuplajelor multiple prezentate mai sus.
2.4.1. Algoritm pentru cuplaje simple
Acest algoritm permite adaptarea matricei de descriere a circuitului ce conţine cuplaje
magnetice simple (perechi de bobine cuplate), în concordanţă cu utilizarea modelelor tip
„serie”.
Pentru un circuit cu l laturi, vom pune în evidenţă acea parte a matricei de descriere
iniţială referitoare la o pereche de bobine cuplate, fie p şi q acestea ca în figura de mai jos,
obţinându-se:
38
pq
db
ca
LL
lqp
cc
1
0M . (2.39)
(a)
a
b
Ip
* *
M
Iq
c
d
Lp Lq
J p= 0
c a
b d
n+1
Lp Lq
Is,p Is,q J q= 0
(b)
n+2
Ip Iq
Fig.2.10
În scopul sistematizării algoritmului de analiză, porţile de comandă ale surselor din
modelul tip „serie” se modelează prin surse independente de curent nul. Întrucât apar două
noduri suplimentare, 1n şi 2n , matricea (2.39) trebuie adaptată astfel:
• Elementele aflate pe poziţia ),2( p , respectiv ),2( q , se înlocuiesc prin codurile
bobinelor fără cuplaj;
• Nodul iniţial al laturii p devine 1n (elementul matricei pe poziţia ),3( p ), în timp
ce nodul iniţial al laturii q devine 2n (elementul din poziţia ),3( q );
• Elementele din poziţia ),5( p , respectiv ),5( q , devin egale cu zero, ceea ce
corespunde laturilor necuplate;
• Adăugam patru coloane suplimentare, pentru fiecare pereche de bobine cuplate,
având structura prezentată în expresia matricei de descriere adaptate:
120000
2121
21
43211
ll
nnnndb
cacann
JCUJCUJJLL
lllllqp
M . (2.40)
39
Plecându-se de la această matrice de descriere a schemei electrice, analiza se poate
efectua utilizând un program bazat pe metoda nodală.
2.4.2. Algoritmi pentru cuplaje multiple
În cazul prezenţei cuplajelor multiple, matricea de descriere iniţiala are in componenţa
sa mai multe linii având rolul de a preciza toate laturile cuplate cu o bobină anume. Se
consideră că sistemul trifazat face parte dintr-un circuit cu l laturi şi n noduri. Matricea de
descriere iniţială este:
.
......213
......132
......321
......321
......
...321
0
cuplatacuplatacuplata LLL
l
M (2.41)
Conform metodei de modelare prezentate, schema echivalentă fără cuplaje mutuale va
avea:
- un număr de noduri suplimentare egal cu numărul de bobine cuplate(în cazul acesta
3,2,1 );
- o impedanţă înseriată cu fiecare bobină, ce se poate calcula cu formulele stabilite;
- câte o sursă independentă de curent nul conectată în paralel cu fiecare dintre
impedanţele modelului prezentat.
În consecinţă, părţile matricei adaptate, pentru acest caz, vor fi următoarele
......000
......321
......321
......444
...321
1
LLL
l
M , (2.42)
40
1,21,11,11,31,31,2000000
332211321321
332211321321
555555444666
4,33,34,23,24,13,12,32,22,11,31,21,1
2
llllll
llllllllllll
M
JCUJCUJCUJCUJCUJCUYYYJJJ
aşa încât
21 MMM . (2.43)
2.5. MODELE MATEMATICE PENTRU CIRCUITE NERECIPROCE ÎN
REGIM SINUSOIDAL
Algoritmul de construire a unui model matematic general este prezentat în următoarele
etape care conduc la modelul matematic general:
- partiţionarea matricelor de conexiune;
- partiţionarea vectorilor curenţilor şi tensiunilor laturilor după aceeaşi logică:
;
tt
Jc
t
Ec
t
J
t
E
t
p
tt
Jc
t
Ec
t
J
t
E
t
p
UUUUUU
IIIIII
(2.44)
- construirea ecuaţiilor caracteristice ale surselor de tensiune comandate:
;
E
J
ccEcI
URAU (2.45)
- construirea ecuaţiilor caracteristice ale surselor de curent comandate:
;
E
J
ccJcI
UBGI (2.46)
- construirea modelului matematic general al circuitelor nereciproce în regim
permanent sinusoidal:
41
.
00
0
0
11
1
11
E
J
ccJc
E
J
ccEc
J
E
lpplpp
b
Jc
Ec
J
E
p
JcEcJEp
n
Jc
Ec
J
E
p
JcEcJEp
I
UBGI
I
URAU
JI
EU
UYIsauUZI
U
U
U
U
U
BBBBB
I
I
I
I
I
AAAAA
pp
(2.47)
Metoda nodală modificată pentru analiza circuitelor nereciproce în regim sinusoidal
se bazează pe exprimarea tensiunilor laturilor prin potenţialele nodurilor, pentru cazul
prezentat are următoarea formă:
VA
VA
VA
VA
VA
V
A
A
A
A
A
U
U
U
U
U
t
Jc
t
Ec
t
J
t
E
t
p
t
Jc
t
Ec
t
J
t
E
t
p
Jc
Ec
J
E
p
. (2.48)
Prima teoremă a lui Kirchhoff are forma desfăşurată:
1)1(0 nJcJcEcEcJJEEpp IAIAIAIAIA . (2.49)
Curenţii laturilor pasive, curenţii surselor independente de curent şi curenţii surselor
de curent comandate se exprimă astfel:
42
JAUGAIAIBAAUYA JJCJcEcEcECJcEpp , (2.50)
apoi se exprimă tensiunile pU şi JU prin potenţialele nodurilor:
JAIAIBAAVAGAYGA JEcEcECJcE
t
JCJc
t
pp . (2.51)
Sistemul de ecuaţii (2.51) se completează cu ecuaţiile caracteristice ale laturilor de
rezistenta nulă, în care tensiunile se exprimă prin potenţiale şi termenii se grupează în mod
convenabil:
EVAt
E
10 EclEC
t
JC
t
Ec IRVAAA
(2.52)
Rezultă expresia matriceală a metodei nodale modificate prin scrierea compactă a
relaţiilor (2.51) şi (2.52):
100
00
EcEcEc
EcEEE
l
J
Ec
E
llC
t
JC
t
Ec
llll
t
E
EcCJcE
t
JCJc
t
pp
E
JA
I
I
V
RAAA
A
ABAAAGAAYA
. (2.53)
Dimensiunile sistemului este EcE lln 1 , variabilele fiind potenţialele nodurilor şi
curenţii laturilor de impedanţă nulă, ce nu pot fi exprimaţi funcţie de potenţialele nodurilor.
43
Capitolul 3.
PROGRAM DE CALCUL ŞI STUDIU DE CAZ
3.1. PREZENTARE GENERALĂ ŞI DATE INIŢIALE
Prezentarea programului de calcul se va face simultan cu un studiu de caz constând în
reţeaua trifazată din fig. 3.1. Reţeaua conţine un generator trifazat care poate fi simetric sau
nesimetric în funcţie de modul de definire a parametrilor, impedanţele longitudinale ale liniei,
un transformator în conexiune D-Y, două receptoare trifazate şi o baterie de condensatoare
care poate avea rol de compensare a puterii reactive la bornele sarcinii.
Circuitul conţine cuplaje magnetice multiple între bobinele de pe laturile 4, 5 şi 6,
între înfăşurările primare (laturile 7, 8 şi 9) şi secundare (laturile 10, 11 şi 12) ale
transformatorului precum şi între laturile 16, 17 şi 18 care pot constitui înfăşurările unui
motor.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Fig.3.1
Datele iniţiale pe baza cărora se realizează simularea se referă la un generator de
20kV/50Hz cu neutrul legat la pământ printr-o impedanţă de limitare a curenţilor de
scurtcircuit, un transformator 20/0.4kV şi o reţea de utilizare de joasă tensiune. Datele iniţiale
44
care conţin informaţii despre topologie şi parametrii constructivi ai elementelor de circuit sunt
incluse într-un fişier de tip text care va fi importat în programul de calcul.
Informaţia din fişierul cu date de intrare se prezintă sub forma unei matrice care are
zece linii şi un număr de coloane egal cu numărul laturilor (fig.3.2).
Prima linie conţine numărul de ordine al laturilor conform schemei din fig. 3.1. Toată
informaţia de pe o coloana se referă la aceeaşi latura.
Linia doi conţine codurile elementelor în ordinea crescătoare a priorităţii în ocuparea
unei poziţii în arborele normal [1].
Fig. 3.2
Linia trei conţine nodurile iniţiale ale laturilor.
Linia patru conţine nodurile finale ale laturilor.
Liniile cinci şi şase conţin:
- elementul zero pentru surse independente de tensiune sau curent;
- elementul zero pentru rezistenţe şi condensatoare;
- numărul laturii (laturilor) cu care există cuplaj magnetic, pentru bobine cuplate.
Linia şapte conţine elemente egale cu zero, având rolul de delimitare între partiţia
superioară care se referă la structura topologică şi partiţia inferioară care se referă la
parametrii asociaţi elementelor de circuit.
Linia opt conţine:
45
- pentru surse de tensiune sau curent – valoarea efectivă a tensiunii electromotoare
sau curentului;
- pentru rezistoare – rezistenţa electrică exprimată în ohmi;
- pentru condensatoare – capacitatea exprimată în farazi;
- pentru bobine – inductanţa proprie exprimată în henry.
Linia nouă conţine:
- pentru surse de tensiune sau curent – faza iniţială exprimată în grade electrice;
- pentru rezistenţe, condensatoare şi bobine necuplate magnetic – elementul zero;
- pentru bobine cuplate magnetic – coeficientul de cuplaj cu bobina indicată pe linia
cinci (subunitar adimensional).
Linia zece conţine:
- pentru surse de tensiune sau curent – frecvenţa exprimată în Hz;
- pentru rezistenţe, condensatoare şi bobine necuplate – elementul zero.
- pentru bobine cuplate magnetic – coeficientul de cuplaj cu bobina indicată pe linia
şase.
3.2. DESCRIEREA PROGRAMULUI
Programul de calcul conţine două module, unul destinat analizei numerice şi al doilea
destinat postprocesarii rezultatelor pentru a le reprezenta într-o formă grafică uşor
interpretabilă.
Modulul de analiza numerică realizează analiza bazată pe metoda nodală modificată;
ca referinţă pentru potenţiale se alege automat nodul cu indexul cel mai mare. Este structurat
în mai multe blocuri de calcul care îndeplinesc anumite funcţii.
Blocul de calcul pentru importul datelor iniţiale şi conversia lor într-un format
compatibil. Acesta foloseşte o interfaţă comuna tuturor programelor Windows care permite
alegerea fişierului de date din memoria calculatorului:
clear all;clc
% Import date intrare
46
[Fisier,Folder,Index] = uigetfile(...
{'*.txt'},...
'Alege fisierul cu date de intrare (sau CANCEL)');
nume=[char(Folder),char(Fisier)];
date_initiale=uiimport(nume);
Fisier(end-3:end)=[];
% Afisarea Matricei de descriere a grafului
date_initiale=eval(['date_initiale.',Fisier])
% Extragerea mdg si matricei parametrilor din datele de intrare
[a,b]=size(date_initiale);
for k=1:a
if all(date_initiale(k,:)==0)
mdg=date_initiale(1:k-1,:);
valori=date_initiale([1,k+1:end],:);
end
end
În urma importului datelor, acestea se convertesc într-o matrice de tipul matricei de
descriere [1]. Pornind de la aceasta, se identifică numărul de laturi şi numărul de noduri ale
circuitului, apoi se construieşte şi se afişează matricea de incidenţă laturi-noduri (fig. 3.3).
% Nr. de laturi si noduri
l=max(mdg(1,:))
n=max([mdg(3,:),mdg(4,:)])
% Construirea matricei laturi-noduri
A0=zeros(n,l);
for k=1:l
nik=mdg(3,k); % Nodul initial al laturii k
nfk=mdg(4,k); % Nodul final al laturii k
A0(nik,k)=1;
A0(nfk,k)=-1;
end
% Construirea si afisarea matricei laturi-noduri redusa
A=A0(1:end-1,:)
47
Fig. 3.3
Urmează o clasificare a laturilor în funcţie de natura elemenului care ocupă fiecare
latură şi partiţionarea după aceeaşi logică a matricei de incidenţă laturi-noduri:
% Partitiile matricei A dupa tipul elementelor de circuit si selectarea
% parametrilor dupa timpul elementului
lat_e=[];Ae=[];param_e=[];
lat_c=[];Ac=[];param_c=[];
lat_r=[];Ar=[];param_r=[];
lat_l=[];Al=[];param_l=[];
lat_j=[];Aj=[];param_j=[];
for k= 1:l
if mdg(2,k)==1
lat_e=[lat_e,k];
Ae=[Ae,A(:,k)];
param_e=[param_e,valori(:,k)];
f=valori(4,k); % Frecventa tensiunii sursei
elseif mdg(2,k)==5
lat_c=[lat_c,k];
48
Ac=[Ac,A(:,k)];
param_c=[param_c,valori(:,k)];
elseif mdg(2,k)==7
lat_r=[lat_r,k];
Ar=[Ar,A(:,k)];
param_r=[param_r,valori(:,k)];
elseif mdg(2,k)==9
lat_l=[lat_l,k];
Al=[Al,A(:,k)];
param_l=[param_l,valori(:,k)];
elseif mdg(2,k)==13
lat_j=[lat_j,k];
Aj=[Aj,A(:,k)];
param_j=[param_j,valori(:,k)];
f=valori(4,k); % Frecventa tensiunii sursei
end
end
Se construiesc matricele admitanţelor laturilor cu rezistoare şi cu condensatoare:
% Pulsatia marimilor sinusoidale
omg=2*pi*f;
% Matricea admitantelor laturilor cu condensatoare
Yc=zeros(length(lat_c),length(lat_c));
for k=1:length(lat_c)
Yc(k,k)=j*omg*param_c(2,k);
end
% Matricea admitantelor laturilor cu rezistoare
Yr=zeros(length(lat_r),length(lat_r));
for k=1:length(lat_r)
Yr(k,k)=1/param_r(2,k);
end
Se construieşte matricea admitanţelor laturilor cu bobine. În acest scop se porneşte de
la matricea impedanţelor proprii şi mutuale, în care impedanţele proprii sunt pe diagonala
principală şi cele mutuale ocupă poziţii nediagonale. Matricea admitanţelor laturilor cu bobine
se obţine prin inversarea matricei impedanţelor:
% Matricea impedantelor proprii ale laturilor cu bobine
Zl=zeros(length(lat_l),length(lat_l));
for k=1:length(lat_l)
Zl(k,k)=j*omg*param_l(2,k);
end
% Matricea impedantelor laturilor cu bobine (inclusiv cuplaje)
for k=1:length(lat_l)
k1=lat_l(k);
cup=mdg(:,k1);cup(1:4)=[];
for k2=1:length(cup)
k3=cup(k2);
for k4=1:length(lat_l)
if lat_l(k4)==k3
Zl(k,k4)=j*omg*param_l(k2+2,k)*sqrt(param_l(2,k)*param_l(2,k4));
Zl(k4,k)=j*omg*param_l(k2+2,k)*sqrt(param_l(2,k)*param_l(2,k4));
end
end
49
end
end
% Matricea admitantelor laturilor cu bobine (inclusiv cuplaje)
Yl=inv(Zl);
Se construiesc vectorii imaginilor complexe ale surselor independente:
% Imaginile complexe ale surselor independente
E=zeros(length(lat_e),1);
for k=1:length(lat_e)
E(k)=param_e(2,k)*exp(j*param_e(3,k)*pi/180);
end
J=zeros(length(lat_j),1);
for k=1:length(lat_j)
J(k)=param_j(2,k)*exp(j*param_j(3,k)*pi/180);
end
Prin asamblarea matricelor construite anterior se obţine matricea sistemului de ecuaţii
şi vectorul termenilor liberi specifice metodei nodale modificate:
% MATRICEA SISTEMULUI DE ECUATII - METODA NODALA MODIFICATA
% matricea admitantelor laturilor pasive
Y=[Yc, zeros(length(lat_c),length(lat_r)),
zeros(length(lat_c),length(lat_l));
zeros(length(lat_r),length(lat_c)), Yr, zeros(length(lat_r),length(lat_l));
zeros(length(lat_l),length(lat_c)), zeros(length(lat_l),length(lat_r)), Yl];
M=[[Ac,Ar,Al]*Y*[Ac,Ar,Al]',Ae;
Ae', zeros(length(lat_e),length(lat_e))];
% MATRICEA TERMENILOR LIBERI - METODA NODALA MODIFICATA
if isempty(Aj)
N=-[zeros(n-1,1);E];
elseif isempty(Ae)
N=-[Aj*J];
else
N=-[Aj*J;E];
End
Se rezolvă sistemul de ecuaţii anterior şi se afişează rezultatele primare. Acestea
constau în imaginile complexe ale potenţialelor nodurilor calculate în raport cu nodul de
referinţă şi imaginile complexe ale curenţilor surselor independente de tensiune:
% VECTORUL SOLUTIE - METODA NODALA MODIFICATA
X=inv(M)*N;
% Afisarea rezultatelor
for k=1:n-1
disp(['V',int2str(k),' = '])
disp(X(k))
disp(' ')
end
for k=1:length(lat_e)
k1=lat_e(k);
disp(['I',int2str(k1),' = '])
disp(X(n-1+k))
disp(' ')
end
50
V1 =
1.1550e+004 +8.9340e-014i
V2 =
-5.7750e+003 -1.0003e+004i
V3 =
-5.7750e+003 +1.0003e+004i
V4 =
1.1548e+004 +1.3700e+001i
V5 =
-5.7623e+003 -1.0008e+004i
V6 =
-5.7861e+003 +9.9944e+003i
V7 =
1.1548e+004 +1.3690e+001i
V8 =
-5.7623e+003 -1.0008e+004i
V9 =
-5.7860e+003 +9.9943e+003i
V10 =
6.4737e-014 -1.9548e-013i
V11 =
-2.0248e+002 -1.1578e+002i
V12 =
9.6824e-001 +2.3324e+002i
V13 =
2.0151e+002 -1.1746e+002i
V14 =
-1.8389e+002 -1.4017e+002i
V15 =
-2.9448e+001 +2.2934e+002i
V16 =
2.1333e+002 -8.9165e+001i
V17 =
5.1127e-013 -7.9429e-013i
V18 =
-2.4483e-013 -1.0006e-013i
V19 =
-4.3466e-013 -6.1255e-014i
I1 =
51
3.2056 -27.4003i
I2 =
-25.3322 +10.9240i
I3 =
22.1265 +16.4763i
Verificarea calculelor se face prin efectuare bilanţului puterilor. În acest scop se
calculează curenţii tuturor laturilor pornind de la potenţialele nodurilor (fig. 3.4), apoi se
calculează puterea complexă totală debitată de laturile cu surse independente, care se compară
cu puterea complexă absorbită de laturile pasive. Pentru laturile pasive se calculează separat
puterile complexe pe fiecare categorie de elemente, constatându-se ca puterea complexă pe
rezistoare are numai parte reală, pe bobine are numai parte imaginară pozitivă, iar pe
condensatoare are numai parte reală negativă, aşa cum se cunoaşte din teorie:
% BILANTUL PUTERILOR % vectorul potentialelor nodurilor V=X(1:n-1); % Curentii laturilor cu condensatoare Ic=Yc*Ac'*V % Curentii laturilor cu rezistoare Ir=Yr*Ar'*V % Curentii laturilor cu bobine Il=Yl*Al'*V
52
Fig. 3.4
% Puterea complexa debitata de surse % vectorul curentilor surselor de tensiune Ie=X(n-1+1:end); Ss=E.*conj(Ie);Ss=sum(Ss) % Puterea complexa la bornele elementelor pasive Sc=Ac'*V.*conj(Ic);Sc=sum(Sc) Sr=Ar'*V.*conj(Ir);Sr=sum(Sr) Sl=Al'*V.*conj(Il);Sl=sum(Sl) Sp=Sc+Sr+Sl
53
Valorile puterilor complexe calculate sunt redate în fig. 3.5, unde se observă că
puterea la bornele surselor (Ss) este riguros egală cu puterea totală pe elementele pasive (Sp).
Fig. 3.5
Modulul de postprocesare grafică realizează reprezentări grafice fazoriale ale
diverselor mărimi trifazate. Acest tip de reprezentare oferă imagini sugestive privind
comportarea calitativă şi cantitativă a circuitului, atât în situaţii de simetrie, cât şi pentru
regimuri de funcţionare nesimetrice (fig. 3.6 – 3.9).
% Reprezentari grafice
figure;compass(E);
text(1.1*real(E(1)),1.1*imag(E(1)),'E1','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(E(2)),1.1*imag(E(2)),'E2','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(E(3)),1.1*imag(E(3)),'E3','color','red','FontWeight','bold')
title('Tensiuni retea MT')
54
Fig. 3.6
figure;compass(Ie);
text(1.1*real(Ie(1)),1.1*imag(Ie(1)),'I1','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(Ie(2)),1.1*imag(Ie(2)),'I2','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(Ie(3)),1.1*imag(Ie(3)),'I3','color','red','FontWeight','bold')
title('Curenti retea MT')
Fig. 3.7
55
figure;compass([V(11),V(12),V(13)]);
text(1.1*real(V(11)),1.1*imag(V(11)),'V11','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(V(12)),1.1*imag(V(12)),'V12','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(V(13)),1.1*imag(V(13)),'V13','color','red','FontWeight','bold')
title('Tensiuni secundar transformator MT/JT')
Fig. 3.8
figure;compass([Il(7),Il(8),Il(9)]);
text(1.1*real(Il(7)),1.1*imag(Il(7)),'I10','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(Il(8)),1.1*imag(Il(8)),'I11','color','red','FontWeight','bold')
text(1.1*real(Il(9)),1.1*imag(Il(9)),'I12','color','red','FontWeight','bold')
title('Curenti secundar transformator')
56
Fig. 3.9
57
CONCLUZII
Proiectul de licenţă şi-a atins obiectivul formulat iniţial de a realiza un instrument de
analiză numerică destinat circuitelor de curent alternativ cu cuplaje magnetice. Programul de
calcul realizat conţine multe elemente de originalitate. Este conceput sub forma a două
module, unul dintre ele fiind modulul de analiză numerică propriu-zisă iar celălalt fiind un
postprocesor grafic. Specific acestui program este faptul că acceptă cuplaje magnetice
multiple, permite analiza la o singură frecvenţă spre deosebire de programele din familia
SPICE pentru care trebui specificat un domeniu de frecvenţă, permite reprezentări fazoriale
ale mărimilor trifazate simetrice şi nesimetrice. Un alt avantaj este modul de introducere a
datelor iniţiale sub formă de text cu o sintaxă foarte simplă. Folosirea mediului de programare
Matlab este un avantaj datorită puterii de calcul şi facilităţilor de calcul matriceal şi
reprezentări grafice. Rezultatele obţinute pentru studiul de caz au fost validate prin bilanţul
puterilor. Programul a fost verificat pe mai multe aplicaţii atât cu cuplaje magnetice cât şi
fară, nu s-a constat niciodată vreo eroare în bilanţul puterilor. O aplicaţie relevanta studiată cu
acest program dar neprezentată în proiect se referă la un circuit trifazat cu nesimetrii
provocate în mod artificial la consumatori sau la generatorii, rezultatele fiind de asemenea
foarte precise.
Acest instrument de analiză numerică poate fi folosit cu succes în simularea diverselor
situaţii de funcţionare normală sau de defect în reţele trifazate sau ploifazate.
58
BIBLIOGRAFIE
[1] L. Mandache, D. Topan, Simularea circuitelor electrice, Ed. Universitaria,
Craiova, 2009.
[2] L. Mandache, D. Topan, Chestiuni speciale de analiza circuitelor electrice,
Ed. Universitaria, Craiova, 2007.
[3] M. Preda., P. Cristea.: Bazele electrotehnicii, vol. II. Bucureşti, Ed. Didactică
şi Pedagogică, 1968;
[4] Timotin, A., Hortopan, V., Ifrim, A., Preda, M. Lecţii de bazele
electrotehnicii, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970;
[5] M. Iordache, L. Mandache, Analiza asistată de calculator a circuitelor
analogice neliniare, Ed. Politehnica Press, Bucureşti, 2004.
[6] L. Mandache, Analiza asistată de calculator a circuitelor electrice, Ed. Sitech,
Craiova, 2004.
[7] M. Preda: Bazele electrotehnicii circuite electrice, Ed. Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1969;
[8] Eleonor Stoenescu, Teoria câmpului electromagnetic, Curs Universitar,
Craiova, 2013;
[9] Eleonor Stoenescu, Teoria circuitelor electrice I, Curs Universitar, Craiova,
2013;
[10] Petre Marian Nicolae, Teoria circuitelor electrice II, Curs Universitar,
Craiova, 2014;
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
59
[16]
[17]