11 - taglio - scienzadellecostruzioni.co.uk

11 - Taglioü [A.a. 2012 - 2013 : ultima revisione 5 marzo 2013]

In questo capitolo si studiano alcune sezioni rette soggette a sforzo di taglio, si utilizza la formula di

Jourawsky per tracciare il diagramma delle relative tensioni tangenziali, si deduce il fattore di taglio e si

localizza il centro di taglio

1. Sezione ad T

T

Lê2 L Lê2

L

L

Figura 1 - Una sezione compatta a T

Disegnare il diagramma delle tensioni s23, e calcolare il valore della s23 massima

à Soluzione

1. Calcolo baricentro - Il baricentro G della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per

identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S1 rispetto ad un asse

orizzontale passante per la base inferiore. Sara':

(1)

A = 3 L2

S1 = 2 L �L� L +L

2+ L�L

L

2=

7

2L3

da cui l' altezza del baricentro :

(2)yG =S1

A=

7

6L

2. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della

sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore di base 2L ed altezza L, e da un quadrato

inferiore di lato L. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico, e si aggiunge il momento di

trasporto:

(3)I 11 = 2 LL3

12+ 2 L �L�

3

2L −

7

6L

2

+ LL3

12+ L�L�

7

6L −

L

2

2

=11

12L4

3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all'asseorizzontale baricentrico:

Se la corda generica AB, a distanza x2 dal baricentro, interseca il rettangolo superiore, allora il momento

statico dell'area S' rispetto all'asse x1 baricentrico e' fornito da:

(4)

S1' = L�L�

7

6L −

L

2+

7

6L − L �2 L

1

2

7

6L − L − 2 L � x2

x2

2=

25 L 3

36− L x 2

2

mentre se la corda interseca il quadrato inferiore, si ha:

(5)S1'' = L�

7

6L − x2 �

1

2

7

6L − x2 + x2 =

49 L 3

72−

L x 2

2

Ne segue che la tensione tangenziale s23 e' fornita, nei punti del rettangolo superiore, da:

(6)σ23 =TS1

'

2 I 11 L=

T I25 L 2 − 36 x 22M

66 L4

mentre nei punti del quadrato inferiore si ha :

(7)σ23 =TS1

''

I 11 L=

T I49 L 2 − 36 x 22M

66 L4

Qualitativamente, il diagramma avra' andamento parabolico, annullandosi agli estremi, con una discontinuita'

in corrispondenza dell'attaccatura tra rettangolo e quadrato. Il valore delle tensioni cresce fino all'asse

baricentrico, dove il diagramma ha tangenza verticale, per poi decrescere lungo la parte inferiore della

sezione. Il valore massimo della tensione si raggiunge sulla fibra superiore del quadrato, dove x2 = Lê6 :

(8)σ23 max =8

11

T

L2

mentre lungo la fibra inferiore del rettangolo vale la meta' di questa. In corrispondenza della fibra baricen-

trica, si ha x2 = 0, e quindi:

(9)σ23 bar =25

66

T

L2

Il diagramma si presenta come :

158 11 - Taglio.nb

GX1

X2

Lê2 L Lê2

L

L

Figura 2 - Il diagramma delle s23

2. Sezione ad T

T

s

B

B

s

Figura 3 - Un profilato a T

Per la sezione di Figura 3, calcolare la tensione tangenziale massima nell'ala e nell'anima

11 - Taglio.nb 159

à Soluzione




(10)

A = 2 B s

S1 = B s KB+s

2O + H s

H

2=

B2 s

2+ B KB+

s

2O s


(11)yG =S1

A=

1

4H3 B + sL


sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore (ala) di base B ed altezza s, e da un

rettangolo inferiore (anima) di base s ed altezza H=B. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico,

e si aggiunge il momento di trasporto:

(12)

I 11 = Bs3

12+ H s HH+ s ê 2 − yGL2 + s

H3

12+ s H yG−

H

2

2

=

1

24B s I5 B2 + 6 B s + 5 s 2M

3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'ala - Il massimo valore della tensione tangenziale

nell'ala si raggiunge all'attacco tra l'ala e l'anima, quindi lungo le corde a-a e b-b. Si calcoli allora il momento

statico dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico:

X1

X2

G

T

s

B

B

s

a

a

b

b

Figura 4 - Il calcolo della tensione all'attacco tra ala ed anima

160 11 - Taglio.nb

(13)S1' = s

B

2−

s

2KB+

s

2− yGO =

1

8HB− sL s HB+ sL

Ne segue che la tensione tangenziale s23 e' fornita, nei punti delle corde a-a e b-b, da:

(14)σ23 =T S1

'

I 11 s=

3 HB− sL HB+ sLI5 B2 + 6 B s + 5 s 2M

T

B s

3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'anima - Il massimo valore della tensione tangenziale

nell'anima si raggiunge in corrispondenza della corda barcentrica c-c. Si calcoli allora il momento statico

dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico:

X1

X2

G

T

s

B

B

s

c c

Figura 5 - Il calcolo della tensione massima nell'anima

(15)S1' = s y G

yG

2=

1

32s H3 B + sL2

Ne segue che la tensione tangenziale s23 e' fornita, nei punti della corda c-c, da:

(16)σ23 =T S1

'

I 11 s=

3 H3 B + sL2

4 I5 B2 + 6 B s + 5 s 2MT

B s

11 - Taglio.nb 161

3. Sezione a tre rettangoli

T

L L L

2L

2L

2L

L

Figura 7 - Una sezione compatta costruita assemblando tre rettangoli

Disegnare il diagramma delle tensioni s23, e calcolare il valore della s23 massima

Si suddivide la sezione nei tre rettangoli di Figura 8, la cui area e momento di inerzia baricentrici sono,

rispettivamente :

(17)

A1 = 2 L2; I 1 = LH2 LL3

12

A2 = 6 L2; I 2 = 3 LH2 LL3

12

A3 = 2 L2; I 2 = 2 LL3

12




(18)

A = 10 L 2

S1 = A1 L + A2 HL + 2 LL + A3

L

2+ 4 L = 29 L 3


(19)yG =S1

A=

29

10L

162 11 - Taglio.nb

1

2

3

T

L L L

2L

2L

2L

L

Figura 8 - La sezione di Figura 7 vista come insieme di tre rettangoli


sezione considerandola come costituita dai tre rettangoli di Figura:

(20)

I 11 = I 1 + A1 HyG− LL2 + I 2 +

A2 HyG− 3 LL2 + I 3 + A3 yG− 4 L −L

2

2

=457

30L4

3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all' asseorizzontale baricentrico.

Occorre distinguere tre casi:

Caso A - La corda interseca il rettangolo superiore. Calcolando, per semplicita', il momento statico del

complemento di S' si ha:

(21)S1' = 2 L h d GG' = 2 L h x2 +

h

2=

441 L 3

100− L x 2

2

dove l'altezza h e' fornita da :

(22)h = 5 L − yG− x2

11 - Taglio.nb 163

a a

X1

X2

G

G'

L L L

2L

yG

x2

h

Figura 9 - Caso A - La corda taglia il rettangolo superiore

Caso B - La corda interseca il rettangolo centrale. Si ha:

(23)S1'' = A1 HyG− LL + 3 L h x2 +

h

2=

1003 L 3

200−

3 L x 22

2

con :

(24)h = yG− 2 L − x2

a aX1

X2

G

L L L

2L

yG

x2

h

Figura 10 - Caso B - La corda taglia il rettangolo centrale

Caso C - La corda interseca il rettangolo inferiore. Si ha:

(25)S1''' = L HyG− x2L Kx2 +

yG− x2

2O =

841 L 3

200−

L x 22

2

164 11 - Taglio.nb

a a

X1

X2

G

L L L

2L

yG

x2

Figura 11 - Caso C - La corda taglia il rettangolo inferiore

4. Calcolo della tensione tangenziale.

Nei tre intervalli in cui la corda e' costante si ha, rispettivamente:

(26)σ23 = TS1

'

2 I 11 L=

3

9140 L 4I441 L 2 − 100 x 2

2M T

(27)σ23 = TS1

''

3 I 11 L=

1

9140 L4I1003 L 2 − 300 x 2

2M T

(28)σ23 = TS1

'''

I 11 L=

3

9140 L4I841 L 2 − 100 x 2

2M T

e quindi il diagramma si presenta come in Figura 12.

5. Calcolo dei valori notevoli

Il valore massimo viene attinto sulla corda che separa il rettangolo inferiore dal rettangolo centrale, e vale:

(29)σ23 max = TS1

'''

I 11 LHx2 = yG− 2 LL =

114

457

T

L2≈ 0.249

T

L2

Significati sono anche i valori sulla corda baricentrica e sulla corda che separa il rettangolo centrale dal

rettangolo superiore:

(30)σ23 bar = TS1

''

3 I 11 LHx2 = 0L =

1003

9140

T

L2≈ 0.11

T

L2

(31)σ23 sup = TS1

'

2 I 11 LHx2 = yG− 4 LL =

48

457

T

L2≈ 0.105

T

L2

11 - Taglio.nb 165

T

L L L

2L

2L

2L

L


6. Verifica dell'equilibrio

La risultante delle tensioni dovra' essere pari alla forza di taglio applicata T. Ed infatti si puo' verificare che:

(32)

2 L ‡4 L−yG

5 L−yG 3 T

9140 L 4I441 L 2 − 100 y 2M �y +

3 L ‡2 L−yG

4 L−yG T

9140 L 4I1003 L 2 − 300 y 2M �y +

L ‡−yG

2 L−yG 3 T

9140 L 4I841 L 2 − 100 y 2M �y =

53

457+

270

457+

134

457T = T

166 11 - Taglio.nb

4. Sezione a tre rettangoli

T

L 2L L

L

2L

L

Figura 13 - Una sezione compatta

Le coordinate del baricentro sono note:

(33)xG = 2 L

yG = 2 L

Il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse orizzontale baricentrico e' allora fornito da:

(34)

I 11 = 2 LL3

12+ 2 L L L +

L

2

2

+

4 LH2 LL3

12+ 2 L

L3

12+ 2 L L L +

L

2

2

= 12 L 4

Se la corda interseca i due rettangoli superiori, il momento statico dell'area ad essa sottostante, rispetto

all'asse orizzontale baricentrico sara' fornito da:

(35)S1' = 2 L H2 L − x2L x2 +

2 L − x2

2= 4 L3 − L x 2

2

mentre se interseca il rettangolo centrale si avra':

(36)S1'' = 2 L L L +

L

2+ 4 L HL − x2L x2 +

HL − x2L2

= 5 L3 − 2 L x 22

Se infine la corda interseca il rettangolo inferiore, si avra' :

(37)S1''' = 2 L H3 L − x2L x2 +

3 L − x2

2= 4 L3 − L x 2

2

4. Calcolo della tensione tangenziale.

Nei tre intervalli in cui la corda e' costante si ha, rispettivamente:

11 - Taglio.nb 167

(38)σ23 = TS1

'

2 I 11 L=

4 L2 − x22

24 L4T

(39)σ23 = TS1

''

3 I 11 L=

5 L2 − 2 x 22

48 L 4T

(40)σ23 = TS1

'''

I 11 L=

4 L2 − x22

24 L4T

e quindi il diagramma si presenta come :

T

L 2L L


Si noti la simmetria del diagramma, dovuta al fatto che i due rettangoli superiori possono riguardarsi come

un singolo rettangolo di base 2L, eq uindi equivalente al rettangolo inferiore.

5. Calcolo dei valori notevoli

Il valore massimo viene attinto sulle corde che separano il rettangolo centrale dai corpi inferiore e superiore,

e vale:

(41)σ23 max = TS1

'

2 I 11 LHx2 = −LL T =

S1'''

2 I 11 LHx2 = LL =

T

8 L2= 0.125

T

L2

Significativo e' anche il valore sulla corda baricentrica:

(42)σ23 bar = TS1

''

4 I 11 LHx2 = 0L =

5

48

T

L2≈ 0.104

T

L2

6. Verifica

(43)

2 2 L ‡3 L−yG

4 L−yG 4 L2 − y2

24 L 4T �y + 4 L ‡

L−yG

3 L−yG 5 L2 − 2 y 2

48 L 4T �y =

2 ×5

36+

13

18T = T

168 11 - Taglio.nb

5. Sezione quadrata sollecitata lungo una diagonale

A

B

C

D

X1

X2

G

T

H H

H

H

Figura 15 - Una sezione quadrata sollecitata lungo la diagonale

(da Cavallina - D'Anna) Si tracci il diagramma delle tensioni tangenziali utilizzando corde parallele all'asse

orizzontale

Soluzione - Il baricentro e' immediatamente calcolabile, essendo situato all'incrocio delle due diagonali. Il

momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse baricentrico puo' calcolarsi riguardando la sezione

come somma dei due triangoli ABC ed ACD. Si ha allora:

(44)I 11 = 2 2 HH3

36+ 2 H2 H HL H

3

2

=H4

3

Il momento statico dell'area sottostante ad una generica corda appartenente al triangolo inferiore si puo'

scrivere:

(45)

S1' =

b

2HH− x2L dGG' =

b

2HH− x2L x2 +

1

3HH− x2L =

b

6HH− x2L HH+ 2 x 2L

e quindi le tensioni su quella corda valgono :

(46)σ23 =T

2 H4HH− x2L HH+ 2 x 2L

11 - Taglio.nb 169

a a

X1

X2

G

T

H Hb

H

H

x2

H−x2G'

Figura 16 - Il caso della corda parallela all'asse orizzontale

Le tensioni s23 raggiungono il valore massimo in corrispondenza del punto di tangenza verticale, ossia dove

si annulla la derivata:

(47)d

dx 2

S1'

b=

d

dx

1

6HH− x2L HH+ 2 x 2L =

1

6HH− 4 x 2L

e quindi in H/4. Su tale corda si ha:

(48)σ23 max =9

16

T

H2

laddove la tensione sulla corda baricentrica vale :

(49)σ23 bar =1

2

T

H2

Infine, il diagramma si viene a completare per simmetria nella parte superiore :

A

B

C

D

X1

X2

G

T

H H

Hê4

Hê4


Il diagramma delle s13 - Sui punti del contorno la tensione tangenziale dovra' essere tangente al contorno

170 11 - Taglio.nb

stesso, quindi dovra' essere:

(50)σ13 = − σ23

lungo i bordi AB e AD, e

(51)σ13 = σ23

lungo i bordi BC e CD. Infine, la s13 variera' linearmente lungo la corda, annullandosi sull'asse verticale.

Nel punto generico della generica corda relativa al triangolo inferiore, la tensione tangenziale sara' diretta

verso il punto D, mentre nel generico punto della generica corda relativa al triangolo superiore, la tensione

tangenziale sara' diretta verso il punto B.

σ13

σ23 σt

σ13

σ23σtσt

A

B

C

D

T

H H

H

H

Figura 18 - Il quadro tensionale completo delle st

6. Sezione quadrata sollecitata lungo una diagonale

TlTm

A

B

C

D

lm

G

T

H H

H

H

Figura 19 - La stessa sezione, caso delle corde parallele ai lati

Si suddivida lo sforzo verticale T nelle due componenti Tl e Tm secondo i lati BC ed AB. Si tracci il dia-

11 - Taglio.nb 171

l m

gramma delle tensioni tangenziali in presenza di Tm, utilizzando corde parallele al lato BC.

Soluzione - Il momento statico dell'area tratteggiata rispetto all'asse l e' fornito da:

a

a

L

2

TlTm

A

B

C

D

lm

G

T

L

2−m

m

Figura 20 - Il calcolo del momentoi statico rispetto all'asse l

(52)Sl' = L

L

2− m m+

1

2

L

2− m =

L

8IL2 − 4 m2M

e quindi la tensione s3 m e' fornita da:

(53)σ3 m =Tm Sl

'

I 11 L=

T Sl'

2 I 11 L=

3 T

2 2 L4IL2 − 4 m2M =

6 T

2 L4

L2

4− m2

Ripetendo l' analisi in presenza di Tl, ed utilizzando corde parallele ad AB, si ottiene un identico risultato, e

sovrapponendo gli effetti si ha una tensione tangenziale diretta secondo la verticale, che equilibra la forza

verticale T, e pari a:

(54)σ23 =3 T

L4

L2

2− x2

2

172 11 - Taglio.nb

7. Sezione triangolare

T

B

H

Figura 21 - Una sezione a triangolo isoscele

Le coordinate del baricentro sono ben note, cosi' come e' noto il valore del momento di inerzia I11 rispetto

all'asse X1 baricentrale:

(55)I 11 =BH3

36

Resta da calcolare il momento statico dell'area sottostante la corda generica rispetto allo stesso asse. In

questo caso, e' preferibile calcolare il momento statico dell'area sovrastante la corda, e considerare che esso

e' l'opposto del momento statico desiderato:

(56)

S1' =

1

2b

2

3H+ x2 dGG' =

1

2b

2

3H+ x2

1

3x2 +

2

3H +

H

3− x2 −

H

3=

b

27HH− 3 x 2L H2 H+ 3 x 2L

11 - Taglio.nb 173

G

G'

T

B

x2

2

3H

Figura 22 - Il calcolo del momento statico

Ne segue l' espressione della tensione tangenziale:

(57)σ23 =4 T

B H3 3HH− 3 x 2L H2 H+ 3 x 2L

e quindi l' andamento del diagramma risulta parabolico :

X1

X2

B

H


Per il calcolo del massimo valore delle s23, si identifica la corda su cui il diagramma presenta pendenza

verticale:

(58)d

dx 2

S1'

b= 0

ossia si calcola il valore di x2 per cui:

(59)d

dx 2

HH− 3 x 2L H2 H+ 3 x 2L = 0

174 11 - Taglio.nb

ossia:

(60)x2 max = −H

6

Ne segue il valore della tensione tangenziale massima :

(61)σ23 max = 3T

BH

In corrispondenza della corda baricentrica si ha un valore leggermente inferiore:

(62)σ23 max =8

3

T

BH

X1

X2

B

8

3

T

BH

3T

BH

Hê6

Figura 24 - I valori notevoli

L' andamento delle tensioni s13 - Su ciascuna corda orizzontale la tensione s13 varia con legge lineare.

Agli estremi, la tensione tangenziale st e' diretta secondo il contorno, e quindi nel punto di sinistra si ha:

(63)σ13 sin = σ23 Tan@α1Ddove a1 e' fornita da:

(64)α1 = ArcTan B2H

BF

Nel punto di destra si ha :

(65)σ13 des = σ23 Tan@α2D = −σ13 sin

In mezzeria, evidentemente, la s13 si annulla. In ogni altro punto della corda, la tensione st e' diretta verso il

vertice del triangolo.

à Calcolo

à Calcolo

11 - Taglio.nb 175

8. La sezione a CSi consideri la sezione retta a forma di C, illustrata in Figura 25, con ali larghe B e con anima alta H. Lo

spessore delle ali sia pari a t, lo spessore dell'anima sia d. La sezione sia soggetta a forza di taglio baricen-

trica diretta lungo l'asse X2 , sicche' l'asse neutro flessionale coincide con l'asse X1.

GX1

X2

d

B

t

Hê2

Hê2

t

T

Figura 25 - La sezione retta a C soggetta a taglio verticale

à Lo stato tensionale nelle ali

Considerando la sezione come un insieme di tre rettangoli, si inizi a determinare lo stato tensionale tangen-

ziale nelle ali. Per esse conviene considerare corde parallele all'asse X2: data infatti la loro minore lunghezza

rispetto a corde parallele all'asse X1 lo stato tensionale su tali corde sara' sicuramente piu' significativo.

Scelta allora una corda generica a distanza x1dall'estemo di destra dell'ala inferiore, si puo' enucleare subito

l'area S' di cui calcolare il momento statico rispetto all'asse baricentrale X1. Dalla Figura 26 si ottiene subito:

176 11 - Taglio.nb

GX1

X2

d

B

t

Hê2

Hê2

t

T

l

m

H

2−t

2ξ1

Figura 26 - La corda parallela all'asse x2 per il calcolo delle tensioni nelle ali

(66)S1' = t ξ1

H

2−

t

2

e quindi la tensione sm3 e' fornita da:

(67)σm3 =T

2S1

'

I 11 b=

T

2 I 11

HH− t L ξ1

Si noti che ora l'asse m viene a coincidere con l'asse X1, quindi la tensione (67) e' pari alla componente

cartesiana s13. Essa varia linearmente lungo l'ala, annullandosi all'estremo, dove x1= 0, e divenendo massima

all'attacco con l'anima, dove x1= B-d:

(68)σm3 max =T

2 I 11

HH− t L HB− dLL'altra componente di tensione varia con legge quadratica lungo la corda prescelta. Agli estremi la tensione

tangenziale t sara' diretta secondo il contorno, e quindi viene a coincidere con la sm3. Ne segue che in tali

punti sl3 e' nulla, e di conseguenza l'andamento della sl3 sara' simmetrico rispetto all'asse dell'ala. L'incli-

nazione dei diagramma sara' dato da:

(69)∂σl3

∂ l= −

T2

I 11

1

b

∂S1'

∂m− x2 = −

T

I 11

H− t

2− x2

e quindi l'inclinazione sara' nulla (come prevedibile per la simmetria) sull'asse dell'ala, mentre sara' massima

per x2= H

2, bordo inferiore dell'ala, e per x2=

H

2- t (bordo superiore dell'anima), dove varra':

(70)∂σl3

∂ l max

=T

I 11

t

2

Per ottenere l'espressione analitica delle sl3 si inizi col porre:

(71)σl3 = al 2 + bl + c

11 - Taglio.nb 177

e poi si calcolino i tre coefficienti incogniti imponendo le tre condizioni:

(72)σ13 l =H

2= 0 � a

H2

4+ b

H

2+ c = 0

(73)σ13 l =H

2− t = 0 � a

H

2− t

2

+ bH

2− t + c = 0

(74)∂σl3

∂ ll =

H

2=

T

I 11

t

2� 2 a

H

2+ b =

T

I 11

t

2

Si ha subito:

(75)a =T

2 I 11

; b = −T

2 I 11

HH− t L; c =T

8 I 11

HHH− 2 t Le quindi la tensione si scrivera':

(76)σ13 =T

2 I 11

l 2 − l HH− t L + HHH− 2 t L

4

con valore massimo lungo l'asse dell'ala pari a:

(77)σ13 max = σl3 l =H

2−

t

2= −

Tt 2

8 I 11

Tale valore e' di solito molto basso, rispetto ai valori delle componenti sm3, e pertanto l'effetto delle sl3

lungo le ali e' usualmente trascurato. Lo stato tensionale nell'ala inferiore e' schematizzato in Figura 27,

nell'ala superiore e' del tutto analogo.

t

B

d

σm3max

σl3max

Figura 27 - Lo stato tensionale nell'ala inferiore della sezione a C

à Lo stato tensionale nell'anima

Lo stato tensionale nell'anima andra' valutato scegliendo corde orizzontali, che hanno la lunghezza minore.

Con una corda a distanza x2 dall'asse X1 si avra', come risulta dalla Figura 28:

178 11 - Taglio.nb

S1' = Bt

H− t

2+ d

H

2− t − x2

I H

2− t − x2M

2+ x2 =

BtH− t

2+

d

2

H

2− t − x2

H

2− t + x2

e quindi, semplificando:

(79)σm3 =T

2 I 11

B HH− t L t

d+

H

2− t

2

− x22

Si noti che ora l'asse e' orientato secondo X2, e quindi la (79) coincide con s23, e che tale tensione varia con

legge quadratica lungo l'asse, raggiungendo il suo massimo in x2= 0:

(80)σm3max=T

2 I 11

B HH− t L t

d+

H

2− t

2

In corrispondenza dell'incrocio tra ali ed anima si ha x2 = H

2- t, e la tensione vale:

GX1

X2

d

B

t

Hê2

Hê2

t

T

l

m

x2

ξ1

Figura 28 - La corda parallela all'asse x1per il calcolo delle tensioni nell'anima

(81)σm3

H

2− t =

T

2 I 11

HH− t L Bt

d

Si ha quindi il diagramma di Figura 29. Da esso si osserva come sia spesso possibile assimilare il diagramma

delle tensioni tangenziali ad un rettangolo, trascurando il contributo delle ali ed assumendo una distribuzione

costante di tensioni tangenziali, pari a:

(82)σm3max=T

HH− 2 t L d

La componente di tensione sl3 e' ovunque nulla nell'anima.

11 - Taglio.nb 179

Il fattore di taglio

Il fattore di taglio puo' essere valutato approssimativamente trascurando il contributo delle ali, e quindi

utilizzando la (82) . In tal caso si ha una energia di deformazione pari a:

(83)Lt =1

2 G‡

V'

σ232 �V =

T2 l

2 GHH− 2 t L2 d2HH− 2 t L d =

T2 l

2 GHH− 2 t L d

e volendo porre l'energia nella nota forma:

GX1

X2

d

B

t

H

2

H

2

t

T

Figura 29 - Il diagramma delle tensioni s23 nell'anima

(84)Lt =κ

2

T2 l

GA

si giunge all'espressione approssimata del fattore di taglio:

(85)κ =A

HH− 2 t L d

e quindi il fattore di taglio e' pari al rapporto tra l'area totale A della sezione e l'area dell'anima.

à Il centro di taglio

L'ala inferiore e' soggetta ad una distribuzione triangolare di tensioni, la cui risultante puo' calcolarsi come:

(86)Tr1 = ‡ σ13 �A �ξ

e quindi, trattandosi di un diagramma triangolare:

(87)Tr1 =t

2HB− dL σ13 max =

Tt

4 I 11

HB− dL2 HH− t LNell'ala superiore la risultante delle tensioni tangenziali e' uguale e contraria, in quanto i momenti statici

cambiano di segno. Infine, la risultante delle tensioni tangenziali nell'anima, utilizzando la (82), e' pari a T,

180 11 - Taglio.nb

ed e' diretta secondo l'asse baricentrale dell'anima.

Complessivamente, quindi, le tensioni agenti sono equivalenti ad una forza T applicata nel baricentro

dell'anima, e ad un momento torcente dovuto alle due forze risultanti nelle ali, e tale momento torcente e' pari

a (Figura 30):

GX1

Mt

T

X2

GX1

X2

Tf2 =T

Tf3

Tf1

T

δ

C

Figura 30 - Le risultanti delle tensioni tangenziali ed il centro di taglio

(88)Mt = Tr1 HH− t L =Tt

4 I 11

HB− dL2 HH− t L2

Tale sistema di forza piu' momento torcente puo' infine ridursi alla singola forza T traslata, rispetto alla sua

posizione originaria, di una quantita':

(89)dt =Mt

T

Indicando con d la distanza del baricentro dall'estremo esterno dell'anima si ha che la coordinata xC1 del

centro di taglio puo' calcolarsi come

(90)xC1 = δ −d

2+

t

4 I 11

HB− dL2 HH− t L2

mentre per la simmetria della sezione sara' sicuramente xC2 = 0. Se T non passa per il centro di taglio

occorrera' aggiungere alle tensioni tangenziali calcolate in questa sezione anche le tensioni tangenziali da

torsione.

Figure

11 - Taglio.nb 181

Grafici

182 11 - Taglio.nb

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