11. Праволинейни трептения на...

118

11. Праволинейни трептения на точка.

11.1. Свободни(собствени) трептения на точка.

Върху точката M е приложена само възстановяваща(еластична) сила

xcxFel

rr−= (фиг.26). Движението на точката се извършва по оста

Ox (фиг.26), т.е. xtxOMrrr

)(=≡ . Началните

условия на точката са: xxOMrrr

000 =≡ , xvvrr

00 = .

От уравнението на динамиката по x имаме .)0(,)0(, 00 vxxxcxxmFFrmam el ==−=→≡=≡ &&&

rr&&rr

Полагаме mck /2 = , където mNc /, се нарича

коефициент на еластичност, а 1,/ −= smck - собствена кръгова честота

на трептенето. Представяме диференциалното уравнение във вида:

(66) 00

2 )0(,)0(,0 vxxxxkx ===+ &&& .

Уравнение (66) се нарича диференциално уравнение на собствените

третения или хармонично уравнение.

Намираме корените на характеристичното уравнение на (66)

(67) 1,0 2,1

22 −=±=→=+ ikirkr ,

и за решението на хомогенното диференциално уравнение (66) пишем

,sin)(cos)()sin(cos)sin(cos

Im

21

Re

212121 ktCCiktCCktiktCktiktCeCeCx iktikt

4342143421−++≡−++≡+= −

където 1C и 2C са интеграционни константи. Тъй като 1C и 2C са

комплексно спрегнати числа, то 21Re CC += и )(Im 21 CCi −= са реални.

Законът на движение на точката M добива вида

(68) ,sinImcosRe ktktx += ,cosImsinRe ktkktkx +−=&

където Re и Im са константи, които се определят от началните условия:

(69) kvxkvxxxx /Im,ReIm)0(Re,)0( 00000 ==→=≡==≡ && .

Законът (68) може да се представи още във вида:

(70) ,)sin()( α+= ktAtx ,)cos()( α+= ktkAtx& 22 ImRe +=A , ImRe/=αtg ,

където A се нарича амплитуда на трептенето, α - начална фаза, а

α+kt - фаза на движението. A и α се определят от началните условия:

(71) ./,/cos)0(,sin)0( 00

22

0

2

0000 vxktgkvxAkAvxxAxx =+=→=≡=== ααα &&

Параметрите A и α зависят от началните

условия, за разлика от параметъра sT , - период

на хармоничното движение (изохронност):

(72) cmkTkT /2/22 πππ ≡=→= .

На фиг.27 е представен законът на свободните

трептения (70).

0 5 10

Фиг. 26. Свободни трептения.

Фиг. 27. Закон на свободните трептения.

x

t

0x

A

T

119

11.2. Затихващи трептения на точка.

Върху точката M са приложени възстановяваща( xcxFel

rr−= ) и

съпротивителна ( vFr

rrβ−= , smv /20<

r ) сили.

Движението на точката се извършва по

оста Ox (фиг.28), т.е. xtxOMrrr

)(=≡ . Началните

условия на точката са: xxOMrrr

000 =≡ , xvvrr

00 = .

От уравнението на Нютон по оста x имаме .)0(,)0(, 00 vxxxxcxxmFFFrmam rel ==−−=→+≡=≡ &&&&

rrr&&rr

β

Полагаме mck /2 = , mn /2 β= . Тук mNc /, е коефициент на еластичност,

mNs /,β - коефициент на съпротивление, 1,/ −= smck - собствена

кръгова честота, а 1, −sn - относително съпротивление(коефициент на

затихване). Представяме диференциалното уравнение във вида:

(73) 00

2 )0(,)0(,02 vxxxxkxnx ===++ &&&& .

Уравнение (73) се нарича диференциално уравнение на затихващите

третения. Намираме корените на характеристичното уравнение на (73)

(74) 22

2,1

22 02 knnrknrr −±−=→=++ .

В зависимост от 22knD −= различаваме три случая:

А) Псевдопериодично движение или случай на слабо съпротивление,

(75) knD <→< 0 , 22**

2,1 ,1, nkkiiknr −=−=±−= .

За решението на хомогенното диференциално уравнение (73) пишем

,]sin)(cos)([)]sin(cos)sin(cos[ *

Im

21

*

Re

21

**

2

**

1

)(

2

)(

1

**

tkCCitkCCetkitkCtkitkCeeCeCxntnttikntikn

4342143421−++≡−++≡+= −−−−+−

където 1C и 2C са интеграционни константи. Тъй като 1C и 2C са

комплексно спрегнати числа, то 21Re CC += и )(Im 21 CCi −= са реални.

Законът на движение на точката M добива вида

(76) ,)sinImcos(Re**tktkex

nt += − ,)]sinRe)Im(cosIm)Re[(****tkkntkknex

nt +−+−= −&

където Re и Im са константи, които се определят от началните условия:

(77) *

000

*

000 /)(Im,ReImRe)0(Re,)0( kvnxxknvxxxx +==→+−=≡==≡ && .

Законът (76) може да се представи още във вида:

(78) ,)sin()( *

0 α+= −tkAetx

nt ,)]cos()sin([)( ***

0 αα +++−= −tkktknAetx

nt& ,ImRe 22

0 +=A ,Im

Re=αtg

където 0A се нарича начална амплитуда, α - начална фаза, а α+tk* -

фаза на движението. 0A и α се определят от началните условия:

(79) .,)(

)cossin()0(,sin)0(00

0

*

2*

2

002

00

*

00000nxv

xktg

k

nxvxAknAvxxAxx

+=

++=→+−=≡=== αααα &&

Параметрите 0A и α зависят от началните условия, за разлика от

параметъра sT ,* - период на затихващото трептение (псевдопериод):

Фиг. 28. Затихващи трептения.

120

(80) 22**** /2/22 nkkTTk −≡=→= πππ .

На фиг.29 е представен законът на

затихващото трептение (78). Нарича се

затихващо, тъй като при 0, →∞→ xt . Това

движение има характер на трептене, понеже

точката преминава безброй пъти равновесното

положение 0=x за моментите

(81) ,...2,1,0,*

=−

= jk

jt j

απ

Амплитудата на движението nteAA

−= 0 намалява експоненциално. То не е

периодично, тъй като последователните максимални отклонения от

равновесното положение, наричани последователни амплитуди, не са

равни, а намаляват. Намирането на моментите от време, които

съответствуват на последователните амплитуди става от връзката:

nktktgtkktknAetxtnt /)(0)]cos()sin([)(: *

*

****

0* =+→=+++−≡ − ααα& , т.е.

(82) ,....2,1,0,)(1

*

*

** =+−= ik

in

karctg

kt i

πα .

Горното равенство (82) показва, че моментите ,...2,1,0,* =it i образуват

аритметична прогресия с разлика ** /2/ kTd π== - полупериода.

Сравнението сочи, че периодът на затихващите трептения ** /2 kT π=

е по-голям от този на собствените трептения kT /2π= .

Заместваме (82) в nteAA −= 0 и намираме последователните амплитуди:

(83) ,...2,1,0,)2

exp()](exp[ 20*

**

*00*

*

* =≡−−−==−−

ieAiT

nn

karctg

k

nAeAA

iT

nnt

ii α

Последователните амплитуди образуват геометрична прогресия с

частно )2/exp( *nTq −= . Отношението на две съседни амплитуди

(84) 2/

1**

*

/ nT

ii eAA == +η

се нарича фактор или декремент на затихването.

Логаритмичният декремент на затихването

(85) 2/ln *nT== ηδ

е основна величина характеризираща затихването в трептяща система.

Б) Апериодично движение или случай на голямо съпротивление, т.е.

когато kn > или kn = , точката не трепти и движението е апериодично.

Б1) Случай на силно съпротивление.

(86) knD >→> 0 , 22

2,1 , knnr −=±−= λλ .

За решението на хомогенното диференциално уравнение (73) пишем

(87) ,)()( 21

)(

2

)(

1

tttntntneCeCeeCeCtx

λλλλ −−−−+− +≡+= ,])()([)( 21

ttntenCenCetx

λλ λλ −− +−+−=&

1C , 2C са интеграционни константи, определени от началните условия:

0 10 20


x

t

0x 2*A

*T

1*A

nteA

−0

0A

1*t

2*t

121

].)([2

1],)([

2

1)()()0(,)0( 0020012100210 xnvCxnvCnCnCvxxCCxx λ

λλ

λλλ −+−=++=→+−+−=≡=+=≡ &&

След заместване на 1C , 2C в (87) законът на движение на M добива вида

(88) ,)( 00

0 tshnxv

tchxex nt λλ

λ+

+= − .])(

[ 0

22

0

0 tshxnnv

tchvexnt λ

λλ

λ−+

−= −&

Форма (88) на закона показва, че това

движение не е трептеливо, тъй като

хиперболичните функции не са периодични, но

е затихващо, при .0, →∞→ xt На фиг.30 е

представен за kn > и 00 >x законът на

апериодичното движение (39) за 3 случая:

1) 00 >v - точката достига максимум, след което

асимтотично отива към равновесното

положение;

2) 00 <v - точката клони към равновесното положение без да го пресича;

3) 00 <v - достатъчна скорост, за да премине точката през минимум

пресичайки равновесното положение, после асимтотично клони към .0

Б2) Случай на критично съпротивление.

(89) knD =→= 0 , nr −=2,1.

Общият интеграл на хомогенното диференциално уравнение (73) е

(90) ,)()( 21 CtCetxtn += −

,)()( 211 nCCtnCetxnt −+−= −&

1C , 2C са интеграционни константи, определени от началните условия: .,)0(,)0( 02001210020 xCnxvCnCCvxxCxx =+=→−=≡==≡ &&

След заместване на 1C , 2C в (90) законът на движение на M добива вида

(91) ,])[( 000 xtnxvexnt ++= − ])([ 000 vtnxvnex

nt ++−= −& .

Форма (91) на закона показва, че това движение не е трептеливо, тъй

като линейните функции не са периодични, но е затихващо, при

.0, →∞→ xt На фиг.31 е представен за kn = и 00 <x законът на граничното

апериодично движение (91) за три случая:

1) 00 >v - достатъчна скорост, за да премине

точката през максимум пресичайки

равновесното положение, после асимтотично

клони към него;

2) 00 >v - точката клони асимтотично към

равновесното положение без да го пресича;

3) 00 <v - точката бележи минимум, след което

асимтотично клони към равновесното

положение.

0 2 4 6

2

0 5

Фиг. 30. Апериодични трептения, kn > .

x

t

0x 00 >v

00 <v

00 <v

Фиг. 31. Апериодични трептения, kn = .

x

t

0x

00 >v

00 <v

00 >v

122

11.3. Принудени трептения на точка.

При свободните и затихващи движения силите, които възникват са от

вътрешен характер, т.е. дължат се на отклонението на точката от

равновесното положение(еластична), на скоростта (съпротивителна) и

на ускорението(инерционна). В системата е натрупана вътрешна

енергия, която реализира т.н. автономно движение на точката.

При принудените трептения има сили, които въобще не зависят от

движението от движението на точката около равновесното положение и

се наричат смущаващи. Тези сили провокират т.н. принудени или

неавтономни движения на точката. Към системата се подава външна

енергия. Смущенията биват 2 типа: динамични(силови) и кинематични.

1. Принудени трептения на точка под действие хармонична

смущаваща сила(силово смущение) Нека да разгледаме системата(фиг.32) състояща се от

вертикална безмасова пружина с дължина 0l , фиксирана в

единия край A и точков товар M с маса kgm, , закачен в

другия. Върху точката M са приложени: сила на тежестта

xmgPrr

= ; еластична сила 0, lllxlcFel −=∆∆−=rr

; смущаваща сила

xtFF pp

rr)(= . Смущаващата сила )(tFp

в общия случай е

функция на времето, но тук ще разгледаме важното за

практиката изменение по хармоничен закон(фиг.33):

(92) )sin()( γ+= ptHtFp ,

където NH, е амплитуда, 1, −sp - ъглова честота, а rad,γ - начална фаза.

Такава сила възниква при ротация на

неуравновесена маса (центробежна сила), при

бутални машини, помпи, компресори(фиг.20).

Началото O на абсолютния репер ),( xORr

е взето в

положението на статично равновесие на

пружината, след закачане на товара M .

Движението на точката се извършва по оста Ox (фиг.32), т.е. xtxOMrrr

)(=≡ .

Началните условия на точката са: xxOMrrr

000 =≡ , xvvrr

00 = .

От уравнението на Нютон по оста x имаме .)0(,)0(),sin()( 00 vxxxptHxcmgxmFFPFrmam stpel ==+++−=→++≡=≡ &&&

rrrr&&rr

γδ

Тук сме отчели, че деформацията на пружината l∆ е сума от

статичното провисване, cmgcPst // ≡=δ и преместването на точката M , x .

Полагаме mck /2 = и mHh /= . Тук mNc /, е коефициент на еластичност,

kgm, - маса, 1,/ −= smck - собствена кръгова честота, 2/, smh - амплитуда.

1

0

1

Фиг. 32. Силово смущение.

Фиг. 33. Смущение )sin()( γ+= ptHtFp.

t

pTp

π2=

H

H−

123

След преобразуване за диференциалното уравнение получаваме:

(93) 00

2 )0(,)0(),sin( vxxxpthxkx ==+=+ &&& γ .

Общият интеграл на нехомогенното диференциално уравнение )93( е

сума от общото решение на хомогенното и едно частно решение на ).93(

Решението на хомогенното уравнение се изразява със свободните

незатихващи трептения, т.е. ktCktCxh sincos 21 += .

Частното решение търсим във вида: )sin(* γ+= ptAx . Заместваме *x в (93):

(94) )/()( 2222 pkhAhApk −=→=− .

За общото решение, като вземем предвид (94) имаме

(95) )sin(sincos2221* γ+

−++=+= pt

pk

hktCktCxxx h

, )cos(cossin2221 γ+

−++−= ptp

pk

hktkCktkCx& .

Интеграционните константи 1C и 2C търсим от началните условия:

γsin)0(2210

pk

hCxx

−+=≡ , γcos)0(

2220 ppk

hkCxx

−+=≡ && ,

(96) γsin2201

pk

hxC

−−= , γcos

22

0

2k

p

pk

h

k

xC

−−=

&.

Заместваме 1C и 2C в решението (46) и намираме

(97)

+−

++−−

−+−=

+−

++−

−+=

).cos()coscossinsin(cossin)(

),sin()sincoscos(sinsincos)(

222200

2222

00

γγγ

γγγ

ptppk

hktpktk

pk

hktxktkxtx

ptpk

hkt

k

pkt

pk

hkt

k

xktxtx

&&

&

Решението (48) е резултат от събирането на три движения:

1) Свободни трептения възникващи като резултат от реакцията на

системата от промяната на равновесното положение, т.е. точката е

изведена на разстояние 0x и й е придадена скорост 00 vx ≡& :

(98) ktk

xktxtx sincos)( 0

01

&+= ;

2) Собствени трептения възникващи като резултат от реакцията на

системата на смущаващата сила, независещи от началните условия:

(99) )sincoscos(sin)(222 kt

k

pkt

pk

htx γγ +

−−= ;

3) Принудени трептения породени от смущаващата сила, имат

нейната честота и не зависят от началните условия:

(100) )sin()(223 γ+

−= pt

pk

htx .

В реалните системи винаги има съпротивление, поради което

свободните трептения )(1 tx и )(2 tx от (97) затихват бързо. Времето, през

което принудените и свободните трептения все още съществуват

заедно се нарича преходен(начален, нестационарен) режим.

124

• Резонанс – явлението се наблюдава, когато честотите на

смущаващата сила p и собствената на системата k съвпаднат.

Решението на диференциалното уравнение (93) в случай на резонанс *x

ще търсим чрез граничен преход в (97) при kp → :

).cos(2

sin)cos2

(cos

)(1

)cos(sincos)/1(lim

2)(

)]sin(sincoscossin[1

limlim)(

)];();([lim)();(lim)(

2

0

0

1

1

321

*

γγ

γγ

γγγ

+−++=

=−

++−+=

=++−−−+

+=

=++==

→

→→

→→

kttk

hkt

k

h

k

xktx

Лопиталpttktk

k

htx

ptktk

pkt

pkpk

htx

ptxptxtxptxtx

kp

kpkp

kpkp

&

И така, за резонансното решение намираме

(101)

++++−=

+−++=

).sin(2

sinsin2

cossin)(

),(cos2

sincos2

sincos)(

00

2

0

0

γγ

γγ

ktth

ktk

hktxktkxtx

kttk

hkt

k

hkt

k

xktxtx

&&

&

Между съставните трептения има характерно за резонанса събираемо

(102) )2

3(sin

2)(cos

2)(cos

2)(3 πγπγγ ++≡++≡+−= ktt

k

hktt

k

hktt

k

htx .

Вижда се, че при kp = принудените трептения изпреварват по фаза с

π2

3 смущаващата сила.

Членът (102) от решението (101) поради

решаващото значение, което има се нарича

секуларен или векови член, другите могат да се

пренебрегнат, тъй като в (102) амплитудата

tk

htA

2)( = расте пропорционално на времето.

Графичното изображение на )(3 tx (фиг.34) е

вписана в ъгъл с ъглополовяща оста Ot

модифицирана «синусоида».

Тъй като амплитудата на принудените трептения при резонанс расте

неограничено, то това води до нежелани явления (остатъчни

деформации, счупвания) за някои механични системи. Ето защо важна

задача се явява избягването на резонанс. Ако резонансните режими се

преминават бързо, то те не са опасни, тъй като няма достатъчно време

за опасно нарастване на амплитудата. Има обаче, системи, при които

явлението резонанс е желателно(радиотехника, вибрационни сита).

Фиг. 34. Резонанс.

0 5 10 1510

0

10

t

3x k

hA

2=

125

• Биене – явлението се наблюдава при наслагване на две

хармонични движения с много близки честоти.

Амплитудата на резултантното движение се изменя периодично като ту

се усилва, ту намалява, което определя и названието биене.

Да предположим, че kpkp ≠≈ ,1/ . Полагаме 1,2 <<=− εεpk . Тогава

ε2−= kp , )(2 ε−=+ kpk и )(4))((22 εε −=+−=− kpkpkpk .

Като вземем предвид горното, изразът в скобите от )(2 tx в (99) става

ktk

ktktk

pkt sincos

2)sin(sincoscossin γ

εγγγ −+=+ .

Заместваме този израз в пълния закон )(tx от (97) и намираме

.])cos[()(2

sinsin)cos

)(2(cos

sincos2

)(4sin])cos[(2

)(4sincos

sincos2

)]sin()[sin(sincos)(

*

3

*

2

*

1

0

0

0

0

22

]2/)sin[(]2/)cos[(2

22

0

0

*

xxxtkk

thkt

kk

h

k

xktx

ktkk

httk

k

hkt

k

xktx

ktkpk

hptkt

pk

hkt

k

xktxtx

tpktpk

++≡+−−

−−

++=

=−

++−−

−+=

=−

++−+−

−+=−++

γεεε

εγ

ε

γε

εεεγε

εε

γε

γγγ

&

&

4444 34444 21

&

Очевидно първите две събираеми *

2

*

1 xx + представляват едно

резултантно хармонично движение с кръгова честота k . С течение на

времето, то бързо затихва, поради наличие на реално съпротивление.

Третото събираемо, което е принудено трептене и остава, приема вида

(103) )(2

sin);(],)cos[()()(*

3 εεε

εγε−

=+−−=k

thtAtktAtx .

Движението се разглежда като трептене с

кръгова честота ε−k , период

(104) ppkk

Tππ

επ 242

≈+

=−

=

и амплитуда );( εtA от (103), която се изменя

бавно )1( <<ε по синусов закон.

Такова движение се нарича биене. Периодът на трептене на

амплитудата е επ /2=AT , а полупериодът се нарича период на биенето:

(105) pkTT Ab −≡== /2/2/ πεπ .

На фиг.35 е дадена графиката на закона (103) отразяващ явлението

биене. Това е модифицирана “синусоида” с период T , която е вписана в

друга синусоида с период TTb >>2 .

Явлението резонанс е граничен случай на биенето за 0→ε , т.е ∞→bT :

)cos(2

lim)(,2

sinlim

)(2lim);(lim)( *

30000

γε

εε

εεεεε

+−===−

==→→→→

kttk

hxtxt

k

h

t

t

k

httAtA res

tres

.

Биенето се илюстрира с два камертона с близки честоти. Редува се ↓↑, .

0

Фиг. 35. Биене.

pT /2π=

t

*

3x maxA

bT AT

126

• Амплитудно-честотна характеристика е завикимостта на

амплитудата на принудените трептения от смущаващата честота.

В общия случай (94) амплитудата зависи от параметрите .,, kph Имаме

(106) 222222 1

1

1

1

)/(1

1

zA

zc

H

kpk

h

pk

hA st −

=−

=−

=−

= ,

където kpz /= е относителна честота на смущаващата сила или

коефициент на разтройване, а cHAst /= - статичното преместване на

точката под действие на постоянната сила H , т.е. амплитудата на

смущението. Изразът (106) за амплитудата в бездименсионен вид е

(107) )1/(1/2

zAAk std −== .

Тук величината dk се нарича динамичен

коефициент. Графиката на изменение на dk

във функция на z е представена на фиг.36 и се

нарича амплитудно-честотна характеристика

на системата в безразмерни величини.

Коефициентът на динамичност dk не зависи от

началните условия, а от коефициента на

разстройване z . При ±∞→→ dkz ,1 0m ,

т.е. при резонанс( 1=z ) амплитудата на

трептенето нараства неограничено. Това реално не се случва, поради

наличие на съпротивление и нелинейни ефекти при големи амплитуди.

При 0, →∞→ dkz , т.е. при големи честоти амплитудите са твърде малки.

2. Принудени трептения на точка под действие хармонична

смущаваща сила(инерционно смущение). Такива сили са центробежните, които са пропорционални на квадрата

на ъгловата скорост на въртящ се ротор.

Да разгледаме системата(фиг.37) състояща се от

двигател с маса kgm, , закрепен на еластична

опора с коефициент mNc /, .Роторът се върти с

ъглова скорост 1, −= scteω и има ексцентрично

поставена маса kgme , на разстояние mre , от оста.

Върху двигателя, разглеждан като точкова маса

M са приложени: сила на тежестта, xmgPrr

−= ;

еластична сила, xxcF stel

rr)( +−−= δ ; инерционна сила

(центробежна), 2,1 ωeeMM rme

=ΦΦ=Φrr

;

хоризонтална реакция на околната среда, zZZ MM

rr

/0/0 = .

Оста Oy на абсолютния репер ),,,( zyxORrrr

съвпада с положението на оста

0 1 2 3

10

10

Фиг.36. Амплитудно-честотна

характеристика.

dk

kpz /=

Фиг. 37. Инерционно смущение.

127

на ротора в статично равновесие - stcmg δ= .

Единичния вектор eMM1

rследящ присъединената маса eM в ),,,( zyxOR

rrr е

ztxtzzMMxxMM

t

e

t

eMM e

rrr

43421

rr

43421

rr)cos()sin(),(cos),(cos1

)(2/

γωγωωγωγπ

+++=∠+∠=++−

.

Вертикалното движение на системата (двигател, еластична опора) се

описва от уравнението на Нютон, проектирано върху оста Ox :

)sin()()( /0 γωδ +Φ+−−−=→+Φ++≡== txcmgxmZFPERFam stMel&&

rrrrrrr.

Полагаме mrmmck ee /,/2 == ρ и за диференциалното уравнение пишем

(108) )sin(22 γωρω +=+ txkx&& .

Възбуждащата сила ΦFr

идва от компонентата на центробежната сила

eOMeerm 12rr

ω=Φ върху вертикалната ос Ox , т.е. xtF x

rrr)sin( γω +Φ=Φ=Φ .

Амплитудата на чисто принудените трептения от (106) има вида

(109) Φ=−

=−

=−

= dkz

z

k

k

kA ρρ

ωω

ρω

ρω2

2

2

2

22

2

1)/(1

)/( ,

Тук са въведени коефициенти на разстройване kz /ω= и динамичност

(110) 2

2

1 z

zkd

−=Φ .

На фиг. 38 е представена графиката на изменение

на Φdk във функция на z , т.е. амплитудно-

честотната характеристика на системата в

безразмерни величини. Коефициентът на

динамичност Φdk зависи само от z . Ако

фундаментът, върху който е поставен двигателя е

твърда опора, т.е. 0,, →∞→∞→ zkc , то 0→A .

При ∞→→ Φdkz ,1 0m

, т.е. при резонанс( 1=z ) амплитудата нараства

неограничено, а при ∞→z , т.е. 0→k , то 1→Φdk и mrmA ee /−=−= ρ .

Влиянието на трептенията върху съседни машини, сградата и

обслужващия персонал е вредно, ето защо силата предавана от

трептящата система върху пода трябва да се ограничава. Максималната

реакция на системата върху пода се дава от амплитудата на

еластичната сила:

(111) deedd k

k

k

krm

m

ckccAN Φ=

−Φ≡

−=== Φ

22

2

22

2

0/ ωωω

ρ .

Коефициентът на динамичност )1/(1 2zkd −= , представен на фиг.36 има

смисъл на коефициент на предаване на силата от двигателя към земята.

Еластичната константа на опората mNc /, се избира от условието

(112) 2//222111 22222

0/ ωω mcmckzzkN dd <→≡>→>→>−→<→Φ< .

Фиг. 38. АЧХ, )(zkd

Φ .

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

z

Φdk

kpz /=

128

3. Принудени трептения на точка под действие на кинематично

смущение Кинематично смущение имаме, ако принудените трептения се дължат

на движения на опорната точка на еластичната връзка. Примери за този

тип смущение се срещат при автомобили, вагони или машини

поставени на еластична основа.

Нека да разгледаме системата(фиг.39) състояща се от

вертикална безмасова пружина с дължина 0l , фиксирана

в единия край A и точков товар M с маса kgm, , закачен

в другия. Точка A , т.е. опората се премества по закона

)sin( γξ += pta . Върху точката M са приложени: сила на

тежестта xmgPrr

= ; еластична сила ξδ −+=−≡∆∆−= xlllxlcF stel 0,rr

.

Тук е отчетено, че деформацията на пружината l∆ е сума

от статичното провисване cmgcPst // ≡=δ , преместването

на точката M , x и преместването на опорната точка

)sin( γξ += pta с обратен знак.


е взето в положението на

статично равновесие на пружината, след закачане на товара M .


)(=≡ .


000 =≡ , xvvrr

00 = .

От уравнението на Нютон по оста x имаме .)0(,)0()],sin([ 00 vxxxptaxcmgxmFPFrmam stel ==+−+−=→+≡=≡ &&&

rrr&&rr

γδ

Полагаме mck /2 = и akmcah2/ ≡= . Тук mNc /, е коефициент на еластичност,

kgm, - маса, 1,/ −= smck - собствена кръгова честота, 2/, smh - амплитуда.


(113) 00

2 )0(,)0(),sin( vxxxpthxkx ==+=+ &&& γ .

Диференциалните уравнения на силовото (93) и кинематичното (113)

смущения не се различават.

За амплитудата на принудените трептения A имаме

(114) dakz

apk

ak

pk

hA =

−=

−=

−=

222

2

22 1

1.

Нека 1/ <<pk . Тогава амплитудата A може да запишем във вида

(115) 01/ 2

2

222

2

≈−≈−

= ap

k

pk

a

p

kA .

Практически това означава, че масата «заспива»(остава неподвижна).

Това свойство позволява да се измерят трептенията на сгради,

транспортни средства, земетресения, чрез т.н. виброметри.

Фиг. 39. Кинематично смущение.

129

4. Принудени трептения на точка под действие на периодична

(полихармонична) смущаваща сила Една сила е периодична, ако съществува интервал от време T , такъв, че

за всеки момент от времето да е изпълнено равенството )()( tFTtF pp =+ .

Най-малкия интервал T се нарича период на силата pF . Основната

честота на смущаващата сила )(tFp се дава от равенството Tp /2π= .

Всяка периодична сила може да се развие в ред на Фурие

(116) ∑∞

=

++=1

0 )sincos()(i

iip iptbiptaatF ,

където коефициентите ,...2,1,,,0 =ibaa ii се определят с изразите

(117) ∫∫∫ ===T

pi

T

pi

T

p dipFT

bdipFT

adFT

a000

0 sin)(2

,cos)(2

,)(1

ττττττττ .

Като положим iiiiii batgbaH /,22 =+= γ , то развитието (116) добива вида

(118) ∑∞

=

++=1

0 )sin()(i

iip iptHHtF γ .

Събираемите в реда (118) се наричат хармонични съставляващи, iH и

iipt γ+ са съответно амплитуда и фаза на i-тия

хармоник. Хармониката

от първи ред )1( =i се нарича основна и честотата й е p .

Диференциалното уравнение на движение се представя във вида

(119) 000

1

0

2 )0(,)0(,)sin( vxxxxipthhxkxi

ii ≡==++=+ ∑∞

=

&&&& γ ,

където ,...2,1,0,/ == imHh ii .

За чисто принудените трептения по принципа на суперпозицията

(линейно наслагване) при ,...2,1, =≠ ikip (в системата няма резонанс) имаме

(120) ∑∑∞

=

∞

=

+=+−

=11

222)sin()sin()(

i

ii

i

i

i

p iptAiptpik

htx γγ ,

т.е. представлява сума от хармонични трептения. Практически само

няколко хармоници се удържат, тези с честота близка до собствената,

както и тези с най-големи амплитуди.

Пълното решение при полихармонично смущение се дава във вида

(121) .)sin()sincoscos(sinsincos

321

1222

0222

0

0

4444 34444 2144444444 344444444 21444 3444 21x

i

i

i

x

ii

i

i

x

iptpik

hkti

k

pkt

pik

hkt

k

vktxx γγγ +

−++

−−+= ∑∑

∞

=

∞

=

При резонанс от s-ти

ред(за si = , kps = ) за принуденото трептене имаме:

(122) )cos(2

*

s

s

s spttsp

hx γ+−= .

Биене има, ако честотата на някоя хармоника е близка до собствената.

130

5. Принудени трептения на точка в среда със съпротивление

Да разгледаме механична система(фиг.40) състояща се от



другия. Върху точката M са приложени следните сили:

на теглото xmgPrr

= ; еластична xxcF stel

rr)( +−= δ ; съпротивителна

xxvFr

r&

rrββ −=−= ; хармонична смущаваща xptHtFp

rr)sin()( γ+= .

Тук mNc /, е еластичен коефициент, mNs /,β -

съпротивителен коефициент, NH, - амплитуда, 1, −sp -

ъглова честота, а rad,γ - начална фаза. Отчетено е, че

деформацията на пружината l∆ е сума от статичното

провисване c

mgst =δ и преместването x на M .


е взето в положението на



)(=≡ .


000 =≡ , xvvrr

00 = .

От уравнението на Нютон по оста x имаме

.)0(,)0(),sin()( 00 vxxxptHxxcmgxmFFFPFrmam stprel ==++−+−=→+++≡=≡ &&&&rrrrr

&&rrγβδ

Полагаме mck /2 = , mn /2 β= и mHh /= .

Тук 1,/ −= smck - собствена кръгова честота, 1, −sn - относително

съпротивление(коефициент на затихване), 2/, smh - амплитуда.


(123) 00

2 )0(,)0(),sin(2 vxxxpthxkxnx ==+=++ &&&& γ .

Уравнение (123) се нарича диференциално уравнение на принудените

трептения в съпротивителна среда при хармонична смущаваща сила.

Общият интеграл на нехомогенното диференциално уравнение )123( е

сума от общото решение на хомогенното и едно частно решение на ).123(

Решението на хомогенното уравнение се изразява със затихващите

трептения в зависимост от съотношението между k и n :

1) nk > - малко съпротивление, от (76) имаме

(124) ,)sincos(*

2

*

1 tkCtkCexnt += − ,)]sin)(cos)[( *

1

*

2

*

2

*

1 tkCknCtkCknCex nt +−+−= −&

където 22*nkk −= , а 21 ,CC са интеграционни константи.

2) nk < - силно съпротивление, от (87) пишем

(125) ,)()( 21

)(

2

)(

1

tttntntneCeCeeCeCtx

λλλλ −−−−+− +≡+= ,])()([)( 21

ttntenCenCetx

λλ λλ −− +−+−=&

където 22kn −=λ , а 1C , 2C са интеграционни константи.

Фиг. 40. Силово смущение в

съпротивителна среда.

131

3) nk = - критично съпротивление, от (90) пишем

(126) ,)()( 21 CtCetxtn += −

,)()( 211 nCCtnCetxnt −+−= −&

където 1C , 2C са интеграционни константи.

Частното решение търсим във вида: )sin()cos(* γγ +++= ptDptCx . Замества се

*x в (123) и се приравняват коефициентите пред )cos( γ+pt и )sin( γ+pt :

=−+−

=+−

.)()2(

,02)(22

22

hpkDnpC

npDpkC => .

4)(

)(,

4)(

222222

22

22222pnpk

hpkD

pnpk

nphC

+−

−=

+−−=

Полагаме αα sin,cos ACAD == и представяме частния интеграл *x във вида

(127) )sin(* αγ ++= ptAx , .2

,4)(

2222222

22

pk

nptg

pnpk

hCDA

−

−=

+−=+= α

Окончателно, за общото решение на (123) намираме:

1) nk > - малко съпротивление, от (124) и (127) пишем

(128) ,)sin()sincos(*

2

*

1 αγ ++++= −ptAtkCtkCex

nt

.)cos()]sin)(cos)[(*

1

*

2

*

2

*

1 αγ ++++−+−= −ptAptkCknCtkCknCex

nt&

където 21 ,CC са константи, които се определят от началните условия:

→+++−=≡≡++=≡ )cos()0(),sin()0( 2

*

10010 αγαγ ApCknCvxxACxx &&

(129) )]cos()sin([),sin(**

00201 αγαγαγ +++−

+≡+−= pn

k

A

k

nxvCAxC .

След заместване на (129) в (128) за общото решение намираме

(130)

.)sin(]sin)cos()sin(

cos)[sin(

)sincos()(

3

2

1

*

*

*

*

*

00*

0

44 344 21444444444444 3444444444444 21

444444 3444444 21

xx

nt

x

nt

ptAtkk

pntkAe

tkk

nxvtkxetx

αγαγαγ

αγ ++++++

++−

−+

+=

−

−

Събираемото 1x от закона на движението на точката дава свободните

затихващи трептения на точката с честота kk <* дължащи се на

промяната на равновесното положение, т.е. 0x и 0v . Събираемото 2x

също дава свободни затихващи трептения на точката с честота *k , но

дължащи се на въздействието на смущаващата сила. Третото

събираемо 3x представлява чисто принудените трептения с честота p

на смущаващата сила. Тъй като в 1x и 2x се съдържа фактора nte

− , то те

затихват бързо и в стационарен режим остава само 3x .

Нека изследваме преходния процес, като пренебрегнем свободните

трептения породени от началните условия, т.е. 00 ≡x и 00 ≡v .

На фигури 41, 42, 43 и 44 за kn << са дадени преходните процеси

съответно за pk > , pk < , pk ≈ (биене) и pk = (резонанс). С плътна

линия е представен законът, а с пунктир – чисто принуденото трептене.

132

0 5 100.095

0

0.095

x t( )

x3 t( )

t

0 5 100.21

0

0.21

x t( )

x3 t( )

t

0 20 404

0

4

x t( )

x3 t( )

t

0 20 406

0

6

x t( )

x3 t( )

t

2) nk < - силно съпротивление, от (125) и (127) пишем

(131) ,)sin()()( 21 αγλλ ++++= −−ptAeCeCetx

tttn

),cos(])()([)( 21 αγλλ λλ ++++−+−= −−ptApenCenCetx

ttnt&


→+++−+−=≡≡+++=≡ )cos()()()0(),sin()0( 2100210 αγλλαγ ApCnCnvxxACCxx &&

(132)

).cos(2

)sin()(2

1)(

2

1

),cos(2

)sin()(2

1)(

2

1

00

02

00

01

αγλ

αγλλλ

αγλ

αγλλλ

+++−−+

−=

+−++−+

+=

pAnA

nxvxC

pAnA

nxvxC


(133)

.)sin(])cos()sin(

)[sin(

)()(

3

2

1

00

0

44 344 2144444444444 344444444444 21

44444 344444 21

xx

nt

x

nt

ptAtshpn

tchAe

tshnxv

tchxetx

αγλλ

αγαγλαγ

λλ

λ

++++++

++−

−+

+=

−

−

Законът (133) се състои от три събираеми: 1x дава апериодично

движение на точката дължащо се на промяната на равновесното

положение, т.е. 0x и 0v ; 2x също дава апериодично движение на точката

дължащо се на въздействието на смущаващата сила; 3x представлява

чисто принудените трептения с честота p на смущаващата сила.

Фиг. 41. Преходен процес, pkkn >∧<< . Фиг. 42. Преходен процес, pkkn <∧<< .

Фиг. 43. Преходен процес, pkkn ≈∧<< . Фиг. 44. Преходен процес, pkkn =∧<< .

133

Тъй като в 1x и 2x се съдържа фактора nt

e− , то те затихват бързо и в

стационарен режим остава само 3x .

На фиг. 45 е даден преходния процес на

движението за kn > , pk < , при нулеви

начални условия. С плътна линия е

представен законът )(tx , а с пунктирна

– чисто принуденото трептене )(3 tx .

3) nk = - критично съпротивление, от (126) и (127) пишем

(134) ,)sin()()( 21 αγ ++++= −ptACtCetx

tn,)cos()()( 211 αγ +++−+−= −

ptpAnCCtnCetxnt&


→++−=≡≡++=≡ )cos()0(),sin()0( 210020 αγαγ ApnCCvxxACxx &&

(135) ).sin(),cos()sin([ 02001 αγαγαγ +−=+++−+= AxCpnAnxvC


(136) .)sin(})]cos()sin([){sin(])([)(

321

000 44 344 21444444444 3444444444 21444 3444 21xx

nt

x

ntptAtpnAetnxvxetx αγαγαγαγ ++++++++−++= −−

Законът (136) се извежда и от (133) чрез граничен преход за :0→λ ).;(lim)(

0λ

λtxtx knkn >

→= =

• Фазово-честотна характеристика на трептящата система в

съпротивителна среда.

Фазата на принудените трептения в съпротивителна среда αγ ++pt се

отличава от тази на смущаващата сила γ+pt с величината α , наречена

фазова разлика. От (127) за αtg имаме

(137) .1

2

)/(1

)/)(/(222222

z

z

kp

kpkn

pk

nptg

−

−≡

−

−=

−

−=

να

Тук kn/=ν е относителен(безразмерен)

коефициент на затихването, а kpz /= -

коефициент на разстройване или

относителна честота на смущението.

Диференцираме (137) по z и намираме

,0cos)1(

12

)1(

12

cos

1)( 2

22

2

22

2

2<

−

+−=′→

−

+−=′=′ ανανα

αα

z

z

z

ztg zzz

т.е. фазовата разлика );( να z е монотонно

намаляваща функция.За α от )137( имаме

(138)

>+−

=−

<

=

,1),;(

,1,2/

,1),;(

);(

zz

z

zz

z

νϕπ

πνϕ

να 1

2);(

2 −=

z

zarctgz

ννϕ .

Функцията );( να z се нарича фазово-честотна характеристика(фиг.46).

0 5 10 150.2

0.05

0.3

x t( )

x3 t( )

t

Фиг. 45. Преходен процес, pkkn <∧> .

Фиг. 46. ФЧХ на системата.

0 1 2 3 4 53.2

1.6

0

α z 0,( )

α z 0.2,( )

α z 0.5,( )

α z 1,( )

α z 2,( )

α z 4,( )

z

134

• Амплитудно-честотна характеристика на трептящата система в съпротивителна среда е зависимостта на амплитудата A от

честотата на смущаващата сила p .

Нека да преобразуваме израза за амплитудата A от (127)

(139) ,4)1(

1

)/()/(4])/(1[

1

4)(22222222222222

zzA

kpknkpk

h

pnpk

hA st

ν+−=

+−=

+−=

където kpz /= е кофициент на разстройване, kn /=ν - коефициент на

затихване, cHkhAst //2 ≡= - статично отклонение на сила с големина cteH = .

За коефициента на динамичност dk , който е отношение на амплитудата

на принудените трептения A към статичното отклонение stA имаме

(140) .4)1(

1);(

2222zzA

Azk

st

d

νν

+−==

Нека да изследваме функцията );( νzkd , която има максимум при

минимум на подкоренната величина, т.е. ].4)1[(min);(max 2222

0.0zzzk

zd

zνν +−=

≥≥

Търсим стационарните корени на функцията 2222 4)1();( zzzf νν +−= :

.21,00)21(4);(: 2

3,2*1*

22

* ννν −±==→=+−=′ zzzzzfz z

Стационарни корени за съществуване на локални екстремуми се явяват

01* =z и ]2/1,0[,212

2* ∈−= ννz . Коренът ]2/1,0[,21 2

3* ∈−−= ννz е

физически нереализуем. За 2/1>ν корените 3,2*z са имагинерни, а

първата производна на функцията );( νzf е строго положителна( 0);( >′ νzfz)

което означава, че );( νzf е монотонно растяща, а );( νzkd - намаляваща.

От втората производна на );( νzf намираме вида на екстремумите:

.min0)21(8]21)21(3[4);21();(

max;0)21(4);0();()213(4);(:

2222

2*

2

1*

22

*

→>−≡+−−≡−′′=′′

→<+−≡′′=′′→+−=′′

νννννν

ννννν

zz

zzz

fzf

fzfzzfz

За 0212/1

2

2* ≡−==ν

νz търсим трета и четвърта производни на );( νzf за

установяване на екстремум: .min024);(,024);( 2*2*2* →>=≡=′′′ νν zfzzfIV

zz

И така, за 01* =z функцията );( νzf има максимум: 1),(),(max 1*0

≡=≥

νν zfzfz

,

а функцията );( νzkd - минимум: 1),(),(min 1*0

≡=≥

νν zkzk ddz

.

За ]2/1,0[,21 2

2* ∈−= ννz функцията );( νzf има минимум: )1(4),(),(min 22

2*0

νννν −≡=≥

zfzfz

,

а функцията );( νzkd и амплитудата A - максимуми:

(141) 2

2*0 12

1),(),(max

νννν

−≡=

≥zkzk dd

z

, 222200 212

1maxmax

nkn

h

k

hkAA d

zst

z −≡

−==

≥≥ νν.

Честотата на смущаващата сила съответстваща на максимума е

(142) 222

2* 221 nkkkzpm −=−≡= ν .

135

Резонанс има, ако kp = , т.е. 1=z .

Големината на амплитудата при

резонанс намираме от (90) при 1=z :

(143) nk

hAA stres

22

1==

ν.

Сравнението на максималната

амплитуда от (141) и резонансната

от (143) показва, че resAA >max , т.е.

резонансна честота трябва да е mp .

На фиг.47 е дадена амплитудно -

честотната характеристика на

трептящата система за различни

стойности на ν . За .,10 ν∀=→= dkz

Ако ∞→z , то .,0 ν∀→dk Пунктирна

линия съединява максимумите на

коефициента на динамичност ),( νzkd .

5.1. Принудени трептения на точка в среда със съпротивление

под действие на хармонична смущаваща сила с амплитуда,

пропорционална на квадрата на честотата на смущението.

При инерционни смущения се пораждат сили от такъв характер:

(144) )sin(2 γωω += trmF eep .

Тук kgme , е ексцентрично поставена маса на разстояние mre , от оста на

въртене на ротора с ъглова скорост 1, −= scteω , а rad,γ - начална фаза.

Диференциалното уравнение на

движение е следното

(145) ./),sin(222

mrmptxkxnx ee=+=++ ργρω&&&

Амплитудата на чисто принудените

трептения )sin(* αγω ++= tAx се дава от

(127) за 2ρω=h и ω≡p :

(146) 2222

2

22222

2

4)1(4)( zz

z

nkA

ν

ρ

ωω

ρω

+−≡

+−= .

Коефициентът на динамичност е:

(147) .,4)1(

),(2222

2

kz

zz

zAzkd

ω

νρν =

+−==Φ

На фиг.48 е дадена амплитудно-

честотната характеристика на

трептящата система за различни

стойности на ν .

0 1 2 30

2

4

kd z 0,( )

kd z 0.2,( )

kd z 0.5,( )

kd z 0.707,( )

kd z 1,( )

kd z 2,( )

kd z 4,( )

mkd ν( )

z z, z, z, z, z, z, z2 ν( ),

Фиг. 47. АЧХ на системата.

0 1 2 30

2

4

kdΦ z 0,( )

kdΦ z 0.2,( )

kdΦ z 0.5,( )

kdΦ z 0.707,( )

kdΦ z 1,( )

kdΦ z 2,( )

kdΦ z 4,( )

mkdΦ ν( )

z z, z, z, z, z, z, zsΦ ν( ),


136


под действие на произволна периодична сила. Произволна периодична сила се представя в ред на Фурие (118):

∑∞

=

++=1

0 )sin()(i

iip iptHHtF γ .

Законът на чисто принудените трептения в стационарен режим от )127( е

(148)

.)sin()sin(4)1(

1

)sin(4)(

)sin()(

1

,,

12222222

12222222

1

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

++=+++−

=

=+++−

=++=

i

iiidist

i

ii

i

i

ii

i

i

iiip

iptkAiptzizik

h

iptpinpik

hiptAtx

αγαγν

αγαγ

Тук m

Hh i

i = , c

H

k

hA ii

ist ≡=2,

, k

pz

k

n

zi

zitg i ==

−

−= ,,

1

222

νν

α .

При резонанс от s-ти

ред, т.е. spk = , амплитудата на s-та

хармоника е

nsp

hkAA s

sdssts2

,, ≡= , но максимална е амплитудата при 221 ν−= kps .


под действие на кинематично смущение. Кинематично смущение на трептяща система се появява, когато

опорната точка на еластичната връзка извършва трептене )(tξξ = .

Примери за този тип смущение се срещат при автомобили, вагони или

машини поставени на еластична основа.

Нека да разгледаме системата(фиг.49) състояща се от



другия. Точка A , т.е. опората се премества по закона

)sin( γξ += pta . Върху точката M са приложени: сила на

тежестта xmgPrr

= ; еластична сила, пропорционална на

относителната деформация ξδξ −+=−−≡∆∆−= xlllxlcF stel 0,rr

;

съпротивителна сила, пропорционална на относителната

скорост xxFel

r&&r

)( ξβ −−= . Тук е отчетено, че

относителната деформация на пружината

l∆ е разлика между абсолютната деформация 0ll − (статичното

провисване cmgcPst // ≡=δ плюс преместването на точката M , x ) и

преносната(преместването на опорната точка A , )sin( γξ += pta ), както и

че относителната скорост на точката r

Mvr

е разлика между абсолютната

xxv a

M

r&

r= и преносната xv e

M

r&rξ= .

Началото O на абсолютния репер ),( xORr е взето в положението на


Фиг. 49. Кинематично смущение

при съпротивление .

137


)(=≡ .

Началните условия на точката са: xxOMrr&r

00)0( ≡= , xvvrrr&r

00)0( ≡= .

От уравнението на Нютон по оста x имаме .)0(,)0(),()( 00 vxxxxxcmgxmFFPFrmam strel ==−−−+−=→++≡=≡ &&&&&

rrrr&&rr

ξβξδ

Полагаме mck /2 = и mn /2 β= . Тук mNc /, е коефициент на еластичност на

пружината; kgm, - точкова маса; 1,/ −= smck - собствена кръгова

честота; mNs /,β - коефициент на съпротивление; 1, sn - относително

съпротивление или коефициент на затихване.


(149) 00

22 )0(,)0(),sin(22 vxxxpthnkxkxnx ==++≡+=++ &&&&& φγξξ .

Тук хармоничното смущение е получено след преобразуване на израза

)sin()cos(2)sin(222 φγγγξξ ++≡+++=+ pthptnapptaknk & ,

където 2

224 2,4

k

nptgpnkah =+= φ , т.е.

2

2

k

nparctg=φ .

Диференциалните уравнения на силовото (123) и кинематичното (149)

смущения не се различават. Чисто принудените трептения имат вида

(150) )sin(* αφγ +++= ptAx ,

като за амплитудата A и фазата α

съответно намираме

(151) ≡+−

+=

+−=

22222

224

22222 4)(

4

4)( pnpk

pnka

pnpk

hA

.,,1

22,

4)1(

412222222

22

k

n

k

pz

z

z

pk

nptg

zz

za ==

−

−≡

−

−=

+−

+≡ ν

να

νν

За коефициента на чувствителност

на системата от (151) пишем

(152) .4)1(

41),(

2222

22

zz

z

a

Azkd ν

νξξ

+−

+≡=

Стационарната точка на максимума

на функцията ),( νξzkd

за дадено ν е

(153) 2

* 8112

1)( ν

ννξ ++−=z .

За фазовата разлика αφϕ += на принудените

трептения спрямо фазата γ+pt на кинематичното смущение ξ имаме

(154) .41

2

4)(

2

)](/[41

)/(2/2

1)(

222

3

22222

3

22222

222

zz

z

pnpkk

np

pkkpn

pknpknp

tgtg

tgtgtgtg

νν

ϕφϕφ

ϕφϕ+−

−≡

+−

−=

−+

−−=

−

+=+=

На фиг.50 е дадена АЧХ на системата за различни ν . Пунктир свързва

максимумите на амплитудите. След резонанс( 1=z ), ако ↑p , то ↓A .

Това свойство се използува за виброизолация. Чувствителен прибор

поставен на еластична основа и с ниска честота k ( 1>>z ) “спи”, т.е. 0→A .


0 1 2 30

1

2

3

4

kdξ z 0,( )

kdξ z 0.2,( )

kdξ z 0.5,( )

kdξ z 0.707,( )

kdξ z 1,( )

kdξ z 2,( )

kdξ z 4,( )

mkdξ ν( )

z z, z, z, z, z, z, zsξ ν( ),

138

11.4. Примери свързани с праволинейни трептения на точка.

Пример 1. Да се определят периодът и амплитудата на свободните

трептения на точка M с маса kgm 2= , окачена за свободния край на

пружина с еластична константа mNc /8= (фиг.51). Точката се движи по

оста Ox под действие на еластичната сила на пружината. В началния

момент M се намира на разстояние mx 04.00 = и има скорост smv /03.00 = .

Решение. Координатното начало O на репера ),( xORr

вземаме в положението на статично равновесие на

M (stcmgP δ=≡ ). Върху точката действува системата

сили },{ elFPErr

= , където xmgPrr

= е силата на тежестта, а

xxcF stel

rr)( +−= δ - възстановяващата сила. Радиус-

векторът следящ точката M е xtxOMtrrr

)()( == , а началните

условия xvrxxrr&rrr

00 )0(,)0( == . От уравнението на Нютон

след проектиране върху ос Ox имаме

)()( xcmgxmFPERam stel +−=→+== δ&&rrrr

.

Заместваме 22 ,42/8/ −=== smck и получаваме

000

2 )0(,)0(,0 vxxxxxkx ≡===+ &&&& .

Това е уравнението на свободните трептения на точката M , която е

отклонена от равновесното си положение. За собствената честота на

системата получаваме 1,24/ −≡== smck , а за периода на свободните

трептения - skT ,2/2/2 πππ === . Законът на свободните трептения има

вида )sin()( α+= ktAtx , където A и α се определят от началните условия:

.212.1)666.2(666.203.0

04.02,04272.0

2

03.004.0

0

0

2

22

2

2

02

0 radarctgv

xktgm

k

vxA ==→====+=+= αα

Пример 2. Точка M с маса kgm, е закачена на две

пружини свързани последователно, съответно с дължини

mll ,, 21 и пружинни константи 1c , 2c , mN / (фиг.52). Да се

определят общата пружинна константа c , mN / и периода

на свободните трептения на точката M .



системата, т.е. c

P

ccP

c

P

c

Pststst

≡+=+=+= )11

(2121

21 δδδ , откъдето

намираме общата пружинна константа 1

21 )/1/1( −+= ccc .

Тук е отчетено, че общото преместване stδ е сума от

деформациите на двете пружини,

под действието на една и съща сила P .

Фиг. 51. Маса окачена на пружина.

Фиг. 52. Последователно

свързани пружини.

139

Върху точката M действува системата сили },{ elFPErr


= е

сила на тежестта, а xxcF stel

rr)( +−= δ - възстановяваща сила.

Радиус-векторът следящ точката M е xtxOMtrrr

)()( == .

От уравнението на Нютон след проектиране върху ос Ox имаме:

0)()( 2 =+→+−=→+== xkxxcmgxmFPERam stel&&&&

rrrrδ ,

където 22 ,/ −= smck . За собствената честота на системата получаваме 1,/ −= smck , а за периода на свободните трептения - scmkT ,/2/2 ππ == .

Пример 3. Точка M с маса kgm, е закачена на две пружини успоредно

свързани, съответно с пружинни константи 1c , 2c , mN / (фиг.53). Да се

определят общата пружинна константа c , mN / и периода на

свободните трептения на точката M - sT , .



системата, т.е. stststst cccccPPP δδδδ ≡+=+=+= )( 212121

,

откъдето намираме общата пружинна константа

21 ccc += . Тук е отчетено, че общата сила P е сума от

силите в двете пружини, които имат една и съща

деформация stδ . Върху точката M действува

системата сили },,{ 2,1, elel FFPErrr


= е силата

на тежестта, а 2,1,)(, =+−= ixxcF stiiel

rrδ - еластични сили.

Радиус-векторът следящ точката M е xtxOMr

)(= .

От уравнението на Нютон върху ос Ox имаме:

0)()()( 2

212,1, =+→+−+−=→++== xkxxcxcmgxmFFPERam ststelel&&&&

rrrrrδδ ,

където mck /2 = . За собствената честота на системата получаваме 1,/ −= smck , а за периода на свободните трептения - scmkT ,/2/2 ππ == .

Пример 4. Точка M с маса kgm, е закачена между

две пружини с константи 1c , 2c , mN / (фиг.54). Да се

определят общата пружинна константа c , mN/ и

периодът на свободните трептения sT, на точката M .



системата, т.е. stststst cccccPPP δδδδ ≡+=+=+= )( 212121,

откъдето намираме общата пружинна константа

21 ccc += . Тук е отчетено, че общата сила P е сума от

силите в двете пружини, които имат една и съща по

модул деформация stδ .

Фиг. 53. Паралелно свързани

пружини.

Фиг. 54. Точка между 2 пружини.

140

Върху точката M действува системата сили },,{ 2,1, elel FFPErrr

= , където

xmgPrr

= е силата на тежестта, а xxcF stel

rr)(11, +−= δ , xxcF stel

rr)(22, +−= δ -

еластични сили. Радиус-векторът следящ точката M е xtxOMr

)(= .


0)()()( 2

212,1, =+→+−+−=→++== xkxxcxcmgxmFFPERam ststelel&&&&

rrrrrδδ ,

където mck /2 = . За собствената честота на системата получаваме 1,/ −= smck , а за периода на свободните трептения - scmkT ,/2/2 ππ == .

Пример 5. Точка M се движи в съпротивителна среда под действие на

еластична xcxFel

rr−= и съпротивителна vFr

rrβ−= сили (фиг.55). Тя извършва

10=f пълни колебания за една секунда.

Да се определи коефициентът на

съпротивление 1, −sn , ако след st 1.0* =

амплитудата става 9.0 от началната

стойност. Да се определи още периодът

на свободните колебания sT, , т.е. при

липса на съпротивление.

Решение. Върху точката M по оста Ox действува системата сили

},{ rel FFErr

= , където xcxFel

rr−= е еластична, а vFr

rrβ−= - съпротивителна.


02 2 =++→−−= xkxnxxcxxm &&&&&& β ,

където mck /2 = , а mn /2 β= . Получава се уравнението на затихващите

трептения, чийто закон представяме във вида )sin()( * α+= − tkAetx nt ,

където 22*nkk −= е честота на затихващите трептения. Тъй като

точката извършва 10=f колебания за s1 , то можем да намерим

периода на затихващите трептения: sfT 1.010/1/1* ≡== , както и

честотата на затихващите трептения: πππ 201.0/2/2 ** === Tk .

Дадено е, че амплитудата на затихващите трептения ntAe

− за st 1.0* =

намалява до A9.0 , откъдето намираме коефициента на съпротивление n:

1

*

05.11.0

9.0ln9.0ln9.0* −− =−=−=→= s

tnAAe

nt .

Собствената честота на системата намираме от връзката 12222*22* 841.6205.1)20( −=+=+=→−= snkknkk π ,

след което определяме периода на свободните колебания sT,

skT 1.0841.62/2/2 === ππ .


141

Пример 6. Да се изучи движението на точка M с маса kgm, , ако точка

A извършва вертикални трептения по закона ptat sin)( 0=ξ (фиг.56).



системата, т.е. stcmgP δ== . Деформацията на

пружината намираме от връзката: lxlMA st +=++= ξδ00 ,

т.е. ξδ −+=−=∆ xlll st0 .

Върху точката M действува системата сили },{ elFPErr

= ,

където xmgPrr

= е сила на тежестта, а xxcxlcF stel

rrr)( ξδ −+−≡∆−=

- еластична сила.

Радиус-векторът следящ точката M е xtxOMtrrr

)()( == .


)()( ξδ −+−=→+== xcmgxmFPERam stel&&

rrrr,

т.е. ptaktkxkx sin)( 0

222 ≡=+ ξ&& ,

където mck /2 = . Собствената честота на системата е 1,/ −= smck .

Общото решение на нехомогенното диференциалното уравнение е

ptkp

aktApt

pk

akktAtx sin

)/(1)sin(sin)sin()(

2

0

22

0

2

−++≡

−++= αα .

Амплитудата A и началната фаза α се определят от началните условия.

Пример 7. Едно колело се търкаля с постоянна скорост smv /18= върху

вълнообразна повърхност зададена с уравнението xs

axπ

ξ sin)( = ,

msma 9.0,025.0 == (фиг.57). Да се определят принудените вертикални

трептения на тялото M с маса kgm, , свързано чрез пружина с оста на

колелото, ако статичната деформация на пружината е mst 0981.0=δ .

Решение. Центърът на колелото A

описва еквидистантна крива на

пътния профил(кривата с пунктир).

Координатното начало O на репер

),( yORr

вземаме в положението на

статично равновесие на системата,

т.е.stcmgP δ== . Деформацията на

пружината(фиг.57) намираме от

връзката: ξδ −+−== yllAM st0, откъдето

намираме ξδ −+−=−=∆ ylll st0 .

Върху точката M действува

системата сили },{ elFPErr

= , където



142

ymgPrr

−= е сила на тежестта, а yycylcF stel

rrr)( ξδ −+−−≡∆−= - еластична сила.

Радиус-векторът следящ товара M е ytyOMtrrr

)()( == .

От уравнението на Нютон върху ос Oy имаме:

)()( ξδ −+−−−=→+== ycmgymFPERam stel&&

rrrr,

т.е.

sxakxkyky /sin)(222 πξ ≡=+&& ,

където mck /2 = .

Собствената честота на системата е 1,100981.0

81.91 −===== sg

m

mg

m

ck

stst δδ.

Тъй като колелото(неговият център т. A ) се движи с постоянна

скорост, то за координатата x (изминатия път) имаме vtx = , а

вертикалното изместване на т. A в зависимост от времето е

tats

vax

sax ω

ππξ sinsinsin)( ≡== .

Тук 120

9.0

18 −=== ss

vππ

πω е кръгова честота на кинематичното смущението.

Диференциалното уравнение добива вида

takyky ωsin22 =+&& .

Общото решение на нехомогенното диференциалното уравнение е

tk

aktAt

k

akktAtx ω

ωαω

ωα sin

)/(1)sin(sin)sin()(

222

2

−++≡

−++= .

Принудените вертикални трептения на тялото M се дават със закона

tk

at

k

aktxp ω

ωω

ωsin

)/(1sin)(

222

2

−≡

−= .

За амплитудата на принудените вертикални трептения намираме

mk

aA 4

2210.497.6

)10/20(1

025.0

)/(1

−=−

=−

=πω

.

Ако smv /5.4= , то 159.0

5.4 −=== ss

vππ

πω , а m

k

aA 017.0

)10/5(1

025.0

)/(1 22=

−=

−=

πω.

Резонанс: smks

vks

vk /865.2

9.010=

×==→=→=

πππ

ω .

Ако колелото се движи с такава скорост, то товарът M ще получи

големи премествания.

11. Праволинейни трептения на...

Documents