114729041 permutari carte
DESCRIPTION
PermutariTRANSCRIPT
ffitr.ffiffiffiffiHffi ffiffi fi##q ry$#m ffiSF H,*r: p, ;r j
Wffi ffiffiffiWffiffiffi ffiffi ffiffiffi$ffiWffiffi $.$ffijtrffiffi;ffi,
1;,:*:,: lt::::::*;::t, *,:,rri-..0,;. ,i-i*,r;,i.i,.r.i,! ri.,iii,,,.r: i:itt;,arir ;i *,r,;i.r,.,.
ffiffiffiffi&ffi &''$- r', p ffil&"g mYffi me
i i1 ti'. if i L,i :l'" i : i't '','-.);ii 'ir,,'J
1
I
ll
i
l
Ii
+ T}HFfrffigY$E
ff " 1'i;;r;;ertr:
g:*r.xmr,rd,*urc .i rir, ir,rr:,,i.r ;,:1 r,:.i,,qy"q.F,.,.;lr,lrr+..dt,rtl.if;;i..1,1;'.1
Se obser*,,fr r:6 acr:a,Ej;ii pen.jl.rrj,l,el,ir .:ela;: ij;:qiri;-lnct;.a hljectirrli t': + 11 ..i i r .' ''' r! I
.:!-1 '1 ,,t.,..o, : , :
ly'lnr,it;*i"l l [x i L:r i:i. +rr ;
!:'e i.i.r:ra int.A.i l-r _t;r.i,luuJuii:nia a cio,,;a sunc .q,.;ti"iEo vir.i,:rl:"iIr,::rcrisqt ?n ,;r'rjrri ua dr:-i,ii iIri ii;.1:,::t,ii;
l-)q -.,.1"*.11".,1t d I lri,{, ,- j .-. ii ac; : j,1, I, ,.," :r i _*i il, :;. r: i
I
':-',. ;:l I :,'rh -,r,.."rna. I
!r: ii l;,,
in iirerst nt*ci, p,*rr:nut,;;i.si;
ti t:s uii s-r ii rje fi.r n*tr n- i:tj. i *r: l; :r ii gr,.
i ;-: :\.
i"le ar:ee a, gt rld.i *.i ;f er.".,ri: j i [, r] ra i i {t l
s* .lr*:rle iEce srr.idri;:Lfi l.iel;1"r:ii iii:,;_ji rrr,
i-,iiectiri-ic.r ,r : il, !1, , ,: i ,, Ij, :j, . i,I
i
l
!
r.:,,,t.:'iil".i-r;il i.l,i ji11 ,. ..i_ i .:-_: I _- I
$-
i
,&ff- m E{iEffiryB
w nw&$ $ $trBtrffi& ffiffi pffiffiF!$$$T&r*[:
mrna-t;ru:nEr"ul de .&:nrtri kijeeii,m I.; iL1 '::
/'r .. ]{,iri fti-:.. t.&,, ilr-t "., A, j O };:li.ii,ifi'1.,,: i;r.tf i,a ,:t.t it ei*ffleiltF:, Li a- rvu'.
, 3, I :i r:-r lr ii lli
rlti:!-lil,Itrt I i i:i::.,,.i.,1t .i :-rl_.t
,,
;).-r..,1.- 1l_r;,. ;ji -i-'e rt{; r r,'*r .t i .i I 1,,
i'iii!{t:}ai! ?ii.r.!, ;:,!.it iir: I i;it ; ;.r-i:., t: :1.;!. i..
:' : ,...i ;, ., i.. (,t;,,,
'-. !',, r,", i.... .,i.:i,r,i,-J.,' 1",i.; ...:, : , :,: ::J
l:,:,, .^t;, ; r!r : tt.t .,,.r il .. .,,
f Elemente de calcul matriceal
A DEFINITIE!i1gg:r.pERMuTtrRt
l' i"Hffi::,,TT,Ti^:e gradul n a murlimii A = {1,2,..., n} orice
Murfimea permut,r,or de gradrr::" noteaz6,So, iar erementele ei sevor nota de regur, eu literere grecegti o, 6, 0, o, 0 ..., "#iru, insofite de indici.se obignuieqte ca o permutare o de gradur n sd se reprezinte astfer:o=( 7 z 3 k ...';-\"oaDiir
("(r) "(2) "(B) "(k) "("),/.Cardinalul multimii S, este: lS,l=r!.
@ ExempluPentru n'
(t25" =[z I
' Se obsenri
@ oPEBA
2.1. coMPaflEl
Fie o,6 elcodomeniu, artfuncliile oo8 $i
Permutirioo6,6oo sunt:
Agadar, cr
rilor o, 6 e S" eCompunerOperalia r
o6eS. se numde gradul n.
(Daci o =l
l.
dusul o6 se scr
@ Exemplu
Fie o,6eS
S[ calcul5nAvem:
@ Eremple
a) pentru n = 1, A = {1} si ,, = (l)ib) pentru n = 2, A = {1,2} U, ., = (r, ),Gc) pentru n = B, A = {t,2,8} si S, = /fl 2 s)
(t 2 s) 11 ilt 2 3)'
u i t,[; ? l,[; ; l)iPERMUTARI DE GRADUL N PARTICULARE
a)Permutareae.s_."=[1 2 3 ... k n)
tarea identici a" gr.a,r;. (1 2 3 "' k
",/ *" numegte permu-
b) perautarea 6u e So, de forma:
u, =[,' ; ; i_i il ;:i,;,]""i,;"ijffiii"_,,il;;:"schimbi doar elementele i qiffintre eJnumegte transpozifie.
d"rr*I spozilia do poate fi descrisr prin urmitoarea Iege de corespon-
i)(rzs)/r(r s z)'lz
2 3')
3 t)'
[i, k =1su(k)=]j,k=i
[k,i.*i,k*j
oa=l.1 z s)[t(3 1 2ru
(t 2 i
= ["(r) o(3) ot
6
1lEprltr de calcul matriceal gi sisteme de liniare o l. PEBMUTABI
Fentru n - 3 existfi transpozit. (7 2 3) ^ (t 2 3)o,,-i2 1 3,J,o,r=lB 2 l)
Se otrservd c[ 5,, = 3r,, 6,, = Dr,,
iile:
. (t2,0ro=l u38r, = 6rr.
"))J
n
a(")
n
"(s(
n) f t zlc l*
"("),J'"-[u(r) a(2)
^( t zo"b=l
I o (6 (1)) o (a 1z;)
3)t.
2)
3 )_<,(a1s;).J-
3)2)
& 0pEnAItr cu rERMUTAnI. pnopRtETATl
Dac5
dusui oE se scrise sub forma
2,f , EOMFANEREA PEBMATilBII.OR OE GBADIIT NF'ie o,5e s"" Deoarece aceste perrnut6ri au aceraqi domeniu qi acelaqi
codomeni.u, are sens operalia de compunere a acestora, oblin6ndu-sefunctiile o "6 $i 6o6 pe multirnea A= {L,2,..., n} cu varori in multimea A.
Fermuthrile o qi 6 fiind functii bijective, se obtine cd functiileo o 6, 6 o o sunt functii bijective. deci permutiri de gradur n.
Aqadar, aofiip*nerea pennutirilor o, 6 e sn sau produsur perrnutr-rilor o, Se S,, estepermutarea o'o6:A+A, (o."6)(k)=o.(A1t;), V-keA.
Compunerea de perrnutiri o o B se noteazh mai simplu oj.operatia car"e asocia zb, oricdror doud permutiri o., 6 e s' permutarea
o6 e S. se numeqte operatia de compunere (inmultire) a permutirilorde gradul r"r" '
), utr.,.i nro-
W E ewpl.U
Fieo,5e53,":(: r rl,u=[, 2
\3 1 2) [1 3S5 caiculhm o6 qi 3o"Avem:
" (t 2 Bt,(L 2 s\ ( I eoo = ls r z]li : , j- ["1u1ry) "(qrt)( 1 2 3 ) rr 2 3)-{.o(r) "(r) "(z)l=[a 21)'
;l femd I
EfCctuali: ;
"'fii't)1;;13,orfrsalfrzs+).tl +zaJ[rzsqJ,urfr 2 3 4'111 z s +).,\t+zaJ(rzt+),.,[l';: ii(i;; l]
l 'l,i,ii';i"l
r Elemente de carcur matricear gi sisteme de ecuarii riniare r r. PERMUTART
Se observi ci o6 *6o.
ao=[123')r123)_r1 2 3 )r1(1 B 2/(B t z)- [0("(U) a(o(2)) 5("(B)r=[u(r)z s\ (r
5(1) o1z;.J =
[z2S\13i
(tzBu"=[, s 2
Se observl cE
2,J, PUTEBEA UI
Fie oeS,. I
Pentru n e I
E PROPOZTI,Fie oeS". At
a) o-o" =o"b) (o*)" = 6-
Demonstra,ti
gLafbrnd,,pyalDa
tr Fie o'e Sr, ,
Solutie
Avem: W(r234)=[z L 4 s)'
ffi=[l ?
ffi=[l 'o
2.4. PfrOPBIETI
P1. Fie 6,, e S,
a) 6,, = 6;i;
2'2' PRnPRtErifl AtE cnwPattEiltt PERMariBttlR nE ilBADU: n
Inversa permutirii o este permutarea
narea liniei intdi devine: o-, =(1 2 3 4
[3541
W Eremplu
^(t2od=l[2 1
E PE. Orice p"rrrr,,V o e S,,
= o-1 e S, astfel ing6t oo-1 = o-1o = e.
Permutarea o-t se numegte inversa permutErii o.Pentru determinarea inversei permut[rii
(r 2 k n)o=l" - ["(r) "Q) "(k) "(")J se au in vedere corespondentele
W Exemplu
Fie permutarea de gradul E, o =(L 2
(45bl
,),(45132)=[r 2 3 4 B)'
careduP[ordo-
Se verificd uqor cE oo-, = o-ro = e.
4
3
3
1
o-
5),)
ft234)_tt--[r 2 B 4)-O1O, =6425+3 -64:
3.)r12s)_1123)a][rsz)-lzBL)'
8
EPl.P*oprie@compunerea permut5rilor de gradul n este operafie asociativd:V o, cr,, F e S" = (ocr)B =
"(crp).Aceasti proprietate rezurt[ din faptur c[ operalia de compunere afunctiilor este asociativi.
EI P2. ProprietatPermutarea identici de gradul n, ee S,, este elementpentru operafia de compunere a permutirilor de gradul n:X
" . Sn, au loc egalitllile oe = eo = o.
EI P4. CompASadar, ! o, 6 e S, astfel inc6t o6 * 6o.
F*Flqlg$.* '{u,tt!gglrcg1!,1,*i y gllifrgjt rylglljl!1lare " r. pHluuluTnEr
- ii J ;Jt'1\\.1., ii
il IJ'lil,ilie *[:sc:rvi l"ii ryii
',
? 3l rr : ;lliiir .tl l.: , :la rr ./ \ r, r -, ,
ijt r.
Z.ff. p€tr"ffffiffffi {iMff{ Fg#fffid/ror#/ #s ##dfJ$/d n
Fie c e S,, $io'{,&irl f,-lrl =. c, {r1 ',, ,J, ttr" = q;$.
Per:tru n e l*.1' se defineXl,o o' '* ri'ili, I *,
lisl P$e&POfiIT{EIt
""-lI
IFie ry r $... Au io* reial;iil*:&) $-ff" ,=,6t1u", V rn. n e N\;
h! !,:" t' - rr'r.r. \':c, [r - \.'-' \* .t '
tr)e$aomsd,ratia se f,-aee folosind +.e,il,ri$tivits.fea ogrerariei da: celrn;rmmere {temrii}.
"$+a,&.{,epswi+%w{,awf"F.,'": ) _.i
E F'ie ^cS.,"r.:^ .' .
\+ q) 'i
Sal.wtip.
At,l
t) )
2 3 4'::';..; lt-
ll i .:' tL '"!, i :-{tv+;:-,, :'= {r s i1-
.,+
/1 r .i .i'_i' L t r
i
-ll,r1 l- .l i,ii -' : '1 I
c" .: s"-.' - |l.;. . ,\ I i,i i j : I
i!':-O'fi .i I
\ii 4 )1, i ,l
,'-t 2 ii ,{ ).-i i=rr.I :; 3 4)"./,l' "' . (i ' '' .-. .', ' -.' -. I .-' )-
') "). ,i , r'l:]l
"l 1 i) I i Q. l, I a, ,' 'a,-,
;) ", l''
i::3 1 21
.] ,l ,,1 \r ,! 1t.I
,1 2ll'
() := e/ i
f" 4" p-rydptr#dgm,$pr xxr r#dfr.sps#f #dd,##
Fil . F j* ii,, .r. S,, c r*,raylspr-ri:il,i.:. Ar;i ioc l+lntijie:iA) li,, .-, ii,,; Lri t' ,.. ;.' c":i ii-1 ,,., ij ,
Demoniiffi
!!!!!re . t. PERMUTARt
rezultd cin este egal
multimii
a _\: ::.:se;re defini{ia transpozifiei.b 3,. . d,, )(i) = 5u (j) = i; (5,, " au)(:) = 5u (i) =;.Pentru k;ti, k* j avem (Ou "au)(f<)=6u(Er(k))=au(k)=k.Agadar 6i =u.c) in egalitatea 5,: o 6,: = e, compundnd cu 5;, se obtine 6,, = 5",
efectueazi 0,6r, = i
6rl = 6r, qi aPoi cu
INVERSII
SEMNUL
Fie oeS" Si
.i. DEFINITIE
I . Perechea (i. iI'I Numdrul inver
@ Eremplu
Fie o e Su, o =
Inversiuniie a
(a, a),(g, s).Aqadar
3 OBSERVATII
1. Permutarea ide
2. Permutarea r=
n (n - 1) ,.\l= --'- = -"
3. in general are l
* DEFINITII
. Se numeqte se
. Permutarea o
. Permutarea o
E PROPOZTTLOrice transpo;
DemonstralieFie transpo:
zitii sunt toate p
,Intr-adevdr, din proprietatea a)numlrul tuturor transpozitiiior de gradcu numdrul submulfimilor {i, j}- ,t"
{1,2, ..., n}, numlr egal cu C:. rP2. Orice permutare de gradul n se scrie ca produs
de transpozitii. Aceastn scriere nu este unicd.
Erpraifra*qlainttr sr se scrie cd produs de transpozilii permutarea de gradul 4o=(, 2 B 4)
(3421)'Solu{ie
se observi ce o(1)=3, adici o'(r)*1. pentru a schimba B cu 1seconsideri transpozilia 6,, qi se face compunerea:
6,.o=[rt 2 B 4)(1 2a 4) (t2s 4)'" (3 2 1 +)ls 4 z rJ=[r 4 2 B.j=o,. Deoarece o,(2)=4,adicd
"r(2) +2 pentru a schimba 4 cu2se arege transpozitia dn, qi se efec_tueazdcompunereu, a,,o,=f1 2 3 4)f1 2 g 4) (t 2 B 4)r1 4 s z)lt + z s/=lr 2 4 sJ=5,,.Aqadar, 6n, = 6110, = 5nr6rro. Compundnd la stAnga cu 6;j = 6n, qi apoicu 5l = 6r, se obpine o = ErrSnr8nr.
O alti descompunere se ob{ine consider^nd transnnzirj, .\ ^.efectuand oa.. =[1 2 s 4)
'. uu,irrue.ano transpozitia E'o glv^vvuqqrau
"'tn =[1 4 2 B)=0r. Apoi se consideri transpozitia 6r, qi se
10
Numirul tuturor transpoziliilor de gradul n este
I Elemente de calcul matriceal pi sistema de ecualii liniare e l. PERMUTARI
I[a
efectueezd 016r, =6ru" Aqadar 6+, =0,6r, "={161462". Compupdnd la dreapta cu6ri = 8r, ryi apoi cu 6ll = 6rn se obtine er = c5r"6r"6,r.
E} TNVERSIU|IIITE [lruEt PERMUTAHIV SEMNI'I UNEI PENMUTARI
Fie oe S,, qi i, je {1,2,...,r},i.j.DEFINITIE
n Perechea (i,3) se numeqte inversiune a perrnu.t[rii o dach o(i), "(j).Numirul inversiunilor permuthrii o se noteazh * (").
Exewplw
Ficoes.."=[t 2 3 n ul(4 3 5 | 2)
trnversiunile acestei permutiri sunt perechile (t,2),(1,4),(1,8),{t,4}. {2, S),
\3,4), (3,5) Aqadar rn(o)= ?.
3 q$EEyAIl1. Perrnutarea identic[ e are m(e)= 0.
2. Perrnut ur*u o=(' 2 3 n-l n)
[" n-tr n-2 z t)are m(r] =1+2+"'+(n-1]=
n(n - f.) ^l2"3. in general arelocrelatia 0<m(").C], V oe S,"
* lErrrlflTt!
I . t" numeqte semnul (signatura) perrnut6rii o, nurnirur e (o) = (-l)"'(") .
I . P"r*.rtarea 6 se numeqte perrnutare pari dac[ e (") = f .
I . Permutarea o se nr:meqte perrnutare impard dach e (o) = 1.
E PROPOZTTTA 1
Orice transpozitie este permutare impari.
Demon_stratieFie transpozitia 6,, e S,,
zitii sunt toate perechiie (i,
Pentru i <k < j, iriversiunilek) 9i (k, t') ia care se adaugh
l1
acestei transpo-
perechea (i, j).
r Elemlnto de calcul matriceal 9i sisteme de ecuatii liniaro r L PEBMUTtrRT
Avem *(6i,) =2(i*i-1)+1=2(j-i)-1. Aqadar, e(a,,)=(-1;r{:-,r-, =_1 si, caurmare, 6u este permutare impar6, I
Produsul din relatia (1) are C: factori. Daci o(j)=t< gi o(i)=1,atunci k +l (o este funclie bijectiv6). pentru k >r, factorul o(j)-o(r)=t -1se simplific[ cu factorul (k - l) de la numitor, obtindndu-se 1.
Pentru k < l, prin simplificare, se obtine _1, iar perechea (i, j) esternverslune.
Dupi toate simplificirile se obtine
W Exemplu
n-nopozrTtl 4
Fie A. multime
cardinalul aceste:
Not[m I. = S,.
este o transPozitie ff (") = f (B). Rezulte
este injectivi.Fie 0 e I", e(0) =
Ei f (eau)= 05,:6': = 0'
bijectivl ql lA,l = ii,nl
tatea lA"l = lI"i = tgailpnrt'wfutaldtr S[ se deterrni
a) numfirul Pr
b) cardinalui
Solu{ie
a) Avem egal
b) Avem rela
Se ob-tine n = 6' Rr
Fie
Aqadar cr este permutare pard.Signatura compunerii a doud
urmEtorul rezultat.
(t2o=l
[3 1
3)t.ql
2-7
Folosind Propozitia 2 avem:
e(os)= fI o(a(:))-:(a(i)) = il "(afl)J-:,!lfr))
1<i<j<n J-r rj-,-1" b(j)*3(i)= r (o) r (5), ceea ce justificl enunlul. I
.J Temd1. Fie o, 6 e Sr. SE se demonstreze ci.:a) oE este permutare parl <+ o gi 6 au acelagi semn;b) o6 este permutare impari <+ o gi 6 au semne diferite.2. Si se stabileasc6 semnul permutirilor o qi o-1.
II 5(j)-9(i) -
lsicisn .l - 1
EXERGITII $l PRo
81. Fie A o mullirmente. Si se de
mutlrilor ei 9ti
a) 24 de elemerb) 72O de elemtc) 5040 de elen
S[ se calculeze
in cazurile:
t2
Fie ne N'ei 6e s". Atunci e(o)=,IL{FP ,r,
,n *+=(-1)*(')=e(o). r
Avem*l],l+=#=3-2 = (-1)(-1)= (-1)' = (_1)*(.) = 1.
permutiri se poate calcula folosind
E PROPOz\tae_Dacd o', 6 e S,, atunci e (o.A) = e (o.)e (6).
e ecualii liniare , i. pEBMUTABI
I PROF,CI?.ITTA 4Fie A,, multimea tuturor permut6riior par:e de gradul n. Atunci
I
cardinalul acestei rnultimi este iA,, i = l*2
DemonstratieNotim trn =Sn \ A,,. Definim functia f.:,A;' Il,'f(")=o gu, unde 3,
este o transpozitie fixatd. Demonstriim ci f este bijectirre. n'i* o, B e s,, qi: (u)= f (B). Rezuit6 succesiv aii,, = 06,; + (aAu)01' = (0ar;A;' =, cr = p, adic[ t"
este injectivfi.F'ie 0e I",e(0)=*1. Avem 0.5,, e A., deoare.",(eau)=e(e)e(a,)=(_1)(_1)
;: f (eo1)=06,,5,, =0. Rezu1td ci functia f este surjectivi. in concluzie, f este'crtectiv[
$i lA,l=lt,,i. Deoarece Sn =A,, L]I,, gi A. nI, == e, rez|lllil egali-
:area lA l=!t.i:{ uI fll I Dt 2
'flaA.&nuAugc,.{aw.*rE S[ se determine:
*) ar:rnilrui permutirilor pa-re din multimea Sr;tr) r:arrlinaiui rnu.ltimii S., , dacA iA,, i
..- i5 (n * :l)1.
vlurte
a) Avem egalitatea lA,i == ttl = Y = 20160.
[r) ,{ven: relatia *: tU(., 2)1, care este echi,alenlE cu t'(l-if
- fn22"''Se obtine n :6. Rezult[ cE rnultimea su are 6t =T2a eleinente.
EXEnCtTll $t PH(}BtEMEEXER,SARE
E1. Fie A o multime reevidl eu n ele-rnente, S5. se detee'mine gradul per-mut[rilor ei gtiind c[ S, are:a) 24 de elernente;b) ?20 de elemente;c) 5040 de elernente.
E2. Sn se calculeze ofi, rro, o2, n2, (on]3 ,
in eazurile:
ar *=(1 2 3 4')"(24sr)'(rzs4)n=l., 2 t n)'
(tzs4ol rr=i[4 315
(t.2 B 4 s\7t=l l
[z E I J 4)'
o l,
IJ
r Elemqlte de calcul matricear $i sisteme de ecuafii riniare r r. PERMUTABT
63 "" o,o.su, o=(l i ; : i),^(tzs4d\o=(., z 4 5 B)'a) Si se verifice daci o6 = 6o si(o6)2 = 6zoz.
b) Sn se detemine o-,,6-r, (cO){,o-br.
u=(1 ; i l)Si se rezolve ecuafiile xcr = g 9i
FY = a8'
,..h5t aU se arate cE existi k e N' pentr"u- ' care ok = e. in cazurile:
, (tzB 4E\cto=[s t 4 6 r)'Si se calculeze o1oo, q208, 6200? infiecare caz.
ftzst\lre o=[s 4 z J s5' se deterrnine
mullimea M = {o, G2, o3, ..., o", ...} .
Si. se scrie tuanspozifiile de gradul 4,respectiv 6.
Si se determine numirul inversiu-nilor gi signatura permutirilor:
(t 2s) (r 234\o=lr st)' o=[.nr ts),
(r2346"=[, n 5 p 3
S[ se determine Pincflt o si fie in1pari.
A8. Fie o,(l€Sr, o=[
. (r 2sr q=[o(n) o(o.
$tiind c[ m(o)=l
-(")'
A9. Se considerlPen(l2s 4... nD
o=[rr08...2n(r234... n
P=[r a 67 ...b-
a) SEr se determi:
b) Se se deterrcare cl, este Pel
Pectiv P este Pe
ft410. Sn se scrre ca I
7 zi,tii Permutiril'(r23)a)o=[z B ,),
(t234!"'[u r r B
I87,
","=[i ?;)'r,"=(l ?i),
A2. Fie o,peSu, "=G; i I :),p=(r?3uu').'(43126)'
APROFUNDARE
u=(; ?i^ri),e=(r2s4567)
\756r43?)',
A7. Fie o, e e Ss,
(tzB4E6O=l(.5364i2
e=F '[25a) Si se
(eeo)-r.
A3. Fie o e S,. Si. se arate ci existik e N' astfel iacit ok = e.
(tzB4E\A4. FieoeS^. o=l I(23154)'
Si se determine or, n e N'.
A5. Sn se determine n E N', gtiind ciSo are 45 de transpozitii.
A6. Fie A" mulfimea permutErilor pareale unei mulqirni cu n elemente. Si sedetermine n, qtiind ci. A, are cardi-nalul:
", (t ++)t. o, (n+g)t
6! 28.4t'
7s)l i),
Dl. Se se determir6eSrrn)B at
r+o(1),2+a(2\,mez,eia) o Progresie r
b) o Progresie
D2. Se dau numerra1 ( 82 < "'< ao'
mutarea o e S,
l4
/fiI riupermutirile,"=[; ? : ;Z),
s45'\ (tzsqs\4st)"=[.urzs4lcalculeze o0e, o-10-le-1,
b) Si se calculeze o2o07, 9200r, ,zoto.c) Si se rezolve ecuafiile 6x = 0,
ols = 0, ,o*' = 0200012006.
a) SI' se deterrnine numirul de inver_si 'ni $i signatura acestor permutiri.b) S5. se rezolve ecuafiile ork=p ,0,
amkprozT =(oF)*, tx=)u, qx=xp.
-
(1.23456't8tj'=[, n E p B 2 4 7)'
S[ se deterrnine perrrtetiri]e astfelfitat "
s[ f,ie irnPar[, iar e sh fie
par["
--rr 2..' nl"-1."(r) o(z) ." o(nlJ
2 ".. n)o(n -1) "(i),1'(") =k, sh se ca'lculeze
n Et emenre de cal eul matri ceal .i ti qtqgg-gg *lggt'i l !Ijg'l-'-l' M{q4!iAI 1" Se se deterrnine perrmutbrile
o,8 e S', in cazurilet
. 6(1) "(2) - g{S.ai --; =-;- ="-a-'-e
litn5(1) b(2) s("r
h) ri = .," = -;*.n t'1-!' 5
AtZ,Fie u. P e Sn. Si se ara{e ca'
u{ni cr(2} er{n}- - ll a -+ =... = *--:o*-u*p{t} [t(2] F(*]
Ai.8. SA se rezolve ecuafiine:
{8, Fie tr,0€S',
irsi u=l' ["(ttJ$tiind c[ m
*(").
b) Sir se
care ftpectiv P
d,etermine rr e F(' Pentrueste Perrnutare Par6, res'
este Perrnutare imPar}"
A9. Se considerl Permutirile:
a) S[ se deterrnine rn (o] + rn (F) '
[lz*a.. nn+tn+2"'o=[r0G8",.2n 1 3
(tZgq " n n+l n+2P=[rrb7...zn-. 2 4
zo)2n-t)'... 2* )
.)x i
..[i2]la) x"=l* , *li
!d l a)
" ft23+)h) v"=l l;',A lj O il\* * " ";
o tl 2 3 't 5 {i)er*'=!- t e.1 a:l
\..! ! r' r'! !
A1l]. S[ se scrie ca produs de tr:anspo-
zi,tii Perrnutirile:. rr 2 3)...11 2 3 4).
"'"=[; u,J,n,iu L z Bj;
r'r 2 3 4 5)*''i* z 13 4)"
A14.Fie nr.eur6ru& 5213" F'[c&red toa&e--- -
p***othrile cifrelor *aestui numbr
fi u:rdonAmd cresci'tor nr'a*:erete *b'tinute. sa se precizeze ce loc eicuph
in qil'nurnerele'a) 2135; b) 3521; e) 5213"
An5. Se consider[ raumirul nattira]
"r"t r"-% =263'43'
Si se ealculeze surna
s = | ar,.ryao(zlaoi:r1aot+Jao(a)'oeS"
DEUVOLTAREDn" Se se deterrnine toate grerlrrut'hrile
oeS*un>3 astf,el incit nulnerele
1+o(n)- z+o(2), "', n+o(n) sh for-
meze:a) o Progresie aritmetieir;b) o ProEresie geornetricE'
D2. Se dau nurxrerele strict pozitive
tsr ( &z < "'. < ad. Si se deterrnine per'
mutan:ea o e S. Pentrxl eare surna:
il1
at f- " esle rnaxi$la {minirnir}lf; aia"(;)
b) !a;a"i,, este rnaxirn6 (mirnim5)'i=1
D3. Fie HcS", bl*fr ett propner'area cE
V o,6 e II '+ oe e II' Si se arate cE:
a) permutar:ea iriential' e e H;
b) dac[ o e EI =+ cY''1 e ]L
1"5
r Elemente de calcul matricear gi sisteme de ecualii riniare o r. PEBMUTABT
D4. Fie o e So, n > B. Daci" 6cl = c[o,
V cr e Sr, atunci o = e.
D5. Se se studieze surjectivitatea func-tiei f r Sn -+ S, f (cr) = 61a.
cl
TESTE DE EVALUARE
Testul 1
TABET MAT
MUtTlMl Dl
Si considerlm ur,,[Jn dePozit de m
l luni ctt, un anumtt Prr
- tru Prima lund s
3 000 unitd,{i rrtonetare
- i,n a doua lund3 500 u.m';
- tn luna cL tre
preced,entd, cu Pre[ul P'comand'd o cantitate (
tutea de Produs'"Pentru linerea u
gi clasate in diverse rr
acest Proces de aProuAst{bl, dateie de
Un astfel de ta
PrimuL tabel rtipul 3 x 4 ), iar ai di
(estedetiPul 2x4)'Dach se ia i
achizilionate lunar, I
tabel matriceal lir
o1. Fiepermuteriteo=[1 2 3 n). o=l' 2 3 4)(3241)'"(atB2)'
a) Si se determine o0, 0o, o*1, 0-r.
b) Verificati dac5 are loc egalitatea ("e)-t = 0-1o-1.
Fiepermuta*l"o=[l 2 3 o u). ^=|,t
2 3 4 5)(Bz4t5),"(z54st).
a) Si se calculeze o-r, 6-r, o2008, 62006.
b) Si se rezolve ecuatiile 6x = D, 6xo2005 = 62006.
o2.
O 3. S5. se determine semnul permutd.rii o e 57,
Testul2
or. Fieo.nusn,o=(1 2 s n',}.,=r, 2 3 n).(z B 4 rJ' "-[z 4 B t)'
a) Si se verifice dae6 oa = e $i nB = e.
b) S[ se rezolve ecuatiile or58* = r30t, y6lr5 = ne8.
(t28456OaCa ('=l
[6734517)ol'
l-3
o2. Si se rezolve in S, sistemul de ecuatii:f,r2B\ll l.x=wJ(, t 2)
I (r 2s) (r 2B\L" [, s r.J= [s , ,|"
Fieoes", o=[r 2 3 4 5 6 7 8)- [78653412)'
a) Si se determine m(o) pi e(o).b) CAte solutii are ecuafia x2 = c?
intr-un rnod m
tabel de forma:(r 2II 1oo tzt)I
[s ooo 3 5oo
o3.
o 4. s6 se scrie ca produs de transpozitii permuta.." " = (j : j ; : ;)
16
LunaI Cantitatq
Pret unitar