1

12 Statische Flüssigkeiten

2

Zustand der MaterieMan unterscheidet vier unterschiedliche Aggregatzustände

festgasförmig

flüssig Plasma

3

Neue physikalische Größe

Druck

Definition DruckEinheit [N/m²]=[Pa]

pAF

pdAdF

=⇓

=

1623-1662

m 4 etwa Höhe t4-2 Masse

D=60cm

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) m²N101

0.004m4πs²m9.810.020kg

441

m²N1012

0.09m0.28m2πs²m9.8180kg

221

m²N1035

0.3m4πs²m9.814000kg

441

322

32

322

⋅≈⋅

===

⋅≈⋅

⋅===

⋅≈⋅

===

πRmg

AFp

πRmg

AFp

πRmg

AFp

Maus

Mensch

Elefant

mm 4 Pfotecm 10-7 Länge

g 25-20 MasseHausmaus

wenn Druck überall über die gesamte Fläche identisch

Neben der Masse ist eben auch die Fläche wichtig!

FlächeKraftDruck =

Druckverhältnisse ändern sich von Punkt zu Punkt

Vergleichbarer Druck auf Boden trotz grob unterschiedlicher Maße

4

Konversionsfaktoren

m²N10bar 1.0

m²N98.1OH cm 1.0

mN133Hg mm 1.0

m²N109.8

cm²kg 1.0

m²N10 1.013atm 1.0

5

2

2

4

5

=

=

=

⋅=

⋅=

Umrechnung in Pa=N/ m² Umrechnung in andere Einheiten

bar 101.0m²N 1.0

OH cm 0102.0m²N 1.0

Hg mm 0075.0m²N 1.0

cm²kg 1002.1

m²N 1.0

atm .98720m²N 1.0

5-

2

5-

⋅=

=

=

⋅=

=

Pa10 1.013psi 14.7 torr760atm 1.0 5⋅===

vielleicht haben Sie sich schon mal gefragt, woher diese Bezeichnungen kommen

5

Hochschulsport

17.1.2008

6

Schneeschuhe

AFp =

Verteilungen des Gewichts auf eine größere Fläche verringert den Druck und verhindert ein einsinken im Schnee

Luchs

Original

Kopie

7

Ruhende Flüssigkeiten

Im Gleichgewicht, d.h. wenn die Flüssigkeit in Ruhe ist, erfährt ein Körper einen Druck durch die Flüssigkeit, der von allen Seiten identisch ist

Druck ist eine skalare Größe

Gedankenexperiment IWenn das nicht der Fall wäre, gäbe es eine Kraft auf den Körper in eine bestimmte Richtung und der Körper würde anfangen sich zu bewegen

Die Bedingungen wären nicht mehr statisch!

AF

==FlächeKraft

8

Ruhende Flüssigkeiten

Die Kraft, die durch den Druck einer ruhende der Flüssigkeit auf eine Oberfläche entsteht ist immer senkrecht zur dieser Oberfläche gerichtet .

Gedankenexperiment Wenn das nicht der Fall wäre, würde es nach dem zweiten Newtonschen

Gesetz (actio=reactio) eine entgegen gesetzte Kraft geben, die ebenfalls eine Komponente parallel zur Oberfläche hätte.

Auch in diesem Fall würde sich die Flüssigkeit in Bewegung setzen!

⊥F

||F

Flüssigkeit würde sich vertikal nach oben bewegen

resF

9

Neue physikalische Größe

Dichte

VolumenMasse Dichte ===

Vmρ

Definition der Dichte Einheit [kg/m³]

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

cm³g10

cm³g

1010

cm101m³

kg1000g

m³kg1 3

6

3

32

Umrechnung bei Angabe in g/cm³

Dichte des interstellaren Mediums 1.0x10-20 kg/ m³Mittlere Dichte der Erde 5.5x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Erdekruste 2.8x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Erdekerns 9.5x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Sonne 1.4x10+03 kg/ m³Mittlere Dichte der Sonnekerns 1.6x10+03 kg/ m³Weißer Zwerg 1.0x10+10 kg/ m³Urankern 3.0x10+17 kg/ m³Neutronenstern 1.0x10+18 kg/ m³

( )

kg10

m³m³kg1010

0.01mm³kg10

12

618

318

=

⋅=

⋅=

=

−

NSt

NSt

NSt

NSNSt

m

m

m

Vm ρ

Beispiel1 cm³ Neutronenstern

Dichte von Starenkästenhöchste Dichte in NL

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

m³kg1000

cm³g1auch oder

10

Physiker findet Bruchstück eines Weißen ZwergesOK , das ist nicht gerade realistisch!

Bei einer Dichte von 109 kg/m³ wiegt der Stein etwa

DEUTLICH MEHR ALS EINE TONNE

11

Druckverhältnisse

Zentrum der Sonne 2.0x10+16 Pa (1011 bar)Zentrum der Erde 4.0x10+11 Pa (1006 bar)Höchster Druck im Labor 1.5x10+10 Pa (1005 bar)Niedrigster Druck im Labor 1.0x10-14 Pa (10-12 mbar)

Wieviel wiegt die Luft in diesem Hörsaal?Abmessungen: Breite x Tiefe x Höhe

30 m x 8 m x 3 m=240 m² x 3 m =720 m³

×≈=⋅⋅=== 2200N 547 8sm9.81m³ 720

m³kg1.21 2VgmgFg ρ

N 1042.2m² 240m²N101.01 75 ⋅=⋅⋅== pAF

Welche Kraft wirkt auf den Fußboden?

24 Millionen Newton→=AFp

Luftdruck

12

Spezifische Dichte

DefinitionSpezifische Dichte

Dichte des Materials im Vergleich zur Dichte von Wasser bei 4° Celsius

dimensionslose Größe

dimensionslose Größe

3.19 :Beispiel2

==OH

AuSD ρ

ρρ

Material Dichteρ (kg/m3)

FestkörperAluminium 270Eisen, Stahl 7800Kupfer 8900Gold 19320Blei 11300Holz 300-900Glas 2400-2800Eis 917Knochen 1700-2000

FlüssigkeitenWasser 1000Blutplasma 1030Seewasser 1025Quecksilber 13600Alkohol 790Benzin 680

GaseLuft 1.290Helium 0.179Kohlendioxid 1.980Wasserdampf 0.598

Analog Bevölkerungsdichte

6==Mv

BerlinSD ρ

ρρ

spezifische Dichte in diesem Fall

13

Hydrostatisches ParadoxonErklärung 1586 durch Simon Steiner

Der Schweredruck, den eine Flüssigkeit in einem Gefäß auf den Boden des Gefäßes bewirkt, hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit, aber nicht von der Form des Gefäßes ab.

Auswirkung:In kommunizierenden Gefäßen stellt

sich immer derselbe Füllhöhe ein

Erklärung: Betrachte dünnen Zylinder, der bis zum Boden reicht. In dem Fall kann man die äußere Flüssigkeit vernachlässigen und der Druck wird nur noch von der darüber liegenden Wassersäule hervorgerufen.

14

Pascalsches PrinzipDruckänderung in einem geschlossenen System

Pascalsches PrinzipEine Änderung des Druckes in einem

geschlossenen System wird gleichmäßig auf alle Teile der Flüssigkeit und die

Wände des Behälters verteilt.

1

11 A

pF =

11, Ap 22 , Ap

2

22 A

pF =

2

121

2

2

1

121 A

AFFAF

AFpp =⇒=⇒=

21

21

2211

dAAd

constdAdAV

=

↓

===

Volumen das bewegt wird bleibt konstant, da Flüssigkeit nahezu inkompressibel

Berechne die Arbeit, die notwendig ist, um Flüssigkeitsmenge zu verschieben

2121

2221

2

2

1211

FFdd

dFdAA

AAFdFW

<⇒>↓

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

größerer Weg

kleinere Kraft

hydrostatisches ParadoxonFlüssigkeitsdruck überall identisch

EnergieerhaltungArbeit=Kraft x Weg

vergleiche auch Flaschenzug

15

Hydraulisches System

Drehmoment verstärkt die Krafteintrag

N 500

N 100m 0.04m 0.2

=

=

=⇒=

Pedal

Pedal

FußPedal

FußPedalFußFußPedalPedal

F

F

Fdd

FFddF

( )( )

N1012.5N 500cm 0.25cm 1.25 3

2

2

2

2

2

1

1

⋅==

=

ππF

AF

AF

Verstärkung des Krafteinwirkung um mehr als zwei Größenordnungen!

Ergebnis unabhängig von der Anzahl der Bremsbackenzylinder!

1 Kraft durch den Fuß

N 100=FußF

2 Kraft durch das Pedal

3 Kraft auf jede Bremsbacke

Hebelgesetz

Pascalsches Prinzip

N 500=PedalF

N 12500=BremsbackeF

16

Schweredruck

Druck von oben auf die Flüssigkeit

hp

hgpAgAh

Agm

Agm

AF

p

fl

flflflg

≈⇓

=

====

ρ

ρ

Druck proportional zur Dichte und zur Tiefe

h Tiefe

hgpDer Druck in vergleichbaren Tiefen einer einheitlichen Flüssigkeit ist identisch

Δ=Δ ρ

Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel, d.h. die Gleichung kann verwendet werden, um den Schweredruck in Flüssigkeiten zu berechnen.

Allerdings nimmt auch die Dichte des Meerwassers bei großen Tiefen durch den enormen Schweredruck zu.

Dichteerhöhung!

Wenn die Dichte sich nur langsam mit der Tiefe h ändert kann man die Änderung des

Drucks mit h so schreiben

in jeder Flüssigkeit steigt der Druck linear mit der Tiefe

Schweredruck unabhängig von der Fläche des Tanks!

Ahm ρ=Masse der Flüssigkeit

Druck wird durch die Dichte der Flüssigkeit bestimmt

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 223 m

Nsm

mkgmghρ

17

TalsperreAssuan Staudamm oder Möhne-Talsperre

Welchem Wasserdruck muss der Damm einer Talsperre

widerstehen?

Abmessungen der TalsperreFläche 50 km², Breite 1 km, Tiefe 100m

N104.91

m 1000m 100m²N1091.4

m²N1091.4

s²m81.9 m 50

m³kg10

2

10

5

5

3

⋅=

⋅⋅⋅=

=

⋅=

==

=

avg

avg

avgavg

avg

avgavg

avg

F

F

ApF

p

ghp

hh

ρ

Ergebnis hängt nicht von der Fläche oder dem Wasservolumen des Stausees ab, sondern nur von der Breite und Höhe des Damms

Da der Schweredruck linear mit der Tiefe anwächst, kann man mit einer mittleren Tiefe rechnen

N 10245 10⋅=

=

See

SeeSee

F

gmF

Druck

Kraft

Kraft auf die Staumauer gering gegen die

Gewichtskraftmittlerer Druck auf die Staumauer

hier könnte der See auch zu Ende sein

kg105.2

kmm10km² 50m 50

m³kg10

Talsperreeiner Wassersdes Masse

12

233

2

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

=

See

See

OHSee

m

m

Vm ρ

Tiefe

Druck

18

Blutdruckverhältnisse im Körper

19

Druckmessungstatischer Druck

0=absp

atmSäuleHg pghp ==− ρ

h m 0.76s²m9.81

m³kg13500

m²N101.013 5

=

⋅

⋅=

=

Hg

Hg

Hg

atmHg

h

h

gph

ρ

Quecksilber (Hg)

m 0.31s²m9.81

m³kg1000

m²N101.013

2

2

2

2

5

=

⋅

⋅=

=

OH

OH

OH

atmOH

h

h

gph

ρ

WasserWasserbarometer

Evangelista Torricelli1608 – 1647)

Aha, daher kommt das!1 atm = 760 mmHg =760 torr=10.2 Meter H2O

Prinzip eines Barometers

Schweredruck der Hg-Säule

entspricht dem Atmosphärendruc

k

horror vacuiDie Furcht vor der Leere

Druck der Hg-Säule

entspricht Luftdruck

[ ] [ ]pgh =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 223 m

Nsm

mkgmρ

Dimensionskontrolle

Druck, den die Hg-Säule ausübt

20

Gase sind kompressibel... im Gegensatz zu Flüssigkeiten

In welcher Tiefe erreicht der Druck hervorgerufen durch die darüber liegende Wassersäule

einen Wert von 1 atm

10.3m

s²m9.81

m³kg10

m²N101.01

3

5

=⋅

==gph

ρ

Durch die darüber liegende Atmosphäre erhöht sich der

Wert auf 2 atm.

Volumen eines Gases nimmt ab, wenn man das Gas komprimiert

Das ProblemSchweredruck komprimiert Atemluft

beim Tauchen in größeren Tiefen

Typisches Problem beim Tauchen: Druckausgleich

21

Druckausgleich beim Tauchen

10 m Tiefe

po: Druck unter Atmosphärenbedingungen

( )

kPa 98m²N108.9

m 10s²m9.81

m³kg10

4

3

m10

=⋅=Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ

=−=Δ

P

P

ghPPP At ρ

Kraft auf das Trommelfell

( )N 3.8

m²10m²N108.9 44

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

Δ=

−

TFell

TFell

TFellTFell

F

F

PAF

Durchmesser des Trommelfells 10mm

m²10²mm85 4−==TFellA

Warum ist das unangenehm? Schmerzschwelle beim Menschen 28 Newton

22

Luftsäule der Erdenicht immer darf man mitteln!

mittlerer Luftdruck auf Meereshöhe

Wie hält eine Zelle überhaupt eine

solche Druckbelastung aus?

interner Druck entspricht in etwa dem äußeren Druck

Bei Druckmanometern muss noch der Druck der

Atmosphäre von 1 atm addiert werden

AtM ppp +=Dichte ändert sich nicht mit der Höhe Wie groß wäre dann die mittlere Dichte?

m³kg0158.8

s²m9.81 m101.2

m²N101.01

2

5

5

homogen −⋅=⋅

⋅==

hgpBoden

avgρ

Zum Vergleich: Die Dichte auf Meeresspiegelniveau beträgt

homo 0.15m³kg29.1

avgMeer

Meer

ρρ

ρ

=

=

Atmosphäre reicht bis etwa 120 km

ghp ρ=

23

Barometrische HöhenformelWas macht die Sache schwierigerErhebliche Änderung in der Dichte der Atmosphäre als Funktion der Höhe.Die Höhe der Atmosphäre ist nicht nach oben beschränkt.

dhgdp

ghp

ungenHöhenänderkleiner gBetrachtun

ρ

ρ

−=↓

=

Luft ist kompressibelAnnahme konstanter Dichte nicht haltbar

Zusammenhang zwischen Druck und Volumen

Gesetz von Boyle-Mariotte

constppp

VpMpMpVp

=⇒=

↓

===

ρρρ

ρρ

1

1

0

0

konstantGasmenge

211

1

0

000

Das Produkt aus Druck und Volumen eines Gases ergibt bei gleich bleibender Temperatur stets den gleichen Wert(mehr dazu in der Thermodynamik)

Robert Boyle(1627 - 1691)

Edme Mariotte(1620 - 1684)

dhpg

pdp

dhgppdp

0

0

00

ρ

ρ

−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

↓

−=

−= ∫∫

hp

gpp

hp

gpp

dhp

gpdp

Boden

BodenBoden

Boden

Boden

Boden

h

Boden

Bodenhp

pBoden

ρ

ρ

ρ

exp

ln

0

)(

negativ, da Druck mit der Höhe abnimmt

Barometrische Höhenformel

m 55322ln

s²m9.81

m³kg1.29

Pa 101.01h

2ln

21

Luftdruck?der sich halbiert Höhe In welcher

5

=⋅

⋅=

=

=

Boden

Boden

Boden

pgh

pp

ρ

alle 5 km

00 ppρρ =

24

Auftrieb

Archimedisches PrinzipDie Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse

der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird

AF

Kw

AF

FlwFlA wF =Körper mit Volumen V

und Masse M

mWasser im

selben Volumen

ΔMassenunterschied

25

Eureka!Archimedisches Prinzip

gFF =Luftan

gF

V

gVgmF

OH

AuftriebOH

OHOHOHAuftrieb

2

2

222

ρ

ρ

=

==

gFV

VV

OH

OH

2

2

AuftriebKrone

Krone

ρ=

↓

=

gVF

gg

Vm

Vm

OH

OH

Krone

Krone

Krone

2

2

Luftan Krone

Krone

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ρ

ρ

Masse der Kronean Luft

Masse der Kronevollständig in Wasser getaucht

Luftan F

WasserimF

AuftriebF

Auftrieb entspricht der verdrängten Wassermenge

Volumen von Wasser und Krone sind konstant

Dichte der Materials der Krone entspricht dem Verhältnis von Gewicht

an Luft zu verdrängter Wassermenge

Die Auftriebskraft eines Körpers ist proportional der Masse der Flüssigkeit, die durch den Körper verdrängt wird

Definition Dichte

Dichte des Materials (chemische Zusammensetzung) kann aus dieser Messung bestimmt werden

WasserimAuftrieb

Auftrieb Wasserim

FFF

FFF

g

g

−=

↓

−=

26

TitanicWie viel sieht man von einem Eisberg?

m³kg917=

=

Eis

EisbergEisEisberg gVF

ρ

ρ

14/15 April 1912

m³kg1030=

=

Seewasser

SeewasserSeewasserAuftrieb gVF

ρ

ρ

89.0³

1030

³917

=

===

=

WasserunterEisberg

rel

Seewasser

Eis

Eisberg

SeewasserWasserunterEisberg

rel

EisbergEisSeewasserSeewasser

Vmkgmkg

VVV

gVgV

ρρ

ρρ

90% eines Eisbergs sind nicht sichtbar!

27

Wieviel kann ein Schiff transportieren?

Beispiel10000 Tonnen Stahl unter Wasser

m³101.28

m³kg107.8

kg10 3

3

7

⋅=⋅

==Stahl

StahlStahl

mVρ

kg101.28m³101.28m³kg10 633 ⋅=⋅⋅=

=

Wasser

WasserWasserWasser

m

Vm ρ

N109.81s²m9.81kg10g

rsStahlkörpe desaft Gewichtskrzur Vergleich im

N101.3s²m9.81m³101.28

77

76

⋅=⋅==

⋅=⋅⋅==

StahlStahl

WasserA

mw

gmF

Lösung mehr Volumen muß verdrängt werdenSchiffskörper verdrängt 105 m³

kg10m³10m³kg10 853 =⋅== SchiffWasserWasser Vm ρ

SchiffWasserA wgmF ⋅=⋅=⋅== 10N1081.9s²m9.81kg10 88

Schiff kann etwa da 10-fache seines eigenen Gewichts transprotieren

Masse des verdrängten Wassers

Das entspricht der verdrängten Wassermenge

Auftrieb zu gering, d.h. Stahlblock versinkt

Verteilung der Masse auf größeres Volumen

28

U-Rohr mit zwei unterschiedlichen Flüssigkeiten

mm 3.12 =d

mm 135 =hWasser

Speiseöl

Ölp Wap

( )lhgpp ÖlÖlWa ++= ρ0

ghpp WaÖlWa ρ+= 0

( ) m³kg915

m³kg998

147.3mm135mm ==

+= WaÖl lh

hp ρ

Ergebnis hängt weder vom atmosphärischen Druck noch von g ab!

Dichte des Öls

Wasserdruck ist bei gegebener Höhe identisch, speziell am Punkt A

A