TRABAJO COLABORATIVO 1

100410_586 – CALCULO DIFERENCIAL

Por:

FRANCISCO LUIS ACOSTA – 85477661

Presentado al Tutor:

ROBINSON LEONEL VELASCO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

marzo de 2015

INTRODUCCION

A continuación veremos el desarrollo de los ejercicios correspondientes al trabajo

colaborativo 1 en el cual tenemos el Análisis de sucesiones y progresiones, parte

fundamental del cálculo diferencial.

1. Hallar, paso a paso, los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a. Un=(n−1 )n−1n≥3

Primer término: U3=(3−1 )3−1=4

Segundo término: U 4=( 4−1 )4−1=27

Tercer término: U5=(5−1)5−1=256

Cuarto término: U6=(6−1 )6−1=3125

Quinto término: U7=(7−1 )7−1=46656

Sexto término: U8=(8−1 )8−1=823543

b.V n=

3nn+1

n≥3

Primer término: V 3=

3⋅33+1

=94

Segundo término: V 4=

3⋅44+1

=125

Tercer término: V 5=

3⋅55+1

=156

Cuarto término: V 6=

3⋅66+1

=187

Quinto término: V 7=

3⋅77+1

=218

Sexto término: V 8=

3⋅88+1

=249

c. Un=(n−1 )n−1n≥1

Primer término: U1=(1−1)1−1=0

Segundo término: U2=(2−1)2−1=1

Tercer término: U3=(3−1 )3−1=4

Cuarto término: U 4=( 4−1 )4−1=27

Quinto término: U5=(5−1)5−1=256

Sexto término: U6=(6−1 )6−1=3125

2. Determine si la sucesión W n={ n

2n+1 } es convergente o divergente. Demuéstrelo

paso a paso.

Hallemos algunos términos antes de determinar si es convergente o divergente.

Con n=1, W 1={ 1

2⋅1+1 }=13=0 ,333333 .. .. . .. .

Con n=2, W 2={ 2

2⋅2+1 }=25=0,4

Con n=3, W 3={ 3

2⋅3+1 }=37=0 ,428571. . .. .. . ..

Con n=100 W 100={100

2⋅100+1 }=100201

=0 ,4975 . .. .. . ..

Se acerca a un número finito que es 0,5, por lo tanto es convergente a 0,5.

3. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con

ellas, si son o no crecientes.

Debemos obtener algunos términos de dichas sucesiones, entonces:

a.Oc=

3n2+16 n2 2n+1

=49;1329;2861;49105

,. . .. .. . .. .. . .

Se puede decir que a medida que n crece la sucesión tiende a 0,45, entonces la sucesión

tiene como máxima cota inferior a 4/9 y la mínima cota superior es 0,45

Debemos obtener algunos términos de dichas sucesiones, entonces:

b.Oc=

5n+1

n2=6,11/4,16/9,21/16,….

Se puede inferir que a medida que n crece la sucesión tiende a 0, entonces la sucesión tiene

como máxima cota inferior a 0 y la mínima cota superior es 6

4. Halle la suma de los números múltiplos de 6 menores o iguales a 9126.

Y diga ¿Cuántos términos hay?

Los números forman una progresión aritmética de razón 6

El primer elemento es 6 y el último es 9126. Necesitamos el número de términos

para hallar la suma:

Se sabe que an = a1 + r (n - 1); reemplazamos.

9126 = 6 + 6 (n - 1); n = 1 + (9126 - 6) / 6 = 1521 (número de términos)

Sn = n/2 (a1 + an) = 1521 / 2 (6 + 9126) = 6944886 (suma de todos)

5. Halle la suma de los números pares de tres cifras. Y diga ¿Cuántos términos hay?

Sean los números de la forma: abc

Como son pares:

a puede tomar 9 valores (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b puede tomar 10 valores (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

c puede tomar 5 valores (0,2,4,6,8)

Por el principio de la multiplicación existen 9*10*5 = 450 números pares de tres cifras.

Los números serán:

100,102,104,106,.........,998

Así que, la suma de éstos será:

S =100+102+104+106+ .... +998

S = (100 + 100+2 + 100 + 4 + 100 + 6 + ..... 100+ 898)

* De acá también se deduce que hay 898/2 + 1 = 450 números

(Continuamos)

S = 100(450) + (2+4+6+ .... +898)

S = 100(450) + 2(1+2+3+4+ ..... 449)

* Suma de los "n" primeros números naturales = n(n+1)/2, entonces:

S = 45000 + 2(449)(449+1)/2

S = 45000 + 202050

S = 247950

6. En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

a3=24 a10=66 a1=? d= ?

an=a1+(n−1 )d a10=a1+(n−1 )d

a3=a1+(3−1 )d 66¿a1+(10−1 )d

24=a1+ (2 )d 66¿a1+( 9 )d

−a1=2d−24 1. a1=−9d +66 2.

Igualando tenemos

−a1=2d−24 Multiplicamos por 9.

a1=−9d +66 multiplicamos por 2.

−9a1=18d−216

2a1=−18 d + 132

−7a1=−84

a1=−84−7

a1=12

Reemplazando tenemos

−a1=2d−24

−12=2d−24

−12+24=2d

d=122

d=6

CONCLUSIONES

De esto podemos decir que todas estas formas de cálculo son aplicadas a la vida cotidiana y

a la ingeniería sobre todo.

REFERENCIAS

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Precálculo, matemática para el

cálculo. México D.F. Pág. 783. Disponible en

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#

Referencias complementarias:

TAREASPLUS (05/06/2013) Sucesiones monótonas y acotadas.

https://www.youtube.com/watch?v=9bW7LmzqIs0&feature=youtu.be

EDUCATINA (25/01/12). Sucesiones convergentes y divergentes.

https://www.youtube.com/watch?v=0qqQDviicX0&feature=youtu.be

EDUCATINA (25/01/12). Límites de una sucesión.

https://www.youtube.com/watch?v=fGobW7CdGZg&feature=youtu.be