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DOI: 10.4025/actascitechnol.v32i1.1188

Acta Scientiarum. Technology Maring, v. 32, n. 1, p. 75-81, 2010

Aplicao da anlise multivariada na infraestrutura e no

desempenho das escolas pblicas do Ensino Fundamental e Mdio

pertencentes ao Ncleo Regional de Educao de Paranava

Angela Fontana Marques

Faculdade Estadual de Educao Cincias e Letras de Paranava, Av. Gabriel Esperidio, s/n, 87703-000, Paranava, Paran,Brasil. E-mail: [email protected]

RESUMO. Este trabalho tem como tcnica principal a aplicao de anlise estatsticamultivariada, para verificar a importncia das variveis referentes ao desempenho e infraestrutura das escolas pblicas estaduais do Ensino Fundamental e Mdio coordenadaspelo Ncleo Regional de Educao de Paranava (NREP). Para tanto, realizou-se a coleta dedados por meio de questionrio aplicado a todas as escolas pertencentes ao NREP, em trssegmentos: professores, alunos e escolas, com o objetivo de obter as informaes

necessrias. Organizaram-se os dados na forma de uma matriz para cada segmento.Primeiramente, utilizou-se a Anlise de Componentes Principais para reduzir o nmero devariveis e analisar quais variveis ou quais conjuntos de variveis explicariam a maior parteda variabilidade total, revelando o relacionamento existe entre eles. Aps esta fase, aplicou-se Anlise Fatorial rotacionada pelo mtodo varimax para obter os indicadores de maiorpoder de explicao dos trs segmentos e, a partir dessa anlise, calculou-se a mdia entre osindicadores, o que permitiu classificar cada escola em relao a desempenho einfraestrutura.Palavras-chave: anlise multivariada, anlise de componentes principais, anlise fatorial.

ABSTRACT. Applying multivariate analysis in the infrastructure and

performance of public elementary and high schools in the Paranava RegionalEducation Nucleus.The main technique of this work is the application of multivariatestatistical analysis, in order to verify the importance of the variables regarding the

performance and infrastructure of the state public elementary and high schools under thetutelage of the Paranava Regional Education Nucleus (NREP). With this objective, data

were collected using questionnaires applied to all NREP schools, in three segments:teachers, students, and schools. Its objective was to raise data and obtain more information.The data were organized into a matrix for each segment. First, the analysis of the maincomponents was used to reduce the number of variables and analyze which variables or setsof variables could explain most of the total variability, revealing the type of relationship thatexists among them. Next, the varimax rotation factorial analysis method was used to obtainthe greatest indicators in all three segments, and based on this analysis, the average wascalculated among the pointers, which allowed us to classify each school in regards to itsperformance and infrastructure.Key words:multivaried analysis, principal components analysis, factorial analysis.

Introduo

A Educao brasileira, atualmente, passa porgrandes transformaes e, por meio de propostaspedaggicas, busca atender aos anseios da sociedade.

Apesar da preocupao na busca de solues para osproblemas vividos, escolas pblicas ainda encontramgrande dificuldade para melhorar sua qualidade econstruir um modelo de ensino que consiga atenders principais necessidades educacionais de umindivduo. A falta de uma poltica comprometidacom resultados, a escassez de recursos pblicos e a

ineficincia na utilizao destes tm contribudocom o fracasso do ensino brasileiro.Apesar de toda a preocupao com a qualidade de

ensino, os ndices do Sistema de Avaliao doEnsino Bsico permanecem inalterados,aproximadamente 75% da populao classificadacomo analfabeta funcional, ou seja, mal sabe ler e/ouescrever e no consegue interpretar. Osinvestimentos na Educao so cada vez menores. Odesinteresse da sociedade pela Educao cada vezmaior e nota-se atualmente a ausncia absoluta dafamlia na escola. A escola, hoje, transformou-se


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numa creche de adolescente, onde os pais deixamseus filhos para que eles, pais, possam trabalhar, oupara que os filhos no fiquem na rua. O poderpblico transferiu toda a responsabilidade na reasocial, tica e de cidadania para a escola. Esta perdeuseu objetivo maior, que seria o de proporcionar as

mudanas culturais, sociais e polticas por meio doensino de qualidade, quando teve de conviver comuma gama de problemas, tais como violncia,droga, desestrutura familiar, misria nas famlias,falta de limite e desinteresse, enfim, toda aproblemtica causada por uma poltica desumana ecruel, qual est confinada a sociedade brasileira(INEP, 2006).

O objetivo geral do trabalho avaliar ainfraestrutura e o desempenho das escolas pblicasde Ensino Fundamental e Mdio do NcleoRegional de Educao de Paranava.

Para tanto, o estudo baseia-se na comparao devariveis relacionadas ao desempenho e infraestrutura das instituies de ensino avaliadas,tomando, de forma simultnea, diferentesindicadores como referenciais, a saber: escolas,professores e alunos, pesquisados a fim de classificaras escolas conforme os resultados por elesfornecidos. Na classificao das escolas, seroutilizadas as tcnicas da Anlise Multivariada, comoa Anlise Fatorial e a Anlise de ComponentesPrincipais.

Componentes principais

Para investigar o relacionamento entre asvariveis que compem um vetor aleatrio dedimenso, pode ser til transformar o conjunto de

variveis originais em um novo conjunto de variveisno-correlacionadas, chamadas componentesprincipais, tendo propriedades especiais em termosde varincias. Os principais objetivos da tcnica so:a) reduzir o nmero de variveis; b) analisar quais

variveis ou quais conjuntos de variveis explicam amaior parte da variabilidade total, revelando orelacionamento existente entre eles (BOUROCHE;SAPORTA, 1982).

Componentes principais populacionais

Algebricamente, as componentes principais socombinaes lineares depvariveis originais:X1, X2,..., Xp. Geometricamente, as combinaes linearesrepresentam a seleo de um novo sistema decoordenadas, obtidas por rotao do sistema originalcom X1, X2, ..., Xpcomo eixos das coordenadas. Osnovos eixos Y1, Y2, ..., Yp representam as direescom variabilidade mxima e fornecem umadescrio mais simples da estrutura da matriz decovarincia (JOHNSON; WICHERN, 1998).

Ser visto que, segundo Johnson e Wichern(1998), as componentes principais dependemunicamente da matriz covarincia (ou da matriz decorrelao p) de X1,X2, ..., Xp. Seu desenvolvimentono requer que x tenha distribuio multivariadanormal. Por outro lado, a anlise de componentes

principais, derivada de populaes multivariadasnormais, tem interpretao til em termos deelipsoides de densidade constante.

Seja o vetor aleatrio X =[X1, X2,..., Xp ] commatriz covarincia e seus autovalores

0p...21 . Considere as combinaes

lineares.

PpP2p21p1pp

P2P22212122

P1P21211111

Xa...XaXaX.'aY

Xa...XaXaX.'aY

Xa...XaXaX.'aY

Ento, tem-se:

Y1 = a11 a12 a1p X1

Y = Y2 = a21 a22 a2p X2 = epX p

Yp = a31 a32 a3p X3

Y = pCp XV (Yi) =aiaiCov (Yi, Yk) =aiak

i

j = 1, 2, 3, , pAs componentes principais so das combinaes

lineares no-correlacionadas, Y1, Y2, ..., Yp, cujasvarincias so as maiores possveis.

A primeira componente principal a combinaolinear com varincia mxima. Isto , mxima V (Yi)= a iai. Fica claro que V (Yi) = aia ipode seraumentada multiplicando-se qualquer ai por algumaconstante. Para eliminar essa indeterminao, conveniente restringir a ateno aos vetores decomprimento da unidade. Portanto, define-se:

- primeira componente = combinao linear a1Xque maximiza V (a1X) sujeito restrioa1a1= 1;- segunda componente = combinao linear a2X

que maximiza V (a2X)sujeito restrioa2a2= 1;

Cov (a1X , a2X) = 0

- p-sima componente = combinao linearapXque maximiza.

Var (apX)sujeito restrioap ap= 1Cov (aiX , akX) = 0 iK


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A anlise multivariada na avaliao das escolas pblicas do NRE de Paranava 77


E, ainda, geometricamente as componentesprincipais se posicionam ao longo de umhiperelipsoide centrado em x ( mdia da amostra) e

cujos eixos so dados pelos autovetores da matrizcorrelao. Os comprimentos desses eixos so

proporcionais raiz quadrada de i

, i = 1, 2, ..., p e1, 2, 3, ...,iso os autovalores da matriz correlao.

Consequentemente, as componentes principaisda amostra do vetor x podem ser interpretadas comoo resultado de translao da origem do sistemaoriginal de coordenadas para x e, ento, rodam oseixos coordenados at que passem pela nuvem depontos plotados nas direes de mximas varincias.Quando os autovalores da matriz correlao forempraticamente idnticos, a varincia amostral homognea em todas as direes, caracterizando umesferoide; no ser possvel, neste caso, representar

os dados em menos do que dimenses ou fatores,perdendo-se, assim, a parcimnia desejada.

Observa-se, portanto, que os autovalores e osautovetores de correlao so a essncia do mtododas componentes principais. Os autovetores definemas direes da mxima variabilidade e os autovaloresespecificam as varincias. Quando os primeiros(e poucos) autovalores so muito maiores que oresto, a maior parte da varincia total pode serexplicada em menos do que p dimenses.

Componentes principais amostrais

Na prtica, os parmetros e sodesconhecidos e devem ser estimados. Suponha que

X1, X2, ..., Xn sejam n observaes do vetorX ~.(, ). As estimativas de e so,respectivamente:

n

1iixn

1x

A j-sima componente amostral dada por:

pjXeXeXeXeY ppjjjjj ,,2,1,'

2211

em que:

pp2211 ,,,,,, so os autovalores e

autovetores da matriz de covarincia amostral .

Propriedades das componentes principais amostrais

(1) jj

i=1, 2, 3, ..., p

(2) ji,0j,i cov

(3) p21jsps2s1sip

1j

222p

1i

2

(4) A proporo da varincia total explicada pelaj-sima componente principal estimada :

,...

p21

j

(5) A correlao amostral entre a componenteprincipal Yje varivel original Xj:

s

i

^

Yjer XY

ij

ij ,

ij=1, 2, 3, ...,p

Componente principal amostral de variveis padronizadas

Para um vetor de observaes padronizadasz = [ z1 , z2 , ..., zp ], a matriz covarincia ser:

1

1

1

21

221

112

pp

p

p

R

A j-sima componente principal das variveis

padronizadas :zpepjze jze jzjejYj 2211'

em que:

ej,j o j-simo par autovalor-autovetor de R,

com 0... 21 p .

A proporo da varincia total amostral no casopadronizado, explicada pela j-sima componente, dada por:

pip

j,,2,1,

Anlise fatorial

A anlise fatorial uma tcnica multivariada deinterdependncia em que todas as variveis sosimultaneamente consideradas, cada umarelacionada com as demais, a fim de estudar a inter-relao existente entre elas, buscando a reduo dedados ou a sumarizao.


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Teste de esfericidade de Bartlett

O teste de esfericidade de Bartlett testa a hiptesede que as variveis no sejam correlacionadas napopulao. A hiptese bsica diz que a matriz decorrelao da populao uma matriz identidade, oque indica que o modelo fatorial inapropriado.

A estatstica do teste dada por:

Rln6

52p1)(n2

que tem uma distribuio qui-quadrado com

2)1p(p

grau de liberdade, em que:

n = tamanho da amostrap = nmero de variveis|R| = determinante da matriz de correlao

Medida de Adequao da Amostra de Kaiser-Meyer-Olkin

KMO)

Esta medida representada por um ndice(MAS) que avalia a adequao da anlise fatorial,calculado por:

kj

2jk

kj

2jk

kj

2jk

qr

r

MSA

em que: 2jkr o quadrado dos elementos da matriz

de correlao original (fora da diagonal); 2jkq o

quadrado dos elementos fora da diagonal da matrizanti-imagem da correlao.

Valores altos (entre 0,5 e 1,0) indicam que aanlise fatorial apropriada, enquanto valores baixos(abaixo de 0,5) indicam que a anlise fatorial podeser inadequada.

Critrios para determinao do nmero de fatores

A escolha do nmero de fatores uma das tarefasmais importantes de uma AF. Hair Junior et al.(2005) discutem que, se o pesquisador opta por umnmero muito reduzido, no possvel identificarestruturas importantes existentes nos dados; poroutro lado, se o nmero excessivo, ele pode vir ater problemas de interpretabilidade dos fatores.

Existem, na literatura, vrios critrios que auxiliamna determinao do nmero de fatores que,invariavelmente, quando empregado em um mesmoconjunto de dados, conduz a resultados diferentes.Como regra geral, o pesquisador deve procurar um

compromisso entre o nmero de fatores (que, aprincpio, deve ser o menor possvel) e a suainterpretabilidade. comum, em situaes prticas,simplesmente comparar solues com um nmerodiferente de fatores e fazer a escolha com base nobom senso do pesquisador. Nesses casos, os critrios

apresentados na sequncia podem ser utilizadoscomo ponto de partida para a obteno de umasoluo final.

Rotao dos fatores

Os objetivos da extrao dos fatores diferemdaqueles associados rotao. A tcnica da extrao projetada para maximizar fontes independentes de

varincia na matriz de correlao. J o objetivo darotao consiste em delinear os fatores, ou seja, osfatores so rodados at que correspondam adimenses separadas, construto investigado. O

desenvolvimento dos computadores digitaispropiciou o aparecimento de uma srie deprogramas que realizam rotao de eixos, tantoortogonais quanto oblquas. Neste trabalho foiempregada a rotao Varimax.

Material e mtodos

A metodologia proposta usa como refernciabsica dados internos do Ncleo Regional de

Educao de Paranava, questionrios (em apndice)aplicados nas instituies, em trs segmentos: oprimeiro direcionado s escolas; o segundo, aosprofessores e o terceiro aos alunos e tambm dadosdo censo disponibilizado pelo Ncleo Regional de

Educao de Paranava em forma de dados digitaisque so coletados atravs de formulrios entreguesao Instituies estaduais para a anlise da situaogeral das mesmas ao final de cada ano. O objetivodesta coleta de dados foi levantar caractersticas sobrea educao tais como: satisfao, comprometimento,opinio, estrutura, desempenho e atitudes dapopulao escolar estudada.

Com essas informaes, foi possvel verificar o

nmero de alunos e professores de cada instituio,podendo ser avaliada a quantidade de questionriosque deveria ser usada na coleta de dados, para que apesquisa pudesse selecionar as caractersticas daspopulaes envolvidas. Os dados fornecidos peloNcleo Regional de Educao de Paranava relatama existncia de 23.942 alunos e 1992 professores.Tais dados no estavam agrupados, por isso, criou-seuma tabela que caracterizava o nmero deprofessores e alunos de cada instituio; calculou-seo nmero equivalente a 40% dos alunos e 20% dosprofessores das instituies para que,


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posteriormente, fossem aplicados os questionrios.O mtodo de anlise da pesquisa est estruturado

da seguinte forma: escolas, professores e alunos,seguindo a sequncia dos passos:

- determinao do perfil da amostra;- aplicao do teste de esfericidade de Bartlett e

clculo da Medida de Adequacidade da Amostra(MSA) de Kaiser-Meyer-Olkin;

- aplicao da anlise fatorial com rotaoVarimax; o critrio de escolha de fatores utilizado foio de explicar pelo menos 80% da variabilidade total;

- clculo dos escores fatoriais para os fatoresretidos;

- clculo dos escores finais nicos, por escola,ponderados pela explicao de cada fator;

- transformao dos escores finais nicos dosprofessores, por escola, na escala de 0 a 1;

- classificao e identificao das escolas, em

ordem crescente, do indicador determinado.

Resultados e discusso

Caracterizao da amostra das escolas:Teste de esfericidade de Bartlett e Medida de

Adequacidade da Amostra de Kaiser-Meyer-Olkin(KMO):

(1) Teste de esfericidade de Bartlett: 2 =1938,4 com p = 0, mostrando que existe correlaosignificativa entre as variveis.

(2) Medida de Adequacidade da Amostra deKaiser-Meyer-Olkin (KMO): MSA = 0,0662,como o MSA < 0,5, a anlise fatorial inadequadapara a amostra utilizada.

Como o tamanho da amostra pequeno emrelao ao nmero de variveis, uma alternativa para

viabilizar o uso da Anlise Fatorial foi transformargrupos de variveis de mesma natureza em umanica varivel, adotando valores mdios.

Para a nova matriz de dados, o resultado foi:(1) Teste de esfericidade de Bartlett: 2 =

777,2497 com p = 0, mostrando que existecorrelao significativa entre as variveis.

(2) Medida de Adequacidade da Amostra deKaiser-Meyer-Olkin (KMO): MSA = 0,5301, comoo MSA > 0,5, a anlise fatorial adequada para aamostra utilizada.

Na sequncia, so apresentados os resultadosobtidos nos carregamentos de cada componente.Realizou-se a anlise fatorial por componentesprincipais, a qual revelou oito fatores comautovalores maiores do que 1, explicando,respectivamente, 16,39; 11,09; 9,15; 10,35, 8,98,7,66, 6,67 e 9,85% da variao total dos escores (osoito fatores juntos explicam 80,14%).

Na Figura 1, verifica-se que 17 escolas atingiramo indicador 0,2 ou abaixo deste. Isto significa que24,24% das escolas pesquisadas desempenhamsomente 20% ou menos dos requisitos quecaracterizam o desempenho e a infraestrutura; 25escolas aparecem com os indicadores acima de 0,2

at 0,4, representando 39,39% do resultadoesperado; 14 escolas com indicadores maiores que0,4 e menores ou iguais a 0,6, indicando 22,72% deaproveitamento; sete escolas com indicadores que

variam com valores maiores que 0,6, mas inferioresou iguais a 0,8, relatando 10,60% dentre o total de100%; e duas escolas com os indicadores iguais a 1,representando 3,03% da amostra total que obtevexito completo em relao s caractersticas avaliadassobre o desempenho e a infraestrutura das 66escolas. notrio que, no intervalo de 0,8 a 0,9, nose encontra nenhuma escola; as demais escolas

apresentam indicadores iguais ou menores que 0,7.Assim, 64 escolas entre o total pesquisado noconseguiram obter mais que os 71% dos itensnecessrios para classific-las com sucesso emrelao ao desempenho e infraestrutura.

Indicadores

Escolas

Figura 1.Indicador de aproveitamento por escola.

Para a caracterizao da amostra dos professores,tem-se:

Teste de Esfericidade de Bartlett e Medida deAdequacidade da Amostra de Kaiser-Meyer-Olkin(KMO):

(1) Teste de esfericidade de Bartlett: 2 = 3415,7com p = 0, mostrando que existe correlaosignificativa entre as variveis.


A aplicao da anlise fatorial por componentesprincipais revelou 17 fatores, explicando,respectivamente, 5,98; 6,97; 5,48; 4,41; 3,95; 5,08;4,04; 3,88; 4,26; 10,37; 0,71; 3,96; 3,77; 4,51; 4,52;3,94 e 4,22% da variao total dos escores (os 17fatores juntos explicam 80,05%).

De acordo com a Figura 2, 17 escolas tiveramcomo indicador valores iguais ou menores que 0,2.Isto revela que, dos itens contidos no questionrio


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aplicado aos professores, 25,75% das escolasresumem seu desempenho e infraestrutura em 20%ou menos; outras 29 escolas, estimando 43,39%, tmum indicador de aproveitamento acima de 0,2, comoscilao at o valor 0,4, explicando que de 20 a 40%das caractersticas necessrias foram evidenciadas

pelos professores. Com indicadores maiores que 0,4,mas menores ou iguais a 0,6, verificam-se 15 escolas,ou seja, 22,72% das instituies pesquisadas;portanto, nestas escolas, na opinio dos professores,somente so satisfeitos entre 40 e 60% dos itensestabelecidos no questionrio. Entre os indicadoresacima de 0,6 at 0,8, encontram-se trs escolas,representando 4,54% do total; o aproveitamentodelas, conforme indicado pelos professores, de 60 a80%. Apenas duas escolas aparecem acima dos 90%de aproveitamento, segundo os professores.

Indicadores

Escolas

Figura 2.Indicador de aproveitamento dos professores por escola.

J na caracterizao da amostra por escolas, tem-se:Teste de esfericidade de Bartlett e Medida de

Adequacidade da Amostra de Kaiser-Meyer-Olkin

(KMO):(1) Teste de esfericidade de Bartlett: 2 =88.269,0 com p = 0, mostrando que existe umacorrelao significativa entre as variveis.


A anlise fatorial por componentes principaisrevelou 15 fatores, explicando, respectivamente,11,03; 3,95; 6,68; 3,90; 3,79; 3,91; 3,76; 3,87; 6,30;5,89; 4,44; 6,39; 6,04; 4,09 e 6,28% da variao total

dos escores (os 15 fatores juntos explicam 80,29%).Na Figura 3, existem sete escolas que aparecemcomo indicador valores iguais ou menores que 0,2,isso evidencia que dos itens contidos noquestionrio aplicado aos alunos 10,60% das escolasresumem seu desempenho e infra-estrutura de 20%ou menos, 12 escolas, estimando 18,18% tem umindicador de aproveitamento acima de 0,2 ao valor0,4, situando que das caractersticas necessriasforam delineados pelos professores de 20 a 40%. Se

verificar os indicadores maiores que 0,4, masmenores ou iguais que 0,6 estar neste grupo 36

escolas, atribuindo 54,54% das escolas pesquisadas,portanto, observa-se que este grupo est o maiornmero de escolas pesquisadas e as opinies dos alunosso satisfeitas entre os itens estabelecidos no questionriode 40 a 60%. Encontram-se entre os indicadores acimade 0,6 at 0,8, um conjunto com nove escolas,

representando 13,63% do total, o aproveitamento destasescolas indicado pelos alunos de 60 a 80%, e no grupoavaliado entre os valores maiores que 0,8 e menores ouiguais a 1, esto indicadas duas escolas que aparecemcom um parecer acima dos 90% de aproveitamento,citados pelos alunos.

Indicadores

Escolas

Figura 3. Indicador de aproveitamento dos alunos por escola.

As escolas so qualificadas em relao aos trssegmentos pesquisados, determinando seusrespectivos indicadores individuais e aps aclassificao pelos indicadores mdios, que so asoma dos indicadores das escolas, professores ealunos e o resultado dividido por trs.

Indicadores

Escolas

Figura 4.Classificao das escolas pelas mdias obtidas nos trssegmentos.

Portanto, por meio dos indicadores dosutilizados, dados que constam nas Figuras 1, 2 e 3,pode-se construir a Figura 4, que apresenta o

resultado da mdia dos indicadores das escolas,professores e alunos, transportando por meio destesindicadores mdios o aproveitamento das escolas.Percebe-se que relacionando o desempenho e ainfraestrutura, trs escolas esto agrupadas com

valores iguais ou menores que 0,2, admitindo que4,45% das escolas desenvolvem um rendimentoigual ao inferior a 20%, outro grupo com 13 escolasaparecem com indicadores superiores a 0,2 at 0,3,demonstrando que 19,96% trabalham com margemde superior a 20% ou igual a 30% dos itensnecessrios, 24 escolas definem 36,36%, este o


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maior grupo, descrevendo uma explicao maior que0,3 at 0,4, representando um percentual deaproveitamento acima de 30 at 40%, 15 escolasesto localizadas no grupo com indicadores maioresque 0,4 at 0,5, destacam-se neste grupo 22,72% dasescolas pesquisadas, oito escolas refletem valores

maiores que 0,5 at 0,6, descrevendo 12,12% domontante e trs escolas esto relacionadas aosindicadores maiores que 0,6 e inferiores a 0,7, estasescolas representam 4,54% da amostra totalidentificada. Observa-se que das 66 escolas,nenhuma teve aproveitamento melhor que 70%.

Concluso

Aps as tcnicas aplicadas e a anlise do resultadodos trs segmentos, no clculo do indicador mdio decada escola verifica-se que somente 11 tiveramaproveitamento final em relao ao desempenho e

infraestrutura, com percentual acima de 50%; destasque atingiram os indicadores acima de 0,5, a que teve aprimeira colocao, ou seja, o maior indicador, obteve68,54%. Nenhuma escola conseguiu aproveitamentosuperior a 70% do resultado esperado, restando, assim,

55 escolas com indicativo menor que 50%. Os dadosanalisados levavam em conta a opinio das escolas, dosprofessores e dos alunos.

Referncias

BOUROCHE, J. M.; SAPORTA, G. Anlise de dados.Rio de Janeiro: Zahar, 1982INEP-Instituto Nacional de Estudos e Pesquisa

Educacionais Ansio Teixeira. Dados referentes ao anode 2005. Disponvel em: http://www.inep.gov.br. Acessoem: 8 dez. 2006.HAIR JUNIOR, J. F. Anlise multivariada de dados.Porto Alegre: Bookman, 2005.

JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. Appliedmultivariate statistical analysis. 4. ed. New Jersey:Prentice Hall, 1998.

Received on March 14, 2008.

Accepted on September 18, 2008.

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