11 recursividade em estrutura de dados

7/24/2019 11 Recursividade Em Estrutura de Dados

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Algoritmos Recursivos Professor Srgio Furgeri

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Algoritmos Recursivos

Fundamentos

Trata-se de rotinas recursivas, onde a rotina para resolver determinado problema, divide-se em subproblemas, e para solucionar esses subproblemas solicita a execuo dele mesma,

ou seja, uma rotina que quando em execuo chama a si prpria para executar mais vezes

aquela determinada funo dentro dela, sendo ela de forma direta ou indireta, onde

geralmente, uma rotina recursiva R, formada por um conjunto de comandos C (que nocontm chamadas a R) e uma chamada recursiva a ela prpria (R).

R[C,R]

Entretanto, existe uma forma de recurso indireta, onde as rotinas se ligam atravs de

uma sucesso de chamadas, que acaba retornando primeira chamada efetuada.

R1 [C1,R2]

R2 [C2,R3]

R3 [C3,R4]

. . .

Rn[Cn,Rn]

Uma rotina indiretamente recursiva faz uma chamada a outra rotina K, por exemplo, e

essa por sua vez faz uma chamada direta ou indireta a R, tornando-se muitas vezes difcil

de perceb-la em uma simples leitura.

Uso de Recurso para Soluo de Problemas

Todo algoritmo deve ser executado em tempo finito, o que significa que aps ter efetuado

uma tarefa uma determinada quantia de vezes, deve ser parado para no criar um loopinginfinito.

Para que no exista a execuo infinita de determinada tarefa deve existir uma expresso

lgica, cuja funo cessar a execuo quando se torna falsa, impedindo que a recurso

prossiga infinitamente. No caso da rotina recursiva R [C,TR], onde T R indica achamada de R quando T for satisfeito, as tcnicas bsicas so:

Colocar T em termos de uma funo (x), tal que (x)0 efetua a condio de

parada;

Apresentar (x) numa repetio decrescente, tendo x decrescendo a cada chamada

em R(x) [C,( (x)>0 ) R(x-1)].


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Divide-se um problema numa rotina recursiva em:- soluo trivial por definio, no necessitando de recurso para ser

obtida, sendo parte do problema que pode ser resolvida pelo conjunto de

comandos C.- soluo geral na essncia, a parte do problema igual ao problema

original, sendo solucionado atravs de uma chamada recursiva R(x-1).

Para saber qual a melhor soluo para um problema, se pelo conjunto de instrues C

ou pela chamada recursiva R(x-1), nesse caso atravs de um teste! A seguir demonstra-se a

definio de uma funo recursiva para calcular o fatorial de um nmero natural:

soluo trivial: 0! = 1 {dada por definio}

soluo geral: n! = n*(n-1)! {requer reaplicao da rotina para (n-1)!}

Exemplo 1. Considerando (n) = n, ento n=0 sugere uma condio de parada dessemecanismo recursivo, garantindo a finalizao do algoritmo que calcula o fatorial:

functionfat (n : integer) : integer;

begin

ifn=0 thenfat := 1

else fat := n * fat(n - 1);

end;

Em termos matemticos, a recurso acaba sendo uma tcnica que reduz o problema

atravs de substituies sucessivas a um caso de soluo trivial. Veja o clculo de f(4) a

seguir:

fat(4)4*fat(3)4*3*fat(2)4*3*2*fat(1)4*3*2*1*fat(0)4*3*2*1*1

Problema a resolver Substituies sucessivas Caso de soluo trivial obtido

Exemplo 2. Considerando Fn = Fn-1 + Fn-2, onde n>2 F0 = F1 = 1, que explica a

Sequncia de Fibonacci, gerando os termos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89..., a formarecursiva se d:

functionfibonacci(N: integer): integer;

begin

ifN < 2

thenfibonacci := 1

elsefibonacci := fibonacci(N 1) + fibonacci(N 2);

end;


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O Problema das Torres de Hanoi

Conta lenda, que no mosteiro no alto das montanhas Hanoi havia trs torres, sendo a

primeira formada por 64 discos empilhados em tamanho decrescente, e acreditava-se quequando terminasse de transferir todos os discos da primeira torre para a terceira, usando a

segunda, e sem colocar um disco maior sobre um disco menor, o mundo acabaria.

Num exemplo simplificado com trs torres e com apenas trs discos, o objetivo seria

transferir os trs discos da torre A para a torre C usando a torre B como auxiliar, sendo que

somente o primeiro disco de uma torre pode ser deslocado para outro, e nunca um discomaior sobre outro menor.

Para solucionar o problema das torres de Hanoi com uma recurso, consideremos que n

discos devem ser transferidos, assim podemos dividir o problema em dois casos mais

simples que ir mover n discos, sendo o primeiro atravs da soluo trivial (quando umdisco tiver de ser movido da torre A para torre C), e o segundo atravs de soluo geral

(uma soluo para n discos em termos de n-1).

Usaremos o exemplo com trs discos para entender a soluo recursiva proposta,admitindo que movemos 2 discos da torre A para a torre B, usando a torre C teramos:

Depois poderamos mover o disco maior diretamente da torre A para a torre C.

E por fim, aplicar novamente a soluo recursiva para mover os 2 discos da torre B para atorre C, usando a torre A.


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Ento o que fizemos foi:

Se n=1, ento transfira o disco de A diretamente para C e pare;

Seno: 1 transfira n-1 discos de A para B usando C como auxiliar; 2 transfira o

ltimo disco de A para C; 3 transfira n-1 discos de B para C usando A como

auxiliar.

Soluo recursiva em Pascal:

procedureHanoi (n : integer;A, B, C : char);

begin

ifn=1 then

writeln(Mova disco 1 da torre, A, para, C);

else

beginHanoi (n-1, A, C, B);

writeln(Mova disco, n,da torre, A,para,C);Hanoi (n-1, B, A, C);

end;

end;

www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm

Quando Aplicar Recurso

A recurso uma ferramenta que nem sempre pode ser utilizada, pois h problemas

que tm soluo instantnea com a forma recursiva, enquanto outros so impossveis de

serem resolvidos dessa maneira, sendo necessria uma anlise prvia do problema paratem certeza da soluo atravs da recursividade, por que a cada chamada recursivatodas as variveis locais so recriadas, ocupando mais tempo e espao.

Frente a difcil questo de usar a forma recursiva ou iterativa (no recursiva), cabe

comparar as solues viveis, lembrando que primeiramente um algoritmo tem de ser

claro, simples e conciso.


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Eliminando Recurses de Cauda

Diz-se que uma rotina apresenta recurso de cauda, se sua chamada for efetuada no

final do seu cdigo, criando a funo de looping at que a condio de parada a encerre,como no exemplo seguinte:

functionfat (n : integer) : integer;

begin looping!!!!!!

ifn=0 thenfat := 1

else fat := n * fat(n - 1);

end;

Cada vez que executada, e no for satisfeita a chamada fat (n - 1) ativa, fazendo com

que o controle retorne ao incio da funo e recrie a varivel, que recebe um novo valor.Como exemplo clssico de recurso, este um caso onde a recurso menos eficiente que

a iterao, pois proporciona uma recurso de cauda.

A recurso de cauda pode ser substituda ento por uma estrutura de repetio, como noexemplo seguinte, onde ela esteja condicionada expresso de teste usada na verso

recursiva.

Fatorial sem recursividade:

functionfat_iterativo (n : integer) : integer;

var f : integer;

beginf := 1;

whilen>0 do

begin

f := f*n;

n := n-1;

end;

fat_iterativo := f;

end;

Exerccios com recursividade:

Exerccio 1.

Seja uma linguagem hipottica na qual no existem operadores para adio, nem subtrao.

Sabe-se que nesta linguagem, existe uma funo succ(N) que d o sucessor do nmero N, eexiste tambm uma funo pred(N) que d o predecessor de um nmero N.Usando apenas

essas funes (succ/pred), defina a funo recursiva Add (x,y), que toma como argumento

os nmeros naturais x e y, e retorna sua soma. Em seguida mostre como a recurso de

cauda pode ser eliminada da funo Add (x,y), usando-se um comando de repetio.


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AlgoritmoFuno numrico add (x,y)

Se x=0

Ento add := ySeno

Se y=0Ento add:=x

Seno add:= add(pred(x), succ(y))

Fim Se

Fim SenoFim Se

Fim Funo

Declare x, y numrico

Leia xLeia yEscreva add(x, y)

FimAlgoritmo

Em Pascal:

program recexr2;uses crt;

function add(x,y:integer):integer;

beginif x=0 then

add:=yelse

if y=0 then

add:=x

else

add:=add(pred(x),succ(y));end;

var x,y:integer;

beginclrscr;

writeln('Entre com o primeiro numero:');

readln(x);

writeln('Entre com o segundo numero:');readln(y);

writeln('Soma:',add(x,y));

end.


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Na forma iterativa:

Algoritmo

Funo numrico add_iterativo (x,y)Repita enquanto x > 0

x:= pred(x)y:=succ(y)

Fim Repita

add_iterativo:=y

Fim Funo

Em Pascal:

function add_iterativo(x,y:integer):integer;begin

while x>0 do

begin

x:=pred(x);y:=succ(y);

end;

add_iterativo:=y;end;

var x,y:integer;

beginclrscr;

writeln('Entre com o primeiro numero:');readln(x);

writeln('Entre com o segundo numero:');

readln(y);

writeln('Soma:',add(x,y));

end.

Exerccio 2.

Faa um programa Pascal que preencha por leitura (do teclado), um vetor de 10 elementos

reais, imprima os contedos deste vetor, e que tambm imprima o resultado do somatriodos elementos deste vetor, calculado por uma funo recursiva.

Algoritmo da Funo:

Funo numrico soma(n)Se n=1

Ento soma:=v[n]

Seno soma:= v[n] + soma(n-1)Fim Se

Fim Algoritmo


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Em Pascal:

program recur2;

uses crt;var

v:array [1..10] of integer;

function soma(n:integer):integer;

begin

if n=1 then soma:=v[n]else soma:=v[n]+soma(n-1);

end;

begin

v[1]:=2; v[2]:=4; v[3]:=5; v[4]:=4; v[5]:=5;v[6]:=6; v[7]:=7; v[8]:=8; v[9]:=9; v[10]:=10;clrscr;

writeln(soma(10));

end.

Exerccio 3.

Recursividade pode ser utilizada para gerar todas as possveis permutaes de um conjuntode smbolos. Por exemplo, existem seis permutaes no conjunto de smbolos A, B e C:

ABC, ACB, BAC, BCA, CBA e CAB. O conjunto de permutaes de N smbolos gerado

tomando-se cada smbolo por vez e prefixando-o a todas as permutaes que resultam dos

N - 1 smbolos restantes. Conseqentemente, permutaes num conjunto de smbolospodem ser especificadas em termos de permutaes num conjunto menor de smbolos.

Formular um procedimento recursivo e outro iterativo para este problema.

Algoritmo

Declare x literal

Declare c array[1..3] de literal

Declare a, i, j, k numrico

Subrotina mostra

Se n=4

Ento finalizar programaFim Se

Escreva c[n], c[j], c[k]

Escreva c[n], c[k], c[j]

j:=kk:=n

mostra(n+1)

Fim Subrotina

Leia x

c[1]:=x


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Leia xc[2]:=x

Leia x

c[3]:=xj:=2

k:=3mostra(1)

Fim Algoritmo

Em Pascal:

program todosABC;

uses crt;var

x:char;c:array [1..3] of char;a,i,j,k:integer;

procedure mostra(n:integer); {soluo recursiva}begin

if n=4 then exit;

writeln(c[n],' ',c[j], ' ',c[k]);writeln(c[n],' ',c[k], ' ',c[j]);

j:=k;

k:=n;

mostra(n+1);end;

begin

clrscr;

readln(x); c[1]:=x;

readln(x); c[2]:=x;

readln(x); [3]:=x;Writeln;

j:=2;

k:=3;

mostra(1); {chama recursiva}end.

Na forma iterativa:

AlgoritmoDeclare x literal

Declare c array[1..3] de literal

Declare a, i, j, k numricoLeia x

c[1]:=x

Leia x


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c[2]:=xLeia x

c[3]:=x

i:=1;j:=2;

k:=3;a:=0;

Repita enquanto a

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