11. contraste de hipóteses

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS

E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

CONTRASTE DE HIPÓTESES

UNIDADE 11UNIDADE 11

ÍNDICEÍNDICE

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

ConceptosConceptos

1. Introdución2. Hipóteses estatísticas.3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.4. Tipos de erros5. Criterios de decisión. 6. Pasos para a construción dun contraste

de hipóteses.


ConceptosConceptos

1. Contraste de hipóteses para a media2. Contraste de hipóteses para a proporción

.3. Contraste de hipóteses para a diferenza

de medias.4. Relación entre contraste de hipóteses e

intervalos de confianza.


1. Introdución1. Introdución

Os obxectivos principais dos procedementos de inferencia tratados ata agora son dous:Determinar o valor concreto dun

parámetro poboacional ( Estimación puntual )Construír unha rexión aleatoria que

conteña un parámetro poboacional cunha probabilidade prefixada de antemán (Intervalos de confianza)



Neste tema veremos unha terceira forma de inferencia estatística denominada Contraste de hipóteses O contraste de hipóteses serve para

corroborar ou rexeitar unha afirmación ( hipótese ) sobre a poboación en estudo.



A teoría do contraste de hipóteses foi proposta por Egon Pearson e Jerzy Neymann en 1928, analizaron a técnica do contraste, a eficiencia relativa e a optimidade dos contrastes. A pesar dalgunha controversia, nos anos 50 chegou a ser de práctica xeral.



Probar estatísticamente unha hipótese é comprobar se a información que proporciona unha mostra observada concorda (ou non) coa hipótese estatística formulada sobre o modelo de probabilidade en estudo e, polo tanto, decidir se aceptar (ou non) a hipótese formulada cunhas marxes de erro previamente prefixadas.



É dicir, Contrastar unha hipótese é comparar as prediccións coa realidade que observamos. Se dentro da marxe de erro que nos permitimos admitir, temos coincidencia, aceptaremos a hipótese e, en caso contrario a rexeitaremos.



Polo tanto, un contraste de hipóteses é un procedemento que nos permite decidir se unha hipótese realizada sobre un parámetro descoñecido se acepta ou se rexeita cunha probabilidade prefixada α, chamada nivel de significación



Vexamos exemplos de situacións nas que podemos utilizar o contraste de hipóteses



Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.



mm54,15x mmx 04,0

mmx 04,0

Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en cuxo caso, deberemos reaxustar a máquina. Para verificalo extraemos unha mostra de 90 parafusos e resulta que a media é A diferenza pode deberse a que:

A máquina se desaxustou e μ ≠ 15,50A máquina funciona ben e a diferenza débese

ao azar, consecuencia de elixir unha mostraPara decidir entre as dúas posibilidades faremos un contraste de hipóteses (Contraste de hipóteses para a media)

15,54x 0,04μx



Exemplo 2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%.

Se queremos coñecer a veracidade desa información, consideraremos a hipótese: a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é igual a 95% e a contrastaremos coa información obtida a partir dunha mostra. (Contraste de hipóteses para a proporción)



Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. Para determinar se aceptamos ou rexeitamos esta afirmación da empresa, podemos utilizar o contraste de hipóteses para a diferenza de medias.456456


2. Hipóteses estatísticas2. Hipóteses estatísticas

Unha hipótese estatística é unha afirmación respecto a algunha característica dunha poboación.



Unha hipótese estatística pode ser: Paramétrica: é unha afirmación sobre os valores dos parámetros poboacionais descoñecidos.

Clasifícanse en: Simple: se a hipótese asigna valores únicos aos parámetros ( μ = 1'5, σ = 10, ...). Composta: se a hipótese asigna un rango de valores aos parámetros poboacionais descoñecidos ( μ > 1'5, 5 < σ < 10, ...).



Non Paramétrica: É unha afirmación sobre algunha característica estatística da poboación en estudo.

Por exemplo:as observacións son independentes a distribución da variable é normal a distribución é simétrica, ...


3. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Hipótese nula. Hipótese alternativa.

O primeiro paso no contraste consiste en formular as seguintes hipóteses:

A hipótese nula: denótase por H0 e é a afirmación que se considera verdadeira e que se quere contrastar.

A hipótese alternativa: denotada por H1, é a afirmación contraria á formulada na hipótese nula.



Observacións:

1º.- A aceptación de H0 non implica que esta sexa correcta, se non que os datos da mostra non proporcionaron evidencia suficiente como para refutala.



2º.- Se o experimentador quere apoiar con contundencia un determinado argumento é debido a que este non pode ser asumido gratuitamente e, polo tanto, só poderá ser defendido a través do rexeitamento do argumento contrario. Por exemplo, se un médico quere avalar

empiricamente que unha nova vacina é efectiva, entón a hipótese nula será:H0: “A vacina non é efectiva”


3. Hipótese nula. Hipótese alternativa3. Hipótese nula. Hipótese alternativa

Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm. e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm. e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou.



Para poder decidir, definimos como hipótese nula:

H0:“a máquina funciona ben”: μ=15,50 mm.

E, polo tanto: H1 : μ≠15,50 mm.



Exemplo2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%.

H0:“a proporción de aprobados é do 95% ”: p=0,95

E, polo tanto:H1: p≠0,95 mm



Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira.

H0 : μ1-μ2 = 0

E, polo tanto: H1 : μ1-μ2 ‡ 0


4. 4. Tipos de errosTipos de erros..

O contraste de hipóteses non establece a verdade da hipótese, senón un criterio que nos permite decidir se unha hipótese se acepta ou se rexeita segundo as mostras observadas difiren significativamente dos resultados esperados.

Neste proceso podemos incorrer en dous tipos de erros segundo sexa a situación real e a decisión que tomemos.



Erro de tipo I: Rexeitamos a hipótese nula cando esta é certa. Error de tipo II: Non rexeitamos a

hipótese nula cando esta é falsa.As catro posibles situacións que

poden dar lugar a un contraste de hipóteses esquematízanse no seguinte cadro:



A ter en conta:Os dous tipos de erros son incompatibles: só é

posible cometer un erro de tipo I se se rexeita a hipótese nula; mentres que o erro de tipo II está ligado ao non rexeitamento da hipótese nula.

H0 certa H0 falsa

H0 rexeitada Erro tipo I Decisión correcta

H0 non

rexeitada

Decisión correcta

Erro tipo II


5. 5. Criterios de decisiónCriterios de decisión

Toda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto, calquera criterio utilizado para optar por unha ou pola outra hipótese atenderá a controlar o risco de equivocarse.

Temos dous posibles enfoques iniciais:Unicamente pretendemos controlar o risco

de cometer un erro de tipo IA decisión tomada garante probabilidades

prefixadas de antemán para ambos os dous erros.



Acoutar a probabilidade de erro de tipo I

Esta proposta responde a aquelas situacións nas que o experimentador aposta inicialmente pola hipótese nula e só está disposto a rexeitala se a evidencia na súa contra é moi importante, preocupándose en menor medida de aceptala erroneamente.



Exemplo:Nun proceso xudicial no

que se decide entre a inocencia ou a culpabilidade do reo só se rexeitará a hipótese nula (o acusado é inocente) se a evidencia das probas acerca da súa culpabilidade vai máis alá de calquera dúbida razoable.



Definición: Chámase nivel de significación dun contraste, α, á probabilidade de cometer un erro tipo I

α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )



Fixar o nivel de significación é decidir de antemán a probabilidade máxima que se está disposto a asumir, de rexeitar a hipótese nula cando é certa.O nivel de significación o elixe o

experimentador, aínda que os valores usados habitualmente son 0,1; 0,05 ou 0,01



A selección dun nivel de significación leva a dividir en dúas rexións o conxunto de posibles valores do estatístico de contraste:

Unha de probabilidade α, coñecida como rexión de rexeitamento ou crítica. Unha de probabilidade 1- α, coñecida como rexión de aceptación.



Se o estatístico de contraste toma un valor pertencente á rexión de aceptación, non existen razóns suficientes para rexeitar a hipótese nula cun nivel de significación α e o contraste dise estatisticamente non significativo



Se o valor do estatístico cae na rexión de rexeitamento, entón asumimos un nivel de significación α, que os datos non son compatibles coa hipótese nula e a rexeitamos. Dise que o contraste é estatisticamente significativo



A ubicación das rexións de rexeitamento e de aceptación dependerá do tipo de hipótese alternativa.



Para unha hipótese nula simple do tipo H0 : θ =θ0

as hipóteses alternativas máis importantes son:

H0 : θ ‡ θ0

– Se α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” )

– Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:

RRα = (-∞,d(1-α)/2)U(dα/2,+∞)

Contraste bilateral



Se H0 : θ≤θ0 Hα : θ > θ0

Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:

– RRα = (dα ,+∞)

Contraste unilateral dereito

Se H0 : θ≥θ0 Hα : θ < θ0

Entón a rexión de rexeitamento vén dada por:

RRα = (-∞,d(1-α))Contraste unilateral

esquerdo



Prefixar a probabilidade de ambos os dous errosExisten situacións nos que incorrer nun erro de tipo II é tanto máis grave que cometer un erro de tipo I.



Exemplo:Na execución dunha proba para detectar a presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode ser mortal se non é medicado a tempo, realizouse o seguinte contraste:

H0 : “ o virus non está presente”

Hα : “ o virus si está presente”



Un erro de tipo I implicaría admitir a existencia do virus erroneamente.

A gravidade de incorrer nun erro de tipo II é evidente, xa que equivale a descartar o virus cando o paciente si que o adquiriu.



En situacións deste tipo, ademais de prefixar o nivel de significación, é conveniente precisar tamén a probabilidade que se está disposto a asumir de non rexeitar a hipótese nula erroneamente; incorrer nun erro de tipo II.Defínese :

β = P ( “non rexeitar H0” / ”Hα é certa” )



A ter en conta:• Fixado o nivel de significación, a probabilidade de erro de tipo II diminúe coa distancia entre H0 e Hα

•A probabilidade de incorrer nun erro de tipo II diminúe (aumenta) se aumenta (diminúe) a probabilidade de cometer un erro de tipo I.•Só é posible diminuir simultaneamente as probabilidades de ambos os dous erros aumentando o tamaño mostral.


6. 6. Pasos para a construción dun contraste de Pasos para a construción dun contraste de hipóteseshipóteses

1ºpaso.- Especificar sen ambigüidade, as hipóteses nula e alternativa.Dependendo do sentido da hipótese alternativa, poderemos falar de contraste bilateral ou unilateralContraste bilateral: H1: p ‡ p0

Contraste unilateral: H1: p < p0

ou H1: p > p0



2º paso.- Fixar o nivel de significaciónO nivel de significación, α, é a probabilidade de rexeitar a hipótese nula cando esta é certa (Erro tipo I)Este nivel deberemos prefixalo de antemán e tomaremos valores pequenos (0,05; 0,01; 0,1) xa que determinaremos as rexións de aceptación e rexeitamento a partir deste nivel α.



2º paso.- Fixar o nivel de significación

Contrate bilateral

Contrastes unilaterais



3º paso.- Determinación do estatístico de contraste

Todos os estatísticos que imos utilizar nesta unidade, dependerán do parámetro sobre o cal se elaborou a hipótese nula.



Se a hipótese é sobre a media poboacional

Se a hipótese é sobre a proporción poboacional

Se a hipótese é sobre a diferenza de medias

n

XZ

n

pp

ppZ

1

ˆ

2

22

1

21

2121

nn

XXZ



4ºpaso.- Determinar as rexións de aceptación e rexeitamento.

Contraste bilateral

zα/ 2-zα/ 2

RA en azulRR en rojo

N(0,1)

1-α

α/ 2 α/ 2



Contraste unilateral esquerdo

Contraste unilateral dereito

-zα


N(0,1)

1-α

α

zα


N(0,1)

1-α

α



5º paso.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste, elixido no paso 3, para esta mostra concreta.

A partir da mostra observada podemos obter un valor concreto do estatístico de contraste.



6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.Unha vez obtido o valor concreto do estatístico na mostra e a rexión de aceptación poderemos determinar se este valor é considerado aceptable ou non e, polo tanto, se aceptamos ou rexeitamos a hipótese nula



EXEMPLO 1:O concello de Carballo afirma que o 65% dos accidentes de tráfico no que están implicados mozos son debidos ao alcohol. Un investigador decide contrastar dita hipótese para o que toma unha mostra formada por 35 accidentes e observa que 24 deles foron debidos ao alcoholQue podemos dicir sobre a información do concello?



EXEMPLO 1:1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa

H0 : p = 0.65

Hα : p ‡ 0.65

2º.- Elixir o nivel de significaciónTomaremos como un bo nivel de significación α=0´01



EXEMPLO 1:3º.- Determinación do estatístico de contrasteA hipótese realízase sobre a proporción poboacional; polo tanto, o estatístico de contraste é:

Estatístico de contraste n

pp

ppz

00

0

1

ˆ



EXEMPLO 1:4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamentoTrátase dun contraste bilateral, polo tanto o valor crítico é zα/2 = 2.58 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento.

Rexión de aceptación (-2´58, 2´58)



5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta.

0´444

350´6510´65

0´650´686z

:sTipificamo

35n0´686;3524

p

ˆ



6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.

Como 0´444 está no intervalo (-2´58, 2´58) acéptase a hipótese nula e dicimos, a un nivel do 1%, que a proporción de accidentes debidos ao alcohol é do 65%



-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.002

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

x

y

zα/ 2=2.58-zα/ 2 =-2.58

RA en azulRR en roj o

N(0,1)

0.444

1-α=0.99

α/ 2=0.005

α/ 2=0.005


7. 7. Contraste de hipóteses para a mediaContraste de hipóteses para a media

Temos unha poboación onde estudamos unha variable que segue N(μ,σ) con σ coñecida.Queremos contrastar a hipótese

H0 : μ =μ0

a partir dos resultados dunha mostrade tamaño n para a cal a media mostral é

x



Para isto seguiremos os seguintes pasos:

1) Fixar o nivel de significación: α



2) Establecer a hipótese alternativa

Hipótese nula

Hipótese alternativa

Tipo de contraste

μ = μ0 μ ‡ μ0 Bilateral

μ ≤ μ0 μ > μ0

Unilateral dereita

μ ≥ μ0 μ < μ0

Unilateral esquerda



3) Elixir o estatístico de contraste

N(0,1) unha segue

nσμx

z 0



4) Construír a rexión de aceptación

H0 HαR. aceptación

μ = μ0

μ ‡ μ0

(-zα/2, zα/2)

μ ≤ μ0

μ > μ0

(-∞, zα )

μ ≥ μ0

μ < μ0

(-zα, ∞)

zα/ 2-zα/ 2


N(0,1)

1-α

α/ 2 α/ 2

zα


N(0,1)

1-α

α

-zα


N(0,1)

1-α

α



5) Verificación

rexéitaseHR.AxSe

acéptaseHR.AxSe

o

o



Se σ é descoñecida e o tamaño da mostra n é grande (n≥30)Farase como no caso anterior substituíndo a varianza poboacional σ2 pola cuasevarianza mostral ŝ2

Polo que o estatístico de contraste é

nsμx

z 0

ˆ



EXEMPLO1: Crese que o tempo medio de ocio que adican ao día os estudantes de Bacharelato segue unha distribución N(350,60) (minutos). Para contrastar esta hipótese, tómase unha mostra aleatoria de 100 alumnos e obsérvase que o tempo medio é 320 minutos. Que se pode dicir desta afirmación ao nivel do 10%?



EXEMPLO 1:1º.- Formulamos as hipóteses:

H0 : μ = 350 Hα : μ ‡ 350

2º.- O nivel de significación é α = 0´1

3º.- Estatístico de contraste

4º.- Rexión de aceptación (-1´645, 1´645)

nσμx

z 0



6º.- Como -5 non está no intervalo (-1.645, 1.645)rexéitase a hipótese nula e, polo tanto, ao nivel do

10% ponse en dúbida que o tempo medio adicado ao ocio polos alumnos sexa 350 minutos.

5

10060

350320z

60σ100;n320;x

sTipificamo -5º.



x

y

zα/ 2=1.645-zα/ 2=-1.645


N(0,1)

1-α

α/ 2 α/ 2

-5



EXEMPLO2:Quérese contrastar o contido de azucre de distintos cargamentos de remolacha. Sábese que o contido medio de azucre para remolacha de regadío é do 18% e con media superior para o de secano, sendo a desviación típica 6% para ambos os dous casos. Tómase unha mostra de 20 cargamentos. Que valor da media permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%?




H0 : μ ≤ 18 Hα : μ > 18

2º.- O nivel de significación é α = 0´05


4º.- Rexión de aceptación (-∞, 1´645)

nσμx

z 0



x

y

zα=1.645


N(0,1)

1-α=0.95

α=0.5



Polo tanto, 20´2% é o punto crítico que nos permitirá tomar a decisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%.

20,2%x1.645

20618x

-6º.

20618x

z

6σ20;n?;x

sTipificamo -5º.


8. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Contraste de hipóteses para a proporción

Temos unha distribución binomial de parámetros B(n,p) e queremos contrastar o valor de p

H0 : p = p0

Para iso eliximos unha mostra de tamaño n na que obtivemos que

pp ˆ


8. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónContraste de hipóteses para a proporción

Para iso seguiremos os seguintes pasos:





Hipótese nula


Tipo de contraste

p = p0 P ‡ p0 Bilateral

p ≤ p0 p > p0

Unilateral dereita

p ≥ p0 p < p0

Unilateral esquerda




N(0,1) unha segue

np1p

ppz

00

0

ˆ



4) Construír a rexión de aceptación

H0 HαR. aceptación

p = p0

p ‡ p0

(-zα/2, zα/2)

p ≤ p0

p > p0

(-∞, zα )

p ≥ p0

p < p0

(-zα, ∞)

zα/ 2-zα/ 2


N(0,1)

1-α

α/ 2 α/ 2

zα


N(0,1)

1-α

α

-zα


N(0,1)

1-α

α



5) Verificación

rexéitaseHR.ApSe

acéptaseHR.ApSe

o

o

ˆ

ˆ



EXEMPLO1:Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de experimentos” co seguinte exemplo:

Unha dama afirma que o sabor dunha taza de té con leite é distinto cando se verte antes o leite que o té. Para contrastar esta afirmación prepáranse 10 tazas de té; en 5 de elas vértese antes o leite e nas 5 restantes, antes o té.



A continuación, a dama proba en orde aleatoria as 10 cuncas e acerta en 8 das 10.Este feito é unha evidencia significativa a favor da hipótese?Para contestar a esta

pregunta estudaremos cada un dos pasos que deberemos seguir na resolución de calquera problema de contraste de hipóteses.



1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa

Tomaremos como hipótese nula a máis conservadoraH0 :“O sabor dunha cunca de té é indiferente da orde no que se verten o leite e o té”

e como hipótese alternativa, a nova información que temos H1 : “O sabor dunha cunca de té é distinto se se verte primeiro o leite e logo o té ou se se fai ao contrario”



Estas hipóteses verifícanse se ao elixir unha mostra, a proporción de acertos é igual a 0,5 ou maior ca 0,5 .

Polo tanto: p=0,5 p>0,5



2º.- Fixar o nivel de significación

Tomaremos como un bo nivel de significación α=0,05



3º.-Determinación do estatístico de contraste

A hipótese realízase sobre a proporción poboacional; polo tanto, o estatístico de contraste é:

0,160,5p

100,510,5

0,5p

np1p

ppZ

ˆˆˆ



4º.- Determinación das rexións de aceptación e de rexeitamentoTrátase dun contraste unilateral, polo tanto, o valor crítico é zα = 1.645 ; que é o valor que separa a rexión de aceptación da de rexeitamento.



x

y

zα=1.645


N(0,1)

1-α=0.95

α=0.5



5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular o valor de estatístico de contraste para esta mostra concreta.

0,8108

p que xa

1,8750,16

0,5-0,8 é oestatístic do valor o

) té de cuncas 10 as ( straballamo que coa mostra Na

0,160,5p

Z : é elixido oestatístic O

ˆ

ˆ



6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación.

Como 1,875 > 1,65, este valor está dentro da rexión de rexeitamento e polo tanto, rexeitamos a hipótese de que o sabor dunha taza de té é independente da orde na que se mesturen o té e o leite cun nivel de significación do 5%



x

y

zα=1.645


N(0,1)

1-α=0.95

α=0.5

1.875



EXEMPLO 2:Un adestrador asegura que os seus xogadores encestan máis do 92% dos tiros libres nos adestramentos. Co fin de contrastar esta afirmación escolleuse aleatoriamente unha mostra de 60 lanzamentos, dos que 42 entraron na canastra. Estes resultados, poñen en dúbida a afirmación do adestrador ou non?




H0 : p ≥ 0.92 Hα : p < 0.92

2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´1


4º.- Rexión de aceptación (-1,28, ∞)

n

p1p

ppz

00

0

ˆ



rexéitase a hipótese nula e ponse en dúbida, a un nivel do 10%, a afirmación do adestrador.

1´28,-6,28- Como-6º.

6´28

600´9210´92

0´920´7z

60n0´7;6042

p :sTipificamo -5º. ˆ



-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

x

y

-zα=-1.28


N(0,1)

1-α=0.9

α=0.1

-6.28


9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasmedias

Temos dúas poboacións normais, N(μ1,σ1) y N(μ2,σ2) con desviacións típicas coñecidas.Queremos contrastar a hipótese H0 : μ1- μ2=v

Para iso collemos unha mostra de cada unha das poboacións de tamaños n1 e n2

Nesas mostras obtivemos as medias mostrais: 21 xex



Para iso seguiremos os seguintes pasos:



9. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de Contraste de hipóteses para a diferenza de medias.medias.


Hipótese nula


Tipo de contraste

μ1-μ2 = v μ1-μ2 ‡ v Bilateral

μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > vUnilateral

dereita

μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < vUnilateral esquerda




N(0,1) unha segue

nσ

nσ

μμxxz

2

22

1

21

2121



4) Construir a rexión de aceptación

H0 Hα

R. aceptación

μ1-μ2 =

v μ1-μ2 ‡ v (-zα/2, zα/2)

μ1-μ2 ≤

v

μ1-μ2 >

v(-∞, zα )

μ1-μ2 ≥

v

μ1-μ2 <

v(-zα, ∞)

zα/ 2-zα/ 2


N(0,1)

1-α

α/ 2 α/ 2

zα


N(0,1)

1-α

α

-zα


N(0,1)

1-α

α



5) Verificación

rexéitaseHR.AxxSe

acéptaseHR.AxxSe

o21

o21



EXEMPLO: Co fin de determinar se existen diferenzas significativas entre dous grupos de estudantes, realizamos o mesmo exame a 30 alumnos do primeiro grupo e a 35 do segundo; obténdose a seguinte información:

Nota media

Desviación típica

1º grupo 5,5 0,5

2º grupo 5,2 1



EXEMPLO:Dexesamos contrastar a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre ambos os dous grupos cun nivel de significación do 1%.



EXEMPLO :1º.- Formulamos as hipóteses:

H0 : μ1-μ2 = 0 Hα : μ1-μ2 ‡ 0

2º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´01


4º.- Rexión de aceptación (-2.575, 2.575)

2

22

1

21

2121

nσ

nσ

μμxxz



acéptase a hipótese sobre a non existencia de diferenzas significativas entre os grupos.

2.575 2´575,-1´56 Como -6º.

1´56

351

300´5

05´25´5z

1σ0´5;σ35;n30;n5´2;5´5xx

:sTipificamo5º.

22

212121



-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

x

y

zα/ 2=2.575-zα/ 2=-2.575


N(0,1)

1-α=0.99

α/ 2=0.005α/ 2=0.005

1.56 1.56


10. 10. Relación entre contraste de hipóteses e Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza.intervalos de confianza.

Existe unha gran relación entre o intervalo de confianza para un parámetro dunha distribución e un contraste de hipóteses relativo ao mesmo.Exemplo: Formulamos a hipótese de que a media μ dunha distribución toma un determinado valor.Construímos o intervalo de confianza para unha mostra particular. Cando este intervalo non conteña o valor μ0 equivalerá a rexeitar a hipótese nula

H0 : μ = μ0



EXEMPLO: O gremio de restaurantes de Carballo afirma que o prezo medio do menú do día é de 8 euros e queremos contrastar esta hipótese. Para iso faremos:

Paso 1º.- Hipótese nula: H0 : μ = 8 €

Hipótese alternativa: Hα : μ ‡ 8 €

Paso 2º.- Fixamos o nivel de significación α=0,05



EXEMPLO:Paso 3º.- O estatístico de contraste é

Paso 4º.- Determinar a rexión de aceptación

(-zα/2, zα/2) = (-1.96, 1.96)

nsμx

z 0

ˆ



EXEMPLO:Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40 restaurantes e obtemos que o prezo medio da mostra e a desviación típica mostral son:

1´976

400,80

88,25z valor ese osTipifiquem

euros0,80seeuros8,25x

ˆ



EXEMPLO:Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa que existe evidencia suficiente de que o prezo do menú sexa distinto de 8 euros1,976 non está na rexión de aceptación (-1.96, 1.96)



-3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

x

y

zα/ 2=1.96-zα/ 2=-1.96


N(0,1)

1-α=0.95

α/ 2=0.025α/ 2=0.025

1.56 1.976



EXEMPLO:Achemos agora un intervalo de confianza para a media poboacional ao nivel do 5%

Polo tanto

O intervalo de confianza non cobre o valor da media poboacional ao nivel de significación do 5%

8´4988´002,40

0,801,968,25

n

szxIC

2α

ˆ

8´4988´002,8μ0

11. contraste de hipóteses

Education