Radiasi Benda Hitam

Radiasi Benda HitamSunkar Eka Gautamahttp://paradoks77.blogspot.com2012

Hukum Radiasi PlanckRadiasi yang dipancarkan suatu benda tidak lain adalah foton-foton dengan rapat energi tertentu. Untuk ruang tiga dimensi, kerapatan keadaan suatu sistem dalam volumekulit bola ialah . Namun karena semua foton bergerak dengan kelajuan cahaya, proses perhitungan ini tidak berlaku bagi foton.

Untuk partikel dalam kotak, terdapat syarat batas pada batas-batas dinding kotak, sehingga panjang gelombang yang diperkenankan hanyalah , dengan n = 1, 2, 3, sehingga bilangan gelombang yang mungkin ialahKet:biru, hijau, jingga, merah,

Untuk fungsi gelombang dalam tiga dimensi, terdapat bilangan-bilangan gelombang kx, ky, dan kz. Seperti dalam kasus partikel dalam kotak, dengan menerapkan syarat batas pada batas-batas dinding kotak diperoleh nilai-nilai bilangan gelombang yang diperbolehkan ialah , , dan . Kuantisasi ketiga bilangan gelombang ini setara dengan kuantisasi ketiga komponen momentum,

Energi untuk foton ialah sehingga

Pernyataan ini memberikan semua nilai diskret E yang diperkenankan. Untuk mencari kerapatan keadaan,kita perlu mengetahui berapa banyak nilai diskret yang terdapat antara E dan E + dE. Jumlah nilai yang diperkenankan hanyalah untuk n positif, yang mana hanya berada pada oktan pertama dalam koordinat kartesian tiga dimensi, atau seperdelapan dari nilai . Selain itu untuk setiap nilai n, terdapat dua gelombang yang berbeda, yang berkaitan dengan duaderajat polarisasi gelombang elektromagnet yang mungkin dalam R3. Dengan demikian, jumlah keadaan enegi foton yang diperkenankan ialah

Karena

diperoleh fungsi kerapatan keadaan foton menjadi

Pancaran gas foton itu memenuhi distribusi Bose-Einstein

Dengan fungsi partisi Bose-Einstein , sehingga:

Dengan demikian, energi radian total yang diambil foton berenergi E adalah dan kerapatan energi foton (per satuan volum) dalam rentang E hingga E + dE adalah

Dengan menyulihkan nilai diperoleh

Dengan mengubah variabel energi ke dalam panjang gelombang, mengingat

Atau,

Tanda negatif dalam bentuk diferensial penting untuk menunjukkan panjang gelombang berbanding terbalik dengan u.Bila dinyatakan dalam frekuensi,

Kurva mulus intensitas spesifik benda hitam pada suhu 7.500 K (biru), 6.000 K (hijau), dan 4.500 K (merah) menurut hukum Planck.Kredit: MATLAB

Fungsi dari Planck ini sebenarnya adalah generalisasi dari fungsi radiasi benda hitam yang sudah terlebih diajukan oleh Wien serta Rayleigh dan Jeans. Model Wien hanya sesuai pada daerah panjang gelombang pendek sedangkan model Rayleigh-Jeans hanya sesuai pada panjang gelombang panjang.Untuk , menjadi sangat besar sehingga . Dengan begitu dapat dilakukan pendekatan

Yang merupakan hukum radiasi dari Wien.Untuk , dapat didekati dari ekspansi Taylor

Karena tergolong besar, maka suku ke-tiga, ke-empat, dan seterusnya dapat diabaikan karena jauh lebih kecil dari suku pertama dan ke-dua. Dengan begitu diperoleh pendekatan

Yang tidak lain ialah hukum radiasi Raylegh-Jeans.

Hukum Stefan-BoltzmannFungsi intensitas spesifik yang dipancarkan dari permukaan benda hitam (untuk setiap panjang gelombang) oleh Planck ialah atau Misalkan dipilih fungsi panjang gelombang,

Intensitas total radiasi benda hitam dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi intensitas spesifik terhadap semua panjang gelombang, .

Untuk memudahkan, lakukan substitusi , sehingga sehingga

Bentuk integrasi di ruas kanan dapat diselesaikan menggunakan integrasi bentuk khusus

Dengan memasukkan nilai dan akhirnya diperoleh

Dengan .Dan daya yang dipancarkan oleh permukaan benda hitam ke segala arah ialah

Hukum WienAdapun hukum pergeseran Wien menunjukkan panjang gelombang dengan intensitas spesifik maksimum (dikenal juga sebagai panjang gelombang efektif) dari suatu benda hitam bergeser ke arah memendek bila suhunya meningkat yakni dalam hubungan

Persamaan di atas dapat ditunjukkan dengan mencari titik balik fungsi , yakni saat gradiennya, .

Analisis turunan pertama fungsi intensitas spesifik radiasi benda hitam Planck menjelaskan hukum pergeseran Wien.Kredit: MATLAB

; dengan dan

Menggunakan turunan fungsi hasil-bagi diperoleh

Hilangkan saja suku-suku yang dapat dikalikan dengan nol.

Jika dilakukan substitusi balik nilai b, didapatkan

Untuk suhu serendah 1 K saja, nilai . mengingat nilai dari sinar hingga sinar IR masih cukup kecil, maka nilai dapat kita anggap 1, sehingga diperoleh rumus pendekatan

Bagaimanapun, kita dapat memperbaiki pendekatan ini dengan melakukan iterasi, sehingga nilai taksiran baru ini berada di antara nilai pendekatan lama dengan nilai aslinya. Caranya ialah dengan memasukkan asumsi pendekatan pertama ke dalam persamaan semula (sebelum diestimasikan). Substitusikan ke dalam eksponen menghasilkan

Pendekatan baru ini menghasilkan rumus

Taksiran yang baru ini memberikan nilai