LEZIONE 12

12.1. Sfere nello spazio.In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici “non lineari”, circonferenze e sfere

nello spazio S3. Poiche le proprieta delle circonferenze nel piano sono del tutto analoghealle proprieta delle sfere nello spazio ci limiteremo ad esaminare quest’ultimo caso.

Definizione 12.1.1. Sia C ∈ S3, % ∈ R, % > 0. Definiamo sfera S(C, %) di centro C eraggio % il luogo dei punti P ∈ S3 tali che d(P,C) = %.

O y

z

S(C,ρ)

x

C ρ

Figura 12.1

Poiche entrambe le quantita ai due membri dell’equazione d(P,C) = % sono positive,questo e equivalente alla condizione d(P,C)2 = %2. Esprimiamo tale condizione in coordi-nate: se C = (xC , yC , zC) ∈ S3, si ottiene l’equazione cartesiana della sfera nello spazio

(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = %2.

Svolgendo i conti otteniamo la cosiddetta equazione della sfera di centro C = (xC , yC , zC)e raggio %

(12.1.2) x2 + y2 + z2 − 2xCx− 2yCy − 2zCz + x2C + y2C + z2C − %2 = 0 :

cio significa che

S(C, %) = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 − 2xCx− 2yCy − 2zCz + x2C + y2C + z2C − %2 = 0 }.Esempio 12.1.3. La sfera di centro C = (0,−2, 1) e raggio % = 1 ha equazione

(x− 0)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 − 1 = x2 + y2 + z2 + 4y − 2z + 4 = 0.

Si noti che, essendo noi interessati al luogo dei punti che annullano l’Equazione (12.1.2)e non all’equazione stessa, possiamo ad essa sostituire un qualsiasi suo multiplo non nullo:quindi, per ogni λ ∈ R non nullo, abbiamo anche

S(C, %) = { (x, y, z) | λ(x2 + y2 + z2 − 2xCx− 2yCy − 2zCz + x2C + y2C + z2C − %2) = 0 }.

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2 12.1. SFERE NELLO SPAZIO

Esempio 12.1.4. Ricordando l’Esempio 12.1.3, osserviamo che anche equazione

−2x2 − 2y2 − 2z2 − 8y + 4z − 8 = 0

e un’equazione cartesiana della sfera di centro C = (0,−2, 1) e raggio % = 1.

Si ha, dunque, un’equazione di grado 2 nelle coordinate del punto generico. Tale equa-zione ha due caratteristiche principali. La prima e che manca dei monomi “misti” (cioe inxy, xz, yz). La seconda e che i coefficienti dei termini quadratici sono non nulli ed ugualifra loro.

Viceversa supponiamo di avere un’equazione di grado 2 con tali proprieta. A pattodi dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici, abbiamo un’equazione dellaforma

(12.1.5) x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 :

ci domandiamo se l’Equazione (12.1.5) rappresenta una sfera e, in caso affermativo, comecalcolare il suo centro ed il suo raggio.

Confrontando le Equazioni (12.1.2) e (12.1.5) deduciamo l’esistenza xC , yC , zC ∈ R e% ∈ R positivo per cui valgano le relazioni

α = −2xC , β = −2yC , γ = −2zC , δ = x2C + y2C + z2C − %2,

quindi

xC = −α2, yC = −β

2, zC = −γ

2, 4%2 = α2 + β2 + γ2 − 4δ.

Abbiamo percio la seguente

Proposizione 12.1.6. L’insieme

S = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 }

e una sfera in S3 se e solo se α2 + β2 + γ2 − 4δ > 0.Se cio accade, risulta S = S(C, %) ove

C =

(−α

2,−β

2,−γ

2

), % =

√α2 + β2 + γ2 − 4δ

2. �

Per semplicita, qualora valga la condizione α2 + β2 + γ2 − 4δ < 0 per l’Equazione(12.1.5), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggioimmaginario o a punti immaginari) o che l’insieme

S = { (x, y, z) | x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0 }

che con tale condizione sui coefficienti e l’insieme vuoto, e una sfera immaginaria (o, anche,una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari).

LEZIONE 12 3

Esempio 12.1.7. Si consideri l’equazione

x2 + y2 + z2 + 3x− 2y + 1 = 0.

Poiche 32 + (−2)2 − 4 · 1 = 9 > 0 tale equazione e l’equazione di una sfera S in S3. Il suocentro e C = (−3/2, 1, 0), il suo raggio % = 3/2.

Invece l’equazionex2 + y2 + z2 + 3x− 2y + 4 = 0

non rappresenta una sfera nel senso della Definizione 12.1.1 poiche 32 + (−2)2 − 4 · 4 =−3 < 0: rappresenta, invece, una sfera immaginaria.

12.2. Circonferenze nello spazio.

Definizione 12.2.1. Sia π ⊆ S3 un piano, C ∈ π, % ∈ R, % > 0. Definiamo circonferenzaC(π,C, %) del piano π, di centro C e raggio % il luogo dei punti P ∈ π tali che d(P,C) = %.

O y

z

C

x

SρC

Figura 12.2

Per rappresentare la circonferenza C(π,C, %) ci possono essere vari modi. Il piu comodoe quello di pensarla come intersezione del piano π con S(C, %). Cioe se π ha equazione

ax+ by + cz = d

e C = (xC , yC , zC), si ottengono le seguenti cartesiane per C(π,C, %)

(12.2.2)

{ax+ by + cz = d

(x− xC)2 + (y − yC)2 + (z − zC)2 = %2.

Esempio 12.2.3. Nel piano π di equazione x+y+z = 3 si consideri il punto C = (1, 1, 1).Allora la circonferenza del piano π di centro C e raggio % = 1 ha equazioni cartesiane{

x+ y + z = 3

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z + 2 = 0.

Come nel caso della sfera ci poniamo ora il problema inverso a quello della rappresen-tazione. Cioe dato il sistema della forma

(12.2.4)

{ax+ by + cz = d

x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0,

4 12.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, come calcolareil suo centro ed il suo raggio (il piano d’appartenenza e, evidentemente, quello d’equazioneax+ by + cz = d).

Affinche il Sistema (12.2.4) rappresenti una circonferenza e, innanzi tutto, necessarioche l’equazione x2+y2+z2+αx+βy+γz+δ = 0 rappresenti una sfera S(C, %) di centro Ce raggio %. Se cio accade, allora occorre e basta che il piano π di equazione ax+by+cz = de la sfera S(C, %) abbiano punti in comune: cio accade se e solo se C ha distanza d(C, π)da α minore di %.

C' ρ'

α

S(C,ρ)

d(C,α)

C ρ

Figura 12.3

Sia ora C = π ∩ S(C, %). In tale caso il centro della circonferenza CalC e la proiezioneortogonale C ′ sul piano π: invece e il raggio %′ di C soddisfa la relazione %2 = %′2+d(π,C)2,da cui si deduce

(12.2.5) %′ =√%2 − d(π,C)2.

Se, invece, d(C, π) > %, il Sistema (12.2.4) non ha soluzioni, cioe π ∩ S(C, %) = ∅.

C'

α

S(C,ρ)

d(C,α)

Cρ

Figura 12.4

Esempio 12.2.6. Si consideri il piano πh d’equazione x+ y + z = 1 + h, h ∈ R. Sia poiS la sfera di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z − 1 = 0.

LEZIONE 12 5

Vogliamo individuare i valori di h ∈ R tali che S ∩ πh sia una circonferenza. A tale scopoosseriamo che S ha centro nel punto C = (1, 1, 1) e raggio % = 2. Poiche

d(C, πh) =|2− h|√

3

segue che S ∩ πh e una circonferenza se e solo se |2 − h| < 2√

3: svolgendo i calcoli cio

significa che S ∩ πh e una circonferenza se e solo se h ∈]2− 2√

3, 2 + 2√

3[.Siano Ch e %h rispettivamente centro ed raggio di tale circonferenza, cioe C(πh, Ch, %h) =

S ∩ πh. Per determinare %h utilizziamo la Formula (12.2.5): otteniamo

%h =

√22 − (2− h)2

3=

√8 + 4h− h2

3.

Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro Ch si noti che la retta u per C eperpendicolare a πh ha equazioni parametriche

x = 1 + t

y = 1 + t

z = 1 + t.

Dunque

Ch = u ∩ πh =

(1 + h

3,

1 + h

3,

1 + h

3

).

Piu interessante e il caso in cui d(C, π) = %. In questo caso si ha che l’intersezioneπ ∩ S(C, %) = P0 si riduce ad un solo punto. In questo caso π e l’unico piano passante perP0 e perpendicolare a P0 − C.

P

α

S(C,ρ)

Cρ

0

Figura 12.5

Introduciamo allora la seguente

Definizione 12.2.7. Sia data la sfera S(C, %) ⊆ S3 e sia P0 ∈ S(C, %). Definiamo pianotangente a S(C, %) nel punto P0, l’unico piano per P0 perpendicolare a P0 − C.

Una retta tangente a S(C, %) in P0 e una qualsiasi retta passante per P0 e contenutanel piano tangente a S(C, %) nel punto P0.

Si noti che il piano tangente e lo stesso per tutte le sfere passanti per P0 ed aventi centrosulla retta per P0 e C: infatti il centro di tali sfere ha coordinate (x0 + t(xC − x0), y0 +

6 12.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

t(yC − y0), z0 + t(zC − z0)) per un opportuno t ∈ R non nullo, dunque il piano tangente inP0 ha in tal caso equazione

t(x0 − xC)(x− x0) + t(y0 − yC)(y − y0) + t(z0 − zC)(z − z0) = 0

cioe, semplificando t,

(x0 − xC)(x− x0) + (y0 − yC)(y − y0) + (z0 − zC)(z − z0) = 0.

Sia ora C una circonferenza intersezione del piano π. E solo questione di facili contiverificare che i piani tangenti in P0 alle sfere S contenenti C passano tutti per una stessaretta r ⊆ π. Tale retta interseca C solo in P0 ed ha la proprieta di essere perpendicolareal vettore P0 − C ′ ove C ′ ∈ π e il centro di C.

Esempio 12.2.8. Siano C = (1, 1, 1), % =√

3. Allora S(C, %) ⊆ S3 ha equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z = 0

e contiene P0 = (2, 2, 2). Il piano tangente a S(C, %) in P0 ha dunque equazione

(2− 1)(x− 2) + (2− 1)(y − 2) + (2− 1)(z − 2) = 0,

cioe x+ y + z = 6.La retta

x = 2 + t

y = 2− 2t

z = 2 + `t

e tangente a S(C, %) in P0 se e solo se ` = 1.

Osservazione 12.2.9. Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenute nel pianoxy, cioe quelle le cui equazioni cartesiane sono della forma

(12.2.9.1)

{z = 0

x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0,

(si veda il Sistema (12.2.4)). Il Sistema (12.2.9.1) e equivalente a

(12.2.9.2)

{z = 0

x2 + y2 + αx+ βy + δ = 0,

che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con un cilindro circo-lare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla allora della circonferenza nelpiano di equazione

x2 + y2 + αx+ βy + δ = 0.

Quanto detto sopra per le sfere continua a valere, con le dovute modifiche, per le cir-conferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenze immaginarie, calcolodella retta tangente, etc.).

LEZIONE 12 7

12.3. Intersezione di due sfere.

Si considerino ora due sfere in S3, diciamo S(C1, %1) e S(C2, %2). La struttura dell’inter-sezione S(C1, %1) ∩ S(C2, %2) e legata strettamente alla distanza d(C1, C2). Si possonoverificare tre casi principali.

Nel primo caso d(C1, C2) > %1 + %2 oppure d(C1, C2) < |%1 − %2|: le due sfere nonpossono avere punti in comune e sono, rispettivamente, esterne o interne l’una all’altra.

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

C

C'S(C',ρ')

S(C,ρ)

Figura 12.6

Nel secondo caso d(C1, C2) = %1 + %2 oppure d(C1, C2) = |%1 − %2|: le due sfere hannoesattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente, esternamente ointernamente.

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

C

C'S(C',ρ')

S(C,ρ)

P

P

0

0

Figura 12.7

Nel terzo caso |%1 − %2| < d(C1, C2) < %1 + %2: in questo caso le due sfere hanno puntiin comune

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

Figura 12.8

Tali punti descrivono una circonferenza C avente centro sulla retta che unisce i puntiC1 e C2. Vogliamo determinarne le equazioni cartesiane.

8 12.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Si osservi preliminarmente che C1 6= C2, cioe le due sfere non sono concentriche. Se leequazioni delle due sfere sono rispettivamente

(12.3.1)x2 + y2 + z2 + α1x+ β1y + γ1z + δ1 = 0

x2 + y2 + z2 + α2x+ β2y + γ2z + δ2 = 0

allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza (α1, β1, γ1) 6= (α2, β2, γ2).Le coordinate dei punti di C soddisfano le due equazioni di S(C1, %1) e S(C2, %2), dunque

soddisfano anche l’equazione ottenuta sottraendo membro a membro le due Equazioni(12.3.1): in particolare le coordinate dei punti di C soddisfano anche l’equazione di primogrado

(α1 − α2)x+ (β1 − β2)y + (γ1 − γ2)z + (δ1 − δ2) = 0 :

poiche (α1, β1, γ1) 6= (α2, β2, γ2) tale equazione rappresenta, nello spazio S3, un piano πche contiene C. Dunque possiamo scrivere C = π ∩ S(Ci, %i). Si noti che il piano π eperpendicolare a

C1 − C2 = (α1 − α2)~ı + (β1 − β2)~ + (γ1 − γ2)~k 6= ~0.

Definizione 12.3.2. Date le due sfere S1 e S2 non concentriche, rispettivamente di equa-zione

x2 + y2 + z2 + α1x+ β1y + γ1z + δ1 = 0,

x2 + y2 + z2 + α2x+ β2y + γ2z + δ2 = 0.

Il piano π di equazione

(α1 − α2)x+ (β1 − β2)y + (γ1 − γ2)z + (δ1 − δ2) = 0

viene detto piano radicale della coppia di sfere S1 e S2.

Esempio 12.3.3. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y + 4z + 5 = 0,

x2 + y2 + z2 + 2x+ 2y − 4z + 5 = 0.

Allora il centro di S1 e C1 = (1, 1,−2), mentre il centro di S2 e C2 = (−1,−1, 2), quindi

d(C1, C2) =√

24.Poiche e %1 = %2 = 1 si deduce che S1 ∩ S2 = ∅: di piu le sfere sono esterne l’una

all’altra.

Esempio 12.3.4. Si considerino le due sfere S1 e S2 rispettivamente di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x− 4z + 4 = 0,

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y − 2z + 2 = 0.

Allora il centro di S1 e C1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S2 e C2 = (1, 1, 1), quindi

d(C1, C2) =√

2. Per quanto riguarda i raggi abbiamo %1 = %2 = 1. Concludiamo che

LEZIONE 12 9

C = S1 ∩ S2 e una circonferenza: calcoliamone centro e raggio. A tale scopo osserviamoprima che il piano radicale π, che contiene C, ha equazione

y − z + 1 = 0.

La retta passante per C1 e C2 ha equazionix = 1

y = 1 + t

z = 1− t.

Concludiamo che il centro di C e C = (1, 1/2, 3/2). Per quanto riguarda il raggio %, poiche

d(C1, π) = 1/√

2, segue che

% =√%21 − d(C1, π)2 = 1/

√2.

Quanto visto sopra circa l’intersezione di due sfere puo essere utile per la determinazionedi sfere che soddisfano certe proprieta come, per esempio, contenere una circonferenza datao essere tangenti ad un piano dato.

Esempio 12.3.5. Si consideri la circonferenza C di equazioni{x2 + y2 + z2 − 7 = 0

x+ y + z − 3 = 0.

Una sfera contenente C e percio S1 di equazione

x2 + y2 + z2 − 7 = 0.

Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente C deve avere un’equazione dellaforma

x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = 0

tale che

(x2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ)− (x2 + y2 + z2 − 7) = λ(x+ y + z − 3),

cioex2 + y2 + z2 + αx+ βy + γz + δ = x2 + y2 + z2 − 7 + λ(x+ y + z − 3)

per un’opportuno λ ∈ R.Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente C e passante per P0 = (1, 0, 0)

dobbiamo scegliere λ tale che

12 + 02 + 02 − 7 + λ(1 + 0 + 0− 3) = 0,

ovvero λ = −3. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x2 + y2 + z2 − 3x− 3y − 3z + 2 = 0.

10 12.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Esempio 12.3.6. Si consideri il piano π di equazione

x+ y + z − 3 = 0

e sia P0 = (1, 1, 1): si noti che P0 ∈ π. Vogliamo determinare le sfere tangenti a π in P0.Ogni sfera di questo tipo ha centro in un punto della retta per P0 perpendicolare a π, cioein un punto Ct avente coordinate (1 + t, 1 + t, 1 + t), quindi ha equazione della forma

x2 + y2 + z2 − 2(1 + t)x− 2(1 + t)y − 2(1 + t)z + 3 + 6t+ t2 − %2 = 0

Poiche P0 appartiene a tale sfera si ha necessariamente t2 = %2. A questo punto si osservafacilmente che tale equazione si puo anche scrivere come

(x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + λ(x+ y + z − 3) = 0

con λ = −2t.Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a π in P0 e passante per P1 =

(1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che

02 + (−1)2 + (−1)2 − 2λ(1 + 0 + 0− 3) = 0,

ovvero λ = 1. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x2 + y2 + z2 − x− y − z = 0.