102fy1g fyzika g praktikÁ...
TRANSCRIPT
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Petr Pokorný
Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky
Skupina aplikované optiky
Petr Pokorný
Filip Šmejkal
Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky, A634
Konzultace: úterý 12 – 14, po e-mailové dohodě
Docházka
• Absence písemně omluvené (e-mail), každý musí naměřit všechny úlohy, v případě nepřítomnosti
nutno nahradit s jiným kruhem
Příprava na cvičení – za skupinu do LABORATORNÍHO DENÍKU (viz dále), každý přehled o problematice
• Teorie – písemná příprava (co měřím, základní vzorce pro zpracování, vztahy pro výpočet nejistot, …)
• Praxe – formuláře, výpočetní programy, …
Měření musí být schváleno vyučujícím
• Vyučující schvaluje datem a podpisem v Laboratorním deníku (povinnost studentů zajistit si potvrzení
před odchodem z laboratoře)
Protokoly odevzdávané za skupinu
• Do konce semestru, všichni jsou zodpovědní za obsah, všichni musí rozumět procesu zpracování
• Laboratorní deník odevzdáván na závěr semestru za skupinu
Toman J., Semerák P., Fyzika 10 – Praktická cvičení, Nakladatelství ČVUT, 2001.
Úlohy GPředmět Fyzika G
• Toman J., Semerák P., Fyzika 10 – Praktická cvičení, Nakladatelství ČVUT, 2001.
• JCGM 100:2008, Evaluation of measurement data – Guide to the expression of
uncertainty in measurement, 2008.
• Kaarls R., BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, A1-A12, 1981 (in
French); Giacomo P., Metrologia 17, 73 -74, 1981 (in English).
• Pokorný P., Metodika zpracování fyzikálních měření, FSv ČVUT,
http://departments.fsv.cvut.cz/k102/sites/default/files/k102/vyuka/predmety
/soubory/Metodika_zpracovani_fyzikalnich_mereni.pdf .
• Červenka M., Zpracování fyzikálních měření, FEL ČVUT,
http://herodes.feld.cvut.cz/mereni/downloads/navody/zpracdat.pdf .
• Horák Z., Krupka F., Šindelář V., Technická fyzika, SNTL, 1961.
• Rektorys K., Přehled užité matematiky, SNTL, 1968.
Knihkupectví ČVUT: eobchod.cvut.cz
Antikvariát Eva Kozáková: antikvariat-ucebnice.cz
• Dodržovat bezpečnostní pokyny, pořádek, čistotu
• Dbát pokynů cvičícího
• Elektronická zařízení zapojovat až po odsouhlasení a pod dohledem vyučujícího
• Chovat se tiše, neopouštět laboratoř bez oznámení
• Zákaz kouření, jezení, požívání alkoholických nápojů, práce pod vlivem
alkoholických nápojů a jiných omamných látek
• Škody vzniklé nedbalostí, neopatrností nebo porušením pokynů musí viníci nahradit
obstaráním náhrady, případně zaplacením (způsob určí učitel nebo vedoucí
laboratoře)
• Upozorňovat na závady, nahlásit zranění
• Podrobně viz http://departments.fsv.cvut.cz/k102/vyuka/laboratore-pro-vyuku
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Petr Pokorný
Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky
Skupina aplikované optiky
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?
Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?
špatná
kalibrace
měřidla
přiložení ke
vzorku
čtení hodnoty
teplotní
roztažnost
vzorku
(laboratorní
podmínky)poničení
měřidla
teplotní
roztažnost
vzorku
(laboratorní
podmínky)
Kde mohou vznikat nejistoty (chyby) měření?
špatná
kalibrace
měřidla
přiložení ke
vzorku
čtení hodnoty
poničení
měřidla
Téměř každý element vyskytující
se při měření je zdrojem nejistoty
Hrubé chyby měření
Systematické chyby měření
Nahodilé chyby měření
Chybné odečtení hodnoty
Chybný zápis
Záměna jednotek
Měřák ukazuje
neustále o trochu
více
Konstrukční
nedokonalost
přístroje
Zanedbání globální
změny okolních
podmínek
Různé hodnoty při
stejné metodě za
stejných podmínek
Zastavení stopek
Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek
(vnitřní změny přístroje)
Hrubé chyby měření
Systematické chyby měření
Nahodilé chyby měření
Chybné odečtení hodnoty
Chybný zápis
Záměna jednotek
Měřák ukazuje
neustále o trochu
více
Konstrukční
nedokonalost
přístroje
Zanedbání globální
změny okolních
podmínek
Různé hodnoty při
stejné metodě za
stejných podmínek
Zastavení stopek
Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek
(vnitřní změny přístroje)
Chybné odečtení hodnoty
Chybný zápis
Záměna jednotek
Měřák ukazuje
neustále o trochu
více
Konstrukční
nedokonalost
přístroje
Zanedbání globální
změny okolních
podmínek
Různé hodnoty při
stejné metodě za
stejných podmínek
Zastavení stopek
Reakční doba experimentátoraMalé změny podmínek
(vnitřní změny přístroje)
Hrubé chyby měření
Systematické chyby měření
Nahodilé chyby měření
IHNED
ELIMINUJEME
ČÁSTEČNĚ
POTLAČUJEME
Nezávislá měření
Metodika měření
Kalibrace přístrojů
Početní korekce
NELZE ELIMINOVAT
ODHADUJEME JEJICH HODNOTY, PŘIŘAZUJEME K VÝSLEDKŮM MĚŘENÍ
V rámci našich laboratorních měření předpokládáme:
V měření se nevyskytují hrubé chyby.
Metodou měření jsme maximálně potlačili systematické
chyby.
V měření jsou pouze náhodné (nahodilé) chyby.
Velké chyby jsou méně časté než malé.
Kladné a záporné chyby stejné absolutní hodnoty jsou stejně
pravděpodobné.
• Každé měření je zatíženo náhodnou (nahodilou) chybou.
• Velikost nahodilých chyb odhadujeme pomocí statistického
zpracování.
K čemu je nám tedy statistika dobrá?
• Teorie statistiky definuje teoretické hodnoty pravděpodobnosti
výskytu určité náhodné veličiny (s jakou pravděpodobností bude v
měření chyba určité velikosti).
• Tyto hodnoty nemůžeme nikdy přesně z měření získat, pouze je
odhadujeme.
• Statistika poskytuje nástroje k odhadu hodnot charakterizujících dané
náhodné veličiny.
• Výsledek měření zatížený náhodnou chybou
je tzv. náhodná veličina (předpokládejme
spojité náhodné veličiny).
• Náhodná veličina se vyskytuje s určitou
pravděpodobností.
• S jakou pravděpodobností se vyskytne
náhodná veličina x v intervalu [x1, x2] ?
2
1
d)()( 21
x
xx uufxxxP
Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny
Střední hodnota
Variance (rozptyl)
Směrodatná odchylka
uuufxE x d)(}{
uufuxExVar x d)()(}){(}{ 222
}){(}{ 2 xExVar
Cíl laboratorních měření
Z naměřeného souboru dat odhadnout nejpravděpodobnější
hodnoty náhodných veličin a jejich charakteristik přesnosti.
Střední (skutečná) hodnota
Směrodatná odchylka
Odhad střední hodnoty
Standardní nejistota
vs.
Te
ori
e
Pra
xe
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Soubor měření
Odhad skutečných
hodnot
Odhad nejistot
Opakovaná přímá měření
vzdáleností, úhlů, teplot,
tlaků, …
Odstranění (oprava) hrubých
chyb, zpracování
vícenásobných měření,
výpočet závislých veličin,
výpočet parametrů
funkčních závislostí, …
Nejistoty přímých měření,
přístrojů, odhad nejistot
vlivem experimentátora, vliv
na výsledné hodnoty, …
Příklad: měření teplotní
délkové roztažnosti
Základní délka vzorku,
protažení, teploty
Průměrování, výpočet
parametrů lineární
závislosti protažení se
změnou teploty, výpočet
koeficientu teplotní
délkové roztažnosti
Nejistoty přímo měřených
veličin (základní délka,
protažení, teploty), vliv
experimentátora, vliv na
výsledný koeficient
Metoda nejmenších čtverců
Vážený průměr
Aritmetický průměr
Metoda postupných měření
Princip metody nejmenších čtverců
Minimalizace sumy čtverců odchylek (vážených odchylek) mezi
měřenými daty a výsledným odhadem středních hodnot modelu
minimalizace, hledáme extrém
T
Mii qqNixfy ),,(,,,1),,( 1 qq
),( qiii xfy
pro i-té měření:
podmínka MNČ
2
2
0
2
2
0
22
22
2
11
1
22 .min
ii
i
NN
N
i
ii
s
sp
pppp
hledáme parametry q
jq j
0
2
j rovnic pro j neznámých
parametrů
Linearizovaný model
• Měření [x, y] můžeme přepsat do maticového zápisu
• Obecně není stejně N měření jako M hledaných parametrů,
předpokládejme N > M
lAq
)(
)(
)(
,,
)()()(
)()()(
)()()(
2
1
2
1
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
y
y
y
lq
xxx
xxx
xxx
A
NMMNNN
M
M
l
l
l
q
q
q
fff
fff
fff
podmínka MNČ
.min2 PεεT
matice soustavy
vektor hledaných parametrů
vektor pravých stran
0
)()(2
PlAPAqA
lAqPlAqqq
TT
TPlAPAAq
TT 1)(
),,,(diag, 21 Nppp PlAqε
Příklad: Aproximace MNČ lineární závislosti
Nibaxbaxfy iii ,,1,),,(
2
2
0
2
2
0
1
22 ,)(ii
i
N
i
iiis
spbaxyp
),,,(diag,,,
1
1
1
21
2
1
2
1
N
NN
ppp
y
y
y
b
a
x
x
x
PlqA
1. Sestavení modelu do maticového zápisu 2. Řešení soustavy rovnic ve
smyslu MNČ
PlAPAAqTT
b
a1)(
Nibaxbaxfy iii ,,1,),,(
2
2
0
2
2
0
1
22 ,)(ii
i
N
i
iiis
spbaxyp
0222)(2
0222)(2
1111
2
11
2
11
2
N
i
i
N
i
ii
N
i
ii
N
i
iii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
iii
N
i
iiii
pbxpaypbaxypb
xpbxpayxpbaxyxpa
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
N
i
iii
N
i
ii
N
i
ii
yppbxpa
yxpxpbxpa
111
111
2
soustava 2 rovnic pro 2 neznámé
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
i
N
i
iii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
N
i
ii
N
i
i
N
i
iii
xpxpxpp
yxpxpypxp
b
xpxpxpp
xpyppyxp
a
111
2
1
1111
2
111
2
1
1111
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
xxxN
yxxyx
b
xxxN
xyyxN
a
111
2
1111
2
111
2
111
ipi 1
měření stejné
váhy
Niaxaxfy iii ,,1,),(
2
2
0
2
2
0
1
22 ,)(ii
i
N
i
iiis
spaxyp
022)(21
2
11
2
N
i
ii
N
i
iii
N
i
iiii xpayxpaxyxpa
N
i
iii
N
i
ii yxpxpa11
2
N
i
ii
N
i
iii
xp
yxp
a
1
2
1
Vážený průměr
Aritmetický průměr
022)(2111
2
N
i
si
N
i
ii
N
i
sii
s
xpLpxLpx
N
i
ii
N
i
is Lppx11
N
i
i
N
i
ii
p
Lp
x
1
1
Vyrovnání MNČ pro přímá měření různé
váhy odpovídá váženému průměru.
sii xL
ss xxf )( )( si xfL
N
i
sii xLp1
22 )(
N
L
x
N
i
i 1
Vyrovnání MNČ pro přímá měření stejné
váhy odpovídá aritmetickému průměru.
ipi 1
• pro navazující měření, koncový bod jednoho je počátečním druhého
• pro sudý počet měření (při lichém zpravidla vynecháme první)
• průměr z rozdílů dvou následujících měření nepřináší žádné zpřesnění (mezilehlá
měření se vzájemně odečtou) → jiný přístup
1x 1kx
2x 2kx
1kx 1Nx
kx Nx
111 xxk
222 xxk
111 kNk xx
kNk xx
Nejlepší odhad přírůstku
2/,,,,,, 121 Nkxxxxx Nkk
iiki xx
k
xx
kx iiki
i
k
i
ixk
x1
1
2/
112/2
112
12
411 N
i
i
N
Ni
i
k
i
i
N
ki
i
k
i
i xxN
xxkk
g
lT π2]s[iiki tt
10N
]s[/ kt ii
s99972,01
1
k
i
itk
T
Měřené postupné časy [s]
1,000 5,999
2,010 7,002
3,005 8,005
3,998 9,001
5,001 10,000
4,999
4,992
5,000
5,003
4,999
0,9998
0,9984
1,0000
1,0006
0,9998
Příklad: Měření periody matematického kyvadla
1. Funkce jedné proměnné, spojitá funkce f(x), na okolí x existuje její
derivace
2. Funkce více proměnných
f(x)
f(x + dx)
x x + dx
dx
dy
ef’(x) = dy/dx = tan(α)
α dy = f’(x) ∙ dx
f(x + dx) = f(x) + dy + e
f(x1 + dx1, x2 + dx2, …)= f(x1, x2, …) + dy1 + dy2 + … + e
= f(x) + grad[f](x1, x2, …) ∙ dx + e
dyi = fxi(x1, x2, …) ∙ dxi
Příklad: funkce jedné proměnné
f(x)
f(x + dx)
x x + dx
dx
dy
e
α
Příklad: funkce dvou proměnných
f(x1 + dx1, x2 + dx2, …) = f(x1, x2, …) + dy1 + dy2 + … + e = f(x) + grad[f](x1, x2, …) ∙ dx + e
Statistický nástroj pro určení vlivu nejistoty dílčích parametrů na výslednou
hodnotu, která je na těchto parametrech funkčně závislá.
T
Myyy ],,,[ 21 y
T
Nxxx ],,,[ 21 x
d dy J x
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
/ / /
/ / /
/ / /
N
N
M M M N
f x f x f x
f x f x f x
f x f x f x
J
( ) ( ) TΣ y JΣ x J
2 2 2
1,1 1,2 1,
2 2 2
2,1 2,2 2,
2 2 2
,1 ,2 ,
( )
N
N
N N N N
Σ x
vektor výsledných hodnot
závislý na vektoru dílčích parametrů
vliv malých změn xi na změnu yj
(totální diferenciál)
Jacobiho matice
(matice
parciálních
derivací)
kovarianční matice
1 2( , , , ) ( )j j N jy f x x x f x
mimo diagonálu
kovariance,
vyjadřují
závislost mezi
veličinami na diagonále
variance (čtverce
směrodatné
odchylky)
(kovariance mimo diagonálu, vyjadřující závislost mezi proměnnými, jsou nulové)
22 2
2 2 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )j j j
j N
N
f f fy x x x
x x x
x x x
2
1,1
2
2,2
2
,
0 0
0 0( )
0 0 N N
Σ x
1 2( , , , ) ( )j j N jy f x x x f x
1 1 2 1
1,1
1 1 12
2,2
12
,1
0 0
0 0( )
0 0
M
N
M M M
N NN N N
f f f f
x x x x
f f f f
x x x x
Σ y
( ) ( ) TΣ y JΣ x J
Pro možnost použití zákona přenášení variancí musí tedy platit:
1. Dílčí náhodné veličiny musí mít sudé pravděpodobností rozložení.
2. Chyby dílčích náhodných veličin jsou malé vzhledem k výsledným
funkčním hodnotám a mají nulovou střední hodnotu.
3. Vliv malé změny dílčí veličiny na výslednou hodnotu je malý a lze
vyjádřit pomocí totálního diferenciálu (tj. funkce charakterizující
danou závislost musí být diferencovatelná na okolí daného
dílčího bodu).
Jak určit nejistoty jednotlivých měřených parametrů?
odhad směrodatné odchylky (σ) → výběrová směrodatná odchylka (s)
standardní nejistota určená metodou typu A (uA)
standardní nejistota určená metodou typu B (uB)
Jaká bude výsledná nejistota jednotlivých měřených parametrů?
Využívá zákon přenášení variancí.
Předpokládáme, že nejistota určená statistickým zpracováním (uA) nemá souvislost s
dodatečnou informací o měřené veličině (uB – např. vliv přístroje, kalibrace, empirické
pozorování).
)()( CsC uxxux 68% interval spolehlivosti (pro normální rozdělení)
( ) ( )p C s p Cx k u x x k u rozšířený interval spolehlivosti
kp 0.674 1 1.96 2 2.576 3
P 0.500 0.683 0.950 0.955 0.990 0.997
P = 95%pro normální rozděleníp CU k u
Standardní nejistota určená metodou typu A odpovídá odhadu
směrodatné odchylky pravděpodobnostního rozdělení chyby daného
měřeného parametru (výběrové směrodatné odchylce).
Předpokládáme normální pravděpodobnostní rozdělení.
2
1
1( ) ( )
1
N
A i
i
u x x xN
Jednorozměrné normální
pravděpodobnostní rozdělení
(odhad střední hodnoty parametru
aritmetickým průměrem)
Odhad nejistot měřicích pomůcek, měřiče, …
Využití dostupných informací – kalibrační protokoly, specifikace od
výrobce, dříve analyzovaná data, zkušenosti experimentátora
Standardní nejistota vyjádřena odhadem směrodatné odchylky
rovnoměrného pravděpodobnostního rozdělení
( )12
Bu x
velikost intervalu, na kterém očekáváme
stejnou pravděpodobnost výskytu náhodné
veličiny (rovnoměrné pravděpodobnostní
rozdělení)
2. Nejistota u ručičkového přístroje
- přesnost dána třídou přesnosti (TP)
- maximální relativní velikost chyby
při výchylce v krajní poloze
100/TP)stupnicerozsah (
100/TP)stupnicerozsah (2
( )12 3
Bu x
1. Nejistota z rozlišení přístroje
- žádné informace o přístroji
- předpoklad rovnoměrného
pravděpodobnostního rozdělení
pro odečítanou nejmenší
hodnotu
mm1odečtená hodnota je se
stejnou pravděpodobností
v „± polovině nejmenšího
dílku“
( )12 3
Bu x
3. Nejistota u digitálního přístroje
( )12 3
Bu x
Δ = 2 x (p% z měř. hodnoty + n digitů)
Δʹ = (p% z měř. hodnoty + n digitů)
hodnoty p a n dány výrobcem,
n digitů = n násobek rozl. schopnosti
2. analogový (ručičkový) ampérmetr
2,5TP
A100stupnicerozsah
A4,112
100/5,2A1002)(
IuB
12
100/TP)stupnicerozsah (2
12)(
IuB
1. posuvné měřítko s noniem (vernierem)
mm6,7x
mm1,0 mm03,012
1,0)( xuB
312)(
xuB
3. digitální voltmetr
Δ = 2 x (p% z měř. hodnoty + n digitů)
Δʹ = (p% z měř. hodnoty + n digitů)
dáno výrobcem: p = 0.5, n = 1
μV3,4mV103,412
)001,0100/5,0mV305,1(2)( 3
UuB
Zpracování přímo měřených parametrů
1. Odhad skutečné hodnoty přímo měřené
veličiny
2. Odhad nejistoty určený metodou typu A
(odhad směrodatné odchylky daného
pravděpodobnostního rozdělení)
3. Odhad nejistoty určený metodou typu B
4. Výpočet kombinované nejistoty pomocí
zákona přenášení variancí
5. Výpočet rozšířené nejistoty
(pokud hodnotu dále nepoužíváme)
1
)(
)( 1
2
N
xx
xu
N
i
i
A
Příklad: aritmetický průměr
1
1 N
i
i
x xN
12)(
xuB
N
xuxuxu BA
C
)()()(
22
( ) ( )p CU x k u x
Výpočet vlnové délky z
difrakce na mřížce
Ze zpracování vícenásobně přímo
měřených hodnot získáme odhady
kombinovaných nejistot parametrů
Potřebné derivace pro ZPV (pro vyčíslení
použijeme výsledné měřené hodnoty)
22sin
zy
y
k
a
k
a
k
kk
( ), ( ), ( )C C k Cu a u y u z
)()(
)()(
1
222/322
22
2
2/322
2
22
zy
z
zy
zy
k
a
z
zyy
z
zy
z
k
a
y
azy
y
ka
kk
k
kkkk
k
k
22 2
2 2 2
2 4 2 2 2
2 4 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C C k C
k
C C k C
k k k
p
u u a u y u za y z
u a z u y z u z
a y y z y z
U k u
Použití ZPV a výpočet rozšířené nejistoty
2 2 2
1,1 1,2 1,
2 2 2
2,1 2,2 2,
2 2 2
,1 ,2 ,
( )
M
M
M M M M
s s s
s s s
s s s
Σ q
Připomenutí MNČ: PlAPAAqTT 1)(
2 2 1
0 0( ) ( )Ts s Σ q C A PA
MNMNs
TT
)()(2
0
lqAPlqAεPε
lAq
matice kofaktorů
aposteriorní odhad
kovarianční matice
aposteriorní jednotková variance
2
, ,i js i j
2
, ,i js i j
kovariance
variance
odhad nejistoty
m-tého parametru
2
,( )C m m mu q s
2 2
0 0
2 2 ( )i
i C i
sp
u l
k vyčíslení vah využijeme
kombinované nejistoty
vstupních parametrů
U hodnocení nejistoty výsledku metody postupných měření
využijeme výpočet nejistoty aritmetického průměru (odhad
směrodatné odchylky pravděpodobnostního rozdělení + zákon
přenášení variancí).
k
xx
kx iiki
i
k
i
ixk
x1
1Při MPM z hodnot
2
2 10
( )
( )1
k
i
ii
x x
s xk
počítáme průměr
(k je počet dvojic měření)
0 ( )( ) i
C
s xu x
k
Vážený a aritmetický průměr jsou speciálním případem MNČ. Lze
ukázat, že odhad jejich nejistot můžeme vypočítat úpravou vztahů
pro MNČ.
Při výpočtu nejistot parametrů určených pomocí MNČ určíme váhy
pomocí standardních kombinovaných nejistot vstupních hodnot, ve
kterých jsou zahrnuty nejistoty určené metodou typu A a B.
Vztah pro určení rozšířené nejistoty (U) použijeme až pro úplně
poslední vypočtenou hodnotu. Při dílčích výpočtech (např. vstup do
MNČ nebo zákona přenášení variancí) užíváme nejistoty standardní
(u).
Měřené hodnoty
Statistické zpracování a
výsledky numerických
řešení
Odhad skutečných
hodnot
Odhad nejistot
metodou typu A
Odhad nejistot
metodou typu B
Zhodnocení kvality
přístrojů a zkušeností
experimentátoraNumerické zhodnocení
měření
Odhad nejistot
výsledných hodnot
Kombinovaná nejistota (C)
Rozšířená nejistota
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Speciální případ MNČ1( )T T Aq l q A PA A Pl
1
2 22 0 0
1 2 2 2
1
1, , , diag( , , , ) ,
1
N i
i i
N
L
L sq p p p p
s
L
A q l P
1
1
21
1
1 1
2 2
1
0 0 1
0 0 1 1( ) 1 1 1
0 0 1
0 0
0 01 1 1
0 0
T
N
i
iN
NT
i i
i
N N
p
p
pp
p L
p Lp L
p L
A PA
A Pl
1
1
N
i i
i
N
i
i
p L
q
p
hledáme pouze jeden parametr – maticové výpočty se značně zjednoduší
2 2
0
1
2
2 2 2 1 10 0
1
( ) ( ) 1( )
1
( )
( ) ( ) ( )
( 1)
T N
i i
i
N
i iT i
C N
i
i
s p q LN M N
p q L
u q s s
N p
Aq l P Aq l
Σ q C A PA
1
1
21
1
0 0 1
0 0 1 1( ) 1 1 1
0 0 1
T
N
i
iN
p
p
pp
A PA1
1
N
i i
i
N
i
i
p L
q
p
2
1
1
( )
( )
( 1)
N
i i
iC N
i
i
p q L
u q
N p
maticový zápis vhodný pro programování
Aritmetický průměr je speciálním případem váženého, kdy jsou
všechny váhy jednotkové
1
N
i
i
L
qN
ipi 1
1
1
N
i i
i
N
i
i
p L
q
p
2
10
( )
1
N
i
i
q L
sN
2
1
( )
( )( 1)
N
i
iC
q L
u qN N
shodné s odhadem nejistoty uA(x) přímého
měření metodou typu A,
tj. jedná se o výběrovou směrodatnou odchylku
normálního pravděpodobnostního rozdělení
lze také odvodit jako důsledek zákona
přenášení variancí 22 0( )C
su q
N
d
h
m
Přímo měřené hodnoty
d [mm] 31.92 31.91 31.92
h [mm] 30.44 30.45 30.43
m [g] 64.845 64.848 64.846
Zpracování přímo měřených hodnot
2
4
π
m m
V d h
veličinaaritmetický
průměruA uB uC
d [mm] 31.917 0.006 0.003 0.004
h [mm] 30.440 0.010 0.003 0.006
m [g] 64.846 0.002 0.000 0.001
2
2 2
1
1
( )( ) ( )1
( ) ( ) ( )1 12
N
iNi A B
i A B C
i
x xu x u x
x x u x u x u xN N N
Přímým měřením rozměrů a hmotnosti válečku určete hustotu, ze které je
daný vzorek vyroben, a vypočtěte nejistotu výsledné hustoty.
d
h
m
Výpočet výsledné hodnoty hustoty
2
4
π
m m
V d h
Výpočet nejistoty (zákon přenášení variancí)
3
2
42662.66 kg/m
π
m
d h
veličinaaritmetický
průměruC
d [mm] 31.917 0.004
h [mm] 30.440 0.006
m [g] 64.846 0.001
2 3 2 2
4 8 2 4, ,
π π π
m m
m d h m d d h d h d h h
2 2 2 2 2 22 2 2 3
2 2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 0.82 kg/mC C C
C C C C
u m u d u hu u m u d u h
m d h m d h
3(2662.66 1.60) kg/m
3
95% ( ) 1.96 ( ) 1.60 kg/mCU u
Meridián rotačně symetrické kvadratické plochy byl proměřen v 9 bodech.
Nejistota vertikální souřadnice je dána lineárním vztahem uC(z) = 0.01 + 0.05z .
Vypočtěte koeficienty kvadratického profilu meridiánu společně s odhadem
jejich nejistot.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi [mm] -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5 10.0
zi [mm] 0.02 2.16 3.33 4.48 5.35 4.43 3.94 2.20 0.01
uC(zi) [mm] 0.01 0.12 0.18 0.23 0.28 0.23 0.21 0.12 0.01
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi [mm] -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0 2.5 5.0 7.5 10.0
zi [mm] 0.02 2.16 3.33 4.48 5.35 4.43 3.94 2.20 0.01
uC(zi) [mm] 0.01 0.12 0.18 0.23 0.28 0.23 0.21 0.12 0.01
Výpočet vah
pi 784.0 54.4 24.2 14.8 1 14.8 17.8 54.4 784.0
211 1
222 2
1 2
2
1
1, , , diag( , , , )
1
N
NN N
zx xa
zx xb p p p
czx x
A q l P
2
0
2 ( )i
C i
up
u z
0 0.28u vhodně volíme (jedna z nejistot v měření)
Sestavení matic modelu a výpočet koeficientů
1
0.04874
( ) 0.00009
4.88970
T T
q A PA A Pl
2z ax bx c lAq
2 1
0
+0.000001465512499 0.000000002217547 0.000145471697735
( ) ( ) = 0.000000002217547 +0.000000740900421 +0.000000221619623
0.000145471697735 +0.000000221619623 +0.014513553730312
Ts
Σ q A PA
0
( ) ( )0.34
T T
sN M N M
ε Pε Aq l P Aq l
Výpočet nejistot vyrovnaných parametrů
počet měřených hodnot počet vypočítávaných parametrů
vyčíslujeme s vypočtenými parametry
nejistoty (odhady směrodatných odchylek)
vyrovnaných parametrů jsou odmocniny z
diagonálních prvků kovarianční matice( ) 0.0012
( ) 0.0009
( ) 0.1205
C
C
C
u a
u b
u c
Rozšířené nejistoty a shrnutí výsledků
2
1( 0.0487 0.0024) mm
( 0.0001 0.0017)
( 4.89 0.23) mm
z ax bx c
a
b
c
95%
95%
95%
( ) 1.96 ( ) 0.0024
( ) 1.96 ( ) 0.0017
( ) 1.96 ( ) 0.2361
C
C
C
U a u a
U b u b
U c u c
(95% interval spolehlivosti)
Aposteriorní jednotková nejistota
Nejistoty vypočtených koeficientů
Střední kvadratická chyba – RMS, Root Mean Square
Max-Min hodnota – PV, Peak to Valey
2
1( 0.0487 0.0024) mm
( 0.0001 0.0017)
( 4.89 0.23) mm
z ax bx c
a
b
c
(95% interval spolehlivosti)
0
( ) ( )T T
sN M N M
ε Pε Aq l P Aq l
2 1
0( ) ( ) Ts Σ q A PA
( ) ( )RMS =
T T
N N
ε ε Aq l Aq l
PV max( ) min( ) ε ε
odmocnina z diagonálních
prvků kovarianční matice
kvadratický průměr
rozdílů mezi původními
daty a vyrovnanými
hodnotami
rozdíl mezi maximální a
minimální hodnotou
rozdílů mezi původními
daty a vyrovnanými
hodnotami
0 0.34
RMS 0.22 mm
PV 0.81 mm
s
Různé příklady převodů fyzikálních modelů na lineární aproximaciPrůhyb u vodorovně položené tyče na dvou podpěrách vzdálených l v
závislosti na hmotnosti m na ní zavěšeného závaží lze vyjádřit jako
,48
3
kmmEI
glu
kde g je tíhové zrychlení, E je modul průřezu v tahu, I je moment setrvačnosti.
Předpokládejte znalost různých závaží a průhybu tyče, pomocí MNČ určete
koeficient k. Dále předpokládejte stejně přesná měření průhybu.
úprava vztahu: Akk
mm P
p
3
1
12
Vztah mezi hmotností závaží m na pružině, hmotností pružiny mp a tuhostí
pružiny k lze zapsat jako:
Pomocí MNČ určete tuhost pružiny, jestliže znáte hodnoty hmotností pro různá
závaží, hmotnost pružiny a odpovídající frekvence. Předpokládejte stejně
přesná měření.
.
3
1P
p
mm
k
Délka tyče v závislosti na změně teploty Δt, počáteční délce l0 a koeficientu
délkové teplotní roztažnosti α je dána vztahem:
Pomocí MNČ určete koeficient délkové teplotní roztažnosti, jestliže znáte
hodnoty délek tyče pro různé teploty. Předpokládejte stejně přesná měření.
000 )1( tlltll
Předpokládáme-li znalost počáteční délky a
považujeme ji za přesnou (fixujeme ji),
můžeme vztah převést na lineární závislost:
tll
ll
~
0
0
Vybíjecí křivka kondenzátoru je dána předpisem
kde U0 je počáteční napětí, R je velikost připojeného odporu, přes který se
kondenzátor vybíjí, C je kapacita kondenzátoru, t je čas, po který dochází k
vybíjení. V čas t = 0 platí I = I0. Proložte měřením proudu v různé časové
okamžiky křivku pomocí MNČ, kde předpokládejte stejnou přesnost měření
proudu pro každý okamžik.
,/0/
0
RCtRCt eR
UeII
0
/
0
ln~
,1
,lnlnI
II
RCa
RC
te
I
I RCt
Převod na lineární závislost:
I at
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
sJ10)029,06,615( 34 h
Přehledné tabulky a grafy (Excel, MATLAB, …)
Optimální počet platných cifer
Protokoly (vzorová úloha a šablona viz web):
• Hlavička protokolu
• Teoretický úvod (fyzikální princip měření,
postup, podmínky, pomůcky)
• Vypracované měření (přehledné
zpracování, tabulky mezivýsledků a
výsledků, grafy, výpočet nejistot)
• Závěr (shrnutí výsledků a jejich nejistot,
porovnání s tabulkovými hodnotami,
vysvětlení případných odchylek, …)
• Použitá literatura
• Signatura
• Přílohy
Musí být ihned patrné, co se měří a v jakých jednotkách
Měřená veličina
Jednotky
(stojatě v
hranatých
závorkách)
Zvýraznění
výsledku
Popisy os i s jednotkami
Označení grafů (popis grafu)Doplňující informace pro
zpřehlednění výsledků
Obr. 1 Zobrazení a) funkční závislosti f(x,y) a b) závislosti g(x,y) na poloze
Název grafu (obrázku)
1. Nenulová číslice nejvíce nalevo = nejvýznamnější platná cifra
2. A) bez desetinné čárky – nenulová číslice nejvíce napravo =
nejméně významná platná cifra
B) s desetinnou čárkou – číslice (včetně nuly) nejvíce napravo je
nejméně významná platná cifra
3. Počet platných cifer = počet číslic mezi nejvýznamnější a
nejméně významnou včetně
3 platné cifry:
123 10 300 1,02 1,00 0,123
0,0101 0,0100 1,00 ∙1e+5
Odhad nejistoty – 2 platné cifry
Odhad skut. hodnoty – stejný počet des. míst jako u odhadu nejistoty
])[( xuxx c
Odhad skutečné hodnoty
Odhad kombinované nejistoty
(rozšířené nejistoty)Jednotky výsledné veličiny
Planckova konstanta: sJ10886384924,2)(sJ10615277837,6 3634 hu,h
sJ106,615hsJ10029,0sJ109,2)( 343436 hu
sJ10)029,06,615( 34 h
Dodržování etických principů, autorských práv
Přehlednost práce, snadný přístup k dalšímu studiu
Různé citační styly (Harvard, ACS, AIP, AMS, Vancouver, … ČSN ISO 690)
knihovna.cvut.cz
www.citace.com
https://en.wikipedia.org/wiki/Comparison
_of_reference_management_software
Srovnání externích nástrojů pro správu citací
Odkazy v textu
Seznam v závěru práce
Měření přímých nebo nepřímých veličin
• opakované měření, postupné měření, …
Odhad skutečných hodnot a jejich nejistot
• MNČ, průměr, MPM, …
• nejistoty metodou typu A, B, C, rozšířené
Prezentace výsledků
• tabulky, grafy, protokoly, …
• citace použitých zdrojů, poděkování (za
financování, …)
Měření
Výpočty
Prezentace výsledků, publikace
102FY1G
FYZIKA G
PRAKTICKÁ CVIČENÍ
Ing. Petr Pokorný, Ph.D.
Fakulta stavební ČVUT v Praze, katedra fyziky
Skupina aplikované optiky
Thákurova 7
166 29 Praha 6 – Dejvice
aog.fsv.cvut.cz