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Paweł Klimas
12. Equações de Maxwell
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Lei de Ampère-Maxwell Lei de Ampère é valida apenas para correntes estacionarias. Isto fica evidente tal
para sua forma diferencial como também para a forma integral.
~r⇥ ~B = µ0~JTomando divergente da Lei de Ampère
~r ·h~r⇥ ~B
i= µ0
~r · ~J
Forma diferencial
⌘ 0
para corrente estacionaria = 0
para corrente arbitraria 6= 0
Lei de Ampere não vale para correntes arbitrarias. Em particular, quando a corrente não for estacionaria esta equação leva a contradição.
~r⇥ ~H = ~JNo caso da Lei de Ampère para campo H: conclusões são as mesmas.
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Forma integralI
C
~H · d~l = I =
Z
S
~J · d~a
SC
~J
Para uma corrente estacionaria a circulação de campo H é igual a intensidade de corrente. Superfície S é superfície arbitraria com borda sendo C.
No caso de uma corrente não-estacionaria a arbitrariedade da superfície S leva a uma contradição. Um sistema com caráter não-estacionário da corrente é um capacitor carregado.
Ao fornecer cargas para placas do capacitor a densidade local destas cargas varia com tempo. Pela equação de continuidade:
@⇢
@t= �~r · ~J
ou seja, a corrente não é estacionaria.
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Integramos Lei de Ampère escolhendo superfícies S e S’ (conforme desenho) como domínios de integração
~r⇥ ~H = ~J
Z
S(~r⇥ ~H) · d~a =
Z
S
~J · d~aZ
S0(~r⇥ ~H) · d~a =
Z
S0
~J · d~a
teorema de Stokes teorema de Stokes
I
C
~H · d~lI
C
~H · d~lI 0Densidade de corrente é nula na superfície S’ (superfície S’ não tem pontos comuns com o fio nem a placa do capacitor onde densidade de corrente é localizada)
Longe de capacitor. Note que I não é uma constante e depende de região de interseção de S com o fio.
Conclusão: Lei de Ampère não pode ser uma lei universal.
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Pergunta: Como generalizar a lei de Ampère?
Voltamos para forma diferencial da lei de Ampère
~r⇥ ~H = ~J ~r · [~r⇥ ~H] = ~r · ~J
identidade
Ideia: substituir este termo por uma expressão que contem divergente de densidade de corrente e anula-se para correntes genéricas.
~r · ~J +@⇢
@t
Lado direito da equação de continuidade (conservação de carga elétrica ).
Utilizando lei de Gauss: ~r · ~D = ⇢
~r · [~r⇥ ~H] = ~r ·h~J +
@ ~D
@t
i
Proposta:
~r⇥ ~H = ~J +@ ~D
@t
Lei de Ampère-Maxwell Esta é a generalização da lei de Ampère.
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
~r⇥ ~H = ~J +@ ~D
@t
Corrente de deslocamento:
Outra fonte de campo magnético
Permite que equações de eletromagnetismo respeitam conservação de carga elétrica
Corrente de deslocamento: Nome atribuído a este termo por Maxwell. Maxwell imaginava que este termo representa uma corrente que flui no espaço fisico (interpretava campos como descrição resultante de uma realidade mecânica).
~Jd ⌘ @ ~D
@t= "0
@ ~E
@t+
@ ~P
@t
Variação de polarização também é uma fonte de campo magnético.
Variação de campo elétrico é uma fonte de campo magnético.
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Forma integral da lei de Ampère-Maxwell
Z
S(~r⇥ ~H) · d~a =
Z
S
~J · d~a +
Z
S
@ ~D
@t· d~a
teorema de Stokes
I
C
~H · d~l
I
d
dt
Z
S
~D · d~a
C e S não dependem de tempo
Fluxo de deslocamento elétrico
Circulação de campo H depende de intensidade de corrente “I” e taxa de variação de fluxo de deslocamento elétrico.
No espaço onde não existe meio material com propriedades dielétricas nem magnéticas
~D = "0 ~E ~H = 1µ0
~B
I
C
~B · d~l = "0µ0d
dt
Z
S
~E · d~a+ µ0
Z
S
~J · d~a
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Exemplo
Capacitor plano
z = 0
a ⇢
aI(t)
Aproximações:
~E =�(t)
"0z =
q(t)
"0(⇡a2)z
Densidade superficial de carga uniforme
Campo elétrico dentro uniforme
Campo elétrico fora nulo
~E = ~0
Campo magnético no plano z = 0
Ansatz:
~B = B(t, ⇢) � Amperiana: circulo
d~l = � ⇢ d�
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Aplicação da lei de Ampère-Maxwell
I
C
~B · d~l = "0µ0d
dt
Z
S
~E · d~a+ µ0
Z
S
~J · d~a0 nao há corrente
no plano z=0
2⇡⇢B(t, ⇢) q(t)
"0(⇡a2)⇡⇢2
q(t)
"0(⇡a2)⇡a2
⇢ a
⇢ > a~B(t, ⇢) =
µ0
2⇡
dq
dt
⇢
a2�
~B(t, ⇢) =µ0
2⇡
dq
dt
1
⇢�
⇢ a
⇢ > a
a
⇢
µ0
2⇡adqdt
B(t, ⇢)
dq
dt= I(t) = E
Re�t
RC
carregando um capacitor
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Equações de Maxwell
Lei de Gauss
I
S
~D · d~a = qenc
I
S
~B · d~a = 0
Lei de Gauss para campo magnético
Lei de Ampère—Maxwell Lei de FaradayI
C
~H · d~l = d
dt
Z
S
~D · d~a+ Ienc
I
C
~E · d~l = � d
dt
Z
S
~B · d~a
PRIMEIRA PAR SEGUNDA PAR
~r · ~D = ⇢~r · ~B = 0
~r⇥ ~H =@ ~D
@t+ ~J
~r⇥ ~E = �@ ~B
@t
d~ad~a
d~a
d~lC
S
d~a
d~lC
S
SS
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Equações de Maxwell descrevem fenômeno de indução eletromagnética.
Indução eletromagnética é um mecanismo em qual variação de um dos campos (elétrico ou magnético) gera outro campo.
@ ~D
@t@ ~B
@t
~H~E~B
@ ~E
@t
no meio material no espaço vazio
Varrição temporal do campo elétrico (ou campo de deslocamento) gera campo magnético com linhas fechadas.
Varrição temporal do campo magnético gera campo elétrico o com linhas fechadas.
~r⇥ ~H 6= 0 ~r⇥ ~E 6= 0
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Indução eletromagnética permite que os sinais eletromagnéticos se propagam no espaço vazio. Este fenômeno torna redundante a ideia do éter luminífero.
I(t)
antenapropagação de impulso
eletromagnético
Dipolo oscilante
https://www.en.didaktik.physik.uni-muenchen.de/multimedia/dipolstrahlung/animated-gifs-aus-bildern/index.html
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Ondas eletromagnéticas
Equações de Maxwell possuem solução ondulatória.
Hipótese de Maxwell: luz é uma onda eletromagnética.
Solução ondulatória mais simples é onda plana.
Equações de Maxwell implicam equações de onda para campo elétrico e magnético
Equações de Maxwell no espaço vazio
~r · ~E = 0 ~r · ~B = 0
~r⇥ ~B � 1
c2@ ~E
@t= 0 ~r⇥ ~E +
@ ~B
@t= 0
(1)
(2)
(3)
(4)
~r⇥ (~r⇥ ~E) +@
@t~r⇥ ~B = 0~r⇥ (4)
~r(~r · ~E)�r2 ~E
0
1
c2@ ~E
@t
(1)
(2)
1
c2@2 ~E
@t2�r2 ~E = 0
equação de onda
"0µ0 ⌘ 1
c2
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1
c2@2 ~B
@t2�r2 ~B = 0
0(3)
(4)equação de onda
~r⇥ (2) ~r⇥ (~r⇥ ~B)� 1
c2@
@t~r⇥ ~E = 0
~r(~r · ~B)�r2 ~B�@ ~B
@t
Outra equação
Campos elétrico e magnético satisfazem equações de onda.
Ansatz para uma solução ondulatória particular
~E(t,~r) = ~E0 sin(~k · ~r � !t)~B(t,~r) = ~B0 sin(~k · ~r � !t)
amplitude
amplitude(vetor constante)
vetor de onda frequência
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Derivadas
@@xi sin(~k · ~r � !t) = ki cos(~k · ~r � !t)
@@t sin(
~k · ~r � !t) = �! cos(~k · ~r � !t) @2
@t2 sin(~k · ~r � !t) = �!2 sin(~k · ~r � !t)
@2
@(xi)2 sin(~k · ~r � !t) = �(ki)2 sin(~k · ~r � !t)
r2 sin(~k · ~r � !t) = �~k2 sin(~k · ~r � !t) Divergente
Rotacional
laplaciano
~r · ~E = (ei · ~E0)@
@xi sin(~k · ~r � !t)] =
~r⇥ ~E = (ei ⇥ ~E0)@
@xi sin(~k · ~r � !t)] = (kiei ⇥ ~E0) cos(~k · ~r � !t)] =
(kiei · ~E0) cos(~k · ~r � !t)] =
= (~k · ~E0) cos(~k · ~r � !t)
= (~k ⇥ ~E0) cos(~k · ~r � !t)
~r⇥ ~B = (~k ⇥ ~B0) cos(~k · ~r � !t)
~r · ~B = (~k · ~B0) cos(~k · ~r � !t)
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Relação de dispersão
Substituindo na equação de onda
1
c2@2 ~E
@t2�r2 ~E = 0
1
c2@2 ~B
@t2�r2 ~B = 0
�!2
c2� ~k2
�~E = 0
�!2
c2� ~k2
�~B = 0
~k2 =!2
c2
Relação de dispersão
A relação de dispersão é uma condição algébrica que fixa vetor de onda em dependência de frequência dela. Aqui temos onda com uma frequência só (onda monocromática). Esta condição é necessária mas não necessariamente suficiente para que o campo elétrico e magnético dado pelo ansatz ser uma onda eletromagnética.
Condições para amplitude
Solução de equações de Maxwell deve satisfazer outras condições algébricas. Estas condições estabelecem relações entre vetor de onda e vetores de amplitude dos campos.
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Lei de Gauss~r · ~E = 0
~r · ~B = 0
~k · ~E0 = 0
~k · ~B0 = 0
Lei de Ampere-Maxwell
~r⇥ ~B � 1
c2@ ~E
@t= 0
h~k ⇥ ~B0 +
!
c2~E0
icos(~k · ~r � !t) = 0
h~k ⇥ ~E0 � ! ~B0
icos(~k · ~r � !t) = 0
~r⇥ ~E +@ ~B
@t= 0
~k ⇥ ~E0 � c!
c~B0 = 0
~B0 =1
ck ⇥ ~E0
|~k|
Lei de Faraday
~k ⇥ ~B0 +1
c
!
c~E0 = 0
|~k|
~E0 = �ck ⇥ ~B0
Campos elétrico e magnéticosão perpendiculares a vetor
de onda: ondas eletromagnéticas são TRANSVERSAIS
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~E0 = �ck ⇥ ~B0~B0 =
1
ck ⇥ ~E0Produto escalar de amplitudes
~E0 · ~B0 =h�ck ⇥ ~B0
i·1
ck ⇥ ~E0
�= �
hk ⇥ ~B0
i·hk ⇥ ~E0
i
1 0 0
= �(k · k) ( ~B0 · ~E0) + (k · ~E0) (k · ~B0) = � ~B0 · ~E0
~E0 · ~B0 = 0Campos elétrico e magnético
são mutualmente perpendiculares.
Intensidade das amplitudes
~B20 =
1
c2[k ⇥ ~E0] · [k ⇥ ~E0] =
1
c2k2 ~E2
0 � 1
c2(k · ~E0)
2
0
=1
c2~E20
| ~B0| =1
c| ~E0|
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Campo eléctrico
Campo magnético
Campo eléctricoCampo magnético
Campo magnético
Campo eléctrico
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Comprimento de onda