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1.2 Las funciones cuadrticas En la seccin anterior investigaste el precio de venta del

anuario y cmo este precio afect la ganancia que el comit pudo haber obtenido para patrocinar su familia de adopcin. La ganancia dependa en ambos, el precio de venta y la cantidad de anuarios vendidos; y la cantidad vendida, a su vez, dependa del precio de venta. Al igual que en las relaciones de la vida real, las relaciones matemticas algunas veces tiene dimensiones mltiples, y esto puede hacerlas muy complejas. En las matemticas, con frecuencia podemos simplificar el manejo de dichas relaciones usando smbolos y la potencia del lgebra.

Cuando hacemos esto necesitamos pensar acerca de cul es el factor clave en la relacin. En el ejemplo del anuario, la variacin en precio los gua a ambos, la ganancia y las ventas, as que deberamos concentrarnos en el precio de venta. Ms an, podemos pensar en el precio como uno que sube o baja de alguna referencia, tal como $30, el cual resulta en ventas de 1000 y una ganancia de $5,000.

Si usamos el precio de $30 como una referencia, podemos dejar que el cambio (subir o bajar) de este precio sea representado por a. As, si a = 3, el precio sera $33 y las ventas seran 1000 30 970, porque perdemos 10 ventas por cada dlar que aumentemos el precio. Si a = 1, entonces el precio ser $29 y las ventas seran 1010. Recuerda que el costo para imprimir los libros ya se te ha dado, y = 15x + 10,000 donde x es la cantidad de anuarios impresos y y es el costo total. Tambin recuerda que

Ganancia = Precio Cantidad de anuarios vendidos Costo de imprenta

Logros del aprendizaje Despus de estudiar esta seccin, podrs:

Reconocer funciones lineales y no lineales de acuerdo a sus ecuaciones

Crear modelos matemticos para resolver problemas de la vida real

Usar mtodos algebraicos para establecer los valores mximos o mnimos de funciones cuadrticas

Usar modelos grficos para establecer los valores mximos o mnimos de funciones cuadrticas.

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1. Haz una grfica en tu cuaderno de notas similar a la de abajo y luego compltala. La primera fila ya est hecha.

Reduccin en precio () o aumento de precio (+) de $30

Precio nuevo

Cantidad vendida

Ingresos Costo de impresos

Ganancia

2. Usa la informacin en esta tabla para establecer una ecuacin matemtica para la ganancia (y) en trminos de la variable x. Nota que aunque p hace ms sentido para la ganancia, tu calculadora entiende la letra y solamente.

3. Grafica tu ecuacin en la calculadora. Tiene la misma forma general de la parbola que graficamos anteriormente? En qu forma(s) es diferente?

4. Para qu valor de x ocurre la ganancia mxima? A qu precio corresponde esto? Es ste el mismo resultado que encontramos anteriormente? Explica.

5. A qu precio es la ganancia cero? A cuntos libros vendidos esto corresponde? En los negocios, esto frecuentemente se llama el punto de equilibrio.

6. Forman una funcin de los pares ordenados que forman la grfica? Explica.

7. Cul es el dominio y alcance de la funcin de la ganancia?

Figura 1.5

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Una vez ms, vale la pena recordar que una ecuacin matemtica cuando es usada como un modelo para alguna situacin de la vida real, puede acarrear restricciones en las variables para que las respuestas tengan un sentido real. Si no nos preocupan tales interpretaciones, es con frecuencia cierto que las variables pueden tener cualquier valor que queramos. Las calculadoras generalmente dibujan grficas de esta manera asumiendo que la ecuacin matemtica est desprovista de un significado real. Debes usar tu conocimiento y buen sentido cuando ests decidiendo si la grfica de la calculadora es razonable para tus propsitos.

La parbola que graficamos viene de la consideracin de una funcin matemtica que tiene un trmino cuadrtico. Recuerda que las funciones lineales tales como f(x) = 3x + 5, la cual no tiene trminos cuadrticos en ellos, siempre resulta en una grfica de lnea recta. Ahora sabemos que las funciones como f(x) = 10x2 resultar en una curva parablica cuando sea graficada.

Una frase a conocer: Una funcin cuadrtica es definida por f(x) = ax2 + bx + c, donde a o. La funcin tiene un trmino cuadrtico como su potencia mayor. Por qu crees que la palabra cuadrtica es usada para describir dichas funciones?

Muchas otras aplicaciones de modelos matemticos resultan en funciones cuadrticas similares.

Analiza el problema de Joanie y Kamini. Ellos quieres construir un corral rectangular para su conejo. Tienen exactamente 100 pies de alambrado que el pap de Kamini les dio. Ellos quieren que el corral tenga el rea ms grande posible. De qu tamao deberan hacer el corral?

Ellos podran hacerlo largo y estrecho, digamos 49 pies por 1 pie, y eso les dara un rea de 49 pies cuadrados. O, podran hacerlo 30 pies por 20 pies y producir un rea de 600 pies cuadrados. Se usar la misma cantidad de alambrado en ambas maneras.

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Longitud Ancho Alambrado usado rea

1. Haz una tabla en tu cuaderno de notas semejante a la de la

Figura 1.6 y compltala. 2. Dibuja una grfica con la longitud en el eje de x y el rea en el

eje de y. Traza una curva suave a travs de estos puntos. Haz un estimado de cules dimensiones producirn el rea mxima.

3. Forman una funcin los pares ordenados de la grfica? Explica. 4. Cul es el dominio y el alcance? 5. Ests justificado en dibujar una curva slida a travs de estos

puntos? Explica. Una vez ms, tenemos una idea razonable acerca de la respuesta,

pero el lgebra puede ayudarnos a resolver problemas tales como este de una forma mucho ms eficiente. Sabemos que en este caso 2l + 2w = 100, por lo que l + w = 50. Tambin sabemos que el rea (A) se nos da por la expresin A = lw. No podemos graficar relaciones que envuelvan ms de una variable en el plano de coordenadas xy, sin embargo, necesitamos sustituirlas por l w. Sabemos que w = 50 l, por lo que la expresin para esta rea se convierte en

A = l(50 l) = 50l l2

Como esto es una funcin cuadrtica, debemos esperar que el resultado de la grfica sea una parbola. Para graficar esta curva necesitas usar las variables x y y, porque esto es lo nico que entiende la calculadora. La Figura 1.7 muestra la grfica de los puntos de datos originales de la tabla de arriba y la funcin y = 50x x2, donde x es el largo y y es el rea.

Figura 1.6

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Debido a que la longitud y anchura son cantidades que pueden ser

subdivididas en piezas mucho ms pequeas sin ningn lmite, hay una cantidad infinita de pares ordenados que pueden ser establecidos para satisfacer la condicin que y = 50x x2. As que, podemos dibujar una curva slida a travs de los puntos. Pero si queremos que el modelo matemtico tenga sentido, debemos restringir el dominio y alcance para que sean valores positivos, porque las longitudes negativas y reas no hacen sentido. Ten en mente que los pares ordenados (x, f(x)), con x < 0, tambin satisfacen f(x) = 50x x2; simplemente no hacen sentido en trminos de longitud y anchura de un rectngulo.

1. Cul es la coordenada del vrtice en la parbola formada en la Figura 1.7?

2. Cundo el valor de la funcin es cero? Qu significar esto?

En esta seccin hemos visto que podemos encontrar el valor mximo de algo como la ganancia o rea examinando la grfica de una funcin cuadrtica. Como resultado, algunos puntos en la parbola son ms importantes para este propsito que otros. Por ejemplo, el vrtice, el cual es el valor mximo (o tal vez el mnimo) de una funcin cuadrtica, y los puntos donde la funcin es cero, nos dicen el punto de equilibrio en el ejemplo de la ganancia. En la prxima seccin observaremos las formas en que podramos encontrar estos puntos importantes ms eficientemente.

GRAPH

Figura 1.7

Longitud del corral para el conejo (pies)

rea

del c

orra

l par

a el

con

ejo

(pie

s)

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Conjunto de ejercicios: 1.2 1. Grafica las siguientes funciones cuadrticas para encontrar

(a) el valor mximo o mnimo de una funcin (b) el valor de x que produce el valor mximo o mnimo de una

funcin (i) f (x) = x2 4x 4 (ii) f (x) = x2 4x (iii) f (x) = -2x2 + 4x 3 (iv) f (x) = -1 4x 4 x2

2. Para poder ahorrar en el material a utilizarse para hacer el corral, Yolanda decide construir el corral para el conejo de tal forma que la pared del garaje acte como un lado del corral. De esta forma ella solamente necesita alambrar tres lados del corral. Si comienza con 100 pies de alambre, cules son las dimensiones del corral que le provea el rea mxima?

3. Un agricultor tiene 10,000 libras de papas que sabe que puede vender a 20 centavos la libra. Sin embargo, por cada semana que espera para venderlas, el precio subir 2 centavos por libra. Desafortunadamente, cada semana pierde 200 libra de papas por descomposicin. Cundo debera l vender las papas para maximizar la cantidad total de dlares a recibir por su cosecha?

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