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E S A I M : P r o c e e d i n g s , V o l . 1 , 1 9 9 6 , p p . 5 6 5 { 5 7 5

h t t p : / / w w w . e m a t h . f r / p r o c / V o l . 1 /

A N u m e r i c a l a n d A n a l y t i c a l S t u d y

o f V o r t e x R i n g s W i t h S w i r l

A l e x a n d e r L i f s c h i t z

M a t h e m a t i c s D e p t .

U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s

C h i c a g o , I L 6 0 6 0 7 , U S A

W . H e n r y S u t e r s


C a r s o n - N e w m a n C o l l e g e

J e e r s o n C i t y , T N 3 7 7 6 0 , U S A

J . T h o m a s B e a l e


D u k e U n i v e r s i t y

D u r h a m , N C 2 7 7 0 8 , U S A

A b s t r a c t

W e s t u d y t h e g r o w t h o f d i s t u r b a n c e s t o v o r t e x r i n g s w i t h s w i r l , w h i c h a r e e x a c t s o l u t i o n s o f

t h e E u l e r e q u a t i o n s o f i n v i s c i d o w , u s i n g t w o c o n t r a s t i n g m e t h o d s . T h e m o t i o n o f t h e p e r t u r b e d

v o r t e x r i n g s c a n b e r e g a r d e d a s a p r o t o t y p e f o r t h e i n v i s c i d d y n a m i c s o f v o r t e x s t r u c t u r e s i n 3 D .

E x a c t r i n g s w i t h s w i r l a r e c o m p u t e d a s s t e a d y , a x i s y m m e t r i c o w s u s i n g a v a r i a t i o n a l m e t h o d .

A s y m p t o t i c a n a l y s i s i n t h e s h o r t w a v e l i m i t , s i m i l a r t o g e o m e t r i c o p t i c s , l e a d s t o o r d i n a r y

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r p e r t u r b a t i o n s a l o n g p a r t i c l e p a t h s . T h e s e O D E ' s c a n b e s o l v e d f o r t h e

r i n g s o f i n t e r e s t , y i e l d i n g p r e d i c t e d m a x i m u m g r o w t h r a t e s f o r s m a l l d i s t u r b a n c e s . T h e s e r a t e s

a r e c o m p a r e d w i t h t h e d i r e c t s i m u l a t i o n o f s a m p l e d i s t u r b a n c e s u s i n g a 3 D v o r t e x m e t h o d t o

c a l c u l a t e t h e e v o l u t i o n a c c o r d i n g t o t h e E u l e r e q u a t i o n s .

1 I n t r o d u c t i o n

I n r e c e n t y e a r s t h e r e h a s b e e n c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n u n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s o f o w s w i t h

l o c a l i z e d v o r t e x s t r u c t u r e s s u c h a s l a m e n t s a n d r i n g s . D e s p i t e c o n s i d e r a b l e p r o g r e s s , r e l a t i v e l y

l i t t l e i s k n o w n a b o u t s u c h d y n a m i c s i n a f u l l 3 D s e t t i n g . T h e p r e s e n t w o r k i s a i m e d a t s t u d y -

i n g g e n e r a l d i s t u r b a n c e s t o a x i s y m m e t r i c v o r t e x r i n g s w i t h ( a n d w i t h o u t ) s w i r l . S u c h r i n g s a r e

i m p o r t a n t a s e x a m p l e s o f e x a c t s o l u t i o n s t o t h e 3 D E u l e r e q u a t i o n s , w i t h t h e v o r t i c i t y l o c a l i z e d

i n s i d e a t o r o i d a l v o r t e x c o r e . W e h a v e c o m p u t e d s e v e r a l v o r t e x r i n g s w i t h s w i r l n u m e r i c a l l y , a n d

c o m p a r e d d i r e c t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e t i m e - d e p e n d e n t b e h a v i o r o f p e r t u r b a t i o n s t o t h e r i n g s

w i t h a n a l y t i c a l p r e d i c t i o n s o f i n s t a b i l i t i e s . T h e s e p r e d i c t i o n s a r e b a s e d o n a g e o m e t r i c o p t i c s , o r

s h o r t - w a v e a p p r o x i m a t i o n , i n c o n t r a s t w i t h m u c h a n a l y s i s i n w h i c h i t i s t h e l o w m o d e s t h a t a r e o f

p r i m a r y i n t e r e s t . F u r t h e r d e t a i l s a r e p r e s e n t e d i n 1 6 ] .

T h e s t r u c t u r e o f v o r t e x r i n g s i s g o v e r n e d b y a q u a s i - l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n f o r t h e s t r e a m f u n c -

t i o n s u b j e c t t o a p p r o p r i a t e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s . T h e m a i n d i c u l t y i n n d i n g e x a c t r i n g s s t e m s

f r o m t h e f a c t t h a t t h e l o c a t i o n o f t h e v o r t i c i t y c o r e b o u n d a r y i s n o t k n o w n a p r i o r i . I n d i v i d u a l

v o r t e x r i n g s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e p r o l e f u n c t i o n s d e s c r i b i n g t h e d e p e n d e n c e o f t h e a z i m u t h a l

v e l o c i t y a n d v o r t i c i t y o n t h e s t r e a m f u n c t i o n a s w e l l a s c e r t a i n g l o b a l c o n s t r a i n t s d e t e r m i n i n g t h e

l o c a t i o n o f t h e c o r e b o u n d a r y .

U n t i l v e r y r e c e n t l y , m o s t a n a l y s e s o f v o r t e x r i n g s w e r e c o n c e r n e d w i t h t h e b e h a v i o r i n t h e t h i n

r i n g l i m i t , i . e . , c o r e r a d i u s s m a l l c o m p a r e d t o o u t e r r a d i u s , a n d w i t h t h e s t r u c t u r e o f r i n g s w i t h o u t

5 6 5

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A . L i f s c h i t z e t a l . | A N u m e r i c a l a n d A n a l y t i c a l S t u d y o f V o r t e x R i n g s W i t h S w i r l 5 6 6

s w i r l . F o r a r e c e n t r e v i e w o f v o r t e x r i n g s , s e e 2 0 ] . F o r t h e t h e o r y o f t h i n r i n g s , s e e 1 9 ] . T h e

s t a b i l i t y o f t h i n r i n g s h a s b e e n s t u d i e d b y v a r i o u s a u t h o r s , i n c l u d i n g M o o r e , S a m a n , a n d W i d n a l l .

T h e e x a c t t h e o r y o f v o r t e x r i n g s w i t h o u t s w i r l h a s b e e n d e v e l o p e d b y N o r b u r y , F r a e n k e l , a n d o t h e r s .

K n i o a n d G h o n i e m 1 1 ] c o m p u t e d i n s t a b i l i t i e s t o v o r t e x r i n g s w i t h o u t s w i r l , u s i n g v o r t e x m e t h o d s ,

a n d c o m p a r e d t h e r e s u l t s w i t h t h e t h i n r i n g t h e o r y . F o r m o r e e x t e n s i v e r e f e r e n c e s , s e e 2 0 ] a n d

1 6 ] .

V o r t e x r i n g s w i t h s w i r l h a v e a t t r a c t e d c o n s i d e r a b l y l e s s a t t e n t i o n t h a n t h e i r n o - s w i r l c o u n t e r -

p a r t s , a l t h o u g h t h e y r e p r e s e n t a m o r e g e n e r a l c l a s s o f s t e a d y s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d

p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n n a t u r e . M o a t t 1 7 ] d e v e l o p e d a n a p p r o a c h t o t h e d e s c r i p t i o n o f v o r t e x

r i n g s w i t h s w i r l b a s e d o n t h e i r a n a l o g y w i t h t o r o i d a l e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n s k n o w n i n m a g n e t o -

h y d r o d y n a m i c s . T u r k i n g t o n 2 2 ] p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f e x a c t s o l u t i o n s , u s i n g a d i e r e n t a p p r o a c h

b a s e d o n t h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g q u a s i - l i n e a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m .

E y d e l a n d a n d T u r k i n g t o n d e v e l o p e d a n u m e r i c a l a l g o r i t h m b a s e d o n t h i s a p p r o a c h , a l l o w i n g o n e

t o o b t a i n v o r t e x r i n g s c o r r e s p o n d i n g t o a l a r g e v a r i e t y o f p r o l e f u n c t i o n s a n d n o r m a l i z a t i o n c o n -

s t r a i n t s . T h i s f a m i l y i n c l u d e s t h e l i m i t i n g c a s e s o f v o r t e x r i n g s w i t h o u t s w i r l , f o r w h i c h t h e v o r t i c i t y

a n d t h e v e l o c i t y a r e o r t h o g o n a l , a n d a l s o t h e s o - c a l l e d B e l t r a m i r i n g s , f o r w h i c h t h e y a r e p a r a l l e l .

V o r t e x r i n g s w i t h s w i r l a r e n a t u r a l o b j e c t s o f n u m e r i c a l s t u d y u s i n g v o r t e x m e t h o d s , b e c a u s e

t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n o f v o r t i c i t y i s l o c a l i z e d i n a n i t e d o m a i n a n d c a n b e c h o s e n t o b e s m o o t h .

( R e c a l l t h a t H i l l ' s v o r t e x h a s a j u m p i n t h e v o r t i c i t y a t t h e b o u n d a r y o f t h e c o r e . ) S u c h a s t u d y

i s u s e f u l f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , i t h e l p s t o a s s e s s t h e v a l i d i t y o f 3 D v o r t e x m e t h o d s , a n d , s e c o n d ,

i t s h e d s l i g h t o n t h e d y n a m i c s o f t h e r i n g s a s s u c h . H o w e v e r , t o d r a w s e n s i b l e c o n c l u s i o n s f r o m

s u c h a s t u d y i t i s n e c e s s a r y t o n d t h e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n o f v o r t i c i t y i n s i d e t h e v o r t e x c o r e w i t h

s u c i e n t a c c u r a c y a n d t o a n a l y z e t h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g r i n g i n a d v a n c e .

T h e l a t t e r i s i m p o r t a n t t o d i s c r i m i n a t e b e t w e e n t h e a c t u a l d y n a m i c s a n d n u m e r i c a l e r r o r s . S u c h a

s t u d y w a s u n d e r t a k e n b y B e a l e , E y d e l a n d a n d T u r k i n g t o n 4 ] a f e w y e a r s a g o . H o w e v e r , a t t h a t

t i m e n u m e r i c a l a l g o r i t h m s f o r g e n e r a t i n g e x a c t v o r t e x r i n g s w e r e n o t s u c i e n t l y a c c u r a t e f o r t h i s

p u r p o s e , w h i l e t h e s t a b i l i t y t h e o r y f o r v o r t e x r i n g s w i t h s w i r l w a s v i r t u a l l y n o n e x i s t e n t . I n a d d i t i o n ,

t h e r i n g u s e d a s a t e s t i n 4 ] w a s n o t w e l l r e s o l v e d a n d n o t v e r y s t a b l e , s o t h a t t h e r e s u l t s w e r e

r a t h e r i n c o n c l u s i v e .

O u r o b j e c t i v e i s a m o r e d e n i t i v e s t u d y o f t i m e - d e p e n d e n t b e h a v i o r t h a n i n 4 ] , w i t h n u m e r i c s

s u p p o r t e d b y c o m p a r i s o n w i t h a n a l y t i c p r e d i c t i o n s . T h e r e a r e t h r e e c o m p e l l i n g r e a s o n s f o r d o i n g

t h i s . F i r s t , w e h a v e c o n s i d e r a b l y i m p r o v e d t h e e q u i l i b r i u m s o l v e r b y i n c o r p o r a t i n g i n t o t h e s c h e m e

a p p r o p r i a t e m a t c h i n g c o n d i t i o n s o n t h e b o u n d a r y o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . A s a r e s u l t , w e a r e

a b l e t o n d t h e v o r t i c i t y d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e v o r t e x c o r e w i t h v e r y h i g h a c c u r a c y . S e c o n d , w e c a n

a p p l y a n o v e l t h e o r y o f s t a b i l i t y o f v o r t e x r i n g s , b a s e d o n t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o a c h , w h i c h

w a s p r o p o s e d r e c e n t l y b y L i f s c h i t z a n d H a m e i r i 1 2 { 1 5 ] . I n t h i s f r a m e w o r k w e c a n d e s c r i b e t h e

i n i t i a l b e h a v i o r o f h i g h l y l o c a l i z e d p e r t u r b a t i o n s t o a g i v e n v o r t e x r i n g a n a l y t i c a l l y . W e e m p h a s i z e

t h a t t h e p e r t u r b a t i o n g r o w t h i s s i m i l a r i n m a n y r e s p e c t s t o t h e t r a n s i e n t g r o w t h o b s e r v e d i n o t h e r

s e t t i n g s . T h i r d , w e h a v e d e v e l o p e d a m o d i e d v o r t e x m e t h o d w h i c h i s p a r t i c u l a r l y w e l l s u i t e d f o r

s t u d y i n g t h e d y n a m i c s o f t h e v o r t e x r i n g s ( c f . 2 1 ] ) . W e e x p l i c i t l y t a k e i n t o a c c o u n t t h e p r e s e n c e

o f t h e s t e a d y b a c k g r o u n d o w i n t h e p r o b l e m , a n d a l s o u s e t h e f a s t s u m m a t i o n t e c h n i q u e .

T h e a s y m p t o t i c a n a l y s i s u s e d h e r e , w h i l e f a m i l i a r i n o t h e r s e t t i n g s s u c h a s l i n e a r w a v e m o t i o n ,

h a s o n l y r e c e n t l y b e e n d e v e l o p e d f o r a p p l i c a t i o n s s u c h a s i n v i s c i d u i d o w . A p p r o x i m a t e e q u a -

t i o n s a r e f o u n d f o r d i s t u r b a n c e s c h a r a c t e r i z e d b y a r a p i d s p a t i a l o s c i l l a t i o n . T h e e i k o n a l e q u a t i o n ,

d e t e r m i n i n g t h e p h a s e f u n c t i o n , h a s a s i t s c h a r a c t e r i s t i c s t h e p a r t i c l e p a t h s o f t h e u n d e r l y i n g o w

e l d . T h e d i s t u r b a n c e i s t h e n d e s c r i b e d b y o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a l o n g t h e s e p a r t i c l e p a t h s

f o r a w a v e v e c t o r a n d a m p l i t u d e . O n c e a n e x a c t v o r t e x r i n g h a s b e e n c o m p u t e d n u m e r i c a l l y b y

t h e m e t h o d r e f e r r e d t o a b o v e , t h e s e o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r


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v a r i o u s c h o i c e s o f p a r t i c l e p a t h s . I n t h i s w a y t h e m a x i m u m r a t e o f g r o w t h f o r s h o r t - w a v e d i s t u r -

b a n c e s c a n b e e s t i m a t e d a t v a r i o u s l o c a t i o n s i n t h e r i n g . T h e g r o w t h r a t e s o b t a i n e d d e p e n d o n t h e

s t r e a m f u n c t i o n , w h i c h , r o u g h l y s p e a k i n g , m e a s u r e s t h e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f t h e c o r e o f t h e

r i n g .

T h e d i s t u r b a n c e s p r e d i c t e d b y t h e s h o r t - w a v e a n a l y s i s h a v e b e e n c a l l e d \ b r o a d - b a n d " i n s t a b i l i -

t i e s 2 ] , s i n c e t h e y a p p l y t o h i g h w a v e n u m b e r s , r a t h e r t h a n p a r t i c u l a r o n e s . A s t u d y s i m i l a r i n s p i r i t

t o t h i s o n e w a s c a r r i e d o u t b y B a y l y 2 ] . H e c o n s i d e r e d i n s t a b i l i t i e s t o q u a s i - t w o - d i m e n s i o n a l s t e a d y

o w , i . e . , a p e r i o d i c 2 D o w w i t h a t h i r d c o m p o n e n t a d d e d . H e c o m p a r e d s h o r t - w a v e a s y m p t o t i c s

w i t h n u m e r i c a l s o l u t i o n s o b t a i n e d u s i n g a s p e c t r a l m e t h o d .

I n t h e d i r e c t s i m u l a t i o n s u s i n g t h e v o r t e x m e t h o d , w e s t u d y t h e s o l u t i o n s o f t h e 3 D E u l e r

e q u a t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o i n i t i a l d a t a w i t h s m a l l d e v i a t i o n f r o m t h e n u m e r i c a l l y c o m p u t e d e q u i -

l i b r i u m v o r t i c i t y d i s t r i b u t i o n s a n d r e p r o d u c e t h e d y n a m i c s ( o r l a c k t h e r e o f ) o f s u c h s o l u t i o n s . W e

a l s o c o n s i d e r i n i t i a l d a t a d e v i a t i n g b y a n a p p r o p r i a t e l y c h o s e n p e r t u r b a t i o n f r o m t h e e q u i l i b r i u m

v o r t i c i t y d i s t r i b u t i o n s a n d e x p l o r e t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n p r e d i c t i o n s o f t h e s t a b i l i t y t h e o r y a n d

t h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s . T y p i c a l l y , t h e g r o w t h r a t e s o b s e r v e d f r o m v o r t e x m e t h o d s i m u l a t i o n s

a r e a b o u t h a l f t h e m a x i m u m g r o w t h r a t e p r e d i c t e d b y t h e g e o m e t r i c o p t i c s t h e o r y . S i n c e w e h a v e

n o t c h o s e n t h e i n i t i a l d i s t u r b a n c e s i n a n y s p e c i a l w a y , w e c o u l d n o t e x p e c t c l o s e r a g r e e m e n t w i t h o u t

m o r e d e t a i l e d c o m p a r i s o n o f t h e t w o a p p r o a c h e s . T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e v e r s i o n o f t h e v o r t e x

m e t h o d u s e d i n o u r a n a l y s i s g i v e s a n a d e q u a t e p i c t u r e o f t h e v o r t e x d y n a m i c s f o r a r e l a t i v e l y l o n g

t i m e ( o n t h e o r d e r o f a t u r n - a r o u n d p e r i o d i n t h e p o l o i d a l p l a n e ) , a n d t h a t t h e s o l u t i o n s a r e i n

r e a s o n a b l e a g r e e m e n t w i t h p r e d i c t i o n s o f t h e g e o m e t r i c a l o p t i c s s t a b i l i t y t h e o r y . W e h o p e t h a t t h i s

c o m b i n e d s t u d y w i l l i m p r o v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u l l s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f v o r t e x r i n g s , w h i c h

a r e u n k n o w n e v e n f o r r i n g s w i t h o u t s w i r l .

2 V o r t e x r i n g s w i t h s w i r l

T h e v o r t e x r i n g s o f i n t e r e s t h e r e a r e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s o f i n v i s c i d , i n c o m p r e s s i b l e

o w . T h e i r v o r t i c i t y i s l i m i t e d t o a b o u n d e d r e g i o n ; t h e v o r t i c i t y c a n b e c h o s e n t o b e f a i r l y s m o o t h

a s a f u n c t i o n o f t h e s p a t i a l v a r i a b l e s . T h e o w i s a x i s y m m e t r i c a n d i n d e p e n d e n t o f t i m e e x c e p t f o r

t r a n s l a t i o n a l o n g t h e a x i s .

V o r t e x r i n g s a r e m o s t n a t u r a l l y e x p r e s s e d i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ( r ; ; z ) , w i t h t h e z - a x i s a s

t h e a x i s o f s y m m e t r y . B o t h t h e v e l o c i t y a n d v o r t i c i t y e l d s a r e f u n c t i o n s o f ( r ; z ) ; t h e y c a n h a v e a n y

d i r e c t i o n i f s w i r l i s i n c l u d e d . T h e - c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y i s c a l l e d t h e s w i r l v e l o c i t y . T h e v o r t e x

c o r e i s a t o r o i d a l r e g i o n s y m m e t r i c a b o u t t h e z - a x i s . I n v o r t e x r i n g s w i t h o u t s w i r l , t h e p a r t i c l e s

m o v e a l o n g t w o - d i m e n s i o n a l p a t h s , a n d t h e o w h a s m u c h o f t h e c h a r a c t e r o f t w o - d i m e n s i o n a l

o w . I n p a r t i c u l a r , t h e v o r t i c i t y c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f a s c a l a r e l d w h i c h i s c o n s e r v e d .

R i n g s w i t h o u t s w i r l h a v e b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y , a n d t h e s t a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o f t h i n r i n g s a r e

u n d e r s t o o d r e a s o n a b l y w e l l . E x a c t v o r t e x r i n g s w i t h s w i r l h a v e m o r e g e n e r a l b e h a v i o r , a n d l e s s i s

k n o w n a b o u t t h e i r p r o p e r t i e s . W i t h i n t h e v o r t e x c o r e o f s u c h r i n g s t h e p a r t i c l e s m o v e i n h e l i c e s ,

a n d t h e o w h a s d i s t i n c t t h r e e - d i m e n s i o n a l f e a t u r e s . I n t h i s s e n s e , v o r t e x r i n g s w i t h s w i r l s e r v e

b e t t e r t o i l l u s t r a t e 3 D o w t h a n t h o s e w i t h o u t .

W e b e g i n b y t r e a t i n g v o r t e x r i n g s a s s t e a d y s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s :

@ u

@ t

+ u r u = ? r p

r u = 0 ( 1 )

w h e r e u i s t h e v e l o c i t y a n d p i s t h e p r e s s u r e . W e r e w r i t e t h e s t e a d y e q u a t i o n s i n m o d i e d c y l i n d r i c a l

c o o r d i n a t e s ( y ; ; z ) , w i t h y = r

2

= 2 . I t c a n b e s h o w n t h a t t h e r e i s a S t o k e s s t r e a m f u n c t i o n =


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T u r k i n g t o n 9 ] e x t e n d e d t h i s p r o o f t o p r o d u c e a n i t e r a t i v e n u m e r i c a l m e t h o d f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m

( 8 ) , ( 9 ) , ( 1 0 ) i n a n i t e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n R = f ( y ; z ) j 0 y Y ; ? Z z Z g w i t h t h e m i x e d

D i r i c h l e t - N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e y a s s u m e d t h a t t h e s i z e o f t h e d o m a i n R i s s o l a r g e

t h a t t h e n u m e r i c a l b o u n d a r y d o e s n o t h a v e a n a p p r e c i a b l e e e c t o n t h e s o l u t i o n i n s i d e t h e v o r t i c i t y

c o r e .

O u r a p p r o a c h t o c o m p u t i n g s o l u t i o n s i s a l s o b a s e d o n a r e d u c t i o n o f t h e p r o b l e m i n t h e h a l f -

s p a c e t o a p r o b l e m i n a n i t e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n R . H o w e v e r , w e r e p l a c e t h e m i x e d D i r i c h l e t -

N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s b y t h e f o l l o w i n g n o n r e e c t i v e ( a n d n o n l o c a l ) c o n d i t i o n s o n t h e

b o u n d a r y o f R :

( y ;

Z ) = ( y ;

Z )

?

? y ; ( 0 ; z ) = ; ( Y ; z ) = ( Y ; z )

?

? Y ; ( 1 1 )

w h e r e

( y ; z ) = ?

Z Z

G ( y ; y ; z ; z ) ( + y )

+

d y d z : ( 1 2 )

H e r e G i s t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e o p e r a t o r L i n t h e f r e e s p a c e . I t i s c l e a r t h a t r e p r e s e n t s t h e

e x a c t s o l u t i o n o n t h e c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r y o f t h e h a l f - s p a c e p r o b l e m f o r + + y . C o n d i t i o n s

( 1 1 ) g u a r a n t e e t h a t t h e s t r e a m f u n c t i o n s i n s i d e t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n c a n b e s m o o t h l y e x t e n d e d

t o i n n i t y . A c c o r d i n g l y , w e c a n r e s t r i c t o u r s e l v e s t o a m u c h s m a l l e r c o m p u t a t i o n a l d o m a i n p r o v i d e d

t h a t i t c o n t a i n s t h e v o r t i c i t y c o r e . T h i s i s a c r u c i a l s t e p t o w a r d s i m p r o v i n g t h e a c c u r a c y o f t h e

n u m e r i c a l m e t h o d . T h e a c t u a l i t e r a t i v e s c h e m e i s a n a p p r o p r i a t e l y m o d i e d v e r s i o n o f t h e o n e

u s e d b y E y d e l a n d a n d T u r k i n g t o n . I t i s g i v e n e x p l i c i t l y i n 1 6 ] .

A v a r i e t y o f v o r t e x r i n g s c a n b e g e n e r a t e d b y t h e m e t h o d d i s c u s s e d h e r e w i t h c h a r a c t e r i s t i c s

g o v e r n e d b y t h e t h r e e p a r a m e t e r s , , a n d . I n p a r t i c u l a r , c o n t r o l s t h e s m o o t h n e s s o f t h e

s t r e a m f u n c t i o n o n t h e b o u n d a r y o f t h e v o r t e x c o r e . L a r g e r v a l u e s o f p r o d u c e s m o o t h e r m a t c h i n g

a t t h e b o u n d a r y . I n p r i n c i p l e , i t i s d e s i r a b l e t o m a k e a s s m o o t h a s p o s s i b l e t o a v o i d n u m e r i c a l

e r r o r s . H o w e v e r , r e q u i r i n g t o o m u c h s m o o t h n e s s a t t h e b o u n d a r y r e s u l t s i n a s t r e a m f u n c t i o n w i t h a

c o m p l i c a t e d s t r u c t u r e a n d a v o r t e x r i n g w h i c h i s h i g h l y u n s t a b l e . A p a r t i c u l a r e x a m p l e o f t h i s c a n

b e s e e n i n 4 ] w h e r e a n e x c e p t i o n a l l y u n s t a b l e r i n g , w i t h = 3 , w a s u s e d a s a t e s t p r o b l e m . S e t t i n g

= 1 : 5 s e e m s t o b e a r e a s o n a b l e c o m p r o m i s e . O n c e i s x e d , w e a r e l e f t w i t h a t w o p a r a m e t e r

f a m i l y o f v o r t e x r i n g s d e p e n d i n g o n a n d . T h e s p e c i a l c a s e w i t h = 0 p r o d u c e s r i n g s w i t h o u t

s w i r l , f o r w h i c h t h e v e l o c i t y a n d v o r t i c i t y a r e p e r p e n d i c u l a r . O n t h e o t h e r h a n d , s e t t i n g = 0 ,

p r o d u c e s t h e s o - c a l l e d B e l t r a m i r i n g s w h i c h h a v e p a r a l l e l v e l o c i t y a n d v o r t i c i t y .

3 A n a l y s i s o f l o c a l i n s t a b i l i t i e s

O n c e a v o r t e x r i n g i s c o n s t r u c t e d b y t h e m e t h o d o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e h a v e a v a i l a b l e a n

e x a c t s o l u t i o n o f t h e E u l e r e q u a t i o n s o f i n c o m p r e s s i b l e , i n v i s c i d o w . W e c a n p r e d i c t t h e b e h a v i o r

o f d i s t u r b a n c e s t o t h i s e x a c t s o l u t i o n b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , a s d e s c r i b e d s u b s e q u e n t l y , o r b y

a n a l y t i c a l t r e a t m e n t o f i n s t a b i l i t i e s . A l t h o u g h t h e r e h a s b e e n c o n s i d e r a b l e r e s e a r c h o n t h e s t a b i l i t y

o f t h i n r i n g s , l i t t l e i s k n o w n a b o u t t h e s t a b i l i t y o f e x a c t r i n g s w i t h s w i r l . I n t h i s s e c t i o n w e

d i s c u s s t h e s t a b i l i t y o f g e n e r a l v o r t e x r i n g s u s i n g a W K B t y p e m e t h o d d e v e l o p e d b y L i f s c h i t z a n d

H a m e i r i 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ] , v a l i d f o r s h o r t w a v e l e n g t h s a n d s m a l l a m p l i t u d e p e r t u r b a t i o n s . O n c e

t h e g r o w t h r a t e s o f t h e s e i n s t a b i l i t i e s h a v e b e e n c a l c u l a t e d , w e c a n c o m p a r e t h e m w i t h t h e r e s u l t s

o f t i m e - d e p e n d e n t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . T h i s g i v e s u s a n o p p o r t u n i t y t o d e t e r m i n e t h e g e n e r a l

a p p l i c a b i l i t y o f t h e W K B m e t h o d .

I n t h e W K B a p p r o x i m a t i o n t o i n v i s c i d o w , s h o r t w a v e l e n g t h i n s t a b i l i t i e s a r e d e s c r i b e d i n t e r m s

o f l o c a l i z e d w a v e e n v e l o p e s c h a r a c t e r i z e d b y t h e p h a s e a n d t h e a m p l i t u d e . T h e s e e n v e l o p e s m o v e


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a l o n g w i t h t h e p a r t i c l e s i n t h e u i d o w , a n d t h e i r b e h a v i o r i s g o v e r n e d b y a s y s t e m o f c h a r a c t e r i s t i c

e q u a t i o n s a l o n g p a r t i c l e t r a j e c t o r i e s 1 2 ] . T h i s s y s t e m c o n s i s t s o f t h e t r a j e c t o r y e q u a t i o n f o r u i d

p a r t i c l e s , e i k o n a l e q u a t i o n f o r t h e w a v e v e c t o r a n d t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r t h e v e l o c i t y a m p l i t u d e .

T h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e o w a r e d e t e r m i n e d b y t h e g r o w t h o f s o l u t i o n s t o t h i s s y s t e m o f

o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

W e b e g i n b y a s s u m i n g a l i n e a r d i s t u r b a n c e i n t h e f o r m u

1

( t ; x ) e x p ( i ( t ; x ) = ) p l u s l o w e r o r d e r

t e r m s . I f x

p

i s a p a r t i c u l a r p a r t i c l e l o c a t i o n , m o v i n g w i t h t h e o w , w e d e n e a ( t ) = u

1

( t ; x

p

) a n d

k ( t ) = r ( t ; x

p

) . T h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s t u r n o u t t o b e

d x

d t

= u

s

; ( 1 3 )

d k

d t

= ? r u

s

k ; ( 1 4 )

d a

d t

= ? a r u

s

+ 2

a r u

s

k

j k j

2

k ; ( 1 5 )

s u p p l e m e n t e d b y a n i n i t i a l c o n d i t i o n

x ( 0 ) = x

0

; k ( 0 ) = k

0

; a ( 0 ) = a

0

; ( 1 6 )

a n d t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i t i o n

a k = 0 ; ( 1 7 )

w h i c h i s c o m p a t i b l e w i t h t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s . T h e t r a j e c t o r y e q u a t i o n ( 1 3 ) d e t e r m i n e s t h e

s t r e a m l i n e p a s s i n g t h r o u g h x

0

. H e r e u

s

m e a n s t h e v e l o c i t y i n t h e u n d i s t u r b e d v o r t e x r i n g . T h e

e i k o n a l e q u a t i o n ( 1 4 ) d e t e r m i n e s t h e e v o l u t i o n o f t h e l o c a l w a v e v e c t o r k a l o n g t h i s s t r e a m l i n e , a n d

s i m i l a r l y t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n ( 1 5 ) d e t e r m i n e s t h e e v o l u t i o n o f t h e a m p l i t u d e a .

L i f s c h i t z a n d H a m e i r i 1 5 ] p r o v e d t h a t a v o r t e x r i n g i s u n s t a b l e i n t h e v e l o c i t y n o r m i f f o r c e r t a i n

i n i t i a l d a t a x

0

; k

0

; a

0

s u c h t h a t a

0

k = 0 , t h e c o r r e s p o n d i n g a m p l i t u d e a ( t ) g r o w s i n t i m e w i t h o u t a

b o u n d . T h i s o b s e r v a t i o n a l l o w s u s t o a n a l y z e t h e s t a b i l i t y o f a g i v e n v o r t e x b y n u m e r i c a l l y s o l v i n g

t h e s y s t e m o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 1 3 ) , ( 1 4 ) , ( 1 5 ) a l o n g s t r e a m l i n e s o f t h i s r i n g . N o t e

t h a t t h e s y s t e m o f c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s h a s a t r i a n g u l a r s t r u c t u r e , i . e . , t h e t r a j e c t o r y d e p e n d s

o n l y o n x

0

; t h e w a v e v e c t o r d e p e n d s o n b o t h x

0

a n d k

0

; a n d n a l l y , t h e a m p l i t u d e d e p e n d s o n

x

0

; k

0

, a n d a

0

. I t i s t h e r e f o r e n a t u r a l t o s o l v e t h e m i n s u c c e s s i o n . U s i n g t h e s p e c i c s t r u c t u r e o f

t h e v o r t e x r i n g , w e c a n w r i t e t h e e q u a t i o n s m o r e e x p l i c i t l y i n t e r m s o f t h e s t r e a m f u n c t i o n ; s e e

1 6 ] .

W e s t a r t w i t h E q . 1 3 d e s c r i b i n g h e l i c a l t r a j e c t o r i e s o f t h e u i d p a r t i c l e s . P r o j e c t i o n s o f t h e s e

t r a j e c t o r i e s o n t o t h e y ; z - p l a n e a r e c l o s e d ; w e d e n o t e t h e p e r i o d o f r o t a t i o n b y T . N e x t w e c o n s i d e r

E q . 1 4 f o r t h e w a v e v e c t o r . I t c a n b e s h o w n t h a t t h i s e q u a t i o n h a s a s p e c i a l s t r u c t u r e w h i c h e n a b l e s

o n e t o n d a f u n d a m e n t a l s y s t e m o f s o l u t i o n s e x p l i c i t l y . L i f s c h i t z a n d H a m e i r i 1 5 ] c o n s t r u c t e d a

f u n d a m e n t a l s y s t e m o f s o l u t i o n s K

i

, i = 1 ; 2 ; 3 , t w o o f w h i c h ( s a y K

1

a n d K

2

) a r e p e r i o d i c w i t h

p e r i o d T , a n d t h e t h i r d o n e , K

3

g r o w s l i n e a r l y i n t i m e a n d b e c o m e s a s y m p t o t i c a l l y p r o p o r t i o n a l t o

t r . T h u s E q . 1 4 h a s a t w o - p a r a m e t e r f a m i l y o f p e r i o d i c s o l u t i o n s , w h i l e a l l o t h e r s o l u t i o n s g r o w

l i n e a r l y i n t i m e .

F i n a l l y w e c o n s i d e r t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n ( 1 5 ) f o r t h e a m p l i t u d e a n d d e n o t e b y F t h e f u n -

d a m e n t a l m a t r i x s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n , i . e . s o l u t i o n s a t i s f y i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s F ( 0 ) = I .

I n o r d e r t o s a t i s f y t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i t i o n ( 1 7 ) w e n e e d t o p r o j e c t F o n t o t h e s u b s p a c e

o r t h o g o n a l t o k , i . e . , t o c o n s i d e r t h e p r o j e c t e d f u n d a m e n t a l m a t r i x F

= F ( I ? P

k

0

) . T h e m a t r i x

F

d e p e n d s o n x

0

a n d k

0

. F o r t h e p u r p o s e o f c o m p a r i n g t h e a n a l y t i c a l a n d n u m e r i c a l r e s u l t s , w e


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h a v e t o s t u d y t h e n i t e - t i m e b e h a v i o r o f s o l u t i o n s o f t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n o n a c e r t a i n n i t e t i m e

i n t e r v a l 0 t t

, r a t h e r t h a n t h e l a r g e t i m e l i m i t . T h e s o l u t i o n s a r e d e t e r m i n e d b y t h e b e h a v i o r

o f t h e p r o j e c t e d f u n d a m e n t a l s o l u t i o n

F

. W e d e n e t h e n i t e - t i m e g r o w t h r a t e b y t h e f o r m u l a

t

=

1

2 t

l o g k F

t r

( t

) F

( t

) k ; ( 1 8 )

w h e r e F

t r

i s t h e t r a n s p o s e o f F

. I t d e p e n d s o n x

0

a n d t h e d i r e c t i o n o f k

0

. T h e v a l u e o f

t

,

m a x i m i z e d o v e r a l l i n i t i a l v e c t o r s k

0

, g i v e s t h e l a r g e s t n i t e t i m e g r o w t h r a t e a s s o c i a t e d w i t h t h e

p o i n t x

0

. I n o r d e r t o o b t a i n t h e g r o w t h r a t e w h i c h c h a r a c t e r i z e s a s t r e a m s u r f a c e , w e a v e r a g e t h e

m a x i m i z e d

t

o v e r v a r i o u s i n i t i a l p o i n t s b e l o n g i n g t o t h e s a m e s t r e a m s u r f a c e . I t i s t h i s g r o w t h

r a t e t h a t w e a r e g o i n g t o c o m p a r e w i t h t h e o n e o b s e r v e d i n t h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s i n S e c t i o n

4 .

W i t h t h e s e g e n e r a l i d e a s i n m i n d , w e n o w d e s c r i b e t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e u s e d t o o b t a i n

s p e c i c v a l u e s o f t h e g r o w t h r a t e s f o r v a r i o u s s t r e a m s u r f a c e s . F i r s t , w e u s e t h e m e t h o d d e s c r i b e d

i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n t o g e n e r a t e a v o r t e x r i n g w i t h s p e c i c c h o i c e s o f t h e p a r a m e t e r s ; ; . I n

t h i s c o m p u t a t i o n w e o b t a i n t h e v a l u e s o f o n t h e g r i d p o i n t s i n s i d e t h e c o m p u t a t i o n a l r e c t a n g l e

R . T h e n w e e x t r a p o l a t e t h e v a l u e s o f o n t o t h e i n t e r m e d i a t e p o i n t s u s i n g t h e b i - c u b i c s p l i n e s . I n

t h i s w a y w e o b t a i n a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r a n d i t s p a r t i a l d e r i v a t i v e s e v e r y w h e r e i n R . U s i n g

t h e s e e x p r e s s i o n s w e s o l v e E q . 1 3 a n d d e t e r m i n e t h e t r a j e c t o r y p a s s i n g t h r o u g h t h e p o i n t x

0

. N e x t ,

w e s o l v e E q . 1 4 a n d n d t h r e e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o l u t i o n s K

i

; i = 1 ; 2 ; 3 o f t h e e i k o n a l e q u a t i o n .

W e c o n s i d e r a t w o - p a r a m e t e r f a m i l y o f k

0

o f t h e f o r m

k

0

= c o s s i n K

1

( 0 ) + s i n s i n K

2

( 0 ) + c o s K

3

( 0 ) ; ( 1 9 )

a n d c o m p u t e t h e c o r r e s p o n d i n g p r o j e c t e d f u n d a m e n t a l s o l u t i o n f o r E q . 1 5 . W e t h e n s c a n t h e ; -

p a r a m e t e r s p a c e t o n d t h e m a x i m u m v a l u e o f t h e n i t e - t e r m g r o w t h r a t e

t

w i t h r e s p e c t t o k

0

,

u s i n g f o r m u l a ( 1 8 ) . F i n a l l y , w e a v e r a g e t h i s a l o n g t h e s t r e a m s u r f a c e . T h e r e s u l t i n g v a l u e s f o r

r e p r e s e n t a t i v e s u r f a c e s a r e r e p o r t e d f o r s e v e r a l r i n g s i n S e c t i o n 4 .

4 V o r t e x m e t h o d c a l c u l a t i o n s

W e c o m p u t e n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f t h e t i m e - d e p e n d e n t E u l e r e q u a t i o n s u s i n g a t h r e e - d i m e n s i o n a l

v o r t e x m e t h o d . S u c h m e t h o d s h a v e b e e n u s e d e x t e n s i v e l y s i n c e t h e e a r l y w o r k o f C h o r i n a n d

L e o n a r d . S e v e r a l v e r s i o n s a r e i n u s e , b u t a l l a r e c l o s e l y r e l a t e d a n d b a s e d o n t h e B i o t - S a v a r t l a w ,

u ( x ; t ) =

Z

K

?

x ? x

0

; t

!

?

x

0

; t

d x

0

; K ( x ) = ?

x

4 r

3

( 2 0 )

w h i c h e x p r e s s e s v e l o c i t y u i n t e r m s o f v o r t i c i t y ! . T h e v o r t e x m e t h o d r e d u c e s t h e E u l e r e q u a t i o n s

t o o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e p o s i t i o n a n d v o r t i c i t y o f a r e p r e s e n t a t i v e c o l l e c t i o n o f

L a g r a n g i a n p a r t i c l e s . T h e v e r s i o n u s e d h e r e i s e s s e n t i a l l y t h e o n e w h i c h w a s i n t r o d u c e d i n 1 ]

a n d p r o v e d t o c o n v e r g e i n 3 ] a n d 7 ] . S e e a l s o 5 ] , 1 0 ] , 1 8 ] . T h e c a l c u l a t i o n s r e p o r t e d h e r e

e x p l o i t f o u r f o l d s y m m e t r y a n d a l s o u s e a f a s t s u m m a t i o n a l g o r i t h m o f B u t t k e 6 ] , r e l a t e d t o t h e

G r e e n g a r d - R o k h l i n a l g o r i t h m , t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l l o a d . I n a d d i t i o n t h e m e t h o d i s m o d i e d

s p e c i c a l l y t o c a l c u l a t e p e r t u r b a t i o n s a n d e l i m i n a t e t h e s t e a d y s o l u t i o n f r o m t h e c o m p u t a t i o n .

T h e e v o l u t i o n o f t h e o w e l d i s r e p r e s e n t e d b y a c o l l e c t i o n o f p a r t i c l e s m o v i n g w i t h t h e u i d .

T h e i r l o c a t i o n s x

j

( t ) a n d c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f t h e v o r t i c i t y v e c t o r !

j

( t ) a r e c a l c u l a t e d a t e a c h

t i m e . T h e v e l o c i t y e l d c a n t h e n b e a p p r o x i m a t e d f r o m t h e B i o t - S a v a r t l a w a s

u

h

( x ; t ) =

X

j

K

( x ? x

j

) !

j

h

3

( 2 1 )


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w h e r e K

i s a v e r s i o n o f t h e k e r n e l o f ( 2 0 ) , s m o o t h e d b y a b l o b f u n c t i o n . T h e p a r t i c l e l o c a t i o n s

x

j

( t ) m o v e a c c o r d i n g t o t h i s c o m p u t e d v e l o c i t y . T h e v o r t i c i t y e v o l u t i o n , g i v e n b y t h e e q u a t i o n

D !

D t

= ! r u ( 2 2 )

c a n b e a p p r o x i m a t e d a l o n g t h e p a r t i c l e p a t h s b y

d !

i

d t

= !

i

r u

h

i

: ( 2 3 )

T h e d e r i v a t i v e r u

h

i

c a n b e o b t a i n e d b y a c e n t e r e d d i e r e n c e q u o t i e n t a f t e r o b s e r v i n g t h a t t h e d o t

p r o d u c t r e d u c e s t o a d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e . T h e p a r t i c l e s a r e i n t r o d u c e d i n i t i a l l y o n a s q u a r e g r i d

o f s i z e h c o v e r i n g t h e v o r t e x c o r e . T h e b l o b f u n c t i o n u s e d h e r e i s a s i x t h d e g r e e r a d i a l p o l y n o m i a l

w i t h i n u n i t r a d i u s a n d z e r o o t h e r w i s e . I t i s c h o s e n t o b e c o n t i n u o u s a n d f o u r t h o r d e r a c c u r a t e

( s e e 1 6 ] o r 2 1 ] ) . W h i l e t h e r e a r e o t h e r p o s s i b l e e v o l u t i o n e q u a t i o n s f o r t h e v o r t i c i t y , t h e o n e

p r e s e n t e d h e r e i s c o n c e p t u a l l y s i m p l e , i s s t r a i g h t f o r w a r d t o i m p l e m e n t , a n d s e e m s t o p r o d u c e t h e

b e s t n u m e r i c a l r e s u l t s ( s e e 4 ] f o r a d i s c u s s i o n ) . F i n a l l y , t h e r e s u l t i n g O D E ' s a r e d i s c r e t i z e d i n t i m e

b y t h e f o u r t h o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d .

N e x t w e i n t r o d u c e a m o d i c a t i o n w h i c h a l l o w s u s t o e l i m i n a t e t h e s t e a d y p a r t o f t h e o w i n

t h e v o r t e x r i n g c a l c u l a t i o n a n d c o n c e n t r a t e o n t h e e v o l u t i o n o f p e r t u r b a t i o n s . N o n e w e r r o r i s

i n t r o d u c e d b y d o i n g t h i s . W e i m p o s e a n i n i t i a l v e l o c i t y p e r t u r b a t i o n u

0

( x ) o n t h e s t e a d y v e l o c i t y

e l d o f a n e x a c t r i n g , u

s

( x ) . W e w a n t t o n d u ( x ; t ) s o t h a t u ( x ; 0 ) = u

0

( x ) a n d u

s

( x ) + u ( x ; t ) i s a

s o l u t i o n t o t h e E u l e r e q u a t i o n s ( 1 ) . T h e c o r r e s p o n d i n g s t e a d y v o r t i c i t y a n d v o r t i c i t y p e r t u r b a t i o n

a r e !

s

( x ) = r u

s

a n d ! ( x ; t ) = r u r e s p e c t i v e l y . S i n c e u

s

+ u s a t i s e s t h e E u l e r e q u a t i o n s

a n d !

s

+ ! = r ( u

s

+ u ) , t h e n !

s

+ ! a n d u

s

+ u m u s t s a t i s f y ( 2 2 ) a n d ( 2 0 ) , l e a d i n g t o

D !

D t

= ( !

s

+ ! ) r u + ! r u

s

? u r !

s

;

u ( x ; t ) =

Z

K

?

x ? x

0

!

?

x

0

; t

d x

0

;

( 2 4 )

w h e r e D ! = D t = ( u

s

+ u ) r ! i s t h e m a t e r i a l d e r i v a t i v e . W e t h e n d i s c r e t i z e t h e p r o b l e m t o a

s y s t e m o f e v o l u t i o n e q u a t i o n s ,

d x

i

d t

= u

s

( x

i

) +

X

j

K

( x

i

? x

j

) !

j

h

3

;

d !

i

d t

= ( !

s

( x

i

) + !

i

) r u

h

( x

i

; t ) + !

i

r u

s

( x

i

) ? u

h

( x

i

; t ) r !

s

( x

i

) ;

( 2 5 )

w h i c h w e s o l v e u s i n g t h e f o u r t h o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d . S i n c e t h i s p r o c e d u r e d o e s n o t d e p e n d

o n v o r t e x r i n g s t r u c t u r e , i t c o u l d b e u s e d t o m o d e l t h e b e h a v i o r o f p e r t u r b a t i o n s o f a n y s t e a d y

k n o w n s o l u t i o n o f t h e E u l e r e q u a t i o n s .

I n s t u d y i n g t h e g r o w t h o f i n s t a b i l i t i e s t o v o r t e x r i n g s , w e c a n i n p r i n c i p l e v a r y t h e w a v e l e n g t h ,

s h a p e , d i r e c t i o n , a n d l o c a t i o n o f t h e i n i t i a l d i s t u r b a n c e , s o t h a t a t h o r o u g h s t u d y w o u l d h a v e t o b e

q u i t e e x t e n s i v e . H e r e w e f o c u s o n t h e s m a l l a m p l i t u d e p e r t u r b a t i o n w i t h i n i t i a l v e l o c i t y

u

0

= ? ( ) c o s ( 2 0 ) r : ( 2 6 )


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T a b l e I : V o r t e x R i n g P r o p e r t i e s

h n p r o p . s p e e d

m a x

T

m i n

2 0 2 0 0 . 1 0 3 9 7 6 0 . 0 6 3 7 0 . 1 0 1 1 4 . 0

5 0 0 0 . 0 9 4 3 1 5 0 . 0 5 4 3 0 . 1 0 2 1 1 . 3

5 0 2 0 0 . 0 8 4 2 7 0 0 . 0 6 7 1 0 . 1 0 3 7 . 7 6

5 0 4 0 0 . 0 8 3 2 8 9 0 . 0 7 5 2 0 . 1 0 4 5 . 9 2

8 0 2 0 0 . 0 8 2 9 5 5 0 . 0 7 0 2 0 . 1 0 4 5 . 3 5

a n d c o r r e s p o n d i n g c u r l

!

0

=

@

@ z

( ? ( ) c o s ( 2 0 ) )

?

1

r

@

@

( ? ( ) c o s ( 2 0 ) ) z =

d ? ( )

d

@

@ z

c o s ( 2 0 )

+

2 0

r

? ( ) s i n ( 2 0 ) z ;

( 2 7 )

w h e r e ? i s a s m o o t h c u t - o f u n c t i o n i n w i t h a m p l i t u d e o n t h e o r d e r o f 0 : 0 0 3 . U s i n g t h e m o d i e d

v o r t e x m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e , w e c a l c u l a t e t h e e v o l u t i o n o f t h i s p e r t u r b a t i o n f o r v e v o r t e x r i n g s .

I n o r d e r t o c o m p a r e t h e s e r e s u l t s w i t h t h e a n a l y t i c a l w o r k d i s c u s s e d e a r l i e r , w e n e e d t o c o m p u t e

l o c a l i z e d g r o w t h r a t e s w h i c h a r e c o m p a t i b l e i n t y p e w i t h t h e p r e d i c t i o n s . W e e x a m i n e p e r t u r b a t i o n s

b y f o l l o w i n g t h e e v o l u t i o n i n t i m e o f s p e c i a l t r a c k i n g p a r t i c l e s i n t r o d u c e d n e a r t h e l e v e l c u r v e s o f

d e n e d b y

i

= i

m a x

= 1 0 f o r 1 i 1 0 . W h i l e t h e v e l o c i t i e s a n d p o s i t i o n s o f t h e s e t r a c k i n g

p a r t i c l e s a r e c o m p u t e d , t h e y a r e n o t u s e d i n t h e v o r t e x m e t h o d c a l c u l a t i o n . A r e l a t i v e L

2

v e l o c i t y

d e v i a t i o n f r o m t h e s t e a d y r i n g i s t h e n c o m p u t e d a n d c a n b e c o m p a r e d w i t h t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s .

T h e v e v o r t e x r i n g s w e c o n s i d e r h e r e a r e p r o d u c e d b y v a r y i n g t h e p a r a m e t e r s a n d i n t h e

s t r u c t u r e f u n c t i o n s ( 7 ) . F o r a l l o f t h e s e r i n g s t h e p a r a m e t e r = 1 : 5 . T h e p e r t u r b e d s o l u t i o n s a r e

c a l c u l a t e d i n t i m e s t e p s o f t = 0 : 2 u n t i l t = 9 : 8 , w h i c h i s r o u g h l y t h e p e r i o d o f a p a r t i c l e n e a r

t h e c e n t e r o f t h e r i n g m o v i n g i n t h e p o l o i d a l c r o s s s e c t i o n ; s m a l l e r t i m e s t e p s d i d n o t a e c t t h e

r e s u l t s . F a s t s u m m a t i o n a n d f o u r f o l d s y m m e t r y a r e u s e d i n a l l c a l c u l a t i o n s . F u r t h e r i n f o r m a t i o n

a b o u t t h e s e r i n g s i s c o n t a i n e d i n T a b l e I . I n t h i s t a b l e , h i s t h e m e s h s i z e a n d n i s t h e n u m b e r o f

v o r t e x e l e m e n t s i n 1 = 4 o f t h e v o r t e x r i n g .

A v e r a g e p r e d i c t e d a n d o b s e r v e d g r o w t h r a t e s b e t w e e n t = 0 a n d t = 9 : 8 a r e l i s t e d i n T a b l e I I .

T h e p r e d i c t e d r a t e s a r e c o m p u t e d f r o m t h e g e o m e t r i c o p t i c s a p p r o a c h b y t h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d

i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h e i n d e x i i n t h e t a b l e r e f e r s t o t h e s t r e a m s u r f a c e w i t h =

i

. E v e n

t h o u g h t h e g r o w t h r a t e p r e d i c t i o n s a r e m a d e f o r s h o r t w a v e l e n g t h l o c a l i n s t a b i l i t i e s , t h e y d o s e e m

t o b e r e l a t i v e l y g o o d p r e d i c t o r s o f t h e o v e r a l l s t a b i l i t y o f a v o r t e x r i n g . T h o s e w i t h h i g h e r p r e d i c t e d

g r o w t h r a t e s h a v e h i g h e r o b s e r v e d g r o w t h r a t e s . N o t i c e t h a t t h e p r e d i c t e d m a x i m u m g r o w t h r a t e

i s g e n e r a l l y 2 t o 3 t i m e s l a r g e r t h a n t h e o b s e r v e d g r o w t h r a t e , e x c e p t i n t h e r s t c a s e . F i n a l l y ,

n o t i c e t h a t t h e r i n g s b e c o m e l e s s s t a b l e a s i n c r e a s e s w h i l e t h e e e c t o f o n s t a b i l i t y i s u n c l e a r .

I t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h a t t h e g e o m e t r i c o p t i c s a n a l y s i s p r e d i c t s a m a x i m u m p o s s i b l e

g r o w t h r a t e , w h i l e t h e v o r t e x m e t h o d c a l c u l a t e s t h e g r o w t h r a t e f o r a p a r t i c u l a r p e r t u r b a t i o n . A

p a r t i c u l a r s o l u t i o n t y p i c a l l y w i l l h a v e a g r o w t h r a t e s o m e w h a t l e s s t h a n t h e p r e d i c t e d m a x i m u m . A

c l o s e r c o m p a r i s o n m i g h t b e o b t a i n e d b y s p e c i a l i z i n g t h e g e o m e t r i c o p t i c s p r e d i c t i o n t o t h e p a r t i c u l a r

p e r t u r b a t i o n u s e d i n t h e v o r t e x m e t h o d c a l c u l a t i o n . T h e W K B m e t h o d o n l y d e s c r i b e s t h e g r o w t h

o f s h o r t w a v e l e n g t h l o c a l i n s t a b i l i t i e s . L o n g e r w a v e l e n g t h p e r t u r b a t i o n s a n d n o n l o c a l e e c t s m a y

a l s o b e i m p o r t a n t i n t h e e v o l u t i o n o f a v o r t e x r i n g . N o t i c e t h a t w i t h i n a p a r t i c u l a r v o r t e x r i n g i n

T a b l e I I , t h e p r e d i c t e d g r o w t h r a t e s v a r y m o r e t h a n t h e o b s e r v e d g r o w t h r a t e s . W e m a y e x p e c t t h a t


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10/11


T a b l e I I : A v e r a g e P r e d i c t e d a n d O b s e r v e d G r o w t h R a t e s

= 2 0 , = 2 0 = 5 0 , = 0 = 5 0 , = 2 0 = 5 0 , = 4 0 = 8 0 , = 2 0

i P r e d . O b s . P r e d . O b s . P r e d . O b s . P r e d . O b s . P r e d . O b s .

1 0 . 1 8 0 0 . 0 2 9 8 0 . 2 6 4 0 . 1 4 1 0 . 3 3 8 0 . 1 4 8 0 . 3 9 4 0 . 1 5 0 0 . 4 7 0 0 . 2 7 6

2 0 . 1 9 9 0 . 0 2 8 7 0 . 2 9 1 0 . 1 4 2 0 . 3 7 0 0 . 1 5 3 0 . 4 2 5 0 . 1 5 3 0 . 5 2 2 0 . 2 8 0

3 0 . 2 1 1 0 . 0 2 2 8 0 . 3 0 8 0 . 1 5 7 0 . 3 8 7 0 . 1 5 5 0 . 4 3 7 0 . 1 5 6 0 . 5 5 9 0 . 2 8 1

4 0 . 2 1 8 0 . 0 2 7 4 0 . 3 1 7 0 . 1 5 4 0 . 3 9 6 0 . 1 5 1 0 . 4 3 8 0 . 1 5 8 0 . 5 7 2 0 . 2 8 4

5 0 . 2 1 9 0 . 0 3 1 5 0 . 3 1 9 0 . 1 6 6 0 . 3 9 6 0 . 1 5 1 0 . 4 2 0 0 . 1 6 3 0 . 5 5 8 0 . 2 9 0

6 0 . 2 1 2 0 . 0 3 4 4 0 . 3 1 4 0 . 1 6 0 0 . 3 8 4 0 . 1 5 1 0 . 3 8 7 0 . 1 6 8 0 . 5 3 0 0 . 2 9 7

7 0 . 1 9 6 0 . 0 3 7 7 0 . 3 0 2 0 . 1 5 0 0 . 3 5 1 0 . 1 4 7 0 . 3 4 7 0 . 1 6 7 0 . 4 9 5 0 . 3 0 2

8 0 . 1 7 6 0 . 0 3 8 0 0 . 2 7 6 0 . 1 3 2 0 . 2 9 2 0 . 1 3 7 0 . 3 0 8 0 . 1 5 6 0 . 4 4 5 0 . 2 9 8

9 0 . 1 4 1 0 . 0 2 8 8 0 . 2 2 5 0 . 1 1 5 0 . 1 9 9 0 . 1 1 9 0 . 2 5 5 0 . 1 3 4 0 . 3 5 0 0 . 2 8 0

1 0 0 . 1 0 3 0 . 0 1 5 8 0 . 1 3 9 0 . 1 0 2 0 . 1 1 1 0 . 0 7 6 0 . 1 3 0 0 . 0 9 7 0 . 1 6 9 0 . 2 4 9

n o n l o c a l e e c t s f o r c e p e r t u r b a t i o n s i n d i e r e n t l o c a t i o n s t o g r o w a t s i m i l a r r a t e s . I n v i e w o f t h e s e

q u a l i c a t i o n s , t h e p r e d i c t e d a n d o b s e r v e d g r o w t h r a t e s s e e m t o b e i n r e a s o n a b l y g o o d a g r e e m e n t .

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h e r s t a u t h o r w a s s u p p o r t e d b y N . S . F . G r a n t N o . I R I - 9 2 2 4 6 0 5 , t h e s e c o n d a n d t h i r d b y N . S . F .

G r a n t N o . D M S - 9 1 0 2 7 8 2 a n d t h e t h i r d b y N . S . F . G r a n t N o . D M S - 9 4 0 3 4 0 2 .

R e f e r e n c e s

1 ] A n d e r s o n , C . a n d G r e e n g a r d , C . , \ O n V o r t e x M e t h o d s , " S I A M J . N u m e r i c a l A n a l y s i s , 2 2 , p p .

4 1 3 { 4 4 0 , 1 9 8 5 .

2 ] B a y l y , B . , \ C o m p u t a t i o n s o f B r o a d - B a n d I n s t a b i l i t i e s i n a C l a s s o f C l o s e d - S t r e a m l i n e F l o w s , "

i n M a t h e m a t i c a l A s p e c t s o f V o r t e x D y n a m i c s , e d i t e d b y R . C a i s c h , S I A M , P h i l a d e l p h i a , p p .

5 0 { 5 8 , 1 9 8 9 .

3 ] B e a l e , J . T . , \ A C o n v e r g e n t T h r e e - D i m e n s i o n a l V o r t e x M e t h o d w i t h G r i d - F r e e S t r e t c h i n g , "

M a t h . C o m p . , 4 6 , p p . 4 0 1 { 4 2 4 a n d S 1 5 { S 2 0 , 1 9 8 6 .

4 ] B e a l e , J . T . , E y d e l a n d , A . a n d T u r k i n g t o n , B . , \ N u m e r i c a l T e s t o f 3 D V o r t e x M e t h o d s U s i n g a

V o r t e x R i n g w i t h S w i r l , " i n V o r t e x D y n a m i c s a n d V o r t e x M e t h o d s , e d i t e d b y C . A n d e r s o n a n d

C . G r e e n g a r d , L e c . i n A p p l . M a t h . , 2 8 , A m e r . M a t h . S o c . , P r o v i d e n c e , p p . 1 { 9 , 1 9 9 1 .

5 ] B e a l e , J . T . a n d M a j d a , A . , \ H i g h O r d e r A c c u r a t e V o r t e x M e t h o d s w i t h E x p l i c i t V e l o c i t y K e r -

n e l s , " J . C o m p . P h y s . , 5 8 , p p . 1 8 8 { 2 0 8 , 1 9 8 5 .

6 ] B u t t k e , T . , \ F a s t V o r t e x M e t h o d s i n T h r e e D i m e n s i o n s , " i n V o r t e x D y n a m i c s a n d V o r t e x M e t h -

o d s , e d i t e d b y C . A n d e r s o n a n d C . G r e e n g a r d , L e c . i n A p p l . M a t h . , 2 8 , A m e r . M a t h . S o c . ,

P r o v i d e n c e , p p . 5 1 { 6 6 , 1 9 9 1 .

7 ] C o t t e t , G . H . , \ O n t h e C o n v e r g e n c e o f V o r t e x M e t h o d s i n T w o a n d T h r e e D i m e n s i o n s , " A n n .

I n s t . H . P o i n c a r e , 5 , p p . 2 2 7 { 2 8 5 , 1 9 8 8 .


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8 ] E y d e l a n d , A . a n d T u r k i n g t o n , B . , \ A C o m p u t a t i o n a l M e t h o d o f S o l v i n g F r e e - B o u n d a r y P r o b -

l e m s i n V o r t e x D y n a m i c s , " J . C o m p . P h y s . , 7 8 , p p . 1 9 4 { 2 1 4 , 1 9 8 8 .

9 ] E y d e l a n d , A . a n d T u r k i n g t o n , B . , \ A N u m e r i c a l S t u d y o f V o r t e x R i n g s w i t h S w i r l , " p r e p r i n t ,

1 9 8 8 .

1 0 ] G u s t a f a s s o n , K . a n d S e t h i a n , J . , e d . , V o r t e x M e t h o d s a n d V o r t e x M o t i o n , S I A M ,

P h i l a d e l p h i a , 1 9 9 1 .

1 1 ] K n i o , O . a n d G h o n i e m , A . , \ N u m e r i c a l S t u d y o f a T h r e e - D i m e n s i o n a l V o r t e x M e t h o d , " J .

C o m p . P h y s . , 8 6 , p p . 7 5 { 1 0 6 , 1 9 9 0 .

1 2 ] L i f s c h i t z , A . , \ S h o r t W a v e l e n g t h I n s t a b i l i t i e s o f I n c o m p r e s s i b l e T h r e e - D i m e n s i o n a l F l o w s a n d

G e n e r a t i o n o f V o r t i c i t y , " P h y s i c s L e t t e r s A , 1 5 7 , p p . 4 8 1 { 4 8 7 , 1 9 9 1 .

1 3 ] L i f s c h i t z , A . , \ O n t h e I n s t a b i l i t y o f C e r t a i n M o t i o n s o f a n I d e a l I n c o m p r e s s i b l e F l u i d , " A d v .

A p p l . M a t h . , 1 5 , p p . 4 0 4 { 4 3 6 , 1 9 9 4 .

1 4 ] L i f s c h i t z , A . a n d H a m e i r i , E . , \ L o c a l S t a b i l i t y C o n d i t i o n s i n F l u i d D y n a m i c s , " P h y s . F l u i d s A ,

3 , p p . 2 6 4 4 { 2 6 5 1 , 1 9 9 1 .

1 5 ] L i f s c h i t z , A . a n d H a m e i r i , E . , \ L o c a l i z e d I n s t a b i l i t i e s o f V o r t e x R i n g s w i t h S w i r l , " C o m m . P u r e

A p p l . M a t h . 4 6 , p p . 1 3 7 9 { 1 4 0 8 , 1 9 9 3 .

1 6 ] L i f s c h i t z , A . , S u t e r s , W . H . a n d B e a l e , J . T . , \ T h e o n s e t o f i n s t a b i l i t y i n e x a c t v o r t e x r i n g s w i t h

s w i r l , " t o a p p e a r i n J . C o m p . P h y s .

1 7 ] M o a t t , H . , \ G e n e r a l i s e d V o r t e x R i n g s w i t h a n d w i t h o u t S w i r l , " F l u i d D y n . R e s . , 3 , p p . 2 2 { 3 0 ,

1 9 8 8 .

1 8 ] P u c k e t t , E . G . , \ V o r t e x M e t h o d s : A n I n t r o d u c t i o n a n d S u r v e y o f S e l e c t e d R e s e a r c h T o p i c s , " i n

I n c o m p r e s s i b l e C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s , e d i t e d b y M . G u n z b u r g e r a n d R . N i c o l a i d e s ,

C a m b r i d g e P r e s s , C a m b r i d g e , p p . 3 3 5 { 4 0 7 , 1 9 9 3 .

1 9 ] S a m a n , P . , V o r t e x D y n a m i c s , C a m b r i d g e P r e s s , C a m b r i d g e , 1 9 9 2 .

2 0 ] S h a r i , K . a n d L e o n a r d , A . , \ V o r t e x R i n g s , " A n n . R e v . F l u i d M e c h . , 2 4 , p p . 2 3 5 { 2 7 9 , 1 9 9 2 .

2 1 ] S u t e r s , W . H . , A N u m e r i c a l S t u d y o f t h e I n s t a b i l i t y o f V o r t e x R i n g s w i t h S w i r l , P h . D . T h e s i s ,

D u k e U n i v . , 1 9 9 4 .

2 2 ] T u r k i n g t o n , B . , \ V o r t e x R i n g s w i t h S w i r l : A x i s y m m e t r i c S o l u t i o n s o f t h e E u l e r E q u a t i o n s w i t h

N o n z e r o H e l i c i t y , " S I A M J . M a t h . A n a l . , 2 0 , p p . 5 7 { 7 3 , 1 9 8 9 .


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