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I.E.S PADRE SUAREZ Curso 2012 – 13 Geometría

1

TEMA V

GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

1. El espacio vectorial de los vectores libres del espacio V3………………. 1

2. Producto escalar de vectores en V3. Propiedades. Espacio euclídeo…... 6

3. Producto vectorial………………………………………………………..

4. El espacio afín de los puntos del espacio E3……………………………

5. Los puntos en E3…………………………………………………………

6. La recta en E3…………………………………………………………….

7. El plano en E3…………………………………………………………….

8. Posiciones relativas entre rectas y planos……………………………….

9. Problemas métricos. Determinación de distancias y ángulos…………..

10. Área de un triángulo y de un paralelogramo……………………………

11. Producto mixto. Volumen de un paralelepípedo……………………….

1. EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO

1.1 Introducción.

La Geometría es la parte de la Matemática que estudia las figuras del espacio real (puntos, rectas, planos, polígonos,

cuerpos,...), sus propiedades y relaciones.

Consideramos el conjunto de puntos del espacio habitual donde nos movemos, y en él vamos a estudiar las figuras

geométricas. Pretendemos organizar este conjunto "caótico" de puntos, y dotarlo de una estructura matemática; para ello

vamos a utilizar los vectores libres del espacio ,V3, de forma análoga a como lo hicimos en 1º con los vectores del plano V2.

1.2 Vector fijo en el espacio.

Consideramos el conjunto de puntos del espacio E3. Llamamos vector fijo del espacio E3, a todo par ordenado de puntos

(A, B). Lo escribimos

AB ó (A, B), y lo representamos por una flecha que empieza en A y termina en B.

Al primer punto A, se le llama origen del vector.

Al segundo punto B, se le llama extremo del vector.

Si el origen y el extremo coinciden, el vector recibe el nombre de vector nulo.

1.3 Características de un vector fijo.

Distinguimos tres elementos en un vector fijo:

Módulo: Es la medida de la longitud del segmento AB. Lo indicamos

AB . Dos vectores fijos tienen el mismo

módulo cuando tengan la misma medida.

Dirección: Es la de la recta determinada por los puntos A y B, y la de todas sus paralelas. Dos vectores fijos

AB y

CD tienen la misma dirección cuando son paralelos. Lo representaremos así:

CD | | AB .

Sentido: Es el que apunta la flecha y nos indica el orden en que se dan los puntos A y B. Dos vectores de la

misma dirección, decimos que tienen el mismo sentido cuando apuntan al mismo punto cardinal.

Representaremos dos vectores del mismo sentido

AB y

CD :

CD AB y de sentido contrario:

CD AB .Los vectores nulos tienen de módulo 0, y no tienen definidos la dirección ni el sentido.


2

1.4 Equipolencia de vectores fijos.

Dos vectores fijos

AB y

CD se dice que son EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el

mismo sentido. Se escribe:

(A, B) (C, D) ó

CDAB .

"Los vectores fijos nulos, se consideran equipolentes entre si".

"Si dos vectores son equipolentes, o están situados sobre la misma recta, o son los lados opuestos de un

paralelogramo"

La equipolencia de vectores nos permite agrupar en clases de equivalencia a todos los vectores equipolentes entre si.

1.5 Vector libre.

Al conjunto de vectores formado por un vector

AB , y todos los vectores fijos equipolentes a él, se le llama vector libre.

Los vectores libres del espacio se suelen representar por letras minúsculas con una flechita:

esequipolent sus y todos AB fijovector =AB=a

.

o también, mediante uno cualquiera de los vectores fijos que lo componen, que tomamos

como representante:

AB . Se suelen identificar ambas cosas:

AB=a

.

En la figura, los vectores

AB ,

CD o

MN son distintos representantes del vector libre a

.

Al vector libre formado por todos los vectores fijos de la forma

AA (en los que coincide el origen con el extremo) le

llamamos vector cero 0 . Lógicamente 00

.

Cuando un vector libre u tiene por módulo 1 ( 1u

) decimos que es un vector unitario.

Al conjunto de los vectores libres del espacio lo representamos por V3.

1.6 Operaciones con vectores libres.

I. Suma de vectores libres.

Dados dos vectores libres a y

b definimos el vector

a +

b como un nuevo vector construido de la siguiente

manera:

A partir de un punto cualquiera del espacio trasladamos los vectores a y

b de forma que el origen de

b coincida con el extremo de

a .

a

+b es el vector de origen el de

a y de extremo el de

b , según se

observa en la figura.

PROPIEDADES:

ASOCIATIVA: Para tres vectores cualesquiera a ,

b y

c , se cumple que cbacba

)()(

Existe un ELEMENTO NEUTRO: El vector 0 tal que para cualquier vector

a : aaa

00

Existe un ELEMENTO OPUESTO para cada vector a , el a

(es el vector del mismo módulo y dirección

que a pero de distinto sentido), tal que 0)(

aa

CONMUTATIVA: abba


3

II. Producto de un número real por un vector.

Sea un número real cualquiera R y a un vector libre cualquiera 3Va

. Definimos el producto a

como

un nuevo vector, b

tal que:

0< si

0> si de Sentido

:dirección misma la De

ab

abb

ab

ab

ba

Por tanto, el producto de un número real por un vector a es otro vector paralelo a él. Recíprocamente, si

dos vectores a y

b son paralelos, siempre existe un número real tal que se puede expresar ab

Lógicamente a0 es un vector de módulo 0 y, por tanto, 00

a .

PROPIEDADES:

Sean y números reales cualesquiera y a y

b dos vectores cualesquiera de 3V . Se cumplen las siguientes

propiedades:

baba

)(

aaa

)(

)()( aa

aa

1

El conjunto de los vectores libres del espacio, V3, con las operaciones suma y producto por números reales, junto con

las propiedades enunciadas, tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL sobre R.

1.7 Combinaciones lineales.

Dado un conjunto finito de n vectores, también llamado sistema de vectores nvvvvS

,......,,, 321 , decimos que un

cierto vector a es combinación lineal de los vectores nvvvv

,......,,, 321 cuando se puede escribir

nn332211 v+ .... +v+v+v= a

siendo n321 .... , , , números reales cualesquiera.

Naturalmente, el vector 0 se puede expresar siempre como combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, ya

que siempre se podrá escribir:

n321 v0+ .... +v0+v0+v0= 0

1.8 Dependencia e independencia lineal.

En general, decimos que un sistema de n vectores, nvvvvS

,......,,, 321 , es libre o que dichos vectores son

linealmente independientes cuando en toda expresión de la forma: 0v+ .... +v+v+v nn332211

los únicos

valores posibles para los coeficientes son 0=....=== i321 .

Si además de esta solución, que siempre es posible, alguno de los coeficientes admite un valor distinto de 0 decimos que

los vectores del sistema son linealmente dependientes o que el sistema es ligado.


4

Se puede demostrar que si los vectores de un sistema son linealmente dependientes, entonces al menos un vector se

puede expresar como combinación lineal de los demás y recíprocamente, si en un sistema de vectores alguno de ellos se

puede expresar como combinación lineal de los demás, entonces dicho sistema es ligado.

TEOREMA:

Dos vectores de 3V , u y v , no nulos y de distinta dirección, son linealmente independientes.

En efecto: Sea 0

vu y supongamos que alguno de los coeficientes, por ejemplo , sea 0, entonces:

vuvu

; siendo

un número real. Por tanto

u y v tendrían que ser paralelos.

Es decir, no puede ser 0. Por tanto 0 y, consecuentemente u y v son vectores linealmente independientes.

TEOREMA:

Dados dos vectores de 3V , u y v , no nulos y de distinta dirección, cualquier vector que sea combinación

lineal de u y v pertenece al plano determinado por

u y v (o a cualquier otro paralelo a él).

El conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de u y v constituyen un espacio vectorial de dimensión 2

(V2). Se dice, entonces, que dicho plano vectorial ha sido engendrado por los vectores u y v .

Lógicamente, cualquier vector no contenido en dicho plano, no se puede expresar como combinación lineal de u y v .

TEOREMA:

Tres vectores de 3V , wyv ,u

, no nulos y no contenidos en un mismo plano

(no coplanarios), son linealmente independientes.

1.9 Sistema generador.

Decimos que un sistema de vectores nvvvvS

,......,,, 321 , es un sistema generador de un cierto espacio vectorial V,

cuando cualquier vector a del espacio vectorial se puede expresar como combinación lineal de ellos.

TEOREMA:

Dados tres vectores de 3V , wyv ,u

, no nulos y no coplanarios, cualquier otro vector de 3V se puede

expresar como combinación lineal de wyv ,u

( wyv ,u

constituyen un sistema generador de 3V ).

CONSECUENCIAS:

1.- "Dos vectores, no nulos, de V3, con IGUAL dirección, son LINEALMENTE ......................"

2.- "Cuatro o más vectores de V3, son siempre LINEALMENTE ......................"

1.10 Base de un espacio vectorial.

Definimos una base de un espacio vectorial, como un sistema de vectores simultáneamente libre y generador.

TEOREMA:

Cualquier sistema formado por tres vectores w yv ,u

de 3V , no nulos y no coplanarios, constituye

una BASE de 3V ya que, según hemos visto, constituyen un sistema libre y generador.


5

En V3 todas las bases están formadas por tres vectores no coplanarios . Por eso decimos que es un espacio de dimensión 3, y

lo hemos llamado V3.

1.11 Componentes de un vector respecto de una base

Sean tres vectores wyv ,u

no coplanarios, dados en este orden, que constituyen una base de 3V : w,v ,u=B

. Por

tratarse de un sistema generador, un vector cualquiera, 3Vx

, se puede expresar como combinación lineal de los

vectores de la base y, por tanto, podemos escribir:

wv+ux

Pues bien, llamamos COMPONENTES del vector x respecto de la base B a la terna de números reales ),,( , es

decir, a los coeficientes de wyv ,u

. Se demuestra que para una determinada base las componentes de un vector son

únicas y sólo existe un vector para cada terna de componentes; por tanto, éstas determinan perfectamente al vector;

por esto es normal que para referirnos a un vector, en lugar de escribir toda la combinación lineal respecto de la base,

sólo se escriban sus componentes, que es más corto. (En lugar de escribir wv+ux

, escribimos ),,(x

.

Lógicamente, para un vector x , si cambiamos de base, los coeficientes cambiarán y, por tanto, sus componentes; es

decir, bases distintas suponen componentes distintas para un mismo vector.

1.12 Componentes de la suma de vectores.

Sean x e

y dos vectores de componentes ),,(x 111

; ),,(y 222

respecto de la base w,v ,u=B

),,(x 111

es lo mismo que wvux 111

; ),,(y 222

es lo mismo que wvuy 222

Sumando: wwvvuu)wvu()wvu(yx 212121222111

w)(v)(u)( 212121

Por lo tanto el vector yx

tiene por componentes

),,( 212121 yx

(La suma de las componentes)

1.13 Componentes del producto de un número real por un vector

Sea un número real cualquiera y x un vector de componentes ),,(x 111


.

),,(x 111

es lo mismo que decir wvux 111

;

Multiplicando por x : w)(v)(u)()w()v()u()wvu(x 111111111

Por lo tanto el vector x

tiene por componentes:

),,( 111 x

(El producto de por las componentes de x )

1.14 Componentes de dos vectores paralelos

Sean dos vectores paralelos x e

y de componentes ),,(x 111

e ),,(y 222


.


6

Por tener ambos la misma dirección se cumple que xy

, por tanto las componentes de y respecto de la base B se

pueden expresar de dos formas:

),,(y 222

= ),,(x 111

y como las componentes de un vector respecto de una base son únicas, se ha de cumplir que:

1

2

1

2

1

2

21

21

21

, es decir, las componentes de x y de

y son proporcionales.

Si dos vectores son paralelos, sus componentes son proporcionales. Recíprocamente, se demuestra que si las

componentes de dos vectores son proporcionales, entonces ambos vectores son paralelos.

1.15 Correspondencia entre V3 y R3.

Fijada una base w,v ,u=B

de V3, hemos visto que a cada vector libre 3Vx

le corresponde una terna ordenada única

sus componentes (x1, x2, x3) R3 y recíprocamente.

Además, las operaciones en V3 se corresponden con las operaciones en R3, de manera que, como hemos visto, si

x

= (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3), entonces:

332211 ,, yxyxyxyx

y 321 ,, xxxx

Existe, pues, una correspondencia biyectiva entre V3 y R3, que nos permite usar vectores libres o ternas de números reales

según necesitemos, y por tanto, pasar de las relaciones geométricas en V3 a relaciones numéricas en R3.

2. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN V3. PROPIEDADES.

Consideramos el espacio vectorial V3 de los vectores libres del espacio. Consideremos la aplicación

Rvu)v,u:RVV 33

que asocia a cada par de vectores v,u

el número real vu definido de la siguiente manera:

000

00,cos

vousi

vyusivuvuvu

El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

Conmutativa: 3Vv,u;uvvu

Asociativa respecto al producto de escalares: Rk;Vv,u;vukvuk 3

Distributiva respecto a la suma de vectores: 3Vw,v,u;wuvuwvu

El producto escalar de un vector por si mismo es un número positivo o nulo: 0uu

En efecto: 0u0cosuuuu2

(Nota: Sin embargo el producto escalar de dos vectores distintos u

, v

puede ser positivo, negativo o nulo,

dependiendo del coseno del ángulo que formen dichos vectores)


7

Si u

y v

son dos vectores no nulos, entonces u

es perpendicular a v

si y solo si, el producto escalar es cero:

0vu90cosvuvuvu

El espacio E3 dotado de esta nueva herramienta (producto escalar), se conoce con el nombre de ESPACIO EUCLÍDEO.

Como iremos viendo, el producto escalar nos permite introducir dos nuevos conceptos de gran importancia: distancias y

ángulos, que amplían considerablemente las posibilidades de plantear y resolver problemas en la geometría del espacio.

2.1 Expresión analítica del producto escalar.

Consideremos la base k,j,iB

de V3, los vectores u y

v , pueden expresarse mediante sus componentes,

u (u1, u2, u3) y

v (v1, v2, v3), es decir:

kvjvivv

kujuiuu

321

321

Si aplicamos las propiedades anteriores:

kvjvivkujuiuvu 321321

Si desarrollas el producto anterior y la base k,j,iB

es ortonormal (vectores de módulo unidad y perpendiculares), el

desarrollo se reduce mucho, ya que:

10cos11kkjjii

090cos11kjkiji

y la expresión analítica del producto escalar respecto a una base ortonormal es: 332211 vuvuvuvu

(Observa que este producto lo podemos escribir utilizando matrices, en la forma:

3

2

1

321

v

v

v

u,u,uvu

.

2.2 Norma o módulo de un vector. propiedades.

En la propiedad 4ª del producto escalar, hemos visto que 2

u0cosuuuu

, luego:

uuu

El módulo o norma del vector u

es la raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por él mismo. Lo escribimos

en la forma u

ó u

.

Si la base es ortonormal y el vector u tiene por componentes

u (u1, u2, u3) respecto de dicha base, entonces el producto

escalar de uu viene dado por:

2

3

2

2

2

1332211 uuuuuuuuuuu

y

2

3

2

2

2

1 uuuuu

Propiedades del módulo de un vector.

El módulo o norma de un vector es cero, si y sólo si el vector es nulo.

0u0u

El módulo o norma del producto de un número por un vector es igual al valor absoluto del número por el módulo del

vector.

ukuk


8

El módulo o norma de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de los módulos de dichos vectores.

vuvu

Comprueba las propiedades anteriores con ejemplos.

2.3 Ángulo de dos vectores. ortogonalidad.

Si tenemos dos vectores no nulos , a partir de la definición del producto escalar: vu

vuvu

,cos

"El coseno del ángulo de dos vectores es igual al cociente entre su producto escalar y el producto de sus módulos ".

La expresión analítica será: 2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211,cosvvvuuu

vuvuvuvu

Condición de perpendicularidad de dos vectores:

00 332211 vuvuvuvuvu

1. Dados los vectores 1,3,0u

y 4,3,2v

, con respecto a una base ortonormal, determina:

a) Su producto escalar.

b) Sus módulos.

c) El ángulo que forman dichos vectores.

d) Si los vectores no son unitarios, determina otros vectores paralelos a u

y a v

que lo sean.

Solución: a) 5 b) 10u

29v

d

Se llaman cosenos directores del vector u

, a los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base

ortonormal k,j,iB

. Determina los cosenos directores del vector u = (1, 2, 3).

Solución:

2. Determina el valor de m para que los vectores u

= (m, -2, 3) y v

= (-1, m, 1) sean:

a) Ortogonales b) Paralelos.

Solución: a) m = 1 b) No hay valores de m para que sean paralelos

3. PRODUCTO VECTORIAL.

Dados dos vectores respecto a una base ortonormal u (u1, u2, u3) y

v (v1, v2, v3), definimos una nueva operación en V3,

que llamamos producto vectorial y escribimos vu

, al vector que se obtiene por el desarrollo del siguiente determinante:

321

321

vvv

uuu

kji

vuvectorialoductoPr

(Observa que mientras en el producto escalar, el resultado es un número, en esta

operación, que llamamos producto vectorial, el resultado es un vector).

Si desarrollamos el determinante anterior por la primera fila , obtenemos: kvv

uuj

vv

uui

vv

uuvu

21

21

31

31

32

32

Expresión que nos indica las componentes del vector producto vectorial respecto de la base ortonormal fijada.

3.1 Propiedades del producto vectorial:


9

El vector vu

es perpendicular a u y a

v .(Es decir, es perpendicular al plano que determinan

u y

v )

Si 0

u ; 0

v ó vu

entonces el producto vectorial es el vector 0 .

No es conmutativo: uvvu

v,usenvuvu

. Es decir el módulo del producto vectorial viene dado por el producto de los módulos por

el seno del ángulo que forman los vectores. Esta propiedad es muy interesante geométricamente ya que:

El módulo del producto vectorial de u

y v

es igual al área del paralelogramo

de lados los vectores u y v

.

3. Dados los vectores u = (2, 0, -3) y

v = (3, 1, 2)

a) Calcula el vector producto vectorial de ambos.

b) Comprueba con estos vectores que el producto vectorial es un vector perpendicular a u y a

v .

c) Comprueba que el producto vectorial no es conmutativo.

d) Comprueba con estos vectores que el producto vectorial cumple la propiedad 4ª.

Solución: a)

4. EL ESPACIO AFÍN

Nos proponemos estudiar el espacio como conjunto de puntos. Para trabajar con estos puntos sería deseable que

pudieran representarse numéricamente de alguna manera. Para ello vamos a fijar un punto O, cualquiera del espacio, y

nos vamos a ayudar también del espacio de los vectores libres

(V3):

Fijado el punto O, todos los vectores libres del espacio tienen un

representante con origen en O.

Consideremos un punto A cualquiera del espacio. Existe un único

vector que tenga su origen en O y su extremo en A. A este vector

le vamos a llamar vector de posición del punto A.

Recíprocamente cada vector con origen en O determina un único

punto del espacio: en nuestro dibujo el vector a es el vector de

posición del punto A.

Es decir, que fijado un punto O del espacio existe una aplicación

biyectiva entre los vectores del espacio con origen en O y el

conjunto de puntos. Por cada vector un punto, por cada punto un

vector.

Llamamos Espacio afín, y lo representamos por E3, al espacio de puntos, junto con el espacio vectorial V

3 asociado

tal que fijado un punto O cualquiera del espacio existe una aplicación biyectiva por la que a cada vector le corresponde

un punto y a cada punto un vector.

4.1 Sistema de referencia afín.

Un sistema de referencia en el espacio afín viene dado por un punto cualquiera O del plano y una base cualquiera del

espacio vectorial asociado V3. Un sistema de referencia en el espacio afín lo notamos:

k,j,i;OR

, siendo k,j,iB

la base de V3.

Generalmente los vectores i

, j

y k

se eligen unitarios por comodidad: 1i

; 1j

; 1k

y perpendiculares entre

si. (Recuerda de 1º que a estas bases las llamábamos bases ortonormales).

4.2 Coordenadas de un punto.


10

v (a, b, c)

O

A’(x, y, z)

A(x1, y1, z1)

Fijado el punto O (origen) del espacio de puntos E3, cualquier otro punto P del espacio determina con O un vector único

OP , su vector de posición.

Si además fijamos una base kjiB

,, , podemos expresar el vector

OP como combinación lineal de los vectores de dicha

base en la forma:

kzjyixOP

La terna de números (x, y, z) R3, son las componentes del vector

OP . Pues bien:

Definimos: las coordenadas del punto P (respecto del origen O y de la base kjiB

,, ) precisamente, a las componentes

de su vector de posición:

Coordenadas de P = Componentes del vector

OP

Una vez fijado el sistema de referencia, cada punto P del espacio E3 queda determinado de forma única por sus coordenadas

(x, y, z) R3 y viceversa.

4. En un sistema de referencia afín kjiO

,,; , dibuja los puntos A(1, 2, 2), B(1, 1, 1), C(0, 1, 1),

D(1, 0, 1), E(1, 1, 0), F(0, 0, 1).

Solución:

5. LOS PUNTOS EN E3.

5.1 Componentes de un vector conocidas las coordenadas de sus extremos.

Queremos determinar las componentes del vector

AB conociendo las coordenadas de su origen A(x1, y1, z1) y de su

extremo B(x2, y2, z2), en un sistema de referencia kjiO

,,; .

Consideramos los vectores de posición de A y de B. Evidentemente se cumple:

OBABOA ; luego

OAOBAB

Si sustituimos los vectores de posición por sus componentes queda:

121212111222 ,,,,,, zzyyxxzyxzyxAB

RESUMIENDO: Las componentes de un vector

AB vienen dadas por las coordenadas del extremo, B, menos

las coordenadas del origen, A.

Supuesto el sistema de referencia afín k,j,i;O

, resuelve:

5. Si A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0) son dos puntos, hallar las componentes de

AB .

Solución: (-2, -3, -7)

6. Las componentes de

AB son (2, 0, 5) y las coordenadas del punto B((0, 1, 2). Hallar las coordenadas de A.

Solución: A(-2, 1, -3)

5.2 Traslación de un punto a mediante un vector v .

Cuando un punto A se transforma en A’ de modo que

'AA = v , se dice

que se ha aplicado una traslación al punto A de vector v . Siguiendo la

figura de la derecha, podemos escribir:


11

vOAOA

'

Si llamamos (x, y, z) a las coordenadas del punto A’ y trabajamos con las componentes de los tres vectores:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (a, b, c) (x, y, z) = (x1 + a, y1 + b, z1 + c)

czz

byy

axx

1

1

1

Para trasladar un punto A mediante un vector v se le suman a las coordenadas del punto las componentes del

vector.

5.3 Coordenadas del punto medio de un segmento.

Suponemos conocidas las coordenadas de )z,y,x(A 111 y de )z,y,x(B 222 , en un sistema de referencia afín

kjiO

,,; , y queremos hallar las coordenadas del punto medio

M(xm, ym, zm), del segmento AB.

Si M es el punto medio de AB, se cumple que

ABAM2

1. Y si consideramos

las componentes de ambos vectores:

(xm x1, ym y1, zm z1) = )zz,yy,xx(2

1121212

Igualando componentes y despejando (xm, ym, zm) encontramos los siguientes

valores:

2

21 xxxm

;

2

21 yyym

;

2

21 zzzm

De forma análoga podemos resolver otras cuestiones sencillas que veremos

sobre ejercicios concretos, como por ejemplo:

División de un segmento en n partes iguales.

Baricentro de un triángulo.

Condición para que cuatro puntos formen un paralelogramo.

Simétrico de un punto respecto de otro.

7. Si A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0), determina las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Solución: M

8. Hallar los puntos P y Q que dividen al segmento AB en tres partes iguales, siendo A(0, 4, 7) y B(-2, 1, 0).

Solución:

9. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo de vértices A(1, 2, 3) , B(3, 4, 5) y C(-1, -3, -1).

Solución:

10. En un triángulo ABC el baricentro es G(1, 2, 1). El punto medio de BC es M(2, 4, 6) y el punto medio de AC

es N(3, 2, 1). Hallar los vértices A, B y C.

Solución: A(-1, -2, -9) B(-3, 2, 1) C(7, 6, 11)


12

11. Dados los puntos A(2, 1, 3) , B(5, 4, 1) y C(2, 1, 5), determina el punto D, de manera que la figura ABCD sea

un paralelogramo.

Solución: D(-1, -2, 7)

12. Hallar el punto A' que sea simétrico de A(1, 2, 3) respecto del punto P(0, -1, 7).

Solución: A’(-1, -4, 11)

6. LA RECTA EN E3.

6.1 Una recta en el espacio queda determinada conociendo: (Un punto, y un

vector)

Un punto A(x1, y1, z1) que pertenezca a dicha recta, y

Un vector 321 ,, uuuu

, no nulo, que tenga igual dirección que la recta r. Al vector u , se le llama vector director de la recta o vector de dirección. Al par r(A;

u ) se le

llama determinación lineal de la recta r.

Ecuación vectorial de la recta:

Si la recta r viene determinada por (A; u ), cualquier punto X r cumple que el

vector

AX tiene igual dirección que u , es decir:

uAX

; R

Si a y

x son los vectores de posición de los puntos A y X, tenemos:

uax ; R,

y despejando, obtenemos:

Ecuación vectorial de la recta: R ;u + a = x

Ecuaciones paramétricas de la recta: Si el punto conocido A tiene de coordenadas A(x1, y1, z1), el punto cualquiera X(x, y, z) y el vector director

321 ,, uuuu

y sustituimos en la ecuación vectorial obtenemos:

)u,u,(u+)z,y,(x=z)y,(x, 321111 . Y, por tanto:

Ecuaciones paramétricas de la recta.

31

21

11

:

uzz

uyy

uxx

r

Ecuación continua de la recta:

Si en las ecuaciones anteriores despejamos el parámetro e igualamos, queda:

Ecuación continua de la recta: 3

1

2

1

1

1

u

zz

u

yy

u

xx

(Para poder escribir esta ecuación deben ser distintos de cero los tres denominadores).

Ecuaciones implícitas de la recta: Si en la ecuación continua, consideramos por separado la doble igualdad, obtenemos:


13

Ecuaciones implícitas de la recta

3

1

2

1

2

1

1

1

u

zz

u

yy

u

yy

u

xx

(Estas dos ecuaciones no son tan cómodas como las anteriores, pero, como veremos más adelante, representan a dos

planos que se cortan en la recta r).

13. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por el punto A(1, 5, -1) y es

paralela al vector u = (2, 3, -2).

Solución: Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continúa:

14. Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, 5, -1) y es paralela al vector u = (2, 0, 0).

Solución: Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas:

Ecuación continúa:

Ecuaciones implícitas: y = 5; z = -1

15. La recta r viene dada por su ecuación continua 4

5

3

1

2

3

zyx.

a) Determina las ecuaciones paramétricas de dicha recta.

b) Determina un vector de dirección de r.

c) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.

Solución: a) b) c) A(1, 2, 0); B(5, 4, -1), C(1, -2, -9)

16. La recta r, viene dada por

5z

2y

31x

a) Determina la ecuación continua de dicha recta.

b) Determina un vector de dirección de r.

c) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.

Solución: a)

b) A(1, 2, 0) B(4, 3, -5) C(-2, 1, 5)

17. Determina las ecuaciones de los ejes de coordenadas.

Solución: Eje OX: Ecuaciones paramétricas x = λ y = 0 z = 0 ecuaciones implícitas y = 0 z = 0

Eje OY: Ecuaciones paramétricas x = 0 y = λ z = 0 ecuaciones implícitas x = 0 z = 0

Eje OX: Ecuaciones paramétricas x = 0 y = 0 z = λ ecuaciones implícitas x = 0 y = 0

18. La recta r viene dada por su ecuación continua 5z2

y1

2

3x

.

a) Determina un vector de dirección de r.

b) Determina tres puntos que pertenezcan a la recta.

Solución: a) A(3, 1, -5) B(-1, 5, -2) C(1, 3, -6)

6.2 Recta que pasa por dos puntos.

Una recta r queda también determinada conociendo dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) pertenecientes a ella.

La obtención de las ecuaciones en este caso, es análoga a la anterior, teniendo en

cuenta que ahora nos sirve de vector director )zz,yy,xx(AB 121212

.

Entonces:


14

Determinación lineal de la recta r: r(A;

AB ).

Ecuación vectorial de la recta: R;ABax

.

Es decir: )zz,yy,xx()z,y,x()z,y,x( 121212111

Ecuaciones paramétricas de la recta.

121

121

121

zzzz

yyyy

xxxx

Ecuación continua de la recta: 12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

19. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y

B(-1, 5, -2).

Solución:

7 EL PLANO EN E3.

7.1 Un plano queda determinado conociendo: (Un punto, y dos vectores de distinta dirección)

Un plano en el espacio queda determinada conociendo un punto A(x1, y1, z1) que pertenezca a dicho plano , y dos

vectores )u,u,u(u 321

y )v,v,v(v 321

, no nulos y no proporcionales (de distinta dirección), que sean paralelos a .

A los vectores u

y v

se les llama vectores direccionales de y a la terna (A; u v, ) es la determinación lineal del plano

.

Ecuación vectorial del plano:

Si el plano viene determinado por (A; u v, ), cualquier punto X cumple que el vector

AX es combinación

lineal de u

y v

, es decir:

vuAX

; , R

Si a

y x

son los vectores de posición de los puntos A y X, tenemos:

vuax ; , R Despejando:

Ecuación vectorial del plano: vuax ; , R.

Ecuaciones paramétricas del plano: Si el punto conocido A tiene de coordenadas A(x1, y1, z1), el punto X(x, y, z) y los vectores direccionales

)u,u,u(u 321

y )v,v,v(v 321

y sustituimos en la ecuación vectorial obtenemos:

)v,v,v()u,u,u()z,y,x()z,y,x( 321321111

Igualando las componentes del primer y segundo miembro:


15

Ecuaciones paramétricas del plano:

331

221

111

vuzz

vuyy

vuxx

Ecuación implícita o general del plano:

Para obtener esta ecuación debemos eliminar los parámetros y de las ecuaciones paramétricas anteriores. Para

ello consideramos las ecuaciones anteriores como un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y . Si

reordenamos el sistema:

1331

122

111

zzvu

yyvu

xxvu

Para que este sistema sea compatible, debe cumplirse que el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz

ampliada sean iguales. Es decir:

rango

33

22

11

vu

vu

vu

= rango

133

122

111

zzvu

yyvu

xxvu

Como la matriz de coeficientes es de rango 2 (solo tiene dos columnas), es preciso que la matriz ampliada sea

también de rango 2. Para ello el determinante de la ampliada debe ser nulo. Obtenemos así la ecuación implícita del

plano:

0,,det

133

122

111

zzvu

yyvu

xxvu

AXvu

Si este determinante lo desarrollamos y ordenamos queda una ecuación de la forma:

ecuación general del plano 0 DCzByAx

20. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto P(1, 0, -2) y tiene

de vectores direccionales al vector u (2, 2, -2), y al

v (0, 2, 3).

Solución:

7.2 Plano que pasa por tres puntos.

Un plano , queda también determinado conociendo tres puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3)

pertenecientes a él.

La obtención de las ecuaciones es análoga a la anterior, pero ahora nos pueden

servir de vectores directores:

)zz,yy,xx(AB 121212

y )zz,yy,xx(AC 131313

De igual forma que antes tendremos como determinación lineal del plano :

(A;

AB ,

AC ). Y sus ecuaciones se obtienen fácilmente a partir de las

anteriores.

21. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3) ,

B(-1, 5, -2) y C(6, 7, 0).

Solución:


16

22. Di razonadamente si los puntos A(2, 3, 1) , O(0, 0, 0), B(5, 0, 4) y D(1, -1, 1) son coplanarios. En caso

afirmativo determina la ecuación general del plano que los contiene.

Solución:

Ecuación normal del plano:

En apartados anteriores hemos visto que para determinar un plano y poder hallar su ecuación, necesitábamos, un punto y

dos vectores direccionales, o bien tres puntos no alineados.

Ahora, gracias al producto escalar, podemos determinar un plano conociendo un punto A y un vector perpendicular al

plano (vector característico).

Supongamos que el punto conocido es A(x0, y0, z0) , y el vector perpendicular es n

= (a, b, c). Evidentemente, cualquier

punto X(x, y, z) cumple que el vector

AX está contenido en . Luego el producto escalar de 0nAX

, ya que el

plano es perpendicular a n

= (a, b, c). Es decir:

X;0nAXn

, y si escribimos el producto escalar con las

componentes, llegamos a:

000 zzcyybxxa . Ecuación normal del plano

Si desarrollamos queda: ax + by + cz + d = 0, que es la ecuación general, en la que observamos que los coeficientes a, b

y c corresponden a las componentes de un vector perpendicular al plano.

23. Halla la ecuación del plano que contiene al punto A (1, 2, 3) y es perpendicular al vector n

= (5, -4, 2).

Solución:

24. Halla la ecuación de la recta que contiene al punto A(1, 2, 3) y es perpendicular a 3x + y - 2z + 7 = 0.

Solución:

25. Halla la ecuación del plano que contiene al punto A(0, 2, -1) y es perpendicular a la recta z5

7y

3

xr

.

Solución:

26. Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto A(1, 5, -1) y

tiene de vectores direccionales al vector u (2, 3, -2), y al

v (0, 1, 5).

Solución:

27. Determina la ecuación de un plano que pasa por el punto A(1, 5,-1) y es paralelo a las rectas

4

5z

3

1y

2

3xr

y

1

5z

5

y1

2

xs

.

Solución:

28. Determina las ecuaciones de los planos OXZ, OXY, y OYZ.

Solución:

29. El plano , viene dado por su ecuación 0

z45

1y21

1x32

.

a) Determina la ecuación implícita de dicho plano.

b) " los vectores de dirección del plano.

c) " tres puntos que pertenezcan al plano.

Solución:

Dadas las ecuaciones paramétricas:

631z

421y

21x

, di razonadamente si representan un plano o una recta .

8. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS


17

8.1 Posiciones relativas de dos rectas.

Las posiciones relativas de dos rectas en el espacio son:

Rectas coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.

Rectas paralelas: No tienen ningún punto en común y están en un mismo plano.

Rectas secantes o que se cortan: Tienen un punto en común y están en un mismo plano.

Rectas que se cruzan: No tienen ningún punto en común y no están en un mismo plano.

Si nos dan las rectas

31

21

11

uzz

uyy

uxx

r y

32

22

12

vzz

vyy

vxx

s , y queremos estudiar su posición relativa, nos fijamos en

los vectores de dirección de ambas 321r u,u,uu

y 321s v,v,vv

y en los puntos que determinan a dichas rectas:

Ar(x1, y1, z1) y Br(x2, y2, z2).

a) Si 321r u,u,uu

y 321s v,v,vv

son paralelos, es decir: 3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u (componentes proporcionales)

las rectas son paralelas o coincidentes.

Para distinguir si se trata de paralelas o coincidentes, tomamos un punto cualquiera de r, por ejemplo Ar (x1, y1, z1) y

vemos si verifica la ecuación de s.

Si Ar verifica la ecuación de s, entonces r y s son coincidentes.

Si Ar no verifica la ecuación de s, entonces r y s son

paralelas.

b) Si 321r u,u,uu

y 321s v,v,vv

no tienen sus componentes proporcionales las rectas se cortan o se cruzan.

Si

AB,v,u sr

son linealmente dependientes, es decir:

0

zzvu

yyvu

xxvu

AB,v,udet

1233

1222

1211

sr

Entonces las rectas están en un mismo plano y se cortan (secantes).

Si B)A ,v ,u( sr

son linealmente independientes, es decir:

0

zzvu

yyvu

xxvu

AB,v,udet

1233

1222

1211

sr

Entonces las rectas no están en un mismo plano y se cruzan.

También podemos hacer el estudio a partir de los rangos de las matrices A =

33

22

11

vu

vu

vu

y B =

1233

1222

1211

zzvu

yyvu

xxvu

:


18

Si rango (A) = 1, las rectas son coincidentes o paralelas:

o Si, además rango (B) = 1 las rectas son coincidentes.

o Si el rango (B) = 2 Las rectas son paralelas.

Si el rango (A) = 2, las rectas se cortan o se cruzan:

o Si, además rango (B) = 2 las rectas se cortan.

o Si el rango (B) = 3 las rectas se cruzan.

30. Estudia la posición de las rectas, en los siguientes casos:

a) 1

1

2

3

1

1

zyxr ;

2

1

4

1

2

1

zyxs

b) 1

1

1

2

2

1

zyxr ;

22

23

44

z

y

x

s

c)

01

082

zy

yxr ;

3

2

1

7

1

zyxs

d)

0326

05

zy

yxr ;

01925

0332

zy

yxs

Solución:

8.2 Posiciones relativas de dos planos.

Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son:

Planos coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.

Planos paralelos: No tienen ningún punto en común.

Planos secantes o que se cortan: Al cortarse determinan una recta. Tienen en común los puntos de dicha recta.

Si nos dan dos planos mediante sus ecuaciones generales: 0dzcybxa

0dczbyax

estudiar la posición se reduce a resolver este sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas:

a) Si todos los coeficientes son proporcionales (rango (M) = rango (A) = 1):

d

d

c

c

b

b

a

a

el sistema se reduce a una sola ecuación, y son dos planos coincidentes.


19

b) Si todos los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero no los

términos independientes (Rango (M) = 1; rango (A) = 2):

d

d

c

c

b

b

a

a

el sistema será incompatible, no hay puntos comunes, y son dos planos

paralelos.

c) Si no hay proporcionalidad de los coeficientes (rango (M) = rango (A) = 2):

d

d

c

c

b

b

a

a

el sistema será compatible pero indeterminado, hay infinitos puntos comunes -

que determinan una recta-, y los dos planos se cortan en una recta.

NOTAS.

1. Recuerda que las ecuaciones implícitas de una recta, venían expresadas por un sistema de dos ecuaciones y tres

incógnitas. Cada una de esas ecuaciones, ahora sabemos que representa un plano, y las dos ecuaciones juntas determinan

la recta donde se cortan dichos planos.

Vector director de una recta dada por las ecuaciones implícitas

Sea la recta de ecuación 1

1z

1

2y

2

1x

. Determina sus ecuaciones implícitas y a partir de ellas

calcula su vector dirección.

2. Si nos dan dos planos secantes en una recta, decimos que determinan un haz de planos, y a la recta intersección se le

llama eje del haz. El haz de planos está formado por todos los planos que pasan por la recta de intersección (eje). Piensa

por ejemplo en un libro abierto, las hojas del libro son los distintos planos y el "lomo" del libro es el eje del haz.

Cualquier plano del haz viene dado como combinación lineal de los dos planos que lo

determinan.

Si nos dan los planos que se cortan: 0dzcybxa

0dczbyax

La ecuación del haz de planos es:

R;0dzcybxadczbyax

31. Estudia la posición de los planos, en los siguientes casos:

a. 1 : x – y + z – 3 = 0; 2 :

22

33

z

y

x

b. 1: 0

210

321

31

zyx

; 2 : -x + 2y – 2z + 1 = 0

c. 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0

Solución: a)

32. Calcula el haz de planos determinado por los planos 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0.

Comprueba si el plano 3 : x – 2y + 2 = 0 pertenece al haz de planos.

Solución:


20

33. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto Q( -1, 2, 0) y contiene a la recta

1

1

2

3

1

1

zyxr

Solución:

8.3 Posiciones relativas de tres planos.

Se reduce al estudio del sistema formado por las tres ecuaciones:

0dzcybxa

0dzcybxa

0dczbyax

Pueden aparecer muchos

casos que dependen del rango de las matrices M (de los coeficientes) y A (ampliada con los términos independientes), según

se ve en el cuadro siguiente. En los ejercicios posteriores veremos ejemplos donde se estudia cada uno de los casos. También

debemos considerar dentro de este caso las posiciones relativas entre recta y plano, ya que, al fin y al cabo, una recta viene

dada como intersección de dos planos.

Posición relativa de tres planos. M: (matriz de los coeficientes) A: (matriz ampliada con los

términos independientes)

Casos Rango de M Rango de A Posición de los tres planos

1º 3 3 a. Planos secantes en un punto

2º 2 2

b. Planos distintos secantes en una recta

c. Dos planos coincidentes y uno secante

3º 1 1 d. Los tres planos son coincidentes

4º 2 3

e. Planos secantes dos a dos

f. Dos planos paralelos cortados por el tercero

5º 1 2 g. Planos distintos y paralelos dos a dos


21

h. Dos planos coincidentes y el tercero paralelo

1 3 ESTE CASO NO PUEDE DARSE

34. Determina la posición relativa de la siguiente terna de planos: x + y + z - 2 = 0; 2x - 3y - z + 1 = 0 ;

x + y - 1 = 0

Solución: Los tres planos se cortan en un punto

35. Idem para: x - y = 0; y - z - 2 = 0; 3x + 2y - 5z + 1 = 0

Solución: Los planos se cortan en una recta dos a dos.

36. Idem para: x - y + 2z = 0; 2x - 2y + 4z + 1 = 0; 3x - y + 3 = 0

Solución: Los dos primeros son paralelos y el tercero los corta en una recta.

37. Idem para: x - 2y - z + 1 = 0; 3x - 5y + 6 = 0; 4x - 7y - z + 7 = 0

Solución: Se cortan en una recta dos a dos.

38. Idem para: 4x - y + 2z + 3 = 0; -4x + y - 2z + 6 = 0; 8x - 2y + 4z + 1 = 0

Solución: Los tres planos son paralelos.

39. Idem para: x - y + 3z + 1 = 0; 2x - 2y + 6z + 2 = 0; 3x - 3y + 9z + 3 = 0

Solución: Los tres planos son iguales

8.4 Posiciones relativas de recta y plano.

Las posiciones relativas de recta y plano en el espacio son:

Recta y plano coincidentes: Tienen todos los puntos comunes.

Recta y plano paralelos: No tienen ningún punto en común.

Recta y plano secantes o que se cortan: Al cortarse determinan un punto.

40. Determina la posición de la recta y el plano siguientes, y en caso de cortarse, halla el punto de corte.

a.

033

01:

0533:

zyx

zyxs

zyx

b) z

2

3y

2

1xs

01yx

c) 1z

2

3y

2

1xs

01zy2x2

Solución: a) La recta y el plano se cortan en un punto b) La recta es paralela al plano c) La recta y el plano

se cortan en el punto (-11, 15, -7).

9. PROBLEMAS MÉTRICOS. DETERMINACIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS.

9.1 Determinación de distancias.

A) Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) ,definimos la distancia entre ellos como el módulo del vector

AB .

Recordando la definición de módulo y sus propiedades, tenemos:


22

212

2

12

2

12, zzyyxxABBAd

B) Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto A(x0, y0, z0) a una recta 3

1

2

1

1

1

u

zz

u

yy

u

xxr

, es igual a la longitud del segmento

perpendicular desde el punto A a la recta r.

Aunque mas adelante encontraremos una fórmula para calcular esta distancia, ya la podemos encontrar con los siguientes

procedimientos:

1er

Procedimiento:

1º. Determinamos un plano que pase por el punto A, y sea perpendicular a la recta r, teniendo en cuenta que el vector

director de la recta 321r u,u,uu

es perpendicular al plano, luego es el vector característico del plano:

nu,u,uu 321r

.

2º. Determinamos el punto P = r que es el punto de corte de la recta y el plano, resolviendo un sistema de

ecuaciones.

3º. La distancia que buscamos es igual a la distancia entre los puntos A -que era el punto conocido- y P -que es el punto

que acabamos de determinar. Es decir: dis (A, r) = dis (A, P) =

AP .

2º Procedimiento:

1º. Tomamos un punto genérico de la recta r: G r (x1 + u1; x2 + u2; x3 + u3)

2º. Determinamos la distancia del punto A al punto genérico G r.

3º. Calculamos el valor de para el cual la distancia anterior es mínima.

4º. Distancia (A; r) = distancia (A; G r)

3er

Procedimiento:

1º Tomamos el vector direccional de la recta r.

2º. Tomamos un punto genérico de la recta r: G r (x1 + u1; x2 + u2; x3 + u3) y con el punto A construimos el vector

rAG

3º. Como los vectores rAG y el direccional de la recta tienen que ser perpendiculares, su producto escalar será cero y

de esta forma calculamos el valor de y como consecuencia el punto genérico G r

4º. Distancia (A; r) = distancia (A; G r)

41. Hallar la distancia del punto A (3, 4, 5) a la recta 1

5z

2

2y1xr

.

Solución:

42. Hallar la distancia del punto A (1, 3, -1) a la recta

0zyx

0yxr .

Solución:

C) Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto A(x0, y0, z0), a un plano ax + by + cz + d = 0, es igual a la longitud del segmento perpendicular

desde el punto A al plano .

Aunque en este caso es fácil encontrar una fórmula, también la podemos calcular con un procedimiento análogo al anterior:


23

1º. Determinamos una recta que pase por el punto A, y sea perpendicular al plano , teniendo en cuenta que el vector

perpendicular al plano n

= (a, b, c) nos sirve ahora de vector director de la recta run

= (a, b, c).

2º. Determinamos el punto P = r que es el punto de corte de la recta y el plano, resolviendo un sistema de

ecuaciones. Al punto P lo llamamos proyección ortogonal del punto A, sobre el plano .

3º. La distancia que buscamos es igual a la distancia entre los puntos A, que era el punto conocido, y P, que es el punto

que acabamos de hallar. Es decir: dis (A, ) = dis (A, P) =

AP .

Cuando no sea necesario seguir el procedimiento razonado anteriormente, puedes utilizar para la distancia de un punto a

un plano, la fórmula siguiente, que es fácil de recordar :

222

000,

cba

dczbyaxAdis

43. Hallar la distancia del punto A (1, 2, 5) al plano 2x + 2y - z - 5 = 0.

Solución:

44. Dado el punto P(2, 1, -1), la recta 1

2z

2

y

2

1xr

y el plano x - 3y + z + 13 = 0. Determina:

a) Distancia del punto P al plano .

b) Distancia del punto P a la recta r.

c) Proyección de la recta sobre el plano

Solución:

D) Distancia de una recta a un plano.

a) Si la recta corta al plano, la distancia es cero.

b) Si la recta está incluida en el plano, la distancia es cero.

c) Si la recta es paralela al plano, para hallar la distancia de r a , basta tomar un punto cualquiera A de la recta y

calcular la distancia de A a mediante el cálculo de la distancia de un punto a un plano, que ya sabemos resolver.

Es decir:

dis (r, ) = dis (A, ); A r.

45. Determina la distancia de la recta “s” al plano “” en los siguientes casos.

a.

033

01:

0533:

zyx

zyxs

zyx

b) z

2

3y

2

1xs

01yx

c) 1z

2

3y

2

1xs

01zy2x2

Solución:

E) Distancia entre dos planos.

a) Si los planos coinciden, la distancia es cero.

b) Si los planos se cortan, la distancia es cero.


24

c) Si los planos son paralelos, para hallar la distancia de a ‘, basta

tomar un punto cualquiera A de uno de los planos y calcular la distancia

de A al otro plano, mediante el cálculo de la distancia de un punto a un

plano, que ya sabemos resolver. Es decir:

dis ( r, ) = dis (A, ); A r.

46. Calcula la distancia entre los dos planos, en los siguientes casos:

a. 1 : x – y + z – 3 = 0; 2 :

22

33

z

y

x

b. 1: 0

210

321

31

zyx

; 2 : -x + 2y – 2z + 1 = 0

c. 1 : 2x – y + z – 1 = 0; 2 : x + y + z - 3 = 0

Solución:

F) Distancia entre dos rectas.

a) Si las rectas coinciden, la distancia es cero.

b) Si las rectas se cortan, la distancia es cero.

c) Si las rectas son paralelas, para hallar la distancia de r a r', basta tomar un punto

cualquiera A de la recta r y calcular la distancia de A a r', utilizando el cálculo de la

distancia de un punto a una recta, que ya sabemos resolver. Es decir:

dis (r, r’) = dis (A, r’); A r.

d) Si las rectas se cruzan (caso de la figura), podemos seguir dos procedimientos:

1er

Procedimiento: Hallamos el plano que contiene a la recta r

y es paralelo a la recta s, por tanto

distancia (s, r) = distancia (s, )

2º Procedimiento: Tomamos dos puntos genéricos R y S, uno en la recta r y otro en la recta s. De todos los

posibles vectores RS , buscamos aquel que sea perpendicular a las dos rectas, de esta

forma encontraremos las coordenadas de los puntos R y S

Por consiguiente distancia (r, s) = distancia (R, S)

Este método es especialmente útil cuando, además de calcular la distancia de r a

s, se desea hallar la recta perpendicular a r y a s. Obviamente, es la recta

que pasa por los puntos R y S

47. Estudia la posición de las rectas 2

8

2

9

3

3

zyxr y

2

1z

1

2y

2

3xs

y la distancia entre

ambas.

Solución:

48. Estudia la posición de las rectas r x = y = z; s x = y = 3z 1 y la distancia entre ambas.

Solución:


25

9.2 Determinación de ángulos.

A) Ángulo de dos rectas.

Si nos dan dos rectas

31

21

11

uzz

uyy

uxx

r y

32

22

12

vzz

vyy

vxx

s , y queremos hallar

el ángulo que forman nos fijamos en los vectores de dirección de ambas:

321r u,u,uu

y 321s v,v,vu

. Se cumple que sr uusr

,cos,cos :

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211,cos,cos

vvvuuu

vuvuvu

uu

uuuusr

sr

sr

sr

49. Hallar el ángulo que forman las rectas r x = y = z y

0

1

y

zxs .

Solución:

B) Ángulo entre recta y plano.

Si nos dan la recta

31

21

11

uzz

uyy

uxx

r y el plano ax + by + cz + d = 0, y queremos

hallar el ángulo que forman, nos fijamos en el vector de dirección de la recta y el vector

característico del plano 321r u,u,uu

y n

= (a, b, c). Se cumple que

n,ucos,rsen r

. Es decir:

2222

3

2

2

2

1

321,cos,

cbauuu

cubuau

nu

nunursen

r

r

r

50. Hallar el ángulo que forman el plano 2x + 3z = 0 y la recta

08y9x2

0z3y2xs

C) ÁNGULO DE DOS PLANOS.

Si nos dan los planos ax + by + cz + d = 0 y ’ a’x + b’y + c’z + d’ = 0 y queremos hallar

el ángulo que forman, nos fijamos en este caso en los vectores característicos de los planos n

=

(a, b, c) y ''n

= (a’, b’, c’). Se cumple que:

222222

'

'

'

'''

'''

'

'',cos',cos

cbacba

ccbbaa

nn

nnnn

51. Hallar el ángulo que forman los planos x + 2y - z - 3 = 0 y ’ 2x - y + 3z + d’ = 0.

Solución:

10. ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN PARALELOGRAMO.

Aplicaciones geométricas del producto vectorial:


26

1. Cálculo del área de un paralelogramo.

2. Cálculo del área de un triángulo.

3. Vector director de una recta dada por las ecuaciones implícitas.

4. Formula de la distancia de un punto a una recta.

52. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(0, -1, 5) y C(-1, 7, 2). Determinar un punto D de manera que ABCD sea un

paralelogramo. Calcula el área de dicho paralelogramo.

Solución:

53. Calcula el área del triángulo ABC, siendo A(0, 1, 5), B(-2, -3, 0) y C(1, 1, 1).

Solución:

54. Encontrar un vector de dirección de la recta

011zy2x

04z3yx2r .

Solución:

55. Calcular la distancia del punto P(5, -1, 6) a la recta

t5z

ty

t21x

r

Solución:

11. PRODUCTO MIXTO. VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO.

"El producto mixto de tres vectores, u, v, w de V3 , que escribimos [u, v, w] es el producto escalar del primero de ellos

por el resultado del producto vectorial del segundo por el tercero. Es decir:

wvuwvu

,,

Observa que el resultado del producto mixto de tres vectores es un número real.

En efecto se trata de realizar un producto escalar de u

, por el vector resultante de wv

.

11.1 Expresión analítica del producto mixto:

Teniendo en cuenta que se trata del producto escalar de 321 u,u,uu

por 21

21

31

31

32

32

ww

vvk

ww

vvj

ww

vviwv

,

el producto mixto vendrá dado por

321

321

321

21

21

3

31

31

2

32

32

1

21

21

31

31

32

32

321 ,,.),,(

www

vvv

uuu

ww

vvu

ww

vvu

ww

vvu

ww

vv

ww

vv

ww

vvuuuwvu

11.2 Interpretación geométrica:

Se pueden presentar dos casos

1º Que wvu

,, estén en el mismo plano , lo que implica que 0,, wvuwvu

ya que wv

es un vector

ortogonal al plano donde se encuentran los tres vectores por consiguiente wv

es ortogonal al vector u

y por

consiguiente 0,, wvu

.

2º Que wvu

,, no estén en el mismo plano (los tres vectores no son entre sí linealmente dependientes)


27

cos·,, wvuwvuwvu

, siendo el ángulo que forma

el vector u

con el vector wv

Donde wv

es el área del paralelogramo formado por los vectores

wyv

;

cosu

= H que es la altura del paralelepípedo

Por tanto el valor absoluto del producto mixto de tres vectores 3Vw,v,u

(linealmente independientes) es igual al

volumen del paralelepípedo que tiene por aristas u

, v

, y w

.

11.3 Aplicaciones geométricas del producto mixto:

1. Cálculo del volumen de un paralelepípedo.

2. Cálculo del volumen de tetraedro.

El paralelepípedo inicial, al partirse por el plano BCFE, se descompone en dos prismas triangulares iguales. Cada

uno de ellos tiene, pues, la mitad del volumen del paralelepípedo. Cada prisma se descompone en tres pirámides que

tienen el mismo volumen.

Por tanto: el Volumen del tetraedro = wvu

,,6

1

3. Distancia entre dos rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas que se cruzan coincide con la altura del

paralelepípedo formado por los tres vectores siguientes:

vector direccional de la recta r

vector direccional de la recta s

Vector formado por un punto de r y otro punto de s

d(r, s) = h = baseladeÁrea

pedoparalelepídelVolumen =

vu

PQvu

,,

56. Hallar el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u = (3, -7, 4);

v = (2, 1, 5) y

w = (7, 4, -2).

Solución:

57. Hallar el volumen de un tetraedro de vértices A (3, 5, 7), B (1, 0, -1), C (7, -1, 4) y D (11, 4, -6).

Solución:

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

58. Dibuja en un sistema de referencia {O; i, j, k} ortonormal, los puntos A(1, 2, 3); B(1, -2, 1); C(1, 3, -2);

D(0, 1, 2); E(3, 2, 0); F(0, 0, 3); G(0, 2, 0) y H(-2, 0, 0).

Solución:

59. Halla las componentes del vector

AB y las coordenadas del punto medio del segmento AB , sabiendo que

A(1, 2, -5) y B(8, 4, -5) en el espacio R3.

Solución:


28

60. Calcula el simétrico del punto A(0, 5, -2) respecto del punto B(7, -2, 1).

Solución:

61. El segmento AB se divide en cinco partes iguales mediante los puntos M, N, P, Q. Halla las coordenadas de

dichos puntos, siendo A(1, 0, 1) y B(3, 2, -9).

Solución:

62. Calcula el baricentro del triángulo cuyos vértices son A(2, 5, 3), B(0, 0, 1) y C(1, 1, 1).

Solución:

63. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD, tienen por coordenadas A(1, 1, 0) y B(-2, 3, 1) y

C(4, -1, 2). Halla las coordenadas del vértice D.

Solución:

64. Sean A(1, -7, 4) y B(2, 0, 1) dos puntos de R3. Determinar las coordenadas de un punto X entre A y B cuya

distancia a B sea doble que su distancia a A.

Solución:

65. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1, 0, -3) y tiene la dirección del vector v =(4, -2, -3).

Solución:

66. Escribir -de todas las formas posibles- las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos:

a) A (0, 3, -5) y B(1, 2, 3). b) C(7, 2, 4) y D(0, 0, -3). c) M(1, 3, -5) y N(-2, 3, 7).

Solución:

67. Dada la recta 3

24

2

1

zy

xr y el punto P(-3, 0, 1), escribe la ecuación continua de una recta que

pase por P y sea paralela a r.

a) Escribe en forma paramétrica y continua, las ecuaciones de una recta que pase por el punto A(1, 2, 1) y

sea paralela a la que pasa por los puntos B(2, -1, 0) y C(1, 2, 2).

b) Deduce razonadamente si el punto M(0, -1, 3) pertenece a la recta buscada.

c) Determina otro punto de la recta anterior.

Solución:

68. Halla las distintas ecuaciones del plano definido por el punto A(1,2,-1) y los vectores u (1,1,-2) y

v (0,2,-1).

Solución:

69. Calcula las distintas ecuaciones del plano que contiene a los puntos A(1, 2, 3), B(0, 0, 1) y C(2, 3, -1).

Solución:

70. Estudia si los puntos A(1, 2, 5), B(0, 1, 2), C(2, -1, 4) y D(1, -1, 2) son o no coplanarios. En caso afirmativo

halla la ecuación del plano que los contiene.

Solución:

71. Calcula el valor de a para que los siguientes cuatro puntos estén en un mismo plano de R3: A(a, 0, 1),

B(1, 2, 3), C(0, 1, 2) y D(7, 2, 1). Obtener la ecuación del plano que los contiene.

Solución:

72. Determina la ecuación implícita del plano :

ty

sty

stx

1

25

32

Solución:

73. Determina las ecuaciones paramétricas del plano 2x - y + 3z - 6 = 0. Busca también dos vectores paralelos

a dicho plano y dos puntos que pertenezcan a .

Solución:


29

74. Dada la recta r en forma implícita mediante las ecuaciones:

0343

02:

zyx

zyxr

expresarla en forma paramétrica e indicar un punto de dicha recta y un vector de dirección.

Solución:

75. Determina la ecuación general de un plano en los casos siguientes:

a) Contiene a la recta zyx

r

222

1, y al punto P(1, 1, 2).

b) Contiene a las rectas r y s -comprobando previamente que las dos está en un mismo plano-:

2

1

4

22

zyxr ;

3

321

zyxs

c) Contiene al punto A(0, 2, 1) y a la recta: x - 2y - z + 3 = 0

x - 3y + z + 2 = 0

Solución:

76. Calcula las ecuaciones de los planos coordenados XOY, XOZ, YOZ, y de los ejes de coordenadas.

Solución:

77. En R3 se consideran los vectores

v = (4, -1, 3) y

w = (-1, 2, 2). Halla sus módulos y el ángulo que forman.

Solución:

78. Calcula la ecuación de una recta que pasa por un punto P(3, 0, -1) y es perpendicular al plano

2x - 3y - z + 1 = 0.

Solución:

79. Halla la ecuación del plano mediador del segmento AB , siendo A(1, 2, 3) y B(3, 2, 9).

Solución:

80. Dado un punto P(0, 1, 2), calcula:

a) El simétrico de P respecto de A(1, 2, -3).

b) El simétrico de P respecto de x + y + z - 6 = 0.

c) El simétrico de P respecto de r (2 - , -24 + ).

Solución:

81. Sean los puntos A(4, 1, 0) y B(0, 2, -1) ¿Qué punto del plano

stz

sty

stx

23

21

está alineado con A y B.

Solución:

82. Dadas las rectas r (1 + 2, -, 1 + 2) y r' x 1 = y 1 = z. Calcula:

a) Distancia mínima entre ambas rectas.

b) Ecuación de la perpendicular común.

Solución:

83. Sean u ,

v ,

w , tres vectores de R

3 paralelos a un mismo plano. ¿Cuánto vale su producto mixto? Razonar la

respuesta.

Solución:

84. En el triángulo ABC, siendo A(1, 2, 0), B(1, 0, 2) y C(0, 2, 2), halla su perímetro.

Solución:


30

85. En el triángulo anterior determina el área.

Solución:

86. En el triángulo anterior determina el ortocentro.

Solución:

87. Calcula el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: A(2, 1, 3), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7) y D(5, 4, 8).

Solución:

1.1 introducción.matematicaspadresuarez.wikispaces.com/file/view/tema 5º...i.e.s padre suarez...

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